perímetro de una elipse

Perímetro de una elipse

En la página sobre la Elipse hablamos de la definición y algunas propiedades simples de la elipse, peroahora vamos a ver exactamente cómo se calcula el perímetro.

Perímetro

Aunque parezca extraño, ¡el perímetro de una elipse esmuy difícil de calcular!

Hay muchas fórmulas, aquí tienes algunas interesantes:

Aproximación 1

Esta aproximación está a menos de 5% del valor correcto, siempre que r no sea más de 3 veces s (enotras palabras, si la elipse no está demasiado "aplastada"):

Aproximación 2

El famoso matemático indio Ramanujan descubrió esta aproximación más exacta:

Serie infinita 1

Esta es una fórmula exacta, pero hace falta un "número infinito" de cálculos para el valor exacto, así queen la práctica sólo te da una aproximación.

Primero tienes que calcular "ε" (llamado la "excentricidad"):

Después usa esta fórmula con "suma infinita":

Ads not by this site

Perímetro de una elipse http://www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/elipse-perimetro.html

1 de 3 07-dic-13 7:25 PM

La suma sigue indefinidamente, y desgraciadamente necesitas muchos términos para llegar a unarespuesta razonablemente correcta.

Serie infinita 2

Pero mi fórmula exacta favorita (porque da un valor muy cercano al correcto con sólo unos pocostérminos) es esta:

Primero calculas "h":

Luego usas esta fórmula con "suma infinita":

(Nota: el es un coeficiente binomial con factorial de semienteros... ¡uau!)

Que no te dé miedo, esto se desarrolla y queda así:

Cuantos más términos calculas, más exacto es el resultado (el siguiente término es h4/16384, que esbastante pequeño)

Comparando

Por diversión, he usado las dos aproximaciones y las dos fórmulas exactas (pero sólo sumando cuatrotérminos, así que también son aproximaciones) para calcular el perímetro con estos valores de r y s:

r s Aprox 1 Aprox 2 ε Serie 1 h Serie 2

Circunf. 10 10 62.832 62.832 0 62.832 0 62.832

10 5 49.673 48.442 0.866 48.876 0.111 48.442

10 3 46.385 43.857 0.954 45.174 0.29 43.859

10 1 44.65 40.606 0.995 43.204 0.669 40.623

Líneas 10 0 44.429 39.834 1 42.951 1 39.884

Cuando s=r, la elipse es una circunferencia, y el perímetro es 2πr (62.832 en nuestro ejemplo).Cuando s=0 (en realidad la forma son dos líneas que van y vuelven) el perímetro es 4r (40 ennuestro ejemplo).

Todas las fórmulas calculan correctamente el perímetro de la circunferencia, pero sólo la "Aproximación 2"y la "Serie 2" se acercan al valor 40 para el caso s=0.


2 de 3 07-dic-13 7:25 PM

perímetro de una elipse

Documents