persistance des stratiﬁcations de laminations normalement ...berger...d´epartement de...

Departement de mathematiques Ecole doctorale

Persistance des stratifications de

laminations normalement dilatees

THESE

presentee et soutenue publiquement le 22 juin 2007

pour l’obtention du

Doctorat de l’universite Paris-Sud – Orsay

(specialite mathematiques)

par

Pierre Berger

Composition du jury

President : ...

Rapporteurs : Christian Bonatti

Marcelo Viana

Examinateurs : ...

...

Laboratoire de Mathematiques d’Orsay — UMR XXX

Mis en page avec la classe thloria.

Remerciements

J’ai eu l’honneur et le privilège de bénéficier de l’encadrement exceptionnel de Jean-Christophe

Yoccoz durant ma thèse.

Il m’a fait partager sa vision large des systèmes dynamiques, m’a ainsi montré les grandes

lacunes de notre science et m’a offert des problématiques sûrement très fertiles.

Je le remercie aussi pour m’avoir généreusement dévoilé sa façon de chercher, sa façon de

comprendre et sa façon de corriger.

Je réalise aujourd’hui sa qualité de maître, qui dans son exigence formelle, a émancipé mon

propre style mathématique.

Je ferai mon possible pour être à la hauteur de son enseignement.

Marcelo Viana m’accueilli chaleureusement de nombreuses fois à l’IMPA, pendant une durée

qui se somme à près d’un an. Je le remercie pour de nombreuses discussions, pour les très bonnes

conditions de travail qui m’ont permis de prendre goût aux mathématiques brésiliennes, dont ce

travail inonde. Je le remercie aussi d’avoir honoré ce travail en sa qualité de rapporteur, dans

une période de grande indisponibilité.

Christian Bonatti a effectué un travail de rapporteur remarquable, je le remercie d’avoir pris

le temps de s’intéresser à ce travail et de m’avoir exposé des erreurs.

Je remercie aussi Enrique Pujal, Frédéric Le Roux et David Trotman pour avoir, entre autre,

accepté de faire partie de ce jury de thèse.

Pierre Pansu s’est montré très disponible et, dans sa connaissance encyclopédique de la

géométrie, m’a beaucoup aidé. Je remercie tout autant Frédéric Paulin qui, de plus, à su me

guider dans ma scolarité à l’ENS, ainsi que René Martel pour son initiation mathématique.

Claudio Murolo m’a expliqué par correspondance la théorie des stratifications, je souhaite le

remercier pour ces longs mails.

Pierre-Yves Fave a réalisé les plus belles représentations 3D de ce travail. Je le remercie pour

son aide.

Je remercie aussi enfin tous les (apprentis) mathématiciens d’Orsay, de l’Impa ou d’ailleurs,

avec qui j’ai discuté, j’ai appris, j’ai aimé les mathématiques et son ambiance.

Je remercie enfin mon entourage proche : famille, amis et amie pour leur soutien et leur aide

le long de ces études.

i

Table des matières

Introduction 1

1 Motivations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2 Stratifications de laminations normalement dilatées . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

3 Exemples de stratifications de laminations normalement dilatées et persistantes . 5

3.1 Persistance des sous-variétés à bord en tant que stratifications . . . . . . 5

3.2 Persistance des sous-variétés à coins en tant que stratifications . . . . . . 5

3.3 Laminations invariantes de l’application de Viana dans C× R . . . . . . . 6

3.4 Produit de fractions rationnelles hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . 6

3.5 Fibré normalement axiome A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

4 Une condition suffisante pour la persistance des stratifications de laminations nor-

malement dilatées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

5 Plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Chapitre 1

Persistance de laminations

1.1 Cadre des laminations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.1.1 Définition d’une lamination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.1.2 Morphismes de laminations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.1.3 Métrique riemannienne sur une lamination . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.1.4 Classes d’équivalence des morphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.2 Persistance d’une lamination normalement dilatée . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.2.1 Dilatation normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.2.2 Persistance des immersions de laminations normalement dilatées . . . . . 18

1.2.3 Persistance des plongements de laminations normalement dilatés . . . . . 21

1.3 Preuve de la proposition 1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.4 Fibré vectoriel ayant pour base une lamination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.4.1 L-fibré vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.4.2 Connexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

iii

Table des matières

1.4.3 Topologies sur les espaces des sections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.5 Démonstration du théorème 1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.6 Preuve du lemme 1.5.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.6.1 Notations et conventions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.6.2 Préimage d’une perturbation de i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.6.3 Action de Sf ′ sur les normes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Chapitre 2

Persistance de stratifications de laminations

2.1 Géométrie sur les stratifications de laminations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.1.1 Stratifications de laminations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.1.2 Structure de treillis de laminations sur un espace stratifié . . . . . . . . . 48

2.1.3 Des structures géométriques sur certains espaces stratifiés . . . . . . . . . 58

2.2 Persistance des stratifications de laminations normalement dilatées . . . . . . . . 61

2.2.1 Persistance des stratifications de laminations normalement dilatées de fa-

çon contrôlée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2.2.2 Un exemple de stratification normalement dilatée non topologiquement

persistante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

2.3 Applications du théorème de persistance 2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

2.3.1 Prolongement de la continuation hyperbolique d’un compact répulsif inva-

riant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

2.3.2 Produit de stratifications de laminations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

2.3.3 Exemples de stratifications de laminations persistantes en dynamique pro-

duit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

Chapitre 3

Persistance de sous-variétés

3.1 Variétés à bord normalement dilatées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.1.1 Persistance des sous-variétés à bord normalement dilatées en tant que stra-

tification a-régulière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.1.2 Preuve du théorème 3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.2 Variétés à coins normalement dilatées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

3.2.1 Rappels sur les variétés à coins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

3.2.2 Théorème de persistance des variétés à coins normalement dilatées en tant

que stratifications a-régulières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.2.3 Preuve du théorème 3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

iv

Chapitre 4

Fibré normalement axiome A

4.1 Théorèmes de persistance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4.2 Preuve de la persistance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.2.1 Stratifications de laminations et structures de treillis persistantes . . . . . 95

4.2.2 Voisinages tubulaires des feuilles de L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

4.2.3 Hypothèse de récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

4.2.4 Etape j=N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

4.2.5 Etape i+ 1 → i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

Chapitre 5

Preuve de la persistance des stratifications

5.1 Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

5.1.1 Convention et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

5.1.2 Construction de fibrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

5.1.3 Construction d’une filtration adaptée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

5.1.4 Uniformité locale des chaînes sortantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

5.2 Démonstration du corollaire 2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

5.3 Démonstration par récurrence du théorème 2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

5.3.1 Propriété fondamentale de la dynamique sur Kp . . . . . . . . . . . . . . . 110

5.3.2 Démonstration du théorème 2.1 à partir de la propriété fondamentale . . . 111

5.3.3 Rang p=N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

5.3.4 Rang p+1 ⇒ Rang p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

5.3.5 Preuve du lemme 5.3.4 préimage d’une perturbation de Lp . . . . . . . . . 125

5.3.6 Preuve du lemme 5.3.5 : construction d’une structure algébrique locale . . 129

Annexe A

Analyse sur les laminations et les treillis

A.1 Partition de l’unité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

A.1.1 Partition de l’unité sur une lamination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

A.1.2 Partition de l’unité contrôlée sur une stratification de laminations . . . . . 138

A.2 Densité des relèvements lisses d’une application lisse . . . . . . . . . . . . . . . . 140

A.2.1 Densité des relèvements lisses d’un morphisme d’une lamination dans un

fibré en variétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

A.2.2 Densité des relèvements lisses d’un morphisme contrôlés dans un fibré en

variétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

A.3 Fibré induit par une section de la grassmannienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

v

Table des matières

A.3.1 Fibré induit par une section de la grassmannienne au-dessus d’une lamination142

A.3.2 Fibré induit par une section T -contrôlée de la grassmannienne . . . . . . 143

Annexe B

Expansivité par plaques

Bibliographie 149

vi

Table des figures

1.1 Définition par transversalité de S0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.2 Valeur de la l’application Ψ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.1 Une structure de treillis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.2 Plongement contrôlé d’une stratification exotique sur le cylindre . . . . . . . . . . 52

2.3 Une structure de treillis sur un cube . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.4 Plongement contrôlé d’un cube . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.5 Stratification normalement dilatée et non persistante . . . . . . . . . . . . . . . . 63

2.6 Expérimentation numérique de l’exemple 2.3.3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.1 Compacts (Ck)k pour la stratification simpliciale d’un carré, munie de la structure

de treillis représentée figure 2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

vii

Table des figures

viii

Introduction

L’exploration des systèmes dynamiques en dimension supérieure débute souvent au voisinage

d’un produit de systèmes dynamiques bien compris. On espère alors entrevoir les dynamiques

avoisinantes en trouvant des structures géométriques persistantes dans le produit : les supports

induisent une partition qui code l’espace des phases et leur structure ramène à l’étude de systèmes

dynamiques de plus petite dimension. Les théorèmes de persistance sont alors généralisés, pour

sortir du cadre de la dynamique produit.

1 Motivations

En 1977, M. Hirsch, C. Pugh et M. Shub [11] ont élaboré une théorie qui s’avéra extrême-

ment utile dans les systèmes dynamiques hyperboliques. Le point central de leur travail était la

preuve de la persistance des sous-variétés, des feuilletages et plus généralement des laminations

normalement hyperboliques et expansives par plaques1.

On rappelle qu’une lamination est dite normalement hyperbolique par un difféomorphisme

f , si f préserve la lamination et si l’espace normal aux feuilles est décomposé en deux sous-

espaces, que Tf contracte (ou dilate) plus que l’espace tangent aux feuilles. L’expansivité par

plaques est une généralisation de l’expansivité au contexte des laminations. La persistance d’une

telle lamination signifie qu’étant donnée une perturbation C1 de la dynamique, il existe une

lamination, proche de la première, qui est préservée par la nouvelle dynamique et telle que la

dynamique induite sur l’espace de feuilles soit la même.

Une application directe de cette théorie fut la construction d’un exemple de difféomorphisme

stablement transitif mais non-Anosov. Au même moment, beaucoup d’idées de leur travail furent

reprises notamment par C. Robinson [22] pour montrer la stabilité structurelle des Axiomes A

vérifiant la condition de transversalité forte. De nos jours encore, la théorie de Hirsch-Pugh-Shub

1Un difféomorphisme (resp. endomorphisme) est dit expansif par plaques si, pour tout ε > 0 assez petit, pour

toutes ε-pseudo-orbites (xn)n et (yn)n telles que, f(xn) et xn+1 d’une part, ainsi que f(yn) et yn+1 d’autre part

sont dans une même plaque de diamètre inférieur à ε, si xn et yn sont ε-proches pour tout n ∈ Z (resp. n ≥ 0)

alors x0 et y0 appartiennent à une même petite plaque.

1

Introduction

est extrêmement utile et intervient dans dans de nombreuse branches mathématiques (dynamique

générique, dynamique différentiable, théorie des feuilletages, en théorie des groupes de Lie).

Cependant, cette théorie n’est pas optimale. Il existe des laminations, qui ne sont pas nor-

malement hyperboliques, mais qui sont persistantes. Par exemple, on considère la dynamique

produit de l’identité sur une variété compacte N avec la dynamique nord-sud sur une sphère S.

On montre facilement que la lamination sur L sur N × S, dont les feuilles sont les fibres de la

projection canonique N × S → S, est persistante pour des C1-perturbations de la dynamique

produit. On remarque au passage que la fonction de Morse sur S induit canoniquement deux

stratifications sur S formées par respectivement les variétés stables et instables.

Par ailleurs, dans sa thèse [25], M. Shub a montré qu’étant donnés une variété M et un C1-

endomorphisme f de M , tout compact dilaté par f est structurellement stable. Aussi, M. Viana

a utilisé une lamination de (co-)dimension un, normalement dilatée, quand il a construit une ap-

plication robustement non-uniformément dilatante [30]. Cependant, à notre connaissance, aucun

travail ne démontre que toute lamination normalement dilatée est stable, bien que cela semble

naturel. Ce résultat semble pourtant fondamental dans l’étude des endomorphismes et pourrait

aider à amoindrir l’écart de compréhension entre les endomorphismes et les difféomorphismes

(stabilité structurelle, existence de nouvelles applications non-uniformément dilatantes).

Enfin, depuis le travail de thèse de R. Mañe [15], nous savons qu’une sous-variété compacte

de classe C1 est persistante et unformement localement maximal (il existe un voisinage U de la

sous variété N tel que pour une C1 perturbation de la dynamique le maximal invariant inclus de

U est une sous-variété C1 procue de N), si et seulement si elle est normalement hyperbolique.

Cependant, l’hyperbolicité uniforme n’est pas nécessaire pour que cette sous-variété, décomposée

en une autre stratification, soit persistante et uniformément localement maximal. Par exemple,

on considère un difféomorphisme du plan possédant un point fixe hyperbolique P , dont la variété

stable X est de dimension 1. On suppose que la variété stable privée de P est incluse dans le

bassin de répulsion d’un point fixe répulsif R. L’ensemble S, égal à l’union de X et de R, est

homéomorphe à un cercle. On peut même le munir d’une structure stratification, formée des

strates X et R. On montre facilement que, pour toute C1-perturbation de la dynamique, il

existe un point hyperbolique P ′ proche de P dont la variété stable X ′ privée de P ′ appartient

au bassin de répulsion d’un point fixe R′ proche de R. En particulier, il existe une stratification

(X ′, R′) sur S′ := X ′ ∪ R′, préservée par la perturbation de la dynamique, telle que X ′ est

C1-proche de X, R′ est proche de R et S′ est un cercle topologiquement proche de S. On vérifie

aussi facilement l’uniforme et locale maximalité.

Pour ces trois raisons, il semble aussi utile que naturel de se poser la question de la per-

sistance des stratifications de laminations normalement dilatées. Le concept de stratification de

laminations étant nouveau, on va préciser rigoureusement les termes associés à cet intitulé. Puis,

on donnera plusieurs applications de la théorie développée dans ce travail. Enfin, on donnera les

2

2. Stratifications de laminations normalement dilatées

conditions (ouvertes) nécessaires à l’application de cette théorie.

2 Stratifications de laminations normalement dilatées

On rappelle qu’une lamination est un espace métrique séparable modelé (via des cartes com-

patibles) sur le produit de Rd avec un espace localement compact. Par C1-endomorphisme d’une

variété M , on entend une application de classe C1 de M dans M n’étant a priori ni injective ni

surjective et pouvant avoir des singularités.

Soit (L,L) une lamination plongée et identifiée à son image dans une variété riemannienne

(M, g). Soit f un C1-endomorphisme de M , préservant la lamination (L,L). Soit TL le sous-

fibré de TM|L dont les fibres sont les espaces tangents aux feuilles de (L,L). Soit p la projection

orthogonale de TM|L sur TL⊥. On dit que f dilate normalement (L,L) s’il existe λ > 1 et une

fonction continue positive C sur L tels que, pour tout x ∈ L, tous vecteurs unitaires v0 ∈ TxLet v1 ∈ (TxL)⊥, tout n ≥ 0, on a :

‖p Tfn(v1)‖ ≥ C(x) · λn · (1 + ‖Tfn(v0)‖)

Quand L est compact, on retrouve la définition usuelle de la dilatation normale en remplaçant

C par son minimum.

Un premier résultat est :

Théorème 0.1. Soit (L,L) une lamination plongée dans une variété riemannienne M . Soit f

un C1-endomorphisme de M expansif par plaques2 et dilatant normalement (L,L). Soit L′ une

partie relativement compacte et ouverte de L dont l’adhérence est envoyée par f dans L′. Alors

la restriction de (L,L) à L′ est persistante.

Autrement dit, pour f ′ C1-proche de f , il existe un plongement de la restriction de (L,L) à

L′ dont l’image est préservée par f ′ et tel que la dynamique induite par f ′ sur l’espace des feuilles

s’identifie à celle de f .

En particulier, on montre la persistance des laminations compactes normalement dilatées et

expansives par plaques. La démonstration se fait grâce à une méthode de point fixe, suivant

d’autres techniques que [11]. On montre aussi, dans un résultat similaire, la persistance des la-

minations immergées et normalement dilatées.

On définit maintenant les stratifications de laminations. D’après les travaux de J. Mather,

un espace stratifié est la donnée d’un espace métrique séparable A et d’une partition localement2La définition de l’expansivité par plaques est donnée dans la partie 1.2.3

3

Introduction

finie Σ de A en sous-ensembles localement fermés, vérifiant la condition de frontière suivante :

∀(X,Y ) ∈ Σ2, adh(X) ∩ Y 6= ∅ ⇒ adh(X) ⊃ Y

On note alors X ≥ Y

Le couple (A,Σ) est appelé espace stratifié de support A et de stratification Σ.

Tout comme H. Whitney, R. Thom ou J. Mather, on rajoute une structure géométrique sur

chaque strate. On munit chaque strate X d’une structure de lamination dont la topologie est

celle induite par A, et telle que si adh(X) intersecte une strate Y , alors la dimension de X

est supérieure ou égale à celle de Y . L’espace stratifié obtenu (A,Σ) est dit laminaire et Σ est

une stratification de laminations. Un plongement (stratifié) de cet espace dans une variété M

est un homéomorphisme sur son image qui, restreint à chaque strate X, est un plongement (de

lamination) de X dans M . On identifie souvent l’espace stratifié (A,Σ) avec son image via le

plongement i.

Par exemple, une stratification de Whitney est une stratification de laminations. De façon

plus inattendue, étant donné un axiome A vérifiant la condition de transversalité forte, si l’on

note (Λi) la décomposition spectrale de l’ensemble non-errant et Xi := W s(Λi) la structure de

lamination canonique sur l’ensemble stable de chaque Λi, la partition (Xi)i est une stratification

de laminations.

Étant données une variété M , une stratification de laminations Σ sur A ⊂ M et une appli-

cation f de classe C1 de M , on dira que f préserve (A,Σ) si f préserve chacune des laminations

X ∈ Σ. On dira que f dilate normalement (A,Σ) si, de plus, elle dilate normalement chaque

strate X ∈ Σ.

Une stratification de laminations (A,Σ) préservée par f ∈ C1(M,M) est persistante, si pour

une application f ′ C1-proche de f , il existe un plongement (stratifié) i′ proche de l’inclusion

canonique i tel que f ′ préserve la stratification (A,Σ) plongée par i′ et tel que la dynamique

induite par f ′ sur l’espaces des feuilles de chaque strate de Σ est la même que celle induite par

f .

Le but de ce travail est de montrer que, sous certaines conditions expliquées ci-dessous, les

stratifications de laminations normalement dilatées sont persistantes. On va maintenant donner

des exemples de stratifications de laminations dont la persistance découle du théorème principal.

4

3. Exemples de stratifications de laminations normalement dilatées et persistantes

3 Exemples de stratifications de laminations normalement dila-

tées et persistantes

3.1 Persistance des sous-variétés à bord en tant que stratifications

Théorème 0.2. Soient une variété riemannienne (M, g) et N une sous-variété à bord compacte

de M . Soit f un C1-endomorphisme de M préservant et dilatant normalement le bord ∂N et

l’intérieur N de N . Alors la stratification (N , ∂N) sur N est persistante.

Autrement dit, pour toute application f ′ C1-proche de f , il existe deux sous-variétés ∂N ′ et

N ′ telles que :

– N ′ (resp. ∂N ′) est préservée par f ′, difféomorphe et C1-proche de N (resp. ∂N) pour la

topologie compact-ouverte.

– Le couple (N ′ := N ′ ∪ ∂N ′, (N ′, ∂N ′)) forme une stratification (de laminations) et N ′ est

l’image de N par un plongement C0-proche de l’inclusion canonique de N dans M .

En général, N ′ n’est pas une sous-variété à bord de classe C1, mais est toujours une sous-

variété topologique à bords.

3.2 Persistance des sous-variétés à coins en tant que stratifications

On rappelle qu’une variété à coinsN compacte est une variété différentiable compacte modelée

sur Rd+. On note ∂0kN l’ensemble des points de N qui, vus dans une carte, ont exactement k

coordonnées nulles. Le couple (N,Σ := ∂0kNk) est un espace stratifié. Soit i un plongement

de classe C1 de N dans une variété riemannienne (M, g), via lequel N sera identifiée à son image

dans M .

Théorème 0.3. Soit f un C1-endomorphisme de M , qui préserve et dilate normalement l’espace

stratifié (N,Σ). Alors, la stratification (de laminations) Σ := ∂0kN est persistante.

Autrement dit, pour toute application f ′ C1-proche de f , il existe des sous-variétés (∂0kN ′)k

telles que :

– pour chaque k, ∂0kN ′ est préservée par f ′, difféomorphe et C1-proche de ∂0kN pour la

topologie compact-ouverte,

– (N ′ := ∪k∂0kN ′, (∂0kN ′)k) forme une stratification (de laminations) et N ′ est l’image de

N par un plongement C0-proche de l’inclusion canonique de N dans M .

Bien que le théorème 0.3 implique le théorème 0.2, on a préféré donner indépendamment les

énoncés et la preuve de chacun de ces deux résultats, en espérant d’une part aider le lecteur

dans la compréhension de ce travail et d’autre part ne pas obliger le lecteur à lire la preuve de

5

Introduction

la persistance des variétés à coins, qui est beaucoup plus difficile, si celui-ci n’est intéresser que

par celle des variétés à bord.

Le résultat principal permet de montrer la persistance de nombreuses stratifications de lami-

nations normalement dilatées en dynamique produit telles que exposées ci-dessous.

3.3 Laminations invariantes de l’application de Viana dans C× R

Soit V : C× R → C× R

(z, h) 7→ (z2, h2 + c)

L’application z 7→ z2 est dilatante sur le cercle unité S1 et préserve l’intérieur du disque unité

D. On munit S1 et D d’une structure de lamination de dimension 0 et 2 respectivement.

On fixe c ∈]−2, 1/4[. Ainsi, le complémentaire du bassin d’attraction de l’infini de h 7→ h2 +c

est un segment I dont le bord ∂I est dilaté. De plus, l’intérieur I de I est stable par h 7→ h2 + c.

On munit ∂I d’une structure de lamination de dimension 0 et I de la structure de lamination de

dimension 1. On stratifie adh(D)× I par les laminations :

– X0 := S1 × ∂I de dimension 0,

– X1 := S1 × I de dimension 1,

– X2 := D× ∂I de dimension 2,

– X3 := D× I de dimension 3.

Soit Σ la stratification de laminations formée de ces strates sur C := adh(D)× I. On remarque

que V préserve cette stratification de laminations et la dilate normalement. La persistance de

cette stratification résulte de notre théorème principal.

Elle signifie que, pour un C1-endomorphisme V ′ proche de V , il existe un homéomorphisme

i′ de adh(D)× I sur son image dans C×R, proche de l’inclusion canonique, tel que pour chaque

strate Xk ∈ Σ :

– la restriction i′|Xkest un plongement de la lamination, proche de l’inclusion canonique de

Xk dans C× R,

– la lamination i′(Xk) est préservée par V ′, et pour x ∈ Xk, le point V ′ i′(x) appartient à

l’image par i′ de la feuille de Xk contenant V (x).

3.4 Produit de fractions rationnelles hyperboliques

Soit f : Cn → Cn

(zi)i 7→ (Ri(zi))i

6

3. Exemples de stratifications de laminations normalement dilatées et persistantes

où pour chaque i, Ri est une fraction rationnelle hyperbolique de la sphère de Riemann : cela

signifie que son ensemble de Julia Ki est un compact répulsif et que son complémentaire Xi est

une union finie de bassins d’attraction d’orbites périodiques attractives.

Soient J ⊂ 1, . . . , n et YJ la lamination de dimension 2#J , de support :

∏j∈J

Xj ×∏j∈Jc

Kj

et dont les feuilles de cette lamination sont de la forme∏

j∈J Cj ×∏

j∈Jckj, avec Cj une com-

posante connexe de Xi et kj un élément de Kj .

Alors YJJ⊂1,...,n est une stratifications de laminations sur Cn dont la persistance résulte

du théorème principal de ce travail.

Un résultat similaire existe pour des produits de polynômes réels hyperboliques.

3.5 Fibré normalement axiome A

Rappelons qu’un difféomorphisme vérifie l’axiome A et la condition de transversalité forte

(ATF) si :

– l’ensemble non errant Ω est hyperbolique,

– les points périodiques sont denses dans Ω,

– les variétés stables et instables des points de Ω s’intersectent transversalement.

On rappelle qu’un difféomorphisme f d’une variété est dit C1-structurellement stable si toute

C1-perturbation de f est conjuguée à f via un homéomorphisme.

Les travaux de Smale [27], Palis [20], de Melo [6], Mañe [16], Robbin [21] et Robinson [22]

ont abouti au théorème suivant :

Théorème 0.4. Les difféomorphismes C1-structurellement stables d’une variété compacte sont

exactement les difféomorphismes ATF.

Ce dernier théorème montre que, pour les laminations de dimension 0 supportés par toute la

variété ambiante, les hypothèses du théorème d’Hirsch-Pugh-Shub de persistance des laminations

normalement hyperboliques ne sont pas optimales.

En effet, l’espace des feuilles d’une lamination de dimension 0 sur une variété M s’identifie à

l’espace topologique M , ainsi la persistance d’une telle lamination est équivalente à la stabilité

structurelle de M .

Dans la recherche d’un énoncé optimal sur la persistance des laminations sur une variété qui

sont préservées par un difféomorphisme, le résultat principal de ce travail permet d’obtenir le

théorème suivant :

7

Introduction

Théorème 0.5. Soient M une variété riemannienne compacte et S une surface compacte. Soit

p : M → S une submersion de classe C1. Soit L la structure de lamination sur M dont les

feuilles sont les composantes connexes des fibres de p.

Soit fb un difféomorphisme ATF de S. Soit f un difféomorphisme de M tel que :

– le diagramme suivant commute

f

M → M

p ↓ ↓ p

S → S

fb

– le difféomorphisme f est normalement hyperbolique sur L|p−1(Ωb), avec Ωb l’ensemble non

errant de fb.

Alors, la lamination L sur M est persistante pour des C1-perturbations de f .

On pense que le résultat ci-dessus est vrai même quand S est une variété compacte de

dimension quelconque. On s’est restreint au cas des surfaces car la preuve de de Melo [6] de la

stabilité structurelle des difféomorphismes ATF d’une surface est plus simple à utiliser que celle

de de Robinson [22] qui montre le cas général. On espère prouver bientôt le cas général.

4 Une condition suffisante pour la persistance des stratifications

de laminations normalement dilatées

Dans la partie 2.2.2, on construit un exemple simple de stratification normalement dilatée

qui n’est pas persistante. Ainsi des conditions supplémentaires sont requises pour assurer la per-

sistance d’une stratification de laminations normalement dilatées.

Pour appliquer le théorème principal à une stratification de laminations Σ sur un compact

A, on demande l’existence d’un voisinage tubulaire (LX ,LX) pour chaque strate X : il s’agit

d’une lamination LX supportée par un voisinage ouvert LX de X dans les strates supérieures

à X, dont la lamination X est une restriction et telle que toute feuille de LX soit incluse dans

exactement une feuille d’une strate de Σ.

L’existence d’une telle structure a déjà été conjecturée de façon locale par H. Whitney dans

le cadre des variétés analytiques singulières. Elle a aussi été construite par W. de Melo et par

C. Robinson (de façon locale) dans la preuve de la stabilité structurelle des difféomorphismes

axiomes A vérifiant la condition de transversalité forte (pour la stratification de laminations

définie par chaque ensemble stable des pièces basiques de la décomposition spectrale).

8

4. Une condition suffisante pour la persistance des stratifications de laminations normalement dilatées

Il existe des stratifications qui contiennent des strates sans voisinage tubulaire. C’est le cas

par exemple de la stratification normalement dilatée et non persistante présentée dans ce travail.

Une famille T := (LX ,LX)X∈Σ de voisinages tubulaires est appelée treillis de laminations,

si la condition suivante est vérifiée : pour toutes strates X ≤ Y de Σ, chaque petite plaque de

LY incluse dans LX ∩ LY supporte un feuilletage de classe C1 dont les feuilles sont des plaques

de LX .

Un plongement stratifié p de (A,Σ) dans une variété M est dit T -contrôlé, si pour chaque

strate X ∈ Σ, la restriction de p à LX est un plongement de la lamination LX dans M . On

identifie alors le support A, ainsi que les laminations de Σ et de T à leur image par p dans M .

La restriction à A d’une application f de classe C1 de M qui préserve la stratification plongée

(A,Σ) est dite T -contrôlée si, pour chaque strate X ∈ Σ, il existe un voisinage ouvert VX de X

dans LX tel que chaque plaque de LX incluse dans VX soit envoyée par f dans une plaque de

LX . Une telle famille de voisinages V := (VX)X∈Σ est dite adaptée à f .

Pour présenter notre théorème principal, il ne reste plus qu’à introduire une dernière défini-

tion : étant donné ε > 0, une ε-pseudo-orbite de VX qui respecte LX est une suite (xn)n≥0 ∈ V NX

telle que pour tout n ≥ 0 f(xn) et xn+1 appartiennent à une plaque de LX de diamètre plus

petit que ε.

Voici une version restreinte 3 du résultat principal (théorème 2.1) de ce travail :

Théorème 0.6. Soient (M, g) une variété riemannienne, ainsi que (A,Σ) un espace stratifié

compact supportant une structure de treillis T .

Soient f ∈ C1(M,M) et p un plongement T -contrôlé de (A,Σ) dans M . On identifie, via p,

l’espace stratifié (A,Σ) à son image dans M . On suppose que :

i. f préserve (A,Σ) et sa restriction à A est T -contrôlée,

ii. f dilate normalement l’espace stratifié (A,Σ),

iii. il existe une famille de voisinages V adaptée à f et ε > 0, tels que, pour chaque strate X ∈ Σ,

toute η-pseudo-orbite de VX qui respecte LX est contenue dans X,

iv. f est expansive par plaques sur les strates de Σ.

Alors, pour toute application f ′ C1-proche de f , il existe un plongement T -contrôlé p′ de

(A,Σ) dans M , proche de p, tel que f ′ vérifie les propriétés (i), (ii), (iii) et (iv) énumérées ci-3Le cadre d’application du théorème 2.1 est plus général : il montre la persistance des immersions T -contrôlées

(sans l’hypothèse iv)) et s’applique aux espaces stratifiés non compacts comme dans le théorème 0.1. Enfin, on

peut changer la métrique de chaque LX (tout en préservant sa topologie) pour que les conditions iii) et iv) soient

vérifiées.

9

Introduction

dessus, pour l’identification de (A,Σ) via le plongement p′.

En particulier, f ′ préserve la stratification de laminations Σ, plongée par p′ et, de plus, la

dynamique induite sur l’espace des feuilles de chaque strate est la même que celle de f . Autrement

dit, la stratification de laminations (A,Σ) est persistante.

Remarque : Les conclusions du théorème principal affirme de plus l’existence d’un voisinage

V ′X de chaque strate X ∈ Σ, tel que pour toute application f ′ proche de f et x ∈ V ′

X , les points

p−1 f p(x) et p′−1 f ′ p′(x) appartiennent à une même plaque de LX de diamètre inférieur

à ε.

Cette dernière remarque est fondamentale dans la démonstration de la persistance des fibrés

normalement axiome A, ainsi que dans l’exemple qui suit.

Exemple : Soit f un C1-endomorphisme d’une variété compacte connexe M et K un compact

f -invariant (f−1(K) = K) et dilaté. Alors K muni de sa structure de lamination de dimension

0 et X := M \ K muni de sa structure de variété forme une stratification (K,X) sur M , de

laminations normalement dilatées par f . De plus, si LK est la structure de lamination de dimen-

sion 0 sur un voisinage ouvert LK de K, alors ((LK ,LK), X) forme une structure de treillis de

laminations, telle que les hypothèses i), ii), iii) et iv) sont facilement vérifiées.

La remarque ci-dessus donne l’existence d’un voisinage V ′K de K tel que, pour tout endo-

morphisme f ′ C1-proche de f , il existe un homéomorphisme p′ de M , proche de l’identité, dont

la restriction à M \ K est un difféomorphisme sur M \ p(K) et tel que le diagramme suivant

commute :f ′

M → M

p ↑ ↑ p

V ′K → M

f

En effet, pour x ∈ V ′K , le point p′−1 f ′ p′(x) appartient à l’unique plaque f(x) de LK

contenant f(x).

Cette exemple étend donc à un voisinage l’homéomorphisme conjuguant du théorème de Shub

[25] sur la stabilité structurelle des compacts dilatés (quand ils sont invariants).

La propriété iii) et iv) sont classiques et on ne sait pas si elles sont toujours vérifiées, dans

leur version générale, quand les propriétés i) et ii) le sont. Cependant, dans les exemples que l’on

a rencontrés, elles ont toujours été simples à vérifier. Ainsi, la difficulté principale pour appliquer

le théorème est de construire une structure de treillis T qui contrôle p et f|A.

Cependant, en dynamique produit, le théorème 0.6 peut être très facile à utiliser. Tout

10

4. Une condition suffisante pour la persistance des stratifications de laminations normalement dilatées

d’abord, on remarque qu’étant donnés deux espaces stratifiés (A,Σ) et (A′,Σ′), la partition

Σ×Σ′ := (X×X ′)(X,X′)∈Σ×Σ′ forme une stratification sur A×A′. Dans le cadre de son applica-

tion, la proposition suivante construit alors une structure de treillis sur l’espace stratifié produit,

qui est suffisante pour prouver sa persistance :

Proposition 0.7. Soient (M, g) et (M ′, g′) deux variétés riemanniennes, ainsi que Σ et Σ′ deux

stratifications de laminations sur des compacts A et A′ de M et M ′ respectivement. On suppose

que (A,Σ) et (A′,Σ′) admettent des structures de treillis T et T ′ respectivement.

Soient f ∈ C1(M,M) et f ′ ∈ C1(M ′,M ′) vérifiant les hypothèses i), ii), iii) et iv) pour

(A,Σ) et (A′,Σ′) respectivement.

Si la dynamique produit (f, f ′) sur M ×M ′ dilate normalement la stratification produit (A×A′,Σ × Σ′), alors (f, f ′) vérifie les propriétés i), ii) iii) et iv) du théorème, pour une certaine

structure de treillis de laminations Tprod sur l’espace stratifié produit.

En particulier, la stratification (A×A′,Σ× Σ′) est persistante.

L’exemple élémentaire du compact dilaté et invariant, joint à la proposition 0.7 permet d’ob-

tenir la persistance des stratifications de laminations de l’application de Viana ou du produit des

fractions rationnelles hyperboliques, exposés auparavant.

11

Introduction

5 Plan

La chapitre 1 étudie les laminations. Il commence, dans la partie 1.1, par introduire les

structures de laminations et les notions qui leur sont associées. La partie 1.2 donne l’énoncé

du théorème 0.1 de persistance des laminations plongées et sa version plus générale au cas des

laminations immergées normalement dilatées. Ces deux premières parties sont ainsi fondamen-

tales pour l’ensemble de ce travail. La partie 1.3 montre l’existence d’une métrique adaptée à la

dilatation normale sur un compact stable d’une lamination, dans le cadre des endomorphismes.

Les parties 1.4, 1.5 et 1.6 constituent la preuve du théorème de persistance des laminations.

Les notions techniques introduites dans ces sous-parties, ne seront utiles que dans la preuve du

théorème 0.6 et la preuve de la persistance des sous-variétés à bord.

Le deuxième chapitre donne l’essentiel des résultats abstraits sur les stratifications de lamina-

tions. La partie 2.1 définit les stratifications de laminations et les structures de treillis, ainsi que

les morphismes de ces structures. La partie 2.2 donne l’énoncé du résultat principal (théorème

2.1) sur la persistance des stratifications de laminations, plongées ou immergées, généralisant

le théorème 0.6. Un contre-exemple d’une stratification normalement dilatée et non persistante

y est aussi développé. La partie 2.3 applique le théorème de persistance aux exemples issus de

dynamiques produits et démontre la proposition 0.7.

Le troisième chapitre énonce et démontre la persistance des variétés à bord et à coins en tant

que stratifications. Il commence par donner un exemple d’une sous-variété à bord non persis-

tante en tant que sous-variété. Puis, il démontre la persistance de ces sous-variétés en utilisant un

lemme technique du premier chapitre ainsi que le résultat principal. Enfin il énonce et démontre

la persistance des variétés à coins en utilisant seulement le résultat principal de ce travail.

Le quatrième chapitre motive et prouve le théorème 0.5 de persistance des fibrés normalement

axiome A, grâce au résultat principal et au travail de thèse de W. de Melo.

Le cinquième chapitre est la preuve du résultat principal. Il s’appuie sur tout le premier

chapitre et les deux premières parties du deuxième chapitre.

L’annexe A est consacré à des résultats techniques. L’annexe B adapte et développe les ré-

sultats connus sur l’expansivité par plaques pour les laminations normalement dilatées par un

C1-endomorphisme.

12

1

Persistance de laminations

Sommaire1.1 Cadre des laminations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.1.1 Définition d’une lamination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.1.2 Morphismes de laminations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.1.3 Métrique riemannienne sur une lamination . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.1.4 Classes d’équivalence des morphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.2 Persistance d’une lamination normalement dilatée . . . . . . . . . . 16

1.2.1 Dilatation normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.2.2 Persistance des immersions de laminations normalement dilatées . . . . 18

1.2.3 Persistance des plongements de laminations normalement dilatés . . . . 21

1.3 Preuve de la proposition 1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.4 Fibré vectoriel ayant pour base une lamination . . . . . . . . . . . . 26

1.4.1 L-fibré vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.4.2 Connexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.4.3 Topologies sur les espaces des sections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.5 Démonstration du théorème 1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.6 Preuve du lemme 1.5.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.6.1 Notations et conventions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.6.2 Préimage d’une perturbation de i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.6.3 Action de Sf ′ sur les normes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.1 Cadre des laminations

1.1.1 Définition d’une lamination

On considère un espace métrique séparable et localement compact L recouvert par des ouverts

(Ui)i que nous appellerons ouverts distingués munis d’homéomorphismes hi de Ui sur Vi×Ti, où

13

Chapitre 1. Persistance de laminations

Vi est un ouvert de Rd et Ti un espace métrique. On dit que les cartes (Ui, hi)i définissent un atlas

d’une structure de lamination sur L de dimension d si les changements de cartes hij = hj h−1i

peuvent s’écrire sous la forme :

hij(x, t) = (φij(x, t), ψij(x, t))

où φij est à valeurs dans Rd, ∂xφij existe continûment en tout point où hij est définie et ψij(·, t)est localement constante.

Deux atlas sont équivalents si leur réunion est un atlas. Une lamination est un espace

métrique L munie d’un atlas maximal L.

Soit V 0i une composante connexe de Vi ; on appelle plaque un ensemble de la forme h−1

i (V 0i ×

t). Une plaque contenant x ∈ L sera notée Lx ; l’union des plaques contenant x et de diamètre

strictement inférieur à ε > 0 sera notée Lεx. En général, l’ensemble Lε

x n’est pas homéomorphe

à une variété ; cependant pour tout compact K de L, pour tout ε assez petit, pour tout x ∈ Kl’ensemble Lε

x est une plaque.

Les feuilles de L sont les plus petits ensembles qui contiennent toutes les plaques qu’ils

rencontrent.

On dit qu’une partie P de L est saturée si c’est une réunion de feuilles. Si elle est de plus

localement compacte, elle est dite L-admissible. Alors les cartes de L restreintes à P et à l’image

de leur restriction forment une structure de lamination sur P . On nomme cette structure la

restriction de L à P et on la note L|P . De la même manière, si V est un ouvert de L, l’ensemble

des cartes (U, φ) ∈ L telles que U ⊂ V forme une structure de lamination sur V que l’on

note L|V . Une partie P de L qui est L|V -admissible pour un certain ouvert V de L est dite

L-localement admissible, on note alors L|P sa structure de lamination L|V|P . On rappelle que

les parties localement compactes d’un espace métrique localement compact sont les intersections

d’un ouvert et d’un fermé.

Exemples de laminations

– Une variété de dimension d est une lamination de la même dimension.

– Un feuilletage C1 d’une variété connexe induit une structure de lamination.

– Un espace métrique localement compact définit une lamination de dimension zéro.

– Si K est une partie localement compacte quelconque de S1, alors la structure de variété

du cercle S1 induit sur S1×K une structure de lamination où les feuilles sont données par

S1 × k, k ∈ K.

– Le feuilletage stable d’un difféomorphisme Anosov induit une structure de lamination dont

les feuilles sont les variétés stables.

– Plus généralement, si (L,L) et (L′,L′) sont deux laminations, alors L×L′ est munie d’une

structure de lamination dite produit, dont les produits d’une plaque de L et d’une plaque

14

1.1. Cadre des laminations

de L′ sont des plaques. On note L × L′ cette structure.

Si ces deux laminations ont la même dimension, on note (L ∪ L′,L ∪ L′) la structure de

lamination sur l’union disjointe de L et de L′, munie de la structure de lamination définie

par la réunion des deux atlas L et L′.

1.1.2 Morphismes de laminations

Une application f est un morphisme (de laminations) de (L,L) dans (L′,L′), si c’est une

application continue de L dans L′ telle que vue à travers des cartes h et h′, elle peut s’écrire sous

la forme : h′ f h−1(x, t) = (φ(x, t), ψ(x, t)) où φ est à valeur dans Rd′ , ∂xφ existe continûment

et ψ(·, t) est localement constante. Si, de plus, l’application linéaire ∂xφ(x, t) est toujours injec-

tive, alors on dit que f est une immersion (de lamination). Un isomorphisme (de laminations)

est un morphisme de laminations bijectif dont l’inverse est aussi un morphisme de laminations.

Un plongement de laminations est une immersion qui est de plus un homéomorphisme sur son

image. Les endomorphismes de (L,L) sont les morphismes de (L,L) dans elle-même.

On note par :

– Mor(L,L′) l’ensemble des morphismes de L dans L′,– Im(L,L′) l’ensemble des immersions de L dans L′,– Iso(L,L′) l’ensemble des isomorphismes de L sur L′,– Pl(L,L′) l’ensemble des plongements de L dans L′,– End(L) l’ensemble des endomorphismes de L.

On note TL le fibré vectoriel sur L dont la fibre en x, notée TxL, est l’espace tangent en x à sa

feuille. Si f ∈ Mor(L,L′), on note Tf le morphisme de fibrés de TxL vers Tf(x)L′ au-dessus f

correspondant à la différentielle de f le long des feuilles de L.

1.1.3 Métrique riemannienne sur une lamination

Remarquons que l’on peut toujours munir (L,L) d’une certaine métrique riemannienne g,

c’est-à-dire d’un produit scalaire gx sur chaque espace tangent dépendant continûment du point

base x. 4

Une métrique g riemannienne induit de façon standard une métrique sur chaque feuille : pour

deux éléments x et y appartenant à une même feuille de (L,L), la distance x à y est définie par :

dg(x, y) = infγ∈Mor([0,1],L);γ(0)=x,γ(1)=y

∫ 1

0

√g(∂tγ(t), ∂tγ(t)), dt

4Le fibré tangent n’étant que continu, on ne peut pas définir le flot géodésique sur les feuilles. Il existe cependant

une structure de lamination de classe C∞, compatible avec la structure de classe C1, pour laquelle on peut définir

le flot géodésique sur les feuilles pour une métrique lisse. Pour le démontrer, on peut adapter la preuve du théorème

2.9 dans [12] avec les techniques d’analyse de l’annexe A.1.1.

15


1.1.4 Classes d’équivalence des morphismes

On dira que f et f ′ dans Mor(L,L′) (resp. Im(L,L′) et End(L)) sont équivalents si pour

tout x ∈ L, f ′(x) et f(x) sont dans la même feuille de L′. La classe d’équivalence de f sera notée

Morf (L,L′) (resp. Imf (L,L′) et Endf (L)).

Étant donnée une métrique riemannienne g sur (L′,L′), on munit la classe d’équivalence de

f de la topologie compacte-ouverte C1. Précisons les ouverts élémentaires qui engendrent cette

topologie :

Soit K un compact de L, tel que K et f(K) sont inclus dans des ouverts distingués munis

de cartes (h, U) et (h′, U ′),

on pose h′ f h−1 = (φ, ψ) sur h(K)

Soit ε > 0. L’ensemble suivant sera un ouvert élémentaire de notre topologie :

Ω := f ′ ∈Morf (L,L′) : f ′(K) ⊂ U ′, et avec φ′ definie par

h′ f ′ h−1 = (φ′, ψ), on a maxh(K)

(‖φ− φ′‖+ ‖∂xφ− ∂xφ′‖) < ε

Comme, l’espace des applications de classe C1 de M dans M , que l’on note C1(M,M),

est aussi l’espace des (C1)-endomorphismes de M , la topologie sur C1(M,M) est la topologie

compact-ouverte C1 (classique).

1.2 Persistance d’une lamination normalement dilatée

1.2.1 Dilatation normale

Soient (L,L) une lamination et (M, g) une variété riemannienne C∞. Soient i ∈ Im(L,M)

et f ∈ C1(M,M) qui préseve l’immersion de (L,L) par i. Comme on a pas supposé que i est

un plongement, on suppose de plus l’existence de f∗ ∈ End(L) tel que le diagramme suivant

commute :f

M → M

i ↑ ↑ i

L → L

f∗

On identifie, grâce à l’injection donnée par i, le fibré TL → L à un sous-fibré de π : i∗TM →L. On munit donc L de la métrique riemannienne i∗g. Par commutativité du diagramme ci-

dessus, l’endomorphisme i∗Tf de i∗TM → L, au-dessus de f∗, préserve le sous-fibré TL. Passé

16

1.2. Persistance d’une lamination normalement dilatée

au quotient i∗TM/TL, l’endomorphisme i∗Tf est noté :

[i∗Tf ] : i∗TM/TL → i∗TM/TL

On remarque que le quotient i∗TM/TL est le fibré normal de L. On le munit de la norme induite

par la métrique riemannienne de M : la norme d’un u ∈ i∗TM/TL est celle de son représentant

dans i∗TM qui est orthogonal à TL.

On dira que f dilate normalement la lamination (L,L) immergée par i (au-dessus de f∗),

s’il existe une fonction C sur L et λ < 1 tels que pour tout v ∈ i∗TM/TL \ 0, on a pour tout

n ≥ 0 :

max (1, ‖Tπ(v)f∗n‖) · ‖v‖ < C(x) · λn · ‖[i∗Tf ]n(v)‖

Remarques

– Usuellement, on prend L compact et la fonction C constante, ce qui est possible dans cette

caractérisation en prenant le maximum de C sur L.

– Si la fonction C est bornée, on dira que f dilate uniformément normalement la lamination

(L,L).

– Quand (L,L) est plongée par i (et donc identifiée à son image dans M), la définition de la

dilatation normale ci-dessus et équivalente à la suivante :

Il existe λ > 1 et une fonction continue strictement positive C sur L tels que, pour tout

x ∈ L, tous vecteurs unitaires v0 ∈ TxL et v1 ∈ (TxL)⊥, tout n ≥ 0, on a :

‖p Tfn(v1)‖ ≥ C(x) · λn · (1 + ‖Tfn(v0)‖)

avec p égal à la projection orthogonale de TM|L sur TL⊥.

– Il existe des laminations immergées et préservées par un difféomorphisme telles que la

dynamique induite sur l’image ne se relève pas en un endomorphisme de la lamination. Par

exemple, on considère le tore T2 := R2/Z2×0 canoniquement plongé dans M := R2/Z2×R. Soit (L,L) la structure de lamination canonique sur le revêtement du tore 0, 1 ×[0, 1]2/ ∼ avec ∼ la relation d’équivalence engendrée par (1, u, 1) ∼ (0, u, 0), (0, u, 1) ∼(1, u, 0) et (δ, 0, u) ∼ (δ, 1, u), pout tout u ∈ [0, 1]. Soit f le difféomorphisme de M induit

par l’application linéaire de R3 dont la matrice est :2 1 0

1 1 0

0 0 10

Remarquons que le tore T2 est normalement dilaté par le difféomorphisme f .

Soit i la projection canonique de (L,L) sur T2. L’application i est un revêtement à deux

feuillet du tore et donc une immersion. Supposons l’existence d’un endomorphisme f∗ ∈

17


End(L) tel que le diagramme suivant commute :

f

M → M

i ↑ ↑ i

L → L

f∗

Comme f préserve le point (0, 0, 0) ∈ T2, l’endomorphisme f∗ préserve la fibre 0, 1 ×(0, 0) Etant donné deux entiers (a, b), on note hol(a,b) la bijection de la fibre 0, 1 ×(0, 0) obtenue par holonomy le long d’un lacet T2 pointé en 0 et tangent au vecteur

(a, b, 0). Ainsi hol(1,0) est l’identité. Par commutativité des diagrammes, On a :

f∗ = f∗ hol(1,0) = hol(2,1) f∗ = hol(0,1) f∗

Comme hol(0,1) est la permutation non triviale de cette fibre, on aboutit à une contradiction.

Proposition 1.1. Soient (L,L) une lamination et (M, g) une variété riemannienne C∞. Soient

f ∈ C1(M,M), i ∈ Im(L,M) et f∗ ∈ End(L).

Si f dilate normalement la lamination L immergée par i au-dessus de f∗, pour tout compact

K de L stable par f∗, il existe une métrique riemannienne g′ sur M et λ′ < 1, tels que pour cette

nouvelle norme sur i∗TM et tout v ∈ (i∗TM/TL)|K \ 0, on a :

max (1, ‖Tπ(v)f∗‖) · ‖v‖ < λ′ · ‖[i∗Tf ](v)‖

On dira que g′ est une métrique adaptée à la dilatation normale de f sur K.

On montrera cette proposition dans la partie 1.3.

1.2.2 Persistance des immersions de laminations normalement dilatées

Le théorème ci-dessous est un cas particulier du résultat principal (théorème 2.1) de ce travail.

A notre connaissance, il n’a jamais été démontré sous ces hypothèses, où les endomorphismes

ne sont pas forcément inversibles et la lamination n’est pas forcément compacte. Cependant, ce

théorème rentre dans le cadre de la théorie développée notamment par M. Hirsh, C. Pugh et

M. Shub, prouvant la stabilité des laminations compactes normalement hyperboliques pour des

difféomorphismes [11].

Théorème 1.2. Soient (L,L) une lamination et M une variété C∞ munie d’une métrique

riemannienne. Soient f ∈ C1(M,M), i ∈ Im(L,M) et f∗ ∈ End(L) tels que :

18


i) le diagramme suivant commute :

f

M → M

i ↑ ↑ i

L → L

f∗

ii) f dilate normalement la lamination (L,L) immergée par i.

Soit L′ un ouvert relativement compact de L vérifiant f∗(adh(L′)) ⊂ L′. Il existe alors un voisi-

nage Vf de f dans C1(M,M) et une application continue :

Vf → Endf∗(L)× Im(L,M)

f ′ 7→ (f ′∗, i(f ′))

avec i(f) = i et tel que pour f ′ ∈ Vf , on a f ′∗(adh(L′)) ⊂ L′ et le diagramme suivant commute :

f ′

M −→ M

i(f ′) ↑ ↑ i(f ′)

L′ −→ L′

f ′∗

Il existe enfin un voisinage compact W de L′ dans L tel que, pour f ′ ∈ Vf , i(f ′) et f ′∗

coïncident avec i et f∗ respectivement, sur le complémentaire de W .

Remarques

– On rappelle qu’un endomorphisme f ′∗ appartient à Endf∗(L) si f∗ et f ′∗ sont équivalents,

c’est-à-dire que la dynamique induite par f ′∗ sur l’espace des feuilles de L est la même que

celle de f∗.

Comme dans la conclusion de ce théorème, les endomorphismes f ′∗ et f∗ coïncident sur

le complémentaire d’un compact indépendant de f ′ C1-proche de f , d’après la topologie

définie sur l’espace Endf∗(L), les différentielles ∂TLf′∗ et ∂TLf

∗ sont uniformément proches

et, pour la métrique induite par i∗g sur chaque feuille de L, les points f ′(x) et f∗(x) sont

uniformément proches pour x ∈ L.

– En fait, on démontre plus dans la preuve du théorème 1.2 : sous les hypothèses du théo-

rème 1.2, si L′ est un ouvert relativement compact de L, ne vérifiant pas forcément que

f∗(adh(L′) ⊂ L′, mais qu’il existe λ < 1 et une métrique g sur M tels que :

∀v ∈ (i∗TM/TL)|L′ \ 0, max(1, ‖Tπ(v)f∗‖).‖v‖ < λ · ‖[i∗Tf ](v)‖

19


Il existe alors un voisinage Vf de f dans C1(M,M) et une application continue :

Vf → Endf∗(L)× Im(L,M)

f ′ 7→ (f ′∗, i(f ′))

avec i(f) = i et le diagramme suivant commute :

f ′

M −→ M

i(f ′) ↑ ↑ i(f ′)

L′ −→ L

f ′∗

Exemples d’application du théorème 1.2

– Si f est un C1-endomorphisme de M qui préserve une sous-variété compacte N de M et

qu’elle est dilate normalement l’injection canonique de N , alors N est persistante. Autre-

ment dit, pour toute application f ′ C1-proche de f , il existe une sous-variété N ′ difféo-

morphe et C1-proche de N , qui est préservée par f ′.

Autoriser L à être non compact est nécessaire pour les deux exemples qui suivent :

– Soit f un difféomorphisme sur une variété ayant un point fixe x hyperbolique. Alors la

variété stable (entière) est un k-plan immergé injectivement qui est normalement dilaté

par f . De plus, il existe une boule de ce k-plan centrée en x arbitrairement grande et dont

l’adhérence est envoyée par f dans elle-même. Cette boule est donc persistante.

– Soient f un difféomorphisme d’une variété M et K un compact hyperbolique. Alors l’union

W s(K) des variétés stables des éléments deK est l’image d’une lamination (L,L) immergée

injectivement et normalement dilatée par f . De plus, L est une union croissante d’ouverts

relativement compacts L′ de cet espace, dont l’adhérence est envoyée par f∗ dans eux-

mêmes. Donc, pour des perturbations de f , la lamination immergée (L′,L|L′) est persistante

(de plus l’immersion reste injective). Autrement dit, pour toute application f ′ C1-proche

de f , il existe une immersion i′ de (L′,L|L′) dans M , proche de i pour la topologie de

Im(L|L′ ,M) et telle que f ′ préserve l’image par i′ de (L′,L|L′).

Preuve :

On munit M d’une métrique dM adaptée au compact hyperbolique K. Pour un petit ε > 0, on appelle

variété stable locale de diamètre ε de x ∈ K, l’ensemble des points dont la trajectoire est à une distance

de celle de x strictement inférieure à ε. Soit W sε (K) l’union de ces variétés stables locales de diamètre ε

20


des points de K. Pour ε assez petit, l’adhérence de W sε (K) est envoyée dans lui-même par f et supporte

une structure de lamination canonique L0 qui est normalement dilatée par f . Soit C l’ensemble W sε (K) \

f2(adh(W s

ε (K))). Pour i > 0, on note Ci l’ensemble f−i(C) et C0 l’ensemble W s

ε (K). L’union ∪n≥0Cn

est donc égale à W s(K). Aussi, pour k, l ≥ 0, si Ck intersecte Cl alors |k − l| ≤ 1. On va construire une

métrique sur W s(K) telle que ∪n≥0Cn soit un recouvrement ouvert et que la topologie qu’elle induit sur

Cn soit celle induite par M . Pour (x, y) ∈W s(K)2, on note d(x, y) :

inf n−1∑

i=1

dM (xi, xi+1); n > 0, (xi)i ∈W s(K)n, x1 = x, xn = y, ∀i∃j : (xi, xi+1) ∈ C2j

qui définit bien une distance aux propriétés annoncées. L’espace métrique L sera alors W s(K) muni de

cette distance. Pour i > 0, l’ouvert Ci supporte la structure de lamination Li dont les cartes sont les

composées à droite par f i des cartes de L0|C . Comme f est un difféomorphisme, les structures (Li)i≥0

sont deux à deux équivalentes restreintes à l’intersection de leur support. L’union de ces atlas engendre

donc une structure de lamination L sur L. Celle-ci est normalement dilatée par f car L0 est uniformément

normalement dilatée. Enfin pour k ≥ 0, l’union L′k := ∪i≤kCi est un ouvert de L dont l’adhérence est

envoyée par f dans lui-même. Comme (Ci)i recouvre L, il en est de même pour (L′k)k.

1.2.3 Persistance des plongements de laminations normalement dilatés

Expansivité par plaques Soient (L,L) une lamination, f un endomorphisme de (L,L), ainsi

que ε une fonction continue et positive sur L. La famille (pn)n≥0 ∈ LN est une ε-pseudo-orbite

qui respecte L si pour chaque n, pn+1 et f(pn) sont dans une même plaque de L de diamètre

inférieur à ε(pn+1).

L’endomorphisme f est ε-expansif par plaques si pour toute fonction continue η inférieure à ε,

ainsi que pour toutes η-pseudo-orbites (pn)n≥0 et (qn)n≥0 qui respectent L, telles que d(pn, qn) <

η(pn) pour chaque n, alors p0 et q0 sont dans une même plaque de diamètre inférieur à η(p0).

L’endomorphisme est expansif par plaques s’il est ε-expansif par plaques pour un certaine fonction

ε continue et strictement positive.

Remarque Usuellement, le support L de la lamination est compact et la fonction ε constante.

Notre définition de l’expansivité par plaques est alors équivalente en replaçant ε par son minimum

sur L. Dans le cas non compact, on peut aussi se ramener à une fonction ε constante en modifiant

la métrique de L sans modifier la topologie de L.

Corollaire 1.3. Sous les hypothèses du théorème 1.2, si de plus f∗|L′ est expansif par plaques et

i est un plongement, alors, pour f ′ ∈ Vf , on a de plus f ′∗|L′ qui est expansif par plaques et i(f ′)|L′

qui est un plongement.

21


Questions Sous les hypothèses du corollaire 1.3, l’expansivité par plaques est-elle automa-tique ? L’hypothèse d’expansivité par plaques est-elle nécessaire pour ce corollaire ? Dans le casoù f est un difféomorphisme normalement hyperbolique sur une lamination compacte, M. Hirch,C. Pugh et M.Shub ont déjà formulé ces questions [11].

Dans l’annexe B, on donne des conditions qui garantissent l’expansivité par plaques.

Démonstration du corollaire 1.3

Par compacité de K := adh(L′), il suffit de montrer que i(f ′)|K est injective pour montrer que c’est un

homéomorphisme sur son image.

Soit K un voisinage compact de f∗(K) dans L′. On suppose que f∗|L′ est ε-expansif par plaques. On note η le

minimum de la fonction ε sur K.

Quitte à restreindre Vf , on peut supposer que pour f ′ ∈ Vf :

– pour (x, y) ∈ K2 si i(f ′)(x) = i(f ′)(y) alors d(x, y) < η,

– pour z ∈ K, f ′∗(z) appartient à une plaque Lf∗(z) de diamètre inférieur à η,

– i(f ′) est injectif sur les plaques de diamètre inférieur à η qui rencontre K.

Soit alors (x, y) ∈ K2 tels que i(f ′)(x) = i(f ′)(y). On définit les suites (pn)n et (qn)n suivantes de KN : pour

n ≥ 0, soient pn = f ′∗n

(x) et qn = f ′∗n

(y). Par commutativité du diagramme et continuité de i(f ′), f ′∗ et f ′,

pour tout n ≥ 0, i(f ′)(pn) = i(f ′)(qn).

Quitte à réduire Vf , on peut supposer que pn et qn appartiennent à K pour tout n ≥ 1. On a donc :

– d(pn, qn) ≤ η, pour n ≥ 0.

– (pn)n≥1 et (qn)n≥1 sont des η-pseudo-orbites pour f∗ qui respecte L.

De l’expansivité par plaques de f∗, on conclut que f ′∗(x) et f ′∗(y) sont dans une même plaque de diamètre

inférieur à η. Mais comme i(f ′) est injectif sur ces plaques, f ′∗(x) est égal à f ′∗(y).

Donc x et y sont deux éléments η-proche de K envoyés par f∗ sur une même plaque de diamètre inférieur à 2η.

Par dilatation normale de f∗, pour η assez petit (indépendamment de x, y et f ′∗), les points x et y appartiennent

alors à une même plaque de diamètre η. Ainsi x et y sont égaux.

L’expansivité par plaques de f ′∗ est donnée par la continuité de f ′ 7→ f ′∗, quitte à réduire Vf .

Exemples

– Soient f un difféomorphisme d’une variété M et K un compact hyperbolique. Si la la-

mination canonique (L,L) supportée par W s(K) ne s’accumule pas sur K, alors elle est

canoniquement plongée dans M . On peut alors identifier L et W s(K). De plus, f préserve

cette lamination, est expansive par plaques et dilate normalement cette lamination.

Ainsi, pour tout ouvert relativement compact L′ de W s(K), dont l’adhérence est envoyée

dans L′ par f , le corollaire 1.3 implique que, pour des perturbations C1 de f , la lamination

plongée (L′,L|L′) est persistante. Autrement dit, pour toute application f ′ C1-proche de f ,

il existe un plongement i′ de (L′,L|L′) dans M , proche de i pour la topologie de Pl(L|L′ ,M)

et tel que f ′ préserve l’image par i′ de (L′,L|L′).5

5On a vu que L est une union croissante d’ouverts relativement compacts L′ de cet espace, dont leur adhérence

est envoyée par f∗ dans eux-mêmes.

22

1.3. Preuve de la proposition 1.1

Dans le cas d’un dérivé d’Anosov f sur le tore bidimensionnel, possédant une source S,

l’ensemble errant privé de cette source est un compact hyperbolique attractif, dont les

variétés stables forment une lamination plongée. Cette lamination est donc préservée par

f , normalement dilatée et ε-expansif par plaques. Cependant une telle fonction ε ne peut

jamais être choisie constante.

On suppose par l’absurde que ε est constante. Comme les feuilles de cette lamination s’ac-

cumulent en S, il existe deux ε-pseudo orbites respectant les plaques, qui restent dans le

ε/(2‖Tf‖)-voisinage de S, qui sont ε-proches et qui ne débutent pas dans les mêmes feuilles.

– On considère maintenant l’application de Viana généralisée de la façon suivante :

Soit V : R/Z× R → R/Z× R

(θ, y) 7→ (16 · θ, y2 + c)

Pour c ∈]−2, 1/4[, le bassin d’attraction de l’infini de y 7→ y2+c est bordé par un point fixe

répulsif β et sa préimage −β. Alors pour ε > 0 assez petit, l’ouvert L′ = R/Z×]−β+ε, β−ε[contient l’adhérence de son image par V . De plus, V dilate normalement la lamination

plongée canoniquement, dont les feuilles sont θ×] − β, β[, pour θ ∈ R/Z. L’application

V est aussi expansive par plaques sur cette lamination. On peut donc utiliser le corollaire

2.2, pour montrer la stabilité de cette lamination restreinte à L′ pour des perturbations C1

de V .

La stabilité de ce feuilletage vertical a été utilisée par M. Viana pour montrer l’existence

d’exposants de Lyapounov positifs pour certains paramètres c et certaines perturbations

de f [30].

1.3 Preuve de la proposition 1.1

L’existence d’une métrique adaptée quand f est un difféomorphisme a été prouvée récemment

par Nikolaz Gourmelon [9]. La preuve exposée ci-dessous s’inspire beaucoup de ce travail.

On commence par montrer que si (x, y) ∈ K2 ont la même image par i, alors les images par

Ti de TxL et Tx′L sont égales. En effet, sous l’action de Tf , par dilatation normale en x, les

vecteurs de Ti(TyL) \Ti(TxL) croissent exponentiellement plus vite que ceux de Ti(TxL) et par

dilatation normale en y, les vecteurs de Ti(TxL) \ Ti(TyL) croissent exponentiellement plus vite

que ceux de Ti(TyL). Donc les vecteurs de Ti(TyL)\Ti(TxL) croissent à la fois exponentiellement

plus vite et moins vite que ceux de Ti(TxL) \ Ti(TyL). Ainsi les espaces Ti(TxL) et Ti(TyL)

sont égaux.

Soit B le compact i(K) de M et F le fibré vectoriel TM|B → B. En tout point y ∈ B, il

existe donc un unique sous-espace F ′y de TyM tel que si x ∈ K est envoyé par i en y, alors

23


Ti(TxL) = F ′y. Par compacité de K, l’application y 7→ F ′y est une application continue de B dans

la grassmanienne de TM . Soit F ′ l’union des sous-espaces (F ′x)x∈B. La projection canonique

de F ′ sur B définit donc un sous-fibré de F . On munit ces deux fibrés de la norme issue de la

métrique riemannienne sur M .

On note T la restriction de Tf au fibré F , qui est un morphisme de fibrés au-dessus de f .

Comme T préserve le sous-fibré F ′, cette application définit un morphisme, noté [T ], sur le fibré

quotient F/F ′ au-dessus de B.

Pour x ∈ B et n ≥ 0, on note :

m([T ]n(x)) := minu∈(F/F ′)x, ‖u‖=1

(‖[T ]n(u)‖)

Par dilatation normale et compacité de B, il existe N > 0 et a < 1 tels que pour tout x ∈ B :

max (1, ‖TN|F ′(x)‖) < a2N ·m([T ]N (x))

Il existe donc une fonction r sur B, continue et strictement supérieure à 1, telle que pour

tout x ∈ B :1a

N

√‖TN

|F ′(x)‖ < r(x) < a · N

√m([T ]N (x))

On note Rn la fonction continue sur B définie par :

Rn := x 7→n∏

i=0

r(f i(x))

On utilise maintenant le lemme suivant que l’on démontrera à la fin de cette partie :

Lemme 1.3.1. Il existe c > 0 tel que pour x ∈ B et n ≥ 0, on ait :

‖Tn|F ′(x)‖Rn(x)

≤ c · an etm([T ]n(x))Rn(x)

≥ c−1 · a−n

Il existe donc M ≥ 0 tel que, pour x ∈ B, m([T ]M+1(x))RM+1(x) est strictement supérieur à 1

r(x) .

Pour tout (x, u) ∈ F , soit u1 la projection orthogonale de u sur F ′x et u2 la classe de u − u1

dans (F/F ′)x. D’après le lemme 1.3.1, la norme euclidienne suivante est bien définie et dépend

continûment de (x, u) :

‖(x, u)‖′2 :=∞∑

n=0

‖Tn(x, u1)‖2

Rn(x)2+

M∑n=0

‖[T ]n(x, u2)‖2

Rn(x)2

On remarque que l’on a :

‖T (x, u1)‖′2 =∞∑

n=0

‖Tn+1(x, u1)‖2

Rn(f(x))2= r(x)2 ·

∞∑n=1

‖Tn(x, u1)‖2

Rn(x)2≤ r(x)2 · ‖(x, u1)‖′

24

1.3. Preuve de la proposition 1.1

donc la norme induite par ‖ · ‖′ de T|F ′x est inférieure à r(x)2

Et si u2 est non nul, on a :

‖[T ](x, u2)‖′2 =M∑

n=0

‖[T ]n+1(x, u2)‖2

Rn(f(x))2= r(x)2 ·

M+1∑n=1

‖[T ]n(x, u2)‖2

Rn(x)2

= r2(x) ·(‖(x, u2)‖′2 +

‖[T ]M+1(x, u2)‖2

RM+1(x)2− ‖(x, u2)‖2

r(x)2

)> r2(x) · ‖(x, u2)‖′2

Donc le réel ‖[T ](x)−1‖′−1 est strictement supérieur à r(x)2 > 1.

Il résulte de ces deux dernières conclusions que, pour tout x ∈ B :

‖[T ](x)−1‖′.max (1, ‖T|F ′(x)‖′) < 1

Par compacité de B, il existe un majorant λ′ < 1 tel que pour x ∈ B, on a :

‖[T ](x)−1‖′.max (1, ‖T|F ′(x)‖′) < λ′

On étend cette métrique euclidienne sur F = TM|B en une métrique riemannienne g′′ continue

sur TM . On choisit alors une métrique riemannienne g′ de classe C∞ sur M , assez proche de g′′

pour avoir, avec la norme issue de g′ sur i∗TM :

∀v ∈ (i∗TM/TL)|K \ 0, max (1, ‖Tπ(v)f∗‖) · ‖v‖ < λ′ · ‖[i∗Tf ](v)‖

Ce qu’il fallait démontrer.

preuve du lemme 1.3.1 :

Soient C := maxx∈B

(‖T|F ′(x)‖, ‖[T ](x)−1‖, r(x), 1

r(x)

)> 1 et c := C3N · a−N

Pour tout n ∈ N, soient q ∈ N et r ∈ 0, . . . , N − 1 tels que n = q ·N + r. Pour x ∈ B, on a alors :

Rn(x) =

N−1∏i=0

q−1∏j=0

r(f i+jN (x)) ·r∏

k=0

r(fqN+k(x))

La première inégalité du lemme est obtenue par le calcul suivant :

Rn(x) ≥N−1∏i=0

q−1∏j=0

N

√∥∥∥TN|F ′(f i+jN (x))

∥∥∥a

· C−N ≥N−1∏i=0

N

√∥∥∥T qN|F ′ (f i(x))

∥∥∥aq

· C−N

⇒ Rn(x) ≥N−1∏i=0

N

√∥∥∥Tn|F ′(x)

∥∥∥aq · C2

· C−N ≥ C−3N · aN

∥∥∥Tn|F ′(x)

∥∥∥an

= c−1 ·

∥∥∥Tn|F ′(x)

∥∥∥an

Et la deuxième inégalité du lemme est obtenue par le calcul suivant :

Rn(x) ≤N−1∏i=0

q−1∏j=0

(a · N

√m

([T ]N (f i+jN (x))

))· CN ≤

N−1∏i=0

(aq · N

√m

([T ]qN (f i(x))

))· CN

⇒ Rn(x) ≤N−1∏i=0

(aq · C3 · N

√m

([T ]n(x)

))· CN ≤ c · an ·m

([T ]n(x)

)

25


1.4 Fibré vectoriel ayant pour base une lamination

Pour démontrer le théorème 1.2, on aura besoin de travailler sur des fibrés au-dessus d’une

lamination.

1.4.1 L-fibré vectoriel

Soit (L,L) une lamination. Un L-fibré vectoriel est la donnée d’un fibré vectoriel π : F → L

et d’une structure de lamination F sur F vérifiant la condition de compatibilité suivante : pour

tout x ∈ L, en désignant par Fx la fibre de x, il existe un voisinage ouvert U de x et une

trivialisation

φ : π−1(U) → U × Fx

de F au-dessus de U telle que φ soit un isomorphisme de la lamination F|π−1(U) sur L|U × Fx.

Ainsi, les feuilles de F sont les préimages par π des feuilles de L.

Si (F,F) est un L-fibré, une norme sur F est une famille continue de normes sur chaque fibre.

Notations Si π : F → L est un fibré vectoriel normé, on note Γ0F l’espace vectoriel des

sections continues de ce fibré et Γ0bF l’ensemble des sections continues et bornées. Étant donné

un compact W de L, on note Γ0WF l’ensemble des sections continues à support dans W . Les

espaces Γ0bF et Γ0

WF sont des espaces de Banach pour la norme uniforme. Si de plus, (F,F) est

un L-fibré vectoriel, on note ΓF (resp. ΓWF ) le sous-espace de Γ0F (resp. Γ0WF ) constitué des

sections qui sont continûment différentiables le long des feuilles.

1.4.2 Connexion

Soit (F,F) un L-fibré vectoriel. Une connexion est une application R-bilinéaire

∇ : Γ0TL × ΓF → Γ0F

(X,σ) 7→ ∇Xσ

qui vérifie :1. ∇f ·Xσ = f · ∇Xσ si f ∈ C0(L,R)

2. ∇X(f · σ) = f · ∇Xσ + (Tf X) · σ si f ∈Mor(L,R)

Propriété 1.4.1. Sur tout L-fibré (F,F), il existe une connexion sur (F,F).

Preuve

On fixe un recouvrement localement fini de L par des ouverts trivialisant (Ui)i. Par l’annexe A.1.1, il existe

une partition de l’unité (ρi)i associée à (Ui)i. Pour chaque i, soit xi ∈ Ui. Via une trivialisation, on identifie F|Ui

26

1.4. Fibré vectoriel ayant pour base une lamination

à Ui × Fxi . Soit p2 la projection de Ui × Fxi sur Fxi . On remarque que l’application suivante est une connexion

sur F|Ui:

∇i : (X,σ) 7−→[x 7→

(x, T (p2 σ)(X(x))

)]ainsi l’application ∇ :=

∑i ρi · ∇i définit une connexion sur F .

Propriété 1.4.2. Soit (F,F) un L-fibré. Pour x ∈ L, X ∈ Γ0TL et σ ∈ ΓF , le vecteur ∇Xσ(x)

ne dépend que de X(x) et de Txσ.

Preuve

Par l’annexe A.1.1, il existe une fonction f ∈ Mor(L,R) valant 1 au voisinage de x et à support dans un

ouvert U trivialisant pour les fibrés TL et F . En utilisant 1) et 2), on a :

∇Xσ(x) = ∇fX(fσ)(x)

Cela implique que ∇Xσ ne dépend que de σ et de X sur ce voisinage U . Il existe une base (ei)i de F|U , une base

(lj)j de TL|U , des fonctions (σi)i et (lj)j sur U , tels que σ|U est égale à∑

i σi · ei et X|U est égal à∑

j Xj · lj . En

utilisant 1) et 2), on a :

∇Xσ = ∇ΣjXj ·lj (Σiσi · ei) =∑

j

Xj∇lj (Σiσi · ei) =∑i,j

Xj · σi · ∇lj ei +Xj · Tljσi · ei

Comme (Xj(x), Tljσi(x), σi(x)) ne dépendent que de X(x) et Tσ(x), il en est de même pour ∇Xσ(x).

1.4.3 Topologies sur les espaces des sections

Soient (L,L) une lamination munie d’une métrique riemannienne g, (F,F) un L-fibré vectoriel

normé et ∇ une connexion sur F . Pour chaque x ∈ L, on munit l’espace des applications linéaires

de TLx dans Fx, noté TL∗x⊗Fx, de la norme subordonnée à (TxL, gx) et (Fx, ‖ · ‖), c’est-à-dire :

∀` ∈ TL∗x ⊗ Fx, ‖`‖ = maxu∈TxL, ‖u‖≤1

‖`(u)‖

La topologie compacte-ouverte sur ΓF est engendrée par la base O(σ,K, ε), où σ parcourt

ΓF , ε est un réel strictement positif, K est un compact de L et l’ouvert O(σ,K, ε) est égal à :σ′ ∈ ΓF : ∀x ∈ K, ‖(σ − σ′)(x)‖+ ‖∇(σ − σ′)(x)‖ < ε

On montre que cette topologie est égale à la topologie induite par Mor0F (L,F).

Si L n’est pas compact, cette topologie ne provient pas d’une norme. Pour un compact W

de L, l’ensemble ΓWF des sections à support inclus dans W est un espace de Banach, muni de

la norme :

‖σ‖5 = maxx∈L

‖σ(x)‖+ maxx∈L

||∇σ(x)||

27


Propriété 1.4.3. Soient ∇′ une autre connexion sur (F,F), alors pour σ ∈ ΓF et x ∈ L,

(∇−∇′)σ(x) ne dépend que de σ(x). De plus, pour tout compact W , il existe C > 0 tel que :

∀σ ∈ ΓF, maxW

‖∇σ −∇′σ‖ < C ·maxW

‖σ‖

Preuve

Par compacité de W et la propriété 1.4.2, il suffit de montrer cette propriété quand ce compact est inclus

dans un ouvert trivialisant. Soit alors (ei)i une base du fibré restreint à cette ouvert. Pour σ ∈ ΓF , on note par

(σi)i ses coordonnées dans la base (ei)i. On a alors :

∇σ =∑

i

Tσi · ei + σi∇ei, ∇′σ =∑

i

Tσi · ei + σi∇′ei

donc (∇−∇′)σ(x) est nulle si x n’appartient pas à W et sinon est égale à∑

i σi(∇ei −∇′ei), qui ne dépend

que de σ(x).

On montre maintenant la fin de cette propriété. Par équivalence des normes en dimension finie, il existe C0

tel que :

maxi,W

|σi| ≤ C0 ·maxW

‖σ‖

Soit C := C0 ·maxW

∑i

‖∇ei −∇′ei‖

On a donc :

maxW

‖∇σ −∇′σ‖ ≤ maxW

∑i

‖σi(∇ei −∇′ei)‖ ≤ C ·maxW

‖σ‖

Par équivalence des normes en dimension finie et la propriété 1.4.3, on remarque que les

normes ‖.‖∇ sont toutes équivalentes sur ΓWF . Aussi notre topologie sur ΓWF ne dépend ni de

la connexion ∇, ni de la norme sur le fibré F .

1.5 Démonstration du théorème 1.2

On commence par définir un L-fibré (F,F) :

Soient d la dimension de L et n celle de M . Par l’annexe A.2.1, il existe un relèvement N

de i, dans le fibré de la grassmannienne des n − d-plans de TM , qui est un morphisme de la

lamination L dans cette grassmannienne et qui est proche de x 7→ Ti(TxL)⊥ pour la topologie

C0-forte. Le relèvement N vérifie ainsi en tout point x ∈ L :

Ti(TxL)⊕N(x) = Ti(x)M

Par l’annexe A.3.1, ce morphisme N définit alors canoniquement un L-fibré

π : (F,F) → (L,L)

dont la fibre en x est Fx := N(x). Ce fibré s’identifie au fibré normal de (L,L)

Soit g une métrique riemannienne complète sur M . On note par exp l’application exponen-

tielle associée à cette métrique. L’application suivante est un morphisme de (F,F) dans M , dont

28

1.5. Démonstration du théorème 1.2

la restriction à un voisinage de la section nulle de F est une immersion.

Exp : F →M

(x, v) 7→ expi(x) (v)

On va maintenant utiliser le lemme suivant.

Lemme 1.5.1. Sous les hypothèses du théorème 1.2, soient ((F,F), π) un L-fibré vectoriel normé

de dimension n− d et ∇ une connexion sur F .

Soit W un voisinage compact de K := adh(L′). Il existe alors un voisinage Vf de f dans

C1(M,M), un voisinage fermé Vσ de la section nulle dans ΓF et une application continue :

Vf × Vσ → Endf∗(L)× Vσ

(f ′, σ) 7→(f ′∗σ , Sf ′(σ)

)tels que :

1. f∗0F= f∗ et Sf (0F ) = 0F

2. Il existe η > 0, tel que pour x ∈ K, f ′ ∈ Vf et σ ∈ Vσ, le point Exp Sf ′(σ)(x) est l’unique

point d’intersection de l’image par Exp de la boule BFx(0, η) avec la préimage par f ′ de

Exp σ(Lηf∗(x)).

3. Le diagramme suivant est commutatif :

f ′

M −→ M

Exp Sf ′(σ) ↑ ↑ Exp σK −→ L

f ′∗σ

De plus, Sf ′(σ) ∈ ΓWF et f ′∗σ coïncide avec f∗ sur le complémentaire de W .

4. Pour f ′ ∈ Vf et δ > 0, il existe N ≥ 0 et Vf ′ ⊂ Vf un voisinage de f ′ tels que, pour

f ′′ ∈ Vf ′ , le diamètre de SNf ′′(Vσ) est inférieur à δ.

On démontrera ce lemme dans la partie 1.6.

On utilise ce lemme avec F et Exp définis au début de la partie 1.5. Comme (ΓWF, ‖ · ‖5)

est un espace complet, par la conclusion 4 du lemme, pour f ′ ∈ Vf , ∩n≥0adh(Snf ′(Vσ)) est une

intersection décroissante d’ensembles dont les diamètres tendent vers 0. D’après le théorème des

segments emboîtés, cette intersection est donc réduite à un singleton σf ′ stable par Sf ′ . Donc

pour f ′ ∈ Vf , l’application Sf ′ possède un unique point fixe σf ′ . De plus, pour f ′ ∈ Vf et δ > 0, il

29


existe un voisinage Vf ′ de f ′ et N ≥ 0 tel que pour f ′′ ∈ Vf ′ , le diamètre de SNf ′′(Vf ) est inférieur

à δ et contient σf ′′ . Par continuité de f ′′ 7→ SNf ′′ , quitte à réduire Vf ′ , pour f ′′ ∈ Vf ′ , σf ′′ est

3δ-proche de σf ′ . Ainsi f ′ 7→ σf ′ est continue.

On note alors i(f ′) l’application Expσf ′ et f ′∗ l’application f ′∗σf ′. Elles dépendent toutes les

deux continûment de f ′ et prennent la bonne valeur en f . Quitte à réduire Vf , f ′∗(L′) est inclus

dans L′, pour f ′ ∈ Vf . Par la conclusion 3 du lemme 1.5.1, le diagramme suivant commute :

f ′

M −→ M

i(f ′) ↑ ↑ i(f ′)

L′ −→ L′

f ′∗

Cela termine la preuve du théorème 1.2.

1.6 Preuve du lemme 1.5.1

On va démontrer ce lemme sous des hypothèses un peu plus générales que celle du théorème

1.2 : on ne réclame plus que L′ soit stable par f∗. Aussi, on ne supposera plus que f∗ est un

endomorphisme de (L,L), mais que c’est un morphisme de la lamination L restreinte à un ouvert

V de L dans L. Cette généralité supplémentaire sera utile dans la suite.

Lemme 1.6.1. Soient (L,L) une lamination de dimension d, (M, g) une variété riemannienne

de dimension n et (F,F) un L-fibré vectoriel normé de dimension n− d.

Soit ∇ une connexion sur F . On considère aussi une application f ∈ C1(M,M) et un mor-

phisme Exp ∈Mor(F ,M) dont la restriction à un voisinage de la section nulle est une immer-

sion. On pose i := Exp 0F et on munit (L,L) de la métrique riemannienne i∗g.

Soit alors K un compact ayant un voisinage compact W lui-même inclus dans un ouvert V

de L. Soit enfin f∗ ∈Mor(L|V ,L). On suppose que le diagramme suivant est commutatif :

f

M −→ M

i ↑ ↑ i

V −→ L

f∗

On identifie TL à un sous-fibré de i∗TM grâce à l’injection donnée par i. On suppose enfin

que l’application i∗Tf ∈ C0(i∗TM|V , i∗TM) passée sur le quotient [i∗Tf ] : (i∗TM/TL)|V →

i∗TM/TL vérifie :

∃λ < 1, ∀u ∈ (i∗TM/TL)|K , u 6= 0,

30

1.6. Preuve du lemme 1.5.1

max1, ‖Tπ(u)f∗‖ · ‖u‖ < λ · ‖[i∗Tf(u)]‖ (1.1)

Il existe alors un voisinage Vf de f ∈ C1(M,M) et un voisinage fermé Vσ de la section nulle

dans ΓF , ainsi qu’une application continue :

Vf × Vσ →Morf∗(L|V ,L)× (Vσ ∩ ΓWF )

(f ′, σ) 7→(f ′σ∗, Sf ′(σ)

)qui vérifie les conclusions 1-2-3-4 du lemme 1.5.1.

Pour se ramener à l’énoncé du lemme 1.5.1, on prend V égal à L et on munit M d’une mé-

trique g adaptée à la dilatation normale de f sur K, ainsi l’inégalité (1.1) sera vérifiée.

1.6.1 Notations et conventions

Via l’application tangente de Exp en la section nulle de F , pour chaque x ∈ L, la fibre Fx

s’identifie à l’orthogonal de TxL dans Ti(x)M . On peut donc munir Fx de la norme induite par

g sur cet orthogonal. On munit (F,F) d’une métrique riemannienne.

Pour x ∈ L, la différentielle T0xExp est un isomorphisme. Par le théorème d’inversion locale,

il existe εx > 0, tel que la restriction de Exp à F εx0x

soit un difféomorphisme sur son image. On

note I−1x l’application Exp−1

|Fεx0x

. On peut alors définir pour f ′ appartenant à un voisinage de f ,

et v appartenant à voisinage du graphe de la section nulle de F|W , l’application

f ′(v) := I−1f∗π(v) f

′ Exp(v) (1.2)

1.6.2 Préimage d’une perturbation de i

Par compacité de W , il existe η > 0 tel que, pour x ∈W , pour σ proche de la section nulle et

pour f ′ proche de f , la boule BFx(0, η) est plongée par Exp, la restriction de f ′ à Exp(BFx(0, η))

est un difféomorphisme sur son image et cette image rencontre transversalement en un unique

point d’intersection l’image par Exp σ de la plaque Lηf∗(x). En écrivant ce point d’intersection

sous la forme

f ′ Exp(v) = Exp σ(x′)

On pose

f ′∗

0

σ (x) = x′

S0f ′(σ)(x) = v

Ces application seront modifiées et prolongées, de manière appropriée en dehors d’un voisinage

de K, pour obtenir f ′∗σ et Sf ′(σ). On va étudier la régularité de S0 en utilisant le théorème des

31


I I

f *

f '

x

Fx

f *(x)x'

v σ

Fig. 1.1 – Définition par transversalité de S0

fonctions implicites.

Ce dernier théorème nécessite de travailler avec des espaces de Banach, ce qui n’est pas le cas

de ΓF . Cependant, pour σ proche de la section nulle et pour f ′ proche de f , la section S0f ′(σ)

ne dépend de σ que sur un compact K ′ ⊂ L. Autrement dit, pour toute application f ′ proche

de f et tout couple de sections (σ, σ′) ∈ ΓF 2 proches de la section nulle et dont les restrictions

à K ′ sont égales, la section S0f ′(σ) est égale à S0

f ′(σ′). On considère alors un voisinage compact

C de K ′ dans L. On va travailler avec l’espace de Banach ΓCF .

On fixe x0 ∈ K et (U1, φ) une carte de L|V d’un voisinage de ce point inclus dans W , telle

que si φ1 et φ2 sont les coordonnées de φ, on a :

φ : U1 → Rd × T et φ1(x0) = 0

On suppose que U1 est assez petit pour que F soit trivial au-dessus d’un voisinage relativement

compact de adh(U1) et d’un voisinage relativement compact U2 de adh(f∗(U1)). On fera les

identifications suivantes :

π−1(U1) ∼= U1 × Rn−d, π−1(U2) ∼= U2 × Rn−d

Soit p2 la projection de U2 × Rn−d sur Rn−d.

On note par C0(T,Rn−d) l’espace vectoriel des applications continues et bornées de T dans

Rn−d qui, muni de la norme uniforme, est un espace de Banach. Pour toute application f ′ proche

de f , on définit :

Ψf ′ : ΓCF × Rd × C0(T,Rn−d) −→ C0(T,Rn−d)

(σ, u, l) 7−→ [t 7→ p2(v)− p2 σ π(v)]

32


Où x := φ−1(u, t) et v := f ′(x, l(t)).

L’application Ψ est bien définie sur un voisinage de (f, 0, 0, 0) et mesure la distance entre le rond

et le triangle dans la figure 1.2.

I I

f *

f '

x

F

f *(x)

l(t)

f '(x,l(t))x

σ

^

Fig. 1.2 – Valeur de la l’application Ψ

On remarque que Ψf ′ est une application de classe C1 dépendant continûment de f ′, car

toutes ses dérivées partielles existent et sont continues. De plus Ψf (0, 0, 0) est nul. On veut

maintenant démontrer que ∂lΨf (0, 0, 0) est inversible. Avec xt := φ−1(0, t), on a :

∂lΨf (0, 0, 0)(l)(t) = T0xt(p2 f)(l(t))

Pour chaque t, ∂Fxt(p2 f)(0xt) est une application de Fxt dans Ff∗(xt). Ces fibres s’iden-

tifient isométriquement à l’orthogonal de TxtL dans Ti(xt)M et à l’orthogonal de Tf∗(xt)L dans

Tif∗(xt)M . Donc par l’inégalité (1.1), ∂Fxt(p2 f)(0xt) est inversible pour chaque t et, vue dans

des trivialisations de F , son inverse varie continûment avec t. Donc ∂lΨf (0, 0, 0) est un isomor-

phisme d’espace de Banach. On peut donc utiliser le théorème des fonctions implicites qui nous

donne l’existence de voisinages Vf de f dans C1(M,M), V 0σ de 0F dans ΓCF , Vl de 0 dans

C0(T,Rn−d), Vu de 0 dans Rd et enfin d’une application de classe C1 dépendant continûment de

f ′ ∈ Vf :

ρf ′ : V 0σ × Vu

C1

−→ Vl verifiant :

ρf (0, 0, 0) = 0

et ∀(f ′, σ, u, l) ∈ Vf × V 0σ × Vu × Vl

Ψf ′(σ, u, l) = 0 ⇐⇒ l = ρf ′(σ, u)

33


On observe que pour f ′ ∈ Vf , σ ∈ V 0σ et x ∈ U ′1 := φ−1(Vu × T ) :

S0f ′(σ)(x) = ρf ′(σ, φ1(x))(φ2(x)). (1.3)

Par compacité de K, on peut choisir Vf et V 0σ pour qu’ils conviennent à un nombre fini

d’ouverts U ′1 recouvrant un voisinage W ′ ⊂W de K. On peut supposer W ′ assez petit pour que

(1.1) ait lieu pour tout u ∈ (i∗TM/TL)|W ′ \ 0.On va maintenant étendre cette nouvelle formulation à un voisinage Vσ de 0F dans ΓF .

Soit ρσ ∈Mor(L,R) une fonction valant 1 sur K ′ et à support dans le compact C.

L’espace ΓF s’envoie continûment dans l’espace de Banach ΓCF par l’application suivante :

σ 7→ σ := ρσ · σ

Soit Vσ la préimage de V 0σ par cette application.

Par définition de C, on a pour σ ∈ Vσ et x ∈ U ′1 := φ−1(Vu × T )

S0f ′(σ)(x) = S0

f ′(σ)(x) = ρf ′(σ, φ1(x))(φ2(x)) (1.4)

Par l’annexe A.1.1, il existe r ∈Mor(L, [0, 1]), valant 1 sur un voisinage de K et 0 sur W ′c.

On définit alors pour f ′ ∈ Vf et σ ∈ Vσ,

Sf ′(σ) := x 7→

r(x) · S0

f ′(σ)(x) si x ∈W ′

0 sinon

Comme Sf ′(σ) et S0f ′(σ) coïncident sur un voisinage de K, il résulte de la définition de S0

f ′(σ)

que la conclusion 2 du lemme est vérifiée.

On veut montrer que Sf ′(σ) appartient à ΓWF , pour f ′ ∈ Vf et σ ∈ Vσ. Comme r appartient

à Mor(L,R), il suffit de prouver que S0f ′(σ) appartient Γ(F|W ′). Par transversalité, S0

f ′(σ) est

clairement continue ; il s’agit de démontrer que S0f ′(σ) est continûment différentiable tangentiel-

lement aux plaques de L. Dans un ouvert U ′1 comme précédemment, S0f ′(σ) vérifie la formule

(1.4) et grâce à la régularité de ρ, on a :

∂TxLS0f ′(σ) = ∂uρf ′(σ, φ1(x))(φ2(x)) ∂TxLφ1(x),

qui est bien définie et varie continûment avec x.

On prouve ainsi la continuité de (f ′, σ) 7→ Sf ′(σ). La transversalité implique cette continuité

pour la topologie C0 sur ΓF . Comme r appartient à Mor(L,R), que l’application σ 7→ σ est

continue et que l’application f ′ 7→ ρf ′ est continue de Vf dans les applications de classe C1, la

continuité des dérivées suit.

34


On définit maintenant f ′∗σ . Soit p le morphisme de la restriction de L×M à un voisinage du

graphe de i, à valeur dans L et égale à

p := (x, y) 7→ π I−1x (y)

On note par exp l’application exponentielle de M associée à sa métrique riemannienne.

Quitte à réduire Vf , de la restriction de L×M à un voisinage du graphe de i et à valeur dans

M , pour tout f ′ ∈ Vf , le morphisme suivant est bien défini et dépend continûment de f ′ :

f ′ := (x, y) 7→

expif∗(x) (r(x) · exp−1

if∗(x) f′(y)) si x ∈W

f(y) sinon

Quitte à réduire Vf et Vσ, l’application suivante est donc bien définie et continue :

Vf × Vσ →Morf∗(L|V ,L)

(f ′, σ) 7−→[x 7→ f ′∗σ (x) := p

(f∗(x), f ′(x,Exp Sf ′(σ)(x))

)]On remarque que pour x ∈ K, σ ∈ Vσ et f ′ ∈ Vf , on a :

σ f ′∗σ (x) = σ π f ′ Sf ′(σ)(x) = f ′ Sf ′(σ)(x).

Donc la conclusion 3 du lemme est vérifiée. De plus, la conclusion 1 du lemme est bien obtenue

pour nos deux applications.

1.6.3 Action de Sf ′ sur les normes

On va d’abord démontrer que Sf ′|V 0σ

est λ-contractante pour la norme C0, pour chaque

f ′ ∈ Vf . Pour cela, il suffit de prouver la λ-contractivité de S0f ′|V 0

σcar, pour σ ∈ V 0

σ , la norme C0

de Sf ′(σ) est inférieure à S0f ′(σ). On revient à notre formulation implicite locale de S0 donnée

par l’application Ψ considérée ci-dessus. On rappelle que, pour x ∈ U ′1, f ′ ∈ Vf et σ ∈ V 0σ , on a

par (1.3) :

S0f ′(σ)(x) = ρf ′(σ, u)(t), ou φ(x) =: (u, t)

avec ∂σρf (0, u)(t) = −(∂lΨf (0, u, 0)−1 ∂σΨf (0, u, 0))(t)

et

∂σΨf (0, u, 0)(σ)(t) = −σ f∗(x)∂lΨf (0, u, 0)(l)(t) = T0x(p2 f)(l(t)) = pF ∂Fx f(l(t))

Avec pF la projection de l’espace tangent de F , en la section nulle de F , sur F .

⇒ ∂σS0f (0)(x) = (pF ∂Fx f(0x))−1 σ f∗(x)

On a muni le fibré F d’une norme qui l’identifie isométriquement à i∗TM/TL. donc par l’inégalité

(1.1), on a pour x ∈W ′ :

‖(pF ∂Fx f(0x))−1‖ < λ

35


⇒ ‖∂σS0f (0)(x)‖C0 < λ · ‖σ f∗(x)‖ ≤ λ · ‖σ‖C0

Par continuité de ∂σS0, quitte à réduire Vf et V 0

σ , pour f ′ ∈ Vf et σ ∈ V 0σ , on a :

‖∂σS0f ′(σ)‖C0 ≤ λ · ‖σ‖C0 .

Donc, par le théorème des accroissement finis, S0f ′|V 0

σest bien λ-contractante pour la norme

C0.

Pour la suite, on note Vσ l’intersection de Vσ avec ΓCF . On rappelle que C est un voisi-

nage compact de K ′.

On va montrer qu’un voisinage Vf × Vσ arbitrairement petit est envoyé par S dans Vσ. Pour

cela, il suffit de prouver que l’on peut choisir Vf × Vσ arbitrairement petit et envoyé par S dans

Vσ. En effet, par continuité de S, quitte à restreindre Vf , son produit avec un petit voisinage V 1σ

de 0 dans ΓF est envoyé par S dans Vσ. Donc le produit de Vf avec le voisinage Vσ := Vσ ∪ V 1σ

est envoyé par S dans Vσ.

On revient à notre formulation implicite locale de S0 donnée sur un ouvert U ′1 par l’applica-

tion Ψ considérée ci-dessus. On rappelle que F est trivial au-dessus d’un voisinage du compact

adh(U ′1) et d’un voisinage U2 de f∗(adh(U1)). On rappelle que l’on note p2 les deux projections

sur Rn−d, provenant des trivialisations du fibré F , au-dessus de U2 et du voisinage de adh(U ′1).

Pour i ∈ 1, 2, on note ∇i la connexion sur ΓF|Uiqui à σ ∈ Vσ associe Tp2 Tσ.

On suppose Vσ assez petit pour qu’il soit inclus dans V 0σ . On note o(1) une quantité qui est

proche de 0, quand f ′ est proche de f dans Vf et quand ‖σ‖C0 est petite. On va montrer que,

pour σ ∈ Vσ et f ′ ∈ Vf , on a :

‖∇1S0f ′|U ′

1(σ)‖C0<λ‖∇2σ|U2

‖C0 + o(1) (1.5)

On fixe σ ∈ Vσ et f ′ ∈ Vf . On a alors pour x ∈ U ′1, (u, t) := φ(x) et en identifiant TxL avec

l’espace tangent en u de Rd :

∇1S0f ′(σ)(x) = −∂lΨf ′(σ, u, ρf ′(σ, u))−1 ∂uΨf ′(σ, u, ρf ′(σ, u))(t)

Avec

∂uΨf ′(σ, u, l)(t) = (Tp2 −∇2σ Tπ) ∂uf ′(x, l(t))

∂lΨf ′(σ, u, l)(t) = (Tp2 −∇2σ Tπ) ∂Fx f′(x, l(t))

Ainsi, ∇1S0f ′(σ)(x) est égal à :

−((Tp2 −∇2σ Tπ) ∂Fx f

′(S0f ′(σ)(x))

)−1 (Tp2 −∇2σ Tπ) ∂uf ′(S0

f ′(σ)(x)) (1.6)

On pose :A := Tp2 ∂Fx f

′ S0f ′(σ)(x), B := Tπ ∂Fx f

′ S0f ′(σ)(x),

C := Tp2 ∂uf ′ S0f ′(σ)(x), D := Tπ ∂uf ′ S0

f ′(σ)(x).

36


On a donc :

∇1S0f ′(σ)(x) = −(A−∇2σ B)−1 (C −∇2σ D) (1.7)

Par transversalité, ‖S0f ′(σ)‖C0 est proche de 0 quand f ′ est proche de f dans Vf et σ ∈ Vσ

est proche de 0 pour la topologie C0.

D’une part, par commutativité du diagramme, quand S0f ′(σ)(x) est proche de 0 et quand f ′

est proche de f dans Vf , l’application C est proche de 0. Enfin, pour f ′ ∈ Vf , l’application ∂lΨ−1f ′

est bornée sur (V 0σ × Vu × Vl). Donc, pour σ ∈ Vσ et f ′ ∈ Vf , on a :

‖(A−∇2σ B)−1 C‖ = o(1) (1.8)

D’autre part, pour Vf et Vσ assez petit, ‖D‖ est proche de ‖Tf∗(x)‖ et ‖(A−∇2σ B)−1‖est proche de ‖(pF ∂Fx f(0x))−1‖ qui est égal à ‖[i∗Tf(x)]−1‖, par définition de la norme de F .

Donc, par l’hypothèse (1.1), quitte à restreindre Vf et Vσ, pour x ∈ U ′1, on a :

‖(A−∇2σ B)−1‖ · ‖D‖ < λ (1.9)

et

‖(A−∇2σ B)−1 ∇2σ D‖ < λ‖∇2σ‖C0 (1.10)

Par les équations (1.7), (1.8) et (1.10), on obtient l’équation (1.5). Comme ∇1Sf ′(σ) est égal

à r · ∇1S0f ′(σ) + S0

f ′(σ) · dr, on a :

‖∇1Sf ′(σ)‖ < λ‖∇2σ‖+ o(1)

Par la propriété 1.4.3 de la partie 1.4.3, on a donc :

‖∇Sf ′(σ)‖ < λ‖∇σ‖+ o(1)

Ainsi, étant donné η1 > 0 assez petit, il existe η0 > 0 assez petit et Vf un voisinage de f tels

que

Vσ := σ ∈ ΓCF ; ‖∇σ‖C0 ≤ η1, ‖σ‖C0 ≤ η0

soit envoyé par Sf ′ dans lui-même, pour f ′ ∈ Vf .

L’image de S étant incluse dans ΓWF , cela implique que

σ ∈ ΓWF ; ‖∇σ‖C0 ≤ η1, ‖σ‖C0 ≤ η0

est envoyé dans lui-même par Sf ′ , pour tout f ′ ∈ Vf .

Pour finir de montrer la conclusion 4) du lemme, il suffit de prouver que, pour f ′ ∈ Vf et

δ > 0, il existe N > 0 et un voisinage Vf ′ de f ′ tel que pour f ′′ ∈ Vf ′ :

sup(σ,σ′)∈SN

f ′′ (V′σ)2‖∇σ −∇σ′‖ < δ

37


Pour cela, on va travailler avec les sections de la grassmannienne de (F,F). On remarque

que, pour σ ∈ ΓF , l’application ∇σ est une section du fibré vectoriel normé T ∗L ⊗ F au-dessus

de L.

Soit G le fibré vectoriel sur F induit par T ∗L ⊗ F via l’application π. Cela signifie que la

fibre de G en y ∈ F est égale à T ∗π(y)L ⊗ Fπ(y). Ce fibré se plonge dans la grassmannienne des

d-plans de TF , via l’application qui à (y, l) ∈ G ⊂ F × (T ∗L ⊗ F ) associe l’espace tangent en y

de l’image, contenant y, d’une section σ telle que (∇σ) π(y) = l. Via ce plongement, ce fibré

est identifié à son image ouverte dans la grassmannienne.

On rappelle que l’on note r la fonction sur L telle que S = r ·S0 et dont le support est inclus

dans W ′. De plus, W ′ est inclus dans l’intérieur de W . On ne perd pas en généralité à supposer

que C est un voisinage compact de W ∪ f∗(W ).

Soient quatre petits réels η0 > η′0 > 0 et η1 > η′1 > 0 tels que

V ′σ := σ ∈ ΓWF ; ‖∇σ‖C0 ≤ η′1, ‖σ‖C0 ≤ η′0

et Vσ := σ ∈ ΓCF ; ‖∇σ‖C0 ≤ η1, ‖σ‖C0 ≤ η0

sont inclus dans Vσ et sont envoyés dans eux-même par Sf ′ , pour f ′ ∈ Vf .

Soient F1 l’adhérence ∪σ∈V ′σσ(W ) et F0 l’adhérence de ∪σ∈Vσ

σ(C). On suppose Vf et η′0 assez

petit pour que l’image de F1 par chaque f ′, f ′ ∈ Vf , soit incluse dans l’intérieur de F0. Soit alors

F2 l’adhérence de ∪σ∈Sf ′ (V′σ),f ′∈Vf

σ(W ′). Par λ-contractivité de Sf pour la norme C0, quitte à

réduire Vf , le compact F2 est inclus dans l’intérieur de F1. De plus, F0 est compact. Il existe

donc une fonction continue r′ sur F0 valant 0 sur F0 \ F1 et 1 sur F2.

Soit Vχ la boule fermée de l’espace des sections bornées de G|F0de centre 0 et de rayon η1.

Soit χ0 la section de G|F0qui a y ∈ F0 associe y · dπ(y)r.

Par transversalité, pour tout f ′ ∈ Vf , pour tout y ∈ F1 et χ ∈ Vχ (vue comme une section

de la grassmannienne), l’espace Tf ′−1(χ f ′(y)) est un espace de dimension d, qui s’identifie à

un élément de Gy. On note f ′#χ la section de G|F1qui à y associe Tf ′−1(χ f ′(y)).

Soient y ∈ F0, (f ′, σ) appartenant au domaine de définition de S et χ ∈ Vχ tels que y

appartient à l’image de σ et χ(y) est égal à ∇σ π(y). Pour f ′ ∈ Vf , en utilisant la définition de

S0f ′ et en identifiant Vχ à un ouvert de la grassmannienne, on a

∇S0f ′(σ) = f ′#χ S0

f ′(σ).

De l’expression de S en fonction de S0, on déduit alors :

∇Sf ′(σ) =

(χ0 + r π · f ′#χ) S0

f ′(σ) sur W ′

0 ailleurs

∇Sf ′(σ) = x 7→

(χ0 + r π · f ′#χ)(

Sf ′ (σ)(x)

r(x)

)si r(x) 6= 0

0 ailleurs(1.11)

38


Ceci nous invite à considérer l’application :

τf ′ : Vχ −→ Γ0G|F0

χ 7−→ y 7→

(r′ · χ0 + r′ · r π · f ′#χ)( y

rπ(y)) si y ∈ O0 sinon

Ici O est l’ensemble des éléments de F0 où la fonction suivante est définie et ne s’annule pas :

y 7→ (r′ · r π)(

y

r π(y)

).

Par l’équation (1.11), la définition Vχ et la stabilité de Vσ par Sf ′ , l’application τf ′ envoie Vχ

dans lui-même. On admet pour l’instant que τf ′ est λ-contractante, pour tout f ′ ∈ Vf .

On va montrer que τf ′ préserve l’espace des sections continues de Vχ, pour tout f ′ ∈ Vf .

Soit χ ∈ Vχ une section continue. Sur O et sur l’intérieur du complémentaire de O, l’application

τf ′(χ) est clairement continue. On considère donc un élément y appartenant à la frontière de O.

Cela implique que τf ′(χ)(y) est nul. Soit (yn)n une suite de points de F0 ∩ O, qui tend vers y.

Cela implique que (zn := yn/r π(yn))n est bornée. Donc r′(yn/r π(yn)) · χ0(yn), qui est égal

à (r′ · dr π)(yn/r π(yn)) · yn tend vers 0. De plus, f ′#(χ) est bornée sur F1, donc τf ′(χ)(yn)

tend vers 0. Cela prouve que l’espace des sections continues est stable par τf ′ .

Comme Vχ est un fermé d’un espace de Banach, l’application τf ′ admet une unique section

fixe χf ′ , qui est continue.

On note χσ la section de Vχ telle que χ(y) est égal à ∇σ π(y), si y appartient à l’image de

σ, et égale à 0 sinon.

Il existe N0 ≥ 0 tel que, pour tout f ′ ∈ Vf et σ ∈ SN0f ′ (Vσ), l’image de σ|W ′ est incluse dans

F2. Ainsi, par l’inégalité (1.11), pour n ≥ 0, on a alors :

∇Snf ′(σ)|W ′ = τn

f ′(χσ) Snf ′(σ)|W ′

On admet de plus, pour tout f ′ ∈ Vf et δ > 0, qu’il existe N ≥ 0 et un voisinage V ′f ⊂ Vf de

f ′, tel que le diamètre de l’union ∪f ′′∈Vf ′τNf ′′(Vχ) est inférieur à δ/3.

Par compacité de F0 et continuité de χf ′ , il existe η > 0 tel que deux éléments (y, y′) ∈ F 20 ,

qui sont η-proches, vérifient :

d(χf ′(y), χf ′(y′)) <δ

3Quitte à considérer N plus grand, par λ-contractivité de (Sf ′′)f ′′ pour la topologie C0, le

diamètre C0 de SNf ′′(Vσ) est plus petit que η pour f ′ ∈ Vf ′ . Donc, pour (σ, σ′) ∈ SN (Vσ)2, on a :

‖∇SNf ′′(σ)−∇SN

f ′′(σ′)‖ ≤ 2δ

3+ ‖χf ′ SN

f ′′(σ)− χf ′ SNf ′′(σ

′)‖ ≤ δ

Ce qu’il fallait démontrer.

39


Il ne nous reste plus qu’à montrer la λ-contractivité de τf ′ et qu’il existe N ≥ 0 et un

voisinage V ′f ⊂ Vf de f ′, tel que le diamètre de l’union ∪f ′′∈Vf ′

τNf ′′(Vχ) est inférieur à δ/3. On va

commencer par montrer la seconde assertion.

Soit K le fibré sur F0 dont la fibre en y ∈ F0 est l’ensemble des compactes non vides de

Gy muni de la distance de Hausdorff. On va montrer par récurrence sur n ≥ 0, que la section

[τnf ′(Vχ)] qui à x ∈ F0 associe le compact ∪σ∈τn

f ′ (Vχ)σ(x) est une section continue de K, dépen-

dant continûment de f ′ ∈ Vf .

Pour n = 0, cela résulte de la forme de Vχ. Soit n ≥ 0, on suppose l’hypothèse de récurrence

vérifiée à ce rang. Pour f ′ ∈ Vf et y ∈ O, la valeur de la section [τn+1f ′ (Vχ)] en y est l’image par

une application continue du compact [τnf ′(Vχ)](f ′(y/r π(y))) qui, via l’identification issue d’une

trivialisation de G de deux fibres proches de G, dépend continûment de y et f ′. Comme τf ′ est

une application continue qui est nulle sur les G-fibres F0 \O, la section τn+1f ′ (Vχ) est continue et

dépend continûment de f ′.

Soient f ′ ∈ Vf et δ > 0. Par λ-contractivité de τf ′ , il existe N ≥ 0 tel que τNf ′ (Vχ) a un

diamètre inférieur à δ/12. Par continuité, il existe un voisinage Vf ′ de f ′, tel que, pour f ′′ ∈ Vf ′

et y ∈ F0, le compact [τNf ′′(Vχ)](y) est dans le δ/12-voisinage de [τN

f ′ (Vχ)](y). Ainsi le diamètre

de l’union ∪f ′′∈Vf ′τNf ′′(C) est inférieur à δ/3.

Pour montrer la λ-contractivité de τf ′ , il suffit de montrer que, pour tout (χ, χ′) ∈ V 2χ ,

f ′ ∈ Vf et y ∈ O, on a

‖τf ′(χ)(y)− τf ′(χ′)(y)‖ ≤ λ‖χ− χ′‖

On pose y′ := y/r π(y), qui appartient à F1. Par définition de Vχ et de F1, quitte à réduire

Vf , il existe deux sections σ, σ′ ∈ Vσ telles que leur image contient f ′(y′). Il suffit donc de montrer

que l’on a :

‖(∇Sf ′(σ)−∇Sf ′(σ′)) π(y)‖ ≤ λ‖(∇σ −∇σ′) π f ′(y′)‖

On revient, comme précédemment, à des ouverts distingués U ′1 et U2, avec π−1(U ′1) qui

contient y. On a σ π f ′(y′) = f ′(y′) = σ′ π f ′(y′) et, par définition de Sf ′ , les points

Sf ′(σ) π(y), y et Sf ′(σ′) π(y) sont égaux. Par la propriété 1.4.3, il suffit donc de montrer que

‖(∇1Sf ′(σ)−∇1Sf ′(σ′)) π(y)‖ ≤ λ‖(∇2σ −∇2σ′) π f ′(y′)‖ (1.12)

On pose à nouveau A := Tp2 ∂Fx f′(y′), B := Tπ ∂Fx f

′(y′), C := Tp2 ∂uf ′(y′) et D :=

Tπ ∂uf ′(y′).

L’équation (1.7) affirme que : ∇1Sf ′(σ) π(y) = −(A−∇2σ B

)−1 (C −∇2σ D)

∇1Sf ′(σ′) π(y) = −(A−∇2σ′ B

)−1 (C −∇2σ′ D)

40


Donc ‖∇1Sf ′(σ) π(y)−∇1Sf ′(σ′) π(y)‖ est plus petit que∥∥∥(A−∇2σ B)−1 (∇2σ′−∇2σ) D∥∥∥+ ‖(A−∇2σB)−1− (A−∇2σ′ B)−1‖ · ‖C −∇2σ′ D‖

Par l’équation (1.9), le premier terme de cette dernière somme est inférieur à λ′‖(∇2σ −∇2σ′) π f ′(y′)‖, avec λ′ < λ. On a déjà remarqué que ‖C‖ est petit quand Vσ et Vf ont

un petit diamètre, ainsi que ‖D‖ est bornée. Donc, pour Vf et Vσ petits, ‖C − ∇2σ′ D‖ est

petit. Enfin, par le théorème des accroissements finis, ‖(A − ∇2σ B)−1 − (A − ∇2σ′ B)−1‖est dominée par ‖(∇2σ − ∇2σ′) π f ′(y′)‖. Donc, on a bien l’équation (1.12) qui implique la

λ-contractivité de τf ′ , pour f ′ ∈ Vf .

41


42

2

Persistance de stratifications de

laminations

Sommaire2.1 Géométrie sur les stratifications de laminations . . . . . . . . . . . . 43

2.1.1 Stratifications de laminations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.1.2 Structure de treillis de laminations sur un espace stratifié . . . . . . . . 48

2.1.3 Des structures géométriques sur certains espaces stratifiés . . . . . . . . 58

2.2 Persistance des stratifications de laminations normalement dilatées 61

2.2.1 Persistance des stratifications de laminations normalement dilatées defaçon contrôlée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2.2.2 Un exemple de stratification normalement dilatée non topologiquementpersistante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

2.3 Applications du théorème de persistance 2.1 . . . . . . . . . . . . . . 65

2.3.1 Prolongement de la continuation hyperbolique d’un compact répulsifinvariant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

2.3.2 Produit de stratifications de laminations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

2.3.3 Exemples de stratifications de laminations persistantes en dynamiqueproduit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

2.1 Géométrie sur les stratifications de laminations

2.1.1 Stratifications de laminations

Le concept de stratification intervient dans plusieurs domaines mathématiques. Sa définition

est sujette à variation d’un domaine à l’autre et, au sein d’un même domaine, d’un auteur à

l’autre. L’une des définitions les plus générales d’une stratification a été formulée par J. Mather

43

Chapitre 2. Persistance de stratifications de laminations

[17]6 :

Une stratification d’un espace métrique séparable A est une partition Σ de A en sous-

ensembles, appelés strates, vérifiant les conditions suivantes :

1. Chaque strate est localement fermée, i.e, c’est l’intersection d’un ouvert et d’un fermé de

A.

2. La partition Σ est localement finie.

3. (Condition de frontière) Pour tout couple de strates (X,Y ) ∈ Σ2 vérifiant Y ∩adh(X) 6= ∅,on a Y ⊂ adh(X). On note alors Y ≤ X.

Le couple χ = (A,Σ) est appelé l’espace stratifié de support A et de stratification Σ.

Propriété 2.1.1. La relation ≤ est une relation d’ordre partiel sur Σ.

Preuve

La réflexivité et la transitivité ne posent aucune difficulté. Pour montrer l’antisymétrie, on choisit deux strates

(X,Y ) ∈ Σ vérifiant X ≤ Y et Y ≤ X. Cela signifie que X ⊂ adh(Y ) et Y ⊂ adh(X), ainsi adh(X) est égale à

adh(Y ). Comme X et Y sont localement fermées, ces deux strates s’intersectent forcément et comme Σ est une

partition de A, ces deux strates sont égales.

Stratifications analytiques et différentiables Parmi les domaines où interviennent les stra-

tifications, on peut citer la géométrie analytique et la géométrie différentielle. On va préciser nos

définitions de stratification dans chacun de ces domaines :

– En géométrie analytique, on rappelle qu’une variété analytique singulière est l’ensemble

des zéros d’une applications analytique de Cn dans Cm.

Dans ce travail, on appellera espace stratifié analytique un espace stratifié dont le support

est une variété analytique (singulière) et dont les strates sont des variétés analytiques non

singulières de dimension constante qui vérifient :

∀(X,Y ) ∈ Σ2, si X ≤ Y alors dim(X) ≤ dim(Y )

La stratification d’un tel espace revient alors à la définition de H. Whitney [31] des strati-

fications, dans ce contexte de géométrie analytique.

– En géométrie différentielle, suivant les travaux de J. Mather [17] et R. Thom [28], C.

Murolo et D. Trotman [19] définissent une stratification comme étant un espace stratifié

dont les strates, munies de la topologie induite par le support, sont des variétés connexes

et vérifiant :

∀(X,Y ) ∈ Σ2, si X < Y alors dim(X) < dim(Y )6Dans l’article de Mather, l’objet de la définition est appelé préstratification. Cela correspond en fait à la

stratification telle qu’elle est entendue ici.

44

2.1. Géométrie sur les stratifications de laminations

Dans ce travail, on appellera ce type d’espace stratifié un espace stratifié différentiable.

Un tel objet intervient notamment dans l’étude des singularités ou des zéros d’une appli-

cation générique ([28], [17]).

De façon similaire, on introduit la notion d’espace stratifié laminaire : un espace stratifié

(A,Σ) dont les strates, munies de la topologie induite par A, sont des laminations et vérifient :

∀(X,Y ) ∈ Σ2, si X ≤ Y alors dim(X) ≤ dim(Y )

Comme un espace stratifié analytique ou différentiable est un espace stratifié laminaire, par

abus de langage, un espace stratifié désignera un espace stratifié laminaire, pour toute la suite.

En général, les espaces stratifiés différentiables sont utilisés avec des conditions de régularité

supplémentaire : soit en les supposant plongés, avec une certaine régularité, dans une variété ;

soit en les munissant d’une structure géométrique plus fine.

On va commencer par définir les plongements, ce qui permettra d’introduire quelques exemples

d’espaces stratifiés. Dans la partie 2.1.2 sera introduite une structure géométrique, le treillis de

laminations, existant sur certains espaces stratifiés.

Un plongement p d’un espace stratifié (A,Σ) dans une variété est un homéomorphisme sur

son image qui, restreint à chaque strate, est un plongement de laminations. On dira que le plon-

gement p est a-régulier si pour (X,Y ) ∈ Σ2 tel que X < Y et pour (xn)n ∈ Y N tendant vers

x ∈ X, l’espace Tp(TxX) est inclus dans toute valeur d’adhérence de Tp(TxnY ).

Quand un espace stratifié est plongé, on identifiera souvent l’espace stratifié et son image par

le plongement. Si ce dernier est a-régulier, on dira par abus de langage que la stratification (de

laminations) est a-régulière.

La définition de la a-régularité est due à H. Whitney, qui a démontré que toute variété analy-

tique singulière supporte une stratification analytique a-régulière [32]. Cette définition est aussi

tout à fait standard dans l’étude des espaces stratifiés différentiables.

Exemples de stratifications de laminations

1. Étant donnée une sous-variété à bord, les composantes connexes de son bord et de son

intérieur munis de leur structure de variété forment une stratification (différentiable) (a-

régulière).

45


2. L’ensemble 0 × R ∪ R × 0 supporte une stratification (différentiable) à deux strates,

dont la première est 0 et la deuxième de dimension un est 0 × R∗ ∪ R∗ × 0. Cette

stratification est canoniquement plongée dans R2 (a-régulièrement).

3. Si M est une variété, K un compact d’intérieur vide de M , alors K muni de la structure

de lamination de dimension 0 et M \ K muni de la structure de variété induite par M ,

forment une stratification de laminations (a-régulière) à deux strates.

4. Soient respectivement S1 et D, le cercle unité et le disque unité ouvert du plan complexe

C. Soit A le sous-espace topologique adh(D) × 1 ∪ 1 × S1 de C2, que l’on stratifie en

une lamination de dimension 2 supportée par D× 1, ainsi qu’en trois laminations de di-

mension 0 supportées par S1×1\(1, 1), 1×S1 \(1, 1) et (1,1). L’espace stratifié

obtenue est canoniquement plongée (a-régulièrement) dans C2.

5. Soit f ∈ C1(M,M) est un difféomorphisme axiome A vérifiant la condition de transversa-

lité forte. Si l’on note (Ωi)i la décomposition spectrale de l’ensemble non errant Ω, alors

(W s(Ωi))i forme une stratification de laminations (a-régulière) sur M . On ne fera pas la

preuve ici, mais c’est une conséquence de l’existence d’une famille compatible de disques

instables ([rob] thm. 5.1).

6. Soient (A1,Σ1) et (A2,Σ2) deux espaces stratifiés. Soit (A1×A2,Σ1×Σ2) l’espace stratifié

de support A1 ×A2 et dont les strates sont

Σ1 × Σ2 = X1 ×X2 ; X1 ∈ Σ1 et X2 ∈ Σ2

La vérification que Σ1 × Σ2 définit un espace stratifié est élémentaire :

Pour tout (X1 ×X2, Y1 × Y2) ∈ (Σ1 × Σ2)2,

X1 ×X2 ∩ adh(Y1 × Y2) 6= ∅ ⇔ X1 ∩ adh(Y1) 6= ∅ et X2 ∩ adh(Y2) 6= ∅

donc pour chaque i ∈ 1, 2, on a Xi ⊂ adh(Yi) et dim(Xi) ≤ dim(Yi). ainsi X1 ×X2 ⊂adh(Y1 × Y2) et dim(X1 ×X2) ≤ Y1 × Y2.

On vérifie aussi que, si p1 et p2 sont des plongements de (A1,Σ1) et (A2,Σ2) dans M1 et

M2 respectivement, l’application p := (p1, p2) est un plongement de (A1 × A2,Σ1 × Σ2)

dans M1 ×M2. Ce plongement p est a-régulier si et seulement si p1 et p2 le sont.

46


7. Soient (A,Σ) un espace stratifié et U un ouvert de A. L’ensemble des strates X ∈ Σ, qui

rencontrent U , restreintes à U ∩X forme une stratification de laminations sur U , que l’on

note Σ|U .

Morphismes stratifiés Soient (A,Σ) et (A′,Σ′) deux espaces stratifiés.

Une application continue f de A dans A′ est un morphisme stratifié (resp. une immersion

stratifiée) si chaque strate X ∈ Σ est envoyée dans une strate X ′ ∈ Σ′ et la restriction f|X est

un morphisme (resp. une immersion) de laminations de X dans X ′. On dira aussi que f est un

morphisme (resp. une immersion) de (A,Σ) dans (A′,Σ′).

Dans le cas particulier des espaces stratifiés différentiables, on retrouve la définition usuelle

de morphisme stratifié.

Un endomorphisme d’un espace stratifié (A,Σ) est un morphisme stratifié qui préserve chaque

strate.

On notera respectivement Mor(Σ,Σ′), Im(Σ,Σ′) et End(Σ) l’ensemble des morphismes,

immersions et endomorphismes stratifiés .

Deux morphismes stratifiés f et f ′ seront équivalents s’ils envoient chaque strate X ∈ Σ dans

une même strate X ′ ∈ Σ′ et leurs restrictions à X sont équivalentes en tant que morphismes de

laminations de X dans X ′. On note Morf (Σ,Σ′) la classe d’équivalence de f que l’on munit de

la topologie induite par celle du produit :

C0(A,A′)×∏

X∈Σ, f(X)⊂X′∈Σ′

Morf |X(X,X ′)

Dilatation normale d’une stratification immergée Soit i une immersion d’un espace stra-

tifié (A,Σ) dans une variété riemannienne (M, g). Soient f ∈ C1(M,M) et f∗ ∈ End(Σ) tels

que le diagramme suivant commute :

f

M → M

↑ i ↑ iA → A

f∗

Ainsi f préserve l’immersion de chacune des strate de Σ.

On dira que f dilate normalement l’espace stratifié immergé (A,Σ) si f dilate normalement

l’immersion de chaque strate de Σ.

Persistance d’une stratification de laminations plongée On suppose de plus que i est

un plongement. On dira que la stratification de laminations Σ est persistante si, pour tout C1-

47


endomorphisme f ′ proche de f , il existe un plongement stratifié i′ de (A,Σ) dans M et un

endomorphisme f ′∗ ∈ Endf∗(Σ), tous les deux proches de i et f∗ respectivement, et tels que le

diagramme suivant commute :f ′

M → M

↑ i′ ↑ i′

A → A

f ′∗

On suppose de surcroit que i est un plongement a-régulier. Si le plongement i′, pour tout C1-

endomorphisme f ′ proche de f , est a-régulier, on dira que la stratification a-régulière Σ est

persistante.

Le but principal de ce travail est de montrer la persistance de certaines stratifications a-

régulières normalement dilatées. Or la régularité de ces stratifications n’est pas suffisante pour

garantir leur stabilité, même dans le cas d’une stratification différentiable compacte (on donnera

un contre exemple dans la partie 2.2.2). On va introduire une condition de régularité intrinsèque

plus forte : supporter une structure de treillis. Pour l’étude des espaces stratifiés différentiables,

d’autres auteurs avaient considéré d’autres conditions intrinsèques ([17], [28], [19]).

2.1.2 Structure de treillis de laminations sur un espace stratifié

Cette structure nécessite les définitions qui suivent :

Cohérence et compatibilité de deux laminations Soient L1 et L2 deux parties d’un espace

métrique L, munies respectivement des structures de laminations L1 et L2. Supposons, par

exemple, que la dimension de L1 est inférieure ou égale à la dimension de L2.

Les laminations L1 et L2 seront dites cohérentes si pour x ∈ L1 ∩ L2, il existe une plaque de

L1 contenant x incluse dans une plaque de L2.

Les laminations L1 et L2 seront dites compatibles si pour x ∈ L1 ∩ L2, la feuille de L1

contenant x est incluse dans une feuille de L2.

Feuilletage d’une lamination Soient (L1,L1) et (L2,L2) deux laminations de dimensions

respectives d1 ≤ d2. On dira que L1 est un feuilletage de L2 si L1 = L2 et si, pour x ∈ L2, il

existe un voisinage U de x et une carte (U, φ) qui appartient à L1 et à L2. Autrement dit, il

existe des ouverts U1 et U2 de Rd1 et Rd2−d1 respectivement, tels que :

(φ : U → U1 × U2 ×

espace transverse de L2︷︸︸︷T2︸︷︷︸

espace transverse de L1

)∈ L1 ∩ L2

48


On remarque que les laminations L1 et L2 sont alors cohérentes.

Exemples de feuilletages de laminations

– Si dans cette définition L2 est une variété différentiable, alors L1 est un feuilletage C1

(classique) de cette variété de dimension d1.

– Soit K un espace métrique localement compact, L1 = L2 = Rd2 ×K et L2 la structure de

lamination de dimension d2 canonique sur L2. Soient d1 ≤ d2, φ ∈ C0(K,Diff1(Rd2 ,Rd2))

et L1 la structure de lamination sur L1 dont les feuilles sont

φ(k)(Rd1 × t)× k, (k, t) ∈ K × Rd2−d1

alors L1 est un feuilletage de L2.

Propriété 2.1.2. Soient M une variété et (L,L) une lamination plongée dans M identifiée à

son image. Soit F un feuilletage C1 d’un voisinage de L dans M dont les feuilles sont transverses

aux feuilles de L. Alors la lamination dont chaque plaque est l’intersection d’une plaque de Lavec une plaque de F est un feuilletage de L. On notera L t F ce feuilletage de lamination.

Preuve

L’énoncé étant une propriété locale, il suffit de le démontrer au voisinage de tout point x ∈ L. Via une carte

du feuilletage F , un voisinage U de x dans M s’identifie à Rn, et F s’identifie au feuilletage de dimension d

associé à la décomposition Rd ×Rn−d. Soit E ⊂ Rn l’espace correspondant à TxL. Par transversalité, il existe un

sous-espace vectoriel F de Rd ×0 supplémentaire à E dans Rn. Quitte à réduire U , l’intersection des feuilles de

L avec U s’identifie à une famille continue de graphes disjoints d’applications C1 de E dans F . Soit (ρt)t∈T une

telle famille d’applications. On remarque que l’application suivante :

φ0 : Rn ∩ L→ E × T

(u+ ρt(u)) 7→ (u, t)

est une carte de L. Soit d′ la dimension de L et donc de E. Pour (e, t) ∈ E × T , la préimage par φ0 de(E ∩

(Rd × 0) + e)× t est l’intersection d’une plaque de F avec une plaque de L. En effet cette variété est de

dimension d+ d′−n, incluse dans la plaque φ−10 (E×t) de L et inclus dans la plaque Rd ×0n−d + e de F car

ρt(E) ⊂ F ⊂ Rd × 0.Soit enfin ψ un isomorphisme linéaire de E sur Rd′ qui envoie E ∩ (Rd × 0) sur Rd′+d−n × 0. Soit

φ : Rn ∩ L→ Rd′+d−n × Rn−d × T

(u, ρt(u)) 7→ (ψ(u), t)

φ est une carte de L et de L ∩ F . La lamination L t F est donc un de feuilletage de la lamination L.

Voisinage tubulaire Soient (A,Σ) un espace stratifié et X une strate de Σ. Un voisinage

tubulaire de X est une lamination (LX ,LX) telle que :

– LX est un voisinage ouvert de X inclus dans les strates supérieures à X,

– la strate X est la restriction de LX à une partie LX -admissible,

– la lamination (LX ,LX) est cohérente avec les strates de Σ.

49


Structure de treillis Une structure de treillis (de laminations) sur un espace stratifié (A,Σ)

est la donnée d’une famille localement finie de voisinages tubulaires T = (LX ,LX)X∈Σ vérifiant,

pour X ≤ Y , que (LX ∩ LY ,LX|LX∩LY) est un feuilletage de (LX ∩ LY ,LY |LX∩LY

).

Remarques

– Si (A,Σ) est une variété M , alors M est aussi l’unique structure de treillis sur l’espace

stratifié (A,Σ).

– Étant donnée une structure de treillis sur un espace stratifié (A,Σ), la condition de feuille-

tage implique que les voisinages tubulaires sont cohérents entre eux.

La propriété suivante implique en particulier qu’un voisinage tubulaire d’une stratification

est compatibles avec toutes les strates.

Propriété 2.1.3. Soient (A,Σ) un espace stratifié et L une structure de lamination sur une par-

tie L incluse dans l’union les strates de Σ de dimension supérieure à celle de L. Si la lamination

(L,L) et les strates de Σ sont cohérentes, pour tout X ∈ Σ, l’ensemble X ∩ L est L-admissible.

Preuve

Par cohérence, les plaques de L rencontrent les feuilles des strates de Σ en des parties ouvertes des feuilles

de L. Chaque plaque connexe ne rencontre donc qu’une de ces feuilles. Ainsi chaque feuille de L est incluse dans

une feuille d’une strate. Donc X ∩L est L-saturé. Comme l’intersection de deux espaces localement compacts est

localement compact, X ∩ L est L-admissible.

Propriété 2.1.4. Si (A,Σ) un espace stratifié supportant une structure de treillis T , alors A est

localement compact.

Preuve

Le support des voisinages tubulaires de T est un recouvrement ouvert de A. Comme chacun de ces supports

est localement compact, il en est de même pour A.

Étant données une variété M et une structure de treillis T sur un espace stratifié (A,Σ), un

plongement p de (A,Σ) dans M est T -contrôlé si c’est un homéomorphisme sur son image tel

que, pour X ∈ Σ, la restriction p|LXappartient à Mor(LX ,M).

Propriété 2.1.5. Soient M une variété et (A,Σ) un espace stratifié supportant une structure

de treillis T . Alors tout plongement T -contrôlé p est un plongement stratifié a-régulier.

50


Preuve

Soient (X,Y ) ∈ Σ2 avec X ≤ Y , x ∈ X ∩ adh(Y ) et (xn)n ∈ Y N une suite qui tend vers x. Pour n assez

grand, xn appartient à LX et Tp(TxnY ) contient Tp(TxnLX) qui tend vers Tp(TxX).

Comme nous le verrons dans les parties 2.1.3 et 2.2.2, il existe des espaces stratifiés qui

n’admettent pas de structure de treillis. Dans la partie 2.3, nous verrons cependant des conditions

qui garantissent l’existence d’une telle structure.

Exemples d’espace stratifié admettant une structure de treillis

0. On considère la stratification (X0, X1, X2) sur un carré formée par sa décomposition sim-

pliciale : la lamination X0 est formée des sommets du carré, la lamination X1 est de dimension

1 et supportée par les arrêtes du carré, enfin la lamination X2 est de dimension 2 et supportée

par l’intérieure du carré.

Soit LX0 la lamination de dimension 0 sur 4 petits voisinages dans le carré des sommets de

celui ci. Soit LX1 la lamination de dimension 1 sur l’union disjointe de voisinages de chaque

arrête du carré, dont les feuilles sont parallèles à l’arrête associée au voisinage qui la contient.

Alors les laminations ((LX0 ,LX0), (L1,L1), X2) forment une structure de treillis de lamina-

tions sur (A,Σ), que l’on illustre figure 2.1.

Fig. 2.1 – Une structure de treillis

1. On considère le cylindre plein et fermé C de R3 défini par

C := (x, y, z) ∈ R3;x2 + y2 ≤ 1 et z ∈ [−1, 1]

Ce cylindre C supporte la stratification de laminations Σ constituée de :

51


Fig. 2.2 – Plongement contrôlé d’une stratification exotique sur le cylindre

– une lamination X0 de dimension 0 supportée par S1 × −1, 1– une lamination X1 de dimension 1 supportée par S1×] − 1, 1[ et dont les feuilles sont

verticales

– une lamination X2 de dimension 2 supportée par D× −1, 1– une lamination X3 de dimension 3 supportée par l’intérieur de C.

Cette stratification de laminations est canoniquement plongée a-régulièrement dans R3.

On va maintenant montrer que cet espace stratifié admet une structure de treillis. Soit LX0 un

ouvert de C contenant X0. On munit LX0 de sa structure de lamination de dimension 0. Soient

LX1 et LX2 des ouverts disjoints de C contenant respectivement X1 et X2. On munit LX1 de la

structure de lamination LX1 de dimension 1 dont les feuilles sont verticales. On munit LX2 de la

structure de lamination LX2 dont les feuilles sont horizontales. Soit enfin LX3 := X3 la structure

de lamination de dimension 3 sur l’intérieur de C. On remarque que T := (LXi ,LXi)3i=0 est une

structure de treillis sur notre espace stratifié (C,Σ).

La figure 2.1 représente aussi une coupe d’un de ces treillis selon un plan contenant l’axe

de révolution (Oz). Dans la figure 2.2, on a représenté un plongement T -contrôlé de cet espace

stratifié dans R3, différent de l’inclusion canonique.

52


Fig. 2.3 – Une structure de treillis sur un cube

2. Avec les conventions de la figure 2.1, la figure 2.3 donne une structure de treillis sur la

stratification canonique d’un cube, c’est à dire sa décomposition en sommets, arrêtes et faces.

Un plongement contrôlé par ce treillis dans R3 est représenté dans la figure 2.4.

3. Soient T une structure de treillis sur un espace stratifié (A,Σ) et U un ouvert de A. Alorsla famille de toutes les laminations (L,L) ∈ T restreinte à U forme une structure de treillis sur(U,Σ|U ), que l’on note T|U .

4. Soient (A,Σ) et (A′,Σ′) deux espaces stratifiés. Si chacun de ces espaces admet unestructure de treillis, il existe alors une structure de treillis sur l’espace stratifié produit (A ×A′,Σ× Σ′).Preuve

On a déjà vu, dans la partie 2.1.1, que (A,Σ) × (A′,Σ′) est un espace stratifié et que l’ordre partiel qu’il

induit sur Σ× Σ′ vérifie :

∀X ×X ′ ∈ Σ× Σ′, ∀Y × Y ′ ∈ Σ× Σ′, X ×X ′ ≤ Y × Y ′ ⇔ (X ≤ Y et X ′ ≤ Y ′)

On applique alors la propriété suivante pour l’espace stratifié (A×A′,Σ× Σ) muni de cet ordre partiel.

Lemme 2.1.6. Pour tout espace stratifié (A,Σ), il existe une famille d’ouverts (WX)X∈Σ telle que X soit inclus

dans WX et que les ouverts WX et WY s’intersectent si et seulement si X et Y sont comparables.

Preuve du lemme 2.1.6

Soient X ∈ Σ et χ la partie de Σ qui n’est pas comparable à X. On a alors

X ∩ adh(∪Y ∈χ Y

)= X ∩

(∪Y ∈χ adh(Y )

)= ∪Y ∈χ

(X ∩ adh(Y )

)= ∅

53


Fig. 2.4 – Plongement contrôlé d’un cube

54


Aussi, pour x ∈ X, la distance de x à ∪Y ∈χY est non nulle.

Soit alors WX :=⋃

x∈X

B

(x,d(x,∪Y ∈χY )

2

)L’ouvert WX est donc un voisinage de X. Soit Y ∈ χ ; on note Υ la partie de Σ qui n’est pas comparable à Y .

Soient x ∈ X et y ∈ Y ; on a donc x ∈ ∪Z∈ΥZ et y ∈ ∪Z∈χZ ; ce qui implique

B

(x,d(x,∪Z∈χZ)

2

)∩B

(y,d(y,∪Z∈ΥZ)

2

)= ∅

Ainsi WX et WY sont disjoints.

On a ainsi une famille d’ouverts (WX×X′)(X,X′)∈Σ×Σ′ vérifiant :

WX×X′ ⊃ X ×X ′

WX×X′ ∩WY×Y ′ 6= ∅ ⇒ X ×X ′ ≤ Y × Y ′ ou X ×X ′ ≥ Y × Y ′

On note (LX ,LX)X∈Σ et (LX′ ,LX′)X′∈Σ′ les structures de treillis sur les espaces stratifiés (A,Σ) et (A′,Σ′).

Soit alors LX×X′ le voisinage ouvert (LX × LX′) ∩WX×X′ de X × X ′, que l’on munit de la structure de

lamination LX×X′ := (LX × LX′)|LX×X′ .

Comme X et X ′ sont des parties admissibles de respectivement (LX ,LX) et (LX′ ,LX′), la strate X ×X ′ est

une restriction à une partie admissible de LX×X′ .

De plus, si LX×X′ ∩ LY×Y ′ n’est pas vide, alors WX×X′ intersecte WY×Y ′ . Donc X × X ′ et Y × Y ′ sont

comparables. Quitte à permuter les notations, supposons que X ×X ′ ≤ Y × Y ′. Ce qui est équivalent à X ≤ Y

et X ′ ≤ Y ′. La lamination (LX ∩ LY ,LX|LX∩LY) est un feuilletage de lamination de (LX ∩ LY ,LY |LX∩LY

), et

(LX′ ∩ LY ′ ,LX′|LX′∩LY ′ ) est un feuilletage de lamination de (LX′ ∩ LY ′ ,LY ′|LX′∩LY ′ ). Comme un produit de

feuilletages de lamination est un feuilletage de lamination, la restriction (LX×X′ ∩ LY×Y ′ ,LX×X′|LX×X′∩LY×Y ′ )

est un feuilletage de lamination de (LX×X′ ∩ LY×Y ′ ,LY×Y ′|LX×X′∩LY×Y ′ ).

Ainsi Tprod := (LX×X′ ,LX×X′)X×X′∈Σ×Σ′ est une structure de treillis sur S × S′.

Structure de la réunion des strates de même dimension La propriété suivante éclaire

la façon dont les strates et les voisinages tubulaires de même dimension se rassemblent.

Propriété 2.1.7. Soit (A,Σ) un espace stratifié muni d’une structure de treillis T . Soit (dp)p≥0

l’ensemble des dimensions des strates de Σ, ordonné de façon strictement croissante avec p. Pour

chaque p ≥ 0, on a :

1. L’union des strates de dimension dp forme une lamination Xp. Chaque strate de Σ de cette

dimension est alors la restriction de Xp à une partie admissible.

2. L’union des voisinages tubulaires des strates de dimension dp forme une lamination (Lp,Lp).

3. Xp est la restriction de Lp à une partie admissible.

55


4. Pour q ≤ p, adh(Xp) ∩Xq est une partie Xq-admissible.

5. adh(Xp) ⊂ ∪q≤pXq.

Preuve

2) Soit Σp ⊂ Σ l’ensemble des strates de dimension dp. Pour (X,Y ) ∈ Σ2p, la lamination LX|LX∩LY

est un

feuilletage de lamination de LY |LX∩LYde codimension nulle, donc les structures de laminations LX|LX∩LY

et

LY |LX∩LYsont engendrées par des atlas équivalents et sont donc égales. Ainsi peut-on définir une structure de

lamination Lp sur Lp := ∪X∈ΣpLX engendrée par les cartes de LX pour X ∈ Σp.

1)-3) Chaque voisinage tubulaire de Σp est cohérent avec les strates de Σ et leur union forme un recouvrement

ouvert de Lp. La lamination Lp est donc cohérente avec Σ. Par la propriété 2.1.3, pour tout X ∈ Σp, le support de

X = X ∩ Lp est Lp-admissible. Comme la stratification est localement finie, l’union Xp des supports des strates

de Σp est Lp-admissible. On munit Xp de la structure de lamination Lp|Xp , ce qui donne 3). Comme chaque strate

X ∈ Σp est Lp-admissible et que X est incluse dans Xp, la strate X est Xp = Lp|Xp -admissible, ce qui donne 1).

4) Par la condition de frontière, on a :

adh(Xp) ∩Xq =⋃

X∈Σp, Y ∈Σq

adh(X) ∩ Y =⋃

X∈Σp, Y ∈Σq, Y≤X

Y

Comme chaque strate de Σq est admissible dans Xq et la stratification est localement finie, adh(Xp) ∩ Xq est

Xq-admissible.

5) Par la condition de frontière, on a :

adh(Xp) =⋃

X∈Σp

adh(X) =⋃

X∈Σp

⋃Y≤X

Y ⊂⋃q≤p

⋃X∈Σq

X =⋃q≤p

Xk

Remarque Pour l’exemple 4 de 2.1.1, (A, (Xp)p) n’est pas un espace stratifié.7

Morphismes (TA, TA′)-contrôlés Soient (A,Σ) et (A′,Σ′) deux espaces stratifiés admettant

des structures de treillis T et T ′ respectivement.

Un morphisme (resp. une immersion) (T , T ′)-contrôlé est un morphisme stratifié de (A,Σ)

dans (A′,Σ′) tel que, pour X ∈ Σ envoyée par f dans X ′ ∈ Σ′, il existe un voisinage ouvert VX

de X dans LX tel que f|VXappartienne à Mor(LX|VX

,LX′) (resp. f ∈ Im(LX|VX,LX′)). On

note alors f ∈ Mor(T , T ′) (resp. f ∈ Im(T , T ′). La famille V := (VX)X∈Σ est appelée famille

de voisinages adaptée à f (et à (T ,T ′)).Si (A′,Σ′) est une variété M , alors M est aussi une structure de treillis sur cet espace stratifié.

Dans ce cas, on dira par abus de langage que le morphisme est T -contrôlé.

Un endomorphisme T -contrôlé est un endomorphisme stratifié de (A,Σ) qui est (T , T )-

contrôlé. On note End(T ) cet ensemble.7Cependant, si on remplace la condition de frontière des espaces stratifiés laminaires (A,Σ) par la condition

(plus générale) :

"pour tout couple de strate (X,Y ), la partie adh(X) ∩ Y est Y -admissible",

il semble que tout ce qui est prouvé dans ce travail reste vrai et (A, (Xp)p) est toujours un espace stratifié et, si

(A,Σ) supporte une structure de treillis, (Lp)p est aussi structure de treillis sur (A, (Xp)p).

56


Un isomorphisme (T , T ′)-contrôlé est un morphisme (T , T ′)-contrôlé, inversible et d’inverse

(T ′, T )-contrôlé.

Propriété 2.1.8. Soient (A,Σ), (A′,Σ′) et (A′′,Σ′′) des espaces stratifiés admettant des struc-

tures de treillis T , T ′ et T ′′ respectivement.

– L’identité de A est un endomorphisme stratifié T -contrôlé.

– La composition d’un morphisme (T , T ′)-contrôlé avec un morphisme (T ′, T ′′)-contrôlé est

un morphisme (T , T ′′)-contrôlé.

Preuve

L’identité de A est clairement un endomorphisme contrôlé, on va donc montrer que la composition de deux

morphismes contrôlés est un morphisme contrôlé.

Soient f ∈Mor(T , T ′) et f ′ ∈Mor(T ′, T ′′). Soient V et V ′ deux familles de voisinages adaptée à respective-

ment f et f ′. Chaque strate X ∈ Σ est envoyée par f dans une strate X ′ ∈ Σ′, qui est envoyée par f ′ dans une

strate X ′′ ∈ Σ′′. Donc X est envoyée par f ′′ := f ′ f dans la strate X ′′. Soient alors l’ouvert V ′′X := VX ∩f−1(V ′

X).

On remarque que la famille V ′′ := (V ′′X)X∈Σ est une famille de voisinages adaptés à f ′′.

Morphismes contrôlés équivalents Soient T et T ′ deux structures de treillis sur deux es-

paces stratifiés (A,Σ) et (A′,Σ′) respectivement. Deux éléments f et f de Mor(T , T ′) (resp.

Im(T , T ′), resp. End(T ′)) seront dits équivalents si chaque strate X ∈ Σ est envoyée par f et

f dans une même strate X ′ ∈ Σ′ et qu’il existe une famille de voisinages V adaptée à f et f

vérifiant f|VX∈ Morf|VX

(LX|VX,LX′). Étant donné un morphisme contrôlé f et une famille de

voisinages adaptée à f , on note MorVf (T , T ′) l’ensemble des morphismes f équivalents à f qui

vérifient la propriété énoncée ci-dessus.

On munit MorVf (T , T ′) de la topologie induite par la topologie produit sur :∏X∈Σ f(X)⊂X′∈Σ′

Morf |VX(LX|VX

,L′X′)

On munit l’ensemble des familles de voisinages adaptées à f de l’ordre partiel suivant :

V ≤ V ′ ⇐⇒ ∀X ∈ Σ, VX ⊂ V ′X

Propriété 2.1.9. Soient T et T ′ deux structures de treillis sur deux espaces stratifiés (A,Σ)

et (A′,Σ′). Soit f un morphisme (T , T ′)-contrôlé ainsi que V ≤ V ′ deux familles de voisinages

adaptées à f . Alors la topologie de MorV′

f (T , T ′) est égale à la topologie induite par MorVf (T , T ′).

Preuve

Par définition de ces topologies, il est immédiat que la topologie de MorV′

f (T , T ′) est plus fine que la topologie

induite par MorVf (T , T ′). Il suffit donc de prouver que la topologie de MorV′

f (T , T ′) est moins fine que la topologie

induite par MorVf (T , T ′). Pour cela il suffit de montrer, pour X ∈ Σ envoyée par f dans X ′ ∈ Σ′, que la topologie

57


de Morf |V ′X

(LX|VX,L′X′) est moins fine que MorVf (T , T ′). Comme un compact de V ′

X est une union finie de

compacts de (VY )Y≥X , la topologie de Morf |V ′X

(LX|VX,L′X′) est moins fine que la topologie produit :∏

Y≥X f(Y )⊂Y ′∈Σ′

Morf |VY(LY |VY

,L′Y ′)

qui est elle-même moins fine que celle de MorVf (T , T ′).

Cette dernière propriété signifie que les espaces topologiques (MorVf (T , T ′))V ne diffèrent que

par une condition de respect de plaques. Cela permet de faire les abus de notations suivants :

– Si (A′,Σ′) est une variété M , alors la structure T ′ est constituée nécessairement de la

seule variété M . Les conditions de respect de plaques étant trivialement vérifiées, l’espace

topologique MorVf (T , T ′) ne dépend ni de f ni de V. On note alors Mor(T ,M) cet espace.

– De manière générale, quand la topologie induite par MorVf (T , T ′) sur un sous-espace E

ne dépend pas de V, on se permettra d’écrire que E est muni de la topologie induite par

Mor(T , T ′).

Remarques

– La topologie de MorVf (T , T ′) est plus fine que la topologie induite par Morf (Σ,Σ′). En ef-

fet, la topologie compacte-ouverte de C0(A,A′) est moins fine que la topologieMorVf (T , T ′),car V recouvre l’espace A et l’inclusion de C0(A,A′) dans

∏X∈ΣC

0(VX , A′) est un homéo-

morphisme sur son image.

Enfin, pour une strate X ∈ Σ envoyée par f dans une strate X ′ ∈ Σ, la topologie de

Morf |VX(LX|VX

,L′X′) est plus fine que la topologie de Morf |X(X,X ′).

– En général, la topologie deMorVf (T , T ′) est différente de la topologie induite parMorf (Σ,Σ′).

Par exemple, le disque unité fermé adh(D) de C supporte la stratification canonique Σ for-

mée du disque unité D et du cercle unité S1. Cet espace stratifié admet la structure de

treillis T formée de D et de la lamination (LS1 ,LS1) dont les feuilles sont les cercles de

centre 0 et de rayon r ∈]1/2, 1]. On paramètre adh(D) par les coordonnées polaires (θ, r).

L’ensemble des fonctions f sur adh(D) telles que supx∈LS1‖∂θf(x)‖ < 1 est un ouvert de

Mor(T ,R). Par contre, dans tout ouvert O de Mor(Σ,R), il existe une suite de fonctions

(fn)n ∈ (Mor(T ,R) ∩O)N telle que supn≥0, x∈LS1‖∂θfn(x)‖ = ∞.

2.1.3 Des structures géométriques sur certains espaces stratifiés

Dans cette partie, on va rappeler certain travaux définissant des structures géométriques

similaires aux treillis sur les stratifications. Ces structures seront presque toujours plus faibles

que les treillis de laminations, car elles interviennent dans un contexte topologique.

La mise en place d’une structure géométrique sur les stratifications remonte aux travaux de

H. Whitney sur l’étude des variétés analytiques singulières [31] :

58


Conjecture 1 (H. Whitney 1965). Toute variété analytique singulière V de Cn supporte une

stratification analytique telle qu’au voisinage de chaque point p d’une strate X, il existe un voi-

sinage U de p dans V , un espace métrique T et un homéomorphisme :

φ : (X ∩ U)× T → U

tels que, pour tout t ∈ T , la restriction φ|X∩U×t soit biholomorphe sur son image, la différen-

tielle de ces restrictions soit continue sur (X ∩ U) × T et la lamination engendrée par φ−1 (de

même dimension que X) soit cohérente avec toutes les strates.

Plus tard, R. Thom et J. N. Mather considèrent des espaces stratifiés différentiables (A,Σ),

ayant des conditions de régularités intrinsèques supplémentaires, qui dans certain cas permettent

de prouver que leur stratification est localement triviale, c’est à dire, que pour chaque point x ∈ Aappartenant à la strate X ∈ Σ, il existe un voisinage U de x dans A, un voisinage V de x dans

X, un espace stratifié différentiable (A′,Σ′) et un homéomorphisme h : V ×A′ → U tels que les

strates de Σ|U sont les images par h des strates de (V ×A′, X|V × Σ′).

En 1993, D. Trotman adapte la conjecture de H. Whitney aux espaces stratifiés différen-

tiables8. Pour énoncer sa conjecture, on rappelle qu’un plongement p d’un espace stratifié diffé-

rentiable (A,Σ) dans Rn est b-régulier si :

pour tout (X,Y ) ∈ Σ2 avec Y < X, pour toutes suites (xi)i ∈ XN et (yi)i ∈ Y N qui convergent

vers y ∈ Y , si TxiX tend vers τ et que le vecteur unitaire dans la direction de −−→xiyi ∈ Rn tend

vers λ, alors λ est inclus dans τ .

Il est bien connu et facile à démontrer que la b-régularité implique la a-régularité. La conjec-

ture s’énonce ainsi :

Conjecture 2 (D. Trotman 1993). Soit un espace stratifié (A,Σ) de variétés réelles (connexes)

b-régulièrement plongées par p dans Rn ; alors pour tout X ∈ Σ, x ∈ X, il existe un voisinage U

de x dans A et un voisinage tubulaire (L,L) de X|U dans l’espace stratifié (U,Σ|U ) tel que p|Lsoit un plongement de (L,L).

Dans sa thèse C. Murolo [19] s’appuie sur cette conjecture pour définir un "Système de

contrôle feuilleté, totalement compatible et a-régulier" qui est la donnée de voisinages tubulaires

(LX ,LX)X∈Σ deux à deux compatibles, sur un espace stratifié différentiable.

Par ailleurs, pour tout difféomorphisme axiome A, vérifiant la condition de transversalité

forte et agissant sur une surface M , W. De Melo [6] construit une véritable structure de treillis

8Il s’agit bien d’une adaptation car H. Whitney démontre que toute variété analytique singulière supporte une

stratification analytique b-régulière [32].

59


sur la stratification de laminations (M, (W s(Λi))i), où (Λi) est la décomposition spectrale de

l’ensemble non-errant et W s(Λi) est munie de sa structure de lamination canonique (cf 1.2.2)9. Ce travail lui permettra de démontrer la stabilité structurelle des axiomes A en dimension 2

ayant la condition de transversalité forte. De façon locale, cette idée sera reprise par C. Robinson

[22] pour achever la démonstration de la conjecture de J. Palis et S. Smale [27] : tout axiome A

satisfaisant la condition de transversalité forte est structurellement stable 10.

On verra que les stratifications a-régulières n’admettent pas toujours localement une struc-

ture de treillis, ni même une trivialisation locale. Mais au-delà des contraintes locales, il existe

aussi des contraintes topologiques globales empêchant une stratification d’admettre une structure

de treillis de laminations.

Par exemple, on considère la stratification du fibré tangent de la sphère S2, formée de deux

strates, l’une étant la section nulle et l’autre étant son complémentaire (de dimension quatre).

Cette stratification satisfait les deux conjectures ci-dessus, et la restriction de cette stratification

à de petits ouverts admet une structure de treillis de laminations. Cependant cette stratification

n’admet pas une structure de treillis de laminations. On peut le démontrer en raisonnant par

l’absurde. En effet, l’existence d’une telle structure donnerait un feuilletage topologique sur un

ouvert de TS2 dont la section nulle serait une feuille. On identifie la section nulle avec S2. Comme

la sphère S2 est simplement connexe, l’holonomie le long des feuilles est triviale. On choisit un

petit vecteur de TS2 non nul ; on le transporte par l’holonomie et on définit un champ de vecteurs

continu et sans singularité sur l’espace tangent de la sphère. Or il est bien connu, par le théorème

de la boule chevelue, qu’il n’existe pas de tel champ de vecteurs.

9Dans le cas d’un axiome A ayant la décomposition spectrale (Λi)i, il définit sur la stratification (W s(Λi))i

une structure qu’il nomme "system of unstable tubular families". Cette structure est un système de voisinages

tubulaires deux à deux compatibles. La condition de feuilletage de laminations n’est donc pas requise, bien que pour

son cas particulier, il la démontre. Il ne s’intéresse en effet qu’à des propriétés topologiques et non différentiables.

Le travail exposé ici peut servir de base pour donner plus de régularité à l’homéomorphisme conjuguant : être un

endomorphisme stratifié.10Cette structure porte le nom "Compatible families of unstable disks". Même si l’algorithme construit de façon

locale une structure de treillis, pour les mêmes raisons que W. De Melo, C. Robinson demande seulement d’avoir

localement un "system of unstable tubular families".

60

2.2. Persistance des stratifications de laminations normalement dilatées

2.2 Persistance des stratifications de laminations normalement

dilatées

2.2.1 Persistance des stratifications de laminations normalement dilatées defaçon contrôlée

Les hypothèses du théorème de stabilité nécessitent de généraliser la définition des pseudo-

orbites :

Soient (L,L) une lamination, V un ouvert de L, f ∈ C0(V,L), ainsi que η une fonction

continue et strictement positive sur V . La famille (pn)n ∈ V N est une η-pseudo-orbite de V qui

respecte L si (pn+1, f(pn)) sont dans une même plaque de L de diamètre inférieur à η(pn+1).

On peut maintenant énoncer le résultat principal de ce travail :

Théorème 2.1. Soient (M, g) une variété riemannienne et (A,Σ) un espace stratifié supportant

une structure de treillis T . Soient f ∈ C1(M,M), i ∈ Im(T ,M) et f∗ ∈ End(T ) tels que :

i. le diagramme suivant commute :

f

M → M

↑ i ↑ iA → A

f∗

ii. f dilate normalement l’espace stratifié immergé (A,Σ),

iii. il existe une famille de voisinages V adaptée à f∗ et une fonction continue η ∈ C0(VX ,R∗+),

pour chaque strate X ∈ Σ, telles que toute η-pseudo-orbite de VX qui respecte LX est conte-

nue dans X.

Soit A′ ⊂ A un ouvert relativement compact tel que f∗(adh(A′)) ⊂ A′. Il existe alors un voisinage

Vf de f dans C1(M,M), une famille de voisinages V ′ adaptée à f|A′ et une application continue :

Vf → EndV′

f∗|A′(T|A′)× Im(T|A′ ,M)

f ′ 7→ (f ′∗, i(f ′))

avec i(f) = i et telle que (f ′, i(f ′), f ′∗) vérifie les propriétés (i), (ii) et (iii) ci-dessus pour l’espace

stratifié (A′,Σ|A′) supportant la structure de treillis de laminations T|A′ .En particulier, f ′ préserve la stratification de laminations Σ|A′ , immergée par i(f ′) et la

dynamique induite sur l’espace des feuilles de chaque strate est la même que celle de f .

Sous les hypothèses du théorème 2.1, on dira par abus de langage, que f dilate normalement

la stratification de laminations Σ de façon contrôlée.

61


En pratique, on se servira du théorème 2.1 complémenté par le corollaire suivant

Corollaire 2.2. Si, sous les hypothèses du théorème 2.1, f∗ est expansif par plaques sur chacune

des strates X ′ ∈ Σ|A′ et que la restriction de i à A′ est un plongement, alors quitte à restreindre

Vf , pour f ′ ∈ Vf , l’immersion i(f ′) est aussi un plongement et f ′∗ est expansif par plaques sur

chacune des strates X ′ ∈ Σ|A′ . Ainsi f ′ préserve l’espace stratifié (A′,Σ|A′) plongé a-régulièrement

par i(f ′).

Questions :

– Le contre-exemple dans 2.2.2 montre que l’existence, au moins locale, d’une structure de

treillis est importante pour assurer la persistance d’une stratification de laminations nor-

malement dilatée. Cependant, on peut se demander s’il est nécessaire qu’une telle structure

contrôle f∗ (ou même i), pour assurer la persistance de cette stratification immergée. En

effet, dans la preuve du théorème 2.1, cette hypothèse n’intervient que dans le lemme 5.3.4.

Enlever cette hypothèse simplifierait beaucoup l’utilisation de ce théorème.

Dans le cas où i est un plongement, l’hypothèse (iii) est-elle toujours vérifiée ? Sous les

hypothèses du théorèmes 2.1, cette hypothèse est-elle nécessaire ?

Cette première question peut être une première étape dans la recherche d’un éventuel

contre-exemple d’un endomorphisme dilatant normalement une lamination compacte plon-

gée sans être expansif par plaques.

– Étant donnée une stratification de laminations plongée a-régulière et normalement dilatée

par f , l’existence d’une structure de treillis (au moins locale) est-elle reliée par des condi-

tions dynamiques supplémentaires ?

Par exemple, dans le cas d’un axiome A vérifiant la condition de transversalité forte, on a

localement l’existence d’une structure de treillis, pour l’espace stratifié (M, (W s(Λi))i (voir

2.1.3).

2.2.2 Un exemple de stratification normalement dilatée non topologiquementpersistante

On se propose maintenant de donner un exemple d’une stratification différentiable a-régulière,

normalement dilatée par un difféomorphisme f , telle que la stratification ne soit pas topologi-

quement persistante. Cela signifie qu’il existe f ′ C1-proche de f , qui ne préserve pas l’image

des strates par tout plongement C0-proche de l’inclusion canonique de notre espace stratifié.

On remarquera que cet espace stratifié ne peut pas supporter une structure de treillis (même

localement).

62

2.2. Persistance des stratifications de laminations normalement dilatées

R X

Y

Fig. 2.5 – Stratification normalement dilatée et non persistante

Soit un cercle plongé dans R3 et normalement hyperbolique pour un difféomorphisme f de

R3. On suppose que la direction stable est de dimension 1. Par [11], l’union des variétés fortement

stables de ce cercle est une variété immergée C1 de dimension 2 que l’on note W s. On suppose

que le point 0 ∈ R3 est fixé par f et que la restriction de f à ]− 1, 1[3 s’écrit :

f|]−1,1[3 : ]− 1, 1[3→ R3

(x, y, z) 7→ (x+ x3, 2y, 2z)

Le point 0 ∈ R3 est donc topologiquement répulsif pour f . On suppose que W s privé du

cercle est contenu dans le bassin de répulsion de 0. Ainsi W s est une variété plongée dans R3.

On suppose que la restriction de f au cercle possède un point fixe répulsif et que la variété

stable de ce point intersecte ]−1, 1[3 en ]−1, 1[×02 \0. Ainsi, l’union de 0 et de cette variété

stable de ce point est un cercle X différentiablement plongé dans R3. Soit alors Y := W s \X.

On suppose aussi que l’intersection deW s avec ([−1/2−1/8,−1/2]∪[1/2, 1/2+1/8])×]−1, 1[2

est une union de graphes de fonctions de [−1/2− 1/8,−1/2] ∪ [1/2, 1/2 + 1/8] dans ]− 1, 1[2.

Ainsi, la partition A := (X,Y ) de X ∪ Y forme une stratification a-régulière de R3 normale-

ment dilatée par f . On dessine figure 2.5 l’allure de la stratification.

Si cet espace stratifié (restreint à un voisinage de 0) admettait une structure de treillis, alors

un petit voisinage de 0 dans A serait homéomorphe au produit d’un voisinage de 0 dans X par

un voisinage de 0 dans l’intersection de A avec un plan transverse à X. Ce dernier produit peut

être un segment, qui n’est pas homéomorphe à un voisinage de 0 dans A, car un segment ne

contient pas de surface.

63


On suppose par l’absurde que la stratification (X,Y ) est topologiquement persistante pour

des perturbations de f . Cela signifie que pour une petite perturbation f ′ de f , il existe un plon-

gement p de A dans R3, proche de l’inclusion canonique, tel que h(X) et h(Y ) soient stables par

f ′.

On construit maintenant une famille de perturbations de f contredisant cette hypothèse de

stabilité. Soit ρ une fonction de classe C∞ à support dans ]−1, 1[ et dont la restriction à ]− 12 ,

12 [

est égale à 1. Pour t ≥ 0, soit ft l’application de R3 égale à f sur le complémentaire de ]− 1, 1[3

et dont la restriction à ]− 1, 1[3 est égale à :

ft|]−1,1[3 : ]− 1, 1[3→ R3

(x, y, z) 7→ f(x, y, z) + (−t · ρ(x) · x, 0, 0)

On remarque que f0 est égale à f . Pour t assez petit, soit (X(t), Y (t)) la stratification stable

pour ft donnée par l’hypothèse de persistance topologique de (X,Y ).

Pour r ∈]0, 12 [ assez petit, Y intersecte les seules faces −r×] − r, r[2 et r×] − r, r[2 de

[−r, r]3. Il en est de même pour Y (t), avec t assez petit.

Pour t plus petit que r2 < 14 , l’intervalle ]−

√t,√t[ est stable par l’application :

φt : x 7→ x+ x3 − t · ρ(x) · x

On remarque que ft|]−1,1[3(x, y, z) = (φt(x), 2y, 2z).

Par ailleurs, le compact X ∪ Y est localement connexe et l’adhérence de Y contient X. Ces

propriétés étant conservées par homéomorphisme, il en est de même pour X(t) et Y (t).

On va montrer que la strate X(t) est égale à X pour t assez petit. Remarquons que les

difféomorphismes (ft)t préserve X, et le dilatent normalement et uniformément. Il existe donc

un voisinage V de X tel que, pour t assez petit, l’intersection ∩n≥0f−nt (V ) est égale à X. Or,

pour un t assez petit, la strate X(t) est incluse dans V . Par stabilité de cette strate :

X(t) ⊂ ∩n≥0f−nt (U) = X

La strate X(t) étant fermée, c’est un fermé de X. Comme c’est une variété de même dimension

que X, c’est un ouvert de X. Donc par connexité, les deux strates sont identiques.

On fixe maintenant t > 0 assez petit pour que tout ce qui a été énoncé soit réalisé. Il

existe donc un lacet γ inclus dans ] −√t,√t[×[−1, 1]2 ∩ Y (t) contenant 0 ∈ X = X(t) dans

son adhérence. On va montrer qu’un itéré de γ par ft intersecte d’autres faces de [−r, r]3 que

−r×]−r, r[2 et r×]−r, r[2. Comme Y (t) est stable par ft, cela impliquera que Y (t) intersecte

d’autres faces de [−r, r]3 que −r×]− r, r[2 et r×]− r, r[2, ce qui est une absurdité.

Comme γ privé de 0 est inclus dans le bassin de répulsion X, il existe un premier en-

tier naturel n, tel que fnt (γ) intersecte le complémentaire de ] − r, r[3. Comme φt stabilise

64

2.3. Applications du théorème de persistance 2.1

] −√t,√t[ et que r < 1

2 , il vient que fnt (γ) est inclus dans ] −

√t,√t[×] − 1, 1[2 et inter-

secte ] −√t,√t[×(] − 1, 1[2\] − r, r[2). Comme le point 0 est fixé par ft, il appartient donc à

l’adhérence de fnt (γ). Par connexité, il existe donc un point de fn

t (γ) ayant sa deuxième ou

troisième coordonnée égale à −r ou r. Comme√t est plus petit que r, le chemin fn

t (γ) intersecte

donc le bord de [−r, r]3 en d’autre face que −r×]− r, r[2 et r×]− r, r[2.

2.3 Applications du théorème de persistance 2.1

2.3.1 Prolongement de la continuation hyperbolique d’un compact répulsifinvariant

La structure de treillis permet d’étendre l’homéomorphisme donné par le théorème de conti-

nuité hyperbolique montré par M. Shub durant sa thèse [25].

Corollaire 2.3. Soient M une variété riemannienne compacte, f ∈ C1(M,M) et K un compact

de M vérifiant :

f−1(K) = K

On suppose que f dilate K, c’est-à-dire que pour x ∈ K, Txf est inversible et d’inverse

contractante.

Alors, il existe Vf un voisinage de f , VK un voisinage de K et une application continue

Vf → Homeo(M,M)

f ′ 7→ i(f ′)

telle que i(f) = id et, pour f ′ ∈ Vf , la restriction i(f ′)|Kc appartient à Diff1(M \ K,M \i(f ′)(K)). Enfin le diagramme suivant commute au voisinage de K :

f ′

M −→ M

i(f ′) ↑ ↑ i(f ′)

VK −→ M

f

Ce corollaire est en quelque sorte l’équivalent (régulier) pour les endomorphismes du théorème

([Rob], Thm. 4.1) suivant :

Théorème 2.4 (Robinson 1975’). Soit f : M →M un difféomorphisme de classe C1 et K ⊂M

un compact hyperbolique ayant une structure de produit local. Alors il existe un voisinage VK de

65


K et un voisinage Vf de f dans Diff1(M) tels que si f ′ ∈ Vf , alors il existe un homéomorphisme

sur son image h : VK → M , vérifiant h f = f ′ h. De plus, quand f ′ est proche de f dans

Diff1(M), h est proche de l’inclusion canonique dans C0(V,M).

Pour démontrer ce corollaire, on va se servir du lemme suivant que l’on réutilisera par la

suite.

Lemme 2.3.1. Soient M une variété riemannienne de dimension n et f ∈ C1(M,M). Soit A

un compact de M étant l’union d’un compact K et d’un ouvert X disjoint de K, et tels que :

K ⊂ adh(X), f(K) ⊂ K, f(X) ⊂ X

On suppose que f est dilatante sur K.

On munit K de la structure de lamination de dimension 0 et X de la structure de lamination

de même dimension que M .

Alors (A, (K,X)) forme une stratification de laminations normalement dilatée par f et de

façon contrôlée ; f est aussi expansive par plaques sur chaque strate.


Comme f−1|A (K) = K et que f est dilatante sur K, il existe un voisinage ouvert LK de K dans A, qui vé-

rifie ∩n≥0f−1|A (LK) = K. Alors LK muni de la structure LK de lamination de dimension 0 et X munie de sa

structure de variété LX forment une structure de treillis sur l’espace stratifié (A, (K,X)), qui contrôle f . Soit

VK := f−1|A (LK) ∩ LK . Comme une pseudo-orbite de LK|VK

qui respecte LK est une orbite dans VK et que

∩n≥0f−1(VK) = K, l’hypothèse (iii) du théorème est vérifiée. De plus, une application dilatante sur un compact

est nécessairement expansive sur celui-ci, donc f est expansive par plaques sur chaque strate.

Preuve du corollaire 2.3

Soient (Mi)i les composantes connexes de M .

Commençons par montrer que le compact K se décompose en une union de composantes connexes (Mi)ki=1

de M et de parties (Xi)Ni=k+1 d’intérieur vide incluses dans respectivement (Mi)

Ni=k+1.

Supposons le contraire par l’absurde. Soit ∂K la frontière de K. Comme f−1(K) = K et que f est ouverte

sur un voisinage de K, on a f−1(∂K) = ∂K. On munit M d’une métrique adaptée à la dilation de K. Pour ε > 0

assez petit, si l’on note B(∂K, ε) le ε-voisinage de ∂K, l’adhérence de f−1(B(∂K, ε)) est incluse dans B(∂K, ε). On

pose U := K \ f−1(B(∂K, ε)) qui, pour ε > 0 assez petit, est non vide par l’hypothèse absurde. De plus, l’image

de U par f est incluse dans l’intérieur de U . On pose Un = fn(U). La suite de compacts (Un)n est décroissante

donc converge, pour la distance de Hausdorff, vers U∞ := ∩n≥0Un. Comme la restriction de f à K est ouverte,

pour tout n ≥ 0, le compact Un+1 est inclus dans l’intérieur Un. Pour tout n ≥ 0, soit εn > 0 le rayon maximal

d’une boule centrée sur la frontière de U∞ qui est incluse dans Un. D’après la convergence de (Un)n, la suite (εn)n

tend vers 0, mais par dilatation de f , pour εn assez petit, le réel εn+1 est strictement supérieur εn. Ceci est bien

absurde.

Ainsi (M,Σ := Xi,Mi \Xi, i = k, . . . , N ∪ Xi, i = 1, . . . , k) est une stratification de laminations norma-

lement dilatée. D’après le lemme 2.3.1, la dilatation normale est contrôlée et f est expansive par plaques sur les

strates de (M, (K,X)). Les hypothèses du corollaire 2.2 étant donc vérifiées avec A′ = M , on obtient l’application

d’un voisinage Vf de f dans C1(M,M) :

f ′ ∈ Vf 7→(f ′∗, i(f ′)

)66


Puisque f ′∗ appartient à la même classe d’équivalence que f au sein des morphismes de treillis de laminations, f

et f ′∗ sont égaux sur un voisinage V ′K de K. Par la conclusion (i) du théorème, on obtient la commutativité du

diagramme.

2.3.2 Produit de stratifications de laminations

Proposition 2.5. Soient M et M ′ deux variétés. Soient S = (A,Σ) et S′ = (A′,Σ′) deux espaces

stratifiés plongés par respectivement i et i′ dans M et M ′. Soient f et f ′ deux applications C1 de

respectivement M et M ′ dans elles-mêmes. On note (f, f ′) la dynamique produit sur M×M ′. On

suppose que f et f ′ dilatent normalement et de façon contrôlée les stratifications de laminations

S et S′.

Si (f, f ′) dilate normalement la stratification produit S×S′ := (A×A′, (X×X ′)(X,X′)∈Σ×Σ′),

plongée par (i, i′), alors (f, f ′) dilate normalement et de façon contrôlée cette stratification pro-

duit.

Si les applications f et f ′ sont expansives par plaques sur chaque strate de respectivement Σ et

Σ′, alors (f, f ′) est aussi expansive par plaques sur chaque strate. Ainsi, quand ces stratifications

de laminations sont compactes, la stratification a-régulière produit S × S′ est persistante.

remarque Étant données deux stratifications laminations normalement dilatées, en général, la

dynamique produit ne dilate pas normalement la stratification de laminations produit.

Démonstration.

Soient Σ × Σ′ la stratification produit sur A × A′ définie en 2.1.1 et Tprod la structure

de treillis définie en 2.1.2. Montrons qu’elle contrôle (f, f ′). On note respectivement f∗ et

f ′∗ les endomorphismes i−1 f i et i′−1 f ′ i′ qui sont T et T ′ contrôlés. Pour chaque

(X,X ′) ∈ Σ × Σ′, il existe VX et VX′ des voisinages ouverts de respectivement X et X ′

dans LX et LX′ vérifiant f∗|VX∈ Mor(LX|VX

,LX) et f ′∗|VX′∈ Mor(LX′|VX′ ,LX′). Soit alors

VX×X′ := (VX × VX′)∩LX×X′ ∩ (f∗, f ′∗)−1(LX×X′) qui est un voisinage ouvert de X ×X ′. Cet

ouvert vérifie aussi (f∗, f ′∗)|VX×X′ ∈Mor(LX×X′|VX×X′ ,LX×X′). Donc l’endomorphisme stratifié

(f∗, f ′∗) est Tprod-contrôlé.

On vérifie maintenant l’hypothèse (iii) du théorème 2.1 pour η > 0. Soit X ×X ′ ∈ Σ × Σ′.

Soit (xn)n une η-pseudo-orbite de VX×X′ . En projetant canoniquement celle-ci sur A et A′, on

obtient deux η-pseudo-orbites de respectivement VX et de VX′ qui respectent LX et LX′ . Ces

deux projections appartiennent donc respectivement à X et X ′. Donc la pseudo-orbite (xn)n

appartient à X ×X ′. Ainsi l’hypothèse (iii) du théorème 2.1 est bien vérifiée.

L’expansivité par plaques se montre de la même manière.

67


2.3.3 Exemples de stratifications de laminations persistantes en dynamiqueproduit.

2.3.3.1 Application de Viana

Soit V : C× R → C× R

(z, h) 7→ (z2, h2 + c)

L’application V1 : z 7→ z2 est dilatante sur S1 et stabilise l’intérieur du disque unité D. On

munit S1 et D d’une structure de lamination de dimension 0 et 2 respectivement. Soit S1 l’espace

stratifié (adh(D), (S1,D)).

On fixe c ∈] − 2, 1/4[. Ainsi l’application V2 : h 7→ h2 + c préserve un intervalle ouvert I

et dilate son bord ∂I. On munit ∂I d’une structure de lamination de dimension 0 et I d’une

structure de lamination de dimension 1. Soit S2 l’espace stratifié (adh(I), (∂I, I)).

Par le lemme 2.3.1, V1 et V2 dilate normalement et de façon contrôlée les espaces stratifiés

S1 et S2 respectivement et sont expansives par plaques sur chaque strate.

On remarque que l’espace stratifié produit S1 × S2 est (adh(D × I), (S1 × ∂I, S1 × I,D ×∂I,D× I)) et ses strates sont des laminations de dimension 0,1, 2 et 3 respectivement.

Comme, V dilate normalement la stratification produit S1×S2 (voir [4] pour avoir les estimés

prouvant la dilatation normale de la stratification produit), on peut appliquer la proposition 2.5

puis le corollaire 2.2, qui implique que la stratification produit est persistante en tant que stra-

tification de laminations a-régulière, pour des perturbations C1 de V . Une vue d’artiste d’une

perturbation de cette stratification de la laminations est représentée figure 2.2.

2.3.3.2 Produit de polynômes quadratiques hyperboliques

Soit f : Rn → Rn

(xi)i 7→ (x2i + ci)i

On choisit (ci)i ∈ [−2, 1/4]n, tel que pour tout i, fi : x 7→ x2 + ci possède une orbite

périodique attractive, son ensemble de Julia est alors un compact Ki répulsif. D’après Graczyk-

Światek [10] et M. Lyubich [14], c’est le cas pour un ouvert dense de paramètre (ci)i ∈ [−2, 1/4]n.

L’application x 7→ x2 + ci dilate normalement la stratification de laminations Σi formée de la

lamination de dimension 0 supportée par Ki et la variété Xi de dimension 1 supportée par R\Ki

privée de ses composantes connexes non bornées.

Par le lemme 2.3.1, f est un produit d’applications dilatant normalement et de façon contrô-

lée la stratification Σi, étant expansive par plaques sur chaque strate.

68


On remarque que la stratification∏

Σi est formée des strates (YJ)J⊂1,...,n, avec YJ la lami-

nation de dimension #J , de support : :∏j∈J

Xj ×∏j∈Jc

Kj ,


j∈J Cj ×∏

j∈Jckj, avec Cj une

composante connexe bornée de Xj et kj un élément de Kj .

Comme f dilate normalement la stratification produit∏

Σi, en appliquant n − 1 fois la

proposition 2.5, puis le corollaire 2.2, on montre que la stratification produit est persistante en

tant que stratification de laminations a-régulière, pour des perturbations C1 de f .

La figure 2.6 est une expérimentation numérique d’une perturbation de f , pour n = 2 et

c1 = c2 = −1. Les courbes s’enroulent autour de chaque croisement à une vitesse exponentielle,

ce qui rend cette enroulement imperceptible.

Fig. 2.6 – Expérimentation numérique de l’exemple 2.3.3.2

En dimension deux, c’est en réalité J.-C. Yoccoz qui a remarqué la stabilité de cette famille

continue de courbes de classe C1, s’enroulant au point de croisement. Cet exemple motive la

théorie ici présentée.

2.3.3.3 Produit de fractions rationnelles hyperboliques

Soit f : Cn → Cn

(zi)i 7→ (Ri(zi))i

69


où pour chaque i, Ri est une fraction rationnelle hyperbolique : cela signifie que son ensemble

de Julia Ki est un compact répulsif, et que son complémentaire est une union finie de bassin

d’attraction d’orbites périodiques. L’application Ri dilate normalement la stratification de lami-

nations Σi formée de la lamination de dimension 0 supportée par Ki et de la variété Xi := C\Ki.

On remarque que la stratification∏

Σi est formée des strates (YJ)J⊂1,...,n, avec YJ la lami-

nation de dimension 2#J , de support :∏j∈J

Xj ×∏j∈Jc

Kj ,


j∈J Cj ×∏

j∈Jckj, avec Cj une com-

posante connexe de Xj et kj un élément de Kj .

Pour les mêmes raisons que l’exemple précédent,∏

i Σi est persistante en tant que stratifica-

tion de laminations a-régulière, pour des perturbations C1 de f .

70

3

Persistance de sous-variétés

Sommaire3.1 Variétés à bord normalement dilatées . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.1.1 Persistance des sous-variétés à bord normalement dilatées en tant questratification a-régulière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.1.2 Preuve du théorème 3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.2 Variétés à coins normalement dilatées . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

3.2.1 Rappels sur les variétés à coins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

3.2.2 Théorème de persistance des variétés à coins normalement dilatées entant que stratifications a-régulières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.2.3 Preuve du théorème 3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3.1 Variétés à bord normalement dilatées

3.1.1 Persistance des sous-variétés à bord normalement dilatées en tant questratification a-régulière

Théorème 3.1. Soient M une variété C∞, f ∈ C1(M,M) ainsi que N une sous-variété C1 de

M connexe, compacte et à bord. On note ∂N et N , le bord et l’intérieur de N respectivement.

On suppose que f préserve et dilate normalement l’intérieur de N et son bord. Alors f dilate

normalement la stratification (∂N, N) de façon contrôlée. Cette stratification a-régulière est donc

persistante.

Autrement dit, pour toute application f ′ C1-proche de f , il existe deux sous-variétés ∂N ′ et

N ′ telles que :

– N ′ (resp. ∂N ′) est préservée par f ′ et difféomorphe à N (resp. ∂N), par un plongement de

classe C1 proche de l’inclusion canonique,

71

Chapitre 3. Persistance de sous-variétés

– le couple (N ′ := N ′ ∪ ∂N ′, (N ′, ∂N ′)) est espace stratifié a-régulier et N ′ est l’image de N

par un plongement C0-proche de l’inclusion canonique de N dans M .

Remarque En général N ′ n’est pas une sous-variété C1 à bord car il n’y a pas de direction

transverse à ∂N tangente à N ′. La variété N ′ peut s’enrouler sur ∂N ′ et former une stratification

qui n’est pas toujours b-régulière.

Exemple d’une sous-variété à bord normalement dilatée, mais non persistante en

tant que sous-variété C1 Soient M le plan R2, N le segment [−1, 1]× 0 et

f := (x, y) 7→ (x3/2 + x/2, 2y)

qui est un difféomorphisme du plan. La variété à bord N est bien normalement dilatée et la

différentielle de f sur chacune des extrémités est 2 · id.On perturbe maintenant f au voisinage d’une des extrémités A de N de façon à ce que, sur

une boule B centrée en A, la perturbation f ′ soit égale à la composition d’une petite rotation R

centrée en A avec l’homothétie H centrée en A et de rapport 2. Le théorème 3.1 assure l’existence

d’une stratification (N ′, (∂N ′, N ′)) proche de N et stabilisée par cette perturbation f ′.

Cette perturbation étant homotope à f , par une homotopie restant dans un petit voisinage

de f dans C1(M,M) et conservant le point fixe répulsif A, par continuité, A est donc une com-

posante connexe de ∂N ′. On peut trouver x ∈ N ′ ∩ B telle que TxN′ soit différent de la droite

joignant A à xn, sinon, au voisinage de A, N ′ est une demi-droite, ce qui est absurde car la com-

posée d’une petite rotation avec une homotopie ne stabilise aucune droite. On fixe un tel x et on

regarde la préorbite (xn)n≤0 de RH partant de x. L’application RH étant linéaire et conforme,

l’angle entre TxnN et→Axn est constant et non nul. Ainsi la stratification (N ′, (∂N ′, N ′)) n’est

pas b-régulière, et n’est donc pas une variété à bord.

3.1.2 Preuve du théorème 3.1

On va donc chercher une structure de lamination L∂N de codimension un, sur un petit

voisinage L∂N de ∂N dans N , cohérente avec ∂N , telle que ((L∂N ,L∂N ),LN := N) forme une

structure de treillis de laminations qui contrôle f et vérifie l’hypothèse (iii) du théorème 2.1.

Pour cela, il suffit de trouver une fonction réelle et continue r sur un voisinage L∂N de ∂N dans

N vérifiant les propriétés suivantes :

1. la préimage de 0 par r est égale au bord de N ,

2. r est une submersion de classe C1 sur N ∩ L∂N ,

72

3.1. Variétés à bord normalement dilatées

3. f préserve les hypersurfaces de niveau de r au voisinage de ∂N ,

4. l’hypersurface de niveau λ de r tend vers ∂N pour la topologie C1 quand λ tend vers 0.

D’après 1, 2 et 4, la structure de lamination L∂N sur L∂N dont les feuilles sont les composantes

connexes des fibres de r, est un voisinage tubulaire de ∂N et ((L∂N ,L∂N ), N) forme une struc-

ture de treillis sur (∂N, N). D’après 3, cette structure de treillis contrôle f . Comme L∂N est une

fibration, l’hypothèse iii) du théorème 2.1 est bien vérifiée. Comme f dilate normalement le bord

et l’intérieur de N , la stratification (∂N, N) est normalement dilatée de façon contrôlée par f .

Pour construire la fonction r, on commence par mettre une structure de variété à bord C∞

sur N , compatible avec sa structure C1 initiale (voir [12]). On choisit alors une métrique rieman-

nienne C∞ g sur N adaptée à la dilatation normale de ∂N dans N . On note exp l’application

exponentielle associée à g. On note n(x) ∈ Tx∂N⊥ l’unique vecteur unitaire, orthogonal à l’es-

pace tangent du bord de N et qui pointe vers l’intérieur de N . L’application x 7→ n(x) est de

classe C1.

Par compacité de ∂N , il existe r0 > 0 et V un voisinage de ∂N , tels que

Exp : ∂N × [0, r0[→ V

(x, t) 7→ expx (t · n(x))

est un difféomorphisme et la préimage f−1(V ) est incluse dans V . Soient p1 et p2 les projections

sur la première et la deuxième coordonnée de N × [0, r[. On note alors ρ la fonction sur V égale

à p2 Exp−1. C’est une submersion de V . Soit π la projection de V sur ∂N égale à p1 Exp−1.

Soient t > ε > 0 tels que f−1(ρ−1([0, t])) est un compact inclus dans ρ−1([0, t − ε[). Soit L∂N

l’ouvert ρ−1([0, t[). Soit φ ∈ C∞(R), décroissante, valant 1 sur ]−∞, t− ε] et 0 sur [t,+∞[. Par

la suite, on s’autorisera à réduire t et donc d’adapter ε, φ et L∂N . Soient alors C := supN ‖Tf‖et r′ la fonction de classe C1 sur L∂N définie par :

r′ := (1− φ ρ) · ρ+ φ ρ · ρ fC

⇒ ∇r′ = (1− φ ρ) · ∇ρ+ φ ρ · ∇(ρ fC

)+(ρ fC

− ρ

)∇(φ ρ) (3.1)

Montrons que r′ est une submersion. On a g(∇ρ,∇(φ ρ)) ≤ 0 et comme C > ‖Tf‖, la

fonction (ρf/C−ρ) est négative. On remarque aussi que ∇ρ(x) tend vers nπ(x) uniformément

quand la distance entre le bord de N et x diminue. De plus g(∇ρ,∇(ρ f)) est égal au produit

scalaire de ∇ρ avec l’image par l’adjoint de Tf de ∇ρ. Donc par symétrie de g, g(∇ρ,∇(ρ f))

est égal à g(∇ρ, Tf ∇ρ). Par conséquent, pour t assez petit, g(∇ρ,∇(ρ f)) est proche de

g(n π, Tf n π) qui est strictement positif, par dilatation normale du bord de N . Ainsi, il

existe m > 0 tel que, pour t assez petit et tout x ∈ L∂N , on a :

g(∇r′,∇ρ) > m (3.2)

73


En particulier, r′ est une submersion.

On remarque aussi que r′ = ρ sur un voisinage de ρ−1(t) et r′ = ρ f/C sur un voisinage

de f−1(ρ−1(t)). On peut donc définir la fonction r suivante :

r : L∂N −→ R

x 7→

0 si x ∈ ∂N

r′fn

Cn si x ∈ f−n(L∂N ) \ f−n−1(L∂N ), n ≥ 0

Une telle fonction r vérifie donc les propriétés 1 et 3. Il ne reste donc plus qu’à démontrer les

propriétés 2 et 4 pour t assez petit. De plus, on remarque que r|L∂N\∂N est de classe C1.

Pour démontrer 4, on va prouver que les lignes de niveau de r′ sont C1 proches du bord

de N pour t assez petit. Comme le bord de N est normalement dilaté, par le lemme 1.5.1, les

préimages de ces lignes de niveau par fn sont de plus en plus proches de ∂N quand n tend vers

l’infini. Or l’ensemble des préimages des lignes de niveau de r′ par fn, pour n appartenant à un

voisinage de l’infini, contient les lignes de niveau de r dans un voisinage de ∂N . Cela démontrera

donc la propriété 4. Écrivons maintenant ceci plus en détail.

On se sert donc du lemme 1.5.1. Pour son utilisation, la variété ambiante est une variété sans

bord de même dimension que N et qui contient N (une telle extension existe par le lemme du

collier). La dynamique sur cette variété est une extension de f|N . Et la lamination normalement

dilatée est la sous-variété compacte ∂N . L’ouvert relativement compact L′ sera choisi égal à

∂N . Aussi, le L-fibré (F,F) est égal à ∂N × R. On étend notre immersion Exp en morphisme

de ∂N × R que l’on continue à noter du même nom. Soit enfin la connexion sur ΓF qui à une

section associe sa différentielle, vue comme une fonction sur ∂N .

Ce lemme 1.5.1 nous garantit donc l’existence d’un voisinage Vσ de la section nulle de ΓF et

d’une application continue :

Vσ→C1(∂N, ∂N)× Vσ

σ 7→ (f∗σ , S(σ))

telle que pour σ ∈ Vσ le diagramme suivant commute :

f|N

N −→ N

Exp S(σ) ↑ ↑ Exp σ∂N −→ ∂N

f∗σ

Ces applications vérifient aussi : S(0F ) = 0F et f∗0F= f|∂N . De plus, le diamètre de Sn(Vσ)

tend vers 0 quand n tend vers l’infini. Enfin, l’image de Exp S(σ) est l’intersection d’un voisi-

nage de ∂N avec la préimage par f de l’image de Exp σ. On va montrer que chaque ligne de

74

3.1. Variétés à bord normalement dilatées

niveau de r′ est l’image d’une application Exp σ, pour un certain σ ∈ Vσ, si t a été choisi assez

petit. Ainsi une ligne de niveau de r|f−k(L∂N ) sera l’image de Expσ, pour σ ∈ Sk(Vσ) ; une telle

ligne de niveau deviendra C1-proche de ∂N quand k tendra vers l’infini. Ce qui est l’assertion 4.

On a remarqué que g(∇ρ,∇r′) > 0, en (3.2). Comme ∇ρ ≈ n pour t assez petit, par le

théorème des fonctions implicites, les lignes de niveau de r′ sont les images par Exp de sections

de ΓF . Bien sûr, la norme C0 de ces sections tend vers 0 avec t.

On va montrer que c’est aussi le cas de la norme C1. Pour cela, il est plus commode d’iden-

tifier le voisinage V à ∂N × [0, r0[ et un voisinage de ∂N , via l’application Exp. Dans cette,

identification la section σµ associée à la ligne de niveau µ de r′ est une fonction sur ∂N , qui

vérifie :

r′(x, σµ(x)) = µ, ∀x ∈ ∂N

⇒ (∂T∂Nr′)(x, σµ(x)) + (∂Rr

′)(x, σµ(x)) · Tσµ(x) = 0, ∀x ∈ ∂N (3.3)

Or, dans cette identification, d’après (3.2), on a :

∂Rr′ = g(∇r′,∇ρ) ≥ m > 0

Par ailleurs, la forme linéaire ∂T∂Nr′ s’identifie à Tr′ T∂NExp. On a d’après (3.1),

Tr′ T∂NExp =φ ρC

· T (ρ f Exp) (3.4)

La forme linéaire ∂T∂Nr′ est donc de norme inférieure à celle de ∂T∂N (ρ f Exp). Comme f

préserve le bord de N , la norme de ∂T∂N (ρf Exp) est arbitrairement petite quand t tend vers

0. Il en est donc de même pour ∂T∂Nr′ et Tσµ.

Il ne reste plus qu’à prouver la propriété 2. Par dilatation normale, il existe au voisinage

de ∂N un champ de cônes stable par Tf et centré en ∇ρ. Donc, il existe m′ > 0 (indépendant

de t assez petit) tel que l’on a :

g(∇ρ(fk(x)), T fk(∇ρ(x)))||Tfk(∇ρ(x))‖

> m′, ∀k ≥ 0, ∀x ∈ f−k(L∂N ) (3.5)

De plus, les lignes de niveau de r′ sont C1 proches de ∂N , pour t assez petit. Donc, ∇r′

‖∇r′‖ est

uniformément proche de ∇ρ‖∇ρ‖ quand t est petit. Ainsi, on a :

Cn · Tr(∇ρ(x)) = g(∇r′, T fk(∇ρ)) > 0, ∀x ∈ f−k(L∂N ) \ f−k−1(L∂N ) (3.6)

Cela prouve que r est une submersion sur L∂N privée du bord de N , c’est-à-dire la propriété 2.

Cela finit la preuve de ce théorème.

75


3.2 Variétés à coins normalement dilatées

3.2.1 Rappels sur les variétés à coins

Une application d’un ouvert de Rn+ dans Rn′ est de classe C1 (resp. C∞) si on peut l’étendre

en une application de classe C1 (resp. C∞) d’un ouvert de Rn dans Rn′ . La différentielle en un

point d’une telle application sera la différentielle de l’une de ses extensions en ce point (qui ne

dépend pas de l’extension). Une application d’un ouvert de Rn+ dans Rn′

+ est de classe C1 (resp.

C∞) si sa composition avec l’inclusion canonique de Rn′+ dans Rn′ est de classe C1 (resp. C∞).

Un C∞-difféomorphisme d’un ouvert de Rn+ sur un ouvert de Rn

+ est une application qui peut

s’étendre en un C∞-difféomorphisme d’un ouvert de Rn sur un ouvert de Rn.

On rappelle qu’une variété à coins N de dimension d est une variété C∞ modelée sur Rd+.

Cela signifie que les changements de cartes sont des C∞-difféomorphismes d’ouverts de Rd+.

L’indice d’un point x de N est le nombre de coordonnées nulles de l’image de x par une

carte d’un ouvert contenant cet élément. On note par bkN l’ensemble des points de N d’indice

supérieur ou égal à k. On note par ∂0kN l’ensemble des points d’indice k ; la structure de variété

à coins de N induit sur ∂0kN une structure de variété (sans coins).

Soient x ∈ N et E l’ensemble des couples (u, φ), où φ est une carte de N d’un voisinage de x

et u un vecteur de Rn. On définit sur E une relation d’équivalence : deux couples (u, φ) et (v, ψ)

sont équivalents si la différentielle de ψ φ−1 au point φ(x) envoie u sur v. L’espace quotient est

appelé l’espace tangent en x à N . On le note TxN . Par transport des structures, on obtient sur

TxN une structure d’espace vectoriel réel de dimension n.

Une application continue h, d’une variété à coins N dans une autre N ′, est de classe C1 (resp.

C∞), si vue à travers des cartes φ et φ′ de respectivement N et N ′, l’application φ′ h φ−1

est de classe C1 (resp. C∞) sur son ensemble de définition. Dans ce cas, pour x ∈ N , on vérifie

que l’application h induit une application linéaire, dite différentielle de h en x et notée Txh,

qui à un vecteur v ∈ TxN envoie la classe d’équivalence de (Tφ(x)(φ′ h φ−1)(u), φ′), où (u, φ)

est un représentant de v et φ′ une carte d’un voisinage de h(x). L’application h est une im-

mersion (resp. submersion) si sa différentielle est injective (resp. surjective) en tout point. Un

C∞-difféomorphisme de variétés à coins est une application C∞ qui possède un inverse de classe

C∞. Un C∞-difféomorphisme local (de variétés à coins) est une application dont la restriction à

un voisinage de tout point est un C∞-difféomorphisme sur son image. Un plongement de classe

C1 (resp. C∞) est un homéomorphisme sur son image, qui est aussi une immersion de classe C1

(resp. C∞).

Soit N une variété à coins plongée par i dans une variété (sans coins). On remarque alors

que la stratification (N, (∂0kN)k) plongée par i est a-régulière.

76

3.2. Variétés à coins normalement dilatées

On rappelle qu’une métrique riemannienne sur une variété à coins est un produit scalaire sur

chaque espace tangent dépendant différentiablement du point base.

On va maintenant définir une variété à coins ∂1N telle que ∂1N \ b1∂1N s’identifie à ∂01N .

Les points de ∂1N sont les couples (x,E) où x appartient à b1N et E est une valeur d’adhérence

de (Txn∂01N)n dans l’espace des plans de codimension 1 de TN , pour (xn)n ∈ (∂01N)N qui tend

vers x.

Cet ensemble ∂1N est muni de la structure de variété à coins engendrée par les cartes sui-

vantes : pour (x,E) ∈ ∂1N , on choisit une carte φ d’un voisinage distingué V de x ∈ N .

Le sous-espace vectoriel E est donc de la forme Txφ−1(Rk−1 × 0 × Rd−k), si x appartient à

φ−1(Rk−1+ × 0 × Rd−k

+ ). On considère la restriction correspondante

(x,E) 7→ φ(x)

De telles applications engendrent une structure de variété à coins sur ∂1N .

La variété à coins ∂1N s’envoie continûment dans N , via l’application p qui à (x,E) associe

sa première coordonnée. On remarque que x ∈ ∂0jN à exactement j-préimages par p.

On appelle face de N une composante connexe de ∂1N .

Propriété 3.2.1. Il existe un C∞-difféomorphisme local φ de la variété à coins ∂1N×R+ sur un

voisinage V de b1N dans N , telle que φ(·, 0) est égal à p. L’application φ sera appelée voisinage

tubulaire de ∂1N .

Preuve

La preuve découle de la thèse de J. Cerf [5]. Pour toute variété à coins N , ce dernier construit un C∞-

plongement de N dans une variété (sans coins) de même dimension. Il construit aussi une métrique riemannienne

sur N telle que la variété ∂0kN est géodésique, pour tout k ≥ 0. La construction de l’application p est alors

classique.

3.2.2 Théorème de persistance des variétés à coins normalement dilatées entant que stratifications a-régulières

Théorème 3.2. Soient (M, g) une variété riemannienne, N une variété à coins compacte et

(N,Σ) l’espace stratifié (N, (∂0kN)k). Soient f ∈ C1(M,M) et i un plongement de classe C1 de

N dans M .

On suppose que f préserve et dilate normalement l’espace stratifié (N,Σ) plongé par i. Au-

trement dit, pour chaque k, f préserve l’image par i de la variété ∂0kN et la dilate normalement.

Alors, cette stratification a-régulière est persistante. Cela signifie que, pour toute application

f ′ C1-proche de f , il existe i′ un plongement stratifié a-régulier de (N,Σ) dans M , tel que i′ est

77


C0-proche de i, i′ restreinte à chaque strate ∂0kN de Σ est C1-proche de i|∂0kN et f ′ préserve

i′(∂0kN).

De plus, f ′ dilate normalement la stratification Σ plongée par i′ de façon contrôlée.

Remarques

– Comme pour les variétés à bord, en général, i′(N) n’est pas une sous-variété à coins de M .

– Le théorème implique en particulier que l’espace stratifié (A,Σ) est plongé par la perturba-

tion i′ de façon contrôlée pour une certaine structure de treillis de laminations. De plus, la

structure de treillis construite dans la preuve induit canoniquement un système de données

de contrôle sur N vérifiant la condition de c-régularité de K. Bekka [2] et contrôlant le plon-

gement i′. Autrement dit, la stratification (N,Σ) est persistante en tant que stratification

c-régulière.

Questions

– Réciproquement, on peut se demander si toute stratification c-régulière, préservée et nor-

malement dilatée par la dynamique est persistante en tant que stratification c-régulière.

Pour ce résultat, il manque essentiellement la preuve de la conjecture 2 de Trotman pour les

stratifications c-régulières. Cependant C. Murolo, A. du Plessis et D. Trotman ont annoncé

avoir résolu cette conjecture pour le cas c-régulier.

– Les orbifolds généralisent les structures de variétés à coins et possèdent aussi des stratifi-

cations canoniques. Considérons un orbifold plongé dans une variété, dont la stratification

canonique est normalement dilatée par une application de classe C1 : cette stratification

est-elle persistante ?

3.2.3 Preuve du théorème 3.2

Ce théorème se démontre en construisant une structure de treillis de laminations sur (N,Σ)

contrôlant f . L’expansivité par plaques de f sur chaque strate étant immédiate, on peut alors

appliquer le corollaire 2.2 et la propriété 2.1.5, qui impliqueront la persistance de cette stratifi-

cation a-régulière.

La preuve de ce théorème est plus délicate que celle concernant les variétés à bord, car la

dilatation normale de ∂01N ne peut pas être unifome si N n’est pas une variété à bord. La

méthode est cependant similaire. Dans la partie I), on va montrer qu’il suffit de construire une

fonction sur ∂1N ×R+ vérifiant des propriétés semblables à celles déjà rencontrées dans le cadre

des variétés à bord. Dans la partie II), on construira cette fonction. On procède comme pour

les variétés à bord, mais par défaut de dilatation normale uniforme, on est obligé de changer la

géométrie du domaine fondamental.

78


On commence par introduire quelques notations. Soit d la dimension de N . On identifiera N

avec son image par i. Ainsi, on notera par f ∈ C1(N,N) l’application i−1 f i. On munit aussi

N de la métrique riemannienne induite par celle de (M, g).

On fixe p un voisinage tubulaire de ∂1N . On rappelle que p envoie ∂1N × 0 dans b1N . On

munit ∂1N × R+ de la métrique riemannienne induite par celle de N , via p.

Il existe V ′ et V deux voisinages de ∂1N × 0 dans ∂1N × R+ et une unique application f

de classe C1 de V ′ dans V tel que le diagramme suivant commute :

V ′ f−→ V

p ↓ ↓ p

Nf−→ N

On note Ak := ∂0k−1∂1N × 0, pour k ≥ 1.

Propriété 3.2.2. Il existe pour chaque k ≥ 1 un voisinage Uk de Ak dans V , tel que p|Uksoit

un revêtement à k feuillets de Uk := p(Uk) et tel que

– f−1(Uk) ⊂ Uk et f−1(Uk) ⊂ Uk,

avec F kx := p−1

|Uk(x) pour x ∈ Uk,

– ∀x ∈ f−1(Uk), f(F kx ) = F k

f(x),

– ∀k ≤ j, x ∈ Uk ∩ Uj , F kx ⊂ F j

x .

Démonstration.

Pour chaque k ≥ 0, il existe un compact K de ∂0kN tel que

∪n≥0f−n|N (K) = ∂0kN

Comme p|Akest un revêtement à k feuillets de ∂0kN et comme p est un difféomorphisme local, il

existe Vk un voisinage ouvert de p−1|Ak

(K) dans V ′ tel que p|Vk∪f−1(Vk) et p|Vksoient des revêtements

à k feuillets de Vk ∪ f−1|N (Vk) et Vk := p(Vk) respectivement.

On pose V ′k := f−1(Vk) \ Vk, V

′k := p(V ′

k) = f−1|N (Vk) \ Vk et Uk := ∪n≥0f

−n(Vk).

D’après l’expression de Uk, la préimage f−1(Uk) est incluse dans Uk.

On va montrer que f−1(Uk) est inclus dans Uk. Par dilatation normale, pour Vk assez petit

et x ∈ f−1(Uk), les valeurs d’adhérence de l’ensemble des hyperplans tangents à ∂01N en tout

point proche de x sont envoyées par Tf bijectivement sur les valeurs d’adhérence de l’ensemble

des hyperplans tangents à ∂01N d’un point proche de f(x). Or un point y ∈ F kf(x) est associé à

79


une de ces valeurs d’adhérence, qui possède donc une préimage par Tf . Cela entraine que y a

une préimage par f . Ainsi x appartient à p(f−1(Uk)) qui est inclus dans p(Uk) = Uk.

Cela entraine aussi que, pour x ∈ f−1|N (Uk), la fibre F k

x est incluse dans f−1(Uk) et que f|F kx

est une bijection de F kx sur F k

f(x).

On suppose que :

Uk ⊂ ∪n≥0f−n(V ′

k) ∪ Vk et p(f−n(V ′k)) ⊂ f−n(V ′

k) (3.7)

Comme les ensembles (f−n(V ′k))n sont disjoints, il vient alors que F k

x est de cardinalité k, pour

x ∈ Vk ∪V ′k. Soit x ∈ Uk \Vk. Par (3.7), il existe n ≥ 0 tel que F k

x appartient à f−n|N (Vk). Comme

fn|F k

xest une bijection de F k

x sur F kfn(x). La cardinalité de F k

fn(x) étant k, la cardinalité de F kx est

donc égale à k. Cela implique que p|Ukest un revêtement à k-feuillets de Uk.

On va maintenant montrer (3.7). Soient x ∈ Uk \ Vk et y ∈ F kx , comme Uk est égal à

Vk ∪⋃

n≥0 f−n(V ′

k), il existe alors un unique n ≥ 0 tel que y appartient à f−n(V ′k). Donc fn(y)

appartient à V ′k et, par commutativité du diagramme, fn(x) appartient à V ′

k. Cela implique que

x appartient à f−n(V ′k).

Pour j ≥ k et x ∈ ∂0kN qui tend vers y ∈ ∂0jN , F kx tend à être inclus dans F j

y . Quitte à

restreindre Vk et Vj , on peut donc supposer que, pour x ∈ Uk ∩ Uj , la fibre F kx est incluse dans

F jx .

I. Une condition suffisante pour obtenir la persistance de notre stratification

Pour construire une structure de treillis de laminations, il suffira de trouver une fonction r

continue, positive, bornée, définie sur un voisinage ouvert Dr de ∂1N × 0 dans V ′ et vérifiant

les propriétés suivantes :

P1. il existe C > 1 tel que :r f = C · r sur Dr ∩ f−1(Dr)

r−1(0) = ∂1N × 0,

P2. la restriction de r à Dr \ (∂1N × 0) est de classe C1,

P3. pour k ≥ 0, il existe un voisinage ouvert Lk de ∂0kN dans Uk \bk+1N tel que, pour x ∈ Lk,

la fibre F kx est incluse dans Dr et l’application

rk : x ∈ Lk 7→ (r(y))y∈F kx

est localement11 une submersion stratifiée : pour l ≤ k et x ∈ ∂0lN , la différentielle en x

de rk le long de ∂0lN de rang maximal k− l ; on note Txrk cette différentielle. On demande11Restreinte à un ouvert trivialisant U , du revêtement F k → Lk, l’application rk est à valeurs dans un espace

qui s’identifie à Rk+. Pour cette structure, on demande que rk|U soit une submersion stratifiée.

80


que cette submersion stratifiée vérifie la condition (af ) de régularité de R. Thom : pour

k ≥ l′ ≥ l et (xn)n ∈ (∂0lN ∩Lk)N qui tend vers x ∈ ∂0l′N ∩Lk, l’espace tangent du noyau

de Txnrk tend vers celui de Txrk dans la grassmanienne des (d− k)-plans de TM .

On va montrer maintenant que l’existence d’une telle fonction est suffisante pour construire

une structure de treillis de laminations qui contrôle f .

On va commencer par construire un voisinage tubulaire (Lk,Lk) de la strate ∂0kN . L’idée est

d’extraire de la submersion stratifiée rk une structure de lamination Lk sur Lk dont les feuilles

sont les composantes connexes des fibres de cette submersion.

Cette construction serait une simple conséquence du premier théorème d’isotopie de R. Thom,

si cette submersion était propre.

Pour chaque l ≤ k, chaque élément x ∈ ∂0lN possède exactement l préimages par p dans

∂1N ×0. Donc par P1, rk envoie Lk ∩ ∂0lN dans les k−uplets ayant l coordonnées nulles. Par

(P3), la restriction de rk à de petits ouverts de la variété ∂0l(Lk ∩ N) est une submersion de

classe C1 dans Rk−l. Ces fibres forment donc un feuilletage Llk sur ∂0lN ∩Lk de dimension d−k

et de classe C1.

Il s’agit maintenant de montrer que les feuilles des feuilletages (Llk)l≤k sont les feuilles d’une

lamination Lk sur Lk. Par (P3), les espaces tangents à ces différents feuilletages forment une

famille continue sur Lk. Cependant cela n’est pas suffisant pour garantir l’existence d’une telle

structure de lamination.

On se propose donc d’exhiber une structure de lamination Lk, dont les feuilletages (Llk)l≤k

sont des restrictions. Soient x ∈ Lk et l ≤ k, tels que x appartient à ∂0lN . Soit Dx un petit

disque, de dimension k et contenant x, transverse à tout ces feuilletages. Le disque Dx intersecte

une petite plaque Llkx de Ll

k, contenant x et simplement connexe, en un unique point. On va

montrer que Dx est localement l’espace transverse à Lk.

Quitte à restreindre Dx, par continuité de l’espace tangent de l’union de ces feuilletages, un

disque D′ proche de Dx reste bien transverse à ces feuilletages et intersecte Llkx en un unique

point. On étend Dx sur un voisinage de x en un feuilletage (D,D) de classe C1, dont les feuilles

sont des disques assez proches de Dx pour être transverses aux feuilletages (Ll′k )l′≤k et intersecter

Llkx en un unique point. On note Dx′ la feuille de (D,D) contenant x′ ∈ D.

Étant donnés un point x′ d’un voisinage V de x dans D et un chemin γ ⊂ Llkx partant de

l’intersection u de Dx′ avec Llkx et arrivant en x, on peut suivre l’intersection du disque Dγ(t) avec

la feuille de x′ dans un certain feuilletage Ll′k ; à condition que cette intersection "ne s’interrompe

pas trop tôt". Une telle interruption ne peut se produire qu’à la frontière de D ∩ ∂0l′N ∩ Lk.

Ainsi, trois accidents peuvent se produire : l’interruption est due soit à la frontière de Lk, soit à

la frontière de D ou soit à la frontière de ∂0l′N .

81


Le premier accident peut être évité en considérant Dx et D inclus dans Lk. Le deuxième

accident peut être évité en considérant V et Llkx assez petit pour que l’intersection soit toujours

incluse dans D. On va maintenant montrer par l’absurde que le troisième accident est impossible.

Soit t > 0 maximal tel que, pour x′ et γ[0,t[, l’intersection soit bien définie. Le chemin β partant

de x′, déduit de γ par holonomie, est inclus dans Lk ∩ ∂0l′N et a son adhérence qui intersecte

Lk ∩ ∂0l′′N , avec l′′ 6= l′. Cela implique que l′ < l′′ ≤ k. Ceci contredit le fait que l’application

s 7→ rk β(s) soit constante sur [0, t[. Cela contre-dit le fait que l’application r est localement

constante sur les feuilles de ces différents feuilletages.

Comme Llkx est simplement connexe, cette intersection dépend de x′ mais pas du chemin

γ. Soit φ l’application qui à x′ ∈ V associe l’intersection u de Dx′ avec Llkx et l’intersection t

de Dx avec la plaque de Ll′k contenant x′ considérée ci-dessus. On montre sans peine que cette

application définit un homéomorphisme sur son image, qui est ouverte, et que cette application

est différentiable le long des feuilletages (Llk)l≤k, de différentielle inversible et dépendant conti-

nûment de x′ ∈ V .

De telles applications p (restreintes à la préimage du produit d’un petit voisinage de x dans

Llkx par un petit voisinage de x dans Dx ∩N) engendrent ainsi une structure de lamination Lk

sur Lk, dont les feuilles sont les fibres de rk.

Pour montrer que T := (Lk)k est une structure de treillis de laminations sur (A,Σ), où Lk

est le voisinage tubulaire de ∂0kN , il suffit de vérifier la condition de feuilletage. Cela revient

à montrer, pour k > l, que Lk|Lk∩Llest un feuilletage de Ll|Lk∩Ll

. On rappelle que les feuilles

de Lk et Ll sont les composantes connexes des fibres de rk et rl respectivement. Par (P1), pour

j ≤ l et x ∈ Lk ∩ Ll ∩ ∂0jN , les points rk(x) et rl(x) ont chacun j coordonnées nulles. Donc

(r(y))y∈(F kx \F l

x) n’a aucune coordonnée nulle. Ainsi, par (P1) et (P2), l’application suivante est

localement une submersion de variété à coins de classe C1 :

x ∈ Lk ∩ Ll 7→ (r(y))y∈(F kx \F l

x)

On fixe un petit voisinage distingué U de x pour la structure de variété à coins N . On identifie U

à un ouvert de Rd+ via une carte de N . Dans cette identification, cette submersion locale restreinte

à U ∩ Lk ∩ Ll peut s’étendre sur un ouvert de Rd et ainsi définir un feuilletage Fde classe C1.

Par (P3), ces feuilles sont transverses à l’identification de la lamination (Ll∩Lk ∩U,Ll|Lk∩Ll∩U ).

D’après la propriété 2.1.2, Lk|Lk∩Ll∩U est donc bien un feuilletage de Ll|Lk∩Ll∩U , car Lk|Lk∩Ll∩U

est égal à F t Ll|Lk∩Ll∩U , pour tout ouvert distingué U de N .

Pour k ≥ 0, soit Vk := Lk ∩ f−1(Lk). Par (P1), f est un endomorphisme T -contrôlé et (Vk)k

est une famille de voisinages adaptée à f .

On remarque finalement que, par (P1), la condition (iii) du théorème 2.1 est bien vérifiée.

82


II. Réalisation de la condition suffisante

On commence par rajouter quelques notations à celles déjà établies avant I). Pour k ≥ 1,

soient Ak := (∂0k−1∂1N)× 0 et Bk := adh(Ak). Chaque point y ∈ V possède un voisinage Uy

tel que p|Uysoit un difféomorphisme sur son image. On note py := p−1

|Uyl’application de p(Uy)

dans Uy.

i Construction de R

Pour x appartenant à Υn := ∩nk=0f

−k(V ′), on définit :

rn(x) :=n∑

k=0

p2 fk(x)

où p2 est la projection de ∂1N × R+ sur R+.

Pour x ∈ Υn+1, on a

rn(f(x))− rn(x) = p2 fn+1(x)− p2(x)

Par dilatation normale et compacité de N , il existe M ≥ 0 et T > 0 tels que, avec R := rM et

Υ := R−1([0, T [) que l’on suppose inclus dans ΥM+1, on a :

i.0. R−1(0) = B1.

i.1. ∃C > λ > 1 ; ∀x ∈ Υ, on a C ·R(x) ≥ R f(x) ≥ λ ·R(x).

i.2. Pour tout k ≥ 0, quitte à restreindre Uk et Uk, l’ouvert Υ contient Uk et l’application

x ∈ Uk 7→ (R(y))y∈F kx

est localement une submersion C1 de variétés à coins dans Rk+

ii Définition itérative de r

Pour construire r, on va choisir un fermé U de Υ, disjoint de B1, tel que l’intérieur de f−1(U)

contient U et tel que l’union ∪n≥0f−n(U) soit égale à Υ \ B1. On va aussi choisir une fonction

Ψ de classe C1 sur Υ égale à 1 sur U et à 0 sur Υ \ f−1(U). On pose D := f−1(U) \ U et on

définit :

R1 := Ψ ·R+ (1−Ψ) · R fC

83


ainsi que :

r : Υ −→ R+

y 7−→

0 si y ∈ B1

R1fn(y)Cn si y ∈ f−n(D), n ≥ 0

R1(y) si y ∈ U

Les propriétés (P1) et (P2) sont alors faciles à vérifier.

Pour montrer (P3), on commence par calculer le noyau de la différentielle de rk en x ∈ Uk. Pour

cela, on calcule la différentielle de r en y ∈ Υ \B1. On a :

dyr =

dR1 Tyf

n si y ∈ f−n(D)

dyR1 si y ∈ O

On note ny := 0 si y appartient à B1 ∪ U et ny := n si y appartient à f−n(D).

On a ainsi, pour x ∈ Uk :

kerTxrk = ker(dx(R1 fny py))y∈F kx

(3.8)

Mais, pour k > 1 et x appartenant à un petit voisinage de ∂0kN , les entiers (ny)y∈F kx

n’ont

aucune raison d’être égaux. Et, comme la dilatation normale de ∂01N n’est pas uniforme, les

espaces (ker(dx(R1 fny py)))y∈F kx

ne sont pas assurément proches des espaces (ker(dyR))y∈F kx.

De plus, les ny premiers itérés de y ∈ F kx ne restent pas forcément ni dans Uk ni dans un voisinage

de Ak où sa dilatation normale agit.

Pour palier à ce problème, l’idée intuitive est de regrouper par paquet les éléments de la fibre

F kx , en procédant par récurrence croissante sur k.

Par dilatation normale, pour chaque k, tout plan de codimension k de TN , assez proche d’un

plan tangent à ∂0kN , a toutes ses préorbites par Tf , basées dans un certain voisinage Lk de

∂0kN , qui tendent à être tangentes à ∂0kN . Appelons, de façon informelle, le bassin de répulsion

de T∂0kN l’union de tels plans de codimension k de TN . On va maintenant esquisser la preuve

de P3), par récurrence croissante :

Pour k = 1, les difficultés précédemment énoncées n’existent pas : pour D assez proche de

∂01N , on choisit L1 pour que le point y de la fibre F 1x de tout élément x ∈ L1 arrive à D en

étant resté dans p−1

|U1(L1) et kerTfny (x)r1 appartient au bassin de répulsion de T∂01N .

Pour k > 1 et x ∈ Lk, si les entiers (ny)y∈F kx

sont tous égaux à un certain entier n, on

s’arrange pour que, quelque soit y ∈ F kx , chaque point y de la fibre F k

x arrive à D en étant resté

dans p−1

|Uk(Lk) et pour que ker(Tfn(x)rk) appartient au bassin de répulsion de T∂0kN .

Si les entiers (ny)y∈F kx

ne sont pas égaux, le minimum n de cette famille n’est pas atteint

pour exactement l > 0 éléments de F kx . On va alors s’arranger pour que :

– les points f i(x)ni=0 appartiennent à Uk ∩ Lk,

84


– le point fn(x) appartienne à Ul et, par récurrence sur k, le noyau de Tfn(x)rl intersecte le

noyau de (TR1 Tpy)y∈F kfn(x)

\F lfn(x)

en un plan de codimension k qui appartient au bassin

de répulsion de T∂0kN .

La géométrie de D est donc dictée par la dilatation normale des strates (∂0kN)k et par la

géométrie des voisinages (Uk)k.

Comme la dilatation normale de ces strates n’est uniforme que pour k =: d maximal, c’est

par récurrence décroissante sur k que l’on va construire D.

iii Géométrie du domaine fondamental

On va définir dans cette partie et la suivante une famille de petits réels strictement positifs

(tk)dk=1 par récurrence décroissante : le réel tk sera considéré assez petit en fonction de (tj)j>k.

On dira que la famille (tk)dk=1 est récursivement assez petite.

Pour k ∈ 1, . . . , d et t > 0, on note :

W tk :=

x ∈ Uk;∑

y∈F kx

R(y) < t

.

On pose :

U := Υ \ p−1

|Uk(W tk

k )

Par (i.1) et la propriété 3.2.2, pour t < T , on a f−1(W tk) ⊂ W

t/λk . On suppose donc chaque tk

inférieur à T , ainsi l’union ∪n≥0f−n(U) est égale à Υ \B1. On suppose aussi (tk)k récursivement

assez petite, pour que Ck := adh(Wk \ ∪l>kf−1(Wl)) soit un compact propre inclus dans Uk et

f−1(∪j≥kp−1

|Uj(Cj)) est inclus dans l’intérieur de ∪j≥kp

−1

|Uj(Cj), pour k ∈ 1, . . . , d.

On démontrera à la fin la propriété, non triviale, suivante :

Propriété 3.2.3. Il existe une fonction Ψ de classe C1 sur Υ, valant 1 sur U et 0 sur Υ\ f−1(U)

tel que, pour (tk)dk=1 récursivement assez petite, le noyau Ek(x) := ker(dR1 Txpy)y∈F k

xsoit

uniformément proche de celui de x 7→ (dR Txpy)y∈F kx, pour x ∈ Ck.

Il s’agit maintenant de fixer (tk)k, par une récurrence décroissante, en fonction de la dilatation

normale. Pour convenir à la définition itérative de r, on va matérialiser l’influence de la dilations

normale des strates de (∂0kN)k par des champs de cônes.

iv Champs de cônes

On rappelle qu’un champ de cônes χ sur Ck est un ouvert de la grassmannienne de TN|Cktel

que, avec χ(x) l’intersection de χ avec TxN , pour x ∈ Ck, on a :χ(x) 6= ∅

∀u ∈ χ(x), ∀t ∈ R, tu ∈ χ(x)

85


La distance de χ à Ek est le plus petit ε > 0 tel que, pour x ∈ Ck et u ∈ χ(x) unitaire, il existe

un vecteur unitaire de Ek(x) à une distance inférieure à ε de u.

La dilatation normale et la propriété 3.2.3 implique le

Fait 3.2.4. Pour k ∈ 1, . . . , d, εk > 0 et tk assez petit devant (tj)j>k, il existe un champ de

cônes χk sur Ck tel que :

1. Pour x ∈ Ck, le cône χk(x) contient Ek(x) et (TxN \ χk(x)) ∪ 0 contient un espace

vectoriel de dimension k. De plus, la distance de χk à Ek est inférieure à ε.

2. Le champ de cônes χk est f∗-stable : pour x ∈ Ck ∩ f−1(Ck), le cône Txf−1(χk(f(x))) est

inclus dans χk(x).

Démonstration. On munit M d’une métrique riemannienne adaptée à la dilatation normale de

∂0kN sur le compact ∂0kN ∩ Ck. Un calcul de la matrice de la différentielle de f au voisinage

de Kk dans les coordonnées associées à une carte de la sous-variété ∂0kN de M implique alors

simplement ce fait.

L’esquisse de la preuve dans ii) invite à fixer définitivement (tj)dj=1 et (εj)d

j=1 tels que, pour

j ∈ 1, . . . , d, on a :

(Aj) pour i > j et x ∈ Cj ∩Ci, le cône χj(x) ∩ ker(dR1 Tpy)y∈F ix\F

jx

est inclus dans χi(x).

Pour ce faire, on procède par récurrence décroissante sur j ∈ 1, . . . , d :

L’assertion (Ad) est vide de sens. On fixe alors εd quelconque et td pour que tout ce qui

précède soit vérifié.

Soit k ∈ 1, . . . , d − 1. Supposons (εj)j>k et (tj)j>k fixés pour que tout ce qui précède (et

notamment les assertions (Aj), pour j > k) soit vérifié.

Pour tous i > k et x ∈ Ck ∩Ci, l’espace Ei(x) est inclus dans le cône ouvert χi(x) et la fibre

F kx est incluse dans F i

x. Donc, pour εk assez petit, le cône χk(x), qui est εk-proche de Ek(x),

vérifie :

χk(x) ∩ ker(dR1 Txpy)y∈F ix\F k

x⊂ χi(x)

Par compacité, on peut choisir εk indépendamment de x ∈ Ck ∩ Ci. Ainsi, l’assertion (Aj) est

vérifiée pour un tel εk que l’on fixe maintenant. On fixe aussi tk pour que tout ce qui précède

soit vérifié.

v Vérification de la propriété (P3)

On va montrer par récurrence croissante la propriété suivante :

Propriété 3.2.5. Sur Ck, le noyau de la différentielle de rk est inclus dans χk.

86


Démonstration. Pour commencer, on remarque que :

∅ =: Md+1 ⊂Md := p−1

|Ud(Cd) ⊂ · · ·Mk := ∪j≥kp

−1

|Uj(Cj) ⊂ · · · ⊂M0 =: Υ

est une filtration. Autrement dit, la préimage par f de Mk est incluse dans l’intérieur de Mk,

pour k ∈ 1, . . . , d.Comme p−1

|U1(C1) est égal à adh(p−1

|U1(W1) \ f−1(M2)) toute orbite partant de p−1

|U1(C1) \ A1

arrive en D en étant restée dans C1. Ainsi, le noyau de la différentielle de r1 en x ∈ C1, qui est

égale à celui de fny∗ (dR1 Tpfny (y))y∈F 1(z) par (3.8), est inclus dans χ1(x) par les assertions 1 et

2 du fait 3.2.4.

Soit k ∈ 1, . . . , d − 1. On suppose que, pour j > k, la propriété 3.2.5 est vérifiée. Comme

p−1

|Uk(Ck) est égal à adh(p−1

|Uk(Wk) \ f−1(Mk−1)), toute orbite partant de p−1

|Uk(Ck) \ Ak arrive en

D en franchissant (Mi)i≤k par ordre décroissant.

Soit x ∈ Ck. Si tous les points de F kx arrivent en D en étant restés dans Mk, alors ils sont

aussi tous restés dans p−1

|Uk(Ck). La propriété 3.2.5 s’obtient alors comme dans le cas k = 1, car les

entiers (ny)y∈F kx

sont tous égaux. Sinon, on considère n ≥ 0 minimal tel qu’il existe un élément

de y ∈ F kx dont l’image fn(y) appartient à p−1

|Ul(Cl), pour l < k. On choisit alors l minimal. Par

minimalité de n et comme x n’appartient pas à f−1(∪j>kCj), le point x′ := fn(x) appartient à

Ck. Comme la fibre F kx′ contient F l

x′ , on a :

kerTx′rk = kerTx′rl ∩ kerTx′(r(z))z∈F kx′\F

lx′

Par hypothèse de récurrence, on a :

kerTx′rk ⊂ χl(x′) ∩ kerTx′(r(z))z∈F kx′\F

lx′

On va montrer que les éléments de F kx′ \ F l

x′ appartiennent à D. On a alors d’après (Al) :

kerTx′rk ⊂ χl(x′) ∩ kerTx′(R1(z))z∈F kx′\F

lx′⊂ χk(x′)

Et par f∗-stabilité de χk, on a :

kerTxrk ⊂ (fn∗ χk)(x) ⊂ χk(x)

Ce que l’on souhaitait démontrer.

On suffit donc de montrer que les éléments de F kx′ \ F l

x′ appartiennent à D. Tout d’abord, le

point x′ appartient à Cl. Donc, tous les points de F kx′\F l

x′ n’appartiennent pas à ∪j>lf−1(p−1

|Uj(Wj)) =

∪j>lf−1(p−1

|Uj(Cj)). Par définition, ces éléments n’appartiennent pas n’ont plus à p−1

|Ul(Cl). Enfin

par minimalité de l, l’ensemble F kx′ \ F l

x′ ne peut pas intersecter ∪j<lp−1

|Uj(Cj). Ainsi, l’ensemble

F kx′ \ F l

x′ est inclus dans f−1(U) = ∪j f−1(p−1

|Uj(Cj)). Comme x′ appartient à Ck, les éléments de

F kx′ \ F l

x′ appartiennent bien à D.

87


Cette dernière propriété montre en particulier que ker(Txrk) est un espace de codimension k,

pour tout x ∈ Ck.

On montre maintenant par récurrence sur k que la propriété (P3) est vérifiée. Soit k ∈1, . . . , d. On va commencer par montrer que ker(Trk) est continue sur Ck. Par l’hypothèse de

récurrence, seule la continuité en Kk := Ck ∩ ∂0kN n’est pas évidente. Soit (xn)n ∈ CNk une

suite qui converge vers x ∈ Kk. Soit E une valeurs d’adhérence de (ker(Txnrk))n. Les espaces

E et Ek(x) = Tx∂0kN sont donc εk-proches. Par f∗-stabilité de kerTrk et f -stabilité de K, il

existe une valeurs d’adhérence Em de (ker(Tfm(xn)rk))n, qui est εk-proche de Ek(fm(x)) et telle

que E soit égal à (Txfm)−1(Ek(fm(x))). Donc par dilatation normale et la propriété 1 de 3.2.4,

l’espace E est égal à Ek(x) = Tx∂0kN . Cela prouve la continuité de ker(Trk), par compacité de

la grassmannienne.

On finit maintenant de démontrer la propriété (P3). Pour x ∈ ∂0kN , il existe n ≥ 0 tel que

le point fn(x) appartient à l’intérieur de Kk dans ∂0kN . Par dilatation normale, il existe un

voisinage Vx de x dont l’image par fn est incluse dans Ck et tel que, pour tout x′ ∈ Vx, l’espace

kerTx′rk est de codimension k.

Par régularité de Tfn et régularité de kerTrk|Ck, quitte à réduire Vx, la restriction kerTrk|Vx

est continue.

On pose alors Lk := int(∪x∈∂0kNVx ∪ Ck), qui vérifie donc la propriété (P3).

vi Construction de Ψ

La difficulté de cette propriété réside dans le fait que la famille de réels (tk)k soit récursivement

assez petite et que les compacts (Ck)k s’intersectent.

On rappelle que, dans la partie i), on a défini les réels C > λ > 1. On fixe une fonction φ

croissante de classe C1 sur R, s’annulant sur ] −∞, 1/λ] et égale à 1 sur ]1,∞[. Pour t > 0, on

pose φt := φ(·/t).

Soit Ψ :=∏d

j=1 φj avec φk := z ∈ Υ 7→

φtk(∑

y∈F kp(z)

R(y)) si z ∈ Uk

1 sinon.

Remarquons que Ψ est de classe C1 quand (tk)k est récursivement assez petite : pour k ∈1, . . . , d, il suffit que tk soit assez petit pour que l’adhérence de p−1

|Uk(Wk) intersectée avec la

frontière de Uk soit incluse dans f−1( ∪j>k p−1

|Uj(Wj)), où

∏dj=k+1 φj est nulle.

On remarque enfin que la fonction Ψ est bien nulle sur Υ \ f−1(U) et égale à 1 sur U .

On doit donc montrer que, pour (tj)j récursivement assez petite, le noyau Ek(x) := ker(dR1 Tpy)y∈F k

xest uniformément proche de celui de x 7→ (dRTpy)y∈F k

x, pour x ∈ Ck et k ∈ 1, . . . , d.

Pour toute la suite de cette preuve, les estimations seront uniformes sur Ck ou sur p−1

|Uk(Ck)

et seront effectuées pour (tk)k récursivement assez petite.

88


On commence par calculer la différentielle de R1 :

dR1 = ΨdR+(1−Ψ)C

dR T f +

(R− R f

C

)dΨ

Et, on a pour z ∈ Υ :

dzΨ =∑

i; Ui3z

∏j 6=i

φj

(z) · dzφi =∑

i: Ui3z

∏j 6=i

φj

(z) · φ′

ti︸︷︷︸=:fi(z)

·∑

y∈F ip(z)

d(R py)

On analyse maintenant la différentielle de R1.

– Les fonctions Ψ et (1−Ψ)/C sont à valeurs dans [0, 1].

– Par dilatation normale, la différentielle dRT f

‖dRT f‖est proche de dR

‖dR‖ sur p−1

|Uk(Ck). On a ainsi

l’existence d’une fonction continue a sur Υ, bornée et supérieure à 1, telle que :

ΨdR+(1−Ψ)C

dR T f = a · dR+ o(1), sur p−1

|Uk(Ck).

On note que la fonction a est indépendante de (tj)j .

– La fonction ρ :=(R− Rf

C

)est positive et inférieure à R, d’après (i.1). Donc, pour l ≤ k,

sur p−1

|Ul(Cl), la fonction ρ est à valeurs dans [0, tl].

Malheureusement, la norme uniforme de ρ ·dΨ sur Ck n’est ni négligeable ni dans la direction

de dR, pour k > 1. Cependant, la propriété 3.2.3 veut que l’intersection des noyaux de (dR1 Tpy)y∈F k

xsoit proche de l’intersection des noyaux de (dR Tpy)y∈F k

x, sur Ck.

On remarque que, pour i > l, la norme uniforme de la fonction fi est petite devant 1/tl.

Ainsi, pour x ∈ Cl et z ∈ F lx, on a :

ρ(z) ·∑

i>l: Ui3z

fi(z)∑y∈F i

x

d(R py) = o(1)

Et, pour z ∈ Ui \ p−1

|Ui(Ci), on a :

fi(z) = 0

On conclut que, pour x ∈ Ck et z ∈ F kx , si l ≤ k est minimal tel que z soit dans p−1

|Ul(Cl), on

a :

dzR1 = a(z) · dzR+ ρ(z) · fl(z)∑y∈F l

x

d(R py) + o(1)

Aussi, pour k ∈ 1, . . . , d et x ∈ Ck, si x appartient exactement à (Cij )lj=1, pour (ij)j ∈

1, . . . , kl croissant (et ainsi il = k), on a pour z ∈ F ijx \ F ij−1

x (avec F 0x := ∅) :

dzR1 = a(z) · dzR+ ρ(z) · fij (z)∑

y∈Fijx

d(R py) + o(1)

89


On munit F kx d’un ordre compatible avec l’indexation (ij)j , selon lequel on effectue un produit

extérieur :

∧z∈F k

x

d(R1 pz) =l∧

j=1

∧z∈F

ijx \F

ij−1x

a(z)d(R pz) + ρ(z) · fij (z)∑

y∈Fijx

d(R py) + o(1)

tous les scalaires étant positifs, ce produit est égal à :

l∏j=1

∏z∈F

ijx \F

ij−1x

a(z) +∑

z∈Fijx \F

ij−1x

ρ(z) · fij (z)∏

y∈Fijx \(F

ij−1x ∪z)

a(y)

∧z∈F k

x

(d(R pz) + o(1)

)

Cela implique le noyau de (d(R1 py))y∈F kx, est de codimension k et uniformément proche de

ker(d(R py))y∈F kx

sur Ck, pour une famille (tj)j récursivement assez petite.

90

4

Fibré normalement axiome A

Sommaire4.1 Théorèmes de persistance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4.2 Preuve de la persistance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.2.1 Stratifications de laminations et structures de treillis persistantes . . . . 95

4.2.2 Voisinages tubulaires des feuilles de L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

4.2.3 Hypothèse de récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

4.2.4 Etape j=N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

4.2.5 Etape i+ 1 → i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

4.1 Théorèmes de persistance

Dans le cadre des difféomorphismes hyperboliques, on aimerait unifier deux remarquables

théorèmes de persistance, que l’on commence par exposer.

Rappelons qu’un difféomorphisme axiome A vérifie la condition de transversalité forte (ATF)

si :

– l’ensemble non errant Ω est hyperbolique,

– les points périodiques sont denses dans Ω,

– les variétés stables et instables des points de Ω s’intersectent transversalement.

On rappelle qu’un difféomorphisme f d’une variété est dit C1-structurellement stable si toute

C1-perturbation de f est conjuguée à f via un homéomorphisme.

Les travaux de Smale [27], Palis [20], de Melo [6], Mañe [16], Robbin [21] et Robinson [22]

ont abouti au théorème suivant :

Théorème 4.1. Les difféomorphismes C1-structurellement stables d’une variété compacte sont

exactement les difféomorphismes ATF.

91

Chapitre 4. Fibré normalement axiome A

Soit (L,L) une lamination compacte plongée dans une variété M . On identifie (L,L) à son

image dans M . Soit f un difféomorphisme de M préservant (L,L). On dit que f est normalement

hyperbolique sur (L,L) si le support L est f -invariant (f(L) = L) et s’il existe deux sous-fibrés

Es et Eu de la restriction du fibré tangent de M à L, dit espace fortement stable et fortement

instable, tels que :

– Es et Eu sont Tf−invariants,

– Es ⊕ TL ⊕ Eu = TM|L,

– il existe un réel λ < 1 vérifiant pour x ∈ L, u ∈ TxL \ 0 et v ∈ Eu(x) :

‖Txf|Es‖ ≤ λ ·min(

1,‖Tf|TxL(u)‖

‖u‖

)et λ · ‖Txf(v)‖ ≥ max(1, ‖Tf|TxL‖)‖v‖

Dans ce cadre, le difféomorphisme f est dit expansif par plaques sur L lorsque :

pour tout ε > 0 assez petit, ainsi que pour tout couple de ε-pseudo-orbites (xn)n∈Z et (yn)n∈Z

respectant les plaques de L si, pour tout n ∈ Z, la distance d(xn, yn) est strictement inférieure à

ε, alors x0 et y0 appartiennent à une même plaque de diamètre inférieur à ε.

Théorème 4.2 (Hirsch-Pugh-Shub, 1974’). Si f ∈ Diff1(M) préserve une lamination compacte

plongée (L,L) normalement hyperbolique, sur laquelle f est expansif par plaques, alors cette

lamination est persistante.

Cela signifie que, pour f ′ C1-proche de f , il existe un plongement i′ de L dans M proche de

l’inclusion canonique et f ′∗ ∈ Endf|L(L) proche de f|L tels que le diagramme suivant commute :

f ′

M → M

i′ ↑ ↑ i′

L → L

f ′∗

Ce théorème (et sa version pour les champs de plaques) est sûrement le théorème fondateur

de la dynamique partiellement hyperbolique. Ce dernier champ de recherche a connu un dévelop-

pement spectaculaire ces dernières années. Il a ainsi contribué à la preuve de quelques problèmes

difficiles et intéressants, en dynamique C1-générique.

Mais, comme il existe des difféomorphismes structurellement stables qui ne sont pas Anosov,

les hypothèses du théorème 4.2 ne sont pas nécessaires à la persistance d’une lamination.

Une généralisation semble pourtant n’avoir jamais été étudiée. Dans une telle optique, on in-

troduit les notions suivantes. Soit L une lamination compacte, préservée par un difféomorphisme

f d’une variété M . On note Ω(L) le plus petit compact L-saturé contenant l’ensemble non errant

de f|L. On dira que L est normalement ATF si :

92

4.1. Théorèmes de persistance

– il existe ε > 0 et un voisinage U de Ω(L), tels que toute ε-pseudo-orbite de U respectant

les plaques de L est incluse dans Ω(L),

– la lamination Ω(L) est normalement hyperbolique et expansive par plaques,

– l’ensemble stable d’une feuille de Ω(L) (qui est une sous-variété immergée) intersecte trans-

versalement l’ensemble instable d’une autre feuille de Ω(L).

Conjecture 3. Les laminations compactes normalement ATF sont persistantes.

Exemple Soit f un difféomorphisme axiome A d’une variété compacte M vérifiant la condition

de transversalité forte. Soit N une variété compacte. Soit L la lamination sur M × N dont les

feuilles sont de la forme m × N , pour m appartenant à M . Soit enfin F la dynamique sur

M ×N égale au produit de f et de l’identité de N . Alors la lamination L est normalement ATF.

Cette conjecture impliquerait que cette lamination soit persistante pour des C1-perturbations de

F .

D’une part, comme R. Mañe a montré que les sous-variétés compactes C1-persistantes et uni-

formément localement maximales sont exactement les sous-variétés normalement hyperboliques

[15], il est raisonnable d’espérer que les laminations persistantes et recouvrant l’espace ambiant

sont exactement les laminations normalement ATF (modulo les hypothèses relatives à l’expansi-

vité par plaques).

D’autre part, lors d’une entrevue, C. Bonatti nous a signalé qu’il existe des sous-variétés C1,

qui sont persistantes, mais qui ne sont pas normalement hyperboliques. Par exemple, on considère

un cercle plongé dans le plan et préservé par un difféomorphisme. On suppose que la dynamique

induite par le difféomorphisme est de type nord-sud. Cela signifie que l’ensemble non errant de

cette dynamique est constitué de deux points fixes, le pôle nord et le pôle sud, et que tous les

autres points tendent par itérations positives vers le pôle sud et par itérations négatives vers le

pôle nord. Si, de plus, au pôle nord (resp. sud), la dynamique dilate (resp. contracte) l’espace

normal au cercle plus qu’elle ne dilate (resp. contracte) l’espace tangent au cercle, alors ce cercle

est persistant. Cela signifie que tout difféomorphisme C1-proche préserve un cercle C1-proche.

Cela nous invite à poser la

Question Quelles sont les conditions nécessaires et suffisantes pour qu’une sous-variété C1

(resp. lamination) compacte, préservée par un difféomorphisme de classe C1 soit persistante ?

La persistance signifie qu’étant donné un difféomorphisme C1-proche, il existe un plongement

C1-proche de l’inclusion canonique de la sous-variété (resp. lamination) que cette perturbation

préserve.

93


On peut espérer démontrer la conjecture 3, grâce au théorème 2.1 de persistance des treillis

de laminations. On va montrer le résultat partiel suivant :

Théorème 4.3. Une lamination compacte normalement ATF, dont les feuilles sont les compo-

santes connexes d’un fibré de classe C1 sur une surface, est persistante.

Remarques

– On pense que le théorème 4.3 est vrai pour une variété S compacte de dimension quel-

conque. Pour des raisons techniques la preuve du théorème de stabilité structurelle (en

dimension 2) de W. de Melo était plus simple à généraliser que le cas général rédigé par

Robinson. On espère aussi prouver prochainement le cas ou S est une variété compacte de

dimension quelconque.

– On peut reformuler le théorème 4.3 ainsi :

Soient M une variété riemannienne compacte et S une surface compacte. Soit p : M → S

une submersion de classe C1. Soit L la structure de lamination sur M dont les feuilles sont

les composantes connexes des fibres de p.

Soit fb un difféomorphisme ATF de S. Soit f un difféomorphisme de M tel que :

– le diagramme suivant commute :

f

M → M

p ↓ ↓ p

S → S

fb

– le difféomorphisme f est normalement hyperbolique sur L|p−1(Ωb), avec Ωb l’ensemble non

errant de fb.

Alors, pour toute application f ′ C1-proche de f , il existe un plongement h ∈ Pl(L,M),

proche de l’inclusion canonique ( donc surjectif), tel que le diagramme suivant commute :

f ′

M → M

p h−1 ↓ ↓ p h−1

S → S

fb

4.2 Preuve de la persistance

On reprend les notations de la remarque ci-dessus, pour prouver le théorème 4.3.

94

4.2. Preuve de la persistance

4.2.1 Stratifications de laminations et structures de treillis persistantes

Soit (Λi)i la décomposition spectrale de l’ensemble non errant de fb. On a vu dans la partie

1.2.3 que pour chaque i, W s(Λi) (resp. W u(Λi)) admet une structure de lamination canonique

Xsbi (resp. Xu

bi) et, dans la partie 2.1.3, on a vu que Σsb := (Xs

bi)i (resp. Σub := (Xu

bi)i) forme

une stratification de laminations sur S. Cette stratification admet une structure de treillis T sb

(resp. T ub ) qui contrôle fb (th. 2.2 [6]). De plus, les voisinages tubulaires de T s

b sont compatibles

entre eux et f−1-stables. On note par LXsbi

le voisinage tubulaire de Xsbi et par LXu

bile voisinage

tubulaire de Xubi.

On définit, pour tout i :

– la lamination Xi := L|p−1(Λi),

– les laminations Xsi (resp. Xu

i ) dont les feuilles sont les composantes connexes des préimages

par p des feuilles de Xsbi) (resp. Xu

bi),

– les stratifications de laminations Σs := (Xsi )i et Σu := (Xu

i )i sur M ,

– les voisinages tubulaires Lsi de Xs

i et Lui de Xu

i dont les feuilles sont les composantes

connexes des préimages par p des feuilles de LXsbi

et de LXubi,

– les structures de treillis de laminations T s := (Lsi )i et T u := (Lu

i )i sur (M,Σs) et (M,Σu)

respectivement.

Pour tout i, par hyperbolicité normale de Xi, la lamination Xsi (resp. Xu

i ) est normalement

dilatée par f (resp. f−1). Par hyperbolicité, fb (resp. f−1b ) dilate normalement Σs

b (resp. Σub ) de

façon contrôlée par T sb (resp. T u

b ). Ainsi f (resp. f−1) dilate normalement Σs (resp. Σu) de façon

contrôlée par T s (resp. T u). De plus, d’après la proposition B.2, les endomorphismes f et f−1

sont expansifs par plaques sur les strates de Σs et Σu.

Ainsi, par le corollaire 2.2, il existe une famille de voisinages Vs (resp. Vu) telle que, pour

tout difféomorphisme f ′ C1-proche de f , il existe un plongement hs ∈ Pl(T s,M) (resp. hu ∈Pl(T u,M)) proche de l’inclusion canonique et un endomorphisme f ′s ∈ EndV

s

f (T s) (resp. f ′u ∈EndV

u

f (T u)) proche de f tels que le diagramme suivant commute :

f ′

M → M

hs ↑ ↑ hs

M → M

f ′s

resp.

f ′

M → M

hu ↑ ↑ hu

M → M

f ′u

On note :

– (V si )i := Vs et (V u

i )i := Vu,

– pour tout i, L′si la structure de lamination sur L′si := hs(Lsi ) dont les feuilles sont les images

par hs des feuilles de Lsi , et L′ui la structure de lamination sur L′ui := hs(Lu

i ) dont les feuilles

sont les images par hu des feuilles de Lui .

95


Par compatibilité et f−1-stabilité des voisinages tubulaires de T s, on peut supposer que les

voisinages de la famille Vs sont f−1-stables.

Exceptionnellement dans cette preuve, on note par Lx la feuille de L contenant x ∈ M et,

pour η > 0, on note par L′sηix (resp. L′uηix ) l’union des plaques de L′si (resp. L′ui ) de diamètre

inférieur à η qui contiennent un élément de hs(Lx) (resp. hu(Lx)).

Par compatibilité des voisinages tubulaires, on peut supposer que, pour tout η > 0, il existe

δ > 0, tel que pour f ′ assez proche de f et x ∈ V si , la sous-variété f ′(L′sδix ) est incluse dans L′sηif(x).

4.2.2 Voisinages tubulaires des feuilles de L

Soit n la dimension de M et d la dimension de L.

On note par exp l’application exponentielle associée à la métrique de M .

Soit N0 la section de la grassmanienne des (n− d)-plans de TM définie par

N0(x) = (TxL)⊥, ∀x ∈M

Soit N une section de classe C∞ de la grassmanienne des n − d-plans de TM assez proche de

N0, pour avoir :

∀x ∈M, N(x)⊕ TxL = TxM

On munit F := ∪x∈MN(x) de la structure de fibré vectoriel canonique sur M . Soit alors

ε > 0 petit tel que, pour chaque x ∈M ,

F εx := (x′, u) ∈ F : ‖u‖ ≤ ε , x′ ∈ Lx

soit plongé par exp.

On définit la submersion

Exp : F →M

(x, u) 7→ expx

(u√

1 + ε2‖u‖2

)dont la restriction à Fx := F∞

x est donc un difféomorphisme sur son image ouverte, pour tout

x ∈M . De plus, la restriction de Exp à Fx est un voisinage tubulaire de la sous-variété Lx.

On donne ci-dessous une propriété de paramétrisation :

Propriété 4.2.1. Soit G l’ensemble des sous-variétés de M C1-difféomorphes à toute feuille de

L. On munit G de la topologie C1.

Il existe alors un voisinage ouvert VG de (x,Lx); x ∈ M dans M × G, tel que, pour

(x,G) ∈ VG, les sous-variétés Exp(Fx) et G s’intersectent transversalement en un unique point

I(x,G).

96


De plus, l’application I est continue et sa différentielle suivant sa première variable existe,

est injective et dépend continûment de (y,G) ∈ VG.

Démonstration.

Il s’agit d’une application simple du théorème des fonctions implicites.

4.2.3 Hypothèse de récurrence

Sur la décomposition spectrale de fb, il existe un préordre défini par Λi Λj si W u(Λi)\Λi

intersecte W s(Λj) \ Λj . Par l’hypothèse de transversalité forte, le préordre n’a pas de cycle.

On peut donc le compléter en un ordre total >. Quitte à réindexer la décomposition spectrale,

on peut supposer que Λi > Λj si i > j.

On va démontrer le théorème 4.3 par récurrence décroissante sur i ∈ 1, . . . , N, avec l’hy-

pothèse suivante :

Il existe un voisinage compact Ui de ∪j≥iXj dans (∪j<iXj)c tel que :

– f−1(Ui) ⊂ int(Ui),

– Ui est L-saturé,

de plus, pour η > 0 assez petit et f ′ C1-proche de f , il existe un plongement hi de L|Uidans

M tel que

i) le plongement hi est proche de l’inclusion canonique de Pl(L|Ui,M),

ii) pour x ∈ Ui, le point hi(x) est égal à I(x, f ′ hi(Lf−1(x)),

iii) pour x ∈ V sk ∩ Ui, le point hi(x) appartient à L′sηkx , pour tout k ≥ i.

On remarque que cette hypothèse de récurrence, au rang i = 1, implique le théorème, car U1

est nécessairement égal à M et h := h1 satisfait les conclusions du théorème, par i) et ii).

Pour toute la suite de la preuve, la relation entre η et la C1-distance de f ′ à f est la suivante :

η sera choisi assez petit puis f ′ sera choisi assez proche de f en fonction de η.

4.2.4 Etape j=N

Comme ΛN est un répulseur de fb, il existe un voisinage compact UN de XN dans V sN ∩ V u

N ,

arbitrairement petit, tel que f−1(UN ) soit inclus dans int(UN ) et tel que UN soit L-saturé.

Comme les laminations XuN et Xs

N sont transverses, pour UN assez petit, les laminations LsN et

LuN sont transverses au voisinage de UN .

Ainsi, pour η > 0 assez petit et f ′ assez proche de f , pour tout x ∈ UN , L′uηNx intersecte trans-

versalement L′sηNx en une sous-variété L′x qui varie C1-continûment avec x ∈ UN et f ′ C1-proche

de f .

97


Pour f ′ assez proche de f , on peut donc définir :

hN : UN →M

x 7→ I(x,L′x)

On remarque que l’application hN est une immersion de la lamination L dans M proche de

l’inclusion canonique, pour f ′ proche de f .

Pour montrer l’hypothèse i), il reste à montrer que hN est un homéomorphisme sur son image.

Le voisinage UN étant compact, il suffit de montrer que hN est injectif.

Soit (x, y) ∈ U2N tel que hN (x) soit égal à hN (y). Par définition de hN et injectivité de hs

et hu, il vient que la feuille LsηNx est égale à Lsη

Ny et que LuηNx est égale à Luη

Ny. Comme la feuille

Lx est égale à LsηNx t Luη

Nx et que Ly est égale à LsηNy t Luη

Ny, les feuilles Lx et Ly sont égales.

Comme la restriction de Exp à F|Lxest un difféomorphisme, Exp(Fx) et Exp(Fy) ne peuvent

s’intersecter que si x et y sont égaux. Donc x et égal à y. Cela montre aussi que hN est injectif.

Pour montrer l’hypothèse ii), il suffit de prouver que, pour x ∈ f−1(UN ), l’image de L′xpar f ′ est égale à L′f(x). Il existe δ > 0 assez petit tel que pour f ′ assez proche de f et pour

x ∈ f−1(UN ) :

– la sous-variété hs(LsδNx) est envoyée par f ′ dans hs(Lsη

Nf(x)),

– la sous-variété hu(LuδNx) est envoyée par f ′ dans hu(Luη

Nf(x)),

– la sous-variété L′x est égale à hs(LsδNx) t hu(Luδ

Nx)

Il vient alors que f ′ envoie L′x dans L′f(x) = hs(LsηNf(x)) t hu(Luη

Nf(x)). De plus, comme f ′ est un

difféomorphisme et la sous-variété L′x est compacte, par connexité, f ′(L′x) est égal à L′f(x).

4.2.5 Etape i + 1 → i

On suppose que l’hypothèse de récurrence est vérifiée au rang i+ 1 ≤ N .

D’après [26], il existe un voisinage compact Vb de ∪j≥iΛj , ayant sa préimage incluse dans son

intérieur et vérifiant ∩m∈Zfmb (Vb \ p(Ui+1)) = Λi. On pose V := p−1(Vb). Ainsi, pour n assez

grand, f−n(V ) \ fn(Ui+1) est inclus dans un voisinage de Xi arbitrairement petit. Il existe donc

n ≥ 0 tel que, avec Ui := f−n(V ) ∪ fn(Ui+1) et Vi := f−n(V ) \ fn(Ui+1), on a :

– le compact adh(Vi) est inclus dans l’ouvert V si ∩ V u

i ,

– pour f ′ assez proche de f , la section de la grassmannienne sur hs(Vi ∩Xsi ) égale à l’espace

fortement stable peut être prolongée sur un voisinage Vi de Vi en une section de plans E′s

tangente aux feuilles de L′si|Vi

, vérifiant pour x ∈ f ′−1(Vi) ∩ Vi :

Tf ′(E′s(x)) = E′s(f ′(x))

∀u ∈ Ths(TxL \ 0), ‖Tf ′|E′s(x)‖ < min(

1,‖Txf

′(u)‖‖u‖

)(4.1)

98


et variant continûment avec f ′ proche de f .12

Par (4.1), pour δ > 0, on remarque que le champ de cônes :

C ′δ : y ∈ Vi 7→

(u+ v) ∈ TyLsj : u ∈ Ths(TyL), v ∈ E′s(y) et ‖v‖ < δ‖u‖

vérifie, pour x ∈ Vi ∩ f−1(Vi) :

adh(Tf ′(C ′δ(x))

)⊂ C ′δ(f ′(x)) ∪ 0

On note [C ′δ] := ∪x∈Vi(C ′δ(x) ∪ 0x) et, pour f ′ = f, on note C ′δ =: Cδ

Lemme 4.2.2. Il existe η > 0 arbitrairement petit et il existe δ > 0 tels que, pour tout f ′

C1-proche de f , on a :

– pour x ∈ Vi ∩ f−1(Vi),

f ′(L′sηix ) ⊂ L′sηif(x),

– pour x ∈ Vi et h ∈ C1(Lx,L′sηix ), si Th(TLx) est inclus dans [C ′δ], alors (x, h(Lx)) appar-

tient à VG.

Démonstration. Ce lemme résulte de l’équation (4.1)

Pour f ′ assez proche de f , l’application suivante est bien définie :

hi+1 : x ∈ Ui+1 7→ I(x, f ′n+1 hi+1(Lf−n−1(x))

)avec Ui+1 := fn+1(Ui+1) ∩ Ui

Par l’hypothèse de récurrence ii), pour x ∈ Ui+1, les sous-variétés hi+1(Lx) et f ′n+1 hi+1(Lf−n−1(x)) sont égales et hi+1(x) appartient à Exp(Fx). Donc l’application hi+1 est égale à

hi+1 sur Ui+1. De même, on vérifie rapidement que :

hi+1 = I(x, f ′ hi+1(Lf−1(x))

), pour x ∈ Ui+1 (4.2)

Montrons que, pour f ′ proche de f , le point hi+1(x) appartient à L′sηkx , pour tout k ≥ i+1 et

x ∈ V sk ∩Ui. Par f−1-stabilité de V s

k ∩Ui+1, les n+1 premières préimages de x par f appartiennent

aussi à V sk . D’après la dernière affirmation de la partie 4.2.1 et iii), pour f ′ assez proche de f, le

point f ′n+1 hi+1(Lf−n−1(x)) est inclus dans L′sηkx , pour x ∈ V sk ∩ Ui+1. Ainsi hi+1(x) appartient

à L′sηkx , pour tout k ≥ i+ 1 et x ∈ V sk ∩ Ui+1.

12Pour ce faire, on choisit un champ de cônes Tf ′-stable C sur Vi := f−n+1(V ) \ fn−1(Ui+1), centré en

un prolongement continu de l’espace fortement stable sur X ′si ∩ Vi. On note ds

i la dimension de cet espace

tangent. On construit alors une section χ′ continue f ′∗-invariante de la grassmanienne des dsi -plans sur un domaine

fondamental D′ := Vi ∩ f ′(Vi) de Vi, tel que χ′(x) est inclus dans C(x), pour x ∈ D. On étend χ sur Vi \ Xui

par f∗n

χ(x) := Tfn χ f−n(x) si x appartient à fn(D). Par dilatation normale, χ′ est alors un prolongement

continu de l’espace fortement stable sur X ′si ∩ Vi.

99


Pour f ′ assez proche de f , pour tout x ∈ Ui+1 ∩ Vi, par compatibilité des voisinages tu-

bulaires, le point hi+1(x) appartient à L′sηix et, par i), l’espace T hi+1(TxLx) est inclus dans

adh(C ′δ(hi+1(x))). La suite suivante est donc bien définie :

h(0) := hi+1

h(m+1) := x ∈ fm+1(Ui+1) ∩ Ui 7→ I(x, f ′ h(m)(Lf−1(x))

)On remarque que, pour m ≥ 0, l’application h(m) est une immersion de L|fm(Ui+1)∩Ui

dans M ,

qui vérifie

h(m)(x) = I(x, f ′ h(m)(Lf−1(x))), ∀x ∈ fm(Ui+1) ∩ Ui

De plus, pour tous m′ ≥ m ≥ 0 et x ∈ fm(Ui+1) ∩ Ui, les points h(m′)(x) et h(m)(x) sont égaux.

On définit hi sur Ui \Xui par :

hi(x) = h(m)(x), si x ∈ fm(Ui+1) ∩ Ui

On remarque que hi est une immersion de L|Ui\Xui

dans M . De plus hi vérifie : hi(x) = I(x, f ′ hi(Lf−1(x))

)pour x ∈ Ui \Xu

i

hi(x) ∈ L′sηix pour x ∈ Vi \Xui

On va maintenant définir hi sur Xui ∩ Ui. Pour η assez petit et f ′ assez proche de f , pour

x ∈ Ui ∩Xui , la sous-variété hu(Luη

ix ) intersecte transversalement hs(Lsηix ) en une sous-variété L′x

proche de Lx. De plus, la famille (L′x)x∈Ui∩Xui

est continue. On définit pour x ∈ Ui ∩Xui :

hi(x) = I(x,L′x)

On remarque que hi|Ui∩Xui

est une immersion de L|Ui∩Xui

dans M . De plus, hi vérifie : hi(x) = I(x, f ′ hi(Lf−1(x))

)pour x ∈ Ui ∩Xu

i

hi(x) ∈ L′sηix pour x ∈ Vi ∩Xui = Ui ∩Xu

i

Ainsi hi vérifie l’hypothèse de récurrence ii). De plus, par compatibilité des voisinages tubu-

laires, hs et donc hi vérifient l’hypothèse de récurrence iii).

Vérification de la régularité de hi

On va maintenant montrer que hi est une immersion de la lamination L|Uidans M . Pour cela,

il suffit de montrer sa continuité et la continuité de ses différentielles le long de L sur Xui ∩ Ui.

Commençons par montrer que hi est une application continue par l’absurde.

Soit (xn)n ∈ V Ni qui converge vers x ∈ Xu

i ∩ Vi, telle que (hi(xn))n ne converge pas vers

100


hi(x). Comme M est compacte, on peut supposer que hi(xn) converge vers y différent de hi(x).

Comme hi(xn) appartient à L′sηixnpour tout n, il vient que y appartient à L′s2η

ix . De plus, par

les hypothèses de récurrence ii) et iii), pour k ≥ 0, f ′−k hi(xn) appartient à L′sηif−k(xn)

. Donc

f ′−k(y) appartient à L′s2ηif−k(x)

, pour tout k ≥ 0.

Par ii) et iii), le point f ′−k hi(x) appartient aussi à L′s2ηif−k(x)

, pour tout k ≥ 0. Par ailleurs,

hi(x) et y appartiennent à Exp(Fx). On peut donc relier hs(x) et y par un chemin différentiable

inclus dans Exp(Fx)∩L′s2ηix . On suppose que δ et η ont été choisis assez petits et que f ′ est assez

proche de f , pour que l’espace tangent de la variété Exp(Fx)∩L′s2ηx soit inclus dans l’adhérence

du complémentaire de [C ′δ], pour x ∈ Vi. Ainsi, le chemin considéré a son espace tangent qui est

inclus dans l’adhérence du complémentaire de [C ′δ]. Cela implique que ses préimages par f ′, ont

aussi leur espace tangent inclus dans l’adhérence du complémentaire de [C ′δ] et que leur longueur

croit exponentiellement vite. Cela contredit le fait que f ′−k(y) et f ′−k hi(x) appartiennent à

L′s2ηif−k(x)

, pour tout k ≥ 0. Donc hi est continue sur Ui.

Montrons, par l’absurde, que hi est continûment différentiable le long des fibres de Ui.

Soit (xn)n ∈ V Ni qui converge vers x ∈ Xu

i ∩ Vi, telle que (Thi(xn))n ne converge pas

vers Thi(x). Comme Thi(TxnL) est inclus dans [C ′δ] pour tout n ≥ 0, on peut supposer que

(Thi(TxnL))n converge vers un d-plan P ′ ⊂ [C ′δ] différent de P := Thi(TxL) ⊂ [C ′δ]. Pour les

mêmes raisons que précédemment, Tf ′−k(P ) et Tf ′−k(P ′) sont inclus dans C ′δ(f ′−khi(x)) pour

tout k ≥ 0. Par (4.1) on obtient donc une absurdité.

Vérification que hi est un plongement

Pour montrer que hi est un homéomorphisme sur son image, il suffit de montrer que hi est

injectif, car Ui est un compact.

Aussi, par l’hypothèse de récurrence ii), il suffit de montrer que deux différentes feuilles de

L|Uiont des images disjointes par hi.

On rappelle par ailleurs que

∀x ∈ Ui, f ′−n hi(Lx) = hi(Lf−n(x)) (4.3)

Soit (x, x′) ∈ U2i tel que hi(x) et hi(x′) sont égaux.

Si ni x ni x′ appartiennent à Xui . Il existe alors n ≥ 0 tel que f−n(x) et f−n(x′) appartiennent

à Ui+1. Par (4.3), les images par hi de Lf−n(x) et Lf−n(x′) s’intersectent. Donc la feuille Lf−n(x)

est égale à Lf−n(x′) et Lx est égale à Lx′ .

Si x appartient à Xui alors la préorbite de Lx est incluse dans Vi. Si x′ n’appartient pas à Xu

i ,

alors pour n assez grand, f−n(Lx) sera loin de Vi. Ainsi, comme hi est C0−proche de l’inclusion

canonique, hi f−n(Lx) et hi f−n(Lx′) sont disjoints. Par (4.3), on déduit que hi(x) et hi(x′)

sont différents, ce qui est absurde.

101


Il ne reste plus qu’à montrer l’injectivité de hi sur Xui ∩ Ui. Pour cela, on procède comme

dans l’étape i = N .

102

5

Preuve de la persistance des

stratifications

Sommaire5.1 Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

5.1.1 Convention et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

5.1.2 Construction de fibrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

5.1.3 Construction d’une filtration adaptée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

5.1.4 Uniformité locale des chaînes sortantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

5.2 Démonstration du corollaire 2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

5.3 Démonstration par récurrence du théorème 2.1 . . . . . . . . . . . . 110

5.3.1 Propriété fondamentale de la dynamique sur Kp . . . . . . . . . . . . . 110

5.3.2 Démonstration du théorème 2.1 à partir de la propriété fondamentale . 111

5.3.3 Rang p=N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

5.3.4 Rang p+1 ⇒ Rang p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

5.3.5 Preuve du lemme 5.3.4 préimage d’une perturbation de Lp . . . . . . . 125

5.3.6 Preuve du lemme 5.3.5 : construction d’une structure algébrique locale . 129

5.1 Préliminaires

5.1.1 Convention et notations

Pour toute la preuve du théorème 2.1 et du corollaire 2.2 et leur préliminaire, on se place

sous les hypothèses du théorème 2.1 avec les notations suivantes :

– n désigne la dimension de M .

– On note η > 0 et V = (VX)X∈Σ, le réel et la famille de voisinages adaptée à f∗ vérifiant

l’hypothèse (iii) du théorème 2.1.

103

Chapitre 5. Preuve de la persistance des stratifications

– Soit Σ′ := X1, . . . , XN l’ensemble des strates de Σ qui intersectent adh(A′), indexées

telles que, pour deux entiers i ≤ j de 1, . . . , N, si Xi et Xj sont comparables alors

Xi ≤ Xj .

– On note dj la dimension de Xj . Pour alléger l’écriture, on note (Lj ,Lj) le voisinage tubu-

laire (LXj ,LXj ) et Vj le voisinage VXj .

– Étant donné un compact C, VC désigne un voisinage ouvert et relativement compact de

C, et (V ′C , V

′′C ) est un couple d’ouverts vérifiant :

C ⊂ V ′′C ⊂ adh(V ′′

C ) ⊂ V ′C ⊂ adh(V ′

C) ⊂ VC

On rappelle que si Lj intersecte Lk, alors Xj et Xk sont comparables, et si j ≤ k, alors on a

dj ≤ dk.

5.1.2 Construction de fibrés

Dans le théorème 2.1, la structure de treillis intervient de façon "germinale". On ne perd

donc rien à restreindre chacun des voisinages tubulaires de notre structure (ainsi que la famille

de voisinages adaptée à f∗). On s’autorise donc à restreindre les laminations (Lk,Lk)k.

Pour d ∈ 0, . . . , n, soit Gr(d, TM) le fibré au-dessus de M de la grassmannienne des d-plans

de TM . La métrique riemannienne g sur M induit de façon standard une métrique riemannienne

sur ce fibré.

Soient j ∈ 1, . . . , N et

N ′j : Lj → Gr(n− dj , TM)

x 7→ (Txi(TxLj))⊥

Cette application est un relèvement continu de i|Lj:

N ′j Gr(n− dj , TM)

↓Lj → M

i|Lj

Cette famille de sections possède aussi deux propriétés que l’on apprécie :

– Pour k ≤ j et x ∈ Lk ∩ Lj , on a N ′j(x) ⊂ N ′

k(x).

– Pour j ∈ 1, . . . , N et x ∈ Lj , N ′j(x)⊕ Ti(TxLj) = Ti(x)M .

Cependant ces relèvements, en général seulement continus, ne permettent pas de réaliser

naturellement des Lj-fibrés vectoriels. Mais, on peut les lisser par le lemme suivant :

104

5.1. Préliminaires

Lemme 5.1.1. Quitte à restreindre les voisinages tubulaires formant la structure de treillis, il

existe une famille d’applications (Nk)k, où Nk ∈ Mor(T|Lk, Gr(n − dk, TM)) est un relèvement

de i|Lk, qui peut être choisi arbitrairement proche de N ′

k pour la topologie C0 forte et vérifie :

1. Pour k ≤ j et x ∈ Lk ∩ Lj, on a Nj(x) ⊂ Nk(x).

2. Pour x ∈ Lk, Nk(x)⊕ Ti(TxLk) = Ti(x)M .


On va construire (Nk)k par récurrence sur k.

Étape k = 1

Il suffit d’appliquer l’annexe A.2.2 au relèvement continu N ′1, de l’immersion T|L1 -contrôlée i|L1 , pour obte-

nir un relèvement N1 ∈Mor(T|L1 , Gr(n−d1, TM)) de i|L1 arbitrairement proche de N ′1 pour la topologie C0 forte.

Étape k → k + 1

Par l’annexe A.2.2, il existe un relèvement T|Lk+1 -contrôlé Nk+1k+1 de i|Lk+1 dans Gr(n−dk+1, TM), arbitraire-

ment proche de N ′k+1 pour la topologie C0 forte. Le relèvement Nk+1

k+1 vérifie donc la condition 2). On va modifier

ce relèvement, pour qu’il vérifie la condition 1).

Pour j ≤ k, soit pNj la projection orthogonale de i∗TM|Ljsur le sous-fibré vectoriel induit par Nj . On définit

alors pj l’homotopie de l’identité de i∗TM à pNj :

pj : [0, 1]× i∗TM|Lj→ i∗TM

(t, u) 7→ u+ t · (pNj (u)− u)

Comme (Lj , Xcj ) est un recouvrement ouvert de A \ ∪Xp<XjXp, par l’annexe A.1.2, il existe une fonction ρj ∈

Mor(Tp|A\∪Xp<XjXp , [0, 1]), valant 1 sur un voisinage ouvert L′j de Xj et à support dans Lj .

On définit alors par récurrence descendante sur j ∈ 1, . . . , k, l’application :

N jk+1 : Lk+1 −→ Gr(n− dk+1, TM)

x 7→

pj

(ρj(x), N j+1

k+1(x))

si x ∈ Lj

N j+1k+1(x) sinon

qui est bien définie et peut être construite arbitrairement proche de N ′k+1, quitte à avoir choisi Nj plus proche

de N ′j et supposé par récurrence que N j+1

k+1 peut être choisie arbitrairement proche de N ′k+1. De plus, on montre

par récurrence que N jk+1 est T|Lk+1 -contrôlée, en remarquant que ∪Xp<XjXp n’intersecte pas Lk+1.

Une fois la construction par récurrence descendante achevée, on pose Nk+1 = N0k+1 qui satisfait donc la

condition 2), s’il est choisi assez proche de N ′k+1. Pour j ≤ k, on restreint Lj à L′j . La condition 1) est alors

vérifiée.

Pour k ∈ 0, . . . , N, on note π : Fk → Lk le fibré vectoriel induit par Nk. Pour j ≥ k, la

restriction Nk|Lj∩Lkest un morphisme de Lj|Lj∩Lk

dans Gr(n − d, TM). Ce morphisme induit

une structure de lamination de dimension dj +n−dk sur Fk|Lj∩Lk. La famille de ces laminations

induit une structure de treillis de laminations Tk sur Fk, par l’annexe A.3.2. Soit (Fk,Fk) le

voisinage tubulaire de dimension n de ce treillis.

105


En particulier π : (Fk,Fk) → (Lk,Lk) est un Lk-fibré vectoriel. On munit chacun de ces

fibrés de la norme induite par la métrique riemannienne sur M .

5.1.3 Construction d’une filtration adaptée

On définit le compact K := adh(A′).

Propriété 5.1.2. Il existe une famille de compacts (Kp)N+1p=1 vérifiant

5.1.2.1 K = K1 ⊃ K2 ⊃ · · · ⊃ KN+1 = ∅ et f∗(Kp) ⊂ int(Kp), ∀p ≥ 0,

telle que pour p ≤ N , avec Cp := adh(Kp \Kp+1), on a :

5.1.2.2 le compact Cp est inclus dans le voisinage adapté Vp.

5.1.2.3 Via Ti, on identifie TLp à un sous-fibré de i∗TM|Lp. Soit [i∗Tf ]p : (i∗TM/TLp)|Vp

→i∗TM/TLp le morphisme de fibrés au-dessus de f∗|Vp

. Alors pour une métrique riemannienne

g sur M , il existe λ < 1 tel que pour v ∈ (i∗TM/TLp)|Cp\ 0, on a :

max(1, ‖Tπ(v)f∗|TLp

)‖) · ‖v‖ < λ · ‖[i∗Tf ]p(v)‖

Remarque Pour p ∈ 1, . . . , N, le compact Kp est égal à ∪Nj=pCj . D’après 5.1.2.2, le compact

Kp est inclus dans ∪j≥pXj .

Démonstration de la propriété 5.1.2

On va démontrer ci-dessous, par récurrence sur p ∈ 0, . . . , N, l’existence d’un voisinage ouvert Sp de

∪j≤pXj ∩K pour la topologie induite par K, vérifiant

∅ = S0 ⊂ S1 ⊂ · · · ⊂ SN = K et f∗−1

|K (adh(Sp)) ⊂ Sp (5.1)

tel que adh(Sp \ Sp−1) peut être choisi arbitrairement proche de Xp+1 ∩ K \ Sp−1 (l’ouvert Sp−1 étant fixé) et

satisfaisant : ⋂n∈N

f∗−n

|K (Sp) =⋃j≤p

Xj ∩K (5.2)

On pose alors Kp := K \ Sp−1, pour p ≥ 1. Montrons que (5.1) et (5.2) suffisent à montrer cette propriété :

Preuve de 5.1.2.1

La première partie de 5.1.2.1 est évidente par la première partie de 5.1.

L’image par f∗ de K est incluse dans int(K) et par la seconde inclusion de (5.1), on a :

Kp = K \ Sp−1 ⊂ f∗−1

|K

(int(K)

)\ f∗

−1

|K

(adh(Sp)

)= f∗

−1

|K

(int(K) \ adh(Sp)

)⇒ f∗(Kp) ⊂ int(K) \ adh(Sp) = int(Kp)

106

5.1. Préliminaires

C1

C1 C1

C1

C2

C2

C2

C2C3=K3

K2=C2UK3=C2UC3

C1

C1 C1

Fig. 5.1 – Compacts (Ck)k pour la stratification simpliciale d’un carré, munie de la structure de

treillis représentée figure 2.1

Preuve de 5.1.2.2

Le compact Cp est égal à adh(Sp \ Sp−1), qui peut-être choisi arbitrairement proche du compact Xp ∩Kp =

Xp ∩K \ Sp−1 inclus dans Vp.

Preuve de 5.1.2.3

Par la proposition 1.1, on peut munir M d’une métrique adaptée à la dilatation normale par f de l’immersion

de Xp, au-dessus du compact Xp ∩Kp. L’inégalité 5.1.2.3 est alors vérifiée si Cp est assez proche de Xp ∩Kp.

Montrons maintenant notre récurrence. Pour toute la suite de la preuve de cette propriété, on se place dans

la topologie induite par K.

Soit p ≥ 0 satisfaisant l’hypothèse de récurrence. Soit U := (K ∩ Vp+1)∪ Sp. Par (5.2), toute orbite débutant

dans U ∩K privé de K := K ∩ (∪j≤p+1Xj) sort définitivement de Sp et, par l’hypothèse iii) du théorème 2.1, sort

aussi de Vp+1. Comme f∗−1

|K (K) est égal à K, on a⋂n≥1

f∗−n

|K (U) = K

Soit V0 un voisinage compact de K dans U . On a aussi :⋂n≥1

f∗−n

|K (V0) = K

Par compacité, il existe M ≥ 0 tel que⋂M

n=1 f∗−n

|K (V0) soit inclus dans V0. On pose alors :

V1 :=

M⋂n=0

f∗−n

|K (V0)

Le compact V1 a sa préimage par f∗|K qui est incluse dans lui même et la suite décroissante des préimages de V1

tend vers K. De plus, V1 est un voisinage de K pour la topologie induite par K. On voudrait que la préimage

f∗−1

|K (V1) soit incluse dans l’intérieur de V1. Cela nécessite de construire un nouveau voisinage.

107


Il existe M ′ > 0 tel que f∗−M′

(V1) est inclus dans l’intérieur de V1. On choisit alors une famille (V i)M′−1i=0

d’ouverts de K vérifiant :

int(f∗

−M′

|K (V1))

=: V 0 ⊂ adh(V 0) ⊂ V 1 ⊂ adh(V 1) ⊂ V 2 ⊂ · · · ⊂ V M′−1 := int(V1).

On définit le voisinage ouvert de K dans V0 :

V2 :=

M′−1⋃n=0

f∗−n

|K (V n)

On vérifie alors que la préimage par f∗|K de adh(V2) est incluse dans V2 et que :⋂n≥0

f∗−n

|K (V2) = K

On pose alors Sp+1 := V2 ∪ Sp, qui est bien un voisinage de K et vérifie (5.1). De plus, f∗−k

|K (Sp+1) est égal à

f∗−k

|K (V2)∪f∗−k

|K (Sp), donc ∩n≥0f∗−n

|K (Sp+1) est égal àK∩(∪l≤p+1Xl), ce qui est (5.2). Quitte à remplacer Sp+1 par

f∗−n

|K (Sp+1)∪Sp, l’hypothèse de récurrence est vérifiée avec adh(Sp+1\Sp) arbitrairement proche de K∩Xp+1\Sp.

5.1.4 Uniformité locale des chaînes sortantes

Soient (L,L) une lamination, V une partie de L et f∗ une application continue de V dans

L. Une ε-pseudo-chaîne de V qui respecte L est une famille (pn)Nn=0 ∈ V N+1 telle que, pour

n ∈ 0, . . . , N − 1, les points pn+1 et f∗(pn) sont dans une même plaque de L de diamètre

inférieur à ε. On dira que (pn)Nn=0 ∈ LN+1 part de p0, arrive en pN et que sa longueur est N .

Propriété 5.1.3. Pour tout p ∈ 1, . . . , N, soit η la fonction sur Vp associée à Xp dans l’hy-

pothèse iii) du théorème 2.1. Pour tout ouvert V relativement compact dans Vp et tout réel

η′ ∈]0, infV η[, on a :

∪j≥0int(Uj) = V \Xp

avec Uj l’ensemble des points x ∈ Vp tels qu’il n’existe pas de η′-pseudo-chaîne de V , qui respecte

Lp, partant de x et de longueur j.

Preuve de la propriété 5.1.3

Pour montrer cette propriété, il suffit de prouver que, pour x ∈ V \Xp, il existe j ≥ 0 tel que x appartient à

l’intérieur de Uj . Soit W un voisinage compact de x inclus dans V \Xp. Soit Wn l’ensemble des éléments de V qui

sont le point d’arrivée d’une η′-pseudo-orbite de V , de longueur n, partant de x′ ∈ W et respectant les plaques

de Lp.

Si pour n assez grand, Wn est vide, alors x appartient à l’intérieur de Un.

Sinon, on aboutit à une contradiction : il existe alors((xk

i )Nki=0

)k

une famille de η′-pseudo-chaînes de V qui

respectent Lp, partant de W et telles que Nk tend vers l’infini. On complète (xki )

Nki=0 en une famille (xk

i )i∈N ∈ V N

avec xki := x pour i > Nk. Comme V est relativement compact dans Vp, par extraction diagonale, une suite

108

5.2. Démonstration du corollaire 2.2

extraite converge vers une η-pseudo-orbite de Vp respectant les plaques de Lp et partant de x′ ∈ W . Comme x′

appartient Vp \ Xp, cette η-pseudo-orbite est incluse dans Vp \ Xp. Cela contredit l’hypothèse (iii) du théorème

2.1.

5.2 Démonstration du corollaire 2.2

En considérant un voisinage VA′ de adh(A′), tel que f∗(adh(VA′)) est inclus dans A′, ainsi

qu’en appliquant le théorème 2.1 avec VA′ au lieu de A′, on peut supposer que f ′ 7→ f ′∗ est

une application continue de Vf dans EndV ′f∗(T|V ′A). On garde cependant toutes les notations et

conventions des parties préliminaires.

Soit (Kp)p la famille de compacts fournie par la proposition 5.1.2. On va montrer, par récur-

rence descendante sur p, que quitte à restreindre Vf , i(f ′)|Kpest injective, pour f ′ ∈ Vf . Ainsi,

i(f ′)|K sera un homéomorphisme sur son image et i(f ′)|A′ sera un plongement T|A′-contrôlé.

Pour p = N , l’injectivité se démontre comme le corollaire 1.3, car KN est un compact de la

lamination XN envoyé par f∗ dans son intérieur, par 5.1.2.1.

On suppose l’injectivité démontrée sur Kp+1. En procédant de nouveau comme dans le co-

rollaire 1.3, on montre que i(f ′) est injective sur le compact Kp ∩Xp, pour f ′ ∈ Vf .

Soient (x, y) ∈ K2p et f ′ ∈ Vf vérifiant i(f ′)(x) = i(f ′)(y).

On peut supposer que l’on ait restreint assez Vf , de façon à ce que, pour tout f ′′ ∈ Vf , les

compacts i(f ′′)(Kp ∩Xp) et i(f ′′)(Kp+1) soient disjoints et f ′′∗(Kp) ⊂ Kp.

Si x ∈ Xp, par commutativité du diagramme, on a :

∀n ≥ 0, i(f ′) f ′∗n(x) = i(f ′) f ′∗n

(y) ⇒ ∀n ≥ 0, f′∗n

(y) ∈ Kp \Kp+1 ⊂ Cp

Quitte à restreindre Vf , par compacité de Cp dans Vp, on peut toujours supposer que (f ′∗n(y))n

est une η-pseudo-orbite qui respecte Lp, où η est la fonction sur Vp de l’hypothèse iii) du théo-

rème 2.1. Ainsi, par cette hypothèse iii), y appartient à Xp ∩ Cp. Cela implique que x et y sont

égaux.

Pour traiter le cas où ni x, ni y ne sont dans Xp, on fixe un voisinage compact Cp de

Cp dans Vp et on remarque que :

1. Quitte à restreindre Vf , par le théorème d’inversion locale et compacité de Cp, il existe

δ > 0 ne dépendant pas de f ′ ∈ Vf , tel que i(f ′) restreint aux plaques de Lp, de diamètre

inférieur à δ et contenant un élément de Cp, soit un plongement.

109


2. Quitte à restreindre Vf , par la condition 5.1.2.3, il existe ε > 0 tel que pour tout couple

(x′, y′) ∈ C2p vérifiant f ′∗(x′) = f ′∗(y′) et d(x′, y′) < ε, les points x et y, formant ce couple,

sont dans une même plaque de Lp de diamètre inférieur à δ. On suppose de plus que Cp

contient le ε-voisinage de Cp.

3. On considère l’application continue

φ : Vf −→ R+

f ′ 7→ min(z,z′)∈K2

p , d(z,z′)≥εd(i(f ′)(z), i(f ′)(z′))

Comme φ(f) est strictement positif, quitte à restreindre Vf , pour tout f ′ ∈ Vf , le réel φ(f ′)

est aussi strictement positif.

Puisque i(f ′)(x) est égal à i(f ′)(y), par commutativité du diagramme, pour n ≥ 0, i(f ′)f ′∗n(x)

est égal à i(f ′) f ′∗n(y). Par 3), pour n ≥ 0, on a d(f ′∗n

(x), f ′∗n(y)) < ε.

Par l’hypothèse iii) et 5.1.2.2, quitte à réduire Vf , comme ni x ni y n’appartiennent à Xp, il

existe M minimal tel que f ′∗M(x) et f ′∗M

(y) appartiennent à Kp+1. Par hypothèse de récurrence,

f ′∗M

(x) est égal à f ′∗M

(y). De plus, par définition de M , les points f ′∗M−1(x) et f ′∗M−1

(y)

appartiennent au ε-voisinage de Cp et donc à Cp. En utilisant alors (2) puis (1), on a :

f ′∗M−1

(x) = f ′∗M−1

(y)

Par une récurrence décroissante, en utilisant ainsi (3) puis (2) puis (1), on a :

∀n ≤ N, f ′∗n(x) = f ′∗

n(y)

Ainsi x et y sont égaux. Ce qu’il fallait démontrer.

5.3 Démonstration par récurrence du théorème 2.1

Dans cette partie, on se place sous les hypothèses du théorème 2.1, en reprenant les notations

de la partie 5.1.

5.3.1 Propriété fondamentale de la dynamique sur Kp

On note exp l’application exponentielle associée à une métrique riemannienne g complète

sur M . Soit ε ∈ C∞(M, ]0, 1[) une fonction inférieure au rayon d’injectivité de l’application

exponentielle. On note :

Exp : i∗TM →M

(x, v) 7→ expi(x)

(ε i(x) · v√

1 + ‖v‖2

)

110

5.3. Démonstration par récurrence du théorème 2.1

pour tout p ∈ 1, . . . , N, la restriction Exp|Fpest un morphisme Tp-contrôlé de Fp dans M .

On va montrer par récurrence descendante sur p la

Propriété fondamentale 5.3.1. Pour tout p ∈ 1, . . . , N, il existe :

– un réel η′ > 0 et un voisinage Vf de f dans C1(M,M), tous les deux arbitrairement petits,

– un voisinage Ap de Kp, ouvert, relativement compact dans ∪q≥pXq et d’adhérence envoyée

par f∗ dans int(Kp),

– une famille de voisinages Vp := (VX)X∈Σ|Apadaptée à f∗|Ap

,

– une application continue :

Vf → EndVp

f∗|Ap(T|Ap

)×Mor(T ,M)

f ′ 7−→ (f ′∗p , ip(f′))

vérifiant :

1. f∗p = f∗|Apet ip(f) = i.

2. Le diagramme

f ′

M → M

ip(f ′) ↑ ↑ ip(f ′)

Ap → Ap

f′∗p

commute.

3. La restriction de ip(f ′) à Ap est une immersion.

4. Pour f ′ ∈ Vf , l’application σp(f ′) : x 7→ Exp−1x ip(f ′)(x) est bien définie et, pour k ≥ p,

ses valeurs appartiennent à Fk sur un voisinage de f∗(Ck) indépendant de f ′.

Pour j ≥ p, on note Xpj la strate de Σ|Ap

associée à Xj ∈ Σ.

5. Pour tout j ≥ p, VXpj

est un voisinage de Cj et, pour tout x ∈ VXpj

et f ′ ∈ Vf , le point

f ′∗(x) appartient à l’ensemble13 Lη′

jf∗(x).

La relation entre η′ et Vf est la suivante : η′ sera choisi assez petit, puis Vf sera choisi assez

petit en fonction de η′.

5.3.2 Démonstration du théorème 2.1 à partir de la propriété fondamentale

On va prouver que, pour p = 1, la propriété que l’on vient d’énoncer suffit à démontrer le

théorème 2.1. Pour j ≥ 1, on note X ′j la strate de Σ|A′ correspondante à Xj .

13On rappelle que Lδjy désigne l’union des plaques de Lj contenant y ∈ Lj et de diamètre inférieur à δ > 0.

111


Comme f∗(adh(A′)) est inclus dans A′, quitte à réduire Vf et η′, on peut supposer que, pour

f ′ ∈ Vf , on a d(A′c, f ′∗1 (A′)) > η′.

Ainsi, d’après les propriétés 3 et 5 de 5.3.1, on peut définir l’application continue :

Vf → EndV′

f∗|A′(T|A′)× Im(T|A′ ,M)

f ′ 7→ (f ′∗ := f ′∗1|A′ , i(f′) := i1(f ′)|A′)

avec pour j ≥ 1, VX′j

:= VX1j∩A′ et V ′ := (VX)X∈Σ|A′ .

La conclusion i) du théorème 2.1 résulte simplement de la propriété 2 de 5.3.1.

La conclusion iii) du théorème 2.1 pour la strate X ′p se montre par récurrence sur p ≥ 1.

Pour tout p ≥ 1, quitte à restreindre VX1p, on peut supposer que VX1

p∩Kp est relativement

compact dans Vp. On peut aussi supposer que 2η′ est inférieur au minimum sur VX1p∩Kp de la

fonction η associée à Xp dans l’hypothèse iii).

L’étape p = 1 est alors évidente. On considère donc p > 1.

Comme Kp est envoyé par f∗ dans son intérieur, quitte à réduire Vf et η′, toute η′-f ′∗-pseudo-

orbite, respectant Lp et partant de VX′p∩ Kp, est incluse dans Kp et, par l’hypothèse iii), est

nécessairement incluse dans Xp.

Par ailleurs, quitte à réduire Vf , d’après 5.1.2.1 on a :

A′ ∩Kp ⊂ int(f ′∗−1

(A′ ∩Kp)) (5.3)

et on peut montrer que

∪n≥0f′∗−n

(A′ ∩Kp) ⊃ VX′p

(5.4)

En effet, sinon il existe x ∈ VX′p

ayant sa f ′∗-orbite qui n’intersecte pas Kp. Soit q < p

maximal tel que l’orbite de x intersecte Cq. D’une part, x ne peut pas appartenir à Xq ; donc son

orbite quitte nécessairement Cq, par hypothèse de récurrence sur p, la propriété 5 de 5.3.1 et le

chois de η′. D’autre part, l’orbite de x intersecte Kq, donc y reste incluse et n’intersecte pas Kp.

Ainsi son orbite intersecte Cq′ avec p > q′ > q. Cela contredit la maximalité de q.

D’après (5.3) et (5.4), on peut construire une fonction η′′ sur VX′p, continue, strictement po-

sitive et inférieure à η′ telle que pour tous n ≥ 1, x ∈ f ′∗−n(A′∩Kp)∩VX′

pet x1 ∈ VX′

p∩Lη′′(x)

pf ′∗(x),

les points de VX′p∩Lη′′(x1)

pf ′∗(x1) appartiennent à f ′∗−n+1(A′ ∩Kp)∩VX′

p. Une telle fonction η′′ vérifie

la conclusion iii) du théorème 2.1, car toute η′′-pseudo-orbite de f ′∗ dans VX′p

finit par appartenir

à VX′p∩Kp.

Il ne reste plus qu’à montrer la conclusion ii). Par les propriétés 2, 3 et 5 de 5.3.1, la lamination

X ′p immergée par i(f ′) est préservée par f ′ ∈ Vf , pour p ≥ 1. Par continuité de f ′ 7→ (i1(f ′), f ′∗)

112


et l’hypothèse de dilatation normale pour f , quitte à restreindre Vf , l’application f ′ dilate norma-

lement et uniformément la lamination X1p sur le compact Xp∩Kp. Par (5.3) et (5.4), l’application

f ′ dilate normalement la lamination immergée X ′p. Donc la conclusion ii) du théorème 2.1 est

vérifiée.

5.3.3 Rang p=N

La démonstration de cette étape est identique à celle du théorème 1.2. On commence par

choisir un voisinage ouvert AN de KN , qui soit ouvert et relativement compact dans XN , dont

l’adhérence, notéeK ′, est envoyée par f∗ dans int(KN ). On se sert alors du lemme 1.5.1. Pour son

utilisation, la lamination normalement dilatée par f estXN . Aussi, le L-fibré (F,F) est (FN ,FN ).

L’application Exp restreinte à un voisinage de la section nulle de FN est bien une immersion de

ce LN -fibré. On fixe enfin une connexion quelconque sur FN et un voisinage compact W de K ′

dans XN .

Le lemme 1.5.1 garantit alors l’existence d’un voisinage Vσ de la section nulle de ΓWFN14,

d’un voisinage Vf de f dans C1(M,M) et d’une application continue :

Vσ × Vf→Endf∗|XN(XN , XN )× Vσ

(σ, f ′) 7→ (f ′∗σ , Sf ′(σ))

telle que, pour chaque f ′ ∈ Vf , l’application Sf ′ a un point fixe σN (f ′) dépendant continûment

de f ′ (cf preuve du théorème 1.2) vérifiant

f ′

M → M

Exp σN (f ′) ↑ ↑ Exp σN (f ′)

K ′ → XN

f ′∗σN (f ′)

ainsi que σN (f) = 0 et f∗0 = f∗. On prolonge σN par la section nulle sur les autres strates. On

note f ′∗N := f′∗

σN (f ′)|ANet iN (f ′) := Exp σN (f ′). Ainsi, la propriété fondamentale est vérifiée

pour ces deux applications, quitte à réduire Vf .

5.3.4 Rang p+1 ⇒ Rang p

Naïvement, l’idée est de tirer en arrière la section σp+1 par le lemme 1.6.1. Cependant, cette

préimage n’a a priori aucune raison de bien se recoller avec σp+1. Il s’agit donc de bien adapter14On rappelle que ΓWFN désigne les sections de FN , étant des morphismes de (LN ,LN ) dans (FN ,FN ) et à

support dans W .

113


σp+1. Cela va demander au préalable d’étudier la combinatoire topologique.

Étude topologique

Voici la zone de "recollement".

Propriété 5.3.2. Soit ∆ le compact Cp ∩Kp+1.

Il existe un voisinage ouvert V∆ de ∆ arbitrairement petit qui soit relativement compact dans

Vp ∩Ap+1 et tel que :

5.3.2.1 f∗(adh(V∆)) est inclus dans int(Kp+1 \ V∆).

5.3.2.2 f∗(adh(Ap+1)) est disjoint de adh(V∆).

Preuve

Comme ∆ est inclus dans Kp+1, l’ouvert Ap+1 est un voisinage de ∆. Par 5.1.2.2, le compact ∆ est inclus

dans Vp. Donc un voisinage de ∆ assez petit sera inclus dans Vp ∩Ap+1.

Comme ∆ est inclus dans Kp+1, l’image par f∗ de ∆ est incluse dans int(Kp+1), par 5.1.2.1. Or ∆ est inclus

dans Cp ⊂ adh(Kcp+1). Donc, un voisinage V∆ de ∆ assez petit vérifie 5.3.2.1.

Comme ∆ est inclus dans adh(Kcp+1) et comme, par hypothèse de récurrence, f∗(adh(Ap+1)) est inclus dans

int(Kp+1), un voisinage V∆ de ∆ assez petit vérifie 5.3.2.2.

Soit V ′∆ et V ′′

∆ des ouverts de A vérifiant :

∆ ⊂ V ′′∆ ⊂ adh(V ′′

∆) ⊂ V ′∆ ⊂ adh(V ′

∆) ⊂ V∆

Propriété 5.3.3. Pour chaque j ≥ p, il existe deux voisinages ouverts et relativement compacts

V ′Cj

et VCj de Cj, vérifiant adh(V ′Cj

) ⊂ VCj , tels que

avec Ap :=⋃j≥p

V ′Cp

et A′p+1 :=⋃j>p

VCp , on a :

5.3.3.0 Ap et A′p+1 sont des voisinages de Kp et Kp+1 respectivement. De plus, A′p+1 est

inclus dans Ap+1.

5.3.3.1 f∗(adh(Ap ∪ VCp)) ⊂ int(Kp) et

f∗(adh(Ap+1)) ⊂ int(Kp+1) \ adh(VCp ∪ V∆)

5.3.3.2 adh(VCj ) ⊂ VXp+1

j, pour j > p, et adh(VCp) ⊂ Vp.

114


5.3.3.3 Il existe une métrique riemannienne g sur M et λ < 1, tels que pour la métrique

i∗|Lpg sur (Lp,Lp) et tout v ∈ (i∗TM/TLp)|VCp∪V∆

:

max(1, ‖Tπ(v)f∗|TLp

)‖) · ‖v‖ ≤ λ · ‖[i∗Tf ]p(v)‖

5.3.3.4 Pour j ≥ p, il existe un voisinage de f∗(adh(VCj )) sur lequel la section σp+1(f ′)

est à valeurs dans Fj, pour tout f ′ ∈ Vf .

5.3.3.5 adh(VCp) ∩ adh(A′p+1) ⊂ V ′′∆

5.3.3.6 VCp ∪A′p+1 ∪ int(Acp) = A

Preuve

Comme la réunion des compacts de (Cj)j≥p est égale à Kp et que la réunion des compacts de (Cj)j≥p+1 est

égale à Kp+1, on a simplement l’assertion 5.1.2.0. De plus, quand les voisinages (VCj )j≥p sont petits, les voisinages

Ap et A′p+1 sont proches de Kp et Kp+1 respectivement. Ainsi pour (VCj )j>p assez petits, A′p+1 est inclus dans

Ap+1.

La première partie de 5.3.3.1 provient de 5.1.2.1 pour (V ′Cj

)j≥p assez petits. La deuxième partie de 5.3.3.1 est

réalisée pour VCp et V∆ assez petits d’après la propriété 5.3.1 qui affirme que le compact adh(Ap+1) est envoyé

dans l’intérieur de Kp+1 et le fait que Cp et ∆ n’intersecte pas int(Kp+1).

L’inclusion 5.3.3.2 est une conséquence de la propriété 5 de 5.3.1, pour (VCj )j>p assez petits, et de 5.1.2.2,

pour VCp assez petit.

L’inégalité 5.3.3.3 est une conséquence de 5.1.2.3, avec VCp et V∆ assez petits.

l’assertion 5.3.3.4 est une conséquence de la propriété 4 de 5.3.1, pour des voisinages (VCj )j>p assez petits.

Pour obtenir l’assertion 5.3.3.5, on fixe V ′′∆ et on considère les voisinages (VCj )j≥p assez petits.

L’assertion 5.3.3.6 est évidente.

Préimage de σp+1 donnée par le lemme 1.6.1

Rappelons que l’on note Tp la structure de treillis de laminations sur Fp induite par T|Lp.

Le lemme suivant s’apparente au lemme 1.6.1 et sera démontré dans la partie 5.3.5.

Lemme 5.3.4. Soient K ′ := adh(V∆ ∪ VCp) et W un voisinage compact de K ′ dans Vp. On fixe

une connexion ∇ et une norme ‖ · ‖ sur le Lp-fibré (Fp,Fp).

Pour η′ assez petit et Vf assez petit, il existe un voisinage Vσ de la section nulle dans ΓFp

15 et une application continue :

S : Vf × V ′σ → V ′

σ ∩ ΓWFp

15On rappelle que ΓFp désigne l’espace des sections de Fp étant des morphismes de Lp dans Fp.

115


(f ′, σ) 7→ Sf ′(σ)

avec V ′σ = Vσ ∩Mor(T|Lp

, Tp) muni de la topologie induite par Mor(T|Lp, Tp).

et vérifiant les conditions suivantes :

1. La section Sf (0Fp) est nulle.

2. Pour x ∈ K ′, f ′ ∈ Vf et σ ∈ V ′σ, le point Exp Sf ′(σ)(x) est l’unique point d’intersection

de l’image par Exp de la boule BFpx(0, η′) avec la préimage par f ′ de Exp σ(Lη′

pf∗(x)).

3. Pour f ′ ∈ Vf et δ > 0, il existe N ≥ 0 et Vf ′ un voisinage de f ′ dans Vf tels que, pour

f ′′ ∈ Vf ′ et n ≥ N , le diamètre de Snf ′′(V

′σ) est inférieur à δ pour la norme ‖ · ‖∇.

4. Pour j ≥ p et x ∈ Xj ∩K ′, f ′ ∈ Vf et σ ∈ V ′σ, soit f ′∗σ (x) ∈ Lη′

pf∗(x) défini par

f ′ Exp Sf ′(σ)(x) = Exp σ f ′∗σ (x)

Si la dérivée partielle ∂Tf ′∗σ (x)Lj (Exp σ) est injective alors ∂TxLj (Exp Sf ′(σ)) l’est aussi.

On va montrer que, quitte à restreindre Vf , l’application σp+1|Lpest continue de Vf dans V ′

σ.

L’application ip+1 est continue de Vf dans Mor(T ,M) et i est un morphisme T -contrôlé.

Donc, par régularité de l’application exponentielle, l’application :

σ′p+1 : f ′ ∈ Vf 7−→[x ∈ Lp 7→ exp−1

i(x) (ip+1(f ′)(x))]

est continue de Vf dans Mor0(T|Lp, Tp), par définition de la structure Tp.

L’application t ∈ R 7→ ε·t√1+t2

est un difféomorphisme sur ]− ε, ε[ dépendant régulièrement de

ε > 0. L’inverse de ce difféomorphisme est t ∈]− ε, ε[7→ t√ε2−t2

.

Ainsi, l’application :

σp+1|Lp: f ′ ∈ Vf 7−→

x ∈ Lp 7→σ′p+1(f

′)√ε2 i(x)− ‖σ′p+1(f ′)‖2

est une application continue de Vf dans Mor0(T|Lp

, Tp). Cela implique que σp+1|Lpest une ap-

plication continue de Vf dans ΓFp. Comme σp+1 s’annule en f , quitte à réduire Vf ,

∀f ′ ∈ Vf , σp+1(f ′)|Lp∈ V ′

σ

Ainsi, l’application f ′ ∈ Vf 7→ σp(f ′) := Sf ′(σp+1(f ′)|Lp) est bien définie et continue dans V ′

σ

munie de la topologie induite par Mor0(T|Lp, Tp).

116


Recollement de σp+1 avec sa préimage donnée par le lemme 5.3.4

On cherche à bien "recoller" σp et σp+1. Pour cela nous avons besoin du lemme suivant, pour

avoir une bonne structure algébrique locale sur les images par ip+1 de la structure de treillis T .

Lemme 5.3.5. Quitte à réduire η′ puis Vf , il existe une application continue γ de Vf dans les

morphismes (Tp|π−1(V∆), Tp)-contrôlés, respectant les fibres de Fp, qui vérifie, pour x ∈ V∆ et

f ′ ∈ Vf ,

1. le point γ(f ′)(0x) est égal à σp+1(f ′)(x),

2. pour j ≥ p et x ∈ V ′Cj

, il existe une plaque Ljx contenant Lη′

jx, telle que

Exp γ(f ′)(F⊥jx ∩ Fpx) = ip+1(f ′)(Ljx) t Exp(Fpx)

3. il existe δ > 0, ne dépendant ni de x ni de f ′, tel que γ(f ′)|Fpxest un difféomorphisme sur

un ouvert de Fpx contenant BFpx(0x, δ).

Le lemme 5.3.5 sera démontré dans la partie 5.3.6. On continue maintenant la preuve de notre

récurrence.

Par la conclusion 3 du lemme 5.3.5, quitte à réduire Vf , la section suivante est bien définie,

pour f ′ ∈ Vf :

x ∈ V∆ 7→ γ−1|Fpx

(f ′) σp(f ′)(x)

En se ramenant à des cartes des voisinages tubulaires de T et en utilisant le théorème des

fonctions implicites, on montre16 que cette dernière section est (T|V∆, Tp)-contrôlée et dépend

continûment de f ′ ∈ Vf .

Soit ρ ∈ Mor(T , [0, 1]) une fonction à support inclus dans V∆ et valant 1 sur V ′∆. On note

Ti∗TM la structure de treillis induite par T sur i∗TM .

Soit alors σ0p l’application définie, pour f ′ ∈ Vf , par :

σ0p(f

′) : A→ i∗TM

x 7→

γ(f ′)(ρ(x) · γ−1

|Fpx(f ′) σp(f ′)(x)

)si x ∈ V∆

σp+1(f ′)(x) si x ∈ V c∆

Comme le support de ρ est inclus dans V∆ et que γ(f ′)(0) = σp+1(f ′), l’application σ0p est conti-

nue de Vf dans l’espace des sections (T , Ti∗TM )-contrôlées de i∗TM . L’application σ0p est égale

à σp sur adh(V ′∆) et à σp+1 sur le complémentaire de V∆.

Fait 5.3.6. Quitte à réduire Vf et η′, pour f ′ ∈ Vf , j > p et x ∈ V ′Cj

,

16Une preuve similaire sera effectuée en détail dans le lemme 5.3.7

117


5.3.6.1 le point f ′ Exp σ0p(f

′)(x) appartient à Exp σ0p(f

′)(Lη′

jf∗(x)),

5.3.6.2 le point Exp σ0p(f

′)(x) appartient à ip+1(f ′)(Lη′

jx).

Preuve

Pour x ∈ V ′Cj\V∆, les points Exp σ0

p(f ′)(x) et ip+1(f′)(x) sont égaux. Par la propriété 2 de 5.3.1, les points

f ′ ip+1(f′)(x) et ip+1(f

′)f ′∗p+1(x) sont égaux. Comme x appartient à l’ouvert Ap+1, par 5.3.2.2, quitte à réduire

Vf , f ′∗p+1(x) n’appartient jamais à V∆, donc les points ip+1(f′) f ′∗p+1(x) et Exp σ0

p(f ′) f ′∗p+1(x) sont égaux.

Enfin, par la propriété 5 de 5.3.1 et 5.3.3.2, f ′∗p+1(x) appartient à Lη′

jf∗(x). Ainsi :

f ′ Exp σ0p(f ′)(x) = f ′ ip+1(f

′)(x) = ip+1(f′) f ′∗p+1(x)

= Exp σ0p(f ′) f ′∗p+1(x) ∈ Exp σ0

p(f ′)(Lη′

jf∗(x)

)Pour x ∈ V∆ ∩ V ′

Cjet f ′ ∈ Vf , on a :

σ0p(f ′)(x) = γ(f ′)

(ρ(x) · γ−1

|Fpx(f ′) σp(f ′)(x)

)D’après le conclusion 2 du lemme 5.3.4, le point Exp σp(f ′)(x) est envoyé par f ′ dans ip+1(f

′)(Lη′

pf∗(x)

). Quitte

à réduire η′, la distance d(f∗(V ′Cj

), Lcj) est strictement plus grande que 2η′. Donc, par cohérence des voisinages

tubulaires, on a Lη′

pf∗(x) ⊂ Lη′

jf∗(x).

⇒ f ′(Exp σp(f ′)(x)

)∈ ip+1(f

′)(Lη′

jf∗(x)

)(5.5)

D’après la dilatation normale exprimée dans 5.3.3.3, la cohérence des voisinages tubulaires et la propriété 2 de

5.3.1, pour y proche de i(x) et f ′ proche de f , on a :

d

(y, ip+1(f

′)(Lη′

jx

))≤ d

(f ′(y), ip+1(f

′)(Lη′

jf∗(x)

))(5.6)

Donc, quitte à réduire Vf , d’après (5.5) et (5.6), le point y := Exp σp(f ′)(x) appartient à ip+1(f′)

(Lη′

jx

). Comme

σp(f ′)(x) appartient à Fpx, par la conclusion 2 du lemme 5.3.5, le point γ−1|Fpx

(f ′)σp(f ′)(x) appartient à F⊥jx∩Fpx.

Donc, quitte à réduire Vf , le point Exp σ0p(f ′)(x) appartient à ip+1(f

′)(Lη′′

jx ), avec η′′ < η′. Quitte à réduire Vf ,

par la propriété 5 de 5.3.1 et 5.3.3.2, on a :

f ′ Exp σ0p(f ′)(x) ∈ ip+1(f

′)(Lη′

jf∗(x)

)(5.7)

Par 5.3.2.1, L’image de adh(V∆) par f∗ est disjointe de adh(V∆). Ainsi, au voisinage de f∗(V∆), l’application

Exp σ0p est égal à ip+1. Donc, quitte à réduire η′ et Vf , les images de Lη′

jf∗(x) par Exp σ0p(f ′) et par ip+1(f

′)

sont égales. L’assertion 5.3.6.1 provient ainsi de 5.7.

Montrons maintenant que, pour f ′ ∈ Vf , q ≥ p et x ∈ Ap+1 ∩Lq, la différentielle ∂TxLqExp σ0

p(f′) est injective. Grâce à la propriété 3 de 5.3.1, il suffit de vérifier cela pour x ∈ V∆. Par la

propriété 3 de 5.3.1 et le fait 5.3.6.2, il suffit de vérifier que ∂TxLjExp σ0p(f

′) est injective pour

j > p tel que x ∈ V ′Cj

. Pour f ′ = f , on a Exp σ0p(f

′) = i, donc ∂TxLjExp σ0p(f

′) est injective.

Comme V ′Cj

est relativement compact dans Lj et que l’application Exp σ0p|Lj

est continue de

Vf dans Mor(Lj ,M), quitte à réduire Vf , la différentielle ∂TxLjExpσ0p(f

′) est toujours injective.

118


Construction de ip

Par 5.3.3.6, la famille (VCp , A′p+1, int(A

cp)) est un recouvrement de A. Par l’annexe A.1.1, il

existe une partition de l’unité (r1, r2, r3) ∈Mor(T , [0, 1])3 associée à ce recouvrement.

On définit, par récurrence, sur des voisinages de plus en plus petits de f :

f ′ 7→ σk+1p (f ′) := r1 · Sf ′(σk

p(f ′)) + r2 · σ0p(f

′)|Lp

D’après le lemme 5.3.4, l’application σkp est continue d’un voisinage de f dans V ′

σ muni de la

topologie induite par Mor0(T|Lp, Tp).

On va montrer que (σkp)k converge vers une application σp dont la composition avec Exp est

l’application ip.

Description des valeurs de σkp

On va maintenant décrire les valeurs de σkp(f ′) sur un voisinage de V c

Cp, puis sur V ′

∆ et enfin

sur VCp \ V ′′∆, pour tout f ′ ∈ Vf .

- Sur un voisinage de V cCp

, la section σkp(f ′) est égale à r2 · σ0

p(f′). On a donc :

sur un voisinage de Ap \ VCp , σkp(f ′) = σ0

p(f′) (5.8)

.

- Sur V ′∆, par la conclusion 2 du lemme 5.3.4, la section Sf ′(σk

p(f ′)) ne dépend que de σkp(f ′)

sur un voisinage de f∗(adh(V ′∆)). Comme V∆ est inclus dans Ap+1, d’après 5.3.3.1 :

f∗(adh(V∆)) ⊂ Kp+1 \ adh(VCp) ⊂ Ap \ adh(VCp)

Donc sur un voisinage de f∗(adh(V ′∆)), les sections σk

p(f ′) et σ0p(f

′) sont égales. Comme

f∗(adh(V ′∆)) est disjoint de adh(V∆), sur un voisinage de f∗(adh(V ′

∆)), on a σ0p(f

′) = σp+1(f ′).

Comme V ′∆ est inclus dans K ′, par la conclusion 2 du lemme 5.3.4, la section Sf ′(σk

p(f ′)) est

égale à Sf ′(σp+1(f ′)) = σp(f ′) sur adh(V ′∆). Comme σ0

p est égal à σp sur V ′∆, on a :

∀x ∈ V ′∆, σ

kp(f ′)(x) = (r1 + r2) · σp(f ′) = (r1 + r2) · σ0

p(f′)(x)

et ∀x ∈ V ′∆ ∩Ap, σ

kp(f ′)(x) = σ0

p(f′)(x) = σp(f ′)(x) = Sf ′(σk−1

p (f ′))(x) (5.9)

- On va maintenant étudier les valeurs de σkp sur VCp \ V ′′

∆. Par 5.3.3.5, l’ensemble VCp \ V ′′∆

est contenu dans A′cp+1. La fonction r2 y est donc nulle. Soit x ∈ VCp \V ′′∆ ⊂ K ′. Par la conclusion

2 du lemme 5.3.4, Sf ′(σk−1p (f ′))(x) ne dépend que de σk−1

p (x1), où x1 := f ′∗σk−1

p(x) est η′-proche

de f∗(x) dans une plaque de Lp. Par 5.3.3.1, on a f∗(adh(VCp)) ⊂ int(Kp), donc x1 appartient

à Kp.

Si on suppose de plus que x1 appartient à (A′p+1 ∪ V ′′∆)c, alors x1 appartient à Kp \ (A′p+1 ∪

119


V ′′∆) ⊂ VCp \V ′′

∆. On peut alors réitérer ce processus en construisant une η′-pseudo chaîne (xi)nxi=0

de f∗, qui respecte les plaques de Lp, définie par : x0 = x

xi+1 := f ′∗σk−i

p(xi),

que l’on arrête quand i = k ou xi ∈ V ′′∆ ∪ A′p+1. On a donc x0 = x, . . . , xi ∈ Kp \ (A′p+1 ∪

V ′′∆), . . . , xnx ∈ (A′p+1 ∪ V ′′

∆) ∩Kp ou nx = k.

On va montrer que :

∀x ∈ VCp \ V ′′∆, σk

p(f ′)(x) = r1(x) · Snxf ′ (σ0

p|Lp(f ′))(x) (5.10)

et ∀x ∈ Ap ∩ VCp \ V ′′∆, σk

p(f ′)(x) = Snxf ′ (σ0

p|Lp(f ′))(x) (5.11)

Pour nx = k, ces égalités s’obtiennent par récurrence décroissante sur i le long de la chaîne

(xi)nxi=0.

Pour nx < k, d’après 5.3.3.5, le point xnx appartient à V ′′∆ ou à adh(VCp)c, donc par (5.8)

et (5.9), en effectuant une récurrence décroissante sur i le long de la chaîne (xi)nxi=0, on a aussi

(5.10) et (5.11). De plus, nx ne change pas pour un k plus grand. Donc la suite (σkp(f ′)(x))k est

stationnaire, par hypothèse iii) du théorème, quitte à réduire Vf .

On va montrer que, pour x′ appartenant à un voisinage de x ∈ VCp \ V ′′∆, on a :

σkp(f ′)(x′) = r1(x′) · Snx

f ′ (σ0p(f

′))(x′), si k > nx (5.12)

On aura ainsi ∇σkp(f ′)(x) = ∇(r1 · Sp

f ′(σ0p(f

′))(x)), avec p = nx.

Comme nx < k, le point xnx appartient à V ′′∆ ∪A′p+1 qui est ouvert et donc nx′ est inférieur

ou égale à nx pour x′ voisin de x.

L’inégalité 5.12 est immédiate si nx = nx′ . Supposons que nx > nx′ . Par définition, nx′ est

non nul. Ainsi xnx′ appartient à Kp \ (V ′′∆ ∪ A′p+1) et est proche de V ′′

∆ ∪ A′p+1 auquel x′nx′ap-

partient. Or ∂A′p+1 ∩ Kp est égal à ∂A′p+1 ∩ Cp qui est inclus dans V ′′∆ par 5.3.3.5. Ainsi, xnx′

appartient à adh(V ′′∆). Par 5.3.2.1, quitte à réduire Vf , on a toujours nx = nx′ + 1 dans ce cas.

De plus, sur le voisinage V ′∆ de xnx′ , la section σ0

p(f′) est égale à σp qui est elle-même égale à

Sf ′(σ0p|Lp

(f ′)). D’où l’équation (5.12).

Convergence de (σkp)k

On commence par montrer que, quitte à réduire Vf , pour tout k ≥ 0 et f ′ ∈ Vf , la section

σkp(f ′) est définie. Soient W ′ un compact de Lp et δ > 0 tels que

σ ∈ ΓFp ∩Mor(T|Lp, Tp) : ∀x ∈W ′, ‖σ(x)‖+ ‖∇σ(x)‖ < δ ⊂ V ′

σ

120


Par continuité de σ0p, quitte à considérer Vf plus petit, pour f ′ ∈ Vf , on a :

maxW ′

‖r2 · σ0

p(f′)‖+ ‖∇(r2 · σ0

p(f′))‖< δ

et maxW ′

‖(r1 + r2) · σ0p(f

′)‖+ ‖∇((r1 + r2) · σ0p(f

′))‖ < δ

Par la conclusion 3 du lemme 5.3.4, quitte à considérer Vf plus petit, il existe N ≥ 0 tel que,

pour f ′ ∈ Vf et n ≥ N , on a :

supW ′

‖r1 · Sn

f ′(σ0p(f

′))‖+ ‖∇(r1 · Snf ′(σ

0p(f

′)))‖< δ

Aussi, par continuité de σ0p et S, quitte à réduire de nouveau Vf , on a pour n ≤ N et pour

f ′ ∈ Vf , on a :

maxW ′

‖r1 · Sn

f ′(σ0p|Lp

(f ′))‖+ ‖∇(r1 · Snf ′(σ

0p|Lp

(f ′)))‖< δ

De la description des valeurs de σkp , on peut conclure que σk

p(f ′) est définie pour tout f ′ ∈ Vf et

k ≥ 0.

On va maintenant construire σp. D’après, la conclusion 3 du lemme 5.3.4 et la description

des valeurs de (σkp)k, cette suite converge dans C0(Vf ,ΓFp), vers une certaine application σp.

L’application σp se prolonge continûment sur Vf × A par r2 · σ0p en dehors de VCp , en une

application continue de Vf dans C0(A, i∗TM), que l’on note toujours σp.

Propriété de σp et ipOn va montrer que σp est une application continue de Vf dans Mor(T , Ti∗TM ).

Tout d’abord, l’application σp|Lpest continue de Vf dans ΓFp.

Quitte à réduire η′, on peut supposer cette constante inférieure à infVCpη, où η est la fonction

sur Vp fournie par l’hypothèse iii) du théorème. On définit Uj comme l’intérieur de l’ensemble

des points de V cCp

qui sortent par toute η′-pseudo-chaîne de VCp respectant Lp et de longueur

supérieure à j. Par la propriété 5.1.3, la suite d’ouverts (Uj)j est croissante et sa réunion est

VCp \Xp. D’après la description des valeurs de (σkp)k pour l > k > j, les sections σk

p(f ′) et σlp(f

′)

sont égales sur Uj et sur un voisinage de V cCp

. Donc σp est continue de Vf dans Mor(T , Ti∗TM ).

Soit ip := Exp σp

Montrons que :

pour j ≥ p, sur un voisinage de f∗(adh(V ′Cj

),

la section σp(f ′) est a valeurs dans Fj , pour tout f ′ ∈ Vf (5.13)

121


Comme σp+1 et σp sont colinéaires sur le complémentaire de VCp∪V∆ et que sur ce dernier en-

semble σp appartient à Fp, il suffit de montrer que f∗(adh(A′p+1)) n’intersecte pas adh(VCp∪V∆),

ce qui est donné par 5.3.3.1.

En particulier, l’application ip vérifie la propriété 4 de 5.3.1.

On va montrer maintenant que la restriction ip|Ap(f ′) est une immersion, pour f ′ ∈ Vf .

Par (5.8) et (5.9), sur un voisinage ouvert de (V cCp∪ V ′′

∆) ∩ Ap, la section σp(f ′) est égale à

σ0p(f

′). Or (V cCp∪V ′′

∆)∩Ap est inclus dans Ap+1. On a vu que Expσ0p|Ap+1

(f ′) est une immersion.

Donc ip|(V cCp∪V ′′

∆)∩Ap(f ′) est une immersion.

On étudie maintenant la restriction de ip(f ′) à V ′Cp\ V ′′

∆ qui contient V ′Cp\ A′p+1. Soit x ∈

(V ′Cp\ V ′′

∆)∩Uj . On considère de nouveau la pseudo-chaîne (xk)nxk=0 respectant les plaques de Lp

associée à x. On va démontrer par récurrence décroissante sur k ∈ 0, . . . , nx, que quand xk ∈ Xl

la différentielle ∂TxkLlExp Sn−k

f ′ (σ0p(f

′)) est injective. Pour k = nx, ∂TxkLlExp Snx−k

f ′ (σ0p(f

′))

est égale à ∂TxkLlσ0

p(f′). L’élément xk appartient à Kp ∩ (V ′′

∆ ∪ A′p+1) qui est inclus dans Ap+1.

Or, on a vu que ∂TLlExp σ0

p(f′) est injective sur Ll ∩Ap+1. Ainsi l’hypothèse de récurrence au

rang nx est bien vérifiée. On suppose que ∂TxkLlExp Sn−k

f ′ (σ0p(f

′)) est injective quand xk ∈ Xl.

Alors par la conclusion 4 du lemme 5.3.4, ∂Txk−1LlExp Sn−k+1

f ′ (σ0p(f

′)) est injective.

Ainsi, la propriété 3 de 5.3.1 est vérifiée.

Construction de la famille de voisinages adaptée Vp

Pour j ≥ p, d’après 5.3.3.2, on peut supposer η′ assez petit pour que

d(f∗(V ′Cj

), Lcj) > 2η′, (5.14)

et que le fermé adh(Lη′

jf∗(x)) soit un compact inclus dans L2η′

jf∗(x) et dépende continûment de

x ∈ adh(V ′Cj

), dans l’espace des compacts non vides de A muni de la distance de Hausdorff. On

peut maintenant définir Vp := (VXpk)Nk=p,

avec VXpj

:=x ∈ Lj ∩Ap ; ∃k ∈ p, . . . , j : x ∈ V ′

Cket adh(Lη′

kf∗(x)) ⊂ Lj

On remarque que, pour j ≥ p, l’ensemble VXp

jest ouvert. On va montrer que VXp

jcontient Xp

j .

Soit x ∈ Xpj = Xj ∩Ap. Comme (V ′

Ck)k recouvre Ap, il existe k ∈ p, . . . , N tel que x appartient

à V ′Ck

. Puisque V ′Ck⊂ Lk intersecte Xj , l’entier k est inférieur à j. De plus, f∗(x) appartient à

Xj et le compact adh(Lη′

kf∗(x)) est inclus dans L2η′

kf∗(x). Donc, par la propriété 2.1.3, adh(Lη′

kf∗(x))

est inclus dans Xj , lui-même inclus dans Lj . Ainsi, x appartient à VXpj. Cela montre donc que

Xpj est contenu dans VXp

j.

On remarque enfin que VXpj

contient V ′Cj

et donc Cj , pour tout j ≥ p. Ainsi une partie de la

propriété 5 de 5.3.1 est démontrée.

122


Construction de f ′ 7→ f′∗p

Par l’inclusion 5.3.3.5, VCp ∩A′p+1 ⊂ V ′′∆, donc on a V ′

Cp\ V ′′

∆ ⊂ Ap ∩ VCp \A′p+1. Ainsi, pour

tout k et f ′ ∈ Vf , par définition de σkp , la section σk+1

p (f ′) est égale à Sf ′(σkp(f ′)), sur V ′

Cp\ V ′′

∆.

De plus, par (5.9), on a sur V ′Cp∪ V ′′

∆ :

∀f ′ ∈ Vf , σp(f ′) = Sf ′(σp(f ′))

Comme V ′Cp

est inclus dans K ′, d’après la conclusion 2 du lemme 5.3.4, pour x ∈ V ′Cp

et f ′ ∈ Vf ,

on a :

f ′ ip(f ′)(x) ∈ ip(f ′)(Lη′pf∗(x)

) (5.15)

D’après (5.8) et (5.9), sur (Ap \ VCp) ∪ (Ap ∩ V ′∆), les sections σp et σ0

p sont égales. Par 5.3.3.5,

pour j > p, l’ouvert V ′Cj∩ VCp est inclus dans V ′′

∆. Donc sur V ′Cj⊂ Ap, les sections σp et σ0

p sont

égales. De plus, le compact adh(V ′Cj

) est inclus dans Ap+1 qui est envoyé dans Ap \ adh(VCp),

par 5.3.3.1. Donc sur un voisinage du compact f∗(adh(V ′Cj

)) les sections σp et σ0p sont égales.

Par le fait 5.3.6.1, on déduit que :

pour x ∈ V ′Cj

et f ′ ∈ Vf , on a :

f ′ ip(f ′)(x) ∈ ip(f ′)(Lη′

jf∗(x)) (5.16)

Ainsi, (5.15) et (5.16) expriment :

pour j ≥ p et x ∈ V ′Cj

et f ′ ∈ Vf ,

f ′ ip(f ′)(x) ∈ ip(f ′)(Lη′

jf∗(x)) (5.17)

On rappelle que la restriction de Exp à un voisinage de la section nulle du Lk-fibré (Fk,Fk)

est une immersion dans la variété M de même dimension. Par le théorème d’inversion locale, il

existe une fonction strictement positive et continue εk sur Lk telle que pour x appartenant à Lk,

la restriction de Exp à la plaque F εk(x)k0x

est un difféomorphisme sur voisinage de i(x) ∈M .

On note I−1kx l’application Exp−1

|Fεk(x)

k0x

. Il existe ainsi un voisinage ouvert Gk ⊂ Lk ×M du

graphe de i|Lktel que l’application suivante est bien définie :

πk : Gk → Lk

(x, y) 7→ πxk(y) := π I−1

kx (y)

ou π est la projection Fk → Lk

Lemme 5.3.7. L’application πk est ((T ×M)|Gk, T )-contrôlée.

123


Preuve

Il suffit de montrer que pour tout (x0, y0) ∈ Gk, si x0 appartient àXj ≥ Xk alors les différentielles ∂TyLj I−1kx (y)

et ∂TxMI−1kx (y) existent et dépendent continûment de (x, y) ∈ Gk au voisinage du couple (x0, y0).

On pose v0 := I−1kx0

(y). Par définition de I−1kx0

, l’élément π(v0) appartient à une plaque de Lk contenant x0.

Par la propriété 2.1.3, π(v0) appartient à une plaque de Xj contenant x0. Il existe donc une carte φ du feuilletage

Lk|Lj∩Lkde Lj|Lj∩Lk

, d’un voisinage U d’une plaque de Lk contenant x0 et π(v0). On peut supposer que φ s’écrit :

φ : U → Rdk × Rdj−dk × T

Soient (x01, x

02, x

03) et (v0

1 , v02 , v

03) les coordonnées de respectivement x0 et π(v0) via cette carte. On remarque que

les couples (x02, x

03) et (v0

2 , v03) sont égaux. Quitte à réduire T et U , il existe un voisinage U1 de v0

1 dans Rdk tel

que l’ouvert U ′ égal à φ−1(U1 × Rdj−dk × T ) est trivialisant pour Fk. Via la carte φ et cette trivialisation, on

identifiera U à Rdk × Rdj−dk × T et le fibré Fk|U′ à U1 × Rdj−dk × T × Rn−dk . Soit v04 la quatrième coordonnée

de v0 dans cette identification. Via une carte de M , on peut enfin identifier à Rn un voisinage de y0 ∈ M . On

considère l’application de classe C1 suivante :

Ψ : Rn × C0(T,U1)× Rdj−dk × C0(T,Rn−dk ) → C0(T,Rn)

(y, w1, x2, w4) 7−→[x3 7→ y − Exp

(w1(x3), x2, x3, w4(x3)

)]où les espaces de Banach des applications continues et bornées C0(T,Rdk ), C0(T,Rdj−dk ) et C0(T,Rn) sont munis

de la norme uniforme.

Quitte à réduire T (et ainsi U et U ′), il existe deux applications w01 ∈ C0(T,U1) et w0

4 ∈ C0(T,Rdj−dk ) telles

que, pour x3 ∈ T , le point I−1

k(x01,x0

2,x3)(y0) existe et a pour coordonnées

(w0

1(x3), x02, x3, w

04(x3)

). On remarque

que w01(x

03) est égal à v0

1 et w04(x

03) est égal à v0

4 . On a aussi :

Ψ(y0, w01, x

02, w

04) = 0

Par ailleurs, la différentielle ∂T (C0(T,U1)×C0(T,Rn−dk ))Ψ au point (y0, w01, x

02, w

04) est un isomorphisme car

Ti(TLk)⊕ Fk = i∗TM .

On peut donc utiliser le théorème des fonctions implicites qui nous donne l’existence de voisinages Vy de

y0 ∈ Rn, Vw1 de w01 ∈ C0(T,U1), Vx2 de x0

2 ∈ Rdj−dk , Vw4 de w04 ∈ C0(T,Rn−dk ) et d’une application de classe

C1 :

ρ : Vy × Vx2 → Vw1 × Vw4

(y, x2) 7→(ρ1(y, x2), ρ4(y, x2)

)tels que ρ(y0, x0

2) est égale à (w01, w

04) et pour (y, x2) ∈ Vy × Vx2

Ψ(y, ρ1(y, x2), x2, ρ4(y, x2)) = 0

Cela implique que pour x3 ∈ T , on a :

Exp(P ) = y, avec P :=(ρ1(y, x2)(x3), x2, x3, ρ4(y, x2)(x3)

)pour x = (x1, x2, x3) assez proche de x0 et y assez proche de y0, le point P appartient à Fεk(x)

k0x. Par unicité, le

point I−1x (y) est égal à P . L’application ρ étant de classe C1, cette application possède la régularité désirée.

Quitte à réduire Vf , pour f ′ ∈ Vf l’ensemble (f∗(x), f ′ ip(f ′)); x ∈ V ′Ck est inclus dans

Gk. L’application suivante est donc bien définie pour f ′ ∈ Vf :

V ′Ck→ Lk

124


x 7→ πf∗(x)k f ′ ip(f ′)(x)

D’après (5.13) et (5.17), quitte à réduire Vf , pour k ≥ p, x ∈ V ′Ck

et f ′ ∈ Vf , on a :

ip πf∗(x)k f ′ ip(f ′)(x) = f ′ ip(f ′)(x)

donc, pour l ≥ p, sur l’intersection de V ′Ck

et V ′Cl

, on a :

ip πf∗(x)k f ′ ip(f ′)(x) = ip πf∗(x)

l f ′ ip(f ′)(x)

Comme ip|Apest une immersion, quitte à considérer Vf plus petit, on a toujours :

πf∗(x)k f ′ ip(f ′)(x) = π

f∗(x)l f ′ ip(f ′)(x)

On peut donc définir

VfC0

−→ C0(Ap, Ap)

f ′ 7−→ (x 7→ f′∗p (x) = π

f∗(x)j f ′ ip(f ′)(x), si x ∈ V ′

Cj)

L’application f ′ 7→ (ip(f ′), f ′∗p ) vérifie ainsi les propriétés 1 et 2 de 5.3.1.

Par régularité des applications définissant l’application f ′ 7→ f ′∗p , pour montrer que cette

dernière est continue de Vf dans EndVp

f∗|Ap

(T|Ap), il suffit de prouver la propriété 5 de 5.3.1 :

∀k ≥ p, ∀x ∈ V pk , ∀f

′ ∈ Vf , f′∗p (x) ∈ Lη′

kf ′∗(x)

Par définition de VXpk, si x appartient à VXp

k, alors il existe j ∈ p, . . . , k, tel que x appartient

à V ′Cj

et la plaque Lη′

jf∗(x) est incluse dans Lη′

kf∗(x). Comme le point f ′∗p (x) appartient à Lη′

jf∗(x),

il appartient aussi à Lη′

kf∗(x). Ce qu’il fallait démontrer.

5.3.5 Preuve du lemme 5.3.4 préimage d’une perturbation de Lp

On remarque tout d’abord que le lemme 1.6.1 démontre une partie importante du lemme

5.3.4. En effet, avec (Lp,Lp) = (L,L), Vp = V , (Fp,Fp) = (F,F), K ′ = K, η = η′, V ′σ =

Vσ ∩Mor(T|Lp, Tp) et toutes autres données du lemme ayant les mêmes appellations, on obtient

les conclusions 1, 2 et 3 du lemme 5.3.4. Aussi, par continuité de (f ′, σ) 7→ f ′∗σ , comme f ′∗σ

coïncide avec f∗ sur le complémentaire du compact W , η′ peut être choisi arbitrairement petit,

quitte à restreindre Vf . Il ne reste plus qu’à démontrer la régularité de S et la conclusion 4 du

lemme. Pour cela, on va se replonger dans la preuve du lemme 1.6.1, en utilisant les notations

propres au lemme 5.3.4.

125


Preuve de la régularité de S

On rappelle que l’on a construit par transversalité l’application S0, puis choisit une fonction

r ∈ Mor(Lp,R) valant 1 sur un voisinage de K ′ et à support dans le domaine de définition W ′

de S0. On a alors défini l’application S par l’expression suivante :

∀f ∈ Vf et ∀σ ∈ Vσ, Sf ′(σ) := x ∈ Lp 7→

r(x) · S0

f ′(σ)(x) si x ∈W ′

0 sinon

Par l’annexe A.1.2, on peut choisir r étant en plus T -contrôlé. Ainsi, pour obtenir la régularité

de S, il suffit de montrer la régularité de S0. Dans la preuve du lemme 1.6.1, on a montré que

S0 est une application continue de Vf ×Vσ dans ΓFp|W ′ . Il reste donc à prouver que, pour j > p,

x0 appartenant à un voisinage de Xj intersecté avec W ′, f0 ∈ Vf et σ0 ∈ V ′σ, la différentielle

∂Tx0LjS0f ′(σ0) existe et dépend continûment de ces trois variables.

On va montrer que l’ensemble

Ljp := x ∈ Vj ∩W ′; adh(Lη′

pf∗(x)) ⊂ Lj

est un voisinage de Xj ∩W ′. Ainsi, on pourra considérer que x0 appartient à Ljp.

Par précompacité de W ′ dans Lp, pour η′ assez petit, x ∈W ′ 7→ adh(Lη′px) est continue pour

la distance de Hausdorff sur les compacts de Lp. Donc, l’ensemble Ljp est un ouvert. Il reste donc

à prouver que Xj ∩W ′ est inclus dans Ljp.

Par précompacité de W ′ dans Lp, pour η′ > 0 assez petit, pour tout x ∈ Xj ∩W ′, l’ensemble

L2η′px est une plaque qui contient l’adhérence de Lη′

px. Par la propriété 2.1.3, la plaque L2η′

pf∗(x) est

incluse dans une seule strate de Σ qui est donc Xj . Ainsi, l’adhérence de Lη′

pf∗(x) est incluse dans

Xj ⊂ Lj . Donc x appartient à Ljp.

On va démontrer la régularité suivant une méthode similaire à celle du lemme 1.6.1.

Tout d’abord, on va rappeler quelques éléments de cette preuve. Pour chaque x ∈ W ′, il

existe une carte de Lp d’un petit voisinage distingué de celui-ci :

φ : U ′1 → Vu × T, Vu ⊂ Rd

et un voisinage U2 de l’adhérence de l’image par f∗de U ′1. Au-dessus de U ′1 et U2, le fibré Fp

est trivial et identifié à U ′1 × Rn−dp et U2 × Rn−dp . On a noté p2 la projection canonique de

chacune de ces identifications sur Rn−dp . Pour un certain voisinage Vl de 0 dans C0(T,Rn−dp),

on a remarqué que l’application :

Ψ : Vf × Vσ × Vu × Vl → C0(T,Rn−dp)

(f ′, σ, u, l) 7−→ [Ψf ′(σ, u, l) = t 7→ p2(v)− p2 σ π(v)]

avec v = f ′(x′, l(t)), x′ = φ−1(u, t), f ′ = I−1pf∗(·) f

′ Exp

126


est bien définie et à sa dérivée partielle suivant sa dernière variable qui existe et est inversible.

De plus, Ψ s’annule en : (f ′, σ, u, (t 7→ p2 S0

f ′(σ) φ−1(u, t))).

On va maintenant adapter cette application à notre contexte, où x est égal à x0.

Comme x0 appartient à Ljp, quitte à restreindre U ′1 et U2, on peut supposer quye U ′1 est

inclus dans Ljp, que U2 est inclus dans Lj et que U ′1 est distingué pour le Lj-feuilletage :

φ′ : U ′1→Rdp × Rdj−dp × T ′

Par régularité de (Fp, Tp) → (Lp, T|Lp), on peut supposer que nos identifications sont issues

du voisinage tubulaire Tp ayant une structure de Lj-fibré .

Soit V ′l un petit voisinage de

t ∈ T ′ 7→ p2 Sf ′(σ)(φ′−1(u, t))|U ′1; f ′ ∈ Vf , σ ∈ Vσ et u ∈ Rdj

dans l’espace de Banach des applications continues et bornées C0(T ′,Rn−dp). Pour f ′ ∈ Vf et

σ ∈ V ′σ, l’application suivante

Ψf ′,σ : Rdj × V ′l → C0(T ′,Rn−dp)

(u, l) 7−→ [t 7→ p2(v)− p2 σ π(v)]

avec v = f ′(x′, l(t)), x′ = φ−1(u, t) et f ′ = I−1p f Exp

est donc définie, de classe C1 et dépend continûment de f ′ ∈ Vf et σ ∈ V ′σ.

Soient

φ′(x0) =: (u0, t0) ∈ Rdj × T ′

M0 :=(u0, (t ∈ T ′ 7→ p2 Sf0(σ0) φ′−1(u0, t))

)On a Ψf0,σ0(M0) = 0.

Pour pouvoir utiliser le théorème des fonctions implicites, on va montrer que ∂l′Ψf0,σ0(M0)

est un isomorphisme. Pour t′ ∈ T ′, l’application linéaire :

l′ ∈ C0(T ′,Rn−dp) 7→ TM0Ψf0,σ0(l′)(t′)

ne dépend de l′ qu’en sa valeur en t′. La différentielle ∂lΨf0,σ0(M0) est donc bijective si et seule-

ment si, pour tous t′ ∈ T ′ et l′ ∈ C0(T ′,Rn−dp) ne s’annulant pas en t′, le vecteur TM0Ψf0,σ0(l)(t′)

est non nul. Soient x′ := φ′−1(u0, t′), (u, t) := φ(x′) et l ∈ C0(T,Rn−dp) égal à l′(t′) en t. On

remarque que

TM0Ψf0,σ0(l′)(t′) = T(σ0,u,p2S0

f0(σ0)φ−1(u,·))Ψf0(l)(t).

127


Ce dernier n’est pas nul car ∂lΨf0,σ0 est inversible. Ainsi ∂lΨf0,σ0(M0) est bijective. Par le théo-

rème de Banach-Steinhauss [24], on conclut que ∂lΨf0,σ0(M0) est un isomorphisme.

On peut donc utiliser le théorème des fonctions implicites au point M0, qui donne l’exis-

tence de voisinages V ′f de f0 ∈ C1(M,M), V ′′

σ de σ0 dans V ′σ, V ′

u de φ′1(x0) ∈ Rdj , V ′l de

t ∈ T ′ 7→ p2 S0f0

(σ0) φ′−1(u, t) dans C0(T ′,Rn−dp) et enfin d’une application de classe C1,

dépendant continûment de f ′ ∈ V ′f et σ ∈ V ′′

σ :

ρf ′,σ : V ′u → V ′

l verifiant :

∀(u′, l′) ∈ V ′u → V ′

l

Ψf ′,σ(u′, l′) = 0 ⇐⇒ l′ = ρf ′,σ(u′)

On remarque que U ′′1 := φ′−1(V ′u × T ′) est un voisinage de x0 inclus dans U ′1 et donc dans

W ′. Par unicité, on a donc pour tout x ∈ U ′′1 :

S0f ′(σ

′)(x) =(x, ρf ′,σ′(φ′1(x)) φ′2(x)

)Par continuité de ρ′ dans les applications de classe C1, la différentielle ∂TxLjS

0f ′(σ

′) existe et

dépend continûment de f ′ ∈ V ′f , σ ∈ V ′

σ et x ∈ U ′′1 . Ce qu’il fallait démontrer.

Preuve de la conclusion 4 : injectivité de T (Exp S)

Il s’agit de montrer que la différentielle ∂TxXj (ExpSf ′(σ)) est injective quand ∂Tf ′σ∗(x)Xj (Exp

σ) est injective, pour f ′ ∈ Vf , σ ∈ V ′σ et x ∈ K ′ ∩Xj .

La section Sf ′(σ) est une immersion de (Lp,Lp) dans (Fp,Fp) et la restriction de Exp à un

voisinage de la section nulle de (Fp,Fp) est une immersion dans M . Quitte à réduire Vf , l’ap-

plication Exp Sf ′(σ)(x) est donc une immersion de Lp dans M . Il ne reste plus qu’à montrer,

pour u ∈ TxXj \ TxLp, que le vecteur T (Exp Sf ′)(u) n’est pas nul.

Par le lemme 5.3.7, l’application suivante est (T|W ′ , T|Lp)-contrôlée :

f ′∗σ : W ′ → Lp

x 7→ πf∗(x)p (f ′ Exp S0

f ′(σ)(x))

Par définition de S0, on a pour tout x′ ∈W ′ :

f ′ Exp S0f (σ)(x′) = Exp σ f ′σ

∗(x′)

Ce qui implique :

∂TxXj (f′ Exp S0

f (σ))(x) = ∂TxXj (Exp σ f ′σ∗)

Il suffit donc de montrer que le vecteur T (Expσf ′σ∗)(u) n’est pas nul. Comme par hypothèse

∂Tf ′∗σ (x)Xj (Exp σ) est injective, il suffit de prouver que Tf ′σ∗(u) est non nul.

128


Comme f ′σ∗ appartient à Morf∗(Lp|W ′ ,Lp), il suffit de montrer que Txf

∗(u) n’appartient pas

à Tf∗(x)Lp. Par dilatation normale et injectivité de Ti, le vecteur Tf Txi(u) n’appartient pas à

Ti(Tf∗(x)Lp). Ainsi, par commutativité du diagramme, le vecteur Txf∗(u) = (Tf∗(x)i)−1 T (f

i)(u) n’appartient pas à Tf∗(x)Lp.

5.3.6 Preuve du lemme 5.3.5 : construction d’une structure algébrique locale

Décompositions de Fp

Pour x ∈ Lp, soit :

Ix := j ∈ p+ 1, . . . , N; x ∈ VCj ∪ p,N + 1 =: i0(x) < · · · < inx+1(x)

Soit FN+1 le fibré de la grassmannienne des 0-plans de i∗TM . Par le lemme 5.1.1, on a donc :

Fpx = Fi0x ⊃ Fi1x ⊃ · · · ⊃ Finx+1 x = 0

F⊥px = F⊥i0x ⊂ F⊥i1x ⊂ · · · ⊂ F⊥inx+1 x = Ti(x)M

La démonstration de ce lemme repose sur l’idée intuitive de décomposer chaque vecteur u de

Fpx suivant la somme orthogonale :

⊥⊕1≤k≤nx+1

Fik−1x ∩ F⊥ikx = Fpx

En effet, la projection orthogonale de u dans Fik−1x ∩F⊥ikx appartient à Fpx ∩F⊥ikx qui s’identifie

l’espace tangent de Exp(Fpx) t i(f ′)(Likx). On a alors envie de composer les flots géodésiques

de ces vecteurs sur ces sous-variétés, pour obtenir l’application γ.

Un premier problème survient car cette décomposition en sous-espace n’est pas lisse (nx n’est

pas constant), ainsi cette composition n’est pas contrôlée, en général. On va donc commencer par

construire une famille d’endomorphismes (Pk)k, linéaires et contrôlés, tels que Pik s’apparente à

la projection orthogonale de Fpx sur Fik−1x ∩ F⊥ikx.

Pour k ≥ p + 1, soit pk la projection orthogonale de Fp|Lp∩Lksur Fp|Lp∩Lk

∩ F⊥k|Lp∩Lk. Par

l’annexe A.1.2, il existe une fonction ρk ∈ Mor(T , [0, 1]) valant 1 sur V ′Ck

et à support inclus

dans VCk.

Pour k > p, on définit par récurrence L’endomorphisme linéaire de Fp, au dessus de l’identité

de Lp suivant :

Pk :=

ρk ·(pk −

∑p<j<k Pj

)sur VCk

0 ailleurs

avec la convention qu’une somme indicée par l’ensemble vide est nulle.

L’endomorphisme Pk est Tp-contrôlé et vérifie le lemme suivant :

129


Lemme 5.3.8.

5.3.8.1) l’espace Pk(Fpx) est inclus dans Fp ∩ F⊥k , si x ∈ VCk, ou égal à 0 si x appartient

à un voisinage de adh(V cCk

).

5.3.8.2) pour tout j > k et x ∈ Lj ∩ Lp, la restriction Pk|Fjxest nulle.

5.3.8.3) pour tout x ∈ V ′Ck

, on a :∑l∈Ix\p

Pl|Fpx∩F⊥kx= idFpx∩F⊥kx

et Pj|Fpx∩F⊥kx= 0, si j > k

Preuve

Les assertions 5.3.8.1 et 5.3.8.2 sont évidentes. De plus, pour x ∈ V ′Ck

, on a :∑l∈Ix : p<l≤k

Pl|Fpx∩F⊥kx

=∑

p<l≤k

Pl|Fpx∩F⊥kx

= pk|Fpx∩F⊥kx

Pour montrer 5.3.8.3, il ne reste plus qu’à montrer que la restriction Pj à Fpx ∩ F⊥kx est nulle pour j > k.

Pour cela, on suppose par récurrence sur j ≥ k que∑p<l≤j

Pl|Fpx∩F⊥kx

= pk|Fpx∩F⊥kx

On a bien : ∑p<l≤j+1

Pl|Fpx∩F⊥kx

= ρj+1 · (pj+1 − pk)|Fpx∩F⊥kx

+ pk|Fpx∩F⊥kx

= pk|Fpx∩F⊥kx

Translations sur les voisinages tubulaires

Les voisinages tubulaires de T étant des laminations munies d’une structure de classe C1, il

existe un second problème dans cette idée : on ne peut pas considérer le flot géodésique sur la

sous-variété i(f ′)(Likx) t Exp(Fpx) induit par la métrique riemannienne de M . Pour des ques-

tions de régularité plus fines (de contrôle), on préfère considérer une application f ′k obtenue par

transversalité de Fkx avec Exp−1|Fpx

(i(f ′)(Likx)) dans la fibre Fpx.

Pour chaque k > p, par précompacité de VCk∩V∆ dans Lk, quitte à réduire Vf , il existe e > 0

tel que, pour chaque x ∈ VCk∩ V∆ et f ′ ∈ Vf , l’ensemble Le

kx est une plaque qui est plongée par

ip+1(f ′), qui a son adhérence incluse dans Lk et qui intersecte transversalement le plongement de

Fpx par Exp. On peut supposer de plus, que quitte à rapprocher de (Ti(TLj)⊥)j les relèvements

(Nj)j , cette intersection est l’image par Exp d’un graphe d’une application sk(f ′) d’un voisinage

de 0x ∈ F⊥kx ∩ Fpx dans Fkx, via l’identification de Fpx avec (F⊥kx ∩ Fpx)× Fkx. Quitte à réduire

Vf , par précompacité de VCk∩ V∆, il existe donc un voisinage ouvert Ok de la section nulle du

fibré (F⊥k ∩ Fp)|VCk∩V∆

, tel que

∀x ∈ VCk∩ V∆, ∀f ′ ∈ Vf ,

130


Exp(graph(sk(f ′)|Ok∩F⊥kx∩Fpx

))⊂ Exp(Fpx) t ip+1(f ′)(Le

kx) (5.18)

On va maintenant esquisser la preuve montrant que sk est une application continue de Vf

dans les morphismes contrôlés, pour les structures induites par T sur (F⊥k ∩ Fp)|VCk∩V∆

et Fk.

Par transversalité, pour u appartenant à l’intersection du domaine de définition de sk avec

F⊥kx ∩Fpx, Exp sk(x, u) est l’unique point d’intersection de Exp(Fkx +u) avec ip+1(f ′)(Lekx).

Quitte à réduire e et Vf , cette dernière intersection peut être supposée transverse. Dans des

ouverts distingués des voisinages tubulaires de Tp et T , l’application sk peut donc être décrite de

façon implicite, de façon à prouver que sk est une application continue de Vf dans les morphismes

d’un voisinage de la section nulle de (F⊥k ∩ Fp)|VCk∩V∆

dans le fibré Fk|VCk∩V∆

, au-dessus de

l’identité de VCk∩ V∆, contrôlés par les structures induites par T|VCk

∩V∆sur ces fibrés.

On note par Lxf ′

kp l’ensemble Exp−1|Fpx

(ip+1(f ′)(Lekx)).

Soit F 2p le produit fibré au-dessus de Lp, de Fp avec lui-même. Sur un voisinage de la section

nulle de F 2p|VCk

∩V∆, on définit pour f ′ ∈ Vf :

f ′k := F 2p|VCk

∩V∆→ Fp|VCk

∩V∆

(u, v) 7→ f ′k,u(v) := Pk(u) + pk(v) + sk(f ′) (Pk(u) + pk(v))

Par régularité des applications composant f ′k, ce dernier est un morphisme contrôlé pour les

structures de treillis de laminations sur F 2p|VCk

∩V∆et Fp|VCk

∩V∆induites par T|VCk

∩V∆(définies

dans l’annexe A.3.2). De plus, pour cette topologie, l’application f ′ 7→ f ′k dépend continûment

de f ′.

On remarque que l’image de f ′k est incluse dans Lxf ′

kp . Aussi, la restriction de f ′k,0 à l’inter-

section de son domaine de définition avec Lxf ′

kp est l’identité, pour x ∈ VCk∩ V∆.

Comme F⊥kx ∩Fpx est proche de Ti(TxLk)∩Fpx, qui est lui-même proche de l’espace tangent

de Exp(Lxf ′

kp ) au point sk(f ′)(0x) (avec égalité en f ′ = f), la différentielle ∂uf′k((0, 0)x) est proche

de l’application linéaire qui à u ∈ Fpx associe Pk(u).

Définition de γ

On peut maintenant définir, sur un voisinage W de la section nulle de Fp|V∆, l’application :

γ0(f ′)(u) := u−∑

k∈Ix\p

Pk(u) + finx (x),u · · · fi2(x),u fi1(x),u σp+1(f ′)(x),

avec x := π(u)

On va montrer que l’application f ′ 7→ γ0(f ′) est continue de Vf dans les morphismes

(Tp|W , Tp)-contrôlés, laissant invariant les fibres de Fp|V∆.

131


Soit x ∈ Lp. Comme le recouvrement (VCk)k est ouvert, il existe un voisinage V de x tel que

Ix′ contient Ix, pour x′ ∈ V . D’après 5.3.8.1), on peut supposer de plus que, la restriction Pk|Fpx′

est nulle, pour chaque x ∈ V et k ∈ Ix′ \ Ix. Ainsi, pour tout u′ ∈ Fpx′ et k ∈ Ix′ \ Ix,

(fk,u′)|Fpx′= (fk,0)|Fpx′

et∑

l∈Ix′\p

Pl|Fpx′=

∑l∈Ix\p

Pl|Fpx′

Soit q ∈ Ix tel que iq(x) < k < iq+1(x)

Comme l’adhérence de Lekx′ est incluse dans Lk, par cohérence des voisinages tubulaires de T ,

Lx′f ′

iqp est inclus dans Lx′f ′

kp . De plus, l’image de fiq(x),u′ restreint à la fibre de x′ est incluse dans

Lx′f ′

iqp , on a donc, sur leur domaine de définition :

fk,u′ fiq(x),u′ = fk,0 fiq(x),u′ = fiq(x),u′

Ainsi, pour tout x′ ∈ V et u′ ∈ Fpx′ ∩W , on a :

γ0(f ′)(u′) := u′ −∑k∈Ix

Pk(u′) + fin(x),u′ · · · fi2(x),u′ fi1(x),u′ σp+1(f ′)(x′)

On en conclut la continuité de l’application γ0 de Vf dans Mor(Tp|W , Tp).

Quitte à réduire Vf et rapprocher les relèvements (Nk)k de (Ti(TLk)⊥)k, pour f ′ ∈ Vf ,

la dérivée partielle ∂Fpγ0(f ′)(0) est uniformément proche de l’identité et donc bijective. Ainsi,

avec W assez petit, pour f ′ ∈ Vf et x ∈ V∆, l’application γ0(f ′)|Fpx∩W est un plongement.

Par précompacité de V∆, on peut supposer qu’il existe δ > 0 tel que W contient le δ-voisinage

de la section nulle de Fp|V∆.

On peut maintenant définir :

γ : f ′ ∈ Vf 7−→

[u ∈ Fp|V∆

7→ γ0(f ′)

(δ · u√

1 + ‖u‖2

)]

On remarque que γ vérifie bien les conclusions 1) et 3).

On va maintenant vérifier la conclusion 2). Soient x ∈ V∆ ∩V ′Cq

et u ∈ Fpx ∩F⊥qx. Par 5.3.8.3,

on a

u =∑

k∈Ix\p

Pk(u)

De plus, toujours d’après 5.3.8.3, le vecteur Pil(u) est nul, pour l > q. Ainsi, l’application fil(x),u

est égale à fil(x),0 et, par cohérence des voisinages tubulaires de T , on a :

finx (x),u · · · fim(x),u · · · fi1(x),u σp+1(f ′)(x) = fim(x),u · · · fi1(x),u σp+1(f ′)(x)

132


Ainsi, γ0(u) est égal à fim(x),u · · · fi1(x),u σp+1(f ′)(x). On a donc, pour f ′ ∈ Vf ,

Exp γ(f ′)(Fpx ∩ F⊥qx) ⊂ Exp γ0(f ′)(W ∩ Fpx ∩ F⊥qx) ⊂ Exp(Lxf ′qp )

La sous-variété Exp(Lxf ′qp ) = Exp(Fpx)∩ ip+1(f ′)(Le

qx) contient la sous-variété Expγ(f ′)(Fpx∩F⊥qx) et ces sous-variétés sont de même dimension. Donc, il existe une plaque Lf ′

qx, incluse dans

Leqx, telle que :

Exp γ(f ′)(Fpx ∩ F⊥qx) = Exp(Fpx) ∩ ip+1(f ′)(Lf ′qx)

Comme Exp γ(f ′)(0) est égal à ip+1(f ′)(x), la plaque Lf ′qx contient le point x.

De plus, la dérivée partielle ∂Fpγ0(f ′) est uniformément proche de l’identité. Donc, il existe

η′ > 0 tel que la plaque Lf ′qx contient Lη′

qx, pour chaque q > p, x ∈ V q∆ et f ′ ∈ Vf .

Autrement dit, la conclusion 2) du lemme est vérifiée.

133


134

A

Analyse sur les laminations et les treillis

SommaireA.1 Partition de l’unité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

A.1.1 Partition de l’unité sur une lamination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

A.1.2 Partition de l’unité contrôlée sur une stratification de laminations . . . 138

A.2 Densité des relèvements lisses d’une application lisse . . . . . . . . . 140

A.2.1 Densité des relèvements lisses d’un morphisme d’une lamination dansun fibré en variétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

A.2.2 Densité des relèvements lisses d’un morphisme contrôlés dans un fibréen variétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

A.3 Fibré induit par une section de la grassmannienne . . . . . . . . . . 142

A.3.1 Fibré induit par une section de la grassmannienne au-dessus d’une la-mination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

A.3.2 Fibré induit par une section T -contrôlée de la grassmannienne . . . . . 143

A.1 Partition de l’unité

A.1.1 Partition de l’unité sur une lamination

Propriété A.1.1. 1. Soit L un espace métrique localement compact et séparable. Il existe

alors une suite croissante de compacts (Kn)n≥0 telle que son union soit égale à L et que

pour chaque n ≥ 0, le compact Kn soit inclus dans l’intérieur de Kn+1.

2. Soit (L,L) une lamination. Il existe (Vi)i un recouvrement de L localement fini, tel que

chaque ouvert Vi est relativement compact dans un ouvert distingué.

Preuve

1) Par compacité locale de L, pour x ∈ L, on peut définir la borne supérieure rx des r ∈]0, 1[ telle que la boule

B(x, r) soit relativement compacte. Comme L est séparable, il existe une partie (xi)i∈N dense dans L. Pour chaque

135

Annexe A. Analyse sur les laminations et les treillis

x ∈ L, il existe donc xi à une distance strictement inférieure à rx/8 de x. Ainsi la boule B(xi, rx/4) est incluse

dans B(x, rx/2). Cette dernière étant relativement compacte, il en est de même pour la boule B(xi, rx/4), ce qui

implique que rxi ≥ rx/4. On remarque que x appartient à la boule B(xi, rx/8) qui est incluse dans B(xi, rxi/2).

Donc la famille de boules relativement compactes (B(xi, rxi/2))i est un recouvrement de L.

On pose alors Kn := ∪0≤i≤nadh(B(xi, rxi/2)

). La famille de compacts (Kn)n est bien croissante et son union

est égale à L. Pour chaque n ≥ 0, la famille (Kn \ int(Kn+p))p≥0 est une suite décroissante de compacte dont

l’intersection est vide :⋂p≥0

Kn \ int(Kn+p) = Kn \⋃p≥0

int(Kn+p) ⊂ Kn \⋃i≥0

B(xi, rxi/2) = ∅

Il existe donc p ≥ 0 tel que Kn \ int(Kn+p) soit vide ; autrement dit Kn est inclus dans l’intérieur de Kn+p. Donc,

quitte à extraire une sous-suite de (Kn)n, on peut supposer que Kn est inclus dans l’intérieur de Kn+1.

2) Soit (Kn)n la suite de compacts donnée par 1). On note Cn le compact Kn \ int(Kn−1) (avec K−1 = ∅).Pour chaque n ≥ 0 et x ∈ Cn, il existe rn

x > 0 tel que B(x, rnx ) est disjointe de Kn−2, incluse dans Kn+1 et dont

l’adhérence (compacte) est incluse dans un ouvert distingué de L. Par compacité de Cn, il existe une famille finie

(xi)i∈In d’éléments de Cn, telle que (B(xi, rnxi

))n recouvre Cn. La famille (Vi)i := (B(xi, rnxi

))n≥0, i∈In est bien

un recouvrement de L localement fini tel que chaque ouvert Vi inclus dans un ouvert distingué.

Proposition A.1. Soit (L,L) une lamination.

1. Soient η > 0 et x ∈ L. Il existe alors une fonction positive ρ ∈Mor(L,R) à support inclus

dans B(x, η) et telle que ρ(x) soit strictement positive.

2. Étant donné (Ui)i∈I un recouvrement localement fini de L par des ouverts, il existe (ρi)i ∈Mor(L,R+)I tel que

∑i ρi = 1 et le support de ρi soit inclus dans Ui. On dira que (ρi)i

est une partition de l’unité adaptée à (Ui)i.

3. L’ensemble des morphismes de (L,L) dans R est dense dans l’espace des fonctions continues

sur L pour la topologie C0 forte.

Preuve

1) Soit (U, φ) ∈ L une carte d’un voisinage de x qui s’écrit de la forme :

φ : U → V × T

où V est un ouvert de Rd et T est un espace métrique. On note φ1 et φ2 les coordonnées de φ et on suppose que

φ1(x) = 0. Soit une fonction ρ1 ∈ C1(V,R+) à support compact, telle que ρ1(0) est non nul et la préimage par φ

de supp(ρ1)× φ2(x) est incluse dans la boule B(x, η). Par compacité, il existe un voisinage τ de φ2(x) dans T

tel que la préimage par φ de supp(ρ1)× τ est incluse dans la boule B(x, η). Soit alors une fonction ρ2 positive et

continue sur T , à support dans τ et non nulle en φ2(x). On définit alors :

ρ : y 7→

ρ1 φ1(y) · ρ2 φ2(y) si y ∈ U

0 sinon

On remarque que la fonction ρ possède les propriétés requises.

2) On commence par admettre cette assertion quand I est fini. Soit (Kn)n la suite de compacts de L, donnée

par la proposition A.1.1.1. On pose K−1 = K−2 = ∅. Pour chaque n ≥ 0, il existe donc rn ∈Mor(L, [0, 1]) valant

136

A.1. Partition de l’unité

1 sur Kn \Kn−1 et 0 sur Kn−2 ∪Kcn+1. Soit In ⊂ I l’ensemble fini des ouverts Ui intersectant Kn+1 \Kn−2. Il

existe donc (ρni )i∈In une partition de l’unité associée au recouvrement (Ui)i∈In de ∪i∈InUi. Soit alors

ρi :=

∑n: In3i rn · ρn

i∑n rn

∈Mor(L,R+),

qui est a support dans Ui et vérifie ∑i

ρi =

∑n rn

∑i∈In

ρni∑

n rn=

∑n rn∑n rn

= 1

donc (ρi)i est une partition de l’unité associée à (Ui)i. Il suffit donc de prouver l’existence d’une partition de

l’unité quand I est fini.

On va montrer par récurrence que l’on peut se ramener au cas où le cardinal de I est 2. Si ce cardinal est

k+1 > 2, par hypothèse de récurrence on a une partition de l’unité (rj)kj=1 associée à (Uj)

kj=1 sur la restriction de L

à ∪j≤kUj et une partition de l’unité (r0, rk+1) associée à (∪j≤kUj , Uk+1). On remarque alors que ((r0 ·rj)kj=1, rk+1)

est une partition de l’unité associée à (Uj)k+1j=1 .

On suppose donc que le recouvrement (Uj)j est formé des seuls éléments U1 et U2. On va construire deux

fermés F1 et F2 inclus dans respectivement U1 et U2 tels que l’union de F1 et de F2 soit L.

Si, par exemple, U1 est égal à L, on choisit alors F1 = L et F2 = ∅. Si ni U1 ni U2 ne recouvre L, on pose :

F1 := x ∈ L; d(x,Uc1 ) ≥ d(x,Uc

2 ) et F2 := x ∈ L; d(x,Uc1 ) ≤ d(x,Uc

2 )

Bien sûr, ces deux ensembles sont des fermés qui recouvrent L. Supposons par l’absurde que F2 n’est pas inclus

dans U2. Il existe alors un élément x appartenant à Uc2 ∩ F2, qui vérifie donc :

d(x,Uc1 ) ≤ d(x,Uc

2 ) = 0

donc x appartient à l’intersection de Uc1 avec Uc

2 qui est vide, ce qui est absurde. De façon symétrique, on montre

que F1 est inclus dans U1.

On va maintenant construire deux fonctions positives r1 ∈ Mor(L,R) et r2 ∈ Mor(L,R), telles que les

fonctions r1 et r2 ne s’annulent pas sur respectivement F1 et F2, et ont leur support inclus dans U1 et U2. Les

fonctions suivantes vérifieront donc l’assertion 2) :

ρ1 :=r1

r1 + r2et ρ2 :=

r2r1 + r2

On peut construire par exemple la fonction r1. Par la propriété A.1.1, il existe (Kn)n une suite croissante de

compacts de L telle que l’union ∪nKn est égale à L et, pour n ≥ 0, l’intérieur de Kn+1 contient Kn. On pose

Cn := Kn \ int(Kn−1), avec K−1 = ∅. On note aussi Dn := Cn ∩ F1. Pour chaque x ∈ Dn, il existe ηnx > 0

tel que la boule B(x, ηnx ) n’intersecte pas Kn−2 et soit incluse dans Kn+1 ∩ U1. Soit alors ρn

x la fonction donnée

par l’assertion 1) de cette proposition avec η = ηnx , on note Un

x l’ensemble des points où cette fonction est non

nulle. On remarque que la famille d’ouverts (Unx )x∈Dn est un recouvrement du compact Dn. On en extrait un

recouvrement fini (Unxi

)i∈In . On remarque que la famille (Unxi

)n≥0, i∈In est un recouvrement localement fini de

F1 et inclus dans U1. La fonction suivante convient donc :

r1 :=∑

n≥0, i∈In

ρnxi

3) Soient f ∈ C0(L,R) et ε > 0. On va construire une fonction f ′ ∈Mor(L,R) vérifiant :

supx∈L

|f(x)− f ′(x)| ≤ ε

Soit (Ui)i un recouvrement localement fini de L par des ouverts relativement compacts et distingués. Pour

chaque i, fixons une carte φi : Ui → Rd × Ti. On note φi1 et φi2 ses coordonnées. Soit (ρi)i ∈ Mor(L,R)N une

137


partition de l’unité associée à (Ui)i. Soit Wi := Ui \ ρ−1(0) qui est relativement compact dans Ui.

Soit r ∈ C∞(Rd,R+) une fonction à support dans la boule unité et d’intégrale égale à 1. Pour chaque i, soit

εi > 0 assez petit pour que la fonction suivante soit définie :

fi : Wi → R

x 7→ 1

εdi

∫B(0,εi)

f

(φ−1

i

(φi1(x) + y, φi2(x)

))· r

(y

εi

)dy

et vérifie supWi|fi−f | < ε. Par les propriétés classiques des convolutions, la fonction suivante possède les qualités

requises :

x 7→∑

i; x∈Ui

ρi(x) · fi(x)

A.1.2 Partition de l’unité contrôlée sur une stratification de laminations

Proposition A.2. Soit (A,Σ) un espace stratifié qui supporte une structure de treillis T .

1. Soient η > 0 et x ∈ A. Il existe alors une fonction positive ρ ∈ Mor(T ,R) de support

inclus dans B(x, η) et telle que ρ(x) est non nul.

2. Pour tout η > 0 et toute fonction ρ0 continue sur A, il existe une fonction ρ sur A T -

contrôlée telle que :

supx∈A

|ρ− ρ0(x)| ≤ η

3. Étant donné un recouvrement fini (Ui)i∈I de A par des ouverts, il existe (ρi)i ∈Mor(T ,R+)I

tel que le support de ρi soit inclus dans Ui et∑

i ρi = 1. On dira que (ρi)i est une partition

de l’unité adaptée à (Ui)i.

Preuve

1-2) On va démontrer les assertions 1 et 2 en même temps. On remplacera toute les propositions concernant

le signe des fonctions construites par, respectivement, les propositions concernant la distance à ρ0 des fonctions

construites.

On note (Xp)p et (Lp)p les laminations obtenues par la propriété 2.1.7 à partir de Σ et T . Pour k ≥ 0, soit

Uk := ∪p≤kLp.

On va construire par récurrence sur k ≥ 0, une fonction ρk continue telle que, pour j ≤ k, ρk|Ljest un

morphisme de Lj dans R, que sa restriction à Uj \Lk est égale à celle de ρj , et que ρk est positive sur A, à support

inclus dans B(x, (1− 2−k−1) · η) et ne s’annulant pas en x (resp. supA |ρk − ρ| ≤ (1− 2−k−1) · η).Pour l’étape k = 0, on choisit simplement une fonction ρ0 continue sur A, positive, à support dans B(x, η/2)

et telle que ρ0(x) > 0 (resp. pour l’étape k = 0, on prend la fonction ρ0 donnée en hypothèse).

On suppose l’hypothèse de récurrence vérifiée pour k ≥ 0. Par la propriété A.1.1, Il existe un recouvrement

ouvert localement fini (Wi)i de Lk+1, tel que chaque ouvert Wi soit relativement compact dans un ouvert distingué

de Lk+1. Quitte à redécomposer chacun de ces ouverts en un nombre fini d’ouverts, on peut supposer de plus,

que le diamètre de Wi est inférieur à la distance de Wi avec le complémentaire de Lk+1.

Pour chaque j ≤ k + 1, on fixe une métrique riemannienne sur (Lj ,Lj). On note pour un ouvert W dans Lj

et λ ∈Mor(Lj|W ,R) :

‖λ‖Mor(Lj|W ,R) = supx∈W

(|λ(x)|+ ‖∂TxLjλ‖

)138

A.1. Partition de l’unité

où la la norme ‖·‖ est subordonnée à norme induite par la métrique riemannienne sur TLj et à la norme euclidienne

sur R.

On choisit alors une partition de l’unité (λi)i ∈Mor(Lk+1,R+)N associée à (Wi)i. Pour chaque i, on pose

εi :=η

2k+2+i·min

(1,

diam(Wi)

‖λi‖Mor(Lk+1,R)

, diam(Wi)

)> 0

Pour chaque i, on applique le lemme suivant, que l’on démontrera à la fin :

Lemme A.1.2. Il existe une fonction ρ′i ∈Mor(Lk+1|Wi,R) telle que :

1. Si l’adhérence de Wi est incluse dans Lj, pour j ≤ k, alors on a :

||ρk|Wi− ρ′i||Mor(Lj|Wi

,R) < εi

Et dans le cas de l’assertion 1, on a de plus :

2. Le support de ρ′i est inclus dans le εi-voisinage du support de ρk .

3. La fonction ρi est positive et si x ∈Wi, alors ρ′i(x) est non nul.

On pose alors :

ρk+1 : y 7→

∑i λi(y) · ρ′i(y) si y ∈ Lk+1

ρk(y) sinon

Pour l’assertion 1, on a bien défini une fonction positive, ne s’annulant pas en x et, comme pour chaque i

le support de ρ′i est inclus dans le η

2k+2 -voisinage du support de ρk, le support de ρk+1 est inclus dans le η2k+2 -

voisinage du support de ρk, donc dans B(x, (1− 2−k−2) · η).Pour l’assertion 2, pour y ∈ Lk+1, le réel |ρk+1(y)− ρ(y)| est inférieur à :

|ρk(y)− ρ(y)|+ |ρk(y)− ρk+1(y)| ≤ (1− 2−k−1)η +∑

i

λi(y) · εi ≤ (1− 2−k−2) · η

et pour y ∈ Lck+1, le réel |ρk+1(y)− ρ(y)| est égal à |ρk(y)− ρ(y)| qui est inférieur à (1− 2−k−2) · η.

On va montrer maintenant que, pour j ≤ k + 1, ρk+1|Ljest un morphisme de Lj dans R.

Par locale finitude du recouvrement (Wi)i, on a bien ρk+1|Lk+1 ∈Mor(Lk+1,R). Ainsi, pour j ≤ k, la fonction

ρk+1|Lk+1∩Ljappartient à Mor(Lj|Lk+1∩Lj

,R). De plus, pour y ∈ Lk+1 :

|ρk(y)− ρk+1(y)| ≤∑

i

λi(y) · |ρ′i(y)− ρk(y)| ≤∑

i; x∈Wi

εi ≤∑

i; x∈Wi

η · diamWi

2i+2≤ η · d(y, Lc

k+1) (A.1)

Ainsi, la fonction ρk+1 est continue.

Pour i ≤ k et x0 ∈ Li \ Lk+1, il existe r > 0 tel que la boule B(x0, r) est incluse dans Li. Pour y ∈B(x0, r/2) ∩ Lk+1, si Wj contient y, alors adh(Wj) est inclus dans Li. Le réel ‖∂TLi(ρk − ρk+1)(y)‖ est donc

inférieur à : ∑j; Wj3y

∥∥∥∂TLiλj(y) ·(ρ′j(y)− ρk(y)

)∥∥∥︸︷︷︸≤ η

2k+2+j ·diamWj

+λj(y) ·∥∥∥∂TLi

(ρ′j(y)− ρk(y)

)∥∥∥︸︷︷︸≤ η

2k+2+j ·diamWj

Comme alors diamWj ≤ d(y, x0), on a :

⇒ ‖∂TLi(ρk − ρk+1)(y)‖ ≤η

2· d(y, x0) +

η

2· d(y, x0) ≤ η · d(y, x0) (A.2)

Par les équations (A.1) et (A.2), la restriction ρk+1|Liest donc un morphisme de Li dans R, pour chaque i ≤ k.

139


Comme le recouvrement de A issu de T est localement fini, il en est de même pour (Lk)k. Ainsi la suite (ρk)k

est localement stationnaire. Soit ρ la limite simple de (ρk)k. Ainsi, cette application vérifie, pour tout k ≥ 0,

ρ|Lk∈ Mor(Lk,R). Donc, pour tout X ∈ Σ, la restriction de ρ à LX est morphisme de LX dans R. Par consé-

quent, ρ est un morphisme T -contrôlé. De plus, l’assertion 1 (resp. 2) est bien vérifiée.

Preuve du Lemme A.1.2

Soit (U, φ) ∈ Lk+1 une carte telle que adh(Wi) soit inclus dans U . Soient dk+1 la dimension de Lk+1, V un

ouvert de Rdk+1 et τ un espace métrique localement compact, tels que :

φ : U∼−→ V × τ

x 7→ (φ1(x), φ2(x))

Soit une fonction r ∈ C∞(Rdk+1 ,R+) de support inclus dans la boule unité, strictement positive à l’intérieur

de cette boule et d’intégrale sur Rdk+1 égale à 1.

Pour z ∈Wi, soit ρ′i(z) =1

µdk+1·∫

y∈V

ρk φ−1(y, φ2(z)) · r(φ1(z)− y

µ

)dy

avec µ = η · d(φ1(Wi), Vc) et η ∈]0, 1[

D’après les propriétés classiques des convolutions, le fonction ρ′i est un morphisme de Lk+1|Widans R.

On va maintenant prouver 1). Pour cela, on se sert de la formule suivante pour x′ ∈Wi ⊂ adh(Wi) ⊂ Lj :

ρ′i(x′) =

1

µdk+1·∫

y∈B(0,µ)

ρ(z) · r(y

µ

)dy, avec z := φ−1

(φ1(x

′)− y, φ2(x′)

)Quitte à réduire η, le point z appartient toujours à Li.

⇒ ∂Tx′Liρ′i =

1

µdk+1·∫

y∈B(0,µ)

∂TzLiρ ∂Tx′Liz · r(y

µ

)dy

Donc pour η assez petit, ∂Tx′Liz est proche de l’identité et ∂TzLiρ est proche de ∂Tx′Ljρ, donc ||ρ|W −ρ′i||Mor(Li|W ),R) < εi.

Dans le cas de l’assertion 1), pour η assez petit, on a bien la conclusion 2). La conclusion 3) est évidente.

3) On effectue la même preuve que celle de la proposition A.1. 2), en remplaçant ’L’ par ’A’ et ’Mor(L,R)’

par ’Mor(T ,R)’.

A.2 Densité des relèvements lisses d’une application lisse

Dans cette partie, on désigne par G et M deux variétés riemanniennes et p : G → M un

fibré de classe C∞.

Étant données une famille de réels (rk)nk=1 ∈ [0, 1]n et une famille d’éléments (mk)n

k=1 appar-

tenant à une même fibre Gx de G et suffisamment proches les uns des autres, grâce à la métrique

riemannienne sur G, on peut définir [13] le barycentre bar(mk)nk=1, (rk)

nk=1 ∈ Gx de la famille

(mk)nk=1 pondérée par les coefficients (rk)n

k=1 ∈ [0, 1]n. Ce barycentre est une application de

classe C∞ du produit, du fibré produit Gn au-dessus de M , par [0, 1]n, dans G. Ce barycentre ne

140

A.2. Densité des relèvements lisses d’une application lisse

dépend pas de l’ordre de l’indexation k ∈ 1, . . . , n. Enfin si l’on rajoute des éléments pondérés

de coefficients nuls, le barycentre est inchangé.

A.2.1 Densité des relèvements lisses d’un morphisme d’une lamination dansun fibré en variétés

Soient (L,L) une lamination et i un morphisme de (L,L) dans M .

Proposition A.3. L’ensemble des relèvements de i dans F qui sont des morphismes de (L,L)

dans G est dense dans l’ensemble des relèvements continus de i pour la topologie C0 forte.

Preuve

Soit N un relèvement continu de i et ε un réel strictement positif. On va montrer l’existence d’un relèvement

N ′ ∈Mor(L, G) de i tel que :

supx∈L

d(N(x), N ′(x)) ≤ ε

En utilisant la propriété A.1.1, on construit un recouvrement localement fini (Uk)k de L, tel que pour chaque

k, N(Uk) est inclus dans un ouvert distingué Vk du fibré G. Cela signifie qu’il existe une trivialisation φk de classe

C∞ de Vk sur p(Vk)× Rd :

φk : Vk∼→ p(Vk)× Rd

Comme N est un relèvement de i, pour chaque k, il existe une application Fk continue de Uk vers Rd, telle que :

φk N|Uk: Uk→p(Uk)× Rd

x 7→ (i(x), Fk(x))

Par la proposition A.1 2), il existe une partition de l’unité (ρk)k ∈Mor(L, [0, 1])N associée à (Uk)k.

Par la proposition A.1 3), il existe donc, pour chaque k, un morphisme F ′k ∈Mor(L|Uk,Rd) assez proche de

F|Uk, pour que le morphisme de laminations suivant soit bien défini :

N ′ : L→ G

x 7→ bar

(F ′k(x)

)k; x∈Uk

,(ρk(x)

)k; x∈Uk

et vérifie pour chaque x ∈ L

d(N ′(x), N(x)) ≤ ε

On note enfin que N ′ est bien un relèvement de i.

A.2.2 Densité des relèvements lisses d’un morphisme contrôlés dans un fibréen variétés

Soient (A,Σ) un espace stratifié supportant une structure de treillis T et i un morphisme

T -contrôlé dans M .

Proposition A.4. L’ensemble des relèvements de i dans F qui sont T -contrôlés est dense dans

l’ensemble des relèvements continus de i pour la topologie C0 forte.

141


Preuve

On effectue la même preuve que celle de la proposition A.3, en remplaçant ’L’ par ’A’, ’L’ par ’T ’ et la proposition

A.1 par la proposition A.2.

A.3 Fibré induit par une section de la grassmannienne

A.3.1 Fibré induit par une section de la grassmannienne au-dessus d’unelamination

Soient M une variété riemannienne et (L,L) une lamination. Soient k ≥ 0 et G→M le fibré

au-dessus de M de la grassmanienne des k-plans de TM . Soient i un morphisme de L dans M

et N ∈Mor(L, G) un relèvement de i dans G→M .

Proposition A.5. Le morphisme N définit canoniquement un L-fibré vectoriel

π : (F,F) → (L,L)

dont la fibre en x est Fx := N(x).

Preuve

Pour x ∈ L, via une carte de M , on peut identifier un voisinage V de i(x) à Rn et l’espace tangent TM|U à

Rn ×Rn. Un petit voisinage U de x, distingué dans L, est alors envoyé par i dans V et, pour y ∈ U , la projection

orthogonale de N(y) dans N(x) est un isomorphisme linéaire. On note px la projection orthogonale de Rn sur

N(x). L’application suivante est donc un homéomorphisme :

Ψ := F|U → U × Fx

(y, v) 7→ (y, px(v)

Comme N est un morphisme de laminations, l’application, qui à (y, v) ∈ U × N(x) associe l’image inverse de v

dans N(y) ⊂ Rn par la restriction px|N(y), est un morphisme de L|U ×N(x) dans Rn. On considère maintenant

un autre homéomorphisme Ψ′ construit par cette procédure sur un voisinage U ′ de x′ ∈ U ′. L’homéomorphisme

suivant est donc un isomorphisme de la lamination L|U′∩U × Fx sur la lamination L|U′∩U × Fx′ :

Ψ′ Ψ−1 : U ′ ∩ U × Fx → U ′ ∩ U × Fx′

(y, v) 7→ (y, px′ p−1x|N(y)(v))

Il vient alors que les homéomorphismes du type suivant sont des cartes qui engendrent une structure de

lamination F sur F :

(I Ψ2, φ Ψ1)

Avec Ψ construit par la procédure ci-dessus, Ψ1 et Ψ2 les coordonnées de Ψ, I un isomorphisme de Fx sur Rn−d

et φ ∈ L une carte de U .

On remarque que pour cette structure, Ψ est une trivialisation du L-fibré F .

142

A.3. Fibré induit par une section de la grassmannienne

A.3.2 Fibré induit par une section T -contrôlée de la grassmannienne

Soient M une variété riemannienne et (A,Σ) un espace stratifié, supportant une structure de

treillis T . Soient k ≥ 0 et G le fibré au-dessus de M de la grassmanienne des k-plans de TM .

Soient i ∈Mor(T ,M) et N un relèvement T -contrôlé de i dans G.

Proposition A.6. Le morphisme N définit canoniquement un fibré vectoriel

π : F → A

dont la fibre Fx de x ∈ A est N(x). La stratification Σ induit une stratification Σ′ sur F dont

chaque strate est supportée par X ′ := π−1(X), pour une strate X ∈ Σ. La structure de treillis

T = (LX ,LX)X∈Σ induit alors une structure de treillis T ′ = (LX′ ,LX′)X′∈Σ′ sur (A′,Σ′), telle

que LX′ := π−1(LX), (LX′ ,LX′) soit un LX-fibré vectoriel et π soit (T ′, T )-contrôlé.

Preuve

D’après la proposition A.5, pour chaque X ∈ Σ, F|LXsupporte une structure de LX -fibré (LX′ ,LX′) cano-

nique. Il s’agit donc de montrer que Σ′ est une stratification de laminations et T ′ est une structure de treillis sur

(F,Σ′). Pour chaque X ∈ Σ, il est clair que LX′ est un voisinage ouvert de X ′ et que ce dernier est une partie

LX′ -admissible. D’autre part, pour (X ′, Y ′) ∈ Σ′2, on a X ′ ∩ adh(Y ′) = π−1(X ∩ adh(Y )), car adh(π−1(Y )) est

égal à π−1(adh(Y )). Donc cette intersection est vide ou X ′ est inclus dans adh(Y )′) et X ≤ Y . Ainsi Σ′ est bien

une stratification de F .

Il reste donc à montrer que si X ≤ Y alors (LX′∩LY ′ ,LX′|X′∩Y ′) est un feuilletage de (LX′∩LY ′ ,LY ′|X′∩Y ′).

On reprend les notations de la preuve de la proposition A.5. On suppose que le point x appartient à

π(LX′ ∩LY ′) = LX∩LY et que (U, φ) est une carte du feuilletage (LX∩LY ,LY |LX∩LY) de (LX∩LY ,LY |LX∩LY

).

On remarque alors que l’application :

(y, v) ∈ F|U → (I px(v), φ(y))

est une carte de LX′ et de LY ′ .

143


144

B

Expansivité par plaques

La définition de l’expansivité par plaques dans le cadre des difféomorphismes normalement

hyperboliques sur une lamination est rappelée dans la section 4.1.

L’expansivité par plaques est vérifiée dans tous les exemples de laminations compactes, nor-

malement dilatées ou hyperboliques connus. Cependant, il n’est pas connu si toute lamination

compacte, normalement dilatée ou hyperbolique est expansive par plaques. On ne sait pas non

plus s’il est nécessaire qu’une lamination soit expansive par plaques pour persister (en tant que

lamination plongée).

Dans le cadre des difféomorphismes normalement hyperboliques, à notre connaissance, il

existe essentiellement deux résultats, tous les deux issus de [11].

Propriété B.0.1 (Hirsh-Pugh-Shub). Soit (L,L) une lamination compacte plongée dans une

variété M . Soit f un difféomorphisme normalement hyperbolique sur cette lamination. Alors f

est expansive par plaques sur (L,L) si L est une partie saturée d’un feuilletage C1 d’un ouvert

de M

Le deuxième résultat a été renforcé dans [23] et nécessite la définition de la Lyapunov stabilité :

Soit f un difféomorphisme préservant une lamination compacte (L,L) plongée et identifiée à son

image dans M . On dira que f est Lyapunov stable sur L si pour tout ε > 0, il existe δ > 0 tel

que, pour tout x ∈ L et n ≥ 0, la plaque17 fn(Lδx) est incluse dans Lε

x.

On remarque si f est une isométrie sur L alors f Lyapunov stable sur L.

Proposition B.1 (Rodriguez Hertz- Ures). Soit (L,L) une lamination compacte plongée dans

une variété M . Soit f un difféomorphisme de M préservant (L,L).

– Si f est Lyapunov stable sur L et dilate normalement cette lamination, alors f est expansive

par plaques.17On rappelle que l’on note Lδ

x l’union des plaques de diamètre inférieur à δ et contenant x

145

Annexe B. Expansivité par plaques

– Si f est normalement hyperbolique sur cette lamination et si f et f−1 sont Lyapunov stables

sur L, alors f est expansive par plaques.

Pour contexte des endomorphismes, on n’a pas pu s’empêcher de généraliser le résultat pré-

cédant :

Proposition B.2. Sous les hypothèses du théorème 1.2, on suppose de plus que la lamination

(L,L) est plongée. On pose alors L′ := L|L′ . On suppose qu’il existe A > 0 et δ > 0 tels que, pour

tout x ∈ L′, l’ensemble L′Ax est relativement compact dans la feuille de x et on a pour n ≥ 0 :

f∗n(L′δx ) ⊂ L′Af∗n(x)

Alors f∗ est expansive par plaques sur (L′,L′).

Démonstration. Cette preuve reprend beaucoup d’idées de [23], en particulier celle d’éloigner les

pseudo-orbites en considérant leur image par f∗.

Pour alléger les notations, on identifie L avec son image dans M . Ainsi, l’espace L est muni

de la métrique issue de M . Comme L′ est relativement compact dans L qui est plongé dans M ,

on a toujours l’existence de A > 0 et δ > 0 tels que, pour tout x ∈ L′ et n ≥ 0, l’ensemble LAx

est relativement compact dans la feuille de x et vérifie :

fn(L′δx ) ⊂ L′Afn(x)

On munit M d’une métrique adaptée à la dilatation normale de L par f sur adh(L′). On note

exp l’application exponentielle associée à cette métrique. Ainsi, il existe un champ de cônes sur

L′ dans TM|L′ tel que, pour chaque x ∈ L′, il existe un sous-espace vectoriel maximal inclus

dans C(x) et supplémentaire à TxL dans TxM vérifiant de plus :

il existe ε0 > 0 et λ > 1 tels que pour tout x ∈ L′ et u ∈ C(x) de norme inférieure à ε0, on

a :

v := exp−1f(x) f expx(u) ∈ C(f(x)) et ‖v‖ ≥ λ‖u‖ (B.1)

Par précompacité, quitte à réduire ε0 > 0, il existe η > 0 tel que pour (x, y) ∈ L′2 vérifiant

y = expx(u), avec u ∈ C(x) de norme dans [ε0/ supL′ ‖Tf‖, ε0], on a

d(L′Ax ,L′Ay ) > η (B.2)

Soit alors p ∈ N tel que λp · η > ε0.

De plus, quitte à réduire δ > 0, on peut supposer δ inférieur à ε0supL′ ‖Tf‖p .

Fait B.0.2. Il existe ε ∈]0, ε0[ tel que, pour tout couple de ε-pseudo-orbites (xn)n et (yn)n qui

respectent les plaques de L′ et qui vérifient

d(xn, yn) < ε et yn /∈ L′εxn, ∀n ≥ 0,

146

il existe une suite (zn)n ∈ L′N qui vérifie, pour n ≥ 0 :

zn ∈ expxn(BC(xn)(0, δ)), zn ∈ L′2ε

yn,

zn /∈ L′2εxn, fp(zn) ∈ L′δzn+p

et fp(xn) ∈ L′δxn+p

On aura montré la proposition s’il n’existe pas de telles pseudo-orbites (xn)n et (yn)n. On va

raisonner par l’absurde en supposant ainsi l’existence de (xn)n et (zn)n.

Les deux dernières propriétés impliquent, par définition de δ, que pour tout k ≥ 0 et j ≥ 0,

(fk(xpn+j))n et (fk(ypn+j))n sont des A-pseudo-orbites de fp qui respectent les plaques de L′.Pour k ≥ 0, soit Mk := supn d(fk(xn), fk(zn)). Le réel M0 appartient à ]0, ε0/ supL′ ‖Tf‖p[.

De plus, si Mj < ε0 pour tout j ≤ k, par (B.1) et le fait B.0.2, le réel Mk+1 appartient à

[λMk, supL′ ‖Tf‖Mk]. Il existe donc k0 ≥ 0 tel que Mk0+p appartient à ]ε0/ supL′ ‖Tf‖, ε0] et

Mj est inférieur à ε0 pour j ≤ k0 + p. Il existe ainsi n0 ≥ 0 tel que

d(fk0+p(xn0), fk0+p(zn0)) ∈

[ε0

supL′ ‖Tf‖, ε0

]On a donc, par B.2 :

d(fk0(xn0+p), fk0(zn0+p)) > η

Ainsi, comme λpη est strictement supérieur à ε0, on a :

d(fk0+p(xn0+p), fk0+p(zn0+p)) > ε0

Ce qui contredit Mk0+p ≤ ε0.

Remarque Sous les hypothèse du théorème 1.2, si les feuilles de L sont les compasantes

connexes des fibres d’un fibré, alors f∗ est expansive par plaques sur L′ d’après la proposi-

tion B.2.

La propriété équivalente à la propriété B.0.1 est la suivante :

Propriété B.0.3. Sous les hypothèses du théorème 1.2, on suppose de plus que (L,L) est plongée.

On note L′ := L|L′ . Si L est une partie saturée d’un feuilletage C1 sur un ouvert de M , alors f

est expansive par plaques sur (L′,L′).

Démonstration. Pour alléger les notations, on identifie L avec son image dans M . Ainsi, l’espace

L est muni de la métrique issue de M . On suppose que M est munie d’une métrique adaptée à

la dilatation normale de L par f sur adh(L′). On note exp l’application exponentielle associée

à cette métrique. Ainsi, il existe un champ de cônes C sur L′ dans TM|L′ tel que, pour chaque

x ∈ L′, il existe un sous-espace vectoriel maximal inclus dans C(x) et supplémentaire à TxL dans

TxM , vérifiant de plus que :

147

Annexe B. Expansivité par plaques

il existe ε0 > 0 et λ > 1 tels que, pour tous x ∈ L′ et u ∈ C(x) de norme inférieure à ε0, on

a :

v := exp−1f(x) f expx(u) ∈ C(f(x)) et ‖v‖ ≥ λ‖u‖ (B.3)

De plus, pour ε0 assez petit, par hypothèse de feuilletage C1, il existe une constante C > 0

telle que, pour tout (x, y) ∈ L′2, si y ∈ exp(C(x) ∩ BTxM (0, ε0)), la distance d(Lε0x ,Lε0

y ) est

supérieure à Cd(x, y). Soit p ≥ 0 tel que Cλp > 2. Il existe alors ε1 ∈]0, ε0[ assez petit tel que

toute ε-pseudo-orbite (xn)n respectant les plaques de L′, (xnp)n est une ε0-pseudo-orbite pour

fp qui respecte les plaques de L′. Il existe ε ∈]0, ε1[ tel que, pour tout couple((xn)n, (yn)n

)de

ε-pseudo-orbites de f , respectant les plaques de L′, qui vérifie :

d(xn, yn) < ε, ∀n ≥ 0.

Il existe zn ∈ L′2εyn

tel que zn appartient à exp(C(xn) ∩ B(0xn , ε0)), la distance d(zn, xn) est

inférieure à ε1 et (zn)n est une ε1-pseudo-orbite de f∗ respectant les plaques de L′. Il vient

alors que (zpn)n et (xpn)n sont des ε0-pseudo-orbites de fp qui respectent les plaques de L′,telles que zpn appartient à exp(C(xpn) ∩ B(0xpn , ε0)), la distance d(zpn, xpn) est inférieure à

ε0. La distance d(fp(zpn), fp(xpn)) est donc supérieure à λpd(zpn, xpn). De plus, la distance

d(fp(zpn), fp(xpn)) est inférieure à d(zp(n+1), xp(n+1))/C. Donc la distance d(zp(n+1), xp(n+1)) est

deux fois plus grande que d(zpn, xpn). On conclut que d(zpn, xpn) est supérieure à 2nd(z0, x0) et

inférieure à ε0, ce qui implique l’égalité de x0 et z0. Ainsi, x0 appartient à L′2εy0

.

Remarques

– Sous les hypothèses du théorème 2.1, si pour chaque strate X ∈ Σ|A′ les hypothèses de

la proposition ou de la propriété ci-dessus sont vérifiées sur une partie L′ relativement

compacte dans X et telle que :

f∗(adh(L′)) ⊂ L′, adh(L′) ⊂ int(f∗

−1(adh(L′))

)et ∪n≥0 f

∗−n(adh(L′) = X (B.4)

on peut alors réduire et étendre la constante d’expansivité par plaques sur L′ en fonction

ε pour laquelle f∗ est expansive par plaques sur X, comme dans la partie 5.3.2. Il existe

forcément un ouvert vérifiant la condition (B.4) : on pourra considérer int(Kp) ∩X ′p pour

la strate X ′p, avec les notations de la démonstration du théorème 2.1

.

148

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persistance des stratiﬁcations de laminations normalement ...berger...d´epartement de...

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