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UNIVERSIDAD PEDRO DE VALDIVIA

MODULO Nº 3ASIGNATURA: ESTADÍSTICAMATERIA PROBABILIDADESPROFESOR: Carlos Flores Carvajal .

PROBABILIDADES

La teoría de probabilidad es el factor indispensable para dominar el tema sobre el estudio de los fenómenos que suceden bajo incertidumbre. A medida que se ha profundizado en su estudio se ha avanzado en la importancia de los problemas enfocados con esta teoría. Así por ejemplo se han hecho estudios con fenómenos tales como pesos atómicos, duración de la radioactividad en los átomos, teorías hereditarias, modelos macroeconómicos, decisiones administrativas, teorías de astronomía, etc.

Sin embargo en el lenguaje común y corriente se escuchan expresiones tales como “no creo que llueva esta tarde”; “con las calificaciones que llevo alcanzo de pasar de curso” , “con la trayectoria política del candidato A, es probable que le gane B”. Cada una estas afirmaciones implica inseguridad por parte de quien las expresa, puesto que se refiere a la ocurrencia de fenómenos aleatorios.

EXPERIMENTO,

El término experimento se usa en Estadística en un sentido mucho más amplio que en Biología, Química y Física. Lanzar un dado, por ejemplo, se considera un experimento estadístico. Otros ejemplos son: el lanzamiento de una moneda, seleccionar una ampolleta de flash de una máquina fotográfica de una cierta partida y observar si es defectuosa o no, y enviar una nave no tripulada a Saturno.

Si bien los experimentos arriba mencionados parecen bastantes dispares, todos tienen dos propiedades en común. Una de estas es que cada experimento tiene varios resultados posibles que pueden especificarse de antemano.

EXPERIMENTO RESULTADOS POSIBLES

1.- Lanzamiento de un dado.

1, 2, 3, 4, 5, 6

2.-. Lanzamiento de una moneda

Cara, Sello

3.- Selección de una ampolleta

Defectuosa, no defectuosa

4.- Envío de nave a Martes.

Éxito o fracaso

La segunda propiedad es que estamos inciertos acerca del resultado de cada experimento. Al lanzar un dado, por ejemplo, no sabemos si el resultado será 1, 2, 3, 4, 5 ó 6.

ESPACIO MUESTRAL

El conjunto que consiste en todos los resultados posibles de un experimento se denomina espacio muestral; lo designaremos por Ω . A cada elemento de él lo llamamos punto muestral. Si lanzamos un dado y observamos el número que aparece en la cara superior , por ejemplo, nuestro espacio muestral. Es Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6 cada uno de sus elementos es un punto muestral.

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EJEMPLO Nº 1

Se lanzan simultáneamente dos dados. Determine el espacio muestral.

Solución.

Ω = ( 1, 1 ) – ( 1, 2 ) – ( 1, 3 ) – ( 1, 4 ) – ( 1, 5 ) - ( 1, 6 ) ( 2, 1 ) – ( 2, 2 ) – ( 2, 3 ) - ( 2, 4 ) – ( 2, 5 ) – ( 2, 6 )

( 3, 1 ) – ( 3, 2 ) – ( 3, 3 ) – ( 3, 4 ) – ( 3, 5 ) - ( 3, 6 )

( 4, 1 ) – ( 4, 2 ) – ( 4, 3 ) – ( 4, 4 ) – ( 4, 5 ) – ( 4, 6 )

( 5, 1 ) – ( 5, 2 ) – ( 5, 3 ) – ( 5, 4 ) – ( 5, 5 ) – ( 5, 6 )

( 6, 1 ) – ( 6, 2 ) – ( 6, 3 ) – ( 6, 4 ) – ( 6, 5 ) – ( 6, 6 )

Un subconjunto de un espacio muestral se llama Suceso

EJEMPLO Nº 2

Se lanza un par de dados. Enumérense los elementos contenidos en el suceso que la suma sea 4 ó 5.Solución.

A = ( 1, 3 ) – ( 1, 4 ) – ( 2, 2 ) – ( 2, 3 ) – ( 3, 1 ) – ( 3, 2 ) – ( 4, 1 )

EJEMPLO Nº 3

Un experimento consiste en lanzar dos monedas simultáneamente.

a) Enumérense los elementos del espacio muestral. Ω = cara cara, cara sello, sello cara, sello sello

b) Enumérese los elementos contenidos en el suceso de que salga exactamente una cara.

A = cara sello, sello cara

C) Enumérense los elementos contenidos en el suceso de que salga al menos una cara.

B = cara cara, cara sello, sello cara

CONCEPTO DE PROBABILIDAD.

Se puede considerar la probabilidad como la teoría que tienen que ver con los posibles resultados de los experimentos. Estos deben ser potencialmente repetitivos, es decir, debemos ser capaces de reproducirlos bajo condiciones similares. Debe ser posible enumerar cada resultado que pueda ocurrir, y debemos ser capaces de establecer las frecuencias relativas de estos resultados.

DEFINICIÓN CLÁSICA O LAPLACE.

PROBABILIDAD = NUMERO DE CASOS FAVORABLES NUMERO DE CASOS POSIBLES.

Es necesario hacer notar que la probabilidad se designa P. El punto más importante de la definición clásica de probabilidad es la suposición de una situación ideal en la que la

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estructura de la población de una situación ideal en la que la estructura de la población es conocida; es decir, se conoce el número total ( N ) de resultados.

EJEMPLO Nº 4

Se lanzan simultáneamente dos monedas al aire. Calcular la probabilidad que el resultado sea 2 caras.Solución

P = Probabilidad # Ω = Número de casos posibles. # CF = Número de casos favorables..

Ω = CC, CS, SC, SS CF = CC # CF 1P = -------- = -------- # Ω 4

EJEMPLO Nº 5

Sobre una mesa se tira un dado. Calcular la probabilidad de los siguientes sucesos.

a) El número obtenido sea 6.

b) El número obtenido sea menor que 4.

c) El número obtenido sea primo.

d) El número obtenido sea par.

Solución.

Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6 # CF 1a) CF = 6 P = --------- = ----- # Ω 6

# CF 3 1b) CF = 1, 2, 3 P = -------- = ----- = ------ # Ω 6 2

# CF 3 1 c) CF = 2, 3, 5 P = ----------- = ---------- = ------ # Ω 6 2

# CF 3 1d) CF = 2, 4, 6 P = ----------- = ---------- = -------- # Ω 6 2

PROBABILIDAD DE UN SUCESO.

A cada punto muestral ( resultado de un experimento ) se le asignara una ponderación que mide la posibilidad de su ocurrencia. Esta ponderación se denomina probabilidad del punto muestral.

Para asignar probabilidades a los diversos puntos maestrales , los estadísticos han convenido en dos reglas:

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1.- La probabilidad de cada punto muestral debe estar entre 0 y 1.

2.- La suma de las probabilidades de todos los puntos muestrales debe ser igual a 1.

La probabilidad de un suceso A, designada por P ( A ) , es la suma de las probabilidades de todos los puntos muestrales de A.

NOTA: Los casos favorables equivalen al suceso de interés en estudio.

EJEMPLO Nº 6

¿Cuál es la probabilidad de obtener dos caras al lanzar 3 monedas?

Solución

Ω = CCC, CCS, CSC, CSS, SCC, SCS, SSC, SSS

y la probabilidad de cada punto muestral es 1 / 8. Como el suceso “obtener exactamente dos caras” es el subconjunto A = CCS, CSC, SCC la probabilidad de A es:

P ( A ) = 1 / 8 + 1/ 8 + 1/ 8 = 3 / 8

Con base en las dos reglas de que la probabilidad de un punto muestral varía, y de que la suma de las probabilidades asignadas a todos los puntos maestrales en un espacio muestral de ser 1, entonces, obtenemos las siguientes conclusiones.

1.- P ( A ) = 1; ya que el espacio muestral es el suceso que contienen a todos los puntos maestrales.

2.- P ( Ǿ ) = 0 , ya que el conjunto vació es el suceso que no contiene ningún punto muestral.

3.- P ( À ) = 1 – P ( A ).

EJEMPLO Nº 7

¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar dos dados se obtenga en la suma de las pintas un número par?. ¿Cuál es la probabilidad que no se obtenga en la suma de las pintas un número par?

Solución

# Ω = 36

A = ( 1,1 ) – (1, 3 ) - (1, 5 ) - (2, 2 ) - ( 2, 4 ) - ( 2, 6 ) - ( 3, 1 ) - ( 3, 3 )

( 3, 5 ) – (4, 2 ) - ( 4, 4 ) - ( 4, 6 ) - ( 5, 1 ) - ( 5, 3 ) - ( 5, 5 ) - ( 6, 2 )

( 6, 4 ) - ( 6, 6 )

# A 18 1 P ( A ) = ---------- = --------- = -------- # Ω 36 2

y la probabilidad de que no salga un número par en la suma de las pintas.

P ( A ) = 1 - P ( À ) = 1 - ½ = ½

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REGLAS DE PROBABILIDAD.

La solución de muchos problemas sobre probabilidad requiere una cabal comprensión de algunas reglas fundamentales que rigen el manejo de ellos. En general, estas reglas nos permiten determinar la probabilidad de un suceso si se conocen las probabilidades de otros sucesos relacionados con el. Las más importantes de estas reglas son: Regla de la Adición y Multiplicación.

REGLA DE LA ADICIÓN.

Expresa que la probabilidad de que ocurra A o B o ambos es igual a la probabilidad de A más la probabilidad B menos la probabilidad de que ocurran ambos.

FORMULA.

P ( A U B ) = P ( A ) + P ( B ) - P ( A ∩ B )

EJEMPLO Nº 8

En una tómbola se colocan 15 bolitas numeradas correlativamente del 1 al 15. Calcular la probabilidad de que al sacar una de ellas se obtenga un número menor que 7 o un número impar.Solución.

Sean los sucesos A: resultado menor que 7. B: resultado número impar.

Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 # Ω = 15

A = 1, 2, 3, 4, 5, 6 P ( A ) = 6/15

B = 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 P ( B ) = 8/15

A ∩ B = 1, 3, 5 P( A ∩ B ) = 3/15

P ( A U B ) = P ( A ) + P ( B ) - P ( A ∩ B ) = 6/15 + 8/15 - 3/15 = 11/15

REGLA DE LA ADICIÓN PARA SUCESOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES.

Hemos dicho que A y B son mutuamente excluyentes si A ∩ B = Ǿ; en consecuencia.

P ( A ∩ B ) = P ( Ǿ ) = 0 Luego, si A y B son sucesos mutuamente excluyentes ( en el sentido que no pueden ocurrir ambos al mismo tiempo ), entonces la regla de la adición es:

FORMULA.

P ( A U B ) = P ( A ) + P ( B ).

EJEMPLO Nº 9Determinar la probabilidad de obtener 2 ó 6 al lanzar un dado.Solución

Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6 Sea A = 2 B = 6

P ( A U B ) = P ( A ) + P ( B ) = 1/6 + 1/6 = 1/3

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PROBABILIDAD CONDICIONAL

Definición: Si los sucesos A y B pertenecen al mismo espacio muestral Ω y si P ( B ) ≠ 0 , entonces, la probabilidad condicional de A respecto de B, designada por P( A / B ), se define como: P ( A ∩ B )P ( A / B ) = ------------------- P ( B ) ≠ 0 P ( B )

Probabilidad del suceso A condicionada por el suceso B ( Probabilidad de A sabiendo que ha ocurrido B.

P ( A ∩ B )P ( B / A ) = ------------------- P ( A ) ≠ 0 P ( A )

Probabilidad del suceso B condicionada por el suceso A ( probabilidad de B sabiendo que ha ocurrido A )

EJEMPLO Nº 10

Se lanza un dado, cuyo resultado es número impar, ¿Cuál es la probabilidad de que sea se mayor que 2?Solución

Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6

A : El resultado sea impar. A = 1, 3, 5

B : El resultado sea mayor que 2. B = 3, 4, 5, 6

A ∩ B = 3, 5 Conjunto de resultados impares mayores de 2.

P ( A ∩ B ) 2 / 6P ( B / A ) = ------------------- = -------------- = 2 / 6 * 6 / 3 = 2 / 3 P ( A ) 3 / 6

Este resultado queda comprobado por el hecho que de los tres resultados impares 1, 3, 5 , sólo dos son mayores que 2.

REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN.

En ocasiones, nos encontramos en la necesidad de determinar la probabilidad de ocurrencia simultánea de dos o más sucesos. Por ejemplo, queremos determinar la probabilidad de seleccionar en la ciudad una persona que posea título universitario, y que sea propietario de un automóvil. Se entiende que este problema se diferencia aquél en que la regla de la adición es aplicable. En vez de estar interesados en determinar la probabilidad de obtener al menos uno de los resultados posibles, queremos conocer la probabilidad de obtener los dos resultados simultáneamente. Para obtener este resultado, debemos aplicar la regla de la multiplicación.

P ( A ∩ B ) = P ( B / A ) * P ( A ).

En palabras, la regla de la multiplicación expresa: Dados dos sucesos A y B, la probabilidad de obtener ambos A y B conjuntamente, es el producto de multiplicar la probabilidad de obtener uno de los sucesos por la probabilidad condicional de obtener un suceso, dado que el otro suceso ha ocurrido.

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Ejemplo Nº 11

Se sacan dos cartas sin reposición de un naipe inglés de 52 cartas. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas sean reyes?

Solución

P ( A B ) =

P ( A ∩ B ) = P ( A / B ) * P ( B ).

P ( A B ) Se llama la probabilidad conjunta de A y B.

P(B) Se llama la probabilidad marginal de B y

P(A/B) es la probabilidad condicional de A dado B.

REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN PARA SUCESOS INDEPENDIENTES.

Es un caso especial en el que la ocurrencia de A no está en absoluto relacionada con la ocurrencia de B y viceversa, se dice que los sucesos son independientes.

Cuando los sucesos son independientes, la regla de multiplicación se simplifica a:

P ( A P(B)

Supongamos que se lanza una moneda al aire y tiramos un dado y queremos conocer la probabilidad de obtener “sello” en la moneda, y un número par en el dado. Como la

probabilidad de obtener un sello es , y la de obtener un número par en el dado es de

entonces: P ( A =

Ejercicios Propuestos

1.- Se lanzan simultáneamente dos monedas al aire. Calcular la probabilidad que el resultado

sea dos caras. Respuesta

2.- Se lanza un dado: Usted gana si el resultado es menor que 4 o divisible por 2. ¿Cuál es la

probabilidad de ganar? Respuesta

3.- ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número mayor que 5 o un número menor que 2 al

lanzar un dado? Respuesta

4.- En cierta comunidad, la probabilidad de que una familia tenga un computador es de 0,40 Y un teléfono es de 0’70 y que tengan ambos es de 0,35. ¿Cuál es la probabilidad de una familia tenga un computador o un teléfono o ambas cosas? Respuesta 0,75

5.- En el centro invernal de Portillo, la probabilidad de nevar el día primero de agosto es 0,55 y la probabilidad de nevar los dos primeros días de agosto es de 0,43. dado que nevó el día primero, ¿cuál es la probabilidad de nevar al día siguiente? Respuesta 0,78182

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6.- Se lanza un dado, cuyo resultado es un número impar, ¿cuál es la probabilidad de que sea

mayor que 2? Respuesta

7.- Una rifa organizada por un curso de un liceo está compuesta por 15 lista (de la A hasta M) y cada lista por 20 números. Si en una tómbola están las fichas correspondientes a las listas y en otra tómbola están las fichas correspondientes a los números. ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno que tiene el número 17 de la lista D salga premiado? Respuesta 0,0033

8.- Se lanza al aire una moneda y un dado. Calcular la probabilidad de que la moneda muestre

sello y el dado 5. Respuesta

9.- Se lanza repetidamente una moneda al aire. Calcular la probabilidad de que a la séptima y

a la novena tirada salga cara. Respuesta

10 .- Una tómbola contiene 7 bolitas rojas y 3 azules. Se extraen dos bolitas sucesivamente y sin restitución.

a.- ¿cuál es la probabilidad de que ambas bolitas sean rojas? Respuesta

b.- ¿Cuál es la probabilidad de que la primera sea azul y la segunda roja? Respuesta

c.- ¿Cuál es la probabilidad de que la primera sea roja y la segunda azul? Respuesta

d.- ¿Cuál es la probabilidad de que ambas sean azules? Respuesta

11.- En una encuesta a hogares se elige por sorteo a una familia y se le pregunta si tiene automóvil. Determinar el espacio muestral.

12.- Se lanzan al mismo tiempo dos dados. Calcular la probabilidad de que la suma de sus pintas sea mayor o igual a 15.