presentación sobre cosmología en la asignatura geometría y relatividad

Primeros hechos Modelos de Robertson-Walker Modelos de Friedmann Último

Geometría y Relatividad

José Antonio Pastor González

Última clase en Geometría y RelatividadLunes 15 de Abril de 2013

Introducción a la Cosmología

Contenidos

1 Primeros hechos

2 Modelos de Robertson-Walker

3 Modelos de Friedmann

4 Último

Contenidos

1 Primeros hechos

4 Último

Objetivo: modelar el Universo

Para ello:

Utilizaremos la relatividad generalGrandes simplificaciones: una galaxia será una partículaen este modelo (trabajaremos a escala muy grande)Así, cada galaxia estará representada por una línea en elespacio-tiempo (es una partícula material)Finalmente, trataremos el Universo como un fluido(galaxias=moléculas)

Para ello:

Pero mejor... poco a pocoEstrellas

Estrellas: principales fuentes de luz visible (fusión nuclear)Típica estrella: el sol (masa de 2× 1030 kilos)Estrellas más próximas: pocos años luz de distancia (1parsec = 3,261 años/luz)No nos valen como objetos básicos para hacer cosmología

Pero mejor... poco a pocoGalaxias

Agrupaciones de muchas estrellas por gravedad (víaláctea = 1011 estrellas, masa total de 1012 soles)Diámetros enormes (radio vía láctea = 12,5 Kpcs)No tenemos una imagen de la vía láctea (estamos en ella)pero sí de otras galaxias vecinasObjetos muy nuevos en el panorama astronómicoObjetos más visibles, impactantes y bonitos. Encosmología no atendemos a su forma, estructura opropiedades. Nos interesan como puntos.¿Cuántas vemos? Unas 1011 más o menos

Pero mejor... poco a pocoEl grupo local

Nuestra galaxia está dentro de lo que se conoce como elgrupo localLa galaxia más próxima: la nube grande de Magallanes(50 kpc del sol)La galaxia más próxima con el mismo tamaño: Andrómeda(770 kpc del sol)Tamaño medio de un cúmulo: unos pocos Mpc cúbicos (1Mpc = 3,08× 1022 metros)

Pero mejor... poco a pocoCúmulos y supercúmulos

A la escala de centenares de Mpc, las galaxias y losgrupos locales se acumulan en enormes agrupaciones,p.ej. el cúmulo Coma (10.000 galaxias, 100 Mpc distantedel sol)Visibles sobre todo en ondas de alta energía (rayos X)Son los objetos más grandes que resultan de la atraccióngravitacional

Pero mejor... poco a pocoAdemás de materia... radiación

Además de las galaxias, el Universo también contienepartículas de masa cero (radiación): fotones, quizásalgunos neutrinos, ondas gravitacionales...Esta radiación no está confinada, sino que viaja librementepor el espacioLa radiación detectada con mayor densidad de energía esla radiación de fondo (no confundir con radiaciones quelocalmente son intensas)

¿Cómo vemos el UniversoDistintas longitudes de onda

Luz visible: estrellas, primeras galaxias vecinas...Microondas: quizás la más importante longitud de ondapara hacer cosmología (radiación de fondo)Ondas de radio: galaxias distantesInfrarrojo: objetos jóvenes y/o nubes de polvo que noemiten luz visible (radiación térmica)Rayos X: nubes de gas intergalácticas, remanentes de laformación de las galaxias, temperaturas de millones degrados Kelvin, captan la radiación de las galaxias vecinas)

Principio cosmológicoHipótesis imprescindible

El universo, a gran escala, parece ser el mismo encualquier dirección del espacio hacia la que miremos(isotropía)No creemos ocupar un lugar preferente en el mismo(homogeneidad)La forma en la que el universo esté curvado (en su parteespacial) deberá ser la misma en todos los puntos(curvatura espacial constante)No hay homogeneidad temporal ni tampoco isotropíatemporal (futuro y pasado)

Expansión del universoHecho clave

Todo tiende a alejarse en el Universo (Slipher 1912,Hubble años 20)Cuanto más lejos está (cefeidas, supernova tipo Ia), másrápido se aleja (corrimiento hacia el rojo)Ley de Hubble

~v = H0~r

Primera idea del Big Bang

~v = H0~r

Expansión del UniversoLey de Hubble

La radiación de fondoEvidencia importantísima

Pese a la observación de la expansión, hubo un largodebate (varias décadas) acerca de si el Universo proveníade una explosión (Big Bang) o siempre había sido elmismo (steady state)Evidencia crucial: en 1965 Penzias y Wilson la encuentrande casualidad (aunque se postula teóricamente 20 añosantes, Dicke, Gamow, Novikov)Radiación de un cuerpo negro con temperatura2,725± 0,001 oK. El pico de la radiación (la mayorintensidad) se encuentra en la banda de las microondasPrimeras observaciones: homogeneidad. Refinamientos:dan anisotropías (COBE’1990) (WMAP’2006)Lo que observamos es el momento a partir del cual elUniverso se hace transparente (last scattering surface)

¿Radiación o materia?Cuestión de densidades

Se estima que la densidad a día de hoy de materiahabitual es ρmar(t0) ≡ 10−31g/cm3 (un protón por metrocúbico)En cuanto a la radiación, su densidad se estima enρrad(t0) ≡ 10−34g/cm3

La materia domina 1000 veces más que la radiación(visión convencional)

¿Sabemos algo?

No sabemos nadaCuestiones oscuras

Mediciones en la velocidad de rotación de las galaxiasespirales dan estimaciones de que éstas están rodeadasde un halo de materia (oscura) de unas 10 veces sumateria convencional. A esto hay que sumar materiaexótica como la que contienen los agujeros negros ypartículas sin detectar (22 por ciento del total)Mediciones recientes en relación a la velocidad derecesión de las galaxias no explican su aceleración con laenergía presente. Se postula la existencia de una energíade vacío (energía oscura) para cuadrar las cuentas (74 porciento)

No sabemos nadaCuestiones oscuras

Mediciones en la velocidad de rotación de las galaxiasespirales dan estimaciones de que éstas están rodeadasde un halo de materia (oscura) de unas 10 veces sumateria convencional. A esto hay que sumar materiaexótica como la que contienen los agujeros negros ypartículas sin detectar (22 por ciento del total)Mediciones recientes en relación a la velocidad derecesión de las galaxias no explican su aceleración con laenergía presente. Se postula la existencia de una energíade vacío (energía oscura) para cuadrar las cuentas (74 porciento)

Contenidos

1 Primeros hechos

4 Último

Hipótesis de trabajo

no estamos en una localización especial del Universo anivel espacial(homogeneidad espacial1)en cualquier dirección del espacio, el universo parece serel mismo (isotropía espacial2)corolario: la parte espacial del universo debe ser unmodelo 3D de curvatura constante

1Está claro que no ocurre así con la variable tiempo2Tampoco las direcciones temporales son isótropas: futuro y pasado

Métrica de Robertson-Walker

−dt2 + R(t)2(

1− kr2 + r2(dφ2 + sen2φdθ2)

)t → (t , r0, φ0, θ0) es una partícula en reposo (una galaxia)en este sistema de referencia (sistema de reposocósmico). Además esta curva es una geodésica con dichamétrica (la galaxia sólo está afectada por la gravedad y suinercia)t es el tiempo propio de la galaxia (tiempo cósmico,splitted manifold). Por homogeneidad discurre por igual encada punto así que (salvo traslaciones en t) es el mismopara todas las galaxias

−dt2 + R(t)2(

)t → (t , r0, φ0, θ0) es una partícula en reposo (una galaxia)en este sistema de referencia (sistema de reposocósmico). Además esta curva es una geodésica con dichamétrica (la galaxia sólo está afectada por la gravedad y suinercia)t es el tiempo propio de la galaxia (tiempo cósmico,splitted manifold). Por homogeneidad discurre por igual encada punto así que (salvo traslaciones en t) es el mismopara todas las galaxias

−dt2 + R(t)2(

)R(t) es el factor de escala del universo. Sólo depende deltiempo cósmico y nos dice cuánto se alejan (o acercan)las galaxias conforme el tiempo cambiak es el signo de la curvatura de la parte espacial 3D ytoma los valores k = 0,1,−1 (geometría euclídea,esférica, hiperbólica). La curvatura (seccional) de la parteespacial toma el valor

kR(t)2

−dt2 + R(t)2(

)R(t) es el factor de escala del universo. Sólo depende deltiempo cósmico y nos dice cuánto se alejan (o acercan)las galaxias conforme el tiempo cambiak es el signo de la curvatura de la parte espacial 3D ytoma los valores k = 0,1,−1 (geometría euclídea,esférica, hiperbólica). La curvatura (seccional) de la parteespacial toma el valor

kR(t)2

Para k=1 una imagen sería...

El factor de escala...... nos informa sobre la evolución del universo

Contenidos

1 Primeros hechos

4 Último

Ecuación de campo general

Los modelos de Robertson-Walker sólo usan la relatividad anivel cualitativo. Vamos a ver qué dice la ecuación de campode Einstein sobre estos modelos. La escribimos pues:

Ricij = 8π(Tij − 1/2Tgij)

donde T es un tensor (0,2) (16 componentes, 10 libres) quecodifica la distribución de materia-energía en el espacio-tiempo(tensor tensión-energía)

Más simplificaciones

al considerar las galaxias como partículas cuya únicainteracción (unas con respecto a otras) es la gravitatoriase obtiene lo que en hidrodinámica se conoce como unfluido perfecto (viscosidad cero)los parámetros que caracterizan un fluido perfecto son sudensidad ρ y su presión pmás aún, el hecho de que la radiación no domine en eluniverso (en comparación con la gravedad) nos permiteasumir que p ≡ 0finalmente, la homogeneidad espacial nos permite decirque la densidad sólo es t-dependiente, luego ρ ≡ ρ(t)

La ecuación de campo nos dice...

Ecuación de Friedmann:

R′(t)2 + k =8π3ρ(t)R(t)2

Ley de conservación:

ρ′(t) + 3ρ(t)R′(t)R(t)

La función R(t) es positiva y además

R′′(t) < 0

R′(t)2 + k =8π3ρ(t)R(t)2

ρ′(t) + 3ρ(t)R′(t)R(t)

R′′(t) < 0

R′(t)2 + k =8π3ρ(t)R(t)2

ρ′(t) + 3ρ(t)R′(t)R(t)

R′′(t) < 0

Ley de conservación

Observemos que

(ρ(t)R(t)3)′ = 0

es equivalente a la ley de conservación... por lo que

λ0 =4π3ρ(t)R(t)3

para una constante λ0 que se identifica con la masa deluniverso

Ley de conservación

Observemos que

(ρ(t)R(t)3)′ = 0

es equivalente a la ley de conservación... por lo que

λ0 =4π3ρ(t)R(t)3

para una constante λ0 que se identifica con la masa deluniverso

La ecuación de Friedmann

R′(t)2 + k =8π3ρ(t)R(t)2

k = 023

R(t)3/2 =√

k = 1R(t) = λ0(1− cos(v))

para v un parámetro que depende de tk = −1

R(t) = λ0(cosh(v)− 1)

R′(t)2 + k =8π3ρ(t)R(t)2

k = 023

R(t)3/2 =√

k = 1R(t) = λ0(1− cos(v))

R(t) = λ0(cosh(v)− 1)

R′(t)2 + k =8π3ρ(t)R(t)2

k = 023

R(t)3/2 =√

k = 1R(t) = λ0(1− cos(v))

R(t) = λ0(cosh(v)− 1)

Las gráficas

Ley de Hubble

Está implícita en los modelos de Friedmann:

dadas dos galaxias A = (t0,0, π/2, θ0) yB = (t0, r0, π/2, θ0) se calcula que están a distancia r0R(t)la velocidad de recesión es entonces r0R′(t)se define entonces

H(t) =R′(t)R(t)

la constante de Hubble (que depende del tiempo cósmico,pero que es constante en términos espaciales, mejorparámetro que constante)

Ley de Hubble

H(t) =R′(t)R(t)

Ley de Hubble

H(t) =R′(t)R(t)

Parámetros observacionales

Parámetro de Hubble a día de hoy es

H0 = 72± 8 km s−1Mpc−1

Una galaxia que se aleja a v = 7200 km/s resulta estar a

v/H0 = 100Mpc

El hecho de que no tengamos el parámetro por completodeterminado nos hace vivir en un mapa sin escala(conocemos las distancias relativas, pero no las absolutas)

H0 = 72± 8 km s−1Mpc−1

v/H0 = 100Mpc

H0 = 72± 8 km s−1Mpc−1

v/H0 = 100Mpc

Conocer con precisión H0 así como una estimación de ladensidad actual del universo nos permitirían despejar k enla ecuación de Friedmann:

R′(t)2 + k =8π3ρ(t)R(t)2

Este es uno de los desafíos actuales de la cosmología:saber nuestra densidad en relación con la densidad críticaEn este desafío se incluyen otras tareas hercúleas de lafísica que tienen que ver con el aspecto micro más quecon el macro (energía oscura, materia oscura, etc.)

R′(t)2 + k =8π3ρ(t)R(t)2

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1 Primeros hechos

4 Último

Aspectos finales

Naturaleza de la materia y la energía (4-22-74)(normal-materia oscura-energía oscura)Constante cosmológica Λ

R′(t)2 + k =8π3ρ(t)R(t)2 +

ΛR(t)2

Topología del Universo ¿es no trivial?

Aspectos finales

R′(t)2 + k =8π3ρ(t)R(t)2 +

ΛR(t)2

Aspectos finales

R′(t)2 + k =8π3ρ(t)R(t)2 +

ΛR(t)2

presentación sobre cosmología en la asignatura geometría y relatividad

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