pemodelan data deret waktu stasioner - stat.ipb.ac.id series/kuliah 11 - pemodelan... · pemodelan...
TRANSCRIPT
Proses Linear Umum
Keterangan:𝑌𝑡 = pengamatan deret waktu𝑒𝑡= white noise
𝑌𝑡 merupakan kombinasi linear terboboti dari white noise padaperiode ke-𝑡 dan periode-periodesebelumnya.
white noise series : a sequence of identically distributed, zero-mean, independent random variables
2
Proses Linear Umum
deret tak hingga
Asumsi 𝑖=1∞ 𝜓𝑖
2 < ∞
3
Proses Linear Umum
deret tak hingga
Asumsi 𝑖=1∞ 𝜓𝑖
2 < ∞
Koefisien bagi 𝑒𝑡 adalah 1, sehingga𝜓0 = 1
4
Proses Linear Umum
𝝍′s nilainya turun secara eksponensial
𝜓𝑗 = 𝜙𝑗, dimana−1 < 𝜙 < 1
5
Proses Linear Umum
𝑌𝑡 memiliki nilai tengah nol dan ragam konstan
6
Problem (1)
Tentukan 𝑐𝑜𝑣 𝑌𝑡 , 𝑌𝑡−1 dan
𝑐𝑜𝑟𝑟 𝑌𝑡 , 𝑌𝑡−1 .
7
Proses Linear Umum
8
Model DeretWaktuStasioner
• Syarat kestasioneran
• Model Stasioner
• Autoregressive : AR(p)
• Moving Average: MA(q)
• ARMA(p,q)
9
Proses RataanBergerak
Moving Average
MA(q)
• menerapkan bobot 1,−𝜃1, −𝜃2, … , −𝜃𝑞 pada peubah
𝑒𝑡, 𝑒𝑡−1, 𝑒𝑡−2, … , 𝑒𝑡−𝑞 untuk memperoleh 𝑌𝑡
• menggeser bobot tsb sehingga diterapkan pada peubah𝑒𝑡+1, 𝑒𝑡, 𝑒𝑡−1, … , 𝑒𝑡−𝑞+1 untuk memperoleh 𝑌𝑡+1
10
Proses RataanBergerakOrdo KesatuMA(1)
Model: 𝑌𝑡 = 𝑒𝑡 − 𝜃𝑒𝑡−1
11
Proses RataanBergerakOrdo KesatuMA(1)
Model: 𝑌𝑡 = 𝑒𝑡 − 𝜃𝑒𝑡−1
dapat diringkas sbb:
𝜌𝑘 =𝛾𝑘𝛾0
12
Problem (2)Tentukan fungsi autokorelasi bagi
model MA(1) jika 𝜃∗ =1
𝜃.
13
Proses RataanBergerakOrdo KesatuMA(1)
Contoh: Proses MA(1) dengan 𝜃 = −0.9
Plot 𝑌𝑡 Vs 𝑌𝑡−1 Plot 𝑌𝑡 Vs 𝑌𝑡−2
Terdapat korelasi positif pada lag 1 14
Proses RataanBergerakOrdo KeduaMA(2)
Model: 𝑌𝑡 = 𝑒𝑡 − 𝜃1𝑒𝑡−1 − 𝜃2𝑒𝑡−2
15
Proses RataanBergerakOrdo KeduaMA(2)
Model: 𝑌𝑡 = 𝑒𝑡 − 𝜃1𝑒𝑡−1 − 𝜃2𝑒𝑡−2
16
17
Proses Regresi Diri
Autoregressive
AR(p)
𝑌𝑡 = 𝜙1𝑌𝑡−1 + 𝜙2𝑌𝑡−2 +⋯+ 𝜙𝑝𝑌𝑡−𝑝 + 𝑒𝑡
Nilai 𝑌𝑡 pada periode saat ini (t) adalah kombinasilinear dari p nilai periode sebelumnya ditambahkomponen 𝑒𝑡 .
Asumsi: 𝑒𝑡 saling bebas thdp 𝑌𝑡−1, 𝑌𝑡−2, … , 𝑌𝑡−𝑝
18
Proses Regresi DiriOrdo KesatuAR(1)
Model: 𝑌𝑡 = 𝜙𝑌𝑡−1 + 𝑒𝑡
𝑉𝑎𝑟 𝑌𝑡 = 𝑉𝑎𝑟 𝜙𝑌𝑡−1 + 𝑒𝑡
𝑉𝑎𝑟 𝑌𝑡 = 𝜙2𝑉𝑎𝑟 𝑌𝑡−1 + 𝑉𝑎𝑟 𝑒𝑡
𝛾0 = 𝜙2𝛾0 + 𝜎𝑒
2
𝛾0 =𝜎𝑒2
1−𝜙2
dengan 𝜙2 < 1 atau 𝜙 < 1
19
Proses Regresi DiriOrdo KesatuAR(1)
Model: 𝑌𝑡 = 𝜙𝑌𝑡−1 + 𝑒𝑡
untuk 𝑘 = 1,2,…
untuk 𝑘 = 1, 𝛾1 = 𝜙𝛾0 =𝜙𝜎𝑒
2
1−𝜙2
untuk 𝑘 = 2, 𝛾2 = 𝜙𝛾1 =𝜙2𝜎𝑒
2
1−𝜙2
𝑐𝑜𝑣 𝑌𝑡−𝑘, 𝑌𝑡 = 𝑐𝑜𝑣 𝑌𝑡−𝑘 , 𝜙𝑌𝑡−1 + 𝑒𝑡
𝑐𝑜𝑣 𝑌𝑡−𝑘, 𝑌𝑡 = 𝜙𝑐𝑜𝑣 𝑌𝑡−𝑘 , 𝑌𝑡−1 + 𝑐𝑜𝑣 𝑌𝑡−𝑘 , 𝑒𝑡
𝛾𝑘 = 𝜙𝛾𝑘−1 + 𝑐𝑜𝑣 𝑌𝑡−𝑘 , 𝑒𝑡
20
Proses Regresi DiriOrdo KesatuAR(1)
Model: 𝑌𝑡 = 𝜙𝑌𝑡−1 + 𝑒𝑡
untuk 𝑘 = 1, 𝛾1 =𝜙𝜎𝑒
2
1−𝜙2
untuk 𝑘 = 2, 𝛾2 =𝜙2𝜎𝑒
2
1−𝜙2
𝛾𝑘 =𝜙𝑘𝜎𝑒
2
1 − 𝜙2
21
Proses Regresi DiriOrdo KesatuAR(1)
Ilustrasi plot korelasi diri pada model-model AR(1)
22
Kestasioneranpada ProsesAR(1)
Asumsi yang digunakan:
• 𝑒𝑡 saling bebas terhadap 𝑌𝑡−1, 𝑌𝑡−2, 𝑌𝑡−3…
• 𝜎𝑒2 > 0
Stationarity condition pada AR(1) ↔ 𝜙 < 1
23
Kestasioneranpada ProsesAR(1)
Yt Vs Yt-1 Yt Vs Yt-2Yt Vs Yt-3
24
Proses Regresi DiriOrdo KeduaAR(2)
Model: 𝑌𝑡 = 𝜙1𝑌𝑡−1 + 𝜙2𝑌𝑡−2 + 𝑒𝑡
Stationarity condition pada AR(2):
• 𝜙1 + 𝜙2 < 1
• 𝜙2 − 𝜙1 < 1
• 𝜙2 < 1
Asumsi :
• 𝑒𝑡 saling bebas thdp 𝑌𝑡−1, 𝑌𝑡−2, 𝑌𝑡−3…
• 𝜎𝑒2 > 0
25
Proses Regresi DiriOrdo KeduaAR(2)
Model: 𝑌𝑡 = 𝜙1𝑌𝑡−1 + 𝜙2𝑌𝑡−2 + 𝑒𝑡
𝑐𝑜𝑣(𝑌𝑡−𝑘 , 𝑌𝑡) = 𝑐𝑜𝑣 𝑌𝑡−𝑘 , 𝜙1𝑌𝑡−1 + cov 𝑌𝑡−𝑘 , 𝜙2𝑌𝑡−2 + 𝑐𝑜𝑣 𝑌𝑡−𝑘 , 𝑒𝑡
𝛾𝑘 = 𝜙1𝛾𝑘−1 + 𝜙2𝛾𝑘−2
𝜌𝑘 = 𝜙1𝜌𝑘−1 + 𝜙2𝜌𝑘−2
dibagi 𝛾0
26
Proses Regresi DiriOrdo KeduaAR(2)
Model: 𝑌𝑡 = 𝜙1𝑌𝑡−1 + 𝜙2𝑌𝑡−2 + 𝑒𝑡
𝜌𝑘 = 𝜙1𝜌𝑘−1 + 𝜙2𝜌𝑘−2
𝑘=1?
𝑘=2?
27
Proses Regresi DiriOrdo KeduaAR(2)
Model: 𝑌𝑡 = 𝜙1𝑌𝑡−1 + 𝜙2𝑌𝑡−2 + 𝑒𝑡
𝜌𝑘 = 𝜙1𝜌𝑘−1 + 𝜙2𝜌𝑘−2
𝑘=1
𝜌1 = 𝜙1𝜌0 + 𝜙2𝜌−1 , dengan 𝜌0 = 1 dan 𝜌−1 = 𝜌1
𝜌1 = 𝜙1 + 𝜙2𝜌1
𝜌1 =𝜙1
1 − 𝜙2
28
Proses Regresi DiriOrdo KeduaAR(2)
Model: 𝑌𝑡 = 𝜙1𝑌𝑡−1 + 𝜙2𝑌𝑡−2 + 𝑒𝑡
𝜌𝑘 = 𝜙1𝜌𝑘−1 + 𝜙2𝜌𝑘−2
𝑘=2
𝜌2 = 𝜙1𝜌1 + 𝜙2𝜌0 , dengan 𝜌0 = 1 dan 𝜌1 =𝜙1
1−𝜙2
𝜌2 = 𝜙1𝜙1
1 − 𝜙2+ 𝜙2
𝜌2 =𝜙2 1 − 𝜙2 +𝜙1
2
1 − 𝜙229
Proses Regresi DiriOrdo KeduaAR(2)
Ilustrasi plot korelasi diri pada model-model AR(2)
30
Model CampuranARMA(p,q)
𝑌𝑡 = 𝜙1𝑌𝑡−1 + 𝜙2𝑌𝑡−2 +⋯+ 𝜙𝑝𝑌𝑡−𝑝 + 𝑒𝑡
Model AR(p)
Model MA(q)
𝑌𝑡 = 𝑒𝑡 − 𝜃1𝑒𝑡−1 − 𝜃2𝑒𝑡−2 −⋯− 𝜃𝑞𝑒𝑡−𝑞
Model Campuran ??
31
Model CampuranARMA(p,q)
𝑌𝑡 = 𝜙1𝑌𝑡−1 + 𝜙2𝑌𝑡−2 +⋯+ 𝜙𝑝𝑌𝑡−𝑝 + 𝑒𝑡
Model AR(p)
Model MA(q)
𝑌𝑡 = 𝑒𝑡 − 𝜃1𝑒𝑡−1 − 𝜃2𝑒𝑡−2 −⋯− 𝜃𝑞𝑒𝑡−𝑞
𝑌𝑡 = 𝜙1𝑌𝑡−1 +⋯+ 𝜙𝑝𝑌𝑡−𝑝 + 𝑒𝑡 − 𝜃1𝑒𝑡−1 −⋯− 𝜃𝑞𝑒𝑡−𝑞
Model ARMA(p,q)
32
Model CampuranARMA(1,1)
Model: 𝑌𝑡 = 𝜙𝑌𝑡−1 + 𝑒𝑡 − 𝜃𝑒𝑡−1
𝑐𝑜𝑣 𝑒𝑡, 𝑌𝑡 = 𝑐𝑜𝑣(𝑒𝑡,𝜙𝑌𝑡−1 + 𝑒𝑡 − 𝜃𝑒𝑡−1)= 𝜎𝑒2
Perhitungan peragam:
𝑐𝑜𝑣 𝑒𝑡, 𝑌𝑡−1 = 𝑐𝑜𝑣(𝑒𝑡,𝜙𝑌𝑡−2 + 𝑒𝑡 − 𝜃𝑒𝑡−1)= 𝜙𝜎𝑒
2 − 𝜃𝜎𝑒2
= 𝜙 − 𝜃 𝜎𝑒2
33
Model CampuranARMA(1,1)
Model: 𝑌𝑡 = 𝜙𝑌𝑡−1 + 𝑒𝑡 − 𝜃𝑒𝑡−1
Fungsi autokorelasi:
34
Problem (3)
Buktikan bahwa fungsi autokorelasi bagiARMA (1,1) adalah :
35
InvertabilitasCan a moving average model
be reexpressed as an autoregression?
36
Inve
rtab
ilita
s
37
Referensi
1. Cryer, J.D. and Chan, K.S. 2008. Time Series Analysis with Application in R. Springer.
2. Pustaka lain yang relevan.
38