pembebanan nonlinier (analisis di kawasan waktu) · pdf filedalam “ analisis rangkaian...
TRANSCRIPT
Darpublic www.darpublic.com
Sudaryatno Sudirham, “Pembebanan Nonlinier (Analisis di Kawasan Waktu)” 1/21
Pembebanan Nonlinier
(Analisis di Kawasan Waktu)
Sudaryatno Sudirham
Penyediaan energi elektrik pada umumnya dilakukan dengan menggunakan sumber tegangan
berbentuk gelombang sinus. Arus yang mengalir diharapkan juga berbentuk gelombang sinus.
Namun perkembangan teknologi terjadi di sisi beban yang mengarah pada peningkatan efisiensi
peralatan dalam penggunaan energi listrik. Alat-alat seperti air conditioner, refrigerator, microwave
oven, sampai ke mesin cuci dan lampu-lampu hemat energi makin banyak digunakan dan semua
peralatan ini menggunakan daya secara intermittent. Peralatan elektronik, yang pada umumnya
memerlukan catu daya arus searah juga semakin banyak digunakan sehingga diperlukan
penyearahan arus. Pembebanan-pembebanan semacam ini membuat arus beban tidak lagi
berbentuk gelombang sinus.
Bentuk-bentuk gelombang arus ataupun tegangan yang tidak berbentuk sinus, namun tetap
periodik, tersusun dari gelombang-gelombang sinus dengan berbagai frekuensi. Gelombang periodik
nonsinus ini mengandung harmonisa.
Sinyal Nonsinus
Dalam pembahasan harmonisa kita akan menggunakan istilah sinyal nonsinus untuk menyebut
secara umum sinyal periodik seperti sinyal gigi gergaji dan sebagainya, termasuk sinyal sinus
terdistorsi yang terjadi di sistem tenaga.
Dalam “Analisis Rangkaian Listrik Jilid-1” kita telah membahas bagaimana mencari spektrum
amplitudo dan sudut fasa dari bentuk sinyal nonsinus yang mudah dicari persamaannya [2]. Berikut
ini kita akan membahas cara menentukan spektrum amplitudo sinyal nonsinus melalui pendekatan
numerik. Cara ini digunakan jika kita menghadapi sinyal nonsinus yang tidak mudah dicari
persamaannya. Cara pendekatan ini dapat dilakukan dengan bantuan komputer sederhana,
terutama jika sinyal disajikan dalam bentuk kurva hasil dari suatu pengukuran analog. Dalam praktik,
sinyal nonsinus diukur dengan menggunakan alat ukur elektronik yang dapat menunjukkan langsung
spektrum amplitudo dari sinyal nonsinus yang diukur.
Penafsiran Grafis Deret Fourier. Pencarian spektrum amplitudo suatu sinyal periodik y(t)
dilakukan melalui penghitungan koefisien Fourier dengan formula seperti berikut ini.
∫
∫
∫
−
−
−
>ω=
>ω=
=
2/
2/ 00
2/
2/ 00
2/
2/00
0
0
0
0
0
0
0 ; )sin()(2
0 ; )cos()(2
)(1
T
Tn
T
Tn
T
T
ndttntyT
b
ndttntyT
a
dttyT
a
dengan T0 adalah perioda sinyal.
Integral ∫−2/
2/
0
0
)(T
Tdtty adalah luas bidang yang dibatasi oleh kurva y(t) dengan sumbu-t dalam rentang
satu perioda. Jika luas bidang dalam rentang satu perioda ini dikalikan dengan (1/T0), yang berarti
dibagi dengan T0, akan memberikan nilai rata-rata y(t) yaitu nilai komponen searah a0.
Darpublic www.darpublic.com
Sudaryatno Sudirham, “Pembebanan Nonlinier (Analisis di Kawasan Waktu)” 2/21
Integral ∫− ω2/
2/ 00
0
)cos()(T
Tdttnty adalah luas bidang yang dibatasi oleh kurva )cos()( 0tnty ω
dengan sumbu-t dalam rentang satu perioda. Jika luas bidang ini dikalikan dengan (2/T0), yang
berarti dibagi (T0/2), akan diperoleh an. Di sini T0 harus dibagi dua karena dalam satu perioda T0
terdapat dua kali gelombang penuh berfrekuensi nω0.
Integral ∫− ω2/
2/ 00
0
)sin()(T
Tdttnty adalah luas bidang yang dibatasi oleh kurva )sin()( 0tnty ω
dengan sumbu-x dalam rentang satu perioda. Jika luas ini dikalikan dengan (2/T0) akan diperoleh bn.
Seperti halnya penghitungan an, T0 harus dibagi dua karena dalam satu perioda T0 terdapat dua kali
gelombang penuh berfrekuensi nω0.
Dengan penafsiran hitungan integral sebagai luas bidang, maka pencarian koefisien Fourier
dapat didekati dengan perhitungan luas bidang. Hal ini sangat membantu karena perhitungan
analitis hanya dapat dilakukan jika sinyal nonsinus yang hendak dicari komponen-komponennya
diberikan dalam bentuk persamaan yang cukup mudah untuk diintegrasi.
Prosedur Pendekatan Numerik. Pendekatan numerik integral sinyal y(t) dalam rentang p ≤ t ≤
q dilakukan sebagai berikut.
1. Kita bagi rentang p ≤ t ≤ q ke dalam m segmen dengan lebar masing-masing ∆tk; ∆tk bisa
sama untuk semua segmen bisa juga tidak, tergantung dari keperluan. Integral y(t) dalam
rentang p ≤ t ≤ q dihitung sebagai jumlah luas seluruh segmen dalam rentang tersebut.
Setiap segmen dianggap sebagai trapesium; sisi kiri suatu segmen merupakan sisi kanan
segmen di sebelah kirinya, dan sisi kanan suatu segmen menjadi sisi kiri segmen di sebelah
kanannya. Jika sisi kanan segmen (trapesium) adalah Ak maka sisi kirinya adalah Ak-1, maka
luas segmen ke-k adalah
( ) 2/1 kkkk tAAL ∆×+= − (1)
Jadi integral f(t) dalam rentang p ≤ x ≤ q adalah
∑∫=
≈m
kk
q
pLdttf
1
)( (2)
2. Nilai ∆tk dipilih sedemikian rupa sehingga error yang terjadi masih berada dalam batas-batas
toleransi yang kita terima. Jika sinyal diberikan dalam bentuk grafik, untuk mencari
koefisien Fourier dari harmonisa ke-n, satu perioda dibagi menjadi tidak kurang dari 10×n
segmen agar pembacaan cukup teliti dan error yang terjadi tidak lebih dari 5%. Untuk
harmonisa ke-5 misalnya, satu perioda dibagi menjadi 50 segmen. Ketentuan ini tidaklah
mutlak; kita dapat memilih jumlah segmen sedemikian rupa sehingga pembacaan mudah
dilakukan namun cukup teliti.
3. Relasi untuk memperoleh nilai koefisien Fourier menjadi seperti berikut:
[ ]
[ ]
[ ]∑
∑
∑∑
∑∑
=
−−
=
−−
=
−
=∆ω+ω
=
=∆ω+ω
=
=∆+
=
m
k
kbnkkkkn
kanm
k
kkkkn
kam
k
kkk
T
LttnAtnA
Tb
T
LttnAtnA
Ta
T
LtAA
Ta
1 0
1010
0
01
1010
0
0
0
1
1
00
2/2
)sin()sin(2
2/
2
)cos()cos(2
2
1
(3)
Darpublic www.darpublic.com
Sudaryatno Sudirham, “Pembebanan Nonlinier (Analisis di Kawasan Waktu)” 3/21
5. Formula untuk sudut fasa adalah
=ϕ −
n
nn a
b1tan (4)
6. Perlu disadari bahwa angka-angka yang diperoleh pada pendekatan numerik bisa berbeda
dengan nilai yang diperoleh secara analitis. Jika misalkan secara analitis seharusnya
diperoleh a1 = 0 dan b1 = 150, pada pendekatan numerik mungkin diperoleh angka yang
sedikit menyimpang, misalnya a1 = 0,01 dan b1 = 150,2.
7. Amplitudo dari setiap komponen harmonisa adalah 22nnn baA += . Sudut fasa dihitung
dalam satuan radian ataupun derajat dengan mengingat letak kuadran dari vektor
amplitudo seperti telah dibahas pada waktu kita membahas spektrum sinyal. Persamaan
sinyal nonsinus adalah
)cos()(1
022
0 ∑∞
=
ϕ−ω++=
nnnn tnbaaty (5)
Berikut ini kita lihat sinyal periodik yang diberikan dalam bentuk kurva yang tak mudah dicari
persamaannya. Prosedur pendekatan numerik dilakukan dengan membaca kurva yang memerlukan
kecermatan. Hasil pembacaan kita muatkan dalam suatu tabel seperti pada contoh berikut ini.
CONTOH-1:
Carilah komponen searah, fundamental, dan harmonisa ke-3 sinyal periodik y(t) yang dalam
satu perioda berbentuk seperti yang diperlihatkan dalam gambar di atas. Perhatikan bahwa
gambar ini adalah gambar dalam selang satu periode yang berlangsung dalam 0,02 detik, yang
sesuai dengan frekuensi kerja 50 Hz.
Penyelesaian: Perhitungan diawali dengan menetapkan nilai t dengan interval sebesar ∆t =
0,0004 detik, kemudian menentukan Ak untuk setiap segmen. Sisi kiri segmen pertama terjadi
pada t = 0 dan sisi kanannya menjadi sisi kiri segmen ke-dua; dan demikian selanjutnya dengan
segmen-segmen berikutnya. Kita tentukan pula sisi kanan segmen terakhir pada t = T0. Hasil
perhitungan yang diperoleh dimuatkan dalam Tabel-1.1 (hanya ditampilkan sebagian), dimana
sudut fasa dinyatakan dalam satuan radian. Pembulatan sampai 2 angka di belakang koma.
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
0 0,002
0,004
0,006
0,008
0,01
0,012
0,014
0,016
0,018
0,02
y[volt]
t[detik]
Darpublic www.darpublic.com
Sudaryatno Sudirham, “Pembebanan Nonlinier (Analisis di Kawasan Waktu)” 4/21
Tabel-1. Analisis Harmonisa Sinyal Nonsinus pada Contoh-1.
T0 = 0,02 s
∆tk = 0,0004
s
Komp.
searah
Fundamental
f0 = 1/T0 = 50 Hz Harmonisa ke-3
t Ak Lka0 Lka1 Lkb1 Lka3 Lkb3
0 50
0,0004 75 0,025 0,025 0,002 0,024 0,006
0,0008 100 0,035 0,034 0,007 0,029 0,019
0,0012 120 0,044 0,042 0,014 0,025 0,035
: : : : : : :
0,0192 -5 -0,006 -0,006 0,002 -0,003 0,005
0,0196 20 0,003 0,003 0,000 0,003 -0,001
0,02 50 0,014 0,014 -0,001 0,014 -0,001
Jumlah Lk 0,398 0,004 1,501 -0,212 0,211
a0 19,90
a1, b1 0,36 150,05
a3, b3 −21,18 21,13
Ampli-1, ϕ1 150,05 1,57
Ampli-3, ϕ3 29,92 -0,78
Tabel ini memberikan
78,0)18,21/13,21(tan
92,2913,21)18,21( 13,21 ;18,21
57,1)36,0/05,150(tan
05,15005,15036,0 05,150 ;36,0
90,19
13
22333
11
22111
0
−=−=ϕ
=+−=⇒=−=
==ϕ
=+=⇒==
=
−
−
Aba
Aba
a
Sesungguhnya kurva yang diberikan mengandung pula harmonisa ke-dua. Apabila harmonisa
ke-dua dihitung , akan memberikan hasil
43,492 =a dan 36,02 −=b
43,49 2 =Aamplitudo dan 01,02 −=ϕ
Dengan demikian uraian sampai dengan harmonisa ke-3 dari sinyal yang diberikan adalah
)78,06cos(92,29
)01,04cos(43,49)57,12cos(05,15090,19)(
0
00
+π++π+−π+=
tf
tftfty
Elemen Linier Dengan Sinyal Nonsinus
Hubungan tegangan dan arus elemen-elemen linier R, L, C, pada sinyal sinus di kawasan waktu
berlaku pula untuk sinyal periodik nonsinus.
CONTOH-2: Satu kapasitor C mendapatkan tegangan nonsinus
)5,15sin(10)2,03sin(20)5,0sin(100 +ω+−ω++ω= tttv V
(a) Tentukan arus yang mengalir pada kapasitor. (b) Jika C = 30 µF, dan frekuensi f = 50 Hz,
gambarkan (dengan bantuan komputer) kurva tegangan dan arus kapasitor.
Darpublic www.darpublic.com
Sudaryatno Sudirham, “Pembebanan Nonlinier (Analisis di Kawasan Waktu)” 5/21
Penyelesaian:
(a) Hubungan tegangan dan arus kapasitor adalah dt
dvCiC =
Oleh karena itu arus kapasitor adalah
A )07,35sin(50
)37,13sin(60)07,2sin(100
)5,15cos(50
)2,03cos(60)5,0cos(100
)5,15sin(10)2,03sin(20)5,0sin(100
+ωω++ωω++ωω=
+ωω+−ωω++ωω=
+ω+−ω++ω=
tC
tCtC
tC
tCtCdt
tttdCiC
(b) Kurva tegangan dan arus adalah seperti di bawah ini.
Kurva tegangan dan arus pada contoh ini merupakan fungsi-fungsi nonsinus yang simetris
terhadap sumbu mendatar. Nilai rata-rata fungsi periodik demikian ini adalah nol. Pendekatan
numerik memberikan nilai rata-rata
14108,1 −×=rrv V dan 17105 −×=rri A.
Nilai Rata-Rata. Sesuai dengan definisi untuk nilai rata-rata, nilai rata-rata sinyal nonsinus y(t)
dengan perioda T0 adalah
∫=T
rr dttyT
Y00
)(1
(6)
Nilai rata-rata sinyal nonsinus adalah komponen searah dari sinyal tersebut.
Nilai Efektif. Definisi nilai efektif sinyal periodik y(t) dengan perioda T0 adalah
∫=T
rms dttyT
Y0
2
0
)(1
(7)
Dengan demikian maka nilai efektif sinyal sinus y1 = Ym1 sin(ωt + θ) adalah
2)(sin
1 1
0
221
01
mT
mrmsY
dttYT
Y =θ+ω= ∫ (8)
Nilai efektif sinyal nonsinus ∑∞
=θ+ω+=
100 )sin()(
nnmn tnYYty adalah
∫ ∑
θ+ω+=
∞
=
T
nnmnrms dttnYY
TY
0
2
100
0
)sin(1
Jika ruas kiri dan kanan dikuadratkan, kita dapatkan
detik
[V]
vC
iC
-150
-100
-50
0
50
100
150
0 0.005 0.01 0.015 0.02
[A] 5
2,5
0
−5
−2,5
Darpublic www.darpublic.com
Sudaryatno Sudirham, “Pembebanan Nonlinier (Analisis di Kawasan Waktu)” 6/21
∫ ∑
θ+ω+=
∞
=
T
nnmnrms dttnYY
TY
0
2
100
0
2 )sin(1
atau
∫
∑
∑
∑
∫ ∑
+
θ+ωθ+ω+
θ+ωθ+ω+
θ+ω
+
θ+ω+=
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
T
nnmnm
nnmnm
nnmn
T
nnmnrms
dt
tnYtY
tnYtY
tnYY
T
dttnYYT
Y
0
30202
20101
100
0
01
0222
00
2
.................................
)sin()2sin(2
)sin()sin(2
)sin(2
1
)(sin1
(9)
Melalui kesamaan trigonometri
)cos()cos(sinsin2 β+α−−α=βα b
dan karena Y0 bernilai tetap maka suku ke-dua ruas kanan (8) merupakan penjumlahan nilai rata-rata
fungsi sinus yang masing-masing memiliki nilai rata-rata nol, sehingga suku ke-dua ini bernilai nol.
Oleh karena itu (9) dapat kita tulis
∫ ∑
θ+ω+=
∞
=
T
nnnmrms dttnYY
TY
01
0222
02 )(sin
1 (10)
atau
∑
∑ ∫∫∞
=
∞
=
+=
θ+ω+=
1
220
10 0
22
0
20
2
)(sin11
nnrms
n
T
nnm
trms
YY
dttnYT
dtYT
Y
(11)
Persamaan (11) menunjukkan bahwa kuadrat nilai efektif sinyal non sinus sama dengan jumlah
kuadrat komponen searah dan kuadrat semua nilai efektif konponen sinus. Kita perlu mencari
formulasi yang mudah untuk menghitung nilai efektif ini. Kita bisa memandang sinyal nonsinus
sebagai terdiri dari tiga macam komponen yaitu komponen searah (y0), komponen fundamental (y1),
dan komponen harmonisa (yh). Komponen searah adalah nilai rata-rata sinyal, komponen
fundamental adalah komponen dengan frekuensi fundamental ω0, sedangkan komponen harmonisa
merupakan jumlah dari seluruh komponen harmonisa yang memiliki frekuensi nω0 dengan n > 1. Jadi
sinyal nonsinus y dapat dinyatakan sebagai
hyyyy ++= 10
Akan tetapi kita juga dapat memandang sinyal nonsinus sebagai terdiri dari dua komponen
saja, yaitu komponen fundamental dan komponen harmonisa total di mana komponen yang kedua
ini mencakup komponen searah. Alasan untuk berbuat demikian ini adalah bahwa dalam proses
transfer energi, komponen searah dan harmonisa memiliki peran yang sama; hal ini akan kita lihat
kemudian. Dalam pembahasan selanjutnya kita menggunakan cara pandang yang ke-dua ini. Dengan
cara pandang ini suatu sinyal nonsinus dinyatakan sebagai
hyyy += 1 (12)
Darpublic www.darpublic.com
Sudaryatno Sudirham, “Pembebanan Nonlinier (Analisis di Kawasan Waktu)” 7/21
dengan )sin( 1011 θ+ω= tYy m
dan ∑=
θ+ω+=k
nnnmh tnYYy
200 )sin( .
Dengan demikian maka relasi (11) menjadi
221
2hrmsrmsrms YYY += (13)
Dalam praktik, komponen harmonisa yh dihitung tidak melibatkan seluruh komponen
harmonisa melainkan dihitung dalam lebar pita spektrum tertentu. Persamaan sinyal dijumlahkan
sampai pada frekuensi tertinggi yang ditentukan yaitu kω0; sinyal dengan frekuensi di atas batas
frekuensi tertinggi ini dianggap memiliki amplitudo yang sudah cukup kecil untuk diabaikan.
CONTOH-3: Suatu tegangan berbentuk gelombang gigi gergaji memiliki nilai maksimum 20
volt, dengan frekuensi 20 siklus per detik. Hitunglah nilai tegangan efektif dengan: (a) relasi
nilai efektif; (b) uraian harmonisa.
Penyelesaian:
(a) Perioda sinyal 0,05 detik dengan persamaan: ttv 400)( = .
Nilai efektif:
V 55,11 3
1600
05,0
1)400(
05,0
105,0
0
305,0
0
2 ≈
== ∫ tdttVrms
(b) Uraian sinyal ini sampai harmonisa ke-7 adalah diberikan dalam contoh di Bab-3, yaitu
V 7sin909,06sin061,15sin273,1
4sin592,13sin122,22sin183,3sin366,610)(
000
0000
ttt
tttttv
ω−ω−ω−ω−ω−ω−ω−=
Persamaan ini memberikan nilai efektif tegangan fundamental, tegangan harmonisa, dan
tegangan total sebagai berikut.
V 5,42
366,61 ≈=rmsV
V 5,102
10,2
2
166,310
222 ≈++=hrmsV
V 4,1135,1049,4 22221 ≈+=+= hrmsrmsrms VVV
Contoh ini menunjukkan bahwa sinyal gigi gergaji memiliki nilai efektif harmonisa jauh lebih
tinggi dari nilai efektif komponen fundamentalnya.
CONTOH-4: Uraian dari penyearahan setengah gelombang arus sinus A sin 0ti ω= sampai
dengan harmonisa ke-10 adalah:
A )10cos(007.0)8cos(010.0)6cos(018,0
)4cos(042,0 ) 2cos(212,0)57,1cos(5,0318,0)(
000
000
ttt
tttti
ω+ω+ω+ω+ω+−ω+=
Hitung nilai efektif komponen arus fundamental, arus harmonisa, dan arus total.
Penyelesaian:
Nilai efektif arus fundamental, arus harmonisa dan arus total berturut-turut adalah
Darpublic www.darpublic.com
Sudaryatno Sudirham, “Pembebanan Nonlinier (Analisis di Kawasan Waktu)” 8/21
354,02
5,01 ==rmsI A
A 5430, 2
007,0
2
01,0
2
018,0
2
042,0
2
212,0318,0
222222
=
+++++=hrmsI
A 5,0354,0354,0 22221 ≈+=+= hrmsrmsrms III
Contoh ini menunjukkan bahwa pada penyearah setengah gelombang nilai efektif komponen
fundamental sama dengan nilai efektif komponen harmonisanya.
CONTOH-5: Tegangan pada sebuah kapasitor 20 µF terdiri dari dua komponen yaitu
tv ω= sin2001 dan tv ω= 15sin2015 . Jika diketahui frekuensi fundamental adalah 50 Hz,
hitunglah: (a) nilai efektif arus yang diberikan oleh v1; (b) nilai efektif arus yang diberikan oleh
v15; (c) arus efektif total; (d) gambarkan kurva ketiga arus tersebut sebagai fungsi waktu.
Penyelesaian:
a). Komponen tegangan pertama adalah )100sin(2001 tv π= V. Arus yang diberikan oleh
tegangan ini adalah
ttdtdvi π=ππ×××=×= −− 100cos257,1 100cos1002001020/1020 61
61
Nilai efektifnya adalah: A 89,02
257,11 ==rmsI
b). Komponen tegangan ke-dua adalah )1500sin(2015 tv π= V. Arus yang diberikan oleh
tegangan ini adalah
t
tdtdvi
π=ππ×××=×= −−
1500cos885,1
1500sin1500201020/1020 615
615
Nilai efektifnya adalah: A 33,12
885,115 ==rmsI
c). Tegangan gabungan adalah
)1500sin(20)100sin(200 ttv π+π=
Arus yang diberikan tegangan gabungan ini adalah
tt
vvdt
ddtdvi
1500cos885,1100cos257,1
)(1020/1020 15166
+π=
+×=×= −−
Arus ini merupakan jumlah dari dua komponen arus yang berbeda frekuensi. Kurva arus ini
pastilah berbentuk nonsinus. Nilai efektif masing-masing komponen telah dihitung di jawaban
(a) dan (b). Nilai efektif sinyal non sinus ini adalah
A 60,133,189,0 22215
21 =+=+= rmsrmsrms III
d). Kurva ketiga arus tersebut di atas adalah sebagai berikut.
Darpublic www.darpublic.com
Sudaryatno Sudirham, “Pembebanan Nonlinier (Analisis di Kawasan Waktu)” 9/21
CONTOH-6: Arus tti ω+ω= 3sin2,0sin2 A, mengalir pada beban yang terdiri dari resistor 100 Ω
yang tersambung seri dengan induktor 0,5 H. Pada frekuensi 50 Hz: (a) gambarkan kurva
tegangan dan arus beban; (b) tentukan nilai efektif tegangan beban dan arus beban.
Penyelesaian:
(a) Arus beban adalah tti ω+ω= 3sin2,0sin2 . Tegangan beban adalah
V 3cos3,0cos3sin20sin200
ttttdt
diLiRvvv LR
ωω+ωω+ω+ω=
+=+=
Kurva tegangan dan arus beban dibuat dengan sumbu mendatar dalam detik. Karena frekuensi
50 Hz, satu perioda adalah 0,02 detik.
(b). Nilai efektif arus beban adalah
A 42,12
2,0
2
2 2223
21 =+=+= rmsrmsrms III
Tegangan beban adalah
V 3cos3,0cos3sin20sin200 ttttv ωω+ωω+ω+ω=
Nilai efektif tegangan beban, dengan ω=100π, adalah
V 272 2
)3,0(20
2
200 2222
=ω++ω+=rmsV
Daya Pada Sinyal Nonsinus
Pengertian daya nyata dan daya reaktif pada sinyal sinus berlaku pula pada sinyal nonsinus.
Daya nyata memberikan transfer energi netto, sedangkan daya reaktif tidak memberikan transfer
energi netto.
Kita tinjau resistor Rb yang menerima arus berbentuk gelombang nonsinus
hRb iii += 1
-4 -3 -2 -1 0
1
2
3
4
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06detik
A i1 i i15
-600
-400
-200
0
200
400
600
0 0.005 0.01 0.015 0.02
2
4
0
−2
−4
AV
detik
v
i
Darpublic www.darpublic.com
Sudaryatno Sudirham, “Pembebanan Nonlinier (Analisis di Kawasan Waktu)” 10/21
Nilai efektif arus ini adalah 22
12
hrmsrmsRbrms III +=
Daya nyata yang diterima oleh Rb adalah
bhrmsbrmsbRbrmsRb RIRIRIP 221
2 +=×= (14)
Formulasi (14) tetap berlaku sekiranya resistor ini terhubung seri dengan induktansi, karena dalam
bubungan seri demikian itu daya nyata diserap oleh resistor, sementara induktor menyerap daya
reaktif.
CONTOH-7: Seperti pada contoh-1.5, arus tti ω+ω= 3sin2,0sin2 A mengalir pada resistor
100 Ω yang tersambung seri dengan induktor 0,5 H. Jika frekuensi fundamental 50 Hz: (a)
gambarkan dalam satu bidang gambar, kurva daya yang mengalir ke beban sebagai perkalian
tegangan total dan arus beban dan kurva daya yang diserap resistor sebagai perkalian
resistansi dan kuadrat arus resistor; (b) hitung nilai daya rata-rata dari dua kurva daya pada
pertanyaan b; (c) berikan ulasan tentang kedua kurva daya tersebut.
Penyelesaian:
(a) Daya masuk ke beban dihitung sebagai: p = v × i
sedangkan daya nyata yang diserap resistor dihitung sebagai: pR = i2R = vRiR
Kurva dari p dan pR terlihat pada gambar berikut.
(b) Daya rata-rata merupakan daya nyata yang di transfer ke beban. Daya ini adalah daya yang
diterima oleh resistor. Arus efektif yang mengalir ke beban telah dihitung pada contoh-3.5.
yaitu 1,42 A. Daya nyta yang diterima beban adalah
202100)42,1( 22 =×== RIP rmsR W.
Teorema Tellegen mengharuskan daya ini sama dengan daya rata-rata yang diberikan oleh
sumber, yaitu p = vi. Perhitungan dengan pendekatan numerik memberikan nilai rata-rata p
adalah
Prr = 202 W
(c) Kurva pR selalu positif; nilai rata-rata juga positif sebesar 202 W yang berupa daya nyata.
Pada kurva p ada bagian yang negatif yang menunjukkan adanya daya reaktif; nilai rata-rata
kurva p ini sama dengan nilai rata-rata kurva pR yang menunjukkan bagian nyata dari daya
tampak.
CONTOH-8: Tegangan nonsinus pada terminal resistor 20 Ω adalah
)5,15sin(10)2,03sin(20)5,0sin(100 +ω+−ω++ω= tttv V
Tentukan arus efektif yang mengalir dan daya nyata yang diserap resistor.
-400
-200
0
200
400
600
0 0.005 0.01 0.015 0.02
W p = vi pR = i2R = vRiR
detik
Darpublic www.darpublic.com
Sudaryatno Sudirham, “Pembebanan Nonlinier (Analisis di Kawasan Waktu)” 11/21
Penyelesaian:
Arus yang mengalir adalah
)5,15sin(5,0)2,03sin()5,0sin(5 +ω+−ω++ω== tttR
vi A
Nilai efektif masing-masing komponen arus adalah
2
5,0 ;
2
1 ;
2
5531 === rmsrmsrms III
Arus efektif yang mengalir adalah
A 62,32
25,26
2
25,0
2
1
2
25 ==++=rmsI
Daya nyata yang diserap resistor adalah
W5,262202
25,0
2
1
2
252 =×
++== RIP rmsR
CONTOH-9: Tegangan nonsinus ttv ω+ω= 3sin10sin100 V, terjadi pada terminal beban yang
terdiri dari resistor 100 Ω tersambung paralel dengan kapasitor 50 µF. Jika frekuensi
fundamental adalah 50 Hz, (a) Tentukan persamaan arus total beban; (b) hitung daya nyata
yang diserap beban.
Penyelesaian:
(a). Arus total (i) adalah jumlah arus yang melalui resistor (iR) dan kapasitor (iC).
ttR
viR ω+ω== 3sin1,0sin
( )ttdt
dvCiC ωω+ωω×== − 3cos30cos1001050 6
Arus total beban:
tttti ωω+ω+ω+ω= 3cos0015.0cos005,03sin1,0sin
(b). Arus efektif melalui resistor
A 71,02
1,0
2
1 22
=+=RrmsI
Daya nyata yang diserap beban adalah daya yang diserap resistor:
W5010071,0 2 =×=RP
Resonansi
Karena sinyal nonsinus mengandung harmonisa dengan berbagai macam frekuensi, maka ada
kemungkinan salah satu frekuensi harmonisa bertepatan dengan frekuensi resonansi dari rangkaian.
Frekuensi resonansi telah kita bahas di bab sebelumnya. Berikut ini kita akan melihat gejala
resonansi pada rangkaian karena adanya frekuensi harmonisa.
CONTOH-10: Suatu generator 50 Hz dengan induktansi internal 0,025 H mencatu daya melalui
kabel yang memiliki kapasitansi total sebesar 5 µF. Dalam keadaan tak ada beban tersambung
di ujung kabel, tentukan frekuensi harmonisa sumber yang akan memberikan resonansi.
Penyelesaian:
Frekuensi resonansi adalah
Darpublic www.darpublic.com
Sudaryatno Sudirham, “Pembebanan Nonlinier (Analisis di Kawasan Waktu)” 12/21
4,2828105025,0
116
=××
==ω−LCr
Hz 4502
4,2828 =π
=rf
Inilah frekuensi harmonisa ke-9.
CONTOH-11: Sumber tegangan satu fasa 6 kV, 50 Hz, mencatu beban melalui kabel yang
memiliki kapasitansi total 2,03 µF. Dalam keadaan tak ada beban terhubung di ujung kabel,
induktansi total rangkaian ini adalah 0,2 H. Tentukan harmonisa ke berapa dari sumber yang
akan membuat terjadinya resonansi pada keadaan tak ada beban tersebut.
Penyelesaian:
Frekuensi resonansi adalah
rad/det 4,15691003,202,0
116
=××
==ω−LCr
atau Hz 78,2492
4,1569 =π
=rf
Resonansi akan terjadi jika sumber mengandung harmonisa ke-5.
Pembebanan Nonlinier Dilihat Dari Sisi Beban
Rangkaian yang akan kita tinjau terlihat pada Gb. 1. Sebuah sumber tegangan sinus
memberikan arus pada resistor Rb melalui saluran dengan resistansi Rs dan sebuah pengubah arus
p.i., misalnya penyearah; pengubah arus inilah yang menyebabkan arus yang mengalir di Rb
berbentuk gelombang nonsinus.
Menurut teorema Tellegen, transfer daya elektrik hanya bisa terjadi melalui tegangan dan
arus. Namun dalam tinjauan dari sisi beban ini, Rb hanya melihat bahwa ada arus yang diterima
olehnya. Cara bagaimana arus ini sampai ke beban tidaklah penting bagi beban.
hRb iii += 1 (15)
dengan )sin( 1011 θ+ω= tIi m
∑=
θ+ω+=k
nnnmh tnIIi
200 )sin(
Inilah arus yang diterima oleh Rb.
Daya nyata yang diterima oleh Rb adalah
bhrmsbrmsRb RIRIP 221 += (16)
inonsinus
Rb
p.i. vs + −
Gb.1. Pembebanan nonlinier.
Rs
Darpublic www.darpublic.com
Sudaryatno Sudirham, “Pembebanan Nonlinier (Analisis di Kawasan Waktu)” 13/21
Pembebanan Nonlinier Dilihat Dari Sisi Sumber
Tegangan sumber berbentuk gelombang sinus, yaitu tVv ss 0sin ω= . Daya yang diberikan oleh
sumber adalah tegangan sumber kali arus sumber yang besarnya sama dengan arus beban. Jadi daya
keluar dari sumber adalah
θ+ω+ω+θ+ωω=
=
∑=
k
nnnss
sss
tnIItVttIV
titvp
20001001 )sin(sin )sin(sin
)()(
(17)
Suku pertama (17) memberikan daya
)2cos(2
cos2
2
)2cos(cos)sin(sin
101
11
101110011
θ+ω−θ=
θ+ω−θ=θ+ωω=
tIVIV
tIVttIVp
ss
sss (18)
Walaupun suku ke-dua dari persamaan ini mempunyai nilai rata-rata nol akan tetapi suku pertama
mempunyai nilai tertentu. Hal ini berarti ps1 memberikan transfer energi netto.
Suku kedua (17) memberikan daya
[ ]
20
20000
sin)sin(sin
shs
nnnsssh
pp
ttnIVtIVp
+=
ωθ+ω+ω= ∑∞
= (19)
Suku pertama persamaan ini mempunyai nilai rata-rata nol. Suku kedua juga mempunyai nilai rata-
rata nol karena yang berada dalam tanda kurung pada (19) berbentuk fungsi cosinus.
( ) ( ) ∑∞
=
θ+ω−−θ+ω+=2
00 )1(cos)1(cos2n
nnn
s tntnI
Vy
yang memiliki nilai rata-rata nol. Hal ini berarti bahwa psh tidak memberikan transfer energi netto.
Jadi secara umum daya yang diberikan oleh sumber pada pembebanan nonlinier dapat kita
tuliskan sebagai terdiri dari dua komponen, yaitu
shss ppp += 1 (20)
Dari dua komponen daya ini hanya komponen fundamental, ps1, yang memberikan transfer energi
netto. Dengan kata lain hanya ps1 yang memberikan daya nyata, yaitu sebesar
1111
1 coscos2
θ=θ= rmssrmss
s IVIV
P (21)
dengan θ1 adalah beda susut fasa antara vs dan i1. Sementara itu Psh merupakan daya reaktif.
Menurut teorema Tellegen, daya nyata yang diberikan oleh sumber harus tepat sama dengan daya
yang diterima oleh beban. Daya nyata yang diterima oleh Rb adalah PRb , jadi daya nyata yang
diberikan oleh sumber, yaitu Ps1, haruslah diserap oleh Rb dan Rs.
Kasus Penyearah Setengah Gelombang
Sebagai contoh dalam pembahasan pembebanan nonlinier ini, kita akan mengamati penyearah
setengah gelombang. Dengan penyearah ini, sinyal sinus diubah sehingga arus mengalir setiap
setengah perioda. Rangkaian penyearah yang kita tinjau terlihat pada Gb. 2.a.
Darpublic www.darpublic.com
Sudaryatno Sudirham, “Pembebanan Nonlinier (Analisis di Kawasan Waktu)” 14/21
a).
b).
Gb. 2. Penyearah setengah gelombang dengan beban resistif.
Arus penyearah setengah gelombang mempunyai nilai pada setengah perioda pertama (yang
positif); pada setengah perioda ke-dua, ia bernilai nol. Uraian fungsi ini sampai dengan harmonisa
ke-6adalah
V )6cos(018,0 )4cos(042,0
) 2cos(212,0)57,1cos(5,0318,0)(
00
00
ω+ω+ω+−ω+
×=tt
ttIti m (22)
Dalam rangkaian yang kita tinjau ini hanya ada satu sumber yang mencatu daya hanya kepada
satu beban. Pada waktu dioda konduksi, arus sumber selalu sama dengan arus beban, karena
mereka terhubung seri; tegangan beban juga sama dengan tegangan sumber karena dioda dianggap
ideal sedangkan resistor memiliki karakteristik linier dan bilateral. Pada waktu dioda tidak konduksi
arus beban maupun arus sumber sama dengan nol. Gb. 2.b. memperlihatkan bahwa hanya kurva
tegangan sumber yang merupakan fungsi sinus; kurva arus dan daya merupakan fungsi nonsinus.
Pada persamaan (22) arus fundamental dinyatakan dalam fungsi cosinus yaitu
)57,1cos(5,0 01 −ω= tIi m
Fungsi ini tidak lain adalah pergeseran 1,57 rad atau 90o ke arah positif dari fungsi cosinus yang
ekivalen dengan fungsi sinus
)sin(5,0 01 tIi m ω=
Pernyataan i1 dalam fungsi sinus ini sesuai dengan pernyataan bentuk gelombang tegangan yang
juga dalam fungsi sinus. Dengan pernyataan yang bersesuaian ini kita dapat melihat beda fasa antara
keduanya; ternyata dalam kasus penyearah setengah gelombang ini, arus fundamental sefasa
dengan tegangan sumber.
CONTOH-12: Sebuah sumber dengan resistansi dan induktansi internal yang dapat diabaikan
mencatu beban resistif melalui penyearah setengah gelombang. Tegangan sumber adalah
V sin380 0tvs ω= dan resistansi beban Rb adalah 3,8 Ω. Hitung daya nyata yang diterima
oleh beban dan daya nyata yang diberikan oleh sumber.
Penyelesaian:
Tinjauan Di Sisi Beban. Nilai puncak arus adalah 380/3,8 = 100 A. Persamaan arus sampai
harmonisa ke-enam menjadi
A )6cos(8,1 )4cos(2,4
) 2cos(2,21)57,1cos(508,31)(
00
00
ω+ω+ω+−ω+
=tt
ttti
yang memberikan arus-arus efektif pada beban
vs R vR
vs is iR pR
00 90 180 270 360 450 540 630 720
Vs
−Vs
vs
iR
pR pR ωt [o]
Darpublic www.darpublic.com
Sudaryatno Sudirham, “Pembebanan Nonlinier (Analisis di Kawasan Waktu)” 15/21
A; 31,35 2
8,1
2
2,4
2
2,218,31
A; 2
50
2222
1
=+++=
=
bhrms
rmsb
I
I
Daya yang diterima beban adalah
( ) kW 5,9 W94888,3221
2 ≈=×+== bhrmsrmsbbrms IIRIP
Tinjauan Di Sisi Sumber. Tegangan sumber adalah tvs 0sin380 ω= . Komponen arus
fundamental yang diberikan oleh sumber adalah sama dengan arus fundamental beban
ttii Rbs 0011 sin50)57,1cos(50 ω=−ω== A
dengan nilai efektif 2/501 =srmsI A
Tak ada beda fasa antara tegangan sumber dan arus fundamentalnya. Daya dikeluarkan oleh
sumber adalah
kW 5,92
50
2
380rms 1rms 1 =×== sss IVP
Hasil perhitungan dari kedua sisi tinjauan adalah sama. Daya yang diberikan oleh komponen
fundamental sebagai fungsi waktu adalah
( )
( ) ( ) kW 2cos(119 2cos(12
50380
2cos(12
00
01
1
tt
tIV
p ss
ω−=ω−×=
ω−=
Gb.3 memperlihatkan kurva ps1 pada di atas. Kurva ps1 bervariasi sinusoidal namun selalu
positif dengan nilai puncak 19 kW, dan nilai rata-rata (yang merupakan daya nyata) sebesar
setengah dari nilai puncak yaitu 9,5 kW.
Kurva daya yang dikontribusikan oleh komponen searah, ps0 yaitu suku pertama (19), dan
komponen harmonisa psh2 yaitu suku ke-dua persamaan (19), juga diperlihatkan dalam Gb.3.
Kurva kedua komponen daya ini simetris terhadap sumbu waktu yang berarti memiliki nilai
rata-rata nol. Dengan kata lain komponen searah dan komponen harmonisa tidak memberikan
daya nyata.
Gb.3. Kurva komponen daya yang diberikan sumber.
Konfirmasi logis kita peroleh sebagai berikut. Seandainya tidak ada penyearah antara sumber
dan beban, arus pada resistor akan mengalir sefasa dan sebentuk dengan gelombang tegangan
sumber. Daya yang di keluarkan oleh sumber dalam keadaan ini adalah
t [det]
W ps0
ps1
psh2
-15000
-10000
-5000 0
5000
10000
15000 20000
0 0.005 0.01 0.015 0.02
Darpublic www.darpublic.com
Sudaryatno Sudirham, “Pembebanan Nonlinier (Analisis di Kawasan Waktu)” 16/21
kW )2cos1(382
0cos2cos38000
sin38000sin
00
02
02
tt
ttIVp sss
ω+=+ω
=
ω=ω=
Dalam hal penyearahan setengah gelombang, arus hanya mengalir setiap setengah perioda.
Oleh karena itu daya yang diberikan oleh sumber menjadi setengahnya, sehingga
kW )2cos1(19 0tp gelsetengah ω+= , dan inilah ps1.
CONTOH-13: Sebuah sumber dengan resistansi dan induktansi internal yang diabaikan,
mencatu beban resistif melalui kabel dengan resistansi 0,2 Ω dan penyearah setengah
gelombang. Tegangan sumber adalah V sin380 0tvs ω= dan resistansi beban R adalah 3,8 Ω.
Hitung daya yang diterima oleh beban.
Penyelesaian:
Rangkaian sistem ini adalah seperti berikut
Tinjauan Di Sisi Beban. Nilai puncak arus adalah
A 952,08,3
380 =+
=mI
Persamaan arus sampai harmonisa ke-6 menjadi
A )6cos(71,1)4cos(09,4
)2cos(14,20)57,1cos(5,4721,30
)6cos(018,0 )4cos(042,0
) 2cos(212,0)57,1cos(5,0318,095)(
00
00
00
00
tt
tt
tt
ttti
ω+ω+ω+−ω+=
ω+ω+ω+−ω+
×=
Nilai efektif arus fundamental dan arus harmonisa total adalah
A 54,332
71,1
2
09,4
2
14,2021,30
A; 33,592
5.47
2222
1
=+++=
==
hrms
rms
I
I
Daya yang diterima Rb adalah
W85638,3)54,3359,33( 222 =×+== brmsRb RIP
Tinjauan Di Sisi Sumber. Tegangan sumber dan arus fundamental sumber adalah
V sin380 0tvs ω=
A sin5,47)57,1cos(5,47 001 ttii Rbs ω=−ω==
Tidak ada beda fasa antara vs dan is1. Daya nyata yang diberikan oleh sumber adalah
W90252
5,47
2
3800cos o
1 =×== rmssrmss ivP
vs=380sinω0t Rb=3,8Ω Rs=0,2Ω
Darpublic www.darpublic.com
Sudaryatno Sudirham, “Pembebanan Nonlinier (Analisis di Kawasan Waktu)” 17/21
Daya ini diserap oleh beban dan saluran. Daya yang diserap saluran adalah
W7,450 )55,336,33(02,0
)(02,002,022
221
2
=+×=
+×=×= hrmsrmssrmssaluran iiiP
Perbedaan angka perhitungan PRb dengan (Ps – Psaluran) adalah sekitar 0,2%.
Perambatan Harmonisa
Dalam sistem tenaga, beban pada umumnya bukanlah beban tunggal, melainkan beberapa
beban terparalel. Sebagian beban merupakan beban linier dan sebagian yang lain merupakan beban
nonlinier. Dalam keadaan demikian ini, komponen harmonisa tidak hanya hadir di beban nonlinier
saja melainkan terasa juga di beban linier; gejala ini kita sebut perambatan harmonisa. Berikut ini
akan kita lihat gejala tersebut pada suatu rangkaian yang mendekati situasi nyata. Gb.4.
memperlihatkan rangkaian yang dimaksud.
Gb.4. Sumber mencatu beban paralel linier dan nonlinier.
Tegangan sumber berbentuk sinusoidal murni tVv sms 0sin ω= . Sumber ini mencatu beban
melalui saluran yang memiliki resistansi Rs. Beban yang terhubung di terminal A-B (terminal
bersama), terdiri dari beban linier Ra dengan arus ia dan beban Rb yang dialiri arus nonlinier ib = ib1 +
ibh dengan ib1 adalah komponen fundamental dari ib dan ibh adalah komponen harmonisa total dari ib.
Pada rangkaian sederhana ini, di sisi beban kita lihat bahwa aplikasi Hukum Arus Kirchhoff di simpul
A, yaitu simpul bersama dari kedua beban, memberikan
0)(//)( 1 =+++− bhbaAssA iiRvRvv
dan dari sini kita peroleh
)( 1 bhbas
ass
as
aA ii
RR
RRv
RR
Rv +
+−
+= (23)
Jadi sebagai akibat pembebanan nonlinier di suatu beban menyebabkan tegangan di terminal-
bersama juga mengandung harmonisa. Akibat selanjutnya adalah bahwa arus di beban lain yang
terhubung ke terminal-bersama ini juga mengandung harmonisa.
)( 1 bhbas
s
as
s
a
Aa ii
RR
R
RR
v
R
vi +
+−
+== (24)
Sementara itu di sisi sumber, dengan tegangan sumber berbentuk sinus tVv sms 0sin ω= , keluar arus
yang mengandung harmonisa yaitu
)(
)()(
1
11
bhbas
a
as
s
bhbbhbas
s
as
s
bas
iiRR
R
RR
v
iiiiRR
R
RR
v
iii
+
++
+=
++++
−+
=
+=
(25)
vs Rb Ra
ia ib=ib1+ibh
is
Rs
A
B
Darpublic www.darpublic.com
Sudaryatno Sudirham, “Pembebanan Nonlinier (Analisis di Kawasan Waktu)” 18/21
Adanya komponen harmonisa pada arus sumber dan beban yang seharusnya merupakan
beban linier dapat menyebabkan penambahan penyerapan daya pada saluran. Hal ini akan kita
bahas kemudian.
CONTOH-14: Sebuah sumber tegangan 50 Hz, V sin240 0tv ω= memiliki resistansi dan
induktansi internal yang diabaikan. Sumber ini mencatu beban resistif Ra = 5 Ω melalui saluran
yang memiliki resistansi 1Ω. Sebuah beban resistif lain yaitu Rb = 5 Ω dengan penyearah
setengah gelombang dihubungkan paralel dengan Ra. Hitunglah: (a) daya nyata yang diserap Ra
sebelum Rb dan penyearah dihubungkan; (b) daya nyata yang diserap Rb sesudah Rb dan
penyearah dihubungkan; (c) daya nyata yang diserap Ra sesudah Rb dan penyearah
dihubungkan; (d) daya nyata yang diserap saluran Rs; (e) daya nyata yang diberikan sumber; (f)
bandingkan daya nyata yang diberikan oleh sumber dan daya nyata yang diserap oleh bagian
rangkaian yang lain.
Penyelesaian:
(a) Sebelum Rb dan penyearah dihubungkan, rangkaian adalah seperti di bawah ini.
Arus efektif yang mengalir dari sumber, daya nyata yang diserap Ra dan Rs , serta daya nyata
yang diberikan sumber adalah
A 28,28)15/()2/240( =+=RarmsI
W4000528,28 2 =×=RaP ; W800128,28 2 =×=RsP
RsRas PPP +==×= W 48002/24028,28
(b) Setelah Rb dan penyearah dihubungkan, rangkaian menjadi
Untuk menghitung iRb kita buat rangkaian ekivalen Thévenin terlebih dulu di terminal A-B.
V sin200sin24051
500 ttvsTh ω=ω×
+= ; Ω=
+×= 833,0
51
51sThR
Setelah Rb dihubungkan pada rangkaian ekivalen Thévenin, rangkaian menjadi
Nilai maksimum arus iRb adalah
A 29,345833,0
200 =+
=RbmI
Arus yang melalui Rb menjadi
is
Rs=1Ω
A
B
Ra = 5Ω vs= 240sinω0t
vs Rb Ra
ia iRb= iRb1+iRbh
is
Rs
A
B
isTh
0,833Ω
A
B
5Ω vsTh = 200sinω0t
ib=ib1+ibh
Darpublic www.darpublic.com
Sudaryatno Sudirham, “Pembebanan Nonlinier (Analisis di Kawasan Waktu)” 19/21
)6cos(62,0)4cos(47,1
)2cos(27,7)57,1cos(14,179,10
)6cos(018,0)4cos(042,0
)2cos(212,0)57,1cos(5,0318,029,34
00
00
00
00
tt
tt
tt
ttiRb
ω+ω+ω+−ω+=
ω+ω+ω+−ω+
×=
Dari sini kita peroleh
A 1.122/62,02/47,12/27,79,10
A 12,122
14,17
2222
1
=+++=
==
Rbhrms
rmsRb
I
I
Daya yang diserap Rb adalah
W14705)1.1212,12( 22 ≈×+=RbP
(c) Untuk menghitung daya yang diserap Ra setelah Rb dihubungkan, kita kembali pada
rangkaian semula. Hukum Arus Kischhoff untuk simpul A memberikan
Rbs
s
asARb
a
A
s
sA iR
v
RRvi
R
v
R
vv−=
+⇒=++
− 110
( )
AhAbh
bh
bhbas
ass
as
aA
vvit
itt
iiRR
RRv
RR
Rv
−=−ω=
+ω××−ω×=
++
−+
=
10
00
1
V 6
5sin71,185
sin14,176
15sin240
6
5
)(
V 32,1312
71,1851 ==⇒ rmsAV
)6cos(51,0)4cos(23,1)2cos(06,609,9
)6cos(62,0)4cos(47,1
)2cos(27,79,10
6
5
6
5
000
00
0
ttt
tt
tiv bhAh
ω+ω+ω+=
ω+ω+ω+
×=×=
V 09,102
51,0
2
23.1
2
06,609,9
2222 =+++=⇒ AhrmsV
Daya yang diserap Ra adalah
W34695
09,10
5
32,131 22221 =+=+=
a
Ahrms
a
rmsARa R
V
R
VP
(d) Tegangan jatuh di saluran adalah
V sin29,54sin71,185sin240 000
11
ttt
vvv Ass
ω=ω−ω=−=∆
→ V 39,382
29,541 ==∆ rmssV
→ V 09,10==∆ Ahrmsshrms VV
Darpublic www.darpublic.com
Sudaryatno Sudirham, “Pembebanan Nonlinier (Analisis di Kawasan Waktu)” 20/21
Daya yang diserap saluran adalah
W1575 1
09,10
1
39,38 22221 =+=
∆+
∆=
s
shrms
s
rmssRs R
V
R
VP
(e) Tegangan sumber adalah
V sin240 0tv ω=
Arus fundamental sumber adalah
A sin29,54 01
1 tR
vi
s
ss ω=
∆=
Daya nyata yang diberikan sumber
W65152
29,54
2
24011 =×==
RIVp rmsssrmss
(f) Bagian lain rangkaian yang menyerap daya nyata adalah Rs, Ra, dan Rb. Daya nyata yang
diserap adalah
W6512146834691575 =++=++= RbRaRsRtotal PPPP
Hasil ini menunjukkan bahwa daya nyata yang diberikan sumber sama dengan daya nyata yang
diserap oleh bagian lain dari rangkaian (perbedaan angka adalah karena pembulatan-
pembulatan).
Ukuran Distorsi Harmonisa
Hadirnya harmonisa dalam sistem, menimbulkan dampak negatif. Oleh karena itu
kehadirannya perlu dibatasi. Untuk melakukan pembatasan diperlukan ukuran-ukuran kehadiran
armonisa.
Crest Factor. Crest factor didefinisikan sebagai
efektif nilai
puncak nilai =factorcrest
Total Harmonic Distortion (THD). THD digunakan sebagai ukuran untuk melihat berapa besar
pengaruh keseluruhan adanya harmonisa terhadap sinyal sinus. Pengaruh keseluruhan harmonisa
diperbandingkan terhadap komponen fundamental, karena komponen fundamental-lah yang
memberikan transfer energi nyata.
Untuk tegangan nonsinus, THD didefinisikan sebagai
rms
hrmsV V
VTHD
1
= (26)
Untuk arus nonsinus, THD didefinisikan sebagai
rms
hrmsI I
ITHD
1
= (27)
Darpublic www.darpublic.com
Sudaryatno Sudirham, “Pembebanan Nonlinier (Analisis di Kawasan Waktu)” 21/21
CONTOH-15: Arus penyearahan setengah gelombang dengan nilai puncak arus 100 A, memiliki
sampai harmonisa ke-enam sebagi
A )6cos(8,1 )4cos(2,4
) 2cos(2,21)57,1cos(508,31)(
00
00
ω+ω+ω+−ω+
=tt
ttti
Hitunglah crest factor dan THDI.
Penyelesaian: Telah dihitung nilai efektif arus dalam contoh soal tersebut
A 31,35 2
8,1
2
2,4
2
2,218,31
A; 2
50
2222
1
=+++=
=
bhrms
rmsb
I
I
Nilai efektif arus adalah
A 7,4931,352/50 22 =+=rmsI
Crest factor adalah: 22,49
100.. ==fc ;
THDI adalah: 12/50
31,35
1
≈==rms
hrmsI I
ITHD atau 100%
Crest factor dan THD hanyalah tergantung bentuk dan tidak tergantung dari nilai mutlak arus. Angka
yang sama akan kita peroleh jika nilai puncak arus hanya 1 ampere. Hal ini dapat dimengerti karena
persamaan arus secara umum adalah
ϕ−ω+= ∑
=
maksn
nnnm tnAAIti
100 )cos()(
sehingga dalam perhitungan Irms, I1rms, dan Ihrms faktor Im akan terhilangkan.
Daftar Pustaka
1. Sudaryatno Sudirham, “Analisis Rangkaian Listrik”, Penerbit ITB, Bandung, 2002.
2. Sudaryatno Sudirham, “Analisis Rangkaian Listrik Jilid-1”, Darpublic, Bandung, 2010.
3. Sudaryatno Sudirham, “Analisis Rangkaian Listrik Jilid-2”, Darpublic, Bandung, 2010.
4. Sudaryatno Sudirham, “Analisis Harmonisa Dalam Permasalahan Kualitas Daya”,
Catatan Kuliah El 6004, ITB, Bandung, 2008.
5. Vincent Del Toro : “Electric Power System”, Prentice-Hall International, Inc., 1992.
6. Charles A. Gross : “Power System Analysis”, John Willey & Son, 1986.
7. Turan Gönen: ”Electric Power Transmission System Engineering”, John Willey & Son,
1988.