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CAPÍTULO 3

MODELOS DE PEQUEÑA SEÑAL

3.1 MODELO DE PEQUEÑA SEÑAL DE UNA UNIÓN PN

En la Figura 24 se representa un diodo que se polariza con dos fuentes de alimentación, una

genera una diferencia de potencial constante entre sus extremos y la otra una diferencia de

potencial variable con el tiempo y de media cero. Las fluctuaciones de tensión generadas por esta

fuente son, por hipótesis, muy pequeñas. Si se polarizara el diodo sólo con la primera fuente, la

corriente que circularía sería la dada por la característica estática (ver Figura 25). Sin embargo, al

existir el segundo generador, la corriente fluctúa con el tiempo alrededor de este valor de equilibrio.

El modelo de pequeña señal del diodo permite calcular estas fluctuaciones.

Figura 24: Superposición de una pequeña señal a la tensión de polarización del diodo.

Para calcular estas fluctuaciones se va a suponer, en primera instancia, que la tensión de

polarización fluctuante cambia lentamente con el tiempo, de forma que la característica estática

describe bien el comportamiento del dispositivo. Puesto que lo que se pretende es calcular las

fluctuaciones alrededor del punto de equilibrio (el valor de corriente constante no interesa), resulta

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conveniente hacer un cambio de ejes coordenados cuyo origen coincide con el punto de

polarización (ver Figura 25). Si las fluctuaciones son de amplitud pequeña no se comete un error

apreciable si en vez de considerar la curva característica se toma la recta tangente a ella en el punto

de polarización. En definitiva, lo que se obtiene es una relación lineal entre la componente

fluctuante de corriente y la componente fluctuante de la tensión de polarización, por lo que el

modelo de pequeña señal del diodo es una conductancia, g, de valor la pendiente de la curva

característica en el punto de polarización (resistencia de valor 1/g).

Figura 25: Oscilaciones de pequeña señal en el diodo.

El valor de la pendiente en el punto de polarización se puede obtener mediante

diferenciación de la característica estática

Ecuación 36. Parámetro de conductancia de pequeña señal del diodo.

T

D

T

VV

VvD

D

VI

VeIo

dvdi

gTD

DD≈

⋅== =

/|

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donde ID y VD son la corriente y tensión en el punto de polarización del diodo (valor de corriente y

tensión del diodo si la fuente alterna de pequeña señal se anula). La aproximación que se hace en la

ecuación anterior es válida si el diodo está fuertemente polarizado en directa ( 1/ >>TD VVe ). La

corriente g·v representa la corriente fluctuante que atraviesa el dispositivo, cuya conductividad es g,

debido a los cambios de tensión en torno al punto de polarización.

Si la tensión de polarización fluctuante cambia rápidamente con el tiempo, el modelo de

pequeña señal del diodo se complica. Al término estático de la Ecuación 24 que en pequeña señal

se modela por la conductancia g, hay que añadir en paralelo la capacidad de difusión y de

transición. Ambas se evalúan en el punto de polarización (CT = CT(VD) y CD = CD(VD)) y en

pequeña señal se consideran constantes. En la figura siguiente se muestra el modelo completo de

pequeña señal del diodo. La resistencia Ro se incluye en el modelo porque en las regiones neutras,

la conductividad, aunque es alta, no es infinita, y hay caídas de tensión proporcionales a las

corrientes que circulan por las mismas. El valor típico de Ro es del orden de algunos ohmios. La

capacidad de difusión suele ser mucho mayor que la de transición para tensiones de polarización

directas mientras que ocurre lo contrario para tensiones de polarización inversas.

Figura 26: Modelo de pequeña señal del diodo.

3.2 MODELO DE PEQUEÑA SEÑAL DEL TRANSISTOR BIPOLAR

3.2.1 Modelo en π

En la Figura 27 se representa el modelo en π de pequeña señal de un transistor bipolar.

Las resistencias rbb' y rc'c modelan las caídas de tensión en las regiones neutras de la base y del

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colector, respectivamente. La estructura de un transistor real es como la representada en la Figura

28, donde se ha indicado de manera explícita las regiones físicas del semiconductor, responsables

de las resistencias anteriores. La región neutra del emisor se podría modelar también mediante una

resistencia, pero al ser muy pequeña su longitud y muy alto su dopado, esta resistencia es

despreciable respecto de las otras dos. La resistencia rbb' se conoce como resistencia de dispersión

de la base, surge por el camino que tiene que recorrer la corriente de la base desde el terminal

externo B hasta la región activa de la misma (punto B' en la figura) y tiene especial importancia

porque la tensión que amplifica el dispositivo no es la aplicada externamente, sino vb'e. El efecto

eléctrico es una reducción de la ganancia.

Figura 27. Modelo híbrido en π de pequeña señal

El resto de componentes del circuito corresponden con lo que físicamente ocurre en las

dos uniones y en la región activa de la base. Entre los nodos B'-E y B'-C' nos encontramos las

uniones de emisor y colector, respectivamente. Por tanto, las ramas eléctricas equivalentes se

corresponden con los modelos de pequeña señal de un diodo, es decir, un condensador y una

resistencia en paralelo. En la región activa de funcionamiento, la unión de emisor está polarizada en

directa y la unión de colector en inversa. Por tanto, rb'e es mucho menor que rb'c'. Un valor típico

para la primera es 1KΩ y para la segunda decenas de MΩ. Sin embargo, Cb'e será mucho más

grande que Cb'c' ya que el exceso de portadores de la base se carga y descarga en mayor medida a

través de la unión del emisor17.

17 En la unión de emisor, polarizada en directa, tiene gran peso la capacidad de difusión. Mientras, en la unión de colector, polarizada en inversa, la capacidad de difusión es mucho menor.

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Figura 28. Resistencias serie de los terminales del BJT

Al variar la tensión vb'e, varía la corriente a través de la unión de emisor, que por efecto

transistor llega hasta el colector. Por ello es necesario una fuente de corriente entre el colector

(nodo C') y el emisor que dependa de la tensión Vb'e. El parámetro gm, que tiene dimensiones de 1−Ω , se llama transconductancia y es el parámetro más importante cuando se utiliza el transistor

como amplificador. Por último, como se observa en la característica de salida en emisor común

(Figura 22.(a)), por efecto Early, en región activa, al variar la tensión VCE aumenta levemente la

corriente de colector. Este efecto se puede modelar mediante una resistencia rc'e entre colector y

emisor. Un valor típico de esta resistencia es 100KΩ.

A continuación y a modo de ejemplo de cálculo de los parámetros de pequeña señal vamos

a obtener el valor de la transconductancia. Realizaremos las siguientes aproximaciones, que en la

práctica suelen ser razonables:

• Las resistencias rbb' y rc'c' son muy pequeñas y pueden considerarse como cortocircuitos.

• Consideraremos que las tensiones variarán con una frecuencia suficientemente baja para

que los condensadores se comporten como circuitos abiertos. Este hecho no tendrá ninguna

influencia en el resultado final que obtengamos.

• Puesto que rb'c' es de valor elevado se considerará un circuito abierto.

Si ahora cortocircuitamos los terminales C y E, el circuito de pequeña señal quedará como

en la Figura 29, de donde es inmediato comprobar que gm=ic0/vbe, siendo ic0 la corriente de colector

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cuando éste esta cortocircuitado con el emisor. Teniendo en cuenta que las variables de pequeña

señal son pequeños incrementos entorno el punto de polarización, el cociente anterior se puede

expresar mediante

Ecuación 37. Definición de la transconductancia del transistor bipolar

teconsesvBE

C

BE

CCEdv

divi

gm tan=∂∂

=

En la Ecuación 37 se toma derivada parcial porque en la definición de gm se consideró

cortocircuito en la salida, es decir, vce=0, lo que significa que la variable de gran señal vCE es

constante18. Si realizamos la derivada de la expresión de iC dada en la Ecuación 31 obtenemos

BEBE

TBE

VvT

VvES

VeI

gm =⋅⋅

=/α . En la mayoría de los casos de polarización activa la exponencial de la

expresión anterior es mucho mayor que la unidad y se puede concluir que

Ecuación 38. Valor de la transconductancia del transistor bipolar en activa

T

Cm V

Ig =

Figura 29. Modelo aproximado utilizado para la definición de la transconductancia

18 En este apartado y en lo sucesivo se ha asumido el siguiente convenio: las variables de pequeña señal se denotan por la letra y el subíndice minúscula (Ej: ic, vbe, ... ), las variables globales o de gran señal con la letra en minúscula y los subíndices en mayúscula (Ej: vCE, iE, ... ) y los puntos de polarización con todo en mayúscula (Ej: IC, IB, ... )

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3.2.2 Modelo híbrido o de parámetros h

Figura 30. Modelo de pequeña señal de parámetros h

La obtención rigurosa del modelo en π de apartados anteriores requiere la utilización de

técnicas de teoría de circuitos que le quita al procedimiento la intuición física que pudiera tener. Sin

embargo, la obtención matemática del modelo con parámetros h es más inmediata y en el

procedimiento se pone de manifiesto el significado y las limitaciones de los modelos de pequeña

señal. Partimos de las características estáticas de entrada y salida en emisor común que se vieron en

el apartado 2.5, es decir, las relaciones

Ecuación 39. Características estáticas de emisor común

),(),(

CEBCC

CEBBEBE

viiivivv

==

Dado el punto de polarización (IB,VCE) del dispositivo, aproximamos las superficies no

planas dadas en la Ecuación 39 por el plano tangente a las superficies en el punto de polarización.

Matemáticamente el plano tangente se obtiene desarrollando por Taylor las relaciones de la

Ecuación 39 y despreciando los términos de orden mayor que uno. Es decir,

Ecuación 40. Aproximación de las características por un plano

)()(),(

)()(),(

CECECE

CBB

B

CCEBCC

CECECE

BEBB

B

BECEBBEBE

Vvvi

Iiii

viii

Vvvv

Iii

vVIvv

−⋅∂∂

+−⋅∂∂

+≈

−⋅∂∂

+−⋅∂∂

+≈

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Para que la aproximación de la Ecuación 40 sea buena es necesario que la desviación de

las variables de gran señal iB y vCE, respecto del punto de polarización, sea muy pequeña.

Teniendo en cuenta que vBE(IB,VCE)=VBE e iC(IB,VCE)=IC y recordando que las variables de pequeña

señal se definen como la diferencia entre la variable de gran señal y el punto de polarización (Ej:

ib=iB-IB, vbe=vBE-VBE, ... ), a partir de la Ecuación 40 se llega al modelo con parámetros h

Ecuación 41. Modelo de pequeña señal de parámetros h

ceoebfec

cerebiebe

vhihivhihv⋅+⋅=⋅+⋅=

donde los parámetros h se definen como

Ecuación 42. Definición de los parámetros del modelo h

A

C

A

T

C

T

VIβ

VV

IβV

≈≈∂∂

=≈≈∂∂

=

≈≈∂∂

=≈≈∂∂

=

==

==

00

00

||||

||||

bce

bce

ice

cQ

CE

Coev

b

cQ

B

Cfe

ice

beQ

CE

BErev

b

beQ

B

BEie

vi

vih

ii

iih

vv

vvh

iv

ivh

En las definiciones de los parámetros h dadas en la Ecuación 42 , la letra Q indica que las

derivadas parciales se evalúan en el punto de polarización, es decir, iB=IB y vCE=VCE. Nótese

además que las derivadas pueden aproximarse por el cociente de las variables de pequeña señal y

que las condición de considerar constante la variable de gran señal (implícita en la definición de

derivada parcial) es equivalente a anular la correspondiente variable de pequeña señal (Ej.: vCE es

constante equivale a que vce=0). El conjunto de ecuaciones dado por la Ecuación 41 es equivalente

al circuito de la Figura 30. Valores típicos son: hie=1KΩ, hre=10-4, hfe=100 y h-1oe=80KΩ.

3.2.3 Cálculo de los parámetros de pequeña señal

Ambos modelos, en π y con parámetros h, representan al mismo dispositivo físico. Por

tanto sus parámetros están relacionados por las expresiones

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Tabla 1. Relación de los parámetros de los dos modelos

hfe=gm·r b’e h ie=r b’b+r b’e hre= r b’e/ r b’c’ h oe= 1/r c’e+ (1+hfe) / r b’c’

Los parámetros de pequeña señal dependen fuertemente del punto de polarización del

dispositivo. Expresiones aproximadas son:

Tabla 2. Parámetros del modelo en π en función del punto de polarización

C

A

C

A

C

T

T

C

IV

IβV

IβV

VI

≈≈

≈≈

''''

''

eccb

ebm

rr

rg

A modo de ejemplo obtengamos los parámetros hie y hfe en función de los parámetros del

modelo en π. De la Ecuación 42 se observa que hie=vbe/ib cuando vce=0. Si cortocircuitamos la

salida del modelo en π y consideramos que rb'c es un circuito abierto, el circuito restante queda

como en la Figura 31. Por tanto, hie=(vbe / ib)=r b'b+r b'e. Aplicando la definición de hfe obtenemos:

hfe =ic/ib}=gm·vb'e /ib= gm·ib·r b'e/ib=gm·r b'e

Figura 31. Circuito en π usado para establecer la relación entre parámetros