present ppde casquetes esfericos para volumenes de revolucion
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El método de los casquetes
cilíndricos
por Aquiles Páramo FonsecaDepartamento de Matemáticas- Universidad de Los Andes
Bogotá – Colombia - Junio del 2004
TEMAS DE CÁLCULO INTEGRAL
Temas
Introducción
Planteamiento general
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo final◙
Introducción
Cebollas y troncos de madera
¿Qué es el método de los casquetes cilíndricos?
Es un método de cálculo integral que permite evaluar volúmenes de sólidos de revolución.
En ciertas situaciones es el único método viable.
El método de las secciones transversales no siempre es fácil de aplicar y a veces no puede aplicarse en absoluto.
Por ejemplo…
Hallar el volumen del sólido de revolución que se genera al hacer girar sobre el eje y la región comprendida, en el primer cuadrante, entre la curva y = −x3 + 4x2 − 3x + 1 y la vertical x = 3.
El método de las secciones transversales
Para calcular el volumen se podría pensar en utilizar el método de las secciones transversales.
En este caso serían secciones horizontales.
Pero…
Las secciones transversales son, en unas zonas del sólido, discos completos y, en otras, arandelas, es decir, discos con hueco.
Además es necesario expresar tanto el radio de los discos como el radio interior y exterior de las arandelas en función de la variable y, lo que no es fácil de lograr en este caso.
y = −x3 + 4x2 − 3x + 1
x = ?
En cambio…
El método de los casquetes cilíndricos funciona muy bien en este caso.
Consiste en dividir el sólido de revolución en una serie de casquetes cilíndricos que se incrustan los unos dentro de los otros y en integrar luego los volúmenes de estos casquetes para obtener el volumen total.
Cebollas y troncos de madera
Es importante entender bien la estructura geométrica involucrada en el método de los casquetes cilíndricos.
Cebollas y troncos de madera
Cebollas y troncos de madera
Otros nombres del método
de las “capas” cilíndricas.
de los “cascarones” cilíndricos.
de las “cáscaras” cilíndricas
de las “envolturas” o “envolventes” cilíndricas.
En inglés: “cylindrical shells”
◙
Planteamiento general
El método de los casquetes cilíndricos
Antes que nada…
El volumen de un casquete cilíndrico se calcula restando el volumen del cilindro interior al volumen del cilindro exterior:
2 1
2 22 1
V V V
r h r hπ π
= −
= −
Así que…
2 1
2 22 1
2 22 1
2 1 2 1
2 12 1
( )
( )( )
2 ( )2
2
V V V
r h r h
r r h
r r r r h
r rr r h
rh r
π π
π
π
π
π
= −
= −
= −
= + −
+ = − ÷ = ∆
El volumen de un casquete cilíndrico
2V rh rπ= ∆
V = (circunferencia)(altura)(grosor)
El volumen de un casquete cilíndrico
2V rh rπ= ∆
V = (circunferencia)(altura)(grosor)
El problema general
Hallar el volumen del sólido de revolución que se genera al hacer girar alrededor del eje y la región que está comprendida entre la curva y = f(x), con f(x) > 0, el eje x y las rectas verticales x = a y x = b, donde 0 < a < b.
El problema general
Hallar el volumen del sólido de revolución que se genera al hacer girar alrededor del eje y la región que está comprendida entre la curva y = f(x), con f(x) > 0, el eje x y las rectas verticales x = a y x = b, donde 0 < a < b.
El problema general
Hallar el volumen del sólido de revolución que se genera al hacer girar alrededor del eje y la región que está comprendida entre la curva y = f(x), con f(x) > 0, el eje x y las rectas verticales x = a y x = b, donde 0 < a < b.
El método de los casquetes cilíndricos
Dividimos el intervalo [a, b] en n subintervalos todos del mismo ancho.
Sea xi* el punto medio del subintervalo i-ésimo.
Consideramos el rectángulo Ri construido sobre el subintervalo i-ésimo con una altura de f (xi*).
Lo hacemos girar en torno del eje y.
El método de los casquetes cilíndricos
Se produce un casquete cilíndrico que tiene como volumen:
(2 *) ( *)i i iV x f x xπ= ∆
El método de los casquetes cilíndricos
Se ponen n casquetes cilíndricos de éstos, los unos dentro de los otros.
Se suman todos sus volúmenes:
1 1
(2 *) ( *)n n
i i i
i i
V V x f x xπ= =
≈ = ∆∑ ∑
El método de los casquetes cilíndricos
La aproximación al volumen del sólido será mejor entre más grande sea n, el número de casquetes cilíndricos.
Se puede mostrar que:
1
lim (2 *) ( *) 2 ( )n b
i in ai
V x f x x x f x dxπ π→∞
=
= ∆ =∑ ∫
Regla general
El volumen del sólido de revolución que se genera al hacer girar alrededor del eje y la región que está comprendida entre la curva y = f(x), con f(x) > 0, el eje x y las rectas verticales x = a y x = b, donde 0 < a < b, está dado por la integral:
2 ( )b
aV x f x dxπ= ∫
◙
Ejemplo 1
El problema del comienzo
Recordando…
Hallar el volumen del sólido de revolución que se genera al hacer girar sobre el eje y la región comprendida, en el primer cuadrante, entre la curva y = −x3 + 4x2 − 3x + 1 y la vertical x = 3.
Recordando…
Hallar el volumen del sólido de revolución que se genera al hacer girar sobre el eje y la región comprendida, en el primer cuadrante, entre la curva y = −x3 + 4x2 − 3x + 1 y la vertical x = 3.
El método de los casquetes cilíndricos
Dividimos el sólido de revolución en una serie de casquetes cilíndricos que se incrustan los unos dentro de los otros.
El método de los casquetes cilíndricos
La altura de los casquetes cilíndricos varía de acuerdo a la función:
f(x) = −x3 + 4x2 − 3x + 1
La integral para el volumen es:
◙
3
0
33 2
0
34 3 2
0
35 24 3
0
2 ( )
2 ( 4 3 1)
2 ( 4 3 )
992
5 2 5
x f x dx
x x x x dx
x x x x dx
x xx x
π
π
π
π π
=
= − + − +
= − + − +
= − + − + =
∫∫∫
Ejemplo 2
El volumen de un cono
El problema del cono
Demostrar, empleando el método de los casquetes cilíndricos, que el volumen de un cono de altura h y con radio r en su abertura está dado por:
21.
3V r hπ=
Generando el cono
El cono puede ser visto como el sólido que se produce al hacer girar, alrededor del eje y, la región triangular cuyos vértices son (0,0), (r,0) y (0,h), donde h y r son números reales positivos.
Generando el cono
La ecuación de la recta que pasa por los puntos (r,0) y (0,h) es y = ( −h/r ) x + h, puesto que su pendiente es m = − h/r y su intercepto con el eje y es el punto (0,h).
El método de los casquetes cilíndricos
Construimos el cono mediante una serie de casquetes cilíndricos, incrustados los unos dentro de los otros.
Los radios varían de 0 a r y las alturas de 0 a h. r
h
El método de los casquetes cilíndricos
Los casquetes cercanos al centro son altos y su radio es pequeño, mientras que los que se sitúan más al exterior tienen un radio amplio pero su altura es pequeña.
El método de los casquetes cilíndricos
La altura de los casquetes cilíndricos está dada por la recta
y = ( −h/r ) x + h.
La integral para el volumen es:
◙
( )
0
0
2 32
00
2 32 2
(2 ) ( )
2 ( )
12 2
2 3
1 12 2
2 3 6 3
r
r
rr
V x f x dx
x h r x h dx
x xh x x dx h
r r
r rh r h r h
r
π
π
π π
π π π
=
= − +
= − = − ÷
= − = = ÷ ÷
∫∫
∫
Ejemplo 3
Una región delimitada por dos curvas
Una región delimitada por dos curvas
Hallar el volumen del sólido de revolución que se genera al hacer girar, alrededor del eje y, la región que está delimitada por la parábola y = − x2 + 4x − 3, por la cúbica y = x3 − 6x2 + 12x − 5 y por las verticales x = 1 y x = 3.
El sólido de revolución
Dos funciones involucradas
En este caso, a diferencia de los ejemplos anteriores, hay dos funciones involucradas que son:
3 2
2
( ) 6 12 5
( ) 4 3
g x x x x
f x x x
= − + −= − + −
El método de los casquetes cilíndricos
Consideremos que este sólido está formado por una serie de casquetes cilíndricos incrustados los unos dentro de los otros.
Esta vez, los casquetes no sólo varían en cuanto a su radio y a su altura, sino que varían además en cuanto a su ubicación respecto del eje x:
Arriba: y = x3 − 6x2 + 12x − 5
Abajo: y = − x2 + 4x − 3
La altura de un casquete cilíndrico
La altura de un casquete cilíndrico
En este caso, un casquete cilíndrico de radio x tiene como altura:
3 2 2
3 2
( ) ( )
( 6 12 5) ( 4 3)
5 8 2.
g x f x
x x x x x
x x x
−= − + − − − + −
= − + −
La integral para el volumen es:
( ) ( )
( )
3 33 2
1 1
35 4 334 3 2 2
11
35 4 3 2
1
2 ( ) ( ) 2 5 8 2
5 82 5 8 2 2
5 4 3
29212 75 160 60 .
30 15
x g x f x dx x x x x dx
x x xx x x x dx x
x x x x
π π
π π
π π
− = − + −
= − + − = − + −
= − + − =
∫ ∫
∫
◙
Ejemplo final
La región gira alrededor de una vertical distinta al eje y
El problema
Hallar el volumen del sólido de revolución que se produce al hacer girar alrededor de la recta vertical x = 1, la región que está comprendida entre el eje x, la curva y = f (x) y las rectas verticales x = 2, x = 3, donde
2( ) 2 2 .f x x x= − −
El sólido de revolución
2( ) 2 2 .f x x x= − −
Lo especial de este ejemplo
El radio de un casquete cilíndrico cualquiera, que tiene como altura f (x), es x − 1, y no x como en los casos anteriores, porque el sólido tiene como eje de rotación a la recta x = 1.
La integral del volumen
En este caso, la integral del volumen es:
( )32
22 ( 1) 2 2V x x x dxπ= − − −∫
La integral del volumen
( )32
2
3 32
2 2
2 ( 1) 2 2
4 ( 1) 2 ( 1) 2
V x x x dx
x dx x x x dx
π
π π
= − − −
= − − − −
∫∫ ∫
La primera integral no tiene problema. Para evaluar la segunda podemos hacer la sustitución u = x2 − 2x.
Por lo tanto, du = 2(x − 1)dx.
Los límites de integración: si x = 2, entonces u = 0 y si x = 3, entonces u = 3. Así:
La integral del volumen
3 31 2
2 0
3 323 2
02
4 ( 1)
24 6 2 3
2 3
V x dx u du
xx u
π π
π π π π
= − −
= − − = −
∫ ∫
◙
◙
Bibliografía y créditos
Edwards, Henry - Penney, David. Calculus: Early Transcendetals Version, Sixth Edition, Prentice-Hall,
2003, Chapter 6.3. Volumes by the Method of Cylindrical Shells, p. 419-427.
Stewart, James. Calculus: Early Transcendentals, Fifth Edition, Brooks/Cole, 2003, Chapter 6.3: Volumes by
Cylindrical Shells, p. 455-459.
Swokowski, Earl. Cálculo con geometría analítica, Grupo Editorial Iberoamérica, 1989, Capítulo 6.3. Determinación de volúmenes mediante envolventes
cilíndricas, p. 297-301.
Varberg, Dale - Purcell, Edwin. Calculus, Seventh Edition, Prentice-Hall, 1997, Chapter 6.3. Volumes of
Solids of Revolution: Shells, p. 313-319.
Las gráficas y las animaciones fueron realizadas por el autor utilizando Maple 7 de Waterloo Maple Inc.
junto con el paquete Calplots desarrollado por Harald Pleym. Para su posterior edición se utilizó el
programa GIF Construction Set Professional de Alchemy MindWorks; para la edición de fórmulas matemáticas, MathType 5 de Design Science Inc. y
para la elaboración de la presentación de diapositivas, PowerPoint 2002 de Microsoft. Las fotografías
fueron tomadas por el autor.
FIN