Sveuciliste J. J. Strossmayera u Osijeku

Odjel za matematiku

Sveucilisni nastavnicki studij matematike i informatike

Antonija Juranovic

Povijest rjesavanja algebarskihjednadzbi

Diplomski rad

Osijek, 2010.

Sveuciliste J. J. Strossmayera u Osijeku

Odjel za matematiku

Sveucilisni nastavnicki studij matematike i informatike

Antonija Juranovic

Povijest rjesavanja algebarskihjednadzbi

Diplomski rad

Voditeljica: doc. dr. sc. Franka Miriam Bruckler

Osijek, 2010.

Sadrzaj

Uvod 4

1 Pojava algebarskih jednadzbi u Egiptu i Babilonu 7

1.1 Linearne jednadzbe na egipatskim papirusima . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Prva rjesenja kvadratnih jednadzbi u Babilonu . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 Razvoj algebre u Grckoj 16

2.1 Grcka geometrijska algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2 Diofant Aleksandrijski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3 Rjesavanje algebarskih jednadzbi u Kini i Indiji 26

3.1 Indijska algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.2 Kineska algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4 Algebarske jednadzbe u djelima islamskih matematicara 33

5 Prvo algebarsko rjesenje kubne jednadzbe 42

6 Razvoj teorije algebarskih jednadzbi u doba renesanse 49

6.1 Rjesavanje algebarske jednadzbe treceg i cetvrtog stupnja . . . . . . . . . . 57

7 Nerjesivost opce algebarske jednadzbe u radikalima 65

Literatura 77

3

Sazetak 79

History of solving algebraic equations – Summary 80

Prilozi 81

Zivotopis 102

4

Uvod

Jednadzba oblika

anxn + an−1x

n−1 + · · ·+ a1x+ a0 = 0,

gdje su an, . . . a0 ∈ Z naziva se opcom algebarskom jednadzbom stupnja n.

Neke algebarske jednadzbe kao sto je algebarska jednadzba prvog stupnja, odnosno

linearna jednadzba, rjesavali smo jos u osnovnoj skoli. Nadalje, u srednjoj skoli upozna-

jemo i algebarsku jednadzbu drugoga i trecega stupnja. No jesmo li se ikada pitali: Tko

je prvi rjesavao takve jednadzbe i iz kojih pobuda? Tko je zasluzan za formule koje nam

uvelike olaksavaju njihovo rjesavanje? Postoji li formula pomocu koje mozemo rijesiti

svaku algebarsku jednadzbu, bez obzira na njen stupanj? Ovaj rad odgovara na ova, te na

brojna druga pitanja vezana uz povijest rjesavanja algebarskih jednadzbi.

Ovaj diplomski rad podijeljen je u osam poglavlja. U prvom poglavlju rada govori se o

prvoj pojavi algebarskih jednadzbi u povijesti. Opisano je kako su Egipcani svakodnevne

probleme svodili na jednostavne linearne jednadzbe i zatim ih rjesavali metodom regula

falsi. Opisuju se takoder i prve kvadratne jednadzbe u tekstovima starih Babilonaca.

U drugom poglavlju dan je osvrt na grcki pristup rjesavanju algebarskih jednadzbi.

Naglasak je stavljen na razvoj geometrijske algebre, a u nastavku se razmatra Diofantova

uloga u povijesti rjesavanja algebarskih jednadzbi.

5

Trece poglavlje posveceno je rjesavanju algebarskih jednadzbi u Indiji i Kini.

Cetvrto poglavlje daje pregled arapskih doprinosa rjesavanju algebarskih jednadzbi.

Istice se rad al-Khwarizmija, zasluznog za klasifikaciju kvadratnih jednadzbi, te Omara

Khayyama, zasluznog za geometrijsko rjesenje kubne jednadzbe.

U petom poglavlju opisuje se postupak kojim maestro Dardi iz Pise dolazi do prvih

algebarskih rjesenja kubne jednadzbe.

Sesto poglavlje bavi se algebarskim jednadzbama u djelima matematicara (talijanske)

renesanse. Osobit znacaj stavljen je na pronalazak rjesenja jednadzbi treceg i cetvrtog

stupnja u radikalima.

Sedmo poglavlje posveceno je matematicarima zasluznim za dokaz nerjesivosti opce

algebarske jednadzbe u radikalima: Ruffiniju, Abelu i Galoisu.

U prilozima na kraju rada dani su zivotopisi matematicara koji su doprinijeli rjesavanju

algebarskih jednadzbi.

6

Poglavlje 1

Pojava algebarskih jednadzbi u

Egiptu i Babilonu

Promatramo li pocetke razvoja matematike, tocnije trazimo li prve pisane tragove koji

svjedoce o njenoj pojavi, moramo se vratiti i preko 4000 godina u proslost, u vrijeme

drevnih civilizacija — Egipatske i Babilonske. U tom za ljudski rod relativno dugom

razdoblju, matematika ce uvelike evoluirati, a kada govorimo o rjesavanju algebarskih

jednadzbi, linearnih i kvadratnih, nasi drevni predci nisu puno zaostajali za nama.

1.1 Linearne jednadzbe na egipatskim papirusima

Poznato je kako upravo iz staroegipatske drzave potjecu najstariji matematicki izvori, te

da se medu njima posebno isticu Rhindov 1 i Moskovski papirus2. Oni su ujedno i najstariji

dokumenti u kojima se javljaju algebarske, odnosno specijalno linearne jednadzbe.

Rhindov papirus sadrzi oko 84 zadatka namijenjena skoli pisara, od kojih je veliki

dio posvecen rjesavanju prakticnih problema, kao sto je pravedna podjela kruha medu

odredenim brojem ljudi i odredivanje potrebne kolicine zita za pravljenje odredene kolicine

piva. Svi problemi su vrlo jednostavni i svode se na rjesavanje linearnih jednadzbi s jednom

1Napisan je oko 1650. pr. Kr., naziv je dobio prema skotskom egiptologu Alexanderu Henryu Rhindu.2Potjece iz oko 1850. pr. Kr. Nabavio ga je V. S. Goleniscev i 1893. donio u Moskvu.

7

nepoznanicom, a neki od njih biti ce navedeni u daljnjem izlaganju.

Slika 1. Rhindov papirus

Primjer 1.1 (Zadatak 24.) Broj i njegova sedmina daju zajedno 19. Koji je to broj?

Metoda koju su Egipcani koristili za rjesavanje ovog problema ujedno je i najsta-

rija metoda za rjesavanje linearnih jednadzbi, a ta je metoda danas poznata pod nazivom

metoda regula falsi, odnosno metoda krive pretpostavke. Bit ove metode lezi u pretpostavci

da je neki po volji odabrani broj rjesenje postavljenog problema. Provodeci operacije dane

u zadatku, dolazimo do spoznaje koliko je puta odabrani broj veci ili manji od rjesenja

zadatka. Na temelju dobivenog odnosa ispravljamo pocetnu pretpostavku.

Opisanom metodom rijesit cemo prethodno navedeni primjer. Zapisano modernom

notacijom radi se o jednadzbi:

x+1

7x = 19.

Egipcani krecu od pretpostavke da je x = 7, sto daje 7 + 1 = 8, pa je pretpostavka

ocito kriva. U sljedecem koraku utvrduju koliko je puta rezultat dobiven netocnom pret-

postavkom da je x = 7, a to je 8, manji od 19:

19 : 8 = 2 +1

4+

1

8= 2

3

8.

Utvrdivsi da se tocan rezultat dobije kada je x 238

puta veci od pretpostavljenoga, dolaze

do trazenoga broja:

7 · (23

8) = 16

1

2+

1

8= 16

5

8.

8

Premda se iz danasnje perspektive cini vrlo jednostavnim, rjesavanje problema ovom

metodom svojedobno je predstavljalo puno veci izazov jer nisu postojale suvremene o-

znake, nego su se postupci rjesavanja opisivali rijecima. Modificiranu verziju ove metode

koristio je i Diofant, zatim metoda kasnije preko Arapa dolazi u Europu te je tako mozemo

pronaci u Fibonaccijevom3 djelu Liber Abaci. Razvojem algebarskih oznaka ova metoda

rjesavanja linearnih jednadzbi polako pada u drugi plan, no nikada ne iscezava u pot-

punosti.

Zadaci poput onoga navedenog u primjeru 1.1 cesti su na Rhindovom papirusu, te ce

u nastavku biti navedeni jos neki od njih.

Primjer 1.2 (Zadatak 25.) Broj i njegova sestina daju zajedno 16. Koji je to broj?

Primjer 1.3 (Zadatak 28.) Zbroju broja i njegove 23

oduzmemo 13

tog zbroja, ono sto

dobijemo je 10. O kojem se broju radi?

Primjer 1.4 (Zadatak 32.) Broj, njegova trecina i cetvrtina daju zajedno 2. Koji je to

broj?

Primjer 1.5 (Zadatak 21.) Dopunite 23

i 115

do 1.

Zapisano suvremenom notacijom, trazi se x takav da vrijedi:

2

3+

1

15+ x = 1.

Egipcani su ovaj zadatak rijesili tako da su sve pomnozili s 15, te time dobili

10 + 1 + y = 15.

U literaturi se ova jednadzba cesto naziva”crvena pomocna jednadzba”, jer je zapisana

crvenom tintom. Kako je rjesenje pomocne jednadzbe 4, Egipcani zakljucuju da je rjesenje

polazne jednadzbe 415

, odnosno, obzirom da su oni koristili iskljucivo jedinicne razlomke

zapisuju ga kao 15

+ 115

.

3Leonardo iz Pise poznat kao Fibonacci, zivio je otprilike 1180.− 1250.

9

Premda je vec receno da je staroegipatska algebra bila retoricka, tj. problemi i njihova

rjesenja dani su rijecima, dio Rhindova papirusa posvecen aritmetici ukazuje da je Ahmes4

imao neke ideje za uvodenje simbola u algebru. Nepoznatu velicinu je oznacavao hijerogli-

fom koji oznacava hrpu, a osim toga imao je posebne oznake i za zbrajanje, oduzimanje

te jednakost.

Osim sto im se tradicionalno pripisuju zasluge za rjesavanje prvih linearnih jednadzbi,

na temelju pisane grade moze se reci da su medu prvima kada se govori o rjesavanju

kvadratnih jednadzbi. Dokument koji o tome svjedoci je Berlinski papirus5. Na Berlin-

skom papirusu se izmedu ostalog nalazi i sljedeci problem:

Primjer 1.6 Povrsina kvadrata od 100 kvadratnih kraljevskih lakata6 je jednaka zbroju

povrsina dvaju manjih kvadrata. Duljina stranice jednog od ta dva kvadrata jednaka je

12

+ 14

drugoga. Kolike su duljine stranica tih kvadrata?

Zapisano modernom notacijom traze se x i y za koje vrijedi:

x2 + y2 = 100 i x =3

4y.

Problem se zatim lako svede na kvadratnu jednadzbu

y2 = 64.

Iz cega slijedi x = 6 i y = 8.

Gotovo svi prevoditelji ovog teksta slazu se u misljenju kako su Egipcani ovaj problem

promatrali kao sustav jednadzbi

x2 + y2 = 100,

4x− 3y = 0.

4Pisac Rhindova papirusa.5Datira iz oko 1800. pr. Kr. Osim sto je jedan od najstarijih matematickih tekstova, ujedno je i jedan

od najstarijih tekstova posvecen medicini.6Jedan kraljevski lakat iznosi 52, 4 cm.

10

To je vjerojatno jedan od glavnih razloga zasto se Babilonce smatra prvima koji su

rijesili kvadratnu jednadzbu. Upravo o tome govori sljedeca tocka rada.

1.2 Prva rjesenja kvadratnih jednadzbi u Babilonu

Babilonska matematika je u mnogim aspektima bila naprednija od egipatske, sto se ocituje

i kada je rijec o rjesavanju algebarskih jednadzbi.

Neke od osnovnih karakteristika babilonske matematike su koristenje seksagezimalnog

brojevnog sustava7, te brojne matematicke tablice zapisane na glinenim plocicama. Na

tim se glinenim plocicama mogu naci tablice reciprocnih brojeva, kvadrata, kubova,

kvadratnih i kubnih korijena, te za ovaj rad osobito zanimljiva tablica rjesenja jednadzbi

x2(x± 1) = a za razlicite a.

Babilonci su znali rjesavati linearne i kvadratne jednadzbe (pri tome prihvacajuci samo

pozitivna rjesenja)

ax = b,

x2 ± ax = b,

takoder i kubne jednadzbe oblika

x3 = a,

i vec spomenute jednadzbe oblika

x2(x± 1) = a.

Osim toga rjesavali su i sustave

x+ y = b,

x · y = c,

sto je ekvivalentno rjesavanju kvadratne jednadzbe x2 + c = bx.

7Brojevni sustav s bazom 60.

11

Metoda kojom su rjesavali probleme prethodno navedenog oblika ilustrirat ce se sljede-

cim primjerom.

Primjer 1.7 Zbroj dva broja je 20, a njihov umnozak 96. Koji su to brojevi?

Babilonci su ovaj problem rijesili jednostavno pretpostavivsi da su i jedan i drugi

broj jednaki 10, sto je logicna pretpostavka obzirom da njihov zbroj mora biti jednak 20.

Medutim, jasno je kako to ipak nije tocno rjesenje jer bi u tom slucaju njihov umnozak

bio 100, a on treba biti 96. Nadalje, oduzeli su od 100 tocan umnozak 96 te dobili 4.

Zatim su odredili kvadratni korijen iz 4 i dodali ga prvom broju (10), te time dobili da

je vrijednost prvog broja 12. Isti taj broj 2 oduzeli su zatim od drugog broja, i time do-

bili da je vrijednost drugog broja 8. To su ocito tocna rjesenja jer je 12+8 = 20 i 12·8 = 96.

Babilonci su time dali metodu, odnosno retoricki algoritam za rjesavanje problema

navedenog oblika, a on glasi:

1. Podijeli zbroj dva broja s 2;

2. Kvadriraj rezultat iz 1;

3. Oduzmi umnozak brojeva od rezultata dobivenog u 2;

4. Izvadi kvadratni korijen iz rezultata dobivenog u 3;

5. Dodaj rjesenje iz 4 rjesenju iz 1, a time se dobije vrijednost prve nepoznanice;

6. Oduzmi rjesenje iz 4 rjesenju iz 1, a time se dobije vrijednost druge nepoznanice.

Ovaj se algoritam naziva babilonski algoritam. Cesto se koristio za odredivanje duljina

stranica pravokutnika (x i y) ako je zadana njegova povrsina (c) i poluopseg (b).

Geometrijsko opravdanje algoritma ilustrirano je sljedecom slikom:

12

Slika 2. Geometrijsko opravdanje babilonskog algoritma.

Kvadrat stranice duljine b2

ima zeljeni poluopseg b. Povrsina kvadrata stranice b2

je

veca od zeljene povrsine za�

b2

�2 − c, sto je povrsina bijelog kvadrata stranice z u lijevom

gornjem uglu. Preostali obojeni dio moze se ponovno sastaviti u pravokutnik kako je

ilustrirano na gornjoj slici. Duljine stranica tog pravokutnika su

x =b

2+

sb2

4− c,

i

y =b

2−sb2

4− c.

Opisani postupak je zapravo izvodenje kvadratne formule, jer je jednadzba cije rjesenje

trazimo oblika x2 − bx+ c = 0. Kako je babilonska matematika, poput egipatske bila re-

toricka, koraci prilikom rjesavanja problema nisu zapisivani simbolima nego opisno, tako

da se otkrice eksplicitne formule za rjesavanje kvadratnih jednadzbi pripisuje indijskom

matematicaru Brahmagupti, o komu ce vise spomena biti u trecem poglavlju rada.

Opisanim postupkom, odnosno postupkom vrlo slicnim njemu, rjesavali su vrlo slican

problem — odredivanja duljina stranica pravokutnika, ako je poznata razlika tih duljina

i povrsina pravokutnika, odnosno rjesavali su kvadratnu jednadzbu oblika x2 = bx+ c.

13

Primjer 1.8 Duljina jedne stranice pravokutnika veca je od druge za 10. Povrsina je

600. Kolike su stranice pravokutnika?

Problem su rijesili tako da su razliku duljina stranica pravokutnika podijelili s 2, sto

kao rezultat daje 5, zatim su kvadrirali 5 i dodali ga povrsini danog pravokutnika, te dobili

625. Iz tako dobivenoga broja izvadili su kvadratni korijen, te su zatim tom korijenu prvo

dodali 5 kako bi dobili duljinu jedne stranice (25 + 5 = 30), a potom oduzeli 5 kako bi

dobili duljinu druge stranice pravokutnika (25− 5 = 20).

U babilonskim tekstovima moze se naci na stotine primjera problema vezanih uz pra-

vokutnik, koji se svode na rjesavanje kvadratnih jednadzbi. Neki od tih problema su samo

postavljeni, a neki su i rijeseni.

U slucaju slozenijih zadataka; kao sto je odredivanje duljina stranica pravokutnika

kada je zadana njihova razlika, te razlika povrsine danog pravokutnika i kvadrata razlike

duljina stranica; prvi korak je svodenje problema na jedan od dva prethodno navedena

primjera, te zatim rjesavanje vec opisanim postupkom.

Prvu opsezniju analizu na temu rjesavanja kvadratnih jednadzbi u Babilonu napisao

je Solomon Gandz 1937. u svom djelu Osiris. U tom djelu daje klasifikaciju kvadratnih

jednadzbi koje se javljaju u babilonskim tekstovima, te tako razlikuje devet tipova istih,

od kojih su dva najjednostavnija tipa navedena u primjeru 1.7 i primjeru 1.8. Gandz

takoder razmatra i nacin na koji su Babilonci dosli do navedenog algoritma za rjesavanje

kvadratnih jednadzbi.

Za kraj ovog poglavlja bit ce navedena jos dva zadatka iz babilonskih tekstova:

Primjer 1.9 Dodamo li povrsini kvadrata dvije trecine duljine njegove stranice dobit

cemo 0; 35 (3560

u seksagezimalnom brojevnom sustavu). Kolika je duljina stranice danog

kvadrata?

Zapisano modernom notacijom, potrebno je rijesiti jednadzbu oblika

x2 +2

3x =

35

60.

14

Primjer 1.10 Broj je za sedam veci od svoje reciprocne vrijednosti. O kojem se broju

radi?

Bitno je napomenuti kako nisu imali oznaku za nulu, pa zapis nije jedinstven, te stoga,

broj reciprocan broju x moze biti 1x, 60

x, 3600

xili bilo koja potencija broja 60 podijeljena s

x. Babilonci su u ovom slucaju za reciprocan broj uzeli 60x

. Tako da problem zapisan u

modernoj notaciji izgleda

x− 60

x= 7,

iz cega slijedi

x2 − 7x = 60.

Navedenim algoritmom Babilonci su odredili jedno rjesenje ove jednadzbe x = 12, te

njegovu reciprocnu vrijednost 5. Drugo rjesenje jednadzbe je −5, no kao sto je vec receno

Babilonci su prihvacali samo pozitivne brojeve za rjesenja.

15

Poglavlje 2

Razvoj algebre u Grckoj

2.1 Grcka geometrijska algebra

Razvoj matematike u antickoj Grckoj zapocinje pod utjecajem Babilona i Egipta, te isprva

biva usmjeren na geometriju i teoriju brojeva, dok ce se algebra sve do postklasicnog

razdoblja razvijati u okviru geometrije.

Do uspostave veze izmedu geometrije i algebre dolazi u Pitagorejskoj skoli1 u sestom

stoljecu prije Krista. Jedna od temeljnih postavki skole je vjerovanje da je sve broj, tj.

da se sve moze shvatiti preko prirodnih brojeva i njihovih omjera, sto za posljedicu ima

ocekivanje da je (ako je zadana jedinicna duzina) svaka duzina cjelobrojna ili racionalna,

odnosno: sve duzine su sumjerljive2 jedinicnoj. U skladu s tim, umnozak dva broja

interpretiraju kao povrsinu pravokutnika, a umnozak tri broja kao volumen uspravne

cetverostrane prizme. Zbog takvog geometrijskog shvacanja operacija s brojevima pri-

pisuju im se zasluge za utemeljenje geometrijske algebre , premda je i ranije bila

prisutna u Mezopotamiji i Egiptu.

Geometrijska algebra karakteristicna je za citavo razdoblje klasicne grcke matematike.

Osnovna ideja je da dva poligona imaju jednaku povrsinu —”jednaki su” — ako se

1Filozofsko-religiozna skola ciji je osnivac Pitagora sa Samosa. Osnovana je oko 518 pr. Kr. u juznoj

Italiji.2Dvije duzine su sumjerljive ako im je omjer racionalan broj.

16

jedan moze rastaviti na trokute od kojih se moze sastaviti drugi.

Linearne i kvadratne jednadzbe rjesavali su geometrijski, odnosno konstruktivnim

metodama, pri cemu je rjesenje postavljenog problema duzina cija duljina odgovara nepo-

znatoj (trazenoj) vrijednosti. Prilikom konstruktivnog rjesavanja jednadzbi vodili su se

pravilom da se sve geometrijske konstrukcije moraju izvesti iskljucivo ravnalom i sestarom.

Slijedi primjer geometrijskog rjesavanja algebarske jednadzbe.

Primjer 2.1 Geometrijskom algebrom rijesimo jednadzbu ax = b2.

Slika 3. Geometrijsko rjesenje jednadzbe ax = b2.

Rjesenje ove jednadzbe dano je gornjom slikom. Buduci da dijagonala raspolavlja pra-

vokutnik, a ociti su parovi sukladnih trokuta, slijedi jednakost kvadrata b2 i pravokutnika

ax, tj. x je trazena duljina.

Veliki dio pitagorejskih rezultata, pa tako i oni vezani uz geometrijsku algebru, nalazi

se u Euklidovim Elementima. Od 13 knjiga koje cine Elemente cak je njih 7 temeljeno na

pitagorejskim rezultatima. Za ovaj rad je osobito znacajna druga knjiga Elemenata koja

sadrzi 14 propozicija geometrijske algebre. Neke od tih propozicija, koristene prilikom

rjesavanja kvadratnih jednadzbi oblika

x(x+ a) = b2, x(x− a) = b2, x(a− x) = b2,

bit ce spomenute u nastavku.

Propozicija 5. Geometrijski dokaz formule (x + y)(x − y) = x2 − y2, tocnije njoj ekvi-

valentne (a+b2

)2 − (a−b

2)2

= ab. Drugim rijecima propozicija kaze da je pravokutnik ab

jednak razlici kvadrata (gnomonu) sa stranicama a+b2

i a−b2

(Slika 4.).

17

Slika 4. Propozicija 5. druge knjige Euklidovih Elemenata.

Ovu propoziciju Grci koriste prilikom rjesavanja problema sljedeceg oblika:

Pronadite dva broja, x i y, ako je poznata vrijednost njihovog zbroja b i njihovog umnoska

c2.

Problem se zapravo svodi na rjesavanje kvadratne jednadzbe

x(b− x) = c2,

odnosno

x2 + c2 = bx.

Slika 5.

Ako b predstavlja duljinu duzine AC (Slika 5.), a x = |AB| i y = |BC|, prvi uvjet

x+y = b je ispunjen. Propozicija kaze da je umnozak xy jednak razlici povrsina kvadrata

nad stranicama SC (duljine b2) i EF , odnosno

� b2

�2

− |EF |2 = c2.

18

Prema Pitagorinom teoremu, odnosno Propoziciji 47 prve knjige Euklidovih Eleme-

nata, |EF | je duljina katete pravokutnog trokuta s hipotenuzom duljine b2

i drugom kate-

tom duljine c. Iz toga slijedi

x =b

2+

s� b2

�2

− c2, y =b

2−

s� b2

�2

− c2.

Geometrijskom algebrom to se rjesenje dobije konstrukcijom prikazanom na sljedecoj

slici.

Slika 6. Konstrukcija rjesenja jednadzbe x2 + c2 = bx.

Osim prethodne, prilikom rjesavanja kvadratnih jednadzbi koristila se i sljedeca propozi-

cija.

Propozicija 6. Oznaci li se sa b duljina duzine AB, sa x AD, te sa y BD (Slika 7). Tada

je x − y = b. Propozicija kaze da je povrsina pravokutnika sa stranicama duljine x i y

jednaka razlici povrsina dvaju kvadrata, veceg sa stranicom duljine x− b2

i manjeg cija je

stranica b2.

Slika 7. Propozicija 6. druge knjige Euklidovih Elemenata.

19

Ovu propoziciju Grci koriste za rjesavanje sljedeceg tipa problema:

Pronadite dva broja, x i y, ako je poznata vrijednost njihove razlike b i njihovog umnoska

c2.

Problem se zapravo svodi na rjesavanje kvadratne jednadzbe

x(x− b) = c2,

odnosno

x2 = bx+ c2.

Prema propoziciji vrijedi

c2 =�x− b

2

�2

−� b

2

�2

,

pa je prema Pitagorinom teoremu x − b2

duljina hipotenuze pravokutnog trokuta cije su

katete duljine b2

i c. Na temelju toga slijedi da je:

x =b

2+

s� b2

�2

+ c2, y = − b2

+

s� b2

�2

+ c2.

Grci su do tog rjesenja dolazili konstrukcijom koja je prikazana na sljedecoj slici.

Slika 8. Konstrukcija rjesenja jednadzbe x2 = bx+ c2.

Mozemo uociti kako Euklid ovim propozicijama daje rjesenja problema koje su us-

pjesno rjesavali jos i Babilonci, a jedina je razlika u pristupu.

Jedan od povijesno najpoznatijih problema geometrijske algebre je konstrukcija dije-

ljenja duzine u omjeru zlatnog reza, o kojoj govori Propozicija 11 druge knjige EE.

20

Propozicija 11. Na zadanoj duzini duljine a potrebno je odrediti tocku tako da se cijela

duzina odnosi prema vecem od dobivena dva dijela duzine (x) kao taj dio prema manjem

dijelu (a− x), tj.

a : x = x : (a− x)

Suvremenim zapisom vidimo da se radi o rjesavanju kvadratne jednadzbe

x2 + ax− a2 = 0

cija su rjesenja

x1,2 =−a±

√5a2

2= a−1±

√5

2.

Od ta dva rjesenja samo pozitivno rjesenje

x = a

√5− 1

2.

ima geometrijski smisao. Geometrijskom algebrom, to se rjesenje dobiva sljedecom kon-

strukcijom:

Slika 8. Dijeljenje duzine u omjeru zlatnog reza.

Algebra, koja je u to doba, pa sve do kraja 18. stoljeca bila sinonim za algebarske

jednadzbe, nije pobudivala osobiti interes kod Grka. Vidljivo je to i iz cinjenice da u

svom radu nisu znatnije odmakli od vec poznatih babilonskih rezultata. Jedan od rijetkih

grckih matematicara koji se njome intenzivnije bavio bio je Diofant Aleksandrijski kojemu

je posvecena sljedeca tocka ovog poglavlja.

21

2.2 Diofant Aleksandrijski

Diofant Aleksandrijski (3. st. n. e.) najveci je matematicar postklasicnog razdoblja i

posljednji veliki europski matematicar prije Fibonaccija. Kroz njegov rad dolazi do eman-

cipacije algebre od geometrije, stoga ga neki povjesnicari matematike nazivaju i”otac al-

gebre”. O Diofantovom privatnom zivotu ne zna se gotovo nista, postoje tek pretpostavke

izvedene iz njegovih djela i djela matematicara koji se pozivaju na njegov rad (vidi Prilog

1.).

Prije Diofanta algebra je bila retoricka, odnosno problemi i njihova rjesenja opisivani

su rijecima. Diofant ce na tom planu donijeti napredak, premda ce do pojave moderne

matematicke notacije3 proci jos dosta vremena. Diofant je kao i mnogi njegovi suvre-

menici koristio alfabetsku notaciju, no veliki je njegov doprinos u njenom prosirenju koji

omogucuje simbolicki zapis algebarskih izraza. Sljedeca tablica daje pregled Diofantovih

oznaka razlicitih potencija varijable:

suvremena oznaka Diofantova oznaka

x0 = 1 M o

x ζ

x2 ∆Υ

x3 KΥ

x4 ∆Υ∆

x5 ∆KΥ

x6 KΥK

x−1 ζx

x−2 ∆Υx

Diofant nema oznake za zbrajanje, nego ga biljezi nadopisivanjem. Za oduzimanje

koristi vertikalno prekrizeni Λ. Jos jedna bitna karakteristika njegovog sustava notacije

je zapisivanje koeficijenta uz odredenu potenciju iza nepoznanice.

3Za modernizaciju matematicke notacije najzasluzniji je Rene Descartes (1596.− 1650.).

22

Najznacajnije Diofantovo djelo je Arithmetica koja se moze opisati kao prva rasprava

posvecena algebri. Arithmetica se u originalu sastoji od 13 knjiga. Dugo se vjerovalo

kako je samo 6 od 13 knjiga opstalo, te da su ostale izgubljene nedugo nakon sto su

napisane. Postoje mnogi arapski prevodi Arithmeticae, no u njim se spominje samo prvih

sest njezinih knjiga. Godine 1968. u knjiznici Astan Quds u Meshedu (Iran) pronadeni su

rukopisi Qusta ibn Luqa, koji su prijevodi knjiga IV do VII. Neki povjesnicari tvrde kako

se radi o prijevodu necijih komentara (mozda Hipatijinih) tih knjiga. Poput Rhindova

papirusa i Arithmetica predstavlja zbirku raznih problema, ukupno njih 130 zajedno sa

rjesenjima. Cilj ovog djela bio je prikazati metode kojima je moguce pronaci racionalan

broj koji zadovoljava odredene uvjete. Neke od jednadzbi i sustava jednadzbi iz Arithmeti-

cae su neodredeni i imaju nejedinstvena rjesenja. Ono sto mi danas nazivamo diofantskim

jednadzbama podrazumijeva algebarske jednadzbe s vise nepoznanica s cjelobrojnim ko-

eficijentima kojima se traze cjelobrojna rjesenja.

Diofant je, kao i njegovi prethodnici, kao rjesenja problema prihvacao samo pozitivne

racionalne brojeve. Kao dokaz toga mozemo navesti problem pete knjige gdje Diofant

promatra jednadzbu 4x+ 20 = 4, te zakljucuje kako ona nije rjesiva.

Diofant promatra tri tipa kvadratnih jednadzbi:

ax2 + bx = c, ax2 = bx+ c, ax2 + c = bx.

Razlog zasto su za Diofanta to tri razlicita tipa je vec spomenuto prihvacanje samo pozi-

tivnih brojeva.

Naravno, Diofant se bavio i mnogim drugim problemima, kao sto je npr. rjesavanje

sustava:

y + z = 10,

yz = 9.

Problem svodi na kvadratnu jednadzbu po x na slijedeci nacin: uzme da je 2x = y − z,

tako da zbrajanjem y + z = 10 i y − z = 2x dobije y = 5 + x, a njihovo oduzimanje daje

23

z = 5− x. Nadalje,

9 = yz = (5 + x)(5− x),

x2 = 16,

x = 4.

Iz cega slijedi y = 9, z = 1.

U nastavku ce biti navedeni neki problemi iz Arithmeticae zapisani modernom notaci-

jom:

Primjer 2.2 (Knjiga 1, Zadatak 17.) Pronadite cetiri broja takva da je zbroj bilo koja

tri od njih jednak jednom od brojeva: 20, 22, 24, 27.

Oznacimo sa x zbroj sva cetiri broja. Tada su brojevi koje trazimo oblika x− 20, x− 22,

x− 24, x− 27, iz cega slijedi

x = (x− 20) + (x− 22) + (x− 24) + (x− 27)

3x = 93

x = 31

Znaci da su trazeni brojevi: 11, 9, 7, 4.

Primjer 2.3 (Knjiga 2, Zadatak 8.) Za zadani broj a treba odrediti racionalne brojeve

x i y takve da je x2 + y2 = a2.

Ako je (x0, y0) neko konkretno rjesenje, onda (x0 +t, y0 +kt) za racionalan k uvrstavanjem

u jednadzbu daje kvadratnu jednadzbu za t i time mogucnost konstrukcije novog rjesenja.

Recimo da je a = 4, tj. jednadzba x2 + y2 = 16. Uzmimo x0 = 0 i y0 = −4. Tada za

x = t i y = kt− 4 imamo x2 + y2 = (k2 + 1)t2 − 8kt+ 16 = 16, tj. t = 8kk2+1

pa dobivamo

beskonacno mnogo novih racionalnih rjesenja. Bitno je naglasiti kako je Diofant dao samo

jedno rjesenje te jednadzbe.

Primjer 2.4 (Knjiga 2, Zadatak 9.) Za zadane brojeve a i b treba odrediti racionalne

brojeve x i y takve da je x2 + y2 = a2 + b2.

24

Uzmimo npr. a = 2 i b = 3. Uvedemo li supstituciju x = x + a i y = mx − b, dobivamo

(x+ 2)2 + (mx− 3)2 = 13, odnosno (m2 + 1)x2 + (4− 6m)x = 0. Odabirom razlicitih m

dobivamo razlicite x, tj. razlicita rjesenja (x, y). Uzmemo li da je m = 2 dobijemo x = 185

,

y = 15. Kao i u prethodnom primjeru, Diofant je i ovome dao samo jedno rjesenje, premda

ih ocito ima beskonacno mnogo.

Zanimljivo je da iza mnogih Diofantovih rjesenja stoje razna algebarska pravila koja

on najvjerojatnije nije poznavao. Tako u zadatku 19 trece knjige uocava da je 65 zbroj

dva kvadrata na dva nacina, jer je on umnozak brojeva 13 i 5 koji su i sami zbrojevi dva

kvadrata. Iz toga se moze zakljuciti da je znao kako je umnozak dva cijela broja, od kojih

je svaki zbroj dva kvadrata, i sam zbroj dva kvadrata i to na dva nacina. No izraz kojeg

u modernoj notaciji zapisujemo kao

(a2 + b2)(c2 + d2) = (ac∓ bd)2 + (ad± bc)2

prvi put se spominje u radu Abu Jafar al-Khazina (950.) i kasnije u Fibonaccijevom djelu

Liber quadratorum (1225.).

Diofantov rad nije pretjerano utjecao na daljnji razvoj grcke algebre, no u 9. stoljecu

kada je Arithmetica prevedena na arapski, njen utjecaj na razvoj algebre postaje puno

snazniji.

25

Poglavlje 3

Rjesavanje algebarskih jednadzbi u

Kini i Indiji

3.1 Indijska algebra

U indijskoj matematici ce, za razliku od prethodno spominjane grcke, puno izrazitija biti

aritmeticko-algebarska nego li geometrijska dostignuca. U skladu s tim, mnogi indijski

matematicki tekstovi opisuju algoritme za racunanje i pravila za rjesavanje odredenih

zadataka s primjerima, no nema skica, formula niti dokaza. Vise paznje pridaje se razvoju

raznih tehnika racunanja, dok je znanstveni doprinos manji.

Neki od najvecih doprinosa indijske matematike su: razvoj aritmetike, odnosno pravi-

la za provodenje aritmetickih operacija na temelju dekadskog sustava, uvodenje prvog

pozicijskog brojevnog sustava, te uvodenje i pravilno interpretiranje negativnih brojeva.

Uocili su postojanje pozitivnog i negativnog kvadratnog korijena, te nemogucnost vadenja

kvadratnog korijena iz negativnog broja.

Razvili su i neke od prvih algebarskih oznaka. Za vecinu simbola koriste se prvi

slogovi odgovarajucih rijeci iz sanskrta. Zbrajanje je, slicno kao i kod Diofanta, zapisivano

nadopisivanjem; oduzimanje stavljanjem tocke ispred umanjitelja; mnozenje s bha sto

dolazi od bhavita sto znaci umnozak. Kvadratni korijen su oznacavali s ka od rijeci

26

karana, sto znaci iracionalno. Za razliku od Diofanta, imali su oznake za vise nepoznanica.

Prvu nepoznanicu su oznacavali ya sto dolazi od rijeci yavat-tavat (koliko-toliko), a ostale

nazivaju po bojama, pa tako postoje crna, plava, zuta, crvena i zelena nepoznanica.

Indijci su nadisli Diofantova dostignuca time sto su uocili da kvadratna jednadzba ima

dva rjesenja. Neki izvori tvrde da se u indijskom rjesavanju algebarskih jednadzbi osjeti

utjecaj Diofantove Arithmeticae. No bez obzira jesu li ili nisu imali doticaja s grckim

izvorima, Indijci zasluzuju priznanje za poboljsanje i generalizaciju postupaka rjesavanja

linearnih i kvadratnih jednadzbi. Kada govorimo o jednadzbama viseg stupnja, Indijci su

imali uspjeha samo u rjesavanju nekih specijalnih slucajeva.

Veliki napredak na podrucju rjesavanja odredenih jednadzbi postigli su proucavanjem

neodredenih jednadzbi. Indijsko proucavanje neodredenih jednadzbi ne razlikuje se od

grckog samo u metodi nego i u cilju, a njihov cilj je bio pronaci sva moguca cjelobrojna

rjesenja. S druge strane, Grci su bili zadovoljni sa samo jednim rjesenjem koje nije nuzno

bilo cjelobrojno, nego se moglo raditi i o racionalnom broju.

Prvi veliki indijski matematicar, a ujedno i jedan od prvih koji se bavi pitanjem

algebarskih jednadzbi je Aryabhata stariji (476. − 550.). Njegovo najznacajnije djelo

Aryabhatiya predstavlja skup poznatih rezultata indijske matematike do tog vremena i

pisana je u stihovima. Aryabhatiya je podijeljena u cetiri poglavlja, a u cetvrtom se

izmedu ostalog bavi i algebarskim jednadzbama, i to kvadratnim i nekim neodredenim

jednadzbama. Aryabhata daje cjelobrojna rjesenja linearne jednadzbe oblika ax± by = c

gdje su a, b, c cijeli brojevi. Jednadzbe tog oblika najvjerojatnije izvodi iz astronomskih

problema.

Sljedeci indijski matematicar znacajan za razvoj algebre je Brahmagupta (598. −

670.). Pisao je vazna djela o matematici i astronomiji i njegovim zaslugama dolazi do

razvoja navedenih algebarskih oznaka (vidi Prilog 2.). Bavio se kvadratnim i diofantskim

jednadzbama (medu ostalima i Pellovom jednadzbom1 x2 = py2 ± q).

Brahmagupta daje prvu opcenitu metodu za rjesavanje kvadratnih jednadzbi u obliku

1Jednadzba je zabunom nazvana Pellovom jednadzbom, premda on zapravo nema nista s njom. Pot-

puno rjesenje ove jednadzbe dao je Lagrange 1767.

27

formule izrazene rijecima:

Slobodni clan pomnozi s cetverostrukim kvadratnim koeficijentom, zatim dodaj kvadrat

linearnog koeficijenta, te iz dobivenoga izvadi kvadratni korijen. Dobiveno umanji za li-

nearni koeficijent, zatim podijeli s dvostrukim kvadratnim koeficijentom i dobit ces trazenu

vrijednost nepoznanice.

Vidljivo je da se radi o rjesenju

x =

√4ac+ b2 − b

2a

jednadzbe

ax2 + bx = c.

Pitanjem algebarskih jednadzbi bavio se i Mahavira, najznacajniji indijski matemati-

car u devetom stoljecu. Poznat je po uocavanju da negativni brojevi ne mogu biti kvadrati,

te po poznavanju svojstava nule. U njegovim se tekstovima mogu pronaci zadaci sljedeceg

oblika.

Primjer 3.1 Cetvrtina stada deva videna je u sumi. Dvaput kvadratni korijen tog stada

otisao je do uzbrdice. Petnaest deva ostalo je na obali rijeke. Koliko broji to stado deva?

Primjer 3.2 Devet puta korijen iz dvije trecine krda slonova i jos sest puta korijen iz tri

petine ostatka su u sumi. Ima ih jos 24. Koliko ih je ukupno?

Problemi odgovaraju jednadzbama

x

4+ 2√x+ 15 = x,

9

Ê2

3x+ 6

Ê3

5x+ 24 = x.

Jedan od najznacajnijih indijskih matematicara kada govorimo o algebarskim jed-

nadzbama, te opcenito jedan od vodecih indijskih matematicara dvanaestog stoljeca bio

je Bhaskara II. (1114. − 1185.). Uvelike je doprinio razumijevanju brojevnih sustava i

rjesavanju jednadzbi, do razine koja je u Europi postignuta tek nekoliko stoljeca kasni-

je. Glavna matematicka djela su mu Lilavati i Bijaganita. U Lilavati se izmedu ostalog

28

bavi rjesavanjem nekih jednostavnih linearnih jednadzbi metodom regula falsi, sustavima

linearnih jednadzbi i njihovim primjenama, te kvadratnim jednadzbama.

Vidi se da je znao kako x2 = 9 ima dva rjesenja. Elementarnim metodama znao

je rijesiti jednadzbu x4 − 2x2 − 400x = 9999. Bavio se i vec spomenutom Pellovom

jednadzbom te mnogim drugim diofantskim jednadzbama.

U skladu s indijskom tradicijom koristi pisanje u stihovima, a u nastavku su navedena

dva njegova zadatka.

Primjer 3.3 Korijen od polovine pcela u roju doletio je na jasminov grm. Osam devetina

roja zaostalo je za njima, a jedna zenska pcela leti oko muske koja zuji unutar lotosova

cvijeta. Usao je u noci, privucen slatkim mirisom i sad je zarobljen. Reci mu, o carobna

gospo, koliki je pcela broj?

Primjer 3.4

Mnostvo majmuncica zivahnih,

Najevsi se slasno, igralo se.

Od njih, kvadrat dijela osmog

Na livadi se zabavljalo

A 12 njih je po krajevima livade,

Pocelo skakutati povisoko.

Koliko je bilo majmuncica malih

U tom mnostvu, reci meni ti?

Zadaci se svode na rjesavanje jednadzbi:rx

2+

8

9x+ 2 = x,

�x8

�2

+ 12 = x.

29

3.2 Kineska algebra

Kineska matematika je slicno kao i indijska, a djelomice i pod njenim utjecajem, bila ori-

jentirana na nalazenje algoritama za racunanje i rjesavanje konkretnih zadataka. Jedan od

najpoznatijih i najstarijih kineskih matematickih tekstova je Devet poglavlja matematickog

umijeca (Jiuzhang Suanshu), autor je nepoznat, a nastala je vjerojatno u razdoblju od

100. pr. Kr. do 100. n. e. Na ovom se djelu temelji gotovo sva kineska matematika. Knjiga

se sastoji od 246 zadataka s rjesenjima, namijenjenih mjeracima, inzenjerima, cinovnicima

i trgovcima. Neki od tih zadataka bave se sustavima linearnih jednadzbi (2 × 2 i n × n)

koje su rjesavali metodom fang-chang (usmjeravanje brojeva u kutijicama) koja je u biti

Gaussova metoda eliminacije. Sedmo poglavlje knjige posveceno je rjesavanju linearnih

jednadzbi i to vec vise puta spominjanom metodom regula falsi.

Jedan od prvih kineskih matematicara cije se ime veze uz rjesavanje algebarskih jed-

nadzbi je Zhang Qiu-Jian (oko 430. − 490.). Napisao je samo jedno matematicko djelo i

u njemu se izmedu ostalog bavi rjesavanjem kvadratnih jednadzbi i sustavima linearnih

jednadzbi.

Wang Xiaotong (oko 580.−640.) je nasao algoritam za priblizno rjesavanje jednadzbe

oblika x3 + ax2 = b, a u sedmom stoljecu su nadeni i algoritmi za priblizno rjesavanje

opce kubne jednadzbe.

U 13. stoljecu poopcene su aproksimativne metode rjesavanja kubnih jednadzbi na

jednadzbe viseg stupnja.

Quin Jiushao (1202.−1261.) se u svom djelu Rasprava o matematici u devet poglavlja

(1247.) bavi pitanjem algebarskih jednadzbi. Uspjesno je rjesavao neke jednadzbe treceg

i cetvrtog stupnja, kao sto je npr.

x4 − 763200x2 + 40642560000 = 0

metodom koja je u biti Hornerova2.

Bavio se i sljedecim problemom:

2Wiliam Horner, 1786.− 1837.

30

Grad okruzen kruznim zidinama nepoznatog promjera ima cetvora vrata. Drvo je

postavljeno 3 li3 sjeverno od sjevernog ulaza. Drvo postaje vidljivo ako se od juznih vrata

pomaknemo za devet koraka istocno. Nadite promjer zidina.

Mnogi autori knjiga koje govore o povijesti kineske matematike spominju ovaj problem,

doduse uz neka odstupanja. Ono sto je vecini zajednicko je misterij oko svodenja ovog

problema na jednadzbu

x5 + 15x4 + 72x3 − 864x2 − 11644x− 34992 = 0.

Slican problem spominje i Li Ye premda je gotovo sigurno da nisu imali medusobnih

kontakata. Geometrijski bismo problem mogli ilustrirati sljedecom slikom.

Slika 9.

Neka je C tocka u kojoj se nalazi drvo, B mjesto promatraca koji se od juznog ulaza

krece 9 koraka istocno, a zahtjev da drvo postaje vidljivo tocno u tocki B znaci da je

BC tangenta na kruznicu u tocki D. Suvremenom algebrom, na temelju skice, problem

mozemo svesti na jednadzbu

x4 + 6x3 + 9x2 − 972x− 2916 = 0.

Ta se jednadzba ocito razlikuje od one koju je postavio Quin Jiushao, no objema jed-

nadzbama je jedno rjesenje x = 9.

3Jedan li iznosi 500 metara.

31

Li Ye (1192.− 1279.) se u svom radu takoder pozabavio problemima koji se svode na

algebarske jednadzbe. Napisao je dva znacajna matematicka djela Morski odraz mjerenja

kruga (1248.) i Drevna matematika u prosirenim djelima (1259.) Drugo djelo predstavlja

svojevrstan pregled rada matematicara iz 11. stoljeca. Sastoji se od 64 zadatka koji se

svode na rjesavanje kvadratnih jednadzbi izvedenih iz problema vezanih uz krug, kvadrat,

pravokutnik i trapez. Jedan od tih zadataka je sljedeci:

Primjer 3.5 U sredistu polja kvadratnog oblika nalazi se okrugla bara, i povrsina izvan

bare je 3300 kvadratnih pua4. Poznato je da zbroj opsega kvadrata i kruga iznosi 300 pu.

Odredite opseg kruga i kvadrata.

Li Ye uzima za nepoznanicu polumjer kruga (oznacimo ga u ovu svrhu s x), te uz aproksi-

maciju π = 3 problem svodi na jednadzbu

3x2 + 300x− 3100 = 0.

Rjesenje te jednadzbe je x = 10, iz cega slijedi da je opseg kruga 60 pu, a kvadrata 240 pu.

Kod zapisivanja algebarskih jednadzbi Li Ye je koeficijente jednadzbe zapisivao jedan

ispod drugoga i to tako da je linearni koeficijent zapisao prvi, a zatim ostale ispod njega.

(Slika 10.)

Slika 10. Zapis jednadzbe 24x2 − 70x+ 1600.

Kada govorimo o algebarskim jednadzbama u djelima kineskih matematicara ne smi-

jemo izostaviti Dragocjeno ogledalo cetiri elementa (1303.), djelo ciji je autor Zhu Shijie.

Ono sadrzi metodu transformacije za rjesavanje jednadzbi, koju koristi do 14. stupnja, a

koju su u 18. i 19. stoljecu ponovno otkrili Horner i Ruffini.

4Jedan pu iznosi 1, 7907 metara.

32

Poglavlje 4

Algebarske jednadzbe u djelima

islamskih matematicara

Na razvoj arapske matematike utjecali su podjednako grcki i indijski matematicari. Indij-

ski se utjecaj osobito osjeti u razvoju dekadskog brojevnog sustava i racunskih tehnika.

Algebra, a pri tome se naravno misli na teoriju algebarskih jednadzbi, jedno je od podrucja

matematike kojemu su Arapi posebno doprinijeli.

Pocetkom 9. stoljeca kalif al-Ma’mun u Bagdadu osniva svojevrsnu akademiju pod

nazivom Kuca mudrosti, koja ce dugo vremena biti glavni znanstveni centar arapskog

kalifata.

Tri najznacajnija matematicara koja su djelovala u Kuci mudrosti su: al-Khwarizmi,

Thabit ibn Qurra i Omar Khayyam. Razvoju algebre su najvise doprinijeli Al-Khwarizmi

i Omar Khayyam.

Al-Khwarizmi, punim imenom Abu Abdallah Mushammad ibn Musa al-Khwarizmi

(oko 780. − 850.) je prvi veliki arapski matematicar. Bio je ucenik u Kuci mudrosti, a

kasnije ju je i vodio. Osim algebrom bavio se i geometrijom i astronomijom (vidi Prilog

3.). Njegovom zaslugom dolazi do odvajanja algebre od geometrije, cime pravi odmak

od dotadasnjeg grckog pristupa geometrije, prema algebri i omogucuje njen samostalan

razvoj. Algebra je omogucila tretiranje racionalnih i iracionalnih brojeva, geometrijskih

33

velicina i dr. kao algebarskih objekata, sto ce uvelike utjecati na daljnji razvoj matema-

tike. Ono sto i dalje koci razvoj algebre je nepostojanje adekvatne notacije, tako da

al-Khwarizmi svu svoju matematiku opisuje rijecima, bez simbola. U njegovu radu vide

se grcki i indijski utjecaji, s tim da je grcki utjecaj nesto jaci. Ipak, primjeri su mu

numericki, a ne geometrijski.

Al-Khwarizmijevo najznacajnije djelo je udzbenik iz algebre Hisab al-jabr wa’l-muqaba-

lah, iz cijeg je naziva izvedena rijec algebra (al-jabr). U njemu se al-Khwarizmi djelomicno

oslanja i na rad Brahmagupte. Al-Khwarizmi je svojom Algebrom htio olaksati rjesavanje

svakodnevnih problema, kao sto su pitanja nasljedivanja u muslimanskim zakonima. U

prvom dijelu Algebre bavi se linearnim i kvadratnim jednadzbama. Klasificira te jed-

nadzbe u sest tipova, a njegova klasifikacija proizlazi iz cinjenice da su mu bili nepoznati

nula i negativni brojevi. Svaki od tipova jednadzbi opisuje preko primjera, a tipovi su

sljedeci:

1. x2 = ax,

2. x2 = a,

3. ax = b,

4. x2 + ax = b,

5. x2 + a = bx,

6. ax+ b = x2,

gdje su a i b pozitivni brojevi.

Proizvoljne linearne i kvadratne jednadzbe rjesava tako da ih prvo reducira na jedan od

sest navedenih tipova, i to operacijama al-jabr sto bi u prijevodu znacilo upotpunjavanje,

a odnosi se na micanje negativnih clanova na drugu stranu jednakosti i operacijom al-

muqabalah, sto bi znacilo uravnotezavanje odnosno skracivanje jednakih clanova s dvije

strane jednakosti.

34

Za svaki od navedenih primjera daje pravila za rjesavanje, odnosno uobicajene al-

gebarske formule za konkretne primjere. Daje i dokaz za svaki primjer geometrijskim

svodenjem na potpun kvadrat. Kako je dozvoljavao samo pozitivna rjesenja, jedino je

jednadzba tipa 5 imala dva rjesenja. Al-Khwarizmijeva metoda biti ce demonstrirana na

sljedecem primjeru.

Primjer 4.1 Rijesi jednadzbu x2 + 10x = 39.

Lijeva strana odgovara jednom kvadratu sa stranicama x te uz njega prilozenim dvama

pravokutnicima stranica x i 5. Da bismo sliku upotpunili do kvadrata, treba dodati jedan

kvadrat stranice 5. (Slika 11.)

Slika 11. Svodenje jednadzbe x2 + 10x = 39 na potpun kvadrat.

Stoga je

x2 + 10x+ 25 = 39 + 25

(x+ 5)2 = 64

x+ 5 = 8

x = 3

Ostatak Algebre bavi se primjenama i primjerima, a jedan od njih glasi:

Primjer 4.2 Covjek na samrti daruje robinju, koja je bila jedino njegovo vlasnistvo. Za-

tim umire. Robinja vrijedi 300 dirhama i njen miraz je 100 dirhama. Covjek kojem je

darovana zivi s njom. Koliko je nasljedstvo?

35

Problem treba biti rijesen na sljedeci nacin:

300− x− 300

100x = 2x.

Iz jednadzbe slijedi da je nasljedstvo 90 dirhama.

Sljedeci znacajan islamski matematicar koji se bavio algebarskim jednadzbama, doduse

u puno manjoj mjeri nego al-Khwarizmi, je Thabit ibn-Qurra (826.−901.). Djelovao je

u Kucu mudrosti i pisao o mnogim temama i izvan matematike. Napisao je tekst od sest

strana o kvadratnim jednadzbama. Thabit ibn Qurra se u svom razmatranju kvadratnih

jednadzbi dosta oslanja na Euklidov rad, odnosno na drugu knjigu Euklidovih Elemenata.

U skladu s tim, a suprotno od al-Khwarizmija, njegovi primjeri nisu bili numericki vec

geometrijski.

Abu Kamil (Abu Kamil Shuja ibn Aslam ibn Muhammad ibn Shuja, oko 850. −

930.) matematicar je iz Egipta kojega se smatra jednim od neposrednih nasljednika

al-Khwarizmijeva djela. Prema njegovim je rijecima”al-Khwarizmi osmislio algebru”.

Napisao je knjigu o algebri pod nazivom Kitab fil-jabr w’al muqabalah koja je komen-

tar i elaborat al-Khwarizijeva djela. Abu-Kamilova Algebra sadrzi 69 zadataka, od kojih

su neki bez izmjena preuzeti iz al-Khwarizmijeve Algebre. Istovremeno nije oklijevao u

drugacijem pristupu problemu, sto se ocituje u mnogim zadacima, a za primjer cemo uzeti

osmi zadatak njegove Algebre.

Primjer 4.3 Rastavite broj 10 na dva pribrojnika takva da kada se svaki od njih podijeli

drugim, te kada se zbroje, zbroj iznosi 414.

U modernoj notaciji problem se sastoji u trazenju brojeva x i y koji zadovoljavaju jed-

nadzbe

x+ y = 10,x

y+y

x= 4

1

4.

Druga se jednadzba moze zapisati u obliku

x2 + y2 = 41

4xy.

36

Abu Kamil prvo rjesava ovaj problem u skladu s nacinom na koji ga je al-Khwarizmi

rijesio. A taj je uvrstavanje y = 10 − x u prethodnu jednadzbu, sto ovaj problem svodi

na kvadratnu jednadzbu oblika

61

4x2 + 100 = 624

1

2x,

cije je rjesenje x = 2, a iz tog slijedi da je y = 8.

Abu Kamil zatim prezentira vlastitu metodu, koja ukljucuje stari babilonski postupak

uvodenja nove nepoznanice, npr. z:

x = 5− z, y = 5 + z.

Uvrstava to u jednadzbu x2 + y2 = 414xy i dobiva

50 + 2z2 = 41

4(25− z2),

iz cega slijedi z2 = 9 sto povlaci da je z = 3, pa je prema tome x = 2 i y = 8.

Njegova Algebra imala je tri dijela od kojih se prvi bavio upravo ovakvim problemima,

odnosno rjesavanjem kvadratnih jednadzbi, drugi je bio posvecen primjeni algebre na

pravilni peterokut i deseterokut, dok se treci bavi diofantskim jednadzbama i zabavnom

matematikom. Abu Kamil je prvi matematicar arapskog svijeta koji je znao rjesavati dio-

fantske jednadzbe, i to u doba prije nego je Diofantova Arithmetica proucena u arapskom

svijetu. Opisao je i neke metode koje se ne mogu naci kod Diofanta.

Kao i niz drugih arapskih matematicara poznat je po primjeni algebre na geometriju, te

kombiniranju grckog, babilonskog i al-Khwarizmijevog pristupa, sto se ocituje i u prethod-

nom primjeru. Kao i al-Khwarizmi drzi se numerickih primjera, no njegov pristup je nesto

sistematicniji i stroze se drzi grcke formalnosti. Znacajan je i po tome sto je bez simbola

za njihovo zapisivanje, uspijevao racunati zbroj i razliku kvadratnih korijena, odnosno

√a±√b =

Èa+ b± 2

√ab.

Kao i al-Khwarizmi i on svoju algebru opisuje rijecima. Glavni napredak u odnosu na

prethodnike je koristenje iracionalnih koeficijenata u jednadzbama. Primjer tomu je 53.

zadatak njegove Algebre.

37

Primjer 4.4 Pronadite broj takav da je umnozak zbroja tog broja i√

2 i zbroja tog broja

i√

3 jednak 20.

Danas bismo to zapisali u obliku

(x+√

2)(x+√

3) = 20,

sto vodi kvadratnoj jednadzbi

x2 +√

6 +√

3x2 +√

2x2 − 20 = 0.

Abu Kamil daje tocno rjesenje

x =

s21

1

4−√

6 +

Ê1

1

2− 3

4− 1

2.

Uvodenje iracionalnih brojeva kao rjesenja kvadratnih jednadzbi jos je jedan korak

dalje od temelja koje je preuzeo od al-Khwarizmija. Abu Kamilova Algebra zauzima

posebno vazno mjesto u razvoju algebre u Europi, jer je utjecala na rad Talijana Leonarda

iz Pise, poznatijeg kao Fibonacci. Fibonacci se tako u svome djelu Liber Abaci (1202.)

oslanja dosta na arapske autore, preuzevsi oko 29 zadataka iz Abu Kamilove Algebre uz

vrlo male ili bez ikakvih izmjena.

Navesti cemo za primjer jos jedan zadatak iz Abu Kamilove Algebre — Zadatak 39.

Primjer 4.5 Doda li se nekom broju 10, i dobiveni iznos pomnozi s√

5 dobije se umnozak

pocetnog broja sa samim sobom. O kojem se broju radi?

U modernoj notaciji, oznacimo li sa x trazeni broj, dobivamo jednadzbu

(x+ 10)√

5 = x2,

cije je rjesenje

x =

Ê√500 + 1

1

4+

Ê1

1

4.

Jedan od znacajnijih bagdadskih matematicara i inzenjera na prijelazu s 10. u 11.

stoljece je al-Karaji (Abu Bakr ibn Muhammad ibn al-Husayn Al-Karaji, oko 953. −

38

1029.). Al-Karaji se smatra prvom osobom koja je u potpunosti oslobodila algebru od

geometrijski operacija, sto je osnova moderne algebre. Tako npr. svodenje na potpuni

kvadrat provodi cisto algebarski. Al-Karaji je u nasljede ostavio utjecajnu algebarsku

skolu koja ce uspjesno raditi vise stoljeca.

Uz al-Khwarizmija jedno od najznacajnijih imena arapske algebre je Omar Khayyam

(vidi Prilog 4.). Razvoju algebre doprinio je djelom Algebra. U njemu daje klasifikaciju

kubnih jednadzbi na 14 tipova, a ona proizlazi iz zahtjeva da svi koeficijenti budu pozitivni

brojevi. Za svaki od tipova daje i njegovo geometrijsko rjesenje pomocu presjeka konika.

U razmatranju svakog od 14 slucajeva Khayyam je bio svjestan postojanja vise pozitivnih

rjesenja, ovisno o tome kako se razmatrane konike sijeku. U svom se radu poziva na

prve dvije Apolonijeve1 knjige o konikama, i daje algebarsku metodu kako druge kubne

jednadzbe pretvoriti u kvadratnu ili neki od tipova iz svoje sistematizacije.

Slika 12. Naslovna strana Algebre Omara Khayyama.

1Apolonije iz Perge (260.− 190. pr. Kr.) poznat je po razvoju teorije konika.

39

Uzmimo za primjer kubnu jednadzbu oblika x3 + qx = r2, koju on opisuje kao

x3 + b2x = b2c.

Khayyam dolazi do rjesenja ove kubne jednadzbe nalazenjem sjecista parabole i kruznice.

Jezikom analiticke geometrije rekli bismo: odredivao je sjeciste razlicito od (0, 0) parabole

x2 = by,

i kruznice

y2 = x(c− x).

Slika 13. Geometrijsko rjesenje kubne jednadzbe x3 + b2x = b2c.

Sjeciste tih dvaju konika je tocka D(x0, y0). Provjerit cemo je li ona zaista rjesenje polazne

kubne jednadzbe. Kako D lezi na paraboli imamo x02 = by0. No D lezi i na kruznici,

stoga je y02 = x0(c− x0). Iz te dvije jednakosti dobije se

x04 = b2x0(c− x0),

ili

x03 = b2(c− x0).

2Svaka kubna jednadzba se supstitucijom moze svesti na oblik bez kvadratnog clana, stoga je dovoljno

naci metodu za rjesavanje takve kubne jednadzbe, vidi Poglavlje 6.

40

Odatle slijedi da x0 zadovoljava jednadzbu x3 + b2x = b2c.

Aproksimativnu numericku vrijednost rjesenja dobio je interpolacijom pomocu trigono-

metrijskih tablica. Tvrdi da se rjesenje takve kubne jednadzbe ne moze dobiti konstruk-

cijom ravnalom i sestarom, sto ce biti dokazano 750 godina kasnije. Khayyam je bio

svjestan nepotpunosti vlastitog rada, te je napisao da se nada dati potpun opis alge-

barskog rjesenja kubnih jednadzbi. Razlikovao je dva tipa rjesenja jednadzbi: aritmeticko

i geometrijsko. Pod aritmetickim rjesenjem podrazumijeva trazenje racionalnih rjesenja,

a geometrijska dozvoljavaju i iracionalne i podrazumijevaju geometrijski prikaz i dokaz.

41

Poglavlje 5

Prvo algebarsko rjesenje kubne

jednadzbe

Trebalo je proci oko 200 godina da bi se obistinile zelje Omara Khayyama, odnosno da bi

bilo pronadeno prvo algebarsko rjesenje kubne jednadzbe. Tradicionalno, vecina autora

knjiga o povijesti algebre zasluge za to pripisuju matematicarima talijanske renesanse, no

jedan je matematicar do njega dosao gotovo 100 godina ranije. Njegovo ime je maestro

Dardi iz Pise (14. st.).

Maestro Dardi iz Pise mogao bi biti prvi matematicar zapadnog svijeta koji je dao

tocno algebarsko rjesenje neke kubne jednadzbe. Te se kubne jednadzbe pojavljuju u

velikom neobjavljenom rukopisu Aliabraa argibra.

Prije objasnjenja njegove metode, kako bi se stekao uvid u njegov uspjeh, bit ce

izrazeno nekoliko cinjenica vezanih za njegov zivot i okruzenje. U najstarijem prijepisu

njegova djela gdje se spominje njegovo ime, odnosno dio gdje je napisano mjesto njegova

porijekla je ostecen. Taj je rukopis po svemu sudeci bio primjerak koji je posluzio Morde-

cai Finziju za prijevod ovog teksta na hebrejski 1473. Malo je poznato o prevoditelju, osim

da je dio zivota proveo u Bologni, a dio u Mantui, te da je preveo nekoliko matematickih

42

djela na hebrejski. U svom prijevodu Finzi navodi da je autor teksta maestro Dardi iz

Pise te da je tekst zavrsio 6. studenog 1344.

Jedini poznati Dardi u to vrijeme bio je Zio Dardi koji je prema svemu sudeci poucavao

matematicare abaciste1 u Veneciji. Pri tome nije sigurno radi li se zapravo o maestru

Dardiju. Djelomice i zato sto ovaj tekst radikalno odstupa od uobicajenih matematickih

tekstova tog vremena. Tipican tekst abacista sadrzavao je poglavlja o prikazivanju bro-

jeva pomocu simbola i prstiju; mnozenju i dijeljenju cijelih brojeva, zbrajanju, oduzi-

manju, mnozenju i dijeljenju razlomaka i mjesovitih brojeva; racunanju kvadratnih i kub-

nih korijena, osnovnim geometrijskim konceptima, firentinskom monetarnom sustavu i

algebri. Nasuprot tome Dardijev je tekst vecim dijelom posvecen algebri, oko 136 listova

(obostrano) od 162. U tom se djelu moze pronaci 198 razlicitih tipova jednadzbi, opcenita

pravila za njihovo rjesavanje, specificni primjeri za svaki tip; pravila za racunanje s ko-

rijenima i pronalazenje kubnih i kvadratnih korijena; pregled al-Khwarizmijeve Algebre i

konacno, razliciti problemi abacistickog tipa.

Jednadzbe su klasificirane u veliki broj razlicitih tipova, jer na pocetku 14. stoljeca u

algebri jos ne postoji simbolicko oznacavanje. Do tada je svaka moguca kombinacija po-

znate i nepoznate velicine do cetvrtog stupnja zapisivana rijecima, a zatim bi se izjednacilo

s nekim brojem razlicitim od 0. Uzmimo za primjer:

”li censi e numero e radici cuba de numero sono eguale ale cose”, sto je

ax2 + n+ 3√m = bx.

Snazna veza izmedu geometrije i algebre postoji i u Dardijevo doba, pa cak i dugo

nakon njega. U skladu s tim, prva potencija se dalje interpretira kao duzina odredene

duljine, druga potencija kao kvadrat s odredenom duljinom stranice, a treca potencija

kao kocka odredene duljine brida, a dalje od toga nije se islo jer priroda to ne dopusta.

Dakle, brojevi su se izjednacavali iskljucivo s brojevima, nikada ne s nulom, premda neki

izvori tvrde, a kasnije ce biti nesto rijeci i o tome, kako je Dardi bio na tragu prave

ideje. Dardijev tekst je sadrzajno potpuno drugaciji od pravila i vjezbi koje su zapisi-

1Skola nazvana po abakusu.

43

vali abacisti. Isti predstavlja naprednu algebru koja zapocinje objasnjavanjem navedenih

”alata” potrebnih za razumijevanje i primjenu pravila koja on daje. Primarni

”alat” je al-

Khwarizmijeva Algebra, ciji pregled Dardi daje u sklopu svog teksta. Proucavanjem tog

pregleda citatelj stjece uvid u postupke rjesavanja jednadzbi iz al-Khwarizmijeve siste-

matizacije, sto je nuzan preduvjet za razumijevanje ostatka teksta.

Tehnike rjesavanja jednadzbi oblika ax3 = n+√m, ax3 + bx2 = cx, i ostalih jednadzbi

koje se lako svode na kvadratne bile su i prije poznate matematicarima. Maestro Dardi

daje postupke za rjesavanje jos nekih kubnih jednadzbi, kao sto je jednadzba

ax3 +√bx3 = c, (5.1)

i jos sest slicnih jednadzbi, zajedno sa specificnim slucajem

ax3 + bx2 + cx = d. (5.2)

Za pocetak, oba tipa 5.1 i 5.2 morala su biti podijeljena s koeficijentom uz najvecu

potenciju. No opca formula moze se prilagoditi tako da se a pojavi u njoj. Jednadzbe

prvog tipa svode se na kvadratnu jednadzbu uvodenjem supstitucije y23 za x. Jednadzbe

drugog tipa rjesavale su se pod drugim (novim) uvjetima i jedinstvenim postupkom. Takve

su jednadzbe morale ispuniti zahtjev da koeficijent uz linearni clan bude jednak jednoj

trecini kvadrata koeficijenta uz kvadratni clan. Zatim se uvodi supstitucija y − b3a

za

x. Uvjet i supstitucija uklanjaju linearni i kvadratni clan. Smatra se da je Dardi prvi

matematicar koji je na ovaj nacin izmijenio polaznu jednadzbu.

Poglavlje 41. Dardijeva teksta posveceno je jednadzbama oblika 5.1, ciji postupak

rjesavanja Dardi opisuje na sljedeci nacin:

Kada je broj jednak zbroju kuba i korijena kuba tada trebas:

1. podijeliti broj s vrijednoscu nepoznatog kuba ( ca), te rezultat staviti na stranu,

2. zatim pomnoziti vrijednost nepoznatog kuba sa samim sobom, te dobivenim iznosom

podijeliti vrijednost nepoznatog korijena ( ba2 ), a cetvrtinu tog rezultata staviti na

stranu ( b4a2 ),

44

3. zbroji zatim rezultate stavljene na stranu, te izvadi korijen iz dobivene vrijednosti

(q

ca

+ b4a2 ),

4. od posljednjeg rezultata oduzmi korijen rezultata koji si dobio u drugom koraku

(q

ca

+ b4a2 −

qb

4a2 ) i dobit ces korijen kuba, zatim pomnozi taj korijen sa samim

sobom kako bi dobio kub (x3),

5. izvadi kubni korijen i dobiti ces trazenu vrijednost (x).

Primjer 5.1 Prethodno opisanim postupkom rijesiti cemo kubnu jednadzbu

12x3 +√

12x3 = 342.

Dardi u opisu svog postupka kaze: podijeli 342 s vrijednoscu nepoznatog kuba (12)

kako bi dobio 2812

i zapamti taj rezultat. Zatim pomnozi 12 sa samim sobom kako bi

dobio 144 i podijeli s tim broj 12, cime se dobije 112

. Cetvrtinu od 112

( 148

) dodaj 2812

i

dobiti ces 282548

. Korijenu iz 282548

oduzmi korijen iz 148

i dobiti ces korijen kuba (√

27).

Pomnozi taj korijen sa samim sobom kako bi dobio kub, tj. 27. Izvadi kubni korijen iz

dobivenoga i dobit ces trazenu vrijednost x = 3.

Iz prethodnog je vidljivo da Dardi nema rijeci za koeficijent te umjesto nje koristi izraz

vrijednost nepoznatog kuba ili korijena. Tako da ono sto on opisuje rijecima modernom

matematickom notacijom mozemo zapisati kao:

ax3 +√bx3 = c,

sto kada podijelimo s koeficijentom uz x3 daje

x3 +

Êb

a2x3 =

c

a.

Ono sto zapravo cini u sljedecem koraku je supstitucija y23 za x, cime ce polaznu kubnu

jednadzbu svesti na kvadratnu jednadzbu oblika:

y2 + y

Êb

a2=c

a.

45

Tu kvadratnu jednadzbu dopuni do potpunog kvadrata

y2 + y

Êb

a2+

b

4a2=c

a+

b

4a2,

sto je jednako �y +

Êb

4a2

�2

=c

a+

b

4a2.

Iz prethodnog slijedi

y =

Êc

a+

b

4a2−Ê

b

4a2,

sto ako se vrati u supstituciju daje

x =3

Í�Êc

a+

b

4a2−Ê

b

4a2

�2

.

Ostalih sest tipova jednadzbi, koje su prema postupku rjesavanja slicne jednadzbi 5.1,

a koje su u rukopisu oznacene brojevima na marginama su sljedece:

115. ax3 +√bx3 =

√c 127. ax3 +

√bx3 = 3

√c

116. ax3 +√c =√bx3 128. ax3 + 3

√c =√bx3

117.√bx3 +

√c = ax3 129.

√bx3 + 3

√c = ax3

Vidljiva je veza jednadzbi u istom retku. Svaka od ovih jednadzbi rjesiva je istom

metodom supstitucije, kao sto je pokazano u slucaju jednadzbe 5.1. Modernom notacijom

rjesenja tih jednadzbi zapisujemo u obliku formula:

115. x =3

Í�Êb

4a2+

rc

a2−Ê

b

4a2

�2

127. x =3

Í�Êb

4a2+ 3

rc

a3−Ê

b

4a2

�2

116. x =3

Í�Êb

4a2±Ê

b

4a2−rc

a2

�2

46

128. x =3

Í�Êb

4a2±Ê

b

4a2− 3

rc

4a3

�2

117. x =3

Í�Êb

4a2+

rc

a2+

Êb

4a2

�2

129. x =3

Í�Êb

4a2+ 3

rc

a3+

Êb

4a2

�2

Vidljivo je kako jedino par rjesenja 116. i 128. ima dva pozitivna korijena.

Drugi tip kubnih jednadzbi koje Dardi rjesava jesu vec spomenute jednadzbe oblika

x3 + ax2 + bx = c.

Taj se tip kubne jednadzbe pojavljuje kao drugi od cetiri specificna problema u do-

datku Dardijeva teksta. Zovu se specificni, kako Dardi sam u uvodu kaze, jer nije znao

opce pravilo za njihovo rjesavanje. Do pravila je dosao slucajno i vrijedi samo za posebne

slucajeve. Dardijeva metoda za rjesavanje ovih kubnih jednadzbi glasi:

Kada su nepoznanica, kvadrat nepoznanice i kub nepoznanice jednaki nekom broju, tada

se cijela jednadzba mora podijeliti s koeficijentom uz kub. Zatim podijeli linearni koefici-

jent s kvadratnim koeficijentom . Kubiraj taj kvocijent i dodaj mu slobodni clan. Izvadi

kubni korijen iz te sume i umanji ga za kvocijent koji se dobije dijeljenjem linearnog s

kvadratnim koeficijentom. Rezultat je vrijednost nepoznanice.

Odnosno, opisani postupak preveden na jezik modernih algebarskih simbola odgovara

formuli

x =3

�b

a

�2

− c− b

a.

Njegova metoda za reduciranje problema, tako da je njegovo rjesenje jednostavno

pitanje trazenja kubnog korijena, ukazuje na njegovu domisljatost bez obzira na to sto je,

kako sam tvrdi, do nje dosao slucajno.

47

Vec je spomenuto kako se metoda sastoji od dva dijela, supstituciji y − a3

za x sto

omogucuje eliminaciju kvadratnog clana i daje

y3 +

�b− a2

3

�y +

2a3

27− ab

3= c,

i eliminaciji linearnog clana time sto je ispunjen nuzan uvjet da je b = a2

3.

Maestro Dardi iz Pise je usprkos nepostojanja adekvatnih simbola, uspio uvelike una-

prijediti teoriju kubnih jednadzbi. U dodatku svoga rada cak razmatra mogucnost iz-

jednacavanja s nulom, npr. ax + b = 0, sto se ne moze naci u radu niti jednog njegovog

prethodnika. Premda postoji sest prijepisa njegova teksta, nema dokaza da je njegov rad

utjecao na druge matematicare.

Osim njega i neki drugi abacisti se u svom radu bave pitanjem kubnih jednadzbi te

pronalaze njihova rjesenje. Krajem 14. stoljeca nepoznati je abacist u svojoj knjizi opisao

vazne tehnike u pronalazenju rjesenja jednadzbi oblika”kub i kvadrat jednako broju”.

48

Poglavlje 6

Razvoj teorije algebarskih jednadzbi

u doba renesanse

U prvom poglavlju rada je navedeno kako je jos od babilonskog doba bilo poznato kako

naci (pozitivna) rjesenja linearne i kvadratne jednadzbe aritmetickim i geometrijskim

putem. U cetvrtom poglavlju rada spomenuli smo da je Omar Khayyam razvio metodu

za geometrijsko rjesavanje kubnih jednadzbi. Godine 1225. Fibonacci, na natjecanju or-

ganiziranom od strane cara Friedricha II, daje aproksimativno rjesenje kubne jednadzbe

s tocnoscu na devet decimala. Radi se o rjesenju jednadzbe x3 + 2x2 + 16x = 20, koja je

jedan od zadataka iz knjige Omara Khayyama. Fibonacci je prethodno pokazao kako jed-

nadzba nema rjesenja u cijelim niti racionalnim brojevima niti koja su kvadratni korijeni

racionalnog broja. Ne postoji niti jedan izvor koji govori o tome kako je Fibonacci dosao

do svog aproksimativnog rjesenja. Osim Fibonaccija prethodno u radu je spomenuto kako

su i srednjevjekovni Kinezi znali aproksimativno rjesavati kubne jednadzbe.

Za razliku od kubnih jednadzbi kojima su bila poznata jedino aproksimativna rjesenja,

rjesenja linearnih i kvadratnih jednadzbi poznata od starina, bila su potpuna i jednaka

danasnjim formulama. Poznato je kako se ta rjesenja mogu dobiti iz koeficijenata jed-

nadzbe pomocu cetiri osnovne racunske operacije i korjenovanja, te se nazivaju rjesenja

49

u radikalima. Rjesenja algebarskih jednadzbi prvog i drugog stupnja u radikalima bila su

poznata od prije, a renesansa ce donijeti takva rjesenja i za jednadzbe treceg i cetvrtog

stupnja.

Fra Luca Pacioli1 je jedan od prvih koji u svojoj Summi opisuje postupak rjesavanja

jednadzbi oblika x4 = a+ bx2 pomocu supstitucije, dok za x4 + ax2 = b i x4 + a = bx2 ne

daje rjesenja. Iz danasnje perspektive radi se o jednom tipu jednadzbe, no iz renesansne

perspektive radi se o tri tipa jednadzbi, zbog jos uvijek neuobicajene upotrebe negativnih

brojeva (bitno je koji se clanovi nalaze s koje strane jednakosti).

Jedno od prvih znacajnih imena na polju rjesavanja jednadzbi treceg stupnja je Sci-

pione del Ferro (1465. − 1526.) iz Bologne. Na bolonjskom sveucilistu predavao je

aritmetiku i geometriju, te je ostvarivao kontakte s Paciolijem koji je i sam (1501./02.)

poducavao u Bologni. Del Ferro je prvi matematicar koji, oko 1515., daje (gotovo) pot-

punu metodu za rjesenje jednadzbe oblika

x3 + ax = b.

Kako su renesansni matematicari znali da je supstitucijom kvadratni clan uvijek

moguce ukloniti iz kubne jednadzbe (kasnije ce biti pokazano i kako), radi se zapravo

o jednom tipu jednadzbe koji je potrebno znati rijesiti. Zbog vec navedenog razloga

(zahtjeva a, b > 0) razlikuju dva tipa kubnih jednadzbi:

x3 + ax = b,

x3 = ax+ b.

Del Ferro je svoju metodu drzao u tajnosti kako bi ostvario prednost pred drugim

matematicarima na matematickim natjecanjima. Neposredno prije smrti otkrio ju je

Antoniu del Fioru, no imao ju je zapisanu i u biljeznici koju ce kasnije vidjeti Ferrari.

Vijest o tome da je pronadeno rjesenje kubne jednadzbe brzo se prosirila.

1Talijanski matematicar koji 1494. objavljuje djelo Summa de arithmetica, geometria, proportioni et

proportionalita, poznato jednostavno kao Summa. Zivio je od 1445. do 1517.

50

Godine 1530. Zuanne da Coi salje sljedece zadatke matematicaru Niccolu Tartagliai

(vidi Prilog 5.):

x3 + 3x2 = 5,

x3 + 6x2 + 8x = 10.

Tartaglia izjavljuje da zna rijesiti ove jednadzbe te ubrzo nakon toga biva izazvan na

dvoboj od strane Fiora. Oba sudionika bila su duzna uloziti odredeni iznos novca, te

zadati protivniku 30 zadataka. Sav novac pripast ce onome koji u 30 dana rijesi vise

zadataka.

Pretpostavivsi kako ce osrednji matematicar, sto je bio Fiori, zadati samo zadatke

tipa x3 + ax = b, Tartaglia brzo razvija vlastitu metodu za rjesavanje tog tipa jednadzbi.

Prema nekim izvorima Tartaglia, je tu metodu razvio u noci s 12. na 13. veljace 1535.

godine.

Tartagliaina pretpostavka bila je tocna te je on u nekoliko sati rijesio sve Fiorove

zadatke, dok Fior nije uspio rijesiti Tartagliaine zadatke drugog tipa.

Neki od zadataka koje je Fior postavio Tartagliai su:

1. Nadi takav broj da kada mu se doda njegov kubni korijen rezultat bude 6. (Drugim

rijecima rijesi jednadzbu: x3 + x = 6.)

2. Nadi dva broja od kojih je jedan duplo veci od drugoga, i kada se kvadrat veceg

pomnozi s manjim i tom umnosku dodaju se trazeni brojevi rezultat je 40.

(4x3 + 3x = 40)

3. Nadi broj koji zbrojen sa svojim kubom daje 5. (x3 + x = 5)

15. Covjek proda safir za 500 dukata, cime ostvaruje dobit koja je kubni korijen njegova

kapitala. Kolika je dobit? (x3 + x = 500)

17. Drvo visoko 12 braccia2 prerezano je na dva dijela na takvom mjestu da je duljina

2Jedan braccio iznosi 66 ili 68 cm.

51

dijela koji je ostao stajati jednaka kubnom korijenu duljine odrezanog dijela. Kolika

je visina dijela koji je ostao stajati? (x3 + x = 12)

30 Zbroj oplosja dva ikozaedra iznosi 700 kvadratnih braccia, oplosje manjeg jednako

je kubnom korijenu oplosja veceg ikozaedra. Koliko je oplosje manjeg ikozaedra?

(x3 + x = 700)

Vidljivo je kako se zaista svi zadaci svode na kubne jednadzbe oblika x3 + ax = b.

Pobijedivsi Fiora, Tartaglia stjece slavu. Vijest o njegovoj pobijedi brzo se sirila

te je, izmedu ostalih, i milanski matematicar Girolamo Cardano (vidi Prilog 6.) cuo

za nju. Cardano poziva Tartagliau k sebi u Milano u nadi da ce ga uspjeti nagovoriti

da mu oda svoju metodu. Tartaglia ce odbijati Cardanove pozive sve dok mu ovaj ne

spomene kako je o njemu (Tartagliai) govorio Alfonsu d’Avalosu, zapovjedniku vojske u

Milanu. Tartaglia tada (1539.) dolazi u Milano u nadi da ce dobiti bolje placeni posao,

no spomenuti zapovjednik je odsutan iz Milana.

Isprva Tartaglia oklijeva treba li odati svoju metodu, a kao razlog navodi to da bi ju

on sam objavio, no trenutno je zaokupljen prevodenjem Euklidovih Elemenata. Tartaglia

tvrdi da po zavrsetku tog posla ima u planu objaviti djelo u kojemu ce se medu inim

naci i ta metoda, a nada se i njenom poopcavanju na druge oblike kubnih jednadzbi.

Tartaglia je bio svjestan kako njegova metoda otvara vrata nalazenju rjesenja bilo koje

kubne jednadzbe, te se bojao da bi otkrivsi ju nekome, taj netko mogao preuzeti zasluge

za to otkrice. Naposljetku, Tartaglia ipak pristaje odati metodu, uz uvjet da se Cardano

zakune da je nece objaviti prije nego li ju on sam objavi. Cardano daje zakletvu, te

dodatno obecava kako ce metodu i sve vezano uz nju zapisati u siframa kako nakon

njegove smrti nitko ne bi znao o cemu se radi. Tartaglia je svoju metodu zapisao u obliku

pjesme od 25 redaka kako bi ju lakse zapamtio. Pjesma zapocinje sa:

Quando che’l cubo con le cose appresso

Se agguaglia a qualche numero discreto . . .

(Kada su kub nepoznanice i nepoznanica zajedno

jednaki nekom cijelom broju . . .)

52

Cardano ce se cetiri godine drzati svoje zakletve, no prekrsit ce je objavom svoga

djela Ars Magna 1545. godine. Cardano se na taj potez odlucuje nakon sto je dobio

uvid u del Ferrove ranije rezultate, a njegovoj odluci zasigurno je pridonijelo Tartagliaino

odugovlacenje s objavom metode. U Ars Magnai Cardano navodi Tartagliau kao autora

metode, a uz nju navodi i svoje prosirenje metode i rezultate svog studenta Ferrarija o

rjesenju jednadzbe cetvrtog stupnja.

Bilo bi pogresno reci da je Cardano preuzeo zasluge za Tartagliaina postignuca jer je

modifikacija Tartagliaine metode do konacnog rjesenja kubne jednadzbe Cardanov rezul-

tat. Objava ovih rezultata Tartagliai nikako nije isla na ruku, jer njome gubi prednost

na natjecanjima kojima je ostvarivao odredenu financijsku dobit. Tartaglia optuzuje Car-

dana za kradu i izaziva ga na natjecanje. Natjecanje je odrzano u crkvi Santa Maria del

Giardino u Milanu 10. kolovoza 1548., a umjesto Cardana Tartagliai se suprotstavio Fe-

rrari. Ferrari pobjeduje Tartagliau i on biva prisiljen otici s natjecanja, cime gubi prestiz

i dohodak.

Jedan drugom zadaju 62 zadatka, a neki od zadataka koje Ferrari postavlja Tartagliai

su:

15. Nadi dva broja ciji je zbroj jednak zbroju kuba manjeg od ta dva broja i trostrukog

umnoska manjeg s kvadratom veceg broja. I zbroj kuba veceg broja s trostrukim

umnoskom veceg i kvadrata manjeg je za 64 veci od zbroja ta dva broja. (Drugim

rijecima treba pronaci a i b takve da vrijedi a+b = b3 +3ba2 i a3 +3ab2 = 64+a+b.)

17. Broj 8 napisi kao zbroj dva broja takva da njihov umnozak pomnozen s njihovom

razlikom bude najveci moguci.

21. Nadi sest brojeva u produljenom razmjeru, pocevsi od 1, takva da je zbroj ud-

vostrucenog drugog i utrostrucenog treceg jednak korijenu sestog. Odnosno nadi

niz 1, r, r2, . . . , r5 takav da je 2r + 3r2 =√r5.

27. Dan je pravokutni trokut takav da kada spustimo okomicu na hipotenuzu, zbroj

duljine jedne od kateta i duljine njoj nasuprotnog odsjecka hipotenuze iznosi 30, a

53

zbroj duljine druge katete i duljine njoj nasuprotnog odsjecka hipotenuze iznosi 28.

Kolike su duljine kateta?

Sam Ferrari, prema rijecima Tartagliae, nije znao rijesiti zadatak 27. Taj je zadatak

gotovo identican zadatku 14 sa 71. strane Ars Magne, s tom razlikom da je u njemu zbroj

jedne katete i nasuprotnog odsjecka 31, a drugi zbroj je 29. Ferrari je pronasao jedno

rjesenje gdje su katete duljine 20 i 15, a hipotenuza 25, visina na hipotenuzu je duljine 12,

duljina veceg odsjecka je 16, a manjeg 9. No nije dao opce pravilo za rjesavanje takvog

problema. Tartaglia smatra sramotnom cinjenicu da je postavio takav problem kojemu

niti sam ne zna naci opcenito pravilo za rjesavanje.

Cardanova Ars Magna najbolja je do tada objavljena knjiga iz algebre. I u njoj se jos

uvijek neki algebarski identiteti dokazuju geometrijski, primjerice

(a− b)3 = a3 − b3 − 3ab(a− b),

te upotreba negativnih brojeva jos uvijek nije uobicajena. Vec je spomenuto kako je u

Ars Magnai opisana modificirana Tartagliaina metoda za rjesavanje kubnih jednadzbi te

Ferrarijeva metoda za rjesenje jednadzbe cetvrtog stupnja. U toj se knjizi prvi puta jav-

ljaju kompleksni brojevi. Naime, prilikom rjesavanja jednadzbe x3 = 15x + 4 za koju je

Cardano znao da ima rjesenje x = 4, u postupku se pojavio broj√−121 kojeg on tumaci

kao besmislen broju koji se javlja u postupku rjesavanja.

Vec je spomenuto kako je bolonjski matematicar Ludovico Ferrari (vidi Prilog 7.)

prvi dao rjesenja za jednadzbu cetvrtog stupnja, no prvi kojemu je taj problem povjeren

na razmatranje je Cardano. Naime, nakon neuspjesnog pokusaja da rijesi problem koji

mu je postavljen 1540. a koji se u konacnici svodi na jednadzbu

x4 + 6x2 + 36 = 60x,

Cardano se obraca svom studentu Ferrariju za pomoc. Na temelju poznatih rezultata

vezanih za rjesavanje kubnih jednadzbi Ferrari uspjesno rjesava ovaj problem. O samim

metodama rjesavanja kubnih i jednadzbi cetvrtog stupnja bit ce rijeci u sljedecoj tocki

54

poglavlja.

Premda su matematicari renesanse znali rjesavati algebarske jednadzbe do cetvrtog

stupnja, nisu bili svjesni veze izmedu broja rjesenja i stupnja jednadzbe. Tek ce na

prijelazu s 18. u 19. stoljece Gauss3 dokazati kako algebarska jednadzba stupnja n ima

najvise n razlicitih rjesenja (u C), sto je danas poznato kao osnovni teorem algebre.

Prvi matematicar koji daje primjer jednadzbe stupnja n s n rjesenja je Francois Viete

(1540.− 1603.). Viete je bio francuski pravnik i zastupnik u parlamentu, koji se matema-

tikom bavio u slobodno vrijeme. Godine 1591. objavljuje djelo In artem analyticem is-

agoge u kojem opisuje primjenu algebre na geometriju, obrnuto od do tada uobicajenog

antickog pristupa. S Vieteom algebra postaje opca znanost o algebarskim jednadzbama

oslonjena na simbolicke oznake. Unatoc svemu u njegovu se radu osjeti anticko-grcki utje-

caj, sto se ocituje u rjesavanju problema omjera umjesto direktnog rjesavanja jednadzbi,

te u zahtijevanju homogenosti dimenzija. Danas prilikom rjesavanja jednadzbe oblika

x3 + bx = c ne razmisljamo o njenoj geometrijskoj interpretaciji, no Viete smatra njeno

rjesenje besmislenim jer je x3 nesto sto ima tri dimenzije (volumen kocke stranice x) dok

x i c imaju dimenziju jedan, a nije moguce zbrajati ili usporedivati stvari razlicitih dimen-

zija. Viete stoga trazi rjesenja jednadzbi oblika A3 +B2A = B2Z, gdje je A nepoznanica,

a B i Z poznate velicine (Viete za oznacavanje nepoznanica koristi samoglasnike, a za

konstante suglasnike). U spomenutom djelu Viete opisuje od prije poznate ali i vlastite

metode rjesavanja jednadzbi do stupnja 4 i daje vezu izmedu rjesenja i koeficijenata jed-

nadzbe, danas poznatu kao Vieteove formule. Pojam”koeficijent” uveo je upravo Viete.

Bitno je naglasiti da se ni u Vieteovo doba nije ustalila upotreba negativnih brojeva.

Za danu kvadratnu jednadzbu

x2 + ax+ b = 0,

3Johann Karl Friedrich Gauss, 1777.− 1885.

55

kojoj su rjesenja x1 i x2 Viete uocava kako vrijedi:

x1x2 = b,

x1 + x2 = −a.

Slicno za danu kubnu jednadzbu

x3 + ax2 + bx+ c = 0,

cija su rjesenja x1, x2 i x3 uocava da je

x1x2x3 = −c,

x1x2 + x1x3 + x2x3 = b,

x1 + x2 + x3 = −a.

Godine 1593. nizozemski matematicar van Roomen postavlja problem koji je zahtije-

vao rjesavanje jednadzbe 45. stupnja, a nizozemski veleposlanik u Francuskoj komentira

da su francuski matematicari preslabi da ijedan od njih rijesi Roomenov problem. Fran-

cuski kralj Henrik IV. daje problem Vieteu, koji uocava kako je u pozadini problema

trigonometrijska relacija te ga uspjesno rjesava u svega nekoliko minuta.

Jos jedan matematicar ovog razdoblja koji je osobito znacajan za razvoj teorije al-

gebarskih jednadzbi je Rafael Bombelli (1526. − 1572.). Bombelli je prva osoba koja

daje detaljnu diskusiju kompleksnih brojeva, koji se, kako je vec spomenuto, prvi puta

javljaju u Cardanovoj Ars Magnai. Nije poznato kako se Bombelli susreo s najznacajnijim

matematickim djelima svoga doba, no sigurno je da je 1540-ih godina pratio sukob

Tartaglia-Cardano, te da je imao priliku prouciti Cardanova djela. Kako je po zanimanju

bio arhitekt, za vrijeme prekida jednog projekta na kojem je radio, odlucuje napisati

knjigu iz algebre. Ipak, spomenuti projekt se ubrzo nastavlja, a Bombelli nastavlja svoju

uspjesnu arhitektonsku karijeru prije zavrsetka knjige. U toj je knjizi Bombelli htio dati

opci i lakse razumljiv prikaz algebre.

56

Na jednom putovanju u Rim susrece profesora matematike Pezzija koji mu daje Dio-

fantovu Arithmeticau. Bombelli ce nakon toga revidirati zapocetu knjigu prema Diofantu.

Godine 1572. objavljene su prve tri knjige njegove Algebre, a druge dvije su ostale ne-

dovrsene. Ukupno 143 od 272 zadatka, koje Bombelli daje u trecoj knjizi, preuzeta su od

Diofanta. Bombelli ne navodi koji su od zadataka njegovi, a koji su preuzeti, ali pripisuje

zasluge Diofantu iz cije je Arithmeticae preuzeo dio teksta. Bombellijeva Algebra daje

potpun prikaz tada poznate algebre, ukljucujuci pravila aritmetike s pozitivnim i ne-

gativnim brojevima, dokaz da je problem trisekcije kuta4 ekvivalentan rjesavanju kubne

jednadzbe, te detaljnu diskusiju kompleksnih brojeva. Imaginarne brojeve zapisuje kao

kvadratne korijene negativnih brojeva te daje pravila za njihovo zbrajanje, oduzimanje i

mnozenje. Dokazao je i da koristenjem kompleksnih brojeva Tartaglia-Cardanova metoda

daje tocna rjesenja kubne jednadzbe, te da ireducibilni slucaj kubne jednadzbe daje tri

realna rjesenja.

6.1 Rjesavanje algebarske jednadzbe treceg i cetvrtog

stupnja

Prethodno je opisano tko je i kada dosao do rjesenja kubne jednadzbe, ono sto slijedi je

opis tog rjesenja, Cardanovim postupkom u modernoj notaciji.

Opci oblik jednadzbe treceg stupnja glasi:

x3 + ax2 + bx+ c = 0.

Bez smanjenja opcenitosti mozemo pretpostaviti da je ona normirana. Supstitucijom

x = y − a

3

ona poprima oblik

y3 + py + q = 0,

4Jedan od tri klasicna problema. Druga dva su problem udvostrucenja kocke i kvadrature kruga.

57

gdje je

p = b− 1

3a2, q =

2

27a3 − 1

3ab+ c.

Jednadzba u kojoj nema kvadratnog clana zove se kanonski oblik jednadzbe treceg

stupnja, te se lako uocava kako se svaka jednadzba treceg stupnja da svesti na kanonski

oblik. U skladu s tim dovoljno je znati postupak rjesavanje kubne jednadzbe u kanonskom

obliku, koji ce biti opisan u nastavku. Neka je zadana jednadzba:

x3 + px+ q = 0, q 6= 0. (6.1)

Rjesenje jednadzbe 6.1 trazimo u obliku

x = u+ v (6.2)

gdje su u i v, za sada jos neodredeni brojevi. Kako se svaki broj moze na beskonacno

nacina predociti u obliku zbroja dvaju brojeva, na rastav 6.2 moci cemo postaviti jos

jedan uvjet. Ako je 6.2 korijen jednadzbe 6.1, onda je on mora zadovoljavati, tj. mora

biti:

(u+ v)3 + p(u+ v) + q = 0,

odnosno:

(3uv + p)(u+ v) + (u3 + v3 + q) = 0.

Odaberimo sada onaj od rastava 6.2 za koji vrijedi:

3uv + p = 0.

Ako to uvrstimo u prethodnu jednadzbu, dobivamo:

u3 + v3 = −q.

Problem rjesavanja jednadzbe 6.1 svodi se, dakle, na rjesavanje sustava

u3 + v3 = −q

uv = −p3, (6.3)

58

jer ako su u i v rjesenja od 6.3, onda je, ocito, u+ v rjesenje od 6.1. Umjesto sustava 6.3

promotrimo sustav

u3 + v3 = −q

u3v3 = −�p

3

�3

. (6.4)

Sustavi 6.3 i 6.4 nisu ekvivalentni. Svako rjesenje sustava 6.3 jest rjesenje sustava

6.4, ali svako rjesenje sustava 6.4 ne mora biti rjesenje sustava 6.3. Dakle, sustav 6.3

mozemo rijesiti tako da rijesimo 6.4 i uzmemo rjesenja od 6.4 koja su ujedno rjesenja od

6.3, drugim rijecima, rijesimo 6.4 i uzmemo ona rjesenja od 6.4 koja zadovoljavaju drugu

jednadzbu u 6.3.

Iz 6.4 prema Vieteovim formulama, zakljucujemo da su u3 i v3 korijeni jednadzbe

t2 + qt−�p

3

�3

= 0. (6.5)

Odatle je

t1,2 = −q2±Ê�q

2

�2

+�p

3

�3

.

Dakle,

u =3

s−q

2+

�q2

�2

+�p

3

�3

,

v =3

s−q

2−Ê�q

2

�2

+�p

3

�3

.

Rjesenje jednadzbe 6.1 moze se, dakle, predociti u obliku:

x =3

s−q

2+

�q2

�2

+�p

3

�3

+3

s−q

2−Ê�q

2

�2

+�p

3

�3

. (6.6)

Bitno je naglasiti kako je u samo jedan od tri kompleksna korijena od u3 te da je

Cardano znao odrediti samo realni.

Cardanova formula je nespretna za racunanje, pa cemo postupak rjesavanja jednadzbe

treceg reda malo modificirati.

59

Neka je

u1 =3

s−q

2+

�q2

�2

+�p

3

�3

bilo koja vrijednost korijena i

v1 = − p

3u1

.

Ako je ω = −12− i√

32

jedan od trecih korijena jedinice5, onda je

ω2 = −1

2+i√

3

2, ω3 = 1, ω4 = ω, ω5 = ω2, . . . (6.7)

Tvrdimo da se rjesenja jednadzbe 6.1 mogu napisat na sljedeci nacin:

x1 = u1 + v1, x2 = u1ω + v1ω2, x3 = u1ω

2 + v1ω. (6.8)

Da je u1+v1 korijen te jednadzbe ocito je iz postupka pomocu kojega smo izveli Cardanovu

formulu. Treba provjeriti da su tako definirani x2 i x3 takoder korijeni te jednadzbe.

Provjerit cemo tako sto x2 = u1ω + v1ω2 uvrstavamo u jednadzbu 6.1, cime dobivamo

(u1ω + v1ω2)3 + p(u1ω + v1ω

2) + q = u13 + v1

3 + ω(u1 + v1ω)(3u1v1 + p) + q = 0, (6.9)

jer u1 i v1 zadovoljavaju sustav 3. Dakle i x2 je rjesenje jednadzbe 6.1. Na analogan nacin

se pokaze da je i x3 njeno rjesenje. Uvrstimo li u 6.8 ω = −12− i√

32

, korijene mozemo

napisati u obliku:

x1 = u1 + v1

x2 = −1

2(u1 + v1) +

i√

3

2(u1 − v1) (6.10)

x3 = −1

2(u1 + v1)− i

√3

2(u1 − v1)

U Cardanovoj formuli pojavljuje se izraz ∆ =�

q2

�2+�

p3

�3, koji ima istu ulogu kao i

diskriminanta kod kvadratne jednadzbe, pa se zato ∆ i zove diskriminanta jednadzbe 6.1,

a ovisno o njegovu predznaku moguce su tri situacije za broj razlicitih realnih rjesenja

kubne jednadzbe. O tome govori sljedeci teorem.

5Prema Moivreovoj formuli za korjenovanje : wk = n

È|z|�

cos ϕ+2kπn +i sin ϕ+2kπ

n

�, k = 0, 1, . . . , n−1.

60

Teorem 6.1 Neka je ∆ diskriminanta jednadzbe treceg stupnja s realnim koeficijentima.

Tada vrijedi:

1) Ako je ∆ > 0, onda jednadzba 6.1 ima jedan realni i dva konjugirano kompleksna

korijena.

2) Ako je ∆ = 0, onda su svi korijeni jednadzbe 6.1 realni i bar jedan od njih je visestruk.

3) Ako je ∆ < 0, onda su svi korijeni jednadzbe 6.1 realni i razliciti.

Slika 14. Ovisnost broja realnih rjesenja kubne jednadzbe o predznaku ∆.

Dokaz:

1) Ako je ∆ > 0. U tom su slucaju korijeni t1 i t2 jednadzbe 6.5 realni i razliciti, pa je

bar jedan od njih razlicit od nule. Neka je to t1. Neka je u1 = 3√t1 ona vrijednost

treceg korijena koja je realna. Tada je v1 realni broj jer je 3u1v1 + p = 0. Kako je

t1 6= t2, to je i u13 6= v1

3, pa je i u1 6= v1. Iz formule 6.10 slijedi da je korijen x1

realan, a x2 i x3 su konjugirano kompleksni.

2) Ako je ∆ = 0 i q 6= 0, onda je t1 = t2 = − q26= 0. Neka je u1 = 3

È− q

2realna vrijednost

treceg korijena. Kako je u1v1 = p3

realni broj, to je i v1 = 3È− q

2, tj. u1 = v1 6= 0.

Prema 6.10 zakljucujemo da su korijeni: x1 = 2u1 6= 0, x2 = x3 = −u1, tj. jednadzba

6.1 ima tri realna korijena i jedan od njih je dvostruk.

Ako je pak ∆ = 0 i q = 0, Tada je i p = 0. U tom slucaju jednadzba 6.1 ima oblik

x3 = 0, pa je x1 = x2 = x3 = 0.

61

3) Ako je ∆ < 0, onda su brojevi t1 = − q2

+√

∆, t2 = − q2−√

∆ konjugirano kompleksni,

pa je stoga

|t1| = |t2| 6= 0, (6.11)

t1 6= t2. (6.12)

Neka su u1 i v1 brojevi takvi da je

u13 = t1, u1v1 = −p

3, v1

3 = t2. (6.13)

Iz 6.11 i 6.13 slijedi da je |u1|3 = |v1|3 6= 0 i

|u1| = |v1| 6= 0. (6.14)

Prema 6.12 slijedi:

u1 6= v1. (6.15)

Iz 6.13 i 6.14 slijedi:

− p

3|u1|2= 1, (6.16)

a na osnovi 6.13 i 6.14 zakljucujemo:

v1 =p

3u1

= − p

3u1 · u1

u1 = − p

3|u1|2= u1. (6.17)

Iz 6.15 i 6.17 slijedi da su u1 i v1 kompleksno konjugirani brojevi, pa iz 6.10 za-

kljucujemo da su sva tri korijena realna. Preostaje jos pokazati da su oni i razliciti.

Iz 6.10 slijedi da je x2 6= x3. Pretpostavimo da je x1 = x2, tada iz 6.8 slijedi:

u1 + v1 = u1ω + v1ω2, odnosno u1(1− ω) = v1(ω2 − 1),

stoga je u10 = v1ω2. Odatle slijedi da je t1 = t2 i ∆ = 0, a to je proturjecno s

uvjetom da je ∆ < 0. Na isti nacin se dokazuje da je x1 6= x3. �

U slucaju 3) vidimo da su korijeni, iako je izraz pod trecim korijenom kompleksan,

ipak realni i razliciti. Taj se slucaj zove casus ireducibilis, tj. ireducibilni slucaj.

62

U prethodnoj tocki poglavlja je spomenuto kako je za rjesenje jednadzbe cetvrtog

stupnja zasluzan Ludovico Ferrari. U nastavku ce biti opisana njegova metoda u modernoj

notaciji.

Postupak je jednostavan ako polazna jednadzba nema kubnog clana: iz

x4 + bx2 + cx+ d = 0 (6.18)

redom slijedi

x4 + 2bx2 + b2 = bx2 − cx+ b2 − d

(x2 + b)2 = bx2 − cx+ b2 − d

pa za svaki t vrijedi

(x2 + b+ t)2 = bx2 − cx+ b2 − d+ 2t(x2 + b) + t2,

tj.

(x2 + b+ t)2 = (b+ 2t)x2 − cx+ (b2 − d+ 2bt+ t2). (6.19)

Odaberemo t tako da je desna strana potpun kvadrat, tj. tako da joj diskriminanta bude

nula:

(−c)2 − 4(b+ 2t)(b2 − d+ 2bt+ t2) = 0,

−8t3 − 20bt2 + (8d− 16b2)t+ (c2 − 4b3 + 4bd) = 0.

Jedno takvo rjesenje t uvrstimo u 6.19 i dobijemo kvadratnu jednadzbu za x.

U opcem slucaju jednadzbu

x4 + ax3 + bx2 + cx+ d = 0 (6.20)

zapisemo u obliku

x4 + ax3 = −bx2 − cx− d

i dodamo a2x2

4na obje strane, iz cega dobivamo�

x2 +ax

2

�2

=

�a2

4− b

�x2 − cx− d.

63

Dodavanje izraza 2t(x2 + ax2

) + t2

4daje�

x2 +ax

2+t

2

�2

=

�a2

4− b+ 2t

�x2 + (at− c)x− d+

t2

4. (6.21)

Zatim biramo t tako da desna strana bude potpun kvadrat, tj. da joj je diskriminanta

nula:

(at− c)2 − 4

�a2

4− b+ 2t

��− d+

t2

4

�= 0,

to daje kubnu jednadzbu

t3 − bt2 + (ac− 4d)t+ (4bd− a2d− c2) = 0.

Jedan korijen t uvrstimo u jednadzbu 6.21, korjenujemo i dobivamo kvadratnu jednadzbu

za x.

64

Poglavlje 7

Nerjesivost opce algebarske

jednadzbe u radikalima

U prethodnom poglavlju je opisano kako su talijanski matematicari u 16. stoljecu dosli do

formula za rjesavanje algebarskih jednadzbi treceg i cetvrtog stupnja. Stoga se samo po

sebi nametalo pitanje: Postoje li formule pomocu kojih bi mogli naci rjesenja algebarskih

jednadzbi stupnja veceg od 4 preko koeficijenata tih jednadzbi i konacno mnogo primjena

cetiri osnovne racunske operacije i korjenovanja? Odnosno, pitamo se imaju li jednadzbe

stupnja 5 pa na dalje rjesenje u radikalima.

Upravo ce potraga za odgovorom na ovo pitanje otvoriti put razvoju algebre kao

apstraktne matematicke discipline, koji ce zapoceti u drugoj polovini 18. stoljeca.

Pitanje rjesivosti algebarske jednadzbe stupnja veceg od 4 osobito ce utjecati na razvoj

teorije grupa. Stoga, u svrhu lakseg razumijevanja ostatka ovog poglavlja, ponovimo

najprije osnovne pojmove vezano uz grupe.

Definicija 7.1 Grupa se sastoji od nepraznog skupa G i binarne operacije1 ∗ definirane

na njemu, s tim da moraju biti ispunjeni slijedeci uvjeti:

1) Asocijativnost, sto znaci da kod uzastopnog ponavljanja iste operacije nisu potrebne

1Funkcija koja dvama elementima iz G pridruzuje neki objekt istog skupa.

65

zagrade, tj.

(a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c),

za sve a, b, c ∈ G

2) Postojanje neutralnog elementa, znaci da u G postoji neki element e sa svojstvom

da binarna operacija primijenjena na njega i bilo koji drugi element a ∈ G ne

mijenja taj element, tj.

a ∗ e = e ∗ a = a.

3) Invertibilnost, znaci da za svaki a ∈ G mozemo naci a−1 ∈ G tako da binarna

operacija njima dvama pridruzuje neutralni element, tj.

a ∗ a−1 = a−1 ∗ a = e.

Prve poznate grupe bile su grupe permutacija2, a razvile su se upravo kroz trazenje

rjesenja algebarskih jednadzbi. Njihovi su elementi permutacije nekog skupa (ne nuzno

sve), a kao operacija se uzima kompozicija permutacija, s tim da vrijede svojstva:

1) Kompozicija dvije permutacije iz grupe mora takoder biti u grupi.

2) (f ◦ g) ◦ h = f ◦ (g ◦ h). (Asocijativnost)

3) Grupe permutacija moraju sadrzavati identitetu, funkciju i koja predstavlja neutralni

element za kompoziciju: i ◦ f = f ◦ i = f . (Postojanje neutralnog elementa)

4) Za svaku permutaciju u grupi postoji njen inverz: f◦f−1 = f−1◦f = i. (Invertibilnost)

Vratimo se sada na pitanje rjesivosti algebarskih jednadzbi stupnja veceg od 4 u

radikalima. Prvi izazov, logicno, bio je pronaci rjesenje algebarske jednadzbe petog stup-

nja

x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx+ e = 0

2Permutacija nekog skupa je bijekcija s tog skupa na sebe. Mozemo ju shvatiti kao promjenu redoslijeda

navodenja elemenata tog skupa.

66

u radikalima.

Naime, na prijelazu s 18. u 19. stoljece nije se razmatrala mogucnost da takvo rjesenje

eventualno ne postoji, nego se smatralo da ono nije nadeno.

Jedan od prvih matematicara kod kojega je problem rjesivosti algebarske jednadzbe

petog stupnja u radikalima pobudio interes je svicarski matematicar Leonhard Euler

(1707.−1783.). S problemom se suocava prvi puta 1732. za vrijeme svog boravka u St. Pe-

tersburgu, no tadasnja razmatranja nisu urodila plodom. Trideset godina poslije u Berlinu

ponovno se bavi ovom tematikom, te u svom djelu O rjesenju jednadzbe proizvoljnog stup-

nja iznosi pretpostavku da rjesenje jednadzbe n-tog stupnja ima oblik

A+B n√α + C( n

√α)2 +D( n

√α)3 + · · ·

gdje je α rjesenje neke pomocne jednadzbe stupnja n−1, i A,B,C, . . . su algebarski izrazi

koji povezuju koeficijente polazne jednadzbe. Euler staje na pitanju: Je li takvu pomocnu

jednadzbu stupnja n−1 uvijek moguce pronaci? Premda je Eulerov rad na ovom podrucju

prilicno nedorecen, postoje neke naznake da je utjecao na Abela.

Prvi matematicar koji je ostvario znacajniji napredak po pitanju rjesivosti jednadzbe

petog stupnja u radikalima je Joseph-Louis Lagrange (1736.− 1813.). On je sukladno

tada ustaljenom misljenju vjerovao kako to rjesenje postoji, te se nadao da ce ga naci.

Njegov interes za algebru bio je osobito intenzivan za vrijeme njegova boravka u Berlinu.

Godine 1770. (prema nekim izvorima 1771.) objavljuje clanak pod naslovom Razmisljanja

na temu algebarskih rjesenja jednadzbi. U clanku isprva analizira razne metode, kao

sto su Vieteova, Descartesova, Eulerova i druge, za rjesavanje kubnih i jednadzbi cetvrtog

stupnja, te pokusava uvidjeti zasto je tim jednadzbama moguce pronaci rjesenje, nadajuci

se da ce tako otkriti kako rijesiti jednadzbe viseg stupnja. Clanak je osobito bitan jer

se u njemu prvi puta rjesenja jednadzbe razmatra kao apstraktne vrijednosti, a ne kao

konkretne brojeve.

Lagrange se u tom clanku bavio i permutacijama korijena algebarskih jednadzbi, te

uocava da ako su x1, x2, x3 korijeni neke kubne jednadzbe te 1, ω, ω2 kompleksni kubni

korijeni broja 1, onda za sest mogucih permutacija od x1, x2, x3 izraz x1 + ωx2 + ω2x3

67

poprima samo dvije razlicite vrijednosti:

t1 = x1 + ωx2 + ω2x3, t2 = x1 + ω2x2 + ωx3, t3 = ω2x1 + ωx2 + x3,

t4 = ωx1 + x2 + ω2x3, t5 = ω2x1 + x2 + ωx3, t6 = ωx1 + ω2x2 + x3.

Uzimajuci u obzir da je ω kompleksni kubni korijen od jedan, lako ga eliminiramo ispred

x1. Uzmimo za primjer t3

(ω2x1 + ωx2 + x3) = ω2(x1 + ω2x2 + ωx3) = ω2t2.

Istim postupkom dobili bi smo da je t4 = ωt2, t5 = ω2t1 i t6 = ωt1.

Formiramo sada jednadzbu sestog stupnja kojoj su ovi t-ovi rjesenja:

(x− t1)(x− t2)(x− ω2t2)(x− ωt2)(x− ω2t1)(x− ωt1) = 0. (7.1)

Pojednostavljeno:

(x3 − t13)(x3 − t23) = 0.

Dobili smo tako kvadratnu jednadzbu, te time pokazali da za sest mogucih permutacija

korijena kubne jednadzbe, izraz x1 + ωx2 + ω2x3 poprima samo vrijednosti t1 ili t2. Jed-

nadzbu 7.1 Lagrange naziva rezolventna jednadzba.

Isti postupak Lagrange je primijenio i na jednadzbu cetvrtog stupnja te je dobio re-

zolventnu jednadzbu 24. stupnja. Isto kao sto se u prethodnom slucaju jednadzba sestog

stupnja svela na kvadratnu jednadzbu, u ovom se slucaju jednadzba 24. stupnja svede

na jednadzbu sestog stupnja. To se mozda cini nezgodnim, no radi se zapravo o kubnoj

jednadzbi po x2, sto se lako rijesi. Nadalje, uocio je da ce rezolventna jednadzba za jed-

nadzbu petog stupnja biti stupnja 120, te da se ona moze svesti na jednadzbu 24. stupnja.

No, tu je stao.

Lagrange je u svome radu otkrio i neka svojstva grupa i podgrupa, a osobito je znacajan

Lagrangeov teorem koji u terminima moderne algebre glasi:

Teorem 7.1 U konacnoj grupi G broj elemenata svake njene podgrupe dijeli broj eleme-

nata od G.

68

Lagrangeova formulacija bila je nesto drugacija.

Pretpostavimo da imamo polinom sa n nepoznanica, znamo da postoji n! permutacija

tih nepoznanica. Postavlja se pitanje: Koliko razlicitih vrijednosti moze poprimiti taj

polinom? Lagrange u svome teoremu tvrdi da ce to biti broj koji dijeli n! .

Promotrimo prethodni primjer gdje su x1, x2, x3 bile nepoznanice u izrazu x1 + ωx2 +

ω2x3. Znamo da postoji sest njihovih permutacija, te smo pokazali da izraz poprima samo

dvije razlicite vrijednosti. Broj razlicitih vrijednosti prema ovom teoremu moze biti i 3 i

6, no nikada nece biti 4 ili 5.

Bitno je naglasiti da nije svaki djelitelj od n! moguci broj razlicitih vrijednosti tog

polinoma. Uzmimo za primjer da je n = 5, tada je n! = 120. Kako 4 dijeli 120 mogli

bismo pretpostaviti da postoji polinom sa 5 nepoznanica koji poprima cetiri razlicite

vrijednosti, no to nije tocno. Ovu ce cinjenicu otkriti Cauchy3.

Lagrangeov teorem temelj je teorije grupa, teorije koja u njegovo vrijeme nije ni po-

stojala.

Neovisno o Lagrangeu, no gotovo istovremeno, slicnim se razmatranjima bavio i fran-

cuski matematicar Alexandre-Theophile Vandermonde (1735. − 1796.). Clanak na istu

temu objavio je cak nekoliko mjeseci prije Lagrangea, no tiskan je tek 1774. kada je La-

grangeov rad bio siroko poznat, te tako nije imao osobitog odjeka medu matematicarima.

Ne postoje nikakve naznake da je Lagrange bio upoznat s Vandermondeovim radom,

stovise, gotovo je sigurno da nije.

Talijanski matematicar i medicinar Paolo Ruffini (vidi Prilog 8.) prvi je tvrdio da

se opca jednadzba petog stupnja ne moze rijesiti u radikalima. Tu ce tvrdnju iznijeti u

knjizi Teorie generale delle equazioni, koju objavljuje 1799.

Svoju je tvrdnju pokusao dokazati koristeci teoriju permutacija, pri cemu je morao

dokazati niz teorema koji su zapravo teoremi o grupama permutacija. Ruffini je u svojoj

teoriji permutacija uveo mnoge moderne pojmove teorije grupa, kao sto je red elemenata4

tj. permutacije i brojne druge.

3Augustin Louis Cauchy, 1789.− 1857.4To je broj koliko puta permutaciju treba komponirati sa samom sobom da bi se dobila identiteta.

69

Ono sto mi danas zovemo permutacija, Ruffini zove permutazione. Pri tome ekspli-

citno koristi svojstvo zatvorenosti grupe. Permutazione Ruffini dijeli u dvije vrste: per-

mutazione semplice (u modernoj terminologiji: ciklicke permutacije) i permutazione com-

posta. Grupa permutacija je ciklicka ako se moze naci permutacija f u njoj, tako da su sve

ostale permutacije nastale kompozicijom permutacije f sa samom sobom odredeni broj

puta.

Prvi Ruffinijev dokaz nerjesivosti algebarske jednadzbe petog stupnja u radikalima

imao je samo jednu rupu. No, suprotno onome sto bi se ocekivalo od tako znacajnog

rezultata, njegov dokaz nije privukao nikakvo zanimanje matematicke javnosti. Kako je

sam vjerovao da je dokazao nesto znacajno bio je prilicno razocaran nedostatkom reakcije.

Godine 1801. salje kopiju svoje knjige Lagrangeu. Kako odgovor nije dobio, salje jos jednu

kopiju te moli Lagrangea da ga upozori u koliko se ne radi o novim rezultatima. Nakon

sto niti tada nije dobio odgovor, 1802. salje kopiju svoje knjige i treci put. Prema svemu

sudeci niti tada nije dobio odgovor. Jedna od rijetkih osoba koja je prihvatila Ruffinijev

dokaz je profesor iz Pise, Pietro Paoli, no u obzir se moraju uzeti patriotski motivi.

Godine 1803. Ruffini ce objaviti novi, i kako sam smatra, razumljiviji dokaz. Na

njegovu zalost i ovaj je dokaz dozivio slicnu sudbinu kao i prvi. No, ustrajan u svome

radu Ruffini objavljuje jos dva dokaza 1808. i 1813.

Cini se da je najveci Ruffinijev problem bio upravo nedostatak reakcije, dakle dokaz

nije niti prihvacen niti osporen. Za provjeru tocnosti rezultata Ruffini je zamolio pariski

znanstveni institut te je za to imenovana komisija koju su cinili Lagrange, Legendre i

Lacroix. Komisija je zakljucila da se ne radi o nicem bitnom. Za misljenje je zamoljeno

i Royal Society, koje je dalo nesto ljepsi izvjestaj, u kojem se ne slazu sa svim detaljima,

no teorem se smatra dokazanim. Ruffini je gotovo do svoje smrti 1822. bezuspjesno trazio

priznanje za svoj rad.

Jedina osoba koja je priznala vaznost i tocnost njegovih rezultata je Cauchy. On 1821.

salje Ruffiniju pismo u kojemu iznosi kako je prema njegovom misljenju tvrdnja da opca

algebarska jednadzba petog stupnja nema rjesenje u radikalima dokazana. Sam Cauchy je

u razdoblju od 1813. do 1815. napisao djelo o grupama permutacija u kojemu je prosirio

70

neke Ruffinijeve rezultate.

Norveski matematicar Niels Henrik Abel (vidi Prilog 9.) daje prvi priznati dokaz

o nerjesivosti algebarskih jednadzbi stupnja pet u radikalima. U svome dokazu koristi

postojece ideje o permutacijama rjesenja jednadzbi.

Pitanjem rjesivosti opce jednadzbe petog stupnja u radikalima pocinje se baviti oko

1820. godine. U svojoj 19. godini (1821.) objavljuje prve rezultate o jednadzbama petog

stupnja, u kojima je naizgled dokazao rjesivost. Taj je rad predao danskom matematicaru

Ferdinandu Degenu, s ciljem da ga objavi Kraljevsko drustvo u Copenhagenu. Degen je

zamolio Abela za konkretan primjer, te pokusavsi mu ga dati, Abel uvida gresku u radu.

Godine 1824. Abel se vraca radu na jednadzbama petog stupnja i dokazuje da se ne

mogu rijesiti u radikalima. Potaknut zeljom da putuje u Njemacku i Francusku kako bi

upoznao tamosnje velike matematicare, rad ce objaviti o vlastitom trosku i na francuskom,

kako bi imao impresivan rezultat za prezentiranje. Naslov rada bio je Memoire sur les

equations algebriques ou on demontre l’impossibilite de la resolution de l’equation generale

du cinquieme degre, a kako bi smanjio troskove tiskanja Abel ga je sazeo na sest strana.

Cini se kako je u vrijeme pisanja ovog rada Abel bio upoznat sa Ruffinijevim radom, te

da je proucavao Cauchyevo djelo iz 1815., jer se u njemu poziva na te radove.

Kada je napokon otputovao u Berlin, upoznaje Augusta Crellea, matematickog ama-

tera i osnivaca jednog od najznamenitijih matematickih casopisa: Journal fur die reine

und angewandte Mathematik, poznat kao Crelle’s Journal. U tom ce casopisu 1827. Abel

objaviti jasniju verziju svog dokaza o nerjesivosti jednadzbe petog stupnja. Primjerak

svoga rada poslao je i tada vrlo uvazenom matematicaru, Gaussu. Kasnije saznaje da

Gauss nije bio zadovoljan dobivanjem njegova rada o jednadzbama petog stupnja, te

odustaje od prvotne namjere da ga posjeti u Gottingenu. Nije poznato zasto je Gauss

imao takav stav prema Abelovu radu jer je sigurno da ga nije ni procitao — clanak je

naden neotvoren nakon njegove smrti. Moguci razlozi su da je sam to dokazao ili pak da

je takav dokaz smatrao nebitnim, sto je vjerojatnije.

Godine 1827. Abel se vraca u Norvesku te se oko 1828. pocinje baviti pitanjem koje ce

nekoliko godina kasnije rijesiti Galois: Koje algebarske jednadzbe su rjesive u radikalima?

71

Abel uskoro nakon toga obolijeva i umire. Nakon njegove smrti nadeni su jos neki

rezultati o algebarskim jednadzbama, medu inima i teorem u pismu Crelleu iz jeseni

1828.:

Ako ireducibilna5 jednadzba treceg stupnja ima takvu vezu medu tri svoja korijena da se

jedan od njih moze izraziti kao racionalna funkcija druga dva, onda je jednadzba rjesiva

u radikalima.

Tip dokaza koji Abel koristi da bi pokazao kako opca algebarska jednadzba petog

stupnja nema rjesenja je tzv. reductio ad absurdum. Dakle, prvo pretpostavlja da opca

algebarska jednadzba petog stupnja, koju zapisuje

x5 − ax4 + bx3 − cx2 + dx− e = 0,

ima algebarska rjesenja, te da su sva rjesenja x izrazena preko koeficijenata a, b, c, d, e i

pomocu konacno mnogo primjena cetiri osnovne racunske operacije i vadenja korijena.

Abel zatim daje izraz za opce rjesenje jednadzbe, nalik na Eulerovo. Koristi zatim i tvrd-

nju da se opcenito rjesenje mora moci zapisati kao polinom po svim rjesenjima, zajedno s

petim korijenom iz jedinice. Koristi takoder i cinjenicu da polinom s pet razlicitih nepoz-

nanica moze poprimiti ili dvije ili pet razlicitih vrijednosti, ali ne tri i cetiri. Primijenivsi

te cinjenice na svoje opce rjesenje jednadzbe dolazi do kontradikcije.

Zanimljivo je da Abelovim dokazom ova tema ne prestaje biti aktualna. Devet godina

nakon objave Abelova dokaza, matematicar G. B. Jerrard u Dublinu prezentira rad u

kojem tvrdi da je pronasao rjesenje opce jednadzbe petog stupnja. Pri toj ce tvrdnji

ostati punih dvadeset godina.

Premda opca algebarska jednadzba petog stupnja nema rjesenja u radikalima, znamo

da postoje jednadzbe petog stupnja koje imaju takvo rjesenje. Jedna od takvih jednadzbi

je x5 − 1 = 0. Stoga se namece pitanje: Koje algebarske jednadzbe imaju rjesenje u

radikalima?

5Ireducibilna jednadzba je jednadzba dobivena izjednacavanjem ireducibilnog polinoma s nulom. Ire-

ducibilni polinom je onaj koji se (nad danim poljem) ne moze faktorizirati na netrivijalne faktore, prim-

jerice x2 + 1 je ireducibilan nad R, dok je x2 − 1 = (x− 1)(x + 1) reducibilan.

72

Vec je spomenuto kako se Abel pred kraj zivota poceo baviti ovim pitanjem, a pot-

puni odgovor na njega dati ce veliki francuski matematicar Evariste Galois (vidi Prilog

10.). Okosnica Galoisova rada na podrucju teorije algebarskih jednadzbi bila je upravo

potraga za odgovorom na pitanje: Kako za zadanu algebarsku jednadzbu, bilo kojeg stup-

nja, utvrditi ima li rjesenje u radikalima?

Postupkom kojim je dosao do odgovora na ovo pitanje pozabaviti cemo se nesto kasnije.

Zanimanje za pitanje rjesivosti algebarskih jednadzbi u radikalima kod Galoisa se

pocinje javljati nakon neuspjesnog pokusaja upisa, na tada za matematiku, najugledniju

francusku skolu Ecole Polytechnique, godine 1828. Prvi rad na tu temu predao je na

recenziju Akademiji znanosti u svibnju 1829. godine. Kao recenzent imenovan je Cauchy

koji je u to vrijeme bio clan Akademije znanosti i profesor na Ecole Polytechnique. Cauchy

je taj rad zagubio. U veljaci 1830. predaje jos jedan clanak u nadi da ce za njega dobiti

nagradu Akademije znanosti. Recenzent ovog clanka bio je Fourier6, koji je umro u svibnju

iste godine. I ovom clanku je nakon toga izgubljen svaki trag.

Potaknut od Poissona7 17. sijecnja 1831. Akademiji predaje trecu verziju rada pod

naslovom Memoire sur les conditions de resolubilite des equationspar radicaus. Nakon sest

mjeseci, za vrijeme boravka u zatvoru, saznaje da je i njegov posljednji clanak odbijen, s

argumentom da je stil izlaganja nejasan i nedovoljno razraden. Ipak, Poissonovo izvjesce

potaknuti ce Galoisa da se za vrijeme boravka u zatvoru nastavi baviti matematikom, te

da objavi potpuni prikaz svojih rezultata. Tako nastaje djelo Des equations primitives

qui sont solubles par radicaux, kojim Galois nastoji dati kriterij koji bi omogucio da se iz

koeficijenata jednadzbe utvrdi je li ona rjesiva u radikalima.

Poznato je kako ce Galois 1832. biti izazvan na dvoboj (vidi Prilog 10.), te da je noc

prije tog dvoboja napisao dva pisma, od kojih je jedno njegov znameniti”

matematicki

testament”. U tom je pismu Galois stvorio temelje za razvoj teorije grupa, premda nju

nigdje ne definira. Te je noci Galois napisao pregled svih svojih rezultata. Od posljed-

6Joseph Fourier, 1768.–1830.7Simeon-Denis Poisson, 1781.–1840.

73

ica dvoboja Galois umire, a svi njegovi papiri su, prema njegovoj zelji, poslani Gaussu

i drugim znacajnim matematicarima tog vremena. Godine 1843. spisi dolaze do Liou-

villea8 koji ce nakon nekoliko mjeseci proucavanja uvidjeti njihovu vaznost. Liouville

objavljuje Galoisove rezultate 1846. u Journal de Mathematiques Pures et Appliquees.

Prvi potpuni i jasan prikaz Galoisovih rezultata dao je Camille Jordan (1838.− 1922.) u

svojoj knjizi Traite des substitutions et des equations algebraiques (1870.).

Galois je vjerojatno bio prvi matematicar koji je stvarno shvatio da je pitanje rjesivosti

algebarske jednadzbe u radikalima neposredno vezano za strukturu grupe koja se danas

zove Galoisovom grupom jednadzbe. Galoisova grupa jednadzbe je grupa permutacija

njezinih rjesenja. Ponekad su rjesenja algebarske jednadzbe povezana dodatnim alge-

barskim jednadzbama. Galois preuzima Lagrangeovu ideju promatranja takvih dodatnih

jednadzbi, koje su ispunjene neovisno o tome kako permutiramo rjesenja polazne jed-

nadzbe.

Definicija 7.2 Za dani polinom stupnja n s koeficijentima iz polja9 F postoji jedinstvena

grupa G permutacija n-clanog skupa takva da je svaka racionalna funkcija koja postize

vrijednosti u F invarijantna s obzirom na sve elemente od G i obrnuto, svaka racionalna

funkcija korijena jednadzbe koja je invarijantna obzirom na sve permutacije iz G postize

vrijednosti u F. Ta grupa G zove se Galoisovom grupom promatranog polinoma

(obzirom na polje koeficijenata F).

Obicno se kao polje F uzima polje racionalnih brojeva i pod algebarskim jednadzbama se

obicno podrazumijevaju polinomijalne jednadzbe s koeficijentima iz polja Q.

Ilustrirajmo navedeno na primjeru kvadratne jednadzbe:

x2 − 4x+ 1 = 0,

8Joseph Liouville, 1809.–1882..9Polje je skup s dvije na njemu definirane binarne operacije + i · takve da je obzirom na + komutativna

grupa i da je F bez elementa 0 (gdje je 0 neutralni element obzirom na +) komutativna grupa obzirom

na ·. Pritom operacije + i · moraju biti povezane svojstvom distributivnosti: x · (y + z) = x · y + x · z

za sve x, y, z ∈ F. U polju se moze definirati i oduzimanje i dijeljenje te su rezultati sve osnovne cetiri

operacije primijenjene na elemente polja takoder elementi tog polja.

74

cija su rjesenja x1,2 = 2±√

3.

Algebarski identiteti koji su zadovoljeni neovisno o tome koje od ova dva rjesenja

zovemo x1, a koje x2 su Vieteove formule

x1 + x2 = 4,

x1 · x2 = 1.

Vieteove formule simetricne su s obzirom na x1 i x2 tj. funkcije f(x1, x2) = x1 +x2− 4

i g(x1, x2) = x1x2 − 1 koje odreduju te jednadzbe simetricni su polinomi dviju varijabli.

Moze se pokazati da se svaka simetricna racionalna funkcija promatrana kao funkcija od

x1 i x2 moze izraziti kao racionalna funkcija tih dviju elementarnih simetricnih funkcija.

Ako su to i jedine racionalne funkcije od x1 i x2 koje poprimaju vrijednosti u polju iz

kojeg su a i b, onda je Galoisova grupa grupa S2 svih permutacija (njih dvije: identitete

i transpozicije) dvoclanog skupa {x1, x2}.

Za kvadratne jednadzbe cija su rjesenja racionalna jedina permutacija koja ostavlja

invarijantnim sve algebarske identitete s rjesenjima jednadzbe je identiteta tj. Galoisova

grupa jednadzbe je trivijalna grupa koja se sastoji samo od identitete.

Rjesenja algebarskih jednadzbi stupnja n takoder su povezani Vieteovim formulama

koje su pak odredene elementarnim simetricnim funkcijama i moze se dokazati da se

svaka simetricna racionalna funkcija n varijabli (rjesenja jednadzbe) moze izraziti kao

racionalna funkcija koeficijenata jednadzbe. Stoga, ako su ti koeficijenti iz polja Q, slijedi

da se uvrstavanjem rjesenja u bilo koju simetricnu racionalnu funkciju dobiva racionalan

broj. No, mogu postojati i nesimetricne racionalne funkcije koje pri uvrstavanju rjesenja

jednadzbe poprimaju vrijednosti u Q i invarijantne su s obzirom na primjenu bilo koje

permutacije rjesenja jednadzbe.

Promotrimo sada Galoisovu grupu jednadzbe cetvrtog stupnja

x4 − 10x2 + 1 = 0,

cija su rjesenja x1,2,3,4 = ±√

2±√

3.

Postoji 4! = 24 moguce permutacije tih rjesenja, no nisu sve u Galoisovoj grupi poli-

noma x4 − 10x2 + 1. Primjerice transpozicija (x1, x2, x3, x4) → (x1, x3, x2, x4) nije u

75

Galoisovoj grupi jer jednadzba

x1 + x2 = 0

jeste zadovoljena ako odaberemo

x1 =√

2 +√

3,

x2 =√

2−√

3,

x3 = −√

2 +√

3,

x4 = −√

2−√

3,

ali nije zadovoljena ako odaberemo

x1 =√

2 +√

3,

x2 = −√

2 +√

3,

x3 =√

2−√

3,

x4 = −√

2−√

3.

Daljnjom analizom svih mogucih permutacija rjesenja lako se uocava da su u Galoisovoj

grupi ove jednadzbe samo njih cetiri: identiteta (x1, x2, x3, x4) 7→ (x1, x2, x3, x4), te per-

mutacije (x1, x2, x3, x4) 7→ (x3, x4, x1, x2), (x1, x2, x3, x4) 7→ (x2, x1, x4, x3), (x1, x2, x3, x4)

7→ (x4, x3, x2, x1). Ta grupa je (do na izomorfizam) poznata kao Kleineova cetvorna grupa.

Galois je otkrio da kljuc rjesivosti algebarskih jednadzbi predstavljaju posebne pod-

grupe grupe permutacija svih rjesenja jednadzbe, danas zvane normalnim podgrupama.

Definicija 7.3 Podgrupa H grupe G zove se normalna podgrupa ako je Hc = cH,∀c ∈ G.

On uvida da algebarska jednadzba ima rjesenje u radikalima jedino ako se Galoisova

grupa jednadzbe moze svesti na identitetu konacnim nizom normalnih podgrupa.

Iz prethodnog izlaganja moze se uociti kako je prije samo 200 godina algebra vecim

djelom, ako ne i u potpunosti, bila usmjerena na pitanje rjesivosti algebarskih jednadzbi.

76

Njen razvoj od tzv.”skolske algebre” do danasnjeg proucavanja apstraktnih struktura

uvelike je posljedica Galoisova rada i razvoja njegove teorije u 19. i 20. stoljecu.

Danas pod Galoisovom teorijom podrazumijevamo podrucje matematike koje se bavi

strukturama polja i njihovim automorfizmima. Originalna Galoisova teorija temeljila se

na istim idejama uz razliku u terminologiji. Trazenje nuznih i dovoljnih uvjeta rjesivosti

dane algebarske jednadzbe u radikalima Galois navodi kao jednu od mogucih primjena

svoje teorije. On sam naglasava kako u svojoj teoriji iznosi opci princip i samo jednu

njegovu primjenu, no obzirom na tadasnji veliki interes za pitanje rjesivosti algebarskih

jednadzbi primjena je stavljena u prvi plan, dok je opci princip dugo vremena bio potpuno

zanemaren.

Veliki dio svojih ideja Galois nije u potpunosti dokazao, te su ih naknadno prosirili i

opravdali drugi matematicari, sto ce u konacnici dovesti do razvoja suvremene Galoisove

teorije. Medu prvim matematicarima koji su dali svoj osvrt na Galoisov rad, valja is-

taknuti Cauchya, Bettia10 i Serreta11, no njihovi rezultati , zbog nedostatka originalnih

ideja, nisu pretjerano doprinijeli daljnjem razvoju ovog podrucja. Prvi matematicar koji

je usmjerio razvoj Galoisove teorije u modernom i apstraktnom smjeru je Jordan, u vec

spomenutom djelu Traite des substitutions et des equations algebraiques.

Daljnji razvoj Galoisove teorije podudara se s razvojem teorije polja, te su za povezi-

vanje ova dva podrucja osobito zasluzni Dedekind (1831. − 1916.) i Kronecker (1823. −

1891). Kronecker tako daje prvu definiciju Galoisove grupe jednadzbe koja nije vise u

terminima permutacija korijena te jednadzbe. Nadalje, Heinrich Weber (1842. − 1913.)

koristi Galoisovu teoriju u proucavanju strukture polja i grupa.

Posljednji veliki napredak u u razvoju Galoisove teorije ostvaren je kroz rad Emil Artin

(1898.− 1962.). Artin se ovim podrucjem bavi u djelima: Osnove Galoisove teorije, koje

je objavljeno 1938. i Galoisova teorija, objavljeno 1942. On sazima sve vazne cinjenice u

jedan fundamentalni teorem Galoisove teorije.

Galoisova teorija je danas sastavni dio apstraktne algebre.

10Enrico Betti, 1823.− 1892.11Joseph Serret, 1819.− 1885.

77

Bibliografija

[1] P. R. Allaire, R. E. Bradley: Geometric Approaches to Quadratic Equations

from Other Times and Places, Mathematics Teacher, Vol. 94 (Travanj 2001.):308−13.

[2] W. S. Anglin, J. Lambek: The Heritage of Thales, Springer Verlag, 1995.

[3] F. M. Bruckler: Povijest matematike I, Sveuciliste J. J. Strossmayera u Osijeku,

Odjel za matematiku, 2007.

[4] F. M. Bruckler: Povijest matematike II, Sveuciliste J. J. Strossmayera u Osijeku,

Odjel za matematiku, 2010.

[5] Burton: The History of Mathematics: An Introduction, McGraw-Hill, 2006.

[6] R. Calinger: Vita Mathematica, MAA, Washington DC, 1996.

[7] J. Derbyshire Unknown Quantity: A Real and Imaginary History of Algebra,

http://www.nap.edu/catalog/11540.html

[8] J. Fauvel, J. Gray: The History of Mathematics, The Open University, London,

1987.

[9] L. Hodgkin: A History of Mathematics - From Mesopotamia to Modernity, Oxford,

2005.

[10] D. E. Joyce Euclid’s Elements,

http://aleph0.clarku.edu/ djoyce/java/elements/elements.html

78

[11] I. Kleiner: A History of Abstract Algebra, Birkhauser, Boston, Basel, Berlin, 2007.

[12] J. C. Martzloff: A History of Chinese Mathematics, Springer Verlag, Berlin,

1997.

[13] J. J. O’Connor, E. F. Robertson: The MacTutor History of Mathematics,

http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/

[14] B. Pavkovic, D. Veljan: Elementarna matematika I, Tehnicka knjiga, Zagreb,

1992.

[15] J. Stillwell: Mathematics and Its History, Springer Verlag, New York, 2002.

[16] V. S. Varadarajan: Algebra in Ancient and Modern Times, AMS, Providence,

1998.

79

Sazetak

U ovom diplomskom radu proucava se povijest rjesavanja algebarskih jednadzbi. Prvi

su se njima bavili jos stari Egipcani i Babilonci. Egipcani su tako svakodnevne probleme

svodili na jednostavne linearne jednadzbe, dok su Babilonci otisli i korak dalje te uspjesno

rjesavali i kvadratne jednadzbe. Algebarske jednadzbe su svoje mjesto pronasle i u dje-

lima starogrckih matematicara, koji su im, ocekivano, pristupili s geometrijskog aspekta.

Teorijom algebarskih jednadzbi baviti ce se i indijski i kineski matematicari. Osobito veliki

doprinos rjesavanju algebarskih jednadzbi dali su arapski matematicari, medu kojima se

osobito isticu Al-Khwarizmi i Omar Khayam. Maestro Dardi iz Pise daje prvo algebarsko

rjesenje kubne jednadzbe, premda se zasluge za to tradicionalno pripisuju talijanskim

matematicarima iz 16. stoljeca — del Ferru, Tartagliai i Cardanu. Talijanski matematicar

Ferrari dati ce rjesenje za algebarsku jednadzbu cetvrtog stupnja u radikalima. Nakon

zatisja od gotovo 300 godina, na prijelazu sa 18. u 19. stoljece pocinje se aktualizirati

pitanje algebarskih jednadzbi stupnja veceg od cetiri. Ruffini ce prvi ustvrditi da opca

algebarska jednadzba petog stupnja nema rjesenje u radikalima, no matematicka javnost

nije imala sluha za njegove ideje. Nesto vise srece imao je Abel, ciji je dokaz iste tvrdnje

prvi njen priznati dokaz. Kljucnu ulogu u konacnom razrjesenju ovog pitanja odigrao je

Galois, koji daje odgovor na pitanje: Kada algebarska jednadzba proizvoljnog stupnja

ima rjesenje u radikalima?

Kljucne rijeci: algebarske jednadzbe, linearna, kvadratna, kubna, bikvadratna jed-

nadzba, rjesenja u radikalima, al-Khwarizmi, Omar Khayyam, maestro Dardi iz Pise,

Tartaglia, Cardano, Ferrari, Ruffini, Abel, Galois.

80

History of solving algebraic

equations – Summary

This paper studies the history of solving algebraic equations. The first to deal with this

type of equations were the ancient Egyptians and Babylonians. Egyptians used to sum-

up their everyday problems to simple linear equations while Babylonians went a step

further by successfully solving quadratic equations. Algebraic equations were often found

in works of ancient Greek mathematicians who, expectedly, approached them from a

gemetrical point of view. The theory of algebraic equations became the focus of study of

many Indian and Chinese mathematicians. A particularly large contribution to resolving

algebraic equations was given by Arabic mathematicians, especially Al-Khwarizmi and

Omar Khayam. Master Dardi of Pisa gave us the first solution to the cubic equation,

although the merit was traditionaly attributed to other Italian mathematicians from the

16th century — del Ferro, Tartaglia and Cardano. Another Italian mathematician called

Ferrari provided the solution of fourth degree equations by radicals. After almost 300

years of stagnation, the beginning of the 19th century witnessed a renewed interest in

algebraic equations of fourh degree and higher. Ruffini was the first who stated that

general algebric equation of the fifth degree could not be solved by radicals but the

general opinion among mathematicians wasn’t favourable to his ideas. Abel was the first

who offered an acknowledged evidence of that statment. However it was Galois who

played a key role by providing an answer to the question: when can an algebraic equation

of any degree however elevated be solved by radicals?

Keywords: algebraic equations, linear, quadratic, cubic, solution by radicals, al-Khwarizmi,

Omar Khayyam, Master Dardi iz Pise, Tartaglia, Cardano, Ferrari, Ruffini, Abel, Galois.

81

Prilozi

Prilog 1. Zivotopis Diofanta Aleksandrijskog

Diofant, cesto nazivan”

otac algebre”, najpoznatiji je po svojoj Arithmeticai, djelu posvece-

nom rjesavanju algebarskih jednadzbi i teoriji brojeva.

Gotovo niti jedan detalj iz njegovog privatnog zivota nije poznat, upitno je cak i

razdoblje u kojemu je zivio. Ipak postoji nekoliko ogranicenja koja okvirno odreduju

taj period. Prvo ogranicenje je to sto Diofant citira Hipsiklovu12 definiciju figurativnih

brojeva, sto znaci da je zivio iza 150. n. e. S druge strane, Teon Aleksandrijski13, u svom

radu citira jednu od Diofantovih definicija, sto znaci da Diofant nije mogao pisati nakon

350. n. e. No to ostavlja otvorenim razdoblje od 200 godina. Za preciznije odredivanje

perioda njegova zivljenja potrebno je razmotriti jos neke podatke. Jedan od izvora su

citati Michaela Psellusa, koji je zivio u drugoj polovini 11. stoljeca. Prema jednom od

prevoditelja Psellus je napisao:

Diofant se pomno bavio egipatskom aritmetikom, no vrlo uceni Anatolius prikupio je

temeljne postavke tog ucenja i zapisao ih u sazetijem obliku, te je svoje djelo posvetio

Diofantu.

Na temelju toga dalo bi se zakljuciti kako je Diofant pisao oko 250. n. e. Drugi pak

prevoditelj Psellusova citata kaze:

Odmah se treba posumnjati da nesto nije u redu: cini se cudnim da bi netko sabrao i dao

skracen pregled necija rada, a zatim ga posvetio njemu.

12Grcki matematicar koji je djelovao u 2. st. n. e.13Grcki matematicar iz 4. st. n. e.

82

Njegov prijevod istog citata ima potpuno drugo znacenje, te je prema njemu Diofant

zivio prije treceg stoljeca, mozda cak i prije Herona u prvom stoljecu.

Najvise detalja u vezi njegova zivota, a koji su potencijalno potpuna izmisljotina,

dolazi iz grcke antologije koju je dovrsio Metrodorus oko 500. n. e. To je zbirka zagonetki

od kojih je jedna vezana uz Diofanta i kaze:

Njegovo djetinjstvo trajalo je 16

njegova zivota; brada mu je narasla nakon sljedece 112

zivota; nakon 17

zivota se ozenio, a sin mu se rodio 5 godina kasnije, sin je zivio pola

oceva zivotnog vijeka i otac je umro 4 godine nakon sina.

Ako je vjerovati zagonetki ozenio se u 26. godini, imao je sina koji je umro sa 42 godine,

cetiri godine prije Diofanta, koji je umro u 84. godini.

Diofant je sasvim sigurno bio svijestan i nekih rezultata iz teorije brojeva, ono sto nije

sigurno je li imao dokaz njihove tocnosti. Ti su dokazi mozda dio izgubljenih rezultata,

a mozda ih je Diofant smatrao ocitim na temelju velikog broja primjera iz prakse koji su

pokazivali njihovu tocnost. Medu tim rezultatima su:

. . . niti jedan broj oblika 4n+ 3 ili 4n− 1 ne moze biti zbroj dvaju kvadrata.

. . . broj oblika 24n+ 7 ne moze biti zbroj tri kvadrata.

Cini se kako je bio svijestan da se svaki broj moze zapisati kao zbroj cetiri kvadrata.

Napisao je i djelo O figurativnim brojevima14, te izgubljeno djelo Porizmi. Od sadrzaja

tog djela poznate su samo tri leme na koje se poziva u Arithmeticai.

14Prirodni brojevi koje mozemo prikazati slaganjem kamencica u geometrijske likove.

83

Prilog 2. Zivotopis Brahmagupte

Brahmagupta je indijski matematicar roden 598. u Ujjainu (Indija), a umro je 670. Pisao

je vazna djela iz matematike i astronomije. Medu njima treba istaknuti Brahmasphutasid-

dhanta (628.), djelo podijeljeno u 25 poglavlja.

Bio je sef astronomskog opservatorija u Ujjainu, koji je u to doba bio glavni matematicki

centar Indije. U svojoj sezdesetsedmoj godini napisao je jos jedno vazno djelo na podrucju

matematike i astronomije, pod nazivom Khandakhadyaka.

Iz njegovih je djela vidljivo kako je njegovo razumijevanje brojevnih sustava bilo daleko

ispred tadasnjeg. Od njegovih doprinosa valja istaknuti i razvoj matematickih oznaka.

Bavio se i aritmetickim nizovima, kvadratnim i diofantskim jednadzbama. Za π koristi

aproksimaciju√

10.

Brahmagupta je prvi matematicar koji je dao sistematski prikaz pravila rada ne-

gativnim (racionalnim) brojevima, a mozda cak i prvi koji je uveo negativne brojeve.

Negativne brojeve interpretira kao dug, a pozitivne kao blago. U skladu s tim, pravilo

(+) · (−) = (−) izrazeno u njegovom stilu glasi: produkt vrijednosti blaga i duga je dug.

Dao je i algoritam za racunanje kvadratnog korijena nekog broja, koji je ekvivalentan

Newton-Raphson iterativnoj metodi.

Kod njega se moze naci, bez dokaza, i generalizirana Heronova formula za tetivni

cetverokut (zapravo, Brahmagupta promatra samo jednakokracne trapeze te cetverokute

kod kojih se dijagonale sijeku pod pravim kutem) P =È

(s− a)(s− b)(s− c)(s− d), gdje

je s poluopseg. Jos jedan njegov vazan rezultat je interpolacijska formula koja se koristi

za racunanje sinusa.

84

Prilog 3. Zivotopis Al-Khwarizmija

Abu Ja’far Muhammad ibn Musa Al-Khwarizmi arapski je matematicar roden 870. godine

najvjerojatnije u Bagdadu. Poznato je vrlo malo detalja iz njegova zivota, cak niti mjesto

rodenja nije sa sigurnoscu poznato. Naime, prema nekim povjesnicarima al-Khwarizmi

znaci da je porijeklom iz Khwarizma, mjesta u srednjoj Aziji, juzno od Aralskog jezera. S

druge strane, povjesnicar al-Tabari dodaje mu epitet al-Qutrubbulli, sto bi znacilo da je iz

Qutrubbulla, podrucja izmedu Eufrata i Tigrisa, nedaleko od Bagdada. Isti povjesnicar

smatra da je al-Khwarizmi nasljede od predaka koji su dosli iz Khwarizma. Jos jedna

dvojba je njegovo religijsko opredjeljenje. Al-Tabari tvrdi kako je bio sljedbenik stare

zoroastrijske religije, dok je iz predgovora njegove Algebre vidljivo kako je bio ortodoksni

musliman.

Al-Khwarizmi je roden otprilike u vrijeme kada kalif Harun al-Rashid dolazi na vlast

(786.). Njegova uloga u poticanju sirenja kulture i razvoja znanosti je velika. Nakon

njegove smrti na vlast dolazi njegov sin, kalif al-Ma’mun, koji ce nastaviti ocevim stopama

te osniva akademiju u Bagdadu pod nazivom Kuca mudrosti. Poticao je prevodenje grckih

tekstova, a osniva i knjiznicu, najvecu od spaljivanja aleksandrijske.

Al-Khwarizmi je bio ucenik u Kuci mudrosti. Njegov zadatak bio je prevodenje grckih

matematickih tekstova, kao i proucavanje algebre, geometrije i astronomije. Djelovao

je pod zastitom kalifa Al-Ma’muna te je dva svoja teksta posveto njemu. Radi se o

raspravi o algebri i raspravi o astronomiji. Rasprava o algebri pod nazivom Hisab al-jabr

w’al-muqabala njegovo je najpoznatije i najznacajnije djelo (Poglavlje 4.). Osim toga

al-Khwarizmi je napisao i tekst o indoarapskim znamenkama, koji je izgubljen, ali ciji je

latinski prijevod Algoritmi (= al-Khwarizmi) de numero Indorum dao rijec algoritam u

znacenju: postupak racunanja. Djelo opisuje indijski dekadski pozicijski sustav i algoritme

za sest osnovnih racunskih operacija. Jos jedno njegovo znacajno djelo je Sindhind zij,

a bavi se astronomijom. Napisao je i djelo iz geografije, te brojna druga djela iz raznih

podrucja. Prema mnogim povjesnicarima al-Khwarizmi zasluzuje titulu”otac algebre”

vise nego Diofant.

85

Slika 15. Al-Khwarizmi, 9./10. st.

86

Prilog 4. Zivotopis Omara Khayyama

Omar Khayyam, punim imenom Ghiyath al-Din Abu’l-Fath Umar ibn Ibrahim Al-Nisaburi

al-Khayyami, roden je 18. svibnja 1048. u Nishapuru u Perziji (danasnji Iran). Doslovan

prijevod imena al-Khayyami znaci onaj koji pravi satore, sto bi moglo biti zanimanje

njegova oca.

Politicke okolnosti u 11. stoljecu uvelike su odredile tijek Khayyamova zivota. Naime,

zivio je u dosta teskim politickim uvjetima u doba Turaka Seldzuka. Sam Khayyam, u

predgovoru svoje Algebre, opisuje kroz kakve su sve teskoce u to doba prolazili ucenjaci.

Bez obzira na okolnosti Khayyam je bio istaknuti matematicar i astronom, te je jos u

mladosti napisao nekoliko vaznih radova. U njima se bavio aritmetikom, glazbom i alge-

brom. Godine 1070. seli u grad Samarkand u kojemu ce djelovati pod zastitom tamosnjeg

uvazenog pravnika Abu Tahira. U tom ce razdoblju svoga zivota napisati svoju poznatu

Algebru.

Osnivac dinastije Seldzuka, Toghril Beg, postavio je grad Esfahan za srediste oblasti,

te je 1073. za njegovog vladara postavio svog unuka, Malik-Shaha. Malik-Shah salje poziv

Khayyamu da dode u Esfahan, te da osnuje opservatorij. Khayyam ce voditi taj opserva-

torij u kojem djeluju i brojni drugi istaknuti astronomi. U to vrijeme, zbog relativno mirne

politicke situacije, Khayyam je bio u mogucnosti posvetiti se znanstvenom radu. Godine

1079. ce zajedno s jos osmoricom znanstvenika zapoceti reformu kalendara. Nakon smrti

Malik-Shaha, u studenom 1092., zavrsava mirno politicko razdoblje, te se Kayyam opet

nasao u sredistu politickih previranja. Bio je cak i na meti ortodoksnih muslimana koji su

smatrali da se njegov propitivacki duh kosi s vjerom. O tom pitanju progovara u svojoj

poznatoj pjesmi Rubaiyat. Malik-Shahov treci sin, Sanjar, 1118. postaje vladar carstva

Seldzuka, te za glavi grad postavlja Merv. U tom ce gradu osnovati i veliki islamski

znanstveni centar na kojemu ce djelovati i Khayyam.

Njegovo najznacajnije djelo je Algebra u kojoj daje potpunu klasifikaciju kubnih jed-

nadzbi skupa s njihovim geometrijskim rjesenjima. U jednom od svojih djela, koje je

izgubljeno, bavi se Pascalovim trokutom. Khayyam je proucavajuci Euklidov rad, odnosno

87

postulat o paralelama, doprinio i razvoju neeuklidskih geometrija premda mu to nije

bila namjera. U zelji da dokaze taj postulat slucajno je dokazao niz svojstava figura u

neeuklidskoj geometriji. Izvan matematickog svijeta Khayyam se proslavio kroz Edward

Fitzgerladov prijevod (1859.) njegove pjesme Rubaiyat.

Slika 16. Omar Khayyam, 11./12. st.

88

Prilog 5. Zivotopis Niccola Tartagliae

Nicoolo Fontana, poznat kao Tartaglia, roden je u Bresci 1499. ili 1450. Njegov otac,

Michele Fontana, raznosio je postu izmedu Brescie i okolnih gradova. Kada je Niccolo imao

sest godina otac mu je ubijen, te obitelj zapada u tesko siromastvo. Godine 1512. Francuzi

su okupirali Bresciu, pri cemu je jedan od vojnika macem razbio Niccolinu celjust, a kao

posljedica toga imao je govornu manu, te je dobio nadimak Tartaglia sto znaci mucavac.

Tartaglia je bio samouki matematicar, no zbog njegovih nevjerojatnih sposobnosti majka

mu uspijeva naci mecenu. Ludovico Balbisonio ga odvodi u Padovu kako bi tamo nastavio

skolovanje. Nakon boravka u Padovi Tartaglia se vraca u Bresciu, no na kratko, nakon

cega odlazi u Veronu. U Veroni boravi od 1516. do 1518. i za zivot zaraduje drzeci poduke

iz matematike. U kasnijoj fazi svog boravka u Veroni poucavao je u skoli Palazzo Mizzanti.

U to je vrijeme najvjerojatnije vec bio ozenjen, no i dalje vrlo siromasan. Godine 1534.

seli u Veneciju gdje ce polako stjecati ugled obecavajuceg matematicara.

Jedno od najvecih matematickih dostignuca Tartagliae je pronalazak rjesenja kubne

jednadzbe oblika x3 +ax2 = b. Zbog tog ce otkrica biti izazvan na matematicki dvoboj od

strane Antonia del Fiora (Poglavlje 6.). Pobjeda u tvom dvoboju Tartagliai donosi slavu.

Milanski matematicar Cardano, cuvsi za Tartagliain uspjeh, poziva ga k sebi ne bi li mu

ovaj odao svoju metodu. Nakon dugog nagovaranja Tartaglia odlazi u Milano u nadi da

ce, kako mu je obecano, za otkrivanje svoje metode biti nagraden bolje placenim poslom.

Na njegovu zalost, milanski zapovjednik vojske, s kojim ga je Cardano obecao upoznati,

a koji mu je trebao osigurati taj posao, bio je odsutan iz Milana. Tartaglia ipak pristaje

odati svoju metodu, no to ce zazaliti odmah po povratku u Veneciju. Naime, premda mu

je Cardano obecao kako ce metodu drzati u tajnosti Tartaglia mu nije vjerovao. Njegova

ce se sumnjicavost pokazati opravdanom jer ce Cardano 1545. objaviti djelo Ars Magna u

kojoj ce se medu inim naci i modificirana verzija Tartaglinaine metode. Premda Cardano

u svom djelu navodi Tartagliau kao autora metode, ovaj je bio jako ljut zbog tog cina.

Uz optuzbu za kradu Tartaglia izaziva Cardana na matematicki dvoboj i to putem pisma

upucenog Cardanovom uceniku Ferrariju. Kako je Cardano bio jedan od najuglednijih

89

matematicara tog doba, nije imao namjeru raspravljati s Tartagliaom, nego je to prepustio

svom uceniku. Tartaglia i Ferrari dopisivali su se oko godinu dana, izmjenjujuci u pismima

uvrede na medusoban racun. Godine 1548. Tartagliai je ponudeno mjesto predavaca u

rodnom gradu Bresci, no da bi dokazao kako je dorastao tom zadatku zamoljen je da

pristupi dvoboju s Ferrarijem. Ferrari na tom dvoboju pobjeduje Tartagliau i Tartaglia

je bio prisiljen otici s natjecanja, te gubi i ugled i izvor zarade. Rjesenje kubne jednadzbe

nije jedini Tartagliain matematicki rezultat. Godine 1537. napisao je djelo Nova Scientia

o primjeni matematike u balistici, pisao je i o aritmetici, te je dao prvi prijevod Euklidovih

Elemenata na talijanski (1543.).

Slika 17. Niccolo Tartaglia, 15./16. st.

90

Prilog 6. Zivotopis Girolama Cardana

Talijanski matematicar Girolamo Cardano roden je 24. rujna 1501. u Paviji. Bio je neza-

koniti sin Fazia Cardana i Chiare Micheria. Otac mu je bio pravnik s velikim znanjem

matematike, cak je i Leonardu da Vinciu davao savijete iz geometrije. Uz bavljenje pravom

Fazio je poducava geometriju na sveucilistu u Paviji i Milanu. U svojim pedesetim Fazio

upoznaje mladu udovicu Chiaru Micheria, koja je tada imala oko 30 godina i troje djece.

Chiara ostaje trudna, a prije nego li je rodila u Milanu izbija epidemija kuge, te ona biva

prisiljena otici u obliznju Paviju. Za vrijeme boravka u Paviji saznaje kako su joj sva djeca

umrla od kuge u Milanu. Dugo vremena Chiara i Fazio zive odvojeno, no naposljetku su

se ipak vjencali. Cardano je isprva bio ocev pomocnik, no njegove ambicije su bile puno

vece. Otac mu je davao poduke iz matematike, te ce Cardano poceti razmisljati o odlasku

na studij. Nakon dugog odbijanja otac mu dopusta da se upise na sveuciliste u Padovi,

gdje je i sam studirao. Girolamo upisuje studij medicine, premda je oceva zelja bila da

upise pravo. Zavrsava studij medicine, te ubrzo postaje rektor sveucilista u Padovi. Us-

prkos neospornom talentu Cardano nije bio osobito voljen od stane svojih kolega. Opisan

je kao ambiciozan, neposten, svadljiv, umisljen, ali i sposoban za velikodusnost.

U meduvremenu mu umire otac, a skromno nasljedstvo koje mu je ostavio Cardano

pokusava uvecati kockanjem. Zivio je od kartanja, kockanja, i saha, a zbog razumijevanja

teorije vjerojatnosti uglavnom je bio na dobitku. Kockanje s vremenom prerasta u ovisnost

koja mu je oduzela puno novca, vremena i ugled.

Godine 1525. dodijeljen mu je doktorat iz medicine, no njegov zahtjev da se pridruzi

milanskom udruzenju fizicara je odbije. Nakon toga odlazi u malo selo Sacco gdje se

bavi medicinom. Godine 1531. Cardano zeni Luciu s kojom ce imati dva sina. Zbog

nemogucnosti da uzdrzava obitelj, Cardano se vraca kockanju. U potrazi za boljim

izvorom prihoda, s obitelji se vraca u Milano, no u Milanu zapada u jos vece financijske

poteskoce. Nakon nekoliko, gotovo cudotvornih izljecenja, porastao je njegov lijecnicki

ugled, no i dalje ga ne primaju u udruzenje fizicara. Godine 1537. pokusat ce ponovno,

no niti tada nece uspjeti. Napokon, 1539. uspijeva, te postaje njihovim clanom. Bilo je to

91

nakon objavljivanja prva dva rada na podrucju matematike. Drugi od ta dva rada nosio

je naziv Practica arithmeticae.

Od 1540. do 1542. Cardano napusta znanost i po cijele dane igra sah. U razdoblju od

1543. do 1552. drzao je predavanja iz medicine na sveucilistima u Milanu i Padovi. Godine

1545. objavljuje svoje najznacajnije matematicko djelo Ars Magna. Godinu dana nakon

toga umire mu zena te ostaje sam s dva sina. U to doba njegova lijecnicka karijera je na

vrhuncu, te je cak bio pozvan lijeciti skotskog nadbiskupa u Edinburgu. Nedugo nakon

povratka s putovanja saznaje kako mu se stariji sin tajno ozenio. Isti taj sin biti ce smaknut

1560. jer je arsenom u kolacu otrovao svoju zenu. Nakon toga Cardano seli u Bolognu.

U isto to doba je mladem sinu u napadu bijesa zbog nekog prijestupa odrezao usi. Mladi

sin je bio varalica i kradljivac koji je okrao cak i vlastitog oca. Cardano ga je cak otjerao

iz Bologne, no ipak mu je nastavio slati novac. Zbog velikog broja skandala koji su se

vezali uz njega, sveuciliste ga pokusava izbaciti, no neuspjesno, jer je Cardano imao jaku

zastitu pape Grgura XIII. Kada je 1570. objavio horoskop Isusa Krista uhapsen je pod

optuzbom za herezu, no sreca u nesreci je ta sto ga je inkvizicija postedjela mucenja. Po

izlasku iz zatvora gubi posao i dobiva zabranu objavljivanja radova. Kraj zivota je proveo

u Rimu, uz mirovinu koju mu je osigurao papa. U to vrijeme pise autobiografiju koja je

objavljena tek 1643. u Parizu. Prema legendi, izradio je horoskop po kojemu je trebao

umrijeti odredenog dana, te se ubio kako bi odrzao reputaciju tocne izrade horoskopa.

Osim velikog doprinosa algebri utjecao je i na razvoj teorije vjerojatnosti. Njegova

knjizica Liber de Ludo Aleae o kockanju (objavljena tek 1663.) daje prakticne upute

za kockanje i osnove teorije vjerojatnosti. Osim o matematici, objavljivao je djela i

o astrologiji, fizici, sahu, kockanju, utjesi, cudesnim lijekovima, otrovima, zraku, vodi,

snovima, urinu, zubima, kugi, mudrosti, moralu i glazbi.

92

Slika 18. Girolamo Cardano, 16. st.

93

Prilog 7. Zivotopis Lodovica Ferrarija

Lodovico Ferrari talijanski je matematicar roden 2. veljace 1522. u Bologni. Obitelj Ferrari

porijeklom je iz Milana, no zbog teskih politickih prilika na sjeveru Italije Lodovicov djed,

Bartholomew Ferrari, seli u Bologniu. Bartholomew Ferrari je imao dva sina, Vincent

Ferrari i Alexander Ferrari, drugi je bio Lodovicov otac. Nakon oceve smrti Lodovico

napusta svoj dom i odlazi zivjeti kod strica Vincenta. Vincent je imao problematicnog

sina Lucu, koji je otisao od kuce u potrazi za poslom. Luca odlazi u Milan gdje postaje

Cardanov sluga. Nezadovoljan poslom Luca, bez da ga obavijesti, odlazi od Cardana,

te se vraca kuci. Cardano je kontaktirao Vincenta Ferrarija i zahtijevao da posalje sina

nazad, no Vincent koristi to kao priliku da se rijesi odgovornosti prema necaku, te umjesto

Luce, Cardanu salje Lodovica. Lodovico dolazi kod Cardana 30. studenog u dobi od 14

godina. Lodovico je isprva bio Cardanov sluga, no kada je Cardano primijetio kako djecak

zna citati i pisati odlucuje ga postedjeti tog posla. Postao je Cardanov”tajnik”, te ga on

s vremenom pocinje poducavati matematici. Ferrari je pomagao Cardanu oko rukopisa,

a u dobi od 19 godina pocinje i sam poducavati matematiku. S dvadeset godina postaje

javni predavac geometrije. Njegov najveci matematicki rezultat je pronalazak metode za

rjesavanje algebarskih jednadzbi cetvrtog stupnja (1540.). Ta ce metoda biti objavljena

u Cardanovoj Ars Magnai 1545. Poznato je kako zbog objave te knjige Cardano dolazi u

sukob s Tartagliom (Poglavlje 6.), koji ce ga izazvati na dvoboj. Cardano na taj dvoboj

salje Ferrarija koji pobjeduje. Zbog pobijede u tom dvoboju, Ferrariju su ponudeni mnogi

poslovi, pa cak je i sam car htio da Ferrari poducava njegova sina. Ferrari prihvaca posao

u sluzbi milanskog upravitelja Ferranda di Gonzage, koji ce mu osigurati veliko bogatstvo.

Sklonost uzitcima i zabavi kostala ga je zdravlja, te seli u Bolognu poducavati matematiku.

Iste te godine umire, a za smrt je najvjerojatnije kriva njegova sestre, Magdalena, koja

ga je otrovala arsenom ne bi li se domogla njegova bogatstva.

94

Prilog 8. Zivotopis Paola Ruffinija

Talijanski matematicar Paolo Ruffini roden je 22. rujna 1765. u Valentanu. U vrijeme

kada je Paolo bi tinejdzer, obitelj seli u regiju Emilia-Romagna na sjeveru Italije. Godine

1783. Paolo zapocinje studij na sveucilistu u Modeni. Studirao je matematiku, medicinu,

filozofiju i knjizevnost. Njegovi tamosnji profesori matematike bili su Luigi Fantini, koji

ga je poducavao geometriji i Paolo Cassiani profesor matematicke analize. Jos za vrijeme

studija (1787.−1788.) preuzima Cassianijev kolegij iz osnova matematicke analize. Studij

filozofije, medicine i kirurgije zavrsava 9. lipnja 1788., a nedugo zatim i studij matematike.

Za profesora osnova matematicke analize imenovan je 15. listopada 1788. Nakon sto je

njegov profesori iz geometrije Fantini, zbog zdravstvenih razloga, bio prisiljen napustiti

svoje radno mjesto Ruffiniju je ponudeno da ga zamijeni.

Kada je Napoleon 1797. utemeljio Cisalpinsku Republiku, koja se sastojala od Lom-

bardije, Emilia-Romagna, Modene i Bologne, Ruffini je (protiv svoje volje) proglasen

savjetnikom. Tu ce poziciju uskoro napustiti te se vraca znanosti i radu na sveucilistu u

Modeni. Kada je odbio dati zakletvu vjernosti republici zbog, kako sam tvrdi, religijskih

razloga, zabranjeno mu je poucavanje. Kako je po prirodi bio smiren ta ga vijest nije pre-

tjerano uzrujala, stovise, dozivio je tu situaciju kao dobru priliku da se posveti lijecnickoj

praksi i radu na pitanju rjesivosti jednadzbe petog stupnja u radikalima (Poglavlje 7.).

Godine 1799. Ruffini objavljuje knjigu o teoriji jednadzbi u kojoj tvrdi da opcu jednadzbu

petog stupnja nije moguce rijesiti u radikalima. Nakon sto je napustio sveuciliste, sedam

godina predavao je primijenjenu matematiku na vojnoj skoli u Modeni, te se i dalje nasta-

vio baviti medicinom. Nakon pada Napoleona (1814.) postaje rektor sveucilista u Modeni.

Godine 1817. izbija epidemija tifusa, a kako je Ruffini lijecio zarazene i sam obolijeva. Od

bolesti se djelomice oporavio, no nikada u potpunosti, stoga je bio primoran odustati od

nekih projekata, no i dalje se nastavlja baviti znanoscu.

Osim iz matematike, napisao je i nekoliko djela iz filozofije. U jednom od njih se

suprotstavlja Laplaceovim filozofskim idejama. Ruffini je umro 10. svibnja 1822. u Mode-

ni.

95

Slika 19. Paolo Ruffini, 18./19. st.

96

Prilog 9. Zivotopis Nielsa Henrika Abela

Niels Henrik Abel roden je 5. kolovoza 1802. u gradu Frindoe, kraj Stavangera u Norveskoj.

Otac mu je bo teolog i filolog, norveski nacionalist i aktivan borac za norvesku neovisnost

od Danske. Majka mu je bila kcer trgovca i vlasnika brodova. Niels je bio drugo od

sedmero djece u obitelji. Do trinaeste godine poducavao ga je otac, a kako je to bilo

doba ekonomske krize, obitelj je zivjela vrlo siromasno. Abelova obitelj se, kako tvrde

mnogi izvori, suocavala i sa problemima koji nisu bili niti ekonomske niti politicke prirode.

Naime, Nielsov otac je bio alkoholicar, a majka optuzena za slab moral. Godine 1815. Niels

zajedno sa starijim bratom odlazi u katedralsku skolu u Christianiji (danas Oslo). Kako

se radilo o osrednjoj skoli, koja nije djelovala inspirativno, Niels je bio prosjecan ucenik

koji je pokazivao nesto talenta za matematiku i fiziku. No stvari ce se uvelike promijeniti

dolaskom novog ucitelja matematike Bernta Holmboea. Potican od Holmboea, u roku

od godinu dana je bio sposoban citati djela univerzalne razine. Jedan od prvih njegovih

znacajnijih rezultata bio je dokaz binomnog teorema za sve realne eksponente, kojeg daje

u dobi od 16 godina. Time je prosirio Eulerov rezultat koji je vrijedio samo za racionalne

eksponente.

Nakon sto mu je 1820. umro otac, Abelova se obitelj nasla u jos tezoj financijskoj

situaciji. Na srecu, Holmboe uspijeva izboriti stipendiju koja je omogucila Abelu na-

stavak skolovanja. U to vrijeme Abel se pocinje baviti pitanjem rjesivosti opce jednadzbe

petog stupnja u radikalima (Poglavlje 7.). Godine 1822. diplomirao je na sveucilistu u

Christianiji. Na tom je sveucilistu imao jaku podrsku profesora astronomije Christophera

Hansteena. Prva rjesenja nekih integralnih jednadzbi Abel objavljuje 1823. u casopisu

kojega je pokrenuo upravo Hansteen.

Za vrijeme jednog boravka u Copenhagenu upoznaje Christine Kemp s kojom se ubrzo

zarucuje. Njegova zelja bila je putovati u Francusku i Njemacku, te upoznati tamosnje

velike matematicare. Zbog nepoznavanja jezika, uskracena mu je financijska pomoc, dok

ih ne nauci. Svoj dokaz o nerjesivosti algebarskih jednadzbi u radikalima iz 1824. dao

je o vlastitom trosku tiskati i na francuskom jeziku, kako bi imao impresivni rezultat za

97

prezentiranje na svojim putovanjima. Godine 1825. napokon odlazi u Berlin gdje upozna-

je Augusta Crelle, u cijem ce casopisu Crelle’s Journal, objaviti nekoliko svojih radova.

Za vrijeme boravka u Berlinu saznaje kako je mjesto profesora matematike na jedinom

norveskom sveucilistu, onom u Christianii, dobio Holmboe, koji je bio spreman to mjesto

prepustiti Abelu, no zaprijetili su mu da ce u tom slucaju mjesto dobiti stranac. Kako u

tom trenutku, ali niti u naredne cetiri godine, nije bilo izgleda da bi se mogao zaposliti u

Berlinu njegova egzistencija dolazi u pitanje. Ipak ostaje u Berlinu gdje se bavio tada jos

nedovoljno rigorozno postavljenim osnovama matematicke analize. Nakon Berlina, Abel

odlazi u Pariz, gdje je nezainteresirano primljen. U Parizu pise vazno djelo o eliptickim

integralima ciji su recenzenti bili Cauchy i Legendre. Izmucen teskim uvjetima zivota

u Parizu vraca se u Berlin gdje posuduje novac i nastavlja raditi na eliptickim funkci-

jama. Do Abela, matematicari su stotinjak godina, dosta neuspjesno, pokusavali prouciti

elipticke integrale. Abel ih invertira u elipticke funkcije, kojima se puno lakse mani-

pulira i time otvara prostor novim istrazivanjima. Crelleovi pokusaji da zadrzi Abela u

Berlinu dok mu ne nade posao bili su uzaludni, jer se on odlucio vratiti kuci. U Chris-

tianiju stize u svibnju 1827. i dobiva mali kredit od sveucilista. Kako bi zaradio nesto

novca, Abel poducava djecu, a zarucnica se zaposljava kao guvernanta u Frolandu. Fi-

nancijska situacija mu se popravlja preuzimanjem Hansteenovog mjesta na sveucilistu i

vojnoj akademiji. Godine 1828. Abel pokazuje kako se Jacobijevi rezultati o transforma-

cijama eliptickih integrala mogu dobiti kao posljedica njegovih. I sam objavljuje nekoliko

novih radova na tu temu. U to se doba pocinje baviti i pitanje: koje algebarske jednadzbe

su rjesive u radikalima? Kada je saznao da je njegovo parisko djelo o eliptickim funkci-

jama zagubljeno, ponovno pise glavne rezultate, a rad naziva Jedan teorem. Za Bozic

putuje zarucnici u Froland te ce se nakon jedne voznje sanjkama njegovo siromastvom

naruseno zdravlje dodatno pogorsati. Saznavsi za to Crelle se dodatno angazira oko

trazenja radnog mjesta za Abela. Crelle uspijeva, nalazi mu mjesto profesora u Berlinu,

no prekasno jer Abel u meduvremenu umire od tuberkuloze kojom je zarazen za vrijeme

boravka u Parizu. Godine 1830. pariska Akademija dodjeljuje mu Grand Prix nagradu za

izvanredna dostignuca.

98

Slika 20. Niels Henrik Abel, 19. st.

99

Prilog 10. Zivotopis Evariste Galoisa

Evariste Galois je roden 25. listopada 1811. u Bourg La Reineu u blizini Pariza. Bilo

je to doba vrhunca Napoleonove vladavine, a njegovi roditelji bili su republikanski na-

strojeni. Otac Nicholas Gabriel Galois i majka Adelaide Marie Demante bili su oboje

visoko obrazovani iz filozofije, klasicne knjizevnosti i religije, no niti jedno od njih nije

pokazivalo nikakav interes za matematiku. Do dvanaeste godine poucavala ga je majka,

a zatim je pohadao internat. Prve dvije godine bio je dobar dak, a onda pada razred

zbog nezadovoljavajuceg rada iz retorike. Godine 1827. dozvoljeno mu je da upise tecaj

iz matematike, koji ce ga toliko ocarati da ce potpuno zanemariti ostale nastavne pred-

mete. Ucitelji su ga smatrali cudnim, bizarnim, originalnim i zatvorenim. Kritiziran je

zbog svoje originalnosti, a postao je jedan od najoriginalnijih matematicara u povijesti.

Godine 1828. Galois pokusava upisati Ecole Polyteechnique, najugledniju francusku skolu

za matematiku u to doba. Zbog nedovoljne pripremljenosti ne uspijeva. Po povratku u

internat pocinje se baviti pitanjem rjesivosti algebarskih jednadzbi u radikalima, te 1829.

objavljuje prvi znanstveni rad na tu temu. Kasnije objavljuje jos dva znanstvena rada na

istu temu, ciji je recenzent bio Cauchy, koji je radove izgubio.

Politicka situacija nakon ponovne uspostave kraljevine, sukobi republikanaca i roja-

lista, odrazit ce se i na Galoisov zivot. Otac mu se ubio 2. srpnja 1829., zbog klevete na

racun obitelji upucene od strane politickih protivnika. Nekoliko tjedana kasnije ponovno

pokusava upisati Ecole Polyteechnique, no potresen strasnim dogadajem ponovno ne us-

pijeva. Galois tada upisuje nesto losiju skolu Ecole Normale. Tokom 1830. predaje clanak

za nagradu Akademije znanosti, no clanak je izgubljen nakon smrti recenzenta Fouriera.

Naknadno doznaje da niti tri clanka iz teorije eliptickih krivulja, koje je objavio pocetkom

1830. nisu razmatrana za tu nagradu. U to vrijeme raste njegova ogorcenost prema sus-

tavu koji sputava nadarene pojedince. Kada je u srpnju 1830. izbila revolucija, direktor

Ecole Normale zabranjuje studentima izlazak na ulice. Galois na to reagira pismom u

studentskom listu, kojega urednik, u zelji da ga zastiti, objavljuje kao anonimno. Di-

rektor ipak saznaje tko je autor, te izbacuje Galoisa iz skole pod optuzbom za anonimni

100

napad. Galois se tada pridruzuje Nacionalnoj gardi, no ona ce po smirivanju pobune,

krajem 1830., biti ukinuta. Galois je tada za zivot zaradivao privatnim podukama. Na

proslavi pustanja iz zatvora nekolicine bivsih pripadnika Nacionalne garde, Galois podize

casu drzeci u ruci bodez i izrice zdravicu kralju, koja je protumacena kao prijetnja. Na

sudenju se ipak uspio osloboditi optuzbi, no boravak na slobodni nece dugo trajati. Uskoro

zavrsava u zatvoru Saint-Pelagie, zbog nosenja uniforme Nacionalne garde, puske, nekoliko

pistolja i bodeza na dan pada Bastille (14. srpnja). Za vrijeme boravka u zatvoru nas-

tavio se baviti matematikom i pokusava samoubojstvo koje su sprijecili drugi zatvorenici.

Zbog epidemije kolere, koja je izbila u ozujku 1832., Galois je s drugim zatvorenicima

prebacenu u pansion Sieur Faultrier, koji je bio zatvor otvorenog tipa. U zatvoru se zalju-

bio u lijecnikovu kci, Stephanie. No, kada je 29. travnja pusten iz zatvora Stephanie se

distancirala. Ubrzo zatim izazvan je na dvoboj ciji je povod bila veza sa Stephanie. Na

dvoboj ga izazivaju njen stric i navodni zarucnik, no nije sigurno je li se radilo o ljubavnim

razlozima ili politickim motivima. Vecina povjesnicara sklonije je drugom razlogu, a neki

su cak misljenja da je dvoboj insceniran, te da je zapravo rijec o samoubojstvu. Galois

je noc prije dvoboja napisao dva pisma. Prvo je upuceno kolegama republikancima i u

njemu govori kako je u sukob uvucen protiv svoje volje. Drugo pismo je poznato kao

njegov”matematicki testament”, a uputio ga je prijateljima. Galois je tu noc zapisao

pregled svih svojih radova. Dvoboj se dogodio 30. svibnja u jutro. Galois je u dvoboju

ranjen u trbuh, te ga tako tesko ranjenog pronalazi jedan seljak i odvodi u bolnicu. Su-

tra dan Galois umire u bolnici. Pogreb je trebao biti odrzan 2. lipnja, no zbog straha od

demonstracija policija ga odgada za dan kasnije i odrzan je na javnom groblju. Njegove su

papire skupili brat i prijatelj Chevalier i poslali ih, prema njegovoj zelji, Gaussu i drugim

matematicarima.

101

Slika 21. Evariste Galois, 19. st.

102

Zivotopis

Rodena sam 12. sijecnja 1985. godine u Vinkovcima. Prvi razred osnovne skole Antuna

Gustava Matosa u Vinkovcima pocela sam pohadati 1991. godine. Osnovnoskolsko obra-

zovanje okoncala sam 1999. godine kada upisujem Gimnaziju Matije Antuna Reljkovica

takoder u Vinkovcima. Odjel za matematiku, smjer matematika i informatika, upisala

sam 2003. godine.

103