phÇn më ®Çuquantri.pgdthanhxuan.edu.vn/data/hnedu/thnguyentrai... · web viewĐặc biệt...

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẬN THANH XUÂN

------- ------

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MỘT SỐ BIỆN PHÁP GIÚP HỌC SINH LỚP 4 LÀM TỐT CÁC DẠNG TOÁN CÓ LIÊN QUAN ĐẾN

“DẤU HIỆU CHIA HẾT”

Lĩnh vực/ Môn: Toán

NĂM HỌC: 2015-2016

MÃ SKKN

Một số biện pháp giúp học sinh lớp 4 làm tốt các dạng toán có liên quan đến “Dấu hiệu chia hết”

MỤC LỤC

PHẦN I: PHẦN MỞ ĐẦU

I. Lý do chọn đề tài ………………………………………………………..…1

II. Mục đích nghiên cứu ……………………………………………………...3

III. Đối tượng, phạm vi, thời gian nghiên cứu …………………...………….. 3

IV. Các phương pháp nghiên cứu....................................................................3

PHẦN II: NỘI DUNG

CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ CƠ SỞ THỰC TIỄN........................4

1. Cơ sở lý luận................................................................................................4

2. Cơ sở thực tiễn ...........................................................................................5

CHƯƠNG II: BIỆN PHÁP THỰC HIỆN..................................................7

A. Nhận biết các dấu hiệu chia hết............................................................9

B. Mở rộng các dấu hiệu chia hết ............................................................14

C. Một số tính chất chia hết của một tổng và một hiệu...........................21

D. Một số tính chất liên quan đến phép chia có dư...................................22

CHƯƠNG III: MỘT SỐ BÀI TẬP ÁP DỤNG KẾT HỢP DẤU HIỆU

CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ........................................................24

CHƯƠNG IV: KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC......................................................38

PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ.

1/41


PHẦN I: PHẦN MỞ ĐẦU

I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI“Trẻ em hôm nay, thế giới ngày mai”. Trẻ em nhất là trẻ ở bậc tiểu học

đang được cả gia đình và xã hội nâng niu, chăm sóc. Các em như chồi non đang từng ngày lớn nên dưới sự dìu dắt của thầy cô, cha mẹ và mọi người. Bởi vậy giáo dục nói chung và giáo dục tiểu học nói riêng đang được toàn xã hội quan tâm. Đối với học sinh tiểu học, ngay từ lớp 1 các em đã được học đầy đủ các môn học trong đó môn Toán là một trong những môn có vị trí quan trọng trong chương trình giáo dục bậc tiểu học. Môn Toán bậc tiểu học cung cấp kiến thức cho học sinh rèn luyện kỹ năng, phát triển tư duy sáng tạo năng lực học Toán riêng biệt, môn Toán góp phần rất lớn trong việc hình thành nhân cách theo mục tiêu giáo dục bậc tiểu học. Việc dạy môn Toán ở Tiểu học nhằm giúp học sinh nắm vững hệ thống kiến thức toán học và những kĩ năng cơ bản, biết cách vận dụng những kiến thức về toán, rèn luyện khả năng thực hành với những yêu cầu được thực hiện một cách đa dạng, phong phú. Nhờ việc dạy học giải toán mà học sinh có điều kiện rèn luyện và phát triển khả năng tư duy, rèn phương pháp suy luận và những phẩm chất của người lao động mới. Thông qua việc hình thành các khái niệm toán học, giúp học sinh lĩnh hội các kiến thức và vận dụng vào giải toán một cách linh hoạt, sáng tạo. Điều đó giúp cho học sinh có thói quen độc lập suy nghĩ, làm việc có kế hoạch, có kiểm tra, khẳng định, có căn cứ, tác phong cẩn trọng, có ý thức muốn cải tiến, tìm tòi cái mới. Việc giải Toán đòi hỏi học sinh phải tự mình xem xét vấn đề và tự tìm cách giải quyết vấn đề do đó giải toán là cách tốt nhất rèn luyện tính kiên trì, chịu khó, tự lực trong cuộc sống, từ đó nâng cao chất lượng toàn diện cũng như việc nâng cao chất lượng dạy học trong nhà trường, đem lại lợi ích thiết thực cho học sinh. Tạo nền móng vững chắc cho công tác bồi dưỡng học sinh có năng khiếu về tư duy Toán học cho các cấp tiếp theo. Tôi thiết nghĩ là một giáo viên trong giai đoạn mà đất nước ta đang trong thời kì hội nhập, nền kinh tế và xã hội Việt Nam đang đứng trước những cơ hội và thách thức rất lớn. Để có nguồn nhân lực có trình độ ở nhiều lĩnh vực phục vụ cho đất nước , rõ ràng chúng ta cần có sự chuẩn bị tốt về vốn người cho sự phát triển. Như chúng ta đã biết, mục tiêu của nền giáo dục Việt Nam là nhằm đào

2/41


tạo ra những con người được phát triển toàn diện với đầy đủ phẩm giá: Có trình độ, có nhân cách, có khả năng tư duy phê phán độc lập, sáng tạo... Vì thế, để góp phần đạt mục tiêu ấy ta cần phải đặt ra một câu hỏi: Cần hành động theo phương châm nào? Và bằng phương pháp nào?

Từ thực tế giảng dạy và học tập của giáo viên và học sinh, nhất là quá trình dạy phân hóa đối tượng ở bậc tiểu học nói chung và ở lớp 4 nói riêng có một số dạng toán: Chẳng hạn việc tính toán cơ bản, dấu hiệu chia hết, sự nhận biết thông thường chỉ cần người học nắm vững các bước tuần tự đã được tổng kết đầy đủ trong sách vở để dễ dàng có ngay kết quả. Tuy nhiên các em cũng thường gặp những bài toán cần có sự tư duy linh hoạt thì nhiều em tuy chăm chỉ, thuộc lòng công thức của dạng toán song vẫn chưa tìm ra đáp án hay câu trả lời. Nguyên nhân cơ bản của tình trạng này, đó là ta chưa đào sâu suy nghĩ. Đồng thời do tính đa dạng muôn màu, muôn vẻ của Toán học thật khó đúc kết thành nguyên tắc. Từ đó chưa tìm ra được "chìa khóa" giải quyết vấn đề đưa ra.

Do chương trình dạy " Dấu hiệu chia hết" ở lớp 4 được dạy không nhiều . Trong 6 tiết thì có 4 tiết hướng dẫn tìm hiểu và 2 tiết luyện tập chung, vì vậy các em khó có thể nắm hết được sự đa dạng của các bài toán để đi sâu vào các kho tàng kiến thức chứa đựng các dạng toán. Nếu ta trang bị thêm cho các em một phần kiến thức cơ bản thì các em có thể dễ dàng nhận diện được và khi đó có thể đưa về hoặc sử dụng các bài toán quen thuộc để giải quyết.

Vậy tôi xin đề cập một phần nhỏ trong chương trình học của môn Toán ở lớp 4. Đó là: Các dấu hiệu chia hết trong số tự nhiên. Muốn rõ một số có chia hết cho một số khác không ta phải thực hiện phép chia, nhiều khi hết sức phức tạp. Nhưng có thể ta không cần thực hiện phép chia, ta cũng có thể nhận biết được một số có thể chia hết cho một số khác không hoặc có chia hết cho nhiều số khác không? Đó là ta đã dựa vào các dấu hiệu chia hết. Vấn đề này dựa vào các dấu hiệu dạy toán ở lớp 4 với dấu hiệu chia hết cho 2, cho 5, cho 9, cho 3. Ngoài những dấu hiệu chia hết trên, đối với học sinh có khả năng tư duy Toán tốt, ta có thể mở rộng cho các em nắm được một số dấu hiệu chia hết khác như dấu hiệu chia hết cho 8, cho 7, cho 11, cho 4,.. các tính chất liên quan đến phép chia có dư để các em có thể giải tốt các đề toán.

Ta thấy các dấu hiệu chia hết - phép chia có dư trong chương trình lớp 4 là phần rất quan trọng, không thể thiếu nó vì nó là cơ sở để giải một số dạng toán ở tiểu học. Dạng toán:

- Tính nhanh giá trị biểu thức.- Rút gọn phân số, quy đồng mẫu số (tìm mẫu số chung).

3/41


- Tìm điều kiện để phân số có giá trị là số tự nhiên.- Viết các số tự nhiên theo dấu hiệu chia hết.- Dùng dấu hiệu chia hết để điền các chữ số chưa biết.- Các bài toán về vận dụng tính chất chia hết của một tổng và một hiệu.- Các bài toán về phép chia có dư.- Chứng tỏ một số hoặc một biểu thức chia hết cho ( hoặc không chia hết

cho) một số nào đó.- Cấu tạo số.- Tìm chữ số tận cùng.- Giải các bài toán có lời văn.- Các bài toán liên quan đến hình học.- Trò chơi – Toán vui.Hơn thế nữa, việc nắm chắc dấu hiệu chia hết còn là cơ sở cho việc phân

tích 1 số ra thừa số nguyên tố, việc tìm ƯSCLN, BSCNN để phục vụ cho việc học toán ở lớp 5 và các bậc học tiếp theo. Chính vì vậy, để học sinh học tốt và nắm chắc kiến thức về dạng toán này, tôi đi tìm hiểu, nghiên cứu và đưa ra “Một số biện pháp giúp học sinh lớp 4 làm tốt các dạng toán có liên quan đến dấu hiệu chia hết”II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU:

Nghiên cứu về các dấu hiệu chia hết trong số tự nhiên giúp cho giáo viên nắm sâu hơn về các kiến thức cơ bản chia hết. Đa dạng hóa trong vận dụng kiến thức, giúp cho học sinh nắm chắc kiến thức này vận dụng vào các kiến thức có liên quan. Góp phần tìm ra cách vận dụng linh hoạt các kiến thức cơ bản của môn học nhằm phát triển năng lực trí tuệ về môn toán cho học sinh lớp 4.III. ĐỐI TƯỢNG, PHẠM VI, THỜI GIAN NGHIÊN CỨU- Phạm vi nghiên cứu: + Tìm hiểu các dấu hiệu chia hết - phép chia có dư trong chương trình Toán 4. + Nghiên cứu các dạng chia hết và dạng chia có dư- Đối tượng nghiên cứu: Một số biện pháp giúp học sinh lớp 4 làm tốt các dạng toán có liên quan đến dấu hiệu chia hết.- Thời gian nghiên cứu: 1 năm học.VI. CÁC PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:

- Phương pháp nghiên cứu lý luận.- Phương pháp đàm thoại.- Phương pháp thực hành.- Phương pháp tổng hợp rút kinh nghiệm và bước đầu thực nghiệm.

4/41


PHẦN II: NỘI DUNG

CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ CƠ SỞ THỰC TIỄN 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN

* Tầm quan trọng của môn Toán ở Tiểu học Bậc tiểu học là bậc học góp phần quan trọng trong việc đặt nền móng cho việc hình thành và phát triển nhân cách học sinh trên cơ sở cung cấp những tri thức khoa học ban đầu về tự nhiên và xã hội phát triển các năng lực nhận thức trang bị các phương pháp và kĩ năng ban đầu về hoạt động nhận thức và hoạt động thực tiễn, bồi dưỡng và phát triển tình cảm, thói quen, đức tính tốt đẹp của con người. Mục tiêu nói trên được thực hiện thông qua việc dạy các môn học nói chung, môn Toán nói riêng. Cùng với môn Tiếng Việt, môn Toán có vị trí đặc biệt quan trọng. Các kiến thức, kĩ năng của môn Toán ở Tiểu học có nhiều ứng dụng trong đời sống, chúng cần thiết cho người lao động, rất cần thiết để học các môn học khác, học tiếp môn toán ở Trung học. Nhờ học toán, học sinh có phương pháp nhận thức một số mặt của thế giới xung quanh và biết cách hoạt động có hiệu quả trong đời sống. Bên cạnh đó, môn toán còn góp phần rất quan trọng trong việc rèn luyện phương pháp suy nghĩ, suy luận, giải quyết vấn đề, góp phần phát triển trí thông minh, cách suy nghĩ độc lập, linh hoạt, sáng tạo, góp phần vào việc hình thành các phẩm chất của người lao động như: cần cù, cẩn thận, có ý chí vượt khó khăn, làm việc có kế hoạch, có nề nếp và tác phong khoa học.* Tầm quan trọng của dạy nhận biết dấu hiệu chia hết và giải các bài toán liên quan đến dấu hiệu chia hết cho học sinh lớp 4 Do chương trình dạy " Dấu hiệu chia hết" ở lớp 4 có không nhiều (dạy 6 tiết gồm thì 4 tiết hướng dẫn tìm hiểu và 2 tiết luyện tập chung ). Người ta chỉ dạy cho học sinh điều kiện đủ của các dấu hiệu chia hết cho 2 (hoặc 5, 3, 9) mà chưa đề cập đến điều kiện cần. Nội dung kiến thức về dấu hiệu chia hết cho 2, 5, 3, 9 được cung cấp cho học sinh lớp 4 theo trình tự sau: Ta có thể phân thành hai nhóm:a. Dấu hiệu chia hết cho 2 và 5

Hai dấu hiệu này giống nhau ở yếu tố. Dùng để xác định một số có chia hết cho 2 hoặc 5 hay không, đều căn cứ vào chữ số tận cùng của nó. Ta còn gọi là : “ Dấu hiệu tận cùng”.

5/41


b. Dấu hiệu chia hết cho 3 và 9Hai dấu hiệu này có cùng yếu tố dùng để xác định một số có cùng chia

hết cho 3 hoặc 9 hay không. Đó là căn cứ vào tổng các chữ số của số đó có chia hết cho 3 hoặc 9 hay không. Ta có thể gọi là : “ Dấu hiệu tổng” Các bài toán về dấu hiệu chia hết - phép chia có dư thường rất đa dạng, phong phú, có nhiều cách giải, cách suy luận, liên quan chặt chẽ đến nhiều kiến thức đã học cũng như vốn hiểu biết của học sinh. Việc tìm cách giải khác nhau của một bài toán khó ở dạng này gắn liền với việc nhìn một vấn đề dưới nhiều khía cạnh khác nhau, mở đường cho sự sáng tạo phong phú. Việc dạy các dấu hiệu chia hết - phép chia có dư nhằm cung cấp cho học sinh khả năng suy luận, góp phần phát triển năng lực trí tuệ. Chính vì vậy, việc dạy dấu hiệu chia hết và các bài toán liên quan đến dấu hiệu chia hết cho học sinh lớp 4 là một việc làm quan trọng trong giảng dạy nói chung và trong công tác bồi dưỡng học sinh có khả năng tư duy tốt môn Toán nói riêng ở các trường Tiểu học. 2. CƠ SỞ THỰC TIỄN Trong thực tế giảng dạy có nhiều giáo viên cho rằng chỉ cần nêu cho học sinh nắm được một số tính chất chia hết, dấu hiệu chia hết trong sách giáo khoa và vận dụng giải bài tập trong sách giáo khoa là đủ. Phương pháp chung trong việc dạy về dấu hiệu chia hết chủ yếu là phương pháp vấn đáp, gợi mở, đi từ bảng chia để dẫn dắt học sinh rút ra kết luận về dấu hiệu bằng các câu hỏi gợi ý và phương pháp luyện tập củng cố kiến thức. Qua dự giờ thăm lớp, trao đổi trực tiếp với đồng nghiệp thì một số giáo viên nắm nội dung điều kiện cần và đủ của các dấu hiệu chia hết chưa sâu. Giáo viên vận dụng chưa thật linh hoạt phương pháp dạy học mới bằng hình thức giao việc theo sự chỉ dẫn của giáo viên để học sinh tự tìm ra kiến thức. Giáo viên chưa thực sự chú trọng lắm trong rèn luyện nâng cao việc giải toán, có liên quan đến dấu hiệu chia hết trong phụ đạo ngoài giờ hoặc làm thêm các bài tập nâng cao khi các em đã được học xong chương trình nàyBài 1 : Trong các số: 7435, 4568, 66811, 2050, 2229, 35766.

a. Số nào chia hết cho 2? b. Số nào chia hết cho 3? c. Số nào chia hết cho5? d. Số nào chia hết cho 9?

Với dạng bài tập này, đa số học sinh làm tốt nghĩa là các em vận dụng được và nắm chắc chắn về dấu hiệu chia hết chiếm 92,7%

6/41


Bài 2: Tìm chữ số thích hợp viết vào dấu ô trống sao cho:a. 58 chia hết cho 3b. 63 chia hết cho 9c. 24 chia hết cho cả 3 và 5d. 35 chia hết cho cả 2 và 3

Học sinh vận dụng được và vận dụng chắc chắn dấu hiệu chia hết ở bài tập này chiếm 82,2%Bài 3: Tìm số có 2 chữ số sao cho khi lấy số đó chia cho 2 dư 1, chia cho 3 dư 2, chia cho 5 dư 4, chia cho 6 dư 5.- Học sinh vận dụng được và vận dụng linh hoạt dấu hiệu chia hết để giải các bài tập nâng cao đạt 37.5%

Nếu chỉ đơn thuần như vậy thì không phát huy được năng lực suy luận phát triển trí tuệ của học sinh khi gặp bài toán về chia hết và phép chia có dư. Đặc biệt dạng toán liên quan đến phép chia có dư và các tính chất, các lưu ý nhằm giúp học sinh làm tốt dạng toán này lại không có trong chương trình toán 4. Chính vì vậy học sinh sẽ bế tắc dẫn đến một số học sinh làm một cách máy móc, dập khuôn. Với thực trang khảo sát kết quả đầu năm về nội dung bài tập có liên quan đến dấu hiệu chia hết như sau:

KẾT QUẢ ĐẦU NĂM ĐỐI VỚI DẠNG BÀIVỀ DẤU HIỆU CHIA HẾT

Sĩ số

Học sinh hiểu, nắm chắc nội dung bài, vận dụng kiến thức

linh hoạtHọc sinh hiểu bài

Học sinhchưa hiểu bài

Số lượng %Số

lượng%

Số lượng

%

59 20 38% 30 50% 9 12% Điều đó chứng tỏ rằng học sinh tiếp thu kiến thức về dấu hiệu chia hết

không khó khăn, ngay cả học sinh trung bình, yếu song khả năng vận dụng dấu hiệu chia hết để lập luận, giải thích vấn đề trong bài tập còn yếu. Nhất là các em còn lúng túng khi vận dụng để giải các bài tập nâng cao.(Ngay cả học sinh khá, giỏi) và các em chưa biết vận dụng linh hoạt các dấu hiệu chia hết bằng cách phân các nhóm để dễ nhận biết hơn. Qua quá trình giảng dạy, nghiên cứu và học hỏi kinh nghiệm của đồng nghiệp, tôi thấy việc dạy về các dấu hiệu chia hết không chỉ dạy gói

7/41


gọn trong sách giáo khoa mà còn dạy mở rộng thêm ở mỗi phần, mỗi bài dạy cho học sinh trong từng tiết học hàng ngày trên lớp và đặc biệt là trong các tiết Hướng dẫn học.

Mở rộng cho học sinh một số dấu hiệu khác như chia hết cho 4, cho7, cho 8, cho 11,... và về chia hết cho một tổng, một hiệu, một tích cần có những bài toán tổng quát hơn. Từ đó phát huy được tính tích cực, chủ động sáng tạo từ đó giúp học sinh nắm vững kiến thức, vận dụng kiến thức có tính hệ thống, logic và đạt hiệu quả tốt.

Trong giảng dạy giáo viên là người hướng dẫn, tạo sự hứng thú, gợi động cơ học tập cho học sinh. Mở rộng kiến thức, hiểu sâu dạng toán là nhân tố quan trọng trong việc phát triển các thao tác tư duy, phân tích, tổng hợp, khái quát hóa. Đồng thời về mặt ngôn ngữ cần chú trọng phân tích cấu trúc, phát triển nội dung và luyện tập cho học sinh, củng cố khái niệm tạo sự khái quát hóa, hệ thống hóa. Để khắc phục tình trạng nói trên cần có những biện pháp sau:

CHƯƠNG II: BIỆN PHÁP THỰC HIỆNCác biện pháp hình thành kiến thức cho học sinh theo trình tự sau:Bước 1: Giúp học sinh nắm vững dấu hiệu chia hết cho 2, 5, 9, 3 thì giáo viên cần phải: - Nắm vững nội dung của điều kiện cần và đủ của các dấu hiệu chia hết phải nắm chắc và sử dụng thành thạo phương pháp và hình thức dạy học phù hợp với học sinh. - Cần có sự chuẩn bị trước bài dạy để có khả năng dẫn dắt học sinh biết cách sử dụng các dấu hiệu một cách chặt chẽ, logic. - Cần nắm và hiểu rõ nội dung trình bày của sách giáo khoa để từ đó định hướng, dẫn dắt các em nắm vững kiến thức. - Cần vận dụng linh hoạt phương pháp dạy học mới bằng hình thức sử dụng phiếu giao việc theo sự chỉ dẫn của giáo viên để học sinh tự phát hiện và tìm ra kiến thức mới. Từ đó giúp các em nắm vững nội dung các dấu hiệu chia hết để vận dụng một cách linh hoạt, sáng tạo vào việc giải các bài tập có liên quan.

Bước 2: Trong quá trình hình thành kiến thức mới cho học sinh cần đi theo các bước sau:

8/41


- Phát hiện các số chia hết cho 2 (hoặc 5, 9, 3) từ các bảng chia đã học tìm ra đặc điểm của các chia hết cho 2 (hoặc 5, 9, 3) trong các bảng vừa nêu. - Tìm các số khác nhau có đặc điểm giống nhau với các số bị chia trong các bảng chia nêu trên cho học sinh so sánh, đối chiếu để tìm ra điểm chung của các số chia hết cho 2 (hoặc 5, 9, 3). - Lấy bất kỳ một số nào đó có cùng đặc điểm với các số chia hết cho 2 (hoặc 5, 9, 3) dưới dạng Điều kiện đủ chính là câu ghi nhớ trong sách giáo khoa.Bước 3: Khi các em nắm vững kiến thức và thuộc cách nhận biết các dấu hiệu các bài tập trong sách Toán 4 cho các em làm những bài tập mở rộng thêm các dấu hiệu, phát triển các bài tập từ các dấu hiệu đã học .

Việc áp dụng các kiến thức đã học và phát triển kiến thức được thực hiện một cách linh hoạt trong từng tiết học bằng cách đan xen củng cố kiến thức đồng thời cũng nâng cao ở cuối mỗi tiết tìm hiểu kiến thức mới.Ví dụ : Khi dạy bài dấu hiệu chia hết cho 2.

+ Phần tìm hiểu bài và vận dụng kiến thức vào phần thực hành của học sinh có thể sử dụng với thời lượng khoảng 25’ -> 30’ phần lớn các em có thể nắm được hoặc nắm chắc dấu hiệu và phát hiện dấu hiệu chắc chắn. Vậy thời gian còn lại thể mở rộng thêm cho các em về dấu hiệu chia hết cho 4. Như vậy trong một tiết học bài mới học sinh có thể phát huy hết khả năng tư duy sáng tạo của mình và đồng thời phân hóa được từng đối tượng học sinh.

+ Tiếp theo việc ôn tập để củng cố và mở rộng kiến thức giúp học sinh nắm vững các dấu hiệu thông qua các bài tập luyện tập lại tiếp tục được thực hiện song song trong các tiết Hướng dẫn học vào buổi chiều. Ví dụ: Khi tìm hiểu dấu hiệu chia hết cho 2 , 5 ta có thể dạy kết hợp dạy tìm dấu hiệu chia hết cho 2 và 5. Nhằm giúp học sinh nhận biết dấu hiệu “ Xét chữ số tận cùng” và tự rút ra kết luận: “Những số chia hết cho cả 2 và 5 có tận cùng là chữ số 0”. + Tương tự sau khi tìm hiểu hết dấu hiệu chia hết cho 9, 3 ta có kết hợp dạy tìm dấu hiệu chia hết cho 9 và 3. Nhằm giúp học sinh nhận biết dấu hiệu “ Xét tổng các chữ số ” và tự rút ra kết luận: “Tổng các chữ số trong một số chia hết cho 9 thì cũng chia hết cho 3”. + Kết hợp tìm dấu hiệu chia hết cho 2, 5, 9 và 3. Hướng dẫn cho học sinh xét “Dấu hiệu tận cùng” trước để xét “Dấu hiệu tổng”........-> Cụ thể được thực hiện như sau:

9/41


A. NHẬN BIẾT CÁC DẤU HIỆU CHIA HẾT

I. DẤU HIỆU CHIA HẾT CHO 2:Học sinh nắm vững được dấu hiệu chia hết cho 2 (số có tận cùng 0, 2, 4,

6, 8) và vận dụng để nhận biết một số là số có chia hết cho 2 hay không?1. Giáo viên giảng:

Trong mỗi bảng chia đã học các số bị chia đều chia hết cho số chia. Dựa vào bảng chia cho 2, em hãy nêu các số chia hết cho 2.

- HS trả lời, GV ghi bảng: 2, 4, 6, 8, 10. 12, 14, 16, 18, 20.

+ GV: Các số chia hết cho 2 trên có tận cùng bằng những chữ số nào? (0, 2, 4, 6, 8).

+ HS tự lấy một số bất kỳ (khác các số trên) có tận cùng bằng 0 hoặc 2, hoặc 4, hoặc 6, hoặc 8. Hãy tính xem số đó có chia hết cho 2 hay không? (có).Ví dụ: 820 : 2 = 410; 522 : 2 = 261; 434 : 2 = 217; 636 : 2 = 318; 728 : 2 = 364Kết luận: Những số có tận cùng bằng 0, 2, 4, 6, 8 đều chia hết cho 2.

+ GV giới thiệu thêm: Các số chia hết cho 2 là những số chẵn. Các số không chia hết cho 2 là những số lẻ.

2. Luyện tập:Bài 1: Với 3 chữ số đã cho (0, 1, 4) viết tất cả các số có 3 chữ số chia hết cho 2.

- GV hướng dẫn: Lập số có 3 chữ số từ 3 chữ số có sẵn. Số chia hết cho 2 thì tận cùng số đó là chữ số nào?

- HS vận dụng lý thuyết để viết được số chia hết cho 2 từ 3 chữ số cho trước là 104, 140, 410. Bài 2: Viết vào dấu * ở số một chữ số để được số có 3 chữ số và:

- Là số chia hết cho 2.- Là số không chia hết cho 2.(Viết tất cả các số có thể viết được)GV hướng dẫn học sinh là: Dấu * là dấu biểu thị chữ số ở hàng nào? Yêu

cầu của đề là gì?HS viết được số chia hết cho 2 là: 860; 862; 864; 866; 868Số không chia hết cho 2 là: 861; 863; 865; 867; 869

GV:Vì sao các em lại biết số 860; 862; 864; 866; 868 chia hết cho ?10/41


HS: Vì dựa vào dấu hiệu chia cho 2 các số tận cùng là các số chẵn và ngược lại những số không có tận cùng các số chẵn thì sẽ không chia hết cho 2.HS nêu kết luận: "Số nào không có tận cùng bằng 0, 2, 4, 6 hoặc 8 thì không chia hết cho 2".

II. DẤU HIỆU CHIA HẾT CHO 5:Học sinh nắm được dấu hiệu chia hết cho 5 (Số có tận cùng là 0 hoặc 5)

và vận dụng để nhận biết một số có là số chia hết cho 5 hay không?1. Giáo viên yêu cầu học sinh: Dựa vào bảng chia 5, viết các số chia hết cho 5 từ 5 đến 50.

Học sinh lên bảng viết: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50.Học sinh nhận xét về chữ số tận cùng của các số chia hết cho 5 (Tận cùng

là 0 và tận cùng là 5).Giáo viên yêu cầu học sinh lấy một số bất kì có tận cùng là 0 hoặc 5. Hãy

tính xem số đó có chia hết cho 5 hay không? Ví dụ: 450 : 5 = 90; 2190 : 5 = 438; 345 : 5 = 69; 5745 : 5 = 1149

Kết luận: "Những số có tận cùng là 0 hoặc 5 thì chia hết cho 5"2. Luyện tập:

Cho các số: 51, 9, 120, 502, 235, 553, 554, 56, 107, 118.- Tìm trong đó các số chia hết cho 5.- Trong các số đó, những số nào không chia hết cho 5? Các số này có tận

cùng bằng 0 hoặc 5 không? - Thực hiện phép chia mỗi số đó cho 5 đề tìm thương và số dư.

GV hướng dẫn HS làm:Yêu cầu HS dùng dấu hiệu chia hết cho 5 để xem trong các số đó, có

những số nào chia hết cho 5, có những số nào không chia hết cho 5.- Những số chia hết cho 5 là: 120; 235- Những số không chia hết cho 5 là: 51, 9, 502, 553, 554, 56, 107, 118.HS thực hiện phép chia mỗi số đó cho 5 để tìm thương và số dư và để

khẳng định dấu hiệu chia hết cho 5. 120 : 5 = 24 235 : 5 = 47 51 : 5 = 10 dư 1 554 : 5 = 110 dư 4 9 : 5 = 1 dư 4 56 : 5 = 11 dư 1 502 : 5 = 100 dư 2 107 : 5 = 21 dư 2 553 : 5 = 110 dư 3 118 : 5 = 23 dư 3

11/41


Qua luyện tập HS đi đến kết luận: "Số nào không có tận cùng bằng 0 hoặc 5 thì không chia hết cho 5". Và: Số chia 5 dư 1 thì có tận cùng là 1 hoặc 6

Số chia 5 dư 2 thì có tận cùng là 2 hoặc 7 Số chia 5 dư 3 thì có tận cùng là 3 hoặc 8 Số chia 5 dư 4 thì có tận cùng là 4 hoặc 9

III. DẤU HIỆU CHIA HẾT CHO 9:Học sinh nắm được dấu hiệu chia hết cho 9 (số có tổng các chữ số chia

hết cho 9) và vận dụng để nhận biết một số có chia hết cho 9 hay không?1. GV yêu cầu HS: Dựa vào bảng chia hết cho 9, đọc các số chia hết cho 9 (từ 9 đến 90).

GV ghi bảng: 9; 18; 27; 36; 45; 54; 63; 72; 81; 90- Hướng dẫn HS nhận xét đặc điểm của các số trên để rút ra dấu hiệu chia

hết cho 9.- Hãy xem tổng các chữ số của các số đó? (Tổng đều là 9)- Mỗi HS tự lấy một số bất kỳ có tổng các chữ số là số chia hết cho 9 thử

xem số đó có chia hết cho 9 không? Chẳng hạn:Ví dụ 1: 18 = 4 + 7 + 7Xét thử các số 477; 774; 747 có chia hết cho 9 không?477 : 9 = 53 774 : 9 = 86 747 : 9 = 83Ví dụ 2: 27 = 8 + 7 + 6 + 5 + 1Xét thử số 87651; 15678 có chia hết cho 9 không?87651 : 9 = 9739 15678 : 9 = 1742Kết luận: "Những số mà tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết

cho 9"2. Luyện tập:

Cho các số 135; 378; 7895; 147; 384; 5609. Tìm trong đó:- Các số chia hết cho 9 và thực hiện phép chia mỗi số đó cho 9.- Những số nào không chia hết cho 9? Tổng các chữ số của các số này có

chia hết cho 9 không?GV hướng dẫn HS dùng dấu hiệu chia hết cho 9 để giải bài toán.

GV: Bài này ta có xét được chữ số tận cùng không? HS: Không, ta phải xét xem các số đó số nào có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9 và ngược lại.

12/41


Từ đó rút ra kết luận: "Những số mà tổng các chữ số không chia hết cho 9 thì không chia hết cho 9".

IV. DẤU HIỆU CHIA HẾT CHO 3:Học sinh nắm bắt được dấu hiệu chia hết cho 3 (Số có tổng các chữ số

chia hết cho 3) và vận dụng để biết một số có chia hết cho 3 không?1. Giáo viên yêu cầu học sinh:

Dựa vào bảng chia 3, đọc các số chia hết cho 3 (Từ 3 đến 30) 3; 6; 9; 12; 15; 18; 21; 24; 27; 30.

GV ghi bảng các số đó rồi cho HS nhận xét tổng các chữ số của từng số đó:

3; 12; 21; 30 có tổng các chữ số là 3, chia hết cho 3. 6; 15; 24 có tổng các chữ số là 6, chia hết cho 3. 9; 18; 27 có tổng các chữ số là 9 chia hết cho 3.

GV yêu cầu mỗi HS tự lấy một số bất kỳ, có tổng các chữ số chia hết cho 3, hãy xem số đó có chia hết cho 3 không?

Ví dụ 1: 15 chia hết cho 315 = 7 + 8 = 8 + 7 ta có các số sau cũng chia hết cho 3.78 : 3 = 26; 87 : 3 = 29

Ví dụ 2: 21 chia hết cho 3.21 = 7 + 8 + 6 = 6 + 7 + 8 = 8 + 7 + 6 = ... ta có các số sau

cũng chia hết cho 3.786 : 3 = 262 876 : 3 = 292678 : 3 = 226 678 : 3 = 229 ...

Rút ra kết luận: "Những số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3"2. Luyện tập:

Cho các số: 105; 147; 384; 486; 5609; 7895; 7839- Tìm các số chia hết cho 3, chia hết cho 9.- Số chia hết cho 9 có chia hết cho 3 hay không?GV hướng dẫn làm: Số như thế nào thì chia hết cho 3, số như thế nào thì

chia hết cho 9?HS dùng dấu hiệu chia hết cho 3, cho 9 để tìm các số chia hết cho 3, chia

hết cho 9. Các số chia hết cho 3 là: 105; 147; 348; 486; 7893

13/41


Ví dụ: 105 : 3 = 35 378 : 3 = 116147 : 3 = 49 486 : 3 = 162

7893 : 3 = 2631Các số chia hết cho 9 là: 486; 7893Vì: 486 : 9 = 54

7893 : 9 = 877* Đối với bài tập này giáo viên cần khắc sâu cho học sinh:

Vì sao các số 105; 147; 348; 486; 7893 lại chia hết cho 3 ? Vì sao các số 105; 147; 348; lại không chia hết cho 9? Bất kỳ một số nào chia hết cho 9 thì ta khẳng định số đó cũng chia hết cho 3. * Sau khi học sinh học xong các dấu hiệu chia hết cho 2, 5, 9, 3 - Giáo chốt kiến thức, hướng dẫn HS chia ra thành 2 nhóm:Nhóm 1: Chia hết cho 5 và cho 2 ta chỉ việc xét chữ tận cùng các số.Nhóm 2: Chia hết cho 3 và 9 ta phải xét tổng các chữ số của số đó.* Thông qua dấu hiệu chia hết cho 3, cho 9 ta có thể hướng dẫn học sinh tìm số dư trong phép chia một số cho 3, cho 9.

Số dư trong phép chia một số cho 3, cho 9 chính là số dư của phép chia trong phép chia số tạo bởi tổng các chữ số của số đó ch 3, cho 9.

Ví dụ: a) 1294 chia 3 dư bao nhiêu?

Ta có: 1 + 2 + 9 + 4 = 16 Mà 16 : 3 dư 1

Vậy 1294 chia 3 dư 1b) 36728 chia 9 dư bao nhiêu?Ta có: 3 + 6 + 7 + 2 + 8 = 26

Mà 26 : 9 dư 8Vậy 36728 chia 9 dư 8Ngoài các dấu hiệu chia hết cho 2, cho 5, cho 9, cho 3 trong sách giáo

khoa Toán 4, chúng ta cần nâng cao và mở rộng các dấu hiệu chia hết cho 4; cho7; cho 8; cho 11 ... cho học sinh. Đặc biệt là trong việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi.

14/41


B. MỞ RỘNG CÁC DẤU HIỆU CHIA HẾT

I. DẤU HIỆU CHIA HẾT CHO 4:1. Giáo viên đưa ra dấu hiệu chia hết cho 4: "Một số chia hết cho 4 khi và chỉ khi số tạo bởi hai chữ số tận cùng của số đó chia hết cho 4".

Ví dụ: 3428 -> 28 : 4 = 7 (3428 : 4 = 857)5748 -> 84 : 4 = 21 (5784 : 4 = 1446)

Thông qua dấu hiệu chia hết cho 4 ta có thể hướng dẫn học sinh tìm số dư trong phép chia một số cho 4.

Số dư trong phép chia một số cho 4 chính là số dư của phép chia trong phép chia số tạo bởi hai chữ số tận cùng của số đó cho 4.

Ví dụ: 1575 : 4 dư 3 vì 75 : 4 dư 32. Luyện tập:

- Số nhỏ nhất có 2 chữ số chia hết cho 4 là số nào? (12)- Số lớn nhất có 2 chữ số chia hết cho 4 là số nào? (96)- Có bao nhiêu số có hai chữ số chia hết cho 4?

Giải:+ Số nhỏ nhất có 2 chữ số chia hết cho 4 là: 12+ Số lớn nhất có 2 chữ số chia hết cho 4 là: 96Các số có hai chữ số chia hết cho 4 là:

12, 16, 20, 24,........, 96 Các số có 2 chữ số chia hết cho 4 lập thành dãy số cách đều 4

Số các số có hai chữ số chia hết cho 4 là: ( 96 - 12 ) : 4 + 1 = 22( số)

Vậy có 22 số có 2 chữ số chia hết cho 4.Khi học sinh nắm bắt được dấu hiệu chia hết cho 4, GV có thể hướng dẫn

dấu hiệu chia hết cho 25:"Một số chia hết cho 25 khi và chỉ khi số tạo bởi hai chữ số tận cùng

của số đó chia hết cho 25 hay hai chữ số tận cùng bằng 25; 50; 75; 00"

II. DẤU HIỆU CHIA HẾT CHO 61. Giáo viên đưa ra dấu hiệu chia hết cho 6

15/41


Dựa vào dấu hiệu chia hết cho 2, dấu hiệu chia hết cho 3, ta tìm được dấu hiệu chia hết cho 6( vì 2 x 3 = 6 mà 2 và 3 không cùng chia hết cho số nào khác 1)Như vậy: Một số chia hết cho 6 khi số đó vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 3 hay: Số chẵn mà có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 6. Ví dụ: 48; 54; 324; 1524;....2. Luyện tập: Cho các số: 145; 234; 2453; 3258. Số nào chia hết cho 6, số nào không chia hết cho 6? Hướng dẫn giải:Hỏi: Số 6 là tích của hai số nào? Số 6 có chia hết cho 2 và 3 không? Vậy để tìm số chia hết cho 6 ta dựa và dấu hiệu nào? Yêu cầu học sinh dựa vào dấu hiệu chia hết cho 2 và chia hết cho 3 để tìm số chia hết cho 6 trong các số trên. Số chẵn mà có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 6. Vậy số chia hết cho 6 là: 234; 3258Số không chia hết cho 6 là: 145; 2453

III. DẤU HIỆU CHIA HẾT CHO 71. GV hướng dẫn HS cách tìm một số có chia hết cho 7 không?

Nhân chữ số cuối cùng của số đó với 2. Lấy số tạo bởi các chữ số còn lại (tức bỏ đi chữ số cuối của số đó) trừ đi tích số vừa tìm được. Xét xem số mới này có chia hết cho 7 không? Nếu có chia hết cho 7 thì số đã cho chia hết cho 7.

Ví dụ 1: Với số 532 ta có chữ số cuối cùng là 2, đem nhân 2 với 2 ta được 4. Số còn lại là 53, ta lấy 53 - 4 = 49. Số 49 chia hết cho 7 do đó số 532 chia hết cho 7.

Ví dụ 2: Xét xem số 57750000 có chia hết cho 7 hay không?Thực chất ta chỉ cần xem số 5775 có chia hết cho 7 không? (hãy nghĩ tại

sao)?Giải:Thực chất ta chỉ cần xét số 5775 có chia hết cho 7 không? vì nếu 5775 7

thì 577500007. ( vì 57750000 = 5775 x 10000. Mà 57757 thì 5775 x100007)- Xét số 5775. Chữ số cuối cùng là 5, đem nhân 5 với 2 ta được 10. Số

còn lại là 577, ta lấy 577 trừ 10 thì được 567.

16/41


Tiếp tục ta xét số 567 xem có chia hết cho 7 hay không? Chữ số cuối cùng của số 567 là 7, đem nhân 7 với 2 ta được 14. Số còn lại là 56, lấy 56 trừ 14 được 42. Số 42 7 nên 5775 7. Ta kết luận 57750000 7.2. Luyện tập:

Tìm số tự nhiên có 3 chữ số. Biết rằng số đó chia hết cho 7 và tổng các chữ số của nó cũng chia hết cho 7.

Hướng dẫn giải:Gọi số phải tìm abc ( a 0, a; b < 10)

Ta có: 7 -> ( 100 x a + 10 x b + c) 7 (98 x a + 7 x b) + (2 x a + 3 x b + c) 7

Vì (98 x a) 7; (7 x b) 7 nên (98 x a + 7 x b) 7Vậy để (98 x a + 7 x b) + (2 x a + 3 x b + c) 7 thì (2 x a + 3 x b + c) 7 ( 1)

Ta lại có: (a + b + c) 7 (2 x a + 2 x b + 2 x c) 7 (2)

Từ (1) và (2)b - c 7 (Nếu b c) hoặc c - b 7 (Nếu c b)

Xét trường hợp:* Trường hợp b = c

Xét các số: ; ; ; ; ......; Ta có số 700; 511; 322; 133; 833; 644; 455; 266; 966; 777; 588; 399* Trường hợp b - c = 7 (b > c) Xét các số: ; ; (a = 7; 5; 3)Ta có các số: 707; 581; 392* Trường hợp c - b = 7 (c > b) Xét các số: ; ; (a = 7; 5; 3)Ta có các số: 707; 518; 329Vậy tất cả có 18 số phải tìm

IV. DẤU HIỆU CHIA HẾT CHO 8:1. Giáo viên đưa ra dấu hiệu chia hết cho 8: "Một số chia hết cho 8 khi và chỉ khi số tạo bởi 3 chữ số tận cùng của nó chia hết cho 8".

Ví dụ: 93336 có 336 : 8 = 42 (93336 : 8 = 11667)Từ dấu hiệu chia hết cho 8 ta có thể hướng dẫn HS tìm số dư trong phép

chia số tạo bởi 3 chữ số tận cùng của số đó cho 8.

17/41


Số dư trong phép chia số đó cho 8 chính là số dư trong phép chia số tạo bởi 3 chữ số tận cùng của số đó cho 8.

Ví dụ: 15408 8 vì 408 8 23151 : 8 dư 7 vì 151 : 8 dư 7

2. Luyện tập: Tìm chữ số x trong số , biết rằng số đó chia hết cho 8.

Hướng dẫn HS giải:xx34712 8 <=> x47 8

Ta có:x47 = 470 + x = 464 + (6 + x)

Mà 464 8 => x47 8 <=> (6 + x) 8 <=> x = 2Vậy số phải tìm là: 1223472

Dấu hiệu chia hết cho 125 cũng tương tự: "Một số chia hết cho 125 khi và chỉ khi số tạo bởi ba chữ số tận cùng của số đó chia hết cho 125".

V. DẤU HIỆU CHIA HẾT CHO 111. Giáo viên đưa ra dấu hiệu chia hết cho 11:

Một số chia hết cho 11 khi và chỉ khi hiệu giữa tổng các chữ số ở hàng lẻ và tổng các chữ số ở hàng chẵn (kể từ phải sang trái) chia hết cho 11.

Ví dụ: 92136 11 vì (6 + 1 + 9) - (3 + 2) = 16 - 5 = 11 11Từ dấu hiệu này ta củng cố cho học sinh tìm số dư trong phép chia cho

11. Số dư trong phép chia một số cho 11 cũng chính là số dư trong phép chia cho 11 của hiệu giữa tổng các chữ số ở hàng lẻ và tổng các chữ số ở hàng chẵn của số đó (kể từ phải sang trái).

Ví dụ: Số dư trong phép chia 51329 chia cho 11 là bao nhiêu?Giải:

Vì: (9 + 3 + 5) - (2 + 1) = 17 - 3 = 14Mà 14 chia cho 11 dư 3.Vậy 51329 chia cho 11 dư 3

18/41


2. Bài luyện tập:Ví dụ: Số học sinh dự kì thi Học sinh giỏi Thành phố là một số gồm 3 chữ

số 2, a, 1. Biết rằng ta cứ tiếp tục viết mỗi số 2, a, 1 thì sẽ được số ( 1995 lần số ) chia hết cho 11. Tìm số học sinh dự thi? Giáo viên hướng dẫn giải: Nhận xét: Trước hết ta thấy số 11 (vì tổng các chữ số đứng ở hàng chẵn bằng tổng các chữ số đứng ở hàng lẻ).

(a + b + c) = a + b + c Trở lại với số đã cho ta có: (Lập lại 1995 lần số ) Như vậy 1994 lần lặp lại số chia hết cho 11 (1) Ta có: ( 1995 lần số ) = ( 1994 lần số ) +

Vì ( 1994 lần số) 11 theo (1) Mà ( 1995 lần số ) 11 Nên cũng phải 11 Dựa vào dấu hiệu chia hết cho 11 ta có

Để 11 thì a = 2 + 1 = 3Số đó là 231. Vậy số học sinh dự thi là 231 học sinh.

VI. DẤU HIỆU CHIA HẾT CHO 251. Giáo viên đưa ra dấu hiệu chia hết cho 25:

Giáo viên yêu cầu học sinh tìm số chia hết cho 25 dựa trên kết quả của phép nhân các số từ 1 đến 10 với 25 ( 25, 50, 75, 100, 125, 150, 175, 200, 225, 250) Yêu cầu học sinh nhận xét 2 chữ số tận cùng của các số chia hết cho 25 vừa nêu trên. ( Hai chữ số tận cùng là các chữ số 00, 25, 50, 75) Các số không có hai chữ số tận cùng là 00, 25, 50, 75 có chia hết cho 25 không? Nêu ví dụ.Từ đó rút ra dấu hiệu chia hết cho 25: Những số có hai chữ số tận cùng là 00, 25, 50, 75 thì chia hết cho 25 2. Bài luyện tập:Rút gọn các phân số sau:

a. b.

Giải:

a. =

19/41


b. = =

VII. DẤU HIỆU CHIA HẾT CHO 1251. Giáo viên đưa ra dấu hiệu chia hết cho 125:

Tương tự như cách hướng dẫn dấu hiệu chia hết cho 25, hướng dẫn cho học sinh dấu hiệu chia hết cho 125. Giáo viên yêu cầu học sinh lấy ví dụ các số chia hết cho 125 từ phép nhân các số từ 1 đến 10 cho 125( gồm các số 125, 250, 375, 500, 625, 750, 875, 1000, 1125, 1250) và nhận xét 3 chữ số tận cùng ở các số vừa tìm được tạo bởi những số như thế nào để rút ra kết luận: “ Những số có ba chữ số tận cùng là 000, 125, 250, 375, 500, 625, 750 hoặc 875”

2. Bài luyện tập:Rút gọn các phân số sau:

a. b.

a. =

= = =

b. = = = =

* Ngoài ra, giáo viên có thể hướng dẫn học sinh cách tìm dấu hiệu chia hết của một số trường hợp đặc biệt khác.

Ví dụ 1: Dấu hiệu chia hết cho 45Vì 45 = 5 x 9. Mà 5 và 9 không cùng chia hết cho số tự nhiên nào khác 1

nên 1 số chia hết cho 45 khi và chỉ khi số đó vừa chia hết cho 9 vừa chia hết cho 5.Ví dụ 2: Dấu hiệu chia hết cho 18Vì 18 = 2 x 9. Mà 2 và 9 không cùng chia hết cho số tự nhiên nào khác 1

nên 1 số chia hết cho 18 khi và chỉ khi số đó vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 9.Cách tìm dấu hiệu chia hết của 12, 14, 15, 36, 45, 99... làm tương tự.

Từ đó hệ thống kiến thức thông qua bảng dấu hiệu chia hết sau:

20/41


BẢNG DẤU HIỆU CHIA HẾTChia hết cho Dấu hiệu chia hết2 - Tận cùng là các chữ số chẵn (0, 2, 4, 6, 8).3 - Có tổng các chữ số của số đó chia hết cho 3.4 và 25 - Có 2 chữ số cuối cùng chia hết cho 4 hoặc 25.5 - Có chữ số tận cùng bằng 0 hoặc 5.6(Chia hết cho 2 và 3)

- Chữ số tận cũng là chẵn và tổng các chữ số chia hết cho 3.

7 - (Số ban đầu bỏ hàng đơn vị - hàng đơn vị x 2) 7.8 và 125 - Ba chữ số tận cùng của số đó 8 hoặc 125.9 - Tổng các chữ số của số đó 9.10(Chia hết cho 2 và 5)

- Có chữ số tận cùng là 0.

11- Hiệu giữa tổng các chữ số ở hàng chẵn và tổng các chữ số ở hàng lẻ chia hết cho 11.

2, 3 và 5- Tận cùng là chữ số 0 và tổng các chữ số của nó chia hết cho 3.

12(Chia hết cho 4 và 3)

- 2 chữ số tận cùng của số đó chia hết cho 4 và tổng các chữ số chia hết cho 3.


- Chữ số tận cùng của số đó là 0 hoặc 5 và tổng của các chữ số chia hết cho 3.


- Chữ số tận cùng là số chẵn và tổng các chữ số chia hết cho 9.


- 2 chữ số cuối chia hết cho 4 và tổng các chữ số chia hết cho 9.


- Chữ số tận cùng là 0 hoặc 5 và tổng các chữ số chia hết cho 9.

21/41


C. MỘT SỐ TÍNH CHẤT CHIA HẾT CỦA MỘT TỔNG VÀ MỘT HIỆU

1. Các tính chất thường sử dụng- Nếu mỗi số hạng của tổng đều chia hết cho 2 thì tổng của chúng cũng

chia hết cho 2.- Nếu số bị trừ và số trừ đều chia hết cho 2 thì hiệu của chúng cũng chia

hết cho 2.- Nếu một số hạng của tổng chia cho 2 dư n và các số hạng còn lại đều

chia hết cho 2 thì tổng của chúng cũng chia cho 2 dư n.- Hiệu của 2 số là một số chia hết cho 2 và một số chia cho 2 dư n thì số

còn lại cũng chia cho 2 dư n. - Trong một tổng, nếu tổng số dư của các phép chia khi chia từng số hạng của tổng cho một số mà chia hết cho số đó thì tổng của chúng cũng chia hết cho số đó. - Trong một hiệu, nếu số bị trừ và số trừ khi chia cho một số có cùng số dư thì hiệu của chúng sẽ chia hết cho số đó.

Cũng có tính chất tương tự đối với trường hợp chia hết cho 3, 4, 5, 9......2. Luyện tập:Bài 1: Không làm phép tính, hãy xét xem các tổng và hiệu dưới đây có chia hết cho 3 hay không?

a) 240 + 123 240 - 123b) 2454 + 374 + 135 2454 - 374 - 135Hướng dẫn giải: Ta nhận xét: a) 240 và 123 đều chia hết cho 3 nên: (240 + 123) chia hết cho 3 (240 - 123) chia hết cho 3b) 2454 và 135 chia hết cho 3 còn 374 không chia hết cho 3 nên: 2454 + 374 + 135 không chia hết cho 3 : 2454 - 374 - 135 không chia hết cho 3

Bài 2: Nhà máy dệt Bình Minh có một số công nhân hưởng mức lương 360000đ một tháng, một số khác hưởng mức lương 495 000đ một tháng và số còn lại hưởng mức lương 672 000đ một tháng. Sau khi phát lương tháng 7 cho công nhân, cô kế toán cộng sổ hết tất cả 273 815 000đ. Hỏi cô kế toán tính đúng hay sai? Giải thích tại sao?

22/41


Hướng dẫn giải:Ta nhận xét: Mức tiền lương tháng của mỗi công nhân đều là một số chia

hết cho 3 cho nên tổng số tiền phát lương hàng tháng của nhà máy phải là một số chia hết cho 3. Mà số tiền lương cô kế toán cộng là 273 815 000đ - không chia hết cho 3. Vậy cô kế toán đã cộng sai.

D. MỘT SỐ TÍNH CHẤT LIÊN QUAN ĐẾN PHÉP CHIA CÓ DƯ.Bên cạnh các bài toán có liên quan tới dấu hiệu chia hết, trong khi giải các

bài toán nâng cao hay tham dự các kỳ thi chọn học sinh giỏi các em còn được gặp một số bài toán khác về phép chia có dư. Để làm được thành thạo dạng toán này thực sự là khó đối với các em. Khó vì mảng kiến thức về phép chia có dư không có trong chương trình toán 4. Mặc dù ở lớp 3 các em có được làm quen với khái niệm toán học phép chia có dư - số dư nhưng chỉ ở mức độ đơn giản là số dư bao giờ cũng nhỏ hơn số chia. Chính vì vậy hầu hết học sinh rất lúng túng khi làm bài. Có những bài toán hai ẩn các em không biết bắt đầu từ đâu. Ví dụ: Cho A = . Hãy thay x; y bởi những chữ số thích hợp để khi chia A cho 2, 5, 9 đều dư 1.

Rõ ràng ở bài toán trên để tìm được đáp số cho ẩn x và y thì các em học sinh không thể dùng phương pháp thử chọn cho đến bao giờ ra kết quả được vì cách đó rất mất thời gian hay cũng không thể dùng lý thuyết chia hết để giải được bài toán.

Ngược lại nếu các em được học và nắm chắc các tính chất liên quan đến phép chia có dư các em sẽ biết phân tích và lựa chọn sử dụng dấu hiệu chia hết cho 2; 5 dư 1 để tìm ẩn y trước và lúc đó bài toán trở thành đơn giản hơn nhiều.

Xác định được điều đó, trong quá trình dạy tôi cũng hướng dẫn thêm cho các em các tính chất thường gặp của phép chia có dư giúp các em có thêm kỹ năng, kỹ xảo để giải toán. Các em sẽ tự tin hơn khi gặp dạng toán này. Giải:

- Để chia 2 dư 1 thì y = 1, 3, 5, 7, 9- Để chia 5 dư 1 thì y = 1 hoặc 6Vậy để chia 2 dư 1 và chia 5 dư 1 thì y = 1 Ta có = - Để chia 9 dư 1 thì ( x + 4 + 5 + 9 + 1 - 1) 9 Hay ( x + 18 ) 9 Vì x 0; x < 10 nên x = 9Ta có = 94591

23/41


Vậy A = 94591* Các tính chất thường sử dụng

1. Nếu A chia cho 2 dư 1 thì chữ số tận cùng của A phải là 1, 3,5,7 hoặc 9.

2. Nếu A chia cho 5 dư 1 thì chữ số tận cùng của A phải là 1 hoặc 6. Tương tự, trường hợp dư 2 thì chữ số tận cùng phải là 2 hoặc 7; dư 3 thì tận cùng là 3 hoặc 8; dư 4 thì tận cùng phải là 4 hoặc 9.

3. Nếu A và B có cùng số dư khi chia cho 2 thì hiệu chúng chia hết cho 2. Tương tự, ta có trường hợp chia hết cho 3, 4, 5 hoặc 9.

4. Nếu A : B dư B - 1 thì A + 1 chia hết cho B.5. Nếu A : B dư 1 thì A - 1 chia hết cho B.

* Bài tập áp dụng:Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho khi chia số đó cho 2 dư 1, cho 3 dư 2,

cho 4 dư 3, cho 5 dư 4, cho 6 dư 5.Hướng dẫn giải:Nhận xét: Ta thấy các số dư đều là số dư lớn nhất có thể có trong phép

chia vì các số chia đều lớn hơn số dư 1 đơn vị.- Vậy số tự nhiên cần tìm cộng với 1 sẽ chia hết cho 2, 3, 4, 5, 6.

GiảiGọi số cần tìm là A.

Theo bài ra: A chia 2 dư 1, chia 3 dư 2, chia 4 dư 3, chia 5 dư 4, chia 6 dư 5 nên ( A + 1) chia hết cho cả 2, 3, 4, 5 và 6 Vì 6 = 2 x 3 mà 2 và 3 đều không cùng chia hết cho số tự nhiên nào khác 1 nên số nào chia hết cho 2 và 3 thì cũng chia hết cho 6 Mà số nào chia hết cho 4 cũng chia hết cho 2 Do đó để (A + 1) chia hết cho cả 2, 3, 4, 5 và 6 thì ( A + 1) chỉ cần chia hết cho 3; 4 và 5 Nếu ( A + 1) : 5 = B thì B phải chia hết cho 3 và 4 Số nhỏ nhất chia hết cho 3 và 4 là 12 B = 12 ( A + 1) : 5 = 12 A + 1 = 12 x 5 A + 1 = 60

A = 60 - 1 A = 59 Vậy số cần tìm là 59

CHƯƠNG III

24/41


MỘT SỐ BÀI TẬP ÁP DỤNG KẾT HỢP DẤU HIỆU CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ

* Dạng 1: Tính nhanh giá trị biểu thức:Bài 1: Thực hiện các phép tính sau bằng cách nhanh nhất.

a) 1996 + 3992 + 5988 + 7984b) 16 x 3 x 4 x 50 x 25 x 125c) (45 x 46 x 47 x 49) x (50 x 51 - 49 x 48) x (45 x 128 - 90 x 64) x (1995

x 1996 + 1997 x 1998)Hướng dẫn: - Dựa vào dấu hiệu chia hết phân tích các số hạng, các thừa số thành tích

có thừa số giống nhau.- Vận dụng tính chất của các phép toán để tìm nhanh kết quả của dãy tính.

Giảia. Ta có:

1996 + 3992 + 5988 + 7984= 1 x 1996 + 2 x 1996 x + 3 x 1996 + 4 x 1996= (1 + 2 + 3 + 4) x 1996= 10 x 1996= 19960

b. 16 x 3 x 4 x 50 x 25 x 125 = 2 x 8 x 3 x 4 x 50 x 25 x 125

= 3 x (2 x 50) x (4 x 25) x (8 x 125) = 3 x 100 x 100 x 1000 = 30 000 000

c. Ta có:45 x 128 - 90 x 64

= 45 x (2 x 64) - 90 x 64 = 45 x 2 x 64 - 90 x 64

= 90 x 64 - 90 x 64 = 0

Trong 1 tích có 1 thừa số bằng 0. Vậy tích đó bằng 0, tức là:(45 x 46 + 47 x 48) x (50 x 51 - 49 x 48) x (45 x 128 - 90 x 64) x (1995 x

1996 + 1997 x 1998) = 0Dạng 2: Rút gọn phân số, quy đồng MS các phân số:

Bài 2: Tính nhanh25/41


Bài tập:

a. 4184565201221159

b. 6188379212153331481214126

Hướng dẫn: - Dựa vào dấu hiệu chia hết phân tích các thừa số ở tử số và mẫu số thành tích của các số mà các số đó giống nhau ở tử số và mẫu số:

- Thực hiện rút gọn phân số:

Giải

a. 4184565201221159

= 43329565

456273539

= 7

b. 6188379212153331481214126

=

40701

574116188379212

539372611718

Bài 3: Quy đồng MS các phân số sau:

a. 5651

; 218

và 4817

b. 2031

và 4526

Hướng dẫn:a. - Dựa vào dấu hiệu chia hết phân tích các mẫu riêng thành tích các

thừa số:56 = 2 x 2 x 2 x 721 = 2 x 748 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3- MSC nhỏ nhất là: 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 7 = 336

5651

; 218

; 4817

MSC: 336

336306

656651

5651

336128

1621168

218

336119

748717

4817

26/41


Vậy quy đồng mẫu số 3 phân số 5651

; 218

và 4817

ta được 3 phân số ; ;

b. - Dùng dấu hiệu chia hết tách mẫu số riêng thành tích các thừa số: 20 = 4 x 5 45 = 5 x 9- Tìm MSC NN = 4 x 5 x 9 = 180Ta có:

180279

920931

2031

180104

445426

4526

Vậy 2 phân số sau khi quy đồng là:

180279

; 180104

Dạng 3: Tìm điều kiện để phân số có giá trị là số tự nhiên:Bài 4: Tìm tất cả các giá trị của n để các phân số sau có giá trị là số tự

nhiên.

a. 35n

b. 13

16

14

nnnHướng dẫn: Phân số có giá trị là số tự nhiên khi tử số chia hết cho mẫu

số.- Dựa vào dấu hiệu chia hết xét xem tử số chia hết cho những số nào.- Mẫu số sẽ nhận những giá trị đó từ đó tìm ra n

Giải

a. Để 35n là số tự nhiên thì 5 phải chia hết cho n - 3

Mà 5 chia hết cho 1 và 5.Nên:

* TH1: n - 3 = 1 -> n = 1 + 3 = 4 -> 35n =

345

= = 5

* TH2: n - 3 = 5 -> n = 5 + 3 = 8 -> 3

5n

= 38

5

= 55

= 1

Vậy với n = 4 hoặc n = 8 thì 35n có giá trị là số tự nhiên

b. 13

16

14

nnn = 1364

n = 17n

27/41


Để 17n là số tự nhiên thì 7 phải chia hết cho n - 1

Mà 7 chia hết cho 1 và 7Nên:

* TH1: n - 1 = 1 -> n = 1 + 1 = 2 -> 127

17

n = 17

= 7

* TH2: n - 1 = 7 -> n = 7 + 1 = 8 -> 1

7n

= 18

7

= 77

= 1

Vậy với n = 2 và n = 8 thì 13

16

14

nnn có giá trị là số tự nhiên

Dạng 4: Viết các số tự nhiên theo dấu hiệu chia hết.

Bài 5: Cho 9 chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9. Hãy lập thành những số có 3 chữ số khác nhau chia hết cho 18.

Hướng dẫn: Một số chia hết cho 18 thì số đó phải vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 9.Giải Gọi số cần tìm là abc ( a 0, a; b < 10)

Ta có 18 = 2 x 9. Mà 2 và 9 không cùng chia hết cho số tự nhiên nào khác 1 nên:

Để abc chia hết cho 18 thì abc phải chia hết cho cả 2 và 9.Vì abc 2 => c = 2, 4, 6 hoặc 8

TH1: Nếu c = 2 thì abc = 2abc

Mà 2ab 9 => (a + b + 2) 9 =>

167

baba

Do đó ta có các số: 162; 612; 342; 432; 792; 972Các trường hợp khác xét tương tự (HS tự làm)

Đáp số: 162; 612; 342; 432; 792; 972 234; 324; 594; 954; 684; 864 126; 216; 396; 936; 486; 846; 576; 756 198; 918; 378; 738; 468; 648

Bài 6: Hãy thiết lập các số có 3 chữ số khác nhau từ 4 chữ số 0, 4, 5, 9 thỏa mãn điều kiện:

a. Chia hết cho 228/41


b. Chia hết cho 4c. Chia hết cho 2 và 5Hướng dẫn: - Dựa vào dấu hiệu chia hết để xác định chữ số tận cùnga. Các số chia hết cho 2 có tận cùng là 0 hoặc 4. Mặt khác, mỗi số đều có

chữ số khác nhau, nên các số thiết lập được là:540, 504, 940, 904, 954, 950, 594, 490, 590b. Các số chia hết cho 4 thì hai chữ số tận cùng phải là 04 hoặc 40. Mặt

khác mỗi số đều có chữ số khác nhau, nên các số thiết lập được là:504, 540, 904, 940c. Các số chia hết cho 2 và 5 thì chữ số tận cùng phải là 0. Ta có các chữ

số khác nhau chia hết cho 2 và 5 là:540, 450, 590, 950, 490, 940

Bài 7: Điền vào ô trống trong số 777 chữ số thích hợp để được:a. Số chia hết cho 3.b. Số chia hết cho 9.c. Số chia hết cho cả 3 và 9(Viết tất cả các số có thể viết được)Hướng dẫn: - Lưu ý về dấu hiệu chia hết cho 3, cho 9 để làm bài- Một số chia hết cho 9 thì luôn chia hết cho 3. Nhưng một số chia hết cho

3 thì chưa chắc đã chia hết cho 9 như số 15 chẳng hạn.Giải

a. Số 777 có tổng các chữ số là 7 + 7 + 7 + = 21 + Ta nhận thấy 21 chia hết cho 3 nên số điền vào ô trống sẽ là 0, hoặc 3,

hoặc 6, hoặc 9. Vậy ta có các số có 4 chữ số chia hết cho 3 sau đây: 7770; 7773; 7776; 7779b. Theo câu a ta có tổng các chữ số của 777 là 21 + muốn số này chia

hết cho 9 thì số điền vào ô trống phải là 6 để được 21 + 6 = 27. Vậy ta chỉ có một số chia hết cho 9 là 7776.

c. Do một số chia hết cho 9 thì cũng chia hết cho 3 nên số phải tìm là số 7776 của câu b vừa chia hết cho 9, vừa chia hết cho 3.

Bài 8: Viết thêm một số vào trước và một số vào sau 15 để được một số có 4 chữ số chia hết cho 15.

Hướng dẫn: Trên cơ sở học dấu hiệu chia hết cho 3, cho 5 để làm bàiGiải

29/41


Gọi 2 chữ số viết thêm là a và b ( a 0, a; b < 10)Ta có 15 = 3 x 5. Mà 3 và 5 không cùng chia hết cho số tự nhiên nào khác

1 nên để ba15 15 thì ba15 chia hết cho cả 3 và 5 Để ba15 5 thì b = 0 hoặc 5

Ta có ba15 = 150a ; 155a - Nếu 150a 3 thì (a + 1 + 5 + 0) 3

hay (a + 6) 3 Vì a 0; a < 10 nên a = 3; 6; 9

Ta có 150a = 3150; 6150; 9150- Nếu 155a 3 thì (a + 1 + 5 + 0) 3

hay ( a+ 6) 3 Vì a 0; a < 10 nên a = 1; 4; 7

Ta có 155a = 1155; 4155; 7155Vậy ta có các số: 3150; 6150; 9150; 1155; 4155; 7155

Dạng toán 5: Điền các chữ số chưa biết

Bài 9: Thay x và y trong số A = xy1996 để được số chia hết cho 2; 5 và 9Hướng dẫn:- Dựa vào dấu hiệu chia hết cho 2 và 5 để tìm chữ số cuối cùng- Dùng các dấu hiệu chia hết còn lại của số phải tìm xác định chữ số còn

lại.Giải

- Để A 2 thì y = 0; 2; 4; 6; 8- Để A 5 thì y = 0 hoặc 5Vậy để A chia hết cho cả 2 và 5 thì y = 0Ta có A = 01996x

- Để A 9 hay 01996x 9 thì (1 + 9 + 9 + 6 + x + 0) 9 hay (25 + x) 9 Vì x 0; x < 10 x = 2 Ta có A = 199220Vậy số phải tìm là A = 199620

Bài 10: Cho A = . Hãy thay x, y bởi chữ số thích hợp để khi chia A cho 2, 5, 9 đều dư 1.

30/41


GiảiTa thấy:

- A chia 5 dư 1 nên y = 1 hoặc 6- A chia 2 dư 1 nên y = 1, 3, 5, 7, 9

Vậy để A chia 2 và 5 đều dư 1 thì y = 1Thay vào ta có =

- Để chia 9 dư 1 thì ( x + 4 + 5 + 9 + 1) chia 9 dư 1Hay ( x + 19) chia 9 dư 1

Vì x là chữ số hàng cao nhất nên x khác 0, suy ra x = 9Ta có = 94591

Vậy số phải tìm là 94591

Bài 11: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho khi chia số đó cho 2 dư 1, cho 3 dư 2, cho 4 dư 3, cho 5 dư 4, cho 6 dư 5, cho 7 dư 6.Giải

Hướng dẫn giải:Nhận xét: Ta thấy các số dư đều là số dư lớn nhất có thể có trong phép

chia vì các số chia đều lớn hơn số dư 1 đơn vị.- Vậy số tự nhiên cần tìm cộng với 1 sẽ chia hết cho 2, 3, 4, 5, 6 và 7.

GiảiGọi số cần tìm là A.

Theo bài ra: A chia 2 dư 1, chia 3 dư 2, chia 4 dư 3, chia 5 dư 4, chia 6 dư 5 chia 7 dư 6 nên ( A + 1) chia hết cho cả 2, 3, 4, 5,6 và 7 Vì 6 = 2 x 3 mà 2 và 3 đều không cùng chia hết cho số tự nhiên nào khác 1 nên số nào chia hết cho 2 và 3 thì cũng chia hết cho 6 Mà số nào chia hết cho 4 cũng chia hết cho 2 Do đó để (A + 1) chia hết cho cả 2, 3, 4, 5,6 và 7 thì ( A + 1) chỉ cần chia hết cho 3; 4; 5 và 7 Nếu ( A + 1) : 7 = B thì B phải chia hết cho 3; 4 và 5 Số nhỏ nhất chia hết cho 3;4 và 5 là 60 B = 60 ( A + 1) : 7 = 60 A + 1 = 60 x7 A + 1 = 420 A = 420 - 1 A = 419 Vậy số cần tìm là 419

31/41


Bài 12: Tìm số abc , biết rằng có giá trị bằng 32

Hướng dẫn:- Dựa vào dấu hiệu chia hết cho 3.- Dựa vào tính chất của phân số.

GiảiTheo bài ra ta có:

= 32

Nhận xét:7b < 100 và 7b chia hết cho 3. Do đó b = 2; 5; 8

+ Với b = 2 thì 27 : 3 = 9. Do đó

= 9392

= 2718

Suy ra a = 1; b = 2; c = 8 Vậy abc = 128

+ Với b = 5 thì 57 : 3 = 19. Do đó:

= 193192

= 5738

Suy ra a = 3; b = 5; c = 8 Vậy abc = 358

+ Với b = 8 thì 87 : 3 = 29. Do đó:

= 293292

= 8758

Suy ra a = 5; b = 8; c = 8 Vậy abc = 588

* Vậy có 3 số thỏa mãn điều kiện của bài toán là: abc = 128; 358; 588

Bài 13: Cho biểu thức:CAM + QUYT + NHO = 1989 + 1990 + 1991. Có thể thay các chữ khác

nhau trong biểu thức trên bởi các chữ số khác nhau để được biểu thức đúng không?

Hướng dẫn:- Dựa vào dấu hiệu chia hết cho 9 và tính chất hiệu của 1 số và tổng các

chữ số của nó chia hết cho 9.- Xét xem 2 về có cùng chia hết cho 9 không?

32/41


GiảiVì phải thay các chữ khác nhau bằng các chữ số khác nhau nên ta có:

Tổng các chữ số của các số CAM ; QUYT và NHO là:C + A + M + Q + U + Y + T + N + H + O = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7

+ 8 + 9 = 45 9=> (CAM + QUYT + NHO) 9 (1)

* Xét vế phải ta có: - 1990 chia 9 dư 1 ( vì tổng các chữ số của số 1990 là 1 + 9 + 9 + 0 = 19 chia cho 9 dư 1 - 1991 chia 9 dư 2( vì 1990 chia 9 dư 1) - 1989 9

Tổng các số dư là1 + 2 = 3

Mà 3 không chia hết cho 9. Do đó ( 1989 + 1990 + 1191) không chia hết cho 9. (2)

Từ (1) và (2) suy ra vế trái chia hết cho 9 còn vế phải không chia hết cho 9Vậy không thể thay thế các chữ khác nhau trong đẳng thức đã cho bởi các

chữ số khác nhau để được một đẳng thức đúng.

Bài 14: Tìm tất cả các số có 5 chữ số dưới dạng yx534 chia hết cho 36.Hướng dẫn:

- Dựa vào dấu hiệu chia hết cho 4 và cho 9 để làm bài.

Giải Ta có 36 = 4 x 9. Mà 4 và 9 không cùng chia hết cho số tự nhiên nào khác 1 nên:

- Để yx534 chia hết cho 36 thì yx534 phải chia hết cho cả 4 và 9 - Để yx534 chia hết cho 9 thì (3 + 4 + x + 5 + y) 9 hay (12 + x + y) 9 Suy ra: x + y = 6 hay x + y = 15 Mặt khác vì yx534 4 nên y5 4 suy ra chỉ có thể y = 2 và y = 6

Nếu y = 2 thì x + 2 = 6 và x + 2 = 15 x = 6 - 2 x = 15 - 2 x = 4 x = 13 ( loại vì x là chữ số)

33/41


Nếu y = 6 thì x + 6 = 6 và x + 6 = 15 x = 6 - 6 x = 15 - 6 x = 0 x = 9

Vậy : y = 2; x = 4 y = 6; x = 0; x = 9

Số phải tìm là: 34452; 34056; 34956

Dạng toán 6: Tìm chữ số tận cùng.* Tìm tận cùng của tích có bao nhiêu chữ số 0.Bài 15: Cho A = 1 x 2 x 3 x …..x 90. Hỏi A có tận cùng là mấy chữ số 0.

Giải Trong tích trên có các thừa số chia hết cho 5 có thể phân tích thành tích của ít nhất một thừa số 5 là : 5,10,15,…., 85, 90. Số các số hạng trong dãy số đó là: (90 - 5 ) : 5 + 1 = 18 ( số) Trong tích trên có các thừa số chia hết cho 5 có thể phân tích thành tích của hai thừa số 5 là : 25,50, 75. Tích trên có thể phân tích thành số các thừa số 5 là: 18 + 3 = 21 ( số )Mỗi thừa số 5 nhân với 1 số chẵn cho ta một số có tận cùng là 1 chữ số 0. Do đó trong tích có bao nhiêu thừa số 5 kết hợp với số lượng số chẵn tương ứng sẽ cho ta bấy nhiêu chữ số 0 ở tận cùng của tích.Vậy A có tận cùng là 21 chữ số 0.

* Tìm chữ số tận cùng của tích.Bài 16: Tìm chữ số tận cùng của tích sau: 1 x 3 x 5 x 7 x … x 2009 x 2011 ( Đề thi Violympic vòng 18)* Phân tích: Ta thấy rằng tích trên gồm các thừa số là số lẻ. Mà 5 nhân với 1 số lẻ luôn có tận cùng là 5. Vậy ta có cách giải như sau:

Bài giảiTrong phép nhân có chứa thừa số 5 nên tích là một số chia hết cho 5. Do đó chữ số tận cùng của tích là 0 hoặc 5. Vì các thừa số của tích đều là số lẻ nên tích là số lẻ. Vậy chữ số tận cùng của tích là 5.Dạng toán 7: Tìm số tự nhiên theo dấu hiệu chia hếtBài 17: Một số nhân với 9 thì được kết quả là . Hãy tìm số đó? Giải

34/41


Một số nhân với 9 thì được kết quả là nên số chia hết cho 9.Vì số chia hết cho 9 nên ( 1 + 8 + 6 + 4 + 8 + 7 + * ) chia hết cho 9 hay ( 34 + *) chia hết cho 9 Suy ra * = 2Thay * = 2 vào số ta được số 180648072Số cần tìm là: 180648072 : 9 = 20072008

Đáp số: 20072008

Dạng toán 8: Chứng tỏ một số hoặc một biểu thức chia hết cho (hoặc không chia hết cho) một số nào đó

Bài 18: Cho số tự nhiên A. Người ta đổi chỗ các chữ số của A để được số B gấp 3 lần số A. Chứng tỏ rằng số B chia hết cho 27.GiảiTheo bài ra ta có: B = 3 x A (1), suy ra B chia hết cho 3Nhưng tổng các chữ số của số A và số B là như nhau (vì người ta chỉ đổi chỗ các chữ số) nên ta cũng có A chia hết cho 3 ( 2) Từ (1) và (2) suy ra B chia hết cho 9.B chia hết cho 9 nên A cũng chia hết cho 9 ( vì tổng các chữ số của số A và số B như nhau) (3)

Từ (1) và (3) suy ra B chia hết cho 27.

Dạng 9: Vận dụng tính chất chia hết giải toán có lời văn

Bài 19: Một cửa hàng rau quả có 5 rổ đựng cam và chanh (trong mỗi rổ chỉ đựng một loại quả). Số quả trong mỗi rổ lần lượt là 104 quả, 115 quả, 132quả, 136 quả và 148 quả. Sau khi bán được một rổ cam, người bán hàng thấy rằng số chanh gấp 4 lần số cam còn lại. Hỏi cửa hàng đó còn bao nhiêu quả mỗi loại?

Hướng dẫn:- Dựa vào dấu hiệu chia hết tìm rổ cam đã bán.- Đưa về dạng toán tổng tỉ.

GiảiTổng số cam và chanh của cửa hàng là:

104 + 115 + 132 + 136 + 148 = 635 (quả)

35/41


Theo bài ra: Số chanh gấp 4 lần số cam còn lại nên nếu ta coi số cam còn lại là một phần bằng nhau thì số chanh chiếm 4 phần như thế. Vậy tổng số chanh và số cam còn lại chiếm: 1 + 4 = 5 ( phần ) Như vậy số quả chanh và cam còn lại phải là một số chia hết cho 5.Mà tổng số 635 quả cam và chanh của cửa hàng là số chia hết cho 5 suy ra số cam đã bán phải chia hết 5. Trong số 5 rổ cam và chanh của cửa hàng chỉ có rổ đựng 115 quả là chia hết cho 5. Vậy cửa hàng đã bán rổ đựng 115 quả cam.

Tổng số quả chanh và cam còn lại là:635 - 115 = 520 (quả)

Số cam còn lại là:520 : (4 + 1) = 104 (quả)

Số cam của cửa hàng có là: 104 + 115 = 219 ( quả)

Số chanh của cửa hàng có là:635 - 219 = 416 (quả)

Đáp số: Cam : 219 quả Chanh : 416 quả

Bài 20: Lớp 4B xếp hàng hai được một số hàng không thừa bạn nào, xếp hàng ba hay hàng bốn đều được một số hàng không thừa bạn nào. Nếu đếm tổng các hàng xếp được đó thì được 39 hàng. Hỏi lớp 4B có bao nhiêu bạn?

Hướng dẫn:- Xét xem số học sinh của lớp 4B chia hết cho những số nào?

GiảiVì số học sinh lớp 4B khi xếp hàng 2, hàng 3 hoặc hàng 4 đều không thừa

bạn nào nên số học sinh của lớp 4B là một số chia hết cho 2, cho 3 và cho 4.Số nhỏ nhất chia hết cho 2, 3, 4 đó là 12Giả sử lớp học đó có 12 học sinh.

Nếu xếp hàng 2 thì được số hàng là.12 : 2 = 6 ( hàng)

Nếu xếp hàng 3 thì được số hàng là.12 : 3 = 4 ( hàng)

Nếu xếp hàng 4 thì được số hàng là.12 : 4 = 3( hàng)

Tổng số hàng xếp được là.

36/41


6 + 4 + 3 = 13 ( hàng)39 hàng gấp 13 hàng số lần là:

39 : 13 = 3 (lần)Vậy số học sinh của lớp 4B là:

12 x 3 = 36 (học sinh) Đáp số: 36 học sinh

Bài 21: An và Khang đi mua 18 gói bánh và 12 gói kẹo để đến lớp liên hoan. An đưa cho cô bán hàng 4 tờ mỗi tờ 50000 đồng và được trả lại 72000000 đồng . Khang nói: “ Cô tính sai rồi.” Bạn hãy cho biết Khang nói đúng hay sai? Giải thích tại sao?

GiảiVì số 18 và số 12 đều chia hết cho 3 nên tổng số tiền mua 18 gói bánh và 12 gói kẹo phải là số chia hết cho 3. Vì An đưa cho cô bán hàng 4 tờ 50000 đồng và được trả lại 72000 đồng nên số tiền cô bán hàng đã lấy để thanh toán cho 18 gói bánh và 12 gói kẹo là:50000 x 4 – 72000 = 128000 (đồng)Vì số 128000 có tổng các chữ số không chia hết cho 3 nên số 128000 không chia hết cho 3Vì vậy bạn Khang nói: “ Cô tính sai rồi.” là đúng.

Dạng 10: Các bài toán hình họcBài 22: Có 10 mẩu que lần lượt dài: 1cm, 2 cm, 3 cm, 4 cm, ... , 9 cm, 10 cm. Hỏi có thể dùng cả 10 mẩu que đó để xếp thành một hình tam giác đều được không? ( không làm thay đổi hình dạng của mỗi que).

GiảiMột hình tam giác đều có cạnh là a (là số tự nhiên) thì chu vi (P) của hình đó phải là một số chia hết cho 3 vì P = a x 3Tổng độ dài của 10 mẩu que là:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55 (cm)Vì 55 không chia hết cho 3 nên không thể xếp 10 mẩu que đó thành một hình tam giác đều được.Dạng 11: Trò chơi – Toán vui

37/41


Bài 23: Khi được hỏi: “ Số nào có 4 chữ số mà khi ta đọc theo thứ tự từ phải sang trái thì sẽ tăng lên 6 lần?” Một học sinh giỏi toán đã trả lời đúng ngay tức khắc. Bạn hãy đoán xem bạn ấy trả lời thế nào?

GiảiBạn ấy trả lời là: “ Không có số nào như vậy.” Ta có thể giải thích điều này như sau: Gọi số phải tìm là ( a khác 0; a, b, c, d < 10)Theo bài ra ta có: = x 6 suy ra a chỉ có thể là 1 vì nếu a 2 thì cho dù giá trị bé nhất của a là 2 khi đó x 6 cho ta kết quả là số có 5 chữ số ( loại)Mặt khác tích x 6 là một số chẵn, tức là a phải chẵn. Mâu thuẫn này chứng tỏ không tồn tại số nào thỏa mãn bài toán. ( Kết luận này không chỉ đúng với số có 4 chữ số mà đúng với số có số chữ số bất kì)

CHƯƠNG IV: KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC38/41


Trên đây là một số tìm hiểu và vận dụng của bản thân tôi trong quá trình giảng dạy và thực nghiệm trong những năm học qua. Tôi thấy để giúp học sinh hiểu, nắm chắc nội dung bài, vận dụng kiến thức đã học một cách linh hoạt mà chỉ thu hẹp trong dấu hiệu chia hết cho 2, 5, 9, 3 như trong sách giáo khoa, chưa mở rộng các dấu hiệu chia hết cho 4, 8, 7, 11,... và chưa mở rộng các bài toán dạng tổng hợp thì gặp nhiều bài toán, nhiều tính huống các em sẽ lúng túng không biết vận dụng như thế nào nhất là những bài toán đòi hỏi cần có sự tư duy sâu của các em.

Sau khi áp dụng những kinh nghiệm giảng dạy đối với từng dấu hiệu chia hết như trên tôi thấy kết quả rất tốt, cụ thể là: - Giờ dạy đạt kết quả tốt, thực hiện được đầy đủ các mục tiêu dạy học đã đề ra.

- Học sinh hoạt động tích cực, chủ động nắm bắt nội dung bài, hiểu bài nhanh, nắm vững đặc điểm và cách làm của từng loại dấu hiệu chia hết, không nhầm lẫn giữa các loại dấu hiệu chia hết với nhau.

- Biết vận dụng ngay kiến thức vào giải bài tập một cách thành thạo, tìm ra nhiều cách giải toán khác nhau. - Về phía giáo viên cảm thấy nhẹ nhàng khi dạy một số bài toán loại chia hết nâng cao trên cơ sở dấu hiệu chia hết đã học. - Chất lượng môn toán nâng cao của lớp 4 do tôi giảng dạy mỗi năm một tốt hơn, đạt hiệu quả cao hơn.

- Kiến thức và kỹ năng giải toán về dấu hiệu chia hết của học sinh trong lớp được nâng lên rõ rệt. Cụ thể là vừa qua một số bài kiểm tra có liên quan đến dấu hiệu chia hết như sau:

KẾT QUẢ ĐẠT CUỐI KÌ 1 ĐỐI VỚI DẠNG BÀIVỀ DẤU HIỆU CHIA HẾT

Sĩ số

Học sinh hiểu, nắm chắc nội dung bài, vận dụng kiến thức linh hoạt

Học sinh hiểu bài Học sinh chưa hiểu bài

Số lượng % Số lượng % Số

lượng %

59 40 68 19 32 0 0%

Có thể nói rằng, bên cạnh những suy nghĩ tìm tòi của bản thân cùng với sự học hỏi của các đồng nghiệp có kinh nghiệm nhiều năm dạy ở lớp 4, tôi đã tìm ra “Một số biện pháp giúp cho học sinh lớp 4 làm tốt các dạng toán có liên quan đến dấu hiệu chia hết”, góp phần củng cố và nâng cao chất lượng môn Toán cho học sinh, giúp các em tự tin hơn khi học lên lớp 5 của bậc Tiểu học và học các bậc học tiếp theo.

PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ

39/41


Toán học đã gần gũi với con người ngay từ buổi đầu của lịch sử loài người và nó sẽ vĩnh viễn gắn bó với chúng ta. Thế giới toán học chứa đầy sự diệu kì. Loài người đã vượt qua ngàn vạn chông gai, thế hệ này nối tiếp thế hệ khác để khai phá thế giới kì diệu đó. Tòa lâu đài toán học đẹp đẽ được xây dựng lên bởi biết bao mồ hôi, nước mắt, thậm chí bằng xương máu của bao nhà khoa học dũng cảm mang một sứ mệnh cao cả, thiêng liêng: góp phần cải tạo thiên nhiên, cải tạo cuộc sống. Cũng như các ngành khoa học chân chính khác, Toán học phát sinh từ cuộc sống, và mọi thành tựu của nó đều hướng về cuộc sống, phục vụ cho cuộc sống. Có thể nói mọi ngành khoa học, mọi lĩnh vực của cuộc sống, mọi con người đều cần đến Toán học đó cũng chính là lý do mà môn toán có một vị trí đặc biệt trong chương trình giáo dục Tiểu học. Do đó, việc phát huy năng lực tư duy toán cho học sinh Tiểu học là rất quan trọng và cần thiết, giúp phát hiện những năng khiếu toán học, bồi dưỡng để năng khiếu đó được phát triển, góp phần xây dựng đội ngũ học sinh có tư duy tốt về Toán học - những nhà khoa học triển vọng trong tương lai, đáp ứng những yêu cầu của công cuộc xây dựng đất nước trong thời đại mới. Với việc dạy và học các dấu hiệu chia hết, qua tìm hiểu và thực nghiệm các lớp 4 do tôi chủ nhiệm, tôi thấy vấn đề này không thể thiếu trong chương trình Toán lớp 4. Nhờ có dấu hiệu chia hết ở sách giáo khoa lớp 4 mà học sinh có thể biết được dấu hiệu chia hết cho 15; 18; 25;... và mở rộng thêm các dấu hiệu chia hết cho 4; 7; 11; 44; 36; ... để áp dụng giải các bài toán một cách nhanh gọn. Đồng thời nó giúp người dạy và cả người học luôn khao khát tìm tòi và vận dụng vào giải các bài toán khó.

Chính vì vậy, để việc giảng dạy môn Toán nói chung, bồi dưỡng học sinh có khả năng tư duy tốt môn Toán nói riêng đạt hiệu quả cao, đội ngũ giáo viên cần trau dồi kiến thức, kĩ năng sư phạm, tích cực đổi mới phương pháp dạy học như: phải đầu tư thời gian nghiên cứu trong sách giáo khoa, sách tham khảo, sách nâng cao, các kiến thức tập hợp. Từ đó giáo viên mới xây dựng được hệ thống câu hỏi logic gây động cơ học tập cho học sinh. Do đó các em mới có kiến thức chắc chắn để hướng tới giải Toán có tính khoa học, tính logic và tính chính xác cao. Qua đó, người giáo viên cũng chọn lọc được những bài toán, loại toán sát với từng đối tượng học để dạy phân hóa học sinh, từ đó gây hứng thú và lòng ham thích học bộ môn Toán nói chung. Tuy nhiên để làm được việc đó, người

40/41


thầy trong quá trình giảng dạy phải không ngừng nâng cao kiến thức cho học sinh từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp, từ cụ thể đến trừu tượng. Qua đó phát hiện được đối tượng học sinh thông minh và uốn nắn kịp thời tránh những sai lệch kiến thức không đáng có mà học sinh mắc phải.

Tôi mong các nhà trường Tiểu học, các cấp, tổ chức các chuyên đề cho các môn học nói chung và cho môn toán nói riêng và được trang bị những phương tiện, thiết bị hiện đại để góp phần nâng cao hiệu quả giảng dạy môn Toán như: máy chiếu đa năng, các phần mềm giảng dạy Toán, thiết bị nối mạng Internet, ...

Trên đây là một số biện pháp qua thực tế giảng dạy của bản thân nhiều năm qua, qua thực nghiệm, qua trao đổi với đồng nghiệp, qua các đợt sinh hoạt chuyên đề, tôi đã đúc rút kinh nghiện để đề ra hướng dạy và học về các dấu hiệu chia hết của bản thân. Chắc chắn không tránh khỏi những sai sót. Rất mong được sự trao đổi của các đồng nghiệp và hội đồng thi đua về vấn đề này để sáng kiến của tôi được hoàn thiện hơn.

Tôi xin chân thành cảm ơn !

Hà Nội, ngày 17 tháng 3 năm 2016Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,

không sao chép nội dung của người khác.

41/41


Nhận xét của hội đồng xét duyệt SKKN

.................................................................................................................................

.................................................................................................................................

.................................................................................................................................

.................................................................................................................................

.................................................................................................................................

.................................................................................................................................

.................................................................................................................................

.................................................................................................................................

.................................................................................................................................

.................................................................................................................................

.................................................................................................................................

.................................................................................................................................

.................................................................................................................................

.................................................................................................................................

42/41

phÇn më ®Çuquantri.pgdthanhxuan.edu.vn/data/hnedu/thnguyentrai... · web viewĐặc biệt...

Documents