Primjer 1.1Čelična šipka (vješalo) konstrukcije na slici, prikačena je na oslonac pomoću vijčaneveze. Glavni dio šipke ima pravougaoni oblik širine b1=38mm i debljine t=12mm. Upodručju veze, šipka je proširena na b2=75 mm. Vijak, koji prenosi opterećenje savješala na dva držača, ima prečnik d= 25mm. Odrediti vrijednosti dozvoljenogopterećenja P za sljedeće slučajeve:

a) Dozvoljeni zatezni napon u glavnom dijelu je 110 MPab) Dozvoljeni zatezni napon u vješalu u poprečnompresjeku kroz rupu vijeka je 75MPa (dozvoljeninapon u ovom dijelu je manji zbog koncentracijenapona oko rupe)c) dozvoljeni noseći napon između vješala i vijkaje 180MPad) dozvoljeni smicajni napon je 45MPa.

*****************************************************************************************************************

b1 38mm:= t 12 mm⋅:=

b2 75mm:=

d 25mm:=

σdoza 110MPa:=

σdozb 75MPa:=

σdozc 180MPa:=

τdoz 45MPa:=

*****************************************************************************************************************

a)

Pdoza σdoza b1⋅ t⋅ 50.16 kN⋅=:=

b)

Pdozb σdozb b2 d−( )⋅ t⋅ 45 kN⋅=:=

c)

Pdozc σdozc d⋅ t⋅ 54 kN⋅=:=

d)

Pdozd τdoz 2⋅d2

π⋅4

⋅ 44.179 kN⋅=:=

*****************************************************************************************************************

Primjer 1.2Na slici je dat probijač za pravljenje rupa u čeličnoj ploči. Pod pretpostavkomda je prečnik probijača d=20 mm, ploča debljine 8 mm (kao na slici), a silaprobijanja P=110 kN izračunati prosječni tangencijalni (smicajni) napon uploči, te prosječni pritisni napon.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

d 20 mm⋅:=

P 110 kN⋅:=

t 8 mm⋅:=

*****************************************************************************************************************

A d π⋅ t⋅ 502.655 mm2⋅=:=

τPA

218.838 MPa⋅=:=

A2d2

π⋅4

314.159 mm2⋅=:=

σP

A2350.141 MPa⋅=:=

*****************************************************************************************************************

Primjer 1.3Dio od gume početnog pravougaonog oblika ABCD deformiše se u oblik prikazanisprekidanim linijama na slici dole. Odrediti srednju tangencijalnu deformaciju utačkama A, B i C, te srednje normalne deformacije dužina AB, AC i AD. Nakondeformacije duži AD i BC, te AB i AC su paralelne.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

LAB 300mm:= LDC LAB:=

LAD 400mm:= LBC LAD:=

δBy 2mm:= δDx 3mm:=

*****************************************************************************************************************

a) srednje normalne deformacije

δABLABa LAB−

LAB= δAB

LAB2

δBy2+ LAB−

LAB2.222 10 5−×=:=

δADLADa LAD−

LAD= δAB

LAD2

δDx2+ LAD−

LAD2.812 10 5−×=:=

δACLACa LAC−

LAC=

δABLAB δDx+( )2 LBC δBy+( )2+ LAB

2 LBC2+−

LAB2 LBC

2+6.803 10 3−×=:=

b) srednje tangencijalne deformacije

γAπ

2atan

δByLAB

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

− atanδDxLAD

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

− 1.557=:= γA 89.188°=

γBπ

2atan

δByLAB

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

+ atanδDxLAD

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

+ 1.585=:= γB 90.812°=

γC γA 1.557=:= γC 89.188°=

*****************************************************************************************************************

Primjer 1.4Čelična cijev dužine L=1 m, vanjskog prečnika d2=15 mmi unutrašnjeg prečnika d1= 10 mm, opterećena je napritisak aksijalnom silom P=60 kN.

Treba odrediti: a) napon, b) uzužnu deformaciju, c) skraćenje δ, d) poprečnu deformaciju,e) promjenu unutrašnjeg i vanjskog prečnikaf) promjenu debljine cijevi Osobine

materijala: E=210 Gpa, ν=0.3

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

E 210GPa:= ν 0.3:=

L 1 m⋅:=

d2 150 mm⋅:=

d1 110 mm⋅:=

P 60 kN⋅:=

*****************************************************************************************************************

a)

Aπ

4d2

2 d12−⎛

⎝⎞⎠⋅ 8.168 103× mm2⋅=:=

σP−

A7.346− MPa⋅=:=

b)

εσ

E3.498− 10 5−×=:=

c)

δ ε L⋅ 0.035− mm⋅=:=

d)

εp ν− ε⋅ 1.049 10 5−×=:=

e)

Δd1 εp d1⋅ 1.154 10 3−× mm⋅=:=

Δd2 εp d2⋅ 1.574 10 3−× mm⋅=:=

f)

Δt εpd2 d1−( )

2⋅ 2.099 10 4−× mm⋅=:=

Δd2 Δd1−

22.099 10 4−× mm⋅=

*****************************************************************************************************************

Primjer 1.5Na slici je dat noseći pometač, koji se koristi za oslanjanje mašina i mosnih nosača.Sastoji se od linearnog elastičnog materijala (elastomer kao guma) poklopljenogčeličnom pločom. Ako pretpostavimo da je visina elastomera h, a dimenzije pločea×b, te da je čelična ploča izložena tangencijalnoj sili V, odrediti prosječnitangencijalni napon u elastomeru i horizontalno pomjeranje ploče, d.

*****************************************************************************************************************

τsrVA

= Vab

=

dh

tg γ( )= τsr γ G

d h tg γ( )= h tgτsrG

= h tgV

abG

=

Primjer 2.1Stub za jednu zgradu je napravljen od čelične cijevi (E=200 GPa, =12×10-6 1/°C)kvadratnog poprečnog presjeka dimenzija na slici (b). Na stub djeluju sile PA i PB kao

što je prikazano na slici (a). Treba odrediti:a) napon, izduženje i deformaciju u pojedinim segmentima stuba,b) vertikalno pomjeranje kraja A i B,c) maksimalnu silu PA, ako je dozvoljeni napon materijala 300 Mpa,d) promjenu temperature dijela AB tako da ukupno izduženje usljed djelovanjatemperature i opterećenja bude jednako nuli.

Ostali podaci: LAB=LBC=0.8 m.

E 210GPa

LAB 1m bAB 150mm tAB 12mm

AAB bAB2 bAB 2tAB 2 6.624 103

mm2

LBC 1m bBC 200mm tBC 15mm

ABC bBC2 bBC 2tBC 2 1.11 104

mm2

PA 200kN PB 350kN σdoz 300MPa

α 12 10 6

1Δ°C

Rješenje

FAB PA 200 kN

FBC FAB PB 550 kN

a)

σABFABAAB

30.193 MPa εABσAB

E1.438 10 4

σBCFBCABC

49.55 MPa εBCσBC

E2.36 10 4

δABFAB LAB

E AAB0.144 mm

δBCFBC LBC

E ABC0.236 mm

b)

δA δAB δBC 0.38 mm δB δBC 0.236 mm

c)Napon u oba dijela ne smije preći dozvoljenu veličinu pa vrijedi (vrijednosti napona serazmatraju po apsolutnoj vrijednosti):

σABPA

AABσdoz= PA1 σdoz AAB

σBCPA PB

ABCσdoz= PA2 σdoz ABC PB

PA1 σdoz AAB 1.987 103 kN

PA2 σdoz ABC PB 2.98 103 kN

PAmax min PA1 PA2 1.987 103 kN

d)

δAC α LAB ΔT α LBC ΔT 0=

ΔTδAB δBC

α LAB LBC 15.822 K

Primjer 2.2

Element ABC na slici, dužine L, sastavljen je od dva dijela iste dužine(0.6 m), ali različitih prečnika, izložen sili od P=110 kN. Dio AB ima prečnik d1=100 mm, a segment BC d2=60 mm. Segment AB je uzužno izbušen do polovine dužine (0.3 m). Dio je napravljen od plastike modula elastičnosti E=4 MPa.

a) Ukoliko je dozvoljeno sabijanje dijela 8mm, koliko je maksimalno dozvoljeni prečnik rupe?

b) Ako je maskimalni prečnik rupe jednak d2/2, na kojoj udaljenosti od tačke C treba primijeniti silu P da se šipka ne skrati 8 mm.

c) Ako je maskimalni prečnik rupe jednak d2/2, a sila primijenjena na krajevima, koja je dozvoljena dubina rupe ako je skraćenje ograničeno na 8 mm.

*****************************************************************************************************************

L 1200mm E 4GPa

d1 100mm P 110kN

d2 60mm δa 8mm

*****************************************************************************************************************

a)

δaPE

L4

π

4d1

2 dmax2

L4

π

4d1

2

L2

π

4d2

2

=

d1 π E δa d12 d2

2 2 L P d12 2 L P d2

2

π E δa d12 d2

2 2 L P d12 L P d2

2

d1 π E δa d12 d2

2 2 L P d12 2 L P d2

2

π E δa d12 d2

2 2 L P d12 L P d2

2

23.8712

23.8712

mm

b)

δaPE

L4

π

4d1

2 d22

2

L4

π

4d1

2

L2

b

π

4d2

2

=

π E d22 δa

PL

π d12

2 L

π d22

L

π d12 d2

2

4

E

4 P 4.155 mm

c)

δaPE

x

π

4d1

2 d22

2

L2

x

π

4d1

2

L2

π

4d2

2

=

8 L P d14 4 π E δa d1

4 d22 π E δa d1

2 d24

6 L P d12 d2

2 2 L P d24

4 P d24

183.294 mm

Primjer 2.3

Stub koji se koristi kao oslonac za opremu u laboratoriji je obrađenuniformno kao na slici čitavom dužinom H. Svaki poprečni presjekstuba je kvadrat, pri čemu je vrh dimenzija bxb, a baza 1.5bx1.5b.

Izvesti formulu za deformaciju d usljed sile P koja djeluje na vrh.Pri tome pretpostaviti da je ugao zakošenja mali i da težina stuba nemauticaj na defromaciju.

*****************************************************************************************************************

A x b( ) b 0.5xH b

2

0

H

xF

E A x b( )

d0.66666666666666666667 F H

E b2H 0.0 2.0 H H( ) H 0.0if

undefined otherwise

uz težinu

V x b( )13

x b2 1 1x

2H

1x

2H

2

0

H

xρ g V x b( )E A x b( )

d0.38888888888888888889 H2 ρ g

EH 0.0 2.0 H H( ) H 0.0if

undefined otherwise

Primjer 2.4

Dio ABCD s fiksiranim krajevima sastoji se od tri prizmatična segmenta, kao na slici. Krajnji segmentiimaju površinu poprečnog presjeka od A1=840 mm2 i dužinu L1=200 mm. Srednji segment ima površin

poprečnog presjeka od A2=1260 mm2 i dužinu L2=250 mm. Opterećenja su: PB=25.5 kN i PC=17.0 kN.

a) Odrediti reakcije RA i RD u fiksiranim osloncima.

b) Odrediti aksijalnu silu FBC u srednjem segmentu.

*****************************************************************************************************************

A1 840mm2 A2 1260mm2

L1 200mm L2 250mm

PB 25.5kN PC 17kN

*****************************************************************************************************************

a)

Jednačina ravnoteže

i

Fi 0= RA PB PC RD 0= 1( )

Jednačina kompatibilnosti

δAB δBC δCD 0= 2( )

RA L1

E A1

RA PB L2

E A2

RD L1

E A1 0= 3( )

RA L1

E A1

RA PB L2

E A2

RA PB PC L1

E A1 0=

RAA1 L2 PB A2 L1 PB A2 L1 PC

A1 L2 2 A2 L110.5 kN

RD RA PB PC 2 kN

b)FBC RA PB 15 kN

II) superpozicija

δPB δPC δD=

PB L1

E A1

PC L1

E A1

PC L2

E A2

RD 2L1

E A1

L2E A2

0=

RDA1 L2 PC A2 L1 PB A2 L1 PC

A1 L2 2 A2 L1 2 103 N

Primjer 2.5Kruta šipka AB dužine L oslonjena je u tački A i ovješana pomoću dvije vertikalne žice u tačkama C i D. Obe žice imaju isti poprečni presjek A, i izrađene su od istog materijala modula elastičnosti E.

a) Odrediti napone C i D u žicama usljed opterećenja P koje djeluje u tački B.

b) Naći pomjeranje tačke B.

Podaci: L=1700 mm, A=18 mm2, E=210GPa, h=450 mm, c=500 mm, d=1250 mm,P=750 N.

*****************************************************************************************************************

A 18mm2 E 210GPa

h 450mm c 500mm d 1250mm

P 750N L 1700mm

*****************************************************************************************************************

a)Jednačina ravnoteže

MA 0= FC c FD d PL 0= 1( )

Jednačina kompatibilnosti

δCc

δDd

= 2( )

δC FC FC h

E A δD FD

FD 2 h

E A 3( )

Iz 2( ) 3( ) FC d 2FD c= 4( )

4( ) u 1( ) FDP L d

2c2 d2772.727N 5( )

5( ) u 1( ) FCP L FD d

c618.182N

σCδC FC

hE 34.343 MPa

σDδD FD

2 hE 42.929 MPa

b)δBL

δCc

=δDd

=

δB δC FC Lc 0.25022 mm

Primjer 2.6Kruta poluga ABC, okačena o uže CD i oslonjena na elastični štap BE, nosikontinuirano opterećenje, kao što je prikazano na slici desno. Odrediti:

a) sile i napone u štapu BE i užetu CD,b) deformaciju užeta CD i štapa BE,c) vertikalno pomjeranje tačke C.

Podaci: poluga ABC – LAB = 1.5 m, LAC = 2 m; uže CD – ECD = 200 GPa,

ACD = 3 m2, LCD = 2.5 m, = 30º; štap BE – EBE = 20 GPa, ABE = 20 cm2,

LBE = 200 mm; q = 20 kN/m.

**************************************************************************************************************

LCD 2.5m ECD 200GPa ACD 3cm2 α 30°

LBE 200mm EBE 10GPa ABE 20cm2

LAB 1.5m LAC 2m

q 20kNm

Rješenje

a) Problem je statički neodređen, pa pored uslova ravnoteže moramo postaviti i uslovekompatibilnosti. Pretpostavimo da se poluga ABC okreće u smjeru kretanja kazaljke na satu

oko oslonca A, tako da se uže CD izdužuje, a štap BE skraćuje, odnosno sile u tačkama C iB na krutu polugu djeluju prema gore. Uslov ravnoteže je (ostali uslovi ravnoteže ne trebaju sepostavljati, jer se ne izračunavaju reakcije oslonaca):

i

Mi

B

0= FC sin α( ) LAC qLAC

2

2 FB LAB 0= 1( )

Uslov kompatibilnosti (vertikalna pomjeranja u tačkama C i B s tačkom A čine slične trouglove)

δCLAC

δBLAB

= 2( )

pri čemu vrijedi (za tačku C treba postaviti Williot-ov plan pomjeranja):

δC sin α( )FC LCD

ECD ACD= δB

FB LBE

EBE ABE= 3( )

Uvrštravajući (3) u (2) dobija se

FCLBELCD

ECDEBE

ACDABE

LACLAB sin α( ) FB= 0.16FB= 4( )

Sada se uvrštavanjem (4) u (1) dobija

FB

qLAC

2

2

LBELCD

ECDEBE

ACDABE

LACLAB sin α( )2 LAC LAB

24.096 kN

FCLBELCD

ECDEBE

ACDABE

LACLAB sin α( ) FB 3.855 kN

pa su naponi u užetu i štapu (sile djeluju suprotno od onih koje djeluju na krutu gredu)

σCDFC

ACD12.851 MPa istezanje

σBEFB

ABE12.048 MPa pritisak

b) Deformacije u štapu i užetu mogu se dobiti iz Hooke-ovog zakona

εCDσCDECD

6.426 10 5

εBEσBEEBE

1.205 10 3

c) Vertikalno pomjeranje tačke C dobija se na osnovu Williot-ovog plana pomjeranja pomoćuizduženja štapa ∆CD kao

δCΔCDsin α( )

=εCD LCD

sin α( )=

δCεCD LCD

sin α( )0.321 mm ili δC2

LACLAB

εBE LBE 0.321 mm

**************************************************************************************************************

Primjer 2.8Plastična šipka ACB sačinjena od dva različita puna dijela cilindričnogpoprečnog presjeka nalazi se između dva kruta oslonca kao na slici. Šipka jeizložena povećanju temperature od 30C.

a) Odrediti silu koja vlada u šipki,b) maksimalni napon u tački C,c) pomjeranje u tački C.

Podaci: E=6 GPa, =100·10-6 1/C.

*****************************************************************************************************************

E 6GPa α 100 10 61

Δ°C

d1 50mm L1 225mm

d2 75mm L2 300mm

ΔT 30 Δ°C

*****************************************************************************************************************

a)Jednačina ravnoteže

F 0= FA FB 0= 1( )

Jednačina kompatibilnosti

δF δT= 2( )

F L1

Ed1

2π

4

F L2

Ed2

2π

4

ΔT α L1 L2 =3( )

Fα ΔT L1 L2

4 L1

π E d12

4 L2

π E d22

51.781 kN

b)

σmaxcF

d12

π

4

26.372 MPa

c)

F L1

Ed1

2π

4

ΔT α L1 0.314 mm

Primjer 2.9Plastična šipka je ugrađena između krutih oslonaca, ali bez početnog napona. Kada se temperatura u šipki poveća 40 C, u ravni pq se javi pritisni napon od 12 MPa.

a) izračunati tangencijalni napon u ravni pq.b) nacrtaj element napona orijentisan prema ravni pq i pokaži

napone koji djeluju na sve površi elementa.

Podaci: =108·10-6 1/K, E=3 GPa, , b=37.5 mm, h=75mm

*****************************************************************************************************************

E 3GPa α 108 10 61

Δ°C

ΔT 40 Δ°C

σn 12MPa

b 37.5mm h 75mm

*****************************************************************************************************************

a)

A b h

FT ΔT α E A 36.45 kN

σxFTA

12.96 MPa

σnσx2

1 cos 2θ( )( )=

θ

acos2σnσx

1

20.276 θ 15.793 °

τ

σx

2sin 2θ( ) 3.394 MPa

σn2 σx cos θπ

2

3.527 MPa

b) Radi se u oblasti Ravno stanje napona i primjena!

E 450 103 psi α 60 10 61

Δ°F

ΔT 92 Δ°F

σn 1700psi

b 1.5in h 3in

Primjer 2.10Dvije ploče su spojene ljepljenjem, kao što je prikazano na slici. Radi lakšeg rezanja i ljepljenja, ugao između ljepljene površine i površine ploča mora biti između 10 i 40 stepeni. Normalni napon u ploči pod djejstvom sile P je 4.9 MPa.

Treba uraditi sljedeće:a) izračunati normalne i tangencijalne napone u ljepljenom spoju ako je =20 stepeni,b) Ako je dozvoljeni tangencijalni napon u spoju 2.25 MPa, koji je najveći dopušteni ugao ,c) Koji ugao α bi se trebao koristiti da bi tangencijalni napon u ljepljenom spoju bio dvostruko veći od normalnog.

*****************************************************************************************************************

σx 4.9MPa αa 20°

τdozb 2.25MPa

*****************************************************************************************************************

a) Pošto se u formulama za normalni i tangencijalni u kosom presjeku koristi ugao izmeđunormale na površinu posmatranog presjeka i ose djelovanja sile, ugao θ se mora napisatiu ovisnosti od ugla α, i to

θπ

2αa

Sada je:

σθ

σx2

1 cos 2θ( )( )=σx2

1 cos 2π

2αa

=σx2

1 cos 2α( )( )= (*)

τθ

σx2

sin 2θ( )=σx2

sin 2α( )= (**)

σθ

σx2

1 cos 2αa 0.573 MPa

τθ

σx2

sin 2αa 1.575 MPa

b) Na osnovu (**) imamo

σx2

sin 2αb τdoz

αb 0.5arcsin2τdozb

σx

33.344 °

S obzirom da se ugao α nalazi između 10 i 40 stepeni, on ispunjava konstrukcione uslove

c) Na osnovu (*) i (**) imamo

τθ

σθ

σx2

sin 2αc

σx2

1 cos 2αc

=sin 2αc

1 cos 2αc = 2=

odnosno nakon sređivanja

ctg αc 2= tj. αc arcctg 2( ) 26.565 °

što znači da bi se i u tom slučaju ispunili konstruktivni uslovi zadatka.

Primjer 3.1

Puni štap kružnog poprečnog presjeka, prečnika 40 mm, dužine 1350 mm i modula klizanja 80 GPa, opterećen je momentom uvijanja na svojim krajevima, kao što jedato na slici.

Odrediti:a) Maksimalan tangencijalni napon u šipki, te ugao uvijanja ako je moment uvijanja340 Nmb) Maksimalan mogući moment uvijanja, ako je dozvoljeni tangencijalni napon 4MPa maksimalni dozvoljeni ugao uvijanja 2.5 stepeni

35 mm

1350 mm

*****************************************************************************************************************

L 1350mm T 340N m

D 40mm τdoz 40MPa

G 80GPa φdoz 2.5°

*****************************************************************************************************************

a)

τmaxT

Wo= 16T

D3π

=

τmax16T

D3π

27.056 MPa

φT LG Io

= IoD4

π

32=

φ32T L

G D4π

1.308 °

b)

Tmax1τdoz D3 π

16502.655 N m

Tmax2φdoz G D4 π

32L649.85 N m

Tmax min Tmax1 Tmax2 502.655 N m

*****************************************************************************************************************

Primjer 3.2Vratilo cilindričnog poprečnog presjeka od čelika, izrađeno u dvije varijante, kao puno i šuplje (slika), treba prenese moment uvijanja od 1200 Nm bez prekoračenjadozvoljenog tangencijalnog napona od 40MPa i dozvoljenog uzdužnog uvijanja od 0.75/m.

Treba odrediti:a) Prečnik punog vratilab) Potrebni vanjski prečnik šupljeg vratila ako je debljina stjenke vratila jednadesetina vanjskog prečnikac) Odnos prečnika (d2/d1) i težina oba vratila

************************************************************************************************************

T 1200N m E 200GPa ν 0.3

τdoz 40MPaG

E2 1 ν( )

76.923 GPa

θdoz 0.75°m

***********************************************************************************************************

a) puno vratilo

τdozT

Wo= 16T

d03π

=

d013 16T

τdoz π53.46 mm

θdozT

G Io= Io

d04π

32=

d024 32T

G π θdoz59.026 mm

d0 max d01 d02 59.026 mm

b) šuplje vratilo

d1 d2 2t= 0.8d2=

I0 d24 d1

4

π

32= 1 0.84 π

32 d2

4=

τdoz

Td22

I0= T

1 0.84 π

16 d2

3=

d213 16T

τdoz π 1 0.84 63.726 mm

θdozT

G Io=

d224 32T

G π 1 0.84 θdoz67.338 mm

d2 max d21 d22 67.338 mm

d1 0.8d2 53.87 mm

c) Odnos prečnika i težina

d2d0

1.141

WšupljeWpuno

γ Všuplje

γ Vpuno=

AšupljeApuno

=d2

2 d12

π

4

d02 π

4

=

d22 d1

2

d02

0.469

***********************************************************************************************************

Primjer 3.3Momenti uvijanja djeluju na puno čelično vratilo kao što je prikazano na slicidesno. Odrediti:a) Ugao uvijanja diskova A i B u odnosu na disk C,b) Maksimalni napon u vratilu BC,c) Dimenzije šupljeg vratila od aluminijuma koje bi trebalo zamijeniti dio CD, akose zna da je odnos vanjskog i unutrašnjeg prečnika 1.2. Proračun uraditi premakriterijumu čvrstoće.

Podaci: TA = 200 Nm, TB = 400 Nm, TC = 100 Nm, dAB = 20 mm, dBC = 30 mm,dCD = 25 mm, LAB = 200 mm, LBC = 300 mm, LCD = 250 mm.

******************************************************************************************************************

dAB 20mm IoABdAB

4π

321.571 104

mm4 LAB 0.2m

WoABdAB

3π

161.571 103

mm3

dBC 30mm IoBCdBC

4π

327.952 104

mm4 LBC 0.3m

WoBCdBC

3π

165.301 103

mm3

dCD 25mm IoCDdCD

4π

323.835 104

mm4 LCD 250mm

WoCDdCD

3π

163.068 103

mm3

TA 200N m TB 400N m TC 100N m

TAB TA 200 N m

TBC TAB TB 200 N m

TCD TBC TC 300 N m

E 210GPa

ν 0.33 GE

2 1 ν( )78.947 GPa

EAl 70GPa

νAl 0.35 GALEAl

2 1 νAl 25.926 GPa τdoz 75MPa

ψ1

1.2

Rješenje

a) Ugao uvijanja u tačkama A i B u odnosu na C dobija se na osnovu izraza

φBCTBC LBC

G IoBC0.548 °

φABTAB LAB

G IoAB1.848 °

φAC φAB φBC 1.301 °

b) Maksimalni napon u vratilu BC dobija se na osnovu formule uvijanja

τBCmaxTBC

WoBC37.726 MPa

c) Dimenzioniranje vratila CD od aluminijuma prema kriterijumu čvrstoće vrši se na osnovuizraza

τCDmaxTCD

WoCDτdoz=

pri čemu je

WoCD

d14 d2

4

π

32

d1

2

=d1

3

161 ψ

4 π=

d1 je vanjski prečnik vratila, d2 unutrašnji, a ψ je odnos d2/d1. Sada se dobija

τCDmaxTCD

WoCD=

TCD

d13

161 ψ

4 π

τdoz=

d1

3 16 TCD

τdoz 1 ψ4

π34.012 mm

d2 d1 ψ 28.344 mm

******************************************************************************************************************

Primjer 3.4

Puno vratilo ABC prečnika 50 mm se pokreće motorom snage 50 kW i frekvencije10 Hz u tački A. Zupčanici B i C pokreću uređaje koji potražuju snagu od 35 i 15kW, respektivno. Odrediti najveći tangencijalni napon max u vratilu i ugaouvijanja AC između motora A i zupčanika C. Uzeti da je G=80 GPa.

************************************************************************************************************

P 50kW G 80GPa

PB 35kW f 10Hz

PC 15kW d 50mmLAB 1000mm

LBC 1200mm

***********************************************************************************************************

TA TB

TC

TAP

2π f795.775 N m

TBPB

2π f557.042 N m

TCPC

2π f238.732 N m

TAB TA 795.775 N m

TBC TC 238.732 N m

I0d4

π32

τABTAB

d3π

16

32.423 MPa

ϕABTAB LAB

G I00.016

τBCTBC

d3π

16

9.727 MPa

ϕBCTBC LBC

G I05.836 10 3

τmax max τAB τBC 32.423 MPa

ϕAC ϕAB ϕBC 0.022 ϕAC 1.263 °

Primjer 4.1

Za ravni presjek dat na slici odrediti glavne centralne momente inercijei položaj glavnih centralnih osa inercije.

************************************************************************************************************Trougao

b 60mm

h 30mm Atb h2

900 mm2

xctb

320 mm Ixct

b h336

4.5 104 mm4

ycth3

10 mm Iyctb3 h36

1.8 105 mm4

Ixyctb2 h2

724.5 104 mm4

L50x100x10

AL 14.1cm2 1.41 103 mm2

xcL 1.2cm 12 mm

ycL 3.67cm 36.7 mm

IxcL 141cm4 1.41 106 mm4

IycL 23.4cm4 2.34 105 mm4

I1L 149cm4 1.49 106 mm4

I2L 15.5cm4 1.55 105 mm4

***********************************************************************************************************

a) Težište

xcAt xct AL xcL

At AL0.468 mm

ycAt yct AL ycL

At AL26.297 mm

b) Momenti inercije

Ix Ixct yct yc 2 At IxcL ycL yc 2 AL

1.847 106 mm4

Iy Iyct xct xc 2 At IycL xcL xc 2 AL

9.765 105 mm4

III const= I1L I2L= IxcL IycL IxycL2=

IxycL IxcL IycL I1L I2L 3.146 105 mm4

Ixy Ixyct xct xc yct yc At IxycL xcL xc ycL yc AL

Ixy 1.997 105 mm4

c) Centralni momenti i glavne ose inercije

I1Ix Iy

2

Ix Iy

2

2

Ixy2 1.89 106 mm4

I2Ix Iy

2

Ix Iy

2

2

Ixy2 9.329 105 mm4

φ

α0 atan2 Ixy

Ix Iy

α1 atan2 Ixy

Ix Iy

π

Ixy Ix Iy 0if

α0 atan2 Ixy

Ix Iy

π

α1 atan2 Ixy

Ix Iy

2π

otherwise

0.5α

77.67

167.67

°

***********************************************************************************************************

Primjer 4.2

Za gredu datu na slici odrediti maksimalne zatezne i pritisne napon u gredi usljed kontinuiranog opterećenja. Dati dijagram normalnih napona po poprečnom presjeku.

************************************************************************************************************

q 3.2kNm

t 12mm

l1 3m h 80mm

l2 1.5m b 300mm

************************************************************************************************************

Reakcije oslonaca i dijagrami sila:

i

Fi 0= FA FB q l1 l2 0=

i

Mi 0= FB l1 q l1 l2 l1 l2

2 0=

FB

q l1 l2 l1 l2

2

l1 FB 10.8 kN

FA q l1 l2 FB FA 3.6 kN

Mmax 2.025kN m

Mmin 3.6kN m

Moment inercije poprečnog presjeka:

A0 b 2t( ) t A0 3.312 103 mm2

I0b 2t( ) t3

12 I0 3.974 10 8 m4

zc00 yc0

t2

A1 t h A1 960 mm2

I1t h312

I1 5.12 105 mm4

zc1

b2

t2

yc1

h2

A2 t h A2 960 mm2

I2t h312

I2 5.12 105 mm4

zc2

b2

t2

yc2

h2

Ap0

2

i

Ai

5.232 103 mm2

zcp0

2

i

zciAi

0

2

i

Ai

0m ycp0

2

i

yciAi

0

2

i

Ai

18.477 mm

Iz0

2

i

Ii Ai yciycp 2

2.469 106 mm4

Maksimalni naponi (za najveći moment savijanja):

σp1Mmax

Iz ycp 15.156 MPa

σz1Mmax

Izh ycp

50.464 MPa

Maksimalni naponi (za najveći moment savijanja):

σz2Mmin

Izycp 26.944 MPa

σp2Mmin

Izh ycp

89.714 MPa

***********************************************************************************************************

Primjer 4.3

Privremena drvena brana napravljena je od horizontalnih dasaka A oslonjenih na dva vertikalna stuba B. Stubovi su kvadratnog poprečnog presjeka (b x b) postavljeni na udaljenosti 0.8 m, kao na slici. Pretpostaviti da je dubina vode do vrha brane, h=2 m. Odrediti najmanju dimenziju b stuba ako je dozvoljeni napon drveta doz=8 MPa.

************************************************************************************************************

s 0.8m h 2m

σdoz 8MPa

************************************************************************************************************

ρ 1000kg

m3

q0 ρ g h s q0 1.569 104Nm

Ib4

12=

Mmaxq0 h

2h3 Mmax 1.046 104 N m

σdozMmax

Ib2=

q0 h2

6

b3

6

= σdozq0 h2

b3=

b

3q0 h2

σdoz198.703 mm

***********************************************************************************************************

Primjer 4.4

Drvena greda, pravougaonog poprečnog presjeka b x h=100 x 150 mm, AB jeopterećena kao na slici. Koncentrisana sila djeluje na udaljenosti a=0.5 m od svakogoslonca.Odrediti maksimalnu dozvoljenu silu P ako je dozvoljeni napon na savijanje 1MPa (i za zatezanje i za pritisak), a dozvoljeni napon na tangencijalni napon 1.2 MPa.Uticaj težine grede zanemariti.

************************************************************************************************************

a 0.05m b 100mm h 150mm

σdoz 11MPa τdoz 1.2MPa

************************************************************************************************************

Maksimalna sila i moment:

Vmax P= Mmax P a=

σmaxMmax

Ih2= 6P a

b h2=

τmax3Vmax

2A= 3P

2bh=

Psavσdoz b h2

6a82.5 kN

Ptangτdoz 2 b h

312 kN

Pmax min Psav Ptang 12 kN

***********************************************************************************************************

Primjer 4.5

Greda s poprečnim presjekom kao na slici izložena je transferzalnoj sili V=45 kN.Odrediti maksimalnu, minimalnu i ukupnu silu koja djeluje na vertikalni dio profila.Dimenzije poprečnog presjeka su: b=165 mm, t=7.5 mm, h=320 mm i h1=290 mm.

************************************************************************************************************

b 165mm h 320mm h1 290mm t 7.5mm

V 45kN

************************************************************************************************************

Maksimalan i minimalan tangencijalni napon:

I112

b h3 b h13 t h1

3

1.305 108 mm4

τmaxV

8I tb h2 b h1

2 t h12

20.986 MPa

τminV b8I t

h2 h12

17.36 MPa

τmaxτmin

1.209

Ukupna sila koju nosi vertikalni dio:

Vvertt h1

32τmax τmin 43.015 kN

VvertV

0.956

τsrV

t h120.69 MPa

***********************************************************************************************************

Primjer 4.6

Greda s poprečnim presjekom kao na slici izložena je transferzalnoj sili V=45 kN.Odrediti tangencijalni napon u presjeku n-n te maksimalan tangencijalan napon.Dimenzije poprečnog presjeka su: b=100 mm, t=25 mm, h=200 mm i h1=175 mm.

h=200 mmh1=175 mm

b=100 mm

t=25 mm

************************************************************************************************************

b 100mm h 200mm h1 175mm t 25mm

V 45kN

************************************************************************************************************

Položaj neutralne ose:

A0 b h h1 2.5 103 mm2

zc00 yc0

h1h h1

2

I0b h1 h 3

12

A1 t h1 4.375 103 mm2

zc10 yc1

h12

I1t h1

3

12

Ap0

1

i

Ai

6.875 103 mm2

zcp0

1

i

zciAi

0

1

i

Ai

0

ycp0

1

i

yciAi

0

1

i

Ai

123.864 mm

Moment inercije:

I

0

1

i

Ii Ai yciycp 2

2.694 107 mm4

Tangencijalni naponi:

τQVIb

=

presjek n-n

Q1 b h h1 yc0ycp 1.591 105 mm3

τ1V Q1

I t10.628 MPa

maksimalan tangencijalni napon - neutralna osa

Q t ycpycp2

1.918 105 mm3

τmaxV QI t

12.812 MPa

***********************************************************************************************************

Primjer 4.7

Slojevita drvena greda data na slici izložena je kontinuiranom opterećenju od 12 kN/mAko odnos visine i širine grede mora biti 1.5, odraditi najmanju širinu koja možeizdržati opterećenje. Dozvoljeni napon na savijanje je 9 MPa, a na smicanje 0.6 MPa.Težinu grede zanemariti.

************************************************************************************************************

L 3m l 1m

h 1.5a= b a= Ib h312

= 1.53

12a4= A bh= 1.5a2=

q 12kNm

σdoz 9MPa τdoz 0.6MPa

************************************************************************************************************

Reakcije oslonaca:

i

MB 0= FA L q L l( )L l( )

2 0=

FAq L l( )2

2L32 kN

i

Fi 0= FA FB q L l( ) 0=

FB q L l( ) FA 16 kN

Fmax 20kN

Mmax 10.67kN m

Napon savijanja:

SI

ymax= 2I

1.5 a= 2 1.53 a4

12 1.5 a= 1.52

6a3=

SMmaxσdoz

=

a3 Mmax

σdoz

6

1.52 146.768 mm1.52

6a3

Mmaxσdoz

=

Napon smicanja - provjera:

τmax 1.5Fmax

A=

τmax 1.5Fmax

1.5 a2 0.928 MPa τmax τdoz

Greda mora biti dizajnirana prema najvećem tangencijalnom naponu!!!

τdoz 1.5Fmax

A= 1.5

Fmax

1.5a2=

aFmaxτdoz

182.574 mm

***********************************************************************************************************

Primjer 4.8

Za gredu izradenu od cijevi odnosa vanjskog i unutrašnjeg prečnika 1.2, opterećenukao na slici, odredi dimenzije grede (poprečni presjek), ako je dozvoljeni napon nasavijanje 100 MPa, a dozvoljeni tangencijalni napon 50 MPa. Sve dimenzije su u mm.

LAB 0.4m FB 5kN σdoz 150MPa

LAC 1m MD 1kN m τdoz 100MPa

LAD 1.2m

d1 50mm

Id1

4 d24

π

64=

d14

π

641 ψ

4 = ψ

d2d1

=

Ad1

2 d22

π

4=

d12

π

41 ψ

2 =

Rješenje

Posmatrajmo raspodjelu transferzalnih sila i momenata savijanja za gredu ABCD.

Reakcije u osloncima A i C (pretpostavlja se da sile FA i FC djeluju prema gore).

i

Fi 0= FA FB FC 0= (1)

i

MA 0= FB LAB FC LAC MD 0= (2)

Iz (2) sijedi: FCFB LAB MD

LAC3 kN

FA FB FC 2 kNIz (1) slijedi:

Dijagrami momenata savijanja i sila

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.24

2

0

2

4

x, m

F, k

N

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.22

1

0

1

x, m

M, k

Nm

Dimenzionisanje na osnovu najvećeg momenta savijanja

Maksimalni moment savijanja je na prepustu: Mmax MD 1 kN m

σmaxMmax ymax

I=

Mmaxd12

d14

π

641 ψ

4

=32Mmax

d13

π 1 ψ4

σdoz=

ψ

4

132Mmax

σdoz d13 π

0.822 d2 ψ d1 41.105 mm

Provjera tangencijalnog napona:

Maksimalna transferzalna sila po intenzitetu je u dijelu BC:

Fmax Ftr 0.6m( ) 3 kN

Ad1

2π

41 ψ

2 636.499 mm2

τmax4Fmax

3A

d12 d1 d2 d2

2

d12 d2

2

9.367 MPa τmax τdoz

pa dimenzija d2=41.1 mm zadovoljava.

**************************************************************************************************************

Primjer 5.1

Element je izložen naponima kao na slici: x=85MPa, y=-29MPa, xy=-32.5MPa.

a) Odrediti glavne napone i prikaži na skici elementa naponab) Odrediti maksimalni tangencijalni napon i pokaži na elementu napona

-32.5MPa

85MPa

-29MPa

*****************************************************************************************************************

σx 85MPa

σy 29 MPa

τxy 32.5 MPa

*****************************************************************************************************************

a)

tg 2θp 2 τxy

σx σy=

θp

α0 atan2 τxy

σx σy

α1 atan2 τxy

σx σy

π

τxy σx σy 0if

α0 atan2 τxy

σx σy

π

α1 atan2 τxy

σx σy

2π

otherwise

0.5α

75.155

165.155

°

σ

σx σy

2

σx σy

2cos 2θp τxy sin 2θp

37.614

93.614

MPa

σ1 max σ( ) 93.614 MPa

θp1 θp0σ0 max σ( )=if

θp1otherwise

165.155 °

σ2 min σ( ) 37.614 MPa

θp2 θp0σ0 min σ( )=if

θp1otherwise

75.155 °

ili

σ s0σx σy

2

σx σy

2

2

τxy2

s1σx σy

2

σx σy

2

2

τxy2

s

93.614

37.614

MPa

b)

τmaxσ1 σ0

265.614 MPa

ili

τmaxσx σy

2

2

τxy2 65.614 MPa

στmax

σx σy

228 MPa

θs1 θp1π

4 120.155 °

θs2 θp2π

4 30.155 °

************************************************************************************************************

Primjer 5.2

Prosta greda AB dužine L=1.8 m opterećena je koncentričnom silom P= 48 kN kojadjeluje na udaljenosti c=0.6 m od desnog oslonca. Greda je izrađena od čelikapravougaonog poprečnog presjeka b x h=50x150 mm. Analiziraj glavne normalne imaksimalni tangencijalni napon u presjeku m-n koji se nalazi na udaljenosti x= 225 mmod lijevog oslonca.

************************************************************************************************************

L 1.8m x 225mm c 0.6m

h 150mm b 50mm Ib h

312

P 48kN

************************************************************************************************************

Reakcije oslonaca:

i

MB 0= FA L P c 0=

FAP cL

16 kN

Moment savijanja i transferzalna sila u presjeku m-n:

M FA x 3.6 kN m

Fmn FA 16 kN

Raspodjela normalnih i smičućih napona u presjeku m-n:

σx y( )M yI

yh

2

h2

1mmh

2

50 0 5020

10

0

10

20Normalni naponi

y, mm

σx,

MP

a

σxh

2

19.2 MPa

σxh

2

19.2 MPa

τ y( )6Fmn

b h3

h2

4y

2

50 0 501

0

1

2

3

4Tangencijalni naponi

y, mm

τ, M

Pa

τ 0( ) 3.2 MPa

Glavni normalni i max. tangencijalni naponi u presjeku m-n:

σ12

σx σy

2pm

σx σy

2

2

τ2= σy 0=

τmax

σx σy

2

2

τ2=

σ1 y( )σx y( )

2

σx y( )

2

2

τ y( )2

σ2 y( )σx y( )

2

σx y( )

2

2

τ y( )2

τmax y( )σx y( )

2

2

τ y( )2

50 0 500

5

10

15

20Glavni zatežući naponi

y, mm

σ, M

Pa

50 0 5020

15

10

5

0Glavni pritisni naponi

y, mm

σ, M

Pa

50 0 502

4

6

8

10Maksimalni tang.i naponi

y, mm

τ, M

Pa

τmaxh

2

9.6 MPa

τmax 0( ) 3.2 MPa

τmaxh

2

9.6 MPa

************************************************************************************************************

Primjer 5.3

Vratilo elise helikoptera pokreće elisu koja obezbjeđuje podižuću silu kako bi se helikopter održao u zraku. Kao posljedica se javlja kombinacija uvijanja i aksijalnog naprezanja. Ako je prečnik vratila 50 mm, moment uvijanja 2.4 kNm i zatežuća sila 125 kN, odrediti maksimalan zatežući, maksimalan pritisni napon ,te maksimalan tangencijalni napon vratila.

************************************************************************************************************

d 50mm Ad2

π4

I0d3

π16

rd2

T 2.4kN m

F 125kN

************************************************************************************************************

σzFA

63.662 MPa

τTI0

97.785 MPa

σ12σx σy

2pm

σx σy

2

2

τ2= σx 0= σy σz=

σ1σz2

0 σz

2

2

τ2 134.666 MPa

σ2σz2

0 σz

2

2

τ2 71.004 MPa

τmax0 σz

2

2

τ2 102.835 MPa

************************************************************************************************************

Primjer 5.4

Tabla dimenzija 2 x 1.2 m, kao na slici, postavljena je na stub u obliku cijeviunutrašnjeg prečnika 220 mm i vanjskog prečnika 180 mm. Početak znaka je 0.5 mod ose cijevi stuba, te 6 m iznad zemlje. Odrediti glavne napone i maksimalantangencijalni napon u tačkama A i B na dnu stuba ako na znak djeluje vjetar kojiizaziva pritisak 2 kPa.

************************************************************************************************************ds 220mm du 180mm

h 1.2m w 2m A h w Ids

4 du4

64π

e 0.5mI0 2I

l 6m

p 2kPa Apds

2 du2

4π

************************************************************************************************************

Moment uvijanja i tangencijalna sila

T p A ew2

7.2 kN m V p A 4.8 kN

Moment savijanja

M p A lh2

31.68 kN m

Naponi u tačkama A i B

σA

Mds2

I54.913 MPa

τT T

ds2

I0 6.24 MPa

τV4V3Ap

ds2

2 ds2

du2

du2

2

ds2

2 du2

2

0.759 MPa

************************************************************************************************************

Elementi napona

σ12σx σy

2pm

σx σy

2

2

τ2=

Tačka A

σx 0= σy σA= τ τT

σ1AσA2

0 σA

2

2

τT2 55.613 MPa

σ2AσA2

0 σA

2

2

τT2 0.7 MPa

τmaxA0 σA

2

2

τT2 28.157 MPa

Tačka B

σx σy= 0= τ τT τV

σ1A τ 6.999 MPa

σ2A τ 6.999 MPa

τmaxA τ 6.999 MPa

Primjer 5.5

Stub od cijevi kvadratnog poprečnog presjeka služi kao nosačhorizontalne platforme.Vanjska dimezija cijevi je 15 cm a debljina stjenke je 12.5 mm. Platforma ima dimenzi170 x 610 mm i nosi kontinuirano opterećenje od 140 kPa koje djeluje na gornjojpovršini. Rezultanta ovog opterećenja je vertikalna sila od 14.5 kN i djeluje na srediniplatforme, udaljenom 230 mm od ose cijevi. Druga sila od 3.5 kN djeluje horizontalnona stub 1.3 m od osnove. Odrediti glavne normalne napone i maksimalan tangencijalnnapon u tačkama A i B na osnovi.

75 mm

75 mm

12.5 mm

b=150 mm

t=12.5 mm

1.4 kNd=230 mm

h=1.3 m

P2=3.5 kN

************************************************************************************************************d 230mm h 1.3m

b 150mm t 12.5mm Ap b2 b 2t( )2

Ib4 b 2t( )4

12

Am 2t b 2t( )

P1 14.5kN P2 3.5kN

************************************************************************************************************

Naponi u tačkama A i B

M1 P1 d 3.335 103 N m

M2 P2 h 4.55 103 N m

σP1P1Ap

2.109 MPa

σ12σx σy

2pm

σx σy

2

2

τ2=

σM1

M1b2

I11.451 MPa

τP2P2Am

1.12 MPa

σM2

M2b2

I15.623 MPa

Tačka A - jednoosno aksijalno naprezanje

σA σP1 σM1 σM2 29.184 MPa pritisak!!!

τmaxAσA2

14.592 MPa

Tačka B

σx 0= σy σA= τxy τP2=

σ1AσA2

0 σA

2

2

τP22 0.043 MPa

σ2AσA2

0 σA

2

2

τP22 29.227 MPa

τmaxA0 σA

2

2

τP22 14.635 MPa

************************************************************************************************************

Primjer 5.6

Pravougaoni blok izložen je vertikalnoj sili od 40 kN, s napadnom tačkom u uglu bloka(slika). Odrediti najveći napon koji djeluje u presjeku ABCD. Težinu bloka zanemariti.

************************************************************************************************************

b 0.4m w 0.8m Ixw b312

Iyb w312

A b w

F 40kN

Mx Fb2 8 103 N m My F

w2

1.6 104 N m

************************************************************************************************************

Komponente napona

σFA

0.125 MPa

σmax1

Mxb2

Ix3.75 105 Pa

σmax2

Myw2

Iy3.75 105 Pa

σC σ σmax1 σmax2 0.875 MPa

************************************************************************************************************

Primjer 6.1

Puno vratilo od sivog liva izloženo je momentu uvijanja od 550 Nm. Odrediti najmanpoluprečnik pri kojem vratilo neće otkazati. Epruveta sivog liva izložena zatezanju imzateznu čvrstoću od 140MPa.

************************************************************************************************************

T 550N m

Rm 140MPa

************************************************************************************************************

Maksimalni napon

τmax

Td2

Io= 16T

d3π

= 2T

r3π

=

S obzirom da se radi o krtom materijalu, primijenjuje se teorija maksimalnognormalnog napona:

σ1 σ2= τmax Rm=

r3 2T

Rm π13.574 mm

************************************************************************************************************

Primjer 6.2

Puno vratilo izrađeno od čelika s granicom tečenja ReH =250 MPa imapoluprečnik 12.5mm. Odrediti da li će vratilo otkazati koristeći hipoteze sloma zaduktilne materijale, ukoliko je izloženo aksijalnoj sili od 65kN i momentu uvijanjaod 360 Nm.

132.4 MPa

117.3 MPa

12.5 mm

65 kN

T=360Nm

************************************************************************************************************r 12.5mm P 65kN

T 360N mReH 250MPa

A r2 π 490.874 mm2

************************************************************************************************************Normalni (aksijalni) napon

σxPA

132.417 MPa σy 0

Tangencijalni napon (uvijanje)

τ2T

r3π

117.342 MPa

σ1σx σy

2

σx σy

2

2

τ2 200.94 MPa

σ2σx σy

2

σx σy

2

2

τ2 68.523 MPa

Teorija maksimalnog tangencijalnog napona

σ1 σ2 269.464 MPa

S obzirom da je ova veličina veća od 250 MPa, materijal će otkazati po ovoj teoriji

Teorija najvećeg specifičnog deformacionog rada

σ12

σ1 σ2 σ22 242.573 MPa

S obzirom da je ova veličina manja od 250 MPa, materijal neće otkazati po ovojteoriji.

************************************************************************************************************

Primjer 6.3

Šipka od livenog aluminijuma izrađena je od legure s čvrstoćom na zatezanje od60 MPa i čvrstoćom na pritisak od 120 MPa. Koristeći Mohrovu hipotezu odredimoment uvijanja pri kojem se može očekivati lom.

************************************************************************************************************

d 32mm P 26kN

Rmz 60MPa

Rmp 120MPa ασ

RmzRmp

Ad2

2π 804.248 mm2

************************************************************************************************************

Normalni (aksijalni) napon

σxPA

32.328 MPa σy 0

Tangencijalni napon (uvijanje)

τ16T

d3π

= Tπ τ d3

16=

σ1σx σy

2

σx σy

2

2

τ2

σx2

σx2

2

τ2=

=

σ2σx σy

2

σx σy

2

2

τ2=

σx2

σx2

2

τ2=

Mohrova hipoteza

σ1 ασ

σ2 Rmz

σx2

1 ασ

σx2

2

τ2 1 α

σ Rmz=

τ

Rmz σx Rmz σx ασ

ασ

1

Rmz σx Rmz σx ασ

ασ

1

Tπ τ d3

16

196.916

196.916

N m

************************************************************************************************************

Primjer 6.4

Element od legure aluminijuma kvadratnog poprečnog presjeka stranice 20 mm,opterećen je silom pritiska od 10 kN i smicanjem silom 5 kN. Za najugroženijidio poprečnog presjeka odrediti:- glavne normalne i maksimalni tangencijalni napon, - stepen sigurnosti koristeći von Mises hipotezu, - najveću silu smicanja, koja se može primijeniti uz konstantnu silu pritiska, a dane dođe do otkaza materijala. Stepen sigurnosti protiv plastičnih deformacija je2. Koristiti Tresca kriterij.Granica tečenja materijala je ReH=150 MPa

Fp 10kN

Fs 5kN

b 20mm

ReH 150MPa

A b2 4 10 4 m2

Rješenje

σxFpA

25 MPa σy 0Pa

τxy32

FsA

18.75MPa

a) Najveći normalni i tangencijalni naponi

σ1σx σy

2

σx σy

2

2

τxy2

10.035MPa

(*)

σ2σx σy

2

σx σy

2

2

τxy2

35.035 MPa

τmaxσ1 σ2

222.535 MPa ili τmax

σx σy

2

2

τxy2

22.535 MPa

b) Stepen sigurnosti protiv plastičnih deformacija - von Mises hipoteza

σekv σ12

σ1 σ2 σ22

40.984 MPa

SReHσekv

3.66

c) Najveća sila smicanja

S obzirom da su najveći normalni naponi suprotnog predznaka [vidi izraze (*)] imamo

σekv σ1 σ2=σx σy

2

σx σy

2

2

τxy2

σx σy

2

σx σy

2

2

τxy2

=

σekv 2σx2

2

τxy2

=

Stepen sigurnosti je:

SReHσekv

=ReH

2σx2

2

τxy2

=

pa je

S 2

τxymaxReH2S

2σx2

2

35.355 MPa Fsmax23

τxymax A 9.428 kN