Teoria e Spline Kubik

Splin-et pefaqesojne ne kohen e sotmeaparatin interpolues me te preferuar si nga studiuesit teorik ashtu edhe nga zbatuesit e tyre.Kjo i detikohet faktit qe ato jane funksion i lemuar dhe realizojne saktesi mjaft te madhe perafrimi te nje funksioni f(x). Kalojme ne shqyrtimin e tyre.Le te jete dhene sistemi i nyjeve a=x0¿ x1¿ x2¿........ ¿xn=b.Dhe ta zeme se njihen vlerat e funksioneve f(x0) , f(x1)....... f(xn) te nej funksioni f(x) ne nyjet perkatese.Tani japim perkufizimin e splajnit natyral kubik S(x) ose sic do ta quajme shkurt splajn kubik,do te quajme funksionin qe gezon vetite e meposhteme:

S(x) eshte i vazhdueshem se bashku me SI(x) dhe SII(x) ne [a,b]. S(xi)=f(xi)=fi per i=0,1,2,3........n. S(x) eshte polinom i shkalles se trete ne cdo interval ndermjet dy

nyjeve [xi;xi+1] per i=0,1,2,3............n-1. Derivati i dyte SII(x0)=0; SII(xn)=0

Mqs Si(x) eshte polinom i shkalles se trete atehere SiII(x) do te jete

polinom i shkalles pare.Rrjedhimisht ai mund te paraqitet ne trajetn

SiII(x)=si

xi+1−xhi

+ si+1

x−x ihi

(1) ku:i=0,1,2......n-1 dhe hi=xi+1-xi eshte

diferenca ndermjet dy nyjeve.Ne sigurisht nuk i njohim si por sic do te tregojme me poshte do ti llogarisim.

Per te marre shprehjen S(x) per xϵ[xi;xi+1] duhet te integrojme dy here

barazimin (1).Pas integrimit do te marrim S(x)=si6hi

(xi+1−x)3 + si+16hi

(x-

xi)3+c1(x-xi)+c2(xi+1-x) (2) konstantet e integrimit c1 dhe c2 i percaktojme nga kushti 2 i perkufizimit.

{ si (x i )=f i=f (x i)si (x i+1 )=f i+1=f (x i+1)

Nga zgjidhja e ketij sistemi do te marrim

C1=f i+1hi

−si+1hi6

C2=f ihi

−sihi6

Ne kete menyre ekuacioni (2) rishkruhet:

1

S(x)≅Si(x)=si6hi

¿ per i=0,1,2,3........n-1. (1)

Ky eshte ekuacioni i splajnit (1) i cili aplikohet ne cdo ushtrim.Por mund te perdoret edhe ky tjetri pasi te kryhen disa veprime dhe derivime nga (3).

si+1+2 si( hi+h i+1hi )+ hi−1hi si−1= 6hi (f i+1−f ihi

−f i−f i−1hi−1

) per i=0,1....n-1 (2)

Ne ushtrimin tone do te perdorim formulat (1) dhe (2).

Kerkesat e detyres

2

Per funksionin e dhenef(x)=ln(e2x-2) dhe nyjet x0=1.0 x1=1.1 x2=1.2 x3=1.3 x4=1.4

Kerkesat jane:

I) Te ndertohet polinomi interpolues spline kubik natyral.II) Me ndihmen e tij te gjenden: f(1.15) dhe f ’(1.15).III) Te vleresohet gabimi real.

Polinomi interpolues Spline Kubik

3

I)Jepet funksioni f(x)=ln(e2x-2) dhe nyjet x1=1; x2=1.1; x3=1.2; x4=1.3; x5=1.4.

Per te ndertuar spline kubik ndertojme ne fillim tabelen e meposhtme:

i

xi f(xi) hi

1 1.0 1.684370249 0.12 1.1 1.949477137 0.13 1.2 2.199796421 0.14 1.3 2.439188839 0.15 1.4 2.670323880 -

Kemi pese nyje te dhene dhe nga keto pese nyje na krijohen 4 intervale per te cilat ne do te ndertojme polinomet e rendit te trete . Nga teoria kemi qe ne fillim duhet te gjejme si per cdo i=1-5. Nga perkufizimi i spline kubik kemi qe s1=s5=0.

Ne kete menyre na perftohet sistemi i meposhtem i krijuar nga formula (2).

i=1 s1=0

i=2 s1+4s2+s3+0s4+0s5=-8.8725624

i=3 0s1+s2+4s3+s4+0s5=-6.5561196

i=4 0s1+0s2+s3+4s4+s5=-4.9544262

i=5 s5=0

Duke perdorur metodat e algjebres (Metoda e Kramerit apo metoda e Gausit) gjejme :

s1=0; s4=-1.017232393

s2=-1.996757393; s5=0

s3=-0.885532428

Tani qe gjetem si-te mund te gjejme polinomet e rendit te trete per cdo interval midis dy nyjeve:

4

1) Intervali i pare : i=1 1<x<1.1

Duke perdorur ekuacionin (1) te dhene ne pjesen teorike,per kete interval ne gjejme :

S3,1(x)=-3.327928988( x−1 )3+¿19.98275642( x−1 )+16.84370249 (1.1−x ) . Nga ku nxjerrim se

S3,1(x)¿−3.32793 x3+9.983787 x2−6.85933x+1.873246

Ky eshte polinomi i spline kubik i rendit te trete per intervalin e pare ne te cilin 1<x<1.1.

Le te ndertojme tani polinomin spline kubik per intervalin e dyte.

2) Intervali i dyte: i=2 1.1<x<1.2

Duke zbatuar serish ekuacionin (1) te dhene ne pjesen teorike do te perftojme kete ekuacion te spline kubik.

S3,2(x)=−3.327928988 (1.2−x )3−1.47588738 ( x−1.1 )3+22.01272308 ( x−1.1 )+19.52805066 (1.2−x )

Pra: S3,2(x)¿1.8520416 x3+19.247083x2−14.8533432 x−4.27477462.

Pra ky eshte ekuacioni spline kubik per intervalin e dyte.

Ndertojme tani polinomin spline kubik per intervalin e trete .

3) Intervali i trete : i=3 1.2<x<1.3

5

Duke perdorur prape ekuacionin (1) por per intervalin e trete ne te cilin 1.2<x<1.3 .

Duke kryer veprimet do te kemi:

S3,3(x)=−1.47588738 (1.3−x )3−1.695387322 ( x−1.2 )3+24.40884226 ( x−1.2 )+22.01272308 (1.3−x )

Duke kryer veprimet kemi:

S3,3(x)=−0.2194999 x3+0.3474336 x2+2.554797x−0.986965 .

Ky eshte ekuacioni i spline kubik per intervalin e trete.

4) Intervali i katert: i=4 1.3<x<1.4

Bazuar ne ekuacionin (1) te dhene ne pjesen teorike , per kete interval kemi nje spline kubik si me poshte :

S3,4(x)=−1.695387322 (1.4−x )3+26.7032388 ( x−1.3 )+24.40884226 (1.4−x )

Duke hapur kllapat do te perftojme:

S3,4(x)=−1.6953873 x3−7.12063 x2+12.2633 x−5.194143 .

Polinomi interpolues Spline Kubik per kete sistem nyjesh do te jete shuma e te gjitha polinomeve per cdo interval. Pra:

S(x)= S3,1(x)+ S3,2(x)+ S3,3(x)+ S3,4(x).

Duke kryer veprimet do te kemi kete polinom interpolues spline kubik.

S(x)=0.023163 x3+22.457674 x2−6.894577 x−8.582637

II) Meqenese vlera e argumentit x=1.15 ndodhet midis nyjes se dyte dhe te trete (1<1.15<1.2),atehere,per te gjetur vleren e funksionit ne x=1.15 do te perdorim polinomin spline kubik te intervalit te dyte .

6

Keshtu kemi:

S3,2(1.15)¿1.8520416 ∙1.153+19.247083∙1.152−14.8533432 ∙1.15−4.27477462.

Duke kryer veprimet kemi : S3,2(1.15)=2.079061008.

Per te gjetur f ‘(1.15) derivojme ne fillim polinomin e intervalit te dyte dhe kemi qe:

S’3,2(x )=9.983786964 (1.2−x )2−4.42766214 ( x−1.1 )2+2.4847

Duke zevendesuar ne vend te “x-it”vleren x=1.15 do te kemi kete rezultat: S’3,2(1.15)=2.498562732Tani na ngelet vetem te percaktojme gabimin qe bejme kur perdorim kete metode.

7