6.4 I poligoni regolari

Si chiamano poligoni regolari quei poligoni che sono equilateri edequiangoli.

Poligoni regolari:

I triangolo equilatero;

I quadrato;

I pentagono regolare;

I esagono regolare;

I ettagono regolare;

I ottagono regolare;

I ...

Vediamo alcune costruzioni.

Attivita. Costruzione del triangolo equilatero con riga e compasso.

Costruzione con riga e compasso del quadrato?

Attivita. Costruzione dell’esagono regolare con riga e compasso.

6.5 Le altezze

Un concetto non cosı scontato...

Video altezze triangolo rettangolo

L’altezza e definita solo per:

I i triangoli;

I i quadrilateri che abbiano almeno una coppia di lati paralleli(trapezi).

Non hanno altezze:

I i quadrilateri che non hanno coppie di lati paralleli;

I i pentagoni;

I gli esagoni;

I gli ettagoni;

I gli ottagoni;

I ...

Le altezze del triangolo.

L’altezza di un triangolo e la distanza tra un vertice e la retta checontiene il lato opposto. Questa definizione fa, quindi, riferimento alladistanza tra un punto e una retta.

Vediamo le conseguenze di questa definizione.

I Ogni triangolo ha tre altezze.

I Nel triangolo rettangolo due altezze coincidono con i cateti.

I Non necessariamente l’altezza e contenuta nel triangolo.

I Denominiamo base quel lato che e opposto al vertice dal qualeabbiamo tracciato l’altezza.

Attivita. Rappresentare le altezze con riga e squadra.

Per trasmettere il concetto di altezza, si puo presentare un’attivita con lestrisce di piano.

Denominiamo altezza della striscia la distanza tra le due rette paralleleche la delimitano.

Un poligono e contenuto in una striscia di piano se tutti i suoi verticiappartengono ai bordi della striscia.

Un triangolo e contenuto in tre strisce di piano.

Per ottenere i lati di ogni striscia bisogna:

I prolungare un lato in entrambi i versi;

I considerare la retta parallela a tale lato e passante per il verticeopposto.

Le tre altezze del triangolo coincidono con le altezze di ciascuna striscia,tracciate a partire dal vertice del triangolo.

A livello manuale, e facile ottenere l’altezza di una striscia di carta velina,perche basta piegarla in modo da far coincidere i bordi.

Attivita.

I Rappresentiamo un triangolo;

I costruiamo le strisce di carta velina che rappresentano le strisce dipiano che contengono il triangolo;

I appoggiamo le strisce sul triangolo e indichiamo sulla striscia, conun pennarello, i vertici del triangolo (uno su ogni striscia, quelloopposto al lato interamente contenuto nel bordo della striscia);

I preleviamo le strisce e ripieghiamole, facendo coincidere i bordi, nelpunto dove abbiamo segnato il vertice;

I con il pennarello, mettiamo in evidenza le pieghe (sono le altezze) eriposizioniamo le strisce sul triangolo.

Le altezze del trapezio.

L’altezza di un trapezio e la distanza tra due lati paralleli.Questa definizione fa riferimento alla distanza tra due rette parallele.

Scegliamo sempre di condurre l’altezza a partire da un vertice,nonostante non sia necessario.

Dalla definizione deduciamo che:

I i trapezi, che non siano anche parallelogrammi, hanno esattamenteuna altezza (perche hanno esattamente una coppia di lati paralleli).Chiamiamo base maggiore e base minore i due lati paralleli;

I i parallelogrammi ne hanno due (cosı come i parallelogrammiparticolari: rettangoli, rombi e quadrati) perche hanno due coppie dilati paralleli. A seconda dell’altezza considerata, uno qualsiasi deilati perpendicolari all’altezza si chiama base;

I le due altezze di rombi e quadrati sono congruenti.

Possiamo utilizzare le strisce di piano anche per far comprendere ilconcetto di altezza di un trapezio. Chiediamo agli alunni di rappresentareun trapezio, un romboide, un rombo, un rettangolo e un quadrato eripetiamo l’attivita proposta per i triangoli (sovrapposizione delle striscedi carta velina e determinazione delle altezze).

I quadrilateri che non sono trapezi non sono contenuti in alcuna strisciadi piano, infatti abbiamo gia osservato che non hanno altezze.

6.6 Le aree

La misura della superficie del piano che costituisce il poligono si chiamaarea del poligono.

Due poligoni sovrapponibili sono detti congruenti (o uguali).

Due poligoni che hanno la stessa area si dicono equivalenti.

Se due poligoni sono congruenti, allora saranno anche equivalenti.Viceversa, se due poligoni sono equivalenti, non e detto che sianocongruenti.

E piu importante, nella scuola primaria, che sia chiaro il concetto di area,piuttosto che siano note le formule per calcolarla, quindi e opportunoinstere su esperienze di congruenza ed equivalenza piuttosto che su quelledi calcolo.

Attivita. Parti di piano (di un quadrato) congruenti.

Materiale: geopiano ed elastici o carta punteggiata e matita.

Ogni alunno deve trovare piu modi di dividere il geopiano in particongruenti, tramite gli elastici, utilizzati per rappresentaresegmenti/spezzate.

Poligoni equiscomponibili.

Due poligoni equivalenti sono anche equiscomponibili, cioe sono costituitida poligoni a due a due congruenti.

Quali difficolta si possono riscontrare in questo esercizio?

Attivita. Colora di azzurro i poligoni equiscomponibili (e che quindihanno la stessa area, cioe sono equivalenti) rispetto a quello dato.

Attivita. Trova l’area del poligono rappresentato, sapendo che l’area deltriangolo ABG misura 36 cm2.

Attivita. Trova l’area del poligono rappresentato, sapendo che l’area deltriangolo ABG misura 36 cm2.

Attivita. Gioco: poligoni equiscomponibili.Materiale: fogli di carta, forbici.Il giocatore A, di nascosto da tutti, prende un foglio quadrato e pratica untaglio con le forbici a piacere e lungo una spezzata. Separate le due parti,le affianca in modo diverso, per ottenere nuovamente un unico pezzo.A partire da un altro foglio di carta, costruisce la nuova figura e laconsegna all’avversario, il quale deve trovare il modo di tagliarla perottenere nuovamente il quadrato iniziale.

Che cosa si puo far osservare?

Stimolare una riflessione, che faccia cogliere:

I il fatto che le figure ottenute sono sempre poligoni;

I le differenze riguardanti il numero dei lati, convessita o concavita, ilperimetro (misurare);

I l’uguaglianza delle aree;

I ...

Possiamo sfidarli a costruire, con questo metodo, il poligono che abbiaperimetro massimo.

Testi scolastici. Tangram ed equiscomponibilita.

Costruzione Tangram.

Attivita.

I Formare un quadrato usando solo due pezzi

I Sovrapporre due triangoli a un terzo triangolo, in modo da coprirlocompletamente

I Ricoprire un quadrato con dei triangoli. Quanti?

I Ricoprire un triangolo con un quadrilatero e due triangoli.

I Ricostruire il quadrato iniziale.

I Costruire un rettangolo, un parallelogramma, un trapezio isoscelecon almeno due pezzi per ogni poligono.

I ...

C’e un’unica possibilita per ogni richiesta?

Attivita. Fissata una unita di misura comoda (quale?) possiamoesprimere l’area di tutti i poligoni costruiti.