podstawy matematyki finansowej -...

�� Podstawy matematyki finansowej� � � ��

PODSTAWY MATEMATYKI FINANSOWEJ

WZORY I POJĘCIA PODSTAWOWE

ODSETKI, A STOPA PROCENTOWA KREDYTU

(1) KWOTA ZWROTU =

(2) OPROCENTOWANIE KREDYTU

(3) ODSETKI OD KREDYTU = = ×

(4) KWOTA ZWROTU×


(5) ODSETKI OD KREDYTU =

KWOTA KREDYTU × R ×

R- roczna stopa oprocentowania kredytu t - okres trwania kredytu w dniach 365 - długość roku bankowego w dniach

(6) ××××

ODSETKI PROSTE i ODSETKI SKŁADANE

odsetki za kolejne okresy trwania lokaty naliczane są od tej samej podstawy

(7) ×××× ×××× (8) O ×××× ××××

Oznaczenia: P- początkowa kwota lokaty (początkowa kwota kapitału) F - końcowa wartość lokaty (kwota zwracana po upływie n okresów bazowych) i - oprocentowanie lokaty za jeden okres bazowy n - liczba okresów bazowych trwania lokaty Ods - odsetki za cały okres trwania lokaty

Odsetki za kolejne okresy trwania lokaty naliczamy od kwoty powiększonej o odsetki.


(9) F = P ×××× (1 + i)

10) Ods = P ×××× [ ( 1 + i ) −−−− 1]

PRZYKŁAD Załóżmy, że chcemy ulokować w banku kwotę 10 000 zł na okres pół roku i mamy do wyboru dwa banki (A i B). W obu bankach oferowana jest roczna stopa oprocentowania 4,4%. Jednak w banku (A) odsetki naliczane są tylko na koniec okresu trwania lokaty, natomiast w banku (B) odsetki naliczane są i kapitalizowane co kwartał. BANK (A) Zgodnie ze wzorem (7)

F = P ××××(1 + i ×××× n) = 10 000 ××××(1 + 0.022 ×××× 1) = = 10 220 zł

zgodnie ze wzorem (6)

i = 1,085% 4,4% ×××× 36590

BANK (B) Zgodnie ze wzorem (9)

F = P (1 + i ) = 10 000 (1 + 0.011)

=10 221,21

�� Podstawy matematyki finansowej� � � �� ( ) itPetF =

Efektywna stopa procentowa dla kapitalizacji ciągłej:

−= i

t eE


STOPA PROCENTOWA NOMINALNA I EFEKTYWNA

ERSP - efektywna roczna stopa procentowa

Jeżeli zainwestowany kapitał przyrasta o stały procent częściej niż raz na rok.

11) ERSP 1 + i −−−− 1 i - oprocentowanie za jeden bazowy okres czasu (miesiąc, kwartał, ...) n - liczba okresów bazowych w roku (liczba kapitalizacji w okresie jednego roku)

Jeżeli zainwestowany kapitał przyrasta o stały procent nie częściej niż raz na rok.

ERSP = (1 + i) −−−− 1i - oprocentowanie za cały okres trwania inwestycji (rok, 2 lata, ...) n - liczba lat trwania inwestycji

�� Podstawy matematyki finansowej� � � �� PRZYKŁAD Chcemy wziąć kredyt w banku P gdzie R=19%, a odsetki należy płacić co miesiąc. W banku S : R=19,2%, a odsetki należy płacić co kwartał. Który bank wybrać? ERSP(P) = (1+ 0,19/12)12 – 1=

= 1,20745 – 1 = = 0,20745 ⇒⇒⇒⇒ 20,745%

ERSP(S) = (1+0,192/4)4 – 1 =

= 1,20627 – 1 = = 0,20627 ⇒⇒⇒⇒ 20,627%


Przykład Ulokowaliśmy w banku 1000 zł i po 2 latach oszczędzania otrzymaliśmy 1250 zł. Ile wyniosła efektywna roczna stopa oprocentowania naszego rachunku w tym okresie jeżeli bank kapitalizował odsetki co kwartał.

ERSP = (1 + i) −−−− 1

Efektywna stopa kwartalna

�

-ERSP=(1+0,0283)4-1=0,0574

�� Podstawy matematyki finansowej� � � �� AMORTYZACJA KREDYTU

WARUNKI UDZIELANIA KREDYTU . OPRÓCZ KWOTY I ROCZNEJ STOPY OPROCENTOWANIA OKREŚLA SIĘ SPOSÓB SPŁATY (AMORTYZACJI) KREDYTU USTALAJĄC PLAN SPŁATY KREDYTU. NA PODSTAWIE PLANU SPORZĄDZA SIĘ TABELĘ SPŁATY KREDYTU ZWANĄ TEŻ TABELĄ AMORTYZACJI KREDYTU

Przykład

��


��


Wartość pieniądza w czasie

Wartość przyszła pieniądza (future value of money- FVM)

(13) F = P ×××× (1 + i)

Wartość obecna pieniądza (present value of money – PVM)

(14) ( )niF

P+

=


Przykłady 1. � �

2.

( )

� ≈=P

( )

� � ≈=P

�� Podstawy matematyki finansowej� � � �� 15 000

10 000 � �

Strumienie pieniędzy (Cash Flows-CF)

15 000

10 000

� �


Wartość obecna i przyszła strumienia pieniędzy

i Wartość obecna CF0 jest równa CF0

Wartość obecna CF1 jest równa ( )

��

i

CF

+

Wartość obecna CF2 jest równa ( )

��

i

CF

+

M

Wartość obecna CFn jest równa ( )nn

i

CF

+ � � �( ) ( ) ( ) ( )n

n

i

CF

i

CF

i

CF

i

CFP

++

++

++

+= ��

L

( )∑= +

=n

jj

j

i

CFP

�� Podstawy matematyki finansowej� � � �� Wartość przyszła CF0 jest równa CF0·(1+i)

n Wartość przyszła CF1 jest równa CF1·(1+i)

n-1 Wartość przyszła CF2 jest równa CF2·(1+i)

n-2

M Wartość przyszła CFn jest równa CFn·(1+i)

n-n=CFn

( ) ( ) n

nnCFiCFiCFF +++++=

−L

��( )∑

=

−+⋅=

n

j

jn

j iCFF


Przykład Załóżmy, że w wyniku pewnej inwestycji spodziewamy się uzyskać w okresie kolejnych miesięcy dochody w kwotach 10, 15, 20, 20 tys zł odpowiednio na koniec każdego miesiąca. Mamy obliczyć wartość przyszłą tego strumienia przychodów na koniec 4 miesiąca przy założeniu, że miesięczna stopa procentowa wynosi 3%. n=4, i=0,03

� ��

�� Podstawy matematyki finansowej� � � �� Przykład

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

�� ztysPA =+++++=

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

�� ztysPB =+++++=

� � � � �

� � � � ��


Strumienie równych płatności

A A A A A A ... A

0 1 2 3 4 5 6 ... n

Strumień n równych płatności dokonywanych na koniec n kolejnych, równych okresów czasu. F – wartość przyszła strumienia na koniec n-tego okresu.

A – wysokość pojedynczej płatności n – liczba okresów bazowych i – oprocentowanie za jeden okres bazowy

∑=

−+⋅=n

j

jn

j iCFF

�� Podstawy matematyki finansowej� � � �� ponieważ CF0=0, CF1=CF2=...=CFn=A F=A⋅⋅⋅⋅(1+i)n-1+A⋅⋅⋅⋅(1+i)n-2+...+A(1+i)+A

(1+i )

( )[ ]( )

i

iAF

iAiF

AiAFiF

n

n

n

−+⋅=

−+=⋅

−+=−+⋅

Przykład: Załóżmy, że przez okres 10 lat będziemy oszczędzać na mieszkanie i wpłacać na rachunek oszczędnościowy kwotę 50 zł na koniec każdego okresu(miesiąca). Rachunek jest oprocentowany w wysokości 2,5 % miesięcznie. Ile uzbieramy po 10 latach? A=50 zł, i=0,025, n=10⋅⋅⋅⋅12=120

( )=

−+⋅=F


Wartość obecna rozpatrywanego strumienia

niPF +⋅=

( )( )n

n

ii

iAP

+

−+⋅=

Przykład: Znajomy proponuje nam odkupienie od niego samochodu. Proponuje sprzedaż na raty. Chce byśmy dziś zapłacili 5000, a przez kolejne 6 miesięcy płacili jeszcze po 1000 zł. Jeżeli oprocentowanie kredytów bankowych wynosi 5% miesięcznie to za ile znajomy chce nam sprzedać samochód?

( )( )

≅−

⋅=P

czyli znajomy wycenił samochód na ≅≅≅≅10 075,7.

�� Podstawy matematyki finansowej� � � �� Czy koszt kredytu zależy od częstości płacenia odsetek ? Przykład: Wzięto kredyt w wysokości 10 000 zł. Roczna stopa procentowa wynosi 60 %. Kredyt ma być zwrócony po upływie dwóch miesięcy. W ujęciu nominalnym suma odsetek od kredytu

płaconych co miesiąc jest równa kwocie odsetek

płaconych jednorazowo. Dla porównania należy policzyć wartość przyszłą na koniec drugiego miesiąca Przypadek 1 Odsetki płacone jednorazowo po upływie dwóch miesięcy=2⋅⋅⋅⋅Ods 2⋅⋅⋅⋅Ods=2(10000⋅⋅⋅⋅0,05)=1000 0 1 2 t


Przypadek 2 Odsetki płacone na koniec pierwszego i drugiego miesiąca. 0 1 2 t Ods(1+i)+Ods=(2+i)Ods= (2+0,05)⋅⋅⋅⋅(10000⋅⋅⋅⋅0,05)=1025 Wniosek Efektywny koszt kredytu jest w przypadku 2 większy. Efektywny koszt kredytu zależy nie tylko od

wysokości stopy % ale również od częstości

płacenia odsetek.

Jest tym większy im częściej należy płacić odsetki

od kredytu (przy niezmiennej nominalnej stopie

procentowej).

�� Podstawy matematyki finansowej� � � �� Czy efektywny koszt kredytu zależy od tego czy i jak często należy płacić raty kapitałowe ? Przykład Rozpatrujemy dwa przypadki kredytów udzielonych na okres dwóch miesięcy. W obu przypadkach kwota kredytu i stopa procentowa są takie same, a odsetki należy płacić po upływie każdego miesiąca. Przypadek 1 Całą kwotę kredytu (kapitał) spłacamy jednorazowo na koniec drugiego miesiąca. F1=Ods(1+i)+Ods+K=K+Ods(2+i)= K+K⋅⋅⋅⋅i (2+i)=K⋅⋅⋅⋅(1+2 i+i2)=K⋅⋅⋅⋅(1+i)2 0 kredyt 1 2 t odsetki Odsetki+kredyt

Przypadek 2 kredyt

odsetki+rata odsetki+rata


F2=(Ods+0,5K)⋅⋅⋅⋅(1+i)+0,5 Ods+ 0,5K= (K i+0,5K) (1+i)+0,5K i+0,5K= K i+K i2+0,5K+0,5K i+0,5K i+0,5 K= 2 K i+K i2+K=K (i2+2 i+1)= K(1+i)2 W obu przypadkach łączna wartość wszystkich płatności związanych ze spłatą każdego kredytu sprowadzona do wartości przyszłej na koniec 2 miesiąca wynosi K(1+i)2 Efektywny koszt kredytu nie zależy od częstości i

wysokości płaconych rat kapitałowych.

Przykład Wzieliśmy kredyt. Mamy go spłacić jednorazowo (kapitał+odsetki) po upływie 12 miesięcy. W połowie roku osiągnęliśmy nieprzewidywalny dochód w wysokości ½ kwoty kredytu i chcemy za jego pomocą spłacić częściowo kredyt (czego nie zabrania umowa kredytowa). Jak bank powinien zaksięgować wpłacaną przez nas kwotę pieniędzy? Jako ratę kapitałową czy odsetki?


a) cała wpłata (5 000) na konto spłaty kredytu Tabela amortyzacji kredytu

Saldo kredytu na

początku kolejnego półrocza

Odsetki za ostatni okres

Rata kapitałowa

Saldo kredytu na koniec półrocza

1 10 000 0 5 000 5 000 2 5 000 4500 5 000 0 4500 10 000

b) bank pobrał najpierw odsetki za pierwsze 6

miesięcy trwania kredytu

Tabela amortyzacji kredytu

Saldo kredytu na początku kolejnego półrocza

Odsetki za ostatni okres

Rata kapitałowa

Saldo kredytu na koniec półrocza

1 10 000 3000 2 000 8 000 2 8 000 2400 8 000 0


W przypadku kredytów ceną jednostkową będzie cena (czyli należne odsetki) za 1 złotówkę kredytu za ustalony okres czasu (np. rok). Nie zależy ona od kwoty kredytu i okresu jego trwania. Miarą kredytu, jego kosztu, która uwzględnia dwa istotne parametry wpływające na efektywny koszt kredytu stopę procentową oraz częstość płacenia odsetek jest efektywna roczna stopa oprocentowania kredytu

Przykład Nominalna roczna stopa kredytu=60%, odsetki należy płacić co miesiąc. Ile wynosi efektywna roczna stopa % tego kredytu.

i=0,6 (30/365)

ERSP=(1+i)n-1=(1+0,049)12-1= 1,78-1=0,78

podstawy matematyki finansowej -...

Documents