pier francesco roggero, francesco di noto, michele nardelli - "dimostrazione della congettura...

DIMOSTRAZIONE DELLA CONGETTURA DI POLIGNAC

Ing. Pier Francesco Roggero, Dott. Michele Nardelli, Francesco Di Noto

Abstract: In this paper we examine in detail an our proposal of proof on Polignac Conjecture which proves implicitly also the twin primes conjecture

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Index: 1. CONGETTURA DI POLIGNAC............................................................................................................... 3

1.1 TABELLA DI N! ....................................................................................................................... 7 1.2 DIMOSTRAZIONE DELLA CONGETTURA DI POLIGNAC ....................................................... 8

2. ULTERIORI OSSERVAZIONI SULLA CONGETTURA DI POLIGNAC ....................................................10 3. RIFERIMENTI .....................................................................................................................................22

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1. CONGETTURA DI POLIGNAC

La congettura di Polignac afferma che per ogni numero intero positivo k esistono infiniti numeri primi consecutivi la cui differenza è uguale a 2k, ovvero a numeri pari.

La congettura non è stata dimostrata né confutata per alcun valore di k.

Tale congettura è una generalizzazione della congettura dei numeri primi gemelli, in quanto prendendo k=1 si ottiene proprio quella congettura. Se k=2, i primi in questione si dicono primi cugini. Se k=3, sono detti numeri primi sexy.

Per dimostrare la congettura consideriamo il fattoriale N! di un numero intero qualsiasi. Per ogni N l’intervallo tra N! + 2 e N! + N non contiene primi perché per ogni primo p < N p divide ogni N! + d tale che p|d. Per N dispari si può estendere l’intervallo tra N! + 2 e N! + N+1, perché l’ultimo numero è pari. Quindi la differenza tra numeri primi consecutivi può essere grande a piacere: dato un intero N, ed indicando con N! il suo fattoriale i numeri: (N)! + 2 (N)! + 3 …… (N)! + N

danno un intervallo uguale a N-1 senza numeri primi se N è pari oppure uguale a N se è dispari. ESEMPI Se iniziamo con N=2 abbiamo 2! + 2 = 4

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I due numeri primi che troviamo sono 3 e 5, quindi 5-3=2 --------------------------------------------------------------------------------------------------- N=3 3! + 2 = 8 3! + 3 = 9 Possiamo anche aggiungere il numero successivo 10 perché pari. 11-7=4 --------------------------------------------------------------------------------------------------- N=4 4! + 2 = 26 4! + 3 = 27 4! + 4 = 28 Ora 25 non è primo ma il primo precedente è 23. 29-23=6 --------------------------------------------------------------------------------------------------- N=5 5! + 2 = 122 5! + 3 = 123 5! + 4 = 124 5! + 5 = 125 Possiamo anche aggiungere il numero successivo 126 perché pari.

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Ora 121 non è primo ma il primo precedente è 113. 127-113=14 --------------------------------------------------------------------------------------------------- N=6 6! + 2 = 722 6! + 3 = 723 6! + 4 = 724 6! + 5 = 725 6! + 6 = 726 Il numero successivo 727 è primo, mentre quello precedente che è primo è il 719 e non il 721=7*103 727-719=8 --------------------------------------------------------------------------------------------------- N=7 7! + 2 = 5042 7! + 3 = 5043 7! + 4 = 5044 7! + 5 = 5045 7! + 6 = 5046 7! + 7 = 5047 5048 Il numero successivo primo è 5051, mentre quello precedente che è primo è il 5039. 5051-5039=12 ---------------------------------------------------------------------------------------------------

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N=8 8! + 2 = 40322 8! + 3 = 40323 8! + 4 = 40324 8! + 5 = 40325 8! + 6 = 40326 8! + 7 = 40327 8! + 8 = 40328 Il numero successivo primo è 40343, mentre quello precedente che è primo è il 40289. 40343-40289=54 --------------------------------------------------------------------------------------------------- N=9 9! + 2 = 362882 9! + 3 = 362883 9! + 4 = 362884 9! + 5 = 362885 9! + 6 = 362886 9! + 7 = 362887 9! + 8 = 362888 9! + 9 = 362889 362890 Il numero successivo primo è 362897, mentre quello precedente che è primo è il 362867. 362897-362867=30 --------------------------------------------------------------------------------------------------- N=10 10! + 2 = 3628802

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10! + 3 = 3628803 10! + 4 = 3628804 10! + 5 = 3628805 10! + 6 = 3628806 10! + 7 = 3628807 10! + 8 = 3628808 10! + 9 = 3628809 10! + 10 = 3628810 Il numero successivo primo è 3628811, mentre quello precedente che è primo è il 3628789. 3628811-3628789=22 Si osservi che, a priori NON conosciamo quali siano i numeri primi fuori da questo intervallo tra N! + 2 e N! + N o N! + N+1 (se N è dispari), però sicuramente esiste una coppia di numeri primi consecutivi che ha almeno una distanza pari almeno a N o a N+1 (per N dispari), ovvero:

pk+1 - pk ≥ N

o pk+1 - pk ≥ N +1 se N dispari

Quindi per N -> ∞ si ottengono tutti i numeri pari grandi a piacere perché l’intervallo tra N! + 2 e N! + N viene esteso (per N dispari si può estendere l’intervallo tra N! + 2 e N! + N+1, perché l’ultimo numero è pari).

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1.1 TABELLA DI N!

N N!+2 N!+N primo p2 primo p1 p2-

p1

1 3 2 3 2 1

2 4 4 5 3 2

3 8 9 11 7 4

4 26 28 29 23 6

5 122 125 127 113 14

6 722 726 727 719 8

7 5.042 5.047 5.051 5.039 12

8 40.322 40.328 40.343 40.289 54

9 362.882 362.889 362.897 362.867 30

10 3.628.802 3.628.810 3.628.811 3.628.789 22

11 39.916.802 39.916.811 39.916.817 39.916.801 16

12 479.001.602 479.001.612 479.001.629 479.001.599 30

13 6.227.020.802 6.227.020.813 6.227.020.867 6.227.020.777 90

14 87.178.291.202 87.178.291.214 87.178.291.219 87.178.291.199 20

15 1.307.674.368.002 1.307.674.368.015 1.307.674.368.043 1.307.674.367.953 90

16 20.922.789.888.002 20.922.789.888.016 20.922.789.888.023 20.922.789.887.947 76

17 355.687.428.096.002 355.687.428.096.017 355.687.428.096.031 355.687.428.095.941 90

18 6.402.373.705.728.002 6.402.373.705.728.018 6,402,373,705,728,037 6.402.373.705.727.959 78

19 121.645.100.408.832.002 121.645.100.408.832.019 121.645.100.408.832.089 121.645.100.408.831.899 190

20 2.432.902.008.176.640.002 2.432.902.008.176.640.020 2.432.902.008.176.640.029 2.432.902.008.176.639.969 60

Per N=20 si ha: p2-p1= 60

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1.2 DIMOSTRAZIONE DELLA CONGETTURA DI POLIGNAC Ogni numero pari 2ά può essere scritto come la DIFFERENZA tra 2 numeri primi CONSECUTIVI pk+1 e pk 2ά = pk+1 - pk Esistono TUTTI i numeri pari perché è proprio la differenza tra 2 numeri primi consecutivi che determina l’insieme infinito di TUTTI i numeri pari. Questo si dimostra perché ogni numero pari è dato dal prodotto dell’unico numero primo pari 2 per gli altri fattori di numeri primi, tutti dispari, che sono infiniti e determinano l’infinità dei numeri pari. Si osservi che anche qualsiasi numero dispari composito è dato dal prodotto di fattori di numeri primi, tutti dispari, che sono infiniti e che determinano l’infinità dei numeri dispari compositi. Quello che rimane da dimostrare è che esistono infinite coppie di numeri primi consecutivi la cui differenza è uguale a 2ά. Per dimostrare questa affermazione ragioniamo per ASSURDO. Se esistessero un numero finito di coppie differenza di numeri primi consecutivi per qualsiasi numero pari 2ά, allora la somma di tutte queste coppie darebbe un valore totale grandissimo ma comunque finito. Sappiamo però che i numeri primi sono infiniti e quindi il ragionamento precedente non va bene. Non rimane che accettare che il numero di coppie, per ogni numero pari, è infinito. Esistono quindi infinite coppie di numeri primi gemelli con differenza 2 così come pure infinite coppie di numeri primi cugini con differenza 4 e infinite coppie di numeri primi sexy con differenza 6 e così via per ogni numero pari successivo.

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Si potrebbe confutare quest’ultima affermazione dicendo che basterebbe una sola coppia differenza di un qualsiasi numero pari per poter comunque avere come somma totale un valore infinito (∞ + un numero finito di coppie differenza dà come risultato somma sempre un numero infinito). Ma se, ad esempio esistesse un’infinità di coppie di numeri primi gemelli e un numero finito per tutte le altre coppie la distribuzione dei numeri primi all’infinito continuerebbe solo più con quella dei numeri gemelli e invece non è così, anzi più numeri primi grandi scegliamo e più la differenza fra le coppie di numeri primi consecutivi diventa grande. Per induzione il ragionamento vale anche se scegliessimo un’altra coppia infinita o anche più coppie infinite con differenze di numeri pari anche grandi perché più numeri primi grandi scegliamo e la distribuzione dei numeri primi all’infinito sarebbe data dalla coppia, o da quella coppia con differenza pari maggiore se abbiamo diverse coppie, scelta in precedenza. Ma più numeri primi grandi scegliamo più la differenza fra le coppie di numeri primi consecutivi diventa grande e quindi sarà sempre maggiore di qualunque scelta fatta in precedenza. Solo se il numero di coppie, per ogni numero pari, è infinito allora la distribuzione dei numeri primi è quella che ci ritroviamo. In conclusione la congettura di POLIGNAC è vera. Per ogni numero intero pari 2ά esistono infinite coppie di numeri primi consecutivi la cui differenza è proprio uguale a 2ά. Questo dimostra anche la congettura dei numeri primi gemelli.

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2. ULTERIORI OSSERVAZIONI SULLA CONGETTURA DI POLIGNAC

In questo capitolo proveremo a migliorare, con nuove idee, la congettura di Polignac (tutti i numeri pari 2n come differenza di due numeri primi consecutivi, vedi Riferimenti finali) e possibili relazioni con la fattorizzazione veloce e la crittografia: sconsigliabile l’uso di due grandi numeri primi consecutivi per produrre chiavi pubbliche, o numeri RSA)

Qui introduciamo le forme 6k + 1 dei numeri primi, con una nostra tabella, usata

in molti altri lavori precedenti, e che permette di comprendere meglio il

problema delle differenze d = 2n alla base delle congetture.

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TABELLA 1

(d = 6k + 2, per colonne diverse, d = 6k per la stessa colonna)

k 6k -1 6k 6k +1

1 5 6 7

2 11 12 13

3 17 18 19

4 23 24 25

5 29 30 31

6 35 36 37

7 41 42 43

8 47 48 49

9 53 54 55

10 59 60 61

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11 65 66 67

12 71 72 73

13 77 78 79

14 83 84 85

15 89 90 91

16 95 96 97

17 101 102 103

18 107 108 109

19 113 si 104 115

20 119 120 121

21 125 126 127

… … …

Osserviamo che nella seconda e quarta colonna la differenza tra due

numeri primi consecutivi è sempre 6 per ovvie ragioni; per numeri non

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consecutivi, invece, è 6n, ma questi non sono inerenti alla congettura di Polignac.

Per numeri primi consecutivi di colonne diverse, la differenze sono invece

sempre di forma 6*0 + 2 = 2 se nella stessa riga (in tal caso numeri primi gemelli)

e 6n + 2 poiché il numero primo precedente è nell’altra colonna e in una delle

righe precedenti, per cui abbiamo una differenza 6 o multipla di 6, più o meno 2

poiché nella stessa riga la differenza è 2. Per esempio, se p è 107, p’ precedente

è 103 , e quindi la differenza è 6 per arrivare a 101, + 2 per passare all’altra

colonna, e quindi 107 – 6 +2 ) = 101 +2 = 103.

Fino a 127, la differenza massima è 14 = 127 - 113 , e 14 = 6*2+2 maggiore della

differenza media 4 = 2n , dove n è l’esponente della potenza di 10 più vicina, e

cioè 100 = 10 ^n = 10^2, con n = 2.

Questo ha a che fare con i gap, le differenze maggiori tra due numeri

consecutivi (Rif. 3).

Tutti i numeri pari sono di forma 6k + 2 poiché rispecchiano la sequenza 6k-2.

6k, 6k + 2 , e quindi la congettura di Polignac è legata a queste forme. Per

esempio, con la tabella seguente la cosa è più chiara :

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TABELLA 2 per k = n numero naturale 0, 1, 2, 3, 4 ecc. 6k - 2 6k 6k + 2 - 2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 … … … Come si vede, tutti i numeri pari positivi sono rappresentati nell’estensione infinita della tabella , e tutti costituiscono, infinite volte, la differenza tra due numeri primi consecutivi, come 2 per i numeri gemelli (da recente dimostrazione da parte di un matematico cinese sui numeri gemelli , ma anche da nostre proposte precedenti) . Solo che i numeri gemelli cominciano già da 5 e 7 ( a parte la coppia 3 e 5, dove 3 non è di forma 6k +1), mentre i numeri pari 2n più grandi cominciano a presentarsi frequentemente (e infinite volte anch’essi) dopo 10^n, e raramente prima , come per esempio 95 -89 = 6 = 2*3, ed altre differenze = 6 (per numeri sexy) si presenta già prima di 10^2 =100. Se si osservano le differenze consecutive tra due numeri primi compresi tra due coppie di gemelli successive, si nota che le differenze successive tra tali coppie di numeri primi consecutivi salgono irregolarmente da 2 a ad un numero pari massimo (gap) per poi diminuire di nuovo fino a 2 (successiva coppia di numeri

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gemelli). Qualsiasi gap è inferiore al quadrato del logaritmo di p e p+2 gemelli Congettura di Cramer – Shank, da noi dimostrata (Rif. 4, 5a) e 5b). Fatte queste osservazioni e riferimenti su nostre e altrui dimostrazioni della Congettura di Polignac, ora vediamo le connessioni con la fattorizzazione veloce e la crittografia RSA, che coinvolge numeri gemelli, coppie di Goldbach, numeri di Sophie Germain, tramite l’algoritmo di fattorizzazioni alla Fermat, basato sulla semidifferenza d (e quindi Polignac) e sulla semisomma s (e quindi Goldbach) di un numero N prodotto di p*q p = s - d, q = s + d e quindi N + d^2 = s^2 e d s = √s^2; se d è piccola, come succede per i numeri primi gemelli, cugini e sexy, o poco più, bastano pochi tentativi per trovare d e quindi s, a fattorizzare n a ritroso, partendo dalla radice quadrata n di √N. Si procede per tentativi (pochi se d è piccola) in questo modo: si aggiungono ad N i successivi quadrati (1, 4, 9, 16, 36, 49, 64, … tra i quali è presente d^2) e si estrae la radice quadrata, fino a quando questa è intera, ed è uguale ad S=s^2, e si estrae la radice quadrata di quest’ultima, ottenendo s (semisomma)=(p+q)/2. A questo punto abbiamo s e d , e quindi è possibile applicare le due formule p = s - d, q = s + d

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Esempio per due numeri consecutivi, 113 e 127 Il loro prodotto é N = 14351, ma ovviamente facciamo finta di non conoscere i suoi due fattori primi. Procedendo con il noto algoritmo di Fermat, abbiamo: √14351 +1 = 119,79 non intero √14351 +4 = 119,81 non intero √14351 +9 = 119,83 non intero √14351 +16 = 119,86 non intero √14351 +25 = 119,89 non intero √14351 +36 = 119,94 non intero √14351 +49 = 120 intero = s, d vale quindi √49 = 7 ottenuto con soli 7 tentativi. Ora quindi possiamo calcolare esattamente , con soli 7 = d tentativi, p e q: p = 120 – 7 = 113 q= 120 + 7 = 127 Possiamo però subito capire che d = piccola osservando la radice quadrata di N √14351 =119,79 con 0,79 maggiore di 0,50 e quindi possibile parte decimale ottimale (cioè con un buon risultato finale, p’ vicino a p reale). Per la nostra ipotesi percentuale (Rif.6), che potremmo in futuro cercare di migliorare, portando eventualmente l’errore medio da circa il 30% a circa il 7% di n; con tale ipotesi riteniamo, con qualche appiglio matematico, la parte decimale di due

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cifre come possibile percentuale approssimativa di p rispetto ad n = √N, otteniamo p’ = 119,79 *0,79 = 94,01, non lontano da p reale = 127 errore di circa 127 - 94 = 33 ≈ 33/1,19 = 27% di n. Con parti decimali ancora più grandi, p’ si avvicina sempre più a p reale., come accade nei prodotti di numeri primi gemelli (tranne che in qualche rarissimo caso), es. 101 e 103 N =101 *103 = 10403, n = √N = √10403 = 101,99, e il 99% di 101,99 = 101,99*0,99= 100,97 ≈ 101 valore reale. Con l’algoritmo di Fermat, abbiamo subito (essendo d = 1 = 2/2): √(10403 +1) = √10404 = 102 = s, con d =1 Quindi p=102-1=101 , q =102+1 = 103, con 101 e 103 due fattori primi e gemelli. Quindi sconsigliamo come in passato, le Società di crittografia, per esempio la RSA, di usare numeri primi molto vicini tra loro (e quindi con piccoli valori di d), come numeri gemelli, cugini, sexy, e anche consecutivi con differenze un po’ più grandi, come da congettura di Polignac, per formare chiavi pubbliche (numeri RSA), poiché la loro differenza è comunque sempre piccola rispetto alla lunghezza di N = numero RSA (in questi casi riconoscibile dalla parte decimale 0,dd (maggiore di 0,50 e fino a 0,99 ) della sua radice quadrata, e quindi questo

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sarà facilmente fattorizzabile con l’algoritmo di Fermat. (Rif. 8) Esempio due numeri primi consecutivi sono 10 000 019 e 10 000 079 con differenza d = q – p = 10 000 079 – 10 000 019 = 60, N = p*q = 10 000 019*10 000 079 = 100 000 980 001 501 n =√100 000 980 001 501 = 10 000 048,99995 con parte decimale 0,99, indice di sicura piccola differenza tra p e q, e quindi che p è prossimo alla radice quadrata di N. Se calcoliamo il 0,99995 % di 10.000.048,99995, abbiamo 9.999.548,99, molto vicino a 10.000.019, con differenza parti intere di 10.000.019 – 9.999.548 = 471 . Quindi cercheremo p subito dopo 9 999 548, trovandolo a 10 000019; ma molto meglio se proviamo a ritroso, da n =10 000 048, poiché lo troveremo a 10000019, con una differenza di sole 29 unità. La differenza q – p è 60, e quindi la differenza q - n = 60 - 29 = 31; 29 e 31 sono vicinissimi alla semidifferenza 60/2 = 30, mentre la semisomma è s = (10 000 079 + 10 000 019)/2 = 20 000 098/2= 10 000 049 per cui p = 10 000 049 - 30 = 10 000 019 q = 10 000 049 + 30 = 10 000 079

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Con l’algoritmo di Fermat per tentativi successivi s =√ N + d^2, dobbiamo far 30 tentativi, che omettiamo per brevità, fino a trovare 100 000 980 001 501 +30^2 =100 000 980 001 501 + 900 = 100 000 980 002 401 s = √ 100 000 980 002 401 = 10 000 049 intero e quindi = s da cui poi , con le formule p = s - d, q = s + d, avremo: p = 10 000 049 - 30 = 10 000 019 q = 10 000 049 + 30 = 10 000 079 Un piccolo esempio di numeri primi cugini (e consecutivi) è dato da 3613 e 3617, con differenza 3617 -3613 = 4. Il loro prodotto N è 13068221 Supponiamo che esso sia un piccolo numero RSA e vogliamo fattorizzarlo: Con il metodo classico (forza bruta) dobbiamo provare cercando p tra i numeri primi fino a √13068221 = 3614,9994, e cioè quasi tutti, essendo p reale 3613. Però, conoscendo bene l’algoritmo di Fermat e la nostra ipotesi percentuale, notiamo che la parte decimale è 0,99…, con grandissima probabilità che p sia circa il 99%di n, e cioè 3614,99*0,99 = 3578, vicino a p reale con piccola differenza 3613 – 3578 = 35 unità. Se però consideriamo una parte decimale più estesa, per esempio 0,9994, e cioè 99,94 %, abbiamo 3614,9994*0,9994 =3612,83

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vicinissima a 3613, con differenza di una sola unità tra le parti intere 3613 - 3612 = 1. Se usiamo l’algoritmo di Fermat a ritroso, troviamo che con 3614 (parte intera di n = √13068221 = 3614,9994, abbiamo 3614 -1 = 3613 = p reale. Con la formula p = s – d e q = s +d, abbiamo N + d^2 = √13068221 +1 = √13068222 = 1143,16 non intero e quindi ≠ s √13068221 +4= √13068225 = 3615 = s. Poiché d^2 = 4, d = √4 = 2, e quindi p = 3615 - 2 = 3613 q = 3615 + 2 = 3617 e quindi riavremo N con la formula N = s^2 – d^2 = (s+d) *(s-d) = (3615 +2)* (3615-2) = 13068221 Nell’algoritmo di Fermat sono coinvolti insieme il prodotto N =p*q, la semisomma s =(q + p)/2 e la semidifferenza d = (q - p)/2 dato che N = s^2 - d^2; manca ancora il rapporto r = q/p, presente però nel nostro Teorema Fondamentale della Fattorizzazione veloce , TFF, (Rif. 7); ad un piccolo rapporto corrisponde ovviamente una piccola differenza e quindi anche la

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semidifferenza d. Conclusioni Possiamo concludere questo capitolo dicendo che, dopo qualche nuova osservazione sulla congettura di Polignac, trattata anche nei lavori precedenti (tranne Rif. 1, di Guido Carolla) indicati nei rif erimenti finali e alle quali si rimanda per eventuali approfondimenti, mostriamo la pericolosità di usare due numeri primi consecutivi, quantunque grandi (centinaia di cifre) per formare numeri RSA N = p*q (chiavi pubbliche) da usare nell’omonimo sistema crittografico, vista la facilità della loro fattori zzazione sia con la nostra ipotesi percentuale, sia con la ricerca a ritroso a partire da N , sia con la ricerca per tentativi di s, aggiungendo ad N i quadrati successivi fino a trovare d^2, e quindi poi s con s = √N +d^2 = numero intero = semisomma s. Il metodo più veloce sembra la ricerca di p a ritroso a partire da n = √N.

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3. RIFERIMENTI (tutti sul nostro sito, salvo diversa indicazione) 1) Risolte le congetture di Polignac e di Goldbach? - Maecla http://www.maecla.it/Matematica/RISOLTE_LE_CONGETTURE_DI_POLIGNAC. pdf, di Guido Carolla 2)” Teoria dei Numeri e Teoria di Stringa,ulteriori connessioni: Congettura (Teorema) di Polignac, Teorema di Goldston-Yldirim e relazioni con Goldbach e Numeri Primi Gemelli” Michele Nardelli e Francesco Di Noto Sul sito: http://eprints.bice.rm.cnr.it/356/1/Nardelli9.pdf 3) “Matematica con i numeri primi e le forme 6k + 1” Francesco Di Noto, Michele Nardelli, Pier Francesco Roggero 4) “On the Andrica and Cramer’s Conjectures. Mathematical connections between Number Theory and some sectors of String Theory “ Michele Nardelli Sul sito http://eprints.bice.rm.cnr.it/1443/1/TN9.pdf

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5a) “PROOF OF ANDRICA’S CONJECTURE AND MINIMUM GAP BETWEEN TWO CONSECUTIVE PRIMES ” Ing. Pier Francesco Roggero, Dott. Michele Nardelli, P.A. Francesco Di Noto 5b) “PROOF THAT THE MAXIMUN GAP BETWEEN TWO CONSECUTIVE PRIME NUMBERS IS BETWEEN n AND n/ln^2” Pier Francesco Roggero, Michele Nardelli, Francesco Di Noto 6) “Ipotesi su p < n come possibile percentuale di n =√N per una fattorizzazione più veloce” Francesco Di Noto, Michele Nardelli 7) “IL TEOREMA FONDAMENTALE DELLA FATTORIZZAZIONE ” Gruppo “B.Riemann” Francesco Di Noto, Michele Narde 8) “Appunti sui gap tra due numeri primi consecutivi “ Gruppo “B. Riemann” Francesco Di Noto, Michele Nardelli

pier francesco roggero, francesco di noto, michele nardelli - "dimostrazione della congettura...

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