VI.　空間解析

　道路や鉄道など，線オブジェクトの集合は GIS ではネットワークデータと呼ばれることが多い．

VI-5 　線分布（ネットワークデータ）を分析する方法

VI.　空間解析

　ネットワークデータの分析に良く用いられる手法は，ネットワークを「グラフ」と見なし，その接続状態を分析する方法である．このような手法はグラフ論的手法（ graph-theoretic approach ）と呼ばれることもある．

VI.　空間解析

ネットワークをグラフと見なすとは？

　ネットワークにおける，個々の線の接続状態だけに着目し，線の長さや向き，線に付随する属性などの情報を全て捨て去ること．

Three equivalent graphs representing a metro network

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1) 連結グラフ：

　グラフ中の全てのノードがリンクによって結合されているグラフ

2) 非連結グラフ：

　グラフ中の全てのノードがリンクによって結合されていないグラフ

VI-5.1 　グラフ論において用いられる用語

connected graph disconnected graph

VI.　空間解析

3) 結合成分：

　非連結グラフにおいて，結合していない個々の部分

VI.　空間解析

4) 平面グラフ：

　平面上でノード以外の交点を持たないグラフ

5) 非平面グラフ：

　平面上でノード以外の交点を持たないグラフ c

planar graph non-planar graph

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6) 完全グラフ：

　全てのノード対を結ぶリンクから成るグラフ

7) ツリーグラフ：

　巡回路（サイクル）を持たないグラフ

complete graph tree graph

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8) 位相距離：

　グラフにおいて，各リンクの長さを 1 と考えた場合における， 2 つのノードを結ぶ最短距離

VI.　空間解析

　なお，一般的にグラフ論では，ループ（起終点が同一のリンク）や重複リンク（起点と終点がそれぞれ同一のリンク群）を許す．しかし，以下では説明を簡単にするため，これらはいずれも存在しないものと仮定しておく．

VI.　空間解析

　いま，ノード数 n ，リンク数 l ，結合成分数 pというグラフがあるものとする．

　このグラフの様子を簡潔に表すための指標を考える．

VI.　空間解析

　ネットワークをグラフとしてみるとき，全体の結合の強さ（密度）はしばしば興味の一つとなる．道路で言えば，十分な道路網があるのか，という問題である．

VI-5.2 　結合度（ connectivity ）指標

VI.　空間解析

　結合度指標とは，基本的に，ノードとリンクの比を見る指標，すなわち，ノードと比べてリンクが十分に多いかどうかを示す．

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1) 指標

= l - n + p

　結合度が高い（リンクが多い）ほど，値が大きい．

　平面グラフでは，リンクの数は最大で 3n-6である．従って，

≦ ≦ n - 5

VI.　空間解析

2) 指標

　 指標は，指標を最大値 n - 5 で割って基準化し，変域を 0 ～ 1 となるように基準化したもの．平面グラフにおいては，

≦ ≦

= l - n + pn - 5

VI.　空間解析

3) 指標

　結合度が高い（リンクが多い）ほど，値が大きい．

　平面グラフでは， ≦ ≦ -

= l n

6 n

VI.　空間解析

4) 指標

=

　 指標は，指標を基準化したもの．平面グラフにおいては，

≦ ≦

- 6 n

= l

n - 6

0.00

0.00

0.80

0.44

0.00

0.00

0.80

0.44

3.00

0.60

1.40

0.78

5.00

1.00

1.80

1.00

VI.　空間解析

　以上， 4 つの結合度指標は，いずれもノードとリンク，結合成分の数だけに注目し，ネットワーク全体の結合の強さを表したものである．

　この方法ではしかし，グラフの詳細な連結状態が考えられていないため，相互に区別できないグラフが生ずることになる．例えば，ツリーグラフは全て同一の指標を持つ．

VI.　空間解析

　結合度指標・・・ネットワーク全体の様子を表す

　近接度指標・・・各ノードの様子を表す

　近接度指標は，各ノードのネットワーク中における「便利さ」を示すと考えて良い．

VI-5.3 　近接度（ accessibility ）指標

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1) ケケケケケ指数

　各ノードから最遠点までの距離

　ケーニッヒ指数の小さなノードは，他のノードに対して近接性が高く，ネットワークの中心にあると考えて良い．

ケーニッヒ指数

4 3

4

4

4

3

4

32

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（参考） ケケ

　単一グラフにおける全ケーニッヒ指数の最大値

　グラフの歪み（扁平度）を表す

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2) ケケケケ指数（近接指数）

　各ノードから全てのノードまでの距離の和

　ケーニッヒ指数と同様，ノードの近接性や中心性を表す．

シンベル指数

25 18

18

18

17

12

20

1313

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　以上挙げた 2 種類の指標群は，いずれもネットワークの接続状態だけに注目し，ノードやリンクの属性を全く考慮していない．しかし例えば，道路網の評価を行う際には，道路の容量や混雑度なども考慮に入れる必要がある．このような，ノードやリンクの属性を考慮する指標も多数提案されているが，ここでは時間の都合上，割愛する．

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VI-5.4 　ネットワーク分析の応用　－　都市の発展過程

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　連続分布とは．．．

　　 2 次元平面上の一点を与えたときに，そこにおける数値が一つ定まるデータ

　　スカラー場

　　

　 　 例：標高や地価， CO2 分布

VI-6 　連続分布（サーフェス）を分析する方法

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　但し，連続分布を GIS で表現する場合には，サンプル点のデータに基づく補間を用いるか，あるいは，空間集計単位による集計を用いることになり，表現形式上，データは 2 種類に分類される．

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サーフェス（ surface ）：

　サンプル点におけるデータに基づいた補間によって構成される連続分布

　例：標高値や地価，気温など

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面データ（ areal data, area data ）：

　空間集計単位ごとにデータを集計して構成される連続分布

　例：町丁目ごとの人口密度，街区ごとの建蔽率など

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サーフェスと面データの違い

　サーフェス： 滑らかな関数

自然地理発祥

　面データ：階段状の関数

人文地理発祥

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　「密度」という，空間のある領域を定めない限り得られない値は面データにしか現れない．

　但し，これらはそれほど本質的な差異ではない．従って，ほとんどの分析手法はいずれにも適用可能である．

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　サーフェスを簡単な多項式で近似し，その特性を見る方法．

　例： z=a+bx+cxy+dy+ex2+fx2y+gx2y2+hxy2+iy2

　式の当てはめは，通常は最小二乗法を用いる．

VI-6.1 　傾向面分析

VI.　空間解析

傾向面分析の問題点

　サーフェスが，簡単な多項式で表されるほどに単純であれば有効であるが，そうでなければ結果の解釈が難しい

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　分析領域 R

　サーフェス関数 f(x)

VI-6.2 　バリオグラム（ variogram ）

VI.　空間解析

バリオグラム関数 (x)

xt

xttx

x txt

x txt

dd 2

dd

,

,

2

R hR

R hRff

h

　この関数は，分析領域 R において，距離が hだけ離れた 2 点間での，サーフェス関数 f(x) の値の差の二乗の平均値である．つまり，空間的にどのくらい距離が離れると，関数の値がどのくらい異なるのかを表現したと考えればよい．

nickel concentrations in north Vancouver Island

0.00.20.40.00.8

1.0

0.0 1.0 2.0

(x)

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　サーフェスデータの全体的な構造を表す，全く別の方法として位相法がある．これは，頂点や底，尾根，谷など，サーフェスの局所的な位相特性に着目し，それらの相互関係を記述するものである．

VI-6.3 　位相法

peak （頂点） bottom （底）

col （鞍点） 　 slope （斜面）

VI.　空間解析

　これら 4 つの特性点と，それらを繋ぐ尾根線を全てサーフェス上に描く．そして，それらの接続状態を前述のネットワーク分析法によって分析する．