Instituto Tecnológico de

Mérida

Funciones discontinuas.FUNCION RAMPA.

La función rampa es la integral de la función escalón. Si consideramos que estamos sumando toda el área bajo la función escalón a hasta un tiempo t. Si t < 0 (cero), el valor de la integral será 0 (cero). Si es mayor que 0 (cero) , entonces el valor será igual a la integral de 1 desde el tiempo 0 hasta el tiempo t, la cual también tiene el valor t, es decir:

La forma de esta función es

oMatemáticamente la podemos expresar de la siguiente forma:

Función Rampa Modificada En este caso, la función está indicada en la Fig. 3 y su

expresión matemática viene dada por la ecuación.

oTambién avanzamos que su función derivada es un pulso rectangular.

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Función escalón.►Esta función vale 0 para tiempos

negativos y una cantidad constante A para tiempos

Su expresión matemática podemos verla en la ecuación:

Se observa que en t=0, esta función presenta una discontinuidad, por lo que su derivada no existirá en dicho punto. Podemos avanzar que la derivada de la función escalón será la función impulso (o delta de Dirac), que veremos posteriormente. Cuando A = 1, la función recibe el nombre de escalón unitario y se utiliza el símbolo U(t). En los textos de ámbito matemático, esta función recibe el nombre de función de Heaviside, y se la representa como H(t).

Podemos considerar cualquier función escalón como el producto de una constante (que llamaremos amplitud) por la función escalón unitario. En general, multiplicar una función por la función escalón unitario se asocia a asignar el valor cero para t<0>0.

De otra forma:oLa función escalón unitario se define como la

integral de la función impulso desde el infinito negativo hasta el tiempo. la integral de la función impulso es 0 si el tiempo t es menor que 0, y 1 si el tiempo t es mayor que se define exactamente el escalón unitario.

el tipo de escalón unitario corresponde a una salida. El valor de la función en t=0, es indefinido. Otros textos lo pueden definir como 1 o 0. Así pues ésta nos representa la corriente continua disipada en nuestro dispositivo.

Función impulsoEsta función (que en realidad es lo que en matemáticas se denomina una distribución de funciones) se representa de la forma indicada

Matemáticamente es la más compleja de las vistas hasta ahora (de hecho no tiene sentido como función convencional), pero podemos expresarla de la forma:

verificando que:

La función impulso posee algunas propiedades que pueden resultar útiles.

También es importante para posteriores desarrollos la propiedad de desplazamiento o corrimiento

Fisicamente existen efectos en la naturaleza a los que se puede asociar esta funcion como por ejemplo la fuerza aplicada en un lapso muy corto, como cuando un martillo golpea un clavo, o la presencia de un voltaje por un instante muy corto que en terminos de esta funcion como:

f(t) = 5delta(t)

Función exponencial.

Si k >0, f(t) es creciente. Analíticamente viene definida por las ecuaciones:

oGracias por su Atención