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QUÉ ES UN SISTEMA DE COORDENADAS?

Un sistema de coordenadas es un sistema que utiliza uno o más números (coordenadas) para determinar

unívocamente la posición de un punto o de otro objeto geométrico. El orden en que se escriben las

coordenadas es significativo y a veces se las identifica por su posición en una tupla ordenada; también se las

puede representar con letras, como por ejemplo «la coordenada-x». El estudio de los sistemas de

coordenadas es objeto de la geometría analítica, permite formular los problemas geométricos de forma

"numérica"

Un ejemplo corriente es el sistema que asigna longitud y latitud para localizar coordenadas geográficas. En

física, un sistema de coordenadas para describir puntos en el espacio recibe el nombre de sistema de

referencia.

QUÉ ES UN SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES, ESFÉRICAS, CILÍNDRICAS?

En el sistema de coordenadas rectangulares, también denominadas coordenadas cartesianas en honor a

su inventor, el matemático francés René Descartes, la posición de un punto se encuentra determinada por tres

números independientes que definen las distancias a los llamados planos coordenados.

Se pueden observar los tres planos coordenados que forman ángulos rectos entre si y cuyas intersecciones

son los llamados ejes coordenados.

Las distancias perpendiculares medidas a los planos coordenados constituyen las coordenadas de la posición

del punto dado.

Un vector en coordenadas cartesianas se puede notar usando las proyecciones del vector sobre los ejes

coordenados y un conjunto de tres vectores directores que apuntan en dirección de dichos ejes.

Se muestran los vectores unitarios directores del sistema de coordenadas

rectangulares.

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Vectores unitarios del sistema de coordenadas cartesianas.

De acuerdo con las propiedades del producto escalar, un vector cualquiera se nota en el sistema de

coordenadas cartesianas como:

Donde, son las proyecciones del vector A sobre los ejes coordenados x, y , z respectivamente y son los

vectores unitarios directores del sistema de coordenadas cartesianas.

El vector posición de cualquier punto en coordenadas cartesianas por tanto viene dado por:

Vector posición en coordenadas cartesianas.

Los productos vectoriales de los vectores directores del sistema de coordenadas cartesianas siguen una regla

de rotación.

Coordenadas cilíndricas

El sistema de coordenadas cilíndricas utiliza como base el sistema de coordenadas polares en 2D proyectado

hacia el espacio usando la coordenada z del sistema de coordenadas cartesianas.

En este sistema, las coordenadas x e y son reemplazadas por un vector dirigido a la proyección del punto

sobre el plano XY cuya magnitud es igual a la distancia del punto al eje z , la cual es la primera coordenada

del sistema. El ángulo de dirección de dicho vector medido con respecto al semieje x positivo constituye la

segunda coordenada del sistema y la tercera coordenada coincide con la coordenada z del sistema

cartesiano.

Se pueden observarse las tres coordenadas asociadas a un punto en el sistema cilíndrico de coordenadas.

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En este sistema de coordenadas al igual que en el sistema cartesiano, existen tres vectores directores que

permiten indicar la dirección de un vector.

Vectores directores del sistema de coordenadas cilíndricas.

Un vector en coordenadas cilíndricas queda definido por:

Donde es la proyección radial del vector con respecto al eje z sobre el plano XY , es la componente

angular medida con respecto al semieje x positivo y coincide con la componente cartesiana del mismo

nombre.

Al igual que en el sistema cartesiano, los productos vectoriales de los vectores directores del sistema de

coordenadas cilíndricas siguen una regla de rotación,

Rotación en los productos vectoriales del sistema de coordenadas cilíndricas.

El vector posición de cualquier punto en coordenadas cilíndricas queda definido por:

Los vectores del sistema de coordenadas cilíndricas, cambian de dirección de acuerdo con la

coordenada; a diferencia de los vectores del sistema cartesiano que son constantes e independientes de las

coordenadas.

Esta característica que se ilustra en el Ejemplo 7 , debe ser tomada en cuenta para la derivación o integración

directa cuando se involucra la coordenada .

Para estos casos, resulta muy conveniente usar las identidades de los vectores unitarios que permiten

convertir un vector de un sistema de coordenadas a otros.

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Estas matrices fueron obtenidas por el método de suma de proyecciones de un sistema de coordenadas sobre

otro, por lo que los productos escalares entre vectores de diferentes sistemas de coordenadas pueden

obtenerse de forma directa por el cruce de filas y columnas de la matriz directa o inversa.

Transformación de coordenadas cilíndricas a cartesianas.

Coordenadas esféricas

En el sistema de coordenadas esféricas se utilizan también tres coordenadas para notar la posición de un

punto o un vector en un espacio tridimensional, dos de estas coordenadas son angulares y una de ellas es

métrica.

Se utiliza la longitud de un vector (R) que une el origen de coordenadas con punto dado, el ángulo que este

vector forma con el semieje z positiva y el ángulo que su proyección sobre el plano XY forma con el semieje X

positivo

Con el semieje z positivo el ángulo que su proyección sobre el plano XY forma con el semieje X positivo

Los ángulos y toman los nombres de ángulo polar y ángulo azimutal respectivamente.

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En este sistema de coordenadas al igual que en los anteriores, existen tres vectores directores que permiten

indicar la dirección de un vector

Un vector en coordenadas esféricas queda definido por:

Donde es la proyección radial del vector con respecto al origen de coordenadas, es la componente

angular medida con respecto al semieje x positivo proyectada sobre el plano XY y es la proyección en

dirección de incremento del ángulo

En el sistema de coordenadas esféricas, los productos vectoriales de los vectores directores también siguen

una regla de rotación

El vector posición de cualquier punto en coordenadas esféricas queda definido por:

En este sistema de coordenadas, la dirección de los tres vectores directores cambia de acuerdo con las

coordenadas y , por lo que no se pueden asumir como constantes en operaciones de derivación,

integración o transformación de coordenadas que las involucren.

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Matriz de transformación directa de coordenadas esféricas.

Matriz de transformación inversa de coordenadas esféricas.

QUÉ ES UN SISTEMA DE REFERENCIA?

Un sistema de referencia o marco de referencia es un conjunto de convenciones usadas por un observador

para poder medir la posición y otras magnitudes físicas de un sistema físico. Las trayectorias medidas y el

valor numérico de muchas magnitudes son relativas al sistema de referencia que se considere, por esa razón,

se dice que el movimiento es relativo. Sin embargo, aunque los valores numéricos de las magnitudes pueden

diferir de un sistema a otro, siempre están relacionados por relaciones matemáticas tales que permiten a un

observador predecir los valores obtenidos por otro observador.

En mecánica clásica frecuentemente se usa el término para referirse a un sistema de coordenadas

ortogonales para el espacio euclídeo (dados dos sistemas de coordenadas de ese tipo, existe un giro y una

traslación que relacionan las medidas de esos dos sistemas de coordenadas).

En mecánica relativista se refiere usualmente al conjunto de coordenadas espacio-temporales que permiten

identificar cada punto del espacio físico de interés y el orden cronológico de sucesos en cualquier evento, más

formalmente un sistema de referencia en relatividad se puede definir a partir de cuatro vectores orto normales

(uno temporal y tres espaciales).

QUÉ ES MAGNITUD?

Una magnitud física es una propiedad o cualidad medible de un sistema físico, es decir, a la que se le pueden

asignar distintos valores como resultado de una medición. Las magnitudes físicas se miden usando un patrón

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que tenga bien definida esa magnitud, y tomando como unidad la cantidad de esa propiedad que posea el

objeto patrón. Por ejemplo, se considera que el patrón principal de longitud es el metro en el Sistema

Internacional de Unidades.

Las primeras magnitudes definidas estaban relacionadas con la medición de longitudes, áreas, volúmenes,

masas patrón, y la duración de periodos de tiempo.

Existen magnitudes básicas y derivadas, y constituyen ejemplos de magnitudes físicas: la masa, la longitud, el

tiempo, la carga eléctrica, la densidad, la temperatura, la velocidad, la aceleración, y la energía. En términos

generales, es toda propiedad de los cuerpos que puede ser medida. De lo dicho se desprende la importancia

fundamental del instrumento de medición en la definición de la magnitud.

La Oficina Internacional de Pesos y Medidas, por medio del Vocabulario Internacional de Metrología

(International Vocabulary of Metrology, VIM), define a la magnitud como un atributo de un fenómeno; un

cuerpo o sustancia que puede ser distinguido cualitativamente y determinado cuantitativamente.

A diferencia de las unidades empleadas para expresar su valor, las magnitudes físicas se expresan en

cursiva: así, por ejemplo, la "masa" se indica con "m", y "una masa de 3 kilogramos" la expresaremos como m

= 3 kg.

QUÉ ES MAGNITUD ESCALAR?

Es una magnitud que solo se describe con la cantidad mediante un número y una unidad, Ejemplo de

magnitudes escalares son la temperatura, la energía, etc., Estas magnitudes se diferencian de las cantidades

vectoriales porque estas últimas además de la cantidad requieren que se dé la dirección y el sentido.

QUE ES UN ANGULO?

Ángulo es la porción de plano limitada por dos semirrectas con origen en un mismo punto. Las semirrectas se

llaman lado inicial y final. Al origen común se le denomina vértice del ángulo.

Los ángulos se nombran de varias maneras:

-con una letra minúscula, como a o b, o a veces con una letra griega como (alfa).

-con tres letras mayúsculas y un símbolo en forma de ángulo encima. La letra del medio es el

vértice

QUÉ ES UNA MAGNITUD VECTORIAL?

Es una magnitud que se describe con tres características cantidad, dirección y sentido. En algunos textos la

cantidad también se le llama magnitud o intensidad. Ejemplo de magnitudes vectoriales son la velocidad, la

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fuerza, la aceleración, etc. Su representación se realiza mediante una flecha que muestra las tres

características

QUÉ ES UNIDAD DE MEDIDA?

Una unidad de medida es una cantidad estandarizada de una determinada magnitud física. En general, una

unidad de medida toma su valor a partir de un patrón o de una composición de otras unidades definidas

previamente. Las primeras unidades se conocen como unidades básicas o de base (fundamentales), mientras

que las segundas se llaman unidades derivadas. Un conjunto de unidades de medida en el que ninguna

magnitud tenga más de una unidad asociada es denominado sistema de unidades.

Todas las unidades denotan cantidades escalares. En el caso de las magnitudes vectoriales, se interpreta que

cada uno de los componentes está expresado en la unidad indicada.

QUÉ ES MEDIR?

La medición es un proceso básico de la ciencia que consiste en comparar un patrón seleccionado con el

objeto o fenómeno cuya magnitud física se desea medir para ver cuántas veces el patrón está contenido en

esa magnitud.

QUÉ ES UN SISTEMA DE UNIDADES Y MEDIDAS?

Medir es comparar una magnitud con otra que llamamos unidad. La medida es el número de veces que la

magnitud contiene a la unidad.

Las unidades de medida más usuales son las del Sistema Métrico Decimal, en los países anglosajones se

emplea el Sistema Inglés. En algunas zonas rurales aún se utilizan las unidades tradicionales.

CUÁLES SISTEMAS DE UNIDADES DE MEDIDA EXISTEN?

El Sistema Internacional de Unidades se basa en la selección de siete unidades base bien definida

las cuales se consideran dimensionalmente independientes: el metro, el kilogramo, el segundo, el

ampere, el kelvin, el mol y la candela.

El Sistema Ingles se basa en el pie, la libra y el segundo.

El C.G.S se basa en el centímetro, el gramo y el segundo

El M.K.S es muy parecido al SI y tiene como base al metro, kilogramo y el segundo.

QUÉ ES POSICIÓN DE UN CUERPO?

La posición y movimientos del cuerpo mientras navegas, viras o simplemente pasas las olas, tiene mucha

influencia en la velocidad de navegación.

No siempre deben ser iguales y debes adecuarlos al viento con el que estas navegando.

Además, puede que lo que hacías cuando aprendiste a navegar ya no te sirva porque has cambiado de peso

y altura. Ya no pasas tan fácilmente de una banda a otra y tu mayor peso hace que puedas dominar mejor la

escora.

Por ello durante los entrenamientos, además de revisar como llevas el barco (- si se ha soltado algún cabito, si

llevas la escota cazada adecuadamente, etc. -), tienes que prestar una especial atención al lugar donde vas

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sentado en la banda, donde pones los pies cuando te cambias de lado, que haces cuando te sientas, que

balanceo das a tu cuerpo cuando vas a coger una ola en ceñida o al planear.

Qué es desplazamiento de un cuerpo?

Es la longitud medida entre dos pos ciciones diferentes en el camino de un móvil. A diferencia de la distancia

que se mide a lo largo del recorrido del móvil, el desplazamiento se mide a lo largo de la línea recta que une

las dos posiciones; por esto se dice que el desplazamiento es igual al cambio de posición. Sin embargo la

distancia y el desplazamiento se miden en las mismas unidades (por ejemplo millas, metros, etc.

QUÉ ES DISTANCIA?

Es una longitud que se mide siguiendo el contorno o silueta de cierto trayecto o recorrido. La distancia mide el

espacio que recorre un objeto siguiendo esa trayectoria.

QUÉ ES VELOCIDAD?

La velocidad es una magnitud física de carácter vectorial que expresa la distancia recorrida por un objeto por

unidad de tiempo. Se representa por o. Sus dimensiones son [L]/[T]. Su unidad en el Sistema

Internacional es el m/s.

En virtud de su carácter vectorial, para definir la velocidad deben considerarse la dirección del desplazamiento

y el módulo, el cual se denomina celeridad o rapidez.

De igual forma que la velocidad es el ritmo o tasa de cambio de la posición por unidad de tiempo, la

aceleración es la tasa de cambio de la velocidad por unidad de tiempo.

QUÉ ES ACELERACIÓN?

En física, la aceleración es una magnitud vectorial que nos indica el cambio de velocidad por unidad de

tiempo. En el contexto de la mecánica vectorial newtoniana se representa normalmente por o y su

módulo por . Sus dimensiones son . Su unidad en el Sistema Internacional es el m/s2.

En la mecánica newtoniana, para un cuerpo con masa constante, la aceleración del cuerpo es proporcional a

la fuerza que actúa sobre él mismo (segunda ley de Newton):

Donde F es la fuerza resultante que actúa sobre el cuerpo, m es la masa del cuerpo, y a es la aceleración. La

relación anterior es válida en cualquier sistema de referencia inercial.

QUÉ ES FUERZA?

La fuerza es una magnitud física que mide la intensidad del intercambio de momento lineal entre dos

partículas o sistemas de partículas (en lenguaje de la física de partículas se habla de interacción). Según una

definición clásica, fuerza es todo agente capaz de modificar la cantidad de movimiento o la forma de los

materiales. No debe confundirse con los conceptos de esfuerzo o de energía.

¿COMO SE DESCOMPONE UN VECTOR?¿COMO SE SUMA UN VECTOR?¿COMO SE RESTA

UN VECTOR?

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Para poder operar analíticamente con vectores (por ejemplo hacer sumas y restas) es apropiado previamente

hacer una descomposición, en componentes paralelas a los ejes de un sistema de referencia, SR. El mejor

modo de explicar qué significa todo esto es mostrar cómo se hace, paso a paso. Aquí va:

Supongamos que tenemos el vector A, que podría representar cualquier

magnitud vectorial: una fuerza, una velocidad, una aceleración... Para

descomponerlo necesitamos primero un sistema de referencia, x-y, que

ya coloqué acá.

Por el extremo de A trazo rectas paralelas a los ejes del SR.

Cuando esas rectas cortan los ejes queda definido un punto

(llamado coordenada) que es el extremo de los vectores componentes

de A.

Entonces quedan definidas las componentes de A, también

llamadas proyecciones de A sobre los ejes del SR.

La componente de A sobre el eje x suele recibir el nombre Ax. Y la componente sobre el eje y, Ay.

Entre el vector original y sus componentes hay establecidas ciertas relaciones matemáticas, por ejemplo la

relación pitagórica:

Ax² + Ay² = A²

Si te cabe duda de de dónde viene eso, préstale atención al triangulito sombreado:

Y también deberás admitir que:

sen α = Ay / A

cos α = Ax / A

tg α = Ay / Ax

Y lo más interesante que tienen las componentes es que (si recordás el asunto de la suma de vectores por el

método de la poligonal o por el método del paralelogramo) la suma de las componentes es igual al vector

original.

Ax + Ay = A (¡Ojo! ¡esto que acabo de escribir es una suma vectorial!)

O sea que la descomposición de vectores es la operación inversa de la suma.

El broche de oro. Si para cada eje hubiéramos definido previamente un

versor, entonces podríamos expresar lal vector A de esta manera:

A = 7 î + 2 ĵ

Donde î y ĵ son los nombres habituales que reciben los versores de

eje x e y respectivamente.

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¿COMO SE MULTIPLICAN ESCALARMENTE DOS VECTORES?

Dados dos vectores cualesquiera a y b definimos el producto escalar

El producto escalar de dos vectores se representa poniendo un punto, entre los dos vectores.

El resultado de esta operación es un escalar, es decir una cantidad que no tiene dirección. La respuesta es la

misma en todo conjunto de ejes

Al producto escalar también se le conoce como producto interno, escalar o punto.

¿COMO SE MULTIPLICAN VECTORIALMENTE DOS VECTORES?

Dados dos vectores cualesquiera A y B definimos el producto vectorial como un nuevo vector C.

Cuyas componentes vienen dadas por:

El producto vectorial de dos vectores se representa poniendo una cruz, , o un ángulo, , entre los vectores.

El resultado de esta operación es un vector, es decir una cantidad que sí tiene dirección.

Al producto vectorial también se le conoce como producto externo, o producto cruz.

QUÉ ES UN CAMPO?

Un campo representa la distribución espacial de una magnitud física que muestra cierta variación en una

región del espacio. Matemáticamente, los campos se representan mediante la función que los define.

Gráficamente, se suelen representar mediante líneas o superficies de igual magnitud.

Históricamente fue introducido para explicar la acción a distancia de las fuerzas de gravedad, eléctrica y

magnética, aunque con el tiempo su significado se ha extendido substancialmente, para describir variaciones

de temperatura, tensiones mecánicas en un cuerpo, propagación de ondas, etc.

QUÉ ES UN CAMPO ESCALAR?

En matemáticas y física, un campo escalar representa la distribución espacial de una magnitud escalar,

asociando un valor a cada punto del espacio. En matemáticas, el valor es un número; en física, una magnitud

física. Los campos escalares se usan en física, por ejemplo, para indicar la distribución de la temperatura o la

presión de un gas en el espacio.

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Como expresión matemática, un campo escalar es una función de . Esto quiere decir que asocia

cada punto de un espacio vectorial con un número o escalar . Esta función también

es conocida como función de punto o función escalar.

QUÉ ES UN CAMPO VECTORIAL?

En matemáticas, un campo vectorial representa la distribución espacial de una magnitud vectorial. Es una

expresión de cálculo vectorial que asocia un vector a cada punto en el espacio euclídeo, de la forma

.

Los campos vectoriales se utilizan en física, por ejemplo, para representar la velocidad y la dirección de un

fluido en el espacio, o la intensidad y la dirección de fuerzas como la gravitatoria o la fuerza electromagnética.

Como expresión matemática rigurosa, los campos vectoriales se definen en variedades diferenciables como

secciones del fibrado tangente de la variedad. Este es el tipo de tratamiento necesario para modelizar el

espacio-tiempo curvo de la teoría general de la relatividad

QUÉ ES UN CAMPO GRAVITACIONAL?

En física, el campo gravitatorio o campo gravitacional es un campo de fuerzas que representa la gravedad. Si

se dispone en cierta región del espacio una masa M, el espacio alrededor de M adquiere ciertas

características que no disponía cuando no estaba M. Este hecho se puede comprobar acercando otra masa m

y constatando que se produce la interacción. A la situación física que produce la masa M se la denomina

campo gravitatorio. Afirmar que existe algo alrededor de M es puramente especulativo, ya que sólo se nota el

campo cuando se coloca la otra masa m, a la que se llama masa testigo. El tratamiento que recibe este

campo es diferente según las necesidades del problema:

En física newtoniana o física no-relativista el campo gravitatorio viene dado por un campo vectorial.

En física relativista, el campo gravitatorio viene dado por un campo tensorial de segundo orden.

¿QUE ES EQUILIBRIO DE UN CUERPO?

Cuando un cuerpo está sometido a un sistema de fuerzas, que la resultante de todas las fuerzas sean cero,

entonces el cuerpo está en equilibrio. Esto, significa que el cuerpo, que está en movimiento uniforme rectilíneo

Las posibilidades de movimiento de un cuerpo, son seis: tres de traslación, en las direcciones x, y, y tres de

rotación, alrededor de los mismos ejes.

¿QUE ES EQUILIBRIO ESTABLE DE UN CUERPO?

Cuando al desviar el cuerpo de su posición sube el C.D.G., por lo cual, al dejarlo libre vuelve a la posición

primitiva. Ejemplo: un cono apoyado sobre su base.

¿QUE ES EQUILIBRIO INESTABLE DE UN CUERPO?

Si al desviar un poco el cuerpo bajo el C.D.G., por lo que al dejarlo libre se aleja, se separa aún más de la

posición primitiva. Ejemplo: un cono apoyado por su vértice.

¿QUE ES EQUILIBRIO INDIFERENTE DE UN CUERPO?

Cuando al mover un poco el cuerpo su C.D.G, permanece a igual altura, de modo que al soltarlo ni se aleja, ni

se acerca a la posición primitiva, sino que se queda donde se le deja. Ejemplo: el cono apoyado en una de

sus generatrices.

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¿QUE ES EQUILIBRIO DE TRASLACION DE UN CUERPO?

Es aquel que surge en el momento en que todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo se nulifican, o sea, la

sumatoria de las mismas sea igual a cero. EFx = 0 EFy = 0.

¿QUE ES EQUILIBRIO DE ROTACION DE UN CUERPO?

Es aquel que surge en el momento en que todas las torcas que actúan sobre el cuerpo sean nulas, o sea, la

sumatoria de las mismas sea igual a cero. EMx= 0 EMy= 0.

¿CUÁLES SON LAS CONDICIONES PARA QUE UN CUERPO ESTÉ EN EQUILIBRIO DE

TRASLACIÓN?

Cuando se estudió la primera ley de Newton, llegamos a la conclusión de que si sobre un cuerpo no actúa

ninguna fuerza externa, este permanece en reposo en un movimiento rectilíneo uniforme. Pero sobre un

cuerpo pueden actuar varias fuerzas y seguir en reposo en un movimiento rectilíneo uniforme.

Hay que tener en cuenta, que tanto para la situación de reposo, como para la de movimiento rectilíneo

uniforme la fuerza neta que actúa sobre un cuerpo es igual a cero.

¿CUÁLES SON LAS CONDICIONES PARA QUE UN CUERPO ESTÉ EN EQUILIBRIO DE

ROTACIÓN?

Si a un cuerpo que puede girar alrededor de un eje, se la aplican varias fuerzas y no producen variación en su

movimiento de rotación, se dice que el cuerpo puede estar en reposo o tener movimiento uniforme de

rotación.

También se puede decir que un cuerpo se encuentra en equilibrio de rotación si la suma algebraica de los

momentos o torques de las fuerzas aplicadas al cuerpo, respecto a un punto cualquiera debe ser igual a cero.

¿QUÉ ES ACELERACIÓN LINEAL?

La velocidad tangencial o lineal representa la magnitud de la velocidad que llevará un cuerpo al salir disparado

en forma tangencial a la circunferencia que describa; esta velocidad recibe el nombre de tangencial porque la

dirección de la velocidad siempre es tangente a la circunferencia recorrida por la partícula y representa la

magnitud de la velocidad que llevaría ésta si saliera disparada tangencialmente. Para que una partícula o un

objeto cambien la magnitud de su velocidad, debe experimentar una aceleración, misma que recibe el nombre

de aceleración tangencial.

¿CUÁL ES LA ECUACIÓN DE MOVIMIENTO PARA UN CUERPO CON ACELERACIÓN LINEAL?

Dónde: r = radio de la circunferencia en metros (m). T = periodo en segundos (s). VL = magnitud de la

velocidad lineal en m/s

Como 2π es igual a ω, la magnitud de la velocidad tangencial o lineal puede escribirse así:

Dónde: VL = magnitud de la velocidad lineal o tangencial en m/s. ω = magnitud de la velocidad angular rad/s.

r = radio de la circunferencia en metros (m).

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¿QUÉ DICE LA SEGUNDA LEY DE NEWTON?

El cambio de movimiento es proporcional a la fuerza motriz impresa y ocurre según la línea recta a lo largo de

la cual aquella fuerza se imprime.

¿QUÉ PRODUCE LA ACELERACIÓN LINEAL?

La aceleración lineal se produce en un momento de determinado tiempo, teniendo en cuenta su dirección y

su sentido, así como el radio por el que está viajando en una fracción particular de su trayectoria.

¿QUÉ ES UN PUNTO MATERIAL?

La partícula puntual, masa puntual o partícula es una idealización física en la que se considera el cuerpo en

estudio como si fuese puntal, es decir carente de dimensiones, cualquiera que sea su tamaño, dependiendo

tan solo del contexto del problema a tratar.

¿QUÉ ES UN EJE DE ROTACIÓN?

Si bien se define la rotación como un movimiento de rotación alrededor de un eje, debe tenerse presente que

dicho eje de rotación puede ir cambiando su inclinación a lo largo del tiempo. Así sucede con eje de rotación

terrestre y en general el eje de rotación de cualquier sólido en rotación que no presente simetría esférica. Para

un planeta, o en general cualquier sólido en rotación, sobre el que no actúa un par de fuerza el momento

angular se mantiene constante, aunque eso no implica que su eje de rotación sea fijo. Para una peonza

simétrica, es decir, un sólido tal que dos de sus momentos de inercia principales sean iguales y el tercero

diferente, el eje de rotación gira alrededor de la dirección del momento angular. Los planetas con muy buena

aproximación son esferoides achatados en los polos, lo cual los convierte en una peonza simétrica, por esa

razón su eje de giro experimenta una rotación conocida como precesión. La velocidad angular de precesión

viene dada por el cociente entre el momento angular de rotación y el menor de los momentos de inercia del

planeta:

El caso de existencia de asimetría axial el planeta es una peonza asimétrica y además el eje de giro puede

realizar un movimiento de nutación.

¿QUÉ ES VELOCIDAD ANGULAR?

La velocidad angular es una medida de la velocidad de rotación. Se define como el ángulo girado por una

unidad de tiempo y se designa mediante la letra griega ω. Su unidad en el Sistema Internacional es el radián

por segundo (rad/s).

Aunque se la define para el movimiento de rotación del sólido rígido, también se la emplea en la cinemática de

la partícula o punto material, especialmente cuando esta se mueve sobre una trayectoria cerrada (circular,

elíptica, etc).

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¿QUÉ ES MOMENTO DE INERCIA DE UN PUNTO MATERIAL CON RESPECTO A UN EJE DE

ROTACIÓN?

Cuando un cuerpo gira en torno a uno de los ejes principales de inercia, la inercia rotacional puede ser

representada como una magnitud escalar llamada momento de inercia. Sin embargo, en el caso más general

posible la inercia rotacional debe representarse por medio de un conjunto de momentos de inercia y

componentes que forman el llamado tensor de inercia. La descripción tensorial es necesaria para el análisis

de sistemas complejos, como por ejemplo en movimientos giroscópicos.

¿QUÉ ES UN CUERPO HOMOGÉNEO, NO HOMOGÉNEO?

Homogéneo: Que está formado por elementos con una serie de características comunes referidas a su clase

o naturaleza que permiten establecer entre ellos una relación de semejanza.

¿CÓMO SE CALCULA EL MOMENTO DE INERCIA DE UN CUERPO SÓLIDO CON RESPECTO A

SU EJE DE ROTACIÓN?

Para calcular el momento de inercia de un sistema de n partículas aplicamos directamente la expresión:

∑

Para calculas el momento de inercia de distribuciones continuas de masa se aplica el concepto de integral.

Veamos algunos resultados:

Aro (respecto a ese perpendicular que pasa por el centro)

Cilindro (respecto a eje que posa por los centros de sus bases)

Esfera maciza (respecto a un diámetro)

Esfera hueca (respecto a un diámetro)

Varilla (respecto a un eje perpendicular que pasa por el centro)

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¿Cuál es la fórmula obtenida para calcular el momento de inercia de un cilindro homogéneo,

macizo, con respecto al eje del cilindro? ¿Cuál es la fórmula obtenida para calcular el

momento de inercia de un disco homogéneo, macizo, con respecto al eje del cilindro? ¿Cuál

es la fórmula obtenida para calcular el momento de inercia de un cilindro homogéneo, hueco,

con respecto al eje del cilindro? ¿Cuál es la fórmula obtenida para calcular el momento de

inercia de un cilindro homogéneo, macizo, con respecto al eje del cilindro? ¿Cuál es la

fórmula obtenida para calcular el momento de inercia de un cilindro homogéneo, hueco, con

paredes delgadas, con respecto al eje del cilindro? ¿Cuál es la fórmula obtenida para calcular

el momento de inercia de una esfera homogénea, maciza, con respecto al eje que pasa por su

centro? ¿Cuál es la fórmula obtenida para calcular el momento de inercia de una barra

homogénea, maciza, con respecto al eje que pasa por su punto medio, perpendicularmente

respecto a su eje longitudinal?

Momento de inercia de una varilla

Vamos a calcular el momento de inercia de una varilla de

masa M y longitud L respecto de un eje perpendicular a la

varilla que pasa por el centro de masas.

La masa dm del elemento de longitud de la varilla comprendido entre x y x+dx es

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El momento de inercia de la varilla es

Aplicando el teorema de Steiner, podemos calcular el momento

de inercia de la varilla respecto de un eje perpendicular a la

misma que pasa por uno de sus extremos.

Momento de inercia de un disco

Vamos a calcular el momento de inercia de un disco de masa M y radio R respecto de un eje perpendicular al

plano del disco y que pasa por su centro.

Tomamos un elemento de masa que dista x del eje de rotación. El elemento es un anillo de radio x y de

anchura dx. Si recortamos el anillo y lo extendemos, se convierte en un rectángulo de longitud

2px y anchura dx, cuya masa es

El momento de inercia del disco es

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Momento de inercia de un cilindro

Vamos a calcular el momento de inercia de un cilindro de masa M, radio R y longitud L respecto de su eje.

Tomamos un elemento de masa que dista x del eje de rotación. El elemento es una capa cilíndrica cuyo radio

interior es x, exterior x+dx, y de longitud L, tal como se muestra en la figura. La masa dm que contiene esta

capa es

El momento de inercia del cilindro e

Momento de inercia de una placa rectangular

Vamos a calcular el momento de inercia de una placa rectangular delgada de

masa M de lados a y b respecto del eje que pasa por la placa.

Tomamos un elemento de masa que dista x del eje de rotación. El elemento es un

rectángulo de longitud a de anchura dx. La masa de este rectángulo es

El momento de inercia de la placa rectangular es

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Momento de inercia de un disco

Vamos a calcular el momento de inercia de un disco de masa M y

radio R, respecto de uno de sus diámetros.

Tomamos un elemento de masa que dista x del eje de rotación. El

elemento es un rectángulo de longitud 2y de anchura dx. La masa

de este rectángulo es

El momento de inercia del disco es

Haciendo el cambio de variable

y=R·cosθ

x=R·senθ

Llegamos a la integral

Momento de inercia de una esfera

Vamos a calcular el momento de inercia de una esfera de masa M y radio R respecto de uno de sus diámetros

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Dividimos la esfera en discos de radio x y de espesor dz. El momento de inercia de cada uno de los

discos elementales es

La masa de cada uno de los discos es

El momento de inercia de la esfera, es la suma de los momentos de inercia de todos los discos elementales.

Para resolver la integral tenemos que relacionar la variable x con la z. Como vemos en la figura x2+z

2=R

2

Momento de inercia de un cilindro

Vamos a calcular el momento de inercia de un cilindro de masa M, radio R y longitud L, respecto de un eje

perpendicular a su generatriz y que pasa por su centro.

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Dividimos el cilindro en discos de radio R y espesor dx. El momento de inercia de cada uno de los

discos respecto de uno de sus diámetros es

Aplicando el teorema de Steiner, calculamos el momento de inercia de este disco, respecto de un eje paralelo

situado a una distancia x.

El momento de inercia del cilindro es

Momento de inercia de un paralepípedo

Vamos a calcular el momento de inercia de un paralepípedo de masa M y de lados a, b y c respecto de un eje

perpendicular a una de sus caras.

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Dividimos el paralepípedo en placas rectangulares de lados a y b y de espesor dx.

El momento de inercia de cada una de las placas respecto de su eje de simetría es

Aplicando el teorema de Steiner, calculamos el momento de inercia de esta placa respecto de un eje paralelo

situado a una distancia x es

El momento de inercia del sólido en forma de paralepípedo es

¿QUÉ DICE STEINER REFERENTE AL MOMENTO DE INERCIA CON RELACIÓN A OTRO EJE

PARALELO AL PRIMERO?

El teorema de Steiner es una fórmula que nos permite calcular el momento de inercia de un sólido rígido

respecto de un eje de rotación que pasa por un punto O, cuando conocemos el momento de inercia respecto a

un eje paralelo al anterior y que pasa por el centro de masas.

El momento de inercia del sólido respecto de un eje que pasa por O es

El momento de inercia respecto de un eje que pasa por C es

Para relacionar IO e IC hay que relacionar ri y Ri.

En la figura, tenemos que

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El término intermedio en el segundo miembro es cero ya que obtenemos la posición xC del centro de masa

desde el centro de masa. M es la masa total del sólido.

¿QUÉ ES ACELERACIÓN ANGULAR DE UN CUERPO?

Se define la aceleración angular como el cambio que experimenta la velocidad angular por unidad de tiempo.

Se denota por la letra griega alfa . Al igual que la velocidad angular, la aceleración angular tiene carácter

vectorial.

Se expresa en radianes por segundo al cuadrado, o s-2, ya que el radián es adimensional.

¿Qué es torque o momento de una fuerza?

Se llama torque o momento de una fuerza a la capacidad de dicha fuerza para producir un giro o rotación

alrededor de un punto.

En el caso específico de una fuerza que produce un giro o una rotación, muchos prefieren usar el

nombre torque y no momento, porque este último lo emplean para referirse al momento lineal de una fuerza.

Para explicar gráficamente el concepto de torque, cuando se gira algo, tal como una puerta, se está aplicando

una fuerza rotacional. Esa fuerza rotacional es la que se denomina torque o momento.

Cuando empujas una puerta, ésta gira alrededor de las bisagras. Pero en el giro de la puerta vemos que

intervienen tanto la intensidad de la fuerza como su distancia de aplicación respecto a la línea de las

bisagras.

Entonces, considerando estos dos elementos, intensidad de la fuerza y distancia de aplicación desde su eje,

el momento de una fuerza es, matemáticamente, igual al producto de la intensidad de la fuerza (módulo) por

la distancia desde el punto de aplicación de la fuerza hasta el eje de giro.

Expresada como ecuación, la fórmula es

M = F • d

Donde M es momento o torque

F = fuerza aplicada

d = distancia al eje de giro

El torque se expresa en unidades de fuerza-distancia, se mide

comúnmente en Newton metro (Nm).

Si en la figura de la izquierda la fuerza F vale 15 N y la

distancia d mide 8 m, el momento de la fuerza vale:

M = F • d = 15 N • 8 m = 120 Nm

La distancia d recibe el nombre de “brazo de la fuerza”.

Una aplicación práctica del momento de una fuerza es la llave

mecánica (ya sea inglesa o francesa) que se utiliza para apretar

tuercas y elementos similares. Cuanto más largo sea el mango

(brazo) de la llave, más fácil es apretar o aflojar las tuercas.

Cuando se ejerce una fuerza F en el

punto B de la barra, la barra gira

alrededor del punto A. El momento de

la fuerza F vale M = F • d

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Con este ejemplo vemos que el torque y la fuerza están unidos directamente.

Para apretar una tuerca se requiere cierta cantidad de torque sin importar el punto en el cual se ejerce la

fuerza. Si aplicamos la fuerza con un radio pequeño, se necesita más fuerza para ejercer el torque. Si el radio

es grande, entonces se requiere menos fuerza para ejercer la misma cantidad de torque.

¿CÓMO SE RELACIONA EL MOMENTO DE UNA FUERZA CON EL MOMENTO DE INERCIA Y

LA ACELERACIÓN ANGULAR?