phd presentation final

ВведениеПроцесс дисбаланса потоков заявок

Функциональные предельные теоремыТоксичность потока заявок

Моделирование потоков заявокна финансовых рынках

с использованием обобщенных процессов риска

Черток Андрей Викторович

ВМК МГУ им. М.В. Ломоносова[email protected]

Диссертация на соискание ученой степеникандидата физико-математических наук

Специальность 01.01.05 – теория вероятностей и математическая статистикаНаучный руководитель: д. ф.-м. н., профессор Королев В. Ю.

26 июня 2015, МоскваЧерток Андрей Викторович 01.01.05



Цели и задачиОсновные результаты

Введение.

Черток Андрей Викторович 01.01.05




Книга заявок

book =(b1, a1, v

b1, v

b2, . . . , v

bM , v

a1 , v

a2 , . . . , v

aM

)

Рис.: Книга заявок в некоторый момент времени. Высота столбиков соответствуетобъёмам заявок.





Цели и задачи

Цели и задачи исследования:

I Разработать модель потоков заявок со случайными интенсивностями,получить теоретическое и эмпирическое обоснование модели;

I Разработать удобный индикатор текущего состояния книги заявок,чувствительный к информации о потоках всех заявок;

I Изучить предельные состояния рассматриваемых процессов для построенияих асимптотических аппроксимаций;

I На основе процесса дисбаланса потоков заявок разработать математическуюмодель токсичности потоков заявок, процедуру оценки токсичности потоковзаявок в режиме реального времени, разработать инструментарий длярешения задач прогнозирования токсичной ликвидности и ценовых шоков.





Основные результаты

1. Разработана новая удобная модель эволюции книги заявок; в качестве удобногоиндикатора, описывающего динамику потоков заявок, предложен процессдисбаланса потоков заявок; для описания процесса дисбаланса потоков заявокпредложена математическая модель вида двухсторонних процессов риска(процессов риска со случайными премиями); предложено мультипликативноепредставление интенсивностей потоков заявок, что позволило рассмотреть процессдисбаланса потоков заявок как специальный обобщённый процесс Кокса.

2. Предложенная модель изучена аналитически: получена теорема переноса, доказаныфункциональные предельные теоремы о сходимости процесса дисбаланса потоковзаявок в схеме серий к процессам Леви в пространстве Скорохода, доказанытеоремы о сходимости процессов дисбаланса потоков заявок с элементарнымискачками, обладающими конечными дисперсиями, к процессам Леви сраспределениями, имеющими вид дисперсионно-сдвиговых смесей нормальныходномерных распределений, в частности, к обобщённым гиперболическимпроцессам Леви.

3. Построена математическая модель токсичности потоков заявок: на основеаналитической модели процесса дисбаланса потоков заявок формализованыпонятия токсичности потоков заявок; разработаны байесовский и квантильныйпоказатели токсичности, рассчитываемые на основе параметров, описывающихпотоки всех заявок, поступающих на рынок; реализована процедура оценкипоказателя токсичности в режиме реального времени.




История задачиТрадиционная модель динамики книги заявокПроцесс дисбаланса потоков заявокУлучшенная модель потоков интенсивностейПредельные теоремыРеальные данные

Глава 1.Дисбаланс потоков заявок.





История задачи

I [Smith et al, 2003], [Bouchaud, Farmer et. al. 2008]I эмпирические свойства потоков заявок (high-frequency world) и книги заявок;

I [Parlour, 1998], [Goettler, Parlour, Rajan, 2005]I price dynamics in limit order markets, equilibrium;

I [Andersen, Cont, Vinkovskaya 2010], [Bacry et. al. 2010]I процессы Хоукса для интенсивностей;I авто- и кросс-корреляционная природа интенсивностей;

I [Engle, Russell 1997 Engle], [Lunde 2003]I autoregressive conditional duration (ACD) model;

I [Cont, Stoikov, Talreja 2010], [Cont, de Larrard 2012],[Cont, Kukanov, Stoikov, 2014]

I независимые пуассоновские процессы для каждого типа заявок;I интегральная характеристика текущего состояния книги заявок;

I [Королев, Черток, Корчагин, Горшенин, 2013],[Chertok, Korolev, Korchagin, 2014]

I неоднородные (случайные) интенсивности;I мультипликативное представление интенсивностей;I процесс дисбаланса потоков заявок OFI (независимо от [Cont et. al, 2014]);I двухсторонний процесс риска как математическая модель OFI.





Традиционные модели потоков заявок

Интенсивности потоков заявокВ традиционных моделях ([Cont et. al, 2010]) потоки заявок - независимыепуассоновские процессы с интенсивностями:

limit market cancelbuyers λ+

i µ+ θ+i

sellers λ−i µ− θ−i

Объёмы заявокОбъёмы заявок:

I покупатели: X+i - н.о.р.с.в. с х.ф. f+(s);

I продавцы: X−i - н.о.р.с.в. с х.ф. f−(s).





Процесс дисбаланса потоков заявок

Определим N+(t) и N−(t) - пуассоновские процессы с интенсивностями

λ+ = µ+ +M∑i=1

λ+i +

M∑i=1

θ−i ,

λ− = µ− +M∑i=1

λ−i +M∑i=1

θ+i

Поток N+(t) соответствует покупателям, N−(t) – продавцам.

Процесс дисбаланса потоков заявокОпределим процесс дисбаланса потоков заявок (OFI):

Q(t) = Q+(t)−Q−(t) =

N+(t)∑i=1

X+i −

N−(t)∑j=1

X−j





Связь Q(t) и p(t)

Связь OFI с процессом ценыУстановлена связь (фьючерс на индекс РТС)

p(t+ ∆)− p(t)δ

= α+ βQ(t, t+ ∆)

D(t)+ ε(t),

где

p(t) =b1(t) + a1(t)

2.

Результаты для фьючерса на индекс РТС:

R2 α̂i β̂i t(α̂i = 0) t(β̂i = 0)83% -0.0101 0.0029 -0.83 14.73





Adverse selection

Рис.: Динамика b1(t) (зелёный), a1(t) (красный) и Q(t) в течение 1 секунды с момента10:00:12.730 01.07.2014 (фьючерс на индекс РТС).





Неоднородная структура интенсивностей

Для t ≥ 0 введём положительные случайные процессы с интегрируемымитраекториями

λ+(t) = µ+(t) +∑M

i=1λ+i (t) +

∑M

i=1θ−i (t),

λ−(t) = µ−(t) +∑M

i=1λ−i (t) +

∑M

i=1θ+i (t),

и функции

Λ+(t) =

∫ t

0λ+(τ)dτ and Λ−(t) =

∫ t

0λ−(τ)dτ, t ≥ 0. (1)

Пусть N+1 (t) и N−1 (t) – независимые пуассоновские процессы с единичной

интенсивностью. Обозначим

N+(t) = N+1

(Λ+(t)

), N−(t) = N−1

(Λ−(t)

).





Мультипликативное представление интенсивностей

Предложено мультипликативное представление интенсивностей:

Λ+(t) = α+(t)L(t), Λ−(t) = α−(t)L(t), t ≥ 0. (2)

где

I L(t) - общий ажиотаж, обусловленный внешним информационным фоном(сл. процесс);

I α+(t) и α−(t) - степень реакции покупателей и продавцов на этот фон.

Для модели (2) получены обоснования:

I теоретические;I эмпирические.





Определение процесса OFI в общем виде

OFIПусть N+

1 (t) и N−1 (t) - независимые пуассоновские пр. с единичнойинтенсивностью.Рассмотрим процесс дисбаланса потоков заявок в общем виде

Q(t) =

N+1 (α+(t)L(t))∑

i=1

X+i −

N−1 (α−(t)L(t))∑

j=1

X−j .





Лемма 2.1

Лемма 2.1Для каждого t ≥ 0 Q(t) имеет обобщённое смешанное пуассоновскоераспределение. А именно, для каждого t ≥ 0

P(Q(t) < x

)= P

(∑N1

(Λ(t)

)j=1

Xt,j < x

), x ∈ R,

где

Λ(t) =(α+(t) + α−(t)

)L(t),

а Xt,1, Xt,2, . . . - о.р.с.в. с общей характеристической функцией

ft(s) ≡ EeisXt,1 =α+(t)f+(s)

α+(t) + α−(t)+

α−(t)f−(−s)α+(t) + α−(t)

, s ∈ R, (3)

кроме того, для каждого t ≥ 0 случайные величины N1(t),Λ(t), Xt,1, Xt,2, . . .являются независимыми.





Схема серий

Зафиксируем конечный временной интервал [0, T ] и положим T = 1.

Qn(t) =

N(n)1 (Λn(t))∑j=1

X(n)t,j ,

где

I N(n)1 (t) – последовательность пуасс. пр. с единичными интенсивностями;

I сл. вел. Xn,1, Xn,2, ... одинаково распределены для каждого n;

I сл. вел. Xn,1, Xn,2, ... и N(n)1 (t) явл. независимыми для каждого n ≥ 1;

I Λn(t) являются управляющими, то есть неубывающими положительнымипроцессами Леви, независимыми от

Zn(t) =∑N

(n)1 (t)

i=1Xn,i, t ≥ 0, (4)

и такими, что Λn(0) = 0.





Теорема 2.1 (переноса)

Теорема 2.1. Предположим, что существует бесконечно возрастающаяпоследовательность {kn}n≥1 натуральных чисел и конечные числа µ ∈ R и σ > 0такие, что случайные объёмы заявок Xn,j удовлетворяют условию

P(Xn,1 + . . .+Xn,kn < x) =⇒ Φ(x− µ

σ

).

Функции распределения процессов дисбалансов потоков заявок Qn сходятся кнекоторой функции распределения F (x):

P(Qn < x

)=⇒ F (x) (5)

тогда и только тогда, когда существует функция распределения A(x) такая, чтоA(0) = 0, функция распределения F (x) представима в виде

F (x) =

∫ ∞0

Φ(x− αzσ√z

)dA(z)

иP(Λn < xkn) =⇒ A(x). (6)





Реальные данные

При работе с реальными данными для различных h

λ+∗ (t, h) =

1

h

∫ t

t−hλ+(τ)dτ и λ−∗ (t, h) =

1

h

∫ t

t−hλ−(τ)dτ.

Рассмотрим процессы

α∗(t, h) = ln

√λ+∗ (t, h)× λ−∗ (t, h),

β∗(t, h) = ln

√λ+∗ (t, h)

λ−∗ (t, h)=

1

2ln r∗(t, h).

Свойства:

I лог-нормальность r+∗ (t, h) при h > 32 сек;

I r∗(t, h) не обладает значимой автокорреляцией при любых h;I α∗(t, h) имеет нормальное распределение для h > 8 сек.





Реальные данные

Рис.: Графики интенсивностей λ+∗ (t, h) (выше оси x) и продавцов −λ−

∗ (t, h) (ниже осиx), h = 60 сек.





Реальные данные: процесс r(t)

r(t) =α+(t)

α−(t)≈λ+∗ (t, h)

λ−∗ (t, h).

Рис.: Отношение мгновенных интенсивн. покупателей и продавцов λ+∗ (t,h)

λ−∗ (t,h)

, h = 60 сек.




Глава 2.Функциональные предельные теоремы.




История функциональных предельных теорем

I [Кащеев, 2001]I ФПТ для обобщенных процессов Кокса с квадратично интегрируемыми

управляющими процессами Λ(t);I класс предельных процессов не может содержать устойчивых процессов Леви

(помимо винеровского);I [Jacode, Shiryaev, 2003]

I общее утверждение о сходимости суперпозиций семимартингалов состационарными приращениями;

I следствие: ФПТ для обобщенных процессов Кокса с Λ(t): EΛ(t) ≤ Ct;I класс предельных процессов для обобщенных процессов Кокса, у которых

скачки имеют конечную дисперсию, не содержит устойчивых процессов Леви.I [Королев, Закс, Зейфман, 2013]

I ФПТ для обобщенных процессов Кокса, у которых скачки имеют конечнуюдисперсию;

I класс предельных процессов содержит устойчивые процессы Леви, что, вчастности, хорошо описывает часто наблюдаемую кластеризацию заявок;

I рассмотрен только симметричный случай.I [Korolev, Chertok, Korchagin, Zeifman, 2014]

I вышеупомянутые результаты распространены на несимметричный случай;I приведен критерий сходимости обобщенных процессов Кокса, в частности,

двусторонних процессов риска, описывающих процесс дисбаланса потоковзаявок, к обобщенным гиперболическим процессам Леви.




Схема серий

Qn(t) =

N(n)1 (Λn(t))∑j=1

X(n)t,j ,

где

I N(n)1 (t) – последовательность пуасс. пр. с единичными интенсивностями;

I сл. вел. Xn,1, Xn,2, ... одинаково распределены для каждого n;

I сл. вел. Xn,1, Xn,2, ... и N(n)1 (t) явл. независимыми для каждого n ≥ 1;

I Λn(t) являются управляющими, то есть неубывающими положительнымипроцессами Леви, независимыми от

Zn(t) =∑N

(n)1 (t)

i=1Xn,i, t ≥ 0, (7)

и такими, что Λn(0) = 0.




Условия

P(Λn(1) < knx

) d−→ P(U < x), (8)где U – неотрицательная сл. вел. такая, что её распр. не вырождается в нуле.

Для некоторых δ, δ1 ∈ (0, 1] и Cn > 0 выполняется

EΛδn(t) ≤ (Cnt)δ1 . (9)

Для некоторой последовательности kn ∈ N имеет место сходимость

P(Xn,1 + ...+Xn,kn < x)d−→ H(x), (10)

где H(x) - некоторая функция распределения безгранично делимой сл. вел.

Для некоторого β ∈ [1, 2]

0 < mβn ≡ E|Xn,1|β <∞ (11)

K ≡ supnCδ1/δn mβn <∞, (12)




Теорема 3.1

Теорема 3.1. Пусть процесс дисбаланса потока заявок Qn(t) управляетсянеубывающим положительным процессом Леви Λn(t), удовлетворяющимусловиям (8) и (9). Предположим, что случайные величины {Xn,j}j≥1

удовлетворяют условию (10) с теми же значениями kn, а также удовлетворяютусловию (11). Также предположим, что выполнено условие (12). Тогда процессQn(t) слабо сходится в пространстве Скорохода D к процессу Леви Q(t) такому,что

E exp{isQ(1)} =

∫ ∞0

(h(s)

)udP(U < u), s ∈ R, (13)

где h(s) - характеристическая функция, соответствующая функциираспределения H(x) в условии (10).




Теорема 3.2

Пусть при некоторых a ∈ R, 0 < σ2 <∞ и некотором ε > 0 выполняются условия(при n→∞)

knan −→ a, knσ2n −→ σ2 и knE(Xn,1 − an)2I(|Xn,1 − an| ≥ ε) −→ 0, (14)

Теорема 3.2. Пусть процессы дисбаланса потоков заявок Qn(t) управляютсянеубывающими положительными процессам Леви Λn(t), удовлетворяющимиусловию (9) с некоторыми δ, δ1 ∈ (0, 1]. Предположим, что объёмы заявок{Xn,j}j≥1 удовлетворяют условиям (14) с некоторыми kn ∈ N. Такжепредположим, что выполняется условие (12) с β = 2. Тогда процессы Qn(t)слабо сходятся в пространстве Скорохода D к процессу Леви Q(t) тогда и толькотогда, когда существует неотрицательная случайная величина U , такая, что

P(Q(1) < x

)=

∫ ∞0

Φ(x− auσ√u

)dP(U < u), x ∈ R, (15)

и выполняется условие (8) с теми же самыми kn.




GIG-GH

Плотность обобщённого обратного гауссовского распределения

pGIG(x; ν, µ, λ) =λν/2

2µν/2Kν(√µλ) · xν−1 · exp

{−

1

2

(µx

+ λx)}, x > 0.

Функция обобщённого гиперболического распределения

PGH(x;α, σ, ν, µ, λ) =

∫ ∞0

Φ(x− αzσ√z

)pGIG(z; ν, µ, λ)dz, x ∈ R




Теорема 3.3

Теорема 3.3. При выполнении условий (9), (12) с β = 2 и (14) процесс Qn(t)слабо сходится (в пространстве Скорохода D) к обобщенному гиперболическомупроцессу Леви Q(t) так что

P(Q(1) < x

) d−→ PGH(x; a, σ, ν, µ, λ)

тогда и только тогда, когда

P(Λn(1) < knx)d−→ PGIG(x; ν, µ, λ).




GIG: реальные интенсивности

Рис.: Гистограмма количества заявок от покупателей за 15секундные интервалы времени.




История задачиПрофиль и показатели токсичностиМодель с единичными объёмами заявокЭкспоненциальная модельРеальные данные

Глава 3.Токсичность.





История задачи

I [EKOP, 1996]I модель PIN;

I [Easley, de Prado, O’Hara, 2012]I модель VPIN;

I [Andresen, Bondarenko 2014]I критика VPIN;

I [Черток, 2015]I профиль токсичности на основе процесса дисбаланса потоков заявок;I показатели токсичности (байесовский и квантильный).





Профиль токсичности

Рассмотрим на промежутке [0, T ]

Q(t) = Q+(t)−Q−(t) =

N+(t)∑i=1

X+i −

N−(t)∑j=1

X−j

Пусть λ+EX+1 > λ−EX−1 (восходящий тренд). Для u > 0 рассмотрим

φ±(u, T ) = P( inf0<t≤T

Q(t) ≥ −u).

Определение. Профиль мгновенной токсичности потока заявок:

φ±(u) = limT→∞

φ±(u, T ) = limT→∞

P( inf0<t≤T

Q(t) ≥ −u).





Функция φ±(u): как вычислять

ЛеммаФункция φ±(u) удовлетворяет интегральному уравнению

(λ+ + λ−)φ±(u) = λ−∫ u

0φ±(u− v)dF (v) + λ+

∫ ∞0

φ±(u+ v)dG(v).

Если R – решение характеристического уравнения

λ+(Ee−RX+1 − 1) + λ−(EeRX

−1 − 1) = 0,

то

φ±(u) =e−Ru

E{e−RQ(t)|τ <∞},

при этом φ±(u) ≥ 1− e−Ru.





Показатели токсичности

Введены показатели токсичности на основе процесса дисбаланса потоков заявок.

Байесовский подходЗафиксируем u0 > 0. Пусть w(u) - некоторая функция, такая что∫ ∞

0w(x)dx = 1,

∫ ∞0

xw(x)dx = u0.

Байесовский показатель мгновенной токсичности:

θ(w)± = θ

(w)± (u0) =

∫ ∞0

φ±(u)w(u)du.

Квантильный подходЗафиксируем 0 < α < 1.Квантильный α-показатель мгновенной токсичности - такое минимальное q±, что

φ±(q±) ≥ α





Токсичность: единичные объёмы заявок

Модель рынка с заявкаи единичного объёма P(X+i = 1) = P(X−i = 1) = 1:

Q(t) =

N+(t)∑i=1

1−N−(t)∑i=1

1 = N+(t)−N−(t).

Профиль мгновенной токсичности

φ±(u) = φ±([u]) = 1−(λ−

λ+

)[u]+1

Байесовский показатель токсичности:

θ±(u0) = 1− reu0(r−1)

Квантильный показатель токсичности:

q±(α) =

⌈ln(1− α)

ln r− 1

⌉





Простая модель: профиль токсичности

Рис.: Функция φ±(u) в простой модели для разных r = λ−λ+

. Чёрный цвет – функцияw(u) – плотность (отн. считающей меры) пуассоновского распр. со средним u0 = 3.





Экспоненциальная модель: OFI и профиль токсичности

Объёмы заявок имеют экспоненциальное распределение:

G(t) = 1− e−bt и F (t) = 1− e−at.

При λ+/b > λ−/a и для u > 0 профиль мгновенной токсичности

φ±(u) = β exp (−γu) ,

Байесовский показатель токсичности:

θ±(u0) = 1−β(

γu−10 + 1

)u20

Квантильный показатель токсичности:

q±(α) =lnβ − ln(1− α)

γ





Экспоненциальная модель: профиль токсичности

Рис.: Функция профиля токсичности φ±(u) в модели рынка с экспоненциальнымиобъёмами заявок для разных наборов (λ+, λ−, b, a). Чёрным цветом показана весоваяфункция w(u) – плотность гамма-распределения Γ(u2

0, u−10 ) при u0 = 2.





Оценка параметров

Рис.: Оценка параметров λ+, λ−, b, a в режиме реального времени.





Показатели токсичности

Рис.: Графики β, γ, байесовского и квантильного показателей токсичности в режимереального времени, ось x – номер соответствующего τ -интервала.





Публикации I

Публикации из списка ВАК:

А. В. Черток.

О формализации понятия токсичности потока заявок на финансовых рынках.Информатика и её применения, 8:4 (2014), 20–31

В. Ю. Королев, А. В. Черток, А. Ю. Корчагин, А. К. Горшенин

Вероятностно-статистическое моделирование информационных потоков в сложныхфинансовых системах на основе высокочастотных данныхИнформатика и её применения, 7:1 (2013), 12–21

V.Yu. Korolev, A. V. Chertok, A. Yu. Korchagin, A.I. Zeifman

Modeling high-frequency order flow imbalance by functional limit theorems for two-sidedrisk processesApplied Mathematics and Computation, Volume 253, 15 February 2015, Pages 224–241.

В. Ю. Королев, А. Ю. Корчагин, И. А. Соколов, А. В. Черток,

О работах в области моделирования информационных потоков в современныхвысокочастотных финансовых приложениях.Системы и средства информатики, 24:4 (2014), 63–85





Публикации II

Прочие публикации:

A. Chertok,

On order flow toxicity.AIP Conf. Proc. 1648 , 250013 (2015) (WoS)

Chertok A. V., Korolev V. Yu., and Korchagin A. Yu.

Modeling high-frequency non-homogeneous order flows by compound Cox processes.Journal of Mathematical Science, 2015.Available at: arXiv:1410.1900v2 [math.PR], January 14, 2014.

Andrey K. Gorshenin, Victor Yu. Korolev, Alexander I. Zeifman, Sergey Ya. Shorgin,Andrey V. Chertok, Artem I. Evstafyev and Alexander Yu. Korchagin,Modelling stock order flows with non-homogeneous intensities from high-frequency dataAIP Conf. Proc. 1558 , 2394 (2013) (WoS)

Alexander I. Zeifman, Victor Yu. Korolev, Andrey V. Chertok and Sergey Ya. Shorgin,

On ergodicity bounds for an inhomogeneous birth-death processAIP Conf. Proc. 1648 , 250011 (2015) (WoS)





Основные результаты

1. Разработана новая удобная модель эволюции книги заявок; в качестве удобногоиндикатора, описывающего динамику потоков заявок, предложен процессдисбаланса потоков заявок; для описания процесса дисбаланса потоков заявокпредложена математическая модель вида двухсторонних процессов риска(процессов риска со случайными премиями); предложено мультипликативноепредставление интенсивностей потоков заявок, что позволило рассмотреть процессдисбаланса потоков заявок как специальный обобщённый процесс Кокса.

2. Предложенная модель изучена аналитически: получена теорема переноса, доказаныфункциональные предельные теоремы о сходимости процесса дисбаланса потоковзаявок в схеме серий к процессам Леви в пространстве Скорохода, доказанытеоремы о сходимости процессов дисбаланса потоков заявок с элементарнымискачками, обладающими конечными дисперсиями, к процессам Леви сраспределениями, имеющими вид дисперсионно-сдвиговых смесей нормальныходномерных распределений, в частности, к обобщённым гиперболическимпроцессам Леви.

3. Построена математическая модель токсичности потоков заявок: на основеаналитической модели процесса дисбаланса потоков заявок формализованыпонятия токсичности потоков заявок; разработаны байесовский и квантильныйпоказатели токсичности, рассчитываемые на основе параметров, описывающихпотоки всех заявок, поступающих на рынок; реализована процедура оценкипоказателя токсичности в режиме реального времени.





Спасибо за внимание!


phd presentation final

Documents