principes de la commande prédictive. applications sous matlab
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École d’été francophone CA’NTI 22/2016
Cristina Stoica [email protected]
Principes de la commande prédictive
Applications sous MATLAB
Principes de la commande prédictive2 02/06/2016
Applications
Plan du cours
Introduction
Concepts de la commande prédictive
Mise en œuvre dans le cas sans contraintes
Approche GPC (Commande Prédictive Généralisée)
Approche MPC (Model Predictive Control)
Approche MPC avec contraintes
Conclusion
Quelques références
Principes de la commande prédictive3 02/06/2016
Plan du cours
Introduction
Concepts de la commande prédictive
Mise en œuvre dans le cas sans contraintes
Approche GPC (Commande Prédictive Généralisée)
Approche MPC (Model Predictive Control)
Approche MPC avec contraintes
Conclusion
Quelques références
Principes de la commande prédictive4 02/06/2016
IntroductionAvantages de la commande prédictive Facilité de mise en œuvre (bonnes performances et simplicité
d’implémentation)
Effet anticipatif : par utilisation explicite de la trajectoire à suivre dans lefutur
Technique bien adaptée pour commande des systèmes complexes : systèmes multivariables, systèmes
soumis aux contraintes, systèmes non linéaires, systèmes hybrides,systèmes à retard, systèmes Multi-Agent…
problèmes de suivi de trajectoire sans/sous contraintes (entrées, sorties,états), pour lesquels la trajectoire à suivre est parfaitement connue àl’avance et planifiée
différents objectifsparmi les commandes avancées les plus utilisées dans le milieu industriel
Principes de la commande prédictive5 02/06/2016
IntroductionApplications industrielles 1979 Dynamic Matrix Control (DCM) : industrie pétrolière
Plus de 1000 applications répertoriées (Qin&Badgwell’03) Robots, machines-outils, industrie chimique ou biochimique, aéronautique,
thermique, l’industrie du ciment, bâtiment intelligent … Exemple : régulation de vitesse des ascenseurs de la tour Eiffel
surtout pour des systèmes avec une trajectoire à suivre connue à l’avance
Historique Début à la fin des années ’70 (Richalet et al., Cutler&Ramaker)
Améliorations dans les années ’90 : faisabilité, stabilité en boucle fermée
Maturité depuis le début des années 2000 : commande prédictive robuste (Mayne etal.), solutions explicites, commande prédictive des systèmes hybrides et non-linéaires,applications aux systèmes rapides
2010 : commande prédictive stochastique, distribuée, décentralisée, économique
Principes de la commande prédictive6 02/06/2016
IntroductionPrincipe de fonctionnement Effet anticipatif
Trajectoire connue et planifiée
Horizon glissant
Prise en compte des contraintes
Principes de la commande prédictive7
Horizon de prédiction
Temps TempsNkkk 1 Nkkkk )1(11
y y
ry
u u
ry
Principe de l’horizon fuyant
PrésentPassé
Horizon de prédiction
02/06/2016
IntroductionExemple : bâtiment intelligent Objectif : minimiser l’énergie/coût pour maintenir la température d’une pièce, la
concentration de CO2 et le niveau d'éclairement dans des gammes de confort spécifiées
Solution : structures de commande prédictive intégrées pour chaque pièce/zone régulation de température, luminosité, ventilation utilisation des prévisions des futures perturbations (météo) utilisation des prévisions des prix d'électricité …
Principes de la commande prédictive8 02/06/2016
Commande prédictive- Modèle- Optimisation
Bâtiment
Entrées de commande
Prédictions :- météo- prix d’électricité- occupation du bâtiment- charge du réseau- …
critère de confort
Plan du cours
Introduction Concepts de la commande prédictive
Principes de base Choix du modèle du processus Paramètres de réglage
Mise en œuvre dans le cas sans contraintes Approche GPC (Commande Prédictive Généralisée) Approche MPC (Model Predictive Control) Approche MPC avec contraintes
Conclusion Quelques références
Principes de la commande prédictive9 02/06/2016
Concepts de la commande prédictive
Principes de base Elaboration (choix) du modèle numérique du système sur lequel est fondée
la prédiction de la sortie
Spécification de la trajectoire que doit suivre la sortie
Minimisation d’un critère quadratique à horizon fini élaborant uneséquence de commandes futures
Application du premier élément de la séquence de commande au systèmeet au modèle
Répétition à chaque période
d’échantillonnage
(principe de l’horizon fuyant)
caractère anticipatifPrincipes de la commande prédictive10 02/06/2016
Concepts de la commande prédictive
Choix du modèle du processus Un bon modèle = le plus simple possible, mais malgré tout suffisamment
significatif et adapté aux besoins, en offrant des prédictions suffisammentprécises une connaissance appropriée du système
Un modèle résultant souvent d’une phase d’identification
Un modèle capable de prédire le comportement du système
Souvent un modèle linéaire
Généralement un modèle à temps discret
Procédure Modèle initial premier essai de commande prédictive
Modèle retouché nouvelle loi de commande prédictive
Remarque Simplicité du modèle l’intérêt de l’utilisation en milieu industriel
Principes de la commande prédictive11 02/06/2016
Concepts de la commande prédictive
Paramètres de réglage (cas sans contraintes) Fonction de coût Structure du critère Facteurs de pondérations
sur l’erreur de poursuite ( ) sur l’effort de commande ( )
Horizons de prédiction Horizon inférieur ( ) de prédiction sur la sortie Horizon supérieur ( ) de prédiction sur la sortie Horizon de prédiction sur la commande ( )
Choix de la période d’échantillonnage
Remarque MIMO : généralement les mêmes horizons de prédiction sur toutes les
sorties, ainsi que les mêmes horizons de commandePrincipes de la commande prédictive12
1N2N
uN
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1ou / 11 NTdN e
er TtN /2 uu NN ou 1
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1
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02/06/2016
Plan du cours Introduction Concepts de la commande prédictive Mise en œuvre dans le cas sans contraintes
Approche GPC (Commande Prédictive Généralisée) Modèle CARIMA (Controlled AutoRegressive Integrated Moving Average) Structure du prédicteur optimal Minimisation du critère pour l’élaboration de la loi de commande Structure polynomiale RST équivalente Tableau récapitulatif Exemple
Approche MPC (Model Predictive Control) Approche MPC avec contraintes
Conclusion Quelques références
Principes de la commande prédictive13 02/06/2016
Mise en œuvre : Approche GPC Modèle CARIMA : système SISO
avec
bruit blanc centré
polynôme de perturbation
Remarque Cette structure apporte un terme intégrateur qui garantie l’annulation de
toute erreur statique vis-à-vis de consigne ou de perturbation constante
Principes de la commande prédictive14
)()()()1()()()( 1
111 kv
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1zA )( 11 zBz
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1
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1
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1)(
zz
zczczC
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c
c
b
b
a
a
nn
nn
nn
02/06/2016
Mise en œuvre : Approche GPC Structure du prédicteur optimal Prédiction de la sortie à l’instant j
Après avoir mis en évidence les valeurs futures et passées
réponse libre réponse forcée
où les polynômes inconnus sont les solutions des équations diophantiennes
Principes de la commande prédictive15
)()()(
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1
1
1
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1
1
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11111
zJzBzHzzGzC
zCzFzzJzAz
jjj
j
jj
j
02/06/2016
Mise en œuvre : Approche GPC Forme matricielle de l’équation de prédiction
réponse libre
avec les notations
Les coefficients de la matrice G sont les
coefficients de la réponse indicielle du modèle.
Principes de la commande prédictive16
)1()(
1)()(
1~ˆ 11 kuzC
kyzC
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kjky jjj
2
2
2
2
2
2
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1
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1
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2
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11
111
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Nky
Nky
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zH
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zF
G
yyuHF
02/06/2016
Mise en œuvre : Approche GPC Minimisation du critère pour l’élaboration de la loi de commande
sous l’hypothèse
Forme matricielle du critère
Séquence de commande optimale
Commande appliquée au système à l’instant k
Principes de la commande prédictive17
)(,1)( avec ,)()()(ˆ1
0
222
1
iRiQikuikyikyJ JJ
N
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N
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optNku
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roptopt ku
zCky
zCkuku yHFn )1(
)(1)(
)(1)1()( 11
T1
0~ uJ
02/06/2016
Mise en œuvre : Approche GPC Structure polynomiale RST équivalente
régulateur RST équivalent
Loi de commande
Remarque La structure initiale de commande
qui contenait un polynôme T non causal a été reformulée avec un polynôme T causal
Principes de la commande prédictive18
)()(
1
1
zAzB)(ku
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111 kyzRNkyzTkuzzS r
TT1
1 ][)()( 21 NN zzzCzT n
02/06/2016
Mise en œuvre : Approche GPC Tableau récapitulatif Définition de la consigne (stockage point par point)
Choix du modèle, choix d’une période d’échantillonnage et des polynôme Aet B du modèle CARIMA (par identification préalable si nécessaire)
Choix des paramètres de réglage de la fonction de coût
Calcul des prédicteurs optimaux par résolution des équations diophantiennes
Synthèse des polynômes R, S et T du correcteur équivalent
Principes de la commande prédictive19 02/06/2016
Mise en œuvre : Approche GPC Exemple : commande GPC d’un moteur asynchrone Le transfert entre le couple et la vitesse identifié pour une période
d’échantillonnage de 5ms
Paramètres de réglage GPC :
Principes de la commande prédictive20
m m
21
21
02,098,01024,3344,1
)()(
zzzz
kk
m
m
200,1,8,1 21 uNNN
8765
432
11
211
0,01010,0087 0,00730,00590,00460,0032 0,00180,0004)(
7342,01)(0,0049-0,2371-0,284 )(
zzzzzzzzzT
zzSzzzR
02/06/2016
Mise en œuvre : Approche GPC Exemple : commande GPC d’un moteur asynchrone Simulation sous MATLAB Echelon unitaire de consigne Sans aucune perturbation
Réponse indicielle Commande
Principes de la commande prédictive21
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.30
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Temps (s)
Rép
onse
tem
pore
lle y
MPC0Consigne yr
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.30
0.01
0.02
0.03
0.04
Temps (s)
Com
man
de u
MPC0
02/06/2016
Plan du cours Introduction Concepts de la commande prédictive Mise en œuvre dans le cas sans contraintes
Approche GPC (Commande Prédictive Généralisée) Approche MPC (Model Predictive Control)
Modèle sous forme d’état Prédiction de la sortie Minimisation du critère pour l’élaboration de la loi de commande Tableau récapitulatif Exemples
Approche MPC avec contraintes Conclusion Quelques références
Principes de la commande prédictive22 02/06/2016
Mise en œuvre : Approche MPC Modèle sous forme d’état : système MIMO (m entrées, p sorties)
Ajout d’une action intégrale pour annuler les erreurs statiques
Représentation d’état étendue
Prédiction de la sortie
Principes de la commande prédictive23
111 ,,,,,où ,)()(
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pmnnpmnnn
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j
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u
uuBACxACyy
02/06/2016
Mise en œuvre : Approche MPC Minimisation du critère pour l’élaboration de la loi de commande
Forme matricielle du critère
avec
et
Principes de la commande prédictive24
1
0
2
)(
2
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2
1
u
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N
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N
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)(kU
Commandes futuresEtat étendu et
consignes futures
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N
N
N
N
N
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y
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JJ
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kJ
U
02/06/2016
JJJNmmm uQΦΦQΦR0Iμ T1T
)1(, )(
Mise en œuvre : Approche MPC Loi de commande Séquence de commandes futures obtenue par minimisation du critère J Par application du principe de l’horizon fuyant, seule la première valeur de
cette séquence est appliquée au système
où
et
Principes de la commande prédictive25
)(ky
0CBA)( 2Nkr y )(ku )(ku
)(kex
Modèle étendu
L
FrFr
FrFr
DCBA )(kFry
rF
)()()( 2 kNkk err LxyFu μΦμΨLLL 21avec
)1(21
)( 12,,, NNpmmmnmmnm RRRR μLLL
1
21
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12
12
12
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NNFr
NNFr
p
pNNpFr
NNppp
NNppNNpFr
μD
μμμC
I0
B
00I0
A
02/06/2016
Mise en œuvre : Approche MPC Tableau récapitulatif Définition de la consigne
Choix du modèle sous la forme d’une représentation d’état (matrices A, B, C), choix d’une période d’échantillonnage
Choix des paramètres de réglage de la fonction de coût
Calcul direct des matrices nécessaires pour la mise sous forme matricielle du critère J
Dans le cas où l’état est mesurable, synthèse de la matrice L (« retour d’état ») du correcteur équivalent
Principes de la commande prédictive26 02/06/2016
Mise en œuvre : Approche MPC Exemple : commande MPC d’un réacteur
Discrétisation avec
Représentation d’état avec
Ajout d’action intégrale système étendu
Paramètres de réglage MPC :
Principes de la commande prédictive27
1y
2u
2y
1u
)()(
4,012
5,011
3,015
7,011
)()(
2
1
2
1sUsU
ss
sssYsY
Débit d’alimentation
Débit de refroidissement
TempératureConcentration
min03,0eT2,2,4 pmn
2890,002329,0009516,001678,0,
5,005,00
025,0025,0
,
9277,000009048,000009418,000009580,0
CBA
pJmJuNNN IQIR ,05,0,2,3,1 21
02/06/2016
Mise en œuvre : Approche MPC Exemple : commande MPC d’un réacteur Simulation sous MATLAB : réponse indicielle Echelon de consigne d’amplitude , ensuite une variation
de consigne de 0,5 à 0,4 est appliqué sur à l’instant minutes Sans aucune perturbation
Principes de la commande prédictive28
0 2 4 6 80
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Temps (min)
Rép
onse
tem
pore
lle y
1
Sortie y1
Consigne yr1
0 2 4 6 80
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
Temps (min)
Rép
onse
tem
pore
lle y
2
Sortie y2
Consigne yr2
1ry 4t3,0,5,0
21 rr yy
02/06/2016
Mise en œuvre : Approche MPC Exemple : commande MPC d’un réacteur Simulation sous MATLAB : commandes Echelon de consigne d’amplitude , ensuite une variation
de consigne de 0,5 à 0,4 est appliqué sur à l’instant minutes Sans aucune perturbation
Principes de la commande prédictive29
0 2 4 6 80
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Temps (min)
Com
man
de u
1
Commande u1
0 2 4 6 8
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Temps (min)
Com
man
de u
2
Commande u2
3,0,5,021 rr yy
1ry 4t
02/06/2016
Mise en œuvre : Approche MPC Exemple : commande MPC de la bicyclette (Astrom et al., IEEE CSM 2005)
Modèle simplifié Modèle non linéaire
Modèle linéarisé
avec
Principes de la commande prédictive30 02/06/2016
02/ c
bhV
dtd
bhaV
hg
dtd 2
2
2sin
bhV
hg
bhaV
dtd
dtd 2
)sin(
bhaV
dtd
xx
x2
1
2
1
22
1
102
1
01
0cos10
xx
y
bhVbhaV
xx
xhg
xx
Mise en œuvre : Approche MPC Exemple : commande MPC de la bicyclette (Astrom et al., IEEE CSM 2005)
Fonction de transfert E/S
système instable
Synthèse MPC Système discrétisé avec Paramètres de réglage du MPC
Principes de la commande prédictive31 02/06/2016
hgs
aVs
hbaV
ss
2)()(
s 1,0eT
000101 01
1
2
1
uN
NN
Mise en œuvre : Approche MPC Exemple : commande MPC de la bicyclette (Astrom et al., IEEE CSM 2005)
Réponse à une consigne d’angle d’inclinaison de 10° (situation improbable …)
Angle d’inclinaison Angle de braquage
Principes de la commande prédictive32 02/06/2016
Mise en œuvre : Approche MPC Exemple : commande MPC de la bicyclette (Astrom et al., IEEE CSM 2005)
Réponse à une perturbation de 10° sur l’angle d’inclinaison (coup de vent)
Angle d’inclinaison Angle de braquage
Principes de la commande prédictive33 02/06/2016
Mise en œuvre : Approche MPC Exemple : commande MPC de la bicyclette (Astrom et al., IEEE CSM 2005)
Réponse à une perturbation de 10° sur l’angle d’inclinaison (coup de vent)
Angle d’inclinaison Angle de braquage
Principes de la commande prédictive34 02/06/2016
avec saturation de la commande à 5°
Plan du cours
Introduction
Concepts de la commande prédictive
Mise en œuvre dans le cas sans contraintes
Approche GPC (Commande Prédictive Généralisée)
Approche MPC (Model Predictive Control)
Approche MPC avec contraintes Formulation du problème d’optimisation Exemple
Conclusion
Quelques références
Principes de la commande prédictive35 02/06/2016
Approche MPC avec contraintes Fonction de coût
avec
Séquence de commande Système étendu Prédicteur
Contraintes incrément de la commande : commande : sortie : état final (contraintes terminale) :
Principes de la commande prédictive36 02/06/2016
1
0,, )()()u,(
N
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Tikikrik
TikrikNk
TNkkk uRuyyQyyPxxxJ
coût terminal
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NNN 21 ,0
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CBA
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1:0, )()( umaxmin NiuikuuUiku1:0, )()( umaxmin NiuikuuUiku
1:0, )()( NiyikyyYiky maxminife
iffe bNkxaXNkx )()(
Approche MPC avec contraintes Formulation matricielle de la fonction de coût
avec
Prédiction
avec
Principes de la commande prédictive37 02/06/2016
JePTek
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21)),(( uyuuu
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Tp
Tw
TN
TN
Tx
Approche MPC avec contraintes En absence des contraintes
Problème d’optimisation avec contraintes
Contraintes sur Δu(k+i) Contraintes sur u(k+i), i = 0 : Nu − 1
Contraintes sur la sortie
Contraintes sur l’état final
Principes de la commande prédictive38 02/06/2016
)( àsujet
)),((minarg))((,
kExWG
kxJkx
ek
keeoptkk
u
uuu
))()(())(( 1 kFkxFHkx rwexeoptSC yu 0
k
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min
min
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min
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1000
00011000
0001
)()(
u
uu
u
uikuuiku
k
u )(
10
11
10
1110
110011110
11001
)()(
min
min
max
max
min
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u
uu
u
uikuuiku
ek
u
)()(ˆ)(ˆ
min
max
min
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ekkek
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yy
uyuyyuy
)()()(
)(kxaba
kxNkxbNkxa
eNif
ifkN
if
kNeNe
ife
if
u
u
Approche MPC avec contraintes Exemple : commande MPC de la bicyclette (Astrom et al., IEEE CSM
2005) Réponse à une perturbation de 10° sur l’angle d’inclinaison (coup de vent)
Contraintes , paramètres de réglage
Angle d’inclinaison Angle de braquage
Principes de la commande prédictive39 02/06/2016
5)( ku 00010,1 0,1 1, 21 uNNN
Approche MPC avec contraintes Exemple : commande MPC de la bicyclette (Astrom et al., IEEE CSM
2005) Réponse à une perturbation de 10° sur l’angle d’inclinaison (coup de vent)
Contraintes , paramètres de réglage
Angle d’inclinaison Angle de braquage
Principes de la commande prédictive40 02/06/2016
5)( ku 00010,2 0,1 1, 21 uNNN
saturationoptimisation
en ligne
Plan du cours
Introduction
Concepts de la commande prédictive
Mise en œuvre dans le cas sans contraintes
Approche GPC (Commande Prédictive Généralisée)
Approche MPC (Model Predictive Control)
Approche MPC avec contraintes
Conclusion
Quelques références
Principes de la commande prédictive41 02/06/2016
Conclusion Commande prédictive : beaucoup utilisée dans l’industrie
Etapes à suivre en vue de l’élaboration d’un commande prédictive choix du modèle sur lequel est basée la prédiction de la sortie spécification de la trajectoire que doit suivre la sortie minimisation d’un critère quadratique à horizon fini élaborant une séquence
de commandes futures application du premier élément de la séquence de commande au système
et au modèle et réitération à l’instant suivant
Application possible à plusieurs classes de systèmes (SISO, MIMO, systèmes avec contraintes)
Approche polynomiale (GPC) Commande RST équivalente
Approche d’état (MPC) Commande par retour d’état
Atout : prise en compte des contraintes directement dans la synthèse
Conclusion
Principes de la commande prédictive42 02/06/2016
Plan du cours
Introduction
Concepts de la commande prédictive
Mise en œuvre dans le cas sans contraintes
Approche GPC (Commande Prédictive Généralisée)
Approche MPC (Model Predictive Control)
Approche MPC avec contraintes
Conclusion
Quelques références
Principes de la commande prédictive43 02/06/2016
P. Boucher, D. Dumur, “La commande prédictive”, Collection Méthodes et pratiquesde l’ingénieur, Editions Technip, Paris, 1996.
E.F. Camacho, C. Bordons, “Model predictive control”, Ed. Springer-Verlag, 2nd ed.,London, 2004.
J. M. Maciejowski, “Predictive control with constraints”, Ed. Prentice Hall, PearsonEducation Limited, Harlow, 2002.
J.A. Rossiter, “Model based predictive control. A practical approach”, CRC Press LLC,2003.
J. Richalet, G. Lavielle, J. Mallet, “La commande prédictive. Mise en œuvre et applicationsindustrielles”, Groupe Eyrolles, Paris, 2005.
P. Borne, G. Dauphin-Tanguy, J.P. Richard, F. Rotella, I. Zambettakis, Automatique.Analyse et régulation des processus industrielles (2) : Régulation numérique, Ed. Technip,1993.
I.D. Landau, Commande des systèmes : conception, identification et mise en œuvre, Ed.Hermès, 2002
Quelques références
Principes de la commande prédictive44 02/06/2016