praovnÝ zoŠitsosstrazske.wbl.sk/moderna_skola_-_dokumenty/ucebny... · 2015-09-25 · funkcie –...
TRANSCRIPT
„Moderná škola – cesta ku kvalitnému vzdelávaniu, kvalita vo vzdelávaní, úspech našich absolventov na trhu práce“
Strana 1 z 27
TREDNÁ ODBORNÁ ŠKOLA STRÁŽSKE
PRACOVNÝ ZOŠIT
k predmetu Matematika pre
2. ročník SOŠ v Strážskom, študijný odbor 3760 6 00 prevádzka a ekonomika
dopravy
Operačný program: Vzdelávanie
Programové obdobie: 2007-2013
Prijímateľ: Stredná odborná škola, Mierová 727, Strážske
Názov projektu: „Moderná škola – cesta ku kvalitnému vzdelávaniu,
kvalita vo vzdelávaní, úspech našich absolventov na
trhu práce“
Kód ITMS projektu: 26110130595
Číslo a názov pozície: 3.1.32 Metodik pre prípravu a tvorbu učebných
materiálov pre žiakov v predmete Matematika
Spracovala: Mgr. Marta Bočanová
„Moderná škola – cesta ku kvalitnému vzdelávaniu, kvalita vo vzdelávaní, úspech našich absolventov na trhu práce“
Strana 2 z 27
Obsah
1. Rovnice – opakovanie
1.1. Rovnosť a rovnica, koreň rovnice
1.2. Lineárne rovnice
1.3. Kvadratické rovnice
1.3.1. Druhy kvadratických rovníc
1.3.2. Riešenie kvadratických rovníc
1.3.2.1. Kvadratické rovnice bez absolútneho člena
1.3.2.2. Rýdzo kvadratické rovnice
1.3.2.3. Normovaný tvar kvadratickej rovnice
1.3.2.4. Všeobecná kvadratická rovnica úplná
1.4. Cvičenia
2. Funkcie – opakovanie
2.1. Opakovanie základných pojmov
2.2. Kvadratická funkcia
2.3. Cvičenia
3. Nerovnice – opakovanie
3.1. Kvadratická nerovnica
3.2. Cvičenia
4. Použitá literatúra
„Moderná škola – cesta ku kvalitnému vzdelávaniu, kvalita vo vzdelávaní, úspech našich absolventov na trhu práce“
Strana 3 z 27
1. Rovnice - opakovanie
1.1. Rovnosť a rovnica, koreň rovnice V matematike sa často stretávame s rovnosťou dvoch výrazov. Znamená to, že sa dva výrazy rovnajú.
Prvý výraz označíme veľkým písmenom L – nachádza sa na ľavej strane.
Druhý výraz označíme veľkým písmenom P – nachádza s na pravej strane.
Čiže dva výrazy sa rovnajú a zapíšeme to L = P. Ak je vo výraze aj neznáma x, vzniká rovnica.
Pomocou rovnice zistíme, pre ktoré čísla platí, že L = P. To znamená, že ak za premennú x
dosadíme číslo, dostanem rovnosť dvoch výrazov. Všetky takéto čísla nazývame koreňmi rovnice,
alebo riešením rovnice. Množinu takýchto čísel označíme veľkým písmenom K. O správnosti riešenia
rovníc je potrebné sa presvedčiť skúškou správnosti.
1.2. Lineárne rovnice Tieto rovnice nazývame aj ako rovnice prvého stupňa. Ak po úprave rovnice pomocou
ekvivalentných úprav dostaneme tvar , hovoríme o lineárnej rovnici.
Ekvivalentné úpravy:
ak k obidvom stranám rovnice pripočítame ten istý výraz, koreň rovnice sa nemení
ak obidve strany rovnice násobíme tým istým výrazom rôznym od nuly
obidve strany rovnice môžeme zameniť
Okrem týchto úprav používame pri riešení rovníc aj tzv. dovolenú úpravu:
obidve strany rovnice môžeme umocniť rovnakým mocniteľom
Táto úprava nie je ekvivalentná, preto musíme urobiť skúšku správnosti riešenia.
Máme koreň rovnice . Je to jediný koreň rovnice a je ním číslo 4. Ak použijeme úpravu č. 4 –
umocníme obidve strany, dostaneme rovnicu , lenže táto rovnica má dva korene a sú to čísla
4, -4.
Pri úpravách lineárnych rovníc postupujeme takto:
1.) Odstránime zátvorky
2.) Odstránime zlomky vhodným vynásobením obidvoch strán
3.) Rovnicu upravíme na tvar a obidve strany vydelíme číslom a
„Moderná škola – cesta ku kvalitnému vzdelávaniu, kvalita vo vzdelávaní, úspech našich absolventov na trhu práce“
Strana 4 z 27
1.3. Kvadratické rovnice
Kvadratickou rovnicou s jednou neznámou nazývame každú rovnicu, ktorú môžeme ekvivalentnými úpravami upraviť na tvar
kde:
x je neznáma, premenná
a, b, c sú koeficienty, ktoré sú reálnymi číslami
Celý tento výraz ax2 + bx + c nazývame kvadratický trojčlen
Člen ax2 sa nazýva kvadratický člen
Člen bx sa nazýva lineárny člen
Člen c sa nazýva absolútny člen
1.3.1. Druhy kvadratických rovníc
Všeobecný tvar kvadratickej rovnice , kde a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0.
Normovaný tvar kvadratickej rovnice x2 + bx + c = 0, kde a = 1 , b ≠ 0, c ≠ 0 alebo x2 + px + q = 0
Pre korene x1 a x2 normovanej rovnice platí: , .
Rýdzo kvadratická rovnica ax2 + c = 0, kde a≠ 0, b = 0, c ≠ 0 (chýba nám tu lineárny člen bx = 0)
Kvadratická rovnica bez absolútneho člena ax2 + bx = 0, kde a ≠ 0, b ≠ 0, c = 0 (chýba nám tu
absolútny člen c = 0).
1.3.2. Riešenie kvadratických rovníc
1.3.2.1. Kvadratické rovnice bez absolútneho člena.
Tento druh kvadratických rovníc riešime pomocou vyberania neznámej pred zátvorku. Potom
použijeme poučku: „Súčin čísel sa rovná nule, ak aspoň jedno z čísel je nula“.
Príklad
Riešte kvadratickú rovnicu 3x2 + 7x = 0
„Moderná škola – cesta ku kvalitnému vzdelávaniu, kvalita vo vzdelávaní, úspech našich absolventov na trhu práce“
Strana 5 z 27
Riešenie
3x2 + 7x = 0 / teraz vyberieme pred zátvorku neznámu x
X (3x +7) = 0 /teraz sme rozložili výraz na súčin, riešime poučkou o súčine
x = 0 /prvé číslo sa rovná 0
x1 = 0
druhé číslo súčinu sa rovná nule
3x + 7 = 0 /riešime ako lineárnu rovnicu
3x = -7
x= -
/ druhé číslo sa rovná nule
x2 = -
Skúška
x = 0
L = 0 . ( 3.0 + 7) = 0 P = 0
x = -
L = 3.(
)2 + 7.(
) = 3.
- 7.
= 0 P = 0
Rovnica má korene x1 = 0, x2 =
Rovnica má korene K = {0, -7/3}
1.3.2.2. Rýdzo kvadratické rovnice
Takéto rovnice riešime rozkladom na súčin dvojčlena, alebo rovnicu jednoducho odmocníme.
Nesmieme zabudnúť, že odmocnina čísla má dve riešenia. Jedno so znamienkom + a jedno so
znamienkom -.
Príklad
Riešte kvadratickú rovnicu x2 = 16
Riešenie
x2 - 16 = 0 /rozložíme na súčin dvojčlenov
„Moderná škola – cesta ku kvalitnému vzdelávaniu, kvalita vo vzdelávaní, úspech našich absolventov na trhu práce“
Strana 6 z 27
(x + 4 ) . (x - 4) = 0 / teraz využijeme poučku: súčin čísel sa rovná nule, ak aspoň jedno číslo sa rovná nule. Uvažujeme, že prvé číslo sa rovná nule.
x + 4 = 0 /riešime ako lineárnu rovnicu
x1 = - 4
Teraz druhé číslo sa rovná nule.
x – 4 = 0 /riešime ako lineárnu rovnicu
x2= 4
Skúška
x = -4
L (-4)2 – 16 = 16 – 16 = 0 P = 0
x = 4
L 42 – 16 = 0 P = 0
16 – 16 = 0
Rovnica má dve riešenia x1 = -4, x2 = 4
K = {-4,4}
Príklad
Riešte kvadratickú rovnicu x2 = 81
Riešenie
x2 = 81 /rovnicu jednoducho odmocníme
x = √81 /nesmieme zabudnúť, že odmocninou čísla sú dva korene
x1 = +9, x2 = -9
Skúška
Pre x1 = 9:
L = 92 = 81 P = 81
Pre x2 = -9:
L = (-9)2 = 81 P = 81
Koreňmi rovnice sú čísla x1 = -9, x2 = 9
K = {-9,9}
„Moderná škola – cesta ku kvalitnému vzdelávaniu, kvalita vo vzdelávaní, úspech našich absolventov na trhu práce“
Strana 7 z 27
Príklad
Riešte kvadratickú rovnicu 2x2 + 3 = 0
Riešenie
2x2 + 3 = 0
2x2 = - 3
x2 = -
/teraz by sme mali rovnicu odmocniť, lenže odmocniť môžeme len čísla kladné, nanajvýš
rovné nule. Takže záporné číslo -
nevieme odmocniť v R a preto daná rovnica nemá riešenie v R.
K= Ø
1.3.2.3. Normovaný tvar kvadratickej rovnice
Normované kvadratické rovnice riešime skusmo, pomocou vlastností koreňov kvadratickej rovnice,
alebo doplnením na úplný štvorec.
Príklad
V množine R riešte kvadratickú rovnicu x2 +2x – 63 = 0
Riešenie
Rovnicu x2 + 2x – 63 = 0 riešime doplnením na úplný štvorec
x2 + 2x - 63 = 0
x2 + 2x = 63 /teraz dvojčlen na ľavej strane doplníme na kvadratický trojčlen , podľa vzorca
by sme za B2 mali dosadiť číslo 1
x2 + 2x +1 = 63 + 1 / číslo 1 pripočítame k obidvom stranám, aby bola zachovaná rovnosť strán,
ľavú stranu upravíme na súčin dvojčlena
(x + 1)2 = 64 /odmocníme
x + 1 = 8
x + 1 = 8 x + 1 = - 8
x1 = 7 x2 = - 9
Skúška
Pre x1 = 7: L1 = (7)2 + 2 . 7 – 63 = 49 + 14 -63 = 0 P1 =0
Pre x2 = -9: L2 = (-9)2 + 2 . (-9) – 63 = 81 -18 – 63 = 81 – 81 = 0 P2 =0
„Moderná škola – cesta ku kvalitnému vzdelávaniu, kvalita vo vzdelávaní, úspech našich absolventov na trhu práce“
Strana 8 z 27
Tejto rovnici vyhovujú korene x1 = 7, x2 = -9
K = {7,-9}
Príklad
Riešte rovnicu x2 - x - 6 = 0 pomocou vlastností koreňov
Riešenie
x2 - x - 6 = 0 pre korene platí: p = -(x1 + x2) a q = x1 . x2
V našej rovnici p = -1 , q = -6
p = - (x1 + x2) q = x1 .x2
-1 = - (x1 + x2) /.( -1) - 6 = x1 .x2
1 = x1 + x2
Za predpokladu, že sú korene celé čísla, platí - 6 = - 1 . 6 , alebo 6 . (-1), alebo - 3 . 2, alebo -2 . 3 súčasne platí -p = x1 + x2 , čiže 1 = x1 + x2 . Ak urobíme súčet koreňov -1 +6 ≠1 ani 6 + (-1) ≠ 1 ani
-3 + 2 ≠ 1 ale -2 + 3 = 1. Takže koreňmi rovnice budú čísla x1 = -2, x2 = 3.
Skúška
Pre x1 = -2: L1 = (-2)2 - (-2) – 6 = 4 + 2 – 6 = 0 P1 = 0 Pre x2 = 3: L2 = 32 – 3 – 6 = 9 – 9 = 0 P2 = 0
K = {-2,3}
Na určenie koreňov normovanej kvadratickej rovnice máme aj vzorec
1.3.2.4. Všeobecná kvadratická rovnica úplná
Tvar všeobecnej kvadratickej rovnice je ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0, a ≠ 1. Jej korene určíme pomocou vzorca
,
kde D = b2 – 4ac nazývame diskriminant kvadratickej rovnice.
„Moderná škola – cesta ku kvalitnému vzdelávaniu, kvalita vo vzdelávaní, úspech našich absolventov na trhu práce“
Strana 9 z 27
Keď je diskriminant b2 – 4ac 0 ( kladné číslo), má kvadratická rovnica dva rôzne korene.
Keď je diskriminant b2 – 4ac = 0, má kvadratická rovnica jeden dvojnásobný koreň.
Keď je diskriminant b2 – 4ac < 0 (záporný) nemá rovnica v R koreň.
Pri riešení rovnice je dobré najprv určiť hodnotu diskriminantu D, a až potom dosadiť do vzorca pre
výpočet koreňov kvadratickej rovnice.
Príklad
Riešte kvadratickú rovnicu 12x2 - 5x -3 = 0 v R
Riešenie
Určíme si koeficienty jednotlivých členov a = 12, b = - 5, c = -3
Teraz si určíme hodnotu diskriminanta D = b2 – 4ac = (-5)2 – 4-12.(-3) = 25 + 144 = 169
D > 0, rovnica má dva rôzne korene.
Na ich výpočet použijeme vzorec
X1 = -
x2 =
Koreňmi tejto rovnice sú čísla x1 = -
, a x2 =
.
K = {-1/3;3/4}
Príklad
Riešte kvadratickú rovnicu x2 – 8x + 16 = 0 v množine R
Riešenie
Určíme si jednotlivé koeficienty a = 1, b = -8, c = 16
D = (-8)2 – 4.1.16 = 64- 64 = 0
D = 0, z toho vyplýva, že rovnica má len jedno riešenie.
X1,2 =
=
=
= 4
Koreňom tejto rovnice je číslo 4.
K = {4}
„Moderná škola – cesta ku kvalitnému vzdelávaniu, kvalita vo vzdelávaní, úspech našich absolventov na trhu práce“
Strana 10 z 27
Príklad
Riešte rovnicu 2x2 - 5x + 6 = 0 v množine R
Riešenie
Určíme si koeficienty a = 2, b = -5, c = 6
Určíme si D.
D = (-5)2 – 4.2.6 = 25 – 48 = -23
Keďže D rovnica nemá riešenie v R, ďalšie riešenie nie je nutné.
K = Ø
1.3.3. Cvičenia
1. Riešte rovnice
a.) (x – 2)(x - 1) = 0 b.) (x + 3)(2x - 5) = 0 c.) (5 – 3x)(-2x - 5) = 0
a.) {2;1} b.) {-3;2,5} c.) {
}
2. Riešte kvadratické rovnice v množine R
a.) (u - 2)2 = 0 b.) (0,5 - u)2 = 0 c.) (2u - 11)2 = 0 d.) v2 – 4 = 0
a.) {2;0 } b.) {0;5} c.) {5;5} d.) {-2;2}
3.) Riešte kvadratické rovnice v množine R
a.) x2 - 6x + 8 = 0 b.) x2 – 6x + 5 = 0 c.) 4x2 – 4x – 1 = 0
d.) x 2 + x + 1 = 0 e.) 3x2 + 5x + 1 = 0 f.) 6x2 + 7x + 1 = 01
a.) {2;4} b.) {5;2} c.) {
,
}
d.)nemá riešenie,
e.) {
,
} f.) {-1;- }
4. Riešte v množine R dané kvadratické rovnice
a.) 5x 2 +10x-36 = -3(x+2)2 + 24x-23 b.)
- 1 = 0
a.) {
,
} b.) { })
5. V pravouhlom trojuholníku je jedna odvesna o 1 m kratšia ako prepona, druhá o 2 m kratšia ako
prepona. Určte dĺžky všetkých strán trojuholníka. {3m;4m;5m}
„Moderná škola – cesta ku kvalitnému vzdelávaniu, kvalita vo vzdelávaní, úspech našich absolventov na trhu práce“
Strana 11 z 27
2. Funkcie - opakovanie
2.1. Opakovanie základných pojmov
Funkcia vyjadruje vzťah medzi číslami, kde zmena jedného má za následok zmenu ďalších čísel.
Funkcia znamená predpis, ktorým sa ku každému číslu x priraďuje jedno a len jedno číslo y.
Číslo x nazývame nezávislá premenná, (nezávisí od iného čísla).
číslo y nazývame závislá premenná (závisí, mení sa, podľa čísla x).
Napríklad vo vzorci y = ax sú tri veličiny a – čas potrebný na výrobu jedného výrobku, x – počet
výrobkov, y – výrobný čas všetkých výrobkov. X a y sú premenné, číslo a voláme konštantou. Množinu
všetkých hodnôt premennej x voláme definičný obor funkcie f, označujeme ho D(f). Množinu
všetkých hodnôt premennej y nazývame obor hodnôt funkcie f. Označujeme ho H(f). Ku každému x
je pomocou vzorca priradené práve jedno y.
x a y tvoria usporiadanú dvojicu [x, y] ϵ f.
Príklad
Máme danú funkciu g s definičným oborom R, v ktorej každému číslu x ϵ R je priradené číslo 2,5x; čiže
pre každé x ϵ D(f) sa hodnota funkcie g rovná 2,5x.
Funkciu g môžeme zapísať viacerými spôsobmi:
g = {[x, y] ϵ R x R: y = 2,5x}
Jednoduchší zápis:
g : y = 2,5x, x ϵ R čítame „funkcia g s definičným oborom R, v ktorej každému x ͼ R je priradené
y = 2,5x“.
Stručnejší zápis :
y = 2,5x, x ϵ R čítame „funkcia y = 2,5x s definičným oborom R“
ďalšie zápisy funkcie
x → 3x, x ϵ R
f(x) = 3x, x ϵ R
Zápis f(a) znamená hodnotu funkcie f pre hodnotu a premennej x.
„Moderná škola – cesta ku kvalitnému vzdelávaniu, kvalita vo vzdelávaní, úspech našich absolventov na trhu práce“
Strana 12 z 27
2.2. Kvadratická funkcia
Definícia : Funkcia f: y = a +bx +c, x ϵ R, kde a ,b, c ϵ R , a≠0, sa nazýva kvadratická funkcia.
Výraz ax2 +bx +c sa nazýva kvadratický trojčlen.
Výraz ax2 sa nazýva kvadratický člen.
Výraz bx voláme lineárny člen , a c je absolútnym členom kvadratického trojčlena.
Čísla a, b, c sa nazývajú koeficienty kvadratického trojčlena.
Číslo D = b2 – 4ac sa nazýva diskriminant kvadratického trojčlena.
Krivka, ktorá je grafom kvadratickej funkcie, sa nazýva parabola. Túto krivku tvoria ramená a vrchol
paraboly. Je súmerná podľa osi o, ktorá je rovnobežná s osou y, a prechádza cez vrchol paraboly.
Ak je koeficient a kvadratického člena záporný, nadobúda kvadratická funkcia najväčšie hodnoty pre
x = -
,
(t. j .vrchol je „najvyšší“ bod paraboly . Parabola je „otvorená nadol“ ) .
Ak je koeficient a kvadratického člena kladný, nadobúda kvadratická funkcia najmenšie hodnoty pre
.
( t.j. vrchol je „najnižší“ bod paraboly. Parabola je „otvorená nahor“) .
Ak je diskriminant D < 0, nepretína os x
Ak D = 0 je vrchol jediný spoločný bod s osou x
Ak D > 0 pretína parabola os x v dvoch jej bodoch koreňoch rovnice ax2 + bx + c = 0.
Postup pri vyšetrovaní kvadratickej funkcie:
1. Podľa znamienka koeficienta pri kvadratickom člene rozhodneme o type grafu
vyšetrovanej funkcii.
2. Určíme súradnice vrcholu paraboly, zostrojíme vrchol a zostrojíme os paraboly, ktorá
prechádza vrcholom V paraboly.
3. Zostavíme tabuľku hodnôt y vyšetrovanej funkcie pre zvolené x, zostrojíme príslušné
body a spojíme ich.
„Moderná škola – cesta ku kvalitnému vzdelávaniu, kvalita vo vzdelávaní, úspech našich absolventov na trhu práce“
Strana 13 z 27
Príklad
Vyšetrite kvadratickú funkciu f: y = x 2 a zostrojte jej graf.
Riešenie
Teraz si vyhodnotíme koeficienty. Koeficient kvadratického člena a = 1, a súčasne a > 0
To nám súčasne ukazuje na to, aký bude tvar paraboly. Ešte nám chýba hĺbka paraboly.
Preto si teraz vypočítame diskriminant.
Diskriminant D = b2 – 4.ac = 0
V = [0.0]
Načrtneme si graf
Na grafe vidíme, že celý graf je nad osou x. Obor funkčných hodnôt sa ukazuje iba na R+
„Moderná škola – cesta ku kvalitnému vzdelávaniu, kvalita vo vzdelávaní, úspech našich absolventov na trhu práce“
Strana 14 z 27
Príklad
Vyšetrite kvadratickú funkciu f: y = 2x2 a zostrojte jej graf.
Riešenie
Teraz pouvažujeme. Vieme že koeficient kvadratického člena je dvakrát väčší ako v rovnakej
rovnici. Čiže vieme, že a = 2, a vieme že aj a > 0. Vidíme, že je graf podobný minulému grafu.
Vypočítajme diskriminant.
Diskriminant D = 0 . Takže bod, v ktorom bude parabola najnižšie, bude mat najnižšie hodnoty, bude D = (0,0}
Nakreslíme si graf
Vo výsledku vidíme, že graf je tak isto ako aj predchádzajúci graf, iba nad osou x. Jeho ramená sú bližšie k osi y.
„Moderná škola – cesta ku kvalitnému vzdelávaniu, kvalita vo vzdelávaní, úspech našich absolventov na trhu práce“
Strana 15 z 27
Príklad
Vyšetrite kvadratickú funkciu f:y = -3x2 a zostrojte jej graf.
Riešenie
Vypočítame si koeficient kvadratického člena. Je ním číslo a = -3.Takže a < 0. Z toho budú vychádzať aj výsledky.
Ideme si vypočítať výsledky.
D = b2 – 4ac =02 – 4.(-3 ) .0 = 0
D = O
X = 0 y = 0
Takže diskriminant bude D = (0,0)
Načrtneme graf
P = R -
Takto vyzerá graf funkcie. Obor pravdivosti je teraz R-
Príklad
Vyšetrite kvadratickú funkciu f: y = -3 x2 + 3
„Moderná škola – cesta ku kvalitnému vzdelávaniu, kvalita vo vzdelávaní, úspech našich absolventov na trhu práce“
Strana 16 z 27
Riešenie
Na prvý pohľad je táto rovnica ako tá pred ňou, no má aj absolútny člen 3.
Teraz si nájdeme koeficienty. Kvadratický člen má za koeficienta písmeno a a jeho hodnota je a = -3.
Ďalší koeficient je koeficient c. Jeho hodnota je rovná +3. Treba nám vypočítať, aký bude graf.
Teraz si vypočítame hodnoty vzorca.
Diskriminant D = b2 – 4ac = 0 -4.(-3).3 = 0 + 36 = 36
Teraz si vypočítame vrchol.
Pre x =
= 0. Pre y =
= 3 – 0 = 3
Teraz má aj svoje posunutie.
Nakreslíme graf.
P = (0,3) Ramená idú do opačnej strany, lebo a = -3
Príklad
Vyšetrite kvadratickú funkciu f: y = x2 + 2x – 3 a zostrojte jej graf.
Riešenie
Pri kvadratickom člene sa v našej situácii nachádza koeficient a , a = 1, a > 0. Teraz je parabola funkcie otvorená nahor. A bod V je jej najnižším bodom.
Pre koeficienty a = 1, b = 2, c = -3. Teraz je čas na vrchol V.
X = -
= -1
y = c -
= - 4
Vrchol má nove hranice a sú to V = [-1,-4]
Teraz si zostrojíme graf.
„Moderná škola – cesta ku kvalitnému vzdelávaniu, kvalita vo vzdelávaní, úspech našich absolventov na trhu práce“
Strana 17 z 27
Vidíme, má že tento graf má dva body, ktorými prechádza. Zastavuje sa na najnižšom bode.
Príklad
Vyšetrite kvadratickú funkciu f: y = x2 - 6x +9 a zostrojte graf funkcie
Riešenie
Zistili sme, že koeficient kvadratického člena a=1, a>0, potom z toho vyplýva, že graf funkcie bude
otvorený hore. Zistíme si súradnice vrcholu V = [x;y]
Koeficienty sú z našej rovnice a = 1, b = -2, c = 9
x = -
= 3
Y = c –
= 0
Vrchol bude mať teraz súradnicu V = [3,0]. Koeficient a = 1, znamená, že ramená grafu budú hore.
„Moderná škola – cesta ku kvalitnému vzdelávaniu, kvalita vo vzdelávaní, úspech našich absolventov na trhu práce“
Strana 18 z 27
Graf funkcie
P = R+
Príklad
Vyšetrite priebeh kvadratickej funkcie f: y = - x2 +2x – 2
Riešenie
Určíme koeficient kvadratického člena a=-1, a<0. Z tohto zistenia vidíme, že graf bude dole otvorený a jeho najvyšším bodom bude vrchol ( graf bude mať tvar kopca).
Teraz zistíme súradnice vrcholu V, pričom hodnoty ďalších koeficientov sú b=2, c=-2 a z toho vyplýva, že vrchol V má súradnice [1,-1].
„Moderná škola – cesta ku kvalitnému vzdelávaniu, kvalita vo vzdelávaní, úspech našich absolventov na trhu práce“
Strana 19 z 27
Pomocou tabuľky si určíme súradnice ďalších bodov grafu.
Nakreslíme si graf
Aj keď je rovnica na konci, môžeme si všimnúť jej postavenie. Paragraf je na konci najlepším dôkazom
toho, o čom sme rozmýšľali. Vrchol paraboly je V = [1,-1] a ramená idú dole a nie hore. Tak potom
je správne otvorený náš graf.
X -2 -1 0 1 2 3 4
Y -10 -5 -2 -1 -2 -5 -10
„Moderná škola – cesta ku kvalitnému vzdelávaniu, kvalita vo vzdelávaní, úspech našich absolventov na trhu práce“
Strana 20 z 27
2.3. Cvičenia
1.) Doplňte tabuľku hodnôt pre funkciu f:
f: y = -X2 +11X -2
X -2 0 3 3,5 6 129
y
2.) Určte kvadratickú funkciu, ktorej patria dvojice a.) [-4, 49], [-2, 13], [7, 148] b.) [8, -123], [5, -48], [-2,5, -18] a.)f: y = 3x2 +1 b.)f: y=2x2 +x-3
3.) Zostrojte grafy nasledujúcich funkcií v intervale (-4,4)
a.) f1: y = 0,1x2 b.)f2 : y = x2 c.) f3: y = -2x2 d.) f4: y = -3x2
4.) Určte súradnice vrcholov parabol, ktoré sú grafmi kvadratických funkcii:
. a.) y = 0,32x2 b.) y = 6x2 +3 c.) y = -2(x-1)2 d.) y = 5(x+2)2
f.) y = 2(x+2)2 + 2 g.) y = 3[(x-1)2 +1] h.) y = -5(x+7)2 -0,2
a.) V[0,0] b.) V[0,3] c.) V[2,-2] d.)V[2,0]
f.) V[-2,2] g.) V[1,3] h.) V[-7,-0,2]
5.) Určte súradnice vrcholov parabol, ktoré sú grafmi daných kvadratických funkcii:
a.) y = x2 + 2x – 3 b.) y = - x2 + 14x – 49 c.) y = x2 – 4x - 21
a.) V[-1.-4] b.) V[7.0] c.) V[2,-21]
„Moderná škola – cesta ku kvalitnému vzdelávaniu, kvalita vo vzdelávaní, úspech našich absolventov na trhu práce“
Strana 21 z 27
3. Nerovnice - opakovanie
l(x) < p(x), l(x) ≤ p(x), l(x) > p(x), l(x) ≥ p(x), kde výraz l(x) znamená ľavú stranu nerovnice a výraz p(x) znamená pravú stranu nerovnice
Nerovnice l(x) < p(x) a l(x) > p(x) voláme ostré nerovnice ,
Nerovnice l(x) ≤ p(x) a l(x) ≥ p(x) voláme neostré nerovnice
Množinu riešení nerovnice označujeme P alebo PM.
Ekvivalentné úpravy nerovníc
Pričítanie toho istého čísla alebo výrazu k obidvom stranám nerovnice
Násobenie alebo delenie obidvoch strán nerovnice kladným číslom alebo výrazom, ktorý je v obore riešenia nerovnice kladný
Násobenie obidvoch strán nerovnice záporným číslom alebo výrazom, ktorý je v obore riešenia nerovnice záporný, a zámena pravej a ľavej strany nerovnice (alebo zmena znaku nerovnosti na opačný).
3.1. Kvadratická nerovnica
Nerovnica, ktorú môžeme prepísať pomocou ekvivalentných úprav na tvar
ax2 + bx + c > 0, a≠ 0 ax2 + bx + c ≥ 0, a ≠ 0 ax2 + bx + c < 0, a ≠ 0 ax2 + bx + c ≤ 0, a ≠ 0
sa volá kvadratická nerovnica s jednou neznámou, kde a, b, c, sú reálne čísla.
Postup pri riešení kvadratickej nerovnice:
Upravíme danú nerovnicu ekvivalentnými úpravami na niektorý z tvarov kvadratickej nerovnice. Podľa znamienka koeficienta pri kvadratickom člene rozhodneme, či grafom kvadratickej funkcie
f : y = ax2 + bx + c, x ϵ R je parabola „otvorená nahor“ (dolina) alebo „otvorená nadol“ (kopec).
Určíme diskriminant D kvadratického trojčlena ax2 +bx + c, v prípade D ≥ 0, určíme korene rovnice ax2 + bx +c = 0
Načrtneme si graf funkcie f a súčasne určíme riešenie nerovnice.
Riešte v množine R dané kvadratické nerovnice.
„Moderná škola – cesta ku kvalitnému vzdelávaniu, kvalita vo vzdelávaní, úspech našich absolventov na trhu práce“
Strana 22 z 27
Príklad
Riešte v množine R nerovnicu x2 – 3x – 28 > 0
Riešenie
Nerovnicu prepíšeme na funkciu f: y = x2 – 3x – 28. Vidíme, že koeficient kvadratického člena je 1>0, preto graf kvadratickej funkcie bude parabola „ otvorená nahor“ (dolina).
Určíme si diskriminant kvadratického trojčlena.
D = (-3)2 – 4.1.(-28) = 9 + 112 = 121
D = 121 > 0, takže graf funkcie f pretína os x v dvoch bodoch, ktoré sú aj koreňmi kvadratickej rovnice x2 – 3x -28 = 0.
Teraz si určíme korene rovnice.
X1,2 =
=
X1 =
x2 =
=- 4
Teraz si načrtneme graf funkcie, ktorý ma x-ovej osi prechádza bodmi -4, a 7 a je „otvorený nahor“ čiže má tvar doliny. Súčasne y = x2 -3x -28 > 0 (máme urči množinu všetkých x, ku ktorým priradené y podľa funkcie sú väčšie ako 0, .
P = (-∞,-4) (7, )
Iba tieto korene, kde má funkcia kladné korene , môže byť väčšia ako nula.
„Moderná škola – cesta ku kvalitnému vzdelávaniu, kvalita vo vzdelávaní, úspech našich absolventov na trhu práce“
Strana 23 z 27
Príklad
Riešte v R nerovnicu x2 +2x – 3 0
Riešenie
Nerovnicu prepíšeme na funkciu f: y = x2 +2x – 3. Koeficient kvadratického člena je 1>0, takže graf funkcie bude parabola „otvorená nahor“ (dolina).
Určíme si diskriminant kvadratického trojčlena.
D = 22 – 4. 1.(-3) = 4 + 12 = 16
D = 16 > 0, z toho vyplýva, že grafom je parabola, ktorá pretína x-ovú os v dvoch bodoch.
X1,2 =
X1 =
= 1 x2 =
= -3
P = (-3,1) Náš graf je teraz pod osou x. Patrí k nemu práve táto časť grafu.
Príklad
Riešte v R nerovnicu: 9x2 +12x+4 0
Riešenie
Keďže koeficient kvadratického člena je 9 > 0, grafom kvadratickej funkcie y = 9x2 +12x+4 je parabola „otvorená nahor“. Teraz si určíme hodnotu diskriminantu
D = 122 – 4.9.4 = 144 – 144 = 0
„Moderná škola – cesta ku kvalitnému vzdelávaniu, kvalita vo vzdelávaní, úspech našich absolventov na trhu práce“
Strana 24 z 27
Pretože D = 0, graf funkcie f sa dotýka x-ovej osi v jedinom bode, ktorý je zároveň koreňom kvadratickej rovnice 9x2 +12x +4= 0.Vypočítame koreň rovnice
X1 =
=
Teraz si načrtneme graf funkcie.
kedže a>0, musí byť hore otvorený graf,
Príklad
Riešte v R nerovnicu
5x + 3 3x2 + 10
Riešenie
Našu nerovnicu upravíme pomocou ekvivalentných úprav na nerovnicu
-3x2 + 5x – 7 < 0
Určíme si koeficient kvadratického člena , ktorým je číslo -3 0. Z tejto vlastnosti vyplýva, že grafom je parabola „otvorená nadol“.
Teraz si určíme diskriminant kvadratického trojčlena.
D = 52 – 4.(-3).(-7) = 25 – 84 = -59 <0
Keďže D<0 rovnica nepretína graf v dvoch bodoch, a nepretína x-ovú os ani v jednom bode
D< 0, preto graf nepretína x-ovú os.
„Moderná škola – cesta ku kvalitnému vzdelávaniu, kvalita vo vzdelávaní, úspech našich absolventov na trhu práce“
Strana 25 z 27
P = R
3.2. Cvičenia
1.) Riešte v množine R dané nerovnice
a.) -2(x - 1)2 ≤ 0 b.) -x2 ≤ 0 c.) -3(x+1)2 - 2 > 0
a.) R b.) {0} c.)
2.) Riešte v množine R dané nerovnice
a.) x2 - 3x – 28 > 0 b.) x2 - 3x – 28 ≤ 0
c.) -x2 + x – 17 < 0 d.) x2 +8x + 16 < 0
a.) ( b.) (-4;7)
c.) R d.)
„Moderná škola – cesta ku kvalitnému vzdelávaniu, kvalita vo vzdelávaní, úspech našich absolventov na trhu práce“
Strana 26 z 27
Zoznam použitej literatúry
Jirásek F., Braniš K., Horák S., Vacek M. : Zbierka úloh z matematiky pre SOŠ a študijné odbory
SOU. 4 vydanie. SPN Bratislava 1997, ISBN 80-08-02633-2
Odvárko O., Řepová J. , Skříček L.: Matematika pre študijné odbory SOŠ a SOU. 4. vydanie. SPN
Bratislava 1993, ISBN 80-08-02112-8
Odvárko O., Calda E., Řepová J.: Matematika pre SOŠ a študijné odbory SOU. 1. vydanie. SNP
Bratislava 1987.
Jozífek V., Horák S.: Matematika pre 1. a 2. ročník OU a UŠ. 2. vydanie. SPN Bratislava 1976