pemodelan matematika tipe seir pada...
TRANSCRIPT
PEMODELAN MATEMATIKA TIPE SEIR PADA POPULASI PEROKOK
S K R I P S I
Untuk memenuhi sebagian persyaratan
Mencapai derajat sarjana (S-1)
HANISAR
F1A1 12 122
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS HALU OLEO
KENDARI
2016
iii
KATA PENGANTAR
Alhamdulillah Alhamdulillah Alhamdulillah, saya ingin mengucapkan
terima kasih saya terdalam kepada Allah atas Rahmat-Nya, berkat,dan bimbingan,
sehingga peneliti akhirnya dapat mencapai hasil dalam menyelesaikan skripsi ini
dengan judul “PEMODELAN MATEMATIKA TIPE SEIR PADA POPULASI
PEROKOK”
Penghargaan terdalam saya dan syukur ditujukan kepada orang tua saya
tercinta, Bahring dan Hanisah serta kedua orang tua angkat saya. Saya tidak punya
kata-kata untuk mengungkapkan perasaan terdalam saya. Terima kasih untuk
semuanya, terima kasih untuk doa yang selalu dihanturkan kepada saya, terima
kasih atas dukungan mental dan financial. Terima kasih untuk semua yang telah
diberikan kepada saya.
Selain itu, ucapan terima kasih kepada atasan peneliti, Drs. Asrul Sani,
M.Sc, Ph.D selaku pembimbing I dan Dr. Mukshar, S.Si., M.Si. selaku
pembimbing II yang telah memberikan waktu dalam memberikan ide-ide, nasihat,
dan perhatian besar untuk mencapai hasil ini. Peneliti menyadari bahwa skripsi ini
tidak dapat diselesaikan dengan sukses tanpa bimbingan mereka.
Suatu hal yang tidak terlupakan atas dorongan dan bimbingannya, serta
arahan dan bantuan kepada penulis, maka patutlah kiranya penulis menyampaikan
ucapan terima kasih dan penghargaan kepada semua pihak khususnya:
iv
1. Rektor Universitas Halu Oleo Kendari, Bapak Prof. Dr. Ir. H. Usman Rianse,
M.S.
2. Dekan F-MIPA Universitas Halu Oleo, Bapak Dr. Muh. Zamrun F., S.Si.,
M.Si.
3. Ketua Jurusan Matematika dan sekretaris jurusan F-MIPA Universitas Halu
Oleo, Bapak La Gubu, S.Si., M.Si., dan Bapak Rasas Raya, S.Si., M.Si.
4. Kepala Laboratorium Matematika F-MIPA Universitas Halu Oleo, Ibu Norma
Muchtar, S.Si., M.Si.
5. Kepala Perpustakaan F-MIPA Universitas Halu Oleo, Ibu Dra. Hj. Indrawati,
M.Si.
6. Norma Muchtar, S.Si., M.Si. selaku penasehat akademik yang telah
memberikan pengarahan dan bimbingan dalam memprogramkan mata kuliah.
7. La Gubu, S.Si., M.Si., Dr. La Ode Saidi, M.Kom., dan Rasas Raya., S.Si.,
M.Si. selaku dewan penguji.
8. Bapak dan Ibu Dosen Jurusan Matematika serta seluruh staf lingkungan F-
MIPA UHO, yang telah banyak memberikan bantuan, bimbingan dan
pengarahan selama studi hingga penyelesaian skripsi ini.
9. Keluarga besarku: Mama Tua, paman-paman, tante-tante, kakak Tyas, S.Kep,
Ners., Nining, S.Kep, Ners, Sitti Sarah, S.Si, Rina, S.IK, Ratna Munawar, S.Si,
Mamat, Ita, Antarufin, Sartina Yati yang selalu memberi doa dan motivasi.
10. Saudara-saudara indahku: Ikbal, Watati, Rufihana dan Rahmad Senah.
11. Teman terdekatku yang selalu menemani dalam perjuangan susah senang
maupun duka, serta motivasi dan dukungan yang diberikan.
v
12. Teman yang selalu ada dan paling sabar dalam membantu penyelesaian skripsi
ini : Aini Isman La Ode Muhammad Riswan, Ilah Fitria, kadek Ayu Puspita
Sari, Muliawati, Rifky Adrian, Rajab, jio, Gede , dan Astriana.
13. ChinguQ yang selalu ada selama studi hingga penyelesaian skripsi ini: Ekha
Fitriah Maladewi, S.Mat, Ekawati Sulistia Ningsih, Wiwin Narni, Desi Astuty,
S.Mat, Herdiana, S.Mat, dan Hesti Yuspita yang tiada henti memberi semangat,
bantuan dan doa kepada penulis.
14. Rekan seperjuangan Matematika Angkatan 2012: Yani, Bertin, Obil, Pantri
Elastic, S.Mat, Astri, Treni, S.Mat, Jendri, Igo, Fuad, Hajar, Suri, Yuli, Astin,
Ratni, Mega, Novita, S.Mat, Ummi, Asni, Umi, Mergar, Ima, Nella, S.Mat,
Syem Abdullah, S.Mat, Rahmadin, S,mat, Rianto, S.Mat, Sarfia, S.Mat,
Sarwiati, S.Mat dan seluruh mahasiswa seangkatan 012 yang telah memberikan
semangat kebersamaan yang tidak terlupakan selama menyelesaikan studi.
15. Barisan senior-senior: Arfan, S.Mat, Rahmat, S.Mat, Kartini, S.Mat, Mega,
S.Mat, Ahsan, S.Mat dan barisan junior-junior Matematika: Tessa, Mail, Noni,
Rahma, dan lain-lain yang tidak dapat saya sebutkan satu persatu atas bantuan
dan bimbingannya selama masa perkuliahan.
16. Teman-teman KKNku: La Ahi, Dede Acuguh, Mamat Adrianto, Seffto,
Mutiarah Rahman, Auliyah Resky, Dewi Astuti
Selanjutnya penulis menyadari bahwa penulisan skripsi ini masih jauh dari
kesempurnaan. Sehingga dengan senang hati dan segala kerendahan hati penulis
menerima segala saran yang sifatnya membangun demi penyempurnaannya. Akhir
vi
kata penulis berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi semua pihak yang
membutuhkan.
Kendari, Oktober 2016
Penulis
vii
DAFTAR ISI
Halaman
HALAMAN JUDUL ............................................................................... i
HALAMAN PENGESAHAN ................................................................ ii
KATA PENGANTAR ............................................................................ iii
DAFTAR ISI ........................................................................................... vii
DAFTAR GAMBAR .............................................................................. ix
DAFTAR TABEL ................................................................................... x
DAFTAR LAMPIRAN ........................................................................... xi
ABSTRAK ............................................................................................. xii
ABSTRACT ........................................................................................... xiii
BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang................................................................. 1
1.2 Rumusan Masalah ........................................................... 3
1.3 Tujuan Penelitian ............................................................. 4
1.4 Manfaat Penelitian ........................................................... 4
BAB II TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Model Dasar Penyebaran Penyakit .................................. 5
2.1.1 Model Epidemi SI................................................... 5
2.1.2 Model Epidemi SIR ................................................ 6
2.1.3 Model Epidemi SEIR ............................................. 6
2.2 Dasar-dasar Matematika .................................................. 7
2.2.1 Sistem Persamaan Diferensial ................................ 7
2.2.2 Titik Kesetimbangan .............................................. 9
2.2.3 Linierisasi di sekitar Titik Kesetimbangan ............. 10
2.2.4 Nilai Eigen dan Faktor Eigen ................................. 12
2.2.5 Sifat-sifat Kestabilan Titik Kesetimbangan............ 13
2.3 Solusi Numerik ............................................................... 15
2.3.1 Metode Runge -Kutta ............................................. 15
viii
BAB III METODE PENELITIAN
3.1 Waktu dan Tempat Penelitian ......................................... 17
3.2 Metode dan Prosedur Penelitian ..................................... 17
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Model Matematika Populasi Perokok ............................. 19
4.1.1 Asumsi Populasi Perokok ....................................... 19
4.1.2 Skema Model Tipe SEIR Populasi Perokok ........... 21
4.1.3 Model Matematika.................................................. 22
4.2 Titik kesetimbangan Populasi Perokok ........................... 23
4.3 Analisis Kestabilan Titik Kesetimbangan (AKTK) ........ 26
4.3.1 AKTK Bebas dari Perokok ..................................... 28
4.3.2 AKTK epidemic Perokok ....................................... 31
4.4 Simulasi Numerik Dinamika Model SEIR Perokok ........ 33
4.4.1 Simulasi Numerik Bebas Perokok .......................... 34
4.4.2 Simulasi Numerik Epidemik .................................. 36
BAB V PENUTUP
5.1 Kesimpulan ...................................................................... 41
5.2 Saran ................................................................................ 42
DAFTAR PUSTAKA
LAMPIRAN
ix
DAFTAR GAMBAR
Gambar 3.1 Metode Penelitian ......................................................................... 18
Gambar 4.1 Laju Pertumbuhan Bebas Perokok pada Model SEIR ................. 35
Gambar 4.2 Grafik 3 Dimensi Bebas Perokok ................................................. 36
Gambar 4.3 Laju Pertumbuhan Epidemik ........................................................ 38
Gambar 4.4 Grafik 3 Dimensi Pertumbuhan Epidemik ................................... 39
x
DAFTAR TABEL
Tabel 4.1 Kestabilan di titik Kesetimbangan Bebas Perokok .......................... 30
Tabel 4.2 Nilai Parameter-parameter dalam Model Perokok........................... 34
Tabel 4.3 Sifat Kesatabilan Titik Kesetimbangan Bebas Perokok .................. 37
Tabel 4.4 Nilai Parameter-parameter dalam Model Perokok........................... 39
Tabel 4.5 Sifat Kesatabilan Titik Kesetimbangan Bebas Perokok .................. 41
xi
DAFTAR LAMPIRAN
Lampiran 1. Titik Kesetimbangan ........................................... .............. 44
Lampiran 2. Nilai Eigen Umum ............................................................. 45
Lampiran 3. Niilai Eigen Kasus I Numerik ............................................ 46
Lampiran 4. Nilai Eigen Kasus II ........................................................... 47
Lampiran 5. Skrip Mfile Matlab Kasus I Bebas dari Perokok ............... 48
Lampiran 6. Program Matlab Phase Potret Epidemik Perokok .............. 49
xii
PEMODELAN MATEMATIKA TIPE SEIR PADA POPULASI PEROKOK
Oleh:
HANISAR
F1A1 12 122
ABSTRAK
Pemodelan matematika berusaha menyelesaikan masalah-masalah yang ada
dikehidupan nyata. Seperti contoh pada masalah semakin meningkatnya
penyebaran populasi perokok yang dapat mengancam kelangsungan hidup. Model
yang dapat digunakan pada penyebaran populasi perokok adalah model tipe SEIR.
Yang terdapat empat sub-komponen saling berinteraksi yaitu Susceptible adalah
individu sehat tapi rentang untuk menjadi perokok, yang disimbolkan dengan 𝑆,
Exposed adalah individu yang perokok kadang-kadang yang disimbolkan dengan
𝐸, Ifected adalah individu sehat tapi rentang untuk menjadi perokok yang
disimbolkan dengan 𝐼, Recovered adalah perokok yang telah berhenti untuk
merokok yang disimbolkan dengan 𝑅. Berdasarkan analisis kesetimbangan
diperoleh dua titik kesetimbangan bebas dari perokok yaitu 𝐸0∗ = (
𝜑
𝜇, 0,0,0) =
(833,0,0,0) dan titik kesetimbangan epidemik perokok yaitu 𝐸1∗ =
(𝑆1, 𝐸1, 𝐼1, 𝑅1) = (90,20,30,5) , pada analisis numerik, dilakukan dengan
menggunakan metode rungge-kutta orde empat dengan memvariasikan beberapa
parameter.
Kata kunci : Model tipe SEIR, Titik Kesetimbangan, Metode Runge kutta.
xiii
MATHEMATICAL MODELLING TYPE OF SEIR ON SMOKER
POPULATION
By
HANISAR
F1A1 12 122
ABSTRAC
Mathematical modeling tried to resolve the problems that exist real life. As an
example on the issue of increasing the spread of smoking population that could
threaten survival. The model can be used in the deployment of smoking population
is a model of the type of SEIR. That there are four sub-components interact that is
susceptible are healthy individuals but the range to be a smoker, symbolized by 𝑆,
Exposed is individual smokers sometimes symbolized by 𝐸, Ifected are healthy
individuals but the range to be a smoker symbolized by I , recovered is smokers
who had stopped to smoke symbolized by R. Based on the analysis of equilibrium
obtained two free equilibrium point of smokers is 𝐸0∗ = (
𝜑
𝜇, 0,0,0) =
(833,0,0,0) and the equilibrium point of the epidemic smokers are 𝐸1∗ =
(𝑆1, 𝐸1, 𝐼1, 𝑅1) = (90,20,30,5) , the numerical analysis, done using methods
rungge-kutta order four by varying several parameters.
Keywords: Model type of Seir, equilibrium point, Runge-Kutta methods.
1
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Rokok sudah dikenal sejak lama oleh suku asli yang mendiami daerah
Meksiko, yaitu suku Indian. Pada abad ke-15 kebiasaan merokok terus menyebar
keseluru dunia termasuk Indonesia seiring dengan menyebarnya presepsi yang
salah yaitu dengan menghirup daun tembakau dapat menyembuhkan penyakit
(Husaini, 2007).
Berdasarkan penggunaan rokok, rokok dapat dibedakan menjadi rokok Filter
dan rokok non-Filter (Haris, 2012). Tembakau merupakan bahan utama rokok yang
terdiri dari beberapa kandungan yang tidak dimiliki oleh daun lainnya yaitu nikotin
dan eugenol yang berbahaya bagi kesehatan tubuh. Selain itu, tembakau yang
merupakan tanaman perkebunan, yang tidak terlepas dari zat kimia yaitu pestisida
(Husaini, 2007). Dalam satu batang rokok, terdapat sekitar 4.800 bahan kimia
diantaranya Karbon Monoksida, Nikotin, Tar dan Polycyclic dan lain-lain.
Indonesia menjadi negara ketiga pada jumlah perokok aktif terbanyak setelah
Cina dan India, yaitu sebesar 34% di Indonesia pada tahun 2008. Jumlah perokok
ini terus meningkat pada tahun 2010 sebesar 34,7% (Tobacco Control Support
Center, 2012). Salah satu hal yang menyebabkan jumlah perokok terus meningkat
adalah di abaikannya bahaya merokok. Hingga saat ini terdapat sekitar 4.800 bahan
kimia yang terkandung pada rokok dengan komponen utama yaitu tar, nikotin dan
CO (karbon monoksida) (Tirtosastro dan Murdiyati, 2010). Kebiasaaan merokok
berhubungan dengan sedikitnya 25 jenis penyakit pada berbagai organ tubuh
2
(Aditama, 2001). Selain pada orang yang merokok (perokok aktif), penyakit
tersebut juga berdampak pada orang yang tidak merokok (perokok pasif). Hal ini
disebabkan karena secara tidak langsung mereka menghirup asap rokok. Bahkan
pada perokok pasif usia anak, asap rokok yang dihirup dapat mempengaruhi
pertumbuhan tubuh pada anak (Samet, 2010).
Pemodelan tentang peningkatan jumlah perokok bukan hal yang baru.
Beberapa peneliti telah mengembangkan model matematika terkait peningkatan
jumlah perokok, seperti yang dilakukan oleh Sharoni dan Gumel (1980) serta
Gunawan dan Nurtamam (2008). Pada tahun 2007, Mickens mengenalkan model
dinamik akar kuadrat. Interaksi pada model dinamik akar kuadrat dilambangkan
dengan akar kuadrat dari perkalian dua kompartemen (subpopulasi) yang saling
berinteraksi (Zeb dkk., 2013).
Pemodelan matematika merupakan salah satu alat yang dapat membantu
mempermudah penyelesaian masalah dalam kehidupan nyata. Masalah-masalah
tersebut dapat dibawah kedalam model matematis dengan menggunakan asumsi-
asumsi tertentu. Dari model yang akan dicari solusinya, baik dengan cara analisis
maupun secara numerik.
Pada bidang kesehatan model matematika digunakan untuk mengetahui
bagaimana penyebaran suatu penyakit menular maupun tidak menular dan
penderita jumlah suatu penyakit baik yang berupa epidemik maupun tidak.
Beberapa penyakit mempunyai periode laten, artinya selang waktu dimana suatu
individu terinfeksi sampai munculnya penyakit. Periode laten inilah yang menjadi
alasan pembentukan model SEIR. Salah satu model matematika yaitu model SEIR,
3
model ini diterapkan pada penyakit yang memiliki masa inkubasi cukup lama. Pada
umumnya selama masa laten tersebut individu tidak bias menularkan penyakit.
Berdasarkan uraian di atas penulis tertarik untuk mengkaji pemodelan
populasi perokok menggunakan model SEIR, yang didalamnya terdapat empat sub-
populasi sebagai berikut yaitu, 𝑆 adalah populasi susceptible yaitu individu-
individu tidak merokok tapi rentang untuk merokok. 𝐸 adalah populasi exposed
yaitu individu-indiividu yang kadang-kadang merokok. 𝐼 adalah populasi yang
𝑖𝑛𝑓𝑒𝑐𝑡𝑒𝑑 yaitu individu-individu yang merokok (perokok berat) dan dapat
mempengaruhi seseorang yang tidak merokok (sehat). 𝑅 adalah populasi
𝑟𝑒𝑐𝑜𝑣𝑒𝑟𝑒𝑑 yaitu individu-individu yang telah berhenti untuk merokok. Dengan
waktu penyebaran yang diperlukan untuk menyebarnya populasi rokok tersebut
cukup lama.
1.2 Rumusan Masalah
Dari latar belakang diatas maka perumusan adalah sebagai berikut:
1. Bagaimana pemodelan matematika pada tipe SEIR untuk populasi perokok?
2. Bagaimana bentuk kesetimbangan dan perilaku selesian pada populasi
perokok sehingga mempengaruhi populasi perokok yang rentang ?
1.3 Tujuan Penelitian
Berdasarkan rumusan masalah diatas, tujuan dari penelitian ini adalah
sebagai berikut:
1. Untuk mengetahui pemodelan matematika tipe SEIR pada populasi
perokok.
4
2. Untuk mengetahui bentuk kesetimbangan dan perilaku selesaian pada
populasi perokok sehingga mempengaruhi populasi yang tidak merokok
tapi rentang untuk meroko.
1.4 Manfaat Penelitian
Manfaat yang didapatkan adalah sebagai berikut:
1. Agar memberikan suatu sumbangsi pengetahuan bahwa ilmu matematika
mempunyai peranan yang sangat luas bagi kehidupan.
2. Dapat dimanfaatkan dalam menambah wawasan atau pengetahuan pada
masyarakat luas.
5
BAB II
KAJIAN PUSTAKA
2.1 Model Dasar Penyebaran Penyakit
Ada beberapa model epidemi selain model SI dan SIS, yaitu SIR, SEIR,
dan SEIRS. Secara singkat dapat digambarkan tentang model SI,SIR dan SEIR
sebagai berikut.
2.1.1 Model Epidemi SI
Pada model epidemi SI populasi dibagi menjadi dua kelompok yaiti:
1. Susceptible (𝑆) yaitu kelompok populasi yang sehat tetapi dapat terinfeksi
penyakit (rentan) dan
2. Infected (𝐼) yaitu kelompok populasi yang terinfeksi penyakit dan dapat
menularkan ke populasi yang sehat.
Model Epidemi SI dapat dinyatakan sbagai berikut:
𝑑𝑆
𝑑𝑡= −𝛼𝑆
𝐼
𝑁 ,
𝑑𝐼
𝑑𝑡= 𝛼𝑆
𝐼
𝑁,
Keterangan:
𝛼 : Laju perpindahan populasi dari golongan susceptible ke golongan invected
setiap satuan waktu.
N : Jumlah populasi.
6
2.1.2 Model Epidemi SIR
Pada model epidemi SIR klasik, populasi dibagi menjadi tiga kelompok
yaitu susceptible (𝑆), yaitu kelompok populasi yang sehat tetapi dapat terinfeksi
penyakit, infected (𝐼) yaitu kelompok populasi yang terinfeksi dan dapat sembuh
dari penyakit, dan recovered (𝑅) yaitu kelompok populasi yang telah sembuh dan
kebal dari penyakit. Model epidemi SIR dapat dinyatakan sebagai berikut:
𝑑𝑆
𝑑𝑡= −𝛼𝑆
𝐼
𝑁 ,
𝑑𝐼
𝑑𝑡= 𝛼𝑆
𝐼
𝑁− 𝛽𝐼,
𝑑𝑅
𝑑𝑡= 𝛽𝐼 ,
Keterangan:
2.1.3 Model Epidemi SEIR
Pada model epidemi SEIR klasik, populasi dibagi menjadi empat
kelompok yaitu susceptible (𝑆) yaitu kelompok populasi yang sehat tetapi dapat
terinfeksi penyakit, exposed (𝐸) yaitu kelompok populasiyang dicurigai terinfeksi
oleh penyakit, infected (𝐼) yaitu kelompok populasi yang terinfeksi dan dapat
𝛼: Laju perpindahan populasi dari golongan susceptible ke golongan Recovered
setiap satuan waktu.
𝛽: Laju perpindahan populasi dari golongan invected ke golongan Recovered
setiap satuan waktu.
N: Jumlah populasi.
7
sembuh dari penyakit, dan recovered (𝑅) yaitu kelompok populasi yang telah
sembuh dan kebal dari penyakit. Model epidemi SEIR dapat dinyatakan sebagai
berikut:
𝑑𝑆
𝑑𝑡= −𝛼𝑆
𝐼
𝑁 ,
𝑑𝐸
𝑑𝑡=
𝐼
𝑁𝛼𝑆 − 𝛽𝐸,
𝑑𝐼
𝑑𝑡= 𝛽𝐸 − 𝛾𝐼,
𝑑𝑅
𝑑𝑡= 𝛽𝐼 ,
(2.1)
Keterangan:
𝛼: Laju perpindahan populasi dari golongan susceptible ke golongan
Recovered setiap satuan waktu.
𝛽: Laju perpindahan populasi dari golongan exposed ke golongan
invectedsetiap satuan waktu.
𝛾: Laju perpindahan populasi dari golongan invected ke golongan recovered
setiap satuan waktu.
N: Jumlah populasi.
2.2 Dasar- Dasar Matematika
2.2.1 Sisitem Persamaan Diferensial
Sistem persamaan diferensial adalah suatu sistem persamaan yang memuat
turunan beberapa fungsi yang tak diketahui. Persamaan diferensial seringkali
8
muncul dalam model matematika yang mencoba menggambarkan keadaan
dikehidupan nyata. Sebagai contoh, laju pertumbuhan populasi perokok. Suatu
persamaan diferensial orde 1 adalah persamaan yang berbentuk
𝑑𝑥
𝑑𝑡= 𝑓(𝑥, 𝑡), 𝑥 = (𝑥1𝑥2, … , 𝑥𝑛), dengan 𝑥, 𝑥′, … , 𝑥(𝑛) semuanya ditentukan
nilainya oleh t.
Pada penelitian ini hanya akan dibahas sistem persamaan diferensial orde 1.
Klasifikasi sistem persamaan diferensial yaitu:
1. Sistem persamaan diferensial liniear orde 1
Suatu fungsi 𝑓(𝐱) merupakan fungsi yang linear misalnya 𝑓(𝐱) = 𝐀𝐱. Sistem
𝐱′ = 𝐀𝐱 dengan x vektor dalam 𝑅𝑛 disebut sistem linear berdimensi n, jika
𝑥: 𝑅𝑛 → 𝑅𝑛 adalah pemetaan linear, dan 𝑅𝑛 = {(𝑥1, … , 𝑥𝑛)|𝑥1, … , 𝑥𝑛 ∈ 𝑅}
sedangkan 𝐱, 𝐱′ dan A ditulis:
𝐱 = [
𝑥1
⋮𝑥𝑛
] , 𝐱′ = [
𝑑𝑥1
𝑑𝑡
⋮𝑑𝑥𝑛
𝑑𝑡
] dan 𝐀 = [
𝑎11 ⋯ 𝑎1𝑛
⋮ ⋱ ⋮𝑎𝑛1 ⋯ 𝑎𝑛𝑛
]. (2.2)
(Arrowsmith dan Place, 1982).
2. Sistem persamaan diferensial nonliniear
Diberikan sistem persamaan diferensial nonlinear
𝑑𝐱
𝑑𝑡= 𝑓(𝐱, 𝑡) , 𝐱 = (𝑥1, … , 𝑥𝑛).
Sistem persamaan diferensial 𝐱′ = 𝑓(𝐱, 𝑡) dikatakan nonlinear apabila fungsi
𝑓(𝑥) tak linear dan kontinu. Sistem di atas dapat berbentuk:
9
𝑑𝐱1
𝑑𝑡= 𝑓(𝑥1, … , 𝑥𝑛, 𝑡)
⋮𝑑𝐱𝑛
𝑑𝑡= 𝑓(𝑥1, … , 𝑥𝑛, 𝑡) 𝑘𝑜𝑛𝑑𝑖𝑠𝑖 𝑎𝑤𝑎𝑙 𝑥𝑡0
(𝑡0) = 𝑥𝑖; 𝑖 = 1,2, … , 𝑛.
(2.3)
3. Sistem persamaan diferensial nonlinear yang autonomous
Suatu sistem persamaan diferensial yang berbentuk
𝑑𝐱1
𝑑𝑡= 𝑓(𝑥1, … , 𝑥𝑛, 𝑡)
⋮𝑑𝐱𝑛
𝑑𝑡= 𝑓(𝑥1, … , 𝑥𝑛, 𝑡).
(2.4)
Dikatakan sistem autonomous apabila fungsi f tidak tergantung terhadap waktu
yakni 𝐱′ = 𝑓(𝐱) dengan 𝑓(𝐱) merupakan fungsi yang nonlinear (Arrowsmith dan
Place,1982).
2.2.2 Titik Kesetimbangan
Model matematika yang terbentuk pada populasi perokok adalah sistem
persamaan diferensial non linear karena adanya interaksi antara komponen-
komponen dari ke-empat sub-populasi, sehingga perlu dicari solusi khusus. Salah
satu solusi khusus dari model matematika jumlah perokok adalah titik
kesetimbangan yang berikutnya akan dianalisis kestabilannya dari titik
kesetimbangan yang didapatkan. Berikut ini diberikan beberapa definisi dan
teorema yang berhubungan dengan analisis kesetimbangan sistem linier:
Definisi 2.1 (Olsder, 2011). Titik 𝑥∗ pada sistem autonomous
𝑑𝑥
𝑑𝑡= 𝑓(𝑥), (2.5)
Dikatakan titik setimbangan jika memenuhi 𝑓 (𝑥∗) = 0.
10
Definisi Matriks Jacobian adalah matriks yang elemen-elemennya merupakan
turunan parsial pertama dari beberapa fungsi. Misalkan terdapat tiga persamaan
dengan tiga variabel sebagai berikut:
𝑦1 = 𝑓1(𝑥1𝑥2 …𝑥𝑛)
𝑦2 = 𝑓2(𝑥1𝑥2 …𝑥𝑛)
⋮
𝑦𝑛 = 𝑓𝑛(𝑥1𝑥2 …𝑥𝑛)
(2.6)
Ditulis dalam bentuk Matriks Jacobian sebagai berikut:
𝐽 =
[ 𝜕𝑦1
𝜕𝑥1
𝜕𝑦1
𝜕𝑥2⋯
𝜕𝑦2
𝜕𝑥1
𝜕𝑦2
𝜕𝑥2⋯
⋮𝜕𝑦𝑛
𝜕𝑥1
⋮𝜕𝑦𝑛
𝜕𝑥2
⋱⋯
𝜕𝑦1
𝜕𝑥𝑛
𝜕𝑦2
𝜕𝑥𝑛
⋮𝜕𝑦𝑛
𝜕𝑥𝑛]
. (2.7)
(Kelley dan Peterson, 2010)
2.2.3 Linearisasi di Sekitar Titik Kesetimbangan
Salah satu cara untuk menganalisa sistem nonlinear autonomous 𝐱′ = 𝑓(𝐱)
adalah menentukan titik kesetimbangan 𝑥0 = (𝑥01, … , 𝑥0𝑛) dan menentukan sifat
solusi di sekitar titik tersebut. Sifat solusi sistem nonlinear 𝐱′ = 𝑓(𝐱) dapat didekati
dengan meninjau sifat solusi sistem linear 𝐱′ = 𝐀𝐱, dimana A matriks Jacobian 𝐀 =
𝐷𝑓(𝑥01, … , 𝑥0𝑛). Fungsi linear 𝐀𝐱 = 𝐷𝑓(𝑥01, … , 𝑥0𝑛)𝐱 disebut bagian linear dari f
di sekitar titik (𝑥01, … , 𝑥0𝑛).
Definisi 2.2 Titik (𝑥01, … . , 𝑥0𝑛) ∈ 𝑅𝑛 adalah titik kesetimbangan dari 𝐱′ = 𝑓(𝐱),
apabila 𝑓(𝑥01, … . , 𝑥0𝑛) = 0. Titik kesetimbangan (𝑥01, … , 𝑥0𝑛) disebut titik
11
kesetimbangan hiperbolik dari 𝐱′ = 𝑓(𝐱) jika semua nilai eigen dari matriks
𝐷𝑓(𝑥01, … , 𝑥0𝑛) tidak nol bagian realnya. Deret Taylor 𝑓1(𝑥1, … , 𝑥𝑛) sampai
𝑓𝑛(𝑥1, … , 𝑥𝑛) di sekitar titik kesetimbangan (𝑥01, … , 𝑥0𝑛) adalah:
𝑓1(𝑥1, … , 𝑥𝑛) = 𝑓1(𝑥01, … , 𝑥0𝑛) +𝜕𝑓1(𝑥01,…,𝑥0𝑛)
𝜕𝑥1(𝑥1 − 𝑥01) + ⋯+
𝜕𝑓1(𝑥01,…,𝑥0𝑛)
𝜕𝑥𝑛(𝑥𝑛 − 𝑥0𝑛) + ⋯
𝑓2(𝑥1, … , 𝑥𝑛) = 𝑓2(𝑥01, … , 𝑥0𝑛) +𝜕𝑓2(𝑥01,…,𝑥0𝑛)
𝜕𝑥1(𝑥1 − 𝑥01) + ⋯+
𝜕𝑓2(𝑥01,…,𝑥0𝑛)
𝜕𝑥𝑛(𝑥𝑛 − 𝑥0𝑛) + ⋯
⋮
𝑓𝑛(𝑥1, … , 𝑥𝑛) = 𝑓𝑛(𝑥01, … , 𝑥0𝑛) +𝜕𝑓𝑛(𝑥01,…,𝑥0𝑛)
𝜕𝑥1(𝑥1 − 𝑥01) + ⋯+
𝜕𝑓𝑛(𝑥01,…,𝑥0𝑛)
𝜕𝑥𝑛(𝑥𝑛 − 𝑥0𝑛) + ⋯
Karena dititik kesetimbangan
𝑓1(𝑥01, … , 𝑥0𝑛)=𝑓2(𝑥01, … , 𝑥0𝑛) = ⋯ = 𝑓𝑛(𝑥01, … , 𝑥0𝑛)=0 dan 𝑥 = (𝑥1, … , 𝑥𝑛) di
sekitar titik kesetimbangan (𝑥01, … , 𝑥0𝑛) yang jaraknya dianggap cukup kecil,
maka suku-suku yang memuat pangkat dua atau lebih seperti (𝑥1 − 𝑥01)2, (𝑥2 −
𝑥02)2, dan seterusnya, nilainya akan sangat kecil dan dapat diabaikan, sehingga
diperoleh:
[
𝑓1(𝑥1, … , 𝑥𝑛)𝑓2(𝑥1, … , 𝑥𝑛)
⋮𝑓𝑛(𝑥1, … , 𝑥𝑛)
]
≈
[ 𝜕𝑓1(𝑥01, … , 𝑥0𝑛)
𝜕𝑥1
𝜕𝑓1(𝑥01, … , 𝑥0𝑛)
𝜕𝑥2⋯
𝜕𝑓2(𝑥01, … , 𝑥0𝑛)
𝜕𝑥1
𝜕𝑓2(𝑥01, … , 𝑥0𝑛)
𝜕𝑥2⋯
⋮𝜕𝑓𝑛(𝑥01, … , 𝑥0𝑛)
𝜕𝑥1
⋮𝜕𝑓𝑛(𝑥01, … , 𝑥0𝑛)
𝜕𝑥2
⋱⋯
𝜕𝑓1(𝑥01, … , 𝑥0𝑛)
𝜕𝑥𝑛
𝜕𝑓2(𝑥01, … , 𝑥0𝑛)
𝜕𝑥𝑛
⋮𝜕𝑓𝑛(𝑥01, … , 𝑥0𝑛)
𝜕𝑥𝑛 ]
[
𝑥1 − 𝑥01
𝑥2 − 𝑥02
⋮𝑥𝑛 − 𝑥0𝑛
]
(2.8)
Hal ini menunjukkan bahwa fungsi linear 𝐷𝑓(𝑥01, … , 𝑥0𝑛)𝑥 merupakan
aproksimasi linear untuk fungsi nonlinear 𝑓(𝐱) di sekitar titik (𝑥01, … , 𝑥0𝑛),
12
sehingga tafsiran solusi dari sistem nonlinear 𝐱′ = 𝑓(𝐱) di sekitar (𝑥01, … , 𝑥0𝑛)
dapat didekati dengan solusi dari sistem 𝐱′ = 𝐀𝐱.
dimana 𝐱 = [
𝑥1
⋮𝑥𝑛
] , 𝐱′ = [
𝑑𝑥1
𝑑𝑡
⋮𝑑𝑥𝑛
𝑑𝑡
] dan 𝐀 = 𝐷𝑓(𝑥01, … , 𝑥0𝑛) adalah matriks turunan
parsial pertama (matriks Jacobian). Secara umum, jika komponen dari f berupa:
𝑓1(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛), 𝑓2(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛),… , 𝑓𝑛(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛)
Maka dapat dituliskan matriks dari persamaan tersebut adalah:
𝐴 =
[ 𝜕𝑓1
𝜕𝑥1
𝜕𝑓1
𝜕𝑥2⋯
𝜕𝑓2
𝜕𝑥1
𝜕𝑓2
𝜕𝑥2⋯
⋮𝜕𝑓𝑛
𝜕𝑥1
⋮𝜕𝑓𝑛
𝜕𝑥2
⋱⋯
𝜕𝑓1
𝜕𝑥𝑛
𝜕𝑓2
𝜕𝑥𝑛
⋮𝜕𝑓𝑛
𝜕𝑥𝑛]
. (2.9)
Nilai eigen matriks konstan A memberikan informasi kestabilan lokal di titik
kesetimbangan (𝑥01, … , 𝑥0𝑛) (Nayfeh dan Balachendra,1995).
2.2.4 Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Definisi 2.3 Misalkan A suatu matriks n x n. Skalar λ disebut nilai eigen atau nilai
karakteristik (characteristic value) dari A jika terdapat suatu vector tidak nol x,
sehingga Ax= λx. Vektor x disebut vector eigen atau vector karakteristik dari A
yang bersesuaian dengan λ.
Teorema 2.1 Jika A adalah matriks n x n, maka pernyataan-pernyataan berikut
ekuivalen satu sama lain:
a) λ adalah nilai eigen dari A
b) Sistem persamaan (𝜆𝐈 − 𝐀)b = 0 mempunyai pemecahan yang tak nol.
c) λ adalah pemecahan real dari persamaan 𝑑𝑒𝑡(𝜆𝐈 − 𝐀) = 0 (Leon,2001).
13
Bukti:
(𝑎) ⇒ (𝑏) Diketahui λ adalah nilai eigen dari A. berdasarkan Definisi 2.3,
diperoleh 𝐀𝐱 = 𝜆𝐱 atau 𝜆𝐱 − 𝐀𝐱 = 0, dengan mengalikan matriks identitas I yang
berukuran n x n, dapat dituliskan dengan 𝜆𝐈𝐱 − 𝐀𝐱 = 0 atau (𝜆𝑰 − 𝐀)𝐱 = 0.
(𝑏) ⇒ (𝑐) Diketahui (𝜆𝐈 − 𝐀)𝐱 = 0 dan mempunyai pemecahan tak nol. Ambil
vektor 𝑥1 ≠ 0 sehingga (𝜆𝐈 − 𝐀) = 0. Karena 𝑥1 ≠ 0, maka 𝑑𝑒𝑡(𝜆𝐈 − 𝐀) = 0
(𝑐) ⇒ (𝑎) Diketahui λ adalah pemecahan real dari dari persamaan 𝑑𝑒𝑡(𝜆𝐈 − 𝐀) =
0. Berarti ada x vektor tak nol sehingga dapat dituliskan (𝜆𝑰 − 𝐀)𝐱 = 0 atau 𝐀𝐱 −
𝜆𝐱. Berdasarkan Definisi 2.3, λ merupakan nilai eigen.
Menurut Teorema 2.1 agar λ dapat menjadi nilai eigen, maka harus ada pemecahan
tak nol dari persamaan (𝜆𝑰 − 𝐀)𝐱 = 0 dan pemecahan tak nol diperoleh jika dan
hanya jika:
𝑑𝑒𝑡(𝜆𝐈 − 𝐀) = 0. (2.10)
2.2.5 Sifat-Sifat Kestabilan Pada Titik Kesetimbangan
Sistem persamaan diferensial pada populasi perokok adalah sistem
persamaan nonlinear 𝐱′ = 𝑓(𝐱) yang telah dilinearisasi menjadi sistem diferensial
linear berbentuk 𝐱′ = 𝐀𝐱, dengan A adalah matriks Jacobian yang mempunyai nilai
eigen dan vektor eigen, misalkan 𝑤𝑗 = 𝑢𝑗 + 𝑖𝑣𝑗 adalah vektor eigen dari matriks A
yang bersesuaian dengan nilai eigen 𝜆𝑗 = 𝑎𝑗 + 𝑖𝑏𝑗.Didefinisikan 𝐸𝑠 =
𝑠𝑝𝑎𝑛{𝑢𝑗 , 𝑣𝑗|𝑎𝑗 < 0}, 𝐸𝑐 = 𝑠𝑝𝑎𝑛{𝑢𝑗 , 𝑣𝑗|𝑎𝑗 = 0}, 𝐸𝑢 = 𝑠𝑝𝑎𝑛{𝑢𝑗 , 𝑣𝑗|𝑎𝑗 > 0},
Sehingga dapat dikatakan bahwa:
14
- Vektor-vektor eigen yang nilai-nilai eigen bagian realnya negative akan
membentuk ruang stabil (𝐸𝑠). Ruang stabil biasanya berbentuk spiral dan
simpul.
- Vektor-vektor eigen yang nilai-nilai eigen bagian realnya positif akan
membentuk ruang tidak stabil (𝐸𝑢). Ruang tidak stabil biasanya berbentuk spiral
dan simpul.
- Vektor-vektor eigen yang nilai-nilai eigen bagian realnya nol akan membentuk
ruang pusat (𝐸𝑐).
Adapun bentuk-bentuk umum dan tipe-tipe kesetimbangan metode linear
dengan enam sifat kestabilannya yaitu:
I. Nilai eigen kompleks:
1. Bagian real nol, menghasilkan trayektori pusat sentral atau stabil netral
(neutral center atau neutral stable).
2. Bagian real positif, menghasilkan spiral tak stabil.
3. Bagian real negative, menghasilkan spiral stabil.
II. Nilai eigen real:
1. Kedua nilai eigen negative, menghasilkan simpul stabil (stable node).
2. Kedua nilai eigen positif, menghasilkan trayektori simpul tak stabil
(unstable node).
3. Nilai eigen positif, yang lainnya negative, menghasilkan titik pelana
(saddle point) (Tarumingkeng, 1994).
15
2.3 Solusi Numerik
2.3.1 Metode Runge Kutta
Metode Runge-Kutta adalah alternatif lain dari metode deret Taylor yang
tidak membutuhkan perhitungan turunan. Metode ini berusaha mendapatkan derajat
ketelitian yang lebih tinggi, dan sekaligus menghindarkan keperluan mencari
turunan yang lebih tinggi dengan jalan mengevaluasi fungsi (x,y) pada titik terpilih
dalam setiap selang langkah. Metode Runge-Kutta adalah metode persamaan
diferensial biasa yang paling popular karena banyak dipakai dalam praktek.
Bentuk umum metode Runge Kutta orde-n ialah:
𝑦𝑟+1 = 𝑦𝑟 + 𝑎1𝑘1 + 𝑎2𝑘2 + ⋯𝑎𝑛𝑘𝑛 Dengan 𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛 adalah tetapan,
dan
𝑘1 = ℎ𝑓(𝑥𝑟 , 𝑦𝑟)
𝑘2 = ℎ𝑓(𝑥𝑟 + 𝑝1ℎ, 𝑦𝑟 + 𝑞11𝑘1)
𝑘3 = ℎ𝑓(𝑥𝑟 + 𝑝2ℎ, 𝑦𝑟 + 𝑞21𝑘1 + 𝑞22𝑘2)
⋯
𝑘𝑛 = ℎ𝑓(𝑥𝑟 + 𝑝𝑛−1ℎ, 𝑦𝑟 + 𝑞𝑛−1,1𝑘1 + 𝑞𝑛−1,2𝑘2 + ⋯+ 𝑞𝑛−1,𝑛−1𝑘𝑛−1) (2.11)
Nilai 𝑎𝑖, 𝑝𝑖, 𝑞𝑖𝑗 dipilih sedemikian rupa sehingga meminimumkan galat perlangkah.
Secara umum metode Runge-Kutta mempunyai tiga sifat utama yaitu:
1. Metodenya satu langkah : untuk mencapai 𝑦𝑟+1 hanya diperlukan keterangan
yang tersedia pada titik sebelumnya yaitu 𝑥𝑟, 𝑦𝑟
2. Mendekati ketelitian deret Taylor sampai suku dalam ℎ𝑝 , dimana nilai p
berbeda untuk metode yang berbeda, dan nilai p ini disebut derajat dari metode
16
3. Tidak memerlukan perhitungan turunan 𝑓(𝑥, 𝑦) tetapi hanya memerlukan fungsi
itu sendiri.
Metode Runge-Kutta yang umum digunakan untuk mengintegrasikan
persamaan differensial adalah metode Runge-Kutta orde keempat yang berbentuk
𝑦𝑟+1= 𝑦𝑟 + ℎ
6 (𝑘1 + 2𝑘2 + 2𝑘3 + 𝑘4
dimana:
𝑘1 = 𝑓(𝑥𝑟 , 𝑦𝑟 )
𝑘2 = 𝑓 (𝑥𝑟 + ℎ
2 , 𝑦𝑟 +
ℎ𝑘1
2)
𝑘3 = f (𝑥𝑟 + ℎ
2 , 𝑦𝑟 +
ℎ𝑘2
2)
𝑘4 = 𝑓(𝑥𝑟 + ℎ, 𝑦𝑟 + ℎ𝑘3 ). (Djojodihardjo, 2000).
17
BAB III
METODE PENELITIAN
3.1 Waktu dan Tempat
Penelitian ini dilaksanakan mulai bulan Agustus samapi Oktober 2016.
Kegiatan ini dilakukan di Laboratorium Komputasi Matematika dan Fakultas
Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Halu Oleo Kendari.
3.2 Metode dan Prosedur Penelitian
Penelitian ini dilakukan dengan menggunakan metode penelitian kepustakaan
atau studi literature. Adapun langkah-langkah dalam pembentukan model SEIR
pada populasi perokok.
1. Identifikasi masalah, yaitu membaca dan memahami literature yang
berkaitan dengan model matematika tipe SEIR pada populasi perokok,
sehingga dapat menentukan sub-sub populasi yang akan digunakan dalam
model.
2. Menyusun model matematika pada penyebaran populasi perokok
menggunakan tipe SEIR dengan asumsi-asumsi yang digunakan.
3. Menyusun sistem persamaan model matematika pada populasi perokok
dengan menggunakan tipe SEIR.
4. Analisis titik kesetimbangan diperlukan untuk mendapatkan suatu titik dari
persamaan 𝑑𝑆
𝑑𝑡=
𝑑𝐸
𝑑𝑡=
𝑑𝐼
𝑑𝑡=
𝑑𝑅
𝑑𝑡= 0.
5. Mencari nilai eigen berdasarkan matriks jacobian yang melibatkan titik
kesetimbangan.
18
6. Menentukan sifat-sifat kesetimbangan.
7. Simulasi Numerik.
8. Interpretasi`
9. penarikan suatu kesimpulan sehingga mendapatkan suatu hasil yang akan
didapatkan.
Langkah-langkah yang dilakukan dalam menyelesaikan tugas akhir
tentang populasi perokok pada tipe SEIR pada waktu laten, secara skematik dapat
diliat pada skema dalam Gambar 3.1.
Gambar 3.1 Skema metode penelitian
Asumsi
Modeling matematika
Analisis titik kesetimbangan dari 𝑑𝑆
𝑑𝑡=
𝑑𝐸
𝑑𝑡=
𝑑𝐼
𝑑𝑡 , =
𝑑𝑅
𝑑𝑡= 0
Skema
Menentukan Nilai Eigen dari matriks jacobian
Sifat-sifat kestabilan dari simulasi pada model
matematika
Interpestasi
19
BAB IV
HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Model Matematika Populasi Perokok Pada tipe SEIR
Pembahasan pada penelitian populasi perokok dengan menggunakan tipe
SEIR. yang terdapat empat sub-populasi, yakni individu sehat yang rentang untuk
menjadi perokok yaitu (𝑆), perokok kadang-kadang yaitu (𝐸), perokok yaitu (𝐼),
dan individu yang pernah menjadi perokok tapi sudah berhenti merokok yaitu (𝑅).
Asumsi 4.1.
Asumsi yang digunakan pada penelitian populasi perokok adalah sebagai berikut:
1. Populasi dibedakan menjadi empat kelompok yaitu 𝑠𝑢𝑠𝑐𝑒𝑝𝑡𝑖𝑏𝑒𝑙 𝑎𝑡𝑎𝑢 (𝑆)
adalah individu yang sehat tapi rentang untuk menjadi
perokok, 𝐸𝑥𝑝𝑜𝑠𝑒𝑑 𝑎𝑡𝑎𝑢 (𝐸) adalah perokok yang kadang-kadang,
𝐼𝑛𝑓𝑒𝑐𝑡𝑒𝑑 𝑎𝑡𝑎𝑢 (𝐼) adalah perokok, dan 𝑅𝑒𝑐𝑜𝑣𝑒𝑟𝑒𝑑 𝑎𝑡𝑎𝑢 (𝑅) adalah perokok
yang telah berhenti merokok dan sudah kebal sehingga tidak akan kembali untuk
merokok lagi.
2. Individu yang dapat menyebarkan populasi perokok meningkat dikelompokkan
dalam dua kategori yaitu populasi perokok kadang-kadang atau
𝐸𝑥𝑝𝑜𝑠𝑒𝑑 𝑎𝑡𝑎𝑢 (𝐸) dimana individu tersebut sudah menjadi perokok tapi belum
dapat menularkan menjadi perokok berat tetapi dapat berhenti sesaat dan belum
menjadi perokok berat dan individu yang perokok 𝑏𝑒𝑟𝑎𝑡 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝐼𝑛𝑓𝑒𝑐𝑡𝑒𝑑 (𝐼)
individu yang perokok berat (2 atau 3 bungkus dalam 1 harian) yang dapat
menularkan ke individu yang rentang.
20
3. Laju kelahiran individu baru yaitu 𝜑, yang masuk ke perokok yang rentang
sehingga individu yang baru lahir dapat menjadi individu yang rentang untuk
menjadi perokok.
4. Laju kematian indidvidu yang sehat tapi rentang untuk menjadi perokok,
perokok kadang-kadang, perokok dan perokok yang telah berhenti. Untuk laju
kematian pada perokok yang rentang sebesar 𝜇𝑆, laju kematian perokok kadang-
kadang sebesar 𝜇𝐸, laju kematian pada perokok sebesar 𝜇𝐼, dan laju kematian
pada perokok yang berhenti sebesar 𝜇𝑅.
5. Laju pertumbuhan populasi individu yang sehat tapi rentang untuk menjadi
perokok terhadap waktu yang dipengaruhi oleh besarnya 𝜑 atau kelahiran
individu yang masuk ke individu yang rentang, sehingga laju perubahan 𝛼1𝑆𝐸
yang keluar dari populasi perokok yang rentang ke yang perokok kadang-
kadang, sehingga laju perubahan individu yang merokok dapat masuk ke
perokok yang rentang sebesar 𝛽2𝐼 dan populasi individu yang kadang-kadang
merokok yang masuk ke populasi perokok tapi rentang untuk merokok sebesar
𝛼2𝐸 sehingga keluar suatu kematian alami yang terjadi pada populasi individu
yang tidak merokok tapi rentang untuk merokok sebesar 𝜇𝑆.
6. Laju populasi individu yang kadang-kadang merokok terhadap waktu sehingga
laju perubahan dari populasi individu yang tidak merokok tapi rentang untuk
merokok besarnya 𝛼1𝑆𝐸 yang masuk ke individu yang kadang-kadang merokok
sehingga besarnya laju perubahan pada populasi kadang-kadang merokok ke
yang tidak merokok dapat keluar sebesar 𝛼2𝐸 sehingga laju perubahan yang
keluar dari populasi individu yang kadang-kadang ke yang berhenti merokok
21
yaitu sebesar 𝛾2𝐸 sehingga dalam populasi individu yang kadang-kadang
merokok dapat keluar suatu angkah kematian sebesar 𝜇𝐸.
7. Laju populasi individu perokok berat terhadap waktu yang dapat mempengaruhi
laju perubahan individu dari yang kadang-kadang merokok ke yang perokok
yang masuk sebesar 𝛽1𝐸 sehingga besarnya 𝛽2𝐼 laju perubahan dari yang
berhenti merokok ke individu yang perokok tapi rentang untuk merokok, serta
besarnya laju perubahan 𝛾1𝐸 yang keluar menjadi individu yang berhenti
merokok sehingga dalam populasi perokok dapat keluar suatu kematian alami
sebesar 𝜇𝑅.
8. Laju populasi individu yang berhenti merokok terhadap waktu mempengaruhi
laju perubahan dari populasi yang merokok ke yang berhenti merokok yang
masuk sebesar 𝛾1𝐼 dan besarnya laju perubahan dari populasi yang kadang-
kadang merokok ke yang berhenti merokok yang masuk sebesar 𝛾2𝐸 sehingga
dalam populasi yang berhenti merokok dapat keluar suatu angkah kematian
alami sebesar 𝜇𝑅.
4.1.2 Skema Model Tipe SEIR Pada populasi Perokok
Dari Asumsi 4.1 maka didapatkan skema model Tipe SEIR Pada Populasi
Perokok yang dapat dilihat pada Gambar 4.1.
Gambar 4.1.1 Tipe SEIR Pada Populasi Perokok
22
4.1.3 Model Matematika
Berdasarkan Asumsi pada 4.1 dan skema Gambar 4.1 maka diperoleh
model populasi perokok tipe SEIR sebagai berikut:
𝑑𝑆
𝑑𝑡= 𝜑 − 𝛼1𝑆𝐸 + 𝛽2𝐼 + 𝛼2𝐸 − 𝜇𝑆.
𝑑𝐸
𝑑𝑡= 𝛼1𝑆𝐸 − 𝛼2𝐸 − 𝛽1𝐸 − 𝛾2𝐸 − 𝜇𝐸.
𝑑𝐼
𝑑𝑡= 𝛽1𝐸 − 𝛽2𝐼 − 𝛾1𝐸 − 𝜇𝑅.
𝑑𝐼
𝑑𝑡= 𝛾1𝐼 + 𝛾2𝐸 − 𝜇𝑅.
(4.1)
Keterangan sebagai berikut:
𝜑 adalah laju kelahiran individu baru yang masuk ke populasi yang
berpotensial merokok
𝑆 adalah tidak merokok tapi rentang untuk menjadi perokok.
𝛼1 adalah laju perubahan populasi yang tidak merokok tapi rentang
merokok yang masuk ke individu yang kadang-kadang merokok.
𝛼2 adalah laju perubahan populasi yang kadang-kadang merokok yang
masuk ke individu yang tidak merokok tapi rentang merokok
𝐸 adalah perokok yang kadang-kadang.
𝛽1 adalah laju perubahan populasi yang kadang-kadang merokok yang
masuk kedalam populasi perokok berat.
23
𝐼 adalah perokok berat.
𝛾1 adalah laju perubahan populasi perokok berat yang masuk menjadi
individu yang berhenti merokok dan tidak lagi merokok.
𝑅 adalah perokok yang sudah berhenti merokok dan tidak lagi
merokok.
𝛽2 adalah laju perubahan perokok kadang-kadang sehingga masuk
menjadi populasi individu yang berhenti merokok dan tidak lagi
merokok.
𝛾2 adalah laju perubahan dari individu perokok potensial sehingga
menjadi perokok berat akibat dari interaksi dari perokok mula-mula.
𝜇 adalah laju kematian alami pada semua populasi perokok.
4.2 Titik Kesetimbangan dari populasi perokok
Kestabilan dari populasi perokok dapat ditentukan dengan mencari suatu
titik kesetimbangan pada populasi perokok tipe SEIR, dapat ditentukan ketika laju
perubahan populasi yang rentang, laju perubahan populasi yang kadang-kadang
merokok, laju perubahan populasi perokok, dan laju perubahan populasi yang
berhenti merokok berubah terhadap waktu . yang diperoleh secara sistem
persamaan 𝑑𝑆
𝑑𝑡= 0,
𝑑𝐸
𝑑𝑡= 0,
𝑑𝐼
𝑑𝑡= 0,
𝑑𝑅
𝑑𝑡= 0. Didapatkan dua titik kesetimbangan
yaitu sebagai berikut:
a. Titik Kesetimbangan bebas perokok
24
Titik kesetimbangan bebas merokok dapat dinyatakan dalam bentuk 𝐸0∗ =
(𝑆0,𝐸0, 𝐼0, 𝑅0) terjadi jika 𝐸 = 0, 𝑑𝑎𝑛 𝐼 = 0, sehingga berdasarkan sistem
persamaan pada model tersebut diperoleh:
𝑑𝑆
𝑑𝑡= 𝜇 − 𝛼1𝑆𝐸 + 𝛽2𝐼 + 𝛼1𝐸 − 𝜇𝑆 = 0.
𝑑𝑅
𝑑𝑡= 𝛾1𝐼 + 𝛾2𝐸 − 𝜇𝑅 = 0.
(4.2)
Karena 𝐸 = 0, 𝑑𝑎𝑛 𝐼 = 0, maka diperoleh:
𝜑 − 𝛼1𝑆𝐸 + 𝛽2𝐼 + 𝛼1𝐸 − 𝜇𝑆 = 0
𝜑 − 𝛼1𝑆(0) + 𝛽2(0) − 𝛼2(0) + 𝜇𝑆 = 0
𝜑 = 𝜇𝑆
𝑆0 =𝜑
𝜇.
(4.3)
Dan untuk mendapatkan nilai R diperoleh sebagai berikut:
𝛾1𝐼 + 𝛾2𝐸 − 𝜇𝑅 = 0
𝛾1(0) + 𝛾2(0) − 𝜇𝑅 = 0
−𝜇𝑅 = 0.
(4.4)
Jadi, titik kesetimbangan bebas perokok adalah
𝐸0∗ = (𝑆0, 𝐸0, 𝐼0, 𝑅0) = (
𝜑
𝜇 ,0,0,0). (4.5)
25
b. Titik kesetimbangan epidemik
Titik kesetimbangan epidemik dinyatakan dalam bentuk 𝐸1∗ =
(𝑆1, 𝐸1, 𝐼1, 𝑅1) terjadi jika 𝐸 > 0 dan 𝐼 > 0. Berdasarkan dengan sistem persamaan
pada model tersebut diperoleh:
Untuk 𝑑𝐸
𝑑𝑡= 0, diperoleh sebagai berikut:
𝛼1𝑆𝐸 − 𝛼2𝐸 − 𝛽2𝐸 − 𝛾2𝐸 − 𝜇𝐸 = 0
(𝛼1𝑆 + 𝛼2)𝐸 − (𝛽2 − 𝛾2 − 𝜇)𝐸
(𝛼1𝑆 + 𝛼2 + 𝛽2 + 𝛾2 + 𝜇)
𝑆1 =𝛼2 + 𝛽2 + 𝛾2 + 𝜇
𝛼1,
(4.6)
Dengan bantuan soffwere Maple
𝐸1 =−𝜑𝛼1𝛽2−𝜑𝛼1𝜇+𝜇𝛼2𝛽2+𝛾2𝜇2+𝜇3+𝛾2𝜇𝛽2+2𝜇2𝛽2+𝜇2𝛼2+𝜇𝛽2
2
𝛼1(𝛾2𝛽2+𝛽22+2𝜇𝛽2+𝜇2−𝛽1𝛽2+𝛽2𝛾1+𝜇𝛾2)
,
𝐼1 =−𝛽1𝜑𝛼1 + 𝛾2𝛽1𝜇 − 𝛾2𝛾1𝜇 + 𝛽1𝜇
2 − 𝛾1𝜇𝛼2 + 𝛽1𝜇𝛽2 + 𝛾1𝜑𝛼1 − 𝛾1𝜇𝛽2 − 𝛾1𝜇2
𝛼1(𝛾2𝛽2 + 𝛽22 + 2𝜇𝛽2 + 𝜇2 − 𝛽1𝛽2 + 𝛽2𝛾1 + 𝜇𝛾2)
,
𝑅1 =(−𝜑𝛼1+𝜇𝛾2+𝜇2+𝜇𝛼2+𝜇𝛽2)(𝛾2𝛽2+𝜇𝛾2+𝛽1𝛾1−𝛾2
2
𝜇𝛼1(𝛾2𝛽2+𝛽22+2𝜇𝛽2+𝜇2−𝛽1𝛽2+𝛽2𝛾1+𝜇𝛾2)
.
Jadi titik kesetimbangan epidemik perokok adalah
𝐸1∗ = (𝑆1, 𝐸1, 𝐼1, 𝑅1) = 𝑆1 =
𝛼2 + 𝛽2 + 𝛾2 + 𝜇
𝛼1 ,
𝐸1 =−𝜑𝛼1𝛽2−𝜑𝛼1𝜇+𝜇𝛼2𝛽2+𝛾2𝜇2+𝜇3+𝛾2𝜇𝛽2+2𝜇2𝛽2+𝜇2𝛼2+𝜇𝛽2
2
𝛼1(𝛾2𝛽2+𝛽22+2𝜇𝛽2+𝜇2−𝛽1𝛽2+𝛽2𝛾1+𝜇𝛾2)
,
𝐼1 =−𝛽1𝜑𝛼1+𝛾2𝛽1𝜇−𝛾2𝛾1𝜇+𝛽1𝜇2−𝛾1𝜇𝛼2+𝛽1𝜇𝛽2+𝛾1𝜑𝛼1−𝛾1𝜇𝛽2−𝛾1𝜇2
𝛼1(𝛾2𝛽2+𝛽22+2𝜇𝛽2+𝜇2−𝛽1𝛽2+𝛽2𝛾1+𝜇𝛾2)
,
𝑅1 =(−𝜑𝛼1 + 𝜇𝛾2 + 𝜇2 + 𝜇𝛼2 + 𝜇𝛽2)(𝛾2𝛽2 + 𝜇𝛾2 + 𝛽1𝛾1 − 𝛾2
2
𝜇𝛼1(𝛾2𝛽2 + 𝛽22 + 2𝜇𝛽2 + 𝜇2 − 𝛽1𝛽2 + 𝛽2𝛾1 + 𝜇𝛾2)
.
26
4.3 Analisis Kestabilan Pada Titik Kesetimbangan
Pada pembahasan ini akan dilakukan analisis kestabilan pada titik
kesetimbangan dengan cara pelinearisasian suatu sistem model penyebaran
perokok. Persamaan yang akan dilinearisasikan adalah sebagai berikut:
𝑓1(𝑆, 𝐸, 𝐼, 𝑅) = 𝜑 − 𝛼𝟏𝑆𝐸 + 𝛽2𝐼 + 𝛼𝟐𝐸 − 𝜇𝑆
𝑓2(𝑆, 𝐸, 𝐼, 𝑅, ) = 𝛼𝟏𝑆𝐸 − 𝛼𝟐𝐸 − 𝛽2𝐸 − 𝛾2𝐸 − 𝜇𝐸
𝑓3(𝑆, 𝐸, 𝐼, 𝑅) = 𝛽1𝐸 − 𝛽2𝐼 − 𝛾1𝐸 − 𝜇𝐼
𝑓4(𝑆, 𝐸, 𝐼, 𝑅) = 𝛾1𝐼 + 𝛾2𝐸 − 𝜇𝑅
(4.7)
Dari keempat persamaan nonlinear di atas dapat dilinearkan sebagai berikut:
𝑑𝑓1𝑑𝑠
=𝑑(𝜑 − 𝛼1𝑆𝐸 + 𝛽2𝐼 + 𝛼2𝐸 − 𝜇𝑆)
𝑑𝑠= −𝛼1𝐸 − 𝜇
𝑑𝑓1𝑑𝐸
=𝑑(𝜑 − 𝛼1𝑆𝐸 + 𝛽2𝐼 + 𝛼2𝐸 − 𝜇𝑆)
𝑑𝐼= −𝛼1𝑆 + 𝛼2
𝑑𝑓1𝑑𝐼
=𝑑(𝜑 − 𝛼1𝑆𝐸 + 𝛽2𝐼 + 𝛼2𝐸 − 𝜇𝑆)
𝑑𝐼= 𝛽2
𝑑𝑓1𝑑𝑅
=𝑑(𝜑 − 𝛼1𝑆𝐸 + 𝛽2𝐼 + 𝛼2𝐸 − 𝜇𝑆)
𝑑𝑅= 0
𝑑𝑓2𝑑𝑆
=𝑑(𝛼1𝑆𝐸 − 𝛼2𝐸 − 𝛽2𝐸 − 𝛾2𝐸 − 𝜇𝐸 )
𝑑𝑆= 𝛼1𝐸
𝑑𝑓2𝑑𝐸
=𝑑(𝛼1𝑆𝐸 − 𝛼2𝐸 − 𝛽2𝐸 − 𝛾2𝐸 − 𝜇𝐸 )
𝑑𝐸= 𝛼1𝑆 − 𝛼2 − 𝛽2 − 𝛾2 − 𝜇
𝑑𝑓2𝑑𝐼
=𝑑(𝛼1𝑆𝐸 − 𝛼2𝐸 − 𝛽2𝐸 − 𝛾2𝐸 − 𝜇𝐸 )
𝑑𝐼= 0
27
𝑑𝑓2𝑑𝑅
=𝑑(𝛼1𝑆𝐸 − 𝛼2𝐸 − 𝛽2𝐸 − 𝛾2𝐸 − 𝜇𝐸 )
𝑑𝑅= 0
𝑑𝑓3𝑑𝑠
=𝑑(𝛽1𝐸 − 𝛽2𝐼 − 𝛾1𝐸 − 𝜇𝐼)
𝑑𝑠= 0
𝑑𝑓3𝑑𝐸
=𝑑(𝛽1𝐸 − 𝛽2𝐼 − 𝛾1𝐸 − 𝜇𝐼)
𝑑𝐸= 𝛽1 − 𝛾1
𝑑𝑓3𝑑𝐼
=𝑑(𝛽1𝐸 − 𝛽2𝐼 − 𝛾1𝐸 − 𝜇𝐼)
𝑑𝐼= −𝛽2 − 𝜇
𝑑𝑓3𝑑𝑅
=𝑑(𝛽1𝐸 − 𝛽2𝐼 − 𝛾1𝐸 − 𝜇𝐼)
𝑑𝑅= 0
𝑑𝑓4𝑑𝑆
=𝑑(𝛾1𝐼 + 𝛾2𝐸 − 𝜇𝑅 )
𝑑𝑆= 0
𝑑𝑓4𝑑𝐸
=𝑑(𝛾1𝐼 + 𝛾2𝐸 − 𝜇𝑅 )
𝑑𝐸= 𝛾2
𝑑𝑓4𝑑𝐼
=𝑑(𝛾1𝐼 + 𝛾2𝐸 − 𝜇𝑅 )
𝑑𝐼= 𝛾1
𝑑𝑓4𝑑𝑅
=𝑑(𝛾1𝐼 + 𝛾2𝐸 − 𝜇𝑅 )
𝑑𝑅= −𝜇
Linearisasi sistem persamaan diatas adalah matriks jacobian J.
Selanjutnya dari hasil persamaan linear yang didapatkan diatas, maka
dimasukkan kedalam matriks jacobian J, sehingga diperoleh suatu matrik jacobian
yang berukuran 4x4 sebagai berikut:
28
𝐽 =
[ 𝜕𝑓1𝜕𝑆𝜕𝑓2𝜕𝑆𝜕𝑓3𝜕𝑆
𝜕𝑓1𝜕𝐸
𝜕𝑓1𝜕𝐼
𝜕𝑓1𝜕𝑅
𝜕𝑓2𝜕𝐸
𝜕𝑓2𝜕𝐼
𝜕𝑓2𝜕𝑅
𝜕𝑓3𝜕𝐸
𝜕𝑓3𝜕𝐼
𝜕𝑓3𝜕𝑅
𝜕𝑓4𝜕𝑆
𝜕𝑓4𝜕𝐸
𝜕𝑓4𝜕𝐼
𝜕𝑓4𝜕𝑅 ]
.
Selanjutnya hasil yang didapatkan dari persamaan nonlinear diatas di
subtitusikan ke dalam matriks jacobian, sehingga diperoleh matriks sebagai berikut:
𝐽 = [
−𝛼1𝐸 − 𝜇 −𝛼1𝑠 + 𝛼2 𝛽2 0
𝛼𝟏𝐸00
𝛼𝟏𝑆 − 𝛼𝟐 − 𝛽2 − 𝛾2 − 𝜇𝛽1 − 𝛾1
𝛾2
0−𝛽2 − 𝜇
𝛾1
00
−𝜇
]. (4.8)
4.3.1 Analisis Kestabilan Titik Kesetimbangan Bebas Dari Rokok
Analisis kestabilan titik kesetimbangan bebas dari rokok 𝐸0∗ =
(𝑆0𝐸0𝐼0𝑅0)dimana (𝑆 =𝜑
𝜇, 𝐸 = 0, 𝐼 = 0, 𝑅 = 0).
Disubtitusi pada persamaan 4.8 sehingga di peroleh sebagai berikut:
𝐽1 = 𝐽(𝐸0∗)
[
−𝜇 −𝛼1𝜑
𝜇+ 𝛼2 𝛽2 0
000
𝛼1𝜑
𝜇− 𝛼2 − 𝛽2 − 𝛾2 − 𝜇
𝛽1 − 𝛾1
𝛾2
0−𝛽2 − 𝜇
𝛾1
00
−𝜇
]
.
Untuk mencari nilai eigen matriks jacobian yang berukuran 4x4, maka matriks
jacobian 𝐽1 ditulis sebagai berikut: 𝑑𝑒𝑡[𝜆𝐼 − 𝐽0] = 0
29
𝑑𝑒𝑡
(
𝜆 [
1000
0 0 01 0 00 1 00 0 1
] −
[
−𝜇 −𝛼1𝜑
𝜇+ 𝛼2 𝛽2 0
000
𝛼1𝜑
𝜇− 𝛼2 − 𝛽2 − 𝛾2 − 𝜇
𝛽1 − 𝛾1
𝛾2
0−𝛽2 − 𝜇
𝛾1
00
−𝜇]
)
=0
𝑑𝑒𝑡
(
[
𝜆 0 0 0000
𝜆 0 00 𝜆 00 0 𝜆
] −
[
−𝜇 −𝛼1𝜑
𝜇+ 𝛼2 𝛽2 0
000
𝛼1𝜑
𝜇− 𝛼2 − 𝛽2 − 𝛾2 − 𝜇
𝛽1 − 𝛾1
𝛾2
0−𝛽2 − 𝜇
𝛾1
00
−𝜇]
)
=0
𝑑𝑒𝑡
(
[
𝜆 + 𝜇 𝛼1𝜑
𝜇+ 𝛼2 −𝛽2 0
000
𝜆 +𝛼1𝜑
𝜇− 𝛼2 − 𝛽2 − 𝛾2 − 𝜇
−𝛽1 − 𝛾1
−𝛾2
0𝜆 + 𝛽2 − 𝜇
−𝛾1
00
−𝜇]
)
=0
Persamaan karakteristiknya adalah:
(
(𝜆 + 𝜇 ) [
𝜆 +𝛼1𝜑
𝜇− 𝛼2 − 𝛽2 − 𝛾2 − 𝜇
−𝛽1 − 𝛾1
−𝛾2
0𝜆 + 𝛽2 − 𝜇
−𝛾1
00
−𝜇] −
𝛼1𝜑
𝜇+
𝛼2 [0 0 00 𝜆 + 𝛽2 − 𝜇 00 −𝛾1 −𝜇
]
)
= 0
(𝜆 + 𝜇 ) ((𝜆 +𝛼1𝜑
𝜇− 𝛼2 − 𝛽2 − 𝛾2 − 𝜇) (𝜆 + 𝛽2 − 𝜇)(−𝜇)) −
𝛼1𝜑
𝜇+ 𝛼2(𝜆 +
𝛽2 − 𝜇)(−𝜇) = 0.
Berdasarkan bantuan dari software maple, sehingga diperoleh nilai
eigennya sebagai berikut:
30
𝜆1 = −𝜇1 ,
𝜆2 = −𝜇1 ,
𝜆3 = −−𝜑𝛼1+𝜇𝛾2+𝜇2+𝜇𝛼2+𝜇𝛽2
𝜇 ,
𝜆4 = −𝛽2 − 𝜇.
(4.9)
Dari nilai eigen yang diperoleh, ditunjukkan bahwa 𝜆1, 𝜆2 < 0, dikarenakan nilai
dari 𝜇 > 0. Jika –−𝜑𝛼1+𝜇𝛾2+𝜇2+𝜇𝛼2+𝜇𝛽2
𝜇 pada 𝜆3 memiliki nilai real negatif, maka
nilai eigen untuk 𝜆3 < 0, dan jika −𝛽2 − 𝜇 pada 𝜆4 memiliki nilai real negatif
maka nilai eigen dari 𝜆4 < 0 sehingga titik kesetimbangan bebas perokok
menghasilkan perilaku stabil asimtotik., sebaliknya jika −𝜑𝛼1 >𝜇𝛾2+𝜇2+𝜇𝛼2+𝜇𝛽2
𝜇
pada 𝜆3 memiliki nilai real positif maka nilai 𝜆3 > 0 dan jika −𝛽2 > −𝜇 pada 𝜆4
memiliki nilai real positif maka nilai 𝜆4 > 0 sehingga titik kesetimbangan bebas
perokok menghasilkan perilaku 𝑠𝑎𝑑𝑑𝑙𝑒 𝑝𝑜𝑖𝑛𝑡. Secara umum, sifat kestabilan bebas
perokok di sajikan pada Tabel 4.1 berikut.
Tabel 4.1 Kestabilan di titik kesetimbangan bebas perokok
𝜆 1 𝜆2 𝜆3 𝜆4 Sifat
kestabilan
Titik
kesetimbangan
bebas dari
perokok
Real
negative
Real
negative
Real
negative
Real
negative
Stabil
asimtotik
Real
negative
Real
negative
Real
positif
Real
positif
Saddle
Point
31
4.3.2 Analisis kestabilan titik kesetimbangan epidemik perokok
Kestabilan titik kesetimbangan epidemik 𝐸1∗ = (𝑆1, 𝐸1, 𝐼, 𝑅1) dimana,
𝑆1 =𝛼2+𝛽2+𝛾2+𝜇
𝛼1,
𝐸1 =−𝜑𝛼1𝛽2 − 𝜑𝛼1𝜇 + 𝜇𝛼2𝛽2 + 𝛾2𝜇
2 + 𝜇3 + 𝛾2𝜇𝛽2 + 2𝜇2𝛽2 + 𝜇2𝛼2 + 𝜇𝛽22
𝛼1(𝛾2𝛽2 + 𝛽22 + 2𝜇𝛽2 + 𝜇2 − 𝛽1𝛽2 + 𝛽2𝛾1 + 𝜇𝛾2)
,
𝐼1 =−𝛽1𝜑𝛼1 + 𝛾2𝛽1𝜇 − 𝛾2𝛾1𝜇 + 𝛽1𝜇
2 − 𝛾1𝜇𝛼2 + 𝛽1𝜇𝛽2 + 𝛾1𝜑𝛼1 − 𝛾1𝜇𝛽2 − 𝛾1𝜇2
𝛼1(𝛾2𝛽2 + 𝛽22 + 2𝜇𝛽2 + 𝜇2 − 𝛽1𝛽2 + 𝛽2𝛾1 + 𝜇𝛾2)
,
𝑅1 =(−𝜑𝛼1+𝜇𝛾2+𝜇2+𝜇𝛼2+𝜇𝛽2)(𝛾2𝛽2+𝜇𝛾2+𝛽1𝛾1−𝛾2
2
𝜇𝛼1(𝛾2𝛽2+𝛽22+2𝜇𝛽2+𝜇2−𝛽1𝛽2+𝛽2𝛾1+𝜇𝛾2)
.
Disubstitusi pada persamaan 4.10 sehingga diperoleh:
𝐽2 = 𝐽(𝐸1∗)=
[
−𝜑𝛼1𝛽2−𝜑𝛼2𝛽2+𝛾2𝜇2+𝜇3+𝛾2𝜇𝛽2+2𝜇2𝛽2+𝜇2𝛼2+𝜇𝛽2
2
𝛾2𝛽2+𝛽22+2𝜇𝛽2+𝜇2−𝛽1𝛽2+𝛽2𝛾1+𝜇𝛾2
− 𝜇 −𝛽2 − 𝛾2 − 𝜇 𝛽2 0
−−𝜑𝛼1𝛽2−𝜑𝛼1𝜇+𝜇𝛼2𝛽2+𝛾2𝜇2+𝜇3+𝛾2𝜇𝛽2+2𝜇2𝛽2+𝜇2𝛼2+𝜇𝛽2
2
𝛾2𝛽2+𝛽22+2𝜇𝛽2+𝜇2−𝛽1𝛽2+𝛽2𝛾1+𝜇𝛾2
00
0 0 0𝛽1 − 𝛾1 −𝛽2 − 𝜇 0𝛾2 𝛾1 −𝜇
]
(4.10)
Untuk mencari nilai eigen matrik jacobian 𝐽2 yang berukuran 4 x 4, maka matriks
jacobian 𝐽2 ditulis sebagai:
𝑑𝑒𝑡[𝜆𝐼 − 𝐽2] = 0
𝑑𝑒𝑡
(
[
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1
]
−
[
−𝜑𝛼1𝛽2 − 𝜑𝛼2𝛽2 + 𝛾2𝜇2 + 𝜇3 + 𝛾2𝜇𝛽2 + 2𝜇2𝛽2 + 𝜇2𝛼2 + 𝜇𝛽2
2
𝛾2𝛽2 + 𝛽22 + 2𝜇𝛽2 + 𝜇2 − 𝛽1𝛽2 + 𝛽2𝛾1 + 𝜇𝛾2
− 𝜇 −𝛽2 − 𝛾2 − 𝜇 𝛽2 0
−−𝜑𝛼1𝛽2 − 𝜑𝛼1𝜇 + 𝜇𝛼2𝛽2 + 𝛾2𝜇
2 + 𝜇3 + 𝛾2𝜇𝛽2 + 2𝜇2𝛽2 + 𝜇2𝛼2 + 𝜇𝛽22
𝛾2𝛽2 + 𝛽22 + 2𝜇𝛽2 + 𝜇2 − 𝛽1𝛽2 + 𝛽2𝛾1 + 𝜇𝛾2
00
0 0 0𝛽1 − 𝛾1 −𝛽2 − 𝜇 0𝛾2 𝛾1 −𝜇
]
)
= 0
32
𝑑𝑒𝑡
(
[
𝜆 0 0 00 𝜆 0 00 0 𝜆 00 0 0 𝜆
]
−
[
−𝜑𝛼1𝛽2 − 𝜑𝛼2𝛽2 + 𝛾2𝜇2 + 𝜇3 + 𝛾2𝜇𝛽2 + 2𝜇2𝛽2 + 𝜇2𝛼2 + 𝜇𝛽2
2
𝛾2𝛽2 + 𝛽22 + 2𝜇𝛽2 + 𝜇2 − 𝛽1𝛽2 + 𝛽2𝛾1 + 𝜇𝛾2
− 𝜇 −𝛽2 − 𝛾2 − 𝜇 𝛽2 0
−𝜑𝛼1𝛽2 − 𝜑𝛼1𝜇 + 𝜇𝛼2𝛽2 + 𝛾2𝜇2 + 𝜇3 + 𝛾2𝜇𝛽2 + 2𝜇2𝛽2 + 𝜇2𝛼2 + 𝜇𝛽2
2
𝛾2𝛽2 + 𝛽22 + 2𝜇𝛽2 + 𝜇2 − 𝛽1𝛽2 + 𝛽2𝛾1 + 𝜇𝛾2
00
0 0 0𝛽1 − 𝛾1 −𝛽2 − 𝜇 0𝛾2 𝛾1 −𝜇
]
)
= 0
[
[ 𝜆 + ((
−𝜑𝛼1𝛽2 − 𝜑𝛼2𝛽2 + 𝛾2𝜇2 + 𝜇3 + 𝛾2𝜇𝛽2 + 2𝜇2𝛽2 + 𝜇2𝛼2 + 𝜇𝛽2
2
𝛾2𝛽2 + 𝛽22 + 2𝜇𝛽2 + 𝜇2 − 𝛽1𝛽2 + 𝛽2𝛾1 + 𝜇𝛾2
) −) + 𝜇 𝛽2 − 𝛾2 − 𝜇 −𝛽2 0
−𝜑𝛼1𝛽2 − 𝜑𝛼1𝜇 + 𝜇𝛼2𝛽2 + 𝛾2𝜇2 + 𝜇3 + 𝛾2𝜇𝛽2 + 2𝜇2𝛽2 + 𝜇2𝛼2 + 𝜇𝛽2
2
𝛾2𝛽2 + 𝛽22 + 2𝜇𝛽2 + 𝜇2 − 𝛽1𝛽2 + 𝛽2𝛾1 + 𝜇𝛾2
0 0 0
0 −𝛽1 − 𝛾1 𝜆 + 𝛽2 − 𝜇 00 −𝛾2 −𝛾1 𝜆 + 𝜇 ]
]
= 0
Persamaan karakteristiknya adalah
(𝜆 + ((−𝜑𝛼1𝛽2 − 𝜑𝛼2𝛽2 + 𝛾2𝜇
2 + 𝜇3 + 𝛾2𝜇𝛽2 + 2𝜇2𝛽2 + 𝜇2𝛼2 + 𝜇𝛽22
𝛾2𝛽2 + 𝛽22 + 2𝜇𝛽2 + 𝜇2 − 𝛽1𝛽2 + 𝛽2𝛾1 + 𝜇𝛾2
) −)
+ 𝜇 ) [
0 0 0−𝛽1 − 𝛾1 𝜆 + 𝛽2 − 𝜇 0
−𝛾2 −𝛾1 𝜆 + 𝜇1
]
+ (𝛽2 − 𝛾2
− 𝜇)
[ −𝜑𝛼1𝛽2 − 𝜑𝛼1𝜇 + 𝜇𝛼2𝛽2 + 𝛾2𝜇
2 + 𝜇3 + 𝛾2𝜇𝛽2 + 2𝜇2𝛽2 + 𝜇2𝛼2 + 𝜇𝛽22
𝛾2𝛽2 + 𝛽22 + 2𝜇𝛽2 + 𝜇2 − 𝛽1𝛽2 + 𝛽2𝛾1 + 𝜇𝛾2
0 0
0 𝜆 + 𝛽2 − 𝜇 00 −𝛾1 𝜆 + 𝜇]
= 0
Untuk nilai eigen pada titik kesetimbangan epidemik perokok akan dihitung secara
numeric.
33
4.4 Simulasi Numerik Dinamika Model SEIR Pada Populasi Perokok
Pada subbab ini simulasi numerik dilakukan dengan menggunakan metode
rungge-kutta orde empat. Simulasi dinamika pada populasi perokok menggunakan
model SEIR dilakukan dengan memvariasikan parameter-parameter yang
mempengaruhi model tersebut. Beberapa parameter yang divariasikan yaitu 𝜑
adalah laju kelahiran individu baru yang masuk ke populasi yang berpotensial
merokok, 𝛼1 adalah laju perubahan populasi yang tidak merokok tapi rentang
merokok yang masuk ke individu yang kadang-kadang merokok, 𝛼2 adalah laju
perubahan populasi yang kadang-kadang merokok yang masuk ke individu yang
tidak merokok tapi rentang merokok, 𝛽1 adalah laju perubahan populasi yang
kadang-kadang merokok yang masuk kedalam populasi perokok berat, 𝛾1 adalah
laju perubahan populasi perokok berat yang masuk menjadi individu yang berhenti
merokok dan tidak lagi merokok, 𝛽2 adalah laju perubahan perokok kadang-kadang
sehingga masuk menjadi populasi individu yang berhenti merokok dan tidak lagi
merokok. Sementara itu 𝛾2 adalah laju perubahan dari individu perokok potensial
sehingga menjadi perokok berat akibat dari interaksi dari perokok mula-mula.
4.4.1 Simulasi Numerik Bebas Perokok
Kasus 1
Simulasi pada keadaan bebas perokok menggunakan syarat awal untuk individu
perokok yang rentan 𝑆(0) = 50, perokok yang kadang-kadang 𝐸(0) = 8 ,
perokok berat 𝐼(0) = 10, dan perokok yang berhenti 𝑅(0) = 20, dan parameter-
parameter yang digunakan yaitu pada Tabel 4.2 berikut.
34
Tabel 4.2 Nilai parameter-parameter dalam model perokok
Parameter Nilai Penafsiran
𝜑 1 Laju kelahiran individu baru yang masuk ke
populasi yang berpotensial merokok
𝛼1 0,01 Laju pertumbuhan populasi yang tidak merokok
tapi rentang merokok yang masuk ke individu
yang kadang-kadang merokok.
𝛼2 0,2 Laju pertumbuhan populasi yang kadang-
kadang merokok yang masuk ke individu yang
tidak merokok tapi rentang merokok
𝛽1 0,1 Laju pertumbuhan populasi yang kadang-
kadang merokok yang masuk kedalam populasi
perokok berat.
𝛾1 0,5 Laju perubahan populasi perokok berat yang
masuk menjadi individu yang berhenti merokok
dan tidak lagi merokok.
𝛾2 0,6 Laju perubahan dari individu perokok potensial
sehingga menjadi perokok berat akibat dari
interaksi dari perokok mula-mula.
𝜇 0,0012 Laju kematian alami pada semua populasi
perokok
𝛽2 0,01 Laju perubahan perokok kadang-kadang
sehingga masuk menjadi populasi individu yang
berhenti merokok dan tidak lagi merokok.
Untuk menganalisis kestabilan titik kesetimbangan bebas virus, dapat dilakukan
dengan cara mensubstitusi nilai parameter-parameter pada persamaan (4.10)
sehingga didapatkan nilai eigen dan sifat kestabilannya, seperti yang ditunjukkan
pada Tabel 4.3 berikut:
35
Tabel 4.3 Sifat kestabilan titik kesetimbangan bebas perokok bagian pertama
Titik kesetimbangan Nilai eigen Sifat kestabilan
𝐸0∗ = (𝑆0, 𝐸0, 𝐼0, 𝑅0) =
(𝜑
𝜇 ,0,0,0) = (833,0,0,0)
𝜆1 = −0,0012
𝜆2 = −0,0012
𝜆3 = −0,0112
𝜆4 = 7.522
saddle point
Berdasarkan nilai awal dan nilai dari parameter-parameter dari model populasi
perokok maka diperoleh laju pertumbuhan bebas perokok seperti pada Gambar 4.1
berikut:
Gambar 4.1 Laju pertumbuhan bebas perokok pada model SEIR dengan
perilaku 𝑠𝑎𝑑𝑑𝑙𝑒 𝑝𝑜𝑖𝑛𝑡 pada saat 0 ≤ 𝑡 ≤ 100.
Berdasarkan Gambar 4.1 diatas, populasi individu yang rentang merokok
akan mengalami suatu peningkatan dari waktu ke waktu karena semakin banyaknya
kelahiran yang terjadi disetiap bulan sehingga individu yang baru lahir akan masuk
ke yang rentang untuk merokok. Populasi individu yang kadang-kadang merokok
mengalami suatu penurunan karena individu yang kadang-kadang merokok belum
36
menjadi perokok berat dan belum dapat terjadinya suatu penularan yang dapat
memepenggaruhi populasi yang rentang merokok. Populasi individu yang perokok
berat mendekati suatu keadaan minimum dan belum terjadi suatu penularan yang
terjadi karenah pada perlakuan keadaan yang bebas dari pengaruh rokok tersebut
maka populasi terbebas dari pengaruh rokok, maka populasi perokok berat akan
mengalami suatu kepunahaan. Dan individu yang berhenti merokok akan
mengalami suatu peningkatan dari waktu ke waktu karena tidak ada lagi pengaruh
rokok sehingga kekebalan tubuh yang dimiliki akan membuat individu tersebut
berhenti dan tidak lagi terpengaruhi oleh perokok.
Gambar 4.2 Grafik 3 dimensi untuk 𝑠𝑢𝑠𝑐𝑒𝑝𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒 atau individu yang rentang
untuk menjadi perokok, 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑠𝑒𝑑 atau perokok yang kadang-kadang, dan 𝑖𝑛𝑓𝑒𝑐𝑡𝑒𝑑
atau perokok pada titik kesetimbangan bebas perokok dengan perilaku saddle
point.
4.4.2 Simulasi Numerik Epidemik
Simulasi pada keadaan epidemik perokok menggunakan syarat awal untuk
individu perokok yang rentan 𝑆(0) = 90, kadang-kadang merokok 𝐸(0) = 20 ,
37
perokok berat 𝐼(0) = 30, dan berhenti merokok 𝑅(0) = 5, dan parameter-
parameter yang digunakan yaitu pada Tabel 4.4 berikut.
Tabel 4.4 Nilai parameter-parameter dalam model Perokok
Parameter Nilai Penafsiran
𝜑 1 Laju kelahiran individu baru yang masuk ke
populasi yang berpotensial merokok
𝛼1 0,001 Laju pertumbuhan populasi yang tidak merokok
tapi rentang merokok yang masuk ke individu
yang kadang-kadang merokok.
𝛼2 0,02 Laju pertumbuhan populasi yang kadang-
kadang merokok yang masuk ke individu yang
tidak merokok tapi rentang merokok
𝛽1 0,001 Laju pertumbuhan populasi yang kadang-
kadang merokok yang masuk kedalam populasi
perokok berat.
𝛾1 0,05 Laju perubahan populasi perokok berat yang
masuk menjadi individu yang berhenti merokok
dan tidak lagi merokok.
𝛾2 0,06 Laju perubahan dari individu perokok potensial
sehingga menjadi perokok berat akibat dari
interaksi dari perokok mula-mula.
𝜇 0,02 Laju kematian alami pada semua populasi
perokok
𝛽2 0,001 Laju perubahan perokok kadang-kadang
sehingga masuk menjadi populasi individu yang
berhenti merokok dan tidak lagi merokok.
Untuk menganalisis kestabilan titik kesetimbangan epidemik, dapat
dilakukan dengan cara mensubstitusi nilai dari parameter-parameter pada Tabel
38
(4.2) ke persamaan (4.3) sehingga didapatkan nilai eigen dan sifat kestabilannya,
seperti yang ditunjukkan pada Tabel 4.5 berikut:
Tabel 4.5 Sifat kestabilan titik kesetimbangan epidemik perokok
Berdasarkan nilai awal dan nilai parameter-parameter pada Tabel 4.4 maka
diperoleh laju pertumbuhan epidemik perokok seperti Gambar 4.3 berikut.
Gambar 4.3 Laju pertumbuhan epidemik perokok pada model SEIR pada saat 0 ≤
𝑡 ≤ 100
Titik kesetimbangan Nilai eigen Sifat
kestabilan
𝐸1∗ = (𝑆1, 𝐸1, 𝐼1, 𝑅1) =
𝛼2+𝛽2+𝛾2+𝜇
𝛼1 ,
−𝜑𝛼1𝛽2−𝜑𝛼1𝜇+𝜇𝛼2𝛽2+𝛾2𝜇2+𝜇3+𝛾2𝜇𝛽2+2𝜇2𝛽2+𝜇2𝛼2+𝜇𝛽22
𝛼1(𝛾2𝛽2+𝛽22+2𝜇𝛽2+𝜇2−𝛽1𝛽2+𝛽2𝛾1+𝜇𝛾2)
,−𝛽1𝜑𝛼1 + 𝛾2𝛽1𝜇 − 𝛾2𝛾1𝜇 + 𝛽1𝜇
2 − 𝛾1𝜇𝛼2 + 𝛽1𝜇𝛽2 + 𝛾1𝜑𝛼1 − 𝛾1𝜇𝛽2 − 𝛾1𝜇2
𝛼1(𝛾2𝛽2 + 𝛽22 + 2𝜇𝛽2 + 𝜇2 − 𝛽1𝛽2 + 𝛽2𝛾1 + 𝜇𝛾2)
,(−𝜑𝛼1+𝜇𝛾2+𝜇2+𝜇𝛼2+𝜇𝛽2)(𝛾2𝛽2+𝜇𝛾2+𝛽1𝛾1−𝛾2
2
𝜇𝛼1(𝛾2𝛽2+𝛽22+2𝜇𝛽2+𝜇2−𝛽1𝛽2+𝛽2𝛾1+𝜇𝛾2)
= (90,20,30,5)
𝜆1 = −0,02
𝜆2 = 0,03
𝜆3
= −0,016
𝜆4
= −0,0167
Saddle
Point
39
Pada Gambar 4.3 Gambar tersebut merupakan grafik yang menunjukkan
jumlah masing-masing subpopulasi dalam setiap satuan waktu, individu yang tidak
merokok tapi rentang untuk menjadi perokok mengalami penurunan karena
individu yang rentang sangat mudah terpengaruh untuk menjadi perokok, hal ini
dipengaruhi oleh suatu interaksi yang terjadi antara perokok kadang-kadang
dengan yang rentang. Perokok kadang-kadang mengalami penurunan karena
adanya suatu interaksi dengan individu yang rentang masuk ke yang perokok
kadang-kadang dalam waktu yang cukup lama sehingga dapat terpengaruh menjadi
perokok . Perokok berat mengalami mula-mula terjadi penurunan karena individu
tersebut memilih untuk berhenti karena adanya suatu individu yang telah berhasil
sembuh dari pengaruh dari perokok akibat dari rokok yang dikonsumsi. Individu
yang berhenti merokok mengalami kenaikan karenah semakin banyak perokok
berat memilih untuk berhenti merokok dan memilih alternative lain untuk
mengganti rokok yang biasa dikonsumsi (Gambar 4.4).
Gambar 4.4 Grafik 3 dimensi untuk rentang merokok, kadang-kadang merokok
dan perokok
40
pada titik kesetimbangan epidemik perokok Berdasarkan Gambar 4.4,
ditunjukkan bahwa garis dengan titik awal (90, 2, 3, 3) tidak menuju ke titik
kesetimbangan epidemik pada 𝐸1∗ = (𝑆1, 𝐸1, 𝐼1, 𝑅1) = (90,20,30,5) sehingga titik
kesetimbangan epidemik memiliki perilaku 𝑠𝑎𝑑𝑑𝑙𝑒 𝑝𝑜𝑖𝑛𝑡.
41
BAB V
PENUTUP
5.1 Kesimpulan
Dari hasil pembahasan diperoleh kesimpulan sebagai berikut yaitu :
1. Model populasi perokok dengan menggunakan Tipe SEIR diperoleh:
𝑑𝑆
𝑑𝑡= 𝜑 − 𝛼1𝑆𝐸 + 𝛽2𝐼 + 𝛼2𝐸 − 𝜇𝑆
𝑑𝐸
𝑑𝑡= 𝛼1𝑆𝐸 − 𝛼2𝐸 − 𝛽2𝐸 − 𝛾2𝐸 − 𝜇𝐸
𝑑𝐼
𝑑𝑡= 𝛽1𝐸 − 𝛽2𝐼 − 𝛾1𝐸 − 𝜇𝑅
𝑑𝐼
𝑑𝑡= 𝛾1𝐼 + 𝛾2𝐸 − 𝜇𝑅
2. Pada analisis titik kesetimbangan model matematika populasi perokok
dengan menggunakan tipe SEIR diperoleh dua titik kesetimbangan yaitu
bebas dari perokok 𝐸0∗ dan epidemik perokok 𝐸1
∗:
𝐸0∗ = (𝑆0, 𝐸0, 𝐼0, 𝑅0) = (
𝜑
𝜇, 0,0,0) = (833,0,0,0),
titik kesetimbangan bebas perokok 𝐸0∗ selalu bersifat stabil asimtotik lokal,
𝐸1∗ = (𝑆1𝐸1𝐼1𝑅1) = (90,20, ,30,5),
dimana:
𝑆1 =𝛼2 + 𝛽2 + 𝛾2 + 𝜇
𝛼1,
𝐸1 =−𝜑𝛼1𝛽2 − 𝜑𝛼1𝜇 + 𝜇𝛼2𝛽2 + 𝛾2𝜇
2 + 𝜇3 + 𝛾2𝜇𝛽2 + 2𝜇2𝛽2 + 𝜇2𝛼2 + 𝜇𝛽22
𝛼1(𝛾2𝛽2 + 𝛽22 + 2𝜇𝛽2 + 𝜇2 − 𝛽1𝛽2 + 𝛽2𝛾1 + 𝜇𝛾2)
,
𝐼1 =−𝛽1𝜑𝛼1 + 𝛾2𝛽1𝜇 − 𝛾2𝛾1𝜇 + 𝛽1𝜇
2 − 𝛾1𝜇𝛼2 + 𝛽1𝜇𝛽2 + 𝛾1𝜑𝛼1 − 𝛾1𝜇𝛽2 − 𝛾1𝜇2
𝛼1(𝛾2𝛽2 + 𝛽22 + 2𝜇𝛽2 + 𝜇2 − 𝛽1𝛽2 + 𝛽2𝛾1 + 𝜇𝛾2)
,
42
𝑅1 =(−𝜑𝛼1 + 𝜇𝛾2 + 𝜇2 + 𝜇𝛼2 + 𝜇𝛽2)(𝛾2𝛽2 + 𝜇𝛾2 + 𝛽1𝛾1 − 𝛾2
2
𝜇𝛼1(𝛾2𝛽2 + 𝛽22 + 2𝜇𝛽2 + 𝜇2 − 𝛽1𝛽2 + 𝛽2𝛾1 + 𝜇𝛾2)
,
titik kesetimbangan epidemik perokok 𝐸1 selalu bersifat stabil 𝑠𝑎𝑑𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑜𝑖𝑛𝑡.
5.2 Saran
Pada tugas akhir ini, penulis melakukan penelitian tentang pemodelan
matematika dengan menggunakan tipe SEIR dan diharapkan pada penelitian
selanjutnya dapat dikembangkan lagi dengan bentuk model MSEIR.
43
DAFTAR PUSTAKA
Aditama, T.Y. 2001. Masalah Merokok dan Penanggulangannya. Ikatan Dokter
Indonesia,Jakarta.
Djojodihardjo, H. 2000. Metode Numerik. PT Gramedia Pustaka Utama: jakarta.
Gunawan, A.Y. & Nurtaman, M.E. 2008, Model Dinamik Sederhana untuk
Masalah Peningkatan Populasi Perokok. Mathematics Subject
Classification. Vol. 14. Hal. 63-72.
Haris, A. dan Ikhsan, M. & Rogayah, R. 2012. Asap Rokok sebagai Bahan
Pencemar dalam Ruangan. Universitas Indonesia-Rumah Sakit
Persahabatan, :Jakarta.
Husaini, A. 2007. Tobat Merokok. Mizan Media Utama. Bandung.
Horward, A.1997. Aljabar Linear Elementer.Erlangga: jakarta.
Kelley, W.G. & Peterson, A.C. 2010. The Theory of Differential Equation:
Classical and Qualitative. Springer Science + Business Media. New York.
Kusumah, Y. S. 1989. Persamaan Diferensial.jakarta: Departemen pendidikan dan
kebudayaan.
Leon, S. J. 2001. Aljabar Linear dan Aplikasinya, Edisi kelima.
Erlangga: jakarta.
Merkin, D.R. 1997. Introduction to the Theory of stability. Springer-Verlag New
York Inc: Amerika.
Musta”adah, E. 2004. Aplikasi Teorema Titik Tetap pada Penyelesaian Persamaan
Diferensial Biasa. Skripsi. Tidak diterbitkan. Malang: UIN.
Olsder, G.J. & Woude, J.W. van der, 2003, Mathematical System Theory. Second
Edition. Delft University. The Netherlands.
Olsder, G.J. & Woude, J.W. van der. Maks. J.G., Jeltsema. D. 2011.Mathematical
Systems Theory.Fourth Edition. Delft University. The Netherlands.
Pamuntjak, R. J. & Santosa, W. 1990. Persamaan Diferensial Biasa. Bandung: ITB
Samet, J.M. 2010. Passive smoking and Health. Tobacco Science, Policy and
Health. Second Edition. Chapter 16.
44
Sharomi, O. & Gumel, A.B. 2008. Curtailing Smoking dynamics: A Mathematical
modeling Approach. Applied Mathematics and Computation. Vol. 195. Hal.
475-499.
Tirtosastro, S. & Murdiyati, A.S. 2010. Kandungan Kimia Tembakau dan Rokok.
Buletin Tanaman Tembakau, Serat dan Minyak Industri 2. Hal. 33-43.
Tobacco Control Support Center. 2012. Fakta Tembakau, Permasalahannya di
Indonesia.
Zeb, A. Zaman, G. & Momani, S. 2013. Square-root Dynamics of Giving Up
Smoking Model. Applied Mathematical Modelling.Vol. 37, Hal. 5326-5334.
Zhang j, Ma Z.Global dynamic of an SEIR Epidemic model wiht saturating contact
rate. Math Biosci 2003:185:15-23.
45
Lampiran 1 Titik Kesetimbangan
46
Lampiran 2 Nilai Eigen Umum
47
Lampiran 3 Nilai Eigen Kasus 1 Numerik
48
Lampiran 4 Nilai Eigen Kasus II
49
Lampiran 5 Skrip Mfile Matlab Kasus I Bebas Perokok
function SEIR clear all; global phi alpha1 alpha2 betha1 betha2 miu gamma1 gamma2; phi=1; alpha1=0.01; alpha2=0.2; betha1=0.1; betha2=0.01; miu=0.0012; gamma1=0.5; gamma2=0.6; t0=0; tf=100; y0=[90 20 30 5] %tstep=0.1; %[t y]=ode45 (@dxdt,[t0:tstep;tf],y0); [t y]=ode45(@dxx,[t0:0.1:tf],y0); plot(t,y(:,1),'g',t,y(:,2),'r',t,y(:,3),'b',t,y(:,4),'y') title('Populasi perokok tipe model SEIR') xlabel('Waktu(tahun)') ylabel('Jumlah Individu perokok') legend ('Susceptible(rentan untuk merokok)','exposed(perokok
kadang-kadang)','Infected(perokok berat)','Recovered(berhenti
merokok)') hold on
figure
plot3(y(:,1),y(:,2),y(:,3)) xlabel('Susceptible(rentan untuk merokok)'); ylabel('exposed(perokok kadang-kadang)'); zlabel('Infected(perokok berat)'); grid on
function dy=dxx(t,y) global phi alpha1 alpha2 betha1 betha2 miu gamma1 gamma2; dy=[phi-alpha1*y(1)*y(3)+betha1*y(2)+alpha2*y(3)-miu*y(1); alpha1*y(1)*y(3)-alpha2*y(3)-betha2*y(3)-gamma2*y(3)-miu*y(3); betha1*y(3)-betha2*y(2)-gamma1*y(3)-miu*y(2); gamma1*y(2)+gamma2*y(3)-miu*y(4)];
50
Lampiran 6 Program Matlab Untuk Menentukan Phase Potret Epidemik Perokok
Kasus II
function SEIR clear all; global phi alpha1 alpha2 betha1 betha2 miu gamma1 gamma2; phi=1; alpha1=0.001; alpha2=0.02; betha1=0.001; betha2=0.001; miu=0.02; gamma1=0.05; gamma2=0.06; t0=0; tf=100; y0=[90 20 30 5] %tstep=0.1; %[t y]=ode45 (@dxdt,[t0:tstep;tf],y0); [t y]=ode45(@dxx,[t0:0.1:tf],y0); plot(t,y(:,1),'g',t,y(:,2),'r',t,y(:,3),'b',t,y(:,4),'y') title('Populasi perokok tipe model SEIR') xlabel('Waktu(tahun)') ylabel('Jumlah Individu perokok') legend ('Susceptible(rentan untuk merokok)','exposed(perokok
kadang-kadang)','Infected(perokok berat)','Recovered(berhenti
merokok)') hold on
figure
plot3(y(:,1),y(:,2),y(:,3)) xlabel('Susceptible(rentan untuk merokok)'); ylabel('exposed(perokok kadang-kadang)'); zlabel('Infected(perokok berat)'); grid on
function dy=dxx(t,y) global phi alpha1 alpha2 betha1 betha2 miu gamma1 gamma2; dy=[phi-alpha1*y(1)*y(3)+betha1*y(2)+alpha2*y(3)-miu*y(1); alpha1*y(1)*y(3)-alpha2*y(3)-betha2*y(3)-gamma2*y(3)-miu*y(3); betha1*y(3)-betha2*y(2)-gamma1*y(3)-miu*y(2); gamma1*y(2)+gamma2*y(3)-miu*y(4)];