Kolegij: Operacijska istraživanja

Predavanje 08

MREŽNO PLANIRANJECPM/PERT

2009/10Fakultet prometnih znanosti

Sveučilište u Zagrebu

Max: Z = f(x,y) = 3x + 2y

Ograničenja: 2x + y ≤

18

2x + 3y ≤

42

3x + y ≤

24

x ≥

0 , y ≥

0

(prema: OI 07/08, dr

T.Mateljan)

2

MREŽNO PLANIRANJE

SADRŽAJ

1. TERMINOLOGIJA MREŽNOG PLANIRANJA2. CPM3. PERT

3

Smatra se da je tehnika mrežnog planiranja /programiranjanastala krajem pedesetih godina 20. stoljeća.

Ona se zasniva na primjeni

teorije grafovateorije skupovastatistici

i vjerojatnosti

1. TERMINOLOGIJA MREŽNOG PLANIRANJA

4

Primjenjuje se u:

složenim projektima

koji u izvedbu uključuju:

mnoštvo sudionika

i skupina, mnoštvo različitih tehnologija, koji

troše mnogo vremena

i sredstava, u kojima postoji potreba za koordinacijom

u tijeku realizacije

projekta

1. TERMINOLOGIJA MREŽNOG PLANIRANJA

5

Tehnika mrežnog planiranja

koristi:

1.

analizu strukture2.

analizu vremena

3.

analizu troškova4.

analizu resursa

6

Tehnika mrežnog planiranja

omogućuje:

procesno

praćenje

i nadziranje

tijeka projektaprecizno planiranje rokova završetka projekta

Za iskusnog projekt menadžera to je alat koji štedi vrijeme, resurse i novac.

7

Mrežno programiranje se primjenjuje u planiranju i determinističkih

i stohastičkih

projekata.

U teoriji i praksi mrežnog planiranja postoji nekoliko tehnika (metoda) od kojih su najvažniji

CPM (Critical

Path

Method) PERT (Project Evaluation

and

Review

Tachnique)

8

Metod

kritičnog puta CPM (Critical

Path

Method) je razvijen 1956. godine u industrijske svrhe. Točnije, razvila ga je firma du

Pont

de lemours

and

Coop.

u suradnji sa Sperry

Rand

Corporation.

Ovaj pristup je prvi put sa uspjehom primijenjen prilikom izgradnje jedne nove fabrike, a zatim kod planiranja remontnih radova.

9

Paralelno i neovisno od industrije, vojska SAD-a je razvila 1958. godine PERT

metod

(Project Evaluation

and

Reveiw

Technique).

Njihovo istraživanje se odnosilo na suradnju velikog broja vojnih i civilnih ustanova na planiranju razvojnog programa za raketu ''Polaris''.Ovaj metod

je stohastičke

prirode.

Za razliku od CPM, PERT u proces planiranja uvodi nesigurnost u procjene trajanja pojedinih aktivnosti.

10

Bitno je, da je analiza vremena, bilo da se vrši po CPM

ili PERT metodi, odvojena od analize strukture. To je veoma značajno

jer na taj način je pojednostavljena analiza vremena

koja se često može svesti na rutinu

i omogućena je računarska

implementacija metode (tehnike).

11

Osnovni pojam

u tehnici mrežnog planiranja je projekt.

Pod projektom se podrazumijeva složen, dugotrajan zadatak koji se mora planirati

da bi se mogao dobro organizirati

i

efikasno realizirati.

Projekt u pravilu obuhvata tehnička, znanstvena, financijska, organizaciona,

a nekad i vojna područja.

12

PROJEKT

je složeni zadatak

(posao) koji ima jasno određen cilj

koji treba postići u danom vremenskom

periodu

uz korištenje raspoloživih resursa.

Projekt

se sastoji od skupa ekonomskih, organizacionih, tehničkih i drugih poslova

i on se može završiti samo

ako su završeni svi njegovi dijelovi.

13

Međunarodna komisija za standarde preporučuje sljedeću definiciju projekta:

“PROJEKT

je jedinstveni proces

koji se sastoji od skupa koordiniranih

i kontroliranih aktivnosti, sa određenim

datumima početaka

i završetaka, koje se poduzimaju da bi se isporučio proizvod

u skladu sa postavljenim

zahtjevima

pri čemu postoje ograničenja na vrijeme, troškove i resurse”.

14

Pod pojmom

proizvod, u navedenoj definiciji, podrazumijevaju se materijalni

(robe) i nematerijalni

(usluge) rezultati projekta.

U mrežnom planiranju

projekt

se predstavlja mrežnim dijagramom.

15

Mrežni dijagram

(mreža) je:

grafički model

(graf) koji predstavlja

skup aktivnosti

koje su povezane preko

događaja.

Mrežni dijagram

reprezentira projekt tj. sve događaje, aktivnosti

i veze među njima.

16

Aktivnost je element mrežnog dijagrama

i predstavlja izvršenje pojedinog zadatka

u okviru projekta.

Aktivnost

predstavlja operaciju koja se može definirati

i vremenski odrediti, a koja se izvršava u okviru danog projekta.

U mrežnom dijagramu

aktivnosti su predstavljene lukovima (strelicama) između dva događaja.

17

Događaj predstavlja određeno stanje

u kome nema aktivnosti. On ne troši ni vrijeme ni sredstva.

Događaj

je početak

i/ili završetak

svake aktivnosti tj. svaka aktivnost

ima početni

i završni događaj.

U mrežnom dijagramu

događaji

su predstavljeni čvorovima.

18

Smjer lukova prikazuje

slijed aktivnosti.

Aktivnost ne može započeti dok se

ne završe sve aktivnost koje ulaze u čvor u kojem ova aktivnost

počinje.

19

U mrežnom dijagramu aktivnost je predstavljena kao duž

(luk) orijentirana u pravcu odvijanja toka

operacije. Pri tome fizička dužina duži

nema veze sa dužinom vremenskog trajanja aktivnosti, nego je proizvoljna.

20

Početni događaj

neke aktivnosti označavamo sa ''i'', a završni događaj sa ''j''. ''i'' i ''j'' su pozitivni cijeli brojevi.

Svaka aktivnost ima svoj naziv

(opisno ime ili broj), a koristi se i opći simbol

(i-j), ima svoj početni

i krajnji događaj, prethodnu

i

narednu aktivnost.

21

j[i-j]

Aktivnost

i

i j

Posmatrana aktivnost

Prethodna aktivnost

Naredna aktivnost

Početni događaj aktivnosti

Završni događaj aktivnosti

22

Redoslijed aktivnosti

i njihov međusobni odnos

čine strukturu mreže.

Ako je početak

jedne ili više aktivnosti uvjetovan završetkom

nekoliko prethodnih aktivnosti, pri čemu se

njihov završetak ne može svesti u jedan događaj, uvodi se fiktivna aktivnost.

Fiktivna aktivnost

ne troši vrijeme

i predstavlja se isprekidanom linijom.

23

Svi definirani pojmovi

su isti

kada su u pitanju CPM

ili PERT. Osnovna razlika između ove dvije metode je u načinu procjene vremena

trajanja

pojedinih aktivnosti.

U metodi CPM

svakoj aktivnosti se pridružuje jedna vrijednost procijenjenog vremena trajanja, dok se u metodi PERT

uvode elementi vjerojatnosti pri određivanju vremena trajanja pojedinih aktivnosti.

24

Na taj način se može reći da je CPM

deterministički metod

a PERT stohastički.

Procijenjeno vrijeme trajanja aktivnosti

(i-j), koje se obilježava sa tij, je osnovni podatak za svaku aktivnost.

Trajanje se izražava vremenskim jedinicama

koje mogu biti: sati, dani, sedmice, dekade, mjeseci, godine, ... .

25

Svaka aktivnost (i–j), čije je trajanje (tij), ima u mrežnom dijagramu svoj početak

i završetak, tj. ima vrijeme

početka

(ti) i vrijeme završetka

(tj) aktivnosti.

Zbrajanjem pojedinačnih vremena trajanja određenog broja aktivnosti, koje povezuju početni

i krajnji

događaj

projekta, dobije se ukupno vrijeme trajanja projekta

tu.

26

Prije analize vremena

po metodi CPM

ili PERT potrebno je imati pravilno strukturiran

i numeriran graf

tj.

mrežni dijagram. To je zadatak analize strukture

koja prethodi analizi vremena.

Analiza strukture obuhvaća određivanje logičkog redoslijeda

i uzajamnih odnosa

pojedinih aktivnosti

u

projektu i konstruiranje mrežnog dijagrama

kao grafičkog prikaza odvijanja projekta.

27

Crtanje mrežnog plana

(dijagrama) se zasniva na određenom broju jednostavnih pravila.

Nekoliko osnovnih

slučajeva

koji se sreću pri izgradnji mrežnih dijagrama dati su na sljedećoj slici:

28

A BAktivnost B može početi tek kada se završi aktivnost A

Aktivnosti B i C mogu početi tek kada se završi aktivnost A, ali kad počnu, mogu se izvršavati paralelno (istovremeno)

A

C

B

C

B

A Aktivnost C može početi tek kada se završe aktivnosti A i B

29

A CNijedna od aktivnost C i D ne može početi dok se ne završe aktivnosti A i

B, ali poče-

tak aktivnosti

C ne zavisi od početka aktivnosti

D i obratno

Aktivnost C ne može početi dok se ne završe aktivnosti A i

B, međutim, aktivnost

D može početi čim se završi aktivnost B.

B D

B

C

B

A

D

30

Cilj analize vremena je određivanje ukupnog vremena trajanja projekta.

Analiza vremena uzima u obzir vrijeme trajanja svih aktivnosti u projektu

i njihov međusobni odnos, da

bi se određenim postupkom odredilo ukupno vrijeme trajanja projekta.

31

Zadatak

nalaženja ukupnog trajanja projekta se može matematički definirati i

kao zadatak

Linearnog programiranja.

32

Primjer

Izgradnja jedne tvornice se sastoji od sljedećih poslova:

Aktivnost Trajanje Preduvjet

A –

Projekt nove zgrade 25

-B – Detaljan građevinski projekt 30 AC –

Izgradnja zgrade 60 B

D –

Narudžba strojeva 1 AE –

Izrada strojeva 50 D

F –

Isporuka strojeva 4 EG –

Puštanje u pogon 6 C,F

33

1

4 5

3

2 6 7A25

1

D

50

E

4

F

30

B C

60

6B

34

Ako se sa ti označi vrijeme događaja i, tj

trenutak u kojem može započeti aktivnost aij, tada je zadatak naći minimalnu razliku

t7-t1:

min (t7 – t1)

uz ograničenja:

t2 –

t1 >= 25t3 –

t2 >= 30

t6 –

t3 >= 60t4 –

t2 >= 1

t5 –

t4 >= 50t6 –

t5 >= 4

t7 –

t6 >= 6

ti >= 0, i = 1,2, ..., 7

35

Ovo je zadatak LP

i može se riješiti simpleks

algoritmom.

Ovako jednostavan zadatak LP

se može riješiti i ručno. Pretpostavimo da je t1 = 0. Ostale ti biramo tako da zadovoljavaju ograničenja pa se dobije:

t2 = 25, t3 = 55, t4 = 26, t5 = 76, t6 = 115, t7 = 121

Najkraće trajanje projekta je 121 dan.

36

Međutim, u pravilu zadaci mrežnog planiranja

se rješavaju pristupom koji se naziva analiza mreža.

Vremenska analiza se sastoji od nekoliko postupaka:

određivanje vremena trajanja aktivnosti,određivanje najranijeg početka i najranijeg završetka aktivnosti,određivanje najkasnijeg početka i najkasnijeg završetkaaktivnosti,pronalaženje kritičnog puta,određivanje vremenskih rezervi.

37

Kada je završena analiza strukture

i kada se ustanove vremena trajanja

svih aktivnosti tij, tada se vremena trajanja unose iznad

odgovarajućih aktivnosti

mrežnog dijagrama.

38

1

7 8

4

2 6 92

4

2

9

5

400

1

7

3

5

39

Najranije vrijeme

Najranije vrijeme

jednog događaja

je vrijeme kada se završavaju sve aktivnosti

koje ulaze u taj čvor. Pošto je to ujedno i vrijeme početka

naredne aktivnosti to je ujedno i najranije vrijeme početka aktivnosti.

Naime, naredna aktivnost može početi tek kada se završe sve aktivnosti koje joj prethode

a to će se desiti onda kada se završi prethodna

aktivnost sa najdužim trajanjem.

40

Najraniji završetak neke aktivnosti

(i-j) se dobije zbrajanjem najranijeg početka

i trajanja te aktivnosti tj.:

tj0 = ti0 + tij

Ako do događaja j vodi više putova onda je najraniji početak aktivnosti koja ima

j

za početni

događaj, određen sa :

tj0

=max

(

ti0 + tij

)i

gdje

je t10=0

; i<j

; j=2,3,...,n.

Odavde vidimo da je najraniji početak slijedeće

aktivnosti

jednak maksimumu najranijih završetaka

onih aktivnosti koje joj

prethode.

41

Najkasnije vrijeme

Kada se odrede najraniji završeci svih aktivnosti

mogu se odrediti najkasnija vremena događaja, odnosno, najkasnije vrijeme početka

ti1 i najkasnije vrijeme završetka tj1 bilo koje

aktivnosti (i-j).

Pri određivanju ovih vrijednosti postupak je suprotan prethodno opisanom. Polazi se od završnog događaja

i ide ka

početnom, pri čemu se usvaja da je tn0= tn1.

42

Najkasniji završetak

bilo koje aktivnosti koja neposredno prethodi događaju

i računa se pomoću izraza:

ti1 = min

(

tj1 -

tij

) i

gdje

je

tn0= tn1= Tp, i<j, i=n-1, n-2, ..., 2, 1

43

Najkasniji početak bilo koje aktivnosti (i-j) određen je sa:

ti1 = tj1 –

tij

Na osnovu prethodna dva izraza vidi se da je najkasniji završetak

neposredno prethodnih aktivnosti jednak

minimumu najkasnijih početaka

aktivnosti koje slijede.

44

Određivanje kritičnog puta

U mrežnom dijagramu postoje određeni događaji

kod kojih su najranija

i najkasnija vremena

jednaka, tj. za koje vrijedi

da je:

ti0= ti1

Takvi događaji se nazivaju

kritični događaji

45

Aktivnosti koje spajaju dva kritična događaja, tj. za koje vrijedi da je

tij

= tj1-

ti0

nazivaju se kritične aktivnosti.

Dakle, kritične aktivnosti (i-j) određuje to što im je najraniji početak

ti0 jednak najkasnijem početku

ti1, i najraniji završetak

tj0

jednak

najkasnijem završetku

tj1.

46

Dakle, neka aktivnost je kritična

ako za nju vrijedi:

tj1-

ti0 -

tij

=0

ili

ti0= ti1tj0= tj1

47

Sve ostale aktivnosti, koje ne ispunjavaju navedene uvjete, imaju raspoloživo vrijeme veće

od vremena trajanja

tij. Tu razliku

zovemo vremenskom rezervom aktivnosti

(i-j).

Za takve aktivnosti vrijedi da je

tj1-

ti0 -

tij

>0

Očigledno je da su vremenske rezerve kritičnih aktivnosti jednake nuli.

48

Put je skup aktivnosti

u mreži kod kojih se završni događaj

svake aktivnosti poklapa sa početnim događajem naredne aktivnosti.

Kritični put

je put

koji polazi od početnog događaja

a završava se završnim događajem

projekta i sadrži samo kritične aktivnosti.

Možemo ga definirati i kao niz međusobno povezanih aktivnosti

koje se protežu između početnog

i završnog događaja

i imaju zbirno

najduže vrijeme trajanja, odnosno, to je put gdje nema vremenskih rezervi.

49

Svaki mrežni dijagram

mora da ima najmanje jedan

kritični put

a može da ih ima i više. Svako produženje trajanja

aktivnosti na kritičnom putu neposredno utječe na produženje trajanja projekta.

Analiza kritičnih putova

pri realizaciji projekta ima veliki značaj jer ukazuje na one aktivnosti kojima treba obratiti posebnu pažnju.

50

U mrežnom dijagramu mogu postojati i tzv. subkritični

putovi. To su putovi koji imaju malu vremensku rezervu

i postoji mogućnost da i oni

postanu kritični.

51

Vremenske rezerve

Kao što je već

rečeno, aktivnost, čije je vrijeme trajanja manje od raspoloživog

vremena ima vremensku rezervu.

Vremenska rezerva

kao podatak ima posebno praktično značenje u primjeni mrežnog planiranja. Ona nam direktno daje

informaciju o tome koliko se može odložiti početak

ili završetak

pojedinih aktivnosti. Ovaj element predstavlja jednu

od najvažnijih upravljačkih komponenti

teorije mrežnog planiranja.

52

U analizi vremena

po CPM

metodi razlikujemo slijedeće vremenske rezerve:

Ukupna

vremenska rezerva RtSlobodna

vremenska rezerva Rs

Neovisna

vremenska rezerva RnUvjetna

vremenska rezerva Rt

53

Ukupna vremenska rezerva Rt

Ukupna vremenska rezerva

(Rt) predstavlja vrijeme za koje se može produžiti

ili odložiti izvršenje neke aktivnosti

a da

se trajanje projekta ne promjeni, uz uvjet, da se trajanja ostalih aktivnosti ne mijenjaju.

54

Ukupna vremenska rezerva

je dana izrazom:

Rt= tj1 –

ti0 –tij

≥

0

gdje je

tj1 –

najkasnije

vrijeme završetka

aktivnosti (i-j)ti0 –

najranije

vrijeme početka

aktivnosti (i-j)

tij

–

trajanje aktivnosti (i-j)

Ukupna vremenska rezerva je jednaka nuli

za sve kritične aktivnosti

a veća je od nule

za sve aktivnosti koje nisu kritične.

55

Slobodna vremenska rezerva Rs

Slobodna vremenska rezerva

(Rs) predstavlja vrijeme za koje se može produžiti

ili odložiti izvršenje neke aktivnosti

a da to ne

utiče na najranije početke narednih aktivnosti.

Slobodna vremenska rezerva

se javlja onda kada su sve prethodne aktivnosti

završene u najranijem vremenu završetka

a

naredne aktivnosti

počinju u najranijem vremenu početka.

56

Slobodna vremenska rezerva

je dana izrazom:

Rs

= tj0 –

ti0 –

tij

≥

0

gdje je

tj0 –

najranije

vrijeme završetka

aktivnosti (i-j)ti0 –

najranije

vrijeme početka

aktivnosti (i-j)

tij

–

trajanje aktivnosti (i-j)

57

Pretpostavimo, na primjer, da u događaj j ulaze dvije aktivnosti (i-j) i (k-j).

Ako vrijedi da je

ti0 + tij

< tk0 + tkj

najranije vrijeme događaja

j će biti jednako većem od ovih vremena:

tj0 = tk0 + tkj

odnosno, aktivnosti ij

će imati slobodnu rezervu

jer je:

Rs

= tj0 –

ti0 –

tij

> 0

i njeno trajanje će se moći produžiti

za Rs

a da se tj0 ne pomjeri.

58

Neovisna vremenska rezerva Rn

Neovisna vremenska rezerva

(Rn) predstavlja vrijeme za koje se može pomjeriti vrijeme najranijeg početka neke aktivnosti pod uvjetom da se prethodne aktivnosti završe u svom najkasnijem završnom vremenu, a da naredne počinju u najranijem početnom vremenu.

Ova vrsta vremenske rezerve pojavljuje se samo kod onih aktivnosti koje imaju slobodnu vremensku rezervu.

59

Neovisna vremenska rezerva

je dana izrazom:

Rn

= tj0-

ti1 -

tij

gdje je

tj0 –

najranije

vrijeme završetka

aktivnosti (i-j)ti1 –

najkasnije vrijeme početka

aktivnosti (i-j)

tij

–

trajanje aktivnosti (i-j)

60

Na ovaj način definirana slobodna rezerva može biti veća

ili manja od nule.

Pošto su u praksi bitne samo pozitivne neovisne

vremenske rezerve

za nalaženje neovisne vremenske rezerve koristi se izraz:

Rn

= max

(0 , tj0-

ti1 -

tij)

Svaka aktivnost

koja ima neovisnu vremensku

rezervu

može biti za toliko

produžena

a da to ne utječe na trajanje projekta, bez

obzira da li su druge aktivnosti produžene

u skladu sa svojim vremenskim rezervama.

61

Uvjetna vremenska rezerva Ru

Uvjetna vremenska rezerva

se odnosi na događaje

i dana je izrazom:

Ru

= tj1 –

tj0

gdje je

tj1 –

najkasnije vrijeme događaja jtj0 –

najranije vrijeme događaja j

Ova vremenska rezerva ukazuje na kritične događaje

i služi kao mjera subkritičnosti događaja.

62

1

962

3 5 8 12

111074

4

2

0

3

9

5

5

4

2

0

7

8

5

6

8

5

4

3

63

Redni broj Redni brojdogađaja dog.po

krit.p.

Najranije Najkasnijevrijeme vrijeme

Uobičajeni način obilježavanja događaja pri nalaženju kritičnog puta –

prva varijanta.

64

Redni brojdogađaja

Najranije Najkasnijevrijeme vrijeme

Uobičajeni način obilježavanja događaja pri nalaženju kritičnog puta –

druga varijanta

65

10 0

4

2

0

3

9

5

5

4

2

0

7

8

5

6

Mrežni plan

8

5

4

3

34

45

718

1023

1126

513

815

24

613

917

1234

66

10 0

4

2

0

3

9

5

5

4

2

0

7

8

5

6

Mrežni plan

8

5

4

3

34 4

45 9

718 18

1023 23

1126 26

513 17

815 19

24 4

613 13

917 29

1234 34

67

10 0

4

2

0

3

9

5

5

4

2

0

7

8

5

6

Mrežni plan

8

5

4

3

34 4

45 9

718 18

1023 23

1126 26

513 17

815 19

24 4

613 13

917 29

1234 34

68

i-j tij

ti0

tj0

ti1

tj1

Rtij

Rsij

Rnij

1-2 4 0 4 0 4 0 0 01-3 2 0 4 0 4 2 2 21-4 5 0 5 0 9 4 0 02-3 0 4 4 4 4 0 0 03-5

7 4

13

4

17

6

2

2

3-6

9 4 13

4

13

0

0

0

4-5

8 5 13

9

17

4

0

0 (-4)

4-7

3 5 18

9

18

10

10

6

5-8

3 13

15

17

19

4 0

0 (-4)

6-7

5 13

18

13

18

0 0

0

6-8

0 13

15

13

19

6 2

2

6-9

4 13

17

13

29

12

0 0

7-10

5 18

23

18

23

0 0

0

8-10

4 15

23

19

23

4 4

0

8-12

6 15

34

19

34

13

13

99-12 5 17 34 29 34 12 12 010-12

3 23

26

23

26

0

0

0

11-12

8 26

34

26

34

0 0

0

69

1

962

3 5 8 12

111074

A=4

B=2

D=0

H=3

E=9

C=5

M=5

J=4

L=2

K=0

F=7

G=8

I=5

O=6

R=8

N=5

P=4

Q=3

WINqsb

70

WINqsb

71

WINqsb

72

73

74

Pitanja i komentari

???