pitkän matematiikan kertaustehtävät · 2020. 9. 4. · 1.12 yleinen juuri, juuriyhtälöt ja...

www.mafyvalmennus.fi

Pitkän matematiikan kertaustehtävätKurssit 1-10

Tehtäväpaketti soveltuu erityisen hyvin koko pitkän matematiikan pakol-lisen oppimäärän kertaamiseen lyhyessä ajassa. Asioiden käsittelyjärjestys jakappalejako on tehty tätä tarkoitusta varten. Kappalejako eroaa lukiokurs-sien järjestyksestä ja numeroinnista.

Tehtäväpaketin laatimisesta ovat vastanneet filosofian maisteri Tee-mu Kekkonen ja diplomi-insinööri Antti Suominen. Heidät tunnetaan muunmuassa yo-kirjoitusten mallivastauksista ja pistearviosta, jotka MAFY-valmennusjulkaisee aina yo-koepäivää seuraavaan aamuun mennessä. Teemu ja Ant-ti ovat perustaneet MAFY-valmennuksen ja opettavat sen kaikilla kursseillaympäri vuoden. Nämä mallivastaukset ovat Antti Suominen Oy:n omaisuut-ta.

MAFY-valmennus on erikoistunut matematiikan ja fysiikan valmennus-kursseihin ja toimii Helsingin seudulla. Palveluitamme ovat

• TKK-pääsykoekurssit

• arkkitehtiosastojen pääsykoekurssit

• valmennuskurssit yo-kirjoituksiin

• yksityisopetus

Julkaisemme internet-sivuillamme kaiken palautteen, jonka asiakkaat anta-vat kursseistamme. Näin varmistamme, että palveluistamme kiinnostuneillaihmisillä on mahdollisuus saada tarkka ja rehellinen kuva siitä, mitä meiltävoi odottaa.

Tämä asiakirja on tarkoitettu yksityishenkilöille opiskelukäyttöön. Ko-pion tästä asiakirjasta voi ladata MAFY-valmennuksen internet-sivuiltawww.mafyvalmennus.fi. Käyttö kaikissa kaupallisissa tarkoituksissa on kiel-letty. Lukion matematiikan opettajana voit käyttää tätä tehtäväpakettia op-pimateriaalina lukiokursseilla.

MAFY-valmennuksen yhteystiedot:internet: www.mafyvalmennus.fis-posti: [email protected]: (09) 3540 1373

TKK-pääsykoekurssit — yo-valmennuskurssit — arkkitehtuuri


1 Funktiot ja yhtälöt

1.1 Potenssien laskutoimitukset

1.1. Sievennä lausekkeeta) (ab)5 b) (−5x)2 c) a2a−3a4

d)(x

3

)2e)(−2

x

)3

f)(2x2)

4

2x3

1.2 Rationaalilukujen laskutoimitukset

1.2. Laske yhteen- ja vähennyslaskut (ilman laskinta)

a)1

2+

3

5b) 2

3

7− 1

1

4c)

2

9+ 5

2

3

d)a

b+c

de)a

b− c

df)x+ 1

2+

2 + x

x

1.3. Laske kerto- ja jakolaskut (ilman laskinta)

a)1

2· 3

5b) 2

3

7· 11

4c)

2

9:

5

3

d)a

b· cd

e)a

b:c

df)

2x− 3

2:

5 + x

3x

+1.4. Sievennä lausekkeet kohdissa a) ja b).

a)(

3(x− 1)

6− 6x+ x

)2

b)1

x+

1

x2− 1 + x

x2

c) Olkoon x =1− t2

t2ja y =

1− t2t2

, sievennä lausekkeetx

yjay

x.

+1.5. Muodosta

a) luvun(

3(x− 1)

6− 6x+x

2

)2

käänteisluku,

b) luvunx+ 1

x− x

x− 1vastaluku.

TKK-pääsykoekurssit — yo-valmennuskurssit — arkkitehtuuri 1


1.3 Polynomien laskutoimitukset

1.6. Sievennä annetut lausekkeeta) 2x(5x3 + x2 − 3x− 10)− 3(2x4 − 6x3 + x2 − 1)

b) (x2 − 1)(x− 1)(x+ 1) c)4x4 + 6x2 − 10x3

2x2

d) (6x+ 5y)(−3y2 + 2xy − 5x3) e) 2x(3x+ 1)2

f) (x− 2)(2− x)2

1.7. Jaa tekijöihin

a) x2 + x b) 4x3 + 6x

c) z3 + 2z2 + z +d) x3 + 4x2 + 3x+ 12

+e) 2x2 − 4xy + 2y2 +f) 5ax3 + 5a2x− x2 − a

1.4 Prosenttilaskut

1.8. Laskea) 5,1 % luvusta 2300, b) 5,1 % luvusta a

Kuinka monta prosenttiac) 5 on luvusta 250, d) 300 on luvusta 250,

e) luku 60 on lukua 140 pienempi, f) luku 140 on lukua 60 suurempi?

1.9. Tuotteen arvonlisäverollinen hinta saadaan, kun nettohintaan lisätään22 % arvonlisäveroa. Mikä on nettohinta, kun tuote maksaa kaupassa 185,95e?Mikä on tuotteen hinta kuluttajalle, jos sen nettohinta on 73,73 e?

+1.10. a) Hintaa nostetaan p prosenttia. Mikä on uusi hinta?b) Hintaa lasketaan q prosenttia. Mikä on uusi hinta?

+1.11.

a) 3 kg sokeria liuotetaan 7 litraan vettä. Mikä on liuoksen sokeripitoisuuspainoprosentteina?

b) Päärynöissä on 75 % vettä ja 5 % sokeria. Kuinka monta prosenttiasokeria on päärynöissä, jotka on kuivattu siten, että vesipitoisuus on25 %?



1.5 Reaaliluvut

1.12. Esitä ilman itseisarvoaa) | − 5| b) |25| c) |x|, kun x ∈ R

d) |x+ 3|, kun x ∈ R e) |x− 3|, kun x ∈ R f) |2x− 7|, kun x ∈ R1.13. Merkitse lukusuoralle seuraavat lukujoukot

a) x > 2, b) x ≤ 5 c) −1 < x ≤ 4,

d) x < 0 tai 1 ≤ x < 3, kun x ∈ R

1.6 Ensimmäisen ja toisen asteen yhtälöt

1.14. Määritä kohta, jossa funktio f(x) = 9x+ 4 saa arvon

a) 0 (nollakohta), b) −1, c) −5.

d) Ratkaise yhtälö2x

3+

5

18=x

9− 7

6.

1.15. Ratkaise yhtälö

a) x2 + x− 6 = 0, b) −x2 + 5 = −2x2 − 4x, c) 2x2 + 3x = 0,

d) 4x2 + 9 = 12x.

1.16. Kuinka monta reaalista ratkaisua on yhtälöllä

a) x2 − 2x+ 6 = 0 b) 2x2 + 4x = −2

+1.17. Määritä vakio a siten, että yhtälöllä a2x2 + 3x− 51

a= 0 on

a) kaksi, b) yksi, c) ei yhtään reaalista ratkaisua

1.7 Verrannollisuus

1.18. Ratkaise verrantomuotoinen yhtälö

a)x

6=

2

5b)

2− 4x

2=

3x+ 1

5c)x− 1

x+ 1=

5

4

1.19. Ilotulitusraketin ääni kuuluu 2 km:n etäisyydellä 6 sekunnin kuluttuavälähdyksestä. Kuinka kaukana raketti räjähtää, kun sen ääni kuuluu 13sekunnin kuluttua välähdyksestä?



1.20. Kappaleen paino(voima) on kääntäen verrannollinen maan keskipis-teen ja kappaleen välisen etäisyyden neliöön. Maan säde on 6370 km. Kuin-ka monta prosenttia ihmisen paino on Mount Everestillä (korkeus 8850 m)verrattuna painoon meren pinnan tasolla?

+1.21. Kappaleen gravitaatio (painovoima) toisen kappaleen kanssa on suo-raan verrannollinen toisen kappaleen massaan ja kääntäen verrannollinenkappaleiden välisen etäisyyden neliöön. Ihmisen gravitaatio maan pinnallaon 850 N. Mikä on ihmisen gravitaatio kuun pinnalla? Kaiken kappaleenmassan voidaan tässä ajatella keskittyneen sen keskipisteeseen. Maan massaon 5,97 · 1024 kg ja säde 6370 km. Kuun massa on 7,35 · 1022 kg ja säde 1740km.

1.8 Ensimmäisen ja toisen asteen epäyhtälöt

1.22. Ratkaise ensimmäisen asteen epäyhtälöt

a) −3x+ 4 < −6 + 2x, b) 20x− 5 ≥ −10, c) 12− 3x 6= 0.

1.23. Ratkaise toisen asteen epäyhtälöt

a) 3x2 − 7x ≤ −2, b) 10x− 4x2 < 6x, c) −x2 + 7x− 10 > 0.

1.9 Korkeamman asteen yhtälöt ja epäyhtälöt

1.24. Ratkaise yhtälöt

a) 2x3 − 9x2 = −4x, b) x4 + x2 − 2 = 0, +c) x3 − 20 = −4x2 + 5x

1.25. Ratkaise epäyhtälöt

a) 2x3 − 9x2 ≥ −4x, +b) x4 + x2 − 2 < 0, +c) x3 − 20 > −4x2 + 5x

1.10 Rationaaliyhtälöt ja -epäyhtälöt


a)x− 1

x+ 1=

2x− 1

x− 2b)−x3 − 3x2 − x+ 1

x2 + 2x− 1= −x


a)x2 + 2x

x≥ 1 +b)

x− 1

x+ 1≤ 2x− 1

x− 2



1.11 Itseisarvoyhtälöt ja -epäyhtälöt


a) |2x+ 1| = 3 b) |x+ 4| = −1 c) | − 3x+ 1| = 4− x

d) |x− 2| = |5x+ 6|1.29. Ratkaise epäyhtälöt

a) |3x− 2| ≥ 6 b) |x+ 3| < |2− 2x|

1.12 Yleinen juuri, juuriyhtälöt ja -epäyhtälöt

1.30. Sievennä

a) 3

√27

64b)√

32 c) 4√

81a4

1.31. Merkitse murtopotenssina

a) 4√a3 b)

13√b5

c)5√c2

4√c7


a)√x+ 1 = 5 b)

√x− 2 = −3 c) 3

√6x− x2 = x

+d)√x2 + 1 = 2x+ 2


a) 4√x+ 3 ≤ 4

√4− 2x b) 3

√3x2 + 1 ≤ 3

√1− 5x

1.13 Eksponentti- ja logaritmifunktiot

1.34. Mikä on funktion määrittelyehto, kun f(x) on

a) ln(2x) b) lg(x2 − 1) c) log3(5x+ 4)

1.35. Kirjoita yhtäpitävänä yhtälönä ilman logaritmia

a) ln 5 = x b) lg x = 8 c) log3 x = 4



1.14 Eksponenttiyhtälöt ja -epäyhtälöt


a) 3x−1 = 81 b) 80 · 1,05n = 8800


a) 5 · 4x−2 < 5120 b)(

1

3

)x

≥ 812



2 Trigonometriset funktiot ja yhtälöt

2.1 Trigonometriset funktiot

2.1. Ilmoita kulmat radiaaneinaa) 90◦ b) 125◦ c) 30◦ d) 270◦

2.2. Muunna asteiksi

a)2π

3b)

π

2c)

17π

5d)

π

8

2.3. a) Laske sinx, cosx, tanx sekä kulma x.

1

(− 1√

2, 1√

2

)x

b) Määritä pisteen P koordinaatit

1

P

60◦

2.4. Määritä funktion suurin ja pienin arvo, kuna) f(x) = (sinx+cos x)(sinx− cosx), b) f(x) = sin2 x+cos2 x+2 sinx.

2.5. Laske lausekkeen sinx cosx arvo, kun 2 sin 2x =√

3.

2.2 Trigonometriset yhtälöt


a) sinx = 1 b) sin 2x =1√2

c) cosx = −1

d) cos 3x = −√

3

2e) tanx = 1 f) tan 4x =

√3




a) sinα = sin 40◦ b) cosx = cos5π

4c) tanα = tan 60◦

d) 3 sinx = 2 cos x +e) cos2 x = 2 sin x cosx

+++f) sin2 x+ sinx cosx =√

3(sinx cosx+ cos2 x) Vihje:1

1Muokkaa yhtälö toisen asteen yhtälöksi ja tee tarvittava muuttujan vaihto. Lisävihje:Neliöi diskriminantti.



3 Geometria

3.1 Kulmat tasossa

3.1. Suorat L ja m ovat yhdensuuntaiset. Laske α ja β.

αβ°26

lm

3.2. Laske α.

α°30

°70

3.3. Määritä viisikulmion kulmien summa jakamalla viisikulmio kolmioihinsopivalla tavalla.

α

βγ

δε

3.4. Aseta kolmion kulmat suuruusjärjestykseen.

γα

β5

6

4



3.2 Yhdenmuotoisuus ja mittakaava

3.5. Mitkä alla olevista kolmioista ovat yhdenmuotoisia? Missä mittakaavassane ovat yhdenmuotoisia?

4

2

3

°55 °30

°95

°30A

B

D

E

F

G

H

IC

3.6. Yhdenmuotoisten öljykanisterien tilavuudet ovat 4 litraa ja 20 litraa.Pienemmän korkeus on 25 cm. Kuinka korkea on suurempi öljykanisteri?

3.7. Edellisen tehtävän öljykanisterit suojataan ruostumiselta maalaamallane. Montako prosenttia vähemmän kuluu maalia pienemmän kanisterin maa-laamiseen?

3.3 Pythagoraan lause

3.8. Onko kolmio suorakulmainen ja minkä sivujen välissä suora kulma on,kun sivujen pituudet ovat:

a) 3, 4 ja 7

b) 2, 3 ja√

5

3.9. Laske sivun AB pituus.

5

C

B

A 7

3.4 Suorakulmaisen kolmion trigonometria

3.10. Laske x:llä merkityn sivun pituus kahden desimaalin tarkkuudella taitarkkana arvona.



a)

°30x

5b)

4

°60x

c)

°25

7

x

3.11. Laske kulma α.a)

α1

2b)

3

8α

c)

α

4 2

3.12. Laske α 0,1 asteen tarkkuudella.

5 5

4

α

3.13. Aurinko paistaa 30◦ kulmassa vaakatasoon nähden. Lyhtypylväästälankeaa 6,1 metriä pitkä varjo vaakasuoralle maan pinnalle. Kuinka korkealyhtypylväs on?

3.5 Trigonometrian lauseita

3.14. Kolmion kaksi sivua ovat 3,0 cm ja 5,1 cm ja sivujen välinen kulma130◦. Mikä on kolmion pinta-ala?

3.15. Kolmiossa ABC sivun BC pituus on 4,0m, kulma B on 95◦ ja kulmaC on 40◦. Kuinka pitkä on sivu AB?

3.16. Kolmiossa ABC sivun AB pituus on 3,0 cm ja sivun AC pituus 4,1 cm.Kulma C on 34 astetta. Laske kulma B.

3.17. Kolmiossa ABC sivun AB pituus on 3,3 cm ja sivun BC pituus 2,5 cm.Kulma C on 50 astetta. Laske kulma B.

3.18. Kolmiossa kahden sivun pituudet ovat 3,0 cm ja 4,0 cm ja sivujen väli-nen kulma 120◦. Kuinka pitkä on kolmas sivu?

3.19. Kolmion sivut ovat 4,0 cm, 2,9 cm ja 5,0 cm. Laske kolmion kulmatyhden desimaalin tarkkuudella.



3.20. Aurinko paistaa 40 asteen kulmassa vaakatasoon nähden. Pystysuoras-ta sähkötolpasta lankeaa varjo vaakasuoralle maalle. Auringon laskettua 30asteen kulmaan, sähkötolpan varjo pitenee 3,0 metriä. Mikä on sähkötolpankorkeus?

3.6 Ympyrä

3.21. Ympyrän säde on 20 cm. Kuinka pitkä on 50 asteen keskuskulmaavastaava kaari? Mikä on 50 asteen keskuskulmaa vastaava sektorin ala?

3.22. Pallon muotoinen teräskuula pudotetaan hiekkaan ja nostetaan pois.Kuula jättää maahan kuopan, jonka syvyys on 4 cm ja halkaisija 16 cm. Mikäon teräskuulan säde?

3.23. Kuinka kauas merelle näkee rannalla olevan tornin huipulta, joka on150 metrin korkeudella meren pinnasta. Maapallon säde on 6370 km.

3.24. Ympyräkartion muotoisen pikarin korkeus on 200mm ja suuaukonhalkaisija 60mm. Pikarin sisään asetetaan pingispallo, jonka halkaisija on40mm. Kuinka kauas pingispallo jää pikarin pohjalta?

3.25. P on alla olevan ympyrän keskipiste. Laske kulmat α ja β.

α

β °30•P

3.7 Avaruusgeometria

3.26. Säännöllisen nelisivuisen pyramidin kaikki särmät ovat saman pituisia.Laske vierekkäisten sivusärmien kulma.

3.27. Suorakulmaisen särmiön sivut ovat 3, 4 ja 5. Laske avaruuslävistäjänpituus. Piirrä kuva.

3.28. Pellistä valmistetaan suoran ympyrälieriön muotoinen säilykepurkki.Purkin tilavuus on 2 litraa ja korkeus 20 cm. Kuinka paljon yhden purkinvalmistamiseen tarvitaan peltiä?

3.29. Suoran ympyräkartion sisään on mahdutettu mahdollisimman suurisuora ympyrälieriö, jonka korkeus on 20 cm. Kartion korkeus on 60 cm japohjan halkaisija 20 cm. Laske lieriön tilavuus.



3.30. Kuinka suuri osuus maapallon pinta-alasta on 66◦ pohjoisen leveyspii-rin pohjoispuolella? Maapallon säde on 6370 km.

3.31. Kuinka suuri on teräskuulan tekemän kuopan tilavuus tehtävässä 3.22?



4 Analyyttinen geometria

4.1 Lineaarinen yhtälöryhmä

4.1. Ratkaise yhtälöpari

a)

{2x+ 3y − 19 = 0

−3x− y + 11 = 0b)

x− 2y − 4 = 0

−1

2x+ y + 7 = 0

c)

{2x− 3y − 2 = 3

−4x+ 6y + 3 = −7

4.2. Ratkaise yhtälöryhmäx− y + 2z = 4

3x− 2y + z = 1

2x+ y − z = 5

4.2 Suoran yhtälö

4.3. Suora kulkee pisteiden (3, 4) ja (5, 10) kautta. Mikä on suoran kulma-kerroin?

4.4. Piirrä suora, jonka yhtälö ona) y = 2x− 3 b) 2x− 3y + 2 = 0 c) 2x+ 4 = 0 d) y − 5 = 0

4.5. Suoran kulmakerroin on 5 ja se leikkaa y-akselin pisteessä (0, 3). Mikäon suoran yhtälö?

4.6. Määritä suoran yhtälö tehtävässä 4.3.

4.3 Kulmakertoimen ominaisuuksia

4.7. Osoita, että suorat 2x − 3y + 2 = 0 ja 6x + 4y − 7 = 0 ovat toisiaanvastaan kohtisuorassa.

4.8. Suoran yhtälö on y = 3x − 5. Määritä tälle suoralle pisteen (−4, 3)kautta piirretyn normaalin yhtälö.

4.9. Pystysuora suora L kulkee pisteen (3, 5) kautta. Määritä suoran L yhtälöja suoralle L pisteeseen (3, 5) piirretyn normaalin yhtälö.

4.10. Määritä sen suoran yhtälö, joka on yhdensuuntainen suoran 2x−5y = 3kanssa ja kulkee pisteen (1, 2) kautta.

4.11. Määritä suoran kulmakerroin, kun sen suuntakulma ona) 45◦ b) −30◦



4.12. Määritä suoran suuntakulma 0,1 asteen tarkkuudella, kun sen kulma-kerroin ona) 2 b) −1

34.13. Määritä janan AB keskinormaalin yhtälö, kun A = (3, 1) ja B =(−1, 7).

4.4 Ympyrä

4.14. Mikä on pisteiden (2,−3) ja (5, 1) välinen etäisyys?4.15. Ympyrän yhtälö on (x − 3)2 + (y + 1)2 = 25. Mikä on ympyrän sädeja keskipisteen koordinaatit?4.16. Ympyrän keskipiste on (1,−2) ja säde 7. Määritä ympyrän yhtälö.4.17. Määritä ympyrän keskipiste ja säde, kun ympyrän yhtälö on

a) x2 + y2 − 4x+ 2y − 4 = 0 b) x2 + y2 − 3x+ 4y − 3

4= 0

+4.18. Millä parametrin a arvoilla yhtälö x2 + y2− 2x− 4ay+ 5a2 + 2a = 0esittää ympyrää? [K04]

4.5 Pisteen etäisyys suorasta. Ympyrän tangentti.

4.19. Kuinka kaukana piste (5, 2) on suorasta y = 3x− 7?4.20. Määritä pisteen (6, 1) kautta ympyrälle x2 + y2 − 2x − 4y − 3 = 0piirrettyjen tangenttien yhtälöt.4.21. Määritä ympyrälle x2 + y2 + 2x − 2y − 2 = 0 piirrettyjen suoran2x+ y − 2 = 0 suuntaisten tangenttien yhtälöt.4.22. Ympyrän keskipiste on (2, 1) ja ympyrä sivuaa suoraa y = −x − 2.Mikä on ympyrän yhtälö?

+4.23. Etsi yhtälö ympyrälle, jonka keskipiste on suoralla y =1

2x ja joka

sivuaa x-akselia ja suoraa 4x+3y−24 = 0. Määritä kaikki tehtävän ratkaisut.[K06]

4.6 Paraabeli

+4.24. Muodosta sen käyrän yhtälö, jonka pisteet ovat yhtä kaukana pis-teestä (3, 2)ja suorasta y = −2.4.25. Y -akselin suuntainen paraabeli kulkee pisteiden (−2, 0), (0,−2) ja(1, 3) kautta. Määritä paraabelin yhtälö.



4.7 Käyrien leikkauspisteet

4.26. Määritä suorien leikkauspiste, kun suorien yhtälöt ovata) −2x+ y + 7 = 0 ja x+ y − 3 = 0 b) y = 3x+ 8 ja y = −2c) y = −5x+ 5 ja x = 2 d) y = 7 ja x = −3

4.27. Missä pisteissä suora x+3y−6 = 0 leikkaa ympyrää (x−3)2+(y+1)2 =18?

4.28. Missä pisteissä ympyrät (x−1)2+(y−3)2 = 4 ja x2+y2−4x−2y+4 = 0leikkaavat toisensa?

4.29. Laske paraabelien y = x2 − 3 ja y = −x2 + 2x + 1 leikkauspisteidenkoordinaatit.



5 Vektorit

5.1 Vektorikäsite, yhteenlasku ja kertominen luvulla

5.1. Määritä annettujen vektorien väliset kulmata) a ja c b) b ja c c) a ja b

°80

°55

°45

ab

c

5.2. Ilmaise annetut vektorit vektorien a, b ja c avulla. Kuvassa oleva kappaleon suuntaissärmiö.a) EB b) FH c) DF

a

b

c

B

F

EH

D

C

G

A

5.3. Vektorin a pituus on 5.

a) Kuinka pitkä on vektori ta?

b) Määritä a:n suuntainen yksikkövektori.

5.2 Vektorin komponentit

5.4. Jaa vektori 5a−8b vektorien 2a+ b ja a− b suuntaisiin komponentteihin.

+5.5. Piste Q jakaa kolmion ABC sivun BC suhteessa 4 : 1. Missä suhteessajana AQ jakaa kolmion ABC sivulle AC piirretyn keskijanan?

5.6. Ovatko vektorit yhdensuuntaiset?a) a = 5u+ 3v ja b = −15u− 6v b) c = 21u− 3v ja d = −28u+ 4v

5.7. Määritä parametri t siten, että vektorit a = 5i− 2j ja b = 3i + tj ovatyhdensuuntaiset.



5.3 Vektorin pituus ja avaruusvektorit

5.8. Laske vektorin a = 5i− 2j pituus.

5.9. Määritä pisteiden A(2,−3, 7) ja B(−7,−2, 5) paikkavektorit, vektori ABja vektorin AB pituus.

5.10. Suunnikkaan kolme kärkeä ovat A(3,−7, 5), B(−5, 10, 8)ja C(−4, 6, 6).

a) Määritä suunnikkaan ABCD kärkipiste D.

b) Määritä a-kohdan suunnikkaan lävistäjien keskipisteet.

5.4 Suora ja taso

5.11. Onko piste B(10, 12, 17) pisteiden A(−5, 10, 14) ja C(40, 16, 23) kauttakulkevalla suoralla?

5.12. Määritä jokin pisteiden A = (2, 3, 6) ja B = (4,−7,−3) kautta kulke-van suoran suuntavektori ja muodosta suoran parametriesitys. Määritä suo-ran ja xy-tason leikkauspiste.

5.13. Suora S1 on vektorin u = 2i − j + k suuntainen ja kulkee pisteenA(3,−2, 4) kautta. Suora S2 on vektorin v = i+ 3j − k suuntainen ja kulkeepisteen B(4, 8, 0) kautta. Leikkaavatko suorat toisensa? Määritä leikkauspis-te, jos sellainen on olemassa.

5.14. Ovatko pisteet P (3,−3, 15) ja Q(−3,−3,−5) pisteiden A(3, 0,−2),B(1,−2, 3) ja C(7, 1, 5) määräämässä tasossa?

5.15. Suora on vektorin 3i + j + 3k suuntainen ja kulkee pisteen (2, 3, 7)kautta. Määritä sen ja tason x+ 2y + z = 1 leikkauspiste.

5.5 Pistetulo

5.16. Määritä vektorien a ja b välinen kulma asteen kymmenesosan tarkkuu-della, kun

a) a = 4i+ 2j + 3k ja b = i+ j + 2k

b) a = −3i+ 7k ja b = 2i+ 5j − 3k

5.17. Millä parametrin t arvolla vektorit a = 5i − 2j ja b = 3i + tj ovatkohtisuorat?



5.18. Osoita, että pisteiden(2, 111

2, 2)ja(4, 1

2,−1

)kautta kulkeva suora

on kohtisuorassa pisteiden (5, 2, 0), (1, 1, 1) ja (4, 1, 3) kautta kulkevaa tasoavastaan.

5.19. Määritä suorien 2x − y + 5 = 0 ja −5x + 7y − 10 = 0 välinen kulmaasteen sadasosan tarkkuudella. Määritä ensin suorien suuntavektorit.

5.20. Suora L kulkee origon ja pisteen P (3, 2,−7) kautta. Laske pisteenE(10, 12,−10) etäisyys suorasta L. Mikä suoran L piste on lähinnä pistettäE?



6 Raja-arvot ja derivaatta

6.1 Raja-arvo

6.1. Määritä raja-arvot (Huom! Tämä on kurssin 13 asiaa.)

a) limx→∞

5x2 + 2x+ 3

2x2b) lim

x→∞

4x3 + 2x+ 7

x3 + 9x2 + xc) lim

x→∞

3x2 + 2

3x3 + 2x2

d) limx→∞

(x−√x2 + 2x

)6.2. Määritä raja-arvot

a) limx→2

2x2 − 3x− 2

x− 2b) lim

x→0

3x2 + x

2x2 + 2x+ 1c) lim

x→1

√x− 1

x− 1

+d) limx→−4

x3 + 4x2 − 5x− 20

x+ 4

6.2 Funktion jatkuvuus

6.3. Onko funktio f(x) =

{x2 + 5 , kun x < 2

3x+ 3 , kun x ≥ 2jatkuva kaikilla x:n reaa-

liarvoilla?

6.4. a) Anna esimerkki epäjatkuvasta funktiosta.

b) Määritä sellainen vakio a, että funktio f(x) =

{2ax− 3 , kun x < 1

x2 + a , kun x ≥ 1on

kaikkialla jatkuva.

6.3 Derivaatan määritelmä ja derivoituvuus

6.7. Määritä sellaiset vakiot a ja b, että funktio

f(x) =

{b2x2 + (a− 2) , kun x > 2

ax− 2b , kun x ≤ 2

on kaikkialla derivoituva.

6.8. Muodosta derivaatan määritelmän avulla funktion f(x) = x2 + 2x

a) derivaatta kohdassa x = 2, b) derivaattafunktio f ′(x).



6.4 Derivointi

6.9. Derivoi

a) 5x2 + 2x b)(5x2 + 2x

)2 c)5x2 + 2x

2x2 + 1d)

1

2x3 + 5x

e)1

(6x+ 1)4f) (−2x+ 3)

23 g)

(3− 3x3

)−2 h)1

(4x+ 2)52

i) 3

√(x+ 2)4 j)

1√(x− 5)3

k)1

xl)(x2 + 8x

)−16.10. Derivoi

a) e2x b) 2e2x2 c)

1

3ex2−2x

d) 5x e) 5x2+2 f) 42x · 23x

6.11. Derivoia) ln(2x) b) lg(2x) c) (lnx)5 d) ln

√x

6.12. Derivoia) sin 2x b) 3 cosx2 c) tan

x

2

d) cosx2 · sinx e) tanx · cosx f)cos2 x

sinx

6.13. Määritä korkeammat derivaatat, kun f(x) = cos 2x

a) f ′′(x) b) f ′′′(x) c) f (4)(x).

6.5 Derivaatan sovelluksia

6.14. Määritä käyrän y = x3−2x2 +x−1 kohtaan x = 2 piirretyn tangentinja normaalin yhtälöt.

6.15. Määritä käyrälle y = −x2 +2x+5 pisteestä(32, 6)piirrettyjen tangent-

tien yhtälöt.

6.16. Määritä funktion f(x) =1

2x4 +

2

3x3 − 2x2, x ∈ R ääriarvot.

6.17. Tutki funktion kulkua

a) f(x) = x3 − 2x2 + x, b) g(x) =x2 + 2x− 1

1− 2x.



6.18. Määritä funktion f(x) =lnx

xsuurin arvo.

6.19. Osoita oikeaksi epäyhtälö (x− 2)6 > 2− 6x.

6.20. Suorakulmion muotoisen levyn ympärysmitta on 100 cm. Mitkä ovatlevyn mitat, kun sen pinta-ala on mahdollisimman suuri?

6.21. Edellisen tehtävän 6.20 pinta-alaltaan suurimmasta mahdollisesta le-vystä leikataan jokaisesta kulmasta pois yhtä suuri neliön muotoinen pala-nen. Leikatusta levystä taitellaan kanneton suorakulmainen särmiö kuvanmukaisesti. Mitkä ovat suorakulmaisen särmiön mitat, kun sen tilavuus onmahdollisimman suuri? Anna vastaus 0,1 cm tarkkuudella.

6.22. Suoran ympyräkartion korkeus ja pohjaympyrän halkaisija ovat yh-tä pitkät (d). Mitkä ovat tilavuudeltaan suurimman neliöpohjaisen suora-kulmaisen särmiön mitat, joka voidaan asettaa kartion sisään? Särmiö asete-taan kartion sisään siten, että neliöpohja on yhdensuuntainen kartion pohjankanssa.



7 Integraalilaskenta

7.1 Integraalifunktio

7.1. Osoita, että funktio x lnx− x on funktion lnx integraalifunktio.

7.2 Integroiminen

7.2. Määritä funktio f(x), kun f ′(x) = x2 − 2x + 2 ja kuvaaja y = f(x)kulkee pisteen (3, 9) kautta.

7.3. Määritä integraalifunktiot

a)∫

13√x

dx b)∫x−2 dx c)

∫x−1 dx d)

∫ex dx

e)∫

sinx dx f)∫

cosx dx g)∫

(x+ 1)(x− 1)

x2dx

[Vihje1sivun alalaidassa]

7.3 Funktion f ′(x)g(f(x)) integroiminen

7.4. Määritä integraalifunktiot

a)∫

(2− 5x)5 dx b)∫

5e2x dx c)∫

(cos 2x− x sinx2) dx

d)∫

sinx cos3 x dx e)∫ √

3x− 2 dx f)∫

x

2x2 + 1dx

+g)∫ (

1 +1

5x+ 3

)2

dx [Vihje2sivun alalaidassa]

7.4 Määrätty integraali

7.5. Laske määrätyt integraalit

a)∫ 3

1

x2 dx b)∫ 3

0

|2x− 4| dx c)∫ 3

1

ex2

dx+

∫ 1

3

ex2

dx

1Laske auki ennen integrointia. Lisäohje: Laske kertolasku osoittajassa ja jaa saatupolynomi termeittäin nimittäjällä.

2Laske auki toinen potenssi ennen integrointia.



7.6. Auto lähtee paikaltaan liikkeelle tasaisesti kiihtyen. Auton nopeus onsiten suoraan verrannolinen lähtöhetkestä kuluneeseen aikaan. Auton nopeus5 sekuntia lähtöhetkestä on 15 m/s. Kuinka pitkän matkan auto on kulkenut10 sekunnin kuluttua lähtöhetkestä? Ohje: Nopeus on matkan derivaatta, eliv(t) = s′(t), jossa v(t) on nopeus ja s(t) on kuljettu matka ajan funktiona.

7.5 Pinta-alojen laskeminen integroimalla

7.7. Laske käyrän y = x2 − 3x ja x-akselin rajaaman alueen pinta-ala välillä[0, 5].

7.8. Laske käyrän y = ex, suoran y = 3 ja y-akselin rajaaman alueen pinta-ala integroimalla

a) muuttujan x suhteen

b) muuttujan y suhteen

7.9. Laske sen alueen pinta-ala, jota rajoittavat käyrät y = sinx ja y = cosx,suora x =

π

2sekä y-akseli.

7.6 Tilavuuksien laskeminen

7.10. Astian korkeus on 30 cm. Astian vaakasuora poikkileikkaus on suo-rakulmio, jonka sivumitat ovat x + 5 ja x + 10 senttimetriä mitattuna xsenttimetrin korkeudella astian pohjasta. Mikä on astian tilavuus?

+7.11. Näyttelyhallin pohja on ympyrä, jonka halkaisija on 100 m. Näyt-telyhallin katto ja seinät muodostavat alla olevan kuvan mukaisen pinnan,jossa halkaisijaa AB vastaan kohtisuorat leikkauskuviot ovat suorakulmioita,joiden korkeuden suhde leveyteen on 1 : 2. Laske hallin tilavuus.

A

B



7.7 Pyörähdyskappaleen tilavuus

7.12. Laske sen kappaleen tilavuus, joka muodostuu, kun käyrän y = ex

välilllä [0, 2] oleva osa pyörähtääa) x-akselin ympäri. b) suoran y = 2 ympäri.

7.13. Käyrän y = 2x − 1 välillä x ∈ [0, 3] oleva osa pyörähtää y-akselinympäri. Laske muodostuvan kappaleen tilavuus integroimalla.

+7.14. Käyrän y = 2 ln(x + 1), 0 ≤ x ≤ e − 1, pyörähtäessä y-akselinympäri syntyy suppilomainen astia. Laske sen tilavuus. Ilmoita tarkka arvoja kaksidesimaalinen likiarvo.



8 Lukujonot ja summat

8.1 Lukujono

8.1. Kirjoita lukujonon 5 ensimmäistä jäsentä.a) a1 = 3, an+1 = 2an − 1 b) a1 = 1, a2 = 1, an+2 = an + an+1

c) a1 = 5, an = a1 · 2n−1 d) a1 = 2, an = a1 + 3(n− 1)

8.2. Päättele lukujonon kaksi seuraavaa jäsentä ja yleinen jäsen an.

a) 3, 6, 9, 12, . . . b) 1, 2, 4, 8, . . . c)1

2, 3,

11

2, 8, . . .

d) −1, 1,−1, 1, . . . e) 1, 0, 1, 0, . . . f)1

3,−1, 3,−9, . . .

+8.3. Tutki onko lukujono aidosti monotoninen sekä onko se ylhäältä taialhaalta rajoitettu. n = 1, 2, 3, . . .

a) an =2n− 1

nb) an = 3

1n c) an =

√2n

n+ 2

8.2 Aritmeettinen lukujono ja summa

8.4. Tutki onko lukujono aritmeettinena) 1, 3, 5, 7, . . . b) a1 = 3, an+1 = 3(an − 2)

8.5. Kuinka moni aritmeettisen jonon 3, 8, 13, . . . jäsenistä on pienempi kuin1000?

8.6. Esitä summamerkinnän avulla ja laske aritmeettinen summa.a) 2 + 5 + 8 + · · ·+ 77 b) 20 + 13 + 6− 1− · · · − 113

8.7. Aritmeettisen jonon 1. jäsen on 4 ja yksi sen jäsen on 247. Summa4+· · ·+247 = 3514. Kuinka monta jäsentä on summassa ja mikä on lukujononperättäisten jäsenten erotus?

8.8. Elokuvateatterissa on viimeisellä penkkirivillä 56 paikkaa. Ensimmäisel-lä penkkirivillä on 22 paikkaa ja seuraavalla rivillä on aina 2 paikkaa enem-män.

a) Kuinka monta penkkiriviä on teatterissa?

b) Kuinka monta paikkaa on teatterissa?



8.3 Geometrinen lukujono ja summa

8.9. Onko lukujono geometrinen?

a) −1

2,1

4,−1

8,

1

16, . . . b) a1 = 3, a2 = 1, an+2 =

an+1

an

8.10. Geometrisen jonon 7. jäsen on1024

2187ja 4. jäsen on

128

81. Laske jonon

suhdeluku ja 1. jäsen.

8.11. Laske geometrinen summa, kun siihen otetaan

a) 15 ensimmäistä termiä lukujonosta2

7,4

7, . . .

b) 15 ensimmäistä termiä lukujonosta 7,−21, 63, . . .

c) 16 ensimmäistä termiä b-kohdan lukujonosta

8.12. Olli alkaa tallettaa pankkiin jokaisen vuoden alusssa 15000e. Tilinvuosikorko on lähdeveron jälkeen 2,13 %. Kuinka paljon tilillä on rahaa 15.vuoden lopussa? Kuinka paljon Olli on saanut verotonta korkotuottoa tältäajalta?



9 Todennäköisyyslaskenta

9.1. Korttipakassa on neljää maata (hertta, ruutu, risti ja pata), joissa kai-kissa on 13 korttia. Ässä on 1 tai 14, jätkä on 11, rouva on 12 ja kuningas13.

a) Mikä on todennäköisyys saada yhdellä nostolla kuningas?

b) Mikä on todennäköisyys saada kaksi kuningasta, kun nostetaan kaksikorttia?

c) Mikä on todennäköisyys, että yhdellä nostolla tulee ässä tai hertta?

9.2. Radiossa kaksi eri radiokanavaa soittaa saman 3 minuutin pituisen kap-paleen kerran kahden tunnin aikana. Kaksi radiota avataan samaan aikaanja näiltä eri kanavilta. Millä tn. molemmilta kanavilta kuuluu tämä samakappale?

9.3. Mikä on todennäköisyys saada kuudella nopanheitolla ainakin yksi kuu-tonen?

9.4. Kolikon säde on 10 mm. Mikä on todennäköisyys, että neliöruutuisellesuurelle pöytäliinalle heitetty kolikko jää kokonaan ruudun sisään? Ruudunsivun pituus on 30 mm.

9.5. Heitetään kahta noppaa. Millä todennäköisyydellä saadaan silmälukujensummaksi enemmän kuin 7?

9.6. Susannalla on vaatekaapissaan 54 paitaa, 26 housut ja 108 kenkäpa-ria. Kuinka monta erilaista vaateyhdistelmää (paita, housut, kengät) hän voivalita kaapistaan?

9.7. Sukkulaviestiin valittiin 4 tyttöä ja 4 poikaa. Kuinka monta erilaistajuoksujärestystä voidaan muodostaa, jos

a) juoksijat voidaan järjestää miten tahansa,

b) kaikki tytöt ovat ennen poikia,

c) joka toinen on tyttö ja joka toinen on poika?

9.8. Kaverukset Erkki, Keijo ja Jorma ovat osallistuneet työpaikallaan ar-vontaan etelänmatkasta 20 muun henkilön kanssa. Kolme ihmistä voittaamatkan. Millä tn. kaikki kolme kaverusta voittavat?

9.9. Korttipakka on samanlainen kuin tehtävässä 9.1.



a) Mikä on tn. saada neloset (neljä samaa numeroa) viidellä kortilla?

b) Mikä on tn. saada värisuora (esim. ässä, 2, 3, 4, 5 tai 10, 11, 12, 13, ässäeli peräkkäiset numerot ja samaa maata) viidellä kortilla?

9.10. Valtuustossa on 12 naista ja 11 miestä. Valtuustosta valitaan 4 hengentyöryhmä arpomalla. Millä tn.

a) kaikki ovat naisia,

b) ryhmässä on kaksi naista ja kaksi miestä,

c) ryhmässä on yksi nainen ja kolme miestä?

9.11. Jussi ja Paavo kuuluvat kahdeksan sepän veneilyseuraan. 8 hengenseurasta valitaan 5 jäsentä viestikilpailun joukkueeseen. Millä todennäköi-syydellä Jussi ja Paavo ovat joukkueessa peräkkäisillä osuuksilla, jos joukkueja järjestys arvotaan?

9.12. Laatikossa on kaksi valkoista ja kolme mustaa palloa. Laatikosta ote-taan umpimähkään kaksi palloa. Olkoon satunnaismuuttuja X nostossa saa-tujen mustien pallojen lukumäärä. Laske todennäköisyydet P(X = k), k =0, 1, 2. Määritä odotusarvo E(X).

9.13. Matematiikan pääsykokeessa epäonnistuu 20 % ja fysiikan pääsykokees-sa 15 %. Molemmissa kokeissa epäonnistuu 9 %. 1) Millä todennäköisyydel-lä matematiikan kokeessa epäonnistunut henkilö epäonnistuu myös fysiikankokeessa? 2) Millä todennäköisyydellä pyrkijä epäonnistuu ainakin toisessakokeessa?

9.14. Arpajaisissa, joissa on paljon arpoja, 30 % arvoista voittaa. Ostetaankuusi arpaa.

a) Millä todennäköisyydellä tulee 0, 1, 2, 3, 4 voittoa?

b) Millä todennäköisyydellä tulee enintään kaksi voittoa?

9.15. Eräässä keskikokoisessa etelä-suomalaisessa kaupungissa miesten kes-kipituus on 180,5 cm ja pituuden keskihajonta 6,1 cm. Oletetaan miestenpituus normaalisti jakautuneeksi.

a) Millä todennäköisyydellä kyseisestä kaupungista satunnaisesti valitunmiehen pituus on alle 185 cm?



b) Kuinka monta prosenttia kyseisen kaupungin miehistä on lyhyempiäkuin 170 cm?

c) Kyseisen kaupungin asukkaista valitaan 200 henkilön satunnaisotos.Arvio kuinka monen miehen pituus tässä otoksessa on välillä 175 - 190cm.

9.16. Yritys valmistaa palloja, joiden tilavuus on tarkoitus olla 5000 l. Enin-tään 65 litran poikkeama jompaan kumpaan suuntaan hyväksytään. Lasketavoitteena olevan pallon halkaisija ja virherajojen mukaiset halkaisijat. Millätn. prosessissa syntyy hyväksyttäviä säiliöitä, kun halkaisijoiden poikkeamatovat normaalisti jakautuneet parametrein µ = 0 cm, σ = 1,75 cm.



Harjoitustehtävien 1 vastaukset

1.1. a) a5b5 b) 25x2 c) a3 d)x2

9e) − 8

x3f) 8x5

1.2. a)11

10b) 1

5

28c) 5

8

9d)

ad+ bc

bde)ad− bcbd

f)x2 + 3x+ 4

2x

1.3. a)3

10b) 3

1

28c)

2

15d)

ac

bde)ad

bcf)

6x2 − 9x

2x+ 10

1.4. a) x2 − x+1

4b) 0 c)

x

y= 2t+ 2 ja

y

x=

1

2t+ 2

1.5. a)4

x2 − 2x+ 1b)

1

x2 − x

1.6. a) 4x4 + 20x3 − 9x2 − 20x+ 3

b) x4 − 2x2 + 1 c) 2x2 − 5x+ 3

d) −30x4 − 25x3y + 12x2y − 8xy2 − 15y3

e) 18x3 + 12x2 + 2x f) x3 − 6x2 + 12x− 8

1.7. a) x(x+ 1) b) 2x(2x2 + 3) c) z(z + 1)2

d) (x2 + 3)(x+ 4) e) 2(x− y)2 f) (x2 + a)(5ax− 1)

1.8. a) 117,3 b) 0,051a c) 2 % d) 120 % e) 57 % f) 133 %

1.9. 1) 152,42e 2) 89,95e

1.10. a)(1 + p

100

)a b)

(1− q

100

)a

1.11. a) 30 % b) 15 %



1.12. a) 5 b) 25 c) |x| =

{x, kun x ≥ 0

−x, kun x < 0

d) |x+ 3| =

{x+ 3, kun x ≥ −3

−x− 3, kun x < −3

e) |x− 3| =

{x− 3, kun x ≥ 3

3− x, kun x < 3

f) |2x− 7| =

{2x− 7, kun x ≥ 31

2

7− 2x, kun x < 312

1.14. a) x = −4

9b) −5

9c) x = −1 d) x = −13

5

1.15. a) x = −3 tai x = 2 b) ei reaalisia ratkaisuja

c) x = 0 tai x = −3

2d) x =

3

2

1.16. a) ei reaalisia ratkaisuja b) 1 ratkaisu

1.17. a) x > − 9

20b) x = − 9

20c) x < − 9

20

1.18. a) x = 22

5b) x =

4

13c) x = −9

1.19. Vastaus: 4,3 km etäisyydellä

1.20. Vastaus: 99,7 %

1.21. Vastaus: 140N

1.22. a) x > 2 b) x ≥ −1

4c) x 6= 4

1.23. a)1

3≤ x ≤ 2 b) x < 0 tai x > 1 c) 2 < x < 5

1.24. a) x = 0 tai x =1

2tai x = 4 b) x = −1 tai x = 1

c) x = −4 tai x = ±√

5



1.25. a) 0 ≤ x ≤ 1

2tai x ≥ 4 b) −1 < x < 1

c) −4 < x < −√

5 tai x > −√

5

1.26. a) x = −2−√

7 tai x = −2 +√

7

b) Vastaus: yhtälöllä ei ole ratkaisuja

1.27. a) x ≥ −1 tai x 6= 0

b) x ≤ −2−√

7 tai − 1 < x ≤ −2 +√

7 tai x > 2

1.28. a) x = 1 tai x = −2 b) ei ratkaisua c) x = −3

2tai x =

5

4

d) x = −2 tai x = −2

3

1.29. a) x ≤ −4

3tai x ≥ 8

3b) x < −1

3tai x > 5

1.30. a)3

4b) 4√

2 c) 3a

1.31. a) a34 b) b−

53 c) c−

2720

1.32. a) x = 24 b) ei ratkaisua c) x = −3 tai x = 0 tai x = 2

d) x =−4 +

√7

3

1.33. a) −3 ≤ x ≤ 1

3b) −5

3≤ x ≤ 0

1.34. a) x > 0 b) x < −1 tai x > 1 c) x > −45

1.35. a) ex = 5 b) x = 108 c) x = 34

1.36. a) x = 5 b) x =ln 110

ln 1,05=

lg 110

lg 1,05

1.37. a) x < 7 b) x ≤ −8




2.1. a)π

2b)

25π

36c)π

6d)

3π

2

2.2. a) 120◦ b) 90◦ c) 612◦ d) 22,5◦

2.3. a) sinx =1√2, cosx = − 1√

2, tanx = −1 ja x =

3π

4b)

(1

2,

√3

2

)

2.4. a) pienin arvo −1, suurin arvo 1 b) pienin arvo −1, suurin arvo 3

2.5. sinx cosx =

√3

4

2.6. a) x =π

2+ n · 2π b) x =

π

8+ nπ tai x =

3π

8+ nπ

c) x = π + n · 2π d) x = ±5π

18+ n · 2π

3

e) x =π

4+ nπ f) x =

π

12+ n · π

4

2.7. a) α = 40◦ + n · 360◦ tai α = 140◦ + n · 360◦ b) x = ±5π

4+ n · 2π

c) α = 60◦ + n · 180◦ d) x = 33,7◦ + n · 180◦

e) x = 26,6° + n · 180° tai x = ±90° + n · 360°

f) x =3π

4+ nπ tai x =

π

3+ nπ



Harjoitustehtävien 3 vastaukset3.1. β = 26◦ ja α = 26◦

3.2. α = 80◦

3.3. Jaetaan viisikulmio kolmeen kolmioon, joiden kulmien summa on3 · 180◦ = 540◦.

3.4. β > γ > α

3.5. ∆ABC ∼ ∆GHI, mittakaava k = 4 : 3

3.6. 43 cm

3.7. 66%

3.8. a) ei ole b) On. Suora kulma kateettien√

5 ja 2 välillä

3.9. 2√

6

3.10. a) x =5

2b) x = 2,31 c) x = 6,34

3.11. a) α = 30◦ tarkka arvo b) α = 68,0◦ c) α = 63,4◦

3.12. α = 47,2◦

3.13. h = 3,5m

3.14. 5,9 cm2

3.15. 3,6 cm

3.16. kulma B = 49,8◦ tai kulma B = 130,2◦

3.17. kulma B = 95◦

3.18. 6,1 cm

3.19. 91,5◦; 53, 1◦ ja 35,4◦

3.20. 5,6m

3.21. kaari 17 cm ja pinta-ala 170 cm2



3.22. 10 cm

3.23. 44 km

3.24. 115mm

3.25. α = 60◦ ja β = 30◦

3.26. 60◦

3.27. 5√

2

3.28. 910 cm2

3.29. 2,8 dm3

3.30. 4,3%

3.31. 440 cm3



Harjoitustehtävien 4 vastaukset4.1. a) x = 2, y = 5 b) ei ratkaisuja

c) Ratkaisuja ovat kaikki suoran 2x− 3y − 5 = 0 pisteet.

4.2. x = 2, y = 4 ja z = 3

4.3. k = 3

4.4. a) b)

c) d)

4.5. y = 5x+ 3

4.6. y = 3x− 5

4.7. k1k2 =2

3·(−3

2

)= −1

4.8. y = −1

3x+

5

3

4.9. Suoran L yhtälö on x = 3 ja normaalin y = 5.

4.10. y =2

5x+

8

5

4.11. a) k = 1 b) k = − 1√3≈ −0,5773



4.12. a) n. 63,4◦ b) n. −18,4◦

4.13. y =2

3x+

10

3

4.14. 5

4.15. keskipiste (3,−1) ja säde 5

4.16. (x− 1)2 + (y + 2)2 = 49

4.17. a) keskipiste (2,−1) ja säde 3 b) keskipiste(

3

2,−2

)ja säde

√7

4.18. −1−√

2 < a < −1 +√

2(Ympyrän yhtälö keskipistemuodossa: (x − 1)2 + (y − 2a)2 = −a2 − 2a + 1,josta vaaditaan r2 > 0, eli −a2 − 2a+ 1 > 0)

4.19.3√

10

5

4.20. Tangentteja on kaksi. y = −x+ 7 ja y =7

17x− 25

17.

4.21. y = −2x− 1 + 2√

5 tai y = −2x− 1− 2√

5

4.22. (x− 2)2 + (y − 1)2 =25

2

4.23. (x− 8)2 + (y − 4)2 = 16 tai (x− 3)2 +

(y − 3

2

)2

=9

4

4.24. paraabeli y =1

8x2 − 3

4x+

9

8

4.25. y = 2x2 + 3x− 2

4.26. a)(

10

3,−1

3

)b)(−10

3,−2

)c) (2,−5) d (−3, 7)

4.27. Leikkauspisteitä on kaksi: (0, 2) ja(

36

5,−2

5

)

4.28. (1, 1) ja(

13

5,9

5

)4.29. (2, 1) ja (−1,−2)



Harjoitustehtävien 5 vastaukset5.1. a) 80◦ b) 45◦ c) 125◦

5.2. a) a+ c b) b− c c) −a− b+ c

5.3. a) 5t b) 15a

5.4. 5a− 8b = −1 · (2a+ b) + 7 · (a− b)

5.5. Piste P jakaa kysytyn keskijanan kärjestä B lukien suhteessa 8 : 1.

5.6. a) eivät ole b) ovat

5.7. t = −6

5

5.8.√

29

5.9. OA = 2i− 3j + 7k OB = −7i− 2j + 5k

AB = −9i+ j − 2k∣∣AB∣∣ =

√86

5.10. a) D = (4,−11, 3)b) Suunnikkaan lävistäjät puolittavat aina toisensa, joten niillä on sama kes-kipiste. Se on

(−1

2,−1

2, 11

2

).

5.11. B on suoralla AC. (Osoitettava, että löytyy t, jolla AB = tAC.)

5.12. Parametriesitys: v = 2i− 10j − 9kx = 2 + 2t

y = 3− 10t

z = 6− 9t

xy-tason leikkauspiste on(103,−11

3, 0).

5.13. Suorat leikkaavat pisteessä (1,−1, 3). (Suorat leikkaavat toisensa, joson olemassa s ja t, joilla OA+ tu = OB + sv.)

5.14. P on ja Q ei ole pisteiden A, B ja C määräämässä tasossa. (Yleisestipiste R on ko. tasossa, jos on olemassa s ja t, joilla OR = OA+ sAB+ tAC.Voidaan myös johtaa tasolle normaalimuotoinen yhtälö ax+ by + cz + d = 0ja tutkia toteuttavatko annetut pisteet tason yhtälön.)

5.15.(−13

4, 54, 74

)TKK-pääsykoekurssit — yo-valmennuskurssit — arkkitehtuuri 39


5.16. a) n. 24,5◦ b) n. 125,1◦

5.17. t =15

2

5.18. Osoitettava, että suoran suuntavektori on kohtisuorassa molempia ta-son suuntavektoreita vastaan. Suuntavektorit voidaan valita monella eri ta-valla — ainoa ehto on, että tason suuntavektorit ovat keskenään erisuuntai-set.

5.19. Suuntavektorit ovat i+2j ja i+ 57j. Suorien välinen kulma on n. 27,90◦.

5.20. Lähin piste on (6, 4,−14). Pisteen E etäisyys suorasta L on 4√

6.




6.1. a)5

2b) 4 c) 0 d) −1

6.2. a) 5 b) 0 c)1

2d) 11

6.3. f(x) on jatkuva kaikilla x:n reaaliarvoilla

6.4. a) esim. f(x) =

{1 , kun x = 0

0 , kun x 6= 0b) a = 4

6.7. a = 2, b = 1

6.8. a) 6 b) f ′(x) = 2x+ 2

6.9. a) 10x+ 2 b) 100x3 + 60x2 + 8x c)−4x2 + 10x+ 2

4x4 + 4x2 + 1

d) − 6x2 + 5

(2x3 + 5x)2e) − 24

(6x+ 1)5f) − 4

3 3√

3− 2x

g)18x2

(3− 3x3)3h) − 10√

(4x− 2)7i)

4 · 3√x+ 2

3

j) − 3

2√

(x− 5)5k) − 1

x2l) − 2x+ 8

(x2 + 8x)2

6.10. a) 2e2x b) 8xe2x2 c)

2− 2x

3ex2−2x

d) 5x ln 5 e) 2x · 5x2+2 · ln 5 f) 7 · 27x · ln 2

6.11. a)1

xb)

1

x ln 10c)

5(lnx)4

xd)

1

2x

6.12. a) 2 cos 2x b) −6x sinx2

c)1

2 cos2 x2

=1

2+

1

2tan2 x

2d) −2x sinx2 sinx+ cosx2 cosx

e) cosx f) −2 cosx− cos3 x

sin2 x= − cosx− cosx

sin2 x



6.13. a) −4 cos 2x b) 8 sin 2x c) 16 cos 2x

6.14. tangentti y = 5x− 9, normaali y = −1

5x+

7

5

6.15. y = 6 ja y = −2x+ 9

6.16. maksimi f(0) = 0, minimit f(−2) = −51

3ja f(1) = −5

6

6.17. a) kasvaa, kun x ≤ 1

3tai x ≥ 1

vähenee, kun1

3≤ x ≤ 1

b) kasvaa, kun 0 ≤ x ≤ 1 ja x 6= 1

2vähenee, kun x ≤ 0 tai x ≥ 1

6.18. suurin arvo f(e) =1

e

6.19. epäyhtälö muotoon (x−2)6+6x−2 > 0 ja sen jälkeen etsitään funktionf(x) = (x− 2)6 + 6x− 2 pienin arvo.

6.20. 25 cm× 25 cm

6.21. 16,7 cm× 16,7 cm× 4,2 cm

6.22.√

2

3d×√

2

3d× 1

3d



Harjoitustehtävien 7 vastaukset7.1. Derivoi funktio f(x) = x lnx− x.

7.2. f(x) =1

3x3 − x2 + 2x+ 3

7.3. a)3

2x

23 + C =

3

23√x2 + C b) −1

x+ C c) ln |x|+ C

d) ex + C e) − cosx+ C f) sinx+ C g) x+1

x+ C

7.4. a) − 1

30(2− 5x)6 + C b)

5

2e2x + C

c)1

2(sin 2x+ cosx2) + C d) −1

4cos4 x+ C

e)2

9

√(3x− 2)3 + C f)

1

4ln |2x2 + 1|+ C

g) x+2

5ln |5x+ 3| − 1

25x+ 15+ C

7.5. a)26

3b) 5 c) 0

7.6. 150 m

7.7.79

6

7.8. a) 3 ln 3− 2b) Ensin ratkaistaan x yhtälöstä y = ex ⇐⇒ x = ln y. Integroimisrajat y:nsuhteen ovat [1, 3].

7.9. 2√

2− 2

7.10. 17 dm3

7.11. 333000 m3

7.12. a)1

2π(e4 − 1)

b)1

2πe4 − 4πe2 +

23

2π

7.13. 18π

7.14. π(e2 − 4e+ 5) ≈ 4,76



Harjoitustehtävien 8 vastaukset8.1. a) 3, 5, 9, 17, 33 b) 1, 1, 2, 3, 5 c) 5, 10, 20, 40, 80 d) 2, 5, 8, 11, 14

8.2. a) an = 3n, seuraavat 15, 18 b) an = 2n−1, seuraavat 16, 32

c) an =5

2n− 2, seuraavat

21

2, 13 d) an = (−1)n, seuraavat −1, 1

e) an =1 + (−1)n+1

2, seuraavat 1, 0 f) an =

1

3· (−3)n−1, seuraavat 27,−81

8.3. a) aidosti kasvava, alhaalta rajoitettu rajana 1, ylhäältä rajoitettu rajana2b) aidosti vähenevä, alhaalta rajoitettu rajana 1, ylhäältä rajoitettu rajana3

c) ei monotoninen, alhaalta rajoitettu rajana 0, ylhäältä rajoitettu rajana1

2

8.4. a) jono on aritmeettinen, d = 2b) jono on aritmeettinen, d = 0

8.5. 200 jäsentä

8.6. a) S26 =∑26

n=1(3n− 1), S26 = 1027b) S20 =

∑20n=1(27− 7n), S20 = −930

8.7. jäseniä on 28, erotus d = 9

8.8. a) 18 riviä b) 702 paikkaa

8.9. a) jono on geometrinen, q = −1

2b) jono ei ole geometrinen

8.10. q =2

3, a =

16

3

8.11. a) 9362 b) 25110589 c) −75331760

8.12. tilillä rahaa 267 428,84ekorkotuotto 42 428,84e




9.1. a)1

13b)

1

221c)

4

13

9.2. 0,063 %

9.3. 66,5 %

9.4.1

9

9.5.5

12

9.6. 151632

9.7. a) 40320 b) 576 c) 1152

9.8. 0,056 %

9.9. a) 0,024 % b) 0,0015 %

9.10. a) 5,6 % b) 41,0 % c) 22,4 %

9.11.1

7

9.12. P(X = 0) =1

10, P(X = 1) =

3

5, P(X = 3) =

3

10, E(X) =

6

5

9.13. 1) 45 % 2) 26 %

9.14. a) 11,8 %; 30,3 %; 32,4 %; 18,5 %; 6,0 % b) 74,4 %

9.15. a) 0,77 b) 4,3 % c) 1509.16. Halkaisija 212 cm, poikkeamahalkaisijat 211 cm ja 213 cmhyväksyttäviä säiliöitä 40 %


pitkän matematiikan kertaustehtävät · 2020. 9. 4. · 1.12 yleinen juuri, juuriyhtälöt ja...

Documents