SISTEMAS DE PRIMER

ORDEN

Prof. Nicolas Diestra Sánchez

SISTEMAS DE PRIMER ORDEN

Físicamente, este sistema

representa un circuito RC,

un sistema térmico o algo

similar.

La relación entrada-

salida se obtiene

mediante

.

SISTEMAS DE PRIMER ORDEN

En lo sucesivo, se analizan las respuestas del

sistema a entradas como la función escalón

unitario, rampa unitaria e impulso unitario. Se

supone que las condiciones iniciales son cero.

Obsérvese que todos los sistemas que tienen la

misma función de transferencia presentarán la

misma salida en respuesta a la misma entrada.

Para cualquier sistema físico dado, la respuesta

matemática recibe una interpretación física.

Respuesta escalón unitario de

sistemas de primer orden

Como la transformada de Laplace de la función escalón

unitario es 1/s, sustituyendo R(s)=1/s en la Ecuación, se

obtiene

Si se desarrolla C(s) en fracciones simples se obtiene

Si se toma la transformada inversa de Laplace de la

Ecuación anterior, se obtiene

VG. 01: Respuesta escalón unitario

de sistemas de primer orden

La Ecuación anterior plantea que la salida c(t) es

inicialmente cero y al final se vuelve unitaria. Una

característica importante de tal curva de respuesta

exponencial c(t) es que, para t=T, el valor de c(t) es 0.632,

o que la respuesta c(t) alcanzó 63.2% de su cambio total.

Esto se aprecia con facilidad sustituyendo t=T en c(t). Es

decir,

Respuesta escalón unitario de

sistemas de primer orden

Obsérvese que, conforme

más pequeña es la

constante de tiempo T,

más rápida es la respuesta

del sistema. Otra

característica importante

de la curva de respuesta

exponencial es que la

pendiente de la línea de

tangente en t=0 es 1/T,

ya que

Respuesta escalón unitario de

sistemas de primer orden

La salida alcanzará el valor final en t=T si mantuviera su

velocidad de respuesta inicial. A partir de la Ecuación anterior

se observa que la pendiente de la curva de respuesta c(t)

disminuye de forma monótona de 1/T en t=0 a cero en t=∞.

En una constante de tiempo, la curva de respuesta

exponencial ha ido de 0 a 63.2% del valor final. En dos

constantes de tiempo, la respuesta alcanza 86.5% del valor

final. En t=3T, 4T y 5T, la respuesta alcanza 95, 98.2 y

99.3%, respectivamente, del valor final. Por tanto, para t≥4T,

la respuesta permanece dentro del 2% del valor final. Como

se observa en la Ecuación

, el estado estacionario se alcanza matemáticamente sólo

después de un tiempo infinito.

Se tiene un intercambiador de calor 1-1, de tubos y coraza. En condiciones estables, este intercambiador calienta 224 gal/min de agua de 80°F a 185°F por dentro de tubos mediante un vapor saturado a 150 psia.

En un instante dado, la temperatura del vapor y el flujo de agua cambian, produciéndose una perturbación en el intercambiador.

VG. 02: Intercambiador de calor

a) Obtenga la función de transferencia del cambio de la temperatura de salida del agua con respecto a un cambio en la temperatura del vapor y un cambio en el flujo de agua, suponiendo que la temperatura de entrada del agua al intercambiador se mantiene constante en 80°F.

b) Determine el valor final de la temperatura de salida del agua ante un cambio tipo escalón de +20°F en la temperatura del vapor, y un cambio de +10 gal/min en el flujo de agua.

c) Grafique la variación de la temperatura de salida del agua con respecto al tiempo.

VG. 02: Intercambiador de calor

Ecuación diferencial que modela el intercambiador de calor

VG. 02: Intercambiador de calor

Intercambiador de calor

Ecuación diferencial

Donde:

Ud0: Coeficiente global de transferencia de calor referido al diámetro exterior (BTU/h °F ft2)

ATC0: Área de transferencia de calor referida al diámetro exterior (ft2)

Cp : Capacidad calorífica (BTU/lb °F)

tv : Temperatura del vapor (°F)

te : Temperatura del agua a la entrada (°F)

ts : Temperatura del agua a la salida (°F)

(te+ ts) / 2 :Temperatura del agua dentro de tubos (°F)

tref : Temperatura de referencia (°F)

w : Flujo de agua (lb/h)

m : Cantidad de agua dentro de tubos (lb)

: Valores en condiciones estables

Tv , Ts , W Variables de desviación

twtstv ,,

Intercambiador de calor

Linealizando

1

2

Evaluando en condiciones iniciales estables

3

Restando (2) de (3)

Intercambiador de calor

Utilizando variables de desviación

Aplicando la transformada con Laplace

Simplificando

Datos físicos

Largo del intercambiador = 9 ft

Diámetro de coraza = 17 ¼’’

Flujo = 224 gal/min

Temperatura de entrada =80°F

Temperatura de salida = 185°F

Presión de vapor =150psia.

Número de tubos= 112

Diámetro exterior de tubo = ¾ ’’ de diámetro y BWG 16, disposición cuadrada a 90°, con un claro entre tubos de 0.63’’.

Conductividad térmica de los tubos = 26 BTU/hft°F,

Factor de obstrucción interno = 0.0012 hft2°F/BTU; externo = 0.001 hft2°F/BTU

Coeficiente global de transferencia de calor = 650 BTU/hft2°F

Intercambiador de calor

Calculando

las

constantes

Intercambiador de calor

Función de transferencia

Determine el valor final de la temperatura de salida del agua ante

un cambio tipo escalón de +20°F en la temperatura del vapor, y un

cambio de +10 gal/min en el flujo de agua.

0 0

Intercambiador de calor

Intercambiador de calor

Flujo de

agua entrada

Salida de

Agua °T

Temp de

Vapor entrada

Salida de

vapor

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

224

234

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

220

240

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

5

10

15

20

25

30

35

40

185

188.85

La respuesta del proceso en el tiempo

Transformada Inversa De Laplace

s

b

s

b

s

a

s

a

sssssT

ssssss

x

sssT

ss

K

ss

KsT

ssW

ssTsW

s

KsT

s

KsT

s

s

s

vvs

2121

4

2

2

1

1

2

2

1

1

583772.0583772.0583772.0

213928.2

583772.0

458658.4)(

parciales fracciones en Expansión

1712995.1

792464.3

1712995.1

63766.725.5007

1712995.1

10573947.720

1712995.1

381883.0)(

25.5007

1

20

1)(

25.5007)(

20)()(

1)(

1)(

La respuesta del proceso en el tiempo

TsseetT

emperaturTsseetT

sssssT

sssb

sssb

sssa

sssa

tts

tts

s

s

s

s

s

583772.0583772.0

583772.0583772.0

0

2

583772.0

1

0

2

583772.0

1

1792453.31637670.7)(

salida) de inicial at(Tss 792453.3792453.3637670.7637670.7)(

792453.3

583772.0

792453.3637670.7

583772.0

637670.7)(

792453.3583772.0

213928.2

583772.0

213928.2

792453.3583772.0

213928.2

583772.0

213928.2583772.0

6376.7583772.0

458658.4

583772.0

458658.4

6376.7583772.0

458658.4

583772.0

458658.4583772.0

Transformada Inversa De Laplace

El sistema de control automático

Temperatura del agua de salida – Lazo abierto (sin

control)

Temperatura del agua de salida – Lazo cerrado (con

control)

Tv(s)

(Aumento de la

temperatura de vapor a la

entrada )

Ts(s)

(Aumento en la

temperatura de agua

a la salida)

11

1

s

K

Controlador 1713.1

3819.0

s

+

-

Valor

deseado Acción

de

control

Variable

controlada

La ecuación del controlador

Ecuación Diferencial De Un Controlador PID

Donde E(s) es la diferencia entre el valor deseado y el valor medido

sssE

sM

ssEsEssE

sM

ssEsEs

dt

tdedtteteKctm

d

i

d

i

d

i

d

i

11Kc

)(

)(

)()(1

E(s)Kc)(

)(

)()(1

E(s)KcM(s)

Laplacedermada la transfo Aplicando

)()(

1)()(

El sistema de control automático

Temperatura de agua a la salida – Lazo cerrado (con control)

(el tiempo de estabilización para el sistema controlado es de 4 min, a partir del

cambio en la entrada)

1713.1

3819.0

s

+

-

Valor

deseado Acción

de

control

Variable

controlada

sKc dsi

11

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

1

2

3

4

5

6

X: 0.683

Y: 4.91

-1 0 1 2 3 4 50

1

2

3

4

5

6

0 2 4 6 8 10 120

1

2

3

4

5

6

X: 0.683

Y: 4.91

X: 6.873

Y: 4.91

La respuesta del sistema de control

de nivel

Comparación del sistema en lazo abierto (sin control)

y en lazo cerrado (con control)

Con

control Sin

control

Muchas Gracias…