persamaan kuadrat

2008

Christhio Gunawan

www.chrizzs.co.cc

10/20/2008

Persamaan Kuadrat

Hallo, apa kabar? Baik-baik saja bukan? Anda tentu sudah siap untuk

modul ini. Kali ini Anda akan mempelajari modul berjudul “Persamaan Kuadrat”

Pada modul ini, memang banyak ditemui banyak kesalahan. So pasti saya minta

komentar anda bisa memberikan komentar atau anda dapat memberikan saran

ke www.chrizzs.co.cc

Maksud dari pernyataan saya ini, saya ingin member

terima kasih juga kepada Tuhan

menyelesaikan modul ini. Sekian dan Terima Kasih.

PENDAHULUAN

baik saja bukan? Anda tentu sudah siap untuk



komentar anda bisa memberikan komentar atau anda dapat memberikan saran

Maksud dari pernyataan saya ini, saya ingin memberi modul secara Cuma

terima kasih juga kepada Tuhan Yang Maha Esa karena atas berkat-

menyelesaikan modul ini. Sekian dan Terima Kasih.

Page | 2

baik saja bukan? Anda tentu sudah siap untuk mempelajari



komentar anda bisa memberikan komentar atau anda dapat memberikan saran-saran

secara Cuma-cuma. Dan

-Nya, saya bisa

A. Persamaan Kuadrat

1. Bentuk Umum Persamaan Kuadrat

Definisi:

Suatu persamaan yang ekuivalen dengan persamaan yang berbentuk

Dimana a, b, dan c bilangan real dengan a

persamaan berderajat dua, atau disingkat persamaan

Dalam persamaan kuadrat ax

x dinamakan peubah ( variabel ),

a dinamakan koefisien x2,

b dinamakan koefisien x,

c dinamakan konstanta.

2. Jenis-Jenis Persamaan Kuadrat

Jenis-jenis persamaan kuadrat ditentukan oleh konstanta a, b, dan c

dapat dikelompokkan sebagai berikut.

(i) Jika a = 1, maka persamaan menjadi x

persamaan kuadrat biasa.

(ii) Jika b = 0, maka persaman menjadi x

kuadrat sempurna.

(iii) Jika c = 0, maka persamaan menjadi ax

persamaan kuadrat tak lengkap.

(iv) Jika a, b, dan c bilangan-bilangan rasional maka ax

rasional

3. Menentukan Akar-Akar Persamaan Kuadrat

Akar-akar persamaan kuadrat ax

ax02 + bx0 + c = 0 menjadi suatu pernyataan yang benar. Akar

pernyelesaian (solusi/jawab) persamaan kuadrat itu. Penyelesaian persamaan kuadrat dapat

ditentukan dengan salah satu metode berikut ini.

a. Metode faktorisasi (pemfaktoran)

b. Metode melengkapkan kuadrat

c. Metode rumus kuadrat (rumus abc)

a. Menentukan Akar-Akar Persamaan Kuadrat dengan Metode Faktorisasi

Teorema: Zero Factor

Misalkan p dan q adalah bilangan real, maka pq = 0 jika dan hanya jika p =0 dan q =0

Persamaan Kuadrat

Suatu persamaan yang ekuivalen dengan persamaan yang berbentuk

�� 0

Dimana a, b, dan c bilangan real dengan a≠0 dinamakan persamaan kuadrat satu peubah,

persamaan berderajat dua, atau disingkat persamaan kuadrat.

Dalam persamaan kuadrat ax2

+ bx + c = 0,

x dinamakan peubah ( variabel ),

Jenis Persamaan Kuadrat

jenis persamaan kuadrat ditentukan oleh konstanta a, b, dan c sehingga persamaan kuadrat

dapat dikelompokkan sebagai berikut.

Jika a = 1, maka persamaan menjadi x2

+ bx + c = 0 dan persamaan seperti

Jika b = 0, maka persaman menjadi x2

+ c = 0 dan persaman seperti ini disebut p

Jika c = 0, maka persamaan menjadi ax2

+ bx = 0 dan persamaan seperti ini

amaan kuadrat tak lengkap.

bilangan rasional maka ax2

+ bx + c = 0 disebut persamaan k

Akar Persamaan Kuadrat

akar persamaan kuadrat ax2 + bx +c = 0, a ≠ 0 adalah suatu bilangan real

= 0 menjadi suatu pernyataan yang benar. Akar-akar persamaan itu juga dinamakan


ditentukan dengan salah satu metode berikut ini.

faktorisasi (pemfaktoran)

Metode melengkapkan kuadrat

Metode rumus kuadrat (rumus abc)

Akar Persamaan Kuadrat dengan Metode Faktorisasi


Page | 3

≠0 dinamakan persamaan kuadrat satu peubah,

sehingga persamaan kuadrat

seperti ini disebut

disebut persamaan

+ bx = 0 dan persamaan seperti ini disebut

persamaan kuadrat

≠ 0 adalah suatu bilangan real x0, sehingga

akar persamaan itu juga dinamakan



Untuk menentukan akar-akar persamaan kuadrat ax

metode pemfaktoran, maka bentuk kuadrat ax

kemudian dengan menerapkan teorema

Contoh:

Penyelesaian:

x2

+ 5x + 6 = 0

(x+2) (x+3)=0

x1=-2 ; x2=-3

Saya kira contoh faktorisasi sampai sini saja, karena menurut saya di kelas SMP sudah dipelajari. Jadi

kalau belum mengerti silahkan masukkan komentar di chrizzs.blogspot.com

b. Menentukan Akar-Akar Persamaan Kuadrat dengan Metode Melengkapkan Kuadrat

Bentuk-bentuk aljabar 25 = 5

Setiap bentuk kuadrat dapat diubah ke dalam bentuk kuadrat sempurna dengan suatu cara tertentu.

Untuk menentukan akar-akar persamaan kuadrat ax

sebagai berikut.

1. Isolasi suku-suku yang memuat peubah pada salah satu ruas (sisi)

2. Jika koefisien dari x2 tidak 1, bagi kedua ruas dengan koefisien itu

3. Tambahkan kuadrat dari � koefisien x pada kedua ruas

4. Nyatakan kuadrat sempurna trinominal dari langkah

5. Tentukan penyelesaian dengan menarik akar menggunakan teorema berikut ini.

Jika a ≥ 0 dan berlaku x

akar persamaan kuadrat ax2 + bx +c = 0, a ≠ 0 dengan menggunakan

metode pemfaktoran, maka bentuk kuadrat ax2 + bx +c difaktorkan menjadi faktor

kemudian dengan menerapkan teorema Zero Factor kita memperoleh akar-akarnya.

�� 5� � 6 � 0

Cara ini merupakan cara yang lebih cepat, saya ingin

jelaskan sedikit tentang cara ini, begini caranya.

x2 +5x +6 = 0

(x+2) (x+3) = 0

Jadi, kalau anda mencoba kali masuk hasil sama, bukan?

faktorisasi sampai sini saja, karena menurut saya di kelas SMP sudah dipelajari. Jadi

kalau belum mengerti silahkan masukkan komentar di chrizzs.blogspot.com

Akar Persamaan Kuadrat dengan Metode Melengkapkan Kuadrat

25 = 52, 9x

2 = (3x)

2, x

2 + 4x + 4 = (x+2)

2 adalah bentuk kuadrat sempurna.


akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 ditempuh langkah

suku yang memuat peubah pada salah satu ruas (sisi)

tidak 1, bagi kedua ruas dengan koefisien itu

koefisien x pada kedua ruas

Nyatakan kuadrat sempurna trinominal dari langkah 3 sebagai kuadrat suatu binomial

Tentukan penyelesaian dengan menarik akar menggunakan teorema berikut ini.

≥ 0 dan berlaku x2 = a, maka x = ± √� ditulis x = √� atau x = � √

Page | 4

≠ 0 dengan menggunakan

+ bx +c difaktorkan menjadi faktor-faktor linear

akarnya.

Cara ini merupakan cara yang lebih cepat, saya ingin

jelaskan sedikit tentang cara ini, begini caranya.

Jadi, kalau anda mencoba kali masuk hasil sama, bukan?

faktorisasi sampai sini saja, karena menurut saya di kelas SMP sudah dipelajari. Jadi

Akar Persamaan Kuadrat dengan Metode Melengkapkan Kuadrat

adalah bentuk kuadrat sempurna.


+ bx + c = 0 ditempuh langkah-langkah

kuadrat suatu binomial

Tentukan penyelesaian dengan menarik akar menggunakan teorema berikut ini.

√�

c. Menentukan Akar-Akar Persamaan Kuadrat Menggunakan Metode Rumus Kuadrat

(Rumus abc)

Catatan :

1. Penyelesaian itu kerap kali ditulis dengan indeks:

�,� �� √�� 4��

2�

atau

�,� ��2�

�1

2�� 4��

2. Cara penulisan x1,2 adalah singkatan dari x

4. Akar Pangkat Dua Bilangan Negatif

a. Satuan Imajiner

Akar dari suatu bilangan negatif dinamakan bilangan imajiner ( bilangan khayal atau bilangan tidak

real ).

Definisi:

Bilangan √�1 didefinisikan sebagai satuan imajiner dan ditulis dengan lambang “

atau �� = -1.

Akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx +c = 0, a

dapat juga dituliskan sebagai

Akar Persamaan Kuadrat Menggunakan Metode Rumus Kuadrat

Penyelesaian itu kerap kali ditulis dengan indeks:

adalah singkatan dari x1 dan x2

Akar Pangkat Dua Bilangan Negatif

negatif dinamakan bilangan imajiner ( bilangan khayal atau bilangan tidak

didefinisikan sebagai satuan imajiner dan ditulis dengan lambang “

� �� √�� 4��

2�

� ��2�

�1

2�� 4��

akar persamaan kuadrat ax2 + bx +c = 0, a ≠ 0 diberikan dengan rumus

dapat juga dituliskan sebagai

Page | 5

Akar Persamaan Kuadrat Menggunakan Metode Rumus Kuadrat

negatif dinamakan bilangan imajiner ( bilangan khayal atau bilangan tidak

didefinisikan sebagai satuan imajiner dan ditulis dengan lambang “�”. Jadi, √�1 = �

≠ 0 diberikan dengan rumus

5. Jenis Akar Persamaan Kuadrat Dikaitkan dengan

Pada persamaan kuadrat ��

diskriminan dari persamaan kuadrat itu dan ditulis dengan D. Jadi

Salah satu terapan dari konsep diskriminan adalah untuk

persamaan kuadrat tanpa menghitung terlebih dahulu akar

6. Rumus Jumlah dan Hasil Kali Akar

7. Beberapa Penerapan Rumus Jumlah dan Hasil Kali

a. Menghitung Bentuk Simetri Akar

Bentuk simetri akar-akar persamaan kuadrat dapat dihitung tanpa harus menyelesaikan

persamaan kuadrat terlebih dahulu. Tetapi kita dapat menggunakan rumus jumlah dan hasil ka

akar-akar persamaan kuadrat.

Jenis-jenis akar

I. D≥0, memiliki akar

D>0, memiliki akar

D=0, memiliki akar

II. D=k2, memiliki akar

III. D≠k2, memiliki akar

IV. D<0, memiliki akar

Misalnya x1 dan x2 adalah akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0; a, b, c, є R dengan

a ≠ 0, maka:

1. Jumlah akar-akar persamaan kuadratnya: x

2. Hasil kali akar-akar persamaan kuadratnya: x

Jenis Akar Persamaan Kuadrat Dikaitkan dengan Nilai Diskriminan

� �� 0, a, b, c є R, a ≠ 0, bilangan real b2

diskriminan dari persamaan kuadrat itu dan ditulis dengan D. Jadi

D = b2 – 4ac

Salah satu terapan dari konsep diskriminan adalah untuk mengetahui jenis (karakter) akar

persamaan kuadrat tanpa menghitung terlebih dahulu akar-akarnya.

Rumus Jumlah dan Hasil Kali Akar-Akar Persamaan Kuadrat

Beberapa Penerapan Rumus Jumlah dan Hasil Kali Akar-Akar Persamaan Kuadrat

Menghitung Bentuk Simetri Akar-Akar Persamaan Kuadrat

akar persamaan kuadrat dapat dihitung tanpa harus menyelesaikan

persamaan kuadrat terlebih dahulu. Tetapi kita dapat menggunakan rumus jumlah dan hasil ka

≥0, memiliki akar-akar bilangan real :

D>0, memiliki akar-akar bilangan real yg berbeda (x1 ≠x 2)

D=0, memiliki akar-akar bilangan yang sama/kembar (x1 = x2)

, memiliki akar-akar bilangan rasional (k=bilangan bulat)

, memiliki akar-akar bilangan irrasional

D<0, memiliki akar-akar tidak real (imajiner)

dan x2 adalah akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0; a, b, c, є R dengan

akar persamaan kuadratnya: x1 +x2 = ��

�

akar persamaan kuadratnya: x1x2 = �

�

Page | 6

– 4ac dinamakan

mengetahui jenis (karakter) akar

Akar Persamaan Kuadrat

akar persamaan kuadrat dapat dihitung tanpa harus menyelesaikan

persamaan kuadrat terlebih dahulu. Tetapi kita dapat menggunakan rumus jumlah dan hasil kali

dan x2 adalah akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0; a, b, c, є R dengan

b. Menghitung Koefisien Persamaan Kuadrat yang Akar

� ��

Beberapa rumus yang berkaitan dengan akar

c, є R dengan a ≠ 0, yang akar

1. � � ��

2. �. ��

3. ��

� � ��

4. ��

5. � � ��

6. ��

� � ��

7. ��

� � ��

8. ��

� � ��

9. ��

� � ��

10. √� � √��

11. √� � √��

Jika x1 dan x2 akar-akar persamaan kuadrat ax

1. Akar – Akar berlawanan, syaratnya b = 0

2. Akar – Akarnya berkebalikan,

3. Salah satu akarnya nol, syaratnya c = 0

4. Kedua akarnya bertanda sama, syaratnya

5. Kedua akarnya berlainan, syaratnya

Menghitung Koefisien Persamaan Kuadrat yang Akar-Akarnya Memiliki Sifat Tertentu

�� 2�

��

Beberapa rumus yang berkaitan dengan akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0; a, b,

c, є R dengan a ≠ 0, yang akar-akarnya x1 dan x2 adalah sebagai berikut.

�� 2��

�� 4��

�� 4��

�� 3��

� � ��

��

�� 3��

�� 2√��

�� 2√��

akar persamaan kuadrat ax2+bx+c = 0. Maka.

Akar berlawanan, syaratnya b = 0

Akarnya berkebalikan, syaratnya a = c

Salah satu akarnya nol, syaratnya c = 0

Kedua akarnya bertanda sama, syaratnya ��

0

Kedua akarnya berlainan, syaratnya ��

! 0

Page | 7

Akarnya Memiliki Sifat Tertentu

+ bx + c = 0; a, b,

TEOREMA

c. Menyusun Persamaan Kuadrat

1. Menyusun Persaman Kuadrat yang Akar

a. Menggunakan perkalian fak

b. Menggunakan rumus jumlah dan hasil kali

2. Menyusun Persamaan Kuadrat Jika Akar

Akar-Akar Persamaan Kuadrat yang Diberikan

Menyusun persamaan kuadrat

persamaan kuadrat yang diberikan dap

1. Menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar

x2 – �x1 � x2�x � x1x2 � 0

2. Penghapusan indeks, jika bentuk akar

Persamaan kuadrat yang akar

TEOREMA

Persamaan kuadrat yang akar

x2 – �x1 � x2�x � x1x2 � 0

Menyusun Persamaan Kuadrat

Menyusun Persaman Kuadrat yang Akar-Akarnya diketahui

faktor

Menggunakan rumus jumlah dan hasil kali

Menyusun Persamaan Kuadrat Jika Akar-Akarnya Diketahui Memiliki Hubungan Dengan

Akar Persamaan Kuadrat yang Diberikan

Menyusun persamaan kuadrat jika akar-akarnya diketahui memiliki hubungan dengan akar

persamaan kuadrat yang diberikan dapat dilakukan dengan dua strategi.

Menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar:

Penghapusan indeks, jika bentuk akar-akarnya simetri (setangkup)

Persamaan kuadrat yang akar-akarnya x1 dan x2 adalah (x – x1)(x – x2) = 0

Persamaan kuadrat yang akar-akarnya x1 dan x2 adalah

Page | 8

Akarnya Diketahui Memiliki Hubungan Dengan

akarnya diketahui memiliki hubungan dengan akar-akar

TEOREMA

persamaan kuadrat

Documents