prepre postpost esercitazione di matematica 2010

PRE

POST

ESERCITAZIONE DI MATEMATICA

2010

“Lo scienziato non studia la natura perché sia utile farlo. La studia perché ne ricava piacere; e ne ricava piacere perché è bella.

Se la natura non fosse bella non varrebbe la pena di sapere e la

vita non sarebbe degna di essere vissuta.”

H. Poincarè

1. Quale di queste sequenze è ordinata in modo crescente:

950

45 211049.945 03 3loge ; ; ; A)

950

45 211049.945 03 3loge ; ; ; B)

950

45 211049.945 03 3loge ; ; ; C)

950

45 211049.945 03 3loge ; ; ; D)

950

45 211049.945 033loge ; ; ;

E)

950

45 211049.945 03 3loge ; ; ;

950

45

949

45

1049.9

451049.945

221

950

45<1

03 =1

3loge : e= 2,7…, allora loge3 > 1

SOLUZIONE:

12 3 4

RISPOSTA A

2. Goddy ha cucinato una torta per 7

persone ed ha utilizzato 250 g di cioccolato. Farà la stessa torta per una festa a casa di

Celeste alla quale parteciperanno 21 persone. Quanto cioccolato dovrà usare?

A) 1 KgB) 800 gC) 750 gD) 1,5 KgE) 500 g

Se per 7 persone servono 250g di cioccolato, per 21 personeservono x grammi di cioccolato, cioè:

7507

25021

x

x:21250:7

RISPOSTA CSOLUZIONE:

3. Il corridoio della facoltà di Scienze è lungo 0,5 Km. Stella lo percorre 6 volte al giorno.

Celeste percorre in 10 giorni il 70 % dei metri percorsi da Stella (in 10 giorni). Che distanza

percorre Celeste alla settimana?

A) 21 KmB) 14700mC) 2100 mD) 3500 mE) 2,1 Km

0,50,5 Km 0,50,5 Km 0,50,5 Km 0,50,5 Km 0,50,5 Km 0,50,5 Km

Cammino in 1 giorno (3Km)!!!

Stel

la

Cammino in 10 giorni: 30 Km

“Celeste percorre in 10 giorni il 70 % dei metri percorsi da Stella (in 10 giorni)”

Km21100

7030

2,1KmCammino di Celeste in 1 giorno:

“Che distanza percorre Celeste alla settimana?”

7 ∙ 2,1 Km =14,7 Km = 14700 m

RISPOSTA BSOLUZIONE:

4. Cosa si ottiene sottraendo il doppio del quadrato di quattro al quadruplo

della potenza quarta di due?

A)1B)0C)25

D)-25

E) 2-5

Cosa si ottiene sottraendo il doppio del quadrato di quattro al quadruplo della

potenza quarta di 2?



24 4224













SOLUZIONE:

Abbiamo 2 alternative:

Seconda alternativa: sfrutto le proprietà delle potenze

322122222222 5556442

RISPOSTA CSOLUZIONE:

4 ∙ 16 – 2 ∙ 16 = 64 – 32 = 32 = 25

Prima alternativa: Fare i conti

5. L’espressione algebrica (a-b)3-(a3-b3) è uguale a:

A) abB) -a+bC) (3ab)(b-a)D) (-3ab)(b-a)E) 3a-b

SOLUZIONE: Questo quiz si può risolvere in 2 modi:

1. MEMORIA2. CALMA E SANGUE FREDDO

Ricordiamo come si fa il cubo di un binomio:

(a-b)3 = [ a+(-b) ] 3“Il cubo del primo, più il cubo del secondo,

più tre volte il quadrato del primo per il secondo, più tre volte il primo per il

quadrato del secondo.”

a3 + (-b)3 + 3 a2(-b) + 3 a(-b)2

a3-b3 -3 a2b + 3 ab2

Se non ti ricordi il cubo, ti ricorderai il quadrato:

(a-b)3 = (a-b) (a-b)2 =(a-b) (a2 + b2 -2ab)=

a3-b3 -3 a2b + 3 ab2

SOLUZIONE:

(a-b)3= a3-b3 -3 a2b + 3 ab2

A questo punto:

(a-b)3-(a3-b3)= (a3-b3-3 a2b + 3 ab2)-(a3-b3)=

a3-b3-3 a2b + 3 ab2-a3+b3= 3ab(b-a)

RISPOSTA C

A) Nessuna delle seguenti

baabba

ba

1

2

2222

6. L’espressione algebrica

è uguale a:

2122

ba

ba

B)

ba 1

C)

1D)

22

ba E)

babababa

ba

11212

2

baabba

ba 1

2

2222

SOLUZIONE:

RISPOSTA C

7. Il doppio di xa ya+b a quale delle seguenti espressioni equivale?

A) 2 (x y)2a+b

B) (2 x y)a yb

C) 2 (x y)a yb

D)2 (x + y)ab

E) [(x + y) 2a]b

SOLUZIONE:

ATTENZIONE: Alcune risposte sono palesemente errate!

1) “Il doppio di (qualcosa)”

2 ∙ (qualcosa)

Risposta B NO!Risposta E NO!

Ricorda: BASEESPONENTE

Valgono le seguenti regole per il prodotto di esponenziali:

1

2

ya ∙ yb = ya+b “stessa base sommo gli esponenti”

xa ∙ ya = (xy)a “stesso esponente moltiplico le basi”

Ricorda: BASEESPONENTE

Valgono le seguenti regole per il prodotto di esponenziali:

1

2

ya ∙ yb = ya+b “stessa base sommo gli esponenti”

xa ∙ ya = (xy)a “stesso esponente moltiplico le basi”

SOLUZIONE:

Tornando al testo:

babaabaabaa yxyyyxyyxyx 2222 1 2

RISPOSTA C

8. Segna la risposta ERRATA: Scrivere loga(b∙b) = d equivale a scrivere

A) ad= b∙bB) 2 loga b = d

C) ad = b2

D) loga b ∙ loga b = d

E) loga b2=d

a>0, a≠1b>0

Per da ax=b x=logab

A) da loga(b∙b)=d ad= b ∙ b

PROPRIETA’ 1) loga (b∙c)=logab + logacB) loga(b∙b)=logab+logab=2logab

2) logabn = n logab

C) b2

E) È semplicemente un altro modo per scrivere loga(b∙b)=logab2=d

D) banalmente per esclusione!!

SOLUZIONE:

RISPOSTA D

A) a > 1B) a > -1C) a ≥ 1D) a ≥ -1E) -1 < a < 1

9. Dato il sistema di equazioni

con a parametro reale

indicare per quali valori di a il sistema ammette soluzione.

132

32yx

yx a

SOLUZIONE:

RISPOSTA AStudiamo separatamente le due equazioni:

2x+3y=a

2x e 3y >0 per ogni x ed y reali

Quindi 2x+3y >o

2x-3y=1

2x compare in entrambe le equazioni, quindi possiamo esplicitarlo… 2x = 1+3y

e sostituirlo nella prima:

(1+3y)+3y=a

1+2(3y) =a

2(3y) =a - 1

2(3y)>0

2(3y) = a – 1 >0

Quindi:

a > 1

ci dice che a > 0

A) -32 x3

B) 0C) f(4x)D) 1E) f(3x)

10. Data la funzione

quanto vale l’espressione f(2x) – f(-2x) ?

3232

xxf x

SOLUZIONE:

RISPOSTA A

3232

xxf x

3432 163223222

xxxf xx

33434 321631632222

xxxxfxf xx

343432 1638232232222

xxxxf xxx

xfxf 22 A noi interessa:

11. Il piccolo Celestino va a fare compere con suo papà Frenk e il cucciolo Bobby. Dal fruttivendolo

compra 2 mele. Il papà inoltre decide di comprare un numero di pesche pari al doppio del quadrato del numero di mele meno il suo triplo. Celestino

prende di nascosto anche cinque albicocche.Durante il ritorno a casa il cucciolo Bobby mangia

1/3 del numero totale di frutta acquistata.Quanti sono in totale i frutti che i nostri amici

hanno portato a casa?A) 6B) 0C) 1D) 5E) 9

SOLUZIONE:Il piccolo Celestino va a fare compere con suo papà Frenk e il loro cucciolo Bobby. Dal fruttivendolo compra 2 mele. Il papà inoltre gli dice di comprare un numero di pesche pari al doppio del quadrato del numero di mele meno il suo triplo. Celestino prende di nascosto anche cinque albicocche. Durante il viaggio di ritorno il cucciolo Bobby mangia 1/3 del numero totale di frutta acquistata.Qual è il numero di mele, pesche e albicocche che Celestino ha portato a casa?

Il piccolo Celestino va a fare compere con suo papà Frenk e il loro cucciolo Bobby. Dal fruttivendolo compra 2 mele. Il papà inoltre gli dice di comprare un numero di pesche pari al doppio del quadrato del numero di mele meno il suo triplo. Celestino prende di nascosto anche cinque albicocche. Durante il viaggio di ritorno il cucciolo Bobby mangia 1/3 del numero totale di frutta acquistata.Qual è il numero di mele, pesche e albicocche che Celestino ha portato a casa?

2


+ 2 ∙


(2)2



-3 ∙ 2


+ 5


3

1


[2

+ 2 ∙(2)2-3 ∙ 2 +5]

BASTA “TRADURRE” LE PAROLE IN NUMERI!

63993

19

RISPOSTA A

12. Individua quale delle seguenti uguaglianze è ERRATA:

A) sen245°+ cos245°= 1B) 5 sen (2 ∙ 25°)=10 sen 25° ∙ cos

25°C) tg (90°-30°) = tg 90° - tg 30°D) sen 60° =E) sen 30° = cos 60°

23

SOLUZIONE:

O A

P

Hα

OA

PHsen

OA

OHcos

1cos2

2

2

2222

OA

OA

OA

OHPHsen A)

=OP2=OA2 (Teorema di Pitagora!)

B) sen 2α=2sen α cos α FORMULA DI DUPLICAZIONE (o ve la ricordate oppure andate avanti a leggere le altre!)

Ricordate poi…

cos

sentg e alcuni valori del sen e del cos per alcuni

angoli particolari:

2

130 sen

2

360 sen

090cos

190 sen

2

160cos

…potrei continuare ma questi sono gli angoli che ci interessano…

E)

322

3

60cos

60603090

sen

tgtg

D)

C)

3

2

2

1

0

1

30cos

30

90cos

903090

sensen

tgtg

Impossibile!

RISPOSTA C

13. Il mio cappellino da rapper (in figura) ha una bella visiera gialla; sapendo che la parte

bianca è un cerchio di raggio r, quanto misura l’area della mia bella visiera gialla?

A) La visiera non è giallaB) 2π

C) 8/3 rD) 2 r2

E) π r2

SOLUZIONE:

RISPOSTA D

r

r

14. Determinare i valori del parametro reale a (se esistono) per cui le

seguenti rette r ed s risultino parallele:

A) Per ogni valore di aB) Per nessun valore di a C) Per a=2/3 ed a=-4/3D)Per -3 < a < 2E) Per a = 2/3

r:s:

02342 ayaxa

0932 ayx

axax

y 33

2

3

92

Due rette si dicono parallele quando hanno stesso coefficiente angolare.

y=mx+qm

Dunque nel nostro caso basterà porre le rette in forma esplicita…

34

2

3434

2 22

a

ax

a

a

a

axay

…ed uguagliare i 2 coefficienti angolari.

09

8

3

234

3

2

3

2

3422

2

aaaaa

a

Applico la formula risolutiva ed ottengo:

oppureaa 3418

186

18

288366

32a

SOLUZIONE:

RISPOSTA C

15. Si lancia un dado a sei facce non truccato per 2 volte. La probabilità di

ottenere almeno un 6 è

A) 11/36B) 5/18C) 1/3D) 1/2E) Nessuna delle precedenti

In ogni lancio la probabilità di ottenere un certo numero è 1/6.

Lanciando due volte il nostro dado i casi possibili sono 6 ∙ 6 = 36

Probabilità elementare: __________________ Casi favorevoli

Casi possibili

I casi favorevoli sono:

6 al primo lancio ed un numero diverso da 6 al secondo → 5

un numero diverso da 6 al primo ed un 6 al secondo → 5

6 in entrambi i lanci→ 1

Sommiamo i 3 eventi favorevoli e dividiamo per i casi possibili:

36

11

36

155

SOLUZIONE:

RISPOSTA A

16. Stella e Celeste nascondono il cellulare di Tiziano e Federico in un cassetto e lo chiudono con un lucchetto. Tale lucchetto si apre con una combinazione di 4 cifre

non ripetute da 1 a 5. Quante prove dovranno effettuare i poveri Tiziano e Federico nel peggiore dei casi per

aprire il lucchetto?

A) 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1B) 25C) 10 ∙ 9 ∙ 8 ∙ 7D)94

E) 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1

INIZIAMO DALLA PRIMA CASELLA:

Abbiamo 5 cifre a disposizione.

PASSIAMO ALLA SECONDA CASELLA:

Abbiamo 4 cifre a disposizione poiché non è possibile ripetere la cifra già scritta.

PASSIAMO ALLA TERZA CASELLA:

Abbiamo 3 cifre a disposizione poiché non è possibile ripetere le cifre già scritte.

Abbiamo 2 cifre a disposizione poiché non è possibile ripetere le cifre già scritte.

1 2 3 4

1 2 3 5

1 2 4 3

1 2 4 5

1 2 5 3

1 2 5 4Contiamo dunque i casi ottenuti: 5∙4∙3∙2∙1 = 5!

SOLUZIONE:

RISPOSTA C

2

3

PASSIAMO ALLA QUARTA CASELLA:

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