Slide: 1

Phase­contrast x­ray imagingin two and three dimensions

P. Cloetens Propagation­based phase­contrast imaging

 the forward problem; Fresnel diffraction  coherence conditions

 The inverse problem phase retrieval methods holotomography  

 Recent developments Projection microscopy KB­based imaging

Slide: 2

Phase Contrast vs Absorption

Absorption

Sample Sample

PhaseSimple transmission

• Dream 2: Improve the Sensitivity   Absorption contrast too low high spatial resolution

light materialssimilar attenuation

• Dream 1: Zero DoseIncrease the energyAbsorption contrast ↓ replaced by phase contrast

Slide: 3

Transmission through a sample

∆z

refractive index n = 1 ­ δ + iβ

Transmission functionprojection of the refractive index distribution

uinc(x,y) u0(x,y) = T(x,y). uinc(x,y)z

xy

e ikmedium

z=e

i 2

n z=e

i 2

z. e

−i 2

z. e

−2

z

T(x,y) = A(x,y).eiϕ(x,y)

Phase

Amplitude

x , y =0−2 ∫x , y , z dz

A x , y =e−B x , y =e

−2∫ x , y , z dz

Slide: 4

Phase contrast vs Absorption

Gain of up to a few 1000 !

Hard X­raysWater window

BeC

Al

FeAu

Energy (keV)

Slide: 5

Phase Sensitive Techniques

Phase Retardation

s∆−=∆ .2 δλπϕ∆s

Deflection⇔

Phase gradients∆α ~ µrad=−

2∂

∂ x

At zero distance:Intensity

⇒ all phase information is lost

I 0=∣u0∣2=I inc .exp −∫ dz

Slide: 6

Phase Contrast Imaging methods

Analyzer­based PCI

Grating­based PCI

Propagation­based PCI

ID17Medical Imaging

BM05/ID19wavefront sensorCh David, F PfeifferT Weitkamp

ID19 / ID22NIEdge enhancementHolotomography

Slide: 7

edge detection versus holography (Fresnel diffraction)

each edge imaged independentlyno access to phase, only to border  

access to phase, if recorded at ≠ D’sdefocused imageλ = 0.7 Å

50 µm

D = 0.15 m D = 3.1 m

towardsFraunhoferdiffraction

D≪a D≈a

Slide: 8

Simulation

Direct Space Reciprocal SpaceOBJECT

multiplication wave withtransmission function

convolutionT = e­B eiϕ

PROPAGATION

diffraction integral multiplication FT wave withpropagator PD = exp(­iπλDf2)

INTENSITY

auto­correlation

ü

IDcoh x,y( ) = u(x,y)

2

COHERENCE / DETECTORmultiplication FT intensity withdegree of coherencedetector transfer function

|µ12

(λDf)|R(f)

convolution intensity withprojected sourcePSF detector

Known Object ⇒ Image 

Slide: 9

Simulation

λ = 0.52 ÅD = 0.4 m

Hole =dodecahedron seen 

along the 2­fold axis

2      4       6 µm

Simulations

Porosity in Quasi­crystals

Known Object ⇒ Image 

Slide: 10

Fresnel diffractionD

u0(x,y) uD(x,y)

For example at λ = 0.5Å (25 keV)a = 1 µm ⇒ D = 10 mma = 40 mm ⇒ D = 16 m

 First Fresnel zone determines the sensed lengthscale  Distance to be most sensitive to object with size a Dopt=

a2

2

 In principle: complete object contributes to a point of the image  In practice: only finite region: first Fresnel zone 

radius r F= D

Slide: 11

Contrast Transfer Functions

Fourier Transforms of the intensity and phase are linearly related

phase contrast factor

ID(f) = δDirac(f)  ­  2 cos(πλDf 2) . B(f)  +  2 sin(πλDf 2) . ϕ(f)

­2

­1

0

1

2

0 0.5 1 1.5 2 2.5

amplitudephase

 contrastfactor

frequency

valid in case of a slowly varying phase, weak absorptionamplitude contrast factor

Slide: 12

Variable period

2 µm

period   720 nm≈

period   610 nm≈

Contrast depends strongly on period or spatial frequency

period   530 nm≈

Object invisible !

Decreasing linewidthIncreasing spatial frequency

Slide: 13

Spatial Coherence

Hard X­ray / neutron sources are ~ incoherent

Wave is partially coherent when the source is small and far

source object detector

s αblurring= z2.α= z2/z1.s

z1 z2

szl

2.

21

cohλ

αλ ==

Feature size a (1/f)Dopt=

a2

2|µ12(λDf)|

lcoh > a / 2

Transverse coherence length

Slide: 14

Temporal Coherence Incoherent sum of intensity for different wavelengths Approximation:

second coherence envelope transfer function   ID(f) = δDirac(f) +     sinc(∆λDf 2/2)   .   2 sin(πλ

0Df 2)   .   ϕ(f)

­2

­1.5

­1

­0.5

0

0.5

1

1.5

2

0 2 4 6 8 10

=0

=0.05

­2

­1.5

­1

­0.5

0

0.5

1

1.5

2

0 2 4 6 8 10

Slide: 15

Edge Detection

Essentially edge enhancementWeak defocusing (and weak contrast!)

Radiography (2D)

Tomography (3D)

Detection of  cracksholesreinforcing fibres, particles

absorption term refraction termLaplacian refractive index

aD <<λ

absorption image phase term2D Laplacian phase

I D x , y ≈ I 0 x , y . [1− D2

xyx , y]

o x , y , z ≈ x , y , z − D .xyzx , y , z

Slide: 16

Edge Detection

U. Wegst

Slide: 17

Insect Anatomy

Virtual slices through heads of tiny staphylinid beetles

100 µm

O. Betz (Univ. Tuebingen), U. Wegst, D. Weide et al, J. Microscopy, 227, 51 (2007)

Slide: 18

Phase Retrieval

How to retrieve the phase and amplitude in the object plane?

Phase in image plane is lost

Image(s) ⇒ Object ???Inverse Problem 

Slide: 19

Phase retrieval and holography

ID f = ∣∣2D

* e−iD f 2

f e iD f 2

*− f NonLin.

e iD f 2

ID f ≠0 = * f e i 2D f 2

* − f Back­propagation

FT object FT conjugate object

e iD1

f 2

I 1 f ≠0 = * f e i2D

1f 2

*− f

⋮

e iDN

f 2

IN f ≠0 = * f ei 2D

Nf 2

*− f

Multiple distances to avoid twin image problem

Consider weak object

kinc κ.kinc

k T x =x ⟨x ⟩=0with

Slide: 20

Phase Retrieval in practice

Flemish School: D. Van Dyck, P. Cloetens, JP GuigayTransfer Function Approach / Focus variation

D1 D2 Dn

Series of images recorded at different distances

Each distance is most sensitive to a specific range of spatial frequencies

Australian School: K. Nugent, T. Gureyev, D. PaganinTIE (transport of intensity)  ∂ I

∂ z=−

2∇ I ∇

Slide: 21

Phase Retrieval: multiple distances

• non­absorbing foam• 4 images recorded• E = 18 keV  D

D = 0.21 m D = 0.51 m D = 0.90 mD = 0.03 m

50 µm

Dvariable

K=∑m∣I m

exp f −I m

calc[ f ]∣2

Least squares minimization of cost functional

Slide: 22

Holo­tomography

3D distribution of δ or the electron­densityimproved resolutionstraightforward  interpretation

processing

2) tomography: repeated for ≈ 1000 angular positions

PS foam

1) phase retrieval with images at different distances

Phase mapD

P.Cloetens et al., Appl. Phys. Lett. 75, 2912 (1999)  

Slide: 23

Phase retrieval: transfer function approach

)sin( 2Dfπλ“transfer function”

Non­iterative (fast!)

⇒ Optimizationof the choice of distances

1/N∑m sin2 Dm f 2

4 distances

Linear least squaresI m f =2sin Dm f 2

f

f =∑m sin Dm f 2

I m f

∑m2 sin2

Dm f 2

Slide: 24

Phase retrieval: regularization

 Remains ill­posed for low spatial frequencies Requires regularization:

e.g. limit the energy of the solution

K=∑m∣I m

exp f −I m

calc[ f ]∣2∣ f ∣2

Model error Regularization error

f =∑m sin Dm f 2

. I m f

∑m2sin2Dm f 2

⇓

Slide: 25

Phase Tomography of Arabidopsis seeds

3D structure of Arabidopsis seeds in their native state­ wet sample, no preparation­ no staining, no fixation, no cutting, no cryo­cooling 

Holotomographic approachContrast proportional to the electron density4 distances, 800 anglesE = 21 keV

P Cloetens, R Mache, M Schlenker, S Lerbs­Mache, PNAS (2006) 103, 14626

Slide: 26

Phase Tomography of Arabidopsis seeds

Holotomographic approachFour distancesE = 21 keV

Seed of Arabidopsis

30 µm

Tomographic Slices

CotyledonP Cloetens, R Mache, M Schlenker, S Lerbs­Mache, PNAS (2006) 103, 14626

Slide: 27

Phase Tomography of Arabidopsis seeds

Seed of Arabidopsis

protoderm

organites(protein stocks)

tegumenintercellular spaces

10 µm

Tomographic Slice

5 µm

Slide: 28

Phase Tomography of Arabidopsis seeds

three­dimensional network of intercellular air space

gas exchange during germinationand/orrapid water uptake during imbibition

Role?

Seed of Arabidopsis

P Cloetens, R Mache, M Schlenker, S Lerbs­Mache, PNAS (2006) 103, 14626

Slide: 29

Phase retrieval: mixed approach (absorption case)

 Transfer function approach is robust, optimized solutionbut it is only valid for weak absorption

 Transport of Intensity Equation (TIE) is 'exact' (∆D → 0)but contrast is not optimized, less robust

 Merge and extend validity of both methods

 Leads to a 'moderately iterative' solution (3­5 iterations)valid for slowly varying objects

I D f =I D=0

f 2sin D f 2FT {I 0} f cosD f 2

D2

FT {∇∇ I 0} f

Perturbation termTransfer function like

JP Guigay, M Langer, R Boistel, P Cloetens, Opt. Lett., 32, 1617 (2007)

Tafforeau P., Kaminskyj S.Tafforeau P., Kaminskyj S.

Absorption

D = 6 mm

Oldest terrestrial fossil plant from Rhynie (Scotland)

100 µm

Tafforeau P., Kaminskyj S.Tafforeau P., Kaminskyj S.

Phase contrast

D = 100 mm

Oldest terrestrial fossil plant from Rhynie (Scotland)

100 µm

Tafforeau P., Kaminskyj S.Tafforeau P., Kaminskyj S.

Phase contrast

D = 300 mm

Oldest terrestrial fossil plant from Rhynie (Scotland)

100 µm

Tafforeau P., Kaminskyj S.Tafforeau P., Kaminskyj S.

Holotomographic reconstruction

Oldest terrestrial fossil plant from Rhynie (Scotland)

100 µm

Slide: 34

Phase retrieval: regularization using a prior estimate

 Can the absorption provide the low spatial frequencies? Prior estimate (cf homogeneous object – phase/attenuation duality)

f =∑m

sin Dm f 2 . I m f

prior f

∑m2 sin2

Dm f 2

prior

f =−

B f

⇓

 Use this as a prior estimate (different from a constraint)K=∑m

∣I mexp

f −I mcalc

[ f ]∣2∣ f −prior

f ∣2

Model error Regularization error

M Langer, P Cloetens. F Peyrin, submitted to IEEE TIP

Slide: 35

Phase retrieval: automatic parameter selection

 How to determine the regularization parameter ε ? Automatic using L­curve method !

 Follow curve log(regularization error) vs log(model error) Use point of maximum curvature

M Langer, P Cloetens. F Peyrin, submitted to IEEE TIP

Slide: 36

Phase retrieval: prior estimate

 Prior estimate from absorption and automatic parameter selectionWithout prior estimate With prior estimate

Slide: 37

The Nano­Imaging Project

Projection Microscopy ­ PXMStructureDose efficient, fastPhase contrast

Fluorescence mapping ­ XFMMicro­analysisSlowTrace elementsPhase contrast

Slide: 38

Projection Microscopy (PXM)

objectz1 z2 detector

equivalent toD

+

Plane wave illumination Magnification

Limit casesz1 >> z2

D = z2 ; M = 1z1 << z2

D = z1 ; M = z2/z1 

Prop. by D Van Dyck, J Spence 

M=z1z2

z1D=z1 . z2

z1z2

Slide: 39

Projection Microscopy

D = 225 mmM = 17

D = 175 mmM = 22

D = 125 mmM = 31

E = 20.5 keVExposure time = 1 s (16­bunch)

≤ 50 ms (ID22NI)

Towards focus

D = 45 mmM = 87

10 µmNeuron cells

No X­ray optics behind the sampleDose efficient

Slide: 40

D = 175 mmD = 125 mmD = 75 mmD = 45 mmD = 225 mm

Projection Microscopy: Phase Retrieval

5distances

10 µm

Rel. Phase MapMass ⇒ Quantitative Fluorescence Neuron cell

Slide: 41

0.49 mm

z1 = 93 mm; voxel = 0.24 µm

260 µm

z1 = 49 mm; voxel = 125 nm

200 µm

z1 = 38 mm; voxel = 97 nm

175 µm

z1 = 33 mm; voxel = 85 nm

1 mm

z1 = 200 mm; voxel = 0.5 µm

Zoom Tomography

Keep sample preparationstraightforwardNot too destructiveSample size >> field of viewE = 17 keV1801 projections; 0.1s/proj

Slide: 42

Zoom Tomography

R Mokso, P Cloetens, E Maire, W Ludwig, JY Buffière, APL, 2007, 90, 144104

Inside φ = 1 mm sample → local tomography!E = 20.5 keVX­ray magnification ~ 80 (voxel size = 90 nm)

Al / Si alloytomographic slice

75 µm

SiPoreAl5FeSi

Slide: 43

Nano XRF of a Siemens star

E = 17.5 keV600 x 600 pixels30 ms / point50 nm step (zap)3 hoursDetector limited

30 µm

Slide: 44

Fresnel diffraction of a Siemens star

E = 17.5 keV500 ms exposurez1: 133 → 7 mm 'Pixel' : 250 → 13 nm

Slide: 45

Fresnel diffraction of a Siemens star

E = 17.5 keVD = 7 mm 

Simulation

Slide: 46

Some references

• E. Hecht, Optics, 3th ed. (Addison­Wesley, 1998).• M. Born and E. Wolf, Principle of Optics, 6th ed. (Pergamon Press, Oxford, New York, 

1980).• J.W. Goodman, Introduction to Fourier optics, 2nd ed. (Mcgraw­Hill, 1988).• D. Paganin, Coherent X­ray Optics (Oxford University Press, USA, 2006).

• P. Cloetens, R. Barrett, J. Baruchel, J.P. Guigay and M. Schlenker, J. Phys. D: Appl. Phys. 29, 133 (1996).

• K.A. Nugent, T.E. Gureyev, D.F. Cookson, D. Paganin, Z. Barnea, Phys. Rev. Lett. 77, 2961 (1996).

• P. Cloetens, M. Pateyron­Salomé, J.­Y. Buffière, G.Peix, J. Baruchel, F. Peyrin and M. Schlenker, J.Appl. Phys. 81, 9 (1997).

• P. Cloetens, W. Ludwig, J. Baruchel, D. Van Dyck, J. Van Landuyt, J.P. Guigay, and M. Schlenker, Appl. Phys. Lett. 75, 2912 (1999).

• S. Zabler, P. Cloetens, J.P. Guigay, J. Baruchel, M. Schlenker, Rev. Sci. Instrum. 76, 073705 (2005).