pon laboratorio scientifico its «m. buonarroti» caserta misure & numeri 1
TRANSCRIPT
PON Laboratorio ScientificoPON Laboratorio ScientificoITS «M. Buonarroti» CasertaITS «M. Buonarroti» Caserta
Misure & Numeri
1
1- Misure & Numeri
PON Laboratorio Scientifico
I NUMERI(diamo) (?)
12.32 metri è uguale a 12.32000 metri ?
Sì per un matematico ma … NO per un fisico, chimico, biologo etc. (uno sperimentale) !
Unità di misuraÈ il risultato (diretto o indiretto) di una operazione di misura e le cifre (significative) hanno un … preciso
significato !
1- Misure & Numeri
PON Laboratorio Scientifico
Misura Diretta di una Grandezza
• Confronto con un Campione • 5.9 cm
• 6.0 cm• 6.1 cm
• …. cm
• .... cm
Errori Casuali (±)Errori Sistematiciindividuati, si possono
correggere (offset, taratura, procedura,
condizioni di misura, preparazione )
1- Misure & Numeri
PON Laboratorio ScientificoDistribuzione delle Misure (istogramma)
distribuzione gaussiana
Vm
σ
2m
σVV
e
A
1- Misure & Numeri
PON Laboratorio Scientifico
0.........)()...()()( 1211
mimimmm
N
ii NVVVVVVVVVVV
Qual è la Misura della Lunghezza della Matita?
V1=5.9 V2=6.1 V3=6.0 V4=5.9 V5=5.8 V6=6.2 V7=5.6 …. Vi=…. ….
N ripetizioni della misura
medioValoreN
V
N
VVVVV
N
ii
im
1321 ......
(Vi-Vm) scarto (dal valor medio)
della misura i
1- Misure & Numeri
PON Laboratorio ScientificoQual è la Misura della Lunghezza della Matita?
Occorre fornire anche un indice di quanto è largo l’istogramma (poco o molto dispersa la misura, in un certo senso .. la bontà della misura)
)1(
)(
)1(
...)(...)()( 1
222
22
1
N
VV
N
VVVVVV
N
imi
mimm
MedioQuadraticoScarto (detto anche errore)
1- Misure & Numeri
PON Laboratorio ScientificoQual è la Misura della Lunghezza della Matita?
Come si riassume il risultato delle operazioni di misura:Vm σ±
Indica anche che, effettuata una nuova misura nelle identiche condizioni, il valore V ottenuto ha una probabilità del:
68% (Vm-σ) ≤ V < (Vm+σ)
95% (Vm-2σ) ≤ V < (Vm+2σ)
1- Misure & Numeri
PON Laboratorio ScientificoEsempio: Periodo di Oscillazione di un Pendolo
• 12 misure (in secondi):
15.21 15.43 15.32 15.50
15.61 15.45 15.61 15.24
15.55 15.48 15.35 15.52
Pm= s
σ = s
15.43916
0.133855P=15.43916±0.133
855 s ??
1- Misure & Numeri
PON Laboratorio Scientifico
Considerazioni sull’Esempio
Pm= 15.43916 s σ = 0.133855 s
P=15.43 ±0.13
(sul display della mia calcolatrice … su altre possono esserci anche più cifre!)Leggiamolo:Effettuando una nuova misura vi è il 68%
di probabilità che essa sia compresa tra 15.30531 e 15.57302Cifre Cifre certecerte
Prima cifra Prima cifra incertaincerta
Prima regola: Buon Senso – che senso ha indicare i millesimi quando il cronometro segna i centesimi ed i tempi di reazione sono di 0.1-0.2 s ?
Pm= 15.43916 s σ = 0.133855 sPm= 15.43916 s σ = 0.133855 s
Effettuando una nuova misura vi è il 68% di probabilità che essa sia compresa tra 15.30531 e 15.57302
Effettuando una nuova misura vi è il 68% di probabilità che essa sia compresa tra 15.30531 e 15.57302
1- Misure & Numeri
PON Laboratorio Scientifico(Parentesi: Approssimazioni numeriche)
Regole per l’approssimazione per arrotondamento;
Se la prima cifra da eliminare (cifra di controllo) è:
a) <5 → le cifre da conservare restano invariate (appr. per difetto)
b) >5 → l’ultima cifra da conservare viene aumentata di 1 (appr. per eccesso)
c) =5 → l’ultima cifra da conservare viene arrotondata alla cifra pari
d) =50 → arrotondamento per difetto od eccesso
Esempi:
17.6712 a 3 cifre decimali è (b) 17.7; 17.6472 a 3 c.d. è (a) 17.6
17.6572 a 3 c.d. è (c) 17.6; 17.7572 a 3 c.d. è (c) 17.8
17.7502 a 3 c.d. può essere (d) sia 17.7 che 17.8
1- Misure & Numeri
PON Laboratorio ScientificoRitorniamo alla Misura del Periodo del Pendolo
Regola del: Buon Senso P=15.43 ±0.13
Pm= 15.43916 s σ = 0.133855 s
Approssimazione al centesimo di secondo
Regola della presentazione delle misure:
Le cifre significative di una misura sono le cifre certe e la prima cifra incerta P=15.4 ±0.1
s
1- Misure & Numeri
PON Laboratorio Scientifico
Presentazione della Misura
Errore (incertezza) esplicito: x±Δx (x±σ)
• I numeri che devono essere usati nei calcoli possono essere tenuti con una cifra significativa in più rispetto a quello richiesto nel risultato finale per ridurre le inaccuratezze introdotte dagli arrotondamenti.
• La misura e l’errore devono essere espressi nella stessa unità di misura.
• In calcoli, il risultato deve essere arrotondato al numero di c.s. del dato che ne possiede meno.
Errore (incertezza) implicito, definito dall’ultima cifra significativa: 32.54 kg→ ±0.005 kg 32.5 kg→ ±0.05 kg; 32 kg→ ±0.5 kg
Nomenclatura: Δx=σ Errore Assoluto
Δx/x Errore Relativo 100Δx/x Errore Percentuale
1- Misure & Numeri
PON Laboratorio Scientifico
Esempi di Misure
Quale è la misura più accurata (precisa) ?
Lunghezza stradax=4 kmΔx=σ=2 m
Lunghezza travex=1 mΔx=σ=1 mmesposizio
ne 4000±2 m1.000 ±0.001 m
εr2/4000=0.0005
0.001/1=0.001
ε% 0.05% 0.1%
1- Misure & Numeri
PON Laboratorio Scientifico
La notazione scientifica
N. S.: y.xxx 10m con 1 ≤ y ≤ 9
100=1 – 101=10 – 102=100 – 103=1000 – 104=10000 10-1=0.1 – 10-2=0.01 – 10-
3=0.001 – 10-4=0.0001 Proprietà: 10n10m=10n+m – 10n10m=10n-m 102104=102+4=106 – 10210-5=102+(-5)=10-3 102104=102-4=
10-2 – 10210-5=102-(-5)=107 N. S.: y.xxx 10m con 1 ≤ y ≤ 9 cifre signif.
• Semplifica le operazioni (molto meno errori con calcolatrice).
• Maggior controllo delle cifre significative !!!
1- Misure & Numeri
PON Laboratorio Scientifico
Esempi di notazione scientifica
33.5 kg espresso in grammi 3.35101 kg espresso in grammi
=33500 g =3.35104 g
=33500 g =3.35104 g
45
273
1014.31034.2
107.110242.31052.7
Esponente del 10: 3-7+2-(5-4) = -3
=5.610-3
640716424.514.334.2
7.1242.352.7
1- Misure & Numeri
PON Laboratorio Scientifico
3 41037.9
3 81032.2
2 81032.2
Ulteriori esempi di notazione scientifica
2
182
1
)10()32.2( 41052.1 42 1032.2
23 102323
163
1
)10()232( 21014.6
21079.9 3
163
1
)10()937( 23 10937
1- Misure & Numeri
PON Laboratorio Scientifico
Ordine di Grandezza di una Misura
Ordine di Grandezza di X
Ordine di Grandezza di 23 = 10 (log10 23 =1.36 )
Ordine di Grandezza di 850 = 103 (log10 850 =2.92 )
→10(log x) approssimato all’unità
1- Misure & Numeri
PON Laboratorio ScientificoMisura Indiretta di una Grandezze Fisiche
Area= Base Haltezza
B=7.4±0.1 cm
H=5.3±0.1 cmAreamin=7.35.2=37.96
cm2 Areamax=7.55.4=40.5 cm2
Probabilità del 68% che 37.96 ≤ Area < 40.5
Area=39±1 cm2
(A±ΔA)
1- Misure & Numeri
PON Laboratorio ScientificoErrore in una Misura Indiretta di Grandezza
(propagazione dell’errore)
y=y±Δy ; x=x±Δx ;
z=z±Δz G=f(x,y,z) con f relazione (legge) fisica, matematica, geometrica.
G=G±ΔG
G=f (x,y,z)
22
2
2
22
zyxG zf
yf
xf
1- Misure & Numeri
PON Laboratorio ScientificoErrore in una Misura Indiretta di Grandezza
(casi più frequenti)
G=a x+b y
2222yxG ba
G=ax•y
2222yxG xya
G=ax/y
22222 yxG xyy
a
G=3x+2y
x=4.1±0.2
y=2.2 ±0.4
G=16.7
G=17±1116.0404.09 G
G=27 ±5
G=6 ±1