plan wykładu - if.pwr.wroc.plgladys/wyklad2nw.pdf · materiały półprzewodnikowe dwuskładnikowe...
TRANSCRIPT
Plan wykładu
Azotki metali grupy III
Związki półprzewodnikowe mieszane:- przybliżenie kryształu wirtualnego, prawo Vegarda,
- nieciągłość pasm,
-rozwiązanie równania Poissona z równaniem Schrodingera
Tranzystory na bazie GaN
Materiały półprzewodnikowe
Dwuskładnikowe związki
półprzewodnikowe grupy III-V:
GaAs, InP, InAs,…
P.Y. Yu and M. Cardona, Fundamentals of Semiconductors, Springer Berlin 2005.
Związki mieszane z półprzewodników
grupy III-V
I. Vurgaftman, J.R. Meyer, and L.R. Ram-Mohan,
J. Appl. Phys. 89, 5815 (2001).
xxCExExE BC
g
AB
g
ABC
g 11
Związki półprzewodnikowe mieszane
• Przybliżenie kryształu mieszanego (Virtual
Crystal Approxtimation)
• Związki trójskładnikowe. (c bowing
odstępstwo od liniowości)
• Związki czteroskładnikowe
Azotki (III-N)
2.8 3.0 3.2 3.4 3.6 3.80
1
2
3
4
5
6
7
En
erg
y (
eV
)
Lattice Constant, a (A)
Si(111)Sapphire SiCInN
GaN
600
400
300
Wavele
ng
ht
(nm
)
200AlN
Studnia kwantowa InGaN/GaN jest naturalnym kandydatem na zielony laser
Cel: laser krawędziowy emitujący zielone światło
Struktura pasmowa w punkcie dla półprzewodników
ze strukturą blendy cynkowej oraz strukturą wurcytu
S. Adachi, Properties of Semiconductor Alloys: Group-IV, III–V and II–VI Semiconductors
Rozczepienia pasma welencyjnego
Rozczepienie to wyraża się poprzez parametr związany z oddziaływaniem
spin orbita oraz polem krystalicznym.
Uwzględnienie naprężeń dla układów
krystalizujących w strukturze wurtzytu
(heksagonalnej)
0
0
33
31
0
0 2a
aa
C
C
c
cc
0
0
c
ccz
,222
,222
,
,
2
3
2
21213
2
3
2
21212
211
v
v
v
c
EE
EE
EE
E
;,;,;, 4321 DDbDDaaaa vc
t
c
z
c
0
0
a
aayx
,222
'
,222
'
,'
,'
2
3
2
2121333
2
3
2
2121222
21111
31
33
v
v
v
z
c
t
c
zcyx
c
tz
c
zcccc
EEEE
EEEE
EEEE
C
CaaEaaEEEE
zyxz
zyxz
C
CDDDD
C
CDDDD
31
334343
31
332121
;3
1
;
32
1
so
cr
Polazyzacja w materiałach III-N
krystalizujących w strukturze wurcytu
zyxzPZC
CeeeeP
31
3333313133 2)(
PZSP PPP
0
0
c
ccz
0
0
a
aayx
0
0
33
31
0
0 2a
aa
C
C
c
cc
InNGaNAlNAlGaInN yyxx )1(
Polarizacja w stopach III-N: AlxGa1-xN, Ga1-yInyN, AlxIn1-xN, AlxGa1-x-yInyN
Polarizacja w AlN, GaN and InN:
Liniowa aproksymacja:
InN
PZ
GaN
PZ
AlN
PZ
AlGaInN
PZ
InN
SP
GaN
SP
AlN
SP
AlGaInN
SP
PyPyxPxP
PyPyxPxP
)1(
)1(
Pa
ram
ete
rs: F.
Be
rna
rdin
i e
t a
l.,
Ph
ys.
Rev.
B 6
3, 1
93
201 (
200
1).
Nieliniowa polaryzacja w stopach III-N
InN
PZ
GaN
PZ
AlN
PZ
AlGaInN
PZ PyPyxPxP )1(
Liniowa aproksymacja ze zmodyfikowanymi
wartościami polaryzacji piezoelektrycznej dla związków
dwuskładnikowych
Polaryzacja spontaniczna Polaryzacja piezoelektryczna
bxxPxPxP GaN
SP
AlN
SP
AlGaN
SP 1)1(V.
Fio
ren
tin
i a
nd
F.
Be
rna
rdin
i, P
hys.
Rev.
60
, 8
84
9 (
19
99
);
I. V
urg
aft
ma
n a
nd
J.R
. M
eye
r, J
. A
pp
l. P
hys.
94
, 3
67
5 (
20
03
);
Rozkład pól elektrycznych w heterostrukturach.
Periodyczne warunki brzegowe
• Periodyczne warunki brzegowe:
• Pole elektryczne w n-tej warstwie:
• Struktura (bwbw)
• Struktura (bwb)
)(
)(
wbbw
bwbw
wbbw
wbwb
LL
LPPF
LL
LPPF
q
qqn
q q
qqnqqq
nl
lppl
F
/
//
2
)(2
)(
wbbw
bwbw
wbbw
wbwb
LL
LPPF
LL
LPPF
q
qqFl 0li,i,pi
Hamiltonian w strukturze wurcytu.
Hamiltonian C6v4
Hamiltonian dla pasma walencyjnego
Funkcje bazowe
Oznaczenia
Transformacja Hamiltonianu
Poprzez odpowiednią transformację można zapisać Hamiltonian w postaci:
Zagadnienie własne można sprowadzić do postaci:
Położenia pasm:
Wpływ polaryzacji spontanicznej na
wbudowane pole elektryczne
Od pewnej grubości krytycznej d0 spadek
potencjału jest większy niż wartość przerwy
energetycznej.
Przy takich warunkach poziom Fermiego
leży w paśmie przewodnictwa
(walencyjnym) co oznacza, że samoistna
koncentracja nośników jest duża.
Nośniki te ekranują pole elektryczne
pochodzące od spontanicznej i
piezoelektrycznej polaryzacji. Pojawia się
‘wyidukowane’ pole elektryczne D
skierowane przeciwnie do wektora
polaryzacji elektrycznej.
E = P/ dla d < d0; E << P/ dla d > d0
/PDEF
Krytyczne grubości warstwach dla ekranowania pól
elektrycznych pochodzących od spontanicznej
polaryzacji
AlN:
FMax = 10600 kV/cm; d0 = 5.8 nm;
GaN:
FMax = 3780 kV/cm; d0 = 9.0 nm;
InN:
FMax = 2800 kV/cm; d0 = 2.3 nm;
Pole elektryczne w studniach kwantowych:
pojedyncza studnia kwantowa
AlN buffer (~500 nm)
(0001) Al face
AlN cap (50-100 nm)
Al2O3
GaN QW (1-3 nm)
FQW = P = PSP+PPZ ~ 0.9 MV/cm
FCap ~ 0
FBuffer ~ 0
Pola elektryczne w studni i barierach:
Dla barier można przyjąć że pole elektryczne jestbliskie zero ponieważ dBarrier > d0 (efekt ekranowania).
Dla pojedynczej studni kwantowej dQW << d0 i dlategoFQW = P = PSP+PPZ.
Dla studni kwantowych z dQW > 3 nm efekt ekranowaniawewnątrz studni zaczyna odgrywać istotną role. W tymwypadku konieczne są obliczenia samouzgodnione.
Pole elektryczne w studniach kwantowych:
wielokrotne studnie kwantowe
AlN buffer (~500 nm)
(0001) Al face
AlN cap (50-100 nm)
Al2O3
Pola elektryczne w studniach, barierach pomiędzy studniami oraz zewnętrznych barierach:
Dla zewnętrznych barier można przyjąć że pole elektrycznejest bliskie zero ponieważ dBarrier > d0 (efekt ekranowania).
Dla studni kwantowej oraz barier między studniamidB ~ dQW << d0 i dlatego pola elektryczne są bardzo duże.
Efektywny spadek potencjału na całkowitym obszarze studni kwantowych jest bliski zeru (sytuacja podobna do grubej warstwy, tj. warstwy grubszej niż d0).
GaN MQW (1-3 nm)
FQW
FB
dQW
dB
0dddk
QW
k
k
B
k
BBQWQW dFdF
dF
Warunki periodyczności:
Przejście podstawowe w studni GaInN/GaN
na kierunku polarnym i niepolarnym
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
25ML
20ML
15ML10ML5ML
2ML
Strained Eg
Unstrained EgGaN/Ga
1-xIn
xN
Tra
nsitio
n e
ne
rgy 1
h-1
e (
eV
)
Indium content in quantum well, x
with electric field
21.5
1
0.5
Wa
ve
len
gth
(m
)
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
Strained Eg
Strained Eg
15ML 10ML 5ML
Tra
nsitio
n e
ne
rgy 1
h-1
e (
eV
)Indium content in quantum well, x
2ML
Unstrained Eg
21.5
1
0.5
without electric field
GaN/Ga1-x
InxN
Wa
ve
len
gth
(m
)
Całki przekrycia obliczone dla
przejścia podstawowego
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
20ML
15ML10ML
5ML
2ML
GaN/Ga1-x
InxN
Indium content in quantum well, x
1
h-1
e o
we
rla
p in
teg
ral
Rozkład pól w strukturach
tranzystorowych
C. Wood and D. Jena, Polarization Effects in Semiconductors, Springer (2008).
Rozwiązanie równania Shrodingera z
równaniem Poissona dla heterostruktur
tranzystorowych
0 10 20 30 40 50 60 70
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
AlGaN
AlInN
Ene
rgy (
eV
)
Distance (nm)
EF
0 10 20 30 40 50 60 70
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
Ene
rgy (
eV
)
Distance (nm)
AlGaN
AlInNPo obliczeniach
samouzgodnionych
Warunki
początkowe:
Rozkład pól
elektrycznych
obliczony z
warunków
brzegowych.
Oszacowanie liczby
stanów związanych
Rozkład pól
elektrycznych w
rzeczywistych
heterostrukturach
AlGaN/GaN
Równanie Poissona
• Jednowymiarowe równanie Poissona:
• (x)- gęstość źródeł np. Masy ładunku; - szukana postać potencjału
• Różnicowa postać równania Poissona:
• Numeryczne rozwiązanie równania Poissona??
2
2
dx
d
jjjj 2
11 2
Numeryczne rozwiązanie równania
Poissona
jjjj 2
11 2
1
2
1 2 iiii Iteracja w przód:
1
2
1 2 iiii
Schemat
Numerowa
Iteracja w tył:
x
(x)
Numeryczne rozwiązanie równania
Poissona
• Zakładamy, że znamy warunki brzegowe: 1=0, n=0.
• Szukamy rozwiązań postaci: j+1=xjj+yj
• Możemy znaleźć związki rekurencyjne dla zmiennych x,y rekurencja w tył. (xn=0, yn=0)
• Mając obliczone wartości x,y możemy zastosować prostą rekurencję w przód. 1=0
2
2
12
11
j
jj
j-
j
jx
y y
xx
Problem obliczeniowy
Architektura struktury półprzewodnikowej:
składy studni i barier; szerokości studni i barier; poziom domieszkowania;
Obliczenie stanów własnych:
(energie i funkcje falowe)
Parametry materiałowe:
masy efektywne, potencjały hydrostatyczne, itd.
Naprężenia
Podejście teoretyczne:
model jednopasmowy,
przybliżenie masy efektywnej,
V(z)
Efekty polaryzacyjne
Struktura energetyczna dla wejściowej struktury
W celu korekcji potencjału V(z):
rozwiązanie równania Poisona
tj. obliczenia samouzgodnione
Równanie Schrödingera oraz Poissona
)()()()(
2 2
22
zEzzVz
z
m
l
D
b
Fb
b
DF
DD
D
dzznzN
Tk
EETkmn
znzn
Tk
zEE
NzN
znzNz
0
2
2
0)()(
exp1ln*
)()(
)(exp21
)(
)()()(
•Równanie Schrödingera oraz równanie Poissona ze zmienną stałą dielektryczną
•Obliczenie gęstości ładunku
•Potencjał próbny
•Rozwiązywanie równania w sposób samouzgodniony
•Wyznaczanie poziomu Fermiego
)()()(
2
2
2
zez
zV
z
zV
z
pp
Równanie Schrödingera:
Równanie Poissona:
Koncentracja nośników w półprzewodniku
samistnym i domieszkowym
• Równanie neutralności elektrycznej. Suma
ładunków dodatnich i ujemnych musi być
równa zero.
AD NnNp
p: koncentracja elektronów
n:koncentracja dziur
ND+ :koncentracja zjonizowanych donorów
NA- :kDoncentracja zjonizowanych akceptorów
Poziomy energetyczne donorów i
kompensujących donory akceptorów na poziomie
donorowym i akceptorowym
Ec
Ev
Ed
Ea
1
exp*1
Tk
EEgNNnN
B
DFDAD
Numeryczna postać równanie Schrödingera
iiiii EzV
z
)(2
2m 2
11
2
Podejście numeryczne:
• Równanie Schrödingera: Metoda Martina-Deana (W. Salejda, M.H. Tyc. M. Just, Algebraiczne metody rozwiązywania równania Schrödingera, PWN Warszawa 2002 )
Numeryczna postać równanie Poissona
22
1
11
1
11
42
4zeVVV iiHi
ii
iHiiHiii
Podejście numeryczne:
• Równanie Poissona schemat rozwiązania.
Prosta iteracja wprzód i tył
• Warunki brzegowe V1=0, Vn=0
• Szukamy rozwiązań postaci: Vj+1=xjVj+yj
• Warunki V1=0, xn=0, yn=0
iii
iiii
iii
ii
iiiiiii
x
ywy
xx
wVVV
1
1
11
Oblicznie poziomu Fermiego przy powierzchni poprzez
porównanie z eksperymentem
R. K
ud
raw
iec e
t a
l.,A
pp
l. P
hys. L
ett
. 100
, 1
81
60
3 (
20
12
).
samples CER measurements analysisFermi level position on
GaN surface
VB
GaN Van Hoof structures
undoped GaN
(d=30-70nm)GaN:Si
d
F=/d
CB
EF
0 20 40 60 80 100 1200
100
200
300
Ele
ctr
ic fie
ld F
(kV
/cm
)Thickness d (nm)
F=/d
=0.2eV
=0.3eV
=0.4eV
=0.5eV
MBE
MOVPE
0 1 2 3 4 5 60.00
0.01
0.02
0.03MBE samples
d=30nm (F=112kV/cm)
d=50nm (F=83kV/cm)
d=70nm (F=63kV/cm)
Linear fit
(4/3)
(En-E
g)3
/2
Index, n0 1 2 3 4 5 6
0.00
0.01
0.02
0.03
d=30nm (F=106kV/cm)
d=50nm (F=53kV/cm)
d=70nm (F=42kV/cm)
Linear fit
(4/3)
(En-E
g)3
/2
Index, n
MOVPE samples
-2
-1
0
1
2
-2
-1
0
1
2
3.35 3.40 3.45 3.50 3.55 3.60 3.65
-2
-1
0
1
2
4
3
2
1
(e) d=50nm
5
4
3
2
1
(d) d=30nm
5
4
3
2
1
(f) d=70nm
CE
R (
10
3
R/R
Energy (eV)
MOVPE samples
Rozkład pól elektrycznych w strukturach typu:
GaN(cap)/AlGaN(d)/GaN(buffer)
3.4 3.6 3.8 4.0 4.2
-4
-2
0
2
4
-4
-2
0
2
4
-4
-2
0
2
4
GaN(3nm)/AlGaN(d)/GaN(buffer)
(c) d = 10nm
3
2
1
CE
R (
10
5
R/R
)
Energy (eV)
5
(b) d = 20nm
GaN cap5
4
3
2
1
4
3
2
1AlGaN(a) d = 30nm
0 1 2 3 4 5 60.00
0.05
0.10
0.15
0.20
4/3 (E
n-E
g)3
/2
Index, n
d=30nm (F=0.30 MV/cm)
d=20nm (F=0.46 MV/cm)
d=10nm (F=0.78 MV/cm)
Linear fit
samples CER measurements analysisThe built-in electric field in
GaN/AlGaN/GaN heterostructureM. G
lad
ysie
wic
z e
t a
l., A
pp
l. P
hys. L
ett
. 9
8, 2
31
90
2 (
20
11
).
Wpływ warunków brzegowych w srukrurach
GaN(cap)/AlGaN/GaN na rozkład pól elektrycznych
0 10 20 30 40 50 60 70
-4
-3
-2
-1
0
1
2
-4
-3
-2
-1
0
1
2
VB
CB
EF
1.2eV
1.6eV
2.0eV
(b) Varying Fermi level in GaN buffer
En
erg
y (
eV
)
Distance (nm)
VB
0.15eV
0.55eV
0.95eV
(a) Varying Fermi level on GaN surface
EF
CBPołożenie poziomu Fermiego przy
powierzchni nie zmienia wartości pól
elektrycznych wewnątrz próbki.
Zmienia wartość pól w warstwach
przy powierzchni.
Zmiana położenia poziomu Fermiego
wewnątrz próbki GaN(buffer) wpływa
na rozkład pól w jej wnętrzu. Nie
wpływa natomiast na rozkład pól w
zewnętrznych warstwach.
Koncentracja dwuwymiarowego gazu jest
parametrem, na który wpływ mają oba warunki
brzegowe.M. G
lad
ysie
wic
z e
t a
l., A
pp
l. P
hys. L
ett
. 9
8, 231902 (
20
11
).
Porównanie wyników eksperymentalnych z
obliczeniami teoretycznymi
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6
0.0
0.4
0.8
1.2
1.6
0.0
0.4
0.8
1.2
0.0
0.4
0.8
1.2
(b) d = 20nm
(c) d = 10nm
ECB - EF (eV)
Ele
ctr
ic fie
ld (
MV
/cm
)
Calc.
(a) d = 30nm
Exp.
Dla stuktury: GaN/AlGaN/GaN dla różnych
szerokości warstwy AlGaN (10, 20, and 30nm)
wartość wbudowanego pola elektrycznego
przybiera wartości significantly (0.78, 0.46, i
0.30MV/cmale wartość przypięcia poziomu
Fermiego przy powierzchni przybiera te same
wartości 0.55eV poniżej wierzchołka pasma
przewodnictwa.
Wniosek:
Przypięcie poziomu Fermiego w warstwie GaN
przy powierzchni 0.55 eV może zostać
potraktowane jako warunek brzegowy kiedy
obliczamy rozkład pól w heterostrukturach
GaN(cap)/AlGaN(d)/GaN(buffer)
Przy powierzchni GaN: EF = 0.55eV
M. Gladysiewicz, et al., Appl. Phys. Lett. 98, 231902 (2011).
M. G
lad
ysie
wic
z e
t a
l., A
pp
l. P
hys. L
ett
. 9
8, 2
31
90
2 (
20
11
).
Porównanie wyników obliczeń z danymi
eksperymentalnymi. Koncentracja gazu
dwuwymiarowego
Koncentracja:2DEG w hetereostrukurze:
AlGaN/GaN zależy od czterookości warstwy
AlGaN dane eksperymentalne:
8.0 1012 cm-2 dla d=30nm,
5.2 1012 dla d=20nm,
2.5 1012 cm-2 dla d=10nm.
Na podstawie porównania danych
eksperymentalnych z obliczeniami
teoretycznymi wykonanymi dla
heterostruktury: AlGaN/GaN poziom
Fermiego jest przypięty przy podobnej
wartości wewnątrz struktury: 1.4eV poniżej
dna pasma przewodnictwa.
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.60.0
5.0x1012
1.0x1013
1.5x1013
2.0x1013
0.0
5.0x1012
1.0x1013
1.5x1013
2.0x1013
0.0
5.0x1012
1.0x1013
1.5x1013
2.0x1013
(b) d = 20nm
(c) d = 10nm
ECB - EF in GaN buffor (eV)
2D
EG
concentr
ation (
cm
-2)
Calculations
Experiment
(a) d = 30nm
Rozkład pól elektrycznych w strukturach
GaN(cap)/AlGaN(d)/GaN(buffer)
-4
-3
-2
-1
0
1
2
-4
-3
-2
-1
0
1
2
0 10 20 30 40 50 60
-4
-3
-2
-1
0
1
2
VB
CB
(a) d=30nm
EF
F=0.30MV/cm
F=0.46MV/cm
(b) d=20nm
F=0.78MV/cm
(c) d=10nm
Energ
y (
eV
)
Distance (nm)
Rozkład pól w heterostrukturach:
GaN(cap)/AlGaN/GaN(buffer) obliczony z
periodycznych warunków brzegowych
(efekty polaryzacyjne) oraz przyczepienie
poziomu Fermiego przy powierzchni i
wewnątrz próbki
W tego typu heterostrukturach
przypięcie poziomu Fermiego przy
powierzchni uzyskano dla wartości ok.
0.55 eV poniżej dna pasma przewodnictwa
dla warsty przy powierzchni.