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Vol. 1 No. 1
CONCEPTOS Y PR.0BLEMAS FUNDAMENTALES
DE PROBABILIDAD.
Por A. R. Moncayo,
con la colaboración de;
Rosa Obdulia Gonz6lez Robles Hania Zlotnik Espinosa
Vol. 1 ,
CONCEPTOS Y PROBLEMAS FUNDAMENTALES
DE PROBABILIDAD.
P o r A . R . Moncayo,
con la c o l a b o r a c i ó n de :
Rosa Obdulia Gonzdlez Robles y
Hania Z l o t n i k E s p i n o s a .
No. 1
Febrero 1975.
P R O L O G 0
El propósito de esta monografía es e l de circular de manera restringida, parte del material del Volumen I de un l ibro en preparación sobre Probabilidad y Estadística, con e l objeto de recibir sugerencias y críticas sobre e l mismo.
Dicha obra constará de dos Vcllumenes. El Volumen I, -- referente a Probabilidad, se escribe bajo la dirección de - A. Ruiz Moncayo con la colaboración de Rosa Cbdulia Gqn- +lez Robles y Hania Zlotnik Espinosa. rente a Estadktica, se escritqe bajo la dirección de I. Mdndez Ramirez, con la colaboración de %vier Gonzdlez Gamio y Wéctor. Villanueva.
En est? monografía se presentan dos temas de interés. primero referente a los conceptos y problemas fundamentales de Probabilidad, en donde se ,hace enfacis en las ideas bási- cas de la Teoría de Probabilidad y , en e l segundo, se concre - thn algunos de estos conceptos en un contexto de espacio de medida d iscreta.
El Volumen 11,. refe-
I
El
NOTA: Las g r a f i c a s de l a s págínas 33, 44 y 45 fueron elaboradas simulando lanzamientos de una moneda no sesgada, por Juan Ludlow y para e l l o se usaron l a s f a c i l i d a d e s de cÓn?puto d e l k.1.M.A.S. de l a dn ivers idad Nacional Autónoma de México.
C O N T E N I D O
PAG . CAPITULO I
1. . Modelo Matemático para el estudio de los experimentos aleatorios ............................. 1
1.1. El Modelo de Kolmogorov ............................. 5
1.2 Variables y vectores aleatorios ..................... 9
1.3 Probabilidad condicional ............................ 12
1.4 Funciones de distribución de variables y vectores aleatorioc ............................... 20
1.5 Esperanza matemática ................................ 25
2 . Problemas fundamentales de la Pobabilidad ......................................... 27
2.1 Problemas de estabilización ......................... 27
2.2 Problemas de aproximacidn de leyes .................. 36
2.3 Problemas de fluctuación ............................ 40
CAPITULO I1
1 . El concepto matemático de medida .................... 51
2 . El modelo clásico de espacio de probabi- lidad y la medida de contiir ......................... 53
3 . Distribuciones probabilisticas discretas ............ 59
3.1 Espacio de probabilidad finito ...................... 60
3.2 EP Operador esperanza en el espacio de probabilidad finito ................................. 61
3.3 El Modelo de los "Ensayos de Bernoulli" .............. 68
3.4 La . dispibución Binomial ............................ 75
3.5 La l e y débil de los grandes números .................. 7 8
3 . 6 D i s t r i b u c i ó n Hipergeométrica ......................... 8 1
3 . 7 E s p e r a n z a c o n d i c i o n a l ................................ 8 6
3 . 8 D i s t r i b u c i ó n Geométrica .............................. 9 0
3 . 9 D i s t r i b u c i ó n B i n o m i a l Negativa ....................... -93
3.10 D i s t r i b u c i ó n de P o i s s o n .............................. 97 1
S o l u c i ó n de problemas ................................ 1 0 6
Btibliograf la .
.. .-. .. . . . . . - ..... . .- ._ ......... . . . . . . - .......... -... .. _<-” .- ..._.. ..........
CAPITULO I
CONCEPTOS Y PROBLEMAS FUNDAMENTALES DE PROBABILIDAD
1. M Q E L ? MATFMATICO PARA EL ESTUDIO DE LOS EXSERIMENTOS ALEATORXOS
I
U n modelo matemático c o n s i s t e e n un complejo de postulados lógi-
camente c o n s i s t e n t e s que generalmente ref l e j a n c i e r t a s r e l a c i o n e s en-
t r e o b j e t o s los cuales represent:an a su vez, e n t e s d e l mundo real.
U n ejemplo de modelo matem6tico e s e l de la mecánica de Newton. Tra-
bajando dentro de e s t e modelo, con base en los postulados del mismo y
e n las l eyes deductivas de l a Lógica, se obtienen resul tados matemá-
t i c o s que 'están en concordancia con los hechos observados en e l mundo
r e a l y que, en múlt iples ocasiones , han permitido hacer predicciones
acerca d e l comportamiento de l mi.smo. Es to se debe a que los postula-
dos de eske modelo r e f l e j a n adecuadamehte l a realidad.
cabe hacer notar que no es inherente a l a d e f i n i c i ó n de "Modelo
Matemático" eU hecho de que los pbstuládos c o n s i s t e n t e s que l o cons-
t i t u y e n r e f l e j e n l a realidad. A s i , e s posible crea, modelos duyos
p o s t u l a d q y nesultadm sean completamente a jenos a l mundo reall.
E n e l caso de l "modelo.matem6tico de espacio de probabilidad
para experimentos a l e a t o r i o s " se ha ten ido e s p e c i a l cuidado en elegir
e l complejo de postulados, de tal manara que se a j u s t e n l o mejor po-
sible al (mundo r e a l . La vers ión más aceptada internacionalmente de
I
2
este modelo f u e dada por Kolmogorov e n s u ya cé lebre monografía
"Foundations of the Theory of Probabi l i ty ' * , publicada en 1934 y que
representa l a culminación de una <ser ie de esfuerzos hechos par diver-
sos autores en e s t a direcc ión.
Antes de presentar e l modelo en s í , es conveniente considerar un
ejentplo concreto:
AupÓngase que se e s t á f r e n t e un conmutador t e l e f ó n i c o y que el.
fenómeno abzator io que se desea observar es e l número de llamadas que
se reciben en ub c i e r t o minuto. Surge primero l a necesidad de d e s c r r
b i r los resul tados elementales pos ib les ( i . e . que no se pueden descoz
T. poner). ER e s t + caso puede usarse e l cbnjunto (I = b,1,2,3, . .. donde 3 nos indica que se rec iben 3 llamadas. Después, cualquier ase
veración (evento) que se. ochrra' debe poder s e r representada en kímbo-
los, por e5empl.0, e l evento "se reciben por l o menos c i n c o - llamadas"
"
. .
o e l eventb "se rec iben menos de tres lkamadas". La manera natural
de represehtar ia los eventos p o s i b l e s es usando subconjuntos de 0 . - Por ejemplo, e l primero y segundo kventbs mencionadbs quedan represen
tados respkctivtamente por -A = {a e ~ : w 25). B = .('u C Q : ~ < 3) .
De a q h í en adelante se usará la patabra "evento" tanto para den2 .
t a r i a "aséveración** en cuest ión cbmo e l c o n j u n t o que l a representa.
Se emplear6 adeknás l a l e t r a & paba denotar a l a . familia ae todas
los eventds p o s i b l e s del experimento y
consta d e l c ~ l b . e l e m e n t o W , en otpas dalabras a este t i p a de evento
también se le llama evento elemenitial.
i w l denota e l evento que
3
La p r á c t i c a sugiere q u e s i A e s u n evento, s u negación (A')
también e s un evento, por ejemplo, si
B: " S e reciben menos de 3 ibamadas" es un evento, entonces
c B : "Se rec iben a l menos 3 1,lamadas" también es evento.
KE igua l manera, s i A y B son eventos , entonces ( A u B ) tam
bién e3 un evento. Con r e f e r e n c i a a l ejemplo ya c i t a d o s e t i e n e que:
A U B : " S e rec iben más de 5 Ilamqdas o menos de 3 llamadas" es
un evento.
De manera *semejante, s i se considera l a sucesión de eventos:
CD EAn\n=i, donde A es e l evento "se reciben un número par de llama- n
das que no excede a 2 n Q 1 , cuya expresión e n lenguaje de conjuntos es
A = { f J j E f i : ( J J = O , Z p 4 , . . . , 2 " 3 , s u unión es e l evento "se rec iben un nÚ-
mero par de liarnadas", l o cua l sugiere que dicha unión debe e s t a r en
n
l a familiia de todos los eventos Rosibles .
Por l o t a n t o , la' fami l ia (h, de dventos debe ser cerrada b a j o
l a s operaciones de conjuntos: u n $ Ó n , I n t e r s e c c i ó n y compi,emento cuan-
do é s t a s se efec túan un número ntimeralble de veces.
ser una p 6 l g a b r a de subconjuntús de n . Es dec i r , &debe
Como la probabil idad de un evento nos indicará e l va lor a lrede-
dor.de1 cua l f luctúan l a s f recueFcias de su ocurrencia , conviene ob-
servar cómo se comportan é s t a s .
Nótese primero que l a s f recuenc ias siempre e s t á n entre O y 1;
y que e l evento Q = "ocurren por l o pienos O llamadas", llamado e l
evento seguro, tiene frecuencia, 1 pues siempre ocurre.
4
f J A )
f n ( B )
Supóngase ahora que se ha observado e s t e experimento 6 v e c e s ,
1 1/2 1/3 2/4 3/5 3/6
O O 1/3 1/4 1/5 2/6
i.e. durcrnte 6 minutos, y que loo resul tados obtenidos con respecto a
l o s eventos A y B antes mencionados son los siguientes‘ :
TABLA ‘1
1 2 3 4 5 6 ~~
EVENTO A s i no no s i s i no
EVENTO B no no s i no no si
EVENTO A U B si no s i si si s í
C o n respecto a los resul tados observados, l a f recuencia de l a s
ocurrenciqs de A , de B y de A U B vienen dadas por l a s iguiente
t a b l a :
TABLA 2
Es importante notar q u e A y B son eventos que no pueden ocu-
rrir a l mismo tiempo, e s decir, son a j e n o s , ( i . e . A n B = @ ) y de l a
Tabla 2 se ve que f n ( A U B ) - f n ( A ) + f n l B ) para cada “ n o , l o cual
sugiere l a axiomatisaci6n de l hecho de que la probabil idad de A U B
sea i g u u l a l a probzbilidad de A más la probabilidad de B , i . e . ,
que l a f u n c i ó n de probabil idad sea a d i t i v a . Es c l a r o que en l a prác-
t i c a Únj-camente se puede comprabar experimentalmente la adi t iv idad
f i n i t a ce l a función de probabil idad, pues es imposible observar un
niherc i n f i n i t o de eventos. S i n embargo, e n l a axiomatisación hecha
por KDlmogorov se requiere la adi t iv idad ( a d i t i v i d a d numerable) de l a eL
A ‘ b
función de probabil idad, é s t o se debe a que se desea usar como t é c n i -
ca bás ica de la probabilidad la t e o r í a de l a medida en s u forma más
ge nera 1.
1.1. EL MODELO DE KOLMOGOROV
Definic ión 1, E l modelo matemático de espac io de probabil idad
asociado a un experimento o fenómeno a l e a t o r i o propuesto por Kolmogo-
r o v c o n s i s t e en l a terna (n ,ot ,P) donde (l e s un conjunzo na v a c í o
cuyos elementqs son llamados l o s resul tados elementales p.osibles de l
experimento? &es una fami l ia no v a c i a de subconjuntos de n lla-
mada l a f a m i l i a de l o s eventos y cumple con l o s i g u i e n t e :
i> si A E Q L entonces A~ E fi m
ii) s i A ~ G a para i = i,2,. . . , entonces u gC i=l
(cabe hacer notar aquí que una f a m i l i a de conjuntos q u e cumpla con
l o s axiomas de 8L se denomina 0-álgebra) .
P es una función d e f i n i d a $obre a y con v a l o r e s r e a l e s , l l a -
6
nada l a función de probabilidad por a s o c i a r a cada evento de @L u n
número que se i n t e r p r e t a como su probabil idad de ocurrencia y satisfa
cd los siguientes axiomas:
i!
ii)
ij f..)
?(A) 20 para todo A € &
P(9; = 1
P
tuamente a jenos o en símbolas A ~ ~ A ~ = 6 s i i # j e n-
tonees P (u.,) = 5 ; P I A i ) .
es f u n c i ó n g -adi t iva i .e . s i AL,A2,e.., E 6 y son mu-
09
i = b i=l
Algunas observaciones importantes son:
1, Si A es un evento que tiene probabil idad O de o c u r r i r
( P ( A ) = O ) , e s t o no'necesariamente querrá decir que A sea e l evento
imposible ( A = Q ) . Lo Único q u e e s t o s i g n i f i c a es q u e la f recuencia
de l a s ocurrencias de A para Iiq" grande e s aproximadamente cero.
Como ejemplo considérese e l experimento "tomar un número a l azar en
el i n t e r v a l o [O,i)" donde l a medida de probabil idad que se e s t á usan - do es l a medida de Lebesgue ( " 1 en e i i n t e r v a l o ~0,i~. Entonces, en
este conteFto , U n evento no v a c í o con probabil idad c e r o e s A = "e l
número se lecc ionado, es raciona'l" . También, s i un evento B tiene prbbabil idad 1 de o c u r r i r
( P ( B ) = 1) eaeo no quiere decir que B sea necesariamente seguro
(ice, B = n), s i n o sólo significa que B ocurre e n l a mayor par te
de los cacos. ' A s i , en el mismo contexto d e l ejemplo a n t e r i o r conci - -
( * ) Ver ia a c c i ó n v.1.
d6rese e l evento B = " e l número seleccionado e s i r r a c i o n a i " .
2 , Ei tercer pos tu lado para P
to Cii? p~ldex usar Las técnicas tie l a Teoría de ?a Medida nos d i c e , en
p a x * ~ ~ c u ; z ~ , - que p es una func:i6n contíraua en e l sentida su&: se in-
dica a. c o n t i n a c i o n :
que se in t rodujo con cl proposi-
1 ^
I. t'::op3sic& I 2 .
Demostración.
i ~ j " c t a l que. n n=l (iii') Si
o3
ces 1ini P ( A 1 = O. n n+
Observe que A l se puede expresar como la si-
guiente unión ajena: ( A -A ) U (A -A ) u ..- U (An-An+l) U ... por e l axioma {iii) de P se t iene que
.ur,a serie convergente. Ademas:
entonces 1 2 2 3 00
P ( A . - A ) = P ( A L ) e s 'j=1 3
OD P ( A -A ) que es l a c o l a de "n" en adelante de P W n ) = 'j=n j j+i
la serie convergente de arr iba por la que k i m P ( A , ) = O. n + a
Es m6s, si en e l modelo axiomático de Kolmogorov se s u s t i t u y e e l
axioma (iii) de P por (iii') añadiendo l a propiedac.! de la a d i t i v i -
dad f i n i t a de P, la es t ruc tura matemática d e l modelo no se altera, o
sea, que a p a r t i r del nuevo modelo axiomático se demuestra (iii) como
se i n d i c a a continuación:
8
00 Demostracihn. Llame Bn Ujjrn A y observe que
por (iii') Lin: P(9 ) = O, l o cua l demuestra (iii) cuandó n + m , a n n d
3 . El modelo c l á s i c o de espac io de probabil idad, t a l como fue
e s t a b l e c i d o por Laplace, supone que: n es U A c o n j u n t o . f i n i t o , la fa -
m i l i a de Los eventos $L es l a fami l ia de todos l o s subconjuntos de
Q y P a s o c i a a cada evento A l a probabilidad:
número de elementos de A número de elementos de 0 P ( A ) = -
Es f á c i l yes y se d e j a como e j e r c i c i o que e s t e modelo cumple con los
axiomas de l modelo de Koimogorov, y por l o t a n t o , no e s más que un
caso e s p e c i a l de 61.
De aquí en adelante se hace l a s iguiente comun-icación: si se
t i ene una población 0 f i n i t a , l a expresión: "tomar un elemento de
fl a l azar" indicará que se e s t á hablando en un contexto c l á s i c o de
probabi l idad , es d e c i r , =que, se e s t á asignando probabil idad
número de elementos de Q a cada evento elemental u t , donde w E r;. 1
9
I e 2 . VlaKLkBLE ,3 Y VECTORELS ALEWTORIOSI
PUC La ac scr ipc ibn de un fenómeno o experimento a i e h t o x i o uscal
mznte ZG: i n s U f i c i 2 n t e s l a s a severac iones c u a l i t a t i v a s cono la ocurre.n
c:ii &> J t ~ i e t e m a n a d o aventc y resLilta necesar io 'nacer t iso ds Üatos
.j iiscrveiaci ones c u a n t i t a t i v a s . Estos d a t o s numéricos y a c e
c d d n t i t a t i v a s que e s t a r6n basados sobre mediciones de c i e r
ta:. car-sctc i í s t i c a s de un experimento ( o ftJn5inenQ) a l e a t o r i o , c i a ra -
-y*- , , . + i A t - t - -. - 1 r n o s ~ : . l r ~ i * ~ ~ f l uc t&ke iones de realiaaci6n a r e a l i z a c i ó n de. e x p e r i
nerrtc- ; o LenCmens) . Por ejemplo s i e n un au la de c l a s e s erA l a c u a i
se e n c u e n c ñ a n LO alumnos con 1.2 hombres y 8 mujeres ; e l experimento
c o n s i s t e en e l e g i r a un alumno al a z a r , s e puede e c t a r interesado e n
l a a l t u r a X del alumno se lecc ionado ( o b i en en e l peso Y c;el alum
no seleccionado) - De r e a l i z a c i ó n a r e a l i z a c i ó n de este experimento
se obtendrár. v a l o r e s no necesaziamente i g u a l e s de X ( y de Y re s -
pectivamente) . Entonces r e s u l t a i n t e r e s a n t e responder a preguntas
corno: ¿con qué probabi l idad X toma un v a l o r contenido e n un c i e r t o
i n t e r v a l o de l a r e c t a numérica? Nótese que e s t a pregunta e s sobre
una aseverac ión c u a n t i t a t i v a , i . e . , sobre l o s p o s i b l e s v a l o r e s que
pueda toniar X. una pregunta de carác te r c u a l i t a t i v o s e r í a ¿cuál e s
la probabi l idad de que e l alumno seleccionado sea mujer? , que en e l
contexto de e s t e experimento cabemos que e s 8720. Resulta in teresan-
t e observar qué preguntas de c a r á c t e r c u a l i t a t i v o se pueaen e s c r i b i r
en un contexto c u a . n t i t a t i v o , como por ejemplo, se puede e s c r i b i r un 1
s i e l alumno seleccionado e s hocnbre y escribir un O s i e l alumno
seleccionado es mujer, de t a l manera, que s i 2 denota e l sexo d e l
alumno seleccionado, podrá tomar v a l o r e s O Ó 1.
Para d e s c r i b i r matemáticamente este experiments a l e a t o r i o se te-
drá qucj hacer uso de un modelo p n o b a b i l í s t i c o (n,&,P) que consta de
las s ,guientes p a r t e s :
17 e s el conjunto de los alumnos de l a c l a s e ,
BLes el conjunto de todos los subconjuntos de
y según l a convención hecha a r r i b a , l a f u n c i ó n P de probabil idad
a s o c i a 1/20 a cada evento elemeneal, como su probabilidad de ocurren-
c i a . Además de e s t o , si se dese& describir matemáticamente l a a l t u r a ,
el peso o bien de manera simultánea la altu'ra y e l peso d e l alumno
selecciotíado, se tendrá que hace t uso de funciones X, Y o b i e n
( X , Y ) def in idas sobre e l conjunto Cl y tomando valoreseen R para
e l primer caso y v a l o r e s en R2 para e l segundo caso. E n p r o b a b i l i -
dad e s usual Llamar a X y a Y v a r i a b l e s a l e a t o r i a s , y v e c t o r a l e a
t o r i o a ( X , Y i .
n8
E n a n á l i s i s , suele definirse u n a f u n c i ó n como una terna q u e cons - t a de dos conauntos, uno llamado D O M I N I O , y o t r o CONTRADOMINIO, y de
una r e g l a de correspondencia que a cada elemento de l dominio le aso-
c i a un Único elemento d e l contradominio. E n e s t e contexto se llaman
"variables"' a
familiarizada,
probabi l idad4
l o s elementos d e l dominio, por l o que, 5 alquna persona
-- con' e s t a nomenclatbra puede p a r e c e r l e extraño gue, en
s e le llame "var iab le qleator ia l ' -- a una f u n c i ó n . S i n
11
embargo, e s t o puede exp
r r o l l a r l a t e o r í a de l a I
&carse deJido a que,
?robabil.idad, aún no
d e l concepto de f u n c i ó n y , como l o Único que
cuando se empezó a desa-
se t e n í a una idea c l a r a
r e su1 taba sobre sa l i e n te
para e l observador de un c i e r t o experimento eran l o s v a l o r e s que l a
f u n c i ó n "var iab le a l e a t o r i a " tomaba en s u contradominio, se le desig-
no con e l término de *8var iab le8 t . E l término 8*a lea tor ia '8 surgió d e l
hecho de que los v a l o r e s observados, e n g e n e r a l , variaban a l azar.
A n t e s de q u e se de l a d e f i n i c i ó n formal de v a r i a b l e ( y vec tor )
a l e a t o r i o , es bueno hacer notar que es indispensable que se puedan
c a l c u l a r probabil idades de ocurrencia sobre cua lquier aseveración de
los v a l o r e s que e l l a pueda tomar, e n o t r a s pa labras , es necesar io que
cua lquier a s e v e r a c i h a c e r c a de Aos v a l o r e s de una v a r i a b l e a l e a t o r i a
12
sea un evento, e s t o , en un lenguaje a n a l í t i c o se traduce diciéndose
que una v a r i a b l e a l e a t o r i a ( v e c t o r a l e a t o r i o ) es una f u n c i ó n medible - -
def inida sobre (n,a) y con va lores en ( I R , $ ) , (de f in ida sobre
R y R" son l a s á ige- -n -n ( n , W y con va lores en (IR 8fi ) ) , donde
bras de Bore1 de R y gn respectivamente. E s t o s Últkmos concep-
tos son t ratados en el Capítulo V,
-
Definición 1. Dado un espacio de probabilidad (n,;&,P)
1) La f u n c i ó n X:fl;DR es una var iab le a l e a t o r i a a i para todo
i n t e r v a l o I cB, O X torna un va lor e n e i i n t e r v a l o I" 8 io
que se denota en símbolos como { w ~ n : X ( w ) E X \ o bien [ X E I j
e s un elemento de & 8 o en o t r a s palabras e s un evento.
2 ) La f u n c i ó n ( x ~ , x ~ , . . . ~ x 1 : n+P es un vec tor a l e a t o r i o si n
para todo i n t e r v a l o I c sn , I' (Xi 8 Xz 8. . 8Xn) toma un v a l o r
e n e l i n t e r v a l o I" o , e n símbolos,
o bien [(Xl85, . . . , X ) E I] e 8 un elemento de & , e s d e c i r , n e s un evento. --
I . 3 PROBABILIDAD CONDICIONAL e
E n muchos casos e s necesar io c a l e u l a r l a probabilidad de un even
t o A dado que o t r o evento B ya ha ocurrido. Llamamos "PROBABILI-
-
DAD CONDZCXONAL'' a e s t e t i p o de probabil idad y l a denotamos por el
13
símbolo P ( A I B ) .
Ejemplo. De una c i e r t a o f i c i n a en donde hay 12 hombres de Pos
cuales 7 t ienen autom6viP y 8 mujeres de lag cua les 4 t ienen automó-
v i l , sa ldrá una persona a l azar. Supdngase que usted se encuentra a
1¿ s a l i d a de e s t a o f i c i n a .
a) &Cu61 es la probabilidad de que l a persona que va a s a l i r po-
sea un automóvil?
b) Z S i ueted l a ve s a l i r y' ve qu# es mujer , cuá l e s l a probabi-
l idad de que posea un automóvil?
Inthitivamente u s t e d respondería que en ( a ) l a probabilidad es
11/20 y e n (b) dado que u s t e d v i 6 que e r a m u j e r y por e l hecho de que
cada una de eklas puede salir coh l a misma probabil idad, la probabi-.
l idad es 4/8. S i se denota por B a l evento " l a persona que saldrá
es m u j e r r y por A a l evento "la persona que saldrá posee un automó-
v i l " .
s igue :
Entonces gn símbolo8 e s t a s respuestas se pueden escribir como
P ( A ) - 11/20 y P I A I B ) = 4/8.
En sent iaq estriceo, aún l a 8 probabilidades no condicionadas son
también eondic ionales , ya que la t e o r í a supone siempre dadas un con-
junto de condicíonee
Definición 1. La probabil idad de que un evento A ocurra dado
q u e o t r o B ha ocurrido se def ine como sigue:
14
d ' o s i P ( B ) = O.
De e s t a def in ic ión se sigue que para dos eventos A,, B cualesquiera
P ( A n B ) - P ( A ) P ( B l A ) = P ( B ) P ( A I B )
y que para una eneada A A , . . . , A de eventos cualesquiera: 1, 2 n
A e s t a Última expresión es usual. denominarle l a " reg la de rnultiplica-
c i ó n " . Definición 2 .
,a) Se dice que dos eventos y B son independientes s i
b) Se dice que los eventos A , A , . . . ,A son completamente i n d e 1 2 n
pendientes s i para cada k = 2 . 3 , . . . , n las expresiones
son vá l idas para^ cualquier subcolección i il, i2 . . . . . ikj de k í n G i c e s , d e l conjunto
, Por l a Definición 1 se sabe que
por lo que s i P ( B ) > O y ei A y B son'independientes entonces
l o cual d i c e , en p a r t i c u l a r , que l a ocurrencia del evento B no pro-
porciona alguna información acerca de la ocurrencia del evento A.
Para e j e m p l i f i c a r e s t o , considérense l o s s iguientes experimentos:
1) Se toma alguno de los s iguientes puntos a l azar: (1,lj 8
(l,-l), [-l,l), (-l,-l) Sea A el evento " l a ordenada del punto e s
1" y B, " l a absc i sa de l punto es 1".
Obsérvese que:
por l o que P ( A n B ) = P ( A ) P ( B ) de donde A y B son independientes.
2) se toma alguno de los s iguientes puntos a l azar: ( - 1 8 1 ) ,
( 1 8 w (l,-i), (-i,-l), ( 0 , O ) . Si A y B son como a n t e s , entonces
pot 10 que P ( A n B ) 4 P(A)P(B).'. A8B no son independientes.
Nótese que aquí l a ocurrencia del evento B s í da información
acerca Le l a ocurrencia del evento A , i . e . , si por ejemplo B fuera
e l evenOo " l a absc i sa de l punto e s 0" sabríamos que A "la ordenada
del punto e s 1" no puede ocurr i r .
16
Definición 3 . Las var iab les s iguientes están def inidas en un
mismo espacio de probabilidad (O,%P) I
i) DOS var iab les aleatoriasi X, Y son independientes s i para
todo par de in terva los I y J de R se t i ene que:
P [ X € I,Y E J] = P [ X € I ]P[Y J] donde [ X E I,Y € J] denota a
l a in tersecc ión de l o s conjuntos [ X c I], [Y E 51. Esta
igualdad d ice e u p a r t i c u l a r , que Y no proporciona ninguna
información acerca de la probabilidad con que X toma s u s
valore$ ,
ii) Xl ,Xz , , , , X son variableis a l e a t o r i a s mutuamente independiefi m
m t e s , s i para cada emada de in terva los de s, 11,1 2,.. . ,I
se. t i ene que:
m
iii) {..\y e s una sucesión de v a f i a b l e s a l e a t o r i a s mutuamente
indepeddientes o, simplemente independientes, s i para cual -
1 i=o
quier m = 1,2,3,,,, se t i ene que l a s v a r i a b l e s a l e a t o r i a s
X1,X2 #..., X son mutuamente iñdependientes. m
Todo espacio de probabilidad puede in terpre tarse como un subes-
, pacio de probabilidad de l a s iguiente manera:
Supóngase que 6 es un experimento cuyo espacio de probabilidad
e s t á dado por l a terna (n ,%,P) y que )f e s un subexperimento de 5
(por ejemplo, 6
azar y
c o n s i s t e e n e l e g i r una persona de una universidad a l
consis te en e i experimento de escoger a una persona al
17
azar ya sea de l a Facultad de Ciencias o de l a de Medicina) 8 entonces
e l modelo que puede a s o c i a r s e l e al. experimento ).c e s e l s iguiente :
( H , a , ' Q ) donde H c í l y representa a los resultados elementales pos i -
b l e s d e l experimento.
8 {A H:A E &\
-, (claramente estamos suponiendo que P(H) >o) . Se Y Q ( A ) = P ( H )
puede demostrar q u e (H,g,Q) es un espacio de probabilidad, i . e . ,
que cumple con los axiomas de Kolmogorov.
Como se ha dicho a l in t roduc i r e l modelo de Kolmogorov, l a
u-álgebra
de l experimento que representa. U n a información p a r c i a l , o b i e n , la
información contenida e n un subexperimento queda representada por una
6 de los eventos p o s i b l e s contiene toda l a información
sub-ú-6lgsbra 8 de l a 0-álgebra o r i g i n a l .
Nótese que l a definición de l a probabilidad condicional de un
evento A dadb o t r o evento B fue motivada por l a inforniación que
da el evento B acerca de l a ocurrencia o no ocurrencia d e l evento A.
Ahora supóngase que no sólo se cuenta kon l a información diel evento B0
s i n o con l a información suministrada pbr un 'conglomerado &e evbntos
representados por una sub-0-álgebra d e l álgeboa o r i g i n a l & . En
e s t e caso l a respuesta a la pregunta Lcuál es l a probabilidad de la
ocurrencia de l evento A dada la información contenida e n 8 3 , será
una f u n c i ó n de los eventos elemengales de & por ejemplo;
Dados loq 5 puntos representados en l a Figura 1
18
e l experimento c o n s i s t e en tomar uno de e l l o s a l azar. Podemos tomar
como espacio de probabilidad asociado a e s t e experimento, a l d e s c r i t o
por:
& = l a f a m i l i a de todos los subconjuntos de n y
P asoc ia probabilidad igual a 1/5 a cada uno de l o s
puntos de c1.
DenÓt.ese por Bi a l evento "la a b s c i s a d e l punto es i", para
i = -l,O,l. Si; una persona sólo puede ver l a a b s c i s a de l punto s e l e c - cionado, entonces, tendrá la información p a r c i a l representada por la
* sub-0-álgebra 3 de &. generada por los eventos B , L , B* Y B1'
Si A e s el evento " l a ordenada del punto es 1" entonces P ( A \ G ) =
(* ) V e r i a secc ión v.1.
19
y 1 si acu- 6 i c a d o P de Bi que toma valores O s i no ocurre Bi
En g e n e r a l , se denota l a probabilidad condicional de un evento
A dada l a información contenida e n una sub-0-álgebra 2 por P ( A \ ; 3 )
y , como se ha indicado a r r i b a , e s una v a r i a b l e a l e a t o r i a .
Es conveniente también g e n e r a l i z a r e l concepto de independencia
de v a r i a b l e s aheator ias . Para ello, se d e f i n e p r i m e r o - e l concepto de
independencia entre l a información contenida en dos sub-0-Algebras:
E;iefinición 4.
i) Dos sub-u-6lgebras al y 8, de &, son independientes si
dados cualesquiera eventos A E al y B E a,, son independien-
t e s .
sub-0-Algebras de son independientes s i ii) Ql,z2, . 'm
dados cualesquiera eventos
son indepe ndie n te s.
Al E al,A2 E a*, . . . ,Am E am, e s t o s
iii) Dada una sucesión de sub-a-Algebras de &, é s t a s
son independientes, s i para cua lquier n E N a l , s2 , . - r a n lo son.
20
Sea X una var iab le a l e a t o r i a definida en un espacio de proba-
b i l i d a d ( a , & P ) y considérese l a sub-o-álgebra a(X) de 6 gene-
rada '*' por todos los eventos de l a forma [ X C I] donde I es cual-
quier i n t e r v a l o de l a r e c t a r e a l . Es c l a r o que e s t a sub-0-álgebra
B(X) contiene toda la informacien acerca de cualquier aseveración
que se haga sobre los valores que tome Xi por tanto , la s iguiente
def inic ion claramente implica a La Def in ic ión 3 y se puede demostrar
que ambas son equivalentes.
Definición 5. #'Sea { x i r n uqa sucesión de v a r i a b l e s a l e a t o -
r i a s def inidas sobre un espac:io de probabilidad (n,&,P). E s t a s va-
r i a b l e s son mutuamente independientes s i las sub-0-Algebras de l a su-
cesión J R ( x ~ ) \ El son independiente si' .
i i=l
1.4 FUNCIONES EE DISTRIBUCION q VARIABLES Y VECTORES ~LEATORIOS
Considege e l . siguiente expeximento: se toma una palabra a l azar
de l a s iguiente oración "EN üN LUGAR bE L A MANCHA. DE C W O NOMBRE NO
QUIERO ACORDARME.. .'I . experimento e s :
El espacio de probabilidad que representa e s t e
CI = {EN UN, LUGAR, DE, L A , MANCIIA, m, CWO, NOMBRE, NO, QUIERO,
ACORDARME)
& es la a-dlgebra de todos los lsubconjuntos de fi y la función de
(*) V e r i a sección v.1.
21
1 probabilidad P asigna a l a ocurrencia , de cada palabra e l valcx -. 12
Considérese ahora la var iab le a l e a t o r i a X que asigne a cada
palabra su nÚrnero.de vocales.
e s t 6 n d i s t r i b u i d o s probabil íst icamente s u s valores?”
Una pregunta que se ocurre es: “¿Cómo
Nótese que hay 6 palabras con 1 v o c a l , 4 con 2, O con 3 y 2 con
4 , por Lo que e l va lor 1 de esta var iab le ocurr i rá con prDbabilidad
6/12, e l 2 con 4/12, e l 3 con O y e l 4 con 2/12. S i ahora se desea
conocer la probabilidad de que l a var iab le a l e a t o r i a tome un va lor
menor que 3 entonces é s t a será de 10/12. De manera semejante tomará
un va lor menor que ,uno con probabilidad cero y uno menor que c i n c o
con probabilidad uno. Intuitivamente e a t a s probabilidades dan una
idea de cómo es tán d i s t r i b u i d o s Ins v a l a r e s de l a var iab le .
E n g e n e r a l , dada una v a r i a b l e a l e a t o r i a , una manera de saber
cómo se dis tr ibyyen probabil íst icamente sus v a l o r e s , es por medio de
su f u n c i ó n de d is t r ibuc ión .
D e f i n k i ó n 1. - 1) La f u n c i ó n de d i s t r i b u c i ó n de una v a r i a b l e a l e a t o r i a x# de-
( n , & P ) # es l a función r e a l f i n i d a sobre un espacio de probabilidad
F def inida para todo número r e a l x por medio de:
2 ) La función de d i s t r i b u c i ó n de un vec tor a l e a t o r i o
( X , X , . . . ,Xn) , d e f i n i d 6 sMre un espacio de probabilidad ( n , q , ~ ) , 1 2
22
e s la f u n c i ó n F def inida sobre Rn con va lores r e a l e s en R por
medio de:
= = &
Se sigue s a s i inmediatamente de l a d e f i n i c i ó n que toda f u n c i ó n
de d is t r ibuc ión de una var iab le a l e a t o r i a X cumple con las siguien-
tes propiedades:
i. F(x) e5 no decrec iente , pues de los axiomas de probabilidad
se obtiene q u e , si x 1 s x 2 entonees P [ X < x 1 ] ~ P C X < x 2 ' ] l o que qui=
re d e c i r que F(xl) ( F ( x 2 ) .
2.
3 .
4.
F(-cr>) = l i m F(-x) = 6. X-SCO
F es continua por l a izquierda, i . e . ,
E s t o Último se puede ver como sigue: dada una sucesión numérica I
t a l que x t x bas ta demostrar que F(x , )?F(x) para l o cua l +'r" n n=l n
observe que s i A = [ X c x , ] entonces (A 'I" forma un e n c a j e c r e -
ciente de eventos , por l o que:
n n n=l
23
Queremos hacer notar que también puede usarse como def in ic ión de
funci6n de d is t r ibuc ión en (1) F(x) = P [ X l x )
= P [ X 1 ~ x l , X ; ! ~ x s , . . . , X n ~ ~ n ]
ción, la función de d is t r ibuc ión r e s u l t a n t e es continua por l a dere-
y e n ( 2 ) , F ( y x 2 ,..., x n ) =
en caso de usar e s t a segunda d e f i n i -
cha .
DefiniciÓp- 2 . Una función F r e a l de var iab le r e a l n 3 decre-
c iente , continua por l a izquierda con F(-oo) - O y de var iac ión
t o t a l menor o igual que 1 , se llama f u n c i ó n de d i s t r i b u c i ó n impropia
s i s u var iac ien t o t a l es menor q u e 1 y función de d is t r ibuc ión propia
o , simplemente, f u n c i ó n de d i s t r i b u c i ó n , s i s u var iac ión t o t a l es 1.
- Es pos ib le demostrar que dada una f u n c i ó n de d i s t r i b u c i ó n
puede const ru i rse un espacio de probabil idad donde e s t á def inida una
var-iable a l e a t o r i a X t a l . q u e F es función de d i s t r i b u c i ó n .
F
Hay una manera general de :re(alizdr e s t a construcción. Será i l u g
trada en e l s iguiente caso simple: suponga que F es corrtínua y es-
tr íctamente creciente. SU g r á f i c a es d8 l a forma:
h 2=-
’ I A Y 5 O
. 24
S i se traza una recta a 4S0 como se indica y se gira e l plano
180° alrededor de esta tec ta , se obtiene la siguiente figura:
o c
que es la gráfica de una variable aleatoria X definida sobre e l es-
pacio de probabilidad ( t i , k P ) , donde CI - [ O , l ’ J , la o-álgebra de
Bore1 (*I sobre [0,13 y P l a medida de-Lebesgue(**). ES aro que
por ser F baunívoca e l evento:
y como P esf l a medida de Lebesgue se sigue que:
es decir , F es la d i s t z i b t h i h de X.
(*’(**I Véase ei párrafo v.1.
f; .3 a. Kolmogor3v ha demostrado un teorema de gran impmtancia d e l cua l
n a se da l a demostración.
Teorema 3 . Dada una sucesión { F n \ Z l de funciones de d i s t r i -
bución puede const ru i rse un espac io de probabil idad ( n , h , P ) donde
esté definida u n a sucesión {XJn=k de v a r i a b l e s a l e a t o r i a s mutuame2
te independientes t a l e s que
x_ para toda ,n = 1,2,3,...
a)
sea l a f u n c i j n de d i s t r i b u c i ó n de Fn
11
Este es u n teorema de --_I
dei t i p o "gean x1,X2 ,... c o n s i s t e n c i a y permite que aseveraciones
v a r i a b l e s a lea t o r i a s mu tuamen t e indepen-
d ientes c ~ n f u n i c i g n e s de d i s t r i b u c i ó n
- un espacio probabil idad ( r ? , h , p ) . . .I8 no tea v a c í a 0 , 9 o t r a s pa-
l a b r a s , q u e tenqa contenido matemático.
F1 ,F2, . . . y def in idas sobre
1.5 ESPERANZA iMATEMATICA .
De acuerdo con e l d e s a r r o l l o h i s t ó r i c o de este concepto t a l y
cam0 fue presentado e n l a introducción, e l v a l o r esperado de una va-
26
r i a b l e a l e a t o r i a X v i ene a s e r e l promedir, ponderado de s u s v a l o r e s
con s u s r e s p e c t i v a s probabi l idades de ocurrencia y se denDta con e l
símbolo E ( X ) . La in te rpre tac i sn f recuenc ia l d e l símbolr, E ( X ) e s de que -- si se
r e p i t e sucesivamente un e x p e r i m e m y se hace la medic i jn X ___. ’ cada
- v e z , entonces v a l o r promedio & 3 número qrande de e s t a s medici3-
-- nes e s aprBximadamente É(X), o sea que e s te e s un concepto b á s i c o y
co inc ide con e l concepto de probabi l idad de un evento A cuando l a
v a r i a b l e a l e a t o r i a X e s e l indicadar d e l evento A, en símbolos,
x = IA*
ikbido a e s t a i n t e rpre tac ión f r e c u e n c i a l , r e s u l t a in tu i t i vamente
c l a r o que E ( * ) v i s t o como operador sobre v a r i a b l e s a l e a t o r i a s , e s
l i n e a l , i . e * , si a , b , c son reare s cua le squ ie ra y X, Y v a r i a b l e s
a l e a t o r i a s entonces , E (aX+bY+c) = aE (X) +bE (Y) +c.
De manera análoga, e l v a l o r esperado de una v a r i a b l e a l e a t o r i a
X dado que ocu.rre un evento €3, v i e n e a ser e l promedio pbnderado de
s u s v a l o r e s pero e s t a vez con s u s r e s p e c t i v a s probabi l idades cond ic ig
nadas por l a ocurrencia d e l evento €3 y se denota con e l símbolo
E ( X I B ) . Por l a s mismas razanes de su in t e rpre tac ión f recuenc ia l
E ( - 1B)
i . e . s i a , b , c son r e a l e s cualepquiera y X, Y v a r i a b l e s a leato-
v i s t o coma operador sobre v a r i a b l e s a l e a t o r i a s , es l i n e a l ,
r i a s entonces , E (aX+bY+c IB) = aE (XIB) +bE ( Y \B) +c.
~e f o p a aun más genera l , puede d e f i n i r s e
una v a r i a b l e a l e a t o r i a X, dada l a infarmación
e l v a l o r esgerado de
contenida por una sub-
0-álgebra 3 de U , como e l prDmedio ponderado de s u s va lores con
sus respec t ivas probabil idades cDndicionadas por la información cm-
tenida en 3 y se denota con e l símbolo E ( X I 8 ) También en este
caso e l operador E ( . \ 3 ) r e s u l t a ser l i n e a l .
2 PROBLEMAS FUNDAMENTALES DE L A PROBABILIDAD
E s t a sección cont iene v a r i a s g r á f i c a s que i l u s t r a n e l contenido
de algunos teoremas y se han obtenido simulando a los mismos, de t a l
manera que en una primera l e c t u r a se puede refer ir a e l l a s y a medida
e n que se avance por los c a p í t u l o s 111, IV y v leer o releer l a sec-
c ión .
E l p r o p j s i t o de l a presente sección es e l de hablar d e l desarro-
llo y contenido de los llamados problemas fundamentales de l a proba-
b i l i d a d , que se pueden c l a s i f i c a r como s igue:
a) prbblemas de e s t a b i l i z a c i ó n ,
b) problemás de aproximación de Leyes y
c) problemas de f luctuación.
2.1 PROBLEMAS DE E S T A 3 I L I Z A C I O N
Entre los problemas de e s t a b i l i z a c i ó n , his tór icamente aparece e n
primera instancka la llamada "Ley de los Grandes Números" e n su ver-
s i 6 n d é b i l debida a James B e r n o u l l i (1654-1705) y publicada en l a
obra " A r s Conjectandi" ocho años después de s u muerte. San duda a l -
28
guna, e s t e e s e l resultado c e n t r a l e n l a t e o r í a de l a probabil idsd.
B e r n m l l i m i s m 9 es taba consciente de este hecho, como l o expresa en
s u obra:
"Así pues, é s t e e s aquel prd>lema que propuse para s e r divulga-
do en e s t e lugar , después de que he i n s i s t i d o e n 61 dos veces ,
y cuya novedad y gran u t i l i d a d unidas a s u d i f i c u l t a d pueden
aAadir valor y fuerza a todos los r e s t a n t e s c a p í t u l o s de e s t e
tratado".
El enunciado, en lenguaje moderno, de dicha Ley e s e l s iguiente :
Tesrema 1. Sea { X i M ) una sucesión de v a r i a b l e s a l e a t o r i a s n n = l
independientes e idénticamente d i s t r i b u i d a s d e f i n i d a s ssbre un mismo
espac io de probalbilidad (n,n,P), donde P{XL=ll = p y P[X1=03 =1-p.
Sea S = X +X +...+ X para n = 1,2,3,... Dado cualquier número e
p o s i t i v o se tiene que i i m P[!- n - p / < g = 1.
n 1 2 n Sn
n + a
Una manera h e u r í s t i c a de e x p l i c a r este resul tado e s l a de imagi-
nar un juego entre dos personas e n 9 1 que l a primera tiene probabi l i -
dad p de ganar cualquier jugada y 1-p de perderla. Las jugadas
son independientes entre s í y e l juego c o n s i s t e e n una sucesión i n & -
f i n i c a de jugadas. E n este caso - n
d e l primer jugador e n l a s primeras n jugadas. El teorema a n t e s
enunciado dice q u e , para n grande, l a probabil idad d e l evento "La
indica l a puntuación promedio sn
puntuación promedio de l primer jugadsr en l a s primeras n jugadas,
d i f i e r e de p en menos de una cantidad pequeña f i j a d a de antemano"
29
e s aproximadamente uno.
E s i n t e re san te hacer no tar , que e l origen de e s t e problema se
remDnta a l problema de los t r e s puntos planteado en l a corresponden-
c i a en t re Fermat y Pascal e n 1654 : Dos jugadores neces i tan lograr
t r e s puntos para ganar un juegzt, s i deciden r e t i r a r s e a n t e s de termi-
nar e l juego, ¿cómo deben d i v i d i r s e l a s apues tas? En dicha corres-
pondencia suponen que cada jugaddr t iene l a misma oportunidad de ga-
nar un punto, e s d e c i r , que t i e n e p m b a b i l i d a d 1/2 de ganar cada ju-
gada.
b i l i d a d que t i e n e cada jugador, dada una s i t u a c i ó n d e l juego, de ga-
nar e l juego?
E n e l fondo e s t a pregunt:a e s equ i va l en te a : ¿Cuál e s l a proba-
E n una de s u s c a r t a s a Fermat, con fecha d e l 2 4 de Agosto de
1654, Pascal se p l a n t e a y resuelve un ca so e s p e c i a l de e s t e problema.
Supóngase que dos jugadores A y B neces i t an respectivamente dos y
t r e s puntos pkra ganar.
jugadas más. S i las l e t r a s a y b repSesentan respectivamente e l
Seguramente e1 juego se dec id i rá en cuatro
hecho de que A gane un punto o de que B l o gane, entonces , l o s
d i e c i s e i k p o s l b l e s r e s u l t a d o s e n l a s cuatro t i r a d a s son:
aaaa abaa baaa bbaa aaab abab baab bbab aaba . abba baba bbba aabb ab bb babb bbbb
de e s t o s hay once c a s o s favorajales ii A ( l o s que contienen dos , t r e s
o cuatro a ' s ) y c i n c o f avorab le s a B (los que coritienen tres o cua-
30
tro o ' s ) : como cada Gno de e s t o s ca so s e s igualmente probable, l a s
probabilidades de que A l e gane a E3 e s t á n en una r a z j n de 11 a 5 .
El'nÚmero de ca so s f avorab le s a A se puede c a l c u l a r coma e l
número de ca so s en que l a s s e r i e s de cu+tro jugadas n 3 c3ntienen a b
ninguna vez o l a contienen 1 5 Z! v e c e s , l o que se puede e s c r i b i r cm3:
denota e l número de combinaciDnes de m objetos tomados de n e n n .
Pmteriormente, en s u "Tra i té dii trriangle arithmétique" , publ icad3 e n
1665 , Pascal eriunció y e n c o n t r ó l a so luc ión de l a g e n e r a l i z a c i j n de
e s t e prDb2ema: S i dos jugadores A y B nece s i t an respectivamente
m y n guntos para ganar, entonces' s u s r e s p e c t i v a s probabi l idades
e s t á n e n l a misma r a z h que:
e s e l número de jugadas en que forzosamente se decide e l juego. La
so luc ión Be e s t e prDblema e s c o r r e c t a , s i n embargo, s u s c i t ó intere-
s a n t e s d i s cu s iones en t re l o s matemátic3s de l a época. A s í , Raberval
ob j e tó quQ Pasca l , e n su so luc i6n , consideraba que e l juego debía
pr3longarse ha s ta l a s m+ n-1 t i r a d a s , l o que e n l a p r á c t i c a no e s
forzosamente nece sar io , ya que A b i e n podría ganar e n l a s primeras
m jugadas y q l juega se d e c i d i r í a . Rascal respondi5 a e s t a ob j ec i sn
declarando que, aunque e l juego se dec id i e ra a n t e s , l o s jugadores PO-
31
drían acordar cont inuar e l jueg3 h a s t a l a s m . + n - 1 t i r a d a s ya que
l a s jugadas super f lua s no cambiarían en nada l a dec i s ión ya tomada.
Janes Bernoul l i da una expresión general para obtener por lo me-
n 3 s s é x i t o s en r ensayos , cuando l a probabi l idad de é x i t o en ca-
da ensayq e s oonocida. Sea p y q l a s pmbab i l idades de é x i t o y
f racaso e n cua lqu ier ensayo, entonces l a probabi l idad requerida e s :
r O 1:-1 1 s r-s
Es te re su l t ado inc luye como ca so p a r t i c u l a r l a so luc ión d e l problema
de los puntos dada por Pasca l , e l c i a l supone que los d o s jugadores
t i enen l a misma h a b i l i d a d ( i . e . , p = q = 1/2) y que se obt iene d irec- - tamente de l a expres ión a n t e r i o r sus t i tuyendo r = m + n - 1 y s = m.
Como s e v e , e l r e su l t ado de Beicnouiii proporciona tainbién l a , so luc iÓn
para e l ca s3 e n que l o s jugadores t i enen d i s t i n t a s hab i l i dades ( i . e * ,
P ? w *
Entre o t r o s r e s u l t a d o s notab les en #su obra " A r s Conjectandi", se
encuentra en l a cuar ta par te el . enuncfado de l o que hoy s e llama " T e 2
reina de Bernoul i i84 o "Ley de los granües números", e l cua l e s t a b l e c e
que, pard n grande, C ( k ) p q -1 donde l a suma se hace sobre los k 17-k
en teros comprendid#os en t re m(p-c) y n ( p + c ) , siendo G un real po-
s i t i v o fijo. , E s t e r e s u l t a d 3 e n lenguaje moderno, s e expresa pDr me-
d i o de p [ \ y - p \ 1. La tecn ica usada por Bernoul l i e s t a basa-
da e n ' e l hecho de que los términ6s de l a expans i jn binomial aumentan
Sn
32
mDnÓtDnamente hasta l a moda y después decrecen monjtonamente.
Kay que nDtar que e l teorema de Bernoul l i no d ice que hay proba-
Sn b i l i d a d c a s i un3 de que 1~ -.p\ permanezca i n f e r i o r a t: i n d e f i -
nidamente. cabe l a duda de que en k ensayos a d i c i o n a l e s , I-- * n+k
sea mayor q u e t: para alguna k > 0 .
P1 sn+k
Las s i g u i e n t e s contribuci.ones importantes a e s t e problema l a s
dieron De Moivre y Laplace trabajando e n l a d i r e c c i h de problemas de
aproximación de d i s t r i b u c i o n e s , de l a s cuales se hablará mas adelante.
Desde e l punto de v i s t a de l o s problemas-de e s t a b i l i z a c i ó n , e l siguie~
t e resulkado s e debe a Emile Bore1 (1871-1956) publicado .en 1909 y
que dice que hay probabil idad uno de que, para n suficientemente
grande, I r - p \ sea. i n f e r i o r a E: ( u n número p o s i t i v o dado de ante- Sn
mano) y que permanezca i n f e r i o r a € indefinidamente. Este r e s u l t a -
do es cual i tat ivamente d i f e r e n t e a l de B e r n o u l l i ; es un resulkado d e l
t i p o llamado h e r t e y como se verá enseguida, implica a l de Bernoul l i .
Sn E l enunciado & e l mismo es e l s i g u i e n t e : P[ l i m 1- - p \ = O] = 1. S i n+oo
p \ =: O f e l evento A = [ l i m 1-- ocurre , entonces ocurre que dada Sn n+co n
cualquier e > O , e x i s t e un téirmino n t a l que para toda m z n ,
Srn co sn - p \ e t: ; es d e c i r , que el evento B = [ynzl ñmrn \y - p i c o 1
ocurre. Por 3.0 t a n t o , siempre que e l evento A x u r r e , e l evento B
también acurre y como A ocurre con probabil idad uno, l a probabi l i -
Sm dad de la ocurrencia de B también e6 un3. Sea B n - - C n m i n ( \ F - P \ < d I
n rj c
--- - i------- p - 6 - ---- I --i-=--==
+ u) c W
n gv U d r j
34
c~ c . . . c ~ c... y que urn n = l B n = B. Por e l Problema B 1 2 n y note que
TmE3 se t i ene que, 1 = P(E3) = 1 . i m P(B pero s i B ocurre , ent3n-
ces
n n-+m Sn
[ 1- - 21 .= E: 7 n scurre y se sigue que
con 1.9 qc,c e l sesliltsado d e B e r n o u l l i queda implicado.
I n 1934, Pa : . ;L Lévy ere6 e inves t igó e l concepto de martingalas
(que deba sti nomDrt . a. V ' l l le f : e s t e concepto nació y s u desarro113 fue
g u i a d o par los resul tados obter i idos en e l c a s o de la suma de var ia -
b l e s a l e a t s r i a s independientes, más precisamente, nació de un in tento
de preservar la l e y de los grandes números.
La martingala e s u n esquema q u e representa las ganancias de un
jugador e n un juego j u s t o y l a subdartingala e s un esquema que repre-
senta las ganancias e n un juego fau3rable al jugador. Para s u repre-
de v a r i a b l e s a l e a t o r i a c y sentación se usa una sucesión
sub-0-álgebras de ()l. def in idas en u n espac io de pmbabi l idad (? ,Ot ,P)
03 pn g n j n=i
con las s iguientes propiedades:
1. Par2 toda n E W , e l va'lor esperado de l a v a r i a b l e a l e a t o r i a
X e x i s t e y e s f i n i t o .
2. Para toda n , la v a r i a b l e
n
e s medible respecto de l a x*
3, o
0-álgebra
3n @ n + l * 3 . Para n = lf2,3,..e,
4 . Para toda n , X = E(X,n+i13n) n
35
4 ' ) Para toda
E n caso de que se sa t i s fagan 1 , 2 , 3 y 4 , ~ x n , ~ n j ~ l repre-
n , X n l E ( X n - + J O n )
senta una martingala, y en caso de que se sa t i s fagan 1 , 2, 3 y 4 '
dicha sucesión Fepresenta una submartingala.
La propiedad ( 1 ) d ice que e l valDr prDmedio de l a ganancia en e l
juego e s un número f i n i t o . La ( 2 ) e s t a b l e c e que toda l a in'forrna'ción
re levante acerca de los p o s i b l e s v a l o r e s de l a var iab le
gn contenida en l a 0-álgebra
X e s t á n
. La propiedad t r e s representa e l hecho
de que La infomiaci6n no disminuye a medida que se r e a l i z a e l juego,
y l a ( 4 ) e s t a b l e c e matemáticamente e l hecho de que se t r a t a de un
juego " j u s t o " , e s d e c i r , q u e e n v i s t a de l a información que se t iene
hasta e s t e momento, esperamos tener una ganancia promedio en l a s i -
guiente etapa igual a la que se tiene ahora (donde "ahora" puede s e r L
, cualquier h). En cambio, l a propiedad ( 4 ' ) e s t a b l e c e que e l juego
e s favorable a l jugador, es d e c i r , gue dada l a información que se
t i ene hasta ahora, l a ganancia esperada en l a s i g u i e n t e etapa e s ma-
yor o igual que l a ya obtenida.
E l s iguiente teorema, debido a mob,, e s t a b l e c e condiciones para
que una subhartingala se "e'stab:ilicel' e n el sentido que se e x p l i c a r á
a c5ntinuación.
Teorema 3 . Si l a submartingala sa t i s face
sup e 30 entonces hay una v a r i a b l e a l e a t o r i a X t a l que n
X =+ X cuando n-too con prcbabi l idad 1. n I
36
Este teorema dice que, e n u n juego favorable a l jugador en e l
cual no puede esperarse en algún momento q u e su fortuna promedio ex-
ceda a una cantidad f i j a , l a s fortunas tienden a e s t a b i l i z a r s e . ' Con-
c l u s i ó n que r e s u l t a natural .
2.2 PROBLEMAS DE APROXIMACION DE LEYES
Se def ine convergencia en d i s t r i b u c i o n e s de l a manera s iguiente :
Sean F , F , F ,..., F ,..., d i s t r i b a c i o n e s propias y F d i s t r i - 1 2 3 n
b u c i h propia o impropia. Se sabe que por ser F función monótona
t i e n e a l o más un número numerable de discontinuidades. Denjtese por
C(F) u1 conjunto de todos los números reales que son puntos de cm-
tinuidad de F.
Definición 1. Se dice que IFn') converge débilmente a F ( e n
d símbolos F n 4 F ) , s i F n ( x ) 4 F ( x ) cuando n 4 o o , para toda
x E C(F)
Se d ice que converge completamente a F ( e n símbolos
C d F n 4 F) , s i Fn+ F y además F es una función de d i s t r i b u c i ó n
prDpia.
- La convergencia completa .- es l a que se denomina "cDnvergencia 2
ley'.
El tebrema 2.1,1 (de Bernoul l i ) también se puede enunciar de la
s i g u i e n t e inanera:
37
. C
(1) F n 4 F t donde F es l a función de d i s t r i b u c i ó n dada por
O s i x c p
1 s i p < p Fix) =
sil cuando n+m, donde Fn e s 1.a f u n c i ó n de d i s t r i b u c i ó n de - n y e l
símbolo It indica convergencia, l o que se j u s t i f i c a como sigue:
?rimero recuérdese que el. teorema de Bernoul l i d ice que:
Sn ( 2 ) P[\'n - p \ < c 1 - l para > O (observe que e s t o e s equivalen-
Se demostrará que ( 2 ) * ( 1 ) t
Si p < x , entonces
cuando nJpoo.
S i x c p , entonces
cuando n - w .
La implicación en el sentido c o n t r a r i o ( i . e . ( 1 ) * ( 2 ) ) se de-
muestra como s i g u e :
38
cuand3 n-)co.
Est9 quiere d e c i r que e l teorema de B e r n o u l l i no e s más que u n
cas3 e s p e c i a l de un problema de aproximacijn e n d i s t r ibuc ión o de
aproximacijn en ley .
Refinando l a s t é c n i c a s de ,James B e r n o u l l i , De MDivre demostrs un
resul tado análogo a l conocid3 hoy como I'fÓrmula de S t i r l i n g " , y en
1732 encontró que:
unifDrrnemente e n todos los v a l o r e s de x que es tán e n un i n t e r v a l o
f i n i t o dado, [a ,b] . PDsteriorrnente, Laplace e n 1801 genera, l izó e s t e
resul tado y l o puso en fxma i n t e g r a l de l a s i g u i e n t e manera.
Teoremb 2. (De Moivre-Laplace) . Para -00 < a b < + w se t i e n e -I
Nótese que s i para n = 1 , 2 , 3 , ..., F es l a función de distribution
de
n Sn-nP
h p q y F , e s la f u n c i j n de d i s t r i b u c l j n def in ida para todo
e dy entonces e l Teorema 2 (de De
Maivre-Laplace) se puede r e e s c r i b i r corn3 s igue : I
39
Com3 se d i j o a n t e s , este resul tado se obtuvo refinand3 l a s téc-
nicas usadas por J. Bernoul l i y De Moivre, por l o que e s de esperar
que incluya com3 caso p a r t i c u l a r al resul tado de B e r n o u l l i , com3 se
podrá Dbservar a continuación.
Tome d y c números p o s i t i v o s a r b i t r a r i o s , tome a > O grande CI
dy> 1 - 6 , esto Último claramente es pos ib le ya que, 1 -Y% para - J2fl
F(+m) = 1.
Para n suficientemente grande, Pc -qnpq < S n -np dnpq 1 d i - e
f i e r e de - 1 -YL J2 dy e n menos de 6 y dJ2n
por l o que, 1 - 26 <P[-ne < Sn - np < n e ] 1.1
t i e n e ’que para n suficientemente granhe
y por ser 6 a r b i t r a r i o se
E l s iguiente teorema de convergencia e n leyes f u e obtenido por
Poisson en’ 1 8 3 2 , q u i e n modificó e l cas9 de J. B e r n o u l l i , suponiendo
que l a probabilidad de é x i t o p = pn depende d e l número t o f a l de en-
sayos., de t a l manera que npn+A>O. Una i n s t a n c i a r e a l dg e s t e he-
cho c o n s i s t i r í a en considerar una sucesion de monedas donde l a n-ésima
de c a e r e n care . E l experimento c o n s i s t e en Pn t i e n e probabi Lidad
40
l a d i s t r i b u - i Ó n d e l nÚnero S de é x i t o s en los n lanzamientos de
l a n-ésima moneda es aproximadamente igual a :
n n
conocida como l a d is t r ibuc ión de Poisson.
La i m p x t a n c i a de e s t a d i s t r i b u c i j n n 3 fue descubierta s i n = , hasta
cerca de 1 9 3 0
blema central d e l l ímite.
en que s e , v i 6 el. papel fundamental que juega e n e l pr-
2 .3 PROBLEMAS DE FLUCTUACION
00 de v a r i a b l e s p n \ n=i ' E n es ta sección usaremos una sucesión
a l e a t o r i a s inde 'pendientes y con la misma d i s t r i b u c i ó n , def inidas en
un m i s m 3 e'spacio de probabilidad
= 1/'2.
Los resultados de De Moivre y Laplace dicen que, e n promedi3,
será d e l &den de magni- + n l a s f luctuaciones de
tud J n . Est:, e s , para a y n 'grandes y f i j a s P( -a ./n<Sn<a ,/n)
Sn = Xl 4- Xz + . .
e s próxima a uno.
Para e jempli f icar e s t o , tome n = 50, a = 2 . 4 entonces ,
~ ( - 2 . 4 J 5 0 < S < 2.4dSO) .99. Ahora c:,nsidere e l s iguiente experi-
mento: 100 jugadores e n un c a s i n o deciden cada uno embarcarse e n un
jueg:, de 5 0 jugadas, e n cada una de las c u a l e s pueden ganar un punt:,
n
I
o perderlo c 3 n . probabilidad 1./2.
41
De acuerdo con l a i n t e r p r e t a c i j n frecuencia1 de l a Prababi l idad,
s e espera que 99 de l a s 100 obtengan una puntuacijn t o t a l comprendi-
da e n e l i n t e r v a l o [-2.4d50,2.4,/50].
S i n emri>argo, desde e l punto de v i s t a de un j u g a d x e n p a r t i c u l a r ,
él se embarca e n una sucesión de jugadas (potencialmente i n f i n i t a ) .
E l no e s t á interesado e n comparar su puntuación t o t a l despues de n
jugadas con o t r o s pos ib les jugadores, s i n o que sólo se interesa en
l a s f luctuácioaes de s u s puntuaciones t o t a l e s e n función d e l número
de jugadas que l l e v a hasta el momento.
Los resul tados de De Moivre y Laplace dejan a b i e r t a l a p o s i b i l i -
dad de que las puntuaciones t3ta les e n función d e l numero de jugadas
para un jugador en p a r t i c u l a r , alcancen ocasionalmente una magnitud
17 d e l Órden d e , por e jemplo, ( J n ) . De aquí surge l a pregunta de
cómo se comportan l a s f luctuaciones de sus puntuaciones.
K h i n t c h i n e (en 1924) demostró que con probabilidad 1 ,
S n L i m sup = 1.
J 2 n l s g l o g n n + a
Este resultado se conoce como " l e y d e l logaritmo i terado" debid5 a
que en e l l a aparece u n a i t e r a c i j n íogaritmo.
' Este resultado e s un refinamiento de l a ley fuerte de los gran-
des números de E . 3 o r e l ( e n 1909), de l a c u a l ya se h i z o mención.
E n t r e e l r e s u l t a d 3 de E . Bore1 y el de K h i n t c h i n e , hubo un gran
número de esfuerzos intermedios, t o d s s el los f u e r t e s :
Con pkobabilldad uno:
. _ _
42
Hansdxf f (1913) : 1/2+E) s = O ( n I I1
Hardy-Littlewood (1914) : S n = O(,/. log n) ,
'n Steinhaus ( 1 9 2 2 ) : L i m sup - < 1, n c o J2n log n
Khintchine (1923) : Sn = O(Jn log log n ) ,
n S Khintchine (1924) : l i m sup = 1 ,
n e 0 9 & n lag log n
donde O ( n ) quiere d e c i r : O ( n ) / n O y O(n) qu iere d e c i r que l a
suces ión {O( n) /n) O0 e s acotada. n= l
E l reisultado de Xhintchine da una in formaci jn p r e c i s a en cuanto
a la probable amplitud de l a o s c i l a c i ó n de
l i z a c i j n d e l experimento y tam'bién se puede-enunciar de l a s i g u i e n t e
'n para cada p o s i b l e rea - I
manera :
Teorema 1.
i) Con probabi l idad 1 a l o más un número f i n i t o de eventos
ocurren, donde e s un número p o s i t i v o mayDr que 1 dado
de antemano.
ii) Chon probabi l idad 1 un número i n f i n i t o de even to s
43
ocurren, donde es un número p o s i t i v o menor que 1 dad9
de antemano.
Este teorema se i l u s t r a en l a s Figuras 1 y 2, l a s cua les se han
obtenido al simular volados de unaimoneda no sesgada ( i . e . que t i ene
pmbabi l idad .5 de c a e r c a r a ) . Para cada número n = 1,2, ... se
ha puesto l a ordenada
los puntos (n,aL/2n log Log n ) donde a es un f a c t o r que se i n t r o -
a s n y ].as campanas s e han obtenido graf icand3
duce con e l o b j e t o de r e d u c i r Ila e s c a l a de l a s ordenadas.
Para = 1 .5 : l a Figura l ( a ) 'c=>ntiene 4 real izac- iones de 1000
voladDs cada una y l a Figura i(b) cont iene 4 r e a l i z a c i o n e s de
10,000 volados,cada una.
Para = .5: l a Figura 2 ( a ) contikne' 4 r e a l i z a c i o n e s de 1000
volados cada una y l a Figura 2(b) cont iene 4 r e a l i z a c i o n e s de
10,000 volados cada una.
Pero >nuevamente surgen preguntas r e l a t i v a s a:
La informaci jn respec to a l a 'frecuenc'ia de ocasiones en que un
jugador en p a r t i c u l a r se encuentra' ganando. La i n f x m a c i j n respec to
a la frecuencia con que un jÚgador que e s t á ganando, empieza a perder,
etc .
'
E n e s t a d i r e c c d j n nos encontdamos c=>n las famosas leyes d e l arco-
Teorema 2 . ( F e i - l e r ) La probabil idad de que has ta e incluyenda
l a 2n-&sima jugada, e l Ú l t i m D empate ocurra e n l a jugada 2k está
44
I
4 A a
46
Üada p ~ r
donde
= O] i . e . l a probabil idad de empafe en P Z Y = PES2y
2v-ésima jugada.
Corolar io 3 .
I) a ( 2 k , 2 n ) = a(2n-Tk,2n) , 1 L a ( 2 k , 2 n ) = - ~ ( 2 k , 2 n ) = C 2 2 ) k : k < z , p3 * k:k>$
i , e . con prooabilidad 1/2
t e d e l juego, s i n importar qué durac i jn tenga e l misma ( i . e . para
no ocurre ningún empate en l a segunda pay
cualquier n dada de antemano).
I
1
47
Usando l a fórmula de S t i r l i n g se demuestra q u e
y para t f i j o can 0 e t c 1 y n suficientemente grande,
2 n ( * ) . . . . . a(2k,2n) fi: - arc sen,/t
ketn
Un ejemplo de este hecho tomado d e l l i b r o de F e l l e r : "An Introduction
t a P r o b a b i l i t y Theory and i t s Applications"(Vo1. I ) , es e l s iguiente :
SupDnga que cada uno de 100 jugadores se embarca en una sucesión de
jugadas a razón de una por segundo durante todo un a ñ o , en cada suce-
s i ó n , las jugadas on independientes entre sí y e n cada jugada se pue-
de ganar un punt3 con probabil idad 1/2 y perder un punto con proba-
b i l i d a d 1/2.
Entonces, aprDximadamente 10 de e l l o s t i e n e n su Último empate
antes de que el noveno d í a haya kerminado y , ya sea que vayan ganando
o perdiendo, permanecen e n esa s i t u a c i ó n has ta e l f i n a l d e l ana. A-
proximadkmente 5 de l o s 100 tendrán su Último empate durante l o s dos
y un cuarto primeros d í a s , y aprDximadamente para 1 de los 100 e l Ú l -
tima empate o c u r r i r á durante las primeras 2 h x a s 10 minutos.
c
Teorema 4. La probabil idad de que e n e l i n t e r v a l o de O a 2n
e l jugador permanezca un promedio k/n d e l tiempo ganando, es
cr(2k,2n).
CDyolario 5 . Por ( * ) la pgobabilidad de que --- a l o I@& un prome-
dio t de tiempo 'e l jugador pe rma n e zca ganando t i e n d e a :
2 - arc sendt , cuando 11400 a
"Contrariamente a l a opini6n p p u l a r , es más probable que, e n un
juego prolongado de puntos, un:) de l o s jugadores permanezca p r á c t i c a -
mente todo e l tliempo en venta ja y el o t r o perdiend3".
A t ravés de esta sección :;e ha d e s c r i t o e l desarro l lo h i s t j r i c o
de los prihcipalles problemas de l a teorga de p n b a b i l i d a d , los cuales
más tarde serán t ra tados , cuando se cuente con técnicas m6s refinadas
para anal ipar los .
49
L.
' 3 &. 3 .
4.
5 . 6 .
7 ,
8 -
9.
entonces l i a n p(An) = p ( P j . n+m
SI {A 3" ca tal que A c~ c . . . c z ~ c~ c... Y n n = l 1 2 n n-tl
Denhestre pow i n d u c c i ó n i i i "regla de mul t ip l i cac i6n" i . e , para
cualquier eneada A L r A 2 , ,, . . ,A de event3s se t i e n e n
10. i k r r i u e s t r e q u e s i A,B son Ü3.s eventos independientes e n t 5 n c e s
C A y B t A' y B, AC y Be respectivamente.también son i n d e -
pendientes, entonces A y 8 A' y B, AC y B~ respect iva-
m e n t e también s 3 n independientes.
50
11. Sea (S,m,P) u n e s p a c i o de probabil idad y sea H E d t a l que
P ( H ) > O . Definase l a terria ( H , 3 , Q ) por medio de
3 = f A n H:A
s e c c i c n e s de elementos de con H ; y Q : a + [ O , l ] d e f i n i d a
p3r Q ( A C H ) = P ( A \ H ) para todo P i n H E z . Demuestre que la ter-
na (H,a,Q) es u n espacio de probqbilidad.
, es d e c i r , 8 es la f a m i l i a de tDdas las inter-
CAPITVLO IP
MET'ODOS DE M E D I C I O N
1. EL CONCEPTO MATEMATIC0 DE MEDIDA
E l s e r humatlo, a l e n t r a r e n contac to c 3 n e l mundo real, c l a s i f i -
c a los o b j e t o s q u e encueritra e n él. de acuerdo a c r i t e r i o s muy var ia-
dos. Uno de e l l o s e s e l de "tamafi=>". E s t a idea de "tamañoqr permite
comparar d i s t i n t o s objetos y de ahí s u r g e n l o s conceptos de "mayr,r
que", "menor que". U n a vez q u e el hombre supera e s t a etapa de sim-
ple comparaci6n, empieza a pregunzarse: ¿qué tanto e s m á s grande u n
o b j e t o que otro? o ¿qué tanto es más ch ico? De aquí surge la necesk
dad de "medir " , e s d e c i r , de ponderar de c i e r t a manera e 1 tamañ3 de
los ob je tos . No se i n t e n t a d a r a q u í una descr ipción c k t a l l a ü a de
cómo esta necesidad d i Ó lugar a l a c reac ión de medidas de peso, volu -
m e n , d i s t a n c i a , conteo, . e t c . , s ino más bien se t r a t a de d i s c u t i r e l
concepto matemático de medida. ¿Qué propiedades intuit ivamente de-
s e a h l e c , debe s a t i s f a c e r cualquier sistema que pretenda c u a n t i f i z x
de c i e r t a manera e l "tamaño" de los o b j e t o s ? .
Primeramente', los valores que as igne e s t e sistema a l "tamaño"
deben s e r no negativos y , claramente, si un o b j e t o se diviUe en va-
rias p a r t e s , l a suma de las medidas'que e1 'sistema escogido a s i g n e a . cada una de e l l a s debe ser igual a l a medida a s i g c a d a a l o b j e t o t o -
52
t a l . Dado que, en l a p r á c t i c a , un o b j e t o sÓl=> puede d i v i d i r s e en ün
número f i n i t o de p a r t e s , mediante el experimento ya d e s c r i t o , Única-
m e n t e s e r í a pos ib le comprobar l a llamada "adi t iv idad f i n i t a " de l a
medida en cuestión ( i . e . l a suma de las medidas de u n número f i n i t o
de p a r t e s e s igual a l a medida d e l t o t a l ) . S i n embargo, como l a ma-
temst ica maneja e n t e s a b s t r a c t o s , g e n e r a l i z a ' p a r a e l l o s l o comprDba-
do e n e l nunc33 r e a l , saponiendo que, aún s i un o b j e t o pudiera subdi-
v i d i r s e en un número numeraSle de p a r t e s , l a suma de l a s medidas de
e l l a s s e g u i r í a siendo igual a l a medida d e l t o t a l . ( i . e . l a medida
es a -adi t iva . ) Es to motiva l a s iguiente d e f i n i c i j n a b s t r a c t a de me-
d i d a :
B f i n i c i j n 1. una f u n c i ó n ¡l. def in ida sobre una 0-álgebra 8~
de conjuntos q u e toms va lores en [ D , o r , J ( e s t o e s , e n 13s r e a l e s fi3
negativos u n i j n e l or,) e s una MEDIDA s i e s 0 - a d i t i v a , o s e a , s i 00
para toda sucesión a j e n a ( A i n A j = 9 para cualesquiera
i f j ) de elementos de 6L
a3
n-1 n = l
En e s t e l i b r o se emplearán en genera l medidas 0 - f i n i t a s , o s e a ,
medidas que s a t i s f a c e n l a s iguiente propiedad: Ex is te una sucesión
a jena de elementos de ix t a l q u e u B n = ! n= 1 . . n = l
para todz n.
Comparando l a d e f i n i c i ó n de medida csn l a dada e n e l c a p í t u l o I
para l a f u n c i ó n probabil idad de q u e habla e l modelo de K3lmogsr3v,
se ve que la probabilidad no e s más q u e u n a medida muy e s p e c i a l ya
q u e , no sólo e s 0 - f i n i t a , s ino además s u s v a l o r e s se h a l l a n compren-
d i d s s s 6 l o en [O,lJ. E s t o hace evidente l a lmportante r e l a c i ó n que
e x i s t e entre l a t e o r l a de la nieciifla y l a probabil idad. ~e hecho, el
desarro113 de e s t a últ ima se h a l l a íntimamente l igado a l desarro113
de l a primera y e s por e s o q u e e l propósi to d e l presente c a p í t u l 3 e s
e1 de e s t a b l e c e r , expl íc i tamente y c s n base a l ineamientos h i s t ó r i -
cos , l a re lac ión entre ambos.
2. EL MODELO C L A S I C O DE E S P A C I O DE PROBABILIDAD Y LA MEDIDA DZ
CONTAR.
S i n duda alguna, l a primera "medida" conocida y manejada por e l
hombre e s l a que se conoce, e n términos matemáticos modernos, como
l a "medida de contar" . En e f e c t o , ¿qué medida más simple puede idear -
se s i n o aquél la que asigne a cada o b j e t o o conglomerado de o b j e t o s
s u 'In6mero" de par tes o de e l e m e n t D s " u n i t a r i o s " ? S i n embargo, a pg
c a r d e . l a aparente simplicidad de es ta medida, un poco de r e f l e x i j n
al respec to conduce inmediatamente a l a c 3 n c l u s i Ó n de que, l a elabo-
r a c i ó n de l a misma debió de haberles costado c i e n t o s de años de e s - .
I .
fuerzo a nuestros antepasados. En e f e c t o , v a r i o s conceptos matemst&
54
cos básicDs y nada obvios o simples e s t á n involucradDs en e l proceso
de "contar" . Una buena dcscr ipc i6n de e s t o s conceptos y de cómo,
tal vez , fueron descubiertos por e1 hombre, e s l a dada por A ; Frago-
so e n l o que sigue:
" E s probable que junto con los p r i n c i p i o s de l a c u l t u r a humana
haya surgido en e l hombre l a necesidad de conocer cuándo doc
conjuntos o más t ienen e l i n i s m 3 número de elementos. E s p r 9 -
bable también q u e a l mismo tiempo haya tenido l a necesidad de
comunicar e s t e concocimient3. Asimismo, e s probable q u e para
reso lver e s t o s problemas e l hombre s i g u i e r a a l p r i n c i p i o e l
mismo procedimiento q u e a l a fecha sigueil los niños o l a s c3-
munidades cnyas c u l t u r a s permanecen e n estado pr imi t ivo ; e s t e
procedimiento c o n s i s t e en aparear los elementos de d D s conju;
t o s has ta terminar con l o s elementos de uno de ellos. S i lss
elementos de ambos conjuntos se terminan simultáneamente, se
dice entonces, que ambos conjuntos t i e n e n e l mismo número de
elementos: e n caso c o n t r a r i o , se d ice que a q u e l conjunto c u -
yos elementos se ag3taron primero t i ene menos elementos que
e l otro .
Veremos u n poco más a d e l a n t e , que l o q u e real izamos para
contar nosotros 13s n 3 d i f i e r e e n gran cosa de
l o que r e a l i z a n los niños y 13s s a l v a j e s . Para e l l o , ana l i ce -
mos con nuestro lenguaje e s e proces:, de apareamiento a l que
55
nos hem2s r e f e r i d o .
Supongamos p u e s , q u e u n s a l v a j e acepta cambiar p e p i t a s de
oro por canicas de c31ores , y que para e l l o e s t á dispuesto a
dar una pepita de oro por cada c a n i c a y se l e d i c e que un CDG
junto A de c a n i c a s t i e n e e l m i s m r , , número de elementos que
s u conjunto B de pepi tas de oro. E l sa l -va je entonces i r á
tomando una canica y una pepi ta de oro e i r á separándolss de
los conjuntos A y B h a s t a que se terminen los elementos
de a l g u n 3 de l o s dos c ~ n j u n t o s . E n e s t e proceso, nunca t o m s -
rá dos canicas o más por una p e p i t a de o r o , ya q u e , provervial -
mente l o s s a l v a j e s son muy honestos , Asimismo, nunca tomars
dos pepi tas 3 m á s p3r una c a n i c a , ya que, también proverbial -
m e n t e , l o s s a l v a j e s son muy c e l o s g s de s u s derechos. Ahora
b i e n , s i a l tomar l a Última p e p i t a toma también l a Última ca-
n i c a , entonces e l s a l v a j e aceptar6 e l t r a t a - y a q u e , evidente-
mente para él, ha r e c i b i d o t a n t a s c a n i c a s c g m 9 p e p i t a s de o r o
entregó; esto e s , 61 e s t á de acuerdo e n que l o s conjuntos A
y B t i e n e n e l mismo número de e lenentgs .
Analicemos ahora l o que e l s a l v a j e ha hecho. Ei t e n í a 60s
conjuntos A y B , entonces escDgi6 , a r b i t r a r i a m e n t e , para
cada pepita a f A una y si510 una c a n i c a . b c ~ , a l a q u e pode -
mes denotar pQr f ( a ) EB. R e a l i Z j e s t e p r x e s o e n t a l fqrna
que, por un lado ninguna pepi ta se quedó s i n s u can ica a s o c i a
5 ú
d a , por o t r o , pepi tas d i f e r e n t e s tuvieron como asociados cani -
c a s d i f e r e n t e s , y p s r Último, ninguna canica r e s u l t 5 no ser
l a asociada de alguna pepita . ik r e a l i z a r s e todo l o a n t e r i o r ,
entonces 61 aceptará q u e A y B ten ían e l mismo número de
elementos.
Resulta c l a r o , pues, que seqún e l s a l v a j e (que representa
a nuestra i n t u i c i j n ) , l o s conjuntos A y B t ienen e l micxo
número de elementos siempre y cuando 61 pueda e s t a b l e c e r una
f u n c i ó n 1 a 1 y sobre e n t r e A y B. A nosotros también n3s
parece razonable e l c r i t e r i o d e l s a l v a j e y 1s aceptamos corn3
de f i n i c i6n.
I k f i n i c i Ó n 10. Sean A y B dos con juntos , entonces A
y B t ienen e l mismo número de elementos s i e x i s t e a l menos
una f u n c i ó n de A e n B que sea uno a uno y sobre y e s t o se
denotará por # ( A ) = #(B) . Es importante que observemos, q u e h a s t a ahora l o Úíl ico que
..
kmcs precisado e s l a semántica de "dos conjuntos A y B ,
t ienen e l mismo número de elementos". Nótese pues que no he-
mos uicho cuántos elementos t i e n e n ; e s t o e s , a ú n no aclaramos
l o que s i g n i f i c a Itel número de elementos q u e t i ene u n conjun-
to" . E s t o parece un tanto paradÓjic9 ; es precisamente por
e l l o q u e ins i s t imos e n que e l l e c t o r r e f l e x i o n e sDbre es te . .
hecho, ya q u e de comprenderlo no tendrá d i f i c u l t a d e n enten-
. %
I
57
der el concepto de "nÚmerr> cardina l " .
Notemos q u e el hecho cie que dos conjuntos tengan e l misin3
núaero de element3s, por ejemplo 5 , e s ü l g 3 sugerido por l a
rea l idad y que e s t a sugerencia e s t á i m p l í c i t a e n l a p o s i b i l i -
dad de aparear l o s eleinentos de e s t o s d 3 s conjuntos. Para
ello n 3 nos fue necesar io , en abso luto , tener idea alguna res --
p e c t 9 del número 5 . A s í pues, el concepto "mismo número de
elementcs" e s pr imit ivo y b a s t a con 61 para r e a l i z a r muchos
p r m e s o s , particularmente aquél los q u e son t i p i c o s de l a s c3-
l ec t iv idades humanas poco s o f i s t i c a d a s . I n c l u s o , aunque e s t o
r e s u l t e un tanto aventurado, e s dado suponer q u e muchas espe-
c i e s de animales manejen este concepto inst int ivamente .
Como consecuencia de l a repet ida r e a l i z a c i ó n de e s t e procg
so y quizá por su incomodidad o por l a imposibil idad de rea1.i
z a r l o cuando los 23s conjuntos q u e se deseaba aparear eran ds
c i e r t o t i p o o f ís icamente se encontraban muy separados, fue
que e l hombre cayó e n l a necesidad de a b s t r a e r l o ; , e s t o e s , de
descubrir l o i n t r í n s e c o y e s e n c i a l en él. Fue entonces cuan-
do se inventó e l concepto de número. A 1 a b s t r a e r e i concept3
se descubr ió ycie l o e s e n c i a l e n 61 no es que sean precisamen-
t e l o s elenient3s de dos conjuntos l o s q u e se aparean, s i n 3 e l
hecho de q u e e s t o s elementos ;puedan ser apareados e n t r e s í ! ,
y que s i e s t o sucede con dos con juntos , entonces sucederá c 3 n
58
cualquier o t x 3 conjunto que tenga e l m i s n i 3 número de elemen-
t o s que e l l 3 s . E s ent3nces cuando se inventan los nÚmer3s
cardina les : 0 , 1 t 2 t 3 t 4 t . . . t n t . . . , y se encuentra e l orden en-
t r e ellos, intuido a t ravés de l a s d i s t i n t a s numerosidades de
los conjuntos. con l o s números ya ordenados, e l hombre dispo -
ne de un conjunto N que funciDna como una e s p e c i e de metro,
C O L e l cü31 p z Z e rncdir la numerDuidad de o t r o cc>njunto, o
cons ta tar p3r medi3 de él, que un conjunto dado tiene- e l mis-
mo número d e elementos que o t r 3 . "
Se ha inventado pues l a primera medida, b á s i c a e n l a c r e a c i j n o
d e f i n i c i ó n de todas l a s o t r a s empleudas hoy e n día por e l hombre.
E l hecho de que l a f u n c i ó n p def in ida e n u n a 0-álgebra 0- de sub-
conjuntos de u n conjunto f i n i t 3 n por: p ( A ) = cardinal idad de A ,
con A E a es una medida (según la ' 3e f in ic i6n ,$/l,l) puede compro-
barse fáci lmente.
Ahsra bien ¿qué papel juega e s t a medida e n e l terrens de l a pro -
habilidad? E s in teresante nDtar, que también dentro de e s t e camp3,
é s t a f u e precisamente l a primera medida usada. En e f e c t a , recorde-.
mos q u e e1 pr imer modelo de espac io de probabi l idad, planteado par
Laplace , def ine l a probabil idad de un evento A como:
número de c a s 3 s favorables a A t o t a l de casos p o s i b l e s . P,(A) =
59
Es d e c i r , dec t ro del m x ? ? e l . o clásico de espacio de prZtabi l i2zd l ; r -
dida que permite d e f i n i r a l a f u n c i ó n de probabi l idad d e l misino e s ,
nada menos que la medida de contar . E s t e hecho permite entender s o r
qué los primeros " p r o b a b i l i s t a s " se preocupaban t a n t o por encontrar
el número de elementos de c i e r t o s conjuntos ? a r t i c u l a r e s . En c í e c t 3 ,
todo l o qu? se conace actualmente como " C á l c u l D Comhinatsrio" n a c i 6
de manipul3ciones ingeniosas hechas c o n e l p r 5 p a s i t o de " c D n t t a r " 2s
una manera abreviada, y , aunque en l o s a l b s r e s de l a probabil-idad
este c á l c u l o estuvo íntimamente l i g a d o a ella, h a s t a e l grado de ser
considerados ambos como una misma d i s c i p l i n a matemática, e n e l momeE
t o e n que o t r a s medidas más elaboradas complementaron a l a c a r d i n a l i -
dad, cada una de e s t a s dicciplinL1.s cobró importancia propia. En sec I
ciones p o s t e r i o r e s se e jempli f icarán con más d e t a i l e e s t o s cainbios.
a l e a t o r i a X def inida en un espacio be probabi l idad (Q,n,P) e s
6 O
d i s c r e t a si e x i s t e un subconjunto B c S R a l o m&s numerable ( i . e .
de cardinalidad menr3r o igi-ial q u e N ) t a l q u e : O
l o que quiere d e c i r q u e l a masa de la f u n c i j n de d i s t r i b u c i ó n F se
h a l l a concentrada en un subconjunto de 1R a l o más numerable, o
q u e , l a var iab le a l e a t o r i a X toma con probabil idad p o s i t i v a a l o
más un nÚ.mero numerable de valores .
3 . 1 . E S P A C I O DE PROBABILIDAD F I N I T O .
- ~ - - - Definj-ción 1 . U n espacio de probabil idad f i n i t o e s una terna
(Q,&,P), donde fi es un conjunto f i n i t o n 3 v a c í o , a e s BB álgebra
de todos los subconjuntos de y P e s una f u n c i ó n r e a l definida
sobre ct con las propiedades s i g u i e n t e s :
i) P ( A ) 20 para todo elemento . A E Q L .
ii) P ( n ) = 1.
iii) Si A1,As ,..., A son elementos de a mutuamente a jenos , n
n entonces P ( O A J = c P ( A . ) .
j = l j = i 3
. Nótese:
1. E n e l modelo c l á s i c a , donde I ? ( - ) asigna i g u a l prababil idad
' 61
a cada uno de los eventos elementales ( i . e . , s i N = p(n)
caso e s p e c i a l de e s t e espac io de probabil idad y se recuerda
que l a expresión "un elemento de una poblacion f i n i t a fi es
seleccionado a l azar" quiere d e c i r que s e t r a b a j a con e l m 3 -
d e l o c l á s i c o .
2. Toda v a r i a b l e a l e a t o r i a def in ida sobre un espac io de probabi
l idad f i n i t o t i e n e d i s t r i b u c i ó n d i s c r e t a .
3.2. EL OPERADOR ESPERANZA EN E L ESPACIO DE PROBABILIDAD F I N I T O .
Como se d i j 9 en l a subsección 1 . 1 . 5 , e l v a l o r esperado de una
v a r i a b l e a l q a t o r i a X es el promedio pooderado de sus v a l o r e s con
sus r e s p e c t j v a s probabil idades de okurrencia , l o que e n e l contexto
de espacio de prpbabilidad f i n i t o se traduce como:
I ,
y e n e l caso de una v a r i a b l e a l e a t o r i a X def in ida e n un espacio de
probabil idad ( Q P Q , P ) con d i s t r i b u b i ó n d i s c r e t a , su# v a l o r esperado
es:
62
siempre y cuando a l menos una de las series
sea f i n i t a . (vGe*se l a Sección 1v.2.1 Cuando.
se d i c e q u e e l va lor esperado de X existe y es f i n i t o .
propos ic i jn 1.
i) Dada una v a r i a b l e a l e a t o r i a X def in ida e n e l espaci=, de
probabil idad f i n i t o ( a , a , P ) y una f u n c i ó n s, r e a l de
Gariable r e a l , e l va lor esperado o esperanza matemática
de l a , v a r i a b l e a l e a t o r i a @ (X) es:
ii) Dado un v e c t o r a l e a t o r i o (Xl,3#--.,Xn) def inido e n el
espacio de probabil idad f i n i t o (n,a,P) y una f u n c i ó n $
definida e n Rn con v a l o r e s r e a l e s , entonces 'el va lor es-
perado o esperanza rnatem6'tica de. l a v a r i a b l e a l e a t o r i a
~(xl,oe*.Ixn) es:
63
& m o s t r a c i ó n .
i> La primera igualdad e s simplemente l a d e f i n i c i ó n de l a
esperanza matemática de @ ( X ) . Para dem=>strar l a igua l -
dad
$x yP[(b(X) = y ] = ( X ( w ) ) P C h ' t ] PER WEn
primero observe que l a f a m i l i a de even to s [(b( X) = y] YER
forma una p a r t i c i s n de n, e s d e c i r ,
entonces
u [ @ ( X ) = y ] = (7 Y s i Y f Y ' YER
por l o que:
y coma para cualquier w E [@(XI = Y J se t i ene $ ( X ( r u ) ) =y ,$' entonces
P e r o la fami l ia de eventos [ X = x J también f o r m a una
p a r t i c i ó n de n por bo que se t i e n e :
ii) Demostración de l a igualdad d e l segundo y Ú i t i m o términos
= Q ; por i o q u e tonces A n~~ = #y u A Y Y € W
Y
La demostración de l a o t r a igualdad se d e j a eoyo e j e r c i c i o ,
Proposición 2 o Sean XrlX2, o , X n v a r i a b l e s a l e a t o r i a s d e f i n i
das sobre un mismo espacio de probabil idad f i n i t o
b , a l , a 2 , * . . , a n
( n , & , P ) y sean
p6meros r e a l e s , entonces:
66
Demostración. Es ta demostraci6n c o n s i s t e en a p l i c a r l a Propo-
s i c i ó n 1, (ii) I a i caso e n que $ e s l a función
$ ( X ~ , , X ~ ~ ..., xn) = r a . x . + b . j=1 3 3
n
j = i = a . E ( X . ) + b . CI
3 3
Para e l ca so de dos v a r i a b l e s a l e a t o r i a s independientes , X , Y
d e f i n i d a s sobre un mismo e spac io de probabi l idad f i n i t o ( a , & , p ) es
natura l esperar que s e cumpla l a s i g u i e n t e propos ic ión :
Proposición 3 . S i X y Y son v a r i a b l e s a l e a t o r i a s indepen-
Ya que, de acuerdo a l a i n t e r - d i e n t e s entonces E ( = ) = E ( X ) E ( Y ) e
pretac ión f recuenc ia l , e l v a l o r esperado de una v a r i a b l e a l e a t o r i a y
l a probabi l idad de un evento se comportan de l a misma manera y , en
ca so de que A y B sean d o s . e v e n t o s independientes se t i e n e que
67
La demostración de e s t a prDposiciÓn e s : Por l a Proposición 1 ,
y por.ser X y Y independientes
Las t r e s propos ic iones a n t e r i o r e s también son v á l i d a s e n un gra -
do de mayor general idad para e l ca so de v a r i a b l e s y v e c t o r e s a lea to-
r i o s con d i s t r i b u c i ó n d i s c r e t a b a j o las s ; iguieutes r e s t r i c c i o n e s :
En l a Proposición 1 , ( i) : que e l v a l o r esperado de @ ( X ) ex i s -
t a y s e a f i n i t o ,
en l a Proposición 1 , ( i i) : que e l v a l o r esperado de
$(X1,X2, 0 * ,Xn) e x i s t a y sea f i n i t o ,
en l a Proposición 2 : que l o s r e s p e c t i v o s v a l o r e s esperados de
x X , . . o e x i s t a n y sean f i n i t o s , y 1' 2 n
en l a Proposición 3 : que los respeckivos v a l o r e s esperados de
X, Y e x i s t a n y sean f i n i t o s ,
3 . 3 . EL MODELO DE LOS "ENSAYOS DE BERNOULLI" .
Recdrdcse que a l r e s o l v e r e l problema de l o s t r e s puntos , Pas-
c a l m p l e a b a ya e l concepto de va lor esperado. Es te problema reque-
r í a l a consideración de jugadas s u c e s i v a s en l a s que, desde e l punto
Üe v i s t a .3.e un solo jugador, e l r e su l t ado de cada una de e l l a s r e p r e
sentaba & x i t o o f raca so .
de e s te problema, James Bernou l l i i n t rodu jo un modelo conocido como
"ensayos de Bernoul l i" que permite d e s c r i b i r experimentos a l e a t o r i o s
E n e l p lanteamiento de l a so luc ión general
'que c o n s i s t e n en r e p e t i c i o n e s de un mismo experimento, interesando
en cada uno de e l l o s observar l a ocdrrencia (6xi tD) o no ocurrencia
( f r a c a s o ) de un determinado evento . E l modelo sugerido por Bernoulli
e s :
y la función de probabi l idad P e s t á d e f i n i d a por:
para cada OJ E O, donde p ind i ca l a probabi l idad de "éxi to"
( O < p ~ l ) . En l o s i g u i e n t e q es e l n h e r o q = 1-p, e s d e c i r , l a
probabi l idad de "fracaso" . Cada elemento de n representa un r e s u l t a d o p o s i b l e a l r e p e t i r
e l experimento n v e c e s . Por ejemplo e l e-lemento ( e , e , f , . ..., e)
representa e l r é su l t ado é x i t o ocurre e n l a primera reper i c ión del ex
perimento, é x i t o ocurre en l a segunda r e p e r i c i ó n ,
l a t e rcera , e t c .
l i d a c e s a los elementos de
b i l i s t i c o r e f l e j e e l hecho experimental de "independencia" e n t r e
cua ie syu ie xa r e p e t i c i o n e s , entonces l a s probabi 1 idade s as ignadas de-
f raca so ocurre en
Hay v a r i a s formas e n que pueden a s ignar se probabi-
Q , pero s i s e desea que e l modelo proba-
ben s e r las d e f i n i d a s e n ( a ) .
( n , Q , P ) a s í d e f i n i d o e s llamado "e spac io de n ensayos d e l
t i p o Bernoul l i" . Puede pensarse , s i n perdida de genera l idad , e n un' ejemplo con-
c r e t o de ensayas d e l t i p o Bernou l l i como l o son l o s lanzamientos de
una moneda que t i e n e probabi l idad p ( O ( p ( 1 )
que '8éx i to" ocurre s i cae cara y que "fracaso'locurre s i cae c ruz .
de caer c a r a ; se d i r á I
;
Sean, para i = i , 2 , . . . , n , X = 1 s i e l i-ésimo ianzamient3 re i
= O s i el i-ésimo lanzamiento r e s u l t a c ruz . 'i c u l t a en cara y
es l a v a r i a b l e a l e a t o r i a de- 'i E s d e c i r , para i = 1 , 2 , . . . , n ,
f i n i d a por
= e ( i) Xi(w) = 1 s i
donde
Obsérvese que:
1. P I X i = l l = p = l - P I X i = O ' J para toda i = 1,2,...,n; e s de-
c i r , l a s v a r i a b l e s a l e a t o r i a s X ,X # r . . , X n tienen l a misma d i s t r i -
bución, ya que cada una toma e l v a l o r 1 con probabil idad p -y e l va
l o r O con probabilidad q. Se dexqostrará e s t o para i = 2 : denótg
1 2
se por Dk e l evento
[X , = l , X +X +X +...+Xi ='k 'J , k = OOl,...,n-l. 1 3 4
Entonces se t i e n e que
n - 1
son a j e n o s e n t r e s í0 n - l y además l o s eventos D D # o ~ o t D o' 1
ri- 1
por o t r o lado e l evento consiste de todas l a s palabras de long&
tud n formadas con (k+l) e 's y (n-k-1) f s, teniendo por seguz
da l e t r a una e ,
%
n- 1 e s d e c i r , se tienen n-1 lugares apar te de l segundo y hay ( k j
maneras de apartbr k lugares de losi n-1 e n donde pueden ponerse
l a s r e s t a n t e s e ' s ,
2. Las v a r i a b l e s a l e a t o r i a s X X , . . , X n son independientes 1’ 2
e n t r e s í .
= p[XL = i I P [ X , = O]. La demostración general s igue los mismos l i n e a -
se demuestra e n seguida que P[x,= iIx2 =O] =
mientos.
=i:ótese por Ck a l evento
para k = 0,1,. . . , n - 2 . Se tiene que
[ x , = i , ~ ~ r : O , X 3 4 +X +...+ X n ’ = k 1
n-2
son a j e n o s entre s í coIclt e I C n-2 y q u e los eventos
n-2 .’. P[X,,= L X , = O ] = x P ( C k ) =
k=O
Se ha construido aquí un espacio de probabi l idad ( Q , & P ) don-
de. e s t á n def in idas v a r i a b l e s . a l e a t o r i a s X I , % , . . . ,Xn con l a misma
. función de d i s t r i b u c i ó n F:
O s i x'0
1-p s i O < x t l
1 s i l c x .
F ( X ) =
Como se d i j o en e l Cap í tu lo I , Itolmogorov e n s u teorema de con-
s i s t e n c i a (Teurema 1.1*4,3) da un método genera l para que, dada una
s e c3nstruya un espa
c i o de probabi l idad ( Q , & P ) donde e s t 6 g e f i n i d a una s u c e s i j n de va -
r i a b l e s a l e a t o r i a s
s u c e s i j n de funciones de d i s t r i b u c i ó n { F s \ Z l -
{Xs)s=, mutuamente independientes y t a l e s que
sea l a d i s t r i b u c i ó n de X para toda s = 1,2,. .. . -- A s i e s que, FS S
-- en i o s u c e s i v o , e n lugar r e a l i z a r expl íc i tamente & c o n s t r u c c i j n
d e l e spac io probabi l idad correspondiente a (F,\S=l sólo se hará - - re fe renc ia 5 dicho teorema.
Supjngase ahora que de Méré gana o p ierde un peso s i cae cara o
cruz respectjvamente a l l anzarse l a monedg. Para i = 1828...,n
representa l a ganancia de de Méré en 'i
= 2 X . - 1 , e s d e c i r , yi 1 sean
e l i-ésimo lqnzamiento. E s f á c i l ve2 que l a s v a r i a b l e s Y , Y 8i0.,Y *l. 2 n
t i enen l a misma d i s t r i b u c i ó n y que son inüependientes en t re s í . E n
general se t i ene e l :
- Lema 1. Sean X, Y v a r i a b l e s a l e a t o r i a s d e f i n i d a s e n un espa-
cia de probabi l idad (n,a,P) con func iones de d i s t r i b u c i ó n d i s c re ta s
respectivamente y sean f ( - ) g(=) func iones r e a l e s con v a l o r e s rea
l e s .
73
a) S i X y Y t i enen l a misma d i s t r i b u c i ó n , entonces f ( X ) '
y f(Y) también t ienen l a misma d i s t r i b u c i ó n .
b) S i X y Y son independientes entonces f ( X ) y g ( Y )
son independientes .
Demostracijn - de ( a ) . Hay que demostrar que para todo número
r e a l z s e t i e n e :
P [ f ( X ) = 2 3 = P[f(Y) =q.
W-j son -1 Primero o b d r v e s e que los even to s I[f (X) - -21 Y t X € f
i g u a l e s
por tener X y Y l a misma d i s t r i b u c i ó n ,
Demostración de (b) . Par t', t ' de números r e a l e s :
E s s u f i c i e n t e con demostrar que para todo
P [ f ( x ) = t , g ( Y ) = t'"l = P [ f ( X ) = t = j P [ g ( Y ) = t 6 1 :
74
= P [ f ( X ) = t ?P fg (Y) = t ' ] . c]
r ep resen ta l a ganancia ne t a de de Méré a l +yn s = Y +Y +... n 1 2
cabo de los primeros n lanzamientos. Su ganancia ne ta esperada es:
E ( S n ) = E ( Y +Y +...+ Y,) = E ( Y l ) + E ( Y 2 ) + ...+ E ( Y n ) 1 2
y por e l hecho de que l a s Y t i e n e n l a misma d i s t r i b u c i ó n , E ( S n ) =
. = nE(Y1) = n ( i - p - i - ( 1 - p ) ) = n(2p-1) .
1 Si p = - 2 ' E(S,) = O o sea que, en un juego j u s t o (es d e c i r ,
cuando l a proSabi l idad de ganar o perder u n peso es l a misma), s i n
importar e l número de jugadas, de Méré e s p e r a siempre s a l i r empatado.
1 E n cambi3 s i ' p > y , E ( S ) > O , e s d e c i r , cuand3 e l jueg3 es favDrable
n
a de Méré entonces para cua lqu ie r número de jugadas 61 espe ra que s u
ganancia neta sea p o s i t i v a .
00 den3tará una sute-
-- s i Ó n de v a r i a b l e s a l e a t o r i a s mutuamente indeDendientes, d e f i n i d a s - 5 3 -
-- bre u n m i . s m 3 espac io e probab i l idad __c- con l a misma funcisr;
- de d i s t r i b u c i ó n F:
-- E n l o s p á r r a f o s 3.4, 3 .5 , 3.8 y 3.9, { S A s = , --
( n , ( X P )
O si x ~ 0
1-p si O c x c i csn O < p < l
1 si ' l e x .
7 5
es d e c i r , toma va lores i y O con probabi l idades p y q = 1-p
r e spec tivamente.
3.4 . LA DISTRIBUCION B I N O N I A L .
para i < i < . . . < i - 1 2 n La 'variable a l e a t o r i a 5 : 5 , +s i +...+; i
1 2 n
t i e n e una d i s t r i b u c i ó n llamada binomial con parámetros ( n , p ) , inde-
pendientemente de l a eneada de i - e s que se tome, corn3 se ve a c o n t i -
nuación :
k = 0 8 1 , ..., n
(donde q = 1-p) ya que e l evento C c = k ] e s l a u n i j n a j e n a de las
sólo los valores O d. 1 con l a r e s t r i c c i j n de que cy +a! +...e =k. 1 2 n
Por l a independencia de l a s F l a probabil idad de cada uno de e s - 'i j
n de e l l o s . k n-k tos últimos eventos es p q y hay exactamente .(k)
S i se consideran sólo 5 , , 5 , , . . . 5 pueden i n t e r p r e t a r s e csmo n
l a s v a r i a b l e s a l e a t o r i a s d e l modelo de ensayos de B e r n o u l l i y e n e s t e
caso X = 5,+c2+...+<
n ensayos.
representa e l t o t a l de é x i t o s e n l o s primeros n
Supóngase que de Méré r e a l i z a dos juegos consecut ivos , e l prime-
' ro 'de n ensayos y e l segundo de m. Si se denotan pDr ' X y Y e l
: t o t a l de é x i t o s en e l primero y segundo juegos respectivamente enton- .
' T
76
ces , debido a la independencia e x i s t e n t e de ensayo a ensayo, x y y
son v a r i a b l e s a l e a t o r i a s independientes con d i s t r i b u c i o n e s binomiales
( n , p ) respectivamente, donde p i n d i c a l a probabi l idad de é x i t o en
cada ensayo. La d iv is ión e n dos juegos e s a r t i f i c i a l puesto que para
de Méré, los n+m ensayos constituyen un juego y v i s t o de e s t a manz-
r a X+Y t i e n e una d i s t r i b u c i ó n binomial con .parsmetros (n+m,p) , o
e n o t r a s palabras:
Proposición 1. Sean X y Y v a r i a b l e s a l e a t o r i a s independlen-
con d i s t r i b u - . tes def in idas sobre un e s p a c i 3 de probabi l idad (Q,a,P)
cienes binomiales de parámetros ( n , p ) y (m,p) respectivamente.
Entonces l a var iab le a l e a t o r i a X+Y t i e n e d i s t r i b u c i j n binomial con
parámetrDs ( n + m , p ) .
Demostracijn 1. Sean n , m y k e n t e r o s no negativos con k
k<n+m. Del hecho de i d e n t i f i c a r e l c o e f i c i e n t e de t e n :
n+m (i+t) n(i+t)m = (i+t)
r e s u l t a l a s iguiente identidad:
'k u [ X = j , Y = k-jl j =O
Nótese q u e [X+Y = k! = donde l a unión e s de
0 .
eventos ajenos por 1 3 q u e :
77
k
j =O P [ x + Y = ~ ] = ~ P [ x = j , Y = k - j í
y de l a i n d e p e n d e n c i a de X y Y se s i g u e que :
k
j =O P[X+Y=kJ = P[X= j ] P [ Y = k - j ] =
D e m o s t r a c i j n 2 . Sean X = 5 +5 +...+; n y Y = gn+l+...+5n+m 1 2
. e n t o n c e s X+Y = +...+Cn+, que , como ya se s a b e , t i e n e d i s t r i b u c i ó n '1
b i n o m i a l (n+m,p) . 9
S i e l valor esperado de é x i t o e n cada e n s a y o es p . e n t o n c e s e n
n e n s a y o s e l número esperado de é x i t o s es np. E s t o se e n u n c i a for-
m a l m e n t e e n l a s i g u i e n t e p r o p o s i c i ó n :
P r o p o s i c i ó n 2 . Sl, X es var iab le a l e a t o r i a c o n d i s t r i b u c i j n
b i n o m i a l ( n , p ) e n t o n c e s E ( X ) = np,
D e m o s t r a c i j n 1. Sea X = 9 += ; . . . + S n .' E n t o n c e s : '1 ' 2
7 8.
I
.&mostraci6n 2.
3.5. LA LEY DEBIL DE L O S GRANDES N I D E R O S ,
Nota. Es t a subsección se d e s a r r a l l a en e l con tex to de un espa-
cio de probabi l idad f i n i t 9 , aunque c 3 m 3 se v e r á mas t a r d e ( v e r e l
Cap í tu lo V) , los r e s u l t a d o s s 3 n vál idDs e n g e n e r a l ,
Una medida de concentración de l a d i s t r i b u c i ó n de una c i e r t a va-
r iable a l e a t o r i a Z a l r ededor de l a media ~ ( z ) es l a v a r i a n z a , de-
2 notada por o ( Z ) y q u e . se de f ine por:
2 2 Definición 1. Q ( z ) = E ( ( z - E ( z ) ) 1.
Algunas propiedades de l a va r i anza se enunciar! e n l a s i g u i e n t e
P ropos ic i jn 2 . para Z y Y v a r i a b l e s a l e a t o r i a s independien-
tes, y a , b, c números reales tenemos:
2 2 2 2 2
2 2 2
1, Q (aZ+bY+c) = a o ( Z ) + b U ( Y ) . . _
2 . Q ( Z ) 7 E ( Z )-(E(Z))
Demostracijn.
2 2 1. o (ay+bZ+c) = E (aZ+bY+c-E(aZ+bY+c)) =
2 = E [a(Z-E(Z))+b(Y-E(Y))J =
2 2 = E a ( Z - E ( Z ) ) +2abE((Z-E(Z)) ( Y - E ( Y ) ) ) +
2 2 + E b ( Y - E ( Y ) ) .
Observe que, por e l Lema 3.3,1, por l a Proposic ión 3 . 2 , 3 y por la pro .
- piedad l i n e a l del operador E se obt iene e l r e s u l t a d o . 3
Se t ra ta rá e l concepto de var ianza más ampliamente e n CapítulDs
p o s t e r i o r e s .
misma en l a demostración de l a l e y d é b i l de los grandes n Ú m e r D s .
gún se d i j o e n l a subsección 1 . 2 . 1 , e s t a ley se debe a J. Bernoul l i
pero su demDstraciÓn se s i m p l i f i c a notablemente mediante e l uso de l a
Por l o pr3nto sjlo se emplearán l a s propiedades de la
Se-
des igualdad de Tchebychev:
Lema> 3 ( m s i g u a l d a d de Tchebychev) . t o r i a de f in ida sobre ( n , a , ~ ) . para todo
Sea U una v a r i a b l e a lea-
número r e a l € > O se t iene
que :
1 L P C p J I L E I 5 - z E ( U e )
dD'nde \u\ es l a v a r i a b l e a l e a t o r i a v a l o r a b s o l u t o de .U. E s d e c i r ,
l a v a r i a b l e a l e a t o r i a \U! :Q ->R e s t á d e f i n i d a por
80
para cada 3 ~ 2 .
Demostración. Sea B = [\U\ ~ € 1 y obsérvese q u e
i> BUB' = Q ,
2 - ii) para todcr w E B se t i e n e que
c
Por l o que
Teorema 4 (Ley débi l de l o s grandes números). Sea [S n n = l l a
para sucesión de var iab les a l e a t o r i a s def inidas por
n = 1,2,.-.
s* = <,+ . . .+5 n
Para todo número r e a l 4 > O se t iene que:
81
por l a propiedad l i n e a l del operador esperanza,
n e .
y por l a Propos ic i jn 2 se sigue q u e ,
n 2 Po CT ( 5 , ) = 2 2 - -
n e - 2 2
n e
y de aquí se obtiene e l resul tado deseado tomando e l l í m i t e cuando
3 - 6 . DISTRIBUCION HIPERGEOMETRICA.
Dada una poblac i jn de M mujeres y N-M hombres, se desea hacer
una encuesta. Se e l i g e n uno a uno n de sus miembros c o n reemplaza-
r n i e n t 3 ( i . e . una permna puede ser e l e g i d a v a r i a s v e c e s ) .
de mujeres en l a muestra t i e n e una d i s t r i b u c i ó n binomial
que se e s t á hablando d e l t o t a l de é x i t o s e n
El t o t a l
( n , M / N ) ya
n r e p e t i c i o n e s de
82
B e r n o u l l i , donde l a probabilidad de é x i t o en cada r e p e t i c i ó n e s M,”.
E n l a p r á c t i c a , generalmente e l muestre0 se hace s i n reemplazamienta
(i.e. se excluye e l caso de que una persona sea e l e g i d a más de una
v e z ) . En e s t e c a s o , e l t o t a l de mujeres en l a muestra t i e n e una d i s -
t r i b u c i ó n llamada hipergeométrica con parámetros (N,M,n). Su expre-
s i ó n matemática y sus propiedades se d i s c u t i r á n a continuación.
B f í n a s e :
r 1 s i l a j -ésima persona es mujer
para
y sea
’ = ( o s i i a j -és ima persona e s hombre,
j = 1,2, ..., n ,
s = x1+3+ ... +Xn- n
La pregunta: ¿Cu61 e s l a probabil idad de que e n una. muestra de
tamaño n haya exactamente k m u j e r e s ? , corresponde a c a l c u l a r
P [ S n = k ] .
servaciones : las v a r i a b l e s
que, el hecho de e l e g i r una persona de l a población dada, hace v a r i a r
t a n t o dicha poblac i jn como e l númsro de mujeres u hombres en ella,
por l o que, l a probabilidad condic ional v a r í a ; por ejemplo:
Antes de q u e se cDnteste conviene hacer l a s s i g u i e n t e s ob-
X , X ,..., X n no son independientes, ya 1 2
. .
83
por o t r o lado, l a s X l # 5 , . . . # X n forman un proceso e s t a c i o n a r i o
ya que l a probabilidad de elegir una mujer e n cualquier extracción es
'. N La demostración de este hecho se hace por inducción cuyo primeg
paso es e l s i g u l e n t e :
+ % . M A E. N N-1 N N - 1 N
En cuanto a l a P[Sn=k] observe que e l evento [Sn=kJ ocurre
'cuando ocurre alguno de los eventos ajenos de la forma:
Además
dichos eventos e8 igual a la probabil idaü de:
es f á c i l ver que la probabilidad de ocurrencia de cada uno de
E n t o t a l se tienen (E) de ellos, por l o cua l :
M+k+l N-M N-M-n+k+f Iyk+l N-k N-n+l
0 . .
E M A (k) N N-1
84
expresión conocida como l a densidad hipergeométrica.
igualdad i l u s t r a e l hecho i n t u i t i v o de que e legir a todos' de golpe
E s t a Última
W
e l e g i r l o s uno por uno conduce a l mismo resul tado.
Finalmente observe que:
r 7 1 k-1 n-k-1
1 - - M 1.- 0 . .
1-- N 1 -- 1-- k-1 1-- N Pisn =k] = 1
l o cua l dice que si M y N-M son grandes respec to de 'in'i
o sea que, e n este c a s o , desde e l pupto de v i s t a p r á c t i c o e s l o mismo
hacer e l muedstreo con reemplazamiento o s i n reemplazamiento.
e jemplo,
P o r
N es e l número de habi tantes de China y se. toma una
muestfa de tamaño 10,000.
S i se desea'conocer e l número esperqdo de mujeres en, ' la muestra
como se hace a c o n t i - tomada habrd de c a l c u l a r s e l a esperanza de s*
nuación:
85
ahora hágase x = . j+l
por l a identidad 2 . 4 , ( 1 )
sei encontrará primero e l valor de 'n Para c a l c u l a r la varianza de
sust$tuyendo x = j+2
que por ia identidad 2 .4 , ( 1 )
n ( n - l L . ~
) = M(M->) N (N-1) N n-2 - - M J M - 1 ) ( N 7 2
( n)
86
2 Para obtener cr ( S n ) se usa l a igualdad s i g u i e n t e :
3 . 7 ESPERANZA CONDICIONAL.
Como se d i j o e n la subseccibn I . 1 = 5 , l a esperanza de una var ia -
b l e a l e a t o r i a X dada l a o c u r r e m i a de un evento A , e s e l promedio
ponderado de s u s valores con s u s respec t ivas probabil idades condicio-
nadas por l a ocurrencia de A , l o q u e , en el contexto de e s p x i o de I
probabilidad f i n i t o se traduce como:
= o si P(A) = O
y en caso de una v a r i a b l e a l e a t o r i a X def in ida e n un espacio de pro
babi l idad ( Q , Q , P ) con d i s t r i b u c i ó n d i s c r e t a , s u v a l o r esperado dada
la ocurrencia de un evento A e s :
= o si p ( A ) = O
siempre y cuando al menos una de las series
87
sea f i n i t a .
Cuando
se dice que e l v a l o r esperado de X dada l a ocurrencia d e l evento
A , o l a esperanza de X dado A existe y es f i n i t o .
proposición 1.
i) Dada una v a r i a b l e a l e a t o r i a X def in ida e n e l espacio de
probabilidad f i n i t o ( 0 , k P ) y una F u n c i ó n 9 real de v a r i a b l e real,
e l v a l o r esperado de l a var iab le a l e a t o r i a #(X) condicionada por l a
ocurrencia d e l evento A, o esperanza condic ional de @ ( X ) dado A
es:
ii) Dado un v e c t o r a l e a t o r i o ~ ( X 1 , y 2 , . . . ,Xn) -def in ido e n el
espac;o de probabilidad f i n i t o ( , f i , d , P ) y una f u n c i ó n #I def inida
88
en Rn con v a l o r e s r e a l e s , l a esperanza condic iona l de l a v a r i a b l e
a l e a t o r i a g ( X l , . . . , X n ) dado e l evento A e s :
La demostración de e s t a propos ic ión e s completamente análoga a
l a de l a Proposición 3 . 2 # 1 .
Con ayuda de e s t a proposic ión se deniostrará l a propiedad l i n e a l
d e l operador esp6ranza E( \A) .
Proposición 2 . Sean X1 , X 2 , . . , X n v a r i a b l e s a l e a t o r i a s d e f i n i -
da s sobre un mismo e spac io de probabi l idad f i n i t o (n,a,P). y sean b ,
a l , a 2 , ..., a números r e a l e s entonces : n
n Demostración. Sea # ( x l , x Z t . . , , x ) = a . x . + b . entonces , por
n j=i 3 3
l a proposic ión 1 :
89
Una propiedad c e n t r a l d e l operador "esperanza condic ional" que
re l ac iona e s t e concepto con e l de esperanza se enuncia en l a s igu ien-
te :
Proposición 3 . Sean X y Z v a r i a b l e s a l e a t o r i a s d e f i n i d a s
sobre e l e spac io (de probabi l idad f i n i t o ( n , a , P ) entonces :
Demostración.
= x Tí P [ Z = z ~ P [ x = x \ Z = z ' j =
90
Las t r e s propos ic iones a n t e r i o r e s también son v á l i d a s en un gra-
d.0 de m a y x general idad para e l caso de v a r i a b l e s y v e c t o r e s ale'ato-
r i o s con d i s t r i b u c i ó n d i s c r e t a b a j o l a s s i g u i e n t e s r e s t r i c c i o n e s :
E n l a Proposición 1 , ( i ) : que l a esperanza de $(X) dado A
e x i s t a y sea f i n i t a ,
e n l a Proposición 1 , (ii) : que l a esperanza de # ( X i , X 2 , . . . ,Xn)
dado A e x i s t a y sea f i n i t a ,
en l a Proposición 2 : que l a s r e s p e c t i v a s esperanzas de
X i , % , . . . , X n dado A e x i s t a n y sean f i n i -
t a s , y '
en l a Proposición 3 : que e l v a l o r e'sperado de X e x i s t a y sea
f i n i t o .
3 . 8 . D I STR'IBUC ION GEOMETRICA.
Sea p = m i n t n c N :5 +s +...+: n = 11 e s d e c i r fi e s e l número 1 2 de r e p e t i c i o n e s nece sar i a s para que aparezca un 1 por primera vez
y e s c l a r o que los Únicos v a l o r e s que toma con probabi l idad p o s i t i v a
s 3 n n = 1,2, . . . , s iendo s u s probabi l idades r e s p e c t i v a s :
91
y por l a independencia e i d é n t i c a d i s t r i b u c i ó n de l a s v a r i a b l e s 5 1 :
n-1 n-1 PCp = n ] = ( p [ g 1 = O J ) P[< n = i ] = q p
expresión que se conoce como l a d i s t r i b u c i ó n geométrica con parsmetro
P *
. S i ahora se desea conocer e l número esperado de r e p e t i c i o n e s
para que aparezca un 1 por primera v e z , . s ó l o e s necesar io c a l c u l a r
x=G x=o
a3 A h x a b i e n , como O<q < 1 por h i p ó t e s i s , l a s e r i e “qx con-
x=o verge uniformemente, por l o que! e x i s t e una vecindad de
c u a l 292 también converge uniformemente, y además en dicha ve-
O para l a
x=o d,s
cindad (cuy9 rad io e s 1) s e t i e n e que:
por 1 , ~ que:
S i p = 1/2, e l número esperado de r e p e t i c i o n e s para. obtener un
92-
1 por primera vez e s uno y a medida que p aumenta, e s t e número e s -
perado disminuye. P o r o t r o l a b , a medida que p disminuye, e l va-
l o r esperado aumenta.
Se c a l c u l a ahora e l segundo momento de l a varj-able a l e a t o r i a fi
x=o x= 1
pero se ve que:
y como l a s e r i e
converge uni formemen t e para C) e q < 1 ,
Luego :
2 . De aquí e l c á l c u l o de l a Q ( 6 ) es inmediato:
para dar una in terpre tac ión de este dlt imo resul tado , se hablard
un poco de predico ión .
Dada una medición Z de un c i e r t o experimento a l e a t o r i o , supjn-
gase que se quiere predecir e l va lor que tomar5 l a v a r i a b l e a l e a t o r i a
2.
d i f e r e n c i a existente entre e l v a l x predicho y el v a l o r que tome
s i se denota por t a l p r e d i c t o r d e l v a l o r de Z , entonces se tiene:
Teniendo como c r i t e r i o de e r r o r l a esperanza d e l cuadrado de l a
- 2 ,
2 E ( Z - t ) 2 = E{(Z-E(z))+(E(z)-t:)) =
2 y l a pérdida esperada usando este predic tor es Q ( Z ) .
2 Aplicarido e s t o a l o a n t e r i o r , de la igualdad Q (p) = E ( P -9i2 P
- 9. 0 se puede qoncluir que, para \;alores de p próximos a uno, - 2 P
este predic tor es muy bueno.
I 3 . 9 . DI STRIBUCION BINOMIAL NEGATIVA. I
Sea y = m i n I n E aJ:t 1 +...+o n = r \ es decir y es e l número de
r e p e t i c i o n e s necesar ias para obtener por primera-vez r ; unos. Por
i o que
94
x-1 r x-I: para x = r , r + l , r + 2 , . . . P[y =x] = ( r - l ) P q
= o para x # r,r+i,r+2,. . . .
E s t a d is t r ibuc ión se llama l a d i s t r i b u c i ó n binomial negativa con
parsmetros ( r , p ) . Claramente, esta1 d i s t r i b u c i ó n también puede s e r
d e s c r i t a de l a s iguiente manera:
Observe que e l c o e f i c i e n t e binomial .considera Únicamente
r e p e t i c i o n e s ya que l a Última forzosamente ha de r e s u l t a r en uno.
r+k-1
De l a independencia e idént ica d i s t t i b u c i ó n de l a s 2's r e s u l t a
c l a r o que, para cualquier s enterd no negat ivo, la v a r i a b l e a l e a t o - .
r i a
.
t i e n e también una d is t r ibuc ión binomial negativa con parsmetros
( r , p ) . ' A ú n más, l a v a r i a b l e a1.eatoiri.a
donde y e s la def inida anteriormehte, tiene una d i s t r i b u c i ó n bino-
miai negativa con parámetros (rl,p) com3 se demuestra a continua-
c i ó n ..
95
Deinostración. Para k entero no negativo t a l que k 2 r e l
evento [ y = k J = [<l+..o+gier ptara i = O l l , 2 , . . . l k - l - ~ +...ek = r] '=1
depende solamente de l a información de mientras que para Y , l r n . . l 'k'
i entero no negativo e l evento
[ m i n i m E N: <k+l+- '+ck+m = rl\ = j+rll
depende de l a información de ck+.l l<k+2t. . . por l o que ambos eventos
son i n d e p e n d i e n t e s . Además por 3.a i d é n t i c a d i s t r i b u c i ó n de las 4;I-s
el Último evento méncionado t iene la misma' probabil idad .que
e n t once S :
k=r
- = pEmin[m E N: ?;,+. . +!mrr13 = j+rl] -
L
96
S i se e s t á lanzando una moneda: e l tiempo de espera para que re-
s u l t e 10 vece s cara por primera vez e s i g u a l a l tiempo de espera nece
s a r i o ppra que primero r e s u l t e n 7 c a m s y luego aparezcan 3 yás, l o
que sug iere e l s i g u i e n t e r e s u l t a d o :
p r o p o s i c i ó n 1. S i y' y 'y son v a r i a b l e s a l e a t o r i a s indepen- 1
dien,tes con función de d i s t r i b u c i ó n binomial negat iva de parámetros
( r , p ) y ( r , , p ) respect ivamente, entonces y+yl s e d i s t r i b u y e b i n 2
mia l negat iya cob parámetros ( r + r l , p ) . La demostración de e s t a pro-
pos i c ión se hará e n l a sección 5 d e l Capí tu lo V.
Claramente ,la d i s t r i b u c i ó n geométrica con parámetro p e s i gua l
a l a d i s t r i p u c i ó n binomial negat iva con parsmetros ( 1 , p ) por l o que
para c a l c u l a r la, esperanza y l a va r i anza de una v a r i a b l e a l e a t o r i a X
c3n d i s t r i b u c i ó n binomial negat iva de pardmetros ( r , p ) se puede
peed,, de l a s i c p i e r t e manera.
Sean Y Y , . . . , Y v a y i a h l e s a l e a t o r i a s independientes c3n l a 1' 2 r
misma d i s t r i b u c i j n geométrica (p ) d e f i n i d a s sobre un e spac io de p r s
habilidad ( n , a , , P ) . (Ver e l Teorema 1.1.4,3.) Entonces , s e sabe que
x = Y +Y +.... +Yr
t r o s (r,p) y por las Proposic iones 3 . 2 , 2 y 3.5'2
t i e n e una d i c t r ibuc iód . b inomial negat iva de paráme- 1 2
r -rq E ( X ) = E('..) :i= 1 = i=l E ( Y i ) , - P
97
3,lO. DISTRIBUCION DE POISSON.
Una var iab le aleator‘ ia X t i ene una d i s t r i b u c i j n de Poisson con
pardmetro X ( X > O) , s i su f u n c i ó n de densidad .es l a s i g u i e n t e :
si x = 0,1,2,... AX -x e - X!
O si x # 0 , i , 2 , . . c f (.x). =
Un-o de los contextos e n que e s t a d i s t r i b u c i ó n aparece e s e l si-
guiente : considérese una sucesi6n de eventos a l e a t o r i o s que ocurren
en e l tiempo, o dicho de o t r a manera, un sistema en e l que se están
produciend3 cambios a medida que transcurre e l tiempo. Suphgase que
e s t e sistema cumple con l a s s i g u i e n t e s propiedades:
1. Los cambios son instantáneos , o s e a , pueden representarse
. como puntos en e l e j e d e l tienpo.
2 . El sistema permanece homogéneo e n e l tiempo, i.e. , l a s
condiciones en l a s quie se encuentra permanecen constantes.
Ademds si dos i n t e r v a l o s de tiempo son a j e n o s , Los cam-
b i o s que ocurran e n uno de ellcbs son independientes de los
que ocurran e n el. o t r o , es d e c i r , l o s cambios pasados no
98
in f luyen e n los cambios f u t u r o s .
3 . La prDbabilidad de que ocurran dos o m6s cambios e n un i n -
t e rva lo pequeño de tiempo( e s desprec iab le .
E l problema que se p lantea e s e l de encontrar l a d i s t r i b u c i ó n
d e l nfmero de cambios que ocurren en un c i e r t o i n t e r v a l o u n i t a r i o
l o , 11 d i v i d i d o en "nq8 sub in terva lo s de l ong i tud -. n Llámese " f r a c 6
so" cuando en un sub in terva lo dad3 no ocurre ningún cambio y "éxi to"
a l caso contrar io . Sea p l a probabi l idad de l16xitol1 e n un c i e r t o
sub in terva lo .
l o s i g u i e n t e :
1
n
.De l a s propiedades d e l s i s tema e n c u e s t i ó n s e concluye
de é x i t o e s l a misma para todos l o s
sub in te rva lo s ya que todos t i enen l a misma longi tud , i / n .
i) ,La probabi l idad pn
ii) bomo l o s sub in terva lo s son a j e n o s , l o s e v e n t D s que en
e l l o s ocurren son independientes y e s t o qu iere d e c i r que
se pueden in t e rpre tar como ensayos üe Bernou l l i .
iii) De (ii ! y de l a propiedad ( 3 ) d e l s i s tema se s igue que l a
probabi l idad de obtener exactamente "k" é x i t o s en e l i n t e r
v a l o u n i t a r i o e s t á dada por :
cuando. n-goo.
Por o t ro lado , s i ahora cada sub in terva lo se d i v i d e a l a mitad:
se tiene que:
o , como es pos ib le demostrar de 'manera anbloga: . .
es d e c i r , l a sucesión
t o converge e n los r e a l e s extenclidos.
L n p n j z , es monótona creciente, y por l o tan-
Luego, hay dos posibi l idades :
"Pn 4 * pero e s t o querría dec i r que e n cualquier s u b i n -
t e r v a l o , por pequeño q u e fuera, hay mds de un cambio, lo
que contradice l a propiedad
aosamente.
npn+ Xcoo; es d e c i r , para
( 3 ) . d e l sistema; entonces for-
"n'' suficientemente grande
npn RI X I o b i e n , de donde se s igue que:
S i e n lugar d e l i n t e r v a l o u n i t a r i o se hubiera considerado un i n -
t e r v a l o de Longitud t , repi t iendo un proceso análogo a l a n t e r i o r se
t e r v a l o es :
1 O0
k: para k = 0 , 1 , 2 , - - - -
Otro de l o s contextos en q u e aparece e s t a d i s t r i b u c i ó n es a l es-
tudiar d i s t r i b u c i D n e c de puntos en e l espacio ( e s t r e l l a s e n e l univer . '
so, b a c t e r i a s e n una c a j a de Pet : r i , etc . ) donde se hacen las siguien-
tes suposiciones:
2') La prababil idad de encontrar k puntos e n una región espe-
c í f i c a d e l espacio depende de su área o volumen y no de s u forma.
Además, si dos regiones son a j e n a s entre sí, e l número de puntos ob-
servados e n una de e l l a s es independiente d e l número observado en l a
o t r a .
3 ' ) La probabil idad de quae en una reg ión de área o volumen muy
pequeño se observen das o más puntos es despreciable .
E n e s t e casp l a deducción de l a probabil idad de que e n una re -
g i6n dada haya un c i e r t o nÚmerr> de Puntos se hace de manera análoga a
l a d e l caso a n t e r i o r , sustituyendo é l e j e de l tiempo por una represell
t a c i ó n d e l espacio y l a longitud de un i n t e r v a l o de tiempo por e l
área o volumen de una regi6n.
E n un contexto temporal de Poisson, e l número promedio de cam-
b i o s en una unidad de tiempo dado es e l parámetro A, l o que se ve
formalmente como s igue:
1 o1
E l segundo momento de l a varj-able a l e a t o r i a X con d i s t r i b u c i ó n
de Poisson e s :
2 = A +x.
~e aquí se s igue q u e :
Supjngase que pueden considerarse como sistemas de Poisson l a s -
l legadas de aviones a l o s aeropuertos i n t e r n a c i o n a l e s d e l p a í s e n t r e
l a s 21:OO y l a s 24:OO h r s . , es d e c i r , q u e e n este lapso e n cada aero-
puerto se s a t i s f a c e n l a s propieda.des 1 , 2 y 3 ya mencionadas. Además
supóngase que no hay i n t e r a c c i ó n entre un3 y o t m aeropuerto.
aviones a i j-ésimo 5 S i e n promedio e n un minuto dado l l e g a n
aeropuerto, se sabe que e l número de aviones q u e l l egan en e s e tiempo
Desde a dicho aeropuerto se dis t r ibuye Poisson c 3 n parámetro
punto de v i s t a de l a Direcc ión General de Aeropuertos puede s e r imp-
tante considerar el número g1oba:L d e - l l e g a d a s a todos. los aeropuertos
in ternac ionales en un minuto dada entre l a s 21:OO y l a s 24:OO h r s .
102
Intuit ivamente puede considerarse que e s t a s l l egadas constituyen tam-
bién un sistema de Poisson por l o que se sugiere que t ienen una d i s -
t r i b u c i ó n de Poisson con parámetro
parsmetro se i n t e r p r e t a como e l promedio de cambios e n una unidad de
tiempo dado.
A , , ya que como se viÓ, e s t e 3 j
Esto se formaliza en l a s i g u i e n t e :
Proposicisn 1. Sean X y Y v a r i a b l e s a l e a t o r i a s independien-
t e s con d i s t r i b u c i ó n de Poisson de parsmetros A, y 1, respec t iva-
mente. Entonces X+Y t i e n e una d i s t r i b u c i ó n de Poisson con parsme-
- Demostración. Para k = 0,1.,2,. .
k
j =O pCx+y=k] = ~ [ X = j , E : = k - j ] =
103
PROBLEMAS PARA EL CAPITULO I1
1. En todo espacio de probabilidad finito (n, a, P) se tiene que para todo A E ~ : P (A) =ugAP ({ u)) donde el slmbolo { w) denota al
evento elemental que consta del sólo elemento w de fl.
, 2 * Sea X variable aleatoria con distribución discreta y con espe-
ranza finita, demuestre que: a 2 (X) = E ( X 2 ) - (E (X) ) 2 .
3 . Sean XI, X2 ,..., Xn variables aleatorias independientes con distribuci6n discreta y valor esperado finito, demuestre por
b números reales se tiene an inducción que para al, a2, ..., que :
n n a 2 ( C ai Xi + b) = C a2
i=l i=l a2(Xi) i
4 . Demuestre que para toda j = 1,2,. .., la variable aleatoria X j
definida en la subsección 3.6 es tal que P P
este resultado para demostrar que E(Sn) = n (= ) .
= 9 = - j N y use M
5. Si X es variable aleatoria con aistribución hipergeométrica de
parametros (N,M,n) demuestre que la varianza de X es:
n-1 1 (1 - -1. a2(x) = n - (i - - M N N N - 1
Observe que si el tamaño de la muestra n es muy pequeño respecto
al tamaño de la población N entonces la varianza de X es aproxí-
madamente igual a la varianza de una variable aleatoria con dis - tribucfón binomial de parametros (n,z) M .
104
6. Demuestre la proposición 3).7,1.
7. Se tienen dos urnas, la # 1 contiene 3 bolas blancas y S rojas
y la # 2 contiene 4 bolas blancas y 2 rojas.
i) Supdngase que se lanzará una moneda no sesgada y si cae cara
(sol), se procederá a extraer al azar sucesivamente y sin
reemplazamiento, tres bolas de la urna # 1 (se proceders a I
extraer al azar sucesivamente y sin reemplazamiento tres
bolas de la urna # 2 ) . ¿Cuál es el número esperado de bolas
blancas que se obtendrán?
ii) Como en (i) pero ahora si cae cara (sol), se procederá a
extraer al azar sucesivamente con reemplazamiento bolas blan - cas de la urna # 1 (se procederá a extraer al azgr sucesiva-
mente con reemplazamiento - bolas blancas de la urna # 2 ) .
¿Cuál es el número esperado de bolas blancas que se obtendrán - en las primeras cinco extracciones?
¿Cuál es el número esperado de extracciones para que aparezca
una hola blanca pqg primera vez?,
I C
¿para que aparezcan tres bolas blancas por primera vez?
Demuestre por induccidn que-si XI, X2, ..., X son variables
aleatorias independientes y con distribución de Poisson de
parametros X2, ...... ,A. respectivamente,entonces,xi+X2+..+Xn tiene distribución de Poisson cbn parametro Xl+A2+ ...+ An. Calcule la varianza de X1+X2+..+Xn y calcule la función de distribución
& /%variable aleatoria max (Xi, XZ, . . . ,X 1.
n 8.
.n
n
105.
9. Supóngase que Ud. va a efectuar lanzamientos simultáneos de una
moneda roja y una moneda negra siendo ambas no sesgadas. Se mo -
verá sobre un sistema coordenado de la siguiente manera: si apa -
r
rece cara en la moneda roja (negra) se moverá una unidad a la
derecha (hacia arriba), si apariece sol en la moneda roja (negra)
se quedará en su posición actual (se quedará en su posición ac-
tual). si su posición inicial es ( e o ) , sea (X,Y) su posición al cabo de los primeros 5 lanzamientos.
i) ¿Cuál es la distribución del vector aleatorio (X,Y) ?
ii) ¿Cuál es la distribuc56n de la variable aleatoria X?
¿y la de X + Y?
10. ¿Cómo escogerla a una persona al azar usando una moneda no ses-
gada :
i) de un grupo de 2 personas,
ii) de un grupo de 4 personas,
iii) de un grupo de 5 personas?
106
SOLUCION D E PROBLEMAS
CAPITULO I .
2. Si A, B c a y G B entonces B = A V (B - A ) donde A y B - A
son ajenos entre s í . P o r e l p o s t u l a d o (iii) tenemos que P ( 3 ) = P(A) + P ( B - A ) :=+ P ( B - A) = P ( B ) - P ( A ) .
5. S i A, BE: 0, y A C B entonces B = A u (B - A) y P(B)=P(A)+P(B-A)
p e r o los dos sumandos d e l a d e r e c h a no son n e g a t i v o s
=> P(A) < P ( B ) .
Obsérvese que A f \ B C B y por ( 2 ) P ( B - (A n B ) ) = P ( B ) - P ( A n B ) = > P ( A O B ) = P(A u (B - A ) ) = P(A) + P ( B - A) = P(A) + P ( B - ( A f \ B ) = P(A) + P ( B ) - P ( A A B) 0
7 . S e a { A , ) ~ c a t a l que ~i.> ~~3 ... > A . y n n = l
00
por B = An- A p a r a n 5 tAn=A. D e f í n a s e la sucesión { Bn) n = l n = l n = 1 , 2 , ....... Clarament,e se t iene que
~ 3 ~ 7 . . . ~ B = B ~ + ~ ’ . . . y 03
B~ = @ p o r i o que n=1 1 2 n
i i m P(An) - s P ( A ) = l i m P ( B n ) = O donde l a ú l t i m a i g u a l d a d n *a es consecuencia de l a p r o p o s i c i ó n I.1.1,2.
107
00
= A. Defínase la sucesión de eventos { B n l w n=l U An n=l
por Bn = A - An para n=1,2,. .., entonces claramente se tiene que Bl> B23 . .31Bn> Bn+lCI . . . y fi Bn = fl por lo
n=l que P(A) - lim P(An) =:' lim 'P(Bn)= O donde la,'última
igualdad es consecuenc:ta de la proposición I.1.1,2. n+m n+w
9. Demostración por induc:ciÓn. Sea n entero positivo 3 2 .
Supongamos que para k P 2,3,...#n - 1, tenemos:
. O t la aserción es válida para cualquier número entero positivo n > 2.
108
SOLUCION DE PROBL@L1$ - CAPITULO I1
1.
2 + -
Se puede expresar a l evento A por medio de l a unión a jena de eventos
e lementales
A = u { u ) , y por e l postu1ad.o ( i i i ) de l a función de probabil idad P se
s i g u e que: WEA
Por d e f i n i c i ó n u2(x) = E{x2- E(x)l2 .*. u2(X)= E(X2-2(E(X)) .X+(E(X)) 2,
y aplicando l a propiedad l i n e a l d e l operador E se t i e n e que
a2(X)= E(X2) - 2E(X) E(X) + (E(&))2 = E(X2) - (E(X))2 .
3 . Por l a proposic ión (3.4,2) se sabe que
Supóngase que la aseveración d e l problema es v á l i d a para n
trese qoe v a l e para n + 1.
2 y demués-
E s d e c i r ,
n 'L = 6 (Z -I- an+1X,,> donde Z = 1 aiXi + b y por
1 1
i= 1 ill
l o tanto Z y Xn+l son v a r i a b l e s a l e a t o r i a s independientes . * . por l a
proposic ión (3.4,2) se s igue que, U ~ ( Z + A ~ + ~ X ~ + ~ ) = u2 (Z)+an+lu2(Xn+l)
n
i= 1 y por l a h i p ó t e s i s de inducción se t i e n e que o ~ ( z ) = 2 aZu2(X.)
1 n+l
i=l i- 1 n.+l a2 02(xi>. ... u2(1 aiXi + b) = afo2(Xi) + ai+l O ~ ( X ~ + ~ ) =
i l l . 1 i
1 o9
n < min (M,N-M) y j = 1 , 2 , ..., n. 4. - Se puede expresar al evento [ X j =;I j - 1
por medio de lo unión ajena de eventos U [ X j - l s sj-1 =k3
k=O
y se t i e n e que
M-k - ya que es l a probabi l idad de extraer
=k] N - j + l
a l a z a r una mujer de una poblac ión que c o n t i e n e en t o t a l N-j-t-1 personas
de las cuales M-k son mujeres
l a sub:secciÓn ( 3 . 6 ) se s a b e que, También, por lo v i c t o en
ya que l a sumatoria es l a probabi l idad de sacar por l o menos c e r o mujeres
en una muestra de tamaño j - 1 de una poblac ión de N-1
c u a l e s M-1 son mujeres .
personas de l as
Como se -ha d e f i n i d o
+ 'n s ' a x + x2 + ... n 1
M entonces E(s,) = E ( x ~ ) + E ( x ~ ) + ... 4 E(X ) = n .
n
7.
L
i/ 1. il 2.
110
i ) Sea S
. nes y X e l número de l a urna se leccionada.
Por l a proposición (3 .7 ,3 ) s e t i e n e que:
E(S3) = P E = 3 E (S31X = 1) + PfX = 21 E(S31X
e l número de bo la s blancas que s e obtienen e n ' t r e s ex t racc ig 3
La pregunta e s E(S3) = ?
2)
1 2
X = I)+ 5 E (S31X = 2) y por e l problema 4 - s e s igue que
i i ) Sea S5 e l número de bolas blancas que se obt ienen en c inco extraccio-
ne s y X e l número de l a urna se leccionada,
3 1 4 125 (5.8 ) + y (5.6' = . O . E(S5) = 5 48 - 1
Sea Y e l número esperado cle extracciones para que aparezca una bo la
blanca por primer; v e z y X i g u a l que a r r iba .
Por e l cá l cu lo d e l v a l o r esperado de una d i s t r i b u c i ó n geométrica
(ver l a subsección 3.8) s e s i g u e que,
Sea Y = max (X1,X2, ..., X 1. n a.
Los v a l o r e s que e s t a v a r i a b l e toma con probabi l idad p o s i t i v a son 0,1,2, ..... Para k = 0,1,2, ... se t i e n e que
PiYsk\ = P[h t x j 9 y como e s t o s eventos son mutuamente - - j-1
111
independientes se s i g u e que
. O . si k = O P[Y = = (Pbl = = e -An
si k - > 1 PLY = k3 = Pp( k] - P k - -c k - 3 = @Lx1 4ln - k - 3) XI
112
BIBLIOGRAF I A
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