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DIPLOMADO SOBRE IDENTIFICACIÓN, FORMULACIÓN Y
EVALUACIÓN DE PROYECTOS DE INVERSIÓN PÚBLICA
EN ETAPA DE PERFIL INCORPORANDO LA GESTIÓN
DEL RIESGO EN CONTEXTO DE CAMBIO CLIMÁTICO
MÓDULO IV“SESIÓN 01: INTRODUCCIÓN A MATEMÁTICA FINANCIERA”
Dirección General de Inversión Pública
Dirección de Políticas y Estrategias de la Inversión Pública
Unidad de Desarrollo de Capacidades
Es la ciencia que nos proporciona las herramientas necesarias para tomar decisiones de inversión o de crédito, a lo largo del tiempo.
¿Qué es la matemática Financiera?
¿Para qué sirve la Matemática
Financiera?
Para manejar flujos monetarios en el tiempocon criterio técnico
3
Valor del Dinero en el Tiempo
El valor del dinero cambia con el tiempo y mientras más largo sea
este, mayor es la evidencia de la forma como disminuye su valor.
El dinero tiene entonces un valor diferente en el tiempo, dado que
está afectado por varios factores:
• La inflación.
• El riesgo.
• La oportunidad que tendría el dueño del dinero de invertirlo en otra
actividad económica, protegiéndolo no solo de la inflación y del riesgo sino
también con la posibilidad de obtener una utilidad. El dinero per se, tiene una
característica fundamental, la capacidad de generar mas dinero, es decir de
generar mas valor.
Los factores se expresan y materializan a través de la Tasa de Interés.
4
Valor del Dinero en el Tiempo
Ejemplo:
Periodo 0(Año 0)
S/. 1.000 S/. 1.100
Si r = 10%Periodo 1(Año 1)
Un individuo obtiene hoy un ingreso (Y0) de S/. 1.000 por una sola vez ydecide no consumir nada hoy. Tiene la opción de poner el dinero en elbanco.
a) ¿Cuál será el valor de ese monto dentro de un año si la tasarentabilidad o de interés (r) que puede obtener en el banco es de 10% ?
1.000 * (0,1) = 100 (rentabilidad)100 + 1000 = 1.100 (valor dentro de un año)
5
31111* rVArrrVAVF
0 3
VF
Año:
VA
1 2
Si son 3 periodos
Caso General: nrVAVF 1*
rVAVF 1*
0 1
VFVA
Año:
Sólo 1 periodo
Donde:r = tasa de interés
Valor del Dinero en el Tiempo
Valor Futuro
6
Tasa de Interés simple y compuesta
Valor Actual:
311*1*1 r
VF
rrr
VFVA
0 3
VF
Año:
VA
1 2
Caso 3 periodos
Caso General: nr
VFVA
1
rVF
VA
1
0 1
VFVA
Año:
Caso 1 periodo
Donde:
r = tasa de interés
7
a) Si se tiene S/. 1.000 hoy y la tasa de interés anual es de 12%. ¿Cuál será su valor al final del tercer año?
Año 0: 1.000Año 1: 1.000 * (1+0,12) = 1.120Año 2: 1.120 * (1+0,12) = 1.254Año 3: 1.254 * (1+0,12) = 1.405
VF= 1.000 * (1+0,12)3 = 1.000 * 1,4049 = 1.405
Alternativamente:
Valor futuro y Valor actual
Ejemplo VF:
8
b) Si en cuatro años más necesito tener S/. 3.300 y la tasa deinterés anual es de 15%.¿Cuál es el monto que requiero depositar hoy para lograr la meta?
Año 4: 3.300Año 3: 3.300 / (1+0,15) = 2.869,6Año 2: 2.869,6 / (1+0,15) = 2.495,3Año 1: 2.495,3 / (1+0,15) = 2.169,8Año 0: 2.169,8 / (1+0,15) = 1.886,8
VA= 3.300 / (1+0,15)4 = 1.000 / 1,749 = 1.886,8
Alternativamente:
Valor futuro y Valor actual
Ejemplo VA:
Caso Especial VF, VA:
Caso especialc) Si los S/.1.000 de hoy equivalen a S/. 1.643 al final del año 3.
¿Cuál será la tasa de interés anual relevante?
VF= 1.000 * (1+r)3 = 1.643(1+r)3 = 1,64(1+r) = (1,64)1/3
1+r = 1,18r = 0,18
Valor futuro y Valor actual
10
Tasa de Interés compuesta y simple
Tasa de interés compuesta:
Corresponde al mismo concepto asociado a la conversión de unvalor actual (VA) en un valor final (VF) y viceversa.
El monto inicial se va capitalizando periodo a periodo, así porejemplo, luego del primer periodo se suma el capital más losintereses ganados y este total es el que gana intereses para unsegundo periodo.
nrVAVF 1*
VF = Monto capitalizado (valor final) VA = Inversión inicial (valor actual)r = tasa de interés del periodon = número de períodos
(1+r) n : Factor de capitalización
nr
VFVA
1 : Factor de descuento1
(1+r) n
11
Tasa de Interés compuesta y simple
Tasa de interés simple:
Concepto poco utilizado en el cálculo financiero, es de fácil obtención, pero con deficiencias por no capitalizar la inversión periodo a periodo.
El capital invertido es llevado directamente al final sin que se capitalice periodo a periodo con los intereses ganados
)*1(* nrVAVF
VF = Monto acumulado (valor final) VA = Inversión inicial (valor actual)r = tasa de interés del periodon = número de períodos
(1+r*n) : Factor acumulación simple
nr
VFVA
*1 : Factor descuento simple
1(1+r*n)
12
Tasa de Interés compuesta y simple
Ejemplo tasa de interés compuesta vs. Tasa de interés simple:
Si se tiene S/. 1.000 hoy y la tasa de interés anual es de 12%. ¿Cuál será su valor al final del tercer año?
Con tasa interés compuesta:
C = 1.000 * (1+0,12)3 = 1.000 * 1,4049 = 1.405
Con tasa interés simple:
C = 1.000 * (1+0,12*3) = 1.000 * 1,36 = 1.360
1000 14051120 1254
1+r 1+r 1+r
1000 1360
1+r*3
Intereses ganados:Año 1: S/. 120Año 2: S/. 134Año 3: S/. 151
Intereses ganados:Año 1: S/. 120Año 2: S/. 120Año 3: S/. 120
13
Tasa de Interés compuesta y simple
Tasa de interés equivalente:
Si se tiene una tasa de interés anual ra , la tasa deinterés mensual equivalente rm, puede ser calculadausando las siguientes expresiones:
12
rr
am
11 121
amrrCon interés compuesto:
Con interés simple:
Este ejemplo se hace extensivo a cualquier unidad de tiempo.
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Considere un flujo (F1) (anualidad) por montos igualesque se paga al final de todos los años por un período detiempo n a una tasa r
0 1 2 3 n-1 n
F1 F1 F1 F1 F1
Año:
F1
(1+r)
F1
(1+r)2
F1
(1+r)3
F1
(1+r)n-1
F1
(1+r)n
FlujosActualizados:
Anualidades
15
Anualidades
El Valor Actual de esa anualidad (F1) que implica la suma detodos esos flujos actualizados al momento 0 se define como:
n
n
rr
rF
)1(*
1)1(*1
r
rFVA
n
)1(1*1
n
r
F
r
F
r
FVA
)1(
1*1...
)1(
1*1
)1(
1*1 2
16
Como contrapartida al valor actual de un flujo se tiene:
El Valor Final de una anualidad (F1) que implica la sumade todos esos flujos llevados al periodo n y se definecomo:
r
rFVF
n 1)1(*1
1...1
)1(*1)1(*1 Fn
rFn
rFVF
Anualidades
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Ejemplo anualidad:
Suponga usted pagó cuotas mensuales de S/. 250.000 por la compra de un auto durante 2 años (24 meses) a una tasa de 1% mensual.
¿ Cuál fue el valor del préstamo?
508.186.301,0
)01,01(1*000.250
24
VA
Anualidades
18
Anualidades
Ejemplo anualidad:
Suponga usted trabajará durante 30 años, su cotización en laAFP será de S/. 20.000 mensuales, si la AFP le ofrece unarentabilidad mensual de 0,5%
¿ Cuál será el monto que tendrá su fondo al momento de jubilar?
301.090.20005,0
1)005,01(*000.20
360
VF
19
Ejemplo anualidad:
Suponga usted comprará una casa que vale hoy S/. 20.000.000y solicita al banco un crédito por el total del valor a 15 añosplazo (180 meses). La tasa de interés es de 0,5% mensual.
¿ Cuál deberá ser el valor del dividendo mensual ?
r
rFVA
n
)1(1*1
Si: Entonces:nr
rVAF
)1(1*1
Así: 771.168)005,1(1
005,0*000.000.20
1801
F
Anualidades
20
La evaluación de proyectos utiliza tasas deinterés reales y por tanto flujos reales, de estaforma se evita trabajar con inflaciones quenormalmente tendrían que ser estimadas afuturo con el consiguiente problema deincertidumbre.
Nota importante
Inflación y Tasas de Interés
22
De que se trata?
Estudiar y comparar los costos y
los beneficios de un proyecto o
programa para decidir la
conveniencia de su ejecución.
23
• Queremos obtener más de lo que gastamos.
• Debemos jerarquizar, ya que los recursos
no son suficientes para todas las
necesidades.
Porque Evaluar?
- +
24
Persona o empresa:
Evaluación PrivadaEvaluación financiera
Evaluación económica
Todos los habitantes del país por igual:
Evaluación socialEvaluación económica
Evaluación socio-económica
Todos los habitantes del país, privilegiando algún
grupo: Evaluación social
Para quien Evaluamos?
25
Para quien Evaluamos?
• Identificación:¿cuáles?
Pasos a seguir:
• Cuantificación:
¿cuánto?
• Valoración:
¿cuánto vale?
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Evaluación Acción Costos Beneficios
Identificar
Costo
BeneficioCuantificar
Valorar
Identificar
Costo
eficienciaCuantificar
Valorar X
Tipo de Evaluación:
Determinación de Beneficios y Costos
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• Estudios y diseños• Gastos administrativos• Terrenos• Construcción• Permisos, impuestos• Supervisión y asesoría• Equipamiento• Reposiciones• Capacitación• Abandono
Costos de Inversión
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• Sueldos y salarios
• Servicios básicos
• Arriendos
• Materiales e insumos
• Combustibles
• Permisos,
• Publicidad
• Impuestos
Costos de Operación
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• Mantención mayor de equipos
• Repuestos
• Reposición equipamiento menor
• Reparaciones periódicas
Costos de Mantenimiento
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• Ingresos monetarios
• Aumento de excedentes
• Ahorro de costos
• Otros:
– Revalorización de bienes
– Reducción de riesgos
– Mejor imagen
Tipos de Beneficios
32
• Ordena la información
• Facilita detectar errores u omisiones
• Simplifica los cálculos
48801880288018802880-512018802880890900
-
10000Flujo neto
3000300030003000300030003000300020001000Beneficios
-1000-1000-1000-1000Mantención
-120-120-120-120-120-120-120-120-110-100Operación
2000-8000
-
10000Inversión
109876543210Año
48801880288018802880-512018802880890900
-
10000Flujo neto
3000300030003000300030003000300020001000Beneficios
-1000-1000-1000-1000Mantención
-120-120-120-120-120-120-120-120-110-100Operación
2000-8000
-
10000Inversión
109876543210Año
Flujo de Ingresos y Costos
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• VAN
• TIR
• Otros criterios– Razón Beneficio/Costo
– Período de recuperación del capital
Indicadores Costo - Beneficio
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•Un proyecto es rentable para un inversionista si el VAN es
mayor que cero.
»VAN > 0 Proyecto Rentable (realizarlo)
»VAN < 0 Proyecto NO Rentable (archivarlo)
»VAN 0 Proyecto Indiferente
•Es muy importante el momento en que se perciben los
beneficios.
•A medida que es mayor la tasa de interés, menos importantes
son los costos e ingresos que se generan el futuro y mayor
importancia tiene los costos cercanos al inicio del proyecto.
VAN: Valor Actual de los Flujos Netos
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Valor Actual Neto
VAN =
i=0
i=n
B i - C i
(1 + r) i(r =
r%
100)
Año Costos Beneficios Neto (1+r) i V.A.0 2500 -2500 1 -25001 150 1000 850 1.1 7732 150 1000 850 1.21 7023 300 1000 700 1.33 5264 150 1000 850 1.46 5825 650 1000 350 1.61 217
VAN = 300
Io
36
•Corresponde a aquella tasa descuento que hace que el VAN del
proyecto sea exactamente igual a cero.
nn
TIR
F
TIR
F
TIR
FI
1......
110
2
2
1
10
n
i
io
TIR
FI
1 10
Donde: Fj = Flujo Neto en el Período i
Io = Inversión en el Período inicial n = Horizonte de Evaluación
TIR: Tasa interna de Retorno
i
37
0 =
i=0
i=n
B i - C i
(1 + TIR)i
10% 15% 20%
Tasa
0
100
200
300
400
-100
-200
-300
VAN
VAN
Tasa Interna de Retorno
Io
38
• Valor actual de los costos VAC
• Costo anual equivalente CAE
• VAC / VAB
• CAE por beneficiario CAE/B
Indicadores Costo- Eficiencia
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VAC =
i=0
i=n
C i
(1 + r) i
Año Costos (1+r)i V.A.
0 2500 1 2500
1 150 1.1 136
2 150 1.21 124
3 300 1.33 226
4 150 1.46 103
5 650 1.61 404
VAC = 3.493
Valor Actual de los Costos
Io
40
•Permite comparar proyectos:
• Con diferente Nº de beneficiarios
• Con diferente vida útil
•Puede también calcularse por:
• Número de atenciones entregadas
• Unidades del bien producido
• Vehículo
Cuando el número de beneficiarios por
año es constante podemos utilizar
también:
VAC / VAB