poglavje 1 mno zice in stevila - university of ljubljana...poglavje 1 mno zice in stevila 1.1...

Poglavje 1

Mnozice in stevila

1.1 Osnovni pojmi o mnozicah

1.1.1 Mnozice

Mnozica je zbirka objektov, ki jih imenujemo elementi mnozice. Ce x pripadamnozici A pravimo, da je x element mnozice A, kar napisemo x ∈ A. Zaobjekt y, ki ne pripada mnozici A pravimo, da ni element mnozice A, karnapisemo y ∈ A.

Mnozico lahko opredelimo tako, da nastejemo vse njene elemente, naprimer:

A = {1, 2,√2, 5, π},

ali pa s pomocjo pravila, ki natanko doloca elemente, ki ji pripadajo, naprimer:

B = {x; x je realno stevilo, x > 0}.

Med mnozicami ima posebno mesto tista mnozica, ki nima nobenega ele-menta. Pravimo ji prazna mnozica in jo zapisemo s simbolom ∅. Tako je

{x; 0 · x = 1} = ∅.

Mnozici A in B sta enaki natanko takrat, kadar imata iste elemente, karzapisemo A = B. Na primer, mnozica vseh realnih stevil je enaka mnozici

A = {x; x je realno stevilo, 0 · x = 0}.

1

2 POGLAVJE 1. MNOZICE IN STEVILA

Kadar za dve mnozici A in B velja, da je vsak element mnozice A tudielement mnozice B pravimo, da je A podmnozica mnozice B, kar zapisemoA ⊆ B. Za vsako mnozico A veljata relaciji A ⊆ A in ∅ ⊆ A.

Kadar je A = B, veljata relaciji A ⊆ B in B ⊆ A. Ce je A ⊆ Bin A = B pravimo, da je mnozica A prava podmnozica mnozice B in tozapisemo A ⊂ B.

Z mnozicami lahko tudi racunamo. Nastejmo osnovne operacije nadmnozicami, ki jih bomo uporabljali v nadaljevanju:

Unija A∪B je mnozica, ki vsebuje vse elemente, ki so v mnozici A aliv mnozici B

A ∪B = {x; x ∈ A ali x ∈ B}.

Presek A ∩B je mnozica, ki vsebuje vse elemente, ki so v obeh mnozi-cah, v A in v B.

A ∩B = {x; x ∈ A in x ∈ B}.

Ce je A ∩B = ∅, pravimo, da sta mnozici A in B disjunktni.

Razlika A\B dveh mnozic je mnozica, ki vsebuje vse elemente mnoziceA, ki niso elementi mnozice B.

A \B = {x; x ∈ A in x /∈ B}.

Razliki A \ B pravimo tudi komplement mnozice B glede na mnozicoA.

O komplementu A govorimo takrat, kadar so vse mnozice, ki nas zani-majo, podmnozice neke vnaprej dolocene univerzalne mnozice U . Kom-plement A je v tem primeru razlika U \ A.

Premi (kartezicni) produkt A×B je mnozica, katere elementi so urejenipari (x, y), kjer je prvi element v paru iz mnozice A, drugi pa iz mnoziceB

A×B = {(x, y) : x ∈ A in y ∈ B}.

Primer 1.1.1. Dokazimo de Morganova zakona1 :

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C)

1Augustus de Morgan (1806–1871), angleski matematik. Ukvarjal se je predvsem zmatematicno logiko.

1.1. OSNOVNI POJMI O MNOZICAH 3

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C).

Za poljuben objekt a velja

a ∈ A ∩ (B ∪ C) ⇐⇒ a ∈ A in a ∈ B ∪ C

⇐⇒ a ∈ A in (a ∈ B ali a ∈ C)

⇐⇒ (a ∈ A in a ∈ B) ali (a ∈ A in a ∈ C)

⇐⇒ a ∈ A ∩B ali a ∈ A ∩ C

⇐⇒ a ∈ (A ∩B) ∪ (A ∩ C).

Dokaz druge enakosti je podoben in ga prepuscamo bralcu.

Pri matematiki pogosto srecujemo mnozice, katerih elementi so stevila.V glavnem bomo srecevali naslednje stevilske mnozice in njihove oznake:

Naravna stevila NCela stevila ZRacionalna stevila QRealna stevila RKompleksna stevila C.

1.1.2 Preslikave

Dani naj bosta mnozici A in B.

Definicija 1.1.1. Preslikava mnozice A v mnozico B ali upodobitev mnoziceA v mnozici B je pravilo, ki vsakemu elementu a ∈ A priredi tocno dolocenelement v mnozici B. Preslikave obicajno oznacujemo z malimi latinskimi aligrskimi crkami, npr.:

f : A → B.

Element mnozice B, ki ga preslikava f priredi elementu a ∈ A, je slika ele-menta a in ga zapisemo kot f(a). Mnozico A imenujemo definicijsko obmocjepreslikave f , mnozico

f(A) = {f(a), a ∈ A} ⊆ B

pa njeno zaloga vrednosti.

Primer 1.1.2. Navedimo nekaj preslikav:


1. Preslikavi f : A → B, ki vsem elementom a ∈ A priredi isti elementb ∈ B pravimo konstantna preslikava. Zaloga vrednosti konstantnepreslikave je tocka {b} ⊂ B.

2. Preslikava f : N → N, ki vsakemu naravnemu stevilu n priredi stevilof(n) = 2n, ima za zalogo vrednosti vsa soda naravna stevila.

3. Pogosto bomo imeli opravka s preslikavo f : R → Z, ki stevilu a priredinajvecje celo stevilo, ki ni vecje od a. Sliki f(a) pravimo celi del stevilaa in jo obicajno oznacujemo z f(a) = ⌊a⌋.

Slika 1.1: Preslikava mnozice A v mnozico B

Ce se zgodi, da je A = B, je f(a) ∈ A. Mnozico A smo tako upodobilivase. Med upodobitvami mnozice A vase zasluzi posebno mesto identicnaupodobitev id : A → A, ki vsak element mnozice A preslika nase: id(a) = a.

Preslikava f : A → B je injektivna, ce sta sliki razlicnih elementov vednorazlicna elementa

a = b =⇒ f(a) = f(b).

Za injektivne preslikave velja, da je vsak b ∈ B slika najvec enega elementaa ∈ A. Preslikava f : A → B je surjektivna, kadar je njena zaloga vrednostienaka celi mnozici B, torej f(A) = B. Za surjektivne preslikave velja, da jevsak element mnozice B slika vsaj enega elementa iz mnozice A.

Naj bo upodobitev f : A → B surjektivna in injektivna. V tem primeruje vsak element iz mnozice B slika natancno enega elementa iz mnozice A.Tako upodobitev imenujemo bijektivna ali povratno-enolicna preslikava.

Primer 1.1.3. Navedimo nekaj zgledov:

1. Druga preslikava iz primera 1.1.2, f : N → N, f(n) = 2n, je ocitnoinjektivna, saj je za n1 = n2 tudi 2n1 = 2n2. Vendar pa ni surjektivna,ker liha stevila niso v zalogi vrednosti.

1.1. OSNOVNI POJMI O MNOZICAH 5

Preslikava f : R → R, ki je dana z istim predpisom, in ima za definicij-sko obmocje vsa realna stevila, je tako injektivna kot surjektivna, torejbijektivna.

2. Tretja preslikava iz primera 1.1.2, f : R → Z, f(a) = ⌊a⌋ je surjek-tivna, injektivna pa ne, saj je na primer

⌊1⌋ =⌊4

3

⌋.

3. Preslikava f : Z → Z, dana s predpisom f(z) = −z je injektivna insurjektivna, torej bijektivna.

Ce sta A in B mnozici s koncno mnogo elementi in f : A → B bijektivnapreslikava med njima, pripada vsakemu elementu iz A natanko en element izB in vsak element iz B je slika natanko enega elementa iz A, torej imeta obemnozici isto stevilo elementov. Stevilu elementov koncne mnozice pravimomoc mnozice. Mnozici A in B imata torej v tem primeru isto moc. Mocneskoncnih mnozic je teze definirati, vendar tudi v tem primeru velja, daimata dve mnozici isto moc (torej, ohlapno receno, isto stevilo elementov),ce obstaja bijektivna preslikava med njima.

Primer 1.1.4. Moc neskoncne mnozice je vcasih v nasprotju z intuitivnopredstavo o stevilu elementov, ki smo se je navadili pri koncnih mnozicah:

1. Preslikava f : N → {2n, n ∈ N} je bijektivna preslikava. Mnozicanaravnih stevil ima torej isto moc kot mnozica sodih naravnih stevil.

2. Mnozici

A = {x ∈ R; 0 ≤ x ≤ 1} in B = {x ∈ R; 0 ≤ x ≤ 10}.

predstavljata daljici na stevilski premici — prva ima dolzino 1, drugapa dolzino 10. Preslikava f : A → B, dana s predpisom f(x) = 10x,je ocitno bijektivna preslikava, torej sta obe daljici (razlicnih dolzin)mnozici z isto mocjo. Nasploh lahko poiscmo bijektivno preslikavo medpoljubnima daljicama, torej so vse daljice mnozice z isto mocjo.

3. Preslikava f : (−π/2, π/2) → R, dana s predpisom f(x) = tg x, jebijektivna preslikava. Cela mnozica R ima torej isto moc kot jo imajointervali.


Slika 1.2: Sestavljena upodobitev

Naj bo f upodobitev mnozice A v mnozico B in g upodobitev mnoziceB v mnozico C. Tako lahko vsak a ∈ A preslikamo najprej v f(a) ∈ B, tegapa v element g(f(a)) ∈ C. Enak ucinek lahko dosezemo tudi z eno samopreslikavo, ki a ∈ A preslika v g(f(a)) ∈ C (glej sliko 1.2). Taki upodobitvipravimo sestavljena preslikava ali kompozitum in jo oznacimo s simbolomg ◦ f . Tako je (g ◦ f)(a) = g(f(a)).

Primer 1.1.5. Navedimo dva zgleda za kompozitum:

1. Naj bo f : N → N preslikava iz primera 1.1.2, tj. f(n) = 2n. Potem je(f ◦ f)(n) = 4n.

2. Naj bo f : R → R dana s predpisom f(x) = 2x in g : R → R dana spredpisom f(x) = x2. Potem sta preslikavi f ◦ g : R → R in g ◦ f :R → R doloceni z

(f ◦ g)(x) = 2(x2) = 2x2 in (g ◦ f)(x) = (2x)2 = 4x2.

Ce je preslikava f : A → B injektivna, je vsak element b ∈ f(A) slikanatanko enega elementa a ∈ A. Torej obstaja predpis, ki vsakemu elementub ∈ f(A) priredi natanko dolocen a ∈ A — tisti a, za katerega je f(a) = b.Preslikavi iz f(A) ⊆ B v A, ki smo jo s tem definirali, pravimo preslikavi finverzna preslikava in jo zapisemo kot f−1 : f(A) → A. Definicijsko obmocjepreslikave f−1 je zaloga vrednosti f(A) preslikave f , njena zaloga vrednostije definicijsko obmocje A preslikave f . Ce je f tudi surjektivna preslikava,

1.2. REALNA STEVILA 7

je definicijsko obmocje preslikave f−1 cela mnozica B. Inverzno preslikavolahko opisemo tudi takole:

Izrek 1.1.1. Preslikava g : f(A) → A je preslikavi f inverzna, ce velja:

g ◦ f = id : A → A in f ◦ g = id : f(A) → f(A)

Primer 1.1.6. Preslikava f : R → R, f(x) = 2x, je injektivna, njena inverznapreslikava f−1 : R → R pa je dana s predpisom f−1(x) = 1

2x.

Tudi preslikava g : Z → Z, dana s predpisom g(z) = −z, ima inverznopreslikavo g−1 : Z → Z, ki je dana s predpisom g−1(z) = −z. V tem primeruje torej g−1 = g.

Pogosto bomo imeli opravka z grafi preslikav.

Definicija 1.1.2. Graf preslikave f : A → B je podmnozica kartezicnegaprodukta

Γ(f) = {(a, f(a)); a ∈ A} ⊂ A×B.

Primer 1.1.7. Ce je f : R → R, je njen graf

{(x, f(x)); x ∈ R} ⊂ R× R = R2.

Kartezicni produkt R2 si lahko predstavljamo kot mnozico tock v ravnini,v kateri smo izbrali pravokotni koordinatni sistem, graf Γ(f) pa je, ce jefunkcija f dovolj lepa, krivulja v R2.

Na primer, graf preslikave f : R → R, f(x) = 2x je premica skozi iz-hodisce.

1.2 Realna stevila

1.2.1 Opisi mnozice realnih stevil

Realna stevila si lahko predstavljamo vsaj na tri nacine: kot abstraktne ele-mente neke mnozice, v kateri so definirane dolocene operacija (algebrajsko),kot tocke na stevilski premici (geometrijsko) in kot neskoncna decimalnastevila.

Algebrajski opis realnih stevil

Mnozica realnih stevil R je komutativen obseg. To pomeni, da sta v R de-finirani dve binarni operaciji: sestevanje in mnozenje, ki imata naslednjelastnosti. Obe sta komutativni

a+ b = b+ a in a · b = b · a,

in asociativni

(a+ b) + c = a+ (b+ c) in (a · b) · c = a · (b · c),

mnozenje pa je distributivno glede na sestevanje:

a · (b+ c) = a · b+ a · c

Dve realni stevili imata posebno vlogo: stevilo 0 je nevtralni element zasestevanje (ali nicla), torej je a + 0 = a za vsak a ∈ R, stevilo 1 pa jenevtralni element za mnozenje (ali enota), za katero je a · 1 = a za vsaka ∈ R. Vsako realno stevilo ima svoje nasprotno stevilo −a, za katero veljaa+ (−a) = 0, ce je a = 0 ima tudi svoje inverzno stevilo a−1, za katero veljaa · a−1 = 1.

Vsoto a + (−b) = a − b imenujemo razlika stevil a in b, produkt a · b−1,kjer je b = 0 pa kvocient stevil a in b. Tako smo pridobili se dve novi operaciji— odstevanje in deljenje.

Obseg R je urejen. Do ureditve realnih stevil pridemo tako, da razdelimorealna stevila na tri podmnozice — pozitivna stevila, negativna stevila instevilo 0, tako da velja: za vsako stevilo a = 0 je natanko eno od stevila in −a pozitivno, mnozica pozitivnih stevil pa je zaprta za sestevanje inmnozenje, tj. ce sta a in b pozitivni stevili, sta a+ b in a · b pozitivni stevili.

S pomocjo te delitve realna stevila uredimo, tako da definiramo relacijomanjsi: stevilo a je manjse od stevila b, kar zapisemo a a,natanko takrat, kadar je b− a pozitivno stevilo.

Relacija < ima nekaj lastnosti, ki jih pogosto uporabljamo pri racunanjuz neenacbami:

Izrek 1.2.1.

1. Zakon trihotomije: Za vsak par realnih stevil a, b velja natanko ena odtreh moznosti: a = b, a b.

2. Zakon tranzitivnosti: ce je a 0, je a · c b−1.

Pozor! Cetrta lastnost pravi, da lahko neenacbo mnozimo s pozitivnimstevilom. Ce neenacbo mnozimo z negativnim stevilom se neenacaj obrne:ce je a bc.

Vsaki mnozici, ki ima vse doslej nastete lastnosti, pravimo urejen komu-tativen obseg.

Pogosto uporabljamo tudi relacijo manjsi ali enak: stevilo a je manjse alienako stevilu b, kar zapisemo a ≤ b oziroma b ≥ a, ce je a < b ali pa a = b.

Absolutna vrednost je preslikava iz R v mnozico nenegativnih realnihstevil, ki je dolocena s predpisom:

|a| ={

a ce je a ≥ 0−a ce je a < 0.

Zapisimo nekaj lastnosti absolutne vrednosti:

||a| − |b|| ≤ |a+ b| ≤ |a|+ |b|, (1.1)

|ab| = |a| · |b|. (1.2)

Neenakostima (1.1) pravimo trikotniski pravili. Vse tri zveze bomo doka-zali v sirsem okviru v poglavju o kompleksnih stevilih. S pomocjo absolutnevrednosti lahko merimo razdalje med realnimi stevili: razdalja med stevilomaa in b je enaka |a− b|.

Stevilska premica

Geometrijsko lahko realna stevila predstavimo kot tocke na stevilski premici,kjer smo izbrali izhodisce, tj. tocko, ki predstavlja stevilo 0, in (obicajnodesno od nje) tocko, ki predstavlja stevilo 1. S tem smo dolocili koordinatnisistem na stevilski premici in enoto za merjenje dolzine. Vsakemu stevilua ∈ R pripada natanko dolocena tocka na stevilski premici: ce je a pozitivno

√2

Slika 1.3: Stevilo, katerega kvadrat je enak 2, na stevilski premici

stevilo, mu pripada tocka desno od 0, ki je od 0 oddaljena za |a|, ce je anegativno, pa je ustrezna tocka na levi, za |a| oddaljena od 0.

Konstrukcija stevila√2 na realni osi je prikazana na sliki 1.3.

Na stevilski premici se nazorno pokazejo nekatere relacije med stevili. Naprimer, stevilo −a je simetricno stevilu a glede na izhodisce 0. Relacija b < ase odraza tako, da je b levo od a (slika 1.4). Vsoto stevil a in b dobimo tako,da stevilo a premaknemo po stevilski premici v smeri in za dolzino, ki judoloca b, tako kot kaze slika 1.5.

Mnozico vseh stevil na daljici med dvema danima steviloma a < b, ime-nujemo omejen interval. Interval je odprt, zaprt ali polodprt, glede na to, alivsebuje svoja krajisca ali ne:

(a, b) = {x : a < x < b} odprt interval[a, b] = {x : a ≤ x ≤ b} zaprt interval[a, b) = {x : a ≤ x < b} polodprt interval(a, b] = {x : a < x ≤ b} polodprt interval

Absolutna vrednost razlike |a − b| je enaka dolzini intervala, (a, b), to jerazdalja med steviloma a in b na stevilski premici.

Naj bo ε majhno pozitivno stevilo. Mnozica

{x; |x− a| < ε}

vsebuje natanko tista stevila x, ki so od stevila a oddaljena za manj kot ε.Pravimo ji ε-okolica stevila a in jo lahko zapisemo tudi kot odprt intervaldolzine 2ε s srediscem v tocki a, torej (a− ε, a+ ε) (slika 1.6).

-�

0 ab−a

Slika 1.4: Relacije med stevili na stevilski premici

-�

0 a

a+ bb

-�

0b

Slika 1.5: Sestevanje na stevilski premici

-�

a a+ εa− ε

-�

Slika 1.6: ε-okolica stevila a

Poznamo tudi neomejene intervale, to so poltraki na stevilski premici alipa cela stevilska premica:

(a,∞) = {x : a < x} odprt navzgor neomejen interval[a,∞) = {x : a ≤ x} zaprt navzgor neomejen interval(−∞, a) = {x : x < a} odprt navzdol neomejen interval(−∞, a] = {x : x ≤ a} zaprt navzdol neomejen interval(−∞,∞) = R Vsa realna stevila

Pozor! Simbola ∞ ali −∞ v zapisu neomejenih intervalov ne predsta-vljata realnih stevil, temvec sta le znaka, ki nam povesta, da interval v tistosmer ni omejen.

Primer 1.2.1. Katera realna stevila doloca neenacba

1 < |x+ 1| ≤ 2 ? (1.3)

-�

-1-2-3 0 1

- �

Slika 1.7: Resitve neenacbe 1 < |x+ 1| ≤ 2

Ce je x+ 1 ≥ 0, neenacbo lahko prepisemo kar brez absolutne vrednosti

1 < x+ 1 ≤ 2,

torej mora biti 0 < x ≤ 1.Ce pa je x+ 1 < 0, moramo izrazu pod absolutno vrednostjo spremeniti

predznak

1 < −(x+ 1) ≤ 2,

torej je −3 ≤ x < −2.Neenacba (1.3) torej doloca unijo intervalov [−3,−2) ∪ (0, 1].

Decimalna stevila

Kadar racunamo, zapisemo realna stevila obicajno v obliki decimalnih stevil. Decimalnizapis pozitivnega realnega stevila a izgleda takole:

a = n.d1d2d3 . . . ,

kjer je n celo stevilo in d1, d2, . . . ∈ {0, 1, 2, . . . 9}. Pozitivnemu realnemu stevilu a prire-dimo decimalno stevilo takole: celi del n = ⌊a⌋ je najvecje celo stevilo, ki ni vecje od a inga dolocimo tako, da poltrak [0,∞) razdelimo na polodprte intervale dolzine 1, [n, n+1),n ∈ Z, in poiscemo tistega, ki vsebuje a. Interval [n, n+1) potem razdelimo na polodprteintervale dolzine 1

10 in dolocimo prvo decimalko d1 tako, da je a ∈ [n + d1

10 , n + d1+110 ).

Ostale decimalke dolocimo podobno. Negativnemu stevilu a pripredimo decimalni zapistako, da ga zapisemo v obliki a = −|a| = −n.d1d2d3 . . ., stevilo 0 pa ima decimalni zapis0.000 . . ..

Opisani postopek ni edini mozen in lahko se zgodi, da dve razlicni decimalni stevilipredstavljata isto realno stevilo. Na primer: ctevilo 0.999 . . . lahko zapisemo kot geome-trijsko vrsto

0.999 . . . =9

10+

9

100+

9

1000+ . . . ,

katere vsota je enaka9

10

1

1− 1/10= −9

9= 1,

zato je

0.99999 . . . = 1.00000 . . . .

Realna stevila, zapisana v decimalni obliki je lahko primerjati po velikosti. Ne samo,da takoj vidimo, katero od dveh stevil je vecje, vidimo tudi, za koliko vecje je. Veljanamrec:

Ce se decimalni stevili a in b ujemata v celem delu in v prvih m decimalkah, je|a− b| < 10−m.

Na primer, ce stevili17

20in

45

53

zapisemo v decimalni obliki

17

20= 0.85000 in

45

53= 0.84905 . . .

je ocitno da je prvo vecje in to za manj kot 10−1 (celo za manj kot 10−3).

Pri racunanju uporabljamo (razen, ce racunamo z ulomki) le koncna decimalna stevila,ki jih dobimo tako, da neskoncne decimalke zaokrozimo na doloceno stevilo decimalnihmest.

Realna stevila smo zapisali v najbolj obicajni obliki - v desetiskem stevilskem sistemu.Prav tako bi lahko uporabili kaksno drugo osnovo, na primer 2, 8, 16,. . . .

1.2.2 Stevilske podmnozice realnih stevil

Naravna stevila

Naj bo 1 ∈ R enota za mnozenje. Vsote

1 + 1 = 2, 1 + 1 + 1 = 3, . . .

imenujmo naravna stevila. Mnozica naravnih stevil

N = {1, 2, 3, 4, . . .}

je tesno povezana s stetjem. Ocitno je zaprta za sestevanje in mnozenje(vsota in produkt dveh naravnih stevil sta spet naravni stevili).

Tako kot R, je tudi mnozica N urejena z relacijo <. Vsako naravno stevilon ima glede na relacijo < v mnozici N svojega neposrednega naslednika —stevilo n+ 1. V mnozici R o neposrednem nasledniku ne moremo govoriti.

Mnozica N ima se eno kljucno lastnost, ki jo razlikuje od ostalih osnovnihstevilskih mnozic, pravimo pa ji


Princip popolne indukcije: Vsaka podmnozica naravnih stevil, ki vse-buje stevilo 1 in je v njej hkrati s stevilom n tudi njegov naslednik n + 1,vsebuje vsa naravna stevila.2

Princip popolne indukcije pogosto uporabljamo za dokazovanje trditev inizrekov. Vsak tak dokaz poteka v dveh fazah:

1. Najprej dokazemo, da trditev velja za naravno stevilo 1.

2. Nato dokazemo, da iz veljavnosti trditve za naravno stevilo n (induk-cijska predpostavka) lahko sklepamo, da trditev velja tudi za naslednjenaravno stevilo n+ 1.

Primer 1.2.2. Dokazimo, da enacba

1 + 2 + · · ·+ n =n(n+ 1)

2(1.4)

velja za vsa naravna stevila n.

1. Za n = 1 je veljavnost trditve ocitna.

2. Predpostavimo, da enacba velja za neko naravno stevilo k.

Oznacimo Sk = 1+2+ · · ·+k in izracunajmo Sk+1. Zaradi indukcijskepredpostavke velja

Sk+1 = 1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) = Sk + (k + 1) =k(k + 1)

2+ (k + 1).

Desno stran te enakosti spravimo na skupen imenovalec, pa ze imamo

Sk+1 =(k + 1)(k + 2)

2,

kar pomeni, da enacba (1.4) velja tudi za k + 1.

Enacba (1.4) torej velja za vsa naravna stevila.

2Princip popolne indukcije lahko uporabimo tudi za mnozice, ki jih lahko bijektivnopreslikamo na N, na primer {x ∈ Z; x > a}


Primer 1.2.3. Dokazimo, da so vsa stevila oblike

f(n) = 10n + 3 · 4n+2 + 5; n ∈ {0} ∪ N

deljiva z 9.

1. f(0) = 1 + 3 · 42 + 5 = 54 = 9 · 6.

2. Predpostavimo, da je stevilo f(k) = 10k + 3 · 4k+2 + 5 za neko naravnostevilo k deljivo z 9. Potem je

f(k + 1)− f(k) = 10k+1 + 3 · 4k+3 + 5− 10k − 3 · 4k+2 − 5

= 9(10k + 4k+2),

kar pomeni, da je razlika f(k+1)−f(k) deljiva z 9, zaradi predpostavkepa mora biti tudi f(k + 1) deljivo z 9.

Cela stevila

Mnozico celih stevil dobimo tako, da naravnim stevilom dodamo vsa njihovanasprotna stevila in stevilo 0:

Z = {. . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .}.

Mnozica celih stevil je zaprta za sestevanje in mnozenje, pa tudi za odstevanje(kar za mnozico N ne velja). Vsaki mnozici, v kateri so definirane operacijesestevanje, mnozenje in odstevanje, z vsemi nastetimi lastnosti, pravimo ko-lobar.

Racionalna stevila

Ce mnozici Z dodamo se vse kvociente a·b−1, kjer sta a ∈ Z in b ∈ N, dobimomnozico racionalnih stevil Q. Vsako racionalno stevilo lahko predstavimokot ulomek m/n, kjer je stevec m celo, imenovalec n pa naravno stevilo.Dva razlicna ulomka m/n in p/q predstavljata isto racionalno stevilo, ce jemq = np. Ulomek p/q je okrajsan, ce sta p in q tuji si stevili.

Mnozica Q je zaprta za sestevanje, mnozenje in odstevanje, torej je ko-lobar. Poleg tega je zaprta tudi za deljenje z nenicelnim stevilom, torej je,podobno kot R, obseg. Za racunanje v Q uporabljamo dobro znana pravilaza racunanje z ulomki.


Znano je, da obstajajo realna stevila, ki niso racionalna (to so vedelize starogrski matematiki). Pravimo jim iracionalna stevila. Primer takegastevila je

√2, tj. dolzina diagonale kvadrata s stranico 1. Omenimo le, da

je iracionalnih stevil zelo veliko — celo mnogo vec kot racionalnih (za dokazglej [6, str.117]).

Trditev 1.2.2. Stevilo√2 ni racionalno.

Dokaz: Ce bi bilo√2 racionalno stevilo, bi ga lahko zapisali kot

√2 =

m

n, m, n ∈ Z,

kjer stevili m in n nimata skupnih deliteljev. Potem je

m2 = 2n2,

torej je m2 sodo stevilo. Potem je tudi m sodo (saj imata m in m2 isteprafaktorje), torej m = 2k in

4k2 = 2n2.

Od tod sledi n2 = 2k2, torej je n sodo stevilo, to pa je v nasprotju s pred-postavko, da m in n nimata skupnih deliteljev. Tako smo na podlagi pred-postavke, da je

√2 racionalno stevilo, zasli v protislovje, predpostavka da je√

2 racionalno stevilo je bila napacna.

Sklep, ki smo ga opisali, imenujemo dokaz s protislovjem. Tak nacindokazovanja v matematiki pogosto uporabljamo.

1.2.3 Omejene podmnozice realnih stevil

Definicija 1.2.1. Mnozica A ⊂ R je navzgor omejena, ce obstaja tako realnostevilo M , da za vsak a ∈ A velja a ≤ M . Stevilo M imenujemo zgornjameja mnozice A.

Mnozica A je navzdol omejena, ce obstaja tako stevilo m, da za vsakelement a ∈ A velja a ≥ m. Stevilo m je spodnja meja mnozice A.

Mnozica A je omejena, ce obstaja tako stevilo M , da je |a| ≤ M za vsaka ∈ A, tj. ce je navzgor in navzdol omejena.


Primer 1.2.4. Interval (a,∞) je navzdol omejena mnozica s spodnjo mejoa, navzgor pa ni omejena. Interval (−∞, b] je navzgor omejena mnozica zzgornjo mejo b, navzdol pa ni omejena. Nazadnje, interval [a, b] je primeromejene mnozice.

Navzgor omejena mnozica se zdalec nima ene same zgornje meje – ce jeM njena zgornja meja in N > M , je ocitno tudi N njena zgornja meja.Podobno velja tudi za spodnjo mejo.

Definicija 1.2.2. Naj bo A ⊂ R navzgor omejena in B ⊂ R navzdolomejena neprazna mnozica. Stevilo M je natancna zgornja meja ali supre-mum mnozice A, ce je najmanjsa med vsemi njenimi zgornjimi mejami, karzapisemo M = supA. Podobno je m natancna spodnja meja ali infimummnozice B najvecja med vsemi njenimi spodnjimi mejami, kar zapisemo kotm = inf B.

Ce od stevila M = supA odstejemo se tako majhen ε, dobljena razlikaM − ε ni vec zgornja meja mnozice A. Zato lahko natancno zgornjo (inpodobno tudi natancno spodnjo) mejo mnozice opisemo tudi takole:

Trditev 1.2.3. M = supA natanko takrat, kadar je a ≤ M za vsak a ∈ Ain za vsak ε > 0 obstaja tak element a ∈ A, da je a > M − ε.

Podobno je m = inf B, ce je m ≤ b za vsak b ∈ B in za vsak ε > 0 obstajatak element b ∈ B, da je m+ ε > b.

Za intervale velja:

sup(a, b) = b in inf(a, b) = a,

pa tudisup[a, b] = b in inf[a, b] = a.

Za splosne navzgor omejene podmnozice realnih stevil pa se zdalec nitako ocitno, da imajo tudi natancno zgornjo mejo. Ena od kljucnih lastnostirealnih stevil je:

1.2.4. Dedekindov3 aksiom ali lastnost kontinuuma. Vsaka nepra-zna navzgor omejena mnozica realnih stevil ima natancno zgornjo mejo. Po-dobno ima vsaka neprazna navzdol omejena podmnozica R natancno spodnjomejo.

3Julius Richard Wilhelm Dedekind (1831–1916), nemski matematik. Ukvarjal se je zalgebro in s teorijo stevil.

Lastnost kontinuuma je tista kljucna lastnost, ki loci obseg realnih stevil od obsegaracionalnih stevil. Mnozica racionalnih stevil Q, ki je prav tako kot R urejen obseg, telastnosti nima. Na primer, mnozica

A = {x ∈ Q;x2 < 2}

je neprazna in navzgor omejena, vendar v obsegu Q nima natancne zgornje meje. Njenanatancna zgornja meja v obsegu R seveda obstaja in je enaka

√2, to pa, kot smo se

prepricali, ni racionalno stevilo.

Kar nekaj pomembnih lastnosti realnih stevil, ki jih pri racunanju in sklepanju pogostouporabljamo, temelji na lastnosti kontinuuma. Na primer:

Izrek 1.2.5. [Arhimedova lastnost] Ce sta x in y poljubni realni stevili in je y > 0, obstajatak n ∈ N, da je x < ny.

Dokaz. Recimo, da je x ≥ ny za vsak n ∈ N. To pomeni, da je x zgornja meja mnozice

A = {ny; n ∈ N}.

Ker je to omejena mnozica, mora imeti svojo najmanjso zgornjo mejo M = supA, torejstevilo M − y ni vec zgornja meja mnozice A, saj je y > 0. To pomeni, da obstaja takn ∈ N, da je ny > M − y. Vendar pa je potem (n+ 1)y > M . Ker je (n+ 1)y ∈ A, je tov nasprotju s predpostavko, da je M natancna zgornja meja mnozice A. □

Ce v zgornjem izreku vzamemo y = 1, sledi, da je mnozica N navzgor neomejena. Cepa v izreku vzamemo x = 1, pa sledi, da za vsako pozitivno stevilo y obstaja tak n, da jeulomek 1/n manjsi od y. Drugace povedano, v poljubno majhni okolici (y-okolici) stevila0 je vsaj eno racionalno stevilo 1/n.

Arhimedova lastnost ima se eno posledico, ki pa je pomembna cisto s prakticnegastalisca:

Trditev 1.2.6. Vsako realno stevilo a ima v vsaki svoji ε-okolici vsaj eno racionalno stevilop/q. Drugace povedano, vsako realno stevilo lahko poljubno natancno aproksimiramo zracionalnim stevilom. Pravimo tudi, da so racionalna stevila povsod gosta v mnozici realnihstevil.

Dokaz. Za stevilo a = 0 smo trditev dokazali ze zgoraj. Recimo, da je a > 0. Potemobstaja tak q ∈ N, da je ε > 1/q. Po drugi strani, ker je mnozica N neomejena, obstajatak p ∈ N, da je p− 1 ≤ qa in p > qa, torej je

p− 1

q≤ a <

p

q

in ∣∣∣∣a− p

q

∣∣∣∣ ≤ ∣∣∣∣p− 1

q− p

q

∣∣∣∣ = 1

q< ε.

Ce pa je a < 0, lahko najdemo racionalno stevilo p/q v ε-okolici stevila −a, torej je −p/qv ε-okolici stevila a. □

Dobro se je zavedati pomena te zadnje trditve. Pri racunanju namrec uporabljamo

izkljucno racionalna stevila — iracionalna stevila so za nas zgolj idealni objekti, za katere

vemo, da obstajajo, vendar njihove natancne vrednosti ne moremo doseci. Vendar se jim

lahko, zaradi Arhimedove lastnosti realnih stevil, poljubno natancno priblizamo.

1.2.4 Potence in koreni

Naj bo a realno stevilo. Spomnimo se definicije potence an, n ∈ N:

a1 = a, a2 = a · a, . . . , an = an−1 · a, . . .

Ce je a = 0 lahko definiramo tudi potence a0 = 1 in a−n = 1/an, torej jeza stevila a = 0 definirana potenca an za vsak n ∈ Z.

Trditev 1.2.7. Za vsak n ∈ N velja: ce je 0 < a < b, je tudi

0 < an < bn.

Dokaz. Trditev najlaze dokazemo z indukcijo. Za n = 1 nimamo kaj dokazovati, kerje po predpostavki 0 < a1 < b1. Recimo, da je 0 < an−1 < bn−1. Ce ti dve neenacbipomnozimo z a > 0, dobimo

0 < an < bn−1a.

Po drugi strani, ce neenacbo a < b pomnozimo z bn−1, dobimo abn−1 < bn, torej zaraditranzitivnosti relacije < sledi

0 < an < bn−1a < bn

in trditev je dokazana. □

Navedimo brez dokaza znano formulo za potenciranje binoma, ki jo bomoveckrat uporabili:

(a+ b)n =n∑

k=0

(nk

)an−kbk.

Koeficienti (n

k

)=

n!

k!(n− k)!=

n·(n− 1)···(n− k + 1)1· 2 ··· k

so binomski simboli.

Za negativne eksponente velja ravno obratna relacija kot za pozitivne: ceje 0 < a < b, je 0 < b−n < a−n.

Naj bo n ∈ Z. Ce je a > 0 je tudi an > 0 za vsak n ∈ Z. Za a < 0, pa jepredznak potence an odvisen od eksponenta: za sode eksponente n = 2k jean > 0, za lihe eksponente n = 2k + 1 pa je an < 0.

Na sliki 1.3 smo konstruirali na stevilski premici stevilo√2, za katero

velja (√2)2 = 2. Velja pa se dosti vec:

Izrek 1.2.8. Za vsak y ≥ 0 in vsak n ∈ N obstaja tako natanko dolocenostevilo x ≥ 0, da je xn = y.

Dokaz. Oglejmo si mnozico A = {a ∈ R; an ≤ y}. Ocitno je 0 ∈ A, torej je A nepraznamnozica. Ce je 0 ≤ y ≤ 1, je 1 zgornja meja za mnozico A, kajti za vsako stevilo b > 1,je tudi bn > 1 ≥ y, torej b /∈ A. Ce je y > 1, pa je y zgornja meja za mnozico A, kajti zavsak b > y velja bn > yn ≥ y, torej b /∈ A.

Mnozica A ⊂ R je torej neprazna in navzgor omejena in ima svojo natancno zgornjomejo x = supA, to pa je ravno stevilo, ki ga iscemo. Pokazimo (brez podrobnosti), da jexn = y.

Recimo, da bi bilo xn < y in z = x+ h, kjer je 0 < h < 1. Potem bi veljalo

zn = (x+ h)n =n∑

k=0

(nk

)xn−khk

= xn + hn∑

k=1

(nk

)xn−khk−1

< xn + h

n∑k=1

(nk

)xn−k

= xn + h((x+ 1)n − xn).

Ce izberemo

h <y − xn

(x+ 1)n − xn,

dobimo

zn < xn +y − xn

(x+ 1)n − xn· ((x+ 1)n − xn) = y,

torej z > x in z ∈ A. To pa je v protislovju s tem, da je x = supA.Ce pa bi bilo xn > y, bi na podoben nacin pokazali, da je stevilo u = x− k, kjer je

0 < k < 1, k < x in k <xn − y

(x+ 1)n − xn,

zgornja meja mnozice A in u < x, kar spet ni mogoce, ker je x najmanjsa zgornja meja zaA. Veljati mora torej xn = y. □

1.3. KOMPLEKSNA STEVILA 21

Izrek, ki smo ga dokazali, omogoca, da za pozitivna realna stevila defini-ramo tudi potence z racionalnimi eksponenti:

Definicija 1.2.3. Ce je y ≥ 0, imenujemo stevilo x, ki zadosca enacbixn = y, n-ti koren stevila y, kar zapisemo x = n

√y.

Ce je y ≥ 0, in p/q; q ∈ N, p ∈ Z poljubno racionalno stevilo, definiramo:

yp/q = ( q√y)p.

Ce je n = 2k sodo stevilo, je xn > 0 za vsak x = 0. Enacba xn = y vtem primeru nima resitve, ce je y < 0, torej koren n

√y za y < 0 ne obstaja.

Ce je n = 2k + 1 liho stevilo, pa za x < 0 velja xn = −(−x)n < 0. V temprimeru lahko razsirimo definicijo korena se na negativna stevila: za y < 0je n

√y = − n

√−y.

Za racunanje s potencami veljata dobro znani pravili (ki jih ne bomodokazovali):

an+m = an · am in (an)m = a(nm).

1.3 Kompleksna stevila

Za vsak a ∈ R je a2 ≥ 0. To pomeni, da v okviru realnih stevil enacbax2 = −1 ni resljiva. Enacbam oblike

xn + a1xn−1 + . . .+ an−1x+ an = 0

pravimo algebraicne enacbe nas primer kaze, da take enacbe v obsegu Rnimajo vedno resitev.

Mnozica kompleksnih stevil je razsiritev mnozice realnih stevil z resitva-mi algebraicnih enacb. Vsebuje tako vsa realna stevila, kot tudi vse resitvealgebraicnih enacb (z realnimi, pa tudi s kompleksnimi koeficienti).

Definicija 1.3.1. Kompleksno stevilo α je urejen par realnih stevil (a, b);prvo, a = Reα, imenujemo realna komponenta, drugo, b = Imα, imaginarnakomponenta. Mnozico vseh kompleksnih stevil oznacimo s simbolom C.

Dve kompleksni stevili sta enaki, kadar imata enaki realni in enaki ima-ginarni komponenti.

Vsoto in produkt kompleksnih stevil definiramo s predpisoma

(a, b) + (c, d) = (a+ c, b+ d), (1.5)

(a, b) · (c, d) = (ac− bd, ad+ bc). (1.6)


Izrek 1.3.1. Mnozica C z operacijama (1.5) in (1.6) je obseg.

Za dokaz tega izreka bi bilo potrebno preveriti, da velja komutativnost inasociativnost vsote in produkta in distributivnost produkta glede na sesteva-nje, da je stevilo (0, 0) nicla za sestevanje in stevilo (1, 0) enota za mnozenje.Za vsak α = (a, b) je stevilo −α = (−a,−b) njegovo nasprotno stevilo, ce jeα = (0, 0) pa je

α−1 =

(a

a2 + b2,

−b

a2 + b2

)njegovo inverzno stevilo. Vse te preproste izracune prepuscamo bralcu.

Kompleksna stevila lahko upodobimo s tockami ravnine. V ravnini na-risemo pravokotni koordinatni sistem. Na abscisno os, ki ji v tem primerupravimo realna os, nanesemo realno komponento kompleksnega stevila, naordinatno os, ki ji pravimo imaginarna os, pa imaginarno komponento.

-

6Im

ib

−ib

i

Rea10

α = a+ ib

α = a− ib

s

s

,,

,,,,

,,,

ll

llll

lll

|a|

Slika 1.8: Kompleksna ravnina

Mnozica kompleksnih stevil, ki lezijo na realni osi, tj. stevil oblike (a, 0),ima vse lastnosti realnih stevil, saj je zaprta za sestevanje in mnozenje, vse-buje tako niclo (0, 0) kot enoto (1, 0), pa tudi obratno in inverzno stevilovsakega svojega stevila (razen stevila (0, 0)). Kompleksno stevilo α = (a, 0)imamo lahko za zastopnika realnega stevila a v mnozici C, zato ga obicajnopisemo kar a.


Kompleksnemu stevilu oblike (0, b) na imaginarni osi pravimo cisto ima-ginarno stevilo. Kvadrat cisto imaginarnega stevila

(0, b) · (0, b) = (−b2, 0) = −b2

je negativno realno stevilo. Imaginarno stevilo (0, 1), katerega kvadrat jeenak −1, imenujemo imaginarna enota in ga zaznamujemo z i. (V elektro-tehniki se pogosto uporablja oznaka j.)

Vsako kompleksno stevilo se da zapisati kot

(a, b) = (a, 0) + (b, 0) · (0, 1) = a+ ib.

Racunski pravili (1.5) in (1.6) lahko zdaj zapisemo v bolj domaci obliki:

(a+ ib) + (c+ id) = (a+ c) + i(b+ d)

(a+ ib) · (c+ id) = (ac− bd) + i(ad+ bc).

Poleg sestevanja in mnozenja poznamo v mnozici C se eno enocleno operacijo,ki jo imenujemo konjugiranje.

Definicija 1.3.2. Stevilu α = a+ bi konjugirano stevilo je α = a− ib.

Stevilo α je simetricno stevilu α glede na realno os (slika 1.8). Nastejmonekaj lastnosti konjugiranja. Dokazi so povsem preprosti, zato jih prepusca-mo bralcu.

1. Konjugiranost stevil je vzajemna: α = α

2. α + β = α + β

3. αβ = αβ

4. (α−1) = (α)−1

Stevilo α je realno natanko takrat, kadar je α = α in imaginarno natankotakrat, kadar je α = −α.

Za poljubno kompleksno stevilo α je α+ α = 2Re(α) ∈ R realno in (α−α) = 2i Im(α) cisto imaginarno stevilo. Stevilo αα = a2 + b2 je nenegativnorealno stevilo, ki je enako 0 samo, ce je α = 0, torej za vsak α ∈ C obstajakvadratni koren

√αα.


Definicija 1.3.3. Absolutna vrednost kompleksnega stevila α je kvadratnikoren stevila αα

|α| =√αα =

√a2 + b2.

Absolutna vrednost ali modul kompleksnega stevila α je dolzina daljice,ki povezuje koordinatno izhodisce s kompleksnim stevilom α.

Ce je a ∈ R, se ta definicija ujema z ze znano definicijo absolutne vrednostirealnega stevila. Podobno kot pri realnih stevilih velja

|αβ| = |α| · |β|. (1.7)

||α| − |β|| ≤ |α + β| ≤ |α|+ |β| (1.8)

Dokaz enakosti (1.7) je preprost:

|α · β|2 = (α · β)(α · β) = (αα) · (ββ) = |α|2 · |β|2,

torej je|α · β| = |α| · |β|.

Dokazimo se trikotniski pravili (1.8):

|α+ β|2 = (α + β) · (α + β) = |α|2 + |β|2 + (α · β + β · α).

Ker je

(α · β + β · α) = αβ + αβ = 2Re(αβ) ≤ 2|α| · |β|in

Re(αβ) ≤ |αβ| = |α| · |β|,je

|α + β|2 ≤ |α|2 + |β|2 + 2|α| · |β| = (|α|+ |β|)2

in prvo trikotnisko pravilo je dokazano.Drugo trikotnisko pravilo je posledica prvega:

|α| = |(α + β)− β| ≤ |α + β|+ | − β| = |α + β|+ |β|,

zato je |α| − |β| ≤ |α + β|. Prav tako pokazemo, da je |β| − |α| ≤ |α + β|,torej mora biti tudi ||α| − |β|| ≤ |α + β|. □

Na sliki (1.9) vidimo, da sta trikotniski pravili (1.8) enakovredni dobroznanemu dejstvu iz geometrije: vsaka stranica v trikotniku je daljsa od razlikein krajsa od vsote ostalih dveh stranic.

S pomocjo absolutne vrednosti lahko merimo razdalje med kompleksnimistevili: razdalja med α in β je enaka |α− β|.


-

6Im

Re

α

β |β||α+ β|

|α|

|β|

α + β

ss

s

��

,,,,

,,,,

,,,

,,,,

,,,

��

��

��

��

Slika 1.9: Upodobitev kompleksnega stevila

Primer 1.3.1. Predstava o absolutni vrednosti kot o razdalji med dvemasteviloma nam vcasih olajsa razmisljanje:

1. Poiscimo mnozico

A = {z ∈ C; |z − 1| = |z − i|}.

Mnozica A vsebuje vsa tista kompleksna stevila, ki so enako oddaljenaod 1 in od i, torej lezijo na simetrali lihih kvadrantov (slika 1.10)

2. MnozicaB = {z ∈ C; |z − z0| = r}

je kroznica s srediscem v z0 in radijem r.

3. MnozicaC = {z ∈ C; |z − z1|+ |z − z2| = r}

je elipsa z goriscema z1 in z2 (klasicna definicija elipse: elipsa je mnozicatock, za katere je vsota razdalj do dveh fiksnih tock (gorisc) konstan-tna).


-

6Im

Re

i

1

A

rr

��

��

��

��

@@@@@

Slika 1.10: Mnozica A iz primera 1.3.1

Polarni zapis kompleksnega stevila

Lego kompleksnega stevila z = 0 v ravnini lahko opisemo tudi v polarnih ko-ordinatah, tako, da podamo oddaljenost |z| stevila z od izhodisca 0 in kotomφ, med poltrakom iz 0 skozi tocko z in pozitivnim delom realne osi, ki mupravimo argument stevila z, kar zapisemo φ = arg z. Argument kompleks-nega stevila ni enolicno dolocen, saj dolocajo vsi argumenti φ + 2kπ, k ∈ Zisti poltrak v kompleksni ravnini. Ce izberemo argument tako, da lezi naintervalu [0, 2π), pravimo, da smo izbrali glavno vrednost argumenta in ta jedolocena enolicno za vsak z = 0.

Prehod od zapisa po komponentah do polarnega zapisa kompleksnegastevila z = x+ iy je dolocen z enacbami

r =√x2 + y2, cosφ =

x√x2 + y2

, sinφ =y√

x2 + y2,

obratni prehod pa z

x = r cosφ, y = r sinφ.

Tako dobimo polarni zapis kompleksnega stevila z = x+ iy:

z = |z|(cosφ+ i sinφ).

Primer 1.3.2. Prehod od zapisa po komponentah do polarnega zapisa inobratno:


1. Stevilo z = −4√3 + 4i zapisimo v polarni obliki.

Najprej izracunamo absolutno vrednost

|z| =√

(−4√3)2 + 42 = 8,

nato iz enacb

cosφ =−4

√3

8= −

√3

2; sinφ =

4

8=

1

2

ugotovimo, da je glavna vrednost argumenta enaka φ = 5π/6, torej

z = 8

(cos

5π

6+ i sin

5π

6

).

2. Kompleksno stevilo z absolutno vrednostjo |z| = 3 in argumentomarg z = −π/10 zapisimo po komponentah.

z = 3

(cos

−π

10+ i sin

−π

10

)= 3

(cos

π

10− i sin

π

10

)≈ 2.85− 0.93i.

Kompleksni stevili zapisani v polarni obliki z1 = r1(cosφ1 + i sinφ1) inz2 = r2(cosφ2 + i sinφ2) sta enaki natanko tedaj, ko je r1 = r2 in φ1 − φ2 =2kπ.

Produkt dveh kompleksnih stevil v polarni obliki

z1 = r1(cosφ1 + i sinφ1) in z2 = r2(cosφ2 + i sinφ2)

je enak

z1z2 = r1r2[(cosφ1 cosφ2 − sinφ1 sinφ2)

+i(sinφ1 cosφ2 + cosφ1 sinφ2)]

= r1r2[cos(φ1 + φ2) + i sin(φ1 + φ2)].

Pri mnozenju se torej moduli mnozijo: |z1z2| = |z1| · |z2|, argumenti pasestevajo: arg(z1z2) = arg z1 + arg z2.


Kvocient dveh kompleksnih stevil z1 in z2 = 0,

z1z2

=r1r2[cos(φ1 − φ2) + i sin(φ1 − φ2)],

ima modul |z1/z2| = |z1|/|z2| in arg(z1/z2) = arg z1 − arg z2.Ce pravilo za produkt uporabimo za n enakih faktorjev

z1 = z2 = · · · = zn = z = r(cosφ+ i sinφ),

dobimo znano pravilo za potenciranje kompleksnih stevil, imenovano tudi deMoivreov4 obrazec

zn = rn(cosnφ+ i sinnφ).

Primer 1.3.3. Izracunajmo z10, ce je z = 1 + i.Zapisimo z v polarni obliki:

z =√2(cos(π/4) + i sin(π/4))

in izracunajmo po de Moivrejevem obrazcu

z10 =√210(cos

10π

4+ i sin

10π

4

)= 25

(cos

5π

2+ i sin

5π

2

)= 32i.

Pogosto uporabljamo oznako

eiφ = cosφ+ i sinφ.

Tako dobimo zapis kompleksnega stevila v eksponentni obliki:

z = |z|eiφ.

Pravila za racunanje v eksponentni obliki izgledajo takole:

z1 · z2 = |z1||z2|ei(φ1+φ2)

z1z2

=|z1||z2|

ei(φ1−φ2)

zn = |z|neinφ.4Abraham de Moivre (1667–1754), Francoski matematik


Koreni kompleksnih stevil

Naj bo p/q racionalno stevilo, kjer p ∈ Z in q ∈ N nimata skupnega delitelja.

Definicija 1.3.4. Definirajmo zp/q s predpisom

w = zp/q ⇐⇒ wq = zp.

Stevili w in z naj bosta dani v polarni obliki: w = ρ(cosϑ + i sinϑ) inz = r(cosφ+ i sinφ). Iz zgornje definicije sledi

ρq[cos(qϑ) + i sin(qϑ)] = rp[cos(pφ) + i sin(pφ)].

Stevilo na levi je enako stevilu na desni, ce je ρq = rp in qϑ− pφ = 2kπ, odkoder dobimo

ρ = rp/q in ϑ =pφ+ 2kπ

q.

Izraz zp/q ni enolicno dolocen, saj za vsak k ∈ Z dobimo eno vrednost

wk = zp/q = rp/q[cos

pφ+ 2kπ

q+ i sin

pφ+ 2kπ

q

]. (1.9)

Zaradi periodicnosti funkcij sin in cos, je le q vrednosti med seboj razlicnihw0, w1, . . . , wq−1, potem pa se stevila wk zacnejo ciklicno ponavljati, tako daje wq = w0, wq+1 = w1, . . ..

V kompleksni ravnini lezijo koreni w0, w1, . . . , wq−1 na ogliscih pravil-nega q-kotnika s srediscem v tocki 0, srediscni kot med dvema sosednjimaogliscema je 2π/q.

Primer 1.3.4. Izracunajmo vse vrednosti izraza (1 + i)2/3.Najprej stevilo z = 1 + i zapisemo v polarni obliki

z =√2(cosπ/4 + i sin π/4),

nato pa uporabimo enacbo (1.9) pri p = 2 in q = 3:

wk =(√

2)2/3 [

cosπ/2 + 2kπ

3+ i sin

π/2 + 2kπ

3

]=

3√2

(cos

(1 + 4k)π

6+ i sin

(1 + 4k)π

6

).


-

6Im

Re

w0w1

w2

1 + isss

s

��

HHHHH

��

��

Slika 1.11: Koreni (1 + i)2/3

Za k = 0, 1, 2 dobimo zaporedoma vse tri vrednosti:

w0 = 3√2(cos π

6+ i sin π

6) =

3√2

(√3

2+

i

2

)

w1 = 3√2(cos 5π

6+ i sin 5π

6) =

3√2

(−√3

2+

i

2

)w2 = 3

√2(cos 9π

6+ i sin 9π

6) = −i

3√2.

Literatura

[1] K. G. Binmore: Mathematical Analysis (a straightforeward approach), 2ed., Cambridge University Press, Cambridge, 1982.

[2] C. H. Edwards Jr. in D. E. Penney: Calculus and Analytic Geometry,Prentice-Hall International, Inc., Englewood Cliffs, 1990.

[3] R. Jamnik: Matematika, Partizanska knjiga, Ljubljana, 1981.

[4] P. Lax, S. Burstein in A. Lax: Calculus with Applications and Computing,Vol I, Springer-Verlag, New York, 1976.

[5] N. Piskunov: Differential and Integral Calculus, vol. I, Mir Publishers,Moscow, 1974.

[6] N. Prijatelj: Uvod v matematicno analizo, 1. del, DMFA, Ljubljana, 1980.

[7] G. B. Thomas, Jr: Calculus and Analytic Geometry, Addison-WesleyPublishing Company, Reading, 1972.

[8] I. Vidav: Visja matematika I (10. natis), DMFA, Ljubljana, 1990.

31

poglavje 1 mno zice in stevila - university of ljubljana...poglavje 1 mno zice in stevila 1.1...

Documents