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1) Qual é o primeiro termo de uma P.A cujo sétimo termo é 46, sendo o termo precedente 39? R: Queremos calcular o primeiro termo da P.A sabendo que e o termo precedente é . Assim temos:
Calculando o primeiro termo, temos:
Logo, temos que o primeiro termo da P.A é 4. 2) (UFRGS) Numa PG de razão positiva, o primeiro termo é igual ao dobro da razão, e a soma dos dois primeiros é 24. Nessa progressão, qual é o valor da razão? R: Queremos encontrar o valor da razão sabendo que ela assume um valor positivo somente, ou seja, . Temos também as seguintes informações fornecidas pelo problema.
Resolvendo a segunda linha do sistema acima, temos:
(substituindo
Aplicando Báskara na equação acima, encontraremos duas raízes para equação na qual uma será negativa e outra positiva. Como , devemos escolher a raiz positiva que no caso será .
3) Qual é a área do triângulo ABC indicado na figura?
R: Para calcularmos a área do triângulo, precisamos do valor da medida da altura e da base. Podemos traçar a altura do triângulo por B até a base , onde obtemos o ponto
M, dividindo o triângulo em dois. Calculando a altura do triângulo AMB, retângulo em B, temos:
, com CO sendo a altura do triângulo.
Temos que altura do triângulo é 2. Como o triângulo AMB é isósceles, temos que . Agora só precisamos calcular o valor de . Para isso, vamos utilizar o
cálculo da tangente. Assim, temos:
, onde
Calculando a área do triângulo, temos:
Temos que o valor da área do triângulo é
4) Um barco parte da margem de um rio para atravessá-lo. A direção de seu
deslocamento forma um ângulo de 120º com a margem do rio. Sendo a largura do rio de
60 m, qual é a distância percorrida pelo barco?
Para sabermos a distância percorrida pelo barco, basta calcularmos a hipotenusa do triângulo da figura acima. Assim temos:
Temos que a distância percorrida pelo barco é de .
5) Dois lados consecutivos de um paralelogramo medem 6 cm e 2√3 cm. Se cada ângulo
agudo mede 30º, calcule as medidas das diagonais.
Sejam e as medidas das diagonais, respectivamente, maior e menor, vamos
calculá-las utilizando a lei dos cossenos.
Calculando , temos:
Calculando , temos:
Temos que as medidas das diagonais, respectivamente, maior e menor são e .
6)
sen
1
cos 1
0
tg 0
1
sec 1
2
cossec 2
1
cotg
1
7) Calcule o seno, cosseno e a tangente dos seguintes ângulos: a) 135º d) 1110° b) 270º e) 150° c) 480º f) 1800°
R: Em todos os exercícios acima, vamos calcular fazendo redução ao primeiro
quadrante.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
8) Resolva as equações:
a)
b)
c)