pendugaan interval
TRANSCRIPT
@FEUI, 2003 1
PENDUGAAN INTERVAL
@FEUI, 2003 2
Kemampuan Yang Dihasilkan:
1. Menjelaskan pengertian pendugaan interval parameter
2. Melakukan pendugaan interval rerata populasi populasi terbatas dan populasi tak terbatas
3. Melakukan pendugaan interval proporsi populasi4.4. Melakukan Melakukan pendugaan interval pendugaan interval selisih rerata selisih rerata
populasipopulasi5.5. Melakukan Melakukan pendugaan interval pendugaan interval selisih proporsi selisih proporsi
populasipopulasi
@FEUI, 2003 3
Pengertian
Inferens: kegiatan penarikan kesimpulan tentang parameter populasi berdasarkan hasil sampel.
Pada pendugaan interval kita menyatakan kemungkinan besarnya parameter populasi dalam suatu interval tertentu
Interval kemungkinan besarnya parameter disebut confidence interval; umumnya 95% dan 99%.
Confidence interval 95%: penerapan cara itu untuk sembarang sampel berpeluang benar sebesar 95%.
@FEUI, 2003 4
Ciri-ciri penduga yang baik
Unbiassed: expected value nilai distribusi sampling penduga sama dengan nilai yang diduga. Penduga yang unbiassed untuk adalah .
Efisien: nilai persebaran dari distribusi sampling tentang variabel penduganya adalah yang terkecil. merupakan penduga yang efisien untuk karena distribusi samplingnya mempunyai ukuran persebaran yang terkecil.
X
X X
X
@FEUI, 2003 5
Ciri-ciri penduga yang baik
Konsisten: dengan semakin besarnya sampel maka nilai penduganya akan semakin mendekati nilai parameter yang diduga. merupakan penduga yang baik bagi karena bila sampel diperbesar maka nilainya akan semakin mendekati nilai .
X X
X
@FEUI, 2003 6
Penalaran penduga interval
Pertimbangkan sebuah sampel random dari populasi normal dengan = 160 dan = 50 serta n = 25. Atribut distribusi samplingnya: = 160 dan =10.
Bila ditetapkan 95% dari keseluruhan alternatif sampel di kiri dan kanan nilai sentralnya, akan didapatkan batas–batas antara 140,4 dan 179,6. (Gambar 2.1).
X X
X
X
@FEUI, 2003 7
Penalaran penduga interval
Dapat dinyatakan: 95% dari keseluruhan kemungkinan sampel akan menghasilkan yang nilainya terletak pada interval
Bila 95% itu disebut 1–, maka = 0,05.
Nilai 1,96 adalah nilai Z/2 = Z0,025, yaitu Z yang
luas di ujungnya sebesar 0,025.
XX 96,1X
@FEUI, 2003 8
Penalaran penduga interval
Gambar 2.1.
@FEUI, 2003 9
Penalaran penduga interval
Gambar 2.2.
140,4 179,6160
X1=150130,4 169,6
X2=170 189,6150,4
X3=139119,4 158,6
95%
@FEUI, 2003 10
Penalaran penduga interval
Secara lebih umum dapat dinyatakan:
Dengan: parameter populasi yang diduga statistik sampel penduga yang sesuai deviasi standar distribusi sampling yang
sesuai
1ˆˆ ˆ2ˆ2 ZZp
ˆ
@FEUI, 2003 11
Contoh pendugaan interval rerata populasi, diketahui
Sebuah sampel random sebanyak 25 dilakukan terhadap populasi normal untuk menduga rerata populasi tersebut. Populasi tersebut mempunyai = 15. Sampelnya menghasilkan = 40. Dengan tingkat keyakinan 0,95, bagaimana dugaan interval tentang rerata hitung populasinya?
X
X
X
@FEUI, 2003 12
Contoh pendugaan interval rerata populasi dengan diketahui
Jawab:
= 5% sehingga
sedangkan
Maka:
96,1025,02 ZZ
325
15
95,0)396,140 396,140( Xp
95,0)88,45 12,34( Xp
X
@FEUI, 2003 13
Pendugaan interval rerata populasi, dengan tidak diketahui
Pendugaan harus dilakukan dengan distribusi t
Distribusi t adalah distribusi normal yang kelancipannya tergantung pada derajat bebas (degree of freedom) yang besarnya adalah n – k: (Gambar 2.3) n adalah sample size k adalah banyaknya parameter populasi
yang seharusnya diketahui.
X
@FEUI, 2003 14
Pendugaan interval rerata populasi, dengan tidak diketahui
Dengan tidak diketahui maka Dan formula duga menjadi:
n
sXX
X
X
1ˆˆ ,2,2 XdfXXdf tXtXp
@FEUI, 2003 15
Distribusi t Gambar 2.3
Z
t, df 1
t, df 2
t, df 3
df 1 >df 2 >df 3
@FEUI, 2003 16
Cara membaca distribusi t
Ada banyak sekali distribusi t. Untuk keperluan praktis, tabel distribusi t hanya
memuat untuk luas tertentu pada ujung kurva, yaitu: 0,005; 0,01; 0,025; 0,05; dan 0,10.
Margin kiri menunjukkan degrees of freedom, sedangkan margin atas adalah luas di ujung kurva; sebagian buku menunjukkan luas pada kedua ujung kurva. (Tabel 2.1).
@FEUI, 2003 17
Cara membaca distribusi t
df
0,1 0,05 0,025 0,001 0,005
1 3,0777 6.3137 12.7062 31.8210 63.6559
2 1.8856 2.9200 4.3027 6.9645 9.9250
3 1.6377 2.3534 3.1824 4.5407 5.8408
15 1.3406 1.7531 2.1315 2.6025 2.9467
30 1.3104 1.6973 2.0423 2.4573 2.7500
120 1.2886 1.6576 1.9799 2.3578 2.6174
0 t1
@FEUI, 2003 18
Contoh pendugaan interval rerata populasi, dengan tidak diketahui
Sebuah usaha percetakan sedang mempertimbangkan penggunaan jenis huruf arial sebagai pengganti yang biasa digunakan. Ia mempertimbangkan rerata jumlah kata per lembar hasil cetakannya. Untuk itu ia melakukan sampel random terhadap 12 halaman, yang hasilnya adalah:
Bila distribusi jumlah huruf per lembar normal, bagaimana dugaan interval rerata jumlah huruf per lembar? 1=0,95
X
Lembar ke 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Jumlah kata 220 230 225 200 240 250 245 230 215 225 205 210
@FEUI, 2003 19
Contoh pendugaan interval rerata populasi,dengan tidak diketahui
Jawab:
Df = n–1 = 11 terlalu kecil untuk digantikan oleh Z.
1– = 0,95 maka t/2,df t0.025,11 = 2,201.
= 224,58333; = 15,58821;
X
X Xs
49993,412
58821,15ˆ X
95,0)4999,4201,2583,224 4999,4201,2583,224( Xp
95,0)62819,233 53847,215( Xp
@FEUI, 2003 20
Formula umum penduga interval
Telah diketahui bahwa formula umum pendugaan interval:
Variasi parameter yang diduga dan statistik penduga:Parameter Statistik
1ˆˆ ˆ2ˆ2 ZZp
X X
p p
21 XX 21 XX
21 pp 21 pp
D D
@FEUI, 2003 21
Daftar deviasi standar distribusi sampling
Distribusi Sampling Devisi Standar Distribusi dan DF
Rerata Hitung:
– diketahui Z
– tidak diketahui tdf; df = n-1
Proporsi:Z ; karena n sangat besar
Selisih proporsi:
Z ; karena n sangat besar
Rerata Selisih: tdf; df = n-1
nX
X
nsX
X
nnx
nx
p
1
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1 11
ˆ21 n
nx
nx
n
nx
nx
pp
X
X
nsD
D
@FEUI, 2003 22
Daftar deviasi standar distribusi sampling
Distribusi Sampling Devisi Standar Distribusi dan DF
Selisih Rerata Hitung:
– diketahui Z
Z
– tidak diketahui tdf ; df = n1 + n2 – 2
tdf ; df =
21
1121 nnXX
2
2
1
221
21 nnXX
XX
21
11ˆ
21 nnspXX
X
X
2
2
1
221
21ˆ
n
s
n
s XXXX
2
11
21
22
212 21
nn
snsns
XXp
sn
sn
sn
n
sn
n
12
1
22
2
2
12
1
2
1
22
2
2
21 1
@FEUI, 2003 23
Pendugaan interval proporsi populasi
Pembahasan ini berasumsi sampelnya sangat besar sehingga memungkinkan digunakannya distribusi normal. (Apabila sampelnya tidak cukup besar, harus digunakan distribusi binomial)
Pendekatan normal di sini memerlukan ukuran sampel sangat besar agar diperoleh interval duga yang tidak terlalu lebar. (Ukuran sampel sebesar 75 masih menghasilkan lebar duga mencapai 22,17% bila proporsi sampel 0,4).
@FEUI, 2003 24
Contoh pendugaan interval proporsi populasi
Seorang peneliti di bidang politik ingin mengetahui popularitas dari presiden dua tahun setelah pengangkatannya dimata para mahasiswa. Untuk itu ia mengambil sampel random sebesar 200 mahasiswa. Hasilnya adalah bahwa 75 mahasiswa menyatakan tetap memberikan dukungan pada presiden terpilih. Dengan tingkat keyakinan 95%, bagaimana hasil dugaan proporsi mahasiswa yang masih mendukung presiden tersebut?
@FEUI, 2003 25
Contoh pendugaan interval proporsi populasi
Jawab:
= 5% sehingga
Peristiwa sukses sampel 75 sehingga:
dan:
Maka:
96,1025,02 ZZ375,0
200
75 p
03423,0
200
375,01375,0 p
05,01)03423,096,10,375 03423,096,1375,0( pp
95,0)00,4421 30790,0( pp
@FEUI, 2003 26
Contoh pendugaan interval selisih proporsi populasi
Seorang peneliti di bidang periklanan ingin mengetahui selisih proporsi pemirsa sebuah acara TV antara kota A dan kota B. Untuk itu ia mengambil sampel random independen sebesar 300 pemirsa kota A dan 200 pemira kota B. Hasil dari sampel tersebut adalah bahwa penonton acara tersebut di kota A ada sebanyak 90 orang, sedangkan di kota B ada sebanyak 40 orang. Dengan tingkat keyakinan 95%, bagaimana hasil dugaan selisih proporsi pemirsa acara TV tersebut antara kota A dan kota B?
@FEUI, 2003 27
Contoh pendugaan interval selisih proporsi populasi
= 5% makaPeristiwa–peristiwa sukses dalam sampel adalah 90 di antara 300 dan 40 di antara 200, sehingga:
Maka:
96,1025,02 ZZ
20,0200
40dan 30,0
300
9021 pp
03873,0
200
2,012,0
300
3,013,021
pp
05,01)03873,096,12,00,3 03873,096,12,03,0( 21 ppp
95,0)07591,00,1 07591,01,0( 21 ppp
95,0)75910,1 02409,0( 21 ppp
@FEUI, 2003 28
Contoh pendugaan interval selisih rerata populasi, dengan diketahui
Andi, seorang pimpinan pabrik ingin mengetahui perbedaan rerata umur bola lampu yang dihasilkan dengan rerata umur bola lampu yang dihasilkan pesaing. Untuk itu diambil dua sampel random independen sebanyak 10 (dari yang dihasilkannya) dan 12 bola lampu (dari pesaing). Dari sampel diperoleh rerata umur bola lampu sendiri adalah 1.000 jam dan pesaing adalah 800 jam. Bila umur bola lampu kedua produk didistribusikan normal dengan deviasi standar 125 jam dan 110 jam, bagaimana hasil pendugaan interval selisih rerata umur bola lampu keduanya? Gunakan tingkat keyakinan 95%.
X
@FEUI, 2003 29
Contoh pendugaan interval selisih rerata populasi dengan diketahui
= 5% sehingga
sedangkan
Maka:
96,1025,02 ZZ
X
70339,5012
110
10
125 22
21 XX
95,0)70339,5096,18001000 70339,5096,18001000(21
XXp
95,0)37864,99200 37864,99200(21
XXp
95,0)37864,929 62136,100(21
XXp
@FEUI, 2003 30
Contoh pendugaan interval selisih rerata populasi dengan diketahui
Badut, pengusaha angkutan umum ingin mengetahui, dengan tingkat keyakinan 95%, beda rerata daya kerja ban merek A dan merek B. Diambilnya sampel random ban dari kedua merek. Hasilnya disajikan pada tabel di bawah ini. Daya kerja ban dalam ribuan kilometer jelajah. Spesifikasi dari pabrik menyebut deviasi standar masing2 sama, yaitu: = 2,7.
Bagaimana hasil dugaan interval untuk selisih rerata keduanya?
21 XX
X
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Merek A 26 28 30 32 30 35 34 31 31 30 27 26
Merek B 33 34 35 37 38 40 40 39 38 36 35 33
@FEUI, 2003 31
Contoh pendugaan interval selisih rerata populasi dengan diketahui
Misalkan Merek A adalah X1 dan Merek B adalah X2.
= 5% sehingga
dansedangkan
Maka:
96,1025,02 ZZ
X
301 X 5,362 X
10227,112
1
12
17,2
21 XX
95,0)10227,196,15,3630 10227,196,15,3630(21
XXp
95,0)16045,25,6 16045,25,6(21
XXp
95,0)33955,4 66045,8(21
XXp
@FEUI, 2003 32
Contoh pendugaan interval selisih rerata populasi dengan tidak diketahui
Misalkan untuk contoh daya kerja ban deviasi standar populasi tidak diketahui namun diyakini mempunyai nilai yang sama. Bagaimana 95% confidence interval-nya?
X
@FEUI, 2003 33
Contoh pendugaan interval selisih rerata populasi dengan diketahui
= 5% ; df = 12+12–2 = 22 maka
Maka:
07,222,025,0,2 tt df
X
40910,7
21212
45455,611236366,81122
ps
89200,21Xs 54058,2
2Xs
72197,2ps
95,0)11124,107,25,3630 11124,107,25,3630(21
XXp
11124,112
1
12
172197,2ˆ
21 XX
95,0)30026,25,6 30026,25,6(21
XXp 95,0)19974,4 80026,8(
21 XXp
@FEUI, 2003 34
Contoh pendugaan interval selisih rerata populasi dengan tidak diketahui
Sebuah perusahaan peternakan penghasil telur ayam ingin membandingkan rerata berat telur dari dua jenis ayam. Diambilnya sampel random independen masing2 sebanyak 26 telur dari jenis 1 dan 20 butir dari jenis 2. Hasil sampel tersebut
serta
Dengan 1– α = 95%, bagaimana hasil dugaan interval selisih rerata populasi berat telur kedua jenis ayam tersebut? Asumsikan bahwa deviasi standar populasi berat telur keduanya adalah berbeda.
X
13dan 8011 XsX 11dan 71 22 XsX
@FEUI, 2003 35
Contoh pendugaan interval rerata populasi, dengan tidak diketahui
1– = 0,95 sehingga t/2,df t0.025,44 = 2,02.
Maka:
X
552,43
120
2011
126
2613
2011
2613
2222
222
df 54260,320
11
26
13ˆ
22
21 XX
95,0)54260,302,27180 54260,302,27180(21
XXp
95,0)13964,79 13964,79(21
XXp 95,0)16,13964 86036,1(
21 XXp
@FEUI, 2003 36
Contoh pendugaan interval rerata selisih populasi
Untuk mengetahui manfaat sebuah pelatihan kerja bagi buruh, dilakukan sampel random terhadap 35 buruh. Kepada mereka diamati produktivitas bulanan sebelum (Xi) dan sesudah (Yi)
mengikuti pelatihan. Hasilnya tertera pada tabel. Bagaimana dugaan interval rerata selisih produktivitas tersebut? =0,05 X Y X Y X Y X Y X Y90 98 60 67 88 91 70 82 75 8585 92 62 65 85 91 80 84 72 7965 79 70 78 75 76 72 75 77 8080 82 65 66 80 78 75 87 80 9085 95 80 89 70 70 70 71 82 8570 76 75 83 60 62 62 69 75 7572 76 90 92 65 72 65 69 72 70
@FEUI, 2003 37
Contoh pendugaan interval rerata selisih populasi
Nilai–nilai variabel Di = (Yi – Xi) = {8, 7, , 0, –2} dengan
n = 35, sehingga df = 34. maka ta/2,df t0,025,34 = 2,032.
Atribut D:
Maka:
07390,4dan 14286,5 DsD
68861,035
07390,4ˆ D
95,0)68861,0032,214286,5 68861,0032,214286,5( D p
95,0)6,54229 74343,3( D p
@FEUI, 2003 38
Penentuan sample size pada pendugaan interval rerata populasi
Dimaksudkan untuk menghasilkan lebar duga tertentu pada suatu tingkat keyakinan yang tertentu pula
Lebar duga adalah Separuh lebar duga, atau sampling error, Maka:
Bila tidak diketahui: lakukan sampel pendahuluan untuk dapatkan sebagai estimator
XZ 2/2 XZe 2/
nZe X 2/
eZ
n X 2/
22/
eZ
n X
XXs X
@FEUI, 2003 39
Contoh penentuan sample size pada pendugaan interval rerata populasi
Dari sebuah populasi normal dengan = 20, berapa besarnya sampel yang dibutuhkan untuk pendugaan interval bila sampling error yang diinginkan adalah 10 dan tingkat keyakinan sebesar 95%?
Jawab: e = 10 ; 1– = 0,95 sehingga: Z/2 = 1,96
X
20X2
102096,1
n
3664,1592,3 2 n
15n
@FEUI, 2003 40
Penentuan sample size pada pendugaan interval proporsi populasi
Dengan cara yang sama diperoleh:
Formulanya melibatkan p yang justru akan diduga sehingga dilakukan upaya mendapatkan n maksimum
Maka:
pZe 2/
n
ppZe
12/
e
ppZn
12/
2
22/ 1
e
ppZn
2
22/
2
22/ 5,05,05,015,0
e
Z
e
Zn
22/5,0
e
Zn
@FEUI, 2003 41
Contoh penentuan sample size pada pendugaan interval proporsi populasi
Sebuah usaha reparasi mesin cetak menyatakan bahwa produk yang sudah direparasinya akan menghasilkan proporsi gagal cetak sebesar–besarnya 2%. Berapa besarnya sampel untuk pendugaan interval proporsi produk yang cacat bila sampling errornya adalah 0,005 dan tingkat keyakinan 95%?
e = 0,005. Perkiraan p maksimum 0,02 sehingga digunakan p = 0,02. Maka:
3012n
3.011,814
005,0
98,002,096,12
2n
@FEUI, 2003 42
Contoh penentuan sample size pada pendugaan interval proporsi populasi Pendapat para ahli menyebutkan bahwa popularitas
presiden saat ini berkisar pada 45% hingga 60% dari para pemilihnya. Berapa besarnya sampel untuk pendugaan interval proporsi popularitas presiden di mata para pemilihnya dengan sampling error 0,05 dan 1 – = 95%?
Jawab: e = 0,05. Perkiraan p: 0,45 – 0,6 sehingga p = 0,5 karena interval tersebut dapat mencakupi nilai 0,5. Maka:
384n
384,1605,0
96,15,02
n