polinómok, algebrai törtek.pdf

PolinomokNevezetes azonosságok

Algebrai törtek

Polinomok, algebrai törtek

Nagy Bálint

Dunaújvárosi Foiskola

2010. szeptember 28.

Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek

Algebrai törtek

Tartalom

1 PolinomokTöbbtagú kifejezések összevonásaTöbbtagú egész kifejezés szorzása egy-, és többtagúegész kifejezéssel

2 Nevezetes azonosságok

3 Algebrai törtekAlgebrai törtek értelmezéseAlgebrai törtek zérushelyeMuveletek algebrai törtekkel

Algebrai törtek

Többtagú kifejezések összevonásaTöbbtagú kifejezések szorzása

1 PolinomokTöbbtagú kifejezések összevonásaTöbbtagú egész kifejezés szorzása egy-, és többtagúegész kifejezéssel

Algebrai törtek

1. Példa

Példa. Tekintsük a következo kifejezéseket:

A = 3x3 + 2x2y − 2xy2 + y3, B = x3 − 7x2y + xy2 − y3.

Határozza meg az A + B összeget!

Útmutatás.A behelyettesítés és a zárójelek felbontása után vonjuk össze azegynemu algebrai kifejezéseket!

Megoldás.

A + B =(3x3 + 2x2y − 2xy2 + y3) +

(x3 − 7x2y + xy2 − y3) =

= 3x3 + 2x2y − 2xy2 + y3 + x3 − 7x2y + xy2 − y3 =

= 4x3 − 5x2y − xy2.

Algebrai törtek

1. Példa

A = 3x3 + 2x2y − 2xy2 + y3, B = x3 − 7x2y + xy2 − y3.

Megoldás.

A + B =(3x3 + 2x2y − 2xy2 + y3) +

(x3 − 7x2y + xy2 − y3) =

= 3x3 + 2x2y − 2xy2 + y3 + x3 − 7x2y + xy2 − y3 =

= 4x3 − 5x2y − xy2.

Algebrai törtek

1. Példa

A = 3x3 + 2x2y − 2xy2 + y3, B = x3 − 7x2y + xy2 − y3.

Megoldás.

A + B =(3x3 + 2x2y − 2xy2 + y3) +

(x3 − 7x2y + xy2 − y3) =

= 3x3 + 2x2y − 2xy2 + y3 + x3 − 7x2y + xy2 − y3 =

= 4x3 − 5x2y − xy2.

Algebrai törtek

2. Példa

A = 3x3 + 2x2y − 2xy2 + y3, B = x3 − 7x2y + xy2 − y3.

Határozza meg az A− B különbséget!

Megoldás.

A− B =(3x3 + 2x2y − 2xy2 + y3)− (

x3 − 7x2y + xy2 − y3) =

= 3x3 + 2x2y − 2xy2 + y3 − x3 + 7x2y − xy2 + y3 =

= 2x3 + 9x2y − 3xy2 + 2y3.

Algebrai törtek

2. Példa

A = 3x3 + 2x2y − 2xy2 + y3, B = x3 − 7x2y + xy2 − y3.

Megoldás.

A− B =(3x3 + 2x2y − 2xy2 + y3)− (

x3 − 7x2y + xy2 − y3) =

= 3x3 + 2x2y − 2xy2 + y3 − x3 + 7x2y − xy2 + y3 =

= 2x3 + 9x2y − 3xy2 + 2y3.

Algebrai törtek

2. Példa

A = 3x3 + 2x2y − 2xy2 + y3, B = x3 − 7x2y + xy2 − y3.

Megoldás.

A− B =(3x3 + 2x2y − 2xy2 + y3)− (

x3 − 7x2y + xy2 − y3) =

= 3x3 + 2x2y − 2xy2 + y3 − x3 + 7x2y − xy2 + y3 =

= 2x3 + 9x2y − 3xy2 + 2y3.

Algebrai törtek

3. PéldaPélda. Határozza meg az A + B + C összeget, ha

x − 12

z, B =12

x − 32

y + 2z, C =23

x − 23

Megoldás.

A + B + C =34

x − 12

x − 32

y + 2z +23

x − 23

2− 3

2− 2

+ 2 +34

x − 83

y +4112

Algebrai törtek

x − 12

z, B =12

x − 32

y + 2z, C =23

x − 23

Megoldás.

A + B + C =34

x − 12

x − 32

y + 2z +23

x − 23

2− 3

2− 2

+ 2 +34

x − 83

y +4112

Algebrai törtek

x − 12

z, B =12

x − 32

y + 2z, C =23

x − 23

Megoldás.

A + B + C =34

x − 12

x − 32

y + 2z +23

x − 23

2− 3

2− 2

+ 2 +34

x − 83

y +4112

Algebrai törtek

4. Példa

Példa. Végezze el a következo muveleteket!

x − [4x − (−3x + 2)]

Útmutatás. A zárójelek felbontása után vonjuk össze az egynemualgebrai kifejezéseket!

Megoldás.

x − [4x − (−3x + 2)] =

= x − [4x + 3x − 2] = x − [7x − 2] =

= x − 7x + 2 = −6x + 2.

Algebrai törtek

4. Példa

x − [4x − (−3x + 2)]

Megoldás.

x − [4x − (−3x + 2)] =

= x − [4x + 3x − 2] = x − [7x − 2] =

= x − 7x + 2 = −6x + 2.

Algebrai törtek

4. Példa

x − [4x − (−3x + 2)]

Megoldás.

x − [4x − (−3x + 2)] =

= x − [4x + 3x − 2] = x − [7x − 2] =

= x − 7x + 2 = −6x + 2.

Algebrai törtek

5. Példa

4x + {3y + [2y − 4x − (y − x)]} − [2x − y ].

Megoldás.

4x + {3y + [2y − 4x − (y − x)]} − [2x − y ] =

= 4x − {3y + [2y − 4x − y + x ]} − [2x − y ] =

= 4x − {3y + [y − 3x ]} − [2x − y ] =

= 4x − {4y − 3x} − [2x − y ] = 4x − 4y + 3x − 2x + y = 5x − 3y .

Algebrai törtek

5. Példa

4x + {3y + [2y − 4x − (y − x)]} − [2x − y ].

Megoldás.

4x + {3y + [2y − 4x − (y − x)]} − [2x − y ] =

= 4x − {3y + [2y − 4x − y + x ]} − [2x − y ] =

= 4x − {3y + [y − 3x ]} − [2x − y ] =

= 4x − {4y − 3x} − [2x − y ] = 4x − 4y + 3x − 2x + y = 5x − 3y .

Algebrai törtek

5. Példa

4x + {3y + [2y − 4x − (y − x)]} − [2x − y ].

Megoldás.

4x + {3y + [2y − 4x − (y − x)]} − [2x − y ] =

= 4x − {3y + [2y − 4x − y + x ]} − [2x − y ] =

= 4x − {3y + [y − 3x ]} − [2x − y ] =

= 4x − {4y − 3x} − [2x − y ] = 4x − 4y + 3x − 2x + y = 5x − 3y .

Algebrai törtek

Feladatok

1. Feladat:Végezze el a lehetséges összevonásokat!(

ab +25

ac − 37

bc)−

ab − 32

ac − 35

2. Feladat:Végezze el a következo muveleteket!(

2a3 − 4a + 2)−

(a3 + 4a2 − a

(2a2 − a− 1

3. Feladat:Határozza meg az A− B − [2A− B − (3A− B)] kifejezést, haA = x2 − y2, B = x2 + 2y2.

Algebrai törtek

Eredmények

1. Eredmény:(13

ab +25

ac − 37

bc)−

ab − 32

ac − 35

ab − 1910

ac +635

2. Eredmény:(2a3 − 4a + 2

(a3 + 4a2 − a

(2a2 − a− 1

)= a3 − 6a2 − 2a + 3.

3. Eredmény:

A− B − [2A− B − (3A− B)] = 2A− B =

= 2(x2 − y2)− (x2 + 2y2) = x2 − 4y2.

Algebrai törtek

6. Példa

Példa. Végezze el a kijelölt muveleteket!

(2− 3x2y + 4xy2)(−2x2y).

Megoldás.

(2− 3x2y + 4xy2)(−2x2y) = −4x2y + 6x4y2 − 8x3y3.

Algebrai törtek

6. Példa

(2− 3x2y + 4xy2)(−2x2y).

Megoldás.

(2− 3x2y + 4xy2)(−2x2y) = −4x2y + 6x4y2 − 8x3y3.

Algebrai törtek

7. Példa

3(2u + 3v)− 2(3u + 2v)− u − 2v .

Megoldás.

3(2u + 3v)− 2(3u + 2v)− u − 2v = 6u + 9v − 6u − 4v − u − 2v =

= −u + 3v .

Algebrai törtek

7. Példa

3(2u + 3v)− 2(3u + 2v)− u − 2v .

Megoldás.

3(2u + 3v)− 2(3u + 2v)− u − 2v = 6u + 9v − 6u − 4v − u − 2v =

= −u + 3v .

Algebrai törtek

7. Példa

3(2u + 3v)− 2(3u + 2v)− u − 2v .

Megoldás.

3(2u + 3v)− 2(3u + 2v)− u − 2v = 6u + 9v − 6u − 4v − u − 2v =

= −u + 3v .

Algebrai törtek

8. Példa

(2a− 1)(3− 4a).

Útmutatás. Ne felejtsük el az elso zárójelben levo tagok mindegyikétmegszorozni a második zárójelben szereplo tagok mindegyikével!Végül ügyeljünk az egynemu algebrai kifejezések összevonására!

Megoldás.

(2a− 1)(3− 4a) = 6a− 8a2 − 3 + 4a = −8a2 + 10a− 3.

Algebrai törtek

8. Példa

(2a− 1)(3− 4a).

Megoldás.

(2a− 1)(3− 4a) = 6a− 8a2 − 3 + 4a = −8a2 + 10a− 3.

Algebrai törtek

8. Példa

(2a− 1)(3− 4a).

Megoldás.

(2a− 1)(3− 4a) = 6a− 8a2 − 3 + 4a = −8a2 + 10a− 3.

Algebrai törtek

9. Példa

(3x2 + 2xy − y2)(−2x2 + 3xy − 4y2)

Megoldás.

(3x2 + 2xy − y2)(−2x2 + 3xy − 4y2) =

= −6x4 + 9x3y − 12x2y2 − 4x3y + 6x2y2 − 8xy3 + 2x2y2 − 3xy3 + 4y4 =

= −6x4 + 5x3y − 4x2y2 − 11xy3 + 4y4.

Algebrai törtek

9. Példa

(3x2 + 2xy − y2)(−2x2 + 3xy − 4y2)

Megoldás.

(3x2 + 2xy − y2)(−2x2 + 3xy − 4y2) =

= −6x4 + 5x3y − 4x2y2 − 11xy3 + 4y4.

Algebrai törtek

9. Példa

(3x2 + 2xy − y2)(−2x2 + 3xy − 4y2)

Megoldás.

(3x2 + 2xy − y2)(−2x2 + 3xy − 4y2) =

= −6x4 + 5x3y − 4x2y2 − 11xy3 + 4y4.

Algebrai törtek

Feladatok

4. Feladat:Végezze el a kijelölt muveletet!

2(a− 3b)− 4(3a− 2b) + a− 2b.

5. Feladat:Végezze el a kijelölt muveletet!(

x − 15

6. Feladat:Végezze el a kijelölt muveletet!

(n + 2)(n2 − 2n + 4).

Algebrai törtek

Eredmények

4. Eredmény:

2(a− 3b)− 4(3a− 2b) + a− 2b = −9a.

5. Eredmény:(13

x − 15

x2 +11180

xy − 115

6. Eredmény:

(n + 2)(n2 − 2n + 4) = n3 + 8.

Algebrai törtek

1 PolinomokTöbbtagú kifejezések összevonásaTöbbtagú egész kifejezés szorzása egy-, és többtagú egészkifejezéssel

Algebrai törtek

10. PéldaPélda. Végezze el a kijelölt muveleteket!

(b − 5a)(b + 5a).

Útmutatás. Alkalmazható a többtagú kifejezések szorzásánálmegismert eljárás:

(b − 5a)(b + 5a) = b2 + 5ab − 5ab − 25a2 = b2 − 25a2.

Célszerubb azonban alkalmazni az alábbi nevezetes azonosságot:

(a + b)(a− b) = a2 − b2.

Megoldás.

(b − 5a)(b + 5a) = b2 − (5a)2 = b2 − 25a2.

Algebrai törtek

(b − 5a)(b + 5a).

(b − 5a)(b + 5a) = b2 + 5ab − 5ab − 25a2 = b2 − 25a2.

(a + b)(a− b) = a2 − b2.

Megoldás.

(b − 5a)(b + 5a) = b2 − (5a)2 = b2 − 25a2.

Algebrai törtek

(b − 5a)(b + 5a).

(b − 5a)(b + 5a) = b2 + 5ab − 5ab − 25a2 = b2 − 25a2.

(a + b)(a− b) = a2 − b2.

Megoldás.

(b − 5a)(b + 5a) = b2 − (5a)2 = b2 − 25a2.

Algebrai törtek

11. Példa

Példa. Végezze el a kijelölt muveleteket!(13

x − 12

Útmutatás. Alkalmazzuk az alábbi nevezetes azonosságot:

(a + b)(a− b) = a2 − b2

Megoldás.(13

x − 12

x2 − 116

Algebrai törtek

11. Példa

x − 12

(a + b)(a− b) = a2 − b2

Megoldás.(13

x − 12

x2 − 116

Algebrai törtek

11. Példa

x − 12

(a + b)(a− b) = a2 − b2

Megoldás.(13

x − 12

x2 − 116

Algebrai törtek

12. Példa

Példa. Számítsa ki az alábbi szorzat értékét számológép használatanélkül!

99 · 101

(a + b)(a− b) = a2 − b2

Megoldás.

99 · 101 = (100− 1)(100 + 1) = 1002 − 1 = 9999.

Algebrai törtek

12. Példa

99 · 101

(a + b)(a− b) = a2 − b2

Megoldás.

99 · 101 = (100− 1)(100 + 1) = 1002 − 1 = 9999.

Algebrai törtek

12. Példa

99 · 101

(a + b)(a− b) = a2 − b2

Megoldás.

99 · 101 = (100− 1)(100 + 1) = 1002 − 1 = 9999.

Algebrai törtek

13. Példa

Példa. Számítsa ki az alábbi különbség értékét számológéphasználata nélkül!

772 − 232

(a + b)(a− b) = a2 − b2

Megoldás.

772 − 232 = (77− 23)(77 + 23) = 5400.

Algebrai törtek

13. Példa

772 − 232

(a + b)(a− b) = a2 − b2

Megoldás.

772 − 232 = (77− 23)(77 + 23) = 5400.

Algebrai törtek

13. Példa

772 − 232

(a + b)(a− b) = a2 − b2

Megoldás.

772 − 232 = (77− 23)(77 + 23) = 5400.

Algebrai törtek

14. Példa

Példa. Igaz-e az alábbi egyenloség?

3a2 − (a + 2)(a− 2) = 2a2 − 4

(a + b)(a− b) = a2 − b2.

Végül vonjuk össze az egynemu algebrai kifejezéseket!

Megoldás.

3a2 − (a + 2)(a− 2) = 3a2 − (a2 − 4) = 3a2 − a2 + 4 = 2a2 + 4.

A feladatban szereplo egyenloség nem igaz.

Algebrai törtek

14. Példa

3a2 − (a + 2)(a− 2) = 2a2 − 4

(a + b)(a− b) = a2 − b2.

Megoldás.

3a2 − (a + 2)(a− 2) = 3a2 − (a2 − 4) = 3a2 − a2 + 4 = 2a2 + 4.

Algebrai törtek

14. Példa

3a2 − (a + 2)(a− 2) = 2a2 − 4

(a + b)(a− b) = a2 − b2.

Megoldás.

3a2 − (a + 2)(a− 2) = 3a2 − (a2 − 4) = 3a2 − a2 + 4 = 2a2 + 4.

Algebrai törtek

15. Példa

(x + 2y)(x − 2y)− (x − y)(y + x) = −3y2

(a + b)(a− b) = a2 − b2.

Megoldás.

(x + 2y)(x − 2y)− (x − y)(y + x) = (x2 − 4y2)− (x2 − y2) = −3y2.

A feladatban szereplo egyenloség valóban igaz, tehát azonosság.

Algebrai törtek

15. Példa

(x + 2y)(x − 2y)− (x − y)(y + x) = −3y2

(a + b)(a− b) = a2 − b2.

Megoldás.

(x + 2y)(x − 2y)− (x − y)(y + x) = (x2 − 4y2)− (x2 − y2) = −3y2.

Algebrai törtek

15. Példa

(x + 2y)(x − 2y)− (x − y)(y + x) = −3y2

(a + b)(a− b) = a2 − b2.

Megoldás.

(x + 2y)(x − 2y)− (x − y)(y + x) = (x2 − 4y2)− (x2 − y2) = −3y2.

Algebrai törtek

16. Példa

Példa. Végezze el a következo négyzetre emelést!

(2a + 3x)2

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2.

Megoldás.

(2a + 3x)2 = (2a)2 + 2 · 2a · 3x + (3x)2 = 4a2 + 12ax + 9x2.

Algebrai törtek

16. Példa

(2a + 3x)2

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2.

Megoldás.

(2a + 3x)2 = (2a)2 + 2 · 2a · 3x + (3x)2 = 4a2 + 12ax + 9x2.

Algebrai törtek

16. Példa

(2a + 3x)2

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2.

Megoldás.

(2a + 3x)2 = (2a)2 + 2 · 2a · 3x + (3x)2 = 4a2 + 12ax + 9x2.

Algebrai törtek

17. Példa

(1− 2a)2.

(a− b)2 = a2 − 2ab + b2.

Megoldás.

(1− 2a)2 = 12 − 2 · 1 · 2a + (2a)2 = 1− 4a + 4a2.

Algebrai törtek

17. Példa

(1− 2a)2.

(a− b)2 = a2 − 2ab + b2.

Megoldás.

(1− 2a)2 = 12 − 2 · 1 · 2a + (2a)2 = 1− 4a + 4a2.

Algebrai törtek

17. Példa

(1− 2a)2.

(a− b)2 = a2 − 2ab + b2.

Megoldás.

(1− 2a)2 = 12 − 2 · 1 · 2a + (2a)2 = 1− 4a + 4a2.

Algebrai törtek

18. Példa

Példa. Végezze el a következo négyzetre emelést!(13

y − 25

(a− b)2 = a2 − 2ab + b2.

Megoldás.(13

y − 25

−2 · 13

y · 25

y2− 415

Algebrai törtek

18. Példa

y − 25

(a− b)2 = a2 − 2ab + b2.

Megoldás.(13

y − 25

−2 · 13

y · 25

y2− 415

Algebrai törtek

18. Példa

y − 25

(a− b)2 = a2 − 2ab + b2.

Megoldás.(13

y − 25

−2 · 13

y · 25

y2− 415

Algebrai törtek

19. Példa

Példa. Írja fel két tag négyzeteként a következo kifejezést!

25a2 − 70ab + 49b2.

(a− b)2 = a2 − 2ab + b2.

Megoldás.

25a2 − 70ab + 49b2 = (5a)2 − 2 · 5a · 7b + (7b)2 = (5a− 7b)2,

25a2−70ab+49b2 = (−5a)2−2·(−5a)·(−7b)+(−7b)2 = (−5a− (−7b))2.

Algebrai törtek

19. Példa

25a2 − 70ab + 49b2.

(a− b)2 = a2 − 2ab + b2.

Megoldás.

25a2 − 70ab + 49b2 = (5a)2 − 2 · 5a · 7b + (7b)2 = (5a− 7b)2,

25a2−70ab+49b2 = (−5a)2−2·(−5a)·(−7b)+(−7b)2 = (−5a− (−7b))2.

Algebrai törtek

19. Példa

25a2 − 70ab + 49b2.

(a− b)2 = a2 − 2ab + b2.

Megoldás.

25a2 − 70ab + 49b2 = (5a)2 − 2 · 5a · 7b + (7b)2 = (5a− 7b)2,

25a2−70ab+49b2 = (−5a)2−2·(−5a)·(−7b)+(−7b)2 = (−5a− (−7b))2.

Algebrai törtek

20. PéldaPélda. Írja fel két tag négyzeteként a következo kifejezést!

x2 +1x2 + 2.

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2.

Megoldás.

x2 +1x2 + 2 = x2 + 2 · x · 1

x2 +1x2 + 2 = (−x)2 + 2 · (−x) ·

(−x − 1

Algebrai törtek

x2 +1x2 + 2.

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2.

Megoldás.

x2 +1x2 + 2 = x2 + 2 · x · 1

x2 +1x2 + 2 = (−x)2 + 2 · (−x) ·

(−x − 1

Algebrai törtek

x2 +1x2 + 2.

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2.

Megoldás.

x2 +1x2 + 2 = x2 + 2 · x · 1

x2 +1x2 + 2 = (−x)2 + 2 · (−x) ·

(−x − 1

Algebrai törtek

Feladatok7. Feladat:Végezze el a kijelölt muveletet!

(n + 1)(1− n)

x + 2y)2

n − 1n

10. Feladat:Számítsa ki az alábbi különbséget!

9752 − 252

Algebrai törtek

Eredmények

7. Eredmény:

(n + 1)(1− n) = 1− n2

8. Eredmény: (12

x + 2y)2

4+ 2xy + 4y2

9. Eredmény: (n − 1

= n2 +1n2 − 2

10. Eredmény:

9752 − 252 = 950000

Algebrai törtek

21. Példa

Példa. Írjuk fel a kifejezést a(x− u)2 + v alakban ("teljes négyzettéalakítás").

a2 − 2a + 5.

Megoldás.

a2 − 2a + 5 = (a− 1)2 − 1 + 5 = (a− 1)2 + 4.

Algebrai törtek

21. Példa

a2 − 2a + 5.

Megoldás.

a2 − 2a + 5 = (a− 1)2 − 1 + 5 = (a− 1)2 + 4.

Algebrai törtek

22. Példa

−3x2 − 12x + 1.

Megoldás.

−3x2−12x+1 = −3(x2+4x)+1 = −3((x + 2)2 − 4

)+1 = −3(x+2)2+13.

Algebrai törtek

22. Példa

−3x2 − 12x + 1.

Megoldás.

−3x2−12x+1 = −3(x2+4x)+1 = −3((x + 2)2 − 4

)+1 = −3(x+2)2+13.

Algebrai törtek

Feladatok11. Feladat: Írjuk fel a kifejezést a(x− u)2 + v alakban ("teljesnégyzetté alakítás").

x2 − 2x + 5

12. Feladat: Írjuk fel a kifejezést a(x− u)2 + v alakban ("teljesnégyzetté alakítás").

x2 + 4x + 5

3x2 − 12x + 17

−2x2 − 12x − 19

Algebrai törtek

Eredmények

11. Eredmény:

x2 − 2x + 5 = (x − 1)2 + 4

12. Eredmény:

x2 + 4x + 5 = (x + 2)2 + 1

13. Eredmény:

3x2 − 12x + 17 = 3(x − 2)2 + 5

14. Eredmény:

−2x2 − 12x − 19 = −2(x + 3)2 − 1

Algebrai törtek

23. Példa

Példa. Végezze el a következo köbre emelést!

(x + 2)3

Útmutatás. Alkalmazzuk az alábbi nevezetes azonosságot!

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3.

Megoldás.

(x + 2)3 = x3 + 3 · x2 · 2 + 3 · x · 22 + 23 = x3 + 6x2 + 12x + 8.

Algebrai törtek

23. Példa

(x + 2)3

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3.

Megoldás.

(x + 2)3 = x3 + 3 · x2 · 2 + 3 · x · 22 + 23 = x3 + 6x2 + 12x + 8.

Algebrai törtek

23. Példa

(x + 2)3

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3.

Megoldás.

(x + 2)3 = x3 + 3 · x2 · 2 + 3 · x · 22 + 23 = x3 + 6x2 + 12x + 8.

Algebrai törtek

24. Példa

(1− c)3

(a− b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3.

Megoldás.

(1− c)3 = 13 − 3 · 12 · c + 3 · 1 · c2 − c3 = 1− 3c + 3c2 − c3.

Algebrai törtek

24. Példa

(1− c)3

(a− b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3.

Megoldás.

(1− c)3 = 13 − 3 · 12 · c + 3 · 1 · c2 − c3 = 1− 3c + 3c2 − c3.

Algebrai törtek

24. Példa

(1− c)3

(a− b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3.

Megoldás.

(1− c)3 = 13 − 3 · 12 · c + 3 · 1 · c2 − c3 = 1− 3c + 3c2 − c3.

Algebrai törtek

25. Példa

Példa. Hozza egyszerubb alakra a következo kifejezést!

(x − y)2 − (x + y)2 − 2(y + x)(x − y)

Útmutatás. Alkalmazzuk a tanult nevezetes azonosságokat!

Megoldás.

(x − y)2 − (x + y)2 − 2(y + x)(x − y) =

= x2 − 2xy + y2 − x2 − 2xy − y2 − 2(x2 − y2) =

= −2x2 − 4xy + 2y2.

Algebrai törtek

25. Példa

(x − y)2 − (x + y)2 − 2(y + x)(x − y)

Megoldás.

(x − y)2 − (x + y)2 − 2(y + x)(x − y) =

= x2 − 2xy + y2 − x2 − 2xy − y2 − 2(x2 − y2) =

= −2x2 − 4xy + 2y2.

Algebrai törtek

25. Példa

(x − y)2 − (x + y)2 − 2(y + x)(x − y)

Megoldás.

(x − y)2 − (x + y)2 − 2(y + x)(x − y) =

= x2 − 2xy + y2 − x2 − 2xy − y2 − 2(x2 − y2) =

= −2x2 − 4xy + 2y2.

Algebrai törtek

Feladatok

x − 13

17. Feladat:Hozza egyszerubb alakra a következo kifejezést!

(a + 2b)2(a− 2b)2

Algebrai törtek

Eredmények

15. Eredmény: (12

x − 13

8− x2

x6− 1

16. Eredmény:(a +

)3= a3 +

17. Eredmény:

(a + 2b)2(a− 2b)2 = a4 − 8a2b2 + 16b4

Algebrai törtek

26. Példa

Példa. Alakítsa szorzattá a következo kifejezést!

3xy − 3xw

Útmutatás. Keressük meg a tagokban szereplo összes közöstényezot, s ezeket emeljük ki!

Megoldás.3xy − 3xw = 3x(y − w).

Algebrai törtek

26. Példa

3xy − 3xw

Algebrai törtek

26. Példa

3xy − 3xw

Algebrai törtek

27. Példa

2cd + 6c2x .

Megoldás.2cd + 6c2x = 2c(d + 3cx).

Algebrai törtek

27. Példa

2cd + 6c2x .

Algebrai törtek

27. Példa

2cd + 6c2x .

Algebrai törtek

28. Példa

b5 − b3.

Útmutatás. Keressük meg a tagokban szereplo összes közöstényezot, s ezeket emeljük ki! Majd vegyük észre, hogy alkalmazhatóaz a2 − b2 = (a + b)(a− b) nevezetes azonosság!

Megoldás.

b5 − b3 = b3(b2 − 1) = b3(b − 1)(b + 1).

Algebrai törtek

28. Példa

b5 − b3.

Megoldás.

b5 − b3 = b3(b2 − 1) = b3(b − 1)(b + 1).

Algebrai törtek

28. Példa

b5 − b3.

Megoldás.

b5 − b3 = b3(b2 − 1) = b3(b − 1)(b + 1).

Algebrai törtek

29. Példa

2c2x − 24cx + 72x .

Útmutatás. Keressük meg a tagokban szereplo összes közöstényezot, s ezeket emeljük ki! Majd vegyük észre, hogy alkalmazhatóaz (a− b)2 = a2 − 2ab + b2 nevezetes azonosság!

Megoldás.

2c2x − 24cx + 72x = 2x(c2 − 12c + 36) = 2x(c − 6)2.

Algebrai törtek

29. Példa

2c2x − 24cx + 72x .

Megoldás.

2c2x − 24cx + 72x = 2x(c2 − 12c + 36) = 2x(c − 6)2.

Algebrai törtek

29. Példa

2c2x − 24cx + 72x .

Megoldás.

2c2x − 24cx + 72x = 2x(c2 − 12c + 36) = 2x(c − 6)2.

Algebrai törtek

30. Példa

Példa. Alakítsa szorzattá az alábbi kifejezést!

x2 − w2.

Útmutatás. Alkalmazzuk a következo azonosságot:

a2 − b2 = (a + b)(a− b).

Megoldás.

x2 − w2 =

− w2 =

x + w) (

x − w)

Algebrai törtek

30. Példa

x2 − w2.

a2 − b2 = (a + b)(a− b).

Megoldás.

x2 − w2 =

− w2 =

x + w) (

x − w)

Algebrai törtek

30. Példa

x2 − w2.

a2 − b2 = (a + b)(a− b).

Megoldás.

x2 − w2 =

− w2 =

x + w) (

x − w)

Algebrai törtek

31. Példa

3d2 − 12e2

Útmutatás. Kiemelés után alkalmazzuk a következo azonosságot:

a2 − b2 = (a + b)(a− b)

Megoldás.

3d2 − 12e2 = 3(d2 − 4e2) = 3(d2 − (2e)2) = 3(d + 2e)(d − 2e).

Algebrai törtek

31. Példa

3d2 − 12e2

a2 − b2 = (a + b)(a− b)

Megoldás.

3d2 − 12e2 = 3(d2 − 4e2) = 3(d2 − (2e)2) = 3(d + 2e)(d − 2e).

Algebrai törtek

31. Példa

3d2 − 12e2

a2 − b2 = (a + b)(a− b)

Megoldás.

3d2 − 12e2 = 3(d2 − 4e2) = 3(d2 − (2e)2) = 3(d + 2e)(d − 2e).

Algebrai törtek

32. Példa

2x2 + 12x + 10

Útmutatás. Írjuk fel a kifejezést a(x− u)2 + v alakban ("teljesnégyzetté alakítás"), majd alkalmazzuk a megfelelo nevezetesazonosságot.

Megoldás.

2x2 + 12x + 10 = 2(x2 + 6x + 5) = 2((x + 3)2 − 4

= 2((x + 3)2 − 22) = 2 ((x + 3 + 2)(x + 3− 2)) =

= 2(x + 5)(x + 1)

Algebrai törtek

32. Példa

2x2 + 12x + 10

Megoldás.

2x2 + 12x + 10 = 2(x2 + 6x + 5) = 2((x + 3)2 − 4

= 2((x + 3)2 − 22) = 2 ((x + 3 + 2)(x + 3− 2)) =

= 2(x + 5)(x + 1)

Algebrai törtek

32. Példa

2x2 + 12x + 10

Megoldás.

2x2 + 12x + 10 = 2(x2 + 6x + 5) = 2((x + 3)2 − 4

= 2((x + 3)2 − 22) = 2 ((x + 3 + 2)(x + 3− 2)) =

= 2(x + 5)(x + 1)

Algebrai törtek

32. Példa – 2. MegoldásPélda. Alakítsa szorzattá az alábbi kifejezést!

2x2 + 12x + 10

Útmutatás. A másodfokú kifejezés gyöktényezos alakja segítségévelis eloállítható a keresett szorzat. Ismeretes, hogy ha azax2 + bx + c = 0 (a 6= 0) egyenlet megoldásai x1 és x2, akkor azegyenlet gyöktényezos alakja

a(x − x1)(x − x2) = 0.

Megoldás.

2x2 + 12x + 10 = 0⇒ x1,2 =−12±

√122 − 4 · 2 · 102 · 2

=−12± 8

4x1 = −1, x2 = −5.

Így a megoldás: 2x2 + 12x + 10 = 2(x + 5)(x + 1).

Algebrai törtek

2x2 + 12x + 10

a(x − x1)(x − x2) = 0.

Megoldás.

2x2 + 12x + 10 = 0⇒ x1,2 =−12±

√122 − 4 · 2 · 102 · 2

=−12± 8

4x1 = −1, x2 = −5.

Algebrai törtek

2x2 + 12x + 10

a(x − x1)(x − x2) = 0.

Megoldás.

2x2 + 12x + 10 = 0⇒ x1,2 =−12±

√122 − 4 · 2 · 102 · 2

=−12± 8

4x1 = −1, x2 = −5.

Algebrai törtek

Feladatok18. Feladat:Alakítsa szorzattá a következo kifejezést!

5cd + 5d

19. Feladat:Alakítsa szorzattá a következo kifejezést!

3x2y − 6xy2

(a + b)2 − 4

3x2 − 3x − 18

Algebrai törtek

Eredmények

18. Eredmény:

5cd + 5d = 5d(c + 1)

19. Eredmény:

3x2y − 6xy2 = 3xy(x − 2y)

20. Eredmény:

(a + b)2 − 4 = (a + b + 2)(a + b − 2)

21. Eredmény:

3x2 − 3x − 18 = 3(x + 2)(x − 3)

Algebrai törtek

Algebrai törtek értelmezéseAlgebrai törtek zérushelyeMuveletek algebrai törtekkel

1 PolinomokTöbbtagú kifejezések összevonásaTöbbtagú egész kifejezés szorzása egy-, és többtagú egészkifejezéssel

Algebrai törtek

33. Példa

Példa. Határozza meg a valós számoknak azt a legbovebbrészhalmazát, amelyen a következo tört értelmezheto!

2x − 4x − 3

Útmutatás. Ez a tört akkor értelmezheto, ha nevezoje nem egyenlonullával.

Megoldás.

x − 3 6= 0x 6= 3.

Tehát a keresett halmaz: {x ∈ R|x 6= 3}.

Algebrai törtek

33. Példa

2x − 4x − 3

Megoldás.

x − 3 6= 0x 6= 3.

Algebrai törtek

33. Példa

2x − 4x − 3

Megoldás.

x − 3 6= 0x 6= 3.

Algebrai törtek

34. Példa

a + 2a2 − 4

Megoldás.

a2 − 4 6= 0(a + 2)(a− 2) 6= 0

a 6= −2 és a 6= 2

Tehát a keresett halmaz: {a ∈ R||a| 6= 2}.

Algebrai törtek

34. Példa

a + 2a2 − 4

Megoldás.

a2 − 4 6= 0(a + 2)(a− 2) 6= 0

a 6= −2 és a 6= 2

Algebrai törtek

34. Példa

a + 2a2 − 4

Megoldás.

a2 − 4 6= 0(a + 2)(a− 2) 6= 0

a 6= −2 és a 6= 2

Algebrai törtek

35. Példa

Példa.Határozza meg a valós számoknak azt a legbovebb részhalmazát,amelyen a következo tört értelmezheto!

bb2 + 4

Megoldás.

b2 + 4 6= 0

Mivel b2 + 4 > 0 minden b ∈ R esetén, a keresett halmaz: R.

Algebrai törtek

35. Példa

bb2 + 4

Megoldás.

b2 + 4 6= 0

Algebrai törtek

35. Példa

bb2 + 4

Megoldás.

b2 + 4 6= 0

Algebrai törtek

36. PéldaPélda.Határozza meg a valós számoknak azt a legbovebb részhalmazát,amelyen a következo tört értelmezheto!

5x + 12x2 − 5x + 6

Megoldás.

x2 − 5x + 6 6= 0(x − 2)(x − 3) 6= 0

x 6= 2 és x 6= 3

A keresett halmaz: {x ∈ R|x 6= 2 és x 6= 3}.

Algebrai törtek

5x + 12x2 − 5x + 6

Megoldás.

x2 − 5x + 6 6= 0(x − 2)(x − 3) 6= 0

x 6= 2 és x 6= 3

A keresett halmaz: {x ∈ R|x 6= 2 és x 6= 3}.

Algebrai törtek

5x + 12x2 − 5x + 6

Megoldás.

x2 − 5x + 6 6= 0(x − 2)(x − 3) 6= 0

x 6= 2 és x 6= 3

A keresett halmaz: {x ∈ R|x 6= 2 és x 6= 3}.Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek

Algebrai törtek

37. Példa

Példa. Határozza meg az ismeretlen azon értékeit, melyre akövetkezo tört helyettesítési értéke nulla.

xx + 3

Útmutatás. Egy tört értéke akkor és csak akkor nulla, ha a számlálónulla és a vizsgált helyen a tört értelmezheto.

Megoldás. A tört akkor értelmezheto, ha x 6= −3. Az útmutatásszerint vizsgáljuk a tört számlálóját:

x = 0.

Algebrai törtek

37. Példa

xx + 3

x = 0.

Algebrai törtek

37. Példa

xx + 3

x = 0.

Algebrai törtek

38. Példa

x + 12x2 + 5x + 6

Megoldás. A tört akkor értelmezheto, ha x 6= −2 és x 6= −3. Azútmutatás szerint vizsgáljuk a tört számlálóját:

x + 12 = 0x = −12

Algebrai törtek

38. Példa

x + 12x2 + 5x + 6

x + 12 = 0x = −12

Algebrai törtek

38. Példa

x + 12x2 + 5x + 6

x + 12 = 0x = −12

Algebrai törtek

39. PéldaPélda. Határozza meg az ismeretlen azon értékeit, melyre akövetkezo tört helyettesítési értéke nulla.

a + 4a2 − 16

Megoldás. A tört értelmes, ha a 6= 4 és a 6= −4. Az útmutatás szerintvizsgáljuk a tört számlálóját:

a + 4 = 0a = −4.

Vegyük észre, hogy a = −4 esetén a tört nem értelmezheto. Így nemlétezik az a-nak olyan értéke, melyre a tört helyettesítési értéke nulla.

Algebrai törtek

a + 4a2 − 16

a + 4 = 0a = −4.

Algebrai törtek

a + 4a2 − 16

a + 4 = 0a = −4.

Algebrai törtek

Feladatok22. Feladat: Határozza meg a valós számoknak azt a legbovebbrészhalmazát, amelyen a következo tört értelmezheto!

x − 59− x2

23. Feladat: Határozza meg a valós számoknak azt a legbovebbrészhalmazát, amelyen a következo tört értelmezheto!

23x2 + 15x + 12

24. Feladat: Határozza meg az ismeretlen azon értékeit, emlyre akövetkezo tört helyettesítési értéke nulla.

1− x2

x − 325. Feladat: Határozza meg az ismeretlen azon értékeit, emlyre akövetkezo tört helyettesítési értéke nulla.

2x2 + 2x − 4x + 2Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek

Algebrai törtek

Eredmények

22. Eredmény:

{x ∈ R|x 6= 3 és x 6= −3}

23. Eredmény:

{x ∈ R|x 6= −4 és x 6= −1}

24. Eredmény:

x = 1 és x = −1

25. Eredmény:

x = 1 és x = −2

Algebrai törtek

40. Példa

Példa. Egyszerusítse az alábbi kifejezést!

2a2 − 24a− 4

(a 6= 1).

Útmutatás. Kiemelés és nevezetes azonosságok segítségévelalakítsuk szorzattá a számlálót és a nevezot, majd egyszerusítsük akifejezést!

Megoldás.

2a2 − 24a− 4

=2(a + 1)(a− 1)

4(a− 1)=

a + 12

Algebrai törtek

40. Példa

2a2 − 24a− 4

(a 6= 1).

Megoldás.

2a2 − 24a− 4

=2(a + 1)(a− 1)

4(a− 1)=

a + 12

Algebrai törtek

40. Példa

2a2 − 24a− 4

(a 6= 1).

Megoldás.

2a2 − 24a− 4

=2(a + 1)(a− 1)

4(a− 1)=

a + 12

Algebrai törtek

41. Példa

20c2 − 1806c2 + 36c + 54

(c 6= −3).

Megoldás.

20c2 − 1806c2 + 36c + 54

=2 · 2 · 5(c + 3)(c − 3)

2 · 3(c + 3)(c + 3)=

10(c − 3)

c + 3.

Algebrai törtek

41. Példa

20c2 − 1806c2 + 36c + 54

(c 6= −3).

Megoldás.

20c2 − 1806c2 + 36c + 54

=2 · 2 · 5(c + 3)(c − 3)

2 · 3(c + 3)(c + 3)=

10(c − 3)

c + 3.

Algebrai törtek

41. Példa

20c2 − 1806c2 + 36c + 54

(c 6= −3).

Megoldás.

20c2 − 1806c2 + 36c + 54

=2 · 2 · 5(c + 3)(c − 3)

2 · 3(c + 3)(c + 3)=

10(c − 3)

c + 3.

Algebrai törtek

Feladatok

26. Feladat: Egyszerusítse az alábbi kifejezést!

d + 12d2 − 2

(|d | 6= 1).

27. Feladat: Egyszerusítse az alábbi kifejezést!

(a + b)2(a− b)

(a2 − b2)(a + b)(|a| 6= b).

Algebrai törtek

Eredmények

26. Eredmény:

d + 12d2 − 2

2(d − 1).

27. Eredmény:

(a + b)2(a− b)

(a2 − b2)(a + b)= 1.

Algebrai törtek

42. Példa

5x − 12

− 7x + 35

Útmutatás. Közös nevezore hozás után elvégezheto a kivonás. Aközös nevezo a nevezok legkisebb közös többszöröse.

Megoldás.

5x − 12

− 7x + 35

=5(5x − 1)

10− 2(7x + 3)

25x − 5− 14x − 610

=11(x − 1)

Algebrai törtek

42. Példa

5x − 12

− 7x + 35

Megoldás.

5x − 12

− 7x + 35

=5(5x − 1)

10− 2(7x + 3)

25x − 5− 14x − 610

=11(x − 1)

Algebrai törtek

42. Példa

5x − 12

− 7x + 35

Megoldás.

5x − 12

− 7x + 35

=5(5x − 1)

10− 2(7x + 3)

25x − 5− 14x − 610

=11(x − 1)

Algebrai törtek

43. Példa

1yz− 1

yw(yzw 6= 0).

Megoldás.

1yz− 1

− zywz

=w − zywz

Algebrai törtek

43. Példa

1yz− 1

yw(yzw 6= 0).

Megoldás.

1yz− 1

− zywz

=w − zywz

Algebrai törtek

43. Példa

1yz− 1

yw(yzw 6= 0).

Megoldás.

1yz− 1

− zywz

=w − zywz

Algebrai törtek

44. Példa

52x + 4

x + 2(x 6= −2).

Útmutatás. Közös nevezore hozás után elvégezheto az összeadás. Aközös nevezo a nevezok legkisebb közös többszöröse. A közösnevezo meghatározásához bontsuk szorzattá a nevezoket!

Megoldás.

52x + 4

x + 2=

52(x + 2)

2(x + 2)=

5 + 2x2(x + 2)

Algebrai törtek

44. Példa

52x + 4

x + 2(x 6= −2).

Megoldás.

52x + 4

x + 2=

52(x + 2)

2(x + 2)=

5 + 2x2(x + 2)

Algebrai törtek

44. Példa

52x + 4

x + 2(x 6= −2).

Megoldás.

52x + 4

x + 2=

52(x + 2)

2(x + 2)=

5 + 2x2(x + 2)

Algebrai törtek

45. Példa

3b − 1

2(b + 1)− 1

b2 − 1(|b| 6= 1).

Útmutatás. Közös nevezore hozás után elvégezhetoek a muveletek.A közös nevezo a nevezok legkisebb közös többszöröse. A közösnevezo meghatározásához bontsuk szorzattá a nevezoket!

Megoldás.

3b − 1

2(b + 1)− 1

b2 − 1=

2 · 3 · (b + 1) + b − 1− 22(b + 1)(b − 1)

=7b + 3

2(b2 − 1).

Algebrai törtek

45. Példa

3b − 1

2(b + 1)− 1

b2 − 1(|b| 6= 1).

Megoldás.

3b − 1

2(b + 1)− 1

b2 − 1=

2 · 3 · (b + 1) + b − 1− 22(b + 1)(b − 1)

=7b + 3

2(b2 − 1).

Algebrai törtek

45. Példa

3b − 1

2(b + 1)− 1

b2 − 1(|b| 6= 1).

Megoldás.

3b − 1

2(b + 1)− 1

b2 − 1=

2 · 3 · (b + 1) + b − 1− 22(b + 1)(b − 1)

=7b + 3

2(b2 − 1).

Algebrai törtek

Feladatok28. Feladat: Végezze el a következo muveletet!

3c + 15

− 2c + 34

29. Feladat: Végezze el a következo muveletet!

+zxy− y

xz(xyz 6= 0).

− 2a2 − 9

a + 3− 1

a2 − 6a + 9(|a| 6= 3).

a + 1a2(a− 1)

− a + 1a(a2 − 1)

(a 6= 0, |a| 6= 1).

Algebrai törtek

Eredmények28. Eredmény:

3c + 15

− 2c + 34

=2c − 11

29. Eredmény:

+zxy− y

x2 − y2 + z2

30. Eredmény:

− 2a2 − 9

a + 3− 1

a2 − 6a + 9=

3(a2 − 7a + 10)

(a− 3)2(a + 3).

31. Eredmény:

a + 1a2(a− 1)

− a + 1a(a2 − 1)

a2(a− 1).

Algebrai törtek

46. Példa

1x −

xy(xy 6= 0).

Útmutatás. A számlálóban közös nevezore hozunk. Ezután törtet úgyis oszthatunk egy kifejezéssel, hogy a nevezoket összeszorozzuk.

Megoldás.

1x −

y−xxy

y − xx2y2 .

Algebrai törtek

46. Példa

1x −

xy(xy 6= 0).

Megoldás.

1x −

y−xxy

y − xx2y2 .

Algebrai törtek

46. Példa

1x −

xy(xy 6= 0).

Megoldás.

1x −

y−xxy

y − xx2y2 .

Algebrai törtek

47. Példa

3 + 4a

(a 6= 0).

Útmutatás. A második tag nevezojében közös nevezore hozunk.Majdegy kifejezést törttel úgy osztunk, hogy az osztandot megszorozzukaz osztó reciprokával. Végül közös nevezore hozás után összevonjukaz egynemu algebrai kifejezéseket.

Megoldás.

3 + 4a

= 1 +2

= 1 +2a

3a + 4=

3a + 43a + 4

3a + 4=

5a + 43a + 4

Algebrai törtek

47. Példa

3 + 4a

(a 6= 0).

Megoldás.

3 + 4a

= 1 +2

= 1 +2a

3a + 4=

3a + 43a + 4

3a + 4=

5a + 43a + 4

Algebrai törtek

47. Példa

3 + 4a

(a 6= 0).

Megoldás.

3 + 4a

= 1 +2

= 1 +2a

3a + 4=

3a + 43a + 4

3a + 4=

5a + 43a + 4

Algebrai törtek

Feladatok

xy1x + 1

(xy 6= 0).

1− 1a

(a 6= 0).

Algebrai törtek

Eredmények

32. Eredmény:

xy1x + 1

x + y.

33. Eredmény:

1− 1a

=2a− 1a− 1

polinómok, algebrai törtek.pdf

Documents