probabilidade e estatística - pessoal.ect.ufrn.brrbatista/files/pe/aulas/aula 4... ·...
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Cap 4-1
Probabilidade e
Estatiacutestica
Aula 4
Probabilidade Conceitos Baacutesicos
Leituras
Obrigatoacuteria Devore Capiacutetulo 2
Complementar Bertsekas e Tsitsiklis Capiacutetulo 1
Cap 4-2
Objetivos
Nesta aula aprenderemos
Experimentos aleatoacuterios
Espaccedilo Amostral e Eventos
Revisatildeo de conjuntos
Definiccedilotildees de Probabilidade
Regra da adiccedilatildeo
Revisatildeo de teacutecnicas de contagem
Cap 4-3
Introduccedilatildeo
Arcabouccedilo para estudos de diversas situaccedilotildees em que nos
deparamos com incerteza
Probabilidade formaliza a ideia da chance relativa de
ocorrecircncia dos diferentes resultados esperados para um
fenocircmeno incerto
Exemplos de aplicaccedilotildees
Tempo de espera em filas laquo existe uma probabilidade alta
de que o tempo de espera seja maior do que 5 minutosraquo
Vida uacutetil de equipamentos laquoeacute provaacutevel que a maacutequina dure
pelo menos 5 anosraquo
Resultado de um procedimento meacutedico laquoo procedimento
tem taxa de sucesso de 60raquo
Cap 4-4
Introduccedilatildeo
Um experimento aleatoacuterio eacute um experimento que
ao ser repetido nas mesmas condiccedilotildees pode fornecer
diferentes resultados
Exemplos
Jogar um dado e observar a face superior
Selecionar ao acaso um habitante de Natal e medir sua
altura em metros
Retirar um lote de peccedilas em um processo de produccedilatildeo e
determinar o nuacutemero de peccedilas defeituosas
Nuacutemero de chamadas telefocircnicas que chegam a uma central
num intervalo de tempo fixado
Definiccedilatildeo
Cap 4-5
Introduccedilatildeo
Objetivo da teoria de probabilidade eacute construir um
modelo matemaacutetico para representar eventos incertos
(experimentos aleatoacuterios) e a chance de ocorrecircncia
de possiacuteveis resultados
O modelo eacute construiacutedo em duas etapas
Etapa 1
Descriccedilatildeo do conjunto de
resultados possiacuteveis do experimento
aleatoacuterio
Etapa 2
Atribuiccedilatildeo de pesos que refletem a maior ou menor chance de
um resultado acontecer
Cap 4-6
Espaccedilo Amostral e Eventos
O conjunto de todos os resultados possiacuteveis de um
experimento aleatoacuterio eacute chamado espaccedilo amostral do
experimento O espaccedilo amostral eacute denotado por S
Requisitos
apenas um resultado possiacutevel para cada rodada do
experimento
nenhum resultado possiacutevel fique fora do espaccedilo
amostral
Definiccedilatildeo
Cap 4-7
Espaccedilo Amostral e Eventos
Exemplo 1 Lanccedilamento de um dado
S=123456 Enumeraacutevel e finito
Exemplo 2 Lanccedilamento de uma moeda ateacute que apareccedila a
primeira cara C cara K Coroa
S=C KC KKC KKKC hellip Enumeraacutevel e infinito
Exemplo 3 Lanccedilamento de dardo em alvo com raio 1 (ou
ponto em ciacuterculo de raio 1)
S=(xy) xsup2+ysup2lt=1 Natildeo-enumeraacutevel
Cap 4-8
Espaccedilo Amostral e Eventos
Um evento eacute um subconjunto do espaccedilo amostral S de
um experimento aleatoacuterio Os subconjuntos de S satildeo
representados pelas letras maiuacutesculas A B
O evento eacute denominado simples se consistir num uacutenico
resultado do espaccedilo amostral
O evento eacute denominado composto se consistir em mais
de um resultado do espaccedilo amostral
O conjunto vazio eacute denotado por 120601
Definiccedilatildeo
Cap 4-9
Espaccedilo Amostral e Eventos
Exemplo 1 Lanccedilamento de um dado S=123456
A = 6 B=1 eventos simples
C =faces pares D=faces menor ou igual a 3
evento composto
Exemplo 2 Uma rede de computadores estaacute em operaccedilatildeo
contiacutenua mas falhas podem acontecer a qualquer momento
O experimento conta o ndeg de falhas em um dia tal que
S=0 1 2 3 hellip
A = 0 falhas em um dia evento simples
B=menos de 2 falhas em um dia evento composto
Cap 4-10
Eventos e Espaccedilo Amostral
Exerciacutecio 1 Considere o experimento que consiste em lanccedilar
trecircs moedas e observar a face superior delas
a) Determine o espaccedilo amostral
b) Decirc um exemplo de evento composto
Cap 4-11
Eventos e Espaccedilo Amostral
Exerciacutecio 1 Considere o experimento que consiste em lanccedilar
trecircs moedas e observar a face superior delas
a) Determine o espaccedilo amostral
b) Decirc um exemplo de evento composto
Soluccedilatildeo
a) S = CCC CCK CKC KCC CKK KCK KKC KKK
b) Ex A = resultado com 2 caras (C) = CCK CKC KCC
Ex B = resultado com mais coroas do que caras
=CKK KCK KKC KKK
Cap 4-12
Eventos e Conjuntos
Eventos e Conjuntos
Uniatildeo Interseccedilatildeo Complemento Mutuamente Excludentes (disjuntos)
Coletivamente exaustivos
Particcedilatildeo
Eventos satildeo subconjuntos do espaccedilo amostral Vamos revisar algumas operaccedilotildees
de conjuntos
Cap 4-13
Eventos e Conjuntos
A uniatildeo de dois conjuntos (eventos) A e B eacute o conjunto (evento)
que consiste de todos os resultados que estatildeo no conjunto A ou no
conjunto B ou em ambos
119860 cup 119861 = 119909 isin 119878 119909 isin 119860 119900119906 119909 isin 119861
A interseccedilatildeo de dois conjuntos (eventos) A e B eacute o conjunto que
consiste de todos os resultados que estatildeo simultaneamente em A e
em B
119860 cap 119861 = 119909 isin 119878 119909 isin 119860 119890 119909 isin 119861
O complemento de um conjunto (evento) A representado por Ac
(ou Arsquo) eacute o conjunto de todos os resultados que natildeo estatildeo
contidos em A
119860119888 = 119909 isin 119878 119909 notin 119860
Definiccedilatildeo
Definiccedilatildeo
Definiccedilatildeo
Cap 4-14
Eventos e Conjuntos
Eventos mutuamente excludentes satildeo eventos que natildeo podem acontecer simultaneamente Tambeacutem dizemos eventos disjuntos
Exemplo Experimento - uma carta eacute selecionada do baralho
A = rainha de ouros B = rainha de copas
Os eventos A e B satildeo mutuamente excludentes
C = rainha D = ouros
C e D natildeo satildeo mutuamente exlcudentes
Exemplo Experimento ndash um feto eacute gerado
Y = eacute menino X = eacute menina
Os eventos X e Y satildeo mutuamente excludentes se natildeo considerarmos a possibilidade de hermafrodita
Definiccedilatildeo
Cap 4-15
Eventos e Conjuntos
Uma particcedilatildeo de um espaccedilo amostral consiste de um conjunto de
eventos tais que
Os eventos satildeo mutuamente excludentes (apenas um dos
eventos pode ocorrer)
Os eventos satildeo coletivamente exaustivos i e a uniatildeo dos
eventos cobre todo o espaccedilo amostral
Exemplo Experimento ndash uma carta eacute selecionada do baralho
Sejam A = azes B = cartas pretas C = ouros e D =copas
Os eventos A B C e D satildeo coletivamente exaustivos (mas natildeo
satildeo mutuamente excludentes)
Os eventos B C e D formam uma particcedilatildeo
Definiccedilatildeo
Cap 4-16
Visualizaccedilatildeo de conjuntos
Diagramas de Venn
S
A
B
S S
S S S
A A
A B
B
B C
C
A
B
A
B
a) AcapB b)AUB c)A capBc d)Ac e)AB e C satildeo disjuntos f)AB e C satildeo particcedilatildeo de S
Cap 4-17
Eventos e Conjuntos
Exerciacutecio Assuma que S = 0 1 2 3 4 5 6 7 A=0 1 2
34 B=3 4 5 6 e C=1 3 5 Determinar
119860 cup 119861
119860 cap 119861
119860 cup 119862
119860 cap 119862
119862 cup 119861
119862 cap 119861
119860119888
119861119888
119862119888
Cap 4-18
Propriedades de Conjuntos
Operaccedilotildees entre conjuntos tecircm uma seacuterie de propriedades
Exemplos
119860 cup 119861 = 119861 cup 119860 e 119860 cap 119861 = 119861 cap 119860
119860 cap 119861 cup 119862 = (119860 cap 119861) cup (119860 cap 119862)
119860119888 119888 = 119860
119860 cup 119878 = 119878
119860 cap 119860119888 = empty
119860 cap 119878 = 119860
Cap 4-19
Propriedades de Conjuntos
Leis de Morgan
119860 cup 119861 119888 = 119860119888 cap 119861119888 119860 cap 119861 119888 = 119860119888 cup 119861119888
Cap 4-20
Visualizando Eventos
Existem diversas formas de representar a ocorrecircncia de eventos
Rep
rese
nta
ccedilotildees
de
Even
tos Diagrama de Venn
Tabela de contingecircncia ou tabela cruzada
Diagrama de aacutervore
Matriz
Cap 4-21
Visualizando Eventos
Tabelas de contigecircncia
Diagrama de aacutervore
Aacutes Natildeo
Aacutes
Total
Preta 2 24 26
Vermelha 2 24 26
Total 4 48 52
Baralho de
52 Cartas Espaccedilo
Amostral
2
24
2
24
A definiccedilatildeo da ordem dos ramos depende do problema
Cap 4-22
Visualizando Eventos
Lanccedilamento de 2 dados de quatro lados
Espaccedilo Amostral para o
lanccedilamento de 2 dados
2deg dado
1deg dado
Diagrama de Aacutervore para
o lanccedilamento de 2 dados
Raiz
Folhas
Representaccedilatildeo por Matriz Representaccedilatildeo por Aacutervore
1deg dado
2deg dado
Modelo Probabiliacutestico
Cap 4-23
Experimento
Evento B
Evento A
Espaccedilo Amostral
Eventos
Os principais ingredientes de um modelo probabiliacutestico
Probabilidade
Etapa 1 Etapa 2
Cap 4-24
Probabilidade
Probabilidade atribuir chance (peso relativo) a
eventos possiacuteveis de um experimento aleatoacuterio
Diferentes conceitos
Definiccedilatildeo claacutessica de probabilidade
Definiccedilatildeo frequentista ou Definiccedilatildeo estatiacutestica de
probabilidade ou Definiccedilatildeo Claacutessica empiacuterica
Axiomas de Kolmogorov
Cap 4-25
Probabilidade Claacutessica
A definiccedilatildeo claacutessica de probabilidade se refere a subconjuntos
unitaacuterios e equiprovaacuteveis isto eacute conjuntos de resultados que tecircm a
mesma chance
CASO 1 No caso enumeraacutevel e finito em que a chance de sorteio de
cada resultado do espaccedilo amostral eacute a mesma a probabilidade de um
evento A eacute dada por
119875 119860 =119899ordm 119889119890 119907119890119911119890119904 119902119906119890 119860 119901119900119889119890 119900119888119900119903119903119890119903 119890119898 119878
119899ordm 119905119900119905119886119897 119889119890 119903119890119904119906119897119905119886119889119900119904 119901119900119904119904iacute119907119890119894119904 119890119898 119878
Definiccedilatildeo
Use Teacutecnicas de anaacutelise combinatoacuteria
e contagem para determinar o ndeg
total e o ndeg de vezes que A pode sair
Cap 4-26
Probabilidade Claacutessica
CASO 2 (probabilidade geomeacutetrica) Se 119878 eacute natildeo-
enumeraacutevel e equiprovaacutevel (mesma chance para cada
resultado) o conceito se aplica ao comprimento de
intervalos medidas de aacutereas hellip
Exemplo 119878 = [010] tal que cada valor pode sair
com a mesma chance dos demais Seja 119860 o
subconjunto [12] cup [68] Entatildeo
119875 119860 =119862119900119898119901119903119894119898119890119899119905119900 119889119890 119860
119862119900119898119901119903119894119898119890119899119905119900 119905119900119905119886119897 119889119890 119878=1+2
10= 03
Definiccedilatildeo
Probabilidade Claacutessica
Exerciacutecio Considere o experimento que consiste no
lanccedilamento de 2 dados balanceados e registram-se as faces
superiores
Calcular a probabilidade de
a) obter soma das faces superiores = 7
b) obter soma das faces superiores maior do que 10
c) que resultado do primeiro dado seja superior ao
resultado do segundo
Cap 4-27
Probabilidade Claacutessica
Exerciacutecio Considere o lanccedilamento de 2 dados balanceados
Total de resultados 36
Calcular a probabilidade de
a) Obter soma 7
2 resultados possiacuteveis (34) (43) (25) (52) (16) (61)
P(Soma=7)=636
b) Obter soma maior do que 10
3 resultados possiacuteveis (65) (56) e (66)
P(Somagt10) = 336
Cap 4-28
Probabilidade Claacutessica
Exerciacutecio Considere o lanccedilamento de 2 dados balanceados
Total de resultados 36
Calcular a probabilidade de
c) Que resultado do primeiro dado seja superior ao
resultado do segundo
Resultados possiacuteveis 15
P(1degdadogt2degdado)=15 36
Cap 4-29
1 2 3 4 5 6 1
2
3
4
5
6
1deg Dado
2deg
Da
do
Cap 4-30
Probabilidade Claacutessica
Em termos praacuteticos temos que determinar
O nuacutemero total de resultados possiacuteveis
O nuacutemero de vezes que podemos ganhar (A)
CUIDADO soacute pode ser aplicado quando todos os resultados do
espaccedilo amostral tem a mesma chance de ocorrer
Exemplos dado moeda sexo dos filhos
Contra-exemplo peso de pessoas (entre 40 e 120)
chance de (40 a 50 kg) lt chance (60 a 70 kg)
Intervalos com mesmo comprimento pela probabilidade
geomeacutetrica devem ter a mesma probabilidade Natildeo faz sentido
para o peso de pessoas
Cap 4-31
Probabilidade Frequentista
A probabilidade frequentista considera o limite de frequecircncias
relativas como o valor da probabilidade
Seja nA o nuacutemero de ocorrecircncia de A em n repeticcedilotildees independentes
do experimento Assim
119875 119860 = lim119899rarrinfin
119899119860119899
Assim definimos a probabilidade como a frequecircncia relativa
observada ao repertirmos o experimento um ndeg muito grande de vezes
Exemplo caixa com 100 moedas e conte o nuacutemero de caras ou ver
applet laquo probability raquo do Moore
Definiccedilatildeo
Cap 4-32
Probabilidade Frequentista
A probabilidade frequentista considera o limite de frequecircncias
relativas como o valor da probabilidade
Na praacutetica
repita o experimento aleatoacuterio um nuacutemero grande de vezes 119899
Conte o nordm de vezes que o evento de interesse 119860 aconteceu 119899119860
Entatildeo a probabilidade de o evento acontecer eacute calculada como
119875 119860 =119899119860119899
Eacute soacute isso
Cap 4-33
Probabilidade Frequentista
Cursando
estatiacutestica
Natildeo-
cursando
estatiacutestica
Total
Masculino 84 145 229
Feminino 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Encontre a probabilidade de selecionar um aluno de
estatiacutestica do sexo masculino a partir de uma populaccedilatildeo descrita
na tabela abaixo Considere que 439 eacute grande o suficiente para
aplicar a probabilidade frequentista
Neste caso o experimento consiste em selecionar uma pessoa
da populaccedilatildeo e em seguida observarmos o sexo e se cursa
estatiacutestica O experimento foi repetido 439 vezes
Cap 4-34
Probabilidade Frequentista
Cursando
estatiacutestica
Natildeo-
cursando
estatiacutestica
Total
Masculino 84 145 229
Feminino 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Encontre a probabilidade de selecionar um aluno de
estatiacutestica do sexo masculino a partir de uma populaccedilatildeo descrita
na tabela abaixo
119875 119867119900119898119890119898 cap 119864119904119905119886119905iacute119904119905119894119888119886 =119899ordm 119889119890 119867119900119898119890119898 cap 119864119904119905119886119905iacute119905119894119888119886
119899ordm 119889119890 119886119897119906119899119900119904=84
439= 0191
Cap 4-35
Axiomas de Probabilidade de
Kolmogorov
Axiomas de Kolmogorov
definiccedilatildeo formal de probabilidade
incluem as definiccedilotildees acima como casos particulares
Qualquer funccedilatildeo P() dos subconjuntos do espaccedilo amostral (eventos)
no intervalo [01] eacute uma probabilidade se satisfaz as condiccedilotildees
1 (Natildeo-negatividade)119875(119860 ge 0) forall evento 119860
2 (Aditividade) 119875 cup119895 119864119895 = 119875(119864119895) 119895 forall 119864119895 eventos disjuntos
3 (Normalizaccedilatildeo) 119875 119878 = 1
Definiccedilatildeo
Cap 4-36
Propriedades de uma
Probabilidade
Como consequecircncia dos Axiomas de Kolmogorov mostre que uma
funccedilatildeo probabilidade satisfaz as seguintes propriedades
1 119875 119864119888 = 1 minus 119875 119864
2 Se 1198641 sube 1198642 entatildeo 119875 1198641 le 119875 1198642
3 119875 120601 = 0
Ainda partindo dos axiomas de Kolmogorov podemos
provar a Regra geral da adiccedilatildeo
Regra Geral da Adiccedilatildeo
Cap 4-37
119875 119860 cup 119861 = 119875 119860 + 119875 119861 minus 119875(119860 cap 119861)
Regra Geral da Adiccedilatildeo
Regra geral da adiccedilatildeo
No caso particular em que os eventos satildeo
mutuamente excludentes continua valendo o axioma
de aditividade pois 119875 119860 cap 119861 = 0 daiacute
119875 119860 cup 119861 = 119875 119860 + 119875(119861)
Cap 4-38
119875 119860 cup 119861 = 119875 119860 + 119875 119861 minus 119875(119860 cap 119861)
Cap 4-39
Exemplo da Regra Geral de
Adiccedilatildeo
Cursando
estatiacutestica
Natildeo cursando
estatiacutestica
Total
Homem 84 145 229
Mulher 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Qual a probabilidade de selecionamos
aleatoriamente um homem ou um aluno(a) da estatiacutestica de
uma populaccedilatildeo descrita pela tabela abaixo
Cap 4-40
Exemplo da Regra Geral de
Adiccedilatildeo
Cursando
estatiacutestica
Natildeo cursando
estatiacutestica
Total
Homem 84 145 229
Mulher 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Qual a probabilidade de selecionamos
aleatoriamente um homem ou um aluno(a) da estatiacutestica de
uma populaccedilatildeo descrita pela tabela abaixo
119875 119867119900119898119890119898 cup 119864119904119905119886119905iacute119905119894119888119886 =
119875 119867119900119898119890119898 + 119875 119864119904119905119886119905iacute119904119905119894119888119886 minus 119875 119867119900119898119890119898 cap 119864119904119905119886119905119894119904119905119894119888119886 =229
439+160
439minus
84
439=305
439
Cap 4-41
Resumo de Probabilidade
Probabilidade eacute uma medida numeacuterica que informa a chance de um resultado ocorrer
A probabilidade de um evento deve estar entre 0 e 1 incluindo os extremos
0 le 119875(119860) le 1 para qquer evento 119860
A soma da probabilidade de uma particcedilatildeo do espaccedilo amostral eacute igual a 1
119875(119860) + 119875(119861) + 119875(119862) = 1
em que A B e C satildeo eventos mutuamente excludentes e coletivamente exaustivos (particcedilatildeo de 119878)
Certo
Impossiacutevel
05
1
0
Exemplo Probabilidade
Cap 4-42
Vocabulaacuterio Geral
Pelo menos 1 dos eventos A B ou ambos =
119860 cup 119861
Nenhum dos eventos nem A nem B = (119860 cup 119861)119888
Apenas 1 (ex Apenas A) possui A e natildeo possui B
= 119860 cap (119861119888)
Cap 4-43
Exerciacutecio Probabilidade
Selecione aleatoriamente um estudante em uma determinada
universidade e represente por A o evento dele possuir um cartatildeo de
creacutedito Visa e por B o evento anaacutelogo para um Mastercard Suponha que
P(Visa) = 05 P(Mastercard) = 04 e P (Ambos os cartotildees) = 025
1 Calcule a probabilidade de que um indiviacuteduo selecionado tenha
pelo menos um dos dois tipos de cartatildeo
2 Qual a probabilidade de o indiviacuteduo selecionado natildeo ter nenhum
dos tipos de cartatildeo
3 Descreva em termos de A e B o evento em que o estudante
selecionado possui um cartatildeo Visa mas natildeo um MasterCard
4 Calcule a probabilidade desse evento
Teacutecnicas de Contagem
Princiacutepio de contagem (divida e conquiste) o processo
eacute quebrado em vaacuterias etapas com o uso do diagrama de
aacutervores
Cap 4-44
n2
opccedilotildees
Folhas
n1
opccedilotildees
n3
opccedilotildees
n4
opccedilotildees
Estaacutegio
1
Estaacutegio
2
Estaacutegio
3
Estaacutegio
4
Nuacutemero total de folhas eacute
n1n2n3hellipni
n2
opccedilotildees
Desde que um mesmo
estaacutegio tenha o mesmo nordm
de opccedilotildees em cada ponto
da aacutervore
Teacutecnicas de Contagem
Princiacutepio de contagem
Considere um processo que contem r estaacutegios Suponha que
Existem n1 resultados possiacuteveis no primeiro estaacutegio
Para cada resultado possiacutevel do estaacutegio 1 existem n2
resultados possiacuteveis no estaacutegio 2
De forma mais geral para cada um dos resultados ni-1
primeiros estaacutegios existem ni resultados possiacuteveis no i-
eacutesimo estaacutegio
Entatildeo o Nuacutemero total de resultados possiacuteveis no processo de r
estaacutegios eacute de n1n2n3hellipnr
Cap 4-45
Teorema
Cap 4-46
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Um nuacutemero telefocircnico eacute composto de 8
diacutegitos mas o primeiro diacutegito apenas assume 3 valores
possiacuteveis 3 8 9 Quantos nuacutemeros distintos existem
Cap 4-47
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Um nuacutemero telefocircnico eacute composto de 8
diacutegitos mas o primeiro diacutegito apenas assume 3 valores
3 8 9 Quantos nuacutemeros distintos existem
Temos um total de 8 estaacutegios
No primeiro estaacutegio apenas 3 opccedilotildees
Nos demais estaacutegios 10 opccedilotildees
Total 3 107
Cap 4-48
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Quantos subconjutos podemos fazer a
partir de um conjunto com n elementos s1 s2 s3 hellip
sn
Cap 4-49
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Quantos subconjutos podemos fazer a
partir de um conjunto com n elementos s1 s2 s3 hellip
sn
Processo de n estaacutegios em cada estaacutegio decidimos se
colocamos ou natildeo o elemento no subconjunto
nuacutemero de opccedilotildees para o primeiro estaacutegio 2
Total 222hellip2 =2n
Cap 4-50
Teacutecnicas de Contagem
Problema Selecionar 119948 objetos de um total de 119951
objetos 119899 ge 119896 sem reposiccedilatildeo
Se a ordem eacute importante Arranjo
ex de palavra as eacute diferente de sa
Se a ordem natildeo eacute importante Combinaccedilatildeo
ex da loteria escolhemos um conjunto de 6 nordm a
ordem em que eles satildeo sorteados natildeo faz diferenccedila
Cap 4-51
Teacutecnicas de Contagem
Ao contraacuterio da permutaccedilatildeo na combinaccedilatildeo a ordem dos
elementos natildeo eacute importante
Exemplo
Permutaccedilatildeo de 2 elementos das letras A B C D
AB AC AD BA BC BD CA CB CD DA DB DC
Combinaccedilatildeo de 2 elementos das letras A B C D
AB AC AD BC BD CD
jaacute que a ordem natildeo eacute importante BA eacute o mesmo que
AB
Cap 4-52
Teacutecnicas de Contagem
Arranjo de k objetos
Queremos selecionar k objetos de um conjunto de n
objetos sem reposiccedilatildeo
Para o 1deg objeto n possibilidades
Para o 2deg objeto n-1 possibilidades
hellip
Para o uacuteltimo (kdeg objeto) n - (k-1) possibilidades
Total de permutaccedilotildees 119951 lowast (119951 minus 120783) lowast ⋯lowast (119951 minus 119948 + 120783)
Ou usando fatorial
Teorema
119899
119899 minus 119896
Cap 4-53
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Qual o total de palavras que podemos
construir com exatamente 4 letras distintas (natildeo precisa
ter significado nem seguir regras ortograacuteficas)
Cap 4-54
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Qual o total de palavras que podemos
construir com exatamente 4 letras distintas (natildeo
precisa ter significado nem seguir regras
ortograacuteficas)
Soluccedilatildeo
Selecionar 4 letras de um total de 26 sem repetir A
ordem eacute importante pois estamos formando
palavras (permutaccedilatildeo)
Total de arranjos de 4 elementos 26252423
Cap 4-55
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Vocecirc tem 10 CDs de muacutesica claacutessica 20
CDs de rock e 15 CDs de forroacute De quantas formas eacute
possiacutevel arranjar os seus CDs tal que os CDs do mesmo
tipo sempre fiquem juntos
Se os CDs forem colocados na prateleira de forma
aleatoacuteria qual eacute a probabilidade de os CDs do mesmo
estilo musical ficarem juntos
Cap 4-56
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Soluccedilatildeo princiacutepio da Contagem + Arranjos
Podemos quebrar o processo em 2 estaacutegios
1) Escolher a ordem dos tipos de Cds 321
2) Escolher a sequecircncia dos Cds para cada tipo
Para Cds de muacutesica claacutessica 10
Para Cds de rock 20
Para Cds de forroacute 15
Total 3102015
Cap 4-57
Teacutecnicas de Contagem
Combinaccedilatildeo de k elementos em n
Queremos contar o nuacutemero de subconjuntos de k elementos a
partir de um conjunto de n elementos sem reposiccedilatildeo
A ordem dos elementos natildeo eacute importante
Dizemos combinaccedilatildeo de n elementos k a k
Ex Formar comitecirc com 3 representantes de turma de um total de
131 alunos
Se todos tem mesmo poder a ordem de escolha natildeo eacute
importante combinaccedilatildeo
Se teremos presidente vice-presidente e secretaacuterio entatildeo a
ordem de escolha eacute importante permutaccedilatildeo
Teorema 119873119888119900119898119887119894119899119886ccedilotilde119890119904 =119899119896=
119899
119899 minus 119896 119896
Cap 4-58
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Qual o nuacutemero de combinaccedilotildees de 2
elementos distintos que podemos construir com as letras
A B C D
Cap 4-59
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Qual o nuacutemero de combinaccedilotildees de 2
elementos das letras A B C D
Soluccedilatildeo
Conferindo
AB AC AD BC BD CD
62)24(
4
2
4
scombinaccedilotildeeN
Cap 4-60
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Um armazeacutem da universidade recebeu 25
impressoras das quais 10 satildeo a laser e 15 a jato de tinta
Se 6 das 25 forem selecionadas aleatoriamente para para
serem verificadas por um teacutecnico qual seraacute a
probabilidade de exatamente 3 delas serem a laser
Cap 4-61
Teacutecnicas de Contagem
Soluccedilatildeo Seja 1198633= 3 das 6 selecionadas satildeo a laser Como a seleccedilatildeo das impressoras
dentre as 25 eacute aleatoacuteria cada uma delas tem a mesma chance de ser sorteada
Probabilidade claacutessica implica 119875 1198633 = 119899(1198633)119899
Como a ordem da seleccedilatildeo das impressoras natildeo importa 119899 =256
Para determinar 1198633 vamos dividir o processo em duas etapas 1) selecionamos 3 das 15
impressoras a tinta e 2) selecionamos 3 das 6 impressoras a laser Para cada elemento da
primeira etapa temos exatamente o mesmo nordm de possibilidades da segunda etapa Pelo
princiacutepio da contagem 119899 1198633 = 1198991 1198633 lowast 1198992 1198633
Como a ordem em que as impressoras satildeo selecionadas em cada etapa natildeo tem
importacircncia 1198991 1198633 =153
e 1198992 1198633 =63
Entatildeo
119875 1198633 =
153
63
256
= 03083
Desafio P(ao menos 3 das 6 selecionadas sejam a laser)
Cap 4-62
Resumo Nesta aula vimos
Como representar um modelo de probabilidade para uma situaccedilatildeo
incerta (experimento aleatoacuterio)
Etapa 1 definiccedilatildeo do espaccedilo amostral
Revisatildeo de conjuntos
Etapa 2 especificaccedilatildeo de uma funccedilatildeo probabilidade que atribui pesos
para a chance relativa de cada resultado do espaccedilo amostral
3 conceitos de probabilidade
Probabilidade claacutessica
Probabilidade Frequentista
Axiomas de Kolmogorov
Revisatildeo de teacutecnicas de contagem para podermos calcular
probabilidades
Na proacutexima aula veremos como incorporar informaccedilotildees novas ao
caacutelculo de probabilidade =gt Probabilidade condicional
Cap 4-2
Objetivos
Nesta aula aprenderemos
Experimentos aleatoacuterios
Espaccedilo Amostral e Eventos
Revisatildeo de conjuntos
Definiccedilotildees de Probabilidade
Regra da adiccedilatildeo
Revisatildeo de teacutecnicas de contagem
Cap 4-3
Introduccedilatildeo
Arcabouccedilo para estudos de diversas situaccedilotildees em que nos
deparamos com incerteza
Probabilidade formaliza a ideia da chance relativa de
ocorrecircncia dos diferentes resultados esperados para um
fenocircmeno incerto
Exemplos de aplicaccedilotildees
Tempo de espera em filas laquo existe uma probabilidade alta
de que o tempo de espera seja maior do que 5 minutosraquo
Vida uacutetil de equipamentos laquoeacute provaacutevel que a maacutequina dure
pelo menos 5 anosraquo
Resultado de um procedimento meacutedico laquoo procedimento
tem taxa de sucesso de 60raquo
Cap 4-4
Introduccedilatildeo
Um experimento aleatoacuterio eacute um experimento que
ao ser repetido nas mesmas condiccedilotildees pode fornecer
diferentes resultados
Exemplos
Jogar um dado e observar a face superior
Selecionar ao acaso um habitante de Natal e medir sua
altura em metros
Retirar um lote de peccedilas em um processo de produccedilatildeo e
determinar o nuacutemero de peccedilas defeituosas
Nuacutemero de chamadas telefocircnicas que chegam a uma central
num intervalo de tempo fixado
Definiccedilatildeo
Cap 4-5
Introduccedilatildeo
Objetivo da teoria de probabilidade eacute construir um
modelo matemaacutetico para representar eventos incertos
(experimentos aleatoacuterios) e a chance de ocorrecircncia
de possiacuteveis resultados
O modelo eacute construiacutedo em duas etapas
Etapa 1
Descriccedilatildeo do conjunto de
resultados possiacuteveis do experimento
aleatoacuterio
Etapa 2
Atribuiccedilatildeo de pesos que refletem a maior ou menor chance de
um resultado acontecer
Cap 4-6
Espaccedilo Amostral e Eventos
O conjunto de todos os resultados possiacuteveis de um
experimento aleatoacuterio eacute chamado espaccedilo amostral do
experimento O espaccedilo amostral eacute denotado por S
Requisitos
apenas um resultado possiacutevel para cada rodada do
experimento
nenhum resultado possiacutevel fique fora do espaccedilo
amostral
Definiccedilatildeo
Cap 4-7
Espaccedilo Amostral e Eventos
Exemplo 1 Lanccedilamento de um dado
S=123456 Enumeraacutevel e finito
Exemplo 2 Lanccedilamento de uma moeda ateacute que apareccedila a
primeira cara C cara K Coroa
S=C KC KKC KKKC hellip Enumeraacutevel e infinito
Exemplo 3 Lanccedilamento de dardo em alvo com raio 1 (ou
ponto em ciacuterculo de raio 1)
S=(xy) xsup2+ysup2lt=1 Natildeo-enumeraacutevel
Cap 4-8
Espaccedilo Amostral e Eventos
Um evento eacute um subconjunto do espaccedilo amostral S de
um experimento aleatoacuterio Os subconjuntos de S satildeo
representados pelas letras maiuacutesculas A B
O evento eacute denominado simples se consistir num uacutenico
resultado do espaccedilo amostral
O evento eacute denominado composto se consistir em mais
de um resultado do espaccedilo amostral
O conjunto vazio eacute denotado por 120601
Definiccedilatildeo
Cap 4-9
Espaccedilo Amostral e Eventos
Exemplo 1 Lanccedilamento de um dado S=123456
A = 6 B=1 eventos simples
C =faces pares D=faces menor ou igual a 3
evento composto
Exemplo 2 Uma rede de computadores estaacute em operaccedilatildeo
contiacutenua mas falhas podem acontecer a qualquer momento
O experimento conta o ndeg de falhas em um dia tal que
S=0 1 2 3 hellip
A = 0 falhas em um dia evento simples
B=menos de 2 falhas em um dia evento composto
Cap 4-10
Eventos e Espaccedilo Amostral
Exerciacutecio 1 Considere o experimento que consiste em lanccedilar
trecircs moedas e observar a face superior delas
a) Determine o espaccedilo amostral
b) Decirc um exemplo de evento composto
Cap 4-11
Eventos e Espaccedilo Amostral
Exerciacutecio 1 Considere o experimento que consiste em lanccedilar
trecircs moedas e observar a face superior delas
a) Determine o espaccedilo amostral
b) Decirc um exemplo de evento composto
Soluccedilatildeo
a) S = CCC CCK CKC KCC CKK KCK KKC KKK
b) Ex A = resultado com 2 caras (C) = CCK CKC KCC
Ex B = resultado com mais coroas do que caras
=CKK KCK KKC KKK
Cap 4-12
Eventos e Conjuntos
Eventos e Conjuntos
Uniatildeo Interseccedilatildeo Complemento Mutuamente Excludentes (disjuntos)
Coletivamente exaustivos
Particcedilatildeo
Eventos satildeo subconjuntos do espaccedilo amostral Vamos revisar algumas operaccedilotildees
de conjuntos
Cap 4-13
Eventos e Conjuntos
A uniatildeo de dois conjuntos (eventos) A e B eacute o conjunto (evento)
que consiste de todos os resultados que estatildeo no conjunto A ou no
conjunto B ou em ambos
119860 cup 119861 = 119909 isin 119878 119909 isin 119860 119900119906 119909 isin 119861
A interseccedilatildeo de dois conjuntos (eventos) A e B eacute o conjunto que
consiste de todos os resultados que estatildeo simultaneamente em A e
em B
119860 cap 119861 = 119909 isin 119878 119909 isin 119860 119890 119909 isin 119861
O complemento de um conjunto (evento) A representado por Ac
(ou Arsquo) eacute o conjunto de todos os resultados que natildeo estatildeo
contidos em A
119860119888 = 119909 isin 119878 119909 notin 119860
Definiccedilatildeo
Definiccedilatildeo
Definiccedilatildeo
Cap 4-14
Eventos e Conjuntos
Eventos mutuamente excludentes satildeo eventos que natildeo podem acontecer simultaneamente Tambeacutem dizemos eventos disjuntos
Exemplo Experimento - uma carta eacute selecionada do baralho
A = rainha de ouros B = rainha de copas
Os eventos A e B satildeo mutuamente excludentes
C = rainha D = ouros
C e D natildeo satildeo mutuamente exlcudentes
Exemplo Experimento ndash um feto eacute gerado
Y = eacute menino X = eacute menina
Os eventos X e Y satildeo mutuamente excludentes se natildeo considerarmos a possibilidade de hermafrodita
Definiccedilatildeo
Cap 4-15
Eventos e Conjuntos
Uma particcedilatildeo de um espaccedilo amostral consiste de um conjunto de
eventos tais que
Os eventos satildeo mutuamente excludentes (apenas um dos
eventos pode ocorrer)
Os eventos satildeo coletivamente exaustivos i e a uniatildeo dos
eventos cobre todo o espaccedilo amostral
Exemplo Experimento ndash uma carta eacute selecionada do baralho
Sejam A = azes B = cartas pretas C = ouros e D =copas
Os eventos A B C e D satildeo coletivamente exaustivos (mas natildeo
satildeo mutuamente excludentes)
Os eventos B C e D formam uma particcedilatildeo
Definiccedilatildeo
Cap 4-16
Visualizaccedilatildeo de conjuntos
Diagramas de Venn
S
A
B
S S
S S S
A A
A B
B
B C
C
A
B
A
B
a) AcapB b)AUB c)A capBc d)Ac e)AB e C satildeo disjuntos f)AB e C satildeo particcedilatildeo de S
Cap 4-17
Eventos e Conjuntos
Exerciacutecio Assuma que S = 0 1 2 3 4 5 6 7 A=0 1 2
34 B=3 4 5 6 e C=1 3 5 Determinar
119860 cup 119861
119860 cap 119861
119860 cup 119862
119860 cap 119862
119862 cup 119861
119862 cap 119861
119860119888
119861119888
119862119888
Cap 4-18
Propriedades de Conjuntos
Operaccedilotildees entre conjuntos tecircm uma seacuterie de propriedades
Exemplos
119860 cup 119861 = 119861 cup 119860 e 119860 cap 119861 = 119861 cap 119860
119860 cap 119861 cup 119862 = (119860 cap 119861) cup (119860 cap 119862)
119860119888 119888 = 119860
119860 cup 119878 = 119878
119860 cap 119860119888 = empty
119860 cap 119878 = 119860
Cap 4-19
Propriedades de Conjuntos
Leis de Morgan
119860 cup 119861 119888 = 119860119888 cap 119861119888 119860 cap 119861 119888 = 119860119888 cup 119861119888
Cap 4-20
Visualizando Eventos
Existem diversas formas de representar a ocorrecircncia de eventos
Rep
rese
nta
ccedilotildees
de
Even
tos Diagrama de Venn
Tabela de contingecircncia ou tabela cruzada
Diagrama de aacutervore
Matriz
Cap 4-21
Visualizando Eventos
Tabelas de contigecircncia
Diagrama de aacutervore
Aacutes Natildeo
Aacutes
Total
Preta 2 24 26
Vermelha 2 24 26
Total 4 48 52
Baralho de
52 Cartas Espaccedilo
Amostral
2
24
2
24
A definiccedilatildeo da ordem dos ramos depende do problema
Cap 4-22
Visualizando Eventos
Lanccedilamento de 2 dados de quatro lados
Espaccedilo Amostral para o
lanccedilamento de 2 dados
2deg dado
1deg dado
Diagrama de Aacutervore para
o lanccedilamento de 2 dados
Raiz
Folhas
Representaccedilatildeo por Matriz Representaccedilatildeo por Aacutervore
1deg dado
2deg dado
Modelo Probabiliacutestico
Cap 4-23
Experimento
Evento B
Evento A
Espaccedilo Amostral
Eventos
Os principais ingredientes de um modelo probabiliacutestico
Probabilidade
Etapa 1 Etapa 2
Cap 4-24
Probabilidade
Probabilidade atribuir chance (peso relativo) a
eventos possiacuteveis de um experimento aleatoacuterio
Diferentes conceitos
Definiccedilatildeo claacutessica de probabilidade
Definiccedilatildeo frequentista ou Definiccedilatildeo estatiacutestica de
probabilidade ou Definiccedilatildeo Claacutessica empiacuterica
Axiomas de Kolmogorov
Cap 4-25
Probabilidade Claacutessica
A definiccedilatildeo claacutessica de probabilidade se refere a subconjuntos
unitaacuterios e equiprovaacuteveis isto eacute conjuntos de resultados que tecircm a
mesma chance
CASO 1 No caso enumeraacutevel e finito em que a chance de sorteio de
cada resultado do espaccedilo amostral eacute a mesma a probabilidade de um
evento A eacute dada por
119875 119860 =119899ordm 119889119890 119907119890119911119890119904 119902119906119890 119860 119901119900119889119890 119900119888119900119903119903119890119903 119890119898 119878
119899ordm 119905119900119905119886119897 119889119890 119903119890119904119906119897119905119886119889119900119904 119901119900119904119904iacute119907119890119894119904 119890119898 119878
Definiccedilatildeo
Use Teacutecnicas de anaacutelise combinatoacuteria
e contagem para determinar o ndeg
total e o ndeg de vezes que A pode sair
Cap 4-26
Probabilidade Claacutessica
CASO 2 (probabilidade geomeacutetrica) Se 119878 eacute natildeo-
enumeraacutevel e equiprovaacutevel (mesma chance para cada
resultado) o conceito se aplica ao comprimento de
intervalos medidas de aacutereas hellip
Exemplo 119878 = [010] tal que cada valor pode sair
com a mesma chance dos demais Seja 119860 o
subconjunto [12] cup [68] Entatildeo
119875 119860 =119862119900119898119901119903119894119898119890119899119905119900 119889119890 119860
119862119900119898119901119903119894119898119890119899119905119900 119905119900119905119886119897 119889119890 119878=1+2
10= 03
Definiccedilatildeo
Probabilidade Claacutessica
Exerciacutecio Considere o experimento que consiste no
lanccedilamento de 2 dados balanceados e registram-se as faces
superiores
Calcular a probabilidade de
a) obter soma das faces superiores = 7
b) obter soma das faces superiores maior do que 10
c) que resultado do primeiro dado seja superior ao
resultado do segundo
Cap 4-27
Probabilidade Claacutessica
Exerciacutecio Considere o lanccedilamento de 2 dados balanceados
Total de resultados 36
Calcular a probabilidade de
a) Obter soma 7
2 resultados possiacuteveis (34) (43) (25) (52) (16) (61)
P(Soma=7)=636
b) Obter soma maior do que 10
3 resultados possiacuteveis (65) (56) e (66)
P(Somagt10) = 336
Cap 4-28
Probabilidade Claacutessica
Exerciacutecio Considere o lanccedilamento de 2 dados balanceados
Total de resultados 36
Calcular a probabilidade de
c) Que resultado do primeiro dado seja superior ao
resultado do segundo
Resultados possiacuteveis 15
P(1degdadogt2degdado)=15 36
Cap 4-29
1 2 3 4 5 6 1
2
3
4
5
6
1deg Dado
2deg
Da
do
Cap 4-30
Probabilidade Claacutessica
Em termos praacuteticos temos que determinar
O nuacutemero total de resultados possiacuteveis
O nuacutemero de vezes que podemos ganhar (A)
CUIDADO soacute pode ser aplicado quando todos os resultados do
espaccedilo amostral tem a mesma chance de ocorrer
Exemplos dado moeda sexo dos filhos
Contra-exemplo peso de pessoas (entre 40 e 120)
chance de (40 a 50 kg) lt chance (60 a 70 kg)
Intervalos com mesmo comprimento pela probabilidade
geomeacutetrica devem ter a mesma probabilidade Natildeo faz sentido
para o peso de pessoas
Cap 4-31
Probabilidade Frequentista
A probabilidade frequentista considera o limite de frequecircncias
relativas como o valor da probabilidade
Seja nA o nuacutemero de ocorrecircncia de A em n repeticcedilotildees independentes
do experimento Assim
119875 119860 = lim119899rarrinfin
119899119860119899
Assim definimos a probabilidade como a frequecircncia relativa
observada ao repertirmos o experimento um ndeg muito grande de vezes
Exemplo caixa com 100 moedas e conte o nuacutemero de caras ou ver
applet laquo probability raquo do Moore
Definiccedilatildeo
Cap 4-32
Probabilidade Frequentista
A probabilidade frequentista considera o limite de frequecircncias
relativas como o valor da probabilidade
Na praacutetica
repita o experimento aleatoacuterio um nuacutemero grande de vezes 119899
Conte o nordm de vezes que o evento de interesse 119860 aconteceu 119899119860
Entatildeo a probabilidade de o evento acontecer eacute calculada como
119875 119860 =119899119860119899
Eacute soacute isso
Cap 4-33
Probabilidade Frequentista
Cursando
estatiacutestica
Natildeo-
cursando
estatiacutestica
Total
Masculino 84 145 229
Feminino 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Encontre a probabilidade de selecionar um aluno de
estatiacutestica do sexo masculino a partir de uma populaccedilatildeo descrita
na tabela abaixo Considere que 439 eacute grande o suficiente para
aplicar a probabilidade frequentista
Neste caso o experimento consiste em selecionar uma pessoa
da populaccedilatildeo e em seguida observarmos o sexo e se cursa
estatiacutestica O experimento foi repetido 439 vezes
Cap 4-34
Probabilidade Frequentista
Cursando
estatiacutestica
Natildeo-
cursando
estatiacutestica
Total
Masculino 84 145 229
Feminino 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Encontre a probabilidade de selecionar um aluno de
estatiacutestica do sexo masculino a partir de uma populaccedilatildeo descrita
na tabela abaixo
119875 119867119900119898119890119898 cap 119864119904119905119886119905iacute119904119905119894119888119886 =119899ordm 119889119890 119867119900119898119890119898 cap 119864119904119905119886119905iacute119905119894119888119886
119899ordm 119889119890 119886119897119906119899119900119904=84
439= 0191
Cap 4-35
Axiomas de Probabilidade de
Kolmogorov
Axiomas de Kolmogorov
definiccedilatildeo formal de probabilidade
incluem as definiccedilotildees acima como casos particulares
Qualquer funccedilatildeo P() dos subconjuntos do espaccedilo amostral (eventos)
no intervalo [01] eacute uma probabilidade se satisfaz as condiccedilotildees
1 (Natildeo-negatividade)119875(119860 ge 0) forall evento 119860
2 (Aditividade) 119875 cup119895 119864119895 = 119875(119864119895) 119895 forall 119864119895 eventos disjuntos
3 (Normalizaccedilatildeo) 119875 119878 = 1
Definiccedilatildeo
Cap 4-36
Propriedades de uma
Probabilidade
Como consequecircncia dos Axiomas de Kolmogorov mostre que uma
funccedilatildeo probabilidade satisfaz as seguintes propriedades
1 119875 119864119888 = 1 minus 119875 119864
2 Se 1198641 sube 1198642 entatildeo 119875 1198641 le 119875 1198642
3 119875 120601 = 0
Ainda partindo dos axiomas de Kolmogorov podemos
provar a Regra geral da adiccedilatildeo
Regra Geral da Adiccedilatildeo
Cap 4-37
119875 119860 cup 119861 = 119875 119860 + 119875 119861 minus 119875(119860 cap 119861)
Regra Geral da Adiccedilatildeo
Regra geral da adiccedilatildeo
No caso particular em que os eventos satildeo
mutuamente excludentes continua valendo o axioma
de aditividade pois 119875 119860 cap 119861 = 0 daiacute
119875 119860 cup 119861 = 119875 119860 + 119875(119861)
Cap 4-38
119875 119860 cup 119861 = 119875 119860 + 119875 119861 minus 119875(119860 cap 119861)
Cap 4-39
Exemplo da Regra Geral de
Adiccedilatildeo
Cursando
estatiacutestica
Natildeo cursando
estatiacutestica
Total
Homem 84 145 229
Mulher 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Qual a probabilidade de selecionamos
aleatoriamente um homem ou um aluno(a) da estatiacutestica de
uma populaccedilatildeo descrita pela tabela abaixo
Cap 4-40
Exemplo da Regra Geral de
Adiccedilatildeo
Cursando
estatiacutestica
Natildeo cursando
estatiacutestica
Total
Homem 84 145 229
Mulher 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Qual a probabilidade de selecionamos
aleatoriamente um homem ou um aluno(a) da estatiacutestica de
uma populaccedilatildeo descrita pela tabela abaixo
119875 119867119900119898119890119898 cup 119864119904119905119886119905iacute119905119894119888119886 =
119875 119867119900119898119890119898 + 119875 119864119904119905119886119905iacute119904119905119894119888119886 minus 119875 119867119900119898119890119898 cap 119864119904119905119886119905119894119904119905119894119888119886 =229
439+160
439minus
84
439=305
439
Cap 4-41
Resumo de Probabilidade
Probabilidade eacute uma medida numeacuterica que informa a chance de um resultado ocorrer
A probabilidade de um evento deve estar entre 0 e 1 incluindo os extremos
0 le 119875(119860) le 1 para qquer evento 119860
A soma da probabilidade de uma particcedilatildeo do espaccedilo amostral eacute igual a 1
119875(119860) + 119875(119861) + 119875(119862) = 1
em que A B e C satildeo eventos mutuamente excludentes e coletivamente exaustivos (particcedilatildeo de 119878)
Certo
Impossiacutevel
05
1
0
Exemplo Probabilidade
Cap 4-42
Vocabulaacuterio Geral
Pelo menos 1 dos eventos A B ou ambos =
119860 cup 119861
Nenhum dos eventos nem A nem B = (119860 cup 119861)119888
Apenas 1 (ex Apenas A) possui A e natildeo possui B
= 119860 cap (119861119888)
Cap 4-43
Exerciacutecio Probabilidade
Selecione aleatoriamente um estudante em uma determinada
universidade e represente por A o evento dele possuir um cartatildeo de
creacutedito Visa e por B o evento anaacutelogo para um Mastercard Suponha que
P(Visa) = 05 P(Mastercard) = 04 e P (Ambos os cartotildees) = 025
1 Calcule a probabilidade de que um indiviacuteduo selecionado tenha
pelo menos um dos dois tipos de cartatildeo
2 Qual a probabilidade de o indiviacuteduo selecionado natildeo ter nenhum
dos tipos de cartatildeo
3 Descreva em termos de A e B o evento em que o estudante
selecionado possui um cartatildeo Visa mas natildeo um MasterCard
4 Calcule a probabilidade desse evento
Teacutecnicas de Contagem
Princiacutepio de contagem (divida e conquiste) o processo
eacute quebrado em vaacuterias etapas com o uso do diagrama de
aacutervores
Cap 4-44
n2
opccedilotildees
Folhas
n1
opccedilotildees
n3
opccedilotildees
n4
opccedilotildees
Estaacutegio
1
Estaacutegio
2
Estaacutegio
3
Estaacutegio
4
Nuacutemero total de folhas eacute
n1n2n3hellipni
n2
opccedilotildees
Desde que um mesmo
estaacutegio tenha o mesmo nordm
de opccedilotildees em cada ponto
da aacutervore
Teacutecnicas de Contagem
Princiacutepio de contagem
Considere um processo que contem r estaacutegios Suponha que
Existem n1 resultados possiacuteveis no primeiro estaacutegio
Para cada resultado possiacutevel do estaacutegio 1 existem n2
resultados possiacuteveis no estaacutegio 2
De forma mais geral para cada um dos resultados ni-1
primeiros estaacutegios existem ni resultados possiacuteveis no i-
eacutesimo estaacutegio
Entatildeo o Nuacutemero total de resultados possiacuteveis no processo de r
estaacutegios eacute de n1n2n3hellipnr
Cap 4-45
Teorema
Cap 4-46
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Um nuacutemero telefocircnico eacute composto de 8
diacutegitos mas o primeiro diacutegito apenas assume 3 valores
possiacuteveis 3 8 9 Quantos nuacutemeros distintos existem
Cap 4-47
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Um nuacutemero telefocircnico eacute composto de 8
diacutegitos mas o primeiro diacutegito apenas assume 3 valores
3 8 9 Quantos nuacutemeros distintos existem
Temos um total de 8 estaacutegios
No primeiro estaacutegio apenas 3 opccedilotildees
Nos demais estaacutegios 10 opccedilotildees
Total 3 107
Cap 4-48
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Quantos subconjutos podemos fazer a
partir de um conjunto com n elementos s1 s2 s3 hellip
sn
Cap 4-49
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Quantos subconjutos podemos fazer a
partir de um conjunto com n elementos s1 s2 s3 hellip
sn
Processo de n estaacutegios em cada estaacutegio decidimos se
colocamos ou natildeo o elemento no subconjunto
nuacutemero de opccedilotildees para o primeiro estaacutegio 2
Total 222hellip2 =2n
Cap 4-50
Teacutecnicas de Contagem
Problema Selecionar 119948 objetos de um total de 119951
objetos 119899 ge 119896 sem reposiccedilatildeo
Se a ordem eacute importante Arranjo
ex de palavra as eacute diferente de sa
Se a ordem natildeo eacute importante Combinaccedilatildeo
ex da loteria escolhemos um conjunto de 6 nordm a
ordem em que eles satildeo sorteados natildeo faz diferenccedila
Cap 4-51
Teacutecnicas de Contagem
Ao contraacuterio da permutaccedilatildeo na combinaccedilatildeo a ordem dos
elementos natildeo eacute importante
Exemplo
Permutaccedilatildeo de 2 elementos das letras A B C D
AB AC AD BA BC BD CA CB CD DA DB DC
Combinaccedilatildeo de 2 elementos das letras A B C D
AB AC AD BC BD CD
jaacute que a ordem natildeo eacute importante BA eacute o mesmo que
AB
Cap 4-52
Teacutecnicas de Contagem
Arranjo de k objetos
Queremos selecionar k objetos de um conjunto de n
objetos sem reposiccedilatildeo
Para o 1deg objeto n possibilidades
Para o 2deg objeto n-1 possibilidades
hellip
Para o uacuteltimo (kdeg objeto) n - (k-1) possibilidades
Total de permutaccedilotildees 119951 lowast (119951 minus 120783) lowast ⋯lowast (119951 minus 119948 + 120783)
Ou usando fatorial
Teorema
119899
119899 minus 119896
Cap 4-53
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Qual o total de palavras que podemos
construir com exatamente 4 letras distintas (natildeo precisa
ter significado nem seguir regras ortograacuteficas)
Cap 4-54
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Qual o total de palavras que podemos
construir com exatamente 4 letras distintas (natildeo
precisa ter significado nem seguir regras
ortograacuteficas)
Soluccedilatildeo
Selecionar 4 letras de um total de 26 sem repetir A
ordem eacute importante pois estamos formando
palavras (permutaccedilatildeo)
Total de arranjos de 4 elementos 26252423
Cap 4-55
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Vocecirc tem 10 CDs de muacutesica claacutessica 20
CDs de rock e 15 CDs de forroacute De quantas formas eacute
possiacutevel arranjar os seus CDs tal que os CDs do mesmo
tipo sempre fiquem juntos
Se os CDs forem colocados na prateleira de forma
aleatoacuteria qual eacute a probabilidade de os CDs do mesmo
estilo musical ficarem juntos
Cap 4-56
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Soluccedilatildeo princiacutepio da Contagem + Arranjos
Podemos quebrar o processo em 2 estaacutegios
1) Escolher a ordem dos tipos de Cds 321
2) Escolher a sequecircncia dos Cds para cada tipo
Para Cds de muacutesica claacutessica 10
Para Cds de rock 20
Para Cds de forroacute 15
Total 3102015
Cap 4-57
Teacutecnicas de Contagem
Combinaccedilatildeo de k elementos em n
Queremos contar o nuacutemero de subconjuntos de k elementos a
partir de um conjunto de n elementos sem reposiccedilatildeo
A ordem dos elementos natildeo eacute importante
Dizemos combinaccedilatildeo de n elementos k a k
Ex Formar comitecirc com 3 representantes de turma de um total de
131 alunos
Se todos tem mesmo poder a ordem de escolha natildeo eacute
importante combinaccedilatildeo
Se teremos presidente vice-presidente e secretaacuterio entatildeo a
ordem de escolha eacute importante permutaccedilatildeo
Teorema 119873119888119900119898119887119894119899119886ccedilotilde119890119904 =119899119896=
119899
119899 minus 119896 119896
Cap 4-58
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Qual o nuacutemero de combinaccedilotildees de 2
elementos distintos que podemos construir com as letras
A B C D
Cap 4-59
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Qual o nuacutemero de combinaccedilotildees de 2
elementos das letras A B C D
Soluccedilatildeo
Conferindo
AB AC AD BC BD CD
62)24(
4
2
4
scombinaccedilotildeeN
Cap 4-60
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Um armazeacutem da universidade recebeu 25
impressoras das quais 10 satildeo a laser e 15 a jato de tinta
Se 6 das 25 forem selecionadas aleatoriamente para para
serem verificadas por um teacutecnico qual seraacute a
probabilidade de exatamente 3 delas serem a laser
Cap 4-61
Teacutecnicas de Contagem
Soluccedilatildeo Seja 1198633= 3 das 6 selecionadas satildeo a laser Como a seleccedilatildeo das impressoras
dentre as 25 eacute aleatoacuteria cada uma delas tem a mesma chance de ser sorteada
Probabilidade claacutessica implica 119875 1198633 = 119899(1198633)119899
Como a ordem da seleccedilatildeo das impressoras natildeo importa 119899 =256
Para determinar 1198633 vamos dividir o processo em duas etapas 1) selecionamos 3 das 15
impressoras a tinta e 2) selecionamos 3 das 6 impressoras a laser Para cada elemento da
primeira etapa temos exatamente o mesmo nordm de possibilidades da segunda etapa Pelo
princiacutepio da contagem 119899 1198633 = 1198991 1198633 lowast 1198992 1198633
Como a ordem em que as impressoras satildeo selecionadas em cada etapa natildeo tem
importacircncia 1198991 1198633 =153
e 1198992 1198633 =63
Entatildeo
119875 1198633 =
153
63
256
= 03083
Desafio P(ao menos 3 das 6 selecionadas sejam a laser)
Cap 4-62
Resumo Nesta aula vimos
Como representar um modelo de probabilidade para uma situaccedilatildeo
incerta (experimento aleatoacuterio)
Etapa 1 definiccedilatildeo do espaccedilo amostral
Revisatildeo de conjuntos
Etapa 2 especificaccedilatildeo de uma funccedilatildeo probabilidade que atribui pesos
para a chance relativa de cada resultado do espaccedilo amostral
3 conceitos de probabilidade
Probabilidade claacutessica
Probabilidade Frequentista
Axiomas de Kolmogorov
Revisatildeo de teacutecnicas de contagem para podermos calcular
probabilidades
Na proacutexima aula veremos como incorporar informaccedilotildees novas ao
caacutelculo de probabilidade =gt Probabilidade condicional
Cap 4-3
Introduccedilatildeo
Arcabouccedilo para estudos de diversas situaccedilotildees em que nos
deparamos com incerteza
Probabilidade formaliza a ideia da chance relativa de
ocorrecircncia dos diferentes resultados esperados para um
fenocircmeno incerto
Exemplos de aplicaccedilotildees
Tempo de espera em filas laquo existe uma probabilidade alta
de que o tempo de espera seja maior do que 5 minutosraquo
Vida uacutetil de equipamentos laquoeacute provaacutevel que a maacutequina dure
pelo menos 5 anosraquo
Resultado de um procedimento meacutedico laquoo procedimento
tem taxa de sucesso de 60raquo
Cap 4-4
Introduccedilatildeo
Um experimento aleatoacuterio eacute um experimento que
ao ser repetido nas mesmas condiccedilotildees pode fornecer
diferentes resultados
Exemplos
Jogar um dado e observar a face superior
Selecionar ao acaso um habitante de Natal e medir sua
altura em metros
Retirar um lote de peccedilas em um processo de produccedilatildeo e
determinar o nuacutemero de peccedilas defeituosas
Nuacutemero de chamadas telefocircnicas que chegam a uma central
num intervalo de tempo fixado
Definiccedilatildeo
Cap 4-5
Introduccedilatildeo
Objetivo da teoria de probabilidade eacute construir um
modelo matemaacutetico para representar eventos incertos
(experimentos aleatoacuterios) e a chance de ocorrecircncia
de possiacuteveis resultados
O modelo eacute construiacutedo em duas etapas
Etapa 1
Descriccedilatildeo do conjunto de
resultados possiacuteveis do experimento
aleatoacuterio
Etapa 2
Atribuiccedilatildeo de pesos que refletem a maior ou menor chance de
um resultado acontecer
Cap 4-6
Espaccedilo Amostral e Eventos
O conjunto de todos os resultados possiacuteveis de um
experimento aleatoacuterio eacute chamado espaccedilo amostral do
experimento O espaccedilo amostral eacute denotado por S
Requisitos
apenas um resultado possiacutevel para cada rodada do
experimento
nenhum resultado possiacutevel fique fora do espaccedilo
amostral
Definiccedilatildeo
Cap 4-7
Espaccedilo Amostral e Eventos
Exemplo 1 Lanccedilamento de um dado
S=123456 Enumeraacutevel e finito
Exemplo 2 Lanccedilamento de uma moeda ateacute que apareccedila a
primeira cara C cara K Coroa
S=C KC KKC KKKC hellip Enumeraacutevel e infinito
Exemplo 3 Lanccedilamento de dardo em alvo com raio 1 (ou
ponto em ciacuterculo de raio 1)
S=(xy) xsup2+ysup2lt=1 Natildeo-enumeraacutevel
Cap 4-8
Espaccedilo Amostral e Eventos
Um evento eacute um subconjunto do espaccedilo amostral S de
um experimento aleatoacuterio Os subconjuntos de S satildeo
representados pelas letras maiuacutesculas A B
O evento eacute denominado simples se consistir num uacutenico
resultado do espaccedilo amostral
O evento eacute denominado composto se consistir em mais
de um resultado do espaccedilo amostral
O conjunto vazio eacute denotado por 120601
Definiccedilatildeo
Cap 4-9
Espaccedilo Amostral e Eventos
Exemplo 1 Lanccedilamento de um dado S=123456
A = 6 B=1 eventos simples
C =faces pares D=faces menor ou igual a 3
evento composto
Exemplo 2 Uma rede de computadores estaacute em operaccedilatildeo
contiacutenua mas falhas podem acontecer a qualquer momento
O experimento conta o ndeg de falhas em um dia tal que
S=0 1 2 3 hellip
A = 0 falhas em um dia evento simples
B=menos de 2 falhas em um dia evento composto
Cap 4-10
Eventos e Espaccedilo Amostral
Exerciacutecio 1 Considere o experimento que consiste em lanccedilar
trecircs moedas e observar a face superior delas
a) Determine o espaccedilo amostral
b) Decirc um exemplo de evento composto
Cap 4-11
Eventos e Espaccedilo Amostral
Exerciacutecio 1 Considere o experimento que consiste em lanccedilar
trecircs moedas e observar a face superior delas
a) Determine o espaccedilo amostral
b) Decirc um exemplo de evento composto
Soluccedilatildeo
a) S = CCC CCK CKC KCC CKK KCK KKC KKK
b) Ex A = resultado com 2 caras (C) = CCK CKC KCC
Ex B = resultado com mais coroas do que caras
=CKK KCK KKC KKK
Cap 4-12
Eventos e Conjuntos
Eventos e Conjuntos
Uniatildeo Interseccedilatildeo Complemento Mutuamente Excludentes (disjuntos)
Coletivamente exaustivos
Particcedilatildeo
Eventos satildeo subconjuntos do espaccedilo amostral Vamos revisar algumas operaccedilotildees
de conjuntos
Cap 4-13
Eventos e Conjuntos
A uniatildeo de dois conjuntos (eventos) A e B eacute o conjunto (evento)
que consiste de todos os resultados que estatildeo no conjunto A ou no
conjunto B ou em ambos
119860 cup 119861 = 119909 isin 119878 119909 isin 119860 119900119906 119909 isin 119861
A interseccedilatildeo de dois conjuntos (eventos) A e B eacute o conjunto que
consiste de todos os resultados que estatildeo simultaneamente em A e
em B
119860 cap 119861 = 119909 isin 119878 119909 isin 119860 119890 119909 isin 119861
O complemento de um conjunto (evento) A representado por Ac
(ou Arsquo) eacute o conjunto de todos os resultados que natildeo estatildeo
contidos em A
119860119888 = 119909 isin 119878 119909 notin 119860
Definiccedilatildeo
Definiccedilatildeo
Definiccedilatildeo
Cap 4-14
Eventos e Conjuntos
Eventos mutuamente excludentes satildeo eventos que natildeo podem acontecer simultaneamente Tambeacutem dizemos eventos disjuntos
Exemplo Experimento - uma carta eacute selecionada do baralho
A = rainha de ouros B = rainha de copas
Os eventos A e B satildeo mutuamente excludentes
C = rainha D = ouros
C e D natildeo satildeo mutuamente exlcudentes
Exemplo Experimento ndash um feto eacute gerado
Y = eacute menino X = eacute menina
Os eventos X e Y satildeo mutuamente excludentes se natildeo considerarmos a possibilidade de hermafrodita
Definiccedilatildeo
Cap 4-15
Eventos e Conjuntos
Uma particcedilatildeo de um espaccedilo amostral consiste de um conjunto de
eventos tais que
Os eventos satildeo mutuamente excludentes (apenas um dos
eventos pode ocorrer)
Os eventos satildeo coletivamente exaustivos i e a uniatildeo dos
eventos cobre todo o espaccedilo amostral
Exemplo Experimento ndash uma carta eacute selecionada do baralho
Sejam A = azes B = cartas pretas C = ouros e D =copas
Os eventos A B C e D satildeo coletivamente exaustivos (mas natildeo
satildeo mutuamente excludentes)
Os eventos B C e D formam uma particcedilatildeo
Definiccedilatildeo
Cap 4-16
Visualizaccedilatildeo de conjuntos
Diagramas de Venn
S
A
B
S S
S S S
A A
A B
B
B C
C
A
B
A
B
a) AcapB b)AUB c)A capBc d)Ac e)AB e C satildeo disjuntos f)AB e C satildeo particcedilatildeo de S
Cap 4-17
Eventos e Conjuntos
Exerciacutecio Assuma que S = 0 1 2 3 4 5 6 7 A=0 1 2
34 B=3 4 5 6 e C=1 3 5 Determinar
119860 cup 119861
119860 cap 119861
119860 cup 119862
119860 cap 119862
119862 cup 119861
119862 cap 119861
119860119888
119861119888
119862119888
Cap 4-18
Propriedades de Conjuntos
Operaccedilotildees entre conjuntos tecircm uma seacuterie de propriedades
Exemplos
119860 cup 119861 = 119861 cup 119860 e 119860 cap 119861 = 119861 cap 119860
119860 cap 119861 cup 119862 = (119860 cap 119861) cup (119860 cap 119862)
119860119888 119888 = 119860
119860 cup 119878 = 119878
119860 cap 119860119888 = empty
119860 cap 119878 = 119860
Cap 4-19
Propriedades de Conjuntos
Leis de Morgan
119860 cup 119861 119888 = 119860119888 cap 119861119888 119860 cap 119861 119888 = 119860119888 cup 119861119888
Cap 4-20
Visualizando Eventos
Existem diversas formas de representar a ocorrecircncia de eventos
Rep
rese
nta
ccedilotildees
de
Even
tos Diagrama de Venn
Tabela de contingecircncia ou tabela cruzada
Diagrama de aacutervore
Matriz
Cap 4-21
Visualizando Eventos
Tabelas de contigecircncia
Diagrama de aacutervore
Aacutes Natildeo
Aacutes
Total
Preta 2 24 26
Vermelha 2 24 26
Total 4 48 52
Baralho de
52 Cartas Espaccedilo
Amostral
2
24
2
24
A definiccedilatildeo da ordem dos ramos depende do problema
Cap 4-22
Visualizando Eventos
Lanccedilamento de 2 dados de quatro lados
Espaccedilo Amostral para o
lanccedilamento de 2 dados
2deg dado
1deg dado
Diagrama de Aacutervore para
o lanccedilamento de 2 dados
Raiz
Folhas
Representaccedilatildeo por Matriz Representaccedilatildeo por Aacutervore
1deg dado
2deg dado
Modelo Probabiliacutestico
Cap 4-23
Experimento
Evento B
Evento A
Espaccedilo Amostral
Eventos
Os principais ingredientes de um modelo probabiliacutestico
Probabilidade
Etapa 1 Etapa 2
Cap 4-24
Probabilidade
Probabilidade atribuir chance (peso relativo) a
eventos possiacuteveis de um experimento aleatoacuterio
Diferentes conceitos
Definiccedilatildeo claacutessica de probabilidade
Definiccedilatildeo frequentista ou Definiccedilatildeo estatiacutestica de
probabilidade ou Definiccedilatildeo Claacutessica empiacuterica
Axiomas de Kolmogorov
Cap 4-25
Probabilidade Claacutessica
A definiccedilatildeo claacutessica de probabilidade se refere a subconjuntos
unitaacuterios e equiprovaacuteveis isto eacute conjuntos de resultados que tecircm a
mesma chance
CASO 1 No caso enumeraacutevel e finito em que a chance de sorteio de
cada resultado do espaccedilo amostral eacute a mesma a probabilidade de um
evento A eacute dada por
119875 119860 =119899ordm 119889119890 119907119890119911119890119904 119902119906119890 119860 119901119900119889119890 119900119888119900119903119903119890119903 119890119898 119878
119899ordm 119905119900119905119886119897 119889119890 119903119890119904119906119897119905119886119889119900119904 119901119900119904119904iacute119907119890119894119904 119890119898 119878
Definiccedilatildeo
Use Teacutecnicas de anaacutelise combinatoacuteria
e contagem para determinar o ndeg
total e o ndeg de vezes que A pode sair
Cap 4-26
Probabilidade Claacutessica
CASO 2 (probabilidade geomeacutetrica) Se 119878 eacute natildeo-
enumeraacutevel e equiprovaacutevel (mesma chance para cada
resultado) o conceito se aplica ao comprimento de
intervalos medidas de aacutereas hellip
Exemplo 119878 = [010] tal que cada valor pode sair
com a mesma chance dos demais Seja 119860 o
subconjunto [12] cup [68] Entatildeo
119875 119860 =119862119900119898119901119903119894119898119890119899119905119900 119889119890 119860
119862119900119898119901119903119894119898119890119899119905119900 119905119900119905119886119897 119889119890 119878=1+2
10= 03
Definiccedilatildeo
Probabilidade Claacutessica
Exerciacutecio Considere o experimento que consiste no
lanccedilamento de 2 dados balanceados e registram-se as faces
superiores
Calcular a probabilidade de
a) obter soma das faces superiores = 7
b) obter soma das faces superiores maior do que 10
c) que resultado do primeiro dado seja superior ao
resultado do segundo
Cap 4-27
Probabilidade Claacutessica
Exerciacutecio Considere o lanccedilamento de 2 dados balanceados
Total de resultados 36
Calcular a probabilidade de
a) Obter soma 7
2 resultados possiacuteveis (34) (43) (25) (52) (16) (61)
P(Soma=7)=636
b) Obter soma maior do que 10
3 resultados possiacuteveis (65) (56) e (66)
P(Somagt10) = 336
Cap 4-28
Probabilidade Claacutessica
Exerciacutecio Considere o lanccedilamento de 2 dados balanceados
Total de resultados 36
Calcular a probabilidade de
c) Que resultado do primeiro dado seja superior ao
resultado do segundo
Resultados possiacuteveis 15
P(1degdadogt2degdado)=15 36
Cap 4-29
1 2 3 4 5 6 1
2
3
4
5
6
1deg Dado
2deg
Da
do
Cap 4-30
Probabilidade Claacutessica
Em termos praacuteticos temos que determinar
O nuacutemero total de resultados possiacuteveis
O nuacutemero de vezes que podemos ganhar (A)
CUIDADO soacute pode ser aplicado quando todos os resultados do
espaccedilo amostral tem a mesma chance de ocorrer
Exemplos dado moeda sexo dos filhos
Contra-exemplo peso de pessoas (entre 40 e 120)
chance de (40 a 50 kg) lt chance (60 a 70 kg)
Intervalos com mesmo comprimento pela probabilidade
geomeacutetrica devem ter a mesma probabilidade Natildeo faz sentido
para o peso de pessoas
Cap 4-31
Probabilidade Frequentista
A probabilidade frequentista considera o limite de frequecircncias
relativas como o valor da probabilidade
Seja nA o nuacutemero de ocorrecircncia de A em n repeticcedilotildees independentes
do experimento Assim
119875 119860 = lim119899rarrinfin
119899119860119899
Assim definimos a probabilidade como a frequecircncia relativa
observada ao repertirmos o experimento um ndeg muito grande de vezes
Exemplo caixa com 100 moedas e conte o nuacutemero de caras ou ver
applet laquo probability raquo do Moore
Definiccedilatildeo
Cap 4-32
Probabilidade Frequentista
A probabilidade frequentista considera o limite de frequecircncias
relativas como o valor da probabilidade
Na praacutetica
repita o experimento aleatoacuterio um nuacutemero grande de vezes 119899
Conte o nordm de vezes que o evento de interesse 119860 aconteceu 119899119860
Entatildeo a probabilidade de o evento acontecer eacute calculada como
119875 119860 =119899119860119899
Eacute soacute isso
Cap 4-33
Probabilidade Frequentista
Cursando
estatiacutestica
Natildeo-
cursando
estatiacutestica
Total
Masculino 84 145 229
Feminino 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Encontre a probabilidade de selecionar um aluno de
estatiacutestica do sexo masculino a partir de uma populaccedilatildeo descrita
na tabela abaixo Considere que 439 eacute grande o suficiente para
aplicar a probabilidade frequentista
Neste caso o experimento consiste em selecionar uma pessoa
da populaccedilatildeo e em seguida observarmos o sexo e se cursa
estatiacutestica O experimento foi repetido 439 vezes
Cap 4-34
Probabilidade Frequentista
Cursando
estatiacutestica
Natildeo-
cursando
estatiacutestica
Total
Masculino 84 145 229
Feminino 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Encontre a probabilidade de selecionar um aluno de
estatiacutestica do sexo masculino a partir de uma populaccedilatildeo descrita
na tabela abaixo
119875 119867119900119898119890119898 cap 119864119904119905119886119905iacute119904119905119894119888119886 =119899ordm 119889119890 119867119900119898119890119898 cap 119864119904119905119886119905iacute119905119894119888119886
119899ordm 119889119890 119886119897119906119899119900119904=84
439= 0191
Cap 4-35
Axiomas de Probabilidade de
Kolmogorov
Axiomas de Kolmogorov
definiccedilatildeo formal de probabilidade
incluem as definiccedilotildees acima como casos particulares
Qualquer funccedilatildeo P() dos subconjuntos do espaccedilo amostral (eventos)
no intervalo [01] eacute uma probabilidade se satisfaz as condiccedilotildees
1 (Natildeo-negatividade)119875(119860 ge 0) forall evento 119860
2 (Aditividade) 119875 cup119895 119864119895 = 119875(119864119895) 119895 forall 119864119895 eventos disjuntos
3 (Normalizaccedilatildeo) 119875 119878 = 1
Definiccedilatildeo
Cap 4-36
Propriedades de uma
Probabilidade
Como consequecircncia dos Axiomas de Kolmogorov mostre que uma
funccedilatildeo probabilidade satisfaz as seguintes propriedades
1 119875 119864119888 = 1 minus 119875 119864
2 Se 1198641 sube 1198642 entatildeo 119875 1198641 le 119875 1198642
3 119875 120601 = 0
Ainda partindo dos axiomas de Kolmogorov podemos
provar a Regra geral da adiccedilatildeo
Regra Geral da Adiccedilatildeo
Cap 4-37
119875 119860 cup 119861 = 119875 119860 + 119875 119861 minus 119875(119860 cap 119861)
Regra Geral da Adiccedilatildeo
Regra geral da adiccedilatildeo
No caso particular em que os eventos satildeo
mutuamente excludentes continua valendo o axioma
de aditividade pois 119875 119860 cap 119861 = 0 daiacute
119875 119860 cup 119861 = 119875 119860 + 119875(119861)
Cap 4-38
119875 119860 cup 119861 = 119875 119860 + 119875 119861 minus 119875(119860 cap 119861)
Cap 4-39
Exemplo da Regra Geral de
Adiccedilatildeo
Cursando
estatiacutestica
Natildeo cursando
estatiacutestica
Total
Homem 84 145 229
Mulher 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Qual a probabilidade de selecionamos
aleatoriamente um homem ou um aluno(a) da estatiacutestica de
uma populaccedilatildeo descrita pela tabela abaixo
Cap 4-40
Exemplo da Regra Geral de
Adiccedilatildeo
Cursando
estatiacutestica
Natildeo cursando
estatiacutestica
Total
Homem 84 145 229
Mulher 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Qual a probabilidade de selecionamos
aleatoriamente um homem ou um aluno(a) da estatiacutestica de
uma populaccedilatildeo descrita pela tabela abaixo
119875 119867119900119898119890119898 cup 119864119904119905119886119905iacute119905119894119888119886 =
119875 119867119900119898119890119898 + 119875 119864119904119905119886119905iacute119904119905119894119888119886 minus 119875 119867119900119898119890119898 cap 119864119904119905119886119905119894119904119905119894119888119886 =229
439+160
439minus
84
439=305
439
Cap 4-41
Resumo de Probabilidade
Probabilidade eacute uma medida numeacuterica que informa a chance de um resultado ocorrer
A probabilidade de um evento deve estar entre 0 e 1 incluindo os extremos
0 le 119875(119860) le 1 para qquer evento 119860
A soma da probabilidade de uma particcedilatildeo do espaccedilo amostral eacute igual a 1
119875(119860) + 119875(119861) + 119875(119862) = 1
em que A B e C satildeo eventos mutuamente excludentes e coletivamente exaustivos (particcedilatildeo de 119878)
Certo
Impossiacutevel
05
1
0
Exemplo Probabilidade
Cap 4-42
Vocabulaacuterio Geral
Pelo menos 1 dos eventos A B ou ambos =
119860 cup 119861
Nenhum dos eventos nem A nem B = (119860 cup 119861)119888
Apenas 1 (ex Apenas A) possui A e natildeo possui B
= 119860 cap (119861119888)
Cap 4-43
Exerciacutecio Probabilidade
Selecione aleatoriamente um estudante em uma determinada
universidade e represente por A o evento dele possuir um cartatildeo de
creacutedito Visa e por B o evento anaacutelogo para um Mastercard Suponha que
P(Visa) = 05 P(Mastercard) = 04 e P (Ambos os cartotildees) = 025
1 Calcule a probabilidade de que um indiviacuteduo selecionado tenha
pelo menos um dos dois tipos de cartatildeo
2 Qual a probabilidade de o indiviacuteduo selecionado natildeo ter nenhum
dos tipos de cartatildeo
3 Descreva em termos de A e B o evento em que o estudante
selecionado possui um cartatildeo Visa mas natildeo um MasterCard
4 Calcule a probabilidade desse evento
Teacutecnicas de Contagem
Princiacutepio de contagem (divida e conquiste) o processo
eacute quebrado em vaacuterias etapas com o uso do diagrama de
aacutervores
Cap 4-44
n2
opccedilotildees
Folhas
n1
opccedilotildees
n3
opccedilotildees
n4
opccedilotildees
Estaacutegio
1
Estaacutegio
2
Estaacutegio
3
Estaacutegio
4
Nuacutemero total de folhas eacute
n1n2n3hellipni
n2
opccedilotildees
Desde que um mesmo
estaacutegio tenha o mesmo nordm
de opccedilotildees em cada ponto
da aacutervore
Teacutecnicas de Contagem
Princiacutepio de contagem
Considere um processo que contem r estaacutegios Suponha que
Existem n1 resultados possiacuteveis no primeiro estaacutegio
Para cada resultado possiacutevel do estaacutegio 1 existem n2
resultados possiacuteveis no estaacutegio 2
De forma mais geral para cada um dos resultados ni-1
primeiros estaacutegios existem ni resultados possiacuteveis no i-
eacutesimo estaacutegio
Entatildeo o Nuacutemero total de resultados possiacuteveis no processo de r
estaacutegios eacute de n1n2n3hellipnr
Cap 4-45
Teorema
Cap 4-46
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Um nuacutemero telefocircnico eacute composto de 8
diacutegitos mas o primeiro diacutegito apenas assume 3 valores
possiacuteveis 3 8 9 Quantos nuacutemeros distintos existem
Cap 4-47
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Um nuacutemero telefocircnico eacute composto de 8
diacutegitos mas o primeiro diacutegito apenas assume 3 valores
3 8 9 Quantos nuacutemeros distintos existem
Temos um total de 8 estaacutegios
No primeiro estaacutegio apenas 3 opccedilotildees
Nos demais estaacutegios 10 opccedilotildees
Total 3 107
Cap 4-48
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Quantos subconjutos podemos fazer a
partir de um conjunto com n elementos s1 s2 s3 hellip
sn
Cap 4-49
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Quantos subconjutos podemos fazer a
partir de um conjunto com n elementos s1 s2 s3 hellip
sn
Processo de n estaacutegios em cada estaacutegio decidimos se
colocamos ou natildeo o elemento no subconjunto
nuacutemero de opccedilotildees para o primeiro estaacutegio 2
Total 222hellip2 =2n
Cap 4-50
Teacutecnicas de Contagem
Problema Selecionar 119948 objetos de um total de 119951
objetos 119899 ge 119896 sem reposiccedilatildeo
Se a ordem eacute importante Arranjo
ex de palavra as eacute diferente de sa
Se a ordem natildeo eacute importante Combinaccedilatildeo
ex da loteria escolhemos um conjunto de 6 nordm a
ordem em que eles satildeo sorteados natildeo faz diferenccedila
Cap 4-51
Teacutecnicas de Contagem
Ao contraacuterio da permutaccedilatildeo na combinaccedilatildeo a ordem dos
elementos natildeo eacute importante
Exemplo
Permutaccedilatildeo de 2 elementos das letras A B C D
AB AC AD BA BC BD CA CB CD DA DB DC
Combinaccedilatildeo de 2 elementos das letras A B C D
AB AC AD BC BD CD
jaacute que a ordem natildeo eacute importante BA eacute o mesmo que
AB
Cap 4-52
Teacutecnicas de Contagem
Arranjo de k objetos
Queremos selecionar k objetos de um conjunto de n
objetos sem reposiccedilatildeo
Para o 1deg objeto n possibilidades
Para o 2deg objeto n-1 possibilidades
hellip
Para o uacuteltimo (kdeg objeto) n - (k-1) possibilidades
Total de permutaccedilotildees 119951 lowast (119951 minus 120783) lowast ⋯lowast (119951 minus 119948 + 120783)
Ou usando fatorial
Teorema
119899
119899 minus 119896
Cap 4-53
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Qual o total de palavras que podemos
construir com exatamente 4 letras distintas (natildeo precisa
ter significado nem seguir regras ortograacuteficas)
Cap 4-54
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Qual o total de palavras que podemos
construir com exatamente 4 letras distintas (natildeo
precisa ter significado nem seguir regras
ortograacuteficas)
Soluccedilatildeo
Selecionar 4 letras de um total de 26 sem repetir A
ordem eacute importante pois estamos formando
palavras (permutaccedilatildeo)
Total de arranjos de 4 elementos 26252423
Cap 4-55
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Vocecirc tem 10 CDs de muacutesica claacutessica 20
CDs de rock e 15 CDs de forroacute De quantas formas eacute
possiacutevel arranjar os seus CDs tal que os CDs do mesmo
tipo sempre fiquem juntos
Se os CDs forem colocados na prateleira de forma
aleatoacuteria qual eacute a probabilidade de os CDs do mesmo
estilo musical ficarem juntos
Cap 4-56
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Soluccedilatildeo princiacutepio da Contagem + Arranjos
Podemos quebrar o processo em 2 estaacutegios
1) Escolher a ordem dos tipos de Cds 321
2) Escolher a sequecircncia dos Cds para cada tipo
Para Cds de muacutesica claacutessica 10
Para Cds de rock 20
Para Cds de forroacute 15
Total 3102015
Cap 4-57
Teacutecnicas de Contagem
Combinaccedilatildeo de k elementos em n
Queremos contar o nuacutemero de subconjuntos de k elementos a
partir de um conjunto de n elementos sem reposiccedilatildeo
A ordem dos elementos natildeo eacute importante
Dizemos combinaccedilatildeo de n elementos k a k
Ex Formar comitecirc com 3 representantes de turma de um total de
131 alunos
Se todos tem mesmo poder a ordem de escolha natildeo eacute
importante combinaccedilatildeo
Se teremos presidente vice-presidente e secretaacuterio entatildeo a
ordem de escolha eacute importante permutaccedilatildeo
Teorema 119873119888119900119898119887119894119899119886ccedilotilde119890119904 =119899119896=
119899
119899 minus 119896 119896
Cap 4-58
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Qual o nuacutemero de combinaccedilotildees de 2
elementos distintos que podemos construir com as letras
A B C D
Cap 4-59
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Qual o nuacutemero de combinaccedilotildees de 2
elementos das letras A B C D
Soluccedilatildeo
Conferindo
AB AC AD BC BD CD
62)24(
4
2
4
scombinaccedilotildeeN
Cap 4-60
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Um armazeacutem da universidade recebeu 25
impressoras das quais 10 satildeo a laser e 15 a jato de tinta
Se 6 das 25 forem selecionadas aleatoriamente para para
serem verificadas por um teacutecnico qual seraacute a
probabilidade de exatamente 3 delas serem a laser
Cap 4-61
Teacutecnicas de Contagem
Soluccedilatildeo Seja 1198633= 3 das 6 selecionadas satildeo a laser Como a seleccedilatildeo das impressoras
dentre as 25 eacute aleatoacuteria cada uma delas tem a mesma chance de ser sorteada
Probabilidade claacutessica implica 119875 1198633 = 119899(1198633)119899
Como a ordem da seleccedilatildeo das impressoras natildeo importa 119899 =256
Para determinar 1198633 vamos dividir o processo em duas etapas 1) selecionamos 3 das 15
impressoras a tinta e 2) selecionamos 3 das 6 impressoras a laser Para cada elemento da
primeira etapa temos exatamente o mesmo nordm de possibilidades da segunda etapa Pelo
princiacutepio da contagem 119899 1198633 = 1198991 1198633 lowast 1198992 1198633
Como a ordem em que as impressoras satildeo selecionadas em cada etapa natildeo tem
importacircncia 1198991 1198633 =153
e 1198992 1198633 =63
Entatildeo
119875 1198633 =
153
63
256
= 03083
Desafio P(ao menos 3 das 6 selecionadas sejam a laser)
Cap 4-62
Resumo Nesta aula vimos
Como representar um modelo de probabilidade para uma situaccedilatildeo
incerta (experimento aleatoacuterio)
Etapa 1 definiccedilatildeo do espaccedilo amostral
Revisatildeo de conjuntos
Etapa 2 especificaccedilatildeo de uma funccedilatildeo probabilidade que atribui pesos
para a chance relativa de cada resultado do espaccedilo amostral
3 conceitos de probabilidade
Probabilidade claacutessica
Probabilidade Frequentista
Axiomas de Kolmogorov
Revisatildeo de teacutecnicas de contagem para podermos calcular
probabilidades
Na proacutexima aula veremos como incorporar informaccedilotildees novas ao
caacutelculo de probabilidade =gt Probabilidade condicional
Cap 4-4
Introduccedilatildeo
Um experimento aleatoacuterio eacute um experimento que
ao ser repetido nas mesmas condiccedilotildees pode fornecer
diferentes resultados
Exemplos
Jogar um dado e observar a face superior
Selecionar ao acaso um habitante de Natal e medir sua
altura em metros
Retirar um lote de peccedilas em um processo de produccedilatildeo e
determinar o nuacutemero de peccedilas defeituosas
Nuacutemero de chamadas telefocircnicas que chegam a uma central
num intervalo de tempo fixado
Definiccedilatildeo
Cap 4-5
Introduccedilatildeo
Objetivo da teoria de probabilidade eacute construir um
modelo matemaacutetico para representar eventos incertos
(experimentos aleatoacuterios) e a chance de ocorrecircncia
de possiacuteveis resultados
O modelo eacute construiacutedo em duas etapas
Etapa 1
Descriccedilatildeo do conjunto de
resultados possiacuteveis do experimento
aleatoacuterio
Etapa 2
Atribuiccedilatildeo de pesos que refletem a maior ou menor chance de
um resultado acontecer
Cap 4-6
Espaccedilo Amostral e Eventos
O conjunto de todos os resultados possiacuteveis de um
experimento aleatoacuterio eacute chamado espaccedilo amostral do
experimento O espaccedilo amostral eacute denotado por S
Requisitos
apenas um resultado possiacutevel para cada rodada do
experimento
nenhum resultado possiacutevel fique fora do espaccedilo
amostral
Definiccedilatildeo
Cap 4-7
Espaccedilo Amostral e Eventos
Exemplo 1 Lanccedilamento de um dado
S=123456 Enumeraacutevel e finito
Exemplo 2 Lanccedilamento de uma moeda ateacute que apareccedila a
primeira cara C cara K Coroa
S=C KC KKC KKKC hellip Enumeraacutevel e infinito
Exemplo 3 Lanccedilamento de dardo em alvo com raio 1 (ou
ponto em ciacuterculo de raio 1)
S=(xy) xsup2+ysup2lt=1 Natildeo-enumeraacutevel
Cap 4-8
Espaccedilo Amostral e Eventos
Um evento eacute um subconjunto do espaccedilo amostral S de
um experimento aleatoacuterio Os subconjuntos de S satildeo
representados pelas letras maiuacutesculas A B
O evento eacute denominado simples se consistir num uacutenico
resultado do espaccedilo amostral
O evento eacute denominado composto se consistir em mais
de um resultado do espaccedilo amostral
O conjunto vazio eacute denotado por 120601
Definiccedilatildeo
Cap 4-9
Espaccedilo Amostral e Eventos
Exemplo 1 Lanccedilamento de um dado S=123456
A = 6 B=1 eventos simples
C =faces pares D=faces menor ou igual a 3
evento composto
Exemplo 2 Uma rede de computadores estaacute em operaccedilatildeo
contiacutenua mas falhas podem acontecer a qualquer momento
O experimento conta o ndeg de falhas em um dia tal que
S=0 1 2 3 hellip
A = 0 falhas em um dia evento simples
B=menos de 2 falhas em um dia evento composto
Cap 4-10
Eventos e Espaccedilo Amostral
Exerciacutecio 1 Considere o experimento que consiste em lanccedilar
trecircs moedas e observar a face superior delas
a) Determine o espaccedilo amostral
b) Decirc um exemplo de evento composto
Cap 4-11
Eventos e Espaccedilo Amostral
Exerciacutecio 1 Considere o experimento que consiste em lanccedilar
trecircs moedas e observar a face superior delas
a) Determine o espaccedilo amostral
b) Decirc um exemplo de evento composto
Soluccedilatildeo
a) S = CCC CCK CKC KCC CKK KCK KKC KKK
b) Ex A = resultado com 2 caras (C) = CCK CKC KCC
Ex B = resultado com mais coroas do que caras
=CKK KCK KKC KKK
Cap 4-12
Eventos e Conjuntos
Eventos e Conjuntos
Uniatildeo Interseccedilatildeo Complemento Mutuamente Excludentes (disjuntos)
Coletivamente exaustivos
Particcedilatildeo
Eventos satildeo subconjuntos do espaccedilo amostral Vamos revisar algumas operaccedilotildees
de conjuntos
Cap 4-13
Eventos e Conjuntos
A uniatildeo de dois conjuntos (eventos) A e B eacute o conjunto (evento)
que consiste de todos os resultados que estatildeo no conjunto A ou no
conjunto B ou em ambos
119860 cup 119861 = 119909 isin 119878 119909 isin 119860 119900119906 119909 isin 119861
A interseccedilatildeo de dois conjuntos (eventos) A e B eacute o conjunto que
consiste de todos os resultados que estatildeo simultaneamente em A e
em B
119860 cap 119861 = 119909 isin 119878 119909 isin 119860 119890 119909 isin 119861
O complemento de um conjunto (evento) A representado por Ac
(ou Arsquo) eacute o conjunto de todos os resultados que natildeo estatildeo
contidos em A
119860119888 = 119909 isin 119878 119909 notin 119860
Definiccedilatildeo
Definiccedilatildeo
Definiccedilatildeo
Cap 4-14
Eventos e Conjuntos
Eventos mutuamente excludentes satildeo eventos que natildeo podem acontecer simultaneamente Tambeacutem dizemos eventos disjuntos
Exemplo Experimento - uma carta eacute selecionada do baralho
A = rainha de ouros B = rainha de copas
Os eventos A e B satildeo mutuamente excludentes
C = rainha D = ouros
C e D natildeo satildeo mutuamente exlcudentes
Exemplo Experimento ndash um feto eacute gerado
Y = eacute menino X = eacute menina
Os eventos X e Y satildeo mutuamente excludentes se natildeo considerarmos a possibilidade de hermafrodita
Definiccedilatildeo
Cap 4-15
Eventos e Conjuntos
Uma particcedilatildeo de um espaccedilo amostral consiste de um conjunto de
eventos tais que
Os eventos satildeo mutuamente excludentes (apenas um dos
eventos pode ocorrer)
Os eventos satildeo coletivamente exaustivos i e a uniatildeo dos
eventos cobre todo o espaccedilo amostral
Exemplo Experimento ndash uma carta eacute selecionada do baralho
Sejam A = azes B = cartas pretas C = ouros e D =copas
Os eventos A B C e D satildeo coletivamente exaustivos (mas natildeo
satildeo mutuamente excludentes)
Os eventos B C e D formam uma particcedilatildeo
Definiccedilatildeo
Cap 4-16
Visualizaccedilatildeo de conjuntos
Diagramas de Venn
S
A
B
S S
S S S
A A
A B
B
B C
C
A
B
A
B
a) AcapB b)AUB c)A capBc d)Ac e)AB e C satildeo disjuntos f)AB e C satildeo particcedilatildeo de S
Cap 4-17
Eventos e Conjuntos
Exerciacutecio Assuma que S = 0 1 2 3 4 5 6 7 A=0 1 2
34 B=3 4 5 6 e C=1 3 5 Determinar
119860 cup 119861
119860 cap 119861
119860 cup 119862
119860 cap 119862
119862 cup 119861
119862 cap 119861
119860119888
119861119888
119862119888
Cap 4-18
Propriedades de Conjuntos
Operaccedilotildees entre conjuntos tecircm uma seacuterie de propriedades
Exemplos
119860 cup 119861 = 119861 cup 119860 e 119860 cap 119861 = 119861 cap 119860
119860 cap 119861 cup 119862 = (119860 cap 119861) cup (119860 cap 119862)
119860119888 119888 = 119860
119860 cup 119878 = 119878
119860 cap 119860119888 = empty
119860 cap 119878 = 119860
Cap 4-19
Propriedades de Conjuntos
Leis de Morgan
119860 cup 119861 119888 = 119860119888 cap 119861119888 119860 cap 119861 119888 = 119860119888 cup 119861119888
Cap 4-20
Visualizando Eventos
Existem diversas formas de representar a ocorrecircncia de eventos
Rep
rese
nta
ccedilotildees
de
Even
tos Diagrama de Venn
Tabela de contingecircncia ou tabela cruzada
Diagrama de aacutervore
Matriz
Cap 4-21
Visualizando Eventos
Tabelas de contigecircncia
Diagrama de aacutervore
Aacutes Natildeo
Aacutes
Total
Preta 2 24 26
Vermelha 2 24 26
Total 4 48 52
Baralho de
52 Cartas Espaccedilo
Amostral
2
24
2
24
A definiccedilatildeo da ordem dos ramos depende do problema
Cap 4-22
Visualizando Eventos
Lanccedilamento de 2 dados de quatro lados
Espaccedilo Amostral para o
lanccedilamento de 2 dados
2deg dado
1deg dado
Diagrama de Aacutervore para
o lanccedilamento de 2 dados
Raiz
Folhas
Representaccedilatildeo por Matriz Representaccedilatildeo por Aacutervore
1deg dado
2deg dado
Modelo Probabiliacutestico
Cap 4-23
Experimento
Evento B
Evento A
Espaccedilo Amostral
Eventos
Os principais ingredientes de um modelo probabiliacutestico
Probabilidade
Etapa 1 Etapa 2
Cap 4-24
Probabilidade
Probabilidade atribuir chance (peso relativo) a
eventos possiacuteveis de um experimento aleatoacuterio
Diferentes conceitos
Definiccedilatildeo claacutessica de probabilidade
Definiccedilatildeo frequentista ou Definiccedilatildeo estatiacutestica de
probabilidade ou Definiccedilatildeo Claacutessica empiacuterica
Axiomas de Kolmogorov
Cap 4-25
Probabilidade Claacutessica
A definiccedilatildeo claacutessica de probabilidade se refere a subconjuntos
unitaacuterios e equiprovaacuteveis isto eacute conjuntos de resultados que tecircm a
mesma chance
CASO 1 No caso enumeraacutevel e finito em que a chance de sorteio de
cada resultado do espaccedilo amostral eacute a mesma a probabilidade de um
evento A eacute dada por
119875 119860 =119899ordm 119889119890 119907119890119911119890119904 119902119906119890 119860 119901119900119889119890 119900119888119900119903119903119890119903 119890119898 119878
119899ordm 119905119900119905119886119897 119889119890 119903119890119904119906119897119905119886119889119900119904 119901119900119904119904iacute119907119890119894119904 119890119898 119878
Definiccedilatildeo
Use Teacutecnicas de anaacutelise combinatoacuteria
e contagem para determinar o ndeg
total e o ndeg de vezes que A pode sair
Cap 4-26
Probabilidade Claacutessica
CASO 2 (probabilidade geomeacutetrica) Se 119878 eacute natildeo-
enumeraacutevel e equiprovaacutevel (mesma chance para cada
resultado) o conceito se aplica ao comprimento de
intervalos medidas de aacutereas hellip
Exemplo 119878 = [010] tal que cada valor pode sair
com a mesma chance dos demais Seja 119860 o
subconjunto [12] cup [68] Entatildeo
119875 119860 =119862119900119898119901119903119894119898119890119899119905119900 119889119890 119860
119862119900119898119901119903119894119898119890119899119905119900 119905119900119905119886119897 119889119890 119878=1+2
10= 03
Definiccedilatildeo
Probabilidade Claacutessica
Exerciacutecio Considere o experimento que consiste no
lanccedilamento de 2 dados balanceados e registram-se as faces
superiores
Calcular a probabilidade de
a) obter soma das faces superiores = 7
b) obter soma das faces superiores maior do que 10
c) que resultado do primeiro dado seja superior ao
resultado do segundo
Cap 4-27
Probabilidade Claacutessica
Exerciacutecio Considere o lanccedilamento de 2 dados balanceados
Total de resultados 36
Calcular a probabilidade de
a) Obter soma 7
2 resultados possiacuteveis (34) (43) (25) (52) (16) (61)
P(Soma=7)=636
b) Obter soma maior do que 10
3 resultados possiacuteveis (65) (56) e (66)
P(Somagt10) = 336
Cap 4-28
Probabilidade Claacutessica
Exerciacutecio Considere o lanccedilamento de 2 dados balanceados
Total de resultados 36
Calcular a probabilidade de
c) Que resultado do primeiro dado seja superior ao
resultado do segundo
Resultados possiacuteveis 15
P(1degdadogt2degdado)=15 36
Cap 4-29
1 2 3 4 5 6 1
2
3
4
5
6
1deg Dado
2deg
Da
do
Cap 4-30
Probabilidade Claacutessica
Em termos praacuteticos temos que determinar
O nuacutemero total de resultados possiacuteveis
O nuacutemero de vezes que podemos ganhar (A)
CUIDADO soacute pode ser aplicado quando todos os resultados do
espaccedilo amostral tem a mesma chance de ocorrer
Exemplos dado moeda sexo dos filhos
Contra-exemplo peso de pessoas (entre 40 e 120)
chance de (40 a 50 kg) lt chance (60 a 70 kg)
Intervalos com mesmo comprimento pela probabilidade
geomeacutetrica devem ter a mesma probabilidade Natildeo faz sentido
para o peso de pessoas
Cap 4-31
Probabilidade Frequentista
A probabilidade frequentista considera o limite de frequecircncias
relativas como o valor da probabilidade
Seja nA o nuacutemero de ocorrecircncia de A em n repeticcedilotildees independentes
do experimento Assim
119875 119860 = lim119899rarrinfin
119899119860119899
Assim definimos a probabilidade como a frequecircncia relativa
observada ao repertirmos o experimento um ndeg muito grande de vezes
Exemplo caixa com 100 moedas e conte o nuacutemero de caras ou ver
applet laquo probability raquo do Moore
Definiccedilatildeo
Cap 4-32
Probabilidade Frequentista
A probabilidade frequentista considera o limite de frequecircncias
relativas como o valor da probabilidade
Na praacutetica
repita o experimento aleatoacuterio um nuacutemero grande de vezes 119899
Conte o nordm de vezes que o evento de interesse 119860 aconteceu 119899119860
Entatildeo a probabilidade de o evento acontecer eacute calculada como
119875 119860 =119899119860119899
Eacute soacute isso
Cap 4-33
Probabilidade Frequentista
Cursando
estatiacutestica
Natildeo-
cursando
estatiacutestica
Total
Masculino 84 145 229
Feminino 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Encontre a probabilidade de selecionar um aluno de
estatiacutestica do sexo masculino a partir de uma populaccedilatildeo descrita
na tabela abaixo Considere que 439 eacute grande o suficiente para
aplicar a probabilidade frequentista
Neste caso o experimento consiste em selecionar uma pessoa
da populaccedilatildeo e em seguida observarmos o sexo e se cursa
estatiacutestica O experimento foi repetido 439 vezes
Cap 4-34
Probabilidade Frequentista
Cursando
estatiacutestica
Natildeo-
cursando
estatiacutestica
Total
Masculino 84 145 229
Feminino 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Encontre a probabilidade de selecionar um aluno de
estatiacutestica do sexo masculino a partir de uma populaccedilatildeo descrita
na tabela abaixo
119875 119867119900119898119890119898 cap 119864119904119905119886119905iacute119904119905119894119888119886 =119899ordm 119889119890 119867119900119898119890119898 cap 119864119904119905119886119905iacute119905119894119888119886
119899ordm 119889119890 119886119897119906119899119900119904=84
439= 0191
Cap 4-35
Axiomas de Probabilidade de
Kolmogorov
Axiomas de Kolmogorov
definiccedilatildeo formal de probabilidade
incluem as definiccedilotildees acima como casos particulares
Qualquer funccedilatildeo P() dos subconjuntos do espaccedilo amostral (eventos)
no intervalo [01] eacute uma probabilidade se satisfaz as condiccedilotildees
1 (Natildeo-negatividade)119875(119860 ge 0) forall evento 119860
2 (Aditividade) 119875 cup119895 119864119895 = 119875(119864119895) 119895 forall 119864119895 eventos disjuntos
3 (Normalizaccedilatildeo) 119875 119878 = 1
Definiccedilatildeo
Cap 4-36
Propriedades de uma
Probabilidade
Como consequecircncia dos Axiomas de Kolmogorov mostre que uma
funccedilatildeo probabilidade satisfaz as seguintes propriedades
1 119875 119864119888 = 1 minus 119875 119864
2 Se 1198641 sube 1198642 entatildeo 119875 1198641 le 119875 1198642
3 119875 120601 = 0
Ainda partindo dos axiomas de Kolmogorov podemos
provar a Regra geral da adiccedilatildeo
Regra Geral da Adiccedilatildeo
Cap 4-37
119875 119860 cup 119861 = 119875 119860 + 119875 119861 minus 119875(119860 cap 119861)
Regra Geral da Adiccedilatildeo
Regra geral da adiccedilatildeo
No caso particular em que os eventos satildeo
mutuamente excludentes continua valendo o axioma
de aditividade pois 119875 119860 cap 119861 = 0 daiacute
119875 119860 cup 119861 = 119875 119860 + 119875(119861)
Cap 4-38
119875 119860 cup 119861 = 119875 119860 + 119875 119861 minus 119875(119860 cap 119861)
Cap 4-39
Exemplo da Regra Geral de
Adiccedilatildeo
Cursando
estatiacutestica
Natildeo cursando
estatiacutestica
Total
Homem 84 145 229
Mulher 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Qual a probabilidade de selecionamos
aleatoriamente um homem ou um aluno(a) da estatiacutestica de
uma populaccedilatildeo descrita pela tabela abaixo
Cap 4-40
Exemplo da Regra Geral de
Adiccedilatildeo
Cursando
estatiacutestica
Natildeo cursando
estatiacutestica
Total
Homem 84 145 229
Mulher 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Qual a probabilidade de selecionamos
aleatoriamente um homem ou um aluno(a) da estatiacutestica de
uma populaccedilatildeo descrita pela tabela abaixo
119875 119867119900119898119890119898 cup 119864119904119905119886119905iacute119905119894119888119886 =
119875 119867119900119898119890119898 + 119875 119864119904119905119886119905iacute119904119905119894119888119886 minus 119875 119867119900119898119890119898 cap 119864119904119905119886119905119894119904119905119894119888119886 =229
439+160
439minus
84
439=305
439
Cap 4-41
Resumo de Probabilidade
Probabilidade eacute uma medida numeacuterica que informa a chance de um resultado ocorrer
A probabilidade de um evento deve estar entre 0 e 1 incluindo os extremos
0 le 119875(119860) le 1 para qquer evento 119860
A soma da probabilidade de uma particcedilatildeo do espaccedilo amostral eacute igual a 1
119875(119860) + 119875(119861) + 119875(119862) = 1
em que A B e C satildeo eventos mutuamente excludentes e coletivamente exaustivos (particcedilatildeo de 119878)
Certo
Impossiacutevel
05
1
0
Exemplo Probabilidade
Cap 4-42
Vocabulaacuterio Geral
Pelo menos 1 dos eventos A B ou ambos =
119860 cup 119861
Nenhum dos eventos nem A nem B = (119860 cup 119861)119888
Apenas 1 (ex Apenas A) possui A e natildeo possui B
= 119860 cap (119861119888)
Cap 4-43
Exerciacutecio Probabilidade
Selecione aleatoriamente um estudante em uma determinada
universidade e represente por A o evento dele possuir um cartatildeo de
creacutedito Visa e por B o evento anaacutelogo para um Mastercard Suponha que
P(Visa) = 05 P(Mastercard) = 04 e P (Ambos os cartotildees) = 025
1 Calcule a probabilidade de que um indiviacuteduo selecionado tenha
pelo menos um dos dois tipos de cartatildeo
2 Qual a probabilidade de o indiviacuteduo selecionado natildeo ter nenhum
dos tipos de cartatildeo
3 Descreva em termos de A e B o evento em que o estudante
selecionado possui um cartatildeo Visa mas natildeo um MasterCard
4 Calcule a probabilidade desse evento
Teacutecnicas de Contagem
Princiacutepio de contagem (divida e conquiste) o processo
eacute quebrado em vaacuterias etapas com o uso do diagrama de
aacutervores
Cap 4-44
n2
opccedilotildees
Folhas
n1
opccedilotildees
n3
opccedilotildees
n4
opccedilotildees
Estaacutegio
1
Estaacutegio
2
Estaacutegio
3
Estaacutegio
4
Nuacutemero total de folhas eacute
n1n2n3hellipni
n2
opccedilotildees
Desde que um mesmo
estaacutegio tenha o mesmo nordm
de opccedilotildees em cada ponto
da aacutervore
Teacutecnicas de Contagem
Princiacutepio de contagem
Considere um processo que contem r estaacutegios Suponha que
Existem n1 resultados possiacuteveis no primeiro estaacutegio
Para cada resultado possiacutevel do estaacutegio 1 existem n2
resultados possiacuteveis no estaacutegio 2
De forma mais geral para cada um dos resultados ni-1
primeiros estaacutegios existem ni resultados possiacuteveis no i-
eacutesimo estaacutegio
Entatildeo o Nuacutemero total de resultados possiacuteveis no processo de r
estaacutegios eacute de n1n2n3hellipnr
Cap 4-45
Teorema
Cap 4-46
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Um nuacutemero telefocircnico eacute composto de 8
diacutegitos mas o primeiro diacutegito apenas assume 3 valores
possiacuteveis 3 8 9 Quantos nuacutemeros distintos existem
Cap 4-47
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Um nuacutemero telefocircnico eacute composto de 8
diacutegitos mas o primeiro diacutegito apenas assume 3 valores
3 8 9 Quantos nuacutemeros distintos existem
Temos um total de 8 estaacutegios
No primeiro estaacutegio apenas 3 opccedilotildees
Nos demais estaacutegios 10 opccedilotildees
Total 3 107
Cap 4-48
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Quantos subconjutos podemos fazer a
partir de um conjunto com n elementos s1 s2 s3 hellip
sn
Cap 4-49
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Quantos subconjutos podemos fazer a
partir de um conjunto com n elementos s1 s2 s3 hellip
sn
Processo de n estaacutegios em cada estaacutegio decidimos se
colocamos ou natildeo o elemento no subconjunto
nuacutemero de opccedilotildees para o primeiro estaacutegio 2
Total 222hellip2 =2n
Cap 4-50
Teacutecnicas de Contagem
Problema Selecionar 119948 objetos de um total de 119951
objetos 119899 ge 119896 sem reposiccedilatildeo
Se a ordem eacute importante Arranjo
ex de palavra as eacute diferente de sa
Se a ordem natildeo eacute importante Combinaccedilatildeo
ex da loteria escolhemos um conjunto de 6 nordm a
ordem em que eles satildeo sorteados natildeo faz diferenccedila
Cap 4-51
Teacutecnicas de Contagem
Ao contraacuterio da permutaccedilatildeo na combinaccedilatildeo a ordem dos
elementos natildeo eacute importante
Exemplo
Permutaccedilatildeo de 2 elementos das letras A B C D
AB AC AD BA BC BD CA CB CD DA DB DC
Combinaccedilatildeo de 2 elementos das letras A B C D
AB AC AD BC BD CD
jaacute que a ordem natildeo eacute importante BA eacute o mesmo que
AB
Cap 4-52
Teacutecnicas de Contagem
Arranjo de k objetos
Queremos selecionar k objetos de um conjunto de n
objetos sem reposiccedilatildeo
Para o 1deg objeto n possibilidades
Para o 2deg objeto n-1 possibilidades
hellip
Para o uacuteltimo (kdeg objeto) n - (k-1) possibilidades
Total de permutaccedilotildees 119951 lowast (119951 minus 120783) lowast ⋯lowast (119951 minus 119948 + 120783)
Ou usando fatorial
Teorema
119899
119899 minus 119896
Cap 4-53
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Qual o total de palavras que podemos
construir com exatamente 4 letras distintas (natildeo precisa
ter significado nem seguir regras ortograacuteficas)
Cap 4-54
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Qual o total de palavras que podemos
construir com exatamente 4 letras distintas (natildeo
precisa ter significado nem seguir regras
ortograacuteficas)
Soluccedilatildeo
Selecionar 4 letras de um total de 26 sem repetir A
ordem eacute importante pois estamos formando
palavras (permutaccedilatildeo)
Total de arranjos de 4 elementos 26252423
Cap 4-55
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Vocecirc tem 10 CDs de muacutesica claacutessica 20
CDs de rock e 15 CDs de forroacute De quantas formas eacute
possiacutevel arranjar os seus CDs tal que os CDs do mesmo
tipo sempre fiquem juntos
Se os CDs forem colocados na prateleira de forma
aleatoacuteria qual eacute a probabilidade de os CDs do mesmo
estilo musical ficarem juntos
Cap 4-56
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Soluccedilatildeo princiacutepio da Contagem + Arranjos
Podemos quebrar o processo em 2 estaacutegios
1) Escolher a ordem dos tipos de Cds 321
2) Escolher a sequecircncia dos Cds para cada tipo
Para Cds de muacutesica claacutessica 10
Para Cds de rock 20
Para Cds de forroacute 15
Total 3102015
Cap 4-57
Teacutecnicas de Contagem
Combinaccedilatildeo de k elementos em n
Queremos contar o nuacutemero de subconjuntos de k elementos a
partir de um conjunto de n elementos sem reposiccedilatildeo
A ordem dos elementos natildeo eacute importante
Dizemos combinaccedilatildeo de n elementos k a k
Ex Formar comitecirc com 3 representantes de turma de um total de
131 alunos
Se todos tem mesmo poder a ordem de escolha natildeo eacute
importante combinaccedilatildeo
Se teremos presidente vice-presidente e secretaacuterio entatildeo a
ordem de escolha eacute importante permutaccedilatildeo
Teorema 119873119888119900119898119887119894119899119886ccedilotilde119890119904 =119899119896=
119899
119899 minus 119896 119896
Cap 4-58
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Qual o nuacutemero de combinaccedilotildees de 2
elementos distintos que podemos construir com as letras
A B C D
Cap 4-59
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Qual o nuacutemero de combinaccedilotildees de 2
elementos das letras A B C D
Soluccedilatildeo
Conferindo
AB AC AD BC BD CD
62)24(
4
2
4
scombinaccedilotildeeN
Cap 4-60
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Um armazeacutem da universidade recebeu 25
impressoras das quais 10 satildeo a laser e 15 a jato de tinta
Se 6 das 25 forem selecionadas aleatoriamente para para
serem verificadas por um teacutecnico qual seraacute a
probabilidade de exatamente 3 delas serem a laser
Cap 4-61
Teacutecnicas de Contagem
Soluccedilatildeo Seja 1198633= 3 das 6 selecionadas satildeo a laser Como a seleccedilatildeo das impressoras
dentre as 25 eacute aleatoacuteria cada uma delas tem a mesma chance de ser sorteada
Probabilidade claacutessica implica 119875 1198633 = 119899(1198633)119899
Como a ordem da seleccedilatildeo das impressoras natildeo importa 119899 =256
Para determinar 1198633 vamos dividir o processo em duas etapas 1) selecionamos 3 das 15
impressoras a tinta e 2) selecionamos 3 das 6 impressoras a laser Para cada elemento da
primeira etapa temos exatamente o mesmo nordm de possibilidades da segunda etapa Pelo
princiacutepio da contagem 119899 1198633 = 1198991 1198633 lowast 1198992 1198633
Como a ordem em que as impressoras satildeo selecionadas em cada etapa natildeo tem
importacircncia 1198991 1198633 =153
e 1198992 1198633 =63
Entatildeo
119875 1198633 =
153
63
256
= 03083
Desafio P(ao menos 3 das 6 selecionadas sejam a laser)
Cap 4-62
Resumo Nesta aula vimos
Como representar um modelo de probabilidade para uma situaccedilatildeo
incerta (experimento aleatoacuterio)
Etapa 1 definiccedilatildeo do espaccedilo amostral
Revisatildeo de conjuntos
Etapa 2 especificaccedilatildeo de uma funccedilatildeo probabilidade que atribui pesos
para a chance relativa de cada resultado do espaccedilo amostral
3 conceitos de probabilidade
Probabilidade claacutessica
Probabilidade Frequentista
Axiomas de Kolmogorov
Revisatildeo de teacutecnicas de contagem para podermos calcular
probabilidades
Na proacutexima aula veremos como incorporar informaccedilotildees novas ao
caacutelculo de probabilidade =gt Probabilidade condicional
Cap 4-5
Introduccedilatildeo
Objetivo da teoria de probabilidade eacute construir um
modelo matemaacutetico para representar eventos incertos
(experimentos aleatoacuterios) e a chance de ocorrecircncia
de possiacuteveis resultados
O modelo eacute construiacutedo em duas etapas
Etapa 1
Descriccedilatildeo do conjunto de
resultados possiacuteveis do experimento
aleatoacuterio
Etapa 2
Atribuiccedilatildeo de pesos que refletem a maior ou menor chance de
um resultado acontecer
Cap 4-6
Espaccedilo Amostral e Eventos
O conjunto de todos os resultados possiacuteveis de um
experimento aleatoacuterio eacute chamado espaccedilo amostral do
experimento O espaccedilo amostral eacute denotado por S
Requisitos
apenas um resultado possiacutevel para cada rodada do
experimento
nenhum resultado possiacutevel fique fora do espaccedilo
amostral
Definiccedilatildeo
Cap 4-7
Espaccedilo Amostral e Eventos
Exemplo 1 Lanccedilamento de um dado
S=123456 Enumeraacutevel e finito
Exemplo 2 Lanccedilamento de uma moeda ateacute que apareccedila a
primeira cara C cara K Coroa
S=C KC KKC KKKC hellip Enumeraacutevel e infinito
Exemplo 3 Lanccedilamento de dardo em alvo com raio 1 (ou
ponto em ciacuterculo de raio 1)
S=(xy) xsup2+ysup2lt=1 Natildeo-enumeraacutevel
Cap 4-8
Espaccedilo Amostral e Eventos
Um evento eacute um subconjunto do espaccedilo amostral S de
um experimento aleatoacuterio Os subconjuntos de S satildeo
representados pelas letras maiuacutesculas A B
O evento eacute denominado simples se consistir num uacutenico
resultado do espaccedilo amostral
O evento eacute denominado composto se consistir em mais
de um resultado do espaccedilo amostral
O conjunto vazio eacute denotado por 120601
Definiccedilatildeo
Cap 4-9
Espaccedilo Amostral e Eventos
Exemplo 1 Lanccedilamento de um dado S=123456
A = 6 B=1 eventos simples
C =faces pares D=faces menor ou igual a 3
evento composto
Exemplo 2 Uma rede de computadores estaacute em operaccedilatildeo
contiacutenua mas falhas podem acontecer a qualquer momento
O experimento conta o ndeg de falhas em um dia tal que
S=0 1 2 3 hellip
A = 0 falhas em um dia evento simples
B=menos de 2 falhas em um dia evento composto
Cap 4-10
Eventos e Espaccedilo Amostral
Exerciacutecio 1 Considere o experimento que consiste em lanccedilar
trecircs moedas e observar a face superior delas
a) Determine o espaccedilo amostral
b) Decirc um exemplo de evento composto
Cap 4-11
Eventos e Espaccedilo Amostral
Exerciacutecio 1 Considere o experimento que consiste em lanccedilar
trecircs moedas e observar a face superior delas
a) Determine o espaccedilo amostral
b) Decirc um exemplo de evento composto
Soluccedilatildeo
a) S = CCC CCK CKC KCC CKK KCK KKC KKK
b) Ex A = resultado com 2 caras (C) = CCK CKC KCC
Ex B = resultado com mais coroas do que caras
=CKK KCK KKC KKK
Cap 4-12
Eventos e Conjuntos
Eventos e Conjuntos
Uniatildeo Interseccedilatildeo Complemento Mutuamente Excludentes (disjuntos)
Coletivamente exaustivos
Particcedilatildeo
Eventos satildeo subconjuntos do espaccedilo amostral Vamos revisar algumas operaccedilotildees
de conjuntos
Cap 4-13
Eventos e Conjuntos
A uniatildeo de dois conjuntos (eventos) A e B eacute o conjunto (evento)
que consiste de todos os resultados que estatildeo no conjunto A ou no
conjunto B ou em ambos
119860 cup 119861 = 119909 isin 119878 119909 isin 119860 119900119906 119909 isin 119861
A interseccedilatildeo de dois conjuntos (eventos) A e B eacute o conjunto que
consiste de todos os resultados que estatildeo simultaneamente em A e
em B
119860 cap 119861 = 119909 isin 119878 119909 isin 119860 119890 119909 isin 119861
O complemento de um conjunto (evento) A representado por Ac
(ou Arsquo) eacute o conjunto de todos os resultados que natildeo estatildeo
contidos em A
119860119888 = 119909 isin 119878 119909 notin 119860
Definiccedilatildeo
Definiccedilatildeo
Definiccedilatildeo
Cap 4-14
Eventos e Conjuntos
Eventos mutuamente excludentes satildeo eventos que natildeo podem acontecer simultaneamente Tambeacutem dizemos eventos disjuntos
Exemplo Experimento - uma carta eacute selecionada do baralho
A = rainha de ouros B = rainha de copas
Os eventos A e B satildeo mutuamente excludentes
C = rainha D = ouros
C e D natildeo satildeo mutuamente exlcudentes
Exemplo Experimento ndash um feto eacute gerado
Y = eacute menino X = eacute menina
Os eventos X e Y satildeo mutuamente excludentes se natildeo considerarmos a possibilidade de hermafrodita
Definiccedilatildeo
Cap 4-15
Eventos e Conjuntos
Uma particcedilatildeo de um espaccedilo amostral consiste de um conjunto de
eventos tais que
Os eventos satildeo mutuamente excludentes (apenas um dos
eventos pode ocorrer)
Os eventos satildeo coletivamente exaustivos i e a uniatildeo dos
eventos cobre todo o espaccedilo amostral
Exemplo Experimento ndash uma carta eacute selecionada do baralho
Sejam A = azes B = cartas pretas C = ouros e D =copas
Os eventos A B C e D satildeo coletivamente exaustivos (mas natildeo
satildeo mutuamente excludentes)
Os eventos B C e D formam uma particcedilatildeo
Definiccedilatildeo
Cap 4-16
Visualizaccedilatildeo de conjuntos
Diagramas de Venn
S
A
B
S S
S S S
A A
A B
B
B C
C
A
B
A
B
a) AcapB b)AUB c)A capBc d)Ac e)AB e C satildeo disjuntos f)AB e C satildeo particcedilatildeo de S
Cap 4-17
Eventos e Conjuntos
Exerciacutecio Assuma que S = 0 1 2 3 4 5 6 7 A=0 1 2
34 B=3 4 5 6 e C=1 3 5 Determinar
119860 cup 119861
119860 cap 119861
119860 cup 119862
119860 cap 119862
119862 cup 119861
119862 cap 119861
119860119888
119861119888
119862119888
Cap 4-18
Propriedades de Conjuntos
Operaccedilotildees entre conjuntos tecircm uma seacuterie de propriedades
Exemplos
119860 cup 119861 = 119861 cup 119860 e 119860 cap 119861 = 119861 cap 119860
119860 cap 119861 cup 119862 = (119860 cap 119861) cup (119860 cap 119862)
119860119888 119888 = 119860
119860 cup 119878 = 119878
119860 cap 119860119888 = empty
119860 cap 119878 = 119860
Cap 4-19
Propriedades de Conjuntos
Leis de Morgan
119860 cup 119861 119888 = 119860119888 cap 119861119888 119860 cap 119861 119888 = 119860119888 cup 119861119888
Cap 4-20
Visualizando Eventos
Existem diversas formas de representar a ocorrecircncia de eventos
Rep
rese
nta
ccedilotildees
de
Even
tos Diagrama de Venn
Tabela de contingecircncia ou tabela cruzada
Diagrama de aacutervore
Matriz
Cap 4-21
Visualizando Eventos
Tabelas de contigecircncia
Diagrama de aacutervore
Aacutes Natildeo
Aacutes
Total
Preta 2 24 26
Vermelha 2 24 26
Total 4 48 52
Baralho de
52 Cartas Espaccedilo
Amostral
2
24
2
24
A definiccedilatildeo da ordem dos ramos depende do problema
Cap 4-22
Visualizando Eventos
Lanccedilamento de 2 dados de quatro lados
Espaccedilo Amostral para o
lanccedilamento de 2 dados
2deg dado
1deg dado
Diagrama de Aacutervore para
o lanccedilamento de 2 dados
Raiz
Folhas
Representaccedilatildeo por Matriz Representaccedilatildeo por Aacutervore
1deg dado
2deg dado
Modelo Probabiliacutestico
Cap 4-23
Experimento
Evento B
Evento A
Espaccedilo Amostral
Eventos
Os principais ingredientes de um modelo probabiliacutestico
Probabilidade
Etapa 1 Etapa 2
Cap 4-24
Probabilidade
Probabilidade atribuir chance (peso relativo) a
eventos possiacuteveis de um experimento aleatoacuterio
Diferentes conceitos
Definiccedilatildeo claacutessica de probabilidade
Definiccedilatildeo frequentista ou Definiccedilatildeo estatiacutestica de
probabilidade ou Definiccedilatildeo Claacutessica empiacuterica
Axiomas de Kolmogorov
Cap 4-25
Probabilidade Claacutessica
A definiccedilatildeo claacutessica de probabilidade se refere a subconjuntos
unitaacuterios e equiprovaacuteveis isto eacute conjuntos de resultados que tecircm a
mesma chance
CASO 1 No caso enumeraacutevel e finito em que a chance de sorteio de
cada resultado do espaccedilo amostral eacute a mesma a probabilidade de um
evento A eacute dada por
119875 119860 =119899ordm 119889119890 119907119890119911119890119904 119902119906119890 119860 119901119900119889119890 119900119888119900119903119903119890119903 119890119898 119878
119899ordm 119905119900119905119886119897 119889119890 119903119890119904119906119897119905119886119889119900119904 119901119900119904119904iacute119907119890119894119904 119890119898 119878
Definiccedilatildeo
Use Teacutecnicas de anaacutelise combinatoacuteria
e contagem para determinar o ndeg
total e o ndeg de vezes que A pode sair
Cap 4-26
Probabilidade Claacutessica
CASO 2 (probabilidade geomeacutetrica) Se 119878 eacute natildeo-
enumeraacutevel e equiprovaacutevel (mesma chance para cada
resultado) o conceito se aplica ao comprimento de
intervalos medidas de aacutereas hellip
Exemplo 119878 = [010] tal que cada valor pode sair
com a mesma chance dos demais Seja 119860 o
subconjunto [12] cup [68] Entatildeo
119875 119860 =119862119900119898119901119903119894119898119890119899119905119900 119889119890 119860
119862119900119898119901119903119894119898119890119899119905119900 119905119900119905119886119897 119889119890 119878=1+2
10= 03
Definiccedilatildeo
Probabilidade Claacutessica
Exerciacutecio Considere o experimento que consiste no
lanccedilamento de 2 dados balanceados e registram-se as faces
superiores
Calcular a probabilidade de
a) obter soma das faces superiores = 7
b) obter soma das faces superiores maior do que 10
c) que resultado do primeiro dado seja superior ao
resultado do segundo
Cap 4-27
Probabilidade Claacutessica
Exerciacutecio Considere o lanccedilamento de 2 dados balanceados
Total de resultados 36
Calcular a probabilidade de
a) Obter soma 7
2 resultados possiacuteveis (34) (43) (25) (52) (16) (61)
P(Soma=7)=636
b) Obter soma maior do que 10
3 resultados possiacuteveis (65) (56) e (66)
P(Somagt10) = 336
Cap 4-28
Probabilidade Claacutessica
Exerciacutecio Considere o lanccedilamento de 2 dados balanceados
Total de resultados 36
Calcular a probabilidade de
c) Que resultado do primeiro dado seja superior ao
resultado do segundo
Resultados possiacuteveis 15
P(1degdadogt2degdado)=15 36
Cap 4-29
1 2 3 4 5 6 1
2
3
4
5
6
1deg Dado
2deg
Da
do
Cap 4-30
Probabilidade Claacutessica
Em termos praacuteticos temos que determinar
O nuacutemero total de resultados possiacuteveis
O nuacutemero de vezes que podemos ganhar (A)
CUIDADO soacute pode ser aplicado quando todos os resultados do
espaccedilo amostral tem a mesma chance de ocorrer
Exemplos dado moeda sexo dos filhos
Contra-exemplo peso de pessoas (entre 40 e 120)
chance de (40 a 50 kg) lt chance (60 a 70 kg)
Intervalos com mesmo comprimento pela probabilidade
geomeacutetrica devem ter a mesma probabilidade Natildeo faz sentido
para o peso de pessoas
Cap 4-31
Probabilidade Frequentista
A probabilidade frequentista considera o limite de frequecircncias
relativas como o valor da probabilidade
Seja nA o nuacutemero de ocorrecircncia de A em n repeticcedilotildees independentes
do experimento Assim
119875 119860 = lim119899rarrinfin
119899119860119899
Assim definimos a probabilidade como a frequecircncia relativa
observada ao repertirmos o experimento um ndeg muito grande de vezes
Exemplo caixa com 100 moedas e conte o nuacutemero de caras ou ver
applet laquo probability raquo do Moore
Definiccedilatildeo
Cap 4-32
Probabilidade Frequentista
A probabilidade frequentista considera o limite de frequecircncias
relativas como o valor da probabilidade
Na praacutetica
repita o experimento aleatoacuterio um nuacutemero grande de vezes 119899
Conte o nordm de vezes que o evento de interesse 119860 aconteceu 119899119860
Entatildeo a probabilidade de o evento acontecer eacute calculada como
119875 119860 =119899119860119899
Eacute soacute isso
Cap 4-33
Probabilidade Frequentista
Cursando
estatiacutestica
Natildeo-
cursando
estatiacutestica
Total
Masculino 84 145 229
Feminino 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Encontre a probabilidade de selecionar um aluno de
estatiacutestica do sexo masculino a partir de uma populaccedilatildeo descrita
na tabela abaixo Considere que 439 eacute grande o suficiente para
aplicar a probabilidade frequentista
Neste caso o experimento consiste em selecionar uma pessoa
da populaccedilatildeo e em seguida observarmos o sexo e se cursa
estatiacutestica O experimento foi repetido 439 vezes
Cap 4-34
Probabilidade Frequentista
Cursando
estatiacutestica
Natildeo-
cursando
estatiacutestica
Total
Masculino 84 145 229
Feminino 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Encontre a probabilidade de selecionar um aluno de
estatiacutestica do sexo masculino a partir de uma populaccedilatildeo descrita
na tabela abaixo
119875 119867119900119898119890119898 cap 119864119904119905119886119905iacute119904119905119894119888119886 =119899ordm 119889119890 119867119900119898119890119898 cap 119864119904119905119886119905iacute119905119894119888119886
119899ordm 119889119890 119886119897119906119899119900119904=84
439= 0191
Cap 4-35
Axiomas de Probabilidade de
Kolmogorov
Axiomas de Kolmogorov
definiccedilatildeo formal de probabilidade
incluem as definiccedilotildees acima como casos particulares
Qualquer funccedilatildeo P() dos subconjuntos do espaccedilo amostral (eventos)
no intervalo [01] eacute uma probabilidade se satisfaz as condiccedilotildees
1 (Natildeo-negatividade)119875(119860 ge 0) forall evento 119860
2 (Aditividade) 119875 cup119895 119864119895 = 119875(119864119895) 119895 forall 119864119895 eventos disjuntos
3 (Normalizaccedilatildeo) 119875 119878 = 1
Definiccedilatildeo
Cap 4-36
Propriedades de uma
Probabilidade
Como consequecircncia dos Axiomas de Kolmogorov mostre que uma
funccedilatildeo probabilidade satisfaz as seguintes propriedades
1 119875 119864119888 = 1 minus 119875 119864
2 Se 1198641 sube 1198642 entatildeo 119875 1198641 le 119875 1198642
3 119875 120601 = 0
Ainda partindo dos axiomas de Kolmogorov podemos
provar a Regra geral da adiccedilatildeo
Regra Geral da Adiccedilatildeo
Cap 4-37
119875 119860 cup 119861 = 119875 119860 + 119875 119861 minus 119875(119860 cap 119861)
Regra Geral da Adiccedilatildeo
Regra geral da adiccedilatildeo
No caso particular em que os eventos satildeo
mutuamente excludentes continua valendo o axioma
de aditividade pois 119875 119860 cap 119861 = 0 daiacute
119875 119860 cup 119861 = 119875 119860 + 119875(119861)
Cap 4-38
119875 119860 cup 119861 = 119875 119860 + 119875 119861 minus 119875(119860 cap 119861)
Cap 4-39
Exemplo da Regra Geral de
Adiccedilatildeo
Cursando
estatiacutestica
Natildeo cursando
estatiacutestica
Total
Homem 84 145 229
Mulher 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Qual a probabilidade de selecionamos
aleatoriamente um homem ou um aluno(a) da estatiacutestica de
uma populaccedilatildeo descrita pela tabela abaixo
Cap 4-40
Exemplo da Regra Geral de
Adiccedilatildeo
Cursando
estatiacutestica
Natildeo cursando
estatiacutestica
Total
Homem 84 145 229
Mulher 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Qual a probabilidade de selecionamos
aleatoriamente um homem ou um aluno(a) da estatiacutestica de
uma populaccedilatildeo descrita pela tabela abaixo
119875 119867119900119898119890119898 cup 119864119904119905119886119905iacute119905119894119888119886 =
119875 119867119900119898119890119898 + 119875 119864119904119905119886119905iacute119904119905119894119888119886 minus 119875 119867119900119898119890119898 cap 119864119904119905119886119905119894119904119905119894119888119886 =229
439+160
439minus
84
439=305
439
Cap 4-41
Resumo de Probabilidade
Probabilidade eacute uma medida numeacuterica que informa a chance de um resultado ocorrer
A probabilidade de um evento deve estar entre 0 e 1 incluindo os extremos
0 le 119875(119860) le 1 para qquer evento 119860
A soma da probabilidade de uma particcedilatildeo do espaccedilo amostral eacute igual a 1
119875(119860) + 119875(119861) + 119875(119862) = 1
em que A B e C satildeo eventos mutuamente excludentes e coletivamente exaustivos (particcedilatildeo de 119878)
Certo
Impossiacutevel
05
1
0
Exemplo Probabilidade
Cap 4-42
Vocabulaacuterio Geral
Pelo menos 1 dos eventos A B ou ambos =
119860 cup 119861
Nenhum dos eventos nem A nem B = (119860 cup 119861)119888
Apenas 1 (ex Apenas A) possui A e natildeo possui B
= 119860 cap (119861119888)
Cap 4-43
Exerciacutecio Probabilidade
Selecione aleatoriamente um estudante em uma determinada
universidade e represente por A o evento dele possuir um cartatildeo de
creacutedito Visa e por B o evento anaacutelogo para um Mastercard Suponha que
P(Visa) = 05 P(Mastercard) = 04 e P (Ambos os cartotildees) = 025
1 Calcule a probabilidade de que um indiviacuteduo selecionado tenha
pelo menos um dos dois tipos de cartatildeo
2 Qual a probabilidade de o indiviacuteduo selecionado natildeo ter nenhum
dos tipos de cartatildeo
3 Descreva em termos de A e B o evento em que o estudante
selecionado possui um cartatildeo Visa mas natildeo um MasterCard
4 Calcule a probabilidade desse evento
Teacutecnicas de Contagem
Princiacutepio de contagem (divida e conquiste) o processo
eacute quebrado em vaacuterias etapas com o uso do diagrama de
aacutervores
Cap 4-44
n2
opccedilotildees
Folhas
n1
opccedilotildees
n3
opccedilotildees
n4
opccedilotildees
Estaacutegio
1
Estaacutegio
2
Estaacutegio
3
Estaacutegio
4
Nuacutemero total de folhas eacute
n1n2n3hellipni
n2
opccedilotildees
Desde que um mesmo
estaacutegio tenha o mesmo nordm
de opccedilotildees em cada ponto
da aacutervore
Teacutecnicas de Contagem
Princiacutepio de contagem
Considere um processo que contem r estaacutegios Suponha que
Existem n1 resultados possiacuteveis no primeiro estaacutegio
Para cada resultado possiacutevel do estaacutegio 1 existem n2
resultados possiacuteveis no estaacutegio 2
De forma mais geral para cada um dos resultados ni-1
primeiros estaacutegios existem ni resultados possiacuteveis no i-
eacutesimo estaacutegio
Entatildeo o Nuacutemero total de resultados possiacuteveis no processo de r
estaacutegios eacute de n1n2n3hellipnr
Cap 4-45
Teorema
Cap 4-46
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Um nuacutemero telefocircnico eacute composto de 8
diacutegitos mas o primeiro diacutegito apenas assume 3 valores
possiacuteveis 3 8 9 Quantos nuacutemeros distintos existem
Cap 4-47
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Um nuacutemero telefocircnico eacute composto de 8
diacutegitos mas o primeiro diacutegito apenas assume 3 valores
3 8 9 Quantos nuacutemeros distintos existem
Temos um total de 8 estaacutegios
No primeiro estaacutegio apenas 3 opccedilotildees
Nos demais estaacutegios 10 opccedilotildees
Total 3 107
Cap 4-48
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Quantos subconjutos podemos fazer a
partir de um conjunto com n elementos s1 s2 s3 hellip
sn
Cap 4-49
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Quantos subconjutos podemos fazer a
partir de um conjunto com n elementos s1 s2 s3 hellip
sn
Processo de n estaacutegios em cada estaacutegio decidimos se
colocamos ou natildeo o elemento no subconjunto
nuacutemero de opccedilotildees para o primeiro estaacutegio 2
Total 222hellip2 =2n
Cap 4-50
Teacutecnicas de Contagem
Problema Selecionar 119948 objetos de um total de 119951
objetos 119899 ge 119896 sem reposiccedilatildeo
Se a ordem eacute importante Arranjo
ex de palavra as eacute diferente de sa
Se a ordem natildeo eacute importante Combinaccedilatildeo
ex da loteria escolhemos um conjunto de 6 nordm a
ordem em que eles satildeo sorteados natildeo faz diferenccedila
Cap 4-51
Teacutecnicas de Contagem
Ao contraacuterio da permutaccedilatildeo na combinaccedilatildeo a ordem dos
elementos natildeo eacute importante
Exemplo
Permutaccedilatildeo de 2 elementos das letras A B C D
AB AC AD BA BC BD CA CB CD DA DB DC
Combinaccedilatildeo de 2 elementos das letras A B C D
AB AC AD BC BD CD
jaacute que a ordem natildeo eacute importante BA eacute o mesmo que
AB
Cap 4-52
Teacutecnicas de Contagem
Arranjo de k objetos
Queremos selecionar k objetos de um conjunto de n
objetos sem reposiccedilatildeo
Para o 1deg objeto n possibilidades
Para o 2deg objeto n-1 possibilidades
hellip
Para o uacuteltimo (kdeg objeto) n - (k-1) possibilidades
Total de permutaccedilotildees 119951 lowast (119951 minus 120783) lowast ⋯lowast (119951 minus 119948 + 120783)
Ou usando fatorial
Teorema
119899
119899 minus 119896
Cap 4-53
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Qual o total de palavras que podemos
construir com exatamente 4 letras distintas (natildeo precisa
ter significado nem seguir regras ortograacuteficas)
Cap 4-54
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Qual o total de palavras que podemos
construir com exatamente 4 letras distintas (natildeo
precisa ter significado nem seguir regras
ortograacuteficas)
Soluccedilatildeo
Selecionar 4 letras de um total de 26 sem repetir A
ordem eacute importante pois estamos formando
palavras (permutaccedilatildeo)
Total de arranjos de 4 elementos 26252423
Cap 4-55
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Vocecirc tem 10 CDs de muacutesica claacutessica 20
CDs de rock e 15 CDs de forroacute De quantas formas eacute
possiacutevel arranjar os seus CDs tal que os CDs do mesmo
tipo sempre fiquem juntos
Se os CDs forem colocados na prateleira de forma
aleatoacuteria qual eacute a probabilidade de os CDs do mesmo
estilo musical ficarem juntos
Cap 4-56
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Soluccedilatildeo princiacutepio da Contagem + Arranjos
Podemos quebrar o processo em 2 estaacutegios
1) Escolher a ordem dos tipos de Cds 321
2) Escolher a sequecircncia dos Cds para cada tipo
Para Cds de muacutesica claacutessica 10
Para Cds de rock 20
Para Cds de forroacute 15
Total 3102015
Cap 4-57
Teacutecnicas de Contagem
Combinaccedilatildeo de k elementos em n
Queremos contar o nuacutemero de subconjuntos de k elementos a
partir de um conjunto de n elementos sem reposiccedilatildeo
A ordem dos elementos natildeo eacute importante
Dizemos combinaccedilatildeo de n elementos k a k
Ex Formar comitecirc com 3 representantes de turma de um total de
131 alunos
Se todos tem mesmo poder a ordem de escolha natildeo eacute
importante combinaccedilatildeo
Se teremos presidente vice-presidente e secretaacuterio entatildeo a
ordem de escolha eacute importante permutaccedilatildeo
Teorema 119873119888119900119898119887119894119899119886ccedilotilde119890119904 =119899119896=
119899
119899 minus 119896 119896
Cap 4-58
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Qual o nuacutemero de combinaccedilotildees de 2
elementos distintos que podemos construir com as letras
A B C D
Cap 4-59
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Qual o nuacutemero de combinaccedilotildees de 2
elementos das letras A B C D
Soluccedilatildeo
Conferindo
AB AC AD BC BD CD
62)24(
4
2
4
scombinaccedilotildeeN
Cap 4-60
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Um armazeacutem da universidade recebeu 25
impressoras das quais 10 satildeo a laser e 15 a jato de tinta
Se 6 das 25 forem selecionadas aleatoriamente para para
serem verificadas por um teacutecnico qual seraacute a
probabilidade de exatamente 3 delas serem a laser
Cap 4-61
Teacutecnicas de Contagem
Soluccedilatildeo Seja 1198633= 3 das 6 selecionadas satildeo a laser Como a seleccedilatildeo das impressoras
dentre as 25 eacute aleatoacuteria cada uma delas tem a mesma chance de ser sorteada
Probabilidade claacutessica implica 119875 1198633 = 119899(1198633)119899
Como a ordem da seleccedilatildeo das impressoras natildeo importa 119899 =256
Para determinar 1198633 vamos dividir o processo em duas etapas 1) selecionamos 3 das 15
impressoras a tinta e 2) selecionamos 3 das 6 impressoras a laser Para cada elemento da
primeira etapa temos exatamente o mesmo nordm de possibilidades da segunda etapa Pelo
princiacutepio da contagem 119899 1198633 = 1198991 1198633 lowast 1198992 1198633
Como a ordem em que as impressoras satildeo selecionadas em cada etapa natildeo tem
importacircncia 1198991 1198633 =153
e 1198992 1198633 =63
Entatildeo
119875 1198633 =
153
63
256
= 03083
Desafio P(ao menos 3 das 6 selecionadas sejam a laser)
Cap 4-62
Resumo Nesta aula vimos
Como representar um modelo de probabilidade para uma situaccedilatildeo
incerta (experimento aleatoacuterio)
Etapa 1 definiccedilatildeo do espaccedilo amostral
Revisatildeo de conjuntos
Etapa 2 especificaccedilatildeo de uma funccedilatildeo probabilidade que atribui pesos
para a chance relativa de cada resultado do espaccedilo amostral
3 conceitos de probabilidade
Probabilidade claacutessica
Probabilidade Frequentista
Axiomas de Kolmogorov
Revisatildeo de teacutecnicas de contagem para podermos calcular
probabilidades
Na proacutexima aula veremos como incorporar informaccedilotildees novas ao
caacutelculo de probabilidade =gt Probabilidade condicional
Cap 4-6
Espaccedilo Amostral e Eventos
O conjunto de todos os resultados possiacuteveis de um
experimento aleatoacuterio eacute chamado espaccedilo amostral do
experimento O espaccedilo amostral eacute denotado por S
Requisitos
apenas um resultado possiacutevel para cada rodada do
experimento
nenhum resultado possiacutevel fique fora do espaccedilo
amostral
Definiccedilatildeo
Cap 4-7
Espaccedilo Amostral e Eventos
Exemplo 1 Lanccedilamento de um dado
S=123456 Enumeraacutevel e finito
Exemplo 2 Lanccedilamento de uma moeda ateacute que apareccedila a
primeira cara C cara K Coroa
S=C KC KKC KKKC hellip Enumeraacutevel e infinito
Exemplo 3 Lanccedilamento de dardo em alvo com raio 1 (ou
ponto em ciacuterculo de raio 1)
S=(xy) xsup2+ysup2lt=1 Natildeo-enumeraacutevel
Cap 4-8
Espaccedilo Amostral e Eventos
Um evento eacute um subconjunto do espaccedilo amostral S de
um experimento aleatoacuterio Os subconjuntos de S satildeo
representados pelas letras maiuacutesculas A B
O evento eacute denominado simples se consistir num uacutenico
resultado do espaccedilo amostral
O evento eacute denominado composto se consistir em mais
de um resultado do espaccedilo amostral
O conjunto vazio eacute denotado por 120601
Definiccedilatildeo
Cap 4-9
Espaccedilo Amostral e Eventos
Exemplo 1 Lanccedilamento de um dado S=123456
A = 6 B=1 eventos simples
C =faces pares D=faces menor ou igual a 3
evento composto
Exemplo 2 Uma rede de computadores estaacute em operaccedilatildeo
contiacutenua mas falhas podem acontecer a qualquer momento
O experimento conta o ndeg de falhas em um dia tal que
S=0 1 2 3 hellip
A = 0 falhas em um dia evento simples
B=menos de 2 falhas em um dia evento composto
Cap 4-10
Eventos e Espaccedilo Amostral
Exerciacutecio 1 Considere o experimento que consiste em lanccedilar
trecircs moedas e observar a face superior delas
a) Determine o espaccedilo amostral
b) Decirc um exemplo de evento composto
Cap 4-11
Eventos e Espaccedilo Amostral
Exerciacutecio 1 Considere o experimento que consiste em lanccedilar
trecircs moedas e observar a face superior delas
a) Determine o espaccedilo amostral
b) Decirc um exemplo de evento composto
Soluccedilatildeo
a) S = CCC CCK CKC KCC CKK KCK KKC KKK
b) Ex A = resultado com 2 caras (C) = CCK CKC KCC
Ex B = resultado com mais coroas do que caras
=CKK KCK KKC KKK
Cap 4-12
Eventos e Conjuntos
Eventos e Conjuntos
Uniatildeo Interseccedilatildeo Complemento Mutuamente Excludentes (disjuntos)
Coletivamente exaustivos
Particcedilatildeo
Eventos satildeo subconjuntos do espaccedilo amostral Vamos revisar algumas operaccedilotildees
de conjuntos
Cap 4-13
Eventos e Conjuntos
A uniatildeo de dois conjuntos (eventos) A e B eacute o conjunto (evento)
que consiste de todos os resultados que estatildeo no conjunto A ou no
conjunto B ou em ambos
119860 cup 119861 = 119909 isin 119878 119909 isin 119860 119900119906 119909 isin 119861
A interseccedilatildeo de dois conjuntos (eventos) A e B eacute o conjunto que
consiste de todos os resultados que estatildeo simultaneamente em A e
em B
119860 cap 119861 = 119909 isin 119878 119909 isin 119860 119890 119909 isin 119861
O complemento de um conjunto (evento) A representado por Ac
(ou Arsquo) eacute o conjunto de todos os resultados que natildeo estatildeo
contidos em A
119860119888 = 119909 isin 119878 119909 notin 119860
Definiccedilatildeo
Definiccedilatildeo
Definiccedilatildeo
Cap 4-14
Eventos e Conjuntos
Eventos mutuamente excludentes satildeo eventos que natildeo podem acontecer simultaneamente Tambeacutem dizemos eventos disjuntos
Exemplo Experimento - uma carta eacute selecionada do baralho
A = rainha de ouros B = rainha de copas
Os eventos A e B satildeo mutuamente excludentes
C = rainha D = ouros
C e D natildeo satildeo mutuamente exlcudentes
Exemplo Experimento ndash um feto eacute gerado
Y = eacute menino X = eacute menina
Os eventos X e Y satildeo mutuamente excludentes se natildeo considerarmos a possibilidade de hermafrodita
Definiccedilatildeo
Cap 4-15
Eventos e Conjuntos
Uma particcedilatildeo de um espaccedilo amostral consiste de um conjunto de
eventos tais que
Os eventos satildeo mutuamente excludentes (apenas um dos
eventos pode ocorrer)
Os eventos satildeo coletivamente exaustivos i e a uniatildeo dos
eventos cobre todo o espaccedilo amostral
Exemplo Experimento ndash uma carta eacute selecionada do baralho
Sejam A = azes B = cartas pretas C = ouros e D =copas
Os eventos A B C e D satildeo coletivamente exaustivos (mas natildeo
satildeo mutuamente excludentes)
Os eventos B C e D formam uma particcedilatildeo
Definiccedilatildeo
Cap 4-16
Visualizaccedilatildeo de conjuntos
Diagramas de Venn
S
A
B
S S
S S S
A A
A B
B
B C
C
A
B
A
B
a) AcapB b)AUB c)A capBc d)Ac e)AB e C satildeo disjuntos f)AB e C satildeo particcedilatildeo de S
Cap 4-17
Eventos e Conjuntos
Exerciacutecio Assuma que S = 0 1 2 3 4 5 6 7 A=0 1 2
34 B=3 4 5 6 e C=1 3 5 Determinar
119860 cup 119861
119860 cap 119861
119860 cup 119862
119860 cap 119862
119862 cup 119861
119862 cap 119861
119860119888
119861119888
119862119888
Cap 4-18
Propriedades de Conjuntos
Operaccedilotildees entre conjuntos tecircm uma seacuterie de propriedades
Exemplos
119860 cup 119861 = 119861 cup 119860 e 119860 cap 119861 = 119861 cap 119860
119860 cap 119861 cup 119862 = (119860 cap 119861) cup (119860 cap 119862)
119860119888 119888 = 119860
119860 cup 119878 = 119878
119860 cap 119860119888 = empty
119860 cap 119878 = 119860
Cap 4-19
Propriedades de Conjuntos
Leis de Morgan
119860 cup 119861 119888 = 119860119888 cap 119861119888 119860 cap 119861 119888 = 119860119888 cup 119861119888
Cap 4-20
Visualizando Eventos
Existem diversas formas de representar a ocorrecircncia de eventos
Rep
rese
nta
ccedilotildees
de
Even
tos Diagrama de Venn
Tabela de contingecircncia ou tabela cruzada
Diagrama de aacutervore
Matriz
Cap 4-21
Visualizando Eventos
Tabelas de contigecircncia
Diagrama de aacutervore
Aacutes Natildeo
Aacutes
Total
Preta 2 24 26
Vermelha 2 24 26
Total 4 48 52
Baralho de
52 Cartas Espaccedilo
Amostral
2
24
2
24
A definiccedilatildeo da ordem dos ramos depende do problema
Cap 4-22
Visualizando Eventos
Lanccedilamento de 2 dados de quatro lados
Espaccedilo Amostral para o
lanccedilamento de 2 dados
2deg dado
1deg dado
Diagrama de Aacutervore para
o lanccedilamento de 2 dados
Raiz
Folhas
Representaccedilatildeo por Matriz Representaccedilatildeo por Aacutervore
1deg dado
2deg dado
Modelo Probabiliacutestico
Cap 4-23
Experimento
Evento B
Evento A
Espaccedilo Amostral
Eventos
Os principais ingredientes de um modelo probabiliacutestico
Probabilidade
Etapa 1 Etapa 2
Cap 4-24
Probabilidade
Probabilidade atribuir chance (peso relativo) a
eventos possiacuteveis de um experimento aleatoacuterio
Diferentes conceitos
Definiccedilatildeo claacutessica de probabilidade
Definiccedilatildeo frequentista ou Definiccedilatildeo estatiacutestica de
probabilidade ou Definiccedilatildeo Claacutessica empiacuterica
Axiomas de Kolmogorov
Cap 4-25
Probabilidade Claacutessica
A definiccedilatildeo claacutessica de probabilidade se refere a subconjuntos
unitaacuterios e equiprovaacuteveis isto eacute conjuntos de resultados que tecircm a
mesma chance
CASO 1 No caso enumeraacutevel e finito em que a chance de sorteio de
cada resultado do espaccedilo amostral eacute a mesma a probabilidade de um
evento A eacute dada por
119875 119860 =119899ordm 119889119890 119907119890119911119890119904 119902119906119890 119860 119901119900119889119890 119900119888119900119903119903119890119903 119890119898 119878
119899ordm 119905119900119905119886119897 119889119890 119903119890119904119906119897119905119886119889119900119904 119901119900119904119904iacute119907119890119894119904 119890119898 119878
Definiccedilatildeo
Use Teacutecnicas de anaacutelise combinatoacuteria
e contagem para determinar o ndeg
total e o ndeg de vezes que A pode sair
Cap 4-26
Probabilidade Claacutessica
CASO 2 (probabilidade geomeacutetrica) Se 119878 eacute natildeo-
enumeraacutevel e equiprovaacutevel (mesma chance para cada
resultado) o conceito se aplica ao comprimento de
intervalos medidas de aacutereas hellip
Exemplo 119878 = [010] tal que cada valor pode sair
com a mesma chance dos demais Seja 119860 o
subconjunto [12] cup [68] Entatildeo
119875 119860 =119862119900119898119901119903119894119898119890119899119905119900 119889119890 119860
119862119900119898119901119903119894119898119890119899119905119900 119905119900119905119886119897 119889119890 119878=1+2
10= 03
Definiccedilatildeo
Probabilidade Claacutessica
Exerciacutecio Considere o experimento que consiste no
lanccedilamento de 2 dados balanceados e registram-se as faces
superiores
Calcular a probabilidade de
a) obter soma das faces superiores = 7
b) obter soma das faces superiores maior do que 10
c) que resultado do primeiro dado seja superior ao
resultado do segundo
Cap 4-27
Probabilidade Claacutessica
Exerciacutecio Considere o lanccedilamento de 2 dados balanceados
Total de resultados 36
Calcular a probabilidade de
a) Obter soma 7
2 resultados possiacuteveis (34) (43) (25) (52) (16) (61)
P(Soma=7)=636
b) Obter soma maior do que 10
3 resultados possiacuteveis (65) (56) e (66)
P(Somagt10) = 336
Cap 4-28
Probabilidade Claacutessica
Exerciacutecio Considere o lanccedilamento de 2 dados balanceados
Total de resultados 36
Calcular a probabilidade de
c) Que resultado do primeiro dado seja superior ao
resultado do segundo
Resultados possiacuteveis 15
P(1degdadogt2degdado)=15 36
Cap 4-29
1 2 3 4 5 6 1
2
3
4
5
6
1deg Dado
2deg
Da
do
Cap 4-30
Probabilidade Claacutessica
Em termos praacuteticos temos que determinar
O nuacutemero total de resultados possiacuteveis
O nuacutemero de vezes que podemos ganhar (A)
CUIDADO soacute pode ser aplicado quando todos os resultados do
espaccedilo amostral tem a mesma chance de ocorrer
Exemplos dado moeda sexo dos filhos
Contra-exemplo peso de pessoas (entre 40 e 120)
chance de (40 a 50 kg) lt chance (60 a 70 kg)
Intervalos com mesmo comprimento pela probabilidade
geomeacutetrica devem ter a mesma probabilidade Natildeo faz sentido
para o peso de pessoas
Cap 4-31
Probabilidade Frequentista
A probabilidade frequentista considera o limite de frequecircncias
relativas como o valor da probabilidade
Seja nA o nuacutemero de ocorrecircncia de A em n repeticcedilotildees independentes
do experimento Assim
119875 119860 = lim119899rarrinfin
119899119860119899
Assim definimos a probabilidade como a frequecircncia relativa
observada ao repertirmos o experimento um ndeg muito grande de vezes
Exemplo caixa com 100 moedas e conte o nuacutemero de caras ou ver
applet laquo probability raquo do Moore
Definiccedilatildeo
Cap 4-32
Probabilidade Frequentista
A probabilidade frequentista considera o limite de frequecircncias
relativas como o valor da probabilidade
Na praacutetica
repita o experimento aleatoacuterio um nuacutemero grande de vezes 119899
Conte o nordm de vezes que o evento de interesse 119860 aconteceu 119899119860
Entatildeo a probabilidade de o evento acontecer eacute calculada como
119875 119860 =119899119860119899
Eacute soacute isso
Cap 4-33
Probabilidade Frequentista
Cursando
estatiacutestica
Natildeo-
cursando
estatiacutestica
Total
Masculino 84 145 229
Feminino 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Encontre a probabilidade de selecionar um aluno de
estatiacutestica do sexo masculino a partir de uma populaccedilatildeo descrita
na tabela abaixo Considere que 439 eacute grande o suficiente para
aplicar a probabilidade frequentista
Neste caso o experimento consiste em selecionar uma pessoa
da populaccedilatildeo e em seguida observarmos o sexo e se cursa
estatiacutestica O experimento foi repetido 439 vezes
Cap 4-34
Probabilidade Frequentista
Cursando
estatiacutestica
Natildeo-
cursando
estatiacutestica
Total
Masculino 84 145 229
Feminino 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Encontre a probabilidade de selecionar um aluno de
estatiacutestica do sexo masculino a partir de uma populaccedilatildeo descrita
na tabela abaixo
119875 119867119900119898119890119898 cap 119864119904119905119886119905iacute119904119905119894119888119886 =119899ordm 119889119890 119867119900119898119890119898 cap 119864119904119905119886119905iacute119905119894119888119886
119899ordm 119889119890 119886119897119906119899119900119904=84
439= 0191
Cap 4-35
Axiomas de Probabilidade de
Kolmogorov
Axiomas de Kolmogorov
definiccedilatildeo formal de probabilidade
incluem as definiccedilotildees acima como casos particulares
Qualquer funccedilatildeo P() dos subconjuntos do espaccedilo amostral (eventos)
no intervalo [01] eacute uma probabilidade se satisfaz as condiccedilotildees
1 (Natildeo-negatividade)119875(119860 ge 0) forall evento 119860
2 (Aditividade) 119875 cup119895 119864119895 = 119875(119864119895) 119895 forall 119864119895 eventos disjuntos
3 (Normalizaccedilatildeo) 119875 119878 = 1
Definiccedilatildeo
Cap 4-36
Propriedades de uma
Probabilidade
Como consequecircncia dos Axiomas de Kolmogorov mostre que uma
funccedilatildeo probabilidade satisfaz as seguintes propriedades
1 119875 119864119888 = 1 minus 119875 119864
2 Se 1198641 sube 1198642 entatildeo 119875 1198641 le 119875 1198642
3 119875 120601 = 0
Ainda partindo dos axiomas de Kolmogorov podemos
provar a Regra geral da adiccedilatildeo
Regra Geral da Adiccedilatildeo
Cap 4-37
119875 119860 cup 119861 = 119875 119860 + 119875 119861 minus 119875(119860 cap 119861)
Regra Geral da Adiccedilatildeo
Regra geral da adiccedilatildeo
No caso particular em que os eventos satildeo
mutuamente excludentes continua valendo o axioma
de aditividade pois 119875 119860 cap 119861 = 0 daiacute
119875 119860 cup 119861 = 119875 119860 + 119875(119861)
Cap 4-38
119875 119860 cup 119861 = 119875 119860 + 119875 119861 minus 119875(119860 cap 119861)
Cap 4-39
Exemplo da Regra Geral de
Adiccedilatildeo
Cursando
estatiacutestica
Natildeo cursando
estatiacutestica
Total
Homem 84 145 229
Mulher 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Qual a probabilidade de selecionamos
aleatoriamente um homem ou um aluno(a) da estatiacutestica de
uma populaccedilatildeo descrita pela tabela abaixo
Cap 4-40
Exemplo da Regra Geral de
Adiccedilatildeo
Cursando
estatiacutestica
Natildeo cursando
estatiacutestica
Total
Homem 84 145 229
Mulher 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Qual a probabilidade de selecionamos
aleatoriamente um homem ou um aluno(a) da estatiacutestica de
uma populaccedilatildeo descrita pela tabela abaixo
119875 119867119900119898119890119898 cup 119864119904119905119886119905iacute119905119894119888119886 =
119875 119867119900119898119890119898 + 119875 119864119904119905119886119905iacute119904119905119894119888119886 minus 119875 119867119900119898119890119898 cap 119864119904119905119886119905119894119904119905119894119888119886 =229
439+160
439minus
84
439=305
439
Cap 4-41
Resumo de Probabilidade
Probabilidade eacute uma medida numeacuterica que informa a chance de um resultado ocorrer
A probabilidade de um evento deve estar entre 0 e 1 incluindo os extremos
0 le 119875(119860) le 1 para qquer evento 119860
A soma da probabilidade de uma particcedilatildeo do espaccedilo amostral eacute igual a 1
119875(119860) + 119875(119861) + 119875(119862) = 1
em que A B e C satildeo eventos mutuamente excludentes e coletivamente exaustivos (particcedilatildeo de 119878)
Certo
Impossiacutevel
05
1
0
Exemplo Probabilidade
Cap 4-42
Vocabulaacuterio Geral
Pelo menos 1 dos eventos A B ou ambos =
119860 cup 119861
Nenhum dos eventos nem A nem B = (119860 cup 119861)119888
Apenas 1 (ex Apenas A) possui A e natildeo possui B
= 119860 cap (119861119888)
Cap 4-43
Exerciacutecio Probabilidade
Selecione aleatoriamente um estudante em uma determinada
universidade e represente por A o evento dele possuir um cartatildeo de
creacutedito Visa e por B o evento anaacutelogo para um Mastercard Suponha que
P(Visa) = 05 P(Mastercard) = 04 e P (Ambos os cartotildees) = 025
1 Calcule a probabilidade de que um indiviacuteduo selecionado tenha
pelo menos um dos dois tipos de cartatildeo
2 Qual a probabilidade de o indiviacuteduo selecionado natildeo ter nenhum
dos tipos de cartatildeo
3 Descreva em termos de A e B o evento em que o estudante
selecionado possui um cartatildeo Visa mas natildeo um MasterCard
4 Calcule a probabilidade desse evento
Teacutecnicas de Contagem
Princiacutepio de contagem (divida e conquiste) o processo
eacute quebrado em vaacuterias etapas com o uso do diagrama de
aacutervores
Cap 4-44
n2
opccedilotildees
Folhas
n1
opccedilotildees
n3
opccedilotildees
n4
opccedilotildees
Estaacutegio
1
Estaacutegio
2
Estaacutegio
3
Estaacutegio
4
Nuacutemero total de folhas eacute
n1n2n3hellipni
n2
opccedilotildees
Desde que um mesmo
estaacutegio tenha o mesmo nordm
de opccedilotildees em cada ponto
da aacutervore
Teacutecnicas de Contagem
Princiacutepio de contagem
Considere um processo que contem r estaacutegios Suponha que
Existem n1 resultados possiacuteveis no primeiro estaacutegio
Para cada resultado possiacutevel do estaacutegio 1 existem n2
resultados possiacuteveis no estaacutegio 2
De forma mais geral para cada um dos resultados ni-1
primeiros estaacutegios existem ni resultados possiacuteveis no i-
eacutesimo estaacutegio
Entatildeo o Nuacutemero total de resultados possiacuteveis no processo de r
estaacutegios eacute de n1n2n3hellipnr
Cap 4-45
Teorema
Cap 4-46
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Um nuacutemero telefocircnico eacute composto de 8
diacutegitos mas o primeiro diacutegito apenas assume 3 valores
possiacuteveis 3 8 9 Quantos nuacutemeros distintos existem
Cap 4-47
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Um nuacutemero telefocircnico eacute composto de 8
diacutegitos mas o primeiro diacutegito apenas assume 3 valores
3 8 9 Quantos nuacutemeros distintos existem
Temos um total de 8 estaacutegios
No primeiro estaacutegio apenas 3 opccedilotildees
Nos demais estaacutegios 10 opccedilotildees
Total 3 107
Cap 4-48
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Quantos subconjutos podemos fazer a
partir de um conjunto com n elementos s1 s2 s3 hellip
sn
Cap 4-49
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Quantos subconjutos podemos fazer a
partir de um conjunto com n elementos s1 s2 s3 hellip
sn
Processo de n estaacutegios em cada estaacutegio decidimos se
colocamos ou natildeo o elemento no subconjunto
nuacutemero de opccedilotildees para o primeiro estaacutegio 2
Total 222hellip2 =2n
Cap 4-50
Teacutecnicas de Contagem
Problema Selecionar 119948 objetos de um total de 119951
objetos 119899 ge 119896 sem reposiccedilatildeo
Se a ordem eacute importante Arranjo
ex de palavra as eacute diferente de sa
Se a ordem natildeo eacute importante Combinaccedilatildeo
ex da loteria escolhemos um conjunto de 6 nordm a
ordem em que eles satildeo sorteados natildeo faz diferenccedila
Cap 4-51
Teacutecnicas de Contagem
Ao contraacuterio da permutaccedilatildeo na combinaccedilatildeo a ordem dos
elementos natildeo eacute importante
Exemplo
Permutaccedilatildeo de 2 elementos das letras A B C D
AB AC AD BA BC BD CA CB CD DA DB DC
Combinaccedilatildeo de 2 elementos das letras A B C D
AB AC AD BC BD CD
jaacute que a ordem natildeo eacute importante BA eacute o mesmo que
AB
Cap 4-52
Teacutecnicas de Contagem
Arranjo de k objetos
Queremos selecionar k objetos de um conjunto de n
objetos sem reposiccedilatildeo
Para o 1deg objeto n possibilidades
Para o 2deg objeto n-1 possibilidades
hellip
Para o uacuteltimo (kdeg objeto) n - (k-1) possibilidades
Total de permutaccedilotildees 119951 lowast (119951 minus 120783) lowast ⋯lowast (119951 minus 119948 + 120783)
Ou usando fatorial
Teorema
119899
119899 minus 119896
Cap 4-53
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Qual o total de palavras que podemos
construir com exatamente 4 letras distintas (natildeo precisa
ter significado nem seguir regras ortograacuteficas)
Cap 4-54
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Qual o total de palavras que podemos
construir com exatamente 4 letras distintas (natildeo
precisa ter significado nem seguir regras
ortograacuteficas)
Soluccedilatildeo
Selecionar 4 letras de um total de 26 sem repetir A
ordem eacute importante pois estamos formando
palavras (permutaccedilatildeo)
Total de arranjos de 4 elementos 26252423
Cap 4-55
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Vocecirc tem 10 CDs de muacutesica claacutessica 20
CDs de rock e 15 CDs de forroacute De quantas formas eacute
possiacutevel arranjar os seus CDs tal que os CDs do mesmo
tipo sempre fiquem juntos
Se os CDs forem colocados na prateleira de forma
aleatoacuteria qual eacute a probabilidade de os CDs do mesmo
estilo musical ficarem juntos
Cap 4-56
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Soluccedilatildeo princiacutepio da Contagem + Arranjos
Podemos quebrar o processo em 2 estaacutegios
1) Escolher a ordem dos tipos de Cds 321
2) Escolher a sequecircncia dos Cds para cada tipo
Para Cds de muacutesica claacutessica 10
Para Cds de rock 20
Para Cds de forroacute 15
Total 3102015
Cap 4-57
Teacutecnicas de Contagem
Combinaccedilatildeo de k elementos em n
Queremos contar o nuacutemero de subconjuntos de k elementos a
partir de um conjunto de n elementos sem reposiccedilatildeo
A ordem dos elementos natildeo eacute importante
Dizemos combinaccedilatildeo de n elementos k a k
Ex Formar comitecirc com 3 representantes de turma de um total de
131 alunos
Se todos tem mesmo poder a ordem de escolha natildeo eacute
importante combinaccedilatildeo
Se teremos presidente vice-presidente e secretaacuterio entatildeo a
ordem de escolha eacute importante permutaccedilatildeo
Teorema 119873119888119900119898119887119894119899119886ccedilotilde119890119904 =119899119896=
119899
119899 minus 119896 119896
Cap 4-58
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Qual o nuacutemero de combinaccedilotildees de 2
elementos distintos que podemos construir com as letras
A B C D
Cap 4-59
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Qual o nuacutemero de combinaccedilotildees de 2
elementos das letras A B C D
Soluccedilatildeo
Conferindo
AB AC AD BC BD CD
62)24(
4
2
4
scombinaccedilotildeeN
Cap 4-60
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Um armazeacutem da universidade recebeu 25
impressoras das quais 10 satildeo a laser e 15 a jato de tinta
Se 6 das 25 forem selecionadas aleatoriamente para para
serem verificadas por um teacutecnico qual seraacute a
probabilidade de exatamente 3 delas serem a laser
Cap 4-61
Teacutecnicas de Contagem
Soluccedilatildeo Seja 1198633= 3 das 6 selecionadas satildeo a laser Como a seleccedilatildeo das impressoras
dentre as 25 eacute aleatoacuteria cada uma delas tem a mesma chance de ser sorteada
Probabilidade claacutessica implica 119875 1198633 = 119899(1198633)119899
Como a ordem da seleccedilatildeo das impressoras natildeo importa 119899 =256
Para determinar 1198633 vamos dividir o processo em duas etapas 1) selecionamos 3 das 15
impressoras a tinta e 2) selecionamos 3 das 6 impressoras a laser Para cada elemento da
primeira etapa temos exatamente o mesmo nordm de possibilidades da segunda etapa Pelo
princiacutepio da contagem 119899 1198633 = 1198991 1198633 lowast 1198992 1198633
Como a ordem em que as impressoras satildeo selecionadas em cada etapa natildeo tem
importacircncia 1198991 1198633 =153
e 1198992 1198633 =63
Entatildeo
119875 1198633 =
153
63
256
= 03083
Desafio P(ao menos 3 das 6 selecionadas sejam a laser)
Cap 4-62
Resumo Nesta aula vimos
Como representar um modelo de probabilidade para uma situaccedilatildeo
incerta (experimento aleatoacuterio)
Etapa 1 definiccedilatildeo do espaccedilo amostral
Revisatildeo de conjuntos
Etapa 2 especificaccedilatildeo de uma funccedilatildeo probabilidade que atribui pesos
para a chance relativa de cada resultado do espaccedilo amostral
3 conceitos de probabilidade
Probabilidade claacutessica
Probabilidade Frequentista
Axiomas de Kolmogorov
Revisatildeo de teacutecnicas de contagem para podermos calcular
probabilidades
Na proacutexima aula veremos como incorporar informaccedilotildees novas ao
caacutelculo de probabilidade =gt Probabilidade condicional
Cap 4-7
Espaccedilo Amostral e Eventos
Exemplo 1 Lanccedilamento de um dado
S=123456 Enumeraacutevel e finito
Exemplo 2 Lanccedilamento de uma moeda ateacute que apareccedila a
primeira cara C cara K Coroa
S=C KC KKC KKKC hellip Enumeraacutevel e infinito
Exemplo 3 Lanccedilamento de dardo em alvo com raio 1 (ou
ponto em ciacuterculo de raio 1)
S=(xy) xsup2+ysup2lt=1 Natildeo-enumeraacutevel
Cap 4-8
Espaccedilo Amostral e Eventos
Um evento eacute um subconjunto do espaccedilo amostral S de
um experimento aleatoacuterio Os subconjuntos de S satildeo
representados pelas letras maiuacutesculas A B
O evento eacute denominado simples se consistir num uacutenico
resultado do espaccedilo amostral
O evento eacute denominado composto se consistir em mais
de um resultado do espaccedilo amostral
O conjunto vazio eacute denotado por 120601
Definiccedilatildeo
Cap 4-9
Espaccedilo Amostral e Eventos
Exemplo 1 Lanccedilamento de um dado S=123456
A = 6 B=1 eventos simples
C =faces pares D=faces menor ou igual a 3
evento composto
Exemplo 2 Uma rede de computadores estaacute em operaccedilatildeo
contiacutenua mas falhas podem acontecer a qualquer momento
O experimento conta o ndeg de falhas em um dia tal que
S=0 1 2 3 hellip
A = 0 falhas em um dia evento simples
B=menos de 2 falhas em um dia evento composto
Cap 4-10
Eventos e Espaccedilo Amostral
Exerciacutecio 1 Considere o experimento que consiste em lanccedilar
trecircs moedas e observar a face superior delas
a) Determine o espaccedilo amostral
b) Decirc um exemplo de evento composto
Cap 4-11
Eventos e Espaccedilo Amostral
Exerciacutecio 1 Considere o experimento que consiste em lanccedilar
trecircs moedas e observar a face superior delas
a) Determine o espaccedilo amostral
b) Decirc um exemplo de evento composto
Soluccedilatildeo
a) S = CCC CCK CKC KCC CKK KCK KKC KKK
b) Ex A = resultado com 2 caras (C) = CCK CKC KCC
Ex B = resultado com mais coroas do que caras
=CKK KCK KKC KKK
Cap 4-12
Eventos e Conjuntos
Eventos e Conjuntos
Uniatildeo Interseccedilatildeo Complemento Mutuamente Excludentes (disjuntos)
Coletivamente exaustivos
Particcedilatildeo
Eventos satildeo subconjuntos do espaccedilo amostral Vamos revisar algumas operaccedilotildees
de conjuntos
Cap 4-13
Eventos e Conjuntos
A uniatildeo de dois conjuntos (eventos) A e B eacute o conjunto (evento)
que consiste de todos os resultados que estatildeo no conjunto A ou no
conjunto B ou em ambos
119860 cup 119861 = 119909 isin 119878 119909 isin 119860 119900119906 119909 isin 119861
A interseccedilatildeo de dois conjuntos (eventos) A e B eacute o conjunto que
consiste de todos os resultados que estatildeo simultaneamente em A e
em B
119860 cap 119861 = 119909 isin 119878 119909 isin 119860 119890 119909 isin 119861
O complemento de um conjunto (evento) A representado por Ac
(ou Arsquo) eacute o conjunto de todos os resultados que natildeo estatildeo
contidos em A
119860119888 = 119909 isin 119878 119909 notin 119860
Definiccedilatildeo
Definiccedilatildeo
Definiccedilatildeo
Cap 4-14
Eventos e Conjuntos
Eventos mutuamente excludentes satildeo eventos que natildeo podem acontecer simultaneamente Tambeacutem dizemos eventos disjuntos
Exemplo Experimento - uma carta eacute selecionada do baralho
A = rainha de ouros B = rainha de copas
Os eventos A e B satildeo mutuamente excludentes
C = rainha D = ouros
C e D natildeo satildeo mutuamente exlcudentes
Exemplo Experimento ndash um feto eacute gerado
Y = eacute menino X = eacute menina
Os eventos X e Y satildeo mutuamente excludentes se natildeo considerarmos a possibilidade de hermafrodita
Definiccedilatildeo
Cap 4-15
Eventos e Conjuntos
Uma particcedilatildeo de um espaccedilo amostral consiste de um conjunto de
eventos tais que
Os eventos satildeo mutuamente excludentes (apenas um dos
eventos pode ocorrer)
Os eventos satildeo coletivamente exaustivos i e a uniatildeo dos
eventos cobre todo o espaccedilo amostral
Exemplo Experimento ndash uma carta eacute selecionada do baralho
Sejam A = azes B = cartas pretas C = ouros e D =copas
Os eventos A B C e D satildeo coletivamente exaustivos (mas natildeo
satildeo mutuamente excludentes)
Os eventos B C e D formam uma particcedilatildeo
Definiccedilatildeo
Cap 4-16
Visualizaccedilatildeo de conjuntos
Diagramas de Venn
S
A
B
S S
S S S
A A
A B
B
B C
C
A
B
A
B
a) AcapB b)AUB c)A capBc d)Ac e)AB e C satildeo disjuntos f)AB e C satildeo particcedilatildeo de S
Cap 4-17
Eventos e Conjuntos
Exerciacutecio Assuma que S = 0 1 2 3 4 5 6 7 A=0 1 2
34 B=3 4 5 6 e C=1 3 5 Determinar
119860 cup 119861
119860 cap 119861
119860 cup 119862
119860 cap 119862
119862 cup 119861
119862 cap 119861
119860119888
119861119888
119862119888
Cap 4-18
Propriedades de Conjuntos
Operaccedilotildees entre conjuntos tecircm uma seacuterie de propriedades
Exemplos
119860 cup 119861 = 119861 cup 119860 e 119860 cap 119861 = 119861 cap 119860
119860 cap 119861 cup 119862 = (119860 cap 119861) cup (119860 cap 119862)
119860119888 119888 = 119860
119860 cup 119878 = 119878
119860 cap 119860119888 = empty
119860 cap 119878 = 119860
Cap 4-19
Propriedades de Conjuntos
Leis de Morgan
119860 cup 119861 119888 = 119860119888 cap 119861119888 119860 cap 119861 119888 = 119860119888 cup 119861119888
Cap 4-20
Visualizando Eventos
Existem diversas formas de representar a ocorrecircncia de eventos
Rep
rese
nta
ccedilotildees
de
Even
tos Diagrama de Venn
Tabela de contingecircncia ou tabela cruzada
Diagrama de aacutervore
Matriz
Cap 4-21
Visualizando Eventos
Tabelas de contigecircncia
Diagrama de aacutervore
Aacutes Natildeo
Aacutes
Total
Preta 2 24 26
Vermelha 2 24 26
Total 4 48 52
Baralho de
52 Cartas Espaccedilo
Amostral
2
24
2
24
A definiccedilatildeo da ordem dos ramos depende do problema
Cap 4-22
Visualizando Eventos
Lanccedilamento de 2 dados de quatro lados
Espaccedilo Amostral para o
lanccedilamento de 2 dados
2deg dado
1deg dado
Diagrama de Aacutervore para
o lanccedilamento de 2 dados
Raiz
Folhas
Representaccedilatildeo por Matriz Representaccedilatildeo por Aacutervore
1deg dado
2deg dado
Modelo Probabiliacutestico
Cap 4-23
Experimento
Evento B
Evento A
Espaccedilo Amostral
Eventos
Os principais ingredientes de um modelo probabiliacutestico
Probabilidade
Etapa 1 Etapa 2
Cap 4-24
Probabilidade
Probabilidade atribuir chance (peso relativo) a
eventos possiacuteveis de um experimento aleatoacuterio
Diferentes conceitos
Definiccedilatildeo claacutessica de probabilidade
Definiccedilatildeo frequentista ou Definiccedilatildeo estatiacutestica de
probabilidade ou Definiccedilatildeo Claacutessica empiacuterica
Axiomas de Kolmogorov
Cap 4-25
Probabilidade Claacutessica
A definiccedilatildeo claacutessica de probabilidade se refere a subconjuntos
unitaacuterios e equiprovaacuteveis isto eacute conjuntos de resultados que tecircm a
mesma chance
CASO 1 No caso enumeraacutevel e finito em que a chance de sorteio de
cada resultado do espaccedilo amostral eacute a mesma a probabilidade de um
evento A eacute dada por
119875 119860 =119899ordm 119889119890 119907119890119911119890119904 119902119906119890 119860 119901119900119889119890 119900119888119900119903119903119890119903 119890119898 119878
119899ordm 119905119900119905119886119897 119889119890 119903119890119904119906119897119905119886119889119900119904 119901119900119904119904iacute119907119890119894119904 119890119898 119878
Definiccedilatildeo
Use Teacutecnicas de anaacutelise combinatoacuteria
e contagem para determinar o ndeg
total e o ndeg de vezes que A pode sair
Cap 4-26
Probabilidade Claacutessica
CASO 2 (probabilidade geomeacutetrica) Se 119878 eacute natildeo-
enumeraacutevel e equiprovaacutevel (mesma chance para cada
resultado) o conceito se aplica ao comprimento de
intervalos medidas de aacutereas hellip
Exemplo 119878 = [010] tal que cada valor pode sair
com a mesma chance dos demais Seja 119860 o
subconjunto [12] cup [68] Entatildeo
119875 119860 =119862119900119898119901119903119894119898119890119899119905119900 119889119890 119860
119862119900119898119901119903119894119898119890119899119905119900 119905119900119905119886119897 119889119890 119878=1+2
10= 03
Definiccedilatildeo
Probabilidade Claacutessica
Exerciacutecio Considere o experimento que consiste no
lanccedilamento de 2 dados balanceados e registram-se as faces
superiores
Calcular a probabilidade de
a) obter soma das faces superiores = 7
b) obter soma das faces superiores maior do que 10
c) que resultado do primeiro dado seja superior ao
resultado do segundo
Cap 4-27
Probabilidade Claacutessica
Exerciacutecio Considere o lanccedilamento de 2 dados balanceados
Total de resultados 36
Calcular a probabilidade de
a) Obter soma 7
2 resultados possiacuteveis (34) (43) (25) (52) (16) (61)
P(Soma=7)=636
b) Obter soma maior do que 10
3 resultados possiacuteveis (65) (56) e (66)
P(Somagt10) = 336
Cap 4-28
Probabilidade Claacutessica
Exerciacutecio Considere o lanccedilamento de 2 dados balanceados
Total de resultados 36
Calcular a probabilidade de
c) Que resultado do primeiro dado seja superior ao
resultado do segundo
Resultados possiacuteveis 15
P(1degdadogt2degdado)=15 36
Cap 4-29
1 2 3 4 5 6 1
2
3
4
5
6
1deg Dado
2deg
Da
do
Cap 4-30
Probabilidade Claacutessica
Em termos praacuteticos temos que determinar
O nuacutemero total de resultados possiacuteveis
O nuacutemero de vezes que podemos ganhar (A)
CUIDADO soacute pode ser aplicado quando todos os resultados do
espaccedilo amostral tem a mesma chance de ocorrer
Exemplos dado moeda sexo dos filhos
Contra-exemplo peso de pessoas (entre 40 e 120)
chance de (40 a 50 kg) lt chance (60 a 70 kg)
Intervalos com mesmo comprimento pela probabilidade
geomeacutetrica devem ter a mesma probabilidade Natildeo faz sentido
para o peso de pessoas
Cap 4-31
Probabilidade Frequentista
A probabilidade frequentista considera o limite de frequecircncias
relativas como o valor da probabilidade
Seja nA o nuacutemero de ocorrecircncia de A em n repeticcedilotildees independentes
do experimento Assim
119875 119860 = lim119899rarrinfin
119899119860119899
Assim definimos a probabilidade como a frequecircncia relativa
observada ao repertirmos o experimento um ndeg muito grande de vezes
Exemplo caixa com 100 moedas e conte o nuacutemero de caras ou ver
applet laquo probability raquo do Moore
Definiccedilatildeo
Cap 4-32
Probabilidade Frequentista
A probabilidade frequentista considera o limite de frequecircncias
relativas como o valor da probabilidade
Na praacutetica
repita o experimento aleatoacuterio um nuacutemero grande de vezes 119899
Conte o nordm de vezes que o evento de interesse 119860 aconteceu 119899119860
Entatildeo a probabilidade de o evento acontecer eacute calculada como
119875 119860 =119899119860119899
Eacute soacute isso
Cap 4-33
Probabilidade Frequentista
Cursando
estatiacutestica
Natildeo-
cursando
estatiacutestica
Total
Masculino 84 145 229
Feminino 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Encontre a probabilidade de selecionar um aluno de
estatiacutestica do sexo masculino a partir de uma populaccedilatildeo descrita
na tabela abaixo Considere que 439 eacute grande o suficiente para
aplicar a probabilidade frequentista
Neste caso o experimento consiste em selecionar uma pessoa
da populaccedilatildeo e em seguida observarmos o sexo e se cursa
estatiacutestica O experimento foi repetido 439 vezes
Cap 4-34
Probabilidade Frequentista
Cursando
estatiacutestica
Natildeo-
cursando
estatiacutestica
Total
Masculino 84 145 229
Feminino 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Encontre a probabilidade de selecionar um aluno de
estatiacutestica do sexo masculino a partir de uma populaccedilatildeo descrita
na tabela abaixo
119875 119867119900119898119890119898 cap 119864119904119905119886119905iacute119904119905119894119888119886 =119899ordm 119889119890 119867119900119898119890119898 cap 119864119904119905119886119905iacute119905119894119888119886
119899ordm 119889119890 119886119897119906119899119900119904=84
439= 0191
Cap 4-35
Axiomas de Probabilidade de
Kolmogorov
Axiomas de Kolmogorov
definiccedilatildeo formal de probabilidade
incluem as definiccedilotildees acima como casos particulares
Qualquer funccedilatildeo P() dos subconjuntos do espaccedilo amostral (eventos)
no intervalo [01] eacute uma probabilidade se satisfaz as condiccedilotildees
1 (Natildeo-negatividade)119875(119860 ge 0) forall evento 119860
2 (Aditividade) 119875 cup119895 119864119895 = 119875(119864119895) 119895 forall 119864119895 eventos disjuntos
3 (Normalizaccedilatildeo) 119875 119878 = 1
Definiccedilatildeo
Cap 4-36
Propriedades de uma
Probabilidade
Como consequecircncia dos Axiomas de Kolmogorov mostre que uma
funccedilatildeo probabilidade satisfaz as seguintes propriedades
1 119875 119864119888 = 1 minus 119875 119864
2 Se 1198641 sube 1198642 entatildeo 119875 1198641 le 119875 1198642
3 119875 120601 = 0
Ainda partindo dos axiomas de Kolmogorov podemos
provar a Regra geral da adiccedilatildeo
Regra Geral da Adiccedilatildeo
Cap 4-37
119875 119860 cup 119861 = 119875 119860 + 119875 119861 minus 119875(119860 cap 119861)
Regra Geral da Adiccedilatildeo
Regra geral da adiccedilatildeo
No caso particular em que os eventos satildeo
mutuamente excludentes continua valendo o axioma
de aditividade pois 119875 119860 cap 119861 = 0 daiacute
119875 119860 cup 119861 = 119875 119860 + 119875(119861)
Cap 4-38
119875 119860 cup 119861 = 119875 119860 + 119875 119861 minus 119875(119860 cap 119861)
Cap 4-39
Exemplo da Regra Geral de
Adiccedilatildeo
Cursando
estatiacutestica
Natildeo cursando
estatiacutestica
Total
Homem 84 145 229
Mulher 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Qual a probabilidade de selecionamos
aleatoriamente um homem ou um aluno(a) da estatiacutestica de
uma populaccedilatildeo descrita pela tabela abaixo
Cap 4-40
Exemplo da Regra Geral de
Adiccedilatildeo
Cursando
estatiacutestica
Natildeo cursando
estatiacutestica
Total
Homem 84 145 229
Mulher 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Qual a probabilidade de selecionamos
aleatoriamente um homem ou um aluno(a) da estatiacutestica de
uma populaccedilatildeo descrita pela tabela abaixo
119875 119867119900119898119890119898 cup 119864119904119905119886119905iacute119905119894119888119886 =
119875 119867119900119898119890119898 + 119875 119864119904119905119886119905iacute119904119905119894119888119886 minus 119875 119867119900119898119890119898 cap 119864119904119905119886119905119894119904119905119894119888119886 =229
439+160
439minus
84
439=305
439
Cap 4-41
Resumo de Probabilidade
Probabilidade eacute uma medida numeacuterica que informa a chance de um resultado ocorrer
A probabilidade de um evento deve estar entre 0 e 1 incluindo os extremos
0 le 119875(119860) le 1 para qquer evento 119860
A soma da probabilidade de uma particcedilatildeo do espaccedilo amostral eacute igual a 1
119875(119860) + 119875(119861) + 119875(119862) = 1
em que A B e C satildeo eventos mutuamente excludentes e coletivamente exaustivos (particcedilatildeo de 119878)
Certo
Impossiacutevel
05
1
0
Exemplo Probabilidade
Cap 4-42
Vocabulaacuterio Geral
Pelo menos 1 dos eventos A B ou ambos =
119860 cup 119861
Nenhum dos eventos nem A nem B = (119860 cup 119861)119888
Apenas 1 (ex Apenas A) possui A e natildeo possui B
= 119860 cap (119861119888)
Cap 4-43
Exerciacutecio Probabilidade
Selecione aleatoriamente um estudante em uma determinada
universidade e represente por A o evento dele possuir um cartatildeo de
creacutedito Visa e por B o evento anaacutelogo para um Mastercard Suponha que
P(Visa) = 05 P(Mastercard) = 04 e P (Ambos os cartotildees) = 025
1 Calcule a probabilidade de que um indiviacuteduo selecionado tenha
pelo menos um dos dois tipos de cartatildeo
2 Qual a probabilidade de o indiviacuteduo selecionado natildeo ter nenhum
dos tipos de cartatildeo
3 Descreva em termos de A e B o evento em que o estudante
selecionado possui um cartatildeo Visa mas natildeo um MasterCard
4 Calcule a probabilidade desse evento
Teacutecnicas de Contagem
Princiacutepio de contagem (divida e conquiste) o processo
eacute quebrado em vaacuterias etapas com o uso do diagrama de
aacutervores
Cap 4-44
n2
opccedilotildees
Folhas
n1
opccedilotildees
n3
opccedilotildees
n4
opccedilotildees
Estaacutegio
1
Estaacutegio
2
Estaacutegio
3
Estaacutegio
4
Nuacutemero total de folhas eacute
n1n2n3hellipni
n2
opccedilotildees
Desde que um mesmo
estaacutegio tenha o mesmo nordm
de opccedilotildees em cada ponto
da aacutervore
Teacutecnicas de Contagem
Princiacutepio de contagem
Considere um processo que contem r estaacutegios Suponha que
Existem n1 resultados possiacuteveis no primeiro estaacutegio
Para cada resultado possiacutevel do estaacutegio 1 existem n2
resultados possiacuteveis no estaacutegio 2
De forma mais geral para cada um dos resultados ni-1
primeiros estaacutegios existem ni resultados possiacuteveis no i-
eacutesimo estaacutegio
Entatildeo o Nuacutemero total de resultados possiacuteveis no processo de r
estaacutegios eacute de n1n2n3hellipnr
Cap 4-45
Teorema
Cap 4-46
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Um nuacutemero telefocircnico eacute composto de 8
diacutegitos mas o primeiro diacutegito apenas assume 3 valores
possiacuteveis 3 8 9 Quantos nuacutemeros distintos existem
Cap 4-47
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Um nuacutemero telefocircnico eacute composto de 8
diacutegitos mas o primeiro diacutegito apenas assume 3 valores
3 8 9 Quantos nuacutemeros distintos existem
Temos um total de 8 estaacutegios
No primeiro estaacutegio apenas 3 opccedilotildees
Nos demais estaacutegios 10 opccedilotildees
Total 3 107
Cap 4-48
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Quantos subconjutos podemos fazer a
partir de um conjunto com n elementos s1 s2 s3 hellip
sn
Cap 4-49
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Quantos subconjutos podemos fazer a
partir de um conjunto com n elementos s1 s2 s3 hellip
sn
Processo de n estaacutegios em cada estaacutegio decidimos se
colocamos ou natildeo o elemento no subconjunto
nuacutemero de opccedilotildees para o primeiro estaacutegio 2
Total 222hellip2 =2n
Cap 4-50
Teacutecnicas de Contagem
Problema Selecionar 119948 objetos de um total de 119951
objetos 119899 ge 119896 sem reposiccedilatildeo
Se a ordem eacute importante Arranjo
ex de palavra as eacute diferente de sa
Se a ordem natildeo eacute importante Combinaccedilatildeo
ex da loteria escolhemos um conjunto de 6 nordm a
ordem em que eles satildeo sorteados natildeo faz diferenccedila
Cap 4-51
Teacutecnicas de Contagem
Ao contraacuterio da permutaccedilatildeo na combinaccedilatildeo a ordem dos
elementos natildeo eacute importante
Exemplo
Permutaccedilatildeo de 2 elementos das letras A B C D
AB AC AD BA BC BD CA CB CD DA DB DC
Combinaccedilatildeo de 2 elementos das letras A B C D
AB AC AD BC BD CD
jaacute que a ordem natildeo eacute importante BA eacute o mesmo que
AB
Cap 4-52
Teacutecnicas de Contagem
Arranjo de k objetos
Queremos selecionar k objetos de um conjunto de n
objetos sem reposiccedilatildeo
Para o 1deg objeto n possibilidades
Para o 2deg objeto n-1 possibilidades
hellip
Para o uacuteltimo (kdeg objeto) n - (k-1) possibilidades
Total de permutaccedilotildees 119951 lowast (119951 minus 120783) lowast ⋯lowast (119951 minus 119948 + 120783)
Ou usando fatorial
Teorema
119899
119899 minus 119896
Cap 4-53
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Qual o total de palavras que podemos
construir com exatamente 4 letras distintas (natildeo precisa
ter significado nem seguir regras ortograacuteficas)
Cap 4-54
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Qual o total de palavras que podemos
construir com exatamente 4 letras distintas (natildeo
precisa ter significado nem seguir regras
ortograacuteficas)
Soluccedilatildeo
Selecionar 4 letras de um total de 26 sem repetir A
ordem eacute importante pois estamos formando
palavras (permutaccedilatildeo)
Total de arranjos de 4 elementos 26252423
Cap 4-55
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Vocecirc tem 10 CDs de muacutesica claacutessica 20
CDs de rock e 15 CDs de forroacute De quantas formas eacute
possiacutevel arranjar os seus CDs tal que os CDs do mesmo
tipo sempre fiquem juntos
Se os CDs forem colocados na prateleira de forma
aleatoacuteria qual eacute a probabilidade de os CDs do mesmo
estilo musical ficarem juntos
Cap 4-56
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Soluccedilatildeo princiacutepio da Contagem + Arranjos
Podemos quebrar o processo em 2 estaacutegios
1) Escolher a ordem dos tipos de Cds 321
2) Escolher a sequecircncia dos Cds para cada tipo
Para Cds de muacutesica claacutessica 10
Para Cds de rock 20
Para Cds de forroacute 15
Total 3102015
Cap 4-57
Teacutecnicas de Contagem
Combinaccedilatildeo de k elementos em n
Queremos contar o nuacutemero de subconjuntos de k elementos a
partir de um conjunto de n elementos sem reposiccedilatildeo
A ordem dos elementos natildeo eacute importante
Dizemos combinaccedilatildeo de n elementos k a k
Ex Formar comitecirc com 3 representantes de turma de um total de
131 alunos
Se todos tem mesmo poder a ordem de escolha natildeo eacute
importante combinaccedilatildeo
Se teremos presidente vice-presidente e secretaacuterio entatildeo a
ordem de escolha eacute importante permutaccedilatildeo
Teorema 119873119888119900119898119887119894119899119886ccedilotilde119890119904 =119899119896=
119899
119899 minus 119896 119896
Cap 4-58
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Qual o nuacutemero de combinaccedilotildees de 2
elementos distintos que podemos construir com as letras
A B C D
Cap 4-59
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Qual o nuacutemero de combinaccedilotildees de 2
elementos das letras A B C D
Soluccedilatildeo
Conferindo
AB AC AD BC BD CD
62)24(
4
2
4
scombinaccedilotildeeN
Cap 4-60
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Um armazeacutem da universidade recebeu 25
impressoras das quais 10 satildeo a laser e 15 a jato de tinta
Se 6 das 25 forem selecionadas aleatoriamente para para
serem verificadas por um teacutecnico qual seraacute a
probabilidade de exatamente 3 delas serem a laser
Cap 4-61
Teacutecnicas de Contagem
Soluccedilatildeo Seja 1198633= 3 das 6 selecionadas satildeo a laser Como a seleccedilatildeo das impressoras
dentre as 25 eacute aleatoacuteria cada uma delas tem a mesma chance de ser sorteada
Probabilidade claacutessica implica 119875 1198633 = 119899(1198633)119899
Como a ordem da seleccedilatildeo das impressoras natildeo importa 119899 =256
Para determinar 1198633 vamos dividir o processo em duas etapas 1) selecionamos 3 das 15
impressoras a tinta e 2) selecionamos 3 das 6 impressoras a laser Para cada elemento da
primeira etapa temos exatamente o mesmo nordm de possibilidades da segunda etapa Pelo
princiacutepio da contagem 119899 1198633 = 1198991 1198633 lowast 1198992 1198633
Como a ordem em que as impressoras satildeo selecionadas em cada etapa natildeo tem
importacircncia 1198991 1198633 =153
e 1198992 1198633 =63
Entatildeo
119875 1198633 =
153
63
256
= 03083
Desafio P(ao menos 3 das 6 selecionadas sejam a laser)
Cap 4-62
Resumo Nesta aula vimos
Como representar um modelo de probabilidade para uma situaccedilatildeo
incerta (experimento aleatoacuterio)
Etapa 1 definiccedilatildeo do espaccedilo amostral
Revisatildeo de conjuntos
Etapa 2 especificaccedilatildeo de uma funccedilatildeo probabilidade que atribui pesos
para a chance relativa de cada resultado do espaccedilo amostral
3 conceitos de probabilidade
Probabilidade claacutessica
Probabilidade Frequentista
Axiomas de Kolmogorov
Revisatildeo de teacutecnicas de contagem para podermos calcular
probabilidades
Na proacutexima aula veremos como incorporar informaccedilotildees novas ao
caacutelculo de probabilidade =gt Probabilidade condicional
Cap 4-8
Espaccedilo Amostral e Eventos
Um evento eacute um subconjunto do espaccedilo amostral S de
um experimento aleatoacuterio Os subconjuntos de S satildeo
representados pelas letras maiuacutesculas A B
O evento eacute denominado simples se consistir num uacutenico
resultado do espaccedilo amostral
O evento eacute denominado composto se consistir em mais
de um resultado do espaccedilo amostral
O conjunto vazio eacute denotado por 120601
Definiccedilatildeo
Cap 4-9
Espaccedilo Amostral e Eventos
Exemplo 1 Lanccedilamento de um dado S=123456
A = 6 B=1 eventos simples
C =faces pares D=faces menor ou igual a 3
evento composto
Exemplo 2 Uma rede de computadores estaacute em operaccedilatildeo
contiacutenua mas falhas podem acontecer a qualquer momento
O experimento conta o ndeg de falhas em um dia tal que
S=0 1 2 3 hellip
A = 0 falhas em um dia evento simples
B=menos de 2 falhas em um dia evento composto
Cap 4-10
Eventos e Espaccedilo Amostral
Exerciacutecio 1 Considere o experimento que consiste em lanccedilar
trecircs moedas e observar a face superior delas
a) Determine o espaccedilo amostral
b) Decirc um exemplo de evento composto
Cap 4-11
Eventos e Espaccedilo Amostral
Exerciacutecio 1 Considere o experimento que consiste em lanccedilar
trecircs moedas e observar a face superior delas
a) Determine o espaccedilo amostral
b) Decirc um exemplo de evento composto
Soluccedilatildeo
a) S = CCC CCK CKC KCC CKK KCK KKC KKK
b) Ex A = resultado com 2 caras (C) = CCK CKC KCC
Ex B = resultado com mais coroas do que caras
=CKK KCK KKC KKK
Cap 4-12
Eventos e Conjuntos
Eventos e Conjuntos
Uniatildeo Interseccedilatildeo Complemento Mutuamente Excludentes (disjuntos)
Coletivamente exaustivos
Particcedilatildeo
Eventos satildeo subconjuntos do espaccedilo amostral Vamos revisar algumas operaccedilotildees
de conjuntos
Cap 4-13
Eventos e Conjuntos
A uniatildeo de dois conjuntos (eventos) A e B eacute o conjunto (evento)
que consiste de todos os resultados que estatildeo no conjunto A ou no
conjunto B ou em ambos
119860 cup 119861 = 119909 isin 119878 119909 isin 119860 119900119906 119909 isin 119861
A interseccedilatildeo de dois conjuntos (eventos) A e B eacute o conjunto que
consiste de todos os resultados que estatildeo simultaneamente em A e
em B
119860 cap 119861 = 119909 isin 119878 119909 isin 119860 119890 119909 isin 119861
O complemento de um conjunto (evento) A representado por Ac
(ou Arsquo) eacute o conjunto de todos os resultados que natildeo estatildeo
contidos em A
119860119888 = 119909 isin 119878 119909 notin 119860
Definiccedilatildeo
Definiccedilatildeo
Definiccedilatildeo
Cap 4-14
Eventos e Conjuntos
Eventos mutuamente excludentes satildeo eventos que natildeo podem acontecer simultaneamente Tambeacutem dizemos eventos disjuntos
Exemplo Experimento - uma carta eacute selecionada do baralho
A = rainha de ouros B = rainha de copas
Os eventos A e B satildeo mutuamente excludentes
C = rainha D = ouros
C e D natildeo satildeo mutuamente exlcudentes
Exemplo Experimento ndash um feto eacute gerado
Y = eacute menino X = eacute menina
Os eventos X e Y satildeo mutuamente excludentes se natildeo considerarmos a possibilidade de hermafrodita
Definiccedilatildeo
Cap 4-15
Eventos e Conjuntos
Uma particcedilatildeo de um espaccedilo amostral consiste de um conjunto de
eventos tais que
Os eventos satildeo mutuamente excludentes (apenas um dos
eventos pode ocorrer)
Os eventos satildeo coletivamente exaustivos i e a uniatildeo dos
eventos cobre todo o espaccedilo amostral
Exemplo Experimento ndash uma carta eacute selecionada do baralho
Sejam A = azes B = cartas pretas C = ouros e D =copas
Os eventos A B C e D satildeo coletivamente exaustivos (mas natildeo
satildeo mutuamente excludentes)
Os eventos B C e D formam uma particcedilatildeo
Definiccedilatildeo
Cap 4-16
Visualizaccedilatildeo de conjuntos
Diagramas de Venn
S
A
B
S S
S S S
A A
A B
B
B C
C
A
B
A
B
a) AcapB b)AUB c)A capBc d)Ac e)AB e C satildeo disjuntos f)AB e C satildeo particcedilatildeo de S
Cap 4-17
Eventos e Conjuntos
Exerciacutecio Assuma que S = 0 1 2 3 4 5 6 7 A=0 1 2
34 B=3 4 5 6 e C=1 3 5 Determinar
119860 cup 119861
119860 cap 119861
119860 cup 119862
119860 cap 119862
119862 cup 119861
119862 cap 119861
119860119888
119861119888
119862119888
Cap 4-18
Propriedades de Conjuntos
Operaccedilotildees entre conjuntos tecircm uma seacuterie de propriedades
Exemplos
119860 cup 119861 = 119861 cup 119860 e 119860 cap 119861 = 119861 cap 119860
119860 cap 119861 cup 119862 = (119860 cap 119861) cup (119860 cap 119862)
119860119888 119888 = 119860
119860 cup 119878 = 119878
119860 cap 119860119888 = empty
119860 cap 119878 = 119860
Cap 4-19
Propriedades de Conjuntos
Leis de Morgan
119860 cup 119861 119888 = 119860119888 cap 119861119888 119860 cap 119861 119888 = 119860119888 cup 119861119888
Cap 4-20
Visualizando Eventos
Existem diversas formas de representar a ocorrecircncia de eventos
Rep
rese
nta
ccedilotildees
de
Even
tos Diagrama de Venn
Tabela de contingecircncia ou tabela cruzada
Diagrama de aacutervore
Matriz
Cap 4-21
Visualizando Eventos
Tabelas de contigecircncia
Diagrama de aacutervore
Aacutes Natildeo
Aacutes
Total
Preta 2 24 26
Vermelha 2 24 26
Total 4 48 52
Baralho de
52 Cartas Espaccedilo
Amostral
2
24
2
24
A definiccedilatildeo da ordem dos ramos depende do problema
Cap 4-22
Visualizando Eventos
Lanccedilamento de 2 dados de quatro lados
Espaccedilo Amostral para o
lanccedilamento de 2 dados
2deg dado
1deg dado
Diagrama de Aacutervore para
o lanccedilamento de 2 dados
Raiz
Folhas
Representaccedilatildeo por Matriz Representaccedilatildeo por Aacutervore
1deg dado
2deg dado
Modelo Probabiliacutestico
Cap 4-23
Experimento
Evento B
Evento A
Espaccedilo Amostral
Eventos
Os principais ingredientes de um modelo probabiliacutestico
Probabilidade
Etapa 1 Etapa 2
Cap 4-24
Probabilidade
Probabilidade atribuir chance (peso relativo) a
eventos possiacuteveis de um experimento aleatoacuterio
Diferentes conceitos
Definiccedilatildeo claacutessica de probabilidade
Definiccedilatildeo frequentista ou Definiccedilatildeo estatiacutestica de
probabilidade ou Definiccedilatildeo Claacutessica empiacuterica
Axiomas de Kolmogorov
Cap 4-25
Probabilidade Claacutessica
A definiccedilatildeo claacutessica de probabilidade se refere a subconjuntos
unitaacuterios e equiprovaacuteveis isto eacute conjuntos de resultados que tecircm a
mesma chance
CASO 1 No caso enumeraacutevel e finito em que a chance de sorteio de
cada resultado do espaccedilo amostral eacute a mesma a probabilidade de um
evento A eacute dada por
119875 119860 =119899ordm 119889119890 119907119890119911119890119904 119902119906119890 119860 119901119900119889119890 119900119888119900119903119903119890119903 119890119898 119878
119899ordm 119905119900119905119886119897 119889119890 119903119890119904119906119897119905119886119889119900119904 119901119900119904119904iacute119907119890119894119904 119890119898 119878
Definiccedilatildeo
Use Teacutecnicas de anaacutelise combinatoacuteria
e contagem para determinar o ndeg
total e o ndeg de vezes que A pode sair
Cap 4-26
Probabilidade Claacutessica
CASO 2 (probabilidade geomeacutetrica) Se 119878 eacute natildeo-
enumeraacutevel e equiprovaacutevel (mesma chance para cada
resultado) o conceito se aplica ao comprimento de
intervalos medidas de aacutereas hellip
Exemplo 119878 = [010] tal que cada valor pode sair
com a mesma chance dos demais Seja 119860 o
subconjunto [12] cup [68] Entatildeo
119875 119860 =119862119900119898119901119903119894119898119890119899119905119900 119889119890 119860
119862119900119898119901119903119894119898119890119899119905119900 119905119900119905119886119897 119889119890 119878=1+2
10= 03
Definiccedilatildeo
Probabilidade Claacutessica
Exerciacutecio Considere o experimento que consiste no
lanccedilamento de 2 dados balanceados e registram-se as faces
superiores
Calcular a probabilidade de
a) obter soma das faces superiores = 7
b) obter soma das faces superiores maior do que 10
c) que resultado do primeiro dado seja superior ao
resultado do segundo
Cap 4-27
Probabilidade Claacutessica
Exerciacutecio Considere o lanccedilamento de 2 dados balanceados
Total de resultados 36
Calcular a probabilidade de
a) Obter soma 7
2 resultados possiacuteveis (34) (43) (25) (52) (16) (61)
P(Soma=7)=636
b) Obter soma maior do que 10
3 resultados possiacuteveis (65) (56) e (66)
P(Somagt10) = 336
Cap 4-28
Probabilidade Claacutessica
Exerciacutecio Considere o lanccedilamento de 2 dados balanceados
Total de resultados 36
Calcular a probabilidade de
c) Que resultado do primeiro dado seja superior ao
resultado do segundo
Resultados possiacuteveis 15
P(1degdadogt2degdado)=15 36
Cap 4-29
1 2 3 4 5 6 1
2
3
4
5
6
1deg Dado
2deg
Da
do
Cap 4-30
Probabilidade Claacutessica
Em termos praacuteticos temos que determinar
O nuacutemero total de resultados possiacuteveis
O nuacutemero de vezes que podemos ganhar (A)
CUIDADO soacute pode ser aplicado quando todos os resultados do
espaccedilo amostral tem a mesma chance de ocorrer
Exemplos dado moeda sexo dos filhos
Contra-exemplo peso de pessoas (entre 40 e 120)
chance de (40 a 50 kg) lt chance (60 a 70 kg)
Intervalos com mesmo comprimento pela probabilidade
geomeacutetrica devem ter a mesma probabilidade Natildeo faz sentido
para o peso de pessoas
Cap 4-31
Probabilidade Frequentista
A probabilidade frequentista considera o limite de frequecircncias
relativas como o valor da probabilidade
Seja nA o nuacutemero de ocorrecircncia de A em n repeticcedilotildees independentes
do experimento Assim
119875 119860 = lim119899rarrinfin
119899119860119899
Assim definimos a probabilidade como a frequecircncia relativa
observada ao repertirmos o experimento um ndeg muito grande de vezes
Exemplo caixa com 100 moedas e conte o nuacutemero de caras ou ver
applet laquo probability raquo do Moore
Definiccedilatildeo
Cap 4-32
Probabilidade Frequentista
A probabilidade frequentista considera o limite de frequecircncias
relativas como o valor da probabilidade
Na praacutetica
repita o experimento aleatoacuterio um nuacutemero grande de vezes 119899
Conte o nordm de vezes que o evento de interesse 119860 aconteceu 119899119860
Entatildeo a probabilidade de o evento acontecer eacute calculada como
119875 119860 =119899119860119899
Eacute soacute isso
Cap 4-33
Probabilidade Frequentista
Cursando
estatiacutestica
Natildeo-
cursando
estatiacutestica
Total
Masculino 84 145 229
Feminino 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Encontre a probabilidade de selecionar um aluno de
estatiacutestica do sexo masculino a partir de uma populaccedilatildeo descrita
na tabela abaixo Considere que 439 eacute grande o suficiente para
aplicar a probabilidade frequentista
Neste caso o experimento consiste em selecionar uma pessoa
da populaccedilatildeo e em seguida observarmos o sexo e se cursa
estatiacutestica O experimento foi repetido 439 vezes
Cap 4-34
Probabilidade Frequentista
Cursando
estatiacutestica
Natildeo-
cursando
estatiacutestica
Total
Masculino 84 145 229
Feminino 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Encontre a probabilidade de selecionar um aluno de
estatiacutestica do sexo masculino a partir de uma populaccedilatildeo descrita
na tabela abaixo
119875 119867119900119898119890119898 cap 119864119904119905119886119905iacute119904119905119894119888119886 =119899ordm 119889119890 119867119900119898119890119898 cap 119864119904119905119886119905iacute119905119894119888119886
119899ordm 119889119890 119886119897119906119899119900119904=84
439= 0191
Cap 4-35
Axiomas de Probabilidade de
Kolmogorov
Axiomas de Kolmogorov
definiccedilatildeo formal de probabilidade
incluem as definiccedilotildees acima como casos particulares
Qualquer funccedilatildeo P() dos subconjuntos do espaccedilo amostral (eventos)
no intervalo [01] eacute uma probabilidade se satisfaz as condiccedilotildees
1 (Natildeo-negatividade)119875(119860 ge 0) forall evento 119860
2 (Aditividade) 119875 cup119895 119864119895 = 119875(119864119895) 119895 forall 119864119895 eventos disjuntos
3 (Normalizaccedilatildeo) 119875 119878 = 1
Definiccedilatildeo
Cap 4-36
Propriedades de uma
Probabilidade
Como consequecircncia dos Axiomas de Kolmogorov mostre que uma
funccedilatildeo probabilidade satisfaz as seguintes propriedades
1 119875 119864119888 = 1 minus 119875 119864
2 Se 1198641 sube 1198642 entatildeo 119875 1198641 le 119875 1198642
3 119875 120601 = 0
Ainda partindo dos axiomas de Kolmogorov podemos
provar a Regra geral da adiccedilatildeo
Regra Geral da Adiccedilatildeo
Cap 4-37
119875 119860 cup 119861 = 119875 119860 + 119875 119861 minus 119875(119860 cap 119861)
Regra Geral da Adiccedilatildeo
Regra geral da adiccedilatildeo
No caso particular em que os eventos satildeo
mutuamente excludentes continua valendo o axioma
de aditividade pois 119875 119860 cap 119861 = 0 daiacute
119875 119860 cup 119861 = 119875 119860 + 119875(119861)
Cap 4-38
119875 119860 cup 119861 = 119875 119860 + 119875 119861 minus 119875(119860 cap 119861)
Cap 4-39
Exemplo da Regra Geral de
Adiccedilatildeo
Cursando
estatiacutestica
Natildeo cursando
estatiacutestica
Total
Homem 84 145 229
Mulher 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Qual a probabilidade de selecionamos
aleatoriamente um homem ou um aluno(a) da estatiacutestica de
uma populaccedilatildeo descrita pela tabela abaixo
Cap 4-40
Exemplo da Regra Geral de
Adiccedilatildeo
Cursando
estatiacutestica
Natildeo cursando
estatiacutestica
Total
Homem 84 145 229
Mulher 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Qual a probabilidade de selecionamos
aleatoriamente um homem ou um aluno(a) da estatiacutestica de
uma populaccedilatildeo descrita pela tabela abaixo
119875 119867119900119898119890119898 cup 119864119904119905119886119905iacute119905119894119888119886 =
119875 119867119900119898119890119898 + 119875 119864119904119905119886119905iacute119904119905119894119888119886 minus 119875 119867119900119898119890119898 cap 119864119904119905119886119905119894119904119905119894119888119886 =229
439+160
439minus
84
439=305
439
Cap 4-41
Resumo de Probabilidade
Probabilidade eacute uma medida numeacuterica que informa a chance de um resultado ocorrer
A probabilidade de um evento deve estar entre 0 e 1 incluindo os extremos
0 le 119875(119860) le 1 para qquer evento 119860
A soma da probabilidade de uma particcedilatildeo do espaccedilo amostral eacute igual a 1
119875(119860) + 119875(119861) + 119875(119862) = 1
em que A B e C satildeo eventos mutuamente excludentes e coletivamente exaustivos (particcedilatildeo de 119878)
Certo
Impossiacutevel
05
1
0
Exemplo Probabilidade
Cap 4-42
Vocabulaacuterio Geral
Pelo menos 1 dos eventos A B ou ambos =
119860 cup 119861
Nenhum dos eventos nem A nem B = (119860 cup 119861)119888
Apenas 1 (ex Apenas A) possui A e natildeo possui B
= 119860 cap (119861119888)
Cap 4-43
Exerciacutecio Probabilidade
Selecione aleatoriamente um estudante em uma determinada
universidade e represente por A o evento dele possuir um cartatildeo de
creacutedito Visa e por B o evento anaacutelogo para um Mastercard Suponha que
P(Visa) = 05 P(Mastercard) = 04 e P (Ambos os cartotildees) = 025
1 Calcule a probabilidade de que um indiviacuteduo selecionado tenha
pelo menos um dos dois tipos de cartatildeo
2 Qual a probabilidade de o indiviacuteduo selecionado natildeo ter nenhum
dos tipos de cartatildeo
3 Descreva em termos de A e B o evento em que o estudante
selecionado possui um cartatildeo Visa mas natildeo um MasterCard
4 Calcule a probabilidade desse evento
Teacutecnicas de Contagem
Princiacutepio de contagem (divida e conquiste) o processo
eacute quebrado em vaacuterias etapas com o uso do diagrama de
aacutervores
Cap 4-44
n2
opccedilotildees
Folhas
n1
opccedilotildees
n3
opccedilotildees
n4
opccedilotildees
Estaacutegio
1
Estaacutegio
2
Estaacutegio
3
Estaacutegio
4
Nuacutemero total de folhas eacute
n1n2n3hellipni
n2
opccedilotildees
Desde que um mesmo
estaacutegio tenha o mesmo nordm
de opccedilotildees em cada ponto
da aacutervore
Teacutecnicas de Contagem
Princiacutepio de contagem
Considere um processo que contem r estaacutegios Suponha que
Existem n1 resultados possiacuteveis no primeiro estaacutegio
Para cada resultado possiacutevel do estaacutegio 1 existem n2
resultados possiacuteveis no estaacutegio 2
De forma mais geral para cada um dos resultados ni-1
primeiros estaacutegios existem ni resultados possiacuteveis no i-
eacutesimo estaacutegio
Entatildeo o Nuacutemero total de resultados possiacuteveis no processo de r
estaacutegios eacute de n1n2n3hellipnr
Cap 4-45
Teorema
Cap 4-46
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Um nuacutemero telefocircnico eacute composto de 8
diacutegitos mas o primeiro diacutegito apenas assume 3 valores
possiacuteveis 3 8 9 Quantos nuacutemeros distintos existem
Cap 4-47
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Um nuacutemero telefocircnico eacute composto de 8
diacutegitos mas o primeiro diacutegito apenas assume 3 valores
3 8 9 Quantos nuacutemeros distintos existem
Temos um total de 8 estaacutegios
No primeiro estaacutegio apenas 3 opccedilotildees
Nos demais estaacutegios 10 opccedilotildees
Total 3 107
Cap 4-48
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Quantos subconjutos podemos fazer a
partir de um conjunto com n elementos s1 s2 s3 hellip
sn
Cap 4-49
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Quantos subconjutos podemos fazer a
partir de um conjunto com n elementos s1 s2 s3 hellip
sn
Processo de n estaacutegios em cada estaacutegio decidimos se
colocamos ou natildeo o elemento no subconjunto
nuacutemero de opccedilotildees para o primeiro estaacutegio 2
Total 222hellip2 =2n
Cap 4-50
Teacutecnicas de Contagem
Problema Selecionar 119948 objetos de um total de 119951
objetos 119899 ge 119896 sem reposiccedilatildeo
Se a ordem eacute importante Arranjo
ex de palavra as eacute diferente de sa
Se a ordem natildeo eacute importante Combinaccedilatildeo
ex da loteria escolhemos um conjunto de 6 nordm a
ordem em que eles satildeo sorteados natildeo faz diferenccedila
Cap 4-51
Teacutecnicas de Contagem
Ao contraacuterio da permutaccedilatildeo na combinaccedilatildeo a ordem dos
elementos natildeo eacute importante
Exemplo
Permutaccedilatildeo de 2 elementos das letras A B C D
AB AC AD BA BC BD CA CB CD DA DB DC
Combinaccedilatildeo de 2 elementos das letras A B C D
AB AC AD BC BD CD
jaacute que a ordem natildeo eacute importante BA eacute o mesmo que
AB
Cap 4-52
Teacutecnicas de Contagem
Arranjo de k objetos
Queremos selecionar k objetos de um conjunto de n
objetos sem reposiccedilatildeo
Para o 1deg objeto n possibilidades
Para o 2deg objeto n-1 possibilidades
hellip
Para o uacuteltimo (kdeg objeto) n - (k-1) possibilidades
Total de permutaccedilotildees 119951 lowast (119951 minus 120783) lowast ⋯lowast (119951 minus 119948 + 120783)
Ou usando fatorial
Teorema
119899
119899 minus 119896
Cap 4-53
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Qual o total de palavras que podemos
construir com exatamente 4 letras distintas (natildeo precisa
ter significado nem seguir regras ortograacuteficas)
Cap 4-54
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Qual o total de palavras que podemos
construir com exatamente 4 letras distintas (natildeo
precisa ter significado nem seguir regras
ortograacuteficas)
Soluccedilatildeo
Selecionar 4 letras de um total de 26 sem repetir A
ordem eacute importante pois estamos formando
palavras (permutaccedilatildeo)
Total de arranjos de 4 elementos 26252423
Cap 4-55
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Vocecirc tem 10 CDs de muacutesica claacutessica 20
CDs de rock e 15 CDs de forroacute De quantas formas eacute
possiacutevel arranjar os seus CDs tal que os CDs do mesmo
tipo sempre fiquem juntos
Se os CDs forem colocados na prateleira de forma
aleatoacuteria qual eacute a probabilidade de os CDs do mesmo
estilo musical ficarem juntos
Cap 4-56
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Soluccedilatildeo princiacutepio da Contagem + Arranjos
Podemos quebrar o processo em 2 estaacutegios
1) Escolher a ordem dos tipos de Cds 321
2) Escolher a sequecircncia dos Cds para cada tipo
Para Cds de muacutesica claacutessica 10
Para Cds de rock 20
Para Cds de forroacute 15
Total 3102015
Cap 4-57
Teacutecnicas de Contagem
Combinaccedilatildeo de k elementos em n
Queremos contar o nuacutemero de subconjuntos de k elementos a
partir de um conjunto de n elementos sem reposiccedilatildeo
A ordem dos elementos natildeo eacute importante
Dizemos combinaccedilatildeo de n elementos k a k
Ex Formar comitecirc com 3 representantes de turma de um total de
131 alunos
Se todos tem mesmo poder a ordem de escolha natildeo eacute
importante combinaccedilatildeo
Se teremos presidente vice-presidente e secretaacuterio entatildeo a
ordem de escolha eacute importante permutaccedilatildeo
Teorema 119873119888119900119898119887119894119899119886ccedilotilde119890119904 =119899119896=
119899
119899 minus 119896 119896
Cap 4-58
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Qual o nuacutemero de combinaccedilotildees de 2
elementos distintos que podemos construir com as letras
A B C D
Cap 4-59
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Qual o nuacutemero de combinaccedilotildees de 2
elementos das letras A B C D
Soluccedilatildeo
Conferindo
AB AC AD BC BD CD
62)24(
4
2
4
scombinaccedilotildeeN
Cap 4-60
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Um armazeacutem da universidade recebeu 25
impressoras das quais 10 satildeo a laser e 15 a jato de tinta
Se 6 das 25 forem selecionadas aleatoriamente para para
serem verificadas por um teacutecnico qual seraacute a
probabilidade de exatamente 3 delas serem a laser
Cap 4-61
Teacutecnicas de Contagem
Soluccedilatildeo Seja 1198633= 3 das 6 selecionadas satildeo a laser Como a seleccedilatildeo das impressoras
dentre as 25 eacute aleatoacuteria cada uma delas tem a mesma chance de ser sorteada
Probabilidade claacutessica implica 119875 1198633 = 119899(1198633)119899
Como a ordem da seleccedilatildeo das impressoras natildeo importa 119899 =256
Para determinar 1198633 vamos dividir o processo em duas etapas 1) selecionamos 3 das 15
impressoras a tinta e 2) selecionamos 3 das 6 impressoras a laser Para cada elemento da
primeira etapa temos exatamente o mesmo nordm de possibilidades da segunda etapa Pelo
princiacutepio da contagem 119899 1198633 = 1198991 1198633 lowast 1198992 1198633
Como a ordem em que as impressoras satildeo selecionadas em cada etapa natildeo tem
importacircncia 1198991 1198633 =153
e 1198992 1198633 =63
Entatildeo
119875 1198633 =
153
63
256
= 03083
Desafio P(ao menos 3 das 6 selecionadas sejam a laser)
Cap 4-62
Resumo Nesta aula vimos
Como representar um modelo de probabilidade para uma situaccedilatildeo
incerta (experimento aleatoacuterio)
Etapa 1 definiccedilatildeo do espaccedilo amostral
Revisatildeo de conjuntos
Etapa 2 especificaccedilatildeo de uma funccedilatildeo probabilidade que atribui pesos
para a chance relativa de cada resultado do espaccedilo amostral
3 conceitos de probabilidade
Probabilidade claacutessica
Probabilidade Frequentista
Axiomas de Kolmogorov
Revisatildeo de teacutecnicas de contagem para podermos calcular
probabilidades
Na proacutexima aula veremos como incorporar informaccedilotildees novas ao
caacutelculo de probabilidade =gt Probabilidade condicional
Cap 4-9
Espaccedilo Amostral e Eventos
Exemplo 1 Lanccedilamento de um dado S=123456
A = 6 B=1 eventos simples
C =faces pares D=faces menor ou igual a 3
evento composto
Exemplo 2 Uma rede de computadores estaacute em operaccedilatildeo
contiacutenua mas falhas podem acontecer a qualquer momento
O experimento conta o ndeg de falhas em um dia tal que
S=0 1 2 3 hellip
A = 0 falhas em um dia evento simples
B=menos de 2 falhas em um dia evento composto
Cap 4-10
Eventos e Espaccedilo Amostral
Exerciacutecio 1 Considere o experimento que consiste em lanccedilar
trecircs moedas e observar a face superior delas
a) Determine o espaccedilo amostral
b) Decirc um exemplo de evento composto
Cap 4-11
Eventos e Espaccedilo Amostral
Exerciacutecio 1 Considere o experimento que consiste em lanccedilar
trecircs moedas e observar a face superior delas
a) Determine o espaccedilo amostral
b) Decirc um exemplo de evento composto
Soluccedilatildeo
a) S = CCC CCK CKC KCC CKK KCK KKC KKK
b) Ex A = resultado com 2 caras (C) = CCK CKC KCC
Ex B = resultado com mais coroas do que caras
=CKK KCK KKC KKK
Cap 4-12
Eventos e Conjuntos
Eventos e Conjuntos
Uniatildeo Interseccedilatildeo Complemento Mutuamente Excludentes (disjuntos)
Coletivamente exaustivos
Particcedilatildeo
Eventos satildeo subconjuntos do espaccedilo amostral Vamos revisar algumas operaccedilotildees
de conjuntos
Cap 4-13
Eventos e Conjuntos
A uniatildeo de dois conjuntos (eventos) A e B eacute o conjunto (evento)
que consiste de todos os resultados que estatildeo no conjunto A ou no
conjunto B ou em ambos
119860 cup 119861 = 119909 isin 119878 119909 isin 119860 119900119906 119909 isin 119861
A interseccedilatildeo de dois conjuntos (eventos) A e B eacute o conjunto que
consiste de todos os resultados que estatildeo simultaneamente em A e
em B
119860 cap 119861 = 119909 isin 119878 119909 isin 119860 119890 119909 isin 119861
O complemento de um conjunto (evento) A representado por Ac
(ou Arsquo) eacute o conjunto de todos os resultados que natildeo estatildeo
contidos em A
119860119888 = 119909 isin 119878 119909 notin 119860
Definiccedilatildeo
Definiccedilatildeo
Definiccedilatildeo
Cap 4-14
Eventos e Conjuntos
Eventos mutuamente excludentes satildeo eventos que natildeo podem acontecer simultaneamente Tambeacutem dizemos eventos disjuntos
Exemplo Experimento - uma carta eacute selecionada do baralho
A = rainha de ouros B = rainha de copas
Os eventos A e B satildeo mutuamente excludentes
C = rainha D = ouros
C e D natildeo satildeo mutuamente exlcudentes
Exemplo Experimento ndash um feto eacute gerado
Y = eacute menino X = eacute menina
Os eventos X e Y satildeo mutuamente excludentes se natildeo considerarmos a possibilidade de hermafrodita
Definiccedilatildeo
Cap 4-15
Eventos e Conjuntos
Uma particcedilatildeo de um espaccedilo amostral consiste de um conjunto de
eventos tais que
Os eventos satildeo mutuamente excludentes (apenas um dos
eventos pode ocorrer)
Os eventos satildeo coletivamente exaustivos i e a uniatildeo dos
eventos cobre todo o espaccedilo amostral
Exemplo Experimento ndash uma carta eacute selecionada do baralho
Sejam A = azes B = cartas pretas C = ouros e D =copas
Os eventos A B C e D satildeo coletivamente exaustivos (mas natildeo
satildeo mutuamente excludentes)
Os eventos B C e D formam uma particcedilatildeo
Definiccedilatildeo
Cap 4-16
Visualizaccedilatildeo de conjuntos
Diagramas de Venn
S
A
B
S S
S S S
A A
A B
B
B C
C
A
B
A
B
a) AcapB b)AUB c)A capBc d)Ac e)AB e C satildeo disjuntos f)AB e C satildeo particcedilatildeo de S
Cap 4-17
Eventos e Conjuntos
Exerciacutecio Assuma que S = 0 1 2 3 4 5 6 7 A=0 1 2
34 B=3 4 5 6 e C=1 3 5 Determinar
119860 cup 119861
119860 cap 119861
119860 cup 119862
119860 cap 119862
119862 cup 119861
119862 cap 119861
119860119888
119861119888
119862119888
Cap 4-18
Propriedades de Conjuntos
Operaccedilotildees entre conjuntos tecircm uma seacuterie de propriedades
Exemplos
119860 cup 119861 = 119861 cup 119860 e 119860 cap 119861 = 119861 cap 119860
119860 cap 119861 cup 119862 = (119860 cap 119861) cup (119860 cap 119862)
119860119888 119888 = 119860
119860 cup 119878 = 119878
119860 cap 119860119888 = empty
119860 cap 119878 = 119860
Cap 4-19
Propriedades de Conjuntos
Leis de Morgan
119860 cup 119861 119888 = 119860119888 cap 119861119888 119860 cap 119861 119888 = 119860119888 cup 119861119888
Cap 4-20
Visualizando Eventos
Existem diversas formas de representar a ocorrecircncia de eventos
Rep
rese
nta
ccedilotildees
de
Even
tos Diagrama de Venn
Tabela de contingecircncia ou tabela cruzada
Diagrama de aacutervore
Matriz
Cap 4-21
Visualizando Eventos
Tabelas de contigecircncia
Diagrama de aacutervore
Aacutes Natildeo
Aacutes
Total
Preta 2 24 26
Vermelha 2 24 26
Total 4 48 52
Baralho de
52 Cartas Espaccedilo
Amostral
2
24
2
24
A definiccedilatildeo da ordem dos ramos depende do problema
Cap 4-22
Visualizando Eventos
Lanccedilamento de 2 dados de quatro lados
Espaccedilo Amostral para o
lanccedilamento de 2 dados
2deg dado
1deg dado
Diagrama de Aacutervore para
o lanccedilamento de 2 dados
Raiz
Folhas
Representaccedilatildeo por Matriz Representaccedilatildeo por Aacutervore
1deg dado
2deg dado
Modelo Probabiliacutestico
Cap 4-23
Experimento
Evento B
Evento A
Espaccedilo Amostral
Eventos
Os principais ingredientes de um modelo probabiliacutestico
Probabilidade
Etapa 1 Etapa 2
Cap 4-24
Probabilidade
Probabilidade atribuir chance (peso relativo) a
eventos possiacuteveis de um experimento aleatoacuterio
Diferentes conceitos
Definiccedilatildeo claacutessica de probabilidade
Definiccedilatildeo frequentista ou Definiccedilatildeo estatiacutestica de
probabilidade ou Definiccedilatildeo Claacutessica empiacuterica
Axiomas de Kolmogorov
Cap 4-25
Probabilidade Claacutessica
A definiccedilatildeo claacutessica de probabilidade se refere a subconjuntos
unitaacuterios e equiprovaacuteveis isto eacute conjuntos de resultados que tecircm a
mesma chance
CASO 1 No caso enumeraacutevel e finito em que a chance de sorteio de
cada resultado do espaccedilo amostral eacute a mesma a probabilidade de um
evento A eacute dada por
119875 119860 =119899ordm 119889119890 119907119890119911119890119904 119902119906119890 119860 119901119900119889119890 119900119888119900119903119903119890119903 119890119898 119878
119899ordm 119905119900119905119886119897 119889119890 119903119890119904119906119897119905119886119889119900119904 119901119900119904119904iacute119907119890119894119904 119890119898 119878
Definiccedilatildeo
Use Teacutecnicas de anaacutelise combinatoacuteria
e contagem para determinar o ndeg
total e o ndeg de vezes que A pode sair
Cap 4-26
Probabilidade Claacutessica
CASO 2 (probabilidade geomeacutetrica) Se 119878 eacute natildeo-
enumeraacutevel e equiprovaacutevel (mesma chance para cada
resultado) o conceito se aplica ao comprimento de
intervalos medidas de aacutereas hellip
Exemplo 119878 = [010] tal que cada valor pode sair
com a mesma chance dos demais Seja 119860 o
subconjunto [12] cup [68] Entatildeo
119875 119860 =119862119900119898119901119903119894119898119890119899119905119900 119889119890 119860
119862119900119898119901119903119894119898119890119899119905119900 119905119900119905119886119897 119889119890 119878=1+2
10= 03
Definiccedilatildeo
Probabilidade Claacutessica
Exerciacutecio Considere o experimento que consiste no
lanccedilamento de 2 dados balanceados e registram-se as faces
superiores
Calcular a probabilidade de
a) obter soma das faces superiores = 7
b) obter soma das faces superiores maior do que 10
c) que resultado do primeiro dado seja superior ao
resultado do segundo
Cap 4-27
Probabilidade Claacutessica
Exerciacutecio Considere o lanccedilamento de 2 dados balanceados
Total de resultados 36
Calcular a probabilidade de
a) Obter soma 7
2 resultados possiacuteveis (34) (43) (25) (52) (16) (61)
P(Soma=7)=636
b) Obter soma maior do que 10
3 resultados possiacuteveis (65) (56) e (66)
P(Somagt10) = 336
Cap 4-28
Probabilidade Claacutessica
Exerciacutecio Considere o lanccedilamento de 2 dados balanceados
Total de resultados 36
Calcular a probabilidade de
c) Que resultado do primeiro dado seja superior ao
resultado do segundo
Resultados possiacuteveis 15
P(1degdadogt2degdado)=15 36
Cap 4-29
1 2 3 4 5 6 1
2
3
4
5
6
1deg Dado
2deg
Da
do
Cap 4-30
Probabilidade Claacutessica
Em termos praacuteticos temos que determinar
O nuacutemero total de resultados possiacuteveis
O nuacutemero de vezes que podemos ganhar (A)
CUIDADO soacute pode ser aplicado quando todos os resultados do
espaccedilo amostral tem a mesma chance de ocorrer
Exemplos dado moeda sexo dos filhos
Contra-exemplo peso de pessoas (entre 40 e 120)
chance de (40 a 50 kg) lt chance (60 a 70 kg)
Intervalos com mesmo comprimento pela probabilidade
geomeacutetrica devem ter a mesma probabilidade Natildeo faz sentido
para o peso de pessoas
Cap 4-31
Probabilidade Frequentista
A probabilidade frequentista considera o limite de frequecircncias
relativas como o valor da probabilidade
Seja nA o nuacutemero de ocorrecircncia de A em n repeticcedilotildees independentes
do experimento Assim
119875 119860 = lim119899rarrinfin
119899119860119899
Assim definimos a probabilidade como a frequecircncia relativa
observada ao repertirmos o experimento um ndeg muito grande de vezes
Exemplo caixa com 100 moedas e conte o nuacutemero de caras ou ver
applet laquo probability raquo do Moore
Definiccedilatildeo
Cap 4-32
Probabilidade Frequentista
A probabilidade frequentista considera o limite de frequecircncias
relativas como o valor da probabilidade
Na praacutetica
repita o experimento aleatoacuterio um nuacutemero grande de vezes 119899
Conte o nordm de vezes que o evento de interesse 119860 aconteceu 119899119860
Entatildeo a probabilidade de o evento acontecer eacute calculada como
119875 119860 =119899119860119899
Eacute soacute isso
Cap 4-33
Probabilidade Frequentista
Cursando
estatiacutestica
Natildeo-
cursando
estatiacutestica
Total
Masculino 84 145 229
Feminino 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Encontre a probabilidade de selecionar um aluno de
estatiacutestica do sexo masculino a partir de uma populaccedilatildeo descrita
na tabela abaixo Considere que 439 eacute grande o suficiente para
aplicar a probabilidade frequentista
Neste caso o experimento consiste em selecionar uma pessoa
da populaccedilatildeo e em seguida observarmos o sexo e se cursa
estatiacutestica O experimento foi repetido 439 vezes
Cap 4-34
Probabilidade Frequentista
Cursando
estatiacutestica
Natildeo-
cursando
estatiacutestica
Total
Masculino 84 145 229
Feminino 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Encontre a probabilidade de selecionar um aluno de
estatiacutestica do sexo masculino a partir de uma populaccedilatildeo descrita
na tabela abaixo
119875 119867119900119898119890119898 cap 119864119904119905119886119905iacute119904119905119894119888119886 =119899ordm 119889119890 119867119900119898119890119898 cap 119864119904119905119886119905iacute119905119894119888119886
119899ordm 119889119890 119886119897119906119899119900119904=84
439= 0191
Cap 4-35
Axiomas de Probabilidade de
Kolmogorov
Axiomas de Kolmogorov
definiccedilatildeo formal de probabilidade
incluem as definiccedilotildees acima como casos particulares
Qualquer funccedilatildeo P() dos subconjuntos do espaccedilo amostral (eventos)
no intervalo [01] eacute uma probabilidade se satisfaz as condiccedilotildees
1 (Natildeo-negatividade)119875(119860 ge 0) forall evento 119860
2 (Aditividade) 119875 cup119895 119864119895 = 119875(119864119895) 119895 forall 119864119895 eventos disjuntos
3 (Normalizaccedilatildeo) 119875 119878 = 1
Definiccedilatildeo
Cap 4-36
Propriedades de uma
Probabilidade
Como consequecircncia dos Axiomas de Kolmogorov mostre que uma
funccedilatildeo probabilidade satisfaz as seguintes propriedades
1 119875 119864119888 = 1 minus 119875 119864
2 Se 1198641 sube 1198642 entatildeo 119875 1198641 le 119875 1198642
3 119875 120601 = 0
Ainda partindo dos axiomas de Kolmogorov podemos
provar a Regra geral da adiccedilatildeo
Regra Geral da Adiccedilatildeo
Cap 4-37
119875 119860 cup 119861 = 119875 119860 + 119875 119861 minus 119875(119860 cap 119861)
Regra Geral da Adiccedilatildeo
Regra geral da adiccedilatildeo
No caso particular em que os eventos satildeo
mutuamente excludentes continua valendo o axioma
de aditividade pois 119875 119860 cap 119861 = 0 daiacute
119875 119860 cup 119861 = 119875 119860 + 119875(119861)
Cap 4-38
119875 119860 cup 119861 = 119875 119860 + 119875 119861 minus 119875(119860 cap 119861)
Cap 4-39
Exemplo da Regra Geral de
Adiccedilatildeo
Cursando
estatiacutestica
Natildeo cursando
estatiacutestica
Total
Homem 84 145 229
Mulher 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Qual a probabilidade de selecionamos
aleatoriamente um homem ou um aluno(a) da estatiacutestica de
uma populaccedilatildeo descrita pela tabela abaixo
Cap 4-40
Exemplo da Regra Geral de
Adiccedilatildeo
Cursando
estatiacutestica
Natildeo cursando
estatiacutestica
Total
Homem 84 145 229
Mulher 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Qual a probabilidade de selecionamos
aleatoriamente um homem ou um aluno(a) da estatiacutestica de
uma populaccedilatildeo descrita pela tabela abaixo
119875 119867119900119898119890119898 cup 119864119904119905119886119905iacute119905119894119888119886 =
119875 119867119900119898119890119898 + 119875 119864119904119905119886119905iacute119904119905119894119888119886 minus 119875 119867119900119898119890119898 cap 119864119904119905119886119905119894119904119905119894119888119886 =229
439+160
439minus
84
439=305
439
Cap 4-41
Resumo de Probabilidade
Probabilidade eacute uma medida numeacuterica que informa a chance de um resultado ocorrer
A probabilidade de um evento deve estar entre 0 e 1 incluindo os extremos
0 le 119875(119860) le 1 para qquer evento 119860
A soma da probabilidade de uma particcedilatildeo do espaccedilo amostral eacute igual a 1
119875(119860) + 119875(119861) + 119875(119862) = 1
em que A B e C satildeo eventos mutuamente excludentes e coletivamente exaustivos (particcedilatildeo de 119878)
Certo
Impossiacutevel
05
1
0
Exemplo Probabilidade
Cap 4-42
Vocabulaacuterio Geral
Pelo menos 1 dos eventos A B ou ambos =
119860 cup 119861
Nenhum dos eventos nem A nem B = (119860 cup 119861)119888
Apenas 1 (ex Apenas A) possui A e natildeo possui B
= 119860 cap (119861119888)
Cap 4-43
Exerciacutecio Probabilidade
Selecione aleatoriamente um estudante em uma determinada
universidade e represente por A o evento dele possuir um cartatildeo de
creacutedito Visa e por B o evento anaacutelogo para um Mastercard Suponha que
P(Visa) = 05 P(Mastercard) = 04 e P (Ambos os cartotildees) = 025
1 Calcule a probabilidade de que um indiviacuteduo selecionado tenha
pelo menos um dos dois tipos de cartatildeo
2 Qual a probabilidade de o indiviacuteduo selecionado natildeo ter nenhum
dos tipos de cartatildeo
3 Descreva em termos de A e B o evento em que o estudante
selecionado possui um cartatildeo Visa mas natildeo um MasterCard
4 Calcule a probabilidade desse evento
Teacutecnicas de Contagem
Princiacutepio de contagem (divida e conquiste) o processo
eacute quebrado em vaacuterias etapas com o uso do diagrama de
aacutervores
Cap 4-44
n2
opccedilotildees
Folhas
n1
opccedilotildees
n3
opccedilotildees
n4
opccedilotildees
Estaacutegio
1
Estaacutegio
2
Estaacutegio
3
Estaacutegio
4
Nuacutemero total de folhas eacute
n1n2n3hellipni
n2
opccedilotildees
Desde que um mesmo
estaacutegio tenha o mesmo nordm
de opccedilotildees em cada ponto
da aacutervore
Teacutecnicas de Contagem
Princiacutepio de contagem
Considere um processo que contem r estaacutegios Suponha que
Existem n1 resultados possiacuteveis no primeiro estaacutegio
Para cada resultado possiacutevel do estaacutegio 1 existem n2
resultados possiacuteveis no estaacutegio 2
De forma mais geral para cada um dos resultados ni-1
primeiros estaacutegios existem ni resultados possiacuteveis no i-
eacutesimo estaacutegio
Entatildeo o Nuacutemero total de resultados possiacuteveis no processo de r
estaacutegios eacute de n1n2n3hellipnr
Cap 4-45
Teorema
Cap 4-46
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Um nuacutemero telefocircnico eacute composto de 8
diacutegitos mas o primeiro diacutegito apenas assume 3 valores
possiacuteveis 3 8 9 Quantos nuacutemeros distintos existem
Cap 4-47
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Um nuacutemero telefocircnico eacute composto de 8
diacutegitos mas o primeiro diacutegito apenas assume 3 valores
3 8 9 Quantos nuacutemeros distintos existem
Temos um total de 8 estaacutegios
No primeiro estaacutegio apenas 3 opccedilotildees
Nos demais estaacutegios 10 opccedilotildees
Total 3 107
Cap 4-48
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Quantos subconjutos podemos fazer a
partir de um conjunto com n elementos s1 s2 s3 hellip
sn
Cap 4-49
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Quantos subconjutos podemos fazer a
partir de um conjunto com n elementos s1 s2 s3 hellip
sn
Processo de n estaacutegios em cada estaacutegio decidimos se
colocamos ou natildeo o elemento no subconjunto
nuacutemero de opccedilotildees para o primeiro estaacutegio 2
Total 222hellip2 =2n
Cap 4-50
Teacutecnicas de Contagem
Problema Selecionar 119948 objetos de um total de 119951
objetos 119899 ge 119896 sem reposiccedilatildeo
Se a ordem eacute importante Arranjo
ex de palavra as eacute diferente de sa
Se a ordem natildeo eacute importante Combinaccedilatildeo
ex da loteria escolhemos um conjunto de 6 nordm a
ordem em que eles satildeo sorteados natildeo faz diferenccedila
Cap 4-51
Teacutecnicas de Contagem
Ao contraacuterio da permutaccedilatildeo na combinaccedilatildeo a ordem dos
elementos natildeo eacute importante
Exemplo
Permutaccedilatildeo de 2 elementos das letras A B C D
AB AC AD BA BC BD CA CB CD DA DB DC
Combinaccedilatildeo de 2 elementos das letras A B C D
AB AC AD BC BD CD
jaacute que a ordem natildeo eacute importante BA eacute o mesmo que
AB
Cap 4-52
Teacutecnicas de Contagem
Arranjo de k objetos
Queremos selecionar k objetos de um conjunto de n
objetos sem reposiccedilatildeo
Para o 1deg objeto n possibilidades
Para o 2deg objeto n-1 possibilidades
hellip
Para o uacuteltimo (kdeg objeto) n - (k-1) possibilidades
Total de permutaccedilotildees 119951 lowast (119951 minus 120783) lowast ⋯lowast (119951 minus 119948 + 120783)
Ou usando fatorial
Teorema
119899
119899 minus 119896
Cap 4-53
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Qual o total de palavras que podemos
construir com exatamente 4 letras distintas (natildeo precisa
ter significado nem seguir regras ortograacuteficas)
Cap 4-54
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Qual o total de palavras que podemos
construir com exatamente 4 letras distintas (natildeo
precisa ter significado nem seguir regras
ortograacuteficas)
Soluccedilatildeo
Selecionar 4 letras de um total de 26 sem repetir A
ordem eacute importante pois estamos formando
palavras (permutaccedilatildeo)
Total de arranjos de 4 elementos 26252423
Cap 4-55
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Vocecirc tem 10 CDs de muacutesica claacutessica 20
CDs de rock e 15 CDs de forroacute De quantas formas eacute
possiacutevel arranjar os seus CDs tal que os CDs do mesmo
tipo sempre fiquem juntos
Se os CDs forem colocados na prateleira de forma
aleatoacuteria qual eacute a probabilidade de os CDs do mesmo
estilo musical ficarem juntos
Cap 4-56
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Soluccedilatildeo princiacutepio da Contagem + Arranjos
Podemos quebrar o processo em 2 estaacutegios
1) Escolher a ordem dos tipos de Cds 321
2) Escolher a sequecircncia dos Cds para cada tipo
Para Cds de muacutesica claacutessica 10
Para Cds de rock 20
Para Cds de forroacute 15
Total 3102015
Cap 4-57
Teacutecnicas de Contagem
Combinaccedilatildeo de k elementos em n
Queremos contar o nuacutemero de subconjuntos de k elementos a
partir de um conjunto de n elementos sem reposiccedilatildeo
A ordem dos elementos natildeo eacute importante
Dizemos combinaccedilatildeo de n elementos k a k
Ex Formar comitecirc com 3 representantes de turma de um total de
131 alunos
Se todos tem mesmo poder a ordem de escolha natildeo eacute
importante combinaccedilatildeo
Se teremos presidente vice-presidente e secretaacuterio entatildeo a
ordem de escolha eacute importante permutaccedilatildeo
Teorema 119873119888119900119898119887119894119899119886ccedilotilde119890119904 =119899119896=
119899
119899 minus 119896 119896
Cap 4-58
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Qual o nuacutemero de combinaccedilotildees de 2
elementos distintos que podemos construir com as letras
A B C D
Cap 4-59
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Qual o nuacutemero de combinaccedilotildees de 2
elementos das letras A B C D
Soluccedilatildeo
Conferindo
AB AC AD BC BD CD
62)24(
4
2
4
scombinaccedilotildeeN
Cap 4-60
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Um armazeacutem da universidade recebeu 25
impressoras das quais 10 satildeo a laser e 15 a jato de tinta
Se 6 das 25 forem selecionadas aleatoriamente para para
serem verificadas por um teacutecnico qual seraacute a
probabilidade de exatamente 3 delas serem a laser
Cap 4-61
Teacutecnicas de Contagem
Soluccedilatildeo Seja 1198633= 3 das 6 selecionadas satildeo a laser Como a seleccedilatildeo das impressoras
dentre as 25 eacute aleatoacuteria cada uma delas tem a mesma chance de ser sorteada
Probabilidade claacutessica implica 119875 1198633 = 119899(1198633)119899
Como a ordem da seleccedilatildeo das impressoras natildeo importa 119899 =256
Para determinar 1198633 vamos dividir o processo em duas etapas 1) selecionamos 3 das 15
impressoras a tinta e 2) selecionamos 3 das 6 impressoras a laser Para cada elemento da
primeira etapa temos exatamente o mesmo nordm de possibilidades da segunda etapa Pelo
princiacutepio da contagem 119899 1198633 = 1198991 1198633 lowast 1198992 1198633
Como a ordem em que as impressoras satildeo selecionadas em cada etapa natildeo tem
importacircncia 1198991 1198633 =153
e 1198992 1198633 =63
Entatildeo
119875 1198633 =
153
63
256
= 03083
Desafio P(ao menos 3 das 6 selecionadas sejam a laser)
Cap 4-62
Resumo Nesta aula vimos
Como representar um modelo de probabilidade para uma situaccedilatildeo
incerta (experimento aleatoacuterio)
Etapa 1 definiccedilatildeo do espaccedilo amostral
Revisatildeo de conjuntos
Etapa 2 especificaccedilatildeo de uma funccedilatildeo probabilidade que atribui pesos
para a chance relativa de cada resultado do espaccedilo amostral
3 conceitos de probabilidade
Probabilidade claacutessica
Probabilidade Frequentista
Axiomas de Kolmogorov
Revisatildeo de teacutecnicas de contagem para podermos calcular
probabilidades
Na proacutexima aula veremos como incorporar informaccedilotildees novas ao
caacutelculo de probabilidade =gt Probabilidade condicional
Cap 4-10
Eventos e Espaccedilo Amostral
Exerciacutecio 1 Considere o experimento que consiste em lanccedilar
trecircs moedas e observar a face superior delas
a) Determine o espaccedilo amostral
b) Decirc um exemplo de evento composto
Cap 4-11
Eventos e Espaccedilo Amostral
Exerciacutecio 1 Considere o experimento que consiste em lanccedilar
trecircs moedas e observar a face superior delas
a) Determine o espaccedilo amostral
b) Decirc um exemplo de evento composto
Soluccedilatildeo
a) S = CCC CCK CKC KCC CKK KCK KKC KKK
b) Ex A = resultado com 2 caras (C) = CCK CKC KCC
Ex B = resultado com mais coroas do que caras
=CKK KCK KKC KKK
Cap 4-12
Eventos e Conjuntos
Eventos e Conjuntos
Uniatildeo Interseccedilatildeo Complemento Mutuamente Excludentes (disjuntos)
Coletivamente exaustivos
Particcedilatildeo
Eventos satildeo subconjuntos do espaccedilo amostral Vamos revisar algumas operaccedilotildees
de conjuntos
Cap 4-13
Eventos e Conjuntos
A uniatildeo de dois conjuntos (eventos) A e B eacute o conjunto (evento)
que consiste de todos os resultados que estatildeo no conjunto A ou no
conjunto B ou em ambos
119860 cup 119861 = 119909 isin 119878 119909 isin 119860 119900119906 119909 isin 119861
A interseccedilatildeo de dois conjuntos (eventos) A e B eacute o conjunto que
consiste de todos os resultados que estatildeo simultaneamente em A e
em B
119860 cap 119861 = 119909 isin 119878 119909 isin 119860 119890 119909 isin 119861
O complemento de um conjunto (evento) A representado por Ac
(ou Arsquo) eacute o conjunto de todos os resultados que natildeo estatildeo
contidos em A
119860119888 = 119909 isin 119878 119909 notin 119860
Definiccedilatildeo
Definiccedilatildeo
Definiccedilatildeo
Cap 4-14
Eventos e Conjuntos
Eventos mutuamente excludentes satildeo eventos que natildeo podem acontecer simultaneamente Tambeacutem dizemos eventos disjuntos
Exemplo Experimento - uma carta eacute selecionada do baralho
A = rainha de ouros B = rainha de copas
Os eventos A e B satildeo mutuamente excludentes
C = rainha D = ouros
C e D natildeo satildeo mutuamente exlcudentes
Exemplo Experimento ndash um feto eacute gerado
Y = eacute menino X = eacute menina
Os eventos X e Y satildeo mutuamente excludentes se natildeo considerarmos a possibilidade de hermafrodita
Definiccedilatildeo
Cap 4-15
Eventos e Conjuntos
Uma particcedilatildeo de um espaccedilo amostral consiste de um conjunto de
eventos tais que
Os eventos satildeo mutuamente excludentes (apenas um dos
eventos pode ocorrer)
Os eventos satildeo coletivamente exaustivos i e a uniatildeo dos
eventos cobre todo o espaccedilo amostral
Exemplo Experimento ndash uma carta eacute selecionada do baralho
Sejam A = azes B = cartas pretas C = ouros e D =copas
Os eventos A B C e D satildeo coletivamente exaustivos (mas natildeo
satildeo mutuamente excludentes)
Os eventos B C e D formam uma particcedilatildeo
Definiccedilatildeo
Cap 4-16
Visualizaccedilatildeo de conjuntos
Diagramas de Venn
S
A
B
S S
S S S
A A
A B
B
B C
C
A
B
A
B
a) AcapB b)AUB c)A capBc d)Ac e)AB e C satildeo disjuntos f)AB e C satildeo particcedilatildeo de S
Cap 4-17
Eventos e Conjuntos
Exerciacutecio Assuma que S = 0 1 2 3 4 5 6 7 A=0 1 2
34 B=3 4 5 6 e C=1 3 5 Determinar
119860 cup 119861
119860 cap 119861
119860 cup 119862
119860 cap 119862
119862 cup 119861
119862 cap 119861
119860119888
119861119888
119862119888
Cap 4-18
Propriedades de Conjuntos
Operaccedilotildees entre conjuntos tecircm uma seacuterie de propriedades
Exemplos
119860 cup 119861 = 119861 cup 119860 e 119860 cap 119861 = 119861 cap 119860
119860 cap 119861 cup 119862 = (119860 cap 119861) cup (119860 cap 119862)
119860119888 119888 = 119860
119860 cup 119878 = 119878
119860 cap 119860119888 = empty
119860 cap 119878 = 119860
Cap 4-19
Propriedades de Conjuntos
Leis de Morgan
119860 cup 119861 119888 = 119860119888 cap 119861119888 119860 cap 119861 119888 = 119860119888 cup 119861119888
Cap 4-20
Visualizando Eventos
Existem diversas formas de representar a ocorrecircncia de eventos
Rep
rese
nta
ccedilotildees
de
Even
tos Diagrama de Venn
Tabela de contingecircncia ou tabela cruzada
Diagrama de aacutervore
Matriz
Cap 4-21
Visualizando Eventos
Tabelas de contigecircncia
Diagrama de aacutervore
Aacutes Natildeo
Aacutes
Total
Preta 2 24 26
Vermelha 2 24 26
Total 4 48 52
Baralho de
52 Cartas Espaccedilo
Amostral
2
24
2
24
A definiccedilatildeo da ordem dos ramos depende do problema
Cap 4-22
Visualizando Eventos
Lanccedilamento de 2 dados de quatro lados
Espaccedilo Amostral para o
lanccedilamento de 2 dados
2deg dado
1deg dado
Diagrama de Aacutervore para
o lanccedilamento de 2 dados
Raiz
Folhas
Representaccedilatildeo por Matriz Representaccedilatildeo por Aacutervore
1deg dado
2deg dado
Modelo Probabiliacutestico
Cap 4-23
Experimento
Evento B
Evento A
Espaccedilo Amostral
Eventos
Os principais ingredientes de um modelo probabiliacutestico
Probabilidade
Etapa 1 Etapa 2
Cap 4-24
Probabilidade
Probabilidade atribuir chance (peso relativo) a
eventos possiacuteveis de um experimento aleatoacuterio
Diferentes conceitos
Definiccedilatildeo claacutessica de probabilidade
Definiccedilatildeo frequentista ou Definiccedilatildeo estatiacutestica de
probabilidade ou Definiccedilatildeo Claacutessica empiacuterica
Axiomas de Kolmogorov
Cap 4-25
Probabilidade Claacutessica
A definiccedilatildeo claacutessica de probabilidade se refere a subconjuntos
unitaacuterios e equiprovaacuteveis isto eacute conjuntos de resultados que tecircm a
mesma chance
CASO 1 No caso enumeraacutevel e finito em que a chance de sorteio de
cada resultado do espaccedilo amostral eacute a mesma a probabilidade de um
evento A eacute dada por
119875 119860 =119899ordm 119889119890 119907119890119911119890119904 119902119906119890 119860 119901119900119889119890 119900119888119900119903119903119890119903 119890119898 119878
119899ordm 119905119900119905119886119897 119889119890 119903119890119904119906119897119905119886119889119900119904 119901119900119904119904iacute119907119890119894119904 119890119898 119878
Definiccedilatildeo
Use Teacutecnicas de anaacutelise combinatoacuteria
e contagem para determinar o ndeg
total e o ndeg de vezes que A pode sair
Cap 4-26
Probabilidade Claacutessica
CASO 2 (probabilidade geomeacutetrica) Se 119878 eacute natildeo-
enumeraacutevel e equiprovaacutevel (mesma chance para cada
resultado) o conceito se aplica ao comprimento de
intervalos medidas de aacutereas hellip
Exemplo 119878 = [010] tal que cada valor pode sair
com a mesma chance dos demais Seja 119860 o
subconjunto [12] cup [68] Entatildeo
119875 119860 =119862119900119898119901119903119894119898119890119899119905119900 119889119890 119860
119862119900119898119901119903119894119898119890119899119905119900 119905119900119905119886119897 119889119890 119878=1+2
10= 03
Definiccedilatildeo
Probabilidade Claacutessica
Exerciacutecio Considere o experimento que consiste no
lanccedilamento de 2 dados balanceados e registram-se as faces
superiores
Calcular a probabilidade de
a) obter soma das faces superiores = 7
b) obter soma das faces superiores maior do que 10
c) que resultado do primeiro dado seja superior ao
resultado do segundo
Cap 4-27
Probabilidade Claacutessica
Exerciacutecio Considere o lanccedilamento de 2 dados balanceados
Total de resultados 36
Calcular a probabilidade de
a) Obter soma 7
2 resultados possiacuteveis (34) (43) (25) (52) (16) (61)
P(Soma=7)=636
b) Obter soma maior do que 10
3 resultados possiacuteveis (65) (56) e (66)
P(Somagt10) = 336
Cap 4-28
Probabilidade Claacutessica
Exerciacutecio Considere o lanccedilamento de 2 dados balanceados
Total de resultados 36
Calcular a probabilidade de
c) Que resultado do primeiro dado seja superior ao
resultado do segundo
Resultados possiacuteveis 15
P(1degdadogt2degdado)=15 36
Cap 4-29
1 2 3 4 5 6 1
2
3
4
5
6
1deg Dado
2deg
Da
do
Cap 4-30
Probabilidade Claacutessica
Em termos praacuteticos temos que determinar
O nuacutemero total de resultados possiacuteveis
O nuacutemero de vezes que podemos ganhar (A)
CUIDADO soacute pode ser aplicado quando todos os resultados do
espaccedilo amostral tem a mesma chance de ocorrer
Exemplos dado moeda sexo dos filhos
Contra-exemplo peso de pessoas (entre 40 e 120)
chance de (40 a 50 kg) lt chance (60 a 70 kg)
Intervalos com mesmo comprimento pela probabilidade
geomeacutetrica devem ter a mesma probabilidade Natildeo faz sentido
para o peso de pessoas
Cap 4-31
Probabilidade Frequentista
A probabilidade frequentista considera o limite de frequecircncias
relativas como o valor da probabilidade
Seja nA o nuacutemero de ocorrecircncia de A em n repeticcedilotildees independentes
do experimento Assim
119875 119860 = lim119899rarrinfin
119899119860119899
Assim definimos a probabilidade como a frequecircncia relativa
observada ao repertirmos o experimento um ndeg muito grande de vezes
Exemplo caixa com 100 moedas e conte o nuacutemero de caras ou ver
applet laquo probability raquo do Moore
Definiccedilatildeo
Cap 4-32
Probabilidade Frequentista
A probabilidade frequentista considera o limite de frequecircncias
relativas como o valor da probabilidade
Na praacutetica
repita o experimento aleatoacuterio um nuacutemero grande de vezes 119899
Conte o nordm de vezes que o evento de interesse 119860 aconteceu 119899119860
Entatildeo a probabilidade de o evento acontecer eacute calculada como
119875 119860 =119899119860119899
Eacute soacute isso
Cap 4-33
Probabilidade Frequentista
Cursando
estatiacutestica
Natildeo-
cursando
estatiacutestica
Total
Masculino 84 145 229
Feminino 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Encontre a probabilidade de selecionar um aluno de
estatiacutestica do sexo masculino a partir de uma populaccedilatildeo descrita
na tabela abaixo Considere que 439 eacute grande o suficiente para
aplicar a probabilidade frequentista
Neste caso o experimento consiste em selecionar uma pessoa
da populaccedilatildeo e em seguida observarmos o sexo e se cursa
estatiacutestica O experimento foi repetido 439 vezes
Cap 4-34
Probabilidade Frequentista
Cursando
estatiacutestica
Natildeo-
cursando
estatiacutestica
Total
Masculino 84 145 229
Feminino 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Encontre a probabilidade de selecionar um aluno de
estatiacutestica do sexo masculino a partir de uma populaccedilatildeo descrita
na tabela abaixo
119875 119867119900119898119890119898 cap 119864119904119905119886119905iacute119904119905119894119888119886 =119899ordm 119889119890 119867119900119898119890119898 cap 119864119904119905119886119905iacute119905119894119888119886
119899ordm 119889119890 119886119897119906119899119900119904=84
439= 0191
Cap 4-35
Axiomas de Probabilidade de
Kolmogorov
Axiomas de Kolmogorov
definiccedilatildeo formal de probabilidade
incluem as definiccedilotildees acima como casos particulares
Qualquer funccedilatildeo P() dos subconjuntos do espaccedilo amostral (eventos)
no intervalo [01] eacute uma probabilidade se satisfaz as condiccedilotildees
1 (Natildeo-negatividade)119875(119860 ge 0) forall evento 119860
2 (Aditividade) 119875 cup119895 119864119895 = 119875(119864119895) 119895 forall 119864119895 eventos disjuntos
3 (Normalizaccedilatildeo) 119875 119878 = 1
Definiccedilatildeo
Cap 4-36
Propriedades de uma
Probabilidade
Como consequecircncia dos Axiomas de Kolmogorov mostre que uma
funccedilatildeo probabilidade satisfaz as seguintes propriedades
1 119875 119864119888 = 1 minus 119875 119864
2 Se 1198641 sube 1198642 entatildeo 119875 1198641 le 119875 1198642
3 119875 120601 = 0
Ainda partindo dos axiomas de Kolmogorov podemos
provar a Regra geral da adiccedilatildeo
Regra Geral da Adiccedilatildeo
Cap 4-37
119875 119860 cup 119861 = 119875 119860 + 119875 119861 minus 119875(119860 cap 119861)
Regra Geral da Adiccedilatildeo
Regra geral da adiccedilatildeo
No caso particular em que os eventos satildeo
mutuamente excludentes continua valendo o axioma
de aditividade pois 119875 119860 cap 119861 = 0 daiacute
119875 119860 cup 119861 = 119875 119860 + 119875(119861)
Cap 4-38
119875 119860 cup 119861 = 119875 119860 + 119875 119861 minus 119875(119860 cap 119861)
Cap 4-39
Exemplo da Regra Geral de
Adiccedilatildeo
Cursando
estatiacutestica
Natildeo cursando
estatiacutestica
Total
Homem 84 145 229
Mulher 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Qual a probabilidade de selecionamos
aleatoriamente um homem ou um aluno(a) da estatiacutestica de
uma populaccedilatildeo descrita pela tabela abaixo
Cap 4-40
Exemplo da Regra Geral de
Adiccedilatildeo
Cursando
estatiacutestica
Natildeo cursando
estatiacutestica
Total
Homem 84 145 229
Mulher 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Qual a probabilidade de selecionamos
aleatoriamente um homem ou um aluno(a) da estatiacutestica de
uma populaccedilatildeo descrita pela tabela abaixo
119875 119867119900119898119890119898 cup 119864119904119905119886119905iacute119905119894119888119886 =
119875 119867119900119898119890119898 + 119875 119864119904119905119886119905iacute119904119905119894119888119886 minus 119875 119867119900119898119890119898 cap 119864119904119905119886119905119894119904119905119894119888119886 =229
439+160
439minus
84
439=305
439
Cap 4-41
Resumo de Probabilidade
Probabilidade eacute uma medida numeacuterica que informa a chance de um resultado ocorrer
A probabilidade de um evento deve estar entre 0 e 1 incluindo os extremos
0 le 119875(119860) le 1 para qquer evento 119860
A soma da probabilidade de uma particcedilatildeo do espaccedilo amostral eacute igual a 1
119875(119860) + 119875(119861) + 119875(119862) = 1
em que A B e C satildeo eventos mutuamente excludentes e coletivamente exaustivos (particcedilatildeo de 119878)
Certo
Impossiacutevel
05
1
0
Exemplo Probabilidade
Cap 4-42
Vocabulaacuterio Geral
Pelo menos 1 dos eventos A B ou ambos =
119860 cup 119861
Nenhum dos eventos nem A nem B = (119860 cup 119861)119888
Apenas 1 (ex Apenas A) possui A e natildeo possui B
= 119860 cap (119861119888)
Cap 4-43
Exerciacutecio Probabilidade
Selecione aleatoriamente um estudante em uma determinada
universidade e represente por A o evento dele possuir um cartatildeo de
creacutedito Visa e por B o evento anaacutelogo para um Mastercard Suponha que
P(Visa) = 05 P(Mastercard) = 04 e P (Ambos os cartotildees) = 025
1 Calcule a probabilidade de que um indiviacuteduo selecionado tenha
pelo menos um dos dois tipos de cartatildeo
2 Qual a probabilidade de o indiviacuteduo selecionado natildeo ter nenhum
dos tipos de cartatildeo
3 Descreva em termos de A e B o evento em que o estudante
selecionado possui um cartatildeo Visa mas natildeo um MasterCard
4 Calcule a probabilidade desse evento
Teacutecnicas de Contagem
Princiacutepio de contagem (divida e conquiste) o processo
eacute quebrado em vaacuterias etapas com o uso do diagrama de
aacutervores
Cap 4-44
n2
opccedilotildees
Folhas
n1
opccedilotildees
n3
opccedilotildees
n4
opccedilotildees
Estaacutegio
1
Estaacutegio
2
Estaacutegio
3
Estaacutegio
4
Nuacutemero total de folhas eacute
n1n2n3hellipni
n2
opccedilotildees
Desde que um mesmo
estaacutegio tenha o mesmo nordm
de opccedilotildees em cada ponto
da aacutervore
Teacutecnicas de Contagem
Princiacutepio de contagem
Considere um processo que contem r estaacutegios Suponha que
Existem n1 resultados possiacuteveis no primeiro estaacutegio
Para cada resultado possiacutevel do estaacutegio 1 existem n2
resultados possiacuteveis no estaacutegio 2
De forma mais geral para cada um dos resultados ni-1
primeiros estaacutegios existem ni resultados possiacuteveis no i-
eacutesimo estaacutegio
Entatildeo o Nuacutemero total de resultados possiacuteveis no processo de r
estaacutegios eacute de n1n2n3hellipnr
Cap 4-45
Teorema
Cap 4-46
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Um nuacutemero telefocircnico eacute composto de 8
diacutegitos mas o primeiro diacutegito apenas assume 3 valores
possiacuteveis 3 8 9 Quantos nuacutemeros distintos existem
Cap 4-47
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Um nuacutemero telefocircnico eacute composto de 8
diacutegitos mas o primeiro diacutegito apenas assume 3 valores
3 8 9 Quantos nuacutemeros distintos existem
Temos um total de 8 estaacutegios
No primeiro estaacutegio apenas 3 opccedilotildees
Nos demais estaacutegios 10 opccedilotildees
Total 3 107
Cap 4-48
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Quantos subconjutos podemos fazer a
partir de um conjunto com n elementos s1 s2 s3 hellip
sn
Cap 4-49
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Quantos subconjutos podemos fazer a
partir de um conjunto com n elementos s1 s2 s3 hellip
sn
Processo de n estaacutegios em cada estaacutegio decidimos se
colocamos ou natildeo o elemento no subconjunto
nuacutemero de opccedilotildees para o primeiro estaacutegio 2
Total 222hellip2 =2n
Cap 4-50
Teacutecnicas de Contagem
Problema Selecionar 119948 objetos de um total de 119951
objetos 119899 ge 119896 sem reposiccedilatildeo
Se a ordem eacute importante Arranjo
ex de palavra as eacute diferente de sa
Se a ordem natildeo eacute importante Combinaccedilatildeo
ex da loteria escolhemos um conjunto de 6 nordm a
ordem em que eles satildeo sorteados natildeo faz diferenccedila
Cap 4-51
Teacutecnicas de Contagem
Ao contraacuterio da permutaccedilatildeo na combinaccedilatildeo a ordem dos
elementos natildeo eacute importante
Exemplo
Permutaccedilatildeo de 2 elementos das letras A B C D
AB AC AD BA BC BD CA CB CD DA DB DC
Combinaccedilatildeo de 2 elementos das letras A B C D
AB AC AD BC BD CD
jaacute que a ordem natildeo eacute importante BA eacute o mesmo que
AB
Cap 4-52
Teacutecnicas de Contagem
Arranjo de k objetos
Queremos selecionar k objetos de um conjunto de n
objetos sem reposiccedilatildeo
Para o 1deg objeto n possibilidades
Para o 2deg objeto n-1 possibilidades
hellip
Para o uacuteltimo (kdeg objeto) n - (k-1) possibilidades
Total de permutaccedilotildees 119951 lowast (119951 minus 120783) lowast ⋯lowast (119951 minus 119948 + 120783)
Ou usando fatorial
Teorema
119899
119899 minus 119896
Cap 4-53
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Qual o total de palavras que podemos
construir com exatamente 4 letras distintas (natildeo precisa
ter significado nem seguir regras ortograacuteficas)
Cap 4-54
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Qual o total de palavras que podemos
construir com exatamente 4 letras distintas (natildeo
precisa ter significado nem seguir regras
ortograacuteficas)
Soluccedilatildeo
Selecionar 4 letras de um total de 26 sem repetir A
ordem eacute importante pois estamos formando
palavras (permutaccedilatildeo)
Total de arranjos de 4 elementos 26252423
Cap 4-55
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Vocecirc tem 10 CDs de muacutesica claacutessica 20
CDs de rock e 15 CDs de forroacute De quantas formas eacute
possiacutevel arranjar os seus CDs tal que os CDs do mesmo
tipo sempre fiquem juntos
Se os CDs forem colocados na prateleira de forma
aleatoacuteria qual eacute a probabilidade de os CDs do mesmo
estilo musical ficarem juntos
Cap 4-56
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Soluccedilatildeo princiacutepio da Contagem + Arranjos
Podemos quebrar o processo em 2 estaacutegios
1) Escolher a ordem dos tipos de Cds 321
2) Escolher a sequecircncia dos Cds para cada tipo
Para Cds de muacutesica claacutessica 10
Para Cds de rock 20
Para Cds de forroacute 15
Total 3102015
Cap 4-57
Teacutecnicas de Contagem
Combinaccedilatildeo de k elementos em n
Queremos contar o nuacutemero de subconjuntos de k elementos a
partir de um conjunto de n elementos sem reposiccedilatildeo
A ordem dos elementos natildeo eacute importante
Dizemos combinaccedilatildeo de n elementos k a k
Ex Formar comitecirc com 3 representantes de turma de um total de
131 alunos
Se todos tem mesmo poder a ordem de escolha natildeo eacute
importante combinaccedilatildeo
Se teremos presidente vice-presidente e secretaacuterio entatildeo a
ordem de escolha eacute importante permutaccedilatildeo
Teorema 119873119888119900119898119887119894119899119886ccedilotilde119890119904 =119899119896=
119899
119899 minus 119896 119896
Cap 4-58
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Qual o nuacutemero de combinaccedilotildees de 2
elementos distintos que podemos construir com as letras
A B C D
Cap 4-59
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Qual o nuacutemero de combinaccedilotildees de 2
elementos das letras A B C D
Soluccedilatildeo
Conferindo
AB AC AD BC BD CD
62)24(
4
2
4
scombinaccedilotildeeN
Cap 4-60
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Um armazeacutem da universidade recebeu 25
impressoras das quais 10 satildeo a laser e 15 a jato de tinta
Se 6 das 25 forem selecionadas aleatoriamente para para
serem verificadas por um teacutecnico qual seraacute a
probabilidade de exatamente 3 delas serem a laser
Cap 4-61
Teacutecnicas de Contagem
Soluccedilatildeo Seja 1198633= 3 das 6 selecionadas satildeo a laser Como a seleccedilatildeo das impressoras
dentre as 25 eacute aleatoacuteria cada uma delas tem a mesma chance de ser sorteada
Probabilidade claacutessica implica 119875 1198633 = 119899(1198633)119899
Como a ordem da seleccedilatildeo das impressoras natildeo importa 119899 =256
Para determinar 1198633 vamos dividir o processo em duas etapas 1) selecionamos 3 das 15
impressoras a tinta e 2) selecionamos 3 das 6 impressoras a laser Para cada elemento da
primeira etapa temos exatamente o mesmo nordm de possibilidades da segunda etapa Pelo
princiacutepio da contagem 119899 1198633 = 1198991 1198633 lowast 1198992 1198633
Como a ordem em que as impressoras satildeo selecionadas em cada etapa natildeo tem
importacircncia 1198991 1198633 =153
e 1198992 1198633 =63
Entatildeo
119875 1198633 =
153
63
256
= 03083
Desafio P(ao menos 3 das 6 selecionadas sejam a laser)
Cap 4-62
Resumo Nesta aula vimos
Como representar um modelo de probabilidade para uma situaccedilatildeo
incerta (experimento aleatoacuterio)
Etapa 1 definiccedilatildeo do espaccedilo amostral
Revisatildeo de conjuntos
Etapa 2 especificaccedilatildeo de uma funccedilatildeo probabilidade que atribui pesos
para a chance relativa de cada resultado do espaccedilo amostral
3 conceitos de probabilidade
Probabilidade claacutessica
Probabilidade Frequentista
Axiomas de Kolmogorov
Revisatildeo de teacutecnicas de contagem para podermos calcular
probabilidades
Na proacutexima aula veremos como incorporar informaccedilotildees novas ao
caacutelculo de probabilidade =gt Probabilidade condicional
Cap 4-11
Eventos e Espaccedilo Amostral
Exerciacutecio 1 Considere o experimento que consiste em lanccedilar
trecircs moedas e observar a face superior delas
a) Determine o espaccedilo amostral
b) Decirc um exemplo de evento composto
Soluccedilatildeo
a) S = CCC CCK CKC KCC CKK KCK KKC KKK
b) Ex A = resultado com 2 caras (C) = CCK CKC KCC
Ex B = resultado com mais coroas do que caras
=CKK KCK KKC KKK
Cap 4-12
Eventos e Conjuntos
Eventos e Conjuntos
Uniatildeo Interseccedilatildeo Complemento Mutuamente Excludentes (disjuntos)
Coletivamente exaustivos
Particcedilatildeo
Eventos satildeo subconjuntos do espaccedilo amostral Vamos revisar algumas operaccedilotildees
de conjuntos
Cap 4-13
Eventos e Conjuntos
A uniatildeo de dois conjuntos (eventos) A e B eacute o conjunto (evento)
que consiste de todos os resultados que estatildeo no conjunto A ou no
conjunto B ou em ambos
119860 cup 119861 = 119909 isin 119878 119909 isin 119860 119900119906 119909 isin 119861
A interseccedilatildeo de dois conjuntos (eventos) A e B eacute o conjunto que
consiste de todos os resultados que estatildeo simultaneamente em A e
em B
119860 cap 119861 = 119909 isin 119878 119909 isin 119860 119890 119909 isin 119861
O complemento de um conjunto (evento) A representado por Ac
(ou Arsquo) eacute o conjunto de todos os resultados que natildeo estatildeo
contidos em A
119860119888 = 119909 isin 119878 119909 notin 119860
Definiccedilatildeo
Definiccedilatildeo
Definiccedilatildeo
Cap 4-14
Eventos e Conjuntos
Eventos mutuamente excludentes satildeo eventos que natildeo podem acontecer simultaneamente Tambeacutem dizemos eventos disjuntos
Exemplo Experimento - uma carta eacute selecionada do baralho
A = rainha de ouros B = rainha de copas
Os eventos A e B satildeo mutuamente excludentes
C = rainha D = ouros
C e D natildeo satildeo mutuamente exlcudentes
Exemplo Experimento ndash um feto eacute gerado
Y = eacute menino X = eacute menina
Os eventos X e Y satildeo mutuamente excludentes se natildeo considerarmos a possibilidade de hermafrodita
Definiccedilatildeo
Cap 4-15
Eventos e Conjuntos
Uma particcedilatildeo de um espaccedilo amostral consiste de um conjunto de
eventos tais que
Os eventos satildeo mutuamente excludentes (apenas um dos
eventos pode ocorrer)
Os eventos satildeo coletivamente exaustivos i e a uniatildeo dos
eventos cobre todo o espaccedilo amostral
Exemplo Experimento ndash uma carta eacute selecionada do baralho
Sejam A = azes B = cartas pretas C = ouros e D =copas
Os eventos A B C e D satildeo coletivamente exaustivos (mas natildeo
satildeo mutuamente excludentes)
Os eventos B C e D formam uma particcedilatildeo
Definiccedilatildeo
Cap 4-16
Visualizaccedilatildeo de conjuntos
Diagramas de Venn
S
A
B
S S
S S S
A A
A B
B
B C
C
A
B
A
B
a) AcapB b)AUB c)A capBc d)Ac e)AB e C satildeo disjuntos f)AB e C satildeo particcedilatildeo de S
Cap 4-17
Eventos e Conjuntos
Exerciacutecio Assuma que S = 0 1 2 3 4 5 6 7 A=0 1 2
34 B=3 4 5 6 e C=1 3 5 Determinar
119860 cup 119861
119860 cap 119861
119860 cup 119862
119860 cap 119862
119862 cup 119861
119862 cap 119861
119860119888
119861119888
119862119888
Cap 4-18
Propriedades de Conjuntos
Operaccedilotildees entre conjuntos tecircm uma seacuterie de propriedades
Exemplos
119860 cup 119861 = 119861 cup 119860 e 119860 cap 119861 = 119861 cap 119860
119860 cap 119861 cup 119862 = (119860 cap 119861) cup (119860 cap 119862)
119860119888 119888 = 119860
119860 cup 119878 = 119878
119860 cap 119860119888 = empty
119860 cap 119878 = 119860
Cap 4-19
Propriedades de Conjuntos
Leis de Morgan
119860 cup 119861 119888 = 119860119888 cap 119861119888 119860 cap 119861 119888 = 119860119888 cup 119861119888
Cap 4-20
Visualizando Eventos
Existem diversas formas de representar a ocorrecircncia de eventos
Rep
rese
nta
ccedilotildees
de
Even
tos Diagrama de Venn
Tabela de contingecircncia ou tabela cruzada
Diagrama de aacutervore
Matriz
Cap 4-21
Visualizando Eventos
Tabelas de contigecircncia
Diagrama de aacutervore
Aacutes Natildeo
Aacutes
Total
Preta 2 24 26
Vermelha 2 24 26
Total 4 48 52
Baralho de
52 Cartas Espaccedilo
Amostral
2
24
2
24
A definiccedilatildeo da ordem dos ramos depende do problema
Cap 4-22
Visualizando Eventos
Lanccedilamento de 2 dados de quatro lados
Espaccedilo Amostral para o
lanccedilamento de 2 dados
2deg dado
1deg dado
Diagrama de Aacutervore para
o lanccedilamento de 2 dados
Raiz
Folhas
Representaccedilatildeo por Matriz Representaccedilatildeo por Aacutervore
1deg dado
2deg dado
Modelo Probabiliacutestico
Cap 4-23
Experimento
Evento B
Evento A
Espaccedilo Amostral
Eventos
Os principais ingredientes de um modelo probabiliacutestico
Probabilidade
Etapa 1 Etapa 2
Cap 4-24
Probabilidade
Probabilidade atribuir chance (peso relativo) a
eventos possiacuteveis de um experimento aleatoacuterio
Diferentes conceitos
Definiccedilatildeo claacutessica de probabilidade
Definiccedilatildeo frequentista ou Definiccedilatildeo estatiacutestica de
probabilidade ou Definiccedilatildeo Claacutessica empiacuterica
Axiomas de Kolmogorov
Cap 4-25
Probabilidade Claacutessica
A definiccedilatildeo claacutessica de probabilidade se refere a subconjuntos
unitaacuterios e equiprovaacuteveis isto eacute conjuntos de resultados que tecircm a
mesma chance
CASO 1 No caso enumeraacutevel e finito em que a chance de sorteio de
cada resultado do espaccedilo amostral eacute a mesma a probabilidade de um
evento A eacute dada por
119875 119860 =119899ordm 119889119890 119907119890119911119890119904 119902119906119890 119860 119901119900119889119890 119900119888119900119903119903119890119903 119890119898 119878
119899ordm 119905119900119905119886119897 119889119890 119903119890119904119906119897119905119886119889119900119904 119901119900119904119904iacute119907119890119894119904 119890119898 119878
Definiccedilatildeo
Use Teacutecnicas de anaacutelise combinatoacuteria
e contagem para determinar o ndeg
total e o ndeg de vezes que A pode sair
Cap 4-26
Probabilidade Claacutessica
CASO 2 (probabilidade geomeacutetrica) Se 119878 eacute natildeo-
enumeraacutevel e equiprovaacutevel (mesma chance para cada
resultado) o conceito se aplica ao comprimento de
intervalos medidas de aacutereas hellip
Exemplo 119878 = [010] tal que cada valor pode sair
com a mesma chance dos demais Seja 119860 o
subconjunto [12] cup [68] Entatildeo
119875 119860 =119862119900119898119901119903119894119898119890119899119905119900 119889119890 119860
119862119900119898119901119903119894119898119890119899119905119900 119905119900119905119886119897 119889119890 119878=1+2
10= 03
Definiccedilatildeo
Probabilidade Claacutessica
Exerciacutecio Considere o experimento que consiste no
lanccedilamento de 2 dados balanceados e registram-se as faces
superiores
Calcular a probabilidade de
a) obter soma das faces superiores = 7
b) obter soma das faces superiores maior do que 10
c) que resultado do primeiro dado seja superior ao
resultado do segundo
Cap 4-27
Probabilidade Claacutessica
Exerciacutecio Considere o lanccedilamento de 2 dados balanceados
Total de resultados 36
Calcular a probabilidade de
a) Obter soma 7
2 resultados possiacuteveis (34) (43) (25) (52) (16) (61)
P(Soma=7)=636
b) Obter soma maior do que 10
3 resultados possiacuteveis (65) (56) e (66)
P(Somagt10) = 336
Cap 4-28
Probabilidade Claacutessica
Exerciacutecio Considere o lanccedilamento de 2 dados balanceados
Total de resultados 36
Calcular a probabilidade de
c) Que resultado do primeiro dado seja superior ao
resultado do segundo
Resultados possiacuteveis 15
P(1degdadogt2degdado)=15 36
Cap 4-29
1 2 3 4 5 6 1
2
3
4
5
6
1deg Dado
2deg
Da
do
Cap 4-30
Probabilidade Claacutessica
Em termos praacuteticos temos que determinar
O nuacutemero total de resultados possiacuteveis
O nuacutemero de vezes que podemos ganhar (A)
CUIDADO soacute pode ser aplicado quando todos os resultados do
espaccedilo amostral tem a mesma chance de ocorrer
Exemplos dado moeda sexo dos filhos
Contra-exemplo peso de pessoas (entre 40 e 120)
chance de (40 a 50 kg) lt chance (60 a 70 kg)
Intervalos com mesmo comprimento pela probabilidade
geomeacutetrica devem ter a mesma probabilidade Natildeo faz sentido
para o peso de pessoas
Cap 4-31
Probabilidade Frequentista
A probabilidade frequentista considera o limite de frequecircncias
relativas como o valor da probabilidade
Seja nA o nuacutemero de ocorrecircncia de A em n repeticcedilotildees independentes
do experimento Assim
119875 119860 = lim119899rarrinfin
119899119860119899
Assim definimos a probabilidade como a frequecircncia relativa
observada ao repertirmos o experimento um ndeg muito grande de vezes
Exemplo caixa com 100 moedas e conte o nuacutemero de caras ou ver
applet laquo probability raquo do Moore
Definiccedilatildeo
Cap 4-32
Probabilidade Frequentista
A probabilidade frequentista considera o limite de frequecircncias
relativas como o valor da probabilidade
Na praacutetica
repita o experimento aleatoacuterio um nuacutemero grande de vezes 119899
Conte o nordm de vezes que o evento de interesse 119860 aconteceu 119899119860
Entatildeo a probabilidade de o evento acontecer eacute calculada como
119875 119860 =119899119860119899
Eacute soacute isso
Cap 4-33
Probabilidade Frequentista
Cursando
estatiacutestica
Natildeo-
cursando
estatiacutestica
Total
Masculino 84 145 229
Feminino 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Encontre a probabilidade de selecionar um aluno de
estatiacutestica do sexo masculino a partir de uma populaccedilatildeo descrita
na tabela abaixo Considere que 439 eacute grande o suficiente para
aplicar a probabilidade frequentista
Neste caso o experimento consiste em selecionar uma pessoa
da populaccedilatildeo e em seguida observarmos o sexo e se cursa
estatiacutestica O experimento foi repetido 439 vezes
Cap 4-34
Probabilidade Frequentista
Cursando
estatiacutestica
Natildeo-
cursando
estatiacutestica
Total
Masculino 84 145 229
Feminino 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Encontre a probabilidade de selecionar um aluno de
estatiacutestica do sexo masculino a partir de uma populaccedilatildeo descrita
na tabela abaixo
119875 119867119900119898119890119898 cap 119864119904119905119886119905iacute119904119905119894119888119886 =119899ordm 119889119890 119867119900119898119890119898 cap 119864119904119905119886119905iacute119905119894119888119886
119899ordm 119889119890 119886119897119906119899119900119904=84
439= 0191
Cap 4-35
Axiomas de Probabilidade de
Kolmogorov
Axiomas de Kolmogorov
definiccedilatildeo formal de probabilidade
incluem as definiccedilotildees acima como casos particulares
Qualquer funccedilatildeo P() dos subconjuntos do espaccedilo amostral (eventos)
no intervalo [01] eacute uma probabilidade se satisfaz as condiccedilotildees
1 (Natildeo-negatividade)119875(119860 ge 0) forall evento 119860
2 (Aditividade) 119875 cup119895 119864119895 = 119875(119864119895) 119895 forall 119864119895 eventos disjuntos
3 (Normalizaccedilatildeo) 119875 119878 = 1
Definiccedilatildeo
Cap 4-36
Propriedades de uma
Probabilidade
Como consequecircncia dos Axiomas de Kolmogorov mostre que uma
funccedilatildeo probabilidade satisfaz as seguintes propriedades
1 119875 119864119888 = 1 minus 119875 119864
2 Se 1198641 sube 1198642 entatildeo 119875 1198641 le 119875 1198642
3 119875 120601 = 0
Ainda partindo dos axiomas de Kolmogorov podemos
provar a Regra geral da adiccedilatildeo
Regra Geral da Adiccedilatildeo
Cap 4-37
119875 119860 cup 119861 = 119875 119860 + 119875 119861 minus 119875(119860 cap 119861)
Regra Geral da Adiccedilatildeo
Regra geral da adiccedilatildeo
No caso particular em que os eventos satildeo
mutuamente excludentes continua valendo o axioma
de aditividade pois 119875 119860 cap 119861 = 0 daiacute
119875 119860 cup 119861 = 119875 119860 + 119875(119861)
Cap 4-38
119875 119860 cup 119861 = 119875 119860 + 119875 119861 minus 119875(119860 cap 119861)
Cap 4-39
Exemplo da Regra Geral de
Adiccedilatildeo
Cursando
estatiacutestica
Natildeo cursando
estatiacutestica
Total
Homem 84 145 229
Mulher 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Qual a probabilidade de selecionamos
aleatoriamente um homem ou um aluno(a) da estatiacutestica de
uma populaccedilatildeo descrita pela tabela abaixo
Cap 4-40
Exemplo da Regra Geral de
Adiccedilatildeo
Cursando
estatiacutestica
Natildeo cursando
estatiacutestica
Total
Homem 84 145 229
Mulher 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Qual a probabilidade de selecionamos
aleatoriamente um homem ou um aluno(a) da estatiacutestica de
uma populaccedilatildeo descrita pela tabela abaixo
119875 119867119900119898119890119898 cup 119864119904119905119886119905iacute119905119894119888119886 =
119875 119867119900119898119890119898 + 119875 119864119904119905119886119905iacute119904119905119894119888119886 minus 119875 119867119900119898119890119898 cap 119864119904119905119886119905119894119904119905119894119888119886 =229
439+160
439minus
84
439=305
439
Cap 4-41
Resumo de Probabilidade
Probabilidade eacute uma medida numeacuterica que informa a chance de um resultado ocorrer
A probabilidade de um evento deve estar entre 0 e 1 incluindo os extremos
0 le 119875(119860) le 1 para qquer evento 119860
A soma da probabilidade de uma particcedilatildeo do espaccedilo amostral eacute igual a 1
119875(119860) + 119875(119861) + 119875(119862) = 1
em que A B e C satildeo eventos mutuamente excludentes e coletivamente exaustivos (particcedilatildeo de 119878)
Certo
Impossiacutevel
05
1
0
Exemplo Probabilidade
Cap 4-42
Vocabulaacuterio Geral
Pelo menos 1 dos eventos A B ou ambos =
119860 cup 119861
Nenhum dos eventos nem A nem B = (119860 cup 119861)119888
Apenas 1 (ex Apenas A) possui A e natildeo possui B
= 119860 cap (119861119888)
Cap 4-43
Exerciacutecio Probabilidade
Selecione aleatoriamente um estudante em uma determinada
universidade e represente por A o evento dele possuir um cartatildeo de
creacutedito Visa e por B o evento anaacutelogo para um Mastercard Suponha que
P(Visa) = 05 P(Mastercard) = 04 e P (Ambos os cartotildees) = 025
1 Calcule a probabilidade de que um indiviacuteduo selecionado tenha
pelo menos um dos dois tipos de cartatildeo
2 Qual a probabilidade de o indiviacuteduo selecionado natildeo ter nenhum
dos tipos de cartatildeo
3 Descreva em termos de A e B o evento em que o estudante
selecionado possui um cartatildeo Visa mas natildeo um MasterCard
4 Calcule a probabilidade desse evento
Teacutecnicas de Contagem
Princiacutepio de contagem (divida e conquiste) o processo
eacute quebrado em vaacuterias etapas com o uso do diagrama de
aacutervores
Cap 4-44
n2
opccedilotildees
Folhas
n1
opccedilotildees
n3
opccedilotildees
n4
opccedilotildees
Estaacutegio
1
Estaacutegio
2
Estaacutegio
3
Estaacutegio
4
Nuacutemero total de folhas eacute
n1n2n3hellipni
n2
opccedilotildees
Desde que um mesmo
estaacutegio tenha o mesmo nordm
de opccedilotildees em cada ponto
da aacutervore
Teacutecnicas de Contagem
Princiacutepio de contagem
Considere um processo que contem r estaacutegios Suponha que
Existem n1 resultados possiacuteveis no primeiro estaacutegio
Para cada resultado possiacutevel do estaacutegio 1 existem n2
resultados possiacuteveis no estaacutegio 2
De forma mais geral para cada um dos resultados ni-1
primeiros estaacutegios existem ni resultados possiacuteveis no i-
eacutesimo estaacutegio
Entatildeo o Nuacutemero total de resultados possiacuteveis no processo de r
estaacutegios eacute de n1n2n3hellipnr
Cap 4-45
Teorema
Cap 4-46
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Um nuacutemero telefocircnico eacute composto de 8
diacutegitos mas o primeiro diacutegito apenas assume 3 valores
possiacuteveis 3 8 9 Quantos nuacutemeros distintos existem
Cap 4-47
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Um nuacutemero telefocircnico eacute composto de 8
diacutegitos mas o primeiro diacutegito apenas assume 3 valores
3 8 9 Quantos nuacutemeros distintos existem
Temos um total de 8 estaacutegios
No primeiro estaacutegio apenas 3 opccedilotildees
Nos demais estaacutegios 10 opccedilotildees
Total 3 107
Cap 4-48
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Quantos subconjutos podemos fazer a
partir de um conjunto com n elementos s1 s2 s3 hellip
sn
Cap 4-49
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Quantos subconjutos podemos fazer a
partir de um conjunto com n elementos s1 s2 s3 hellip
sn
Processo de n estaacutegios em cada estaacutegio decidimos se
colocamos ou natildeo o elemento no subconjunto
nuacutemero de opccedilotildees para o primeiro estaacutegio 2
Total 222hellip2 =2n
Cap 4-50
Teacutecnicas de Contagem
Problema Selecionar 119948 objetos de um total de 119951
objetos 119899 ge 119896 sem reposiccedilatildeo
Se a ordem eacute importante Arranjo
ex de palavra as eacute diferente de sa
Se a ordem natildeo eacute importante Combinaccedilatildeo
ex da loteria escolhemos um conjunto de 6 nordm a
ordem em que eles satildeo sorteados natildeo faz diferenccedila
Cap 4-51
Teacutecnicas de Contagem
Ao contraacuterio da permutaccedilatildeo na combinaccedilatildeo a ordem dos
elementos natildeo eacute importante
Exemplo
Permutaccedilatildeo de 2 elementos das letras A B C D
AB AC AD BA BC BD CA CB CD DA DB DC
Combinaccedilatildeo de 2 elementos das letras A B C D
AB AC AD BC BD CD
jaacute que a ordem natildeo eacute importante BA eacute o mesmo que
AB
Cap 4-52
Teacutecnicas de Contagem
Arranjo de k objetos
Queremos selecionar k objetos de um conjunto de n
objetos sem reposiccedilatildeo
Para o 1deg objeto n possibilidades
Para o 2deg objeto n-1 possibilidades
hellip
Para o uacuteltimo (kdeg objeto) n - (k-1) possibilidades
Total de permutaccedilotildees 119951 lowast (119951 minus 120783) lowast ⋯lowast (119951 minus 119948 + 120783)
Ou usando fatorial
Teorema
119899
119899 minus 119896
Cap 4-53
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Qual o total de palavras que podemos
construir com exatamente 4 letras distintas (natildeo precisa
ter significado nem seguir regras ortograacuteficas)
Cap 4-54
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Qual o total de palavras que podemos
construir com exatamente 4 letras distintas (natildeo
precisa ter significado nem seguir regras
ortograacuteficas)
Soluccedilatildeo
Selecionar 4 letras de um total de 26 sem repetir A
ordem eacute importante pois estamos formando
palavras (permutaccedilatildeo)
Total de arranjos de 4 elementos 26252423
Cap 4-55
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Vocecirc tem 10 CDs de muacutesica claacutessica 20
CDs de rock e 15 CDs de forroacute De quantas formas eacute
possiacutevel arranjar os seus CDs tal que os CDs do mesmo
tipo sempre fiquem juntos
Se os CDs forem colocados na prateleira de forma
aleatoacuteria qual eacute a probabilidade de os CDs do mesmo
estilo musical ficarem juntos
Cap 4-56
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Soluccedilatildeo princiacutepio da Contagem + Arranjos
Podemos quebrar o processo em 2 estaacutegios
1) Escolher a ordem dos tipos de Cds 321
2) Escolher a sequecircncia dos Cds para cada tipo
Para Cds de muacutesica claacutessica 10
Para Cds de rock 20
Para Cds de forroacute 15
Total 3102015
Cap 4-57
Teacutecnicas de Contagem
Combinaccedilatildeo de k elementos em n
Queremos contar o nuacutemero de subconjuntos de k elementos a
partir de um conjunto de n elementos sem reposiccedilatildeo
A ordem dos elementos natildeo eacute importante
Dizemos combinaccedilatildeo de n elementos k a k
Ex Formar comitecirc com 3 representantes de turma de um total de
131 alunos
Se todos tem mesmo poder a ordem de escolha natildeo eacute
importante combinaccedilatildeo
Se teremos presidente vice-presidente e secretaacuterio entatildeo a
ordem de escolha eacute importante permutaccedilatildeo
Teorema 119873119888119900119898119887119894119899119886ccedilotilde119890119904 =119899119896=
119899
119899 minus 119896 119896
Cap 4-58
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Qual o nuacutemero de combinaccedilotildees de 2
elementos distintos que podemos construir com as letras
A B C D
Cap 4-59
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Qual o nuacutemero de combinaccedilotildees de 2
elementos das letras A B C D
Soluccedilatildeo
Conferindo
AB AC AD BC BD CD
62)24(
4
2
4
scombinaccedilotildeeN
Cap 4-60
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Um armazeacutem da universidade recebeu 25
impressoras das quais 10 satildeo a laser e 15 a jato de tinta
Se 6 das 25 forem selecionadas aleatoriamente para para
serem verificadas por um teacutecnico qual seraacute a
probabilidade de exatamente 3 delas serem a laser
Cap 4-61
Teacutecnicas de Contagem
Soluccedilatildeo Seja 1198633= 3 das 6 selecionadas satildeo a laser Como a seleccedilatildeo das impressoras
dentre as 25 eacute aleatoacuteria cada uma delas tem a mesma chance de ser sorteada
Probabilidade claacutessica implica 119875 1198633 = 119899(1198633)119899
Como a ordem da seleccedilatildeo das impressoras natildeo importa 119899 =256
Para determinar 1198633 vamos dividir o processo em duas etapas 1) selecionamos 3 das 15
impressoras a tinta e 2) selecionamos 3 das 6 impressoras a laser Para cada elemento da
primeira etapa temos exatamente o mesmo nordm de possibilidades da segunda etapa Pelo
princiacutepio da contagem 119899 1198633 = 1198991 1198633 lowast 1198992 1198633
Como a ordem em que as impressoras satildeo selecionadas em cada etapa natildeo tem
importacircncia 1198991 1198633 =153
e 1198992 1198633 =63
Entatildeo
119875 1198633 =
153
63
256
= 03083
Desafio P(ao menos 3 das 6 selecionadas sejam a laser)
Cap 4-62
Resumo Nesta aula vimos
Como representar um modelo de probabilidade para uma situaccedilatildeo
incerta (experimento aleatoacuterio)
Etapa 1 definiccedilatildeo do espaccedilo amostral
Revisatildeo de conjuntos
Etapa 2 especificaccedilatildeo de uma funccedilatildeo probabilidade que atribui pesos
para a chance relativa de cada resultado do espaccedilo amostral
3 conceitos de probabilidade
Probabilidade claacutessica
Probabilidade Frequentista
Axiomas de Kolmogorov
Revisatildeo de teacutecnicas de contagem para podermos calcular
probabilidades
Na proacutexima aula veremos como incorporar informaccedilotildees novas ao
caacutelculo de probabilidade =gt Probabilidade condicional
Cap 4-12
Eventos e Conjuntos
Eventos e Conjuntos
Uniatildeo Interseccedilatildeo Complemento Mutuamente Excludentes (disjuntos)
Coletivamente exaustivos
Particcedilatildeo
Eventos satildeo subconjuntos do espaccedilo amostral Vamos revisar algumas operaccedilotildees
de conjuntos
Cap 4-13
Eventos e Conjuntos
A uniatildeo de dois conjuntos (eventos) A e B eacute o conjunto (evento)
que consiste de todos os resultados que estatildeo no conjunto A ou no
conjunto B ou em ambos
119860 cup 119861 = 119909 isin 119878 119909 isin 119860 119900119906 119909 isin 119861
A interseccedilatildeo de dois conjuntos (eventos) A e B eacute o conjunto que
consiste de todos os resultados que estatildeo simultaneamente em A e
em B
119860 cap 119861 = 119909 isin 119878 119909 isin 119860 119890 119909 isin 119861
O complemento de um conjunto (evento) A representado por Ac
(ou Arsquo) eacute o conjunto de todos os resultados que natildeo estatildeo
contidos em A
119860119888 = 119909 isin 119878 119909 notin 119860
Definiccedilatildeo
Definiccedilatildeo
Definiccedilatildeo
Cap 4-14
Eventos e Conjuntos
Eventos mutuamente excludentes satildeo eventos que natildeo podem acontecer simultaneamente Tambeacutem dizemos eventos disjuntos
Exemplo Experimento - uma carta eacute selecionada do baralho
A = rainha de ouros B = rainha de copas
Os eventos A e B satildeo mutuamente excludentes
C = rainha D = ouros
C e D natildeo satildeo mutuamente exlcudentes
Exemplo Experimento ndash um feto eacute gerado
Y = eacute menino X = eacute menina
Os eventos X e Y satildeo mutuamente excludentes se natildeo considerarmos a possibilidade de hermafrodita
Definiccedilatildeo
Cap 4-15
Eventos e Conjuntos
Uma particcedilatildeo de um espaccedilo amostral consiste de um conjunto de
eventos tais que
Os eventos satildeo mutuamente excludentes (apenas um dos
eventos pode ocorrer)
Os eventos satildeo coletivamente exaustivos i e a uniatildeo dos
eventos cobre todo o espaccedilo amostral
Exemplo Experimento ndash uma carta eacute selecionada do baralho
Sejam A = azes B = cartas pretas C = ouros e D =copas
Os eventos A B C e D satildeo coletivamente exaustivos (mas natildeo
satildeo mutuamente excludentes)
Os eventos B C e D formam uma particcedilatildeo
Definiccedilatildeo
Cap 4-16
Visualizaccedilatildeo de conjuntos
Diagramas de Venn
S
A
B
S S
S S S
A A
A B
B
B C
C
A
B
A
B
a) AcapB b)AUB c)A capBc d)Ac e)AB e C satildeo disjuntos f)AB e C satildeo particcedilatildeo de S
Cap 4-17
Eventos e Conjuntos
Exerciacutecio Assuma que S = 0 1 2 3 4 5 6 7 A=0 1 2
34 B=3 4 5 6 e C=1 3 5 Determinar
119860 cup 119861
119860 cap 119861
119860 cup 119862
119860 cap 119862
119862 cup 119861
119862 cap 119861
119860119888
119861119888
119862119888
Cap 4-18
Propriedades de Conjuntos
Operaccedilotildees entre conjuntos tecircm uma seacuterie de propriedades
Exemplos
119860 cup 119861 = 119861 cup 119860 e 119860 cap 119861 = 119861 cap 119860
119860 cap 119861 cup 119862 = (119860 cap 119861) cup (119860 cap 119862)
119860119888 119888 = 119860
119860 cup 119878 = 119878
119860 cap 119860119888 = empty
119860 cap 119878 = 119860
Cap 4-19
Propriedades de Conjuntos
Leis de Morgan
119860 cup 119861 119888 = 119860119888 cap 119861119888 119860 cap 119861 119888 = 119860119888 cup 119861119888
Cap 4-20
Visualizando Eventos
Existem diversas formas de representar a ocorrecircncia de eventos
Rep
rese
nta
ccedilotildees
de
Even
tos Diagrama de Venn
Tabela de contingecircncia ou tabela cruzada
Diagrama de aacutervore
Matriz
Cap 4-21
Visualizando Eventos
Tabelas de contigecircncia
Diagrama de aacutervore
Aacutes Natildeo
Aacutes
Total
Preta 2 24 26
Vermelha 2 24 26
Total 4 48 52
Baralho de
52 Cartas Espaccedilo
Amostral
2
24
2
24
A definiccedilatildeo da ordem dos ramos depende do problema
Cap 4-22
Visualizando Eventos
Lanccedilamento de 2 dados de quatro lados
Espaccedilo Amostral para o
lanccedilamento de 2 dados
2deg dado
1deg dado
Diagrama de Aacutervore para
o lanccedilamento de 2 dados
Raiz
Folhas
Representaccedilatildeo por Matriz Representaccedilatildeo por Aacutervore
1deg dado
2deg dado
Modelo Probabiliacutestico
Cap 4-23
Experimento
Evento B
Evento A
Espaccedilo Amostral
Eventos
Os principais ingredientes de um modelo probabiliacutestico
Probabilidade
Etapa 1 Etapa 2
Cap 4-24
Probabilidade
Probabilidade atribuir chance (peso relativo) a
eventos possiacuteveis de um experimento aleatoacuterio
Diferentes conceitos
Definiccedilatildeo claacutessica de probabilidade
Definiccedilatildeo frequentista ou Definiccedilatildeo estatiacutestica de
probabilidade ou Definiccedilatildeo Claacutessica empiacuterica
Axiomas de Kolmogorov
Cap 4-25
Probabilidade Claacutessica
A definiccedilatildeo claacutessica de probabilidade se refere a subconjuntos
unitaacuterios e equiprovaacuteveis isto eacute conjuntos de resultados que tecircm a
mesma chance
CASO 1 No caso enumeraacutevel e finito em que a chance de sorteio de
cada resultado do espaccedilo amostral eacute a mesma a probabilidade de um
evento A eacute dada por
119875 119860 =119899ordm 119889119890 119907119890119911119890119904 119902119906119890 119860 119901119900119889119890 119900119888119900119903119903119890119903 119890119898 119878
119899ordm 119905119900119905119886119897 119889119890 119903119890119904119906119897119905119886119889119900119904 119901119900119904119904iacute119907119890119894119904 119890119898 119878
Definiccedilatildeo
Use Teacutecnicas de anaacutelise combinatoacuteria
e contagem para determinar o ndeg
total e o ndeg de vezes que A pode sair
Cap 4-26
Probabilidade Claacutessica
CASO 2 (probabilidade geomeacutetrica) Se 119878 eacute natildeo-
enumeraacutevel e equiprovaacutevel (mesma chance para cada
resultado) o conceito se aplica ao comprimento de
intervalos medidas de aacutereas hellip
Exemplo 119878 = [010] tal que cada valor pode sair
com a mesma chance dos demais Seja 119860 o
subconjunto [12] cup [68] Entatildeo
119875 119860 =119862119900119898119901119903119894119898119890119899119905119900 119889119890 119860
119862119900119898119901119903119894119898119890119899119905119900 119905119900119905119886119897 119889119890 119878=1+2
10= 03
Definiccedilatildeo
Probabilidade Claacutessica
Exerciacutecio Considere o experimento que consiste no
lanccedilamento de 2 dados balanceados e registram-se as faces
superiores
Calcular a probabilidade de
a) obter soma das faces superiores = 7
b) obter soma das faces superiores maior do que 10
c) que resultado do primeiro dado seja superior ao
resultado do segundo
Cap 4-27
Probabilidade Claacutessica
Exerciacutecio Considere o lanccedilamento de 2 dados balanceados
Total de resultados 36
Calcular a probabilidade de
a) Obter soma 7
2 resultados possiacuteveis (34) (43) (25) (52) (16) (61)
P(Soma=7)=636
b) Obter soma maior do que 10
3 resultados possiacuteveis (65) (56) e (66)
P(Somagt10) = 336
Cap 4-28
Probabilidade Claacutessica
Exerciacutecio Considere o lanccedilamento de 2 dados balanceados
Total de resultados 36
Calcular a probabilidade de
c) Que resultado do primeiro dado seja superior ao
resultado do segundo
Resultados possiacuteveis 15
P(1degdadogt2degdado)=15 36
Cap 4-29
1 2 3 4 5 6 1
2
3
4
5
6
1deg Dado
2deg
Da
do
Cap 4-30
Probabilidade Claacutessica
Em termos praacuteticos temos que determinar
O nuacutemero total de resultados possiacuteveis
O nuacutemero de vezes que podemos ganhar (A)
CUIDADO soacute pode ser aplicado quando todos os resultados do
espaccedilo amostral tem a mesma chance de ocorrer
Exemplos dado moeda sexo dos filhos
Contra-exemplo peso de pessoas (entre 40 e 120)
chance de (40 a 50 kg) lt chance (60 a 70 kg)
Intervalos com mesmo comprimento pela probabilidade
geomeacutetrica devem ter a mesma probabilidade Natildeo faz sentido
para o peso de pessoas
Cap 4-31
Probabilidade Frequentista
A probabilidade frequentista considera o limite de frequecircncias
relativas como o valor da probabilidade
Seja nA o nuacutemero de ocorrecircncia de A em n repeticcedilotildees independentes
do experimento Assim
119875 119860 = lim119899rarrinfin
119899119860119899
Assim definimos a probabilidade como a frequecircncia relativa
observada ao repertirmos o experimento um ndeg muito grande de vezes
Exemplo caixa com 100 moedas e conte o nuacutemero de caras ou ver
applet laquo probability raquo do Moore
Definiccedilatildeo
Cap 4-32
Probabilidade Frequentista
A probabilidade frequentista considera o limite de frequecircncias
relativas como o valor da probabilidade
Na praacutetica
repita o experimento aleatoacuterio um nuacutemero grande de vezes 119899
Conte o nordm de vezes que o evento de interesse 119860 aconteceu 119899119860
Entatildeo a probabilidade de o evento acontecer eacute calculada como
119875 119860 =119899119860119899
Eacute soacute isso
Cap 4-33
Probabilidade Frequentista
Cursando
estatiacutestica
Natildeo-
cursando
estatiacutestica
Total
Masculino 84 145 229
Feminino 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Encontre a probabilidade de selecionar um aluno de
estatiacutestica do sexo masculino a partir de uma populaccedilatildeo descrita
na tabela abaixo Considere que 439 eacute grande o suficiente para
aplicar a probabilidade frequentista
Neste caso o experimento consiste em selecionar uma pessoa
da populaccedilatildeo e em seguida observarmos o sexo e se cursa
estatiacutestica O experimento foi repetido 439 vezes
Cap 4-34
Probabilidade Frequentista
Cursando
estatiacutestica
Natildeo-
cursando
estatiacutestica
Total
Masculino 84 145 229
Feminino 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Encontre a probabilidade de selecionar um aluno de
estatiacutestica do sexo masculino a partir de uma populaccedilatildeo descrita
na tabela abaixo
119875 119867119900119898119890119898 cap 119864119904119905119886119905iacute119904119905119894119888119886 =119899ordm 119889119890 119867119900119898119890119898 cap 119864119904119905119886119905iacute119905119894119888119886
119899ordm 119889119890 119886119897119906119899119900119904=84
439= 0191
Cap 4-35
Axiomas de Probabilidade de
Kolmogorov
Axiomas de Kolmogorov
definiccedilatildeo formal de probabilidade
incluem as definiccedilotildees acima como casos particulares
Qualquer funccedilatildeo P() dos subconjuntos do espaccedilo amostral (eventos)
no intervalo [01] eacute uma probabilidade se satisfaz as condiccedilotildees
1 (Natildeo-negatividade)119875(119860 ge 0) forall evento 119860
2 (Aditividade) 119875 cup119895 119864119895 = 119875(119864119895) 119895 forall 119864119895 eventos disjuntos
3 (Normalizaccedilatildeo) 119875 119878 = 1
Definiccedilatildeo
Cap 4-36
Propriedades de uma
Probabilidade
Como consequecircncia dos Axiomas de Kolmogorov mostre que uma
funccedilatildeo probabilidade satisfaz as seguintes propriedades
1 119875 119864119888 = 1 minus 119875 119864
2 Se 1198641 sube 1198642 entatildeo 119875 1198641 le 119875 1198642
3 119875 120601 = 0
Ainda partindo dos axiomas de Kolmogorov podemos
provar a Regra geral da adiccedilatildeo
Regra Geral da Adiccedilatildeo
Cap 4-37
119875 119860 cup 119861 = 119875 119860 + 119875 119861 minus 119875(119860 cap 119861)
Regra Geral da Adiccedilatildeo
Regra geral da adiccedilatildeo
No caso particular em que os eventos satildeo
mutuamente excludentes continua valendo o axioma
de aditividade pois 119875 119860 cap 119861 = 0 daiacute
119875 119860 cup 119861 = 119875 119860 + 119875(119861)
Cap 4-38
119875 119860 cup 119861 = 119875 119860 + 119875 119861 minus 119875(119860 cap 119861)
Cap 4-39
Exemplo da Regra Geral de
Adiccedilatildeo
Cursando
estatiacutestica
Natildeo cursando
estatiacutestica
Total
Homem 84 145 229
Mulher 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Qual a probabilidade de selecionamos
aleatoriamente um homem ou um aluno(a) da estatiacutestica de
uma populaccedilatildeo descrita pela tabela abaixo
Cap 4-40
Exemplo da Regra Geral de
Adiccedilatildeo
Cursando
estatiacutestica
Natildeo cursando
estatiacutestica
Total
Homem 84 145 229
Mulher 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Qual a probabilidade de selecionamos
aleatoriamente um homem ou um aluno(a) da estatiacutestica de
uma populaccedilatildeo descrita pela tabela abaixo
119875 119867119900119898119890119898 cup 119864119904119905119886119905iacute119905119894119888119886 =
119875 119867119900119898119890119898 + 119875 119864119904119905119886119905iacute119904119905119894119888119886 minus 119875 119867119900119898119890119898 cap 119864119904119905119886119905119894119904119905119894119888119886 =229
439+160
439minus
84
439=305
439
Cap 4-41
Resumo de Probabilidade
Probabilidade eacute uma medida numeacuterica que informa a chance de um resultado ocorrer
A probabilidade de um evento deve estar entre 0 e 1 incluindo os extremos
0 le 119875(119860) le 1 para qquer evento 119860
A soma da probabilidade de uma particcedilatildeo do espaccedilo amostral eacute igual a 1
119875(119860) + 119875(119861) + 119875(119862) = 1
em que A B e C satildeo eventos mutuamente excludentes e coletivamente exaustivos (particcedilatildeo de 119878)
Certo
Impossiacutevel
05
1
0
Exemplo Probabilidade
Cap 4-42
Vocabulaacuterio Geral
Pelo menos 1 dos eventos A B ou ambos =
119860 cup 119861
Nenhum dos eventos nem A nem B = (119860 cup 119861)119888
Apenas 1 (ex Apenas A) possui A e natildeo possui B
= 119860 cap (119861119888)
Cap 4-43
Exerciacutecio Probabilidade
Selecione aleatoriamente um estudante em uma determinada
universidade e represente por A o evento dele possuir um cartatildeo de
creacutedito Visa e por B o evento anaacutelogo para um Mastercard Suponha que
P(Visa) = 05 P(Mastercard) = 04 e P (Ambos os cartotildees) = 025
1 Calcule a probabilidade de que um indiviacuteduo selecionado tenha
pelo menos um dos dois tipos de cartatildeo
2 Qual a probabilidade de o indiviacuteduo selecionado natildeo ter nenhum
dos tipos de cartatildeo
3 Descreva em termos de A e B o evento em que o estudante
selecionado possui um cartatildeo Visa mas natildeo um MasterCard
4 Calcule a probabilidade desse evento
Teacutecnicas de Contagem
Princiacutepio de contagem (divida e conquiste) o processo
eacute quebrado em vaacuterias etapas com o uso do diagrama de
aacutervores
Cap 4-44
n2
opccedilotildees
Folhas
n1
opccedilotildees
n3
opccedilotildees
n4
opccedilotildees
Estaacutegio
1
Estaacutegio
2
Estaacutegio
3
Estaacutegio
4
Nuacutemero total de folhas eacute
n1n2n3hellipni
n2
opccedilotildees
Desde que um mesmo
estaacutegio tenha o mesmo nordm
de opccedilotildees em cada ponto
da aacutervore
Teacutecnicas de Contagem
Princiacutepio de contagem
Considere um processo que contem r estaacutegios Suponha que
Existem n1 resultados possiacuteveis no primeiro estaacutegio
Para cada resultado possiacutevel do estaacutegio 1 existem n2
resultados possiacuteveis no estaacutegio 2
De forma mais geral para cada um dos resultados ni-1
primeiros estaacutegios existem ni resultados possiacuteveis no i-
eacutesimo estaacutegio
Entatildeo o Nuacutemero total de resultados possiacuteveis no processo de r
estaacutegios eacute de n1n2n3hellipnr
Cap 4-45
Teorema
Cap 4-46
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Um nuacutemero telefocircnico eacute composto de 8
diacutegitos mas o primeiro diacutegito apenas assume 3 valores
possiacuteveis 3 8 9 Quantos nuacutemeros distintos existem
Cap 4-47
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Um nuacutemero telefocircnico eacute composto de 8
diacutegitos mas o primeiro diacutegito apenas assume 3 valores
3 8 9 Quantos nuacutemeros distintos existem
Temos um total de 8 estaacutegios
No primeiro estaacutegio apenas 3 opccedilotildees
Nos demais estaacutegios 10 opccedilotildees
Total 3 107
Cap 4-48
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Quantos subconjutos podemos fazer a
partir de um conjunto com n elementos s1 s2 s3 hellip
sn
Cap 4-49
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Quantos subconjutos podemos fazer a
partir de um conjunto com n elementos s1 s2 s3 hellip
sn
Processo de n estaacutegios em cada estaacutegio decidimos se
colocamos ou natildeo o elemento no subconjunto
nuacutemero de opccedilotildees para o primeiro estaacutegio 2
Total 222hellip2 =2n
Cap 4-50
Teacutecnicas de Contagem
Problema Selecionar 119948 objetos de um total de 119951
objetos 119899 ge 119896 sem reposiccedilatildeo
Se a ordem eacute importante Arranjo
ex de palavra as eacute diferente de sa
Se a ordem natildeo eacute importante Combinaccedilatildeo
ex da loteria escolhemos um conjunto de 6 nordm a
ordem em que eles satildeo sorteados natildeo faz diferenccedila
Cap 4-51
Teacutecnicas de Contagem
Ao contraacuterio da permutaccedilatildeo na combinaccedilatildeo a ordem dos
elementos natildeo eacute importante
Exemplo
Permutaccedilatildeo de 2 elementos das letras A B C D
AB AC AD BA BC BD CA CB CD DA DB DC
Combinaccedilatildeo de 2 elementos das letras A B C D
AB AC AD BC BD CD
jaacute que a ordem natildeo eacute importante BA eacute o mesmo que
AB
Cap 4-52
Teacutecnicas de Contagem
Arranjo de k objetos
Queremos selecionar k objetos de um conjunto de n
objetos sem reposiccedilatildeo
Para o 1deg objeto n possibilidades
Para o 2deg objeto n-1 possibilidades
hellip
Para o uacuteltimo (kdeg objeto) n - (k-1) possibilidades
Total de permutaccedilotildees 119951 lowast (119951 minus 120783) lowast ⋯lowast (119951 minus 119948 + 120783)
Ou usando fatorial
Teorema
119899
119899 minus 119896
Cap 4-53
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Qual o total de palavras que podemos
construir com exatamente 4 letras distintas (natildeo precisa
ter significado nem seguir regras ortograacuteficas)
Cap 4-54
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Qual o total de palavras que podemos
construir com exatamente 4 letras distintas (natildeo
precisa ter significado nem seguir regras
ortograacuteficas)
Soluccedilatildeo
Selecionar 4 letras de um total de 26 sem repetir A
ordem eacute importante pois estamos formando
palavras (permutaccedilatildeo)
Total de arranjos de 4 elementos 26252423
Cap 4-55
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Vocecirc tem 10 CDs de muacutesica claacutessica 20
CDs de rock e 15 CDs de forroacute De quantas formas eacute
possiacutevel arranjar os seus CDs tal que os CDs do mesmo
tipo sempre fiquem juntos
Se os CDs forem colocados na prateleira de forma
aleatoacuteria qual eacute a probabilidade de os CDs do mesmo
estilo musical ficarem juntos
Cap 4-56
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Soluccedilatildeo princiacutepio da Contagem + Arranjos
Podemos quebrar o processo em 2 estaacutegios
1) Escolher a ordem dos tipos de Cds 321
2) Escolher a sequecircncia dos Cds para cada tipo
Para Cds de muacutesica claacutessica 10
Para Cds de rock 20
Para Cds de forroacute 15
Total 3102015
Cap 4-57
Teacutecnicas de Contagem
Combinaccedilatildeo de k elementos em n
Queremos contar o nuacutemero de subconjuntos de k elementos a
partir de um conjunto de n elementos sem reposiccedilatildeo
A ordem dos elementos natildeo eacute importante
Dizemos combinaccedilatildeo de n elementos k a k
Ex Formar comitecirc com 3 representantes de turma de um total de
131 alunos
Se todos tem mesmo poder a ordem de escolha natildeo eacute
importante combinaccedilatildeo
Se teremos presidente vice-presidente e secretaacuterio entatildeo a
ordem de escolha eacute importante permutaccedilatildeo
Teorema 119873119888119900119898119887119894119899119886ccedilotilde119890119904 =119899119896=
119899
119899 minus 119896 119896
Cap 4-58
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Qual o nuacutemero de combinaccedilotildees de 2
elementos distintos que podemos construir com as letras
A B C D
Cap 4-59
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Qual o nuacutemero de combinaccedilotildees de 2
elementos das letras A B C D
Soluccedilatildeo
Conferindo
AB AC AD BC BD CD
62)24(
4
2
4
scombinaccedilotildeeN
Cap 4-60
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Um armazeacutem da universidade recebeu 25
impressoras das quais 10 satildeo a laser e 15 a jato de tinta
Se 6 das 25 forem selecionadas aleatoriamente para para
serem verificadas por um teacutecnico qual seraacute a
probabilidade de exatamente 3 delas serem a laser
Cap 4-61
Teacutecnicas de Contagem
Soluccedilatildeo Seja 1198633= 3 das 6 selecionadas satildeo a laser Como a seleccedilatildeo das impressoras
dentre as 25 eacute aleatoacuteria cada uma delas tem a mesma chance de ser sorteada
Probabilidade claacutessica implica 119875 1198633 = 119899(1198633)119899
Como a ordem da seleccedilatildeo das impressoras natildeo importa 119899 =256
Para determinar 1198633 vamos dividir o processo em duas etapas 1) selecionamos 3 das 15
impressoras a tinta e 2) selecionamos 3 das 6 impressoras a laser Para cada elemento da
primeira etapa temos exatamente o mesmo nordm de possibilidades da segunda etapa Pelo
princiacutepio da contagem 119899 1198633 = 1198991 1198633 lowast 1198992 1198633
Como a ordem em que as impressoras satildeo selecionadas em cada etapa natildeo tem
importacircncia 1198991 1198633 =153
e 1198992 1198633 =63
Entatildeo
119875 1198633 =
153
63
256
= 03083
Desafio P(ao menos 3 das 6 selecionadas sejam a laser)
Cap 4-62
Resumo Nesta aula vimos
Como representar um modelo de probabilidade para uma situaccedilatildeo
incerta (experimento aleatoacuterio)
Etapa 1 definiccedilatildeo do espaccedilo amostral
Revisatildeo de conjuntos
Etapa 2 especificaccedilatildeo de uma funccedilatildeo probabilidade que atribui pesos
para a chance relativa de cada resultado do espaccedilo amostral
3 conceitos de probabilidade
Probabilidade claacutessica
Probabilidade Frequentista
Axiomas de Kolmogorov
Revisatildeo de teacutecnicas de contagem para podermos calcular
probabilidades
Na proacutexima aula veremos como incorporar informaccedilotildees novas ao
caacutelculo de probabilidade =gt Probabilidade condicional
Cap 4-13
Eventos e Conjuntos
A uniatildeo de dois conjuntos (eventos) A e B eacute o conjunto (evento)
que consiste de todos os resultados que estatildeo no conjunto A ou no
conjunto B ou em ambos
119860 cup 119861 = 119909 isin 119878 119909 isin 119860 119900119906 119909 isin 119861
A interseccedilatildeo de dois conjuntos (eventos) A e B eacute o conjunto que
consiste de todos os resultados que estatildeo simultaneamente em A e
em B
119860 cap 119861 = 119909 isin 119878 119909 isin 119860 119890 119909 isin 119861
O complemento de um conjunto (evento) A representado por Ac
(ou Arsquo) eacute o conjunto de todos os resultados que natildeo estatildeo
contidos em A
119860119888 = 119909 isin 119878 119909 notin 119860
Definiccedilatildeo
Definiccedilatildeo
Definiccedilatildeo
Cap 4-14
Eventos e Conjuntos
Eventos mutuamente excludentes satildeo eventos que natildeo podem acontecer simultaneamente Tambeacutem dizemos eventos disjuntos
Exemplo Experimento - uma carta eacute selecionada do baralho
A = rainha de ouros B = rainha de copas
Os eventos A e B satildeo mutuamente excludentes
C = rainha D = ouros
C e D natildeo satildeo mutuamente exlcudentes
Exemplo Experimento ndash um feto eacute gerado
Y = eacute menino X = eacute menina
Os eventos X e Y satildeo mutuamente excludentes se natildeo considerarmos a possibilidade de hermafrodita
Definiccedilatildeo
Cap 4-15
Eventos e Conjuntos
Uma particcedilatildeo de um espaccedilo amostral consiste de um conjunto de
eventos tais que
Os eventos satildeo mutuamente excludentes (apenas um dos
eventos pode ocorrer)
Os eventos satildeo coletivamente exaustivos i e a uniatildeo dos
eventos cobre todo o espaccedilo amostral
Exemplo Experimento ndash uma carta eacute selecionada do baralho
Sejam A = azes B = cartas pretas C = ouros e D =copas
Os eventos A B C e D satildeo coletivamente exaustivos (mas natildeo
satildeo mutuamente excludentes)
Os eventos B C e D formam uma particcedilatildeo
Definiccedilatildeo
Cap 4-16
Visualizaccedilatildeo de conjuntos
Diagramas de Venn
S
A
B
S S
S S S
A A
A B
B
B C
C
A
B
A
B
a) AcapB b)AUB c)A capBc d)Ac e)AB e C satildeo disjuntos f)AB e C satildeo particcedilatildeo de S
Cap 4-17
Eventos e Conjuntos
Exerciacutecio Assuma que S = 0 1 2 3 4 5 6 7 A=0 1 2
34 B=3 4 5 6 e C=1 3 5 Determinar
119860 cup 119861
119860 cap 119861
119860 cup 119862
119860 cap 119862
119862 cup 119861
119862 cap 119861
119860119888
119861119888
119862119888
Cap 4-18
Propriedades de Conjuntos
Operaccedilotildees entre conjuntos tecircm uma seacuterie de propriedades
Exemplos
119860 cup 119861 = 119861 cup 119860 e 119860 cap 119861 = 119861 cap 119860
119860 cap 119861 cup 119862 = (119860 cap 119861) cup (119860 cap 119862)
119860119888 119888 = 119860
119860 cup 119878 = 119878
119860 cap 119860119888 = empty
119860 cap 119878 = 119860
Cap 4-19
Propriedades de Conjuntos
Leis de Morgan
119860 cup 119861 119888 = 119860119888 cap 119861119888 119860 cap 119861 119888 = 119860119888 cup 119861119888
Cap 4-20
Visualizando Eventos
Existem diversas formas de representar a ocorrecircncia de eventos
Rep
rese
nta
ccedilotildees
de
Even
tos Diagrama de Venn
Tabela de contingecircncia ou tabela cruzada
Diagrama de aacutervore
Matriz
Cap 4-21
Visualizando Eventos
Tabelas de contigecircncia
Diagrama de aacutervore
Aacutes Natildeo
Aacutes
Total
Preta 2 24 26
Vermelha 2 24 26
Total 4 48 52
Baralho de
52 Cartas Espaccedilo
Amostral
2
24
2
24
A definiccedilatildeo da ordem dos ramos depende do problema
Cap 4-22
Visualizando Eventos
Lanccedilamento de 2 dados de quatro lados
Espaccedilo Amostral para o
lanccedilamento de 2 dados
2deg dado
1deg dado
Diagrama de Aacutervore para
o lanccedilamento de 2 dados
Raiz
Folhas
Representaccedilatildeo por Matriz Representaccedilatildeo por Aacutervore
1deg dado
2deg dado
Modelo Probabiliacutestico
Cap 4-23
Experimento
Evento B
Evento A
Espaccedilo Amostral
Eventos
Os principais ingredientes de um modelo probabiliacutestico
Probabilidade
Etapa 1 Etapa 2
Cap 4-24
Probabilidade
Probabilidade atribuir chance (peso relativo) a
eventos possiacuteveis de um experimento aleatoacuterio
Diferentes conceitos
Definiccedilatildeo claacutessica de probabilidade
Definiccedilatildeo frequentista ou Definiccedilatildeo estatiacutestica de
probabilidade ou Definiccedilatildeo Claacutessica empiacuterica
Axiomas de Kolmogorov
Cap 4-25
Probabilidade Claacutessica
A definiccedilatildeo claacutessica de probabilidade se refere a subconjuntos
unitaacuterios e equiprovaacuteveis isto eacute conjuntos de resultados que tecircm a
mesma chance
CASO 1 No caso enumeraacutevel e finito em que a chance de sorteio de
cada resultado do espaccedilo amostral eacute a mesma a probabilidade de um
evento A eacute dada por
119875 119860 =119899ordm 119889119890 119907119890119911119890119904 119902119906119890 119860 119901119900119889119890 119900119888119900119903119903119890119903 119890119898 119878
119899ordm 119905119900119905119886119897 119889119890 119903119890119904119906119897119905119886119889119900119904 119901119900119904119904iacute119907119890119894119904 119890119898 119878
Definiccedilatildeo
Use Teacutecnicas de anaacutelise combinatoacuteria
e contagem para determinar o ndeg
total e o ndeg de vezes que A pode sair
Cap 4-26
Probabilidade Claacutessica
CASO 2 (probabilidade geomeacutetrica) Se 119878 eacute natildeo-
enumeraacutevel e equiprovaacutevel (mesma chance para cada
resultado) o conceito se aplica ao comprimento de
intervalos medidas de aacutereas hellip
Exemplo 119878 = [010] tal que cada valor pode sair
com a mesma chance dos demais Seja 119860 o
subconjunto [12] cup [68] Entatildeo
119875 119860 =119862119900119898119901119903119894119898119890119899119905119900 119889119890 119860
119862119900119898119901119903119894119898119890119899119905119900 119905119900119905119886119897 119889119890 119878=1+2
10= 03
Definiccedilatildeo
Probabilidade Claacutessica
Exerciacutecio Considere o experimento que consiste no
lanccedilamento de 2 dados balanceados e registram-se as faces
superiores
Calcular a probabilidade de
a) obter soma das faces superiores = 7
b) obter soma das faces superiores maior do que 10
c) que resultado do primeiro dado seja superior ao
resultado do segundo
Cap 4-27
Probabilidade Claacutessica
Exerciacutecio Considere o lanccedilamento de 2 dados balanceados
Total de resultados 36
Calcular a probabilidade de
a) Obter soma 7
2 resultados possiacuteveis (34) (43) (25) (52) (16) (61)
P(Soma=7)=636
b) Obter soma maior do que 10
3 resultados possiacuteveis (65) (56) e (66)
P(Somagt10) = 336
Cap 4-28
Probabilidade Claacutessica
Exerciacutecio Considere o lanccedilamento de 2 dados balanceados
Total de resultados 36
Calcular a probabilidade de
c) Que resultado do primeiro dado seja superior ao
resultado do segundo
Resultados possiacuteveis 15
P(1degdadogt2degdado)=15 36
Cap 4-29
1 2 3 4 5 6 1
2
3
4
5
6
1deg Dado
2deg
Da
do
Cap 4-30
Probabilidade Claacutessica
Em termos praacuteticos temos que determinar
O nuacutemero total de resultados possiacuteveis
O nuacutemero de vezes que podemos ganhar (A)
CUIDADO soacute pode ser aplicado quando todos os resultados do
espaccedilo amostral tem a mesma chance de ocorrer
Exemplos dado moeda sexo dos filhos
Contra-exemplo peso de pessoas (entre 40 e 120)
chance de (40 a 50 kg) lt chance (60 a 70 kg)
Intervalos com mesmo comprimento pela probabilidade
geomeacutetrica devem ter a mesma probabilidade Natildeo faz sentido
para o peso de pessoas
Cap 4-31
Probabilidade Frequentista
A probabilidade frequentista considera o limite de frequecircncias
relativas como o valor da probabilidade
Seja nA o nuacutemero de ocorrecircncia de A em n repeticcedilotildees independentes
do experimento Assim
119875 119860 = lim119899rarrinfin
119899119860119899
Assim definimos a probabilidade como a frequecircncia relativa
observada ao repertirmos o experimento um ndeg muito grande de vezes
Exemplo caixa com 100 moedas e conte o nuacutemero de caras ou ver
applet laquo probability raquo do Moore
Definiccedilatildeo
Cap 4-32
Probabilidade Frequentista
A probabilidade frequentista considera o limite de frequecircncias
relativas como o valor da probabilidade
Na praacutetica
repita o experimento aleatoacuterio um nuacutemero grande de vezes 119899
Conte o nordm de vezes que o evento de interesse 119860 aconteceu 119899119860
Entatildeo a probabilidade de o evento acontecer eacute calculada como
119875 119860 =119899119860119899
Eacute soacute isso
Cap 4-33
Probabilidade Frequentista
Cursando
estatiacutestica
Natildeo-
cursando
estatiacutestica
Total
Masculino 84 145 229
Feminino 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Encontre a probabilidade de selecionar um aluno de
estatiacutestica do sexo masculino a partir de uma populaccedilatildeo descrita
na tabela abaixo Considere que 439 eacute grande o suficiente para
aplicar a probabilidade frequentista
Neste caso o experimento consiste em selecionar uma pessoa
da populaccedilatildeo e em seguida observarmos o sexo e se cursa
estatiacutestica O experimento foi repetido 439 vezes
Cap 4-34
Probabilidade Frequentista
Cursando
estatiacutestica
Natildeo-
cursando
estatiacutestica
Total
Masculino 84 145 229
Feminino 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Encontre a probabilidade de selecionar um aluno de
estatiacutestica do sexo masculino a partir de uma populaccedilatildeo descrita
na tabela abaixo
119875 119867119900119898119890119898 cap 119864119904119905119886119905iacute119904119905119894119888119886 =119899ordm 119889119890 119867119900119898119890119898 cap 119864119904119905119886119905iacute119905119894119888119886
119899ordm 119889119890 119886119897119906119899119900119904=84
439= 0191
Cap 4-35
Axiomas de Probabilidade de
Kolmogorov
Axiomas de Kolmogorov
definiccedilatildeo formal de probabilidade
incluem as definiccedilotildees acima como casos particulares
Qualquer funccedilatildeo P() dos subconjuntos do espaccedilo amostral (eventos)
no intervalo [01] eacute uma probabilidade se satisfaz as condiccedilotildees
1 (Natildeo-negatividade)119875(119860 ge 0) forall evento 119860
2 (Aditividade) 119875 cup119895 119864119895 = 119875(119864119895) 119895 forall 119864119895 eventos disjuntos
3 (Normalizaccedilatildeo) 119875 119878 = 1
Definiccedilatildeo
Cap 4-36
Propriedades de uma
Probabilidade
Como consequecircncia dos Axiomas de Kolmogorov mostre que uma
funccedilatildeo probabilidade satisfaz as seguintes propriedades
1 119875 119864119888 = 1 minus 119875 119864
2 Se 1198641 sube 1198642 entatildeo 119875 1198641 le 119875 1198642
3 119875 120601 = 0
Ainda partindo dos axiomas de Kolmogorov podemos
provar a Regra geral da adiccedilatildeo
Regra Geral da Adiccedilatildeo
Cap 4-37
119875 119860 cup 119861 = 119875 119860 + 119875 119861 minus 119875(119860 cap 119861)
Regra Geral da Adiccedilatildeo
Regra geral da adiccedilatildeo
No caso particular em que os eventos satildeo
mutuamente excludentes continua valendo o axioma
de aditividade pois 119875 119860 cap 119861 = 0 daiacute
119875 119860 cup 119861 = 119875 119860 + 119875(119861)
Cap 4-38
119875 119860 cup 119861 = 119875 119860 + 119875 119861 minus 119875(119860 cap 119861)
Cap 4-39
Exemplo da Regra Geral de
Adiccedilatildeo
Cursando
estatiacutestica
Natildeo cursando
estatiacutestica
Total
Homem 84 145 229
Mulher 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Qual a probabilidade de selecionamos
aleatoriamente um homem ou um aluno(a) da estatiacutestica de
uma populaccedilatildeo descrita pela tabela abaixo
Cap 4-40
Exemplo da Regra Geral de
Adiccedilatildeo
Cursando
estatiacutestica
Natildeo cursando
estatiacutestica
Total
Homem 84 145 229
Mulher 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Qual a probabilidade de selecionamos
aleatoriamente um homem ou um aluno(a) da estatiacutestica de
uma populaccedilatildeo descrita pela tabela abaixo
119875 119867119900119898119890119898 cup 119864119904119905119886119905iacute119905119894119888119886 =
119875 119867119900119898119890119898 + 119875 119864119904119905119886119905iacute119904119905119894119888119886 minus 119875 119867119900119898119890119898 cap 119864119904119905119886119905119894119904119905119894119888119886 =229
439+160
439minus
84
439=305
439
Cap 4-41
Resumo de Probabilidade
Probabilidade eacute uma medida numeacuterica que informa a chance de um resultado ocorrer
A probabilidade de um evento deve estar entre 0 e 1 incluindo os extremos
0 le 119875(119860) le 1 para qquer evento 119860
A soma da probabilidade de uma particcedilatildeo do espaccedilo amostral eacute igual a 1
119875(119860) + 119875(119861) + 119875(119862) = 1
em que A B e C satildeo eventos mutuamente excludentes e coletivamente exaustivos (particcedilatildeo de 119878)
Certo
Impossiacutevel
05
1
0
Exemplo Probabilidade
Cap 4-42
Vocabulaacuterio Geral
Pelo menos 1 dos eventos A B ou ambos =
119860 cup 119861
Nenhum dos eventos nem A nem B = (119860 cup 119861)119888
Apenas 1 (ex Apenas A) possui A e natildeo possui B
= 119860 cap (119861119888)
Cap 4-43
Exerciacutecio Probabilidade
Selecione aleatoriamente um estudante em uma determinada
universidade e represente por A o evento dele possuir um cartatildeo de
creacutedito Visa e por B o evento anaacutelogo para um Mastercard Suponha que
P(Visa) = 05 P(Mastercard) = 04 e P (Ambos os cartotildees) = 025
1 Calcule a probabilidade de que um indiviacuteduo selecionado tenha
pelo menos um dos dois tipos de cartatildeo
2 Qual a probabilidade de o indiviacuteduo selecionado natildeo ter nenhum
dos tipos de cartatildeo
3 Descreva em termos de A e B o evento em que o estudante
selecionado possui um cartatildeo Visa mas natildeo um MasterCard
4 Calcule a probabilidade desse evento
Teacutecnicas de Contagem
Princiacutepio de contagem (divida e conquiste) o processo
eacute quebrado em vaacuterias etapas com o uso do diagrama de
aacutervores
Cap 4-44
n2
opccedilotildees
Folhas
n1
opccedilotildees
n3
opccedilotildees
n4
opccedilotildees
Estaacutegio
1
Estaacutegio
2
Estaacutegio
3
Estaacutegio
4
Nuacutemero total de folhas eacute
n1n2n3hellipni
n2
opccedilotildees
Desde que um mesmo
estaacutegio tenha o mesmo nordm
de opccedilotildees em cada ponto
da aacutervore
Teacutecnicas de Contagem
Princiacutepio de contagem
Considere um processo que contem r estaacutegios Suponha que
Existem n1 resultados possiacuteveis no primeiro estaacutegio
Para cada resultado possiacutevel do estaacutegio 1 existem n2
resultados possiacuteveis no estaacutegio 2
De forma mais geral para cada um dos resultados ni-1
primeiros estaacutegios existem ni resultados possiacuteveis no i-
eacutesimo estaacutegio
Entatildeo o Nuacutemero total de resultados possiacuteveis no processo de r
estaacutegios eacute de n1n2n3hellipnr
Cap 4-45
Teorema
Cap 4-46
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Um nuacutemero telefocircnico eacute composto de 8
diacutegitos mas o primeiro diacutegito apenas assume 3 valores
possiacuteveis 3 8 9 Quantos nuacutemeros distintos existem
Cap 4-47
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Um nuacutemero telefocircnico eacute composto de 8
diacutegitos mas o primeiro diacutegito apenas assume 3 valores
3 8 9 Quantos nuacutemeros distintos existem
Temos um total de 8 estaacutegios
No primeiro estaacutegio apenas 3 opccedilotildees
Nos demais estaacutegios 10 opccedilotildees
Total 3 107
Cap 4-48
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Quantos subconjutos podemos fazer a
partir de um conjunto com n elementos s1 s2 s3 hellip
sn
Cap 4-49
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Quantos subconjutos podemos fazer a
partir de um conjunto com n elementos s1 s2 s3 hellip
sn
Processo de n estaacutegios em cada estaacutegio decidimos se
colocamos ou natildeo o elemento no subconjunto
nuacutemero de opccedilotildees para o primeiro estaacutegio 2
Total 222hellip2 =2n
Cap 4-50
Teacutecnicas de Contagem
Problema Selecionar 119948 objetos de um total de 119951
objetos 119899 ge 119896 sem reposiccedilatildeo
Se a ordem eacute importante Arranjo
ex de palavra as eacute diferente de sa
Se a ordem natildeo eacute importante Combinaccedilatildeo
ex da loteria escolhemos um conjunto de 6 nordm a
ordem em que eles satildeo sorteados natildeo faz diferenccedila
Cap 4-51
Teacutecnicas de Contagem
Ao contraacuterio da permutaccedilatildeo na combinaccedilatildeo a ordem dos
elementos natildeo eacute importante
Exemplo
Permutaccedilatildeo de 2 elementos das letras A B C D
AB AC AD BA BC BD CA CB CD DA DB DC
Combinaccedilatildeo de 2 elementos das letras A B C D
AB AC AD BC BD CD
jaacute que a ordem natildeo eacute importante BA eacute o mesmo que
AB
Cap 4-52
Teacutecnicas de Contagem
Arranjo de k objetos
Queremos selecionar k objetos de um conjunto de n
objetos sem reposiccedilatildeo
Para o 1deg objeto n possibilidades
Para o 2deg objeto n-1 possibilidades
hellip
Para o uacuteltimo (kdeg objeto) n - (k-1) possibilidades
Total de permutaccedilotildees 119951 lowast (119951 minus 120783) lowast ⋯lowast (119951 minus 119948 + 120783)
Ou usando fatorial
Teorema
119899
119899 minus 119896
Cap 4-53
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Qual o total de palavras que podemos
construir com exatamente 4 letras distintas (natildeo precisa
ter significado nem seguir regras ortograacuteficas)
Cap 4-54
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Qual o total de palavras que podemos
construir com exatamente 4 letras distintas (natildeo
precisa ter significado nem seguir regras
ortograacuteficas)
Soluccedilatildeo
Selecionar 4 letras de um total de 26 sem repetir A
ordem eacute importante pois estamos formando
palavras (permutaccedilatildeo)
Total de arranjos de 4 elementos 26252423
Cap 4-55
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Vocecirc tem 10 CDs de muacutesica claacutessica 20
CDs de rock e 15 CDs de forroacute De quantas formas eacute
possiacutevel arranjar os seus CDs tal que os CDs do mesmo
tipo sempre fiquem juntos
Se os CDs forem colocados na prateleira de forma
aleatoacuteria qual eacute a probabilidade de os CDs do mesmo
estilo musical ficarem juntos
Cap 4-56
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Soluccedilatildeo princiacutepio da Contagem + Arranjos
Podemos quebrar o processo em 2 estaacutegios
1) Escolher a ordem dos tipos de Cds 321
2) Escolher a sequecircncia dos Cds para cada tipo
Para Cds de muacutesica claacutessica 10
Para Cds de rock 20
Para Cds de forroacute 15
Total 3102015
Cap 4-57
Teacutecnicas de Contagem
Combinaccedilatildeo de k elementos em n
Queremos contar o nuacutemero de subconjuntos de k elementos a
partir de um conjunto de n elementos sem reposiccedilatildeo
A ordem dos elementos natildeo eacute importante
Dizemos combinaccedilatildeo de n elementos k a k
Ex Formar comitecirc com 3 representantes de turma de um total de
131 alunos
Se todos tem mesmo poder a ordem de escolha natildeo eacute
importante combinaccedilatildeo
Se teremos presidente vice-presidente e secretaacuterio entatildeo a
ordem de escolha eacute importante permutaccedilatildeo
Teorema 119873119888119900119898119887119894119899119886ccedilotilde119890119904 =119899119896=
119899
119899 minus 119896 119896
Cap 4-58
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Qual o nuacutemero de combinaccedilotildees de 2
elementos distintos que podemos construir com as letras
A B C D
Cap 4-59
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Qual o nuacutemero de combinaccedilotildees de 2
elementos das letras A B C D
Soluccedilatildeo
Conferindo
AB AC AD BC BD CD
62)24(
4
2
4
scombinaccedilotildeeN
Cap 4-60
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Um armazeacutem da universidade recebeu 25
impressoras das quais 10 satildeo a laser e 15 a jato de tinta
Se 6 das 25 forem selecionadas aleatoriamente para para
serem verificadas por um teacutecnico qual seraacute a
probabilidade de exatamente 3 delas serem a laser
Cap 4-61
Teacutecnicas de Contagem
Soluccedilatildeo Seja 1198633= 3 das 6 selecionadas satildeo a laser Como a seleccedilatildeo das impressoras
dentre as 25 eacute aleatoacuteria cada uma delas tem a mesma chance de ser sorteada
Probabilidade claacutessica implica 119875 1198633 = 119899(1198633)119899
Como a ordem da seleccedilatildeo das impressoras natildeo importa 119899 =256
Para determinar 1198633 vamos dividir o processo em duas etapas 1) selecionamos 3 das 15
impressoras a tinta e 2) selecionamos 3 das 6 impressoras a laser Para cada elemento da
primeira etapa temos exatamente o mesmo nordm de possibilidades da segunda etapa Pelo
princiacutepio da contagem 119899 1198633 = 1198991 1198633 lowast 1198992 1198633
Como a ordem em que as impressoras satildeo selecionadas em cada etapa natildeo tem
importacircncia 1198991 1198633 =153
e 1198992 1198633 =63
Entatildeo
119875 1198633 =
153
63
256
= 03083
Desafio P(ao menos 3 das 6 selecionadas sejam a laser)
Cap 4-62
Resumo Nesta aula vimos
Como representar um modelo de probabilidade para uma situaccedilatildeo
incerta (experimento aleatoacuterio)
Etapa 1 definiccedilatildeo do espaccedilo amostral
Revisatildeo de conjuntos
Etapa 2 especificaccedilatildeo de uma funccedilatildeo probabilidade que atribui pesos
para a chance relativa de cada resultado do espaccedilo amostral
3 conceitos de probabilidade
Probabilidade claacutessica
Probabilidade Frequentista
Axiomas de Kolmogorov
Revisatildeo de teacutecnicas de contagem para podermos calcular
probabilidades
Na proacutexima aula veremos como incorporar informaccedilotildees novas ao
caacutelculo de probabilidade =gt Probabilidade condicional
Cap 4-14
Eventos e Conjuntos
Eventos mutuamente excludentes satildeo eventos que natildeo podem acontecer simultaneamente Tambeacutem dizemos eventos disjuntos
Exemplo Experimento - uma carta eacute selecionada do baralho
A = rainha de ouros B = rainha de copas
Os eventos A e B satildeo mutuamente excludentes
C = rainha D = ouros
C e D natildeo satildeo mutuamente exlcudentes
Exemplo Experimento ndash um feto eacute gerado
Y = eacute menino X = eacute menina
Os eventos X e Y satildeo mutuamente excludentes se natildeo considerarmos a possibilidade de hermafrodita
Definiccedilatildeo
Cap 4-15
Eventos e Conjuntos
Uma particcedilatildeo de um espaccedilo amostral consiste de um conjunto de
eventos tais que
Os eventos satildeo mutuamente excludentes (apenas um dos
eventos pode ocorrer)
Os eventos satildeo coletivamente exaustivos i e a uniatildeo dos
eventos cobre todo o espaccedilo amostral
Exemplo Experimento ndash uma carta eacute selecionada do baralho
Sejam A = azes B = cartas pretas C = ouros e D =copas
Os eventos A B C e D satildeo coletivamente exaustivos (mas natildeo
satildeo mutuamente excludentes)
Os eventos B C e D formam uma particcedilatildeo
Definiccedilatildeo
Cap 4-16
Visualizaccedilatildeo de conjuntos
Diagramas de Venn
S
A
B
S S
S S S
A A
A B
B
B C
C
A
B
A
B
a) AcapB b)AUB c)A capBc d)Ac e)AB e C satildeo disjuntos f)AB e C satildeo particcedilatildeo de S
Cap 4-17
Eventos e Conjuntos
Exerciacutecio Assuma que S = 0 1 2 3 4 5 6 7 A=0 1 2
34 B=3 4 5 6 e C=1 3 5 Determinar
119860 cup 119861
119860 cap 119861
119860 cup 119862
119860 cap 119862
119862 cup 119861
119862 cap 119861
119860119888
119861119888
119862119888
Cap 4-18
Propriedades de Conjuntos
Operaccedilotildees entre conjuntos tecircm uma seacuterie de propriedades
Exemplos
119860 cup 119861 = 119861 cup 119860 e 119860 cap 119861 = 119861 cap 119860
119860 cap 119861 cup 119862 = (119860 cap 119861) cup (119860 cap 119862)
119860119888 119888 = 119860
119860 cup 119878 = 119878
119860 cap 119860119888 = empty
119860 cap 119878 = 119860
Cap 4-19
Propriedades de Conjuntos
Leis de Morgan
119860 cup 119861 119888 = 119860119888 cap 119861119888 119860 cap 119861 119888 = 119860119888 cup 119861119888
Cap 4-20
Visualizando Eventos
Existem diversas formas de representar a ocorrecircncia de eventos
Rep
rese
nta
ccedilotildees
de
Even
tos Diagrama de Venn
Tabela de contingecircncia ou tabela cruzada
Diagrama de aacutervore
Matriz
Cap 4-21
Visualizando Eventos
Tabelas de contigecircncia
Diagrama de aacutervore
Aacutes Natildeo
Aacutes
Total
Preta 2 24 26
Vermelha 2 24 26
Total 4 48 52
Baralho de
52 Cartas Espaccedilo
Amostral
2
24
2
24
A definiccedilatildeo da ordem dos ramos depende do problema
Cap 4-22
Visualizando Eventos
Lanccedilamento de 2 dados de quatro lados
Espaccedilo Amostral para o
lanccedilamento de 2 dados
2deg dado
1deg dado
Diagrama de Aacutervore para
o lanccedilamento de 2 dados
Raiz
Folhas
Representaccedilatildeo por Matriz Representaccedilatildeo por Aacutervore
1deg dado
2deg dado
Modelo Probabiliacutestico
Cap 4-23
Experimento
Evento B
Evento A
Espaccedilo Amostral
Eventos
Os principais ingredientes de um modelo probabiliacutestico
Probabilidade
Etapa 1 Etapa 2
Cap 4-24
Probabilidade
Probabilidade atribuir chance (peso relativo) a
eventos possiacuteveis de um experimento aleatoacuterio
Diferentes conceitos
Definiccedilatildeo claacutessica de probabilidade
Definiccedilatildeo frequentista ou Definiccedilatildeo estatiacutestica de
probabilidade ou Definiccedilatildeo Claacutessica empiacuterica
Axiomas de Kolmogorov
Cap 4-25
Probabilidade Claacutessica
A definiccedilatildeo claacutessica de probabilidade se refere a subconjuntos
unitaacuterios e equiprovaacuteveis isto eacute conjuntos de resultados que tecircm a
mesma chance
CASO 1 No caso enumeraacutevel e finito em que a chance de sorteio de
cada resultado do espaccedilo amostral eacute a mesma a probabilidade de um
evento A eacute dada por
119875 119860 =119899ordm 119889119890 119907119890119911119890119904 119902119906119890 119860 119901119900119889119890 119900119888119900119903119903119890119903 119890119898 119878
119899ordm 119905119900119905119886119897 119889119890 119903119890119904119906119897119905119886119889119900119904 119901119900119904119904iacute119907119890119894119904 119890119898 119878
Definiccedilatildeo
Use Teacutecnicas de anaacutelise combinatoacuteria
e contagem para determinar o ndeg
total e o ndeg de vezes que A pode sair
Cap 4-26
Probabilidade Claacutessica
CASO 2 (probabilidade geomeacutetrica) Se 119878 eacute natildeo-
enumeraacutevel e equiprovaacutevel (mesma chance para cada
resultado) o conceito se aplica ao comprimento de
intervalos medidas de aacutereas hellip
Exemplo 119878 = [010] tal que cada valor pode sair
com a mesma chance dos demais Seja 119860 o
subconjunto [12] cup [68] Entatildeo
119875 119860 =119862119900119898119901119903119894119898119890119899119905119900 119889119890 119860
119862119900119898119901119903119894119898119890119899119905119900 119905119900119905119886119897 119889119890 119878=1+2
10= 03
Definiccedilatildeo
Probabilidade Claacutessica
Exerciacutecio Considere o experimento que consiste no
lanccedilamento de 2 dados balanceados e registram-se as faces
superiores
Calcular a probabilidade de
a) obter soma das faces superiores = 7
b) obter soma das faces superiores maior do que 10
c) que resultado do primeiro dado seja superior ao
resultado do segundo
Cap 4-27
Probabilidade Claacutessica
Exerciacutecio Considere o lanccedilamento de 2 dados balanceados
Total de resultados 36
Calcular a probabilidade de
a) Obter soma 7
2 resultados possiacuteveis (34) (43) (25) (52) (16) (61)
P(Soma=7)=636
b) Obter soma maior do que 10
3 resultados possiacuteveis (65) (56) e (66)
P(Somagt10) = 336
Cap 4-28
Probabilidade Claacutessica
Exerciacutecio Considere o lanccedilamento de 2 dados balanceados
Total de resultados 36
Calcular a probabilidade de
c) Que resultado do primeiro dado seja superior ao
resultado do segundo
Resultados possiacuteveis 15
P(1degdadogt2degdado)=15 36
Cap 4-29
1 2 3 4 5 6 1
2
3
4
5
6
1deg Dado
2deg
Da
do
Cap 4-30
Probabilidade Claacutessica
Em termos praacuteticos temos que determinar
O nuacutemero total de resultados possiacuteveis
O nuacutemero de vezes que podemos ganhar (A)
CUIDADO soacute pode ser aplicado quando todos os resultados do
espaccedilo amostral tem a mesma chance de ocorrer
Exemplos dado moeda sexo dos filhos
Contra-exemplo peso de pessoas (entre 40 e 120)
chance de (40 a 50 kg) lt chance (60 a 70 kg)
Intervalos com mesmo comprimento pela probabilidade
geomeacutetrica devem ter a mesma probabilidade Natildeo faz sentido
para o peso de pessoas
Cap 4-31
Probabilidade Frequentista
A probabilidade frequentista considera o limite de frequecircncias
relativas como o valor da probabilidade
Seja nA o nuacutemero de ocorrecircncia de A em n repeticcedilotildees independentes
do experimento Assim
119875 119860 = lim119899rarrinfin
119899119860119899
Assim definimos a probabilidade como a frequecircncia relativa
observada ao repertirmos o experimento um ndeg muito grande de vezes
Exemplo caixa com 100 moedas e conte o nuacutemero de caras ou ver
applet laquo probability raquo do Moore
Definiccedilatildeo
Cap 4-32
Probabilidade Frequentista
A probabilidade frequentista considera o limite de frequecircncias
relativas como o valor da probabilidade
Na praacutetica
repita o experimento aleatoacuterio um nuacutemero grande de vezes 119899
Conte o nordm de vezes que o evento de interesse 119860 aconteceu 119899119860
Entatildeo a probabilidade de o evento acontecer eacute calculada como
119875 119860 =119899119860119899
Eacute soacute isso
Cap 4-33
Probabilidade Frequentista
Cursando
estatiacutestica
Natildeo-
cursando
estatiacutestica
Total
Masculino 84 145 229
Feminino 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Encontre a probabilidade de selecionar um aluno de
estatiacutestica do sexo masculino a partir de uma populaccedilatildeo descrita
na tabela abaixo Considere que 439 eacute grande o suficiente para
aplicar a probabilidade frequentista
Neste caso o experimento consiste em selecionar uma pessoa
da populaccedilatildeo e em seguida observarmos o sexo e se cursa
estatiacutestica O experimento foi repetido 439 vezes
Cap 4-34
Probabilidade Frequentista
Cursando
estatiacutestica
Natildeo-
cursando
estatiacutestica
Total
Masculino 84 145 229
Feminino 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Encontre a probabilidade de selecionar um aluno de
estatiacutestica do sexo masculino a partir de uma populaccedilatildeo descrita
na tabela abaixo
119875 119867119900119898119890119898 cap 119864119904119905119886119905iacute119904119905119894119888119886 =119899ordm 119889119890 119867119900119898119890119898 cap 119864119904119905119886119905iacute119905119894119888119886
119899ordm 119889119890 119886119897119906119899119900119904=84
439= 0191
Cap 4-35
Axiomas de Probabilidade de
Kolmogorov
Axiomas de Kolmogorov
definiccedilatildeo formal de probabilidade
incluem as definiccedilotildees acima como casos particulares
Qualquer funccedilatildeo P() dos subconjuntos do espaccedilo amostral (eventos)
no intervalo [01] eacute uma probabilidade se satisfaz as condiccedilotildees
1 (Natildeo-negatividade)119875(119860 ge 0) forall evento 119860
2 (Aditividade) 119875 cup119895 119864119895 = 119875(119864119895) 119895 forall 119864119895 eventos disjuntos
3 (Normalizaccedilatildeo) 119875 119878 = 1
Definiccedilatildeo
Cap 4-36
Propriedades de uma
Probabilidade
Como consequecircncia dos Axiomas de Kolmogorov mostre que uma
funccedilatildeo probabilidade satisfaz as seguintes propriedades
1 119875 119864119888 = 1 minus 119875 119864
2 Se 1198641 sube 1198642 entatildeo 119875 1198641 le 119875 1198642
3 119875 120601 = 0
Ainda partindo dos axiomas de Kolmogorov podemos
provar a Regra geral da adiccedilatildeo
Regra Geral da Adiccedilatildeo
Cap 4-37
119875 119860 cup 119861 = 119875 119860 + 119875 119861 minus 119875(119860 cap 119861)
Regra Geral da Adiccedilatildeo
Regra geral da adiccedilatildeo
No caso particular em que os eventos satildeo
mutuamente excludentes continua valendo o axioma
de aditividade pois 119875 119860 cap 119861 = 0 daiacute
119875 119860 cup 119861 = 119875 119860 + 119875(119861)
Cap 4-38
119875 119860 cup 119861 = 119875 119860 + 119875 119861 minus 119875(119860 cap 119861)
Cap 4-39
Exemplo da Regra Geral de
Adiccedilatildeo
Cursando
estatiacutestica
Natildeo cursando
estatiacutestica
Total
Homem 84 145 229
Mulher 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Qual a probabilidade de selecionamos
aleatoriamente um homem ou um aluno(a) da estatiacutestica de
uma populaccedilatildeo descrita pela tabela abaixo
Cap 4-40
Exemplo da Regra Geral de
Adiccedilatildeo
Cursando
estatiacutestica
Natildeo cursando
estatiacutestica
Total
Homem 84 145 229
Mulher 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Qual a probabilidade de selecionamos
aleatoriamente um homem ou um aluno(a) da estatiacutestica de
uma populaccedilatildeo descrita pela tabela abaixo
119875 119867119900119898119890119898 cup 119864119904119905119886119905iacute119905119894119888119886 =
119875 119867119900119898119890119898 + 119875 119864119904119905119886119905iacute119904119905119894119888119886 minus 119875 119867119900119898119890119898 cap 119864119904119905119886119905119894119904119905119894119888119886 =229
439+160
439minus
84
439=305
439
Cap 4-41
Resumo de Probabilidade
Probabilidade eacute uma medida numeacuterica que informa a chance de um resultado ocorrer
A probabilidade de um evento deve estar entre 0 e 1 incluindo os extremos
0 le 119875(119860) le 1 para qquer evento 119860
A soma da probabilidade de uma particcedilatildeo do espaccedilo amostral eacute igual a 1
119875(119860) + 119875(119861) + 119875(119862) = 1
em que A B e C satildeo eventos mutuamente excludentes e coletivamente exaustivos (particcedilatildeo de 119878)
Certo
Impossiacutevel
05
1
0
Exemplo Probabilidade
Cap 4-42
Vocabulaacuterio Geral
Pelo menos 1 dos eventos A B ou ambos =
119860 cup 119861
Nenhum dos eventos nem A nem B = (119860 cup 119861)119888
Apenas 1 (ex Apenas A) possui A e natildeo possui B
= 119860 cap (119861119888)
Cap 4-43
Exerciacutecio Probabilidade
Selecione aleatoriamente um estudante em uma determinada
universidade e represente por A o evento dele possuir um cartatildeo de
creacutedito Visa e por B o evento anaacutelogo para um Mastercard Suponha que
P(Visa) = 05 P(Mastercard) = 04 e P (Ambos os cartotildees) = 025
1 Calcule a probabilidade de que um indiviacuteduo selecionado tenha
pelo menos um dos dois tipos de cartatildeo
2 Qual a probabilidade de o indiviacuteduo selecionado natildeo ter nenhum
dos tipos de cartatildeo
3 Descreva em termos de A e B o evento em que o estudante
selecionado possui um cartatildeo Visa mas natildeo um MasterCard
4 Calcule a probabilidade desse evento
Teacutecnicas de Contagem
Princiacutepio de contagem (divida e conquiste) o processo
eacute quebrado em vaacuterias etapas com o uso do diagrama de
aacutervores
Cap 4-44
n2
opccedilotildees
Folhas
n1
opccedilotildees
n3
opccedilotildees
n4
opccedilotildees
Estaacutegio
1
Estaacutegio
2
Estaacutegio
3
Estaacutegio
4
Nuacutemero total de folhas eacute
n1n2n3hellipni
n2
opccedilotildees
Desde que um mesmo
estaacutegio tenha o mesmo nordm
de opccedilotildees em cada ponto
da aacutervore
Teacutecnicas de Contagem
Princiacutepio de contagem
Considere um processo que contem r estaacutegios Suponha que
Existem n1 resultados possiacuteveis no primeiro estaacutegio
Para cada resultado possiacutevel do estaacutegio 1 existem n2
resultados possiacuteveis no estaacutegio 2
De forma mais geral para cada um dos resultados ni-1
primeiros estaacutegios existem ni resultados possiacuteveis no i-
eacutesimo estaacutegio
Entatildeo o Nuacutemero total de resultados possiacuteveis no processo de r
estaacutegios eacute de n1n2n3hellipnr
Cap 4-45
Teorema
Cap 4-46
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Um nuacutemero telefocircnico eacute composto de 8
diacutegitos mas o primeiro diacutegito apenas assume 3 valores
possiacuteveis 3 8 9 Quantos nuacutemeros distintos existem
Cap 4-47
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Um nuacutemero telefocircnico eacute composto de 8
diacutegitos mas o primeiro diacutegito apenas assume 3 valores
3 8 9 Quantos nuacutemeros distintos existem
Temos um total de 8 estaacutegios
No primeiro estaacutegio apenas 3 opccedilotildees
Nos demais estaacutegios 10 opccedilotildees
Total 3 107
Cap 4-48
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Quantos subconjutos podemos fazer a
partir de um conjunto com n elementos s1 s2 s3 hellip
sn
Cap 4-49
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Quantos subconjutos podemos fazer a
partir de um conjunto com n elementos s1 s2 s3 hellip
sn
Processo de n estaacutegios em cada estaacutegio decidimos se
colocamos ou natildeo o elemento no subconjunto
nuacutemero de opccedilotildees para o primeiro estaacutegio 2
Total 222hellip2 =2n
Cap 4-50
Teacutecnicas de Contagem
Problema Selecionar 119948 objetos de um total de 119951
objetos 119899 ge 119896 sem reposiccedilatildeo
Se a ordem eacute importante Arranjo
ex de palavra as eacute diferente de sa
Se a ordem natildeo eacute importante Combinaccedilatildeo
ex da loteria escolhemos um conjunto de 6 nordm a
ordem em que eles satildeo sorteados natildeo faz diferenccedila
Cap 4-51
Teacutecnicas de Contagem
Ao contraacuterio da permutaccedilatildeo na combinaccedilatildeo a ordem dos
elementos natildeo eacute importante
Exemplo
Permutaccedilatildeo de 2 elementos das letras A B C D
AB AC AD BA BC BD CA CB CD DA DB DC
Combinaccedilatildeo de 2 elementos das letras A B C D
AB AC AD BC BD CD
jaacute que a ordem natildeo eacute importante BA eacute o mesmo que
AB
Cap 4-52
Teacutecnicas de Contagem
Arranjo de k objetos
Queremos selecionar k objetos de um conjunto de n
objetos sem reposiccedilatildeo
Para o 1deg objeto n possibilidades
Para o 2deg objeto n-1 possibilidades
hellip
Para o uacuteltimo (kdeg objeto) n - (k-1) possibilidades
Total de permutaccedilotildees 119951 lowast (119951 minus 120783) lowast ⋯lowast (119951 minus 119948 + 120783)
Ou usando fatorial
Teorema
119899
119899 minus 119896
Cap 4-53
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Qual o total de palavras que podemos
construir com exatamente 4 letras distintas (natildeo precisa
ter significado nem seguir regras ortograacuteficas)
Cap 4-54
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Qual o total de palavras que podemos
construir com exatamente 4 letras distintas (natildeo
precisa ter significado nem seguir regras
ortograacuteficas)
Soluccedilatildeo
Selecionar 4 letras de um total de 26 sem repetir A
ordem eacute importante pois estamos formando
palavras (permutaccedilatildeo)
Total de arranjos de 4 elementos 26252423
Cap 4-55
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Vocecirc tem 10 CDs de muacutesica claacutessica 20
CDs de rock e 15 CDs de forroacute De quantas formas eacute
possiacutevel arranjar os seus CDs tal que os CDs do mesmo
tipo sempre fiquem juntos
Se os CDs forem colocados na prateleira de forma
aleatoacuteria qual eacute a probabilidade de os CDs do mesmo
estilo musical ficarem juntos
Cap 4-56
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Soluccedilatildeo princiacutepio da Contagem + Arranjos
Podemos quebrar o processo em 2 estaacutegios
1) Escolher a ordem dos tipos de Cds 321
2) Escolher a sequecircncia dos Cds para cada tipo
Para Cds de muacutesica claacutessica 10
Para Cds de rock 20
Para Cds de forroacute 15
Total 3102015
Cap 4-57
Teacutecnicas de Contagem
Combinaccedilatildeo de k elementos em n
Queremos contar o nuacutemero de subconjuntos de k elementos a
partir de um conjunto de n elementos sem reposiccedilatildeo
A ordem dos elementos natildeo eacute importante
Dizemos combinaccedilatildeo de n elementos k a k
Ex Formar comitecirc com 3 representantes de turma de um total de
131 alunos
Se todos tem mesmo poder a ordem de escolha natildeo eacute
importante combinaccedilatildeo
Se teremos presidente vice-presidente e secretaacuterio entatildeo a
ordem de escolha eacute importante permutaccedilatildeo
Teorema 119873119888119900119898119887119894119899119886ccedilotilde119890119904 =119899119896=
119899
119899 minus 119896 119896
Cap 4-58
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Qual o nuacutemero de combinaccedilotildees de 2
elementos distintos que podemos construir com as letras
A B C D
Cap 4-59
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Qual o nuacutemero de combinaccedilotildees de 2
elementos das letras A B C D
Soluccedilatildeo
Conferindo
AB AC AD BC BD CD
62)24(
4
2
4
scombinaccedilotildeeN
Cap 4-60
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Um armazeacutem da universidade recebeu 25
impressoras das quais 10 satildeo a laser e 15 a jato de tinta
Se 6 das 25 forem selecionadas aleatoriamente para para
serem verificadas por um teacutecnico qual seraacute a
probabilidade de exatamente 3 delas serem a laser
Cap 4-61
Teacutecnicas de Contagem
Soluccedilatildeo Seja 1198633= 3 das 6 selecionadas satildeo a laser Como a seleccedilatildeo das impressoras
dentre as 25 eacute aleatoacuteria cada uma delas tem a mesma chance de ser sorteada
Probabilidade claacutessica implica 119875 1198633 = 119899(1198633)119899
Como a ordem da seleccedilatildeo das impressoras natildeo importa 119899 =256
Para determinar 1198633 vamos dividir o processo em duas etapas 1) selecionamos 3 das 15
impressoras a tinta e 2) selecionamos 3 das 6 impressoras a laser Para cada elemento da
primeira etapa temos exatamente o mesmo nordm de possibilidades da segunda etapa Pelo
princiacutepio da contagem 119899 1198633 = 1198991 1198633 lowast 1198992 1198633
Como a ordem em que as impressoras satildeo selecionadas em cada etapa natildeo tem
importacircncia 1198991 1198633 =153
e 1198992 1198633 =63
Entatildeo
119875 1198633 =
153
63
256
= 03083
Desafio P(ao menos 3 das 6 selecionadas sejam a laser)
Cap 4-62
Resumo Nesta aula vimos
Como representar um modelo de probabilidade para uma situaccedilatildeo
incerta (experimento aleatoacuterio)
Etapa 1 definiccedilatildeo do espaccedilo amostral
Revisatildeo de conjuntos
Etapa 2 especificaccedilatildeo de uma funccedilatildeo probabilidade que atribui pesos
para a chance relativa de cada resultado do espaccedilo amostral
3 conceitos de probabilidade
Probabilidade claacutessica
Probabilidade Frequentista
Axiomas de Kolmogorov
Revisatildeo de teacutecnicas de contagem para podermos calcular
probabilidades
Na proacutexima aula veremos como incorporar informaccedilotildees novas ao
caacutelculo de probabilidade =gt Probabilidade condicional
Cap 4-15
Eventos e Conjuntos
Uma particcedilatildeo de um espaccedilo amostral consiste de um conjunto de
eventos tais que
Os eventos satildeo mutuamente excludentes (apenas um dos
eventos pode ocorrer)
Os eventos satildeo coletivamente exaustivos i e a uniatildeo dos
eventos cobre todo o espaccedilo amostral
Exemplo Experimento ndash uma carta eacute selecionada do baralho
Sejam A = azes B = cartas pretas C = ouros e D =copas
Os eventos A B C e D satildeo coletivamente exaustivos (mas natildeo
satildeo mutuamente excludentes)
Os eventos B C e D formam uma particcedilatildeo
Definiccedilatildeo
Cap 4-16
Visualizaccedilatildeo de conjuntos
Diagramas de Venn
S
A
B
S S
S S S
A A
A B
B
B C
C
A
B
A
B
a) AcapB b)AUB c)A capBc d)Ac e)AB e C satildeo disjuntos f)AB e C satildeo particcedilatildeo de S
Cap 4-17
Eventos e Conjuntos
Exerciacutecio Assuma que S = 0 1 2 3 4 5 6 7 A=0 1 2
34 B=3 4 5 6 e C=1 3 5 Determinar
119860 cup 119861
119860 cap 119861
119860 cup 119862
119860 cap 119862
119862 cup 119861
119862 cap 119861
119860119888
119861119888
119862119888
Cap 4-18
Propriedades de Conjuntos
Operaccedilotildees entre conjuntos tecircm uma seacuterie de propriedades
Exemplos
119860 cup 119861 = 119861 cup 119860 e 119860 cap 119861 = 119861 cap 119860
119860 cap 119861 cup 119862 = (119860 cap 119861) cup (119860 cap 119862)
119860119888 119888 = 119860
119860 cup 119878 = 119878
119860 cap 119860119888 = empty
119860 cap 119878 = 119860
Cap 4-19
Propriedades de Conjuntos
Leis de Morgan
119860 cup 119861 119888 = 119860119888 cap 119861119888 119860 cap 119861 119888 = 119860119888 cup 119861119888
Cap 4-20
Visualizando Eventos
Existem diversas formas de representar a ocorrecircncia de eventos
Rep
rese
nta
ccedilotildees
de
Even
tos Diagrama de Venn
Tabela de contingecircncia ou tabela cruzada
Diagrama de aacutervore
Matriz
Cap 4-21
Visualizando Eventos
Tabelas de contigecircncia
Diagrama de aacutervore
Aacutes Natildeo
Aacutes
Total
Preta 2 24 26
Vermelha 2 24 26
Total 4 48 52
Baralho de
52 Cartas Espaccedilo
Amostral
2
24
2
24
A definiccedilatildeo da ordem dos ramos depende do problema
Cap 4-22
Visualizando Eventos
Lanccedilamento de 2 dados de quatro lados
Espaccedilo Amostral para o
lanccedilamento de 2 dados
2deg dado
1deg dado
Diagrama de Aacutervore para
o lanccedilamento de 2 dados
Raiz
Folhas
Representaccedilatildeo por Matriz Representaccedilatildeo por Aacutervore
1deg dado
2deg dado
Modelo Probabiliacutestico
Cap 4-23
Experimento
Evento B
Evento A
Espaccedilo Amostral
Eventos
Os principais ingredientes de um modelo probabiliacutestico
Probabilidade
Etapa 1 Etapa 2
Cap 4-24
Probabilidade
Probabilidade atribuir chance (peso relativo) a
eventos possiacuteveis de um experimento aleatoacuterio
Diferentes conceitos
Definiccedilatildeo claacutessica de probabilidade
Definiccedilatildeo frequentista ou Definiccedilatildeo estatiacutestica de
probabilidade ou Definiccedilatildeo Claacutessica empiacuterica
Axiomas de Kolmogorov
Cap 4-25
Probabilidade Claacutessica
A definiccedilatildeo claacutessica de probabilidade se refere a subconjuntos
unitaacuterios e equiprovaacuteveis isto eacute conjuntos de resultados que tecircm a
mesma chance
CASO 1 No caso enumeraacutevel e finito em que a chance de sorteio de
cada resultado do espaccedilo amostral eacute a mesma a probabilidade de um
evento A eacute dada por
119875 119860 =119899ordm 119889119890 119907119890119911119890119904 119902119906119890 119860 119901119900119889119890 119900119888119900119903119903119890119903 119890119898 119878
119899ordm 119905119900119905119886119897 119889119890 119903119890119904119906119897119905119886119889119900119904 119901119900119904119904iacute119907119890119894119904 119890119898 119878
Definiccedilatildeo
Use Teacutecnicas de anaacutelise combinatoacuteria
e contagem para determinar o ndeg
total e o ndeg de vezes que A pode sair
Cap 4-26
Probabilidade Claacutessica
CASO 2 (probabilidade geomeacutetrica) Se 119878 eacute natildeo-
enumeraacutevel e equiprovaacutevel (mesma chance para cada
resultado) o conceito se aplica ao comprimento de
intervalos medidas de aacutereas hellip
Exemplo 119878 = [010] tal que cada valor pode sair
com a mesma chance dos demais Seja 119860 o
subconjunto [12] cup [68] Entatildeo
119875 119860 =119862119900119898119901119903119894119898119890119899119905119900 119889119890 119860
119862119900119898119901119903119894119898119890119899119905119900 119905119900119905119886119897 119889119890 119878=1+2
10= 03
Definiccedilatildeo
Probabilidade Claacutessica
Exerciacutecio Considere o experimento que consiste no
lanccedilamento de 2 dados balanceados e registram-se as faces
superiores
Calcular a probabilidade de
a) obter soma das faces superiores = 7
b) obter soma das faces superiores maior do que 10
c) que resultado do primeiro dado seja superior ao
resultado do segundo
Cap 4-27
Probabilidade Claacutessica
Exerciacutecio Considere o lanccedilamento de 2 dados balanceados
Total de resultados 36
Calcular a probabilidade de
a) Obter soma 7
2 resultados possiacuteveis (34) (43) (25) (52) (16) (61)
P(Soma=7)=636
b) Obter soma maior do que 10
3 resultados possiacuteveis (65) (56) e (66)
P(Somagt10) = 336
Cap 4-28
Probabilidade Claacutessica
Exerciacutecio Considere o lanccedilamento de 2 dados balanceados
Total de resultados 36
Calcular a probabilidade de
c) Que resultado do primeiro dado seja superior ao
resultado do segundo
Resultados possiacuteveis 15
P(1degdadogt2degdado)=15 36
Cap 4-29
1 2 3 4 5 6 1
2
3
4
5
6
1deg Dado
2deg
Da
do
Cap 4-30
Probabilidade Claacutessica
Em termos praacuteticos temos que determinar
O nuacutemero total de resultados possiacuteveis
O nuacutemero de vezes que podemos ganhar (A)
CUIDADO soacute pode ser aplicado quando todos os resultados do
espaccedilo amostral tem a mesma chance de ocorrer
Exemplos dado moeda sexo dos filhos
Contra-exemplo peso de pessoas (entre 40 e 120)
chance de (40 a 50 kg) lt chance (60 a 70 kg)
Intervalos com mesmo comprimento pela probabilidade
geomeacutetrica devem ter a mesma probabilidade Natildeo faz sentido
para o peso de pessoas
Cap 4-31
Probabilidade Frequentista
A probabilidade frequentista considera o limite de frequecircncias
relativas como o valor da probabilidade
Seja nA o nuacutemero de ocorrecircncia de A em n repeticcedilotildees independentes
do experimento Assim
119875 119860 = lim119899rarrinfin
119899119860119899
Assim definimos a probabilidade como a frequecircncia relativa
observada ao repertirmos o experimento um ndeg muito grande de vezes
Exemplo caixa com 100 moedas e conte o nuacutemero de caras ou ver
applet laquo probability raquo do Moore
Definiccedilatildeo
Cap 4-32
Probabilidade Frequentista
A probabilidade frequentista considera o limite de frequecircncias
relativas como o valor da probabilidade
Na praacutetica
repita o experimento aleatoacuterio um nuacutemero grande de vezes 119899
Conte o nordm de vezes que o evento de interesse 119860 aconteceu 119899119860
Entatildeo a probabilidade de o evento acontecer eacute calculada como
119875 119860 =119899119860119899
Eacute soacute isso
Cap 4-33
Probabilidade Frequentista
Cursando
estatiacutestica
Natildeo-
cursando
estatiacutestica
Total
Masculino 84 145 229
Feminino 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Encontre a probabilidade de selecionar um aluno de
estatiacutestica do sexo masculino a partir de uma populaccedilatildeo descrita
na tabela abaixo Considere que 439 eacute grande o suficiente para
aplicar a probabilidade frequentista
Neste caso o experimento consiste em selecionar uma pessoa
da populaccedilatildeo e em seguida observarmos o sexo e se cursa
estatiacutestica O experimento foi repetido 439 vezes
Cap 4-34
Probabilidade Frequentista
Cursando
estatiacutestica
Natildeo-
cursando
estatiacutestica
Total
Masculino 84 145 229
Feminino 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Encontre a probabilidade de selecionar um aluno de
estatiacutestica do sexo masculino a partir de uma populaccedilatildeo descrita
na tabela abaixo
119875 119867119900119898119890119898 cap 119864119904119905119886119905iacute119904119905119894119888119886 =119899ordm 119889119890 119867119900119898119890119898 cap 119864119904119905119886119905iacute119905119894119888119886
119899ordm 119889119890 119886119897119906119899119900119904=84
439= 0191
Cap 4-35
Axiomas de Probabilidade de
Kolmogorov
Axiomas de Kolmogorov
definiccedilatildeo formal de probabilidade
incluem as definiccedilotildees acima como casos particulares
Qualquer funccedilatildeo P() dos subconjuntos do espaccedilo amostral (eventos)
no intervalo [01] eacute uma probabilidade se satisfaz as condiccedilotildees
1 (Natildeo-negatividade)119875(119860 ge 0) forall evento 119860
2 (Aditividade) 119875 cup119895 119864119895 = 119875(119864119895) 119895 forall 119864119895 eventos disjuntos
3 (Normalizaccedilatildeo) 119875 119878 = 1
Definiccedilatildeo
Cap 4-36
Propriedades de uma
Probabilidade
Como consequecircncia dos Axiomas de Kolmogorov mostre que uma
funccedilatildeo probabilidade satisfaz as seguintes propriedades
1 119875 119864119888 = 1 minus 119875 119864
2 Se 1198641 sube 1198642 entatildeo 119875 1198641 le 119875 1198642
3 119875 120601 = 0
Ainda partindo dos axiomas de Kolmogorov podemos
provar a Regra geral da adiccedilatildeo
Regra Geral da Adiccedilatildeo
Cap 4-37
119875 119860 cup 119861 = 119875 119860 + 119875 119861 minus 119875(119860 cap 119861)
Regra Geral da Adiccedilatildeo
Regra geral da adiccedilatildeo
No caso particular em que os eventos satildeo
mutuamente excludentes continua valendo o axioma
de aditividade pois 119875 119860 cap 119861 = 0 daiacute
119875 119860 cup 119861 = 119875 119860 + 119875(119861)
Cap 4-38
119875 119860 cup 119861 = 119875 119860 + 119875 119861 minus 119875(119860 cap 119861)
Cap 4-39
Exemplo da Regra Geral de
Adiccedilatildeo
Cursando
estatiacutestica
Natildeo cursando
estatiacutestica
Total
Homem 84 145 229
Mulher 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Qual a probabilidade de selecionamos
aleatoriamente um homem ou um aluno(a) da estatiacutestica de
uma populaccedilatildeo descrita pela tabela abaixo
Cap 4-40
Exemplo da Regra Geral de
Adiccedilatildeo
Cursando
estatiacutestica
Natildeo cursando
estatiacutestica
Total
Homem 84 145 229
Mulher 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Qual a probabilidade de selecionamos
aleatoriamente um homem ou um aluno(a) da estatiacutestica de
uma populaccedilatildeo descrita pela tabela abaixo
119875 119867119900119898119890119898 cup 119864119904119905119886119905iacute119905119894119888119886 =
119875 119867119900119898119890119898 + 119875 119864119904119905119886119905iacute119904119905119894119888119886 minus 119875 119867119900119898119890119898 cap 119864119904119905119886119905119894119904119905119894119888119886 =229
439+160
439minus
84
439=305
439
Cap 4-41
Resumo de Probabilidade
Probabilidade eacute uma medida numeacuterica que informa a chance de um resultado ocorrer
A probabilidade de um evento deve estar entre 0 e 1 incluindo os extremos
0 le 119875(119860) le 1 para qquer evento 119860
A soma da probabilidade de uma particcedilatildeo do espaccedilo amostral eacute igual a 1
119875(119860) + 119875(119861) + 119875(119862) = 1
em que A B e C satildeo eventos mutuamente excludentes e coletivamente exaustivos (particcedilatildeo de 119878)
Certo
Impossiacutevel
05
1
0
Exemplo Probabilidade
Cap 4-42
Vocabulaacuterio Geral
Pelo menos 1 dos eventos A B ou ambos =
119860 cup 119861
Nenhum dos eventos nem A nem B = (119860 cup 119861)119888
Apenas 1 (ex Apenas A) possui A e natildeo possui B
= 119860 cap (119861119888)
Cap 4-43
Exerciacutecio Probabilidade
Selecione aleatoriamente um estudante em uma determinada
universidade e represente por A o evento dele possuir um cartatildeo de
creacutedito Visa e por B o evento anaacutelogo para um Mastercard Suponha que
P(Visa) = 05 P(Mastercard) = 04 e P (Ambos os cartotildees) = 025
1 Calcule a probabilidade de que um indiviacuteduo selecionado tenha
pelo menos um dos dois tipos de cartatildeo
2 Qual a probabilidade de o indiviacuteduo selecionado natildeo ter nenhum
dos tipos de cartatildeo
3 Descreva em termos de A e B o evento em que o estudante
selecionado possui um cartatildeo Visa mas natildeo um MasterCard
4 Calcule a probabilidade desse evento
Teacutecnicas de Contagem
Princiacutepio de contagem (divida e conquiste) o processo
eacute quebrado em vaacuterias etapas com o uso do diagrama de
aacutervores
Cap 4-44
n2
opccedilotildees
Folhas
n1
opccedilotildees
n3
opccedilotildees
n4
opccedilotildees
Estaacutegio
1
Estaacutegio
2
Estaacutegio
3
Estaacutegio
4
Nuacutemero total de folhas eacute
n1n2n3hellipni
n2
opccedilotildees
Desde que um mesmo
estaacutegio tenha o mesmo nordm
de opccedilotildees em cada ponto
da aacutervore
Teacutecnicas de Contagem
Princiacutepio de contagem
Considere um processo que contem r estaacutegios Suponha que
Existem n1 resultados possiacuteveis no primeiro estaacutegio
Para cada resultado possiacutevel do estaacutegio 1 existem n2
resultados possiacuteveis no estaacutegio 2
De forma mais geral para cada um dos resultados ni-1
primeiros estaacutegios existem ni resultados possiacuteveis no i-
eacutesimo estaacutegio
Entatildeo o Nuacutemero total de resultados possiacuteveis no processo de r
estaacutegios eacute de n1n2n3hellipnr
Cap 4-45
Teorema
Cap 4-46
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Um nuacutemero telefocircnico eacute composto de 8
diacutegitos mas o primeiro diacutegito apenas assume 3 valores
possiacuteveis 3 8 9 Quantos nuacutemeros distintos existem
Cap 4-47
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Um nuacutemero telefocircnico eacute composto de 8
diacutegitos mas o primeiro diacutegito apenas assume 3 valores
3 8 9 Quantos nuacutemeros distintos existem
Temos um total de 8 estaacutegios
No primeiro estaacutegio apenas 3 opccedilotildees
Nos demais estaacutegios 10 opccedilotildees
Total 3 107
Cap 4-48
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Quantos subconjutos podemos fazer a
partir de um conjunto com n elementos s1 s2 s3 hellip
sn
Cap 4-49
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Quantos subconjutos podemos fazer a
partir de um conjunto com n elementos s1 s2 s3 hellip
sn
Processo de n estaacutegios em cada estaacutegio decidimos se
colocamos ou natildeo o elemento no subconjunto
nuacutemero de opccedilotildees para o primeiro estaacutegio 2
Total 222hellip2 =2n
Cap 4-50
Teacutecnicas de Contagem
Problema Selecionar 119948 objetos de um total de 119951
objetos 119899 ge 119896 sem reposiccedilatildeo
Se a ordem eacute importante Arranjo
ex de palavra as eacute diferente de sa
Se a ordem natildeo eacute importante Combinaccedilatildeo
ex da loteria escolhemos um conjunto de 6 nordm a
ordem em que eles satildeo sorteados natildeo faz diferenccedila
Cap 4-51
Teacutecnicas de Contagem
Ao contraacuterio da permutaccedilatildeo na combinaccedilatildeo a ordem dos
elementos natildeo eacute importante
Exemplo
Permutaccedilatildeo de 2 elementos das letras A B C D
AB AC AD BA BC BD CA CB CD DA DB DC
Combinaccedilatildeo de 2 elementos das letras A B C D
AB AC AD BC BD CD
jaacute que a ordem natildeo eacute importante BA eacute o mesmo que
AB
Cap 4-52
Teacutecnicas de Contagem
Arranjo de k objetos
Queremos selecionar k objetos de um conjunto de n
objetos sem reposiccedilatildeo
Para o 1deg objeto n possibilidades
Para o 2deg objeto n-1 possibilidades
hellip
Para o uacuteltimo (kdeg objeto) n - (k-1) possibilidades
Total de permutaccedilotildees 119951 lowast (119951 minus 120783) lowast ⋯lowast (119951 minus 119948 + 120783)
Ou usando fatorial
Teorema
119899
119899 minus 119896
Cap 4-53
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Qual o total de palavras que podemos
construir com exatamente 4 letras distintas (natildeo precisa
ter significado nem seguir regras ortograacuteficas)
Cap 4-54
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Qual o total de palavras que podemos
construir com exatamente 4 letras distintas (natildeo
precisa ter significado nem seguir regras
ortograacuteficas)
Soluccedilatildeo
Selecionar 4 letras de um total de 26 sem repetir A
ordem eacute importante pois estamos formando
palavras (permutaccedilatildeo)
Total de arranjos de 4 elementos 26252423
Cap 4-55
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Vocecirc tem 10 CDs de muacutesica claacutessica 20
CDs de rock e 15 CDs de forroacute De quantas formas eacute
possiacutevel arranjar os seus CDs tal que os CDs do mesmo
tipo sempre fiquem juntos
Se os CDs forem colocados na prateleira de forma
aleatoacuteria qual eacute a probabilidade de os CDs do mesmo
estilo musical ficarem juntos
Cap 4-56
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Soluccedilatildeo princiacutepio da Contagem + Arranjos
Podemos quebrar o processo em 2 estaacutegios
1) Escolher a ordem dos tipos de Cds 321
2) Escolher a sequecircncia dos Cds para cada tipo
Para Cds de muacutesica claacutessica 10
Para Cds de rock 20
Para Cds de forroacute 15
Total 3102015
Cap 4-57
Teacutecnicas de Contagem
Combinaccedilatildeo de k elementos em n
Queremos contar o nuacutemero de subconjuntos de k elementos a
partir de um conjunto de n elementos sem reposiccedilatildeo
A ordem dos elementos natildeo eacute importante
Dizemos combinaccedilatildeo de n elementos k a k
Ex Formar comitecirc com 3 representantes de turma de um total de
131 alunos
Se todos tem mesmo poder a ordem de escolha natildeo eacute
importante combinaccedilatildeo
Se teremos presidente vice-presidente e secretaacuterio entatildeo a
ordem de escolha eacute importante permutaccedilatildeo
Teorema 119873119888119900119898119887119894119899119886ccedilotilde119890119904 =119899119896=
119899
119899 minus 119896 119896
Cap 4-58
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Qual o nuacutemero de combinaccedilotildees de 2
elementos distintos que podemos construir com as letras
A B C D
Cap 4-59
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Qual o nuacutemero de combinaccedilotildees de 2
elementos das letras A B C D
Soluccedilatildeo
Conferindo
AB AC AD BC BD CD
62)24(
4
2
4
scombinaccedilotildeeN
Cap 4-60
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Um armazeacutem da universidade recebeu 25
impressoras das quais 10 satildeo a laser e 15 a jato de tinta
Se 6 das 25 forem selecionadas aleatoriamente para para
serem verificadas por um teacutecnico qual seraacute a
probabilidade de exatamente 3 delas serem a laser
Cap 4-61
Teacutecnicas de Contagem
Soluccedilatildeo Seja 1198633= 3 das 6 selecionadas satildeo a laser Como a seleccedilatildeo das impressoras
dentre as 25 eacute aleatoacuteria cada uma delas tem a mesma chance de ser sorteada
Probabilidade claacutessica implica 119875 1198633 = 119899(1198633)119899
Como a ordem da seleccedilatildeo das impressoras natildeo importa 119899 =256
Para determinar 1198633 vamos dividir o processo em duas etapas 1) selecionamos 3 das 15
impressoras a tinta e 2) selecionamos 3 das 6 impressoras a laser Para cada elemento da
primeira etapa temos exatamente o mesmo nordm de possibilidades da segunda etapa Pelo
princiacutepio da contagem 119899 1198633 = 1198991 1198633 lowast 1198992 1198633
Como a ordem em que as impressoras satildeo selecionadas em cada etapa natildeo tem
importacircncia 1198991 1198633 =153
e 1198992 1198633 =63
Entatildeo
119875 1198633 =
153
63
256
= 03083
Desafio P(ao menos 3 das 6 selecionadas sejam a laser)
Cap 4-62
Resumo Nesta aula vimos
Como representar um modelo de probabilidade para uma situaccedilatildeo
incerta (experimento aleatoacuterio)
Etapa 1 definiccedilatildeo do espaccedilo amostral
Revisatildeo de conjuntos
Etapa 2 especificaccedilatildeo de uma funccedilatildeo probabilidade que atribui pesos
para a chance relativa de cada resultado do espaccedilo amostral
3 conceitos de probabilidade
Probabilidade claacutessica
Probabilidade Frequentista
Axiomas de Kolmogorov
Revisatildeo de teacutecnicas de contagem para podermos calcular
probabilidades
Na proacutexima aula veremos como incorporar informaccedilotildees novas ao
caacutelculo de probabilidade =gt Probabilidade condicional
Cap 4-16
Visualizaccedilatildeo de conjuntos
Diagramas de Venn
S
A
B
S S
S S S
A A
A B
B
B C
C
A
B
A
B
a) AcapB b)AUB c)A capBc d)Ac e)AB e C satildeo disjuntos f)AB e C satildeo particcedilatildeo de S
Cap 4-17
Eventos e Conjuntos
Exerciacutecio Assuma que S = 0 1 2 3 4 5 6 7 A=0 1 2
34 B=3 4 5 6 e C=1 3 5 Determinar
119860 cup 119861
119860 cap 119861
119860 cup 119862
119860 cap 119862
119862 cup 119861
119862 cap 119861
119860119888
119861119888
119862119888
Cap 4-18
Propriedades de Conjuntos
Operaccedilotildees entre conjuntos tecircm uma seacuterie de propriedades
Exemplos
119860 cup 119861 = 119861 cup 119860 e 119860 cap 119861 = 119861 cap 119860
119860 cap 119861 cup 119862 = (119860 cap 119861) cup (119860 cap 119862)
119860119888 119888 = 119860
119860 cup 119878 = 119878
119860 cap 119860119888 = empty
119860 cap 119878 = 119860
Cap 4-19
Propriedades de Conjuntos
Leis de Morgan
119860 cup 119861 119888 = 119860119888 cap 119861119888 119860 cap 119861 119888 = 119860119888 cup 119861119888
Cap 4-20
Visualizando Eventos
Existem diversas formas de representar a ocorrecircncia de eventos
Rep
rese
nta
ccedilotildees
de
Even
tos Diagrama de Venn
Tabela de contingecircncia ou tabela cruzada
Diagrama de aacutervore
Matriz
Cap 4-21
Visualizando Eventos
Tabelas de contigecircncia
Diagrama de aacutervore
Aacutes Natildeo
Aacutes
Total
Preta 2 24 26
Vermelha 2 24 26
Total 4 48 52
Baralho de
52 Cartas Espaccedilo
Amostral
2
24
2
24
A definiccedilatildeo da ordem dos ramos depende do problema
Cap 4-22
Visualizando Eventos
Lanccedilamento de 2 dados de quatro lados
Espaccedilo Amostral para o
lanccedilamento de 2 dados
2deg dado
1deg dado
Diagrama de Aacutervore para
o lanccedilamento de 2 dados
Raiz
Folhas
Representaccedilatildeo por Matriz Representaccedilatildeo por Aacutervore
1deg dado
2deg dado
Modelo Probabiliacutestico
Cap 4-23
Experimento
Evento B
Evento A
Espaccedilo Amostral
Eventos
Os principais ingredientes de um modelo probabiliacutestico
Probabilidade
Etapa 1 Etapa 2
Cap 4-24
Probabilidade
Probabilidade atribuir chance (peso relativo) a
eventos possiacuteveis de um experimento aleatoacuterio
Diferentes conceitos
Definiccedilatildeo claacutessica de probabilidade
Definiccedilatildeo frequentista ou Definiccedilatildeo estatiacutestica de
probabilidade ou Definiccedilatildeo Claacutessica empiacuterica
Axiomas de Kolmogorov
Cap 4-25
Probabilidade Claacutessica
A definiccedilatildeo claacutessica de probabilidade se refere a subconjuntos
unitaacuterios e equiprovaacuteveis isto eacute conjuntos de resultados que tecircm a
mesma chance
CASO 1 No caso enumeraacutevel e finito em que a chance de sorteio de
cada resultado do espaccedilo amostral eacute a mesma a probabilidade de um
evento A eacute dada por
119875 119860 =119899ordm 119889119890 119907119890119911119890119904 119902119906119890 119860 119901119900119889119890 119900119888119900119903119903119890119903 119890119898 119878
119899ordm 119905119900119905119886119897 119889119890 119903119890119904119906119897119905119886119889119900119904 119901119900119904119904iacute119907119890119894119904 119890119898 119878
Definiccedilatildeo
Use Teacutecnicas de anaacutelise combinatoacuteria
e contagem para determinar o ndeg
total e o ndeg de vezes que A pode sair
Cap 4-26
Probabilidade Claacutessica
CASO 2 (probabilidade geomeacutetrica) Se 119878 eacute natildeo-
enumeraacutevel e equiprovaacutevel (mesma chance para cada
resultado) o conceito se aplica ao comprimento de
intervalos medidas de aacutereas hellip
Exemplo 119878 = [010] tal que cada valor pode sair
com a mesma chance dos demais Seja 119860 o
subconjunto [12] cup [68] Entatildeo
119875 119860 =119862119900119898119901119903119894119898119890119899119905119900 119889119890 119860
119862119900119898119901119903119894119898119890119899119905119900 119905119900119905119886119897 119889119890 119878=1+2
10= 03
Definiccedilatildeo
Probabilidade Claacutessica
Exerciacutecio Considere o experimento que consiste no
lanccedilamento de 2 dados balanceados e registram-se as faces
superiores
Calcular a probabilidade de
a) obter soma das faces superiores = 7
b) obter soma das faces superiores maior do que 10
c) que resultado do primeiro dado seja superior ao
resultado do segundo
Cap 4-27
Probabilidade Claacutessica
Exerciacutecio Considere o lanccedilamento de 2 dados balanceados
Total de resultados 36
Calcular a probabilidade de
a) Obter soma 7
2 resultados possiacuteveis (34) (43) (25) (52) (16) (61)
P(Soma=7)=636
b) Obter soma maior do que 10
3 resultados possiacuteveis (65) (56) e (66)
P(Somagt10) = 336
Cap 4-28
Probabilidade Claacutessica
Exerciacutecio Considere o lanccedilamento de 2 dados balanceados
Total de resultados 36
Calcular a probabilidade de
c) Que resultado do primeiro dado seja superior ao
resultado do segundo
Resultados possiacuteveis 15
P(1degdadogt2degdado)=15 36
Cap 4-29
1 2 3 4 5 6 1
2
3
4
5
6
1deg Dado
2deg
Da
do
Cap 4-30
Probabilidade Claacutessica
Em termos praacuteticos temos que determinar
O nuacutemero total de resultados possiacuteveis
O nuacutemero de vezes que podemos ganhar (A)
CUIDADO soacute pode ser aplicado quando todos os resultados do
espaccedilo amostral tem a mesma chance de ocorrer
Exemplos dado moeda sexo dos filhos
Contra-exemplo peso de pessoas (entre 40 e 120)
chance de (40 a 50 kg) lt chance (60 a 70 kg)
Intervalos com mesmo comprimento pela probabilidade
geomeacutetrica devem ter a mesma probabilidade Natildeo faz sentido
para o peso de pessoas
Cap 4-31
Probabilidade Frequentista
A probabilidade frequentista considera o limite de frequecircncias
relativas como o valor da probabilidade
Seja nA o nuacutemero de ocorrecircncia de A em n repeticcedilotildees independentes
do experimento Assim
119875 119860 = lim119899rarrinfin
119899119860119899
Assim definimos a probabilidade como a frequecircncia relativa
observada ao repertirmos o experimento um ndeg muito grande de vezes
Exemplo caixa com 100 moedas e conte o nuacutemero de caras ou ver
applet laquo probability raquo do Moore
Definiccedilatildeo
Cap 4-32
Probabilidade Frequentista
A probabilidade frequentista considera o limite de frequecircncias
relativas como o valor da probabilidade
Na praacutetica
repita o experimento aleatoacuterio um nuacutemero grande de vezes 119899
Conte o nordm de vezes que o evento de interesse 119860 aconteceu 119899119860
Entatildeo a probabilidade de o evento acontecer eacute calculada como
119875 119860 =119899119860119899
Eacute soacute isso
Cap 4-33
Probabilidade Frequentista
Cursando
estatiacutestica
Natildeo-
cursando
estatiacutestica
Total
Masculino 84 145 229
Feminino 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Encontre a probabilidade de selecionar um aluno de
estatiacutestica do sexo masculino a partir de uma populaccedilatildeo descrita
na tabela abaixo Considere que 439 eacute grande o suficiente para
aplicar a probabilidade frequentista
Neste caso o experimento consiste em selecionar uma pessoa
da populaccedilatildeo e em seguida observarmos o sexo e se cursa
estatiacutestica O experimento foi repetido 439 vezes
Cap 4-34
Probabilidade Frequentista
Cursando
estatiacutestica
Natildeo-
cursando
estatiacutestica
Total
Masculino 84 145 229
Feminino 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Encontre a probabilidade de selecionar um aluno de
estatiacutestica do sexo masculino a partir de uma populaccedilatildeo descrita
na tabela abaixo
119875 119867119900119898119890119898 cap 119864119904119905119886119905iacute119904119905119894119888119886 =119899ordm 119889119890 119867119900119898119890119898 cap 119864119904119905119886119905iacute119905119894119888119886
119899ordm 119889119890 119886119897119906119899119900119904=84
439= 0191
Cap 4-35
Axiomas de Probabilidade de
Kolmogorov
Axiomas de Kolmogorov
definiccedilatildeo formal de probabilidade
incluem as definiccedilotildees acima como casos particulares
Qualquer funccedilatildeo P() dos subconjuntos do espaccedilo amostral (eventos)
no intervalo [01] eacute uma probabilidade se satisfaz as condiccedilotildees
1 (Natildeo-negatividade)119875(119860 ge 0) forall evento 119860
2 (Aditividade) 119875 cup119895 119864119895 = 119875(119864119895) 119895 forall 119864119895 eventos disjuntos
3 (Normalizaccedilatildeo) 119875 119878 = 1
Definiccedilatildeo
Cap 4-36
Propriedades de uma
Probabilidade
Como consequecircncia dos Axiomas de Kolmogorov mostre que uma
funccedilatildeo probabilidade satisfaz as seguintes propriedades
1 119875 119864119888 = 1 minus 119875 119864
2 Se 1198641 sube 1198642 entatildeo 119875 1198641 le 119875 1198642
3 119875 120601 = 0
Ainda partindo dos axiomas de Kolmogorov podemos
provar a Regra geral da adiccedilatildeo
Regra Geral da Adiccedilatildeo
Cap 4-37
119875 119860 cup 119861 = 119875 119860 + 119875 119861 minus 119875(119860 cap 119861)
Regra Geral da Adiccedilatildeo
Regra geral da adiccedilatildeo
No caso particular em que os eventos satildeo
mutuamente excludentes continua valendo o axioma
de aditividade pois 119875 119860 cap 119861 = 0 daiacute
119875 119860 cup 119861 = 119875 119860 + 119875(119861)
Cap 4-38
119875 119860 cup 119861 = 119875 119860 + 119875 119861 minus 119875(119860 cap 119861)
Cap 4-39
Exemplo da Regra Geral de
Adiccedilatildeo
Cursando
estatiacutestica
Natildeo cursando
estatiacutestica
Total
Homem 84 145 229
Mulher 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Qual a probabilidade de selecionamos
aleatoriamente um homem ou um aluno(a) da estatiacutestica de
uma populaccedilatildeo descrita pela tabela abaixo
Cap 4-40
Exemplo da Regra Geral de
Adiccedilatildeo
Cursando
estatiacutestica
Natildeo cursando
estatiacutestica
Total
Homem 84 145 229
Mulher 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Qual a probabilidade de selecionamos
aleatoriamente um homem ou um aluno(a) da estatiacutestica de
uma populaccedilatildeo descrita pela tabela abaixo
119875 119867119900119898119890119898 cup 119864119904119905119886119905iacute119905119894119888119886 =
119875 119867119900119898119890119898 + 119875 119864119904119905119886119905iacute119904119905119894119888119886 minus 119875 119867119900119898119890119898 cap 119864119904119905119886119905119894119904119905119894119888119886 =229
439+160
439minus
84
439=305
439
Cap 4-41
Resumo de Probabilidade
Probabilidade eacute uma medida numeacuterica que informa a chance de um resultado ocorrer
A probabilidade de um evento deve estar entre 0 e 1 incluindo os extremos
0 le 119875(119860) le 1 para qquer evento 119860
A soma da probabilidade de uma particcedilatildeo do espaccedilo amostral eacute igual a 1
119875(119860) + 119875(119861) + 119875(119862) = 1
em que A B e C satildeo eventos mutuamente excludentes e coletivamente exaustivos (particcedilatildeo de 119878)
Certo
Impossiacutevel
05
1
0
Exemplo Probabilidade
Cap 4-42
Vocabulaacuterio Geral
Pelo menos 1 dos eventos A B ou ambos =
119860 cup 119861
Nenhum dos eventos nem A nem B = (119860 cup 119861)119888
Apenas 1 (ex Apenas A) possui A e natildeo possui B
= 119860 cap (119861119888)
Cap 4-43
Exerciacutecio Probabilidade
Selecione aleatoriamente um estudante em uma determinada
universidade e represente por A o evento dele possuir um cartatildeo de
creacutedito Visa e por B o evento anaacutelogo para um Mastercard Suponha que
P(Visa) = 05 P(Mastercard) = 04 e P (Ambos os cartotildees) = 025
1 Calcule a probabilidade de que um indiviacuteduo selecionado tenha
pelo menos um dos dois tipos de cartatildeo
2 Qual a probabilidade de o indiviacuteduo selecionado natildeo ter nenhum
dos tipos de cartatildeo
3 Descreva em termos de A e B o evento em que o estudante
selecionado possui um cartatildeo Visa mas natildeo um MasterCard
4 Calcule a probabilidade desse evento
Teacutecnicas de Contagem
Princiacutepio de contagem (divida e conquiste) o processo
eacute quebrado em vaacuterias etapas com o uso do diagrama de
aacutervores
Cap 4-44
n2
opccedilotildees
Folhas
n1
opccedilotildees
n3
opccedilotildees
n4
opccedilotildees
Estaacutegio
1
Estaacutegio
2
Estaacutegio
3
Estaacutegio
4
Nuacutemero total de folhas eacute
n1n2n3hellipni
n2
opccedilotildees
Desde que um mesmo
estaacutegio tenha o mesmo nordm
de opccedilotildees em cada ponto
da aacutervore
Teacutecnicas de Contagem
Princiacutepio de contagem
Considere um processo que contem r estaacutegios Suponha que
Existem n1 resultados possiacuteveis no primeiro estaacutegio
Para cada resultado possiacutevel do estaacutegio 1 existem n2
resultados possiacuteveis no estaacutegio 2
De forma mais geral para cada um dos resultados ni-1
primeiros estaacutegios existem ni resultados possiacuteveis no i-
eacutesimo estaacutegio
Entatildeo o Nuacutemero total de resultados possiacuteveis no processo de r
estaacutegios eacute de n1n2n3hellipnr
Cap 4-45
Teorema
Cap 4-46
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Um nuacutemero telefocircnico eacute composto de 8
diacutegitos mas o primeiro diacutegito apenas assume 3 valores
possiacuteveis 3 8 9 Quantos nuacutemeros distintos existem
Cap 4-47
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Um nuacutemero telefocircnico eacute composto de 8
diacutegitos mas o primeiro diacutegito apenas assume 3 valores
3 8 9 Quantos nuacutemeros distintos existem
Temos um total de 8 estaacutegios
No primeiro estaacutegio apenas 3 opccedilotildees
Nos demais estaacutegios 10 opccedilotildees
Total 3 107
Cap 4-48
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Quantos subconjutos podemos fazer a
partir de um conjunto com n elementos s1 s2 s3 hellip
sn
Cap 4-49
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Quantos subconjutos podemos fazer a
partir de um conjunto com n elementos s1 s2 s3 hellip
sn
Processo de n estaacutegios em cada estaacutegio decidimos se
colocamos ou natildeo o elemento no subconjunto
nuacutemero de opccedilotildees para o primeiro estaacutegio 2
Total 222hellip2 =2n
Cap 4-50
Teacutecnicas de Contagem
Problema Selecionar 119948 objetos de um total de 119951
objetos 119899 ge 119896 sem reposiccedilatildeo
Se a ordem eacute importante Arranjo
ex de palavra as eacute diferente de sa
Se a ordem natildeo eacute importante Combinaccedilatildeo
ex da loteria escolhemos um conjunto de 6 nordm a
ordem em que eles satildeo sorteados natildeo faz diferenccedila
Cap 4-51
Teacutecnicas de Contagem
Ao contraacuterio da permutaccedilatildeo na combinaccedilatildeo a ordem dos
elementos natildeo eacute importante
Exemplo
Permutaccedilatildeo de 2 elementos das letras A B C D
AB AC AD BA BC BD CA CB CD DA DB DC
Combinaccedilatildeo de 2 elementos das letras A B C D
AB AC AD BC BD CD
jaacute que a ordem natildeo eacute importante BA eacute o mesmo que
AB
Cap 4-52
Teacutecnicas de Contagem
Arranjo de k objetos
Queremos selecionar k objetos de um conjunto de n
objetos sem reposiccedilatildeo
Para o 1deg objeto n possibilidades
Para o 2deg objeto n-1 possibilidades
hellip
Para o uacuteltimo (kdeg objeto) n - (k-1) possibilidades
Total de permutaccedilotildees 119951 lowast (119951 minus 120783) lowast ⋯lowast (119951 minus 119948 + 120783)
Ou usando fatorial
Teorema
119899
119899 minus 119896
Cap 4-53
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Qual o total de palavras que podemos
construir com exatamente 4 letras distintas (natildeo precisa
ter significado nem seguir regras ortograacuteficas)
Cap 4-54
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Qual o total de palavras que podemos
construir com exatamente 4 letras distintas (natildeo
precisa ter significado nem seguir regras
ortograacuteficas)
Soluccedilatildeo
Selecionar 4 letras de um total de 26 sem repetir A
ordem eacute importante pois estamos formando
palavras (permutaccedilatildeo)
Total de arranjos de 4 elementos 26252423
Cap 4-55
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Vocecirc tem 10 CDs de muacutesica claacutessica 20
CDs de rock e 15 CDs de forroacute De quantas formas eacute
possiacutevel arranjar os seus CDs tal que os CDs do mesmo
tipo sempre fiquem juntos
Se os CDs forem colocados na prateleira de forma
aleatoacuteria qual eacute a probabilidade de os CDs do mesmo
estilo musical ficarem juntos
Cap 4-56
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Soluccedilatildeo princiacutepio da Contagem + Arranjos
Podemos quebrar o processo em 2 estaacutegios
1) Escolher a ordem dos tipos de Cds 321
2) Escolher a sequecircncia dos Cds para cada tipo
Para Cds de muacutesica claacutessica 10
Para Cds de rock 20
Para Cds de forroacute 15
Total 3102015
Cap 4-57
Teacutecnicas de Contagem
Combinaccedilatildeo de k elementos em n
Queremos contar o nuacutemero de subconjuntos de k elementos a
partir de um conjunto de n elementos sem reposiccedilatildeo
A ordem dos elementos natildeo eacute importante
Dizemos combinaccedilatildeo de n elementos k a k
Ex Formar comitecirc com 3 representantes de turma de um total de
131 alunos
Se todos tem mesmo poder a ordem de escolha natildeo eacute
importante combinaccedilatildeo
Se teremos presidente vice-presidente e secretaacuterio entatildeo a
ordem de escolha eacute importante permutaccedilatildeo
Teorema 119873119888119900119898119887119894119899119886ccedilotilde119890119904 =119899119896=
119899
119899 minus 119896 119896
Cap 4-58
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Qual o nuacutemero de combinaccedilotildees de 2
elementos distintos que podemos construir com as letras
A B C D
Cap 4-59
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Qual o nuacutemero de combinaccedilotildees de 2
elementos das letras A B C D
Soluccedilatildeo
Conferindo
AB AC AD BC BD CD
62)24(
4
2
4
scombinaccedilotildeeN
Cap 4-60
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Um armazeacutem da universidade recebeu 25
impressoras das quais 10 satildeo a laser e 15 a jato de tinta
Se 6 das 25 forem selecionadas aleatoriamente para para
serem verificadas por um teacutecnico qual seraacute a
probabilidade de exatamente 3 delas serem a laser
Cap 4-61
Teacutecnicas de Contagem
Soluccedilatildeo Seja 1198633= 3 das 6 selecionadas satildeo a laser Como a seleccedilatildeo das impressoras
dentre as 25 eacute aleatoacuteria cada uma delas tem a mesma chance de ser sorteada
Probabilidade claacutessica implica 119875 1198633 = 119899(1198633)119899
Como a ordem da seleccedilatildeo das impressoras natildeo importa 119899 =256
Para determinar 1198633 vamos dividir o processo em duas etapas 1) selecionamos 3 das 15
impressoras a tinta e 2) selecionamos 3 das 6 impressoras a laser Para cada elemento da
primeira etapa temos exatamente o mesmo nordm de possibilidades da segunda etapa Pelo
princiacutepio da contagem 119899 1198633 = 1198991 1198633 lowast 1198992 1198633
Como a ordem em que as impressoras satildeo selecionadas em cada etapa natildeo tem
importacircncia 1198991 1198633 =153
e 1198992 1198633 =63
Entatildeo
119875 1198633 =
153
63
256
= 03083
Desafio P(ao menos 3 das 6 selecionadas sejam a laser)
Cap 4-62
Resumo Nesta aula vimos
Como representar um modelo de probabilidade para uma situaccedilatildeo
incerta (experimento aleatoacuterio)
Etapa 1 definiccedilatildeo do espaccedilo amostral
Revisatildeo de conjuntos
Etapa 2 especificaccedilatildeo de uma funccedilatildeo probabilidade que atribui pesos
para a chance relativa de cada resultado do espaccedilo amostral
3 conceitos de probabilidade
Probabilidade claacutessica
Probabilidade Frequentista
Axiomas de Kolmogorov
Revisatildeo de teacutecnicas de contagem para podermos calcular
probabilidades
Na proacutexima aula veremos como incorporar informaccedilotildees novas ao
caacutelculo de probabilidade =gt Probabilidade condicional
Cap 4-17
Eventos e Conjuntos
Exerciacutecio Assuma que S = 0 1 2 3 4 5 6 7 A=0 1 2
34 B=3 4 5 6 e C=1 3 5 Determinar
119860 cup 119861
119860 cap 119861
119860 cup 119862
119860 cap 119862
119862 cup 119861
119862 cap 119861
119860119888
119861119888
119862119888
Cap 4-18
Propriedades de Conjuntos
Operaccedilotildees entre conjuntos tecircm uma seacuterie de propriedades
Exemplos
119860 cup 119861 = 119861 cup 119860 e 119860 cap 119861 = 119861 cap 119860
119860 cap 119861 cup 119862 = (119860 cap 119861) cup (119860 cap 119862)
119860119888 119888 = 119860
119860 cup 119878 = 119878
119860 cap 119860119888 = empty
119860 cap 119878 = 119860
Cap 4-19
Propriedades de Conjuntos
Leis de Morgan
119860 cup 119861 119888 = 119860119888 cap 119861119888 119860 cap 119861 119888 = 119860119888 cup 119861119888
Cap 4-20
Visualizando Eventos
Existem diversas formas de representar a ocorrecircncia de eventos
Rep
rese
nta
ccedilotildees
de
Even
tos Diagrama de Venn
Tabela de contingecircncia ou tabela cruzada
Diagrama de aacutervore
Matriz
Cap 4-21
Visualizando Eventos
Tabelas de contigecircncia
Diagrama de aacutervore
Aacutes Natildeo
Aacutes
Total
Preta 2 24 26
Vermelha 2 24 26
Total 4 48 52
Baralho de
52 Cartas Espaccedilo
Amostral
2
24
2
24
A definiccedilatildeo da ordem dos ramos depende do problema
Cap 4-22
Visualizando Eventos
Lanccedilamento de 2 dados de quatro lados
Espaccedilo Amostral para o
lanccedilamento de 2 dados
2deg dado
1deg dado
Diagrama de Aacutervore para
o lanccedilamento de 2 dados
Raiz
Folhas
Representaccedilatildeo por Matriz Representaccedilatildeo por Aacutervore
1deg dado
2deg dado
Modelo Probabiliacutestico
Cap 4-23
Experimento
Evento B
Evento A
Espaccedilo Amostral
Eventos
Os principais ingredientes de um modelo probabiliacutestico
Probabilidade
Etapa 1 Etapa 2
Cap 4-24
Probabilidade
Probabilidade atribuir chance (peso relativo) a
eventos possiacuteveis de um experimento aleatoacuterio
Diferentes conceitos
Definiccedilatildeo claacutessica de probabilidade
Definiccedilatildeo frequentista ou Definiccedilatildeo estatiacutestica de
probabilidade ou Definiccedilatildeo Claacutessica empiacuterica
Axiomas de Kolmogorov
Cap 4-25
Probabilidade Claacutessica
A definiccedilatildeo claacutessica de probabilidade se refere a subconjuntos
unitaacuterios e equiprovaacuteveis isto eacute conjuntos de resultados que tecircm a
mesma chance
CASO 1 No caso enumeraacutevel e finito em que a chance de sorteio de
cada resultado do espaccedilo amostral eacute a mesma a probabilidade de um
evento A eacute dada por
119875 119860 =119899ordm 119889119890 119907119890119911119890119904 119902119906119890 119860 119901119900119889119890 119900119888119900119903119903119890119903 119890119898 119878
119899ordm 119905119900119905119886119897 119889119890 119903119890119904119906119897119905119886119889119900119904 119901119900119904119904iacute119907119890119894119904 119890119898 119878
Definiccedilatildeo
Use Teacutecnicas de anaacutelise combinatoacuteria
e contagem para determinar o ndeg
total e o ndeg de vezes que A pode sair
Cap 4-26
Probabilidade Claacutessica
CASO 2 (probabilidade geomeacutetrica) Se 119878 eacute natildeo-
enumeraacutevel e equiprovaacutevel (mesma chance para cada
resultado) o conceito se aplica ao comprimento de
intervalos medidas de aacutereas hellip
Exemplo 119878 = [010] tal que cada valor pode sair
com a mesma chance dos demais Seja 119860 o
subconjunto [12] cup [68] Entatildeo
119875 119860 =119862119900119898119901119903119894119898119890119899119905119900 119889119890 119860
119862119900119898119901119903119894119898119890119899119905119900 119905119900119905119886119897 119889119890 119878=1+2
10= 03
Definiccedilatildeo
Probabilidade Claacutessica
Exerciacutecio Considere o experimento que consiste no
lanccedilamento de 2 dados balanceados e registram-se as faces
superiores
Calcular a probabilidade de
a) obter soma das faces superiores = 7
b) obter soma das faces superiores maior do que 10
c) que resultado do primeiro dado seja superior ao
resultado do segundo
Cap 4-27
Probabilidade Claacutessica
Exerciacutecio Considere o lanccedilamento de 2 dados balanceados
Total de resultados 36
Calcular a probabilidade de
a) Obter soma 7
2 resultados possiacuteveis (34) (43) (25) (52) (16) (61)
P(Soma=7)=636
b) Obter soma maior do que 10
3 resultados possiacuteveis (65) (56) e (66)
P(Somagt10) = 336
Cap 4-28
Probabilidade Claacutessica
Exerciacutecio Considere o lanccedilamento de 2 dados balanceados
Total de resultados 36
Calcular a probabilidade de
c) Que resultado do primeiro dado seja superior ao
resultado do segundo
Resultados possiacuteveis 15
P(1degdadogt2degdado)=15 36
Cap 4-29
1 2 3 4 5 6 1
2
3
4
5
6
1deg Dado
2deg
Da
do
Cap 4-30
Probabilidade Claacutessica
Em termos praacuteticos temos que determinar
O nuacutemero total de resultados possiacuteveis
O nuacutemero de vezes que podemos ganhar (A)
CUIDADO soacute pode ser aplicado quando todos os resultados do
espaccedilo amostral tem a mesma chance de ocorrer
Exemplos dado moeda sexo dos filhos
Contra-exemplo peso de pessoas (entre 40 e 120)
chance de (40 a 50 kg) lt chance (60 a 70 kg)
Intervalos com mesmo comprimento pela probabilidade
geomeacutetrica devem ter a mesma probabilidade Natildeo faz sentido
para o peso de pessoas
Cap 4-31
Probabilidade Frequentista
A probabilidade frequentista considera o limite de frequecircncias
relativas como o valor da probabilidade
Seja nA o nuacutemero de ocorrecircncia de A em n repeticcedilotildees independentes
do experimento Assim
119875 119860 = lim119899rarrinfin
119899119860119899
Assim definimos a probabilidade como a frequecircncia relativa
observada ao repertirmos o experimento um ndeg muito grande de vezes
Exemplo caixa com 100 moedas e conte o nuacutemero de caras ou ver
applet laquo probability raquo do Moore
Definiccedilatildeo
Cap 4-32
Probabilidade Frequentista
A probabilidade frequentista considera o limite de frequecircncias
relativas como o valor da probabilidade
Na praacutetica
repita o experimento aleatoacuterio um nuacutemero grande de vezes 119899
Conte o nordm de vezes que o evento de interesse 119860 aconteceu 119899119860
Entatildeo a probabilidade de o evento acontecer eacute calculada como
119875 119860 =119899119860119899
Eacute soacute isso
Cap 4-33
Probabilidade Frequentista
Cursando
estatiacutestica
Natildeo-
cursando
estatiacutestica
Total
Masculino 84 145 229
Feminino 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Encontre a probabilidade de selecionar um aluno de
estatiacutestica do sexo masculino a partir de uma populaccedilatildeo descrita
na tabela abaixo Considere que 439 eacute grande o suficiente para
aplicar a probabilidade frequentista
Neste caso o experimento consiste em selecionar uma pessoa
da populaccedilatildeo e em seguida observarmos o sexo e se cursa
estatiacutestica O experimento foi repetido 439 vezes
Cap 4-34
Probabilidade Frequentista
Cursando
estatiacutestica
Natildeo-
cursando
estatiacutestica
Total
Masculino 84 145 229
Feminino 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Encontre a probabilidade de selecionar um aluno de
estatiacutestica do sexo masculino a partir de uma populaccedilatildeo descrita
na tabela abaixo
119875 119867119900119898119890119898 cap 119864119904119905119886119905iacute119904119905119894119888119886 =119899ordm 119889119890 119867119900119898119890119898 cap 119864119904119905119886119905iacute119905119894119888119886
119899ordm 119889119890 119886119897119906119899119900119904=84
439= 0191
Cap 4-35
Axiomas de Probabilidade de
Kolmogorov
Axiomas de Kolmogorov
definiccedilatildeo formal de probabilidade
incluem as definiccedilotildees acima como casos particulares
Qualquer funccedilatildeo P() dos subconjuntos do espaccedilo amostral (eventos)
no intervalo [01] eacute uma probabilidade se satisfaz as condiccedilotildees
1 (Natildeo-negatividade)119875(119860 ge 0) forall evento 119860
2 (Aditividade) 119875 cup119895 119864119895 = 119875(119864119895) 119895 forall 119864119895 eventos disjuntos
3 (Normalizaccedilatildeo) 119875 119878 = 1
Definiccedilatildeo
Cap 4-36
Propriedades de uma
Probabilidade
Como consequecircncia dos Axiomas de Kolmogorov mostre que uma
funccedilatildeo probabilidade satisfaz as seguintes propriedades
1 119875 119864119888 = 1 minus 119875 119864
2 Se 1198641 sube 1198642 entatildeo 119875 1198641 le 119875 1198642
3 119875 120601 = 0
Ainda partindo dos axiomas de Kolmogorov podemos
provar a Regra geral da adiccedilatildeo
Regra Geral da Adiccedilatildeo
Cap 4-37
119875 119860 cup 119861 = 119875 119860 + 119875 119861 minus 119875(119860 cap 119861)
Regra Geral da Adiccedilatildeo
Regra geral da adiccedilatildeo
No caso particular em que os eventos satildeo
mutuamente excludentes continua valendo o axioma
de aditividade pois 119875 119860 cap 119861 = 0 daiacute
119875 119860 cup 119861 = 119875 119860 + 119875(119861)
Cap 4-38
119875 119860 cup 119861 = 119875 119860 + 119875 119861 minus 119875(119860 cap 119861)
Cap 4-39
Exemplo da Regra Geral de
Adiccedilatildeo
Cursando
estatiacutestica
Natildeo cursando
estatiacutestica
Total
Homem 84 145 229
Mulher 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Qual a probabilidade de selecionamos
aleatoriamente um homem ou um aluno(a) da estatiacutestica de
uma populaccedilatildeo descrita pela tabela abaixo
Cap 4-40
Exemplo da Regra Geral de
Adiccedilatildeo
Cursando
estatiacutestica
Natildeo cursando
estatiacutestica
Total
Homem 84 145 229
Mulher 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Qual a probabilidade de selecionamos
aleatoriamente um homem ou um aluno(a) da estatiacutestica de
uma populaccedilatildeo descrita pela tabela abaixo
119875 119867119900119898119890119898 cup 119864119904119905119886119905iacute119905119894119888119886 =
119875 119867119900119898119890119898 + 119875 119864119904119905119886119905iacute119904119905119894119888119886 minus 119875 119867119900119898119890119898 cap 119864119904119905119886119905119894119904119905119894119888119886 =229
439+160
439minus
84
439=305
439
Cap 4-41
Resumo de Probabilidade
Probabilidade eacute uma medida numeacuterica que informa a chance de um resultado ocorrer
A probabilidade de um evento deve estar entre 0 e 1 incluindo os extremos
0 le 119875(119860) le 1 para qquer evento 119860
A soma da probabilidade de uma particcedilatildeo do espaccedilo amostral eacute igual a 1
119875(119860) + 119875(119861) + 119875(119862) = 1
em que A B e C satildeo eventos mutuamente excludentes e coletivamente exaustivos (particcedilatildeo de 119878)
Certo
Impossiacutevel
05
1
0
Exemplo Probabilidade
Cap 4-42
Vocabulaacuterio Geral
Pelo menos 1 dos eventos A B ou ambos =
119860 cup 119861
Nenhum dos eventos nem A nem B = (119860 cup 119861)119888
Apenas 1 (ex Apenas A) possui A e natildeo possui B
= 119860 cap (119861119888)
Cap 4-43
Exerciacutecio Probabilidade
Selecione aleatoriamente um estudante em uma determinada
universidade e represente por A o evento dele possuir um cartatildeo de
creacutedito Visa e por B o evento anaacutelogo para um Mastercard Suponha que
P(Visa) = 05 P(Mastercard) = 04 e P (Ambos os cartotildees) = 025
1 Calcule a probabilidade de que um indiviacuteduo selecionado tenha
pelo menos um dos dois tipos de cartatildeo
2 Qual a probabilidade de o indiviacuteduo selecionado natildeo ter nenhum
dos tipos de cartatildeo
3 Descreva em termos de A e B o evento em que o estudante
selecionado possui um cartatildeo Visa mas natildeo um MasterCard
4 Calcule a probabilidade desse evento
Teacutecnicas de Contagem
Princiacutepio de contagem (divida e conquiste) o processo
eacute quebrado em vaacuterias etapas com o uso do diagrama de
aacutervores
Cap 4-44
n2
opccedilotildees
Folhas
n1
opccedilotildees
n3
opccedilotildees
n4
opccedilotildees
Estaacutegio
1
Estaacutegio
2
Estaacutegio
3
Estaacutegio
4
Nuacutemero total de folhas eacute
n1n2n3hellipni
n2
opccedilotildees
Desde que um mesmo
estaacutegio tenha o mesmo nordm
de opccedilotildees em cada ponto
da aacutervore
Teacutecnicas de Contagem
Princiacutepio de contagem
Considere um processo que contem r estaacutegios Suponha que
Existem n1 resultados possiacuteveis no primeiro estaacutegio
Para cada resultado possiacutevel do estaacutegio 1 existem n2
resultados possiacuteveis no estaacutegio 2
De forma mais geral para cada um dos resultados ni-1
primeiros estaacutegios existem ni resultados possiacuteveis no i-
eacutesimo estaacutegio
Entatildeo o Nuacutemero total de resultados possiacuteveis no processo de r
estaacutegios eacute de n1n2n3hellipnr
Cap 4-45
Teorema
Cap 4-46
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Um nuacutemero telefocircnico eacute composto de 8
diacutegitos mas o primeiro diacutegito apenas assume 3 valores
possiacuteveis 3 8 9 Quantos nuacutemeros distintos existem
Cap 4-47
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Um nuacutemero telefocircnico eacute composto de 8
diacutegitos mas o primeiro diacutegito apenas assume 3 valores
3 8 9 Quantos nuacutemeros distintos existem
Temos um total de 8 estaacutegios
No primeiro estaacutegio apenas 3 opccedilotildees
Nos demais estaacutegios 10 opccedilotildees
Total 3 107
Cap 4-48
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Quantos subconjutos podemos fazer a
partir de um conjunto com n elementos s1 s2 s3 hellip
sn
Cap 4-49
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Quantos subconjutos podemos fazer a
partir de um conjunto com n elementos s1 s2 s3 hellip
sn
Processo de n estaacutegios em cada estaacutegio decidimos se
colocamos ou natildeo o elemento no subconjunto
nuacutemero de opccedilotildees para o primeiro estaacutegio 2
Total 222hellip2 =2n
Cap 4-50
Teacutecnicas de Contagem
Problema Selecionar 119948 objetos de um total de 119951
objetos 119899 ge 119896 sem reposiccedilatildeo
Se a ordem eacute importante Arranjo
ex de palavra as eacute diferente de sa
Se a ordem natildeo eacute importante Combinaccedilatildeo
ex da loteria escolhemos um conjunto de 6 nordm a
ordem em que eles satildeo sorteados natildeo faz diferenccedila
Cap 4-51
Teacutecnicas de Contagem
Ao contraacuterio da permutaccedilatildeo na combinaccedilatildeo a ordem dos
elementos natildeo eacute importante
Exemplo
Permutaccedilatildeo de 2 elementos das letras A B C D
AB AC AD BA BC BD CA CB CD DA DB DC
Combinaccedilatildeo de 2 elementos das letras A B C D
AB AC AD BC BD CD
jaacute que a ordem natildeo eacute importante BA eacute o mesmo que
AB
Cap 4-52
Teacutecnicas de Contagem
Arranjo de k objetos
Queremos selecionar k objetos de um conjunto de n
objetos sem reposiccedilatildeo
Para o 1deg objeto n possibilidades
Para o 2deg objeto n-1 possibilidades
hellip
Para o uacuteltimo (kdeg objeto) n - (k-1) possibilidades
Total de permutaccedilotildees 119951 lowast (119951 minus 120783) lowast ⋯lowast (119951 minus 119948 + 120783)
Ou usando fatorial
Teorema
119899
119899 minus 119896
Cap 4-53
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Qual o total de palavras que podemos
construir com exatamente 4 letras distintas (natildeo precisa
ter significado nem seguir regras ortograacuteficas)
Cap 4-54
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Qual o total de palavras que podemos
construir com exatamente 4 letras distintas (natildeo
precisa ter significado nem seguir regras
ortograacuteficas)
Soluccedilatildeo
Selecionar 4 letras de um total de 26 sem repetir A
ordem eacute importante pois estamos formando
palavras (permutaccedilatildeo)
Total de arranjos de 4 elementos 26252423
Cap 4-55
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Vocecirc tem 10 CDs de muacutesica claacutessica 20
CDs de rock e 15 CDs de forroacute De quantas formas eacute
possiacutevel arranjar os seus CDs tal que os CDs do mesmo
tipo sempre fiquem juntos
Se os CDs forem colocados na prateleira de forma
aleatoacuteria qual eacute a probabilidade de os CDs do mesmo
estilo musical ficarem juntos
Cap 4-56
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Soluccedilatildeo princiacutepio da Contagem + Arranjos
Podemos quebrar o processo em 2 estaacutegios
1) Escolher a ordem dos tipos de Cds 321
2) Escolher a sequecircncia dos Cds para cada tipo
Para Cds de muacutesica claacutessica 10
Para Cds de rock 20
Para Cds de forroacute 15
Total 3102015
Cap 4-57
Teacutecnicas de Contagem
Combinaccedilatildeo de k elementos em n
Queremos contar o nuacutemero de subconjuntos de k elementos a
partir de um conjunto de n elementos sem reposiccedilatildeo
A ordem dos elementos natildeo eacute importante
Dizemos combinaccedilatildeo de n elementos k a k
Ex Formar comitecirc com 3 representantes de turma de um total de
131 alunos
Se todos tem mesmo poder a ordem de escolha natildeo eacute
importante combinaccedilatildeo
Se teremos presidente vice-presidente e secretaacuterio entatildeo a
ordem de escolha eacute importante permutaccedilatildeo
Teorema 119873119888119900119898119887119894119899119886ccedilotilde119890119904 =119899119896=
119899
119899 minus 119896 119896
Cap 4-58
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Qual o nuacutemero de combinaccedilotildees de 2
elementos distintos que podemos construir com as letras
A B C D
Cap 4-59
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Qual o nuacutemero de combinaccedilotildees de 2
elementos das letras A B C D
Soluccedilatildeo
Conferindo
AB AC AD BC BD CD
62)24(
4
2
4
scombinaccedilotildeeN
Cap 4-60
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Um armazeacutem da universidade recebeu 25
impressoras das quais 10 satildeo a laser e 15 a jato de tinta
Se 6 das 25 forem selecionadas aleatoriamente para para
serem verificadas por um teacutecnico qual seraacute a
probabilidade de exatamente 3 delas serem a laser
Cap 4-61
Teacutecnicas de Contagem
Soluccedilatildeo Seja 1198633= 3 das 6 selecionadas satildeo a laser Como a seleccedilatildeo das impressoras
dentre as 25 eacute aleatoacuteria cada uma delas tem a mesma chance de ser sorteada
Probabilidade claacutessica implica 119875 1198633 = 119899(1198633)119899
Como a ordem da seleccedilatildeo das impressoras natildeo importa 119899 =256
Para determinar 1198633 vamos dividir o processo em duas etapas 1) selecionamos 3 das 15
impressoras a tinta e 2) selecionamos 3 das 6 impressoras a laser Para cada elemento da
primeira etapa temos exatamente o mesmo nordm de possibilidades da segunda etapa Pelo
princiacutepio da contagem 119899 1198633 = 1198991 1198633 lowast 1198992 1198633
Como a ordem em que as impressoras satildeo selecionadas em cada etapa natildeo tem
importacircncia 1198991 1198633 =153
e 1198992 1198633 =63
Entatildeo
119875 1198633 =
153
63
256
= 03083
Desafio P(ao menos 3 das 6 selecionadas sejam a laser)
Cap 4-62
Resumo Nesta aula vimos
Como representar um modelo de probabilidade para uma situaccedilatildeo
incerta (experimento aleatoacuterio)
Etapa 1 definiccedilatildeo do espaccedilo amostral
Revisatildeo de conjuntos
Etapa 2 especificaccedilatildeo de uma funccedilatildeo probabilidade que atribui pesos
para a chance relativa de cada resultado do espaccedilo amostral
3 conceitos de probabilidade
Probabilidade claacutessica
Probabilidade Frequentista
Axiomas de Kolmogorov
Revisatildeo de teacutecnicas de contagem para podermos calcular
probabilidades
Na proacutexima aula veremos como incorporar informaccedilotildees novas ao
caacutelculo de probabilidade =gt Probabilidade condicional
Cap 4-18
Propriedades de Conjuntos
Operaccedilotildees entre conjuntos tecircm uma seacuterie de propriedades
Exemplos
119860 cup 119861 = 119861 cup 119860 e 119860 cap 119861 = 119861 cap 119860
119860 cap 119861 cup 119862 = (119860 cap 119861) cup (119860 cap 119862)
119860119888 119888 = 119860
119860 cup 119878 = 119878
119860 cap 119860119888 = empty
119860 cap 119878 = 119860
Cap 4-19
Propriedades de Conjuntos
Leis de Morgan
119860 cup 119861 119888 = 119860119888 cap 119861119888 119860 cap 119861 119888 = 119860119888 cup 119861119888
Cap 4-20
Visualizando Eventos
Existem diversas formas de representar a ocorrecircncia de eventos
Rep
rese
nta
ccedilotildees
de
Even
tos Diagrama de Venn
Tabela de contingecircncia ou tabela cruzada
Diagrama de aacutervore
Matriz
Cap 4-21
Visualizando Eventos
Tabelas de contigecircncia
Diagrama de aacutervore
Aacutes Natildeo
Aacutes
Total
Preta 2 24 26
Vermelha 2 24 26
Total 4 48 52
Baralho de
52 Cartas Espaccedilo
Amostral
2
24
2
24
A definiccedilatildeo da ordem dos ramos depende do problema
Cap 4-22
Visualizando Eventos
Lanccedilamento de 2 dados de quatro lados
Espaccedilo Amostral para o
lanccedilamento de 2 dados
2deg dado
1deg dado
Diagrama de Aacutervore para
o lanccedilamento de 2 dados
Raiz
Folhas
Representaccedilatildeo por Matriz Representaccedilatildeo por Aacutervore
1deg dado
2deg dado
Modelo Probabiliacutestico
Cap 4-23
Experimento
Evento B
Evento A
Espaccedilo Amostral
Eventos
Os principais ingredientes de um modelo probabiliacutestico
Probabilidade
Etapa 1 Etapa 2
Cap 4-24
Probabilidade
Probabilidade atribuir chance (peso relativo) a
eventos possiacuteveis de um experimento aleatoacuterio
Diferentes conceitos
Definiccedilatildeo claacutessica de probabilidade
Definiccedilatildeo frequentista ou Definiccedilatildeo estatiacutestica de
probabilidade ou Definiccedilatildeo Claacutessica empiacuterica
Axiomas de Kolmogorov
Cap 4-25
Probabilidade Claacutessica
A definiccedilatildeo claacutessica de probabilidade se refere a subconjuntos
unitaacuterios e equiprovaacuteveis isto eacute conjuntos de resultados que tecircm a
mesma chance
CASO 1 No caso enumeraacutevel e finito em que a chance de sorteio de
cada resultado do espaccedilo amostral eacute a mesma a probabilidade de um
evento A eacute dada por
119875 119860 =119899ordm 119889119890 119907119890119911119890119904 119902119906119890 119860 119901119900119889119890 119900119888119900119903119903119890119903 119890119898 119878
119899ordm 119905119900119905119886119897 119889119890 119903119890119904119906119897119905119886119889119900119904 119901119900119904119904iacute119907119890119894119904 119890119898 119878
Definiccedilatildeo
Use Teacutecnicas de anaacutelise combinatoacuteria
e contagem para determinar o ndeg
total e o ndeg de vezes que A pode sair
Cap 4-26
Probabilidade Claacutessica
CASO 2 (probabilidade geomeacutetrica) Se 119878 eacute natildeo-
enumeraacutevel e equiprovaacutevel (mesma chance para cada
resultado) o conceito se aplica ao comprimento de
intervalos medidas de aacutereas hellip
Exemplo 119878 = [010] tal que cada valor pode sair
com a mesma chance dos demais Seja 119860 o
subconjunto [12] cup [68] Entatildeo
119875 119860 =119862119900119898119901119903119894119898119890119899119905119900 119889119890 119860
119862119900119898119901119903119894119898119890119899119905119900 119905119900119905119886119897 119889119890 119878=1+2
10= 03
Definiccedilatildeo
Probabilidade Claacutessica
Exerciacutecio Considere o experimento que consiste no
lanccedilamento de 2 dados balanceados e registram-se as faces
superiores
Calcular a probabilidade de
a) obter soma das faces superiores = 7
b) obter soma das faces superiores maior do que 10
c) que resultado do primeiro dado seja superior ao
resultado do segundo
Cap 4-27
Probabilidade Claacutessica
Exerciacutecio Considere o lanccedilamento de 2 dados balanceados
Total de resultados 36
Calcular a probabilidade de
a) Obter soma 7
2 resultados possiacuteveis (34) (43) (25) (52) (16) (61)
P(Soma=7)=636
b) Obter soma maior do que 10
3 resultados possiacuteveis (65) (56) e (66)
P(Somagt10) = 336
Cap 4-28
Probabilidade Claacutessica
Exerciacutecio Considere o lanccedilamento de 2 dados balanceados
Total de resultados 36
Calcular a probabilidade de
c) Que resultado do primeiro dado seja superior ao
resultado do segundo
Resultados possiacuteveis 15
P(1degdadogt2degdado)=15 36
Cap 4-29
1 2 3 4 5 6 1
2
3
4
5
6
1deg Dado
2deg
Da
do
Cap 4-30
Probabilidade Claacutessica
Em termos praacuteticos temos que determinar
O nuacutemero total de resultados possiacuteveis
O nuacutemero de vezes que podemos ganhar (A)
CUIDADO soacute pode ser aplicado quando todos os resultados do
espaccedilo amostral tem a mesma chance de ocorrer
Exemplos dado moeda sexo dos filhos
Contra-exemplo peso de pessoas (entre 40 e 120)
chance de (40 a 50 kg) lt chance (60 a 70 kg)
Intervalos com mesmo comprimento pela probabilidade
geomeacutetrica devem ter a mesma probabilidade Natildeo faz sentido
para o peso de pessoas
Cap 4-31
Probabilidade Frequentista
A probabilidade frequentista considera o limite de frequecircncias
relativas como o valor da probabilidade
Seja nA o nuacutemero de ocorrecircncia de A em n repeticcedilotildees independentes
do experimento Assim
119875 119860 = lim119899rarrinfin
119899119860119899
Assim definimos a probabilidade como a frequecircncia relativa
observada ao repertirmos o experimento um ndeg muito grande de vezes
Exemplo caixa com 100 moedas e conte o nuacutemero de caras ou ver
applet laquo probability raquo do Moore
Definiccedilatildeo
Cap 4-32
Probabilidade Frequentista
A probabilidade frequentista considera o limite de frequecircncias
relativas como o valor da probabilidade
Na praacutetica
repita o experimento aleatoacuterio um nuacutemero grande de vezes 119899
Conte o nordm de vezes que o evento de interesse 119860 aconteceu 119899119860
Entatildeo a probabilidade de o evento acontecer eacute calculada como
119875 119860 =119899119860119899
Eacute soacute isso
Cap 4-33
Probabilidade Frequentista
Cursando
estatiacutestica
Natildeo-
cursando
estatiacutestica
Total
Masculino 84 145 229
Feminino 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Encontre a probabilidade de selecionar um aluno de
estatiacutestica do sexo masculino a partir de uma populaccedilatildeo descrita
na tabela abaixo Considere que 439 eacute grande o suficiente para
aplicar a probabilidade frequentista
Neste caso o experimento consiste em selecionar uma pessoa
da populaccedilatildeo e em seguida observarmos o sexo e se cursa
estatiacutestica O experimento foi repetido 439 vezes
Cap 4-34
Probabilidade Frequentista
Cursando
estatiacutestica
Natildeo-
cursando
estatiacutestica
Total
Masculino 84 145 229
Feminino 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Encontre a probabilidade de selecionar um aluno de
estatiacutestica do sexo masculino a partir de uma populaccedilatildeo descrita
na tabela abaixo
119875 119867119900119898119890119898 cap 119864119904119905119886119905iacute119904119905119894119888119886 =119899ordm 119889119890 119867119900119898119890119898 cap 119864119904119905119886119905iacute119905119894119888119886
119899ordm 119889119890 119886119897119906119899119900119904=84
439= 0191
Cap 4-35
Axiomas de Probabilidade de
Kolmogorov
Axiomas de Kolmogorov
definiccedilatildeo formal de probabilidade
incluem as definiccedilotildees acima como casos particulares
Qualquer funccedilatildeo P() dos subconjuntos do espaccedilo amostral (eventos)
no intervalo [01] eacute uma probabilidade se satisfaz as condiccedilotildees
1 (Natildeo-negatividade)119875(119860 ge 0) forall evento 119860
2 (Aditividade) 119875 cup119895 119864119895 = 119875(119864119895) 119895 forall 119864119895 eventos disjuntos
3 (Normalizaccedilatildeo) 119875 119878 = 1
Definiccedilatildeo
Cap 4-36
Propriedades de uma
Probabilidade
Como consequecircncia dos Axiomas de Kolmogorov mostre que uma
funccedilatildeo probabilidade satisfaz as seguintes propriedades
1 119875 119864119888 = 1 minus 119875 119864
2 Se 1198641 sube 1198642 entatildeo 119875 1198641 le 119875 1198642
3 119875 120601 = 0
Ainda partindo dos axiomas de Kolmogorov podemos
provar a Regra geral da adiccedilatildeo
Regra Geral da Adiccedilatildeo
Cap 4-37
119875 119860 cup 119861 = 119875 119860 + 119875 119861 minus 119875(119860 cap 119861)
Regra Geral da Adiccedilatildeo
Regra geral da adiccedilatildeo
No caso particular em que os eventos satildeo
mutuamente excludentes continua valendo o axioma
de aditividade pois 119875 119860 cap 119861 = 0 daiacute
119875 119860 cup 119861 = 119875 119860 + 119875(119861)
Cap 4-38
119875 119860 cup 119861 = 119875 119860 + 119875 119861 minus 119875(119860 cap 119861)
Cap 4-39
Exemplo da Regra Geral de
Adiccedilatildeo
Cursando
estatiacutestica
Natildeo cursando
estatiacutestica
Total
Homem 84 145 229
Mulher 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Qual a probabilidade de selecionamos
aleatoriamente um homem ou um aluno(a) da estatiacutestica de
uma populaccedilatildeo descrita pela tabela abaixo
Cap 4-40
Exemplo da Regra Geral de
Adiccedilatildeo
Cursando
estatiacutestica
Natildeo cursando
estatiacutestica
Total
Homem 84 145 229
Mulher 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Qual a probabilidade de selecionamos
aleatoriamente um homem ou um aluno(a) da estatiacutestica de
uma populaccedilatildeo descrita pela tabela abaixo
119875 119867119900119898119890119898 cup 119864119904119905119886119905iacute119905119894119888119886 =
119875 119867119900119898119890119898 + 119875 119864119904119905119886119905iacute119904119905119894119888119886 minus 119875 119867119900119898119890119898 cap 119864119904119905119886119905119894119904119905119894119888119886 =229
439+160
439minus
84
439=305
439
Cap 4-41
Resumo de Probabilidade
Probabilidade eacute uma medida numeacuterica que informa a chance de um resultado ocorrer
A probabilidade de um evento deve estar entre 0 e 1 incluindo os extremos
0 le 119875(119860) le 1 para qquer evento 119860
A soma da probabilidade de uma particcedilatildeo do espaccedilo amostral eacute igual a 1
119875(119860) + 119875(119861) + 119875(119862) = 1
em que A B e C satildeo eventos mutuamente excludentes e coletivamente exaustivos (particcedilatildeo de 119878)
Certo
Impossiacutevel
05
1
0
Exemplo Probabilidade
Cap 4-42
Vocabulaacuterio Geral
Pelo menos 1 dos eventos A B ou ambos =
119860 cup 119861
Nenhum dos eventos nem A nem B = (119860 cup 119861)119888
Apenas 1 (ex Apenas A) possui A e natildeo possui B
= 119860 cap (119861119888)
Cap 4-43
Exerciacutecio Probabilidade
Selecione aleatoriamente um estudante em uma determinada
universidade e represente por A o evento dele possuir um cartatildeo de
creacutedito Visa e por B o evento anaacutelogo para um Mastercard Suponha que
P(Visa) = 05 P(Mastercard) = 04 e P (Ambos os cartotildees) = 025
1 Calcule a probabilidade de que um indiviacuteduo selecionado tenha
pelo menos um dos dois tipos de cartatildeo
2 Qual a probabilidade de o indiviacuteduo selecionado natildeo ter nenhum
dos tipos de cartatildeo
3 Descreva em termos de A e B o evento em que o estudante
selecionado possui um cartatildeo Visa mas natildeo um MasterCard
4 Calcule a probabilidade desse evento
Teacutecnicas de Contagem
Princiacutepio de contagem (divida e conquiste) o processo
eacute quebrado em vaacuterias etapas com o uso do diagrama de
aacutervores
Cap 4-44
n2
opccedilotildees
Folhas
n1
opccedilotildees
n3
opccedilotildees
n4
opccedilotildees
Estaacutegio
1
Estaacutegio
2
Estaacutegio
3
Estaacutegio
4
Nuacutemero total de folhas eacute
n1n2n3hellipni
n2
opccedilotildees
Desde que um mesmo
estaacutegio tenha o mesmo nordm
de opccedilotildees em cada ponto
da aacutervore
Teacutecnicas de Contagem
Princiacutepio de contagem
Considere um processo que contem r estaacutegios Suponha que
Existem n1 resultados possiacuteveis no primeiro estaacutegio
Para cada resultado possiacutevel do estaacutegio 1 existem n2
resultados possiacuteveis no estaacutegio 2
De forma mais geral para cada um dos resultados ni-1
primeiros estaacutegios existem ni resultados possiacuteveis no i-
eacutesimo estaacutegio
Entatildeo o Nuacutemero total de resultados possiacuteveis no processo de r
estaacutegios eacute de n1n2n3hellipnr
Cap 4-45
Teorema
Cap 4-46
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Um nuacutemero telefocircnico eacute composto de 8
diacutegitos mas o primeiro diacutegito apenas assume 3 valores
possiacuteveis 3 8 9 Quantos nuacutemeros distintos existem
Cap 4-47
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Um nuacutemero telefocircnico eacute composto de 8
diacutegitos mas o primeiro diacutegito apenas assume 3 valores
3 8 9 Quantos nuacutemeros distintos existem
Temos um total de 8 estaacutegios
No primeiro estaacutegio apenas 3 opccedilotildees
Nos demais estaacutegios 10 opccedilotildees
Total 3 107
Cap 4-48
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Quantos subconjutos podemos fazer a
partir de um conjunto com n elementos s1 s2 s3 hellip
sn
Cap 4-49
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Quantos subconjutos podemos fazer a
partir de um conjunto com n elementos s1 s2 s3 hellip
sn
Processo de n estaacutegios em cada estaacutegio decidimos se
colocamos ou natildeo o elemento no subconjunto
nuacutemero de opccedilotildees para o primeiro estaacutegio 2
Total 222hellip2 =2n
Cap 4-50
Teacutecnicas de Contagem
Problema Selecionar 119948 objetos de um total de 119951
objetos 119899 ge 119896 sem reposiccedilatildeo
Se a ordem eacute importante Arranjo
ex de palavra as eacute diferente de sa
Se a ordem natildeo eacute importante Combinaccedilatildeo
ex da loteria escolhemos um conjunto de 6 nordm a
ordem em que eles satildeo sorteados natildeo faz diferenccedila
Cap 4-51
Teacutecnicas de Contagem
Ao contraacuterio da permutaccedilatildeo na combinaccedilatildeo a ordem dos
elementos natildeo eacute importante
Exemplo
Permutaccedilatildeo de 2 elementos das letras A B C D
AB AC AD BA BC BD CA CB CD DA DB DC
Combinaccedilatildeo de 2 elementos das letras A B C D
AB AC AD BC BD CD
jaacute que a ordem natildeo eacute importante BA eacute o mesmo que
AB
Cap 4-52
Teacutecnicas de Contagem
Arranjo de k objetos
Queremos selecionar k objetos de um conjunto de n
objetos sem reposiccedilatildeo
Para o 1deg objeto n possibilidades
Para o 2deg objeto n-1 possibilidades
hellip
Para o uacuteltimo (kdeg objeto) n - (k-1) possibilidades
Total de permutaccedilotildees 119951 lowast (119951 minus 120783) lowast ⋯lowast (119951 minus 119948 + 120783)
Ou usando fatorial
Teorema
119899
119899 minus 119896
Cap 4-53
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Qual o total de palavras que podemos
construir com exatamente 4 letras distintas (natildeo precisa
ter significado nem seguir regras ortograacuteficas)
Cap 4-54
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Qual o total de palavras que podemos
construir com exatamente 4 letras distintas (natildeo
precisa ter significado nem seguir regras
ortograacuteficas)
Soluccedilatildeo
Selecionar 4 letras de um total de 26 sem repetir A
ordem eacute importante pois estamos formando
palavras (permutaccedilatildeo)
Total de arranjos de 4 elementos 26252423
Cap 4-55
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Vocecirc tem 10 CDs de muacutesica claacutessica 20
CDs de rock e 15 CDs de forroacute De quantas formas eacute
possiacutevel arranjar os seus CDs tal que os CDs do mesmo
tipo sempre fiquem juntos
Se os CDs forem colocados na prateleira de forma
aleatoacuteria qual eacute a probabilidade de os CDs do mesmo
estilo musical ficarem juntos
Cap 4-56
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Soluccedilatildeo princiacutepio da Contagem + Arranjos
Podemos quebrar o processo em 2 estaacutegios
1) Escolher a ordem dos tipos de Cds 321
2) Escolher a sequecircncia dos Cds para cada tipo
Para Cds de muacutesica claacutessica 10
Para Cds de rock 20
Para Cds de forroacute 15
Total 3102015
Cap 4-57
Teacutecnicas de Contagem
Combinaccedilatildeo de k elementos em n
Queremos contar o nuacutemero de subconjuntos de k elementos a
partir de um conjunto de n elementos sem reposiccedilatildeo
A ordem dos elementos natildeo eacute importante
Dizemos combinaccedilatildeo de n elementos k a k
Ex Formar comitecirc com 3 representantes de turma de um total de
131 alunos
Se todos tem mesmo poder a ordem de escolha natildeo eacute
importante combinaccedilatildeo
Se teremos presidente vice-presidente e secretaacuterio entatildeo a
ordem de escolha eacute importante permutaccedilatildeo
Teorema 119873119888119900119898119887119894119899119886ccedilotilde119890119904 =119899119896=
119899
119899 minus 119896 119896
Cap 4-58
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Qual o nuacutemero de combinaccedilotildees de 2
elementos distintos que podemos construir com as letras
A B C D
Cap 4-59
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Qual o nuacutemero de combinaccedilotildees de 2
elementos das letras A B C D
Soluccedilatildeo
Conferindo
AB AC AD BC BD CD
62)24(
4
2
4
scombinaccedilotildeeN
Cap 4-60
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Um armazeacutem da universidade recebeu 25
impressoras das quais 10 satildeo a laser e 15 a jato de tinta
Se 6 das 25 forem selecionadas aleatoriamente para para
serem verificadas por um teacutecnico qual seraacute a
probabilidade de exatamente 3 delas serem a laser
Cap 4-61
Teacutecnicas de Contagem
Soluccedilatildeo Seja 1198633= 3 das 6 selecionadas satildeo a laser Como a seleccedilatildeo das impressoras
dentre as 25 eacute aleatoacuteria cada uma delas tem a mesma chance de ser sorteada
Probabilidade claacutessica implica 119875 1198633 = 119899(1198633)119899
Como a ordem da seleccedilatildeo das impressoras natildeo importa 119899 =256
Para determinar 1198633 vamos dividir o processo em duas etapas 1) selecionamos 3 das 15
impressoras a tinta e 2) selecionamos 3 das 6 impressoras a laser Para cada elemento da
primeira etapa temos exatamente o mesmo nordm de possibilidades da segunda etapa Pelo
princiacutepio da contagem 119899 1198633 = 1198991 1198633 lowast 1198992 1198633
Como a ordem em que as impressoras satildeo selecionadas em cada etapa natildeo tem
importacircncia 1198991 1198633 =153
e 1198992 1198633 =63
Entatildeo
119875 1198633 =
153
63
256
= 03083
Desafio P(ao menos 3 das 6 selecionadas sejam a laser)
Cap 4-62
Resumo Nesta aula vimos
Como representar um modelo de probabilidade para uma situaccedilatildeo
incerta (experimento aleatoacuterio)
Etapa 1 definiccedilatildeo do espaccedilo amostral
Revisatildeo de conjuntos
Etapa 2 especificaccedilatildeo de uma funccedilatildeo probabilidade que atribui pesos
para a chance relativa de cada resultado do espaccedilo amostral
3 conceitos de probabilidade
Probabilidade claacutessica
Probabilidade Frequentista
Axiomas de Kolmogorov
Revisatildeo de teacutecnicas de contagem para podermos calcular
probabilidades
Na proacutexima aula veremos como incorporar informaccedilotildees novas ao
caacutelculo de probabilidade =gt Probabilidade condicional
Cap 4-19
Propriedades de Conjuntos
Leis de Morgan
119860 cup 119861 119888 = 119860119888 cap 119861119888 119860 cap 119861 119888 = 119860119888 cup 119861119888
Cap 4-20
Visualizando Eventos
Existem diversas formas de representar a ocorrecircncia de eventos
Rep
rese
nta
ccedilotildees
de
Even
tos Diagrama de Venn
Tabela de contingecircncia ou tabela cruzada
Diagrama de aacutervore
Matriz
Cap 4-21
Visualizando Eventos
Tabelas de contigecircncia
Diagrama de aacutervore
Aacutes Natildeo
Aacutes
Total
Preta 2 24 26
Vermelha 2 24 26
Total 4 48 52
Baralho de
52 Cartas Espaccedilo
Amostral
2
24
2
24
A definiccedilatildeo da ordem dos ramos depende do problema
Cap 4-22
Visualizando Eventos
Lanccedilamento de 2 dados de quatro lados
Espaccedilo Amostral para o
lanccedilamento de 2 dados
2deg dado
1deg dado
Diagrama de Aacutervore para
o lanccedilamento de 2 dados
Raiz
Folhas
Representaccedilatildeo por Matriz Representaccedilatildeo por Aacutervore
1deg dado
2deg dado
Modelo Probabiliacutestico
Cap 4-23
Experimento
Evento B
Evento A
Espaccedilo Amostral
Eventos
Os principais ingredientes de um modelo probabiliacutestico
Probabilidade
Etapa 1 Etapa 2
Cap 4-24
Probabilidade
Probabilidade atribuir chance (peso relativo) a
eventos possiacuteveis de um experimento aleatoacuterio
Diferentes conceitos
Definiccedilatildeo claacutessica de probabilidade
Definiccedilatildeo frequentista ou Definiccedilatildeo estatiacutestica de
probabilidade ou Definiccedilatildeo Claacutessica empiacuterica
Axiomas de Kolmogorov
Cap 4-25
Probabilidade Claacutessica
A definiccedilatildeo claacutessica de probabilidade se refere a subconjuntos
unitaacuterios e equiprovaacuteveis isto eacute conjuntos de resultados que tecircm a
mesma chance
CASO 1 No caso enumeraacutevel e finito em que a chance de sorteio de
cada resultado do espaccedilo amostral eacute a mesma a probabilidade de um
evento A eacute dada por
119875 119860 =119899ordm 119889119890 119907119890119911119890119904 119902119906119890 119860 119901119900119889119890 119900119888119900119903119903119890119903 119890119898 119878
119899ordm 119905119900119905119886119897 119889119890 119903119890119904119906119897119905119886119889119900119904 119901119900119904119904iacute119907119890119894119904 119890119898 119878
Definiccedilatildeo
Use Teacutecnicas de anaacutelise combinatoacuteria
e contagem para determinar o ndeg
total e o ndeg de vezes que A pode sair
Cap 4-26
Probabilidade Claacutessica
CASO 2 (probabilidade geomeacutetrica) Se 119878 eacute natildeo-
enumeraacutevel e equiprovaacutevel (mesma chance para cada
resultado) o conceito se aplica ao comprimento de
intervalos medidas de aacutereas hellip
Exemplo 119878 = [010] tal que cada valor pode sair
com a mesma chance dos demais Seja 119860 o
subconjunto [12] cup [68] Entatildeo
119875 119860 =119862119900119898119901119903119894119898119890119899119905119900 119889119890 119860
119862119900119898119901119903119894119898119890119899119905119900 119905119900119905119886119897 119889119890 119878=1+2
10= 03
Definiccedilatildeo
Probabilidade Claacutessica
Exerciacutecio Considere o experimento que consiste no
lanccedilamento de 2 dados balanceados e registram-se as faces
superiores
Calcular a probabilidade de
a) obter soma das faces superiores = 7
b) obter soma das faces superiores maior do que 10
c) que resultado do primeiro dado seja superior ao
resultado do segundo
Cap 4-27
Probabilidade Claacutessica
Exerciacutecio Considere o lanccedilamento de 2 dados balanceados
Total de resultados 36
Calcular a probabilidade de
a) Obter soma 7
2 resultados possiacuteveis (34) (43) (25) (52) (16) (61)
P(Soma=7)=636
b) Obter soma maior do que 10
3 resultados possiacuteveis (65) (56) e (66)
P(Somagt10) = 336
Cap 4-28
Probabilidade Claacutessica
Exerciacutecio Considere o lanccedilamento de 2 dados balanceados
Total de resultados 36
Calcular a probabilidade de
c) Que resultado do primeiro dado seja superior ao
resultado do segundo
Resultados possiacuteveis 15
P(1degdadogt2degdado)=15 36
Cap 4-29
1 2 3 4 5 6 1
2
3
4
5
6
1deg Dado
2deg
Da
do
Cap 4-30
Probabilidade Claacutessica
Em termos praacuteticos temos que determinar
O nuacutemero total de resultados possiacuteveis
O nuacutemero de vezes que podemos ganhar (A)
CUIDADO soacute pode ser aplicado quando todos os resultados do
espaccedilo amostral tem a mesma chance de ocorrer
Exemplos dado moeda sexo dos filhos
Contra-exemplo peso de pessoas (entre 40 e 120)
chance de (40 a 50 kg) lt chance (60 a 70 kg)
Intervalos com mesmo comprimento pela probabilidade
geomeacutetrica devem ter a mesma probabilidade Natildeo faz sentido
para o peso de pessoas
Cap 4-31
Probabilidade Frequentista
A probabilidade frequentista considera o limite de frequecircncias
relativas como o valor da probabilidade
Seja nA o nuacutemero de ocorrecircncia de A em n repeticcedilotildees independentes
do experimento Assim
119875 119860 = lim119899rarrinfin
119899119860119899
Assim definimos a probabilidade como a frequecircncia relativa
observada ao repertirmos o experimento um ndeg muito grande de vezes
Exemplo caixa com 100 moedas e conte o nuacutemero de caras ou ver
applet laquo probability raquo do Moore
Definiccedilatildeo
Cap 4-32
Probabilidade Frequentista
A probabilidade frequentista considera o limite de frequecircncias
relativas como o valor da probabilidade
Na praacutetica
repita o experimento aleatoacuterio um nuacutemero grande de vezes 119899
Conte o nordm de vezes que o evento de interesse 119860 aconteceu 119899119860
Entatildeo a probabilidade de o evento acontecer eacute calculada como
119875 119860 =119899119860119899
Eacute soacute isso
Cap 4-33
Probabilidade Frequentista
Cursando
estatiacutestica
Natildeo-
cursando
estatiacutestica
Total
Masculino 84 145 229
Feminino 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Encontre a probabilidade de selecionar um aluno de
estatiacutestica do sexo masculino a partir de uma populaccedilatildeo descrita
na tabela abaixo Considere que 439 eacute grande o suficiente para
aplicar a probabilidade frequentista
Neste caso o experimento consiste em selecionar uma pessoa
da populaccedilatildeo e em seguida observarmos o sexo e se cursa
estatiacutestica O experimento foi repetido 439 vezes
Cap 4-34
Probabilidade Frequentista
Cursando
estatiacutestica
Natildeo-
cursando
estatiacutestica
Total
Masculino 84 145 229
Feminino 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Encontre a probabilidade de selecionar um aluno de
estatiacutestica do sexo masculino a partir de uma populaccedilatildeo descrita
na tabela abaixo
119875 119867119900119898119890119898 cap 119864119904119905119886119905iacute119904119905119894119888119886 =119899ordm 119889119890 119867119900119898119890119898 cap 119864119904119905119886119905iacute119905119894119888119886
119899ordm 119889119890 119886119897119906119899119900119904=84
439= 0191
Cap 4-35
Axiomas de Probabilidade de
Kolmogorov
Axiomas de Kolmogorov
definiccedilatildeo formal de probabilidade
incluem as definiccedilotildees acima como casos particulares
Qualquer funccedilatildeo P() dos subconjuntos do espaccedilo amostral (eventos)
no intervalo [01] eacute uma probabilidade se satisfaz as condiccedilotildees
1 (Natildeo-negatividade)119875(119860 ge 0) forall evento 119860
2 (Aditividade) 119875 cup119895 119864119895 = 119875(119864119895) 119895 forall 119864119895 eventos disjuntos
3 (Normalizaccedilatildeo) 119875 119878 = 1
Definiccedilatildeo
Cap 4-36
Propriedades de uma
Probabilidade
Como consequecircncia dos Axiomas de Kolmogorov mostre que uma
funccedilatildeo probabilidade satisfaz as seguintes propriedades
1 119875 119864119888 = 1 minus 119875 119864
2 Se 1198641 sube 1198642 entatildeo 119875 1198641 le 119875 1198642
3 119875 120601 = 0
Ainda partindo dos axiomas de Kolmogorov podemos
provar a Regra geral da adiccedilatildeo
Regra Geral da Adiccedilatildeo
Cap 4-37
119875 119860 cup 119861 = 119875 119860 + 119875 119861 minus 119875(119860 cap 119861)
Regra Geral da Adiccedilatildeo
Regra geral da adiccedilatildeo
No caso particular em que os eventos satildeo
mutuamente excludentes continua valendo o axioma
de aditividade pois 119875 119860 cap 119861 = 0 daiacute
119875 119860 cup 119861 = 119875 119860 + 119875(119861)
Cap 4-38
119875 119860 cup 119861 = 119875 119860 + 119875 119861 minus 119875(119860 cap 119861)
Cap 4-39
Exemplo da Regra Geral de
Adiccedilatildeo
Cursando
estatiacutestica
Natildeo cursando
estatiacutestica
Total
Homem 84 145 229
Mulher 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Qual a probabilidade de selecionamos
aleatoriamente um homem ou um aluno(a) da estatiacutestica de
uma populaccedilatildeo descrita pela tabela abaixo
Cap 4-40
Exemplo da Regra Geral de
Adiccedilatildeo
Cursando
estatiacutestica
Natildeo cursando
estatiacutestica
Total
Homem 84 145 229
Mulher 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Qual a probabilidade de selecionamos
aleatoriamente um homem ou um aluno(a) da estatiacutestica de
uma populaccedilatildeo descrita pela tabela abaixo
119875 119867119900119898119890119898 cup 119864119904119905119886119905iacute119905119894119888119886 =
119875 119867119900119898119890119898 + 119875 119864119904119905119886119905iacute119904119905119894119888119886 minus 119875 119867119900119898119890119898 cap 119864119904119905119886119905119894119904119905119894119888119886 =229
439+160
439minus
84
439=305
439
Cap 4-41
Resumo de Probabilidade
Probabilidade eacute uma medida numeacuterica que informa a chance de um resultado ocorrer
A probabilidade de um evento deve estar entre 0 e 1 incluindo os extremos
0 le 119875(119860) le 1 para qquer evento 119860
A soma da probabilidade de uma particcedilatildeo do espaccedilo amostral eacute igual a 1
119875(119860) + 119875(119861) + 119875(119862) = 1
em que A B e C satildeo eventos mutuamente excludentes e coletivamente exaustivos (particcedilatildeo de 119878)
Certo
Impossiacutevel
05
1
0
Exemplo Probabilidade
Cap 4-42
Vocabulaacuterio Geral
Pelo menos 1 dos eventos A B ou ambos =
119860 cup 119861
Nenhum dos eventos nem A nem B = (119860 cup 119861)119888
Apenas 1 (ex Apenas A) possui A e natildeo possui B
= 119860 cap (119861119888)
Cap 4-43
Exerciacutecio Probabilidade
Selecione aleatoriamente um estudante em uma determinada
universidade e represente por A o evento dele possuir um cartatildeo de
creacutedito Visa e por B o evento anaacutelogo para um Mastercard Suponha que
P(Visa) = 05 P(Mastercard) = 04 e P (Ambos os cartotildees) = 025
1 Calcule a probabilidade de que um indiviacuteduo selecionado tenha
pelo menos um dos dois tipos de cartatildeo
2 Qual a probabilidade de o indiviacuteduo selecionado natildeo ter nenhum
dos tipos de cartatildeo
3 Descreva em termos de A e B o evento em que o estudante
selecionado possui um cartatildeo Visa mas natildeo um MasterCard
4 Calcule a probabilidade desse evento
Teacutecnicas de Contagem
Princiacutepio de contagem (divida e conquiste) o processo
eacute quebrado em vaacuterias etapas com o uso do diagrama de
aacutervores
Cap 4-44
n2
opccedilotildees
Folhas
n1
opccedilotildees
n3
opccedilotildees
n4
opccedilotildees
Estaacutegio
1
Estaacutegio
2
Estaacutegio
3
Estaacutegio
4
Nuacutemero total de folhas eacute
n1n2n3hellipni
n2
opccedilotildees
Desde que um mesmo
estaacutegio tenha o mesmo nordm
de opccedilotildees em cada ponto
da aacutervore
Teacutecnicas de Contagem
Princiacutepio de contagem
Considere um processo que contem r estaacutegios Suponha que
Existem n1 resultados possiacuteveis no primeiro estaacutegio
Para cada resultado possiacutevel do estaacutegio 1 existem n2
resultados possiacuteveis no estaacutegio 2
De forma mais geral para cada um dos resultados ni-1
primeiros estaacutegios existem ni resultados possiacuteveis no i-
eacutesimo estaacutegio
Entatildeo o Nuacutemero total de resultados possiacuteveis no processo de r
estaacutegios eacute de n1n2n3hellipnr
Cap 4-45
Teorema
Cap 4-46
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Um nuacutemero telefocircnico eacute composto de 8
diacutegitos mas o primeiro diacutegito apenas assume 3 valores
possiacuteveis 3 8 9 Quantos nuacutemeros distintos existem
Cap 4-47
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Um nuacutemero telefocircnico eacute composto de 8
diacutegitos mas o primeiro diacutegito apenas assume 3 valores
3 8 9 Quantos nuacutemeros distintos existem
Temos um total de 8 estaacutegios
No primeiro estaacutegio apenas 3 opccedilotildees
Nos demais estaacutegios 10 opccedilotildees
Total 3 107
Cap 4-48
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Quantos subconjutos podemos fazer a
partir de um conjunto com n elementos s1 s2 s3 hellip
sn
Cap 4-49
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Quantos subconjutos podemos fazer a
partir de um conjunto com n elementos s1 s2 s3 hellip
sn
Processo de n estaacutegios em cada estaacutegio decidimos se
colocamos ou natildeo o elemento no subconjunto
nuacutemero de opccedilotildees para o primeiro estaacutegio 2
Total 222hellip2 =2n
Cap 4-50
Teacutecnicas de Contagem
Problema Selecionar 119948 objetos de um total de 119951
objetos 119899 ge 119896 sem reposiccedilatildeo
Se a ordem eacute importante Arranjo
ex de palavra as eacute diferente de sa
Se a ordem natildeo eacute importante Combinaccedilatildeo
ex da loteria escolhemos um conjunto de 6 nordm a
ordem em que eles satildeo sorteados natildeo faz diferenccedila
Cap 4-51
Teacutecnicas de Contagem
Ao contraacuterio da permutaccedilatildeo na combinaccedilatildeo a ordem dos
elementos natildeo eacute importante
Exemplo
Permutaccedilatildeo de 2 elementos das letras A B C D
AB AC AD BA BC BD CA CB CD DA DB DC
Combinaccedilatildeo de 2 elementos das letras A B C D
AB AC AD BC BD CD
jaacute que a ordem natildeo eacute importante BA eacute o mesmo que
AB
Cap 4-52
Teacutecnicas de Contagem
Arranjo de k objetos
Queremos selecionar k objetos de um conjunto de n
objetos sem reposiccedilatildeo
Para o 1deg objeto n possibilidades
Para o 2deg objeto n-1 possibilidades
hellip
Para o uacuteltimo (kdeg objeto) n - (k-1) possibilidades
Total de permutaccedilotildees 119951 lowast (119951 minus 120783) lowast ⋯lowast (119951 minus 119948 + 120783)
Ou usando fatorial
Teorema
119899
119899 minus 119896
Cap 4-53
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Qual o total de palavras que podemos
construir com exatamente 4 letras distintas (natildeo precisa
ter significado nem seguir regras ortograacuteficas)
Cap 4-54
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Qual o total de palavras que podemos
construir com exatamente 4 letras distintas (natildeo
precisa ter significado nem seguir regras
ortograacuteficas)
Soluccedilatildeo
Selecionar 4 letras de um total de 26 sem repetir A
ordem eacute importante pois estamos formando
palavras (permutaccedilatildeo)
Total de arranjos de 4 elementos 26252423
Cap 4-55
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Vocecirc tem 10 CDs de muacutesica claacutessica 20
CDs de rock e 15 CDs de forroacute De quantas formas eacute
possiacutevel arranjar os seus CDs tal que os CDs do mesmo
tipo sempre fiquem juntos
Se os CDs forem colocados na prateleira de forma
aleatoacuteria qual eacute a probabilidade de os CDs do mesmo
estilo musical ficarem juntos
Cap 4-56
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Soluccedilatildeo princiacutepio da Contagem + Arranjos
Podemos quebrar o processo em 2 estaacutegios
1) Escolher a ordem dos tipos de Cds 321
2) Escolher a sequecircncia dos Cds para cada tipo
Para Cds de muacutesica claacutessica 10
Para Cds de rock 20
Para Cds de forroacute 15
Total 3102015
Cap 4-57
Teacutecnicas de Contagem
Combinaccedilatildeo de k elementos em n
Queremos contar o nuacutemero de subconjuntos de k elementos a
partir de um conjunto de n elementos sem reposiccedilatildeo
A ordem dos elementos natildeo eacute importante
Dizemos combinaccedilatildeo de n elementos k a k
Ex Formar comitecirc com 3 representantes de turma de um total de
131 alunos
Se todos tem mesmo poder a ordem de escolha natildeo eacute
importante combinaccedilatildeo
Se teremos presidente vice-presidente e secretaacuterio entatildeo a
ordem de escolha eacute importante permutaccedilatildeo
Teorema 119873119888119900119898119887119894119899119886ccedilotilde119890119904 =119899119896=
119899
119899 minus 119896 119896
Cap 4-58
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Qual o nuacutemero de combinaccedilotildees de 2
elementos distintos que podemos construir com as letras
A B C D
Cap 4-59
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Qual o nuacutemero de combinaccedilotildees de 2
elementos das letras A B C D
Soluccedilatildeo
Conferindo
AB AC AD BC BD CD
62)24(
4
2
4
scombinaccedilotildeeN
Cap 4-60
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Um armazeacutem da universidade recebeu 25
impressoras das quais 10 satildeo a laser e 15 a jato de tinta
Se 6 das 25 forem selecionadas aleatoriamente para para
serem verificadas por um teacutecnico qual seraacute a
probabilidade de exatamente 3 delas serem a laser
Cap 4-61
Teacutecnicas de Contagem
Soluccedilatildeo Seja 1198633= 3 das 6 selecionadas satildeo a laser Como a seleccedilatildeo das impressoras
dentre as 25 eacute aleatoacuteria cada uma delas tem a mesma chance de ser sorteada
Probabilidade claacutessica implica 119875 1198633 = 119899(1198633)119899
Como a ordem da seleccedilatildeo das impressoras natildeo importa 119899 =256
Para determinar 1198633 vamos dividir o processo em duas etapas 1) selecionamos 3 das 15
impressoras a tinta e 2) selecionamos 3 das 6 impressoras a laser Para cada elemento da
primeira etapa temos exatamente o mesmo nordm de possibilidades da segunda etapa Pelo
princiacutepio da contagem 119899 1198633 = 1198991 1198633 lowast 1198992 1198633
Como a ordem em que as impressoras satildeo selecionadas em cada etapa natildeo tem
importacircncia 1198991 1198633 =153
e 1198992 1198633 =63
Entatildeo
119875 1198633 =
153
63
256
= 03083
Desafio P(ao menos 3 das 6 selecionadas sejam a laser)
Cap 4-62
Resumo Nesta aula vimos
Como representar um modelo de probabilidade para uma situaccedilatildeo
incerta (experimento aleatoacuterio)
Etapa 1 definiccedilatildeo do espaccedilo amostral
Revisatildeo de conjuntos
Etapa 2 especificaccedilatildeo de uma funccedilatildeo probabilidade que atribui pesos
para a chance relativa de cada resultado do espaccedilo amostral
3 conceitos de probabilidade
Probabilidade claacutessica
Probabilidade Frequentista
Axiomas de Kolmogorov
Revisatildeo de teacutecnicas de contagem para podermos calcular
probabilidades
Na proacutexima aula veremos como incorporar informaccedilotildees novas ao
caacutelculo de probabilidade =gt Probabilidade condicional
Cap 4-20
Visualizando Eventos
Existem diversas formas de representar a ocorrecircncia de eventos
Rep
rese
nta
ccedilotildees
de
Even
tos Diagrama de Venn
Tabela de contingecircncia ou tabela cruzada
Diagrama de aacutervore
Matriz
Cap 4-21
Visualizando Eventos
Tabelas de contigecircncia
Diagrama de aacutervore
Aacutes Natildeo
Aacutes
Total
Preta 2 24 26
Vermelha 2 24 26
Total 4 48 52
Baralho de
52 Cartas Espaccedilo
Amostral
2
24
2
24
A definiccedilatildeo da ordem dos ramos depende do problema
Cap 4-22
Visualizando Eventos
Lanccedilamento de 2 dados de quatro lados
Espaccedilo Amostral para o
lanccedilamento de 2 dados
2deg dado
1deg dado
Diagrama de Aacutervore para
o lanccedilamento de 2 dados
Raiz
Folhas
Representaccedilatildeo por Matriz Representaccedilatildeo por Aacutervore
1deg dado
2deg dado
Modelo Probabiliacutestico
Cap 4-23
Experimento
Evento B
Evento A
Espaccedilo Amostral
Eventos
Os principais ingredientes de um modelo probabiliacutestico
Probabilidade
Etapa 1 Etapa 2
Cap 4-24
Probabilidade
Probabilidade atribuir chance (peso relativo) a
eventos possiacuteveis de um experimento aleatoacuterio
Diferentes conceitos
Definiccedilatildeo claacutessica de probabilidade
Definiccedilatildeo frequentista ou Definiccedilatildeo estatiacutestica de
probabilidade ou Definiccedilatildeo Claacutessica empiacuterica
Axiomas de Kolmogorov
Cap 4-25
Probabilidade Claacutessica
A definiccedilatildeo claacutessica de probabilidade se refere a subconjuntos
unitaacuterios e equiprovaacuteveis isto eacute conjuntos de resultados que tecircm a
mesma chance
CASO 1 No caso enumeraacutevel e finito em que a chance de sorteio de
cada resultado do espaccedilo amostral eacute a mesma a probabilidade de um
evento A eacute dada por
119875 119860 =119899ordm 119889119890 119907119890119911119890119904 119902119906119890 119860 119901119900119889119890 119900119888119900119903119903119890119903 119890119898 119878
119899ordm 119905119900119905119886119897 119889119890 119903119890119904119906119897119905119886119889119900119904 119901119900119904119904iacute119907119890119894119904 119890119898 119878
Definiccedilatildeo
Use Teacutecnicas de anaacutelise combinatoacuteria
e contagem para determinar o ndeg
total e o ndeg de vezes que A pode sair
Cap 4-26
Probabilidade Claacutessica
CASO 2 (probabilidade geomeacutetrica) Se 119878 eacute natildeo-
enumeraacutevel e equiprovaacutevel (mesma chance para cada
resultado) o conceito se aplica ao comprimento de
intervalos medidas de aacutereas hellip
Exemplo 119878 = [010] tal que cada valor pode sair
com a mesma chance dos demais Seja 119860 o
subconjunto [12] cup [68] Entatildeo
119875 119860 =119862119900119898119901119903119894119898119890119899119905119900 119889119890 119860
119862119900119898119901119903119894119898119890119899119905119900 119905119900119905119886119897 119889119890 119878=1+2
10= 03
Definiccedilatildeo
Probabilidade Claacutessica
Exerciacutecio Considere o experimento que consiste no
lanccedilamento de 2 dados balanceados e registram-se as faces
superiores
Calcular a probabilidade de
a) obter soma das faces superiores = 7
b) obter soma das faces superiores maior do que 10
c) que resultado do primeiro dado seja superior ao
resultado do segundo
Cap 4-27
Probabilidade Claacutessica
Exerciacutecio Considere o lanccedilamento de 2 dados balanceados
Total de resultados 36
Calcular a probabilidade de
a) Obter soma 7
2 resultados possiacuteveis (34) (43) (25) (52) (16) (61)
P(Soma=7)=636
b) Obter soma maior do que 10
3 resultados possiacuteveis (65) (56) e (66)
P(Somagt10) = 336
Cap 4-28
Probabilidade Claacutessica
Exerciacutecio Considere o lanccedilamento de 2 dados balanceados
Total de resultados 36
Calcular a probabilidade de
c) Que resultado do primeiro dado seja superior ao
resultado do segundo
Resultados possiacuteveis 15
P(1degdadogt2degdado)=15 36
Cap 4-29
1 2 3 4 5 6 1
2
3
4
5
6
1deg Dado
2deg
Da
do
Cap 4-30
Probabilidade Claacutessica
Em termos praacuteticos temos que determinar
O nuacutemero total de resultados possiacuteveis
O nuacutemero de vezes que podemos ganhar (A)
CUIDADO soacute pode ser aplicado quando todos os resultados do
espaccedilo amostral tem a mesma chance de ocorrer
Exemplos dado moeda sexo dos filhos
Contra-exemplo peso de pessoas (entre 40 e 120)
chance de (40 a 50 kg) lt chance (60 a 70 kg)
Intervalos com mesmo comprimento pela probabilidade
geomeacutetrica devem ter a mesma probabilidade Natildeo faz sentido
para o peso de pessoas
Cap 4-31
Probabilidade Frequentista
A probabilidade frequentista considera o limite de frequecircncias
relativas como o valor da probabilidade
Seja nA o nuacutemero de ocorrecircncia de A em n repeticcedilotildees independentes
do experimento Assim
119875 119860 = lim119899rarrinfin
119899119860119899
Assim definimos a probabilidade como a frequecircncia relativa
observada ao repertirmos o experimento um ndeg muito grande de vezes
Exemplo caixa com 100 moedas e conte o nuacutemero de caras ou ver
applet laquo probability raquo do Moore
Definiccedilatildeo
Cap 4-32
Probabilidade Frequentista
A probabilidade frequentista considera o limite de frequecircncias
relativas como o valor da probabilidade
Na praacutetica
repita o experimento aleatoacuterio um nuacutemero grande de vezes 119899
Conte o nordm de vezes que o evento de interesse 119860 aconteceu 119899119860
Entatildeo a probabilidade de o evento acontecer eacute calculada como
119875 119860 =119899119860119899
Eacute soacute isso
Cap 4-33
Probabilidade Frequentista
Cursando
estatiacutestica
Natildeo-
cursando
estatiacutestica
Total
Masculino 84 145 229
Feminino 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Encontre a probabilidade de selecionar um aluno de
estatiacutestica do sexo masculino a partir de uma populaccedilatildeo descrita
na tabela abaixo Considere que 439 eacute grande o suficiente para
aplicar a probabilidade frequentista
Neste caso o experimento consiste em selecionar uma pessoa
da populaccedilatildeo e em seguida observarmos o sexo e se cursa
estatiacutestica O experimento foi repetido 439 vezes
Cap 4-34
Probabilidade Frequentista
Cursando
estatiacutestica
Natildeo-
cursando
estatiacutestica
Total
Masculino 84 145 229
Feminino 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Encontre a probabilidade de selecionar um aluno de
estatiacutestica do sexo masculino a partir de uma populaccedilatildeo descrita
na tabela abaixo
119875 119867119900119898119890119898 cap 119864119904119905119886119905iacute119904119905119894119888119886 =119899ordm 119889119890 119867119900119898119890119898 cap 119864119904119905119886119905iacute119905119894119888119886
119899ordm 119889119890 119886119897119906119899119900119904=84
439= 0191
Cap 4-35
Axiomas de Probabilidade de
Kolmogorov
Axiomas de Kolmogorov
definiccedilatildeo formal de probabilidade
incluem as definiccedilotildees acima como casos particulares
Qualquer funccedilatildeo P() dos subconjuntos do espaccedilo amostral (eventos)
no intervalo [01] eacute uma probabilidade se satisfaz as condiccedilotildees
1 (Natildeo-negatividade)119875(119860 ge 0) forall evento 119860
2 (Aditividade) 119875 cup119895 119864119895 = 119875(119864119895) 119895 forall 119864119895 eventos disjuntos
3 (Normalizaccedilatildeo) 119875 119878 = 1
Definiccedilatildeo
Cap 4-36
Propriedades de uma
Probabilidade
Como consequecircncia dos Axiomas de Kolmogorov mostre que uma
funccedilatildeo probabilidade satisfaz as seguintes propriedades
1 119875 119864119888 = 1 minus 119875 119864
2 Se 1198641 sube 1198642 entatildeo 119875 1198641 le 119875 1198642
3 119875 120601 = 0
Ainda partindo dos axiomas de Kolmogorov podemos
provar a Regra geral da adiccedilatildeo
Regra Geral da Adiccedilatildeo
Cap 4-37
119875 119860 cup 119861 = 119875 119860 + 119875 119861 minus 119875(119860 cap 119861)
Regra Geral da Adiccedilatildeo
Regra geral da adiccedilatildeo
No caso particular em que os eventos satildeo
mutuamente excludentes continua valendo o axioma
de aditividade pois 119875 119860 cap 119861 = 0 daiacute
119875 119860 cup 119861 = 119875 119860 + 119875(119861)
Cap 4-38
119875 119860 cup 119861 = 119875 119860 + 119875 119861 minus 119875(119860 cap 119861)
Cap 4-39
Exemplo da Regra Geral de
Adiccedilatildeo
Cursando
estatiacutestica
Natildeo cursando
estatiacutestica
Total
Homem 84 145 229
Mulher 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Qual a probabilidade de selecionamos
aleatoriamente um homem ou um aluno(a) da estatiacutestica de
uma populaccedilatildeo descrita pela tabela abaixo
Cap 4-40
Exemplo da Regra Geral de
Adiccedilatildeo
Cursando
estatiacutestica
Natildeo cursando
estatiacutestica
Total
Homem 84 145 229
Mulher 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Qual a probabilidade de selecionamos
aleatoriamente um homem ou um aluno(a) da estatiacutestica de
uma populaccedilatildeo descrita pela tabela abaixo
119875 119867119900119898119890119898 cup 119864119904119905119886119905iacute119905119894119888119886 =
119875 119867119900119898119890119898 + 119875 119864119904119905119886119905iacute119904119905119894119888119886 minus 119875 119867119900119898119890119898 cap 119864119904119905119886119905119894119904119905119894119888119886 =229
439+160
439minus
84
439=305
439
Cap 4-41
Resumo de Probabilidade
Probabilidade eacute uma medida numeacuterica que informa a chance de um resultado ocorrer
A probabilidade de um evento deve estar entre 0 e 1 incluindo os extremos
0 le 119875(119860) le 1 para qquer evento 119860
A soma da probabilidade de uma particcedilatildeo do espaccedilo amostral eacute igual a 1
119875(119860) + 119875(119861) + 119875(119862) = 1
em que A B e C satildeo eventos mutuamente excludentes e coletivamente exaustivos (particcedilatildeo de 119878)
Certo
Impossiacutevel
05
1
0
Exemplo Probabilidade
Cap 4-42
Vocabulaacuterio Geral
Pelo menos 1 dos eventos A B ou ambos =
119860 cup 119861
Nenhum dos eventos nem A nem B = (119860 cup 119861)119888
Apenas 1 (ex Apenas A) possui A e natildeo possui B
= 119860 cap (119861119888)
Cap 4-43
Exerciacutecio Probabilidade
Selecione aleatoriamente um estudante em uma determinada
universidade e represente por A o evento dele possuir um cartatildeo de
creacutedito Visa e por B o evento anaacutelogo para um Mastercard Suponha que
P(Visa) = 05 P(Mastercard) = 04 e P (Ambos os cartotildees) = 025
1 Calcule a probabilidade de que um indiviacuteduo selecionado tenha
pelo menos um dos dois tipos de cartatildeo
2 Qual a probabilidade de o indiviacuteduo selecionado natildeo ter nenhum
dos tipos de cartatildeo
3 Descreva em termos de A e B o evento em que o estudante
selecionado possui um cartatildeo Visa mas natildeo um MasterCard
4 Calcule a probabilidade desse evento
Teacutecnicas de Contagem
Princiacutepio de contagem (divida e conquiste) o processo
eacute quebrado em vaacuterias etapas com o uso do diagrama de
aacutervores
Cap 4-44
n2
opccedilotildees
Folhas
n1
opccedilotildees
n3
opccedilotildees
n4
opccedilotildees
Estaacutegio
1
Estaacutegio
2
Estaacutegio
3
Estaacutegio
4
Nuacutemero total de folhas eacute
n1n2n3hellipni
n2
opccedilotildees
Desde que um mesmo
estaacutegio tenha o mesmo nordm
de opccedilotildees em cada ponto
da aacutervore
Teacutecnicas de Contagem
Princiacutepio de contagem
Considere um processo que contem r estaacutegios Suponha que
Existem n1 resultados possiacuteveis no primeiro estaacutegio
Para cada resultado possiacutevel do estaacutegio 1 existem n2
resultados possiacuteveis no estaacutegio 2
De forma mais geral para cada um dos resultados ni-1
primeiros estaacutegios existem ni resultados possiacuteveis no i-
eacutesimo estaacutegio
Entatildeo o Nuacutemero total de resultados possiacuteveis no processo de r
estaacutegios eacute de n1n2n3hellipnr
Cap 4-45
Teorema
Cap 4-46
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Um nuacutemero telefocircnico eacute composto de 8
diacutegitos mas o primeiro diacutegito apenas assume 3 valores
possiacuteveis 3 8 9 Quantos nuacutemeros distintos existem
Cap 4-47
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Um nuacutemero telefocircnico eacute composto de 8
diacutegitos mas o primeiro diacutegito apenas assume 3 valores
3 8 9 Quantos nuacutemeros distintos existem
Temos um total de 8 estaacutegios
No primeiro estaacutegio apenas 3 opccedilotildees
Nos demais estaacutegios 10 opccedilotildees
Total 3 107
Cap 4-48
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Quantos subconjutos podemos fazer a
partir de um conjunto com n elementos s1 s2 s3 hellip
sn
Cap 4-49
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Quantos subconjutos podemos fazer a
partir de um conjunto com n elementos s1 s2 s3 hellip
sn
Processo de n estaacutegios em cada estaacutegio decidimos se
colocamos ou natildeo o elemento no subconjunto
nuacutemero de opccedilotildees para o primeiro estaacutegio 2
Total 222hellip2 =2n
Cap 4-50
Teacutecnicas de Contagem
Problema Selecionar 119948 objetos de um total de 119951
objetos 119899 ge 119896 sem reposiccedilatildeo
Se a ordem eacute importante Arranjo
ex de palavra as eacute diferente de sa
Se a ordem natildeo eacute importante Combinaccedilatildeo
ex da loteria escolhemos um conjunto de 6 nordm a
ordem em que eles satildeo sorteados natildeo faz diferenccedila
Cap 4-51
Teacutecnicas de Contagem
Ao contraacuterio da permutaccedilatildeo na combinaccedilatildeo a ordem dos
elementos natildeo eacute importante
Exemplo
Permutaccedilatildeo de 2 elementos das letras A B C D
AB AC AD BA BC BD CA CB CD DA DB DC
Combinaccedilatildeo de 2 elementos das letras A B C D
AB AC AD BC BD CD
jaacute que a ordem natildeo eacute importante BA eacute o mesmo que
AB
Cap 4-52
Teacutecnicas de Contagem
Arranjo de k objetos
Queremos selecionar k objetos de um conjunto de n
objetos sem reposiccedilatildeo
Para o 1deg objeto n possibilidades
Para o 2deg objeto n-1 possibilidades
hellip
Para o uacuteltimo (kdeg objeto) n - (k-1) possibilidades
Total de permutaccedilotildees 119951 lowast (119951 minus 120783) lowast ⋯lowast (119951 minus 119948 + 120783)
Ou usando fatorial
Teorema
119899
119899 minus 119896
Cap 4-53
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Qual o total de palavras que podemos
construir com exatamente 4 letras distintas (natildeo precisa
ter significado nem seguir regras ortograacuteficas)
Cap 4-54
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Qual o total de palavras que podemos
construir com exatamente 4 letras distintas (natildeo
precisa ter significado nem seguir regras
ortograacuteficas)
Soluccedilatildeo
Selecionar 4 letras de um total de 26 sem repetir A
ordem eacute importante pois estamos formando
palavras (permutaccedilatildeo)
Total de arranjos de 4 elementos 26252423
Cap 4-55
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Vocecirc tem 10 CDs de muacutesica claacutessica 20
CDs de rock e 15 CDs de forroacute De quantas formas eacute
possiacutevel arranjar os seus CDs tal que os CDs do mesmo
tipo sempre fiquem juntos
Se os CDs forem colocados na prateleira de forma
aleatoacuteria qual eacute a probabilidade de os CDs do mesmo
estilo musical ficarem juntos
Cap 4-56
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Soluccedilatildeo princiacutepio da Contagem + Arranjos
Podemos quebrar o processo em 2 estaacutegios
1) Escolher a ordem dos tipos de Cds 321
2) Escolher a sequecircncia dos Cds para cada tipo
Para Cds de muacutesica claacutessica 10
Para Cds de rock 20
Para Cds de forroacute 15
Total 3102015
Cap 4-57
Teacutecnicas de Contagem
Combinaccedilatildeo de k elementos em n
Queremos contar o nuacutemero de subconjuntos de k elementos a
partir de um conjunto de n elementos sem reposiccedilatildeo
A ordem dos elementos natildeo eacute importante
Dizemos combinaccedilatildeo de n elementos k a k
Ex Formar comitecirc com 3 representantes de turma de um total de
131 alunos
Se todos tem mesmo poder a ordem de escolha natildeo eacute
importante combinaccedilatildeo
Se teremos presidente vice-presidente e secretaacuterio entatildeo a
ordem de escolha eacute importante permutaccedilatildeo
Teorema 119873119888119900119898119887119894119899119886ccedilotilde119890119904 =119899119896=
119899
119899 minus 119896 119896
Cap 4-58
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Qual o nuacutemero de combinaccedilotildees de 2
elementos distintos que podemos construir com as letras
A B C D
Cap 4-59
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Qual o nuacutemero de combinaccedilotildees de 2
elementos das letras A B C D
Soluccedilatildeo
Conferindo
AB AC AD BC BD CD
62)24(
4
2
4
scombinaccedilotildeeN
Cap 4-60
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Um armazeacutem da universidade recebeu 25
impressoras das quais 10 satildeo a laser e 15 a jato de tinta
Se 6 das 25 forem selecionadas aleatoriamente para para
serem verificadas por um teacutecnico qual seraacute a
probabilidade de exatamente 3 delas serem a laser
Cap 4-61
Teacutecnicas de Contagem
Soluccedilatildeo Seja 1198633= 3 das 6 selecionadas satildeo a laser Como a seleccedilatildeo das impressoras
dentre as 25 eacute aleatoacuteria cada uma delas tem a mesma chance de ser sorteada
Probabilidade claacutessica implica 119875 1198633 = 119899(1198633)119899
Como a ordem da seleccedilatildeo das impressoras natildeo importa 119899 =256
Para determinar 1198633 vamos dividir o processo em duas etapas 1) selecionamos 3 das 15
impressoras a tinta e 2) selecionamos 3 das 6 impressoras a laser Para cada elemento da
primeira etapa temos exatamente o mesmo nordm de possibilidades da segunda etapa Pelo
princiacutepio da contagem 119899 1198633 = 1198991 1198633 lowast 1198992 1198633
Como a ordem em que as impressoras satildeo selecionadas em cada etapa natildeo tem
importacircncia 1198991 1198633 =153
e 1198992 1198633 =63
Entatildeo
119875 1198633 =
153
63
256
= 03083
Desafio P(ao menos 3 das 6 selecionadas sejam a laser)
Cap 4-62
Resumo Nesta aula vimos
Como representar um modelo de probabilidade para uma situaccedilatildeo
incerta (experimento aleatoacuterio)
Etapa 1 definiccedilatildeo do espaccedilo amostral
Revisatildeo de conjuntos
Etapa 2 especificaccedilatildeo de uma funccedilatildeo probabilidade que atribui pesos
para a chance relativa de cada resultado do espaccedilo amostral
3 conceitos de probabilidade
Probabilidade claacutessica
Probabilidade Frequentista
Axiomas de Kolmogorov
Revisatildeo de teacutecnicas de contagem para podermos calcular
probabilidades
Na proacutexima aula veremos como incorporar informaccedilotildees novas ao
caacutelculo de probabilidade =gt Probabilidade condicional
Cap 4-21
Visualizando Eventos
Tabelas de contigecircncia
Diagrama de aacutervore
Aacutes Natildeo
Aacutes
Total
Preta 2 24 26
Vermelha 2 24 26
Total 4 48 52
Baralho de
52 Cartas Espaccedilo
Amostral
2
24
2
24
A definiccedilatildeo da ordem dos ramos depende do problema
Cap 4-22
Visualizando Eventos
Lanccedilamento de 2 dados de quatro lados
Espaccedilo Amostral para o
lanccedilamento de 2 dados
2deg dado
1deg dado
Diagrama de Aacutervore para
o lanccedilamento de 2 dados
Raiz
Folhas
Representaccedilatildeo por Matriz Representaccedilatildeo por Aacutervore
1deg dado
2deg dado
Modelo Probabiliacutestico
Cap 4-23
Experimento
Evento B
Evento A
Espaccedilo Amostral
Eventos
Os principais ingredientes de um modelo probabiliacutestico
Probabilidade
Etapa 1 Etapa 2
Cap 4-24
Probabilidade
Probabilidade atribuir chance (peso relativo) a
eventos possiacuteveis de um experimento aleatoacuterio
Diferentes conceitos
Definiccedilatildeo claacutessica de probabilidade
Definiccedilatildeo frequentista ou Definiccedilatildeo estatiacutestica de
probabilidade ou Definiccedilatildeo Claacutessica empiacuterica
Axiomas de Kolmogorov
Cap 4-25
Probabilidade Claacutessica
A definiccedilatildeo claacutessica de probabilidade se refere a subconjuntos
unitaacuterios e equiprovaacuteveis isto eacute conjuntos de resultados que tecircm a
mesma chance
CASO 1 No caso enumeraacutevel e finito em que a chance de sorteio de
cada resultado do espaccedilo amostral eacute a mesma a probabilidade de um
evento A eacute dada por
119875 119860 =119899ordm 119889119890 119907119890119911119890119904 119902119906119890 119860 119901119900119889119890 119900119888119900119903119903119890119903 119890119898 119878
119899ordm 119905119900119905119886119897 119889119890 119903119890119904119906119897119905119886119889119900119904 119901119900119904119904iacute119907119890119894119904 119890119898 119878
Definiccedilatildeo
Use Teacutecnicas de anaacutelise combinatoacuteria
e contagem para determinar o ndeg
total e o ndeg de vezes que A pode sair
Cap 4-26
Probabilidade Claacutessica
CASO 2 (probabilidade geomeacutetrica) Se 119878 eacute natildeo-
enumeraacutevel e equiprovaacutevel (mesma chance para cada
resultado) o conceito se aplica ao comprimento de
intervalos medidas de aacutereas hellip
Exemplo 119878 = [010] tal que cada valor pode sair
com a mesma chance dos demais Seja 119860 o
subconjunto [12] cup [68] Entatildeo
119875 119860 =119862119900119898119901119903119894119898119890119899119905119900 119889119890 119860
119862119900119898119901119903119894119898119890119899119905119900 119905119900119905119886119897 119889119890 119878=1+2
10= 03
Definiccedilatildeo
Probabilidade Claacutessica
Exerciacutecio Considere o experimento que consiste no
lanccedilamento de 2 dados balanceados e registram-se as faces
superiores
Calcular a probabilidade de
a) obter soma das faces superiores = 7
b) obter soma das faces superiores maior do que 10
c) que resultado do primeiro dado seja superior ao
resultado do segundo
Cap 4-27
Probabilidade Claacutessica
Exerciacutecio Considere o lanccedilamento de 2 dados balanceados
Total de resultados 36
Calcular a probabilidade de
a) Obter soma 7
2 resultados possiacuteveis (34) (43) (25) (52) (16) (61)
P(Soma=7)=636
b) Obter soma maior do que 10
3 resultados possiacuteveis (65) (56) e (66)
P(Somagt10) = 336
Cap 4-28
Probabilidade Claacutessica
Exerciacutecio Considere o lanccedilamento de 2 dados balanceados
Total de resultados 36
Calcular a probabilidade de
c) Que resultado do primeiro dado seja superior ao
resultado do segundo
Resultados possiacuteveis 15
P(1degdadogt2degdado)=15 36
Cap 4-29
1 2 3 4 5 6 1
2
3
4
5
6
1deg Dado
2deg
Da
do
Cap 4-30
Probabilidade Claacutessica
Em termos praacuteticos temos que determinar
O nuacutemero total de resultados possiacuteveis
O nuacutemero de vezes que podemos ganhar (A)
CUIDADO soacute pode ser aplicado quando todos os resultados do
espaccedilo amostral tem a mesma chance de ocorrer
Exemplos dado moeda sexo dos filhos
Contra-exemplo peso de pessoas (entre 40 e 120)
chance de (40 a 50 kg) lt chance (60 a 70 kg)
Intervalos com mesmo comprimento pela probabilidade
geomeacutetrica devem ter a mesma probabilidade Natildeo faz sentido
para o peso de pessoas
Cap 4-31
Probabilidade Frequentista
A probabilidade frequentista considera o limite de frequecircncias
relativas como o valor da probabilidade
Seja nA o nuacutemero de ocorrecircncia de A em n repeticcedilotildees independentes
do experimento Assim
119875 119860 = lim119899rarrinfin
119899119860119899
Assim definimos a probabilidade como a frequecircncia relativa
observada ao repertirmos o experimento um ndeg muito grande de vezes
Exemplo caixa com 100 moedas e conte o nuacutemero de caras ou ver
applet laquo probability raquo do Moore
Definiccedilatildeo
Cap 4-32
Probabilidade Frequentista
A probabilidade frequentista considera o limite de frequecircncias
relativas como o valor da probabilidade
Na praacutetica
repita o experimento aleatoacuterio um nuacutemero grande de vezes 119899
Conte o nordm de vezes que o evento de interesse 119860 aconteceu 119899119860
Entatildeo a probabilidade de o evento acontecer eacute calculada como
119875 119860 =119899119860119899
Eacute soacute isso
Cap 4-33
Probabilidade Frequentista
Cursando
estatiacutestica
Natildeo-
cursando
estatiacutestica
Total
Masculino 84 145 229
Feminino 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Encontre a probabilidade de selecionar um aluno de
estatiacutestica do sexo masculino a partir de uma populaccedilatildeo descrita
na tabela abaixo Considere que 439 eacute grande o suficiente para
aplicar a probabilidade frequentista
Neste caso o experimento consiste em selecionar uma pessoa
da populaccedilatildeo e em seguida observarmos o sexo e se cursa
estatiacutestica O experimento foi repetido 439 vezes
Cap 4-34
Probabilidade Frequentista
Cursando
estatiacutestica
Natildeo-
cursando
estatiacutestica
Total
Masculino 84 145 229
Feminino 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Encontre a probabilidade de selecionar um aluno de
estatiacutestica do sexo masculino a partir de uma populaccedilatildeo descrita
na tabela abaixo
119875 119867119900119898119890119898 cap 119864119904119905119886119905iacute119904119905119894119888119886 =119899ordm 119889119890 119867119900119898119890119898 cap 119864119904119905119886119905iacute119905119894119888119886
119899ordm 119889119890 119886119897119906119899119900119904=84
439= 0191
Cap 4-35
Axiomas de Probabilidade de
Kolmogorov
Axiomas de Kolmogorov
definiccedilatildeo formal de probabilidade
incluem as definiccedilotildees acima como casos particulares
Qualquer funccedilatildeo P() dos subconjuntos do espaccedilo amostral (eventos)
no intervalo [01] eacute uma probabilidade se satisfaz as condiccedilotildees
1 (Natildeo-negatividade)119875(119860 ge 0) forall evento 119860
2 (Aditividade) 119875 cup119895 119864119895 = 119875(119864119895) 119895 forall 119864119895 eventos disjuntos
3 (Normalizaccedilatildeo) 119875 119878 = 1
Definiccedilatildeo
Cap 4-36
Propriedades de uma
Probabilidade
Como consequecircncia dos Axiomas de Kolmogorov mostre que uma
funccedilatildeo probabilidade satisfaz as seguintes propriedades
1 119875 119864119888 = 1 minus 119875 119864
2 Se 1198641 sube 1198642 entatildeo 119875 1198641 le 119875 1198642
3 119875 120601 = 0
Ainda partindo dos axiomas de Kolmogorov podemos
provar a Regra geral da adiccedilatildeo
Regra Geral da Adiccedilatildeo
Cap 4-37
119875 119860 cup 119861 = 119875 119860 + 119875 119861 minus 119875(119860 cap 119861)
Regra Geral da Adiccedilatildeo
Regra geral da adiccedilatildeo
No caso particular em que os eventos satildeo
mutuamente excludentes continua valendo o axioma
de aditividade pois 119875 119860 cap 119861 = 0 daiacute
119875 119860 cup 119861 = 119875 119860 + 119875(119861)
Cap 4-38
119875 119860 cup 119861 = 119875 119860 + 119875 119861 minus 119875(119860 cap 119861)
Cap 4-39
Exemplo da Regra Geral de
Adiccedilatildeo
Cursando
estatiacutestica
Natildeo cursando
estatiacutestica
Total
Homem 84 145 229
Mulher 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Qual a probabilidade de selecionamos
aleatoriamente um homem ou um aluno(a) da estatiacutestica de
uma populaccedilatildeo descrita pela tabela abaixo
Cap 4-40
Exemplo da Regra Geral de
Adiccedilatildeo
Cursando
estatiacutestica
Natildeo cursando
estatiacutestica
Total
Homem 84 145 229
Mulher 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Qual a probabilidade de selecionamos
aleatoriamente um homem ou um aluno(a) da estatiacutestica de
uma populaccedilatildeo descrita pela tabela abaixo
119875 119867119900119898119890119898 cup 119864119904119905119886119905iacute119905119894119888119886 =
119875 119867119900119898119890119898 + 119875 119864119904119905119886119905iacute119904119905119894119888119886 minus 119875 119867119900119898119890119898 cap 119864119904119905119886119905119894119904119905119894119888119886 =229
439+160
439minus
84
439=305
439
Cap 4-41
Resumo de Probabilidade
Probabilidade eacute uma medida numeacuterica que informa a chance de um resultado ocorrer
A probabilidade de um evento deve estar entre 0 e 1 incluindo os extremos
0 le 119875(119860) le 1 para qquer evento 119860
A soma da probabilidade de uma particcedilatildeo do espaccedilo amostral eacute igual a 1
119875(119860) + 119875(119861) + 119875(119862) = 1
em que A B e C satildeo eventos mutuamente excludentes e coletivamente exaustivos (particcedilatildeo de 119878)
Certo
Impossiacutevel
05
1
0
Exemplo Probabilidade
Cap 4-42
Vocabulaacuterio Geral
Pelo menos 1 dos eventos A B ou ambos =
119860 cup 119861
Nenhum dos eventos nem A nem B = (119860 cup 119861)119888
Apenas 1 (ex Apenas A) possui A e natildeo possui B
= 119860 cap (119861119888)
Cap 4-43
Exerciacutecio Probabilidade
Selecione aleatoriamente um estudante em uma determinada
universidade e represente por A o evento dele possuir um cartatildeo de
creacutedito Visa e por B o evento anaacutelogo para um Mastercard Suponha que
P(Visa) = 05 P(Mastercard) = 04 e P (Ambos os cartotildees) = 025
1 Calcule a probabilidade de que um indiviacuteduo selecionado tenha
pelo menos um dos dois tipos de cartatildeo
2 Qual a probabilidade de o indiviacuteduo selecionado natildeo ter nenhum
dos tipos de cartatildeo
3 Descreva em termos de A e B o evento em que o estudante
selecionado possui um cartatildeo Visa mas natildeo um MasterCard
4 Calcule a probabilidade desse evento
Teacutecnicas de Contagem
Princiacutepio de contagem (divida e conquiste) o processo
eacute quebrado em vaacuterias etapas com o uso do diagrama de
aacutervores
Cap 4-44
n2
opccedilotildees
Folhas
n1
opccedilotildees
n3
opccedilotildees
n4
opccedilotildees
Estaacutegio
1
Estaacutegio
2
Estaacutegio
3
Estaacutegio
4
Nuacutemero total de folhas eacute
n1n2n3hellipni
n2
opccedilotildees
Desde que um mesmo
estaacutegio tenha o mesmo nordm
de opccedilotildees em cada ponto
da aacutervore
Teacutecnicas de Contagem
Princiacutepio de contagem
Considere um processo que contem r estaacutegios Suponha que
Existem n1 resultados possiacuteveis no primeiro estaacutegio
Para cada resultado possiacutevel do estaacutegio 1 existem n2
resultados possiacuteveis no estaacutegio 2
De forma mais geral para cada um dos resultados ni-1
primeiros estaacutegios existem ni resultados possiacuteveis no i-
eacutesimo estaacutegio
Entatildeo o Nuacutemero total de resultados possiacuteveis no processo de r
estaacutegios eacute de n1n2n3hellipnr
Cap 4-45
Teorema
Cap 4-46
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Um nuacutemero telefocircnico eacute composto de 8
diacutegitos mas o primeiro diacutegito apenas assume 3 valores
possiacuteveis 3 8 9 Quantos nuacutemeros distintos existem
Cap 4-47
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Um nuacutemero telefocircnico eacute composto de 8
diacutegitos mas o primeiro diacutegito apenas assume 3 valores
3 8 9 Quantos nuacutemeros distintos existem
Temos um total de 8 estaacutegios
No primeiro estaacutegio apenas 3 opccedilotildees
Nos demais estaacutegios 10 opccedilotildees
Total 3 107
Cap 4-48
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Quantos subconjutos podemos fazer a
partir de um conjunto com n elementos s1 s2 s3 hellip
sn
Cap 4-49
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Quantos subconjutos podemos fazer a
partir de um conjunto com n elementos s1 s2 s3 hellip
sn
Processo de n estaacutegios em cada estaacutegio decidimos se
colocamos ou natildeo o elemento no subconjunto
nuacutemero de opccedilotildees para o primeiro estaacutegio 2
Total 222hellip2 =2n
Cap 4-50
Teacutecnicas de Contagem
Problema Selecionar 119948 objetos de um total de 119951
objetos 119899 ge 119896 sem reposiccedilatildeo
Se a ordem eacute importante Arranjo
ex de palavra as eacute diferente de sa
Se a ordem natildeo eacute importante Combinaccedilatildeo
ex da loteria escolhemos um conjunto de 6 nordm a
ordem em que eles satildeo sorteados natildeo faz diferenccedila
Cap 4-51
Teacutecnicas de Contagem
Ao contraacuterio da permutaccedilatildeo na combinaccedilatildeo a ordem dos
elementos natildeo eacute importante
Exemplo
Permutaccedilatildeo de 2 elementos das letras A B C D
AB AC AD BA BC BD CA CB CD DA DB DC
Combinaccedilatildeo de 2 elementos das letras A B C D
AB AC AD BC BD CD
jaacute que a ordem natildeo eacute importante BA eacute o mesmo que
AB
Cap 4-52
Teacutecnicas de Contagem
Arranjo de k objetos
Queremos selecionar k objetos de um conjunto de n
objetos sem reposiccedilatildeo
Para o 1deg objeto n possibilidades
Para o 2deg objeto n-1 possibilidades
hellip
Para o uacuteltimo (kdeg objeto) n - (k-1) possibilidades
Total de permutaccedilotildees 119951 lowast (119951 minus 120783) lowast ⋯lowast (119951 minus 119948 + 120783)
Ou usando fatorial
Teorema
119899
119899 minus 119896
Cap 4-53
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Qual o total de palavras que podemos
construir com exatamente 4 letras distintas (natildeo precisa
ter significado nem seguir regras ortograacuteficas)
Cap 4-54
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Qual o total de palavras que podemos
construir com exatamente 4 letras distintas (natildeo
precisa ter significado nem seguir regras
ortograacuteficas)
Soluccedilatildeo
Selecionar 4 letras de um total de 26 sem repetir A
ordem eacute importante pois estamos formando
palavras (permutaccedilatildeo)
Total de arranjos de 4 elementos 26252423
Cap 4-55
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Vocecirc tem 10 CDs de muacutesica claacutessica 20
CDs de rock e 15 CDs de forroacute De quantas formas eacute
possiacutevel arranjar os seus CDs tal que os CDs do mesmo
tipo sempre fiquem juntos
Se os CDs forem colocados na prateleira de forma
aleatoacuteria qual eacute a probabilidade de os CDs do mesmo
estilo musical ficarem juntos
Cap 4-56
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Soluccedilatildeo princiacutepio da Contagem + Arranjos
Podemos quebrar o processo em 2 estaacutegios
1) Escolher a ordem dos tipos de Cds 321
2) Escolher a sequecircncia dos Cds para cada tipo
Para Cds de muacutesica claacutessica 10
Para Cds de rock 20
Para Cds de forroacute 15
Total 3102015
Cap 4-57
Teacutecnicas de Contagem
Combinaccedilatildeo de k elementos em n
Queremos contar o nuacutemero de subconjuntos de k elementos a
partir de um conjunto de n elementos sem reposiccedilatildeo
A ordem dos elementos natildeo eacute importante
Dizemos combinaccedilatildeo de n elementos k a k
Ex Formar comitecirc com 3 representantes de turma de um total de
131 alunos
Se todos tem mesmo poder a ordem de escolha natildeo eacute
importante combinaccedilatildeo
Se teremos presidente vice-presidente e secretaacuterio entatildeo a
ordem de escolha eacute importante permutaccedilatildeo
Teorema 119873119888119900119898119887119894119899119886ccedilotilde119890119904 =119899119896=
119899
119899 minus 119896 119896
Cap 4-58
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Qual o nuacutemero de combinaccedilotildees de 2
elementos distintos que podemos construir com as letras
A B C D
Cap 4-59
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Qual o nuacutemero de combinaccedilotildees de 2
elementos das letras A B C D
Soluccedilatildeo
Conferindo
AB AC AD BC BD CD
62)24(
4
2
4
scombinaccedilotildeeN
Cap 4-60
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Um armazeacutem da universidade recebeu 25
impressoras das quais 10 satildeo a laser e 15 a jato de tinta
Se 6 das 25 forem selecionadas aleatoriamente para para
serem verificadas por um teacutecnico qual seraacute a
probabilidade de exatamente 3 delas serem a laser
Cap 4-61
Teacutecnicas de Contagem
Soluccedilatildeo Seja 1198633= 3 das 6 selecionadas satildeo a laser Como a seleccedilatildeo das impressoras
dentre as 25 eacute aleatoacuteria cada uma delas tem a mesma chance de ser sorteada
Probabilidade claacutessica implica 119875 1198633 = 119899(1198633)119899
Como a ordem da seleccedilatildeo das impressoras natildeo importa 119899 =256
Para determinar 1198633 vamos dividir o processo em duas etapas 1) selecionamos 3 das 15
impressoras a tinta e 2) selecionamos 3 das 6 impressoras a laser Para cada elemento da
primeira etapa temos exatamente o mesmo nordm de possibilidades da segunda etapa Pelo
princiacutepio da contagem 119899 1198633 = 1198991 1198633 lowast 1198992 1198633
Como a ordem em que as impressoras satildeo selecionadas em cada etapa natildeo tem
importacircncia 1198991 1198633 =153
e 1198992 1198633 =63
Entatildeo
119875 1198633 =
153
63
256
= 03083
Desafio P(ao menos 3 das 6 selecionadas sejam a laser)
Cap 4-62
Resumo Nesta aula vimos
Como representar um modelo de probabilidade para uma situaccedilatildeo
incerta (experimento aleatoacuterio)
Etapa 1 definiccedilatildeo do espaccedilo amostral
Revisatildeo de conjuntos
Etapa 2 especificaccedilatildeo de uma funccedilatildeo probabilidade que atribui pesos
para a chance relativa de cada resultado do espaccedilo amostral
3 conceitos de probabilidade
Probabilidade claacutessica
Probabilidade Frequentista
Axiomas de Kolmogorov
Revisatildeo de teacutecnicas de contagem para podermos calcular
probabilidades
Na proacutexima aula veremos como incorporar informaccedilotildees novas ao
caacutelculo de probabilidade =gt Probabilidade condicional
Cap 4-22
Visualizando Eventos
Lanccedilamento de 2 dados de quatro lados
Espaccedilo Amostral para o
lanccedilamento de 2 dados
2deg dado
1deg dado
Diagrama de Aacutervore para
o lanccedilamento de 2 dados
Raiz
Folhas
Representaccedilatildeo por Matriz Representaccedilatildeo por Aacutervore
1deg dado
2deg dado
Modelo Probabiliacutestico
Cap 4-23
Experimento
Evento B
Evento A
Espaccedilo Amostral
Eventos
Os principais ingredientes de um modelo probabiliacutestico
Probabilidade
Etapa 1 Etapa 2
Cap 4-24
Probabilidade
Probabilidade atribuir chance (peso relativo) a
eventos possiacuteveis de um experimento aleatoacuterio
Diferentes conceitos
Definiccedilatildeo claacutessica de probabilidade
Definiccedilatildeo frequentista ou Definiccedilatildeo estatiacutestica de
probabilidade ou Definiccedilatildeo Claacutessica empiacuterica
Axiomas de Kolmogorov
Cap 4-25
Probabilidade Claacutessica
A definiccedilatildeo claacutessica de probabilidade se refere a subconjuntos
unitaacuterios e equiprovaacuteveis isto eacute conjuntos de resultados que tecircm a
mesma chance
CASO 1 No caso enumeraacutevel e finito em que a chance de sorteio de
cada resultado do espaccedilo amostral eacute a mesma a probabilidade de um
evento A eacute dada por
119875 119860 =119899ordm 119889119890 119907119890119911119890119904 119902119906119890 119860 119901119900119889119890 119900119888119900119903119903119890119903 119890119898 119878
119899ordm 119905119900119905119886119897 119889119890 119903119890119904119906119897119905119886119889119900119904 119901119900119904119904iacute119907119890119894119904 119890119898 119878
Definiccedilatildeo
Use Teacutecnicas de anaacutelise combinatoacuteria
e contagem para determinar o ndeg
total e o ndeg de vezes que A pode sair
Cap 4-26
Probabilidade Claacutessica
CASO 2 (probabilidade geomeacutetrica) Se 119878 eacute natildeo-
enumeraacutevel e equiprovaacutevel (mesma chance para cada
resultado) o conceito se aplica ao comprimento de
intervalos medidas de aacutereas hellip
Exemplo 119878 = [010] tal que cada valor pode sair
com a mesma chance dos demais Seja 119860 o
subconjunto [12] cup [68] Entatildeo
119875 119860 =119862119900119898119901119903119894119898119890119899119905119900 119889119890 119860
119862119900119898119901119903119894119898119890119899119905119900 119905119900119905119886119897 119889119890 119878=1+2
10= 03
Definiccedilatildeo
Probabilidade Claacutessica
Exerciacutecio Considere o experimento que consiste no
lanccedilamento de 2 dados balanceados e registram-se as faces
superiores
Calcular a probabilidade de
a) obter soma das faces superiores = 7
b) obter soma das faces superiores maior do que 10
c) que resultado do primeiro dado seja superior ao
resultado do segundo
Cap 4-27
Probabilidade Claacutessica
Exerciacutecio Considere o lanccedilamento de 2 dados balanceados
Total de resultados 36
Calcular a probabilidade de
a) Obter soma 7
2 resultados possiacuteveis (34) (43) (25) (52) (16) (61)
P(Soma=7)=636
b) Obter soma maior do que 10
3 resultados possiacuteveis (65) (56) e (66)
P(Somagt10) = 336
Cap 4-28
Probabilidade Claacutessica
Exerciacutecio Considere o lanccedilamento de 2 dados balanceados
Total de resultados 36
Calcular a probabilidade de
c) Que resultado do primeiro dado seja superior ao
resultado do segundo
Resultados possiacuteveis 15
P(1degdadogt2degdado)=15 36
Cap 4-29
1 2 3 4 5 6 1
2
3
4
5
6
1deg Dado
2deg
Da
do
Cap 4-30
Probabilidade Claacutessica
Em termos praacuteticos temos que determinar
O nuacutemero total de resultados possiacuteveis
O nuacutemero de vezes que podemos ganhar (A)
CUIDADO soacute pode ser aplicado quando todos os resultados do
espaccedilo amostral tem a mesma chance de ocorrer
Exemplos dado moeda sexo dos filhos
Contra-exemplo peso de pessoas (entre 40 e 120)
chance de (40 a 50 kg) lt chance (60 a 70 kg)
Intervalos com mesmo comprimento pela probabilidade
geomeacutetrica devem ter a mesma probabilidade Natildeo faz sentido
para o peso de pessoas
Cap 4-31
Probabilidade Frequentista
A probabilidade frequentista considera o limite de frequecircncias
relativas como o valor da probabilidade
Seja nA o nuacutemero de ocorrecircncia de A em n repeticcedilotildees independentes
do experimento Assim
119875 119860 = lim119899rarrinfin
119899119860119899
Assim definimos a probabilidade como a frequecircncia relativa
observada ao repertirmos o experimento um ndeg muito grande de vezes
Exemplo caixa com 100 moedas e conte o nuacutemero de caras ou ver
applet laquo probability raquo do Moore
Definiccedilatildeo
Cap 4-32
Probabilidade Frequentista
A probabilidade frequentista considera o limite de frequecircncias
relativas como o valor da probabilidade
Na praacutetica
repita o experimento aleatoacuterio um nuacutemero grande de vezes 119899
Conte o nordm de vezes que o evento de interesse 119860 aconteceu 119899119860
Entatildeo a probabilidade de o evento acontecer eacute calculada como
119875 119860 =119899119860119899
Eacute soacute isso
Cap 4-33
Probabilidade Frequentista
Cursando
estatiacutestica
Natildeo-
cursando
estatiacutestica
Total
Masculino 84 145 229
Feminino 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Encontre a probabilidade de selecionar um aluno de
estatiacutestica do sexo masculino a partir de uma populaccedilatildeo descrita
na tabela abaixo Considere que 439 eacute grande o suficiente para
aplicar a probabilidade frequentista
Neste caso o experimento consiste em selecionar uma pessoa
da populaccedilatildeo e em seguida observarmos o sexo e se cursa
estatiacutestica O experimento foi repetido 439 vezes
Cap 4-34
Probabilidade Frequentista
Cursando
estatiacutestica
Natildeo-
cursando
estatiacutestica
Total
Masculino 84 145 229
Feminino 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Encontre a probabilidade de selecionar um aluno de
estatiacutestica do sexo masculino a partir de uma populaccedilatildeo descrita
na tabela abaixo
119875 119867119900119898119890119898 cap 119864119904119905119886119905iacute119904119905119894119888119886 =119899ordm 119889119890 119867119900119898119890119898 cap 119864119904119905119886119905iacute119905119894119888119886
119899ordm 119889119890 119886119897119906119899119900119904=84
439= 0191
Cap 4-35
Axiomas de Probabilidade de
Kolmogorov
Axiomas de Kolmogorov
definiccedilatildeo formal de probabilidade
incluem as definiccedilotildees acima como casos particulares
Qualquer funccedilatildeo P() dos subconjuntos do espaccedilo amostral (eventos)
no intervalo [01] eacute uma probabilidade se satisfaz as condiccedilotildees
1 (Natildeo-negatividade)119875(119860 ge 0) forall evento 119860
2 (Aditividade) 119875 cup119895 119864119895 = 119875(119864119895) 119895 forall 119864119895 eventos disjuntos
3 (Normalizaccedilatildeo) 119875 119878 = 1
Definiccedilatildeo
Cap 4-36
Propriedades de uma
Probabilidade
Como consequecircncia dos Axiomas de Kolmogorov mostre que uma
funccedilatildeo probabilidade satisfaz as seguintes propriedades
1 119875 119864119888 = 1 minus 119875 119864
2 Se 1198641 sube 1198642 entatildeo 119875 1198641 le 119875 1198642
3 119875 120601 = 0
Ainda partindo dos axiomas de Kolmogorov podemos
provar a Regra geral da adiccedilatildeo
Regra Geral da Adiccedilatildeo
Cap 4-37
119875 119860 cup 119861 = 119875 119860 + 119875 119861 minus 119875(119860 cap 119861)
Regra Geral da Adiccedilatildeo
Regra geral da adiccedilatildeo
No caso particular em que os eventos satildeo
mutuamente excludentes continua valendo o axioma
de aditividade pois 119875 119860 cap 119861 = 0 daiacute
119875 119860 cup 119861 = 119875 119860 + 119875(119861)
Cap 4-38
119875 119860 cup 119861 = 119875 119860 + 119875 119861 minus 119875(119860 cap 119861)
Cap 4-39
Exemplo da Regra Geral de
Adiccedilatildeo
Cursando
estatiacutestica
Natildeo cursando
estatiacutestica
Total
Homem 84 145 229
Mulher 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Qual a probabilidade de selecionamos
aleatoriamente um homem ou um aluno(a) da estatiacutestica de
uma populaccedilatildeo descrita pela tabela abaixo
Cap 4-40
Exemplo da Regra Geral de
Adiccedilatildeo
Cursando
estatiacutestica
Natildeo cursando
estatiacutestica
Total
Homem 84 145 229
Mulher 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Qual a probabilidade de selecionamos
aleatoriamente um homem ou um aluno(a) da estatiacutestica de
uma populaccedilatildeo descrita pela tabela abaixo
119875 119867119900119898119890119898 cup 119864119904119905119886119905iacute119905119894119888119886 =
119875 119867119900119898119890119898 + 119875 119864119904119905119886119905iacute119904119905119894119888119886 minus 119875 119867119900119898119890119898 cap 119864119904119905119886119905119894119904119905119894119888119886 =229
439+160
439minus
84
439=305
439
Cap 4-41
Resumo de Probabilidade
Probabilidade eacute uma medida numeacuterica que informa a chance de um resultado ocorrer
A probabilidade de um evento deve estar entre 0 e 1 incluindo os extremos
0 le 119875(119860) le 1 para qquer evento 119860
A soma da probabilidade de uma particcedilatildeo do espaccedilo amostral eacute igual a 1
119875(119860) + 119875(119861) + 119875(119862) = 1
em que A B e C satildeo eventos mutuamente excludentes e coletivamente exaustivos (particcedilatildeo de 119878)
Certo
Impossiacutevel
05
1
0
Exemplo Probabilidade
Cap 4-42
Vocabulaacuterio Geral
Pelo menos 1 dos eventos A B ou ambos =
119860 cup 119861
Nenhum dos eventos nem A nem B = (119860 cup 119861)119888
Apenas 1 (ex Apenas A) possui A e natildeo possui B
= 119860 cap (119861119888)
Cap 4-43
Exerciacutecio Probabilidade
Selecione aleatoriamente um estudante em uma determinada
universidade e represente por A o evento dele possuir um cartatildeo de
creacutedito Visa e por B o evento anaacutelogo para um Mastercard Suponha que
P(Visa) = 05 P(Mastercard) = 04 e P (Ambos os cartotildees) = 025
1 Calcule a probabilidade de que um indiviacuteduo selecionado tenha
pelo menos um dos dois tipos de cartatildeo
2 Qual a probabilidade de o indiviacuteduo selecionado natildeo ter nenhum
dos tipos de cartatildeo
3 Descreva em termos de A e B o evento em que o estudante
selecionado possui um cartatildeo Visa mas natildeo um MasterCard
4 Calcule a probabilidade desse evento
Teacutecnicas de Contagem
Princiacutepio de contagem (divida e conquiste) o processo
eacute quebrado em vaacuterias etapas com o uso do diagrama de
aacutervores
Cap 4-44
n2
opccedilotildees
Folhas
n1
opccedilotildees
n3
opccedilotildees
n4
opccedilotildees
Estaacutegio
1
Estaacutegio
2
Estaacutegio
3
Estaacutegio
4
Nuacutemero total de folhas eacute
n1n2n3hellipni
n2
opccedilotildees
Desde que um mesmo
estaacutegio tenha o mesmo nordm
de opccedilotildees em cada ponto
da aacutervore
Teacutecnicas de Contagem
Princiacutepio de contagem
Considere um processo que contem r estaacutegios Suponha que
Existem n1 resultados possiacuteveis no primeiro estaacutegio
Para cada resultado possiacutevel do estaacutegio 1 existem n2
resultados possiacuteveis no estaacutegio 2
De forma mais geral para cada um dos resultados ni-1
primeiros estaacutegios existem ni resultados possiacuteveis no i-
eacutesimo estaacutegio
Entatildeo o Nuacutemero total de resultados possiacuteveis no processo de r
estaacutegios eacute de n1n2n3hellipnr
Cap 4-45
Teorema
Cap 4-46
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Um nuacutemero telefocircnico eacute composto de 8
diacutegitos mas o primeiro diacutegito apenas assume 3 valores
possiacuteveis 3 8 9 Quantos nuacutemeros distintos existem
Cap 4-47
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Um nuacutemero telefocircnico eacute composto de 8
diacutegitos mas o primeiro diacutegito apenas assume 3 valores
3 8 9 Quantos nuacutemeros distintos existem
Temos um total de 8 estaacutegios
No primeiro estaacutegio apenas 3 opccedilotildees
Nos demais estaacutegios 10 opccedilotildees
Total 3 107
Cap 4-48
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Quantos subconjutos podemos fazer a
partir de um conjunto com n elementos s1 s2 s3 hellip
sn
Cap 4-49
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Quantos subconjutos podemos fazer a
partir de um conjunto com n elementos s1 s2 s3 hellip
sn
Processo de n estaacutegios em cada estaacutegio decidimos se
colocamos ou natildeo o elemento no subconjunto
nuacutemero de opccedilotildees para o primeiro estaacutegio 2
Total 222hellip2 =2n
Cap 4-50
Teacutecnicas de Contagem
Problema Selecionar 119948 objetos de um total de 119951
objetos 119899 ge 119896 sem reposiccedilatildeo
Se a ordem eacute importante Arranjo
ex de palavra as eacute diferente de sa
Se a ordem natildeo eacute importante Combinaccedilatildeo
ex da loteria escolhemos um conjunto de 6 nordm a
ordem em que eles satildeo sorteados natildeo faz diferenccedila
Cap 4-51
Teacutecnicas de Contagem
Ao contraacuterio da permutaccedilatildeo na combinaccedilatildeo a ordem dos
elementos natildeo eacute importante
Exemplo
Permutaccedilatildeo de 2 elementos das letras A B C D
AB AC AD BA BC BD CA CB CD DA DB DC
Combinaccedilatildeo de 2 elementos das letras A B C D
AB AC AD BC BD CD
jaacute que a ordem natildeo eacute importante BA eacute o mesmo que
AB
Cap 4-52
Teacutecnicas de Contagem
Arranjo de k objetos
Queremos selecionar k objetos de um conjunto de n
objetos sem reposiccedilatildeo
Para o 1deg objeto n possibilidades
Para o 2deg objeto n-1 possibilidades
hellip
Para o uacuteltimo (kdeg objeto) n - (k-1) possibilidades
Total de permutaccedilotildees 119951 lowast (119951 minus 120783) lowast ⋯lowast (119951 minus 119948 + 120783)
Ou usando fatorial
Teorema
119899
119899 minus 119896
Cap 4-53
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Qual o total de palavras que podemos
construir com exatamente 4 letras distintas (natildeo precisa
ter significado nem seguir regras ortograacuteficas)
Cap 4-54
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Qual o total de palavras que podemos
construir com exatamente 4 letras distintas (natildeo
precisa ter significado nem seguir regras
ortograacuteficas)
Soluccedilatildeo
Selecionar 4 letras de um total de 26 sem repetir A
ordem eacute importante pois estamos formando
palavras (permutaccedilatildeo)
Total de arranjos de 4 elementos 26252423
Cap 4-55
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Vocecirc tem 10 CDs de muacutesica claacutessica 20
CDs de rock e 15 CDs de forroacute De quantas formas eacute
possiacutevel arranjar os seus CDs tal que os CDs do mesmo
tipo sempre fiquem juntos
Se os CDs forem colocados na prateleira de forma
aleatoacuteria qual eacute a probabilidade de os CDs do mesmo
estilo musical ficarem juntos
Cap 4-56
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Soluccedilatildeo princiacutepio da Contagem + Arranjos
Podemos quebrar o processo em 2 estaacutegios
1) Escolher a ordem dos tipos de Cds 321
2) Escolher a sequecircncia dos Cds para cada tipo
Para Cds de muacutesica claacutessica 10
Para Cds de rock 20
Para Cds de forroacute 15
Total 3102015
Cap 4-57
Teacutecnicas de Contagem
Combinaccedilatildeo de k elementos em n
Queremos contar o nuacutemero de subconjuntos de k elementos a
partir de um conjunto de n elementos sem reposiccedilatildeo
A ordem dos elementos natildeo eacute importante
Dizemos combinaccedilatildeo de n elementos k a k
Ex Formar comitecirc com 3 representantes de turma de um total de
131 alunos
Se todos tem mesmo poder a ordem de escolha natildeo eacute
importante combinaccedilatildeo
Se teremos presidente vice-presidente e secretaacuterio entatildeo a
ordem de escolha eacute importante permutaccedilatildeo
Teorema 119873119888119900119898119887119894119899119886ccedilotilde119890119904 =119899119896=
119899
119899 minus 119896 119896
Cap 4-58
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Qual o nuacutemero de combinaccedilotildees de 2
elementos distintos que podemos construir com as letras
A B C D
Cap 4-59
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Qual o nuacutemero de combinaccedilotildees de 2
elementos das letras A B C D
Soluccedilatildeo
Conferindo
AB AC AD BC BD CD
62)24(
4
2
4
scombinaccedilotildeeN
Cap 4-60
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Um armazeacutem da universidade recebeu 25
impressoras das quais 10 satildeo a laser e 15 a jato de tinta
Se 6 das 25 forem selecionadas aleatoriamente para para
serem verificadas por um teacutecnico qual seraacute a
probabilidade de exatamente 3 delas serem a laser
Cap 4-61
Teacutecnicas de Contagem
Soluccedilatildeo Seja 1198633= 3 das 6 selecionadas satildeo a laser Como a seleccedilatildeo das impressoras
dentre as 25 eacute aleatoacuteria cada uma delas tem a mesma chance de ser sorteada
Probabilidade claacutessica implica 119875 1198633 = 119899(1198633)119899
Como a ordem da seleccedilatildeo das impressoras natildeo importa 119899 =256
Para determinar 1198633 vamos dividir o processo em duas etapas 1) selecionamos 3 das 15
impressoras a tinta e 2) selecionamos 3 das 6 impressoras a laser Para cada elemento da
primeira etapa temos exatamente o mesmo nordm de possibilidades da segunda etapa Pelo
princiacutepio da contagem 119899 1198633 = 1198991 1198633 lowast 1198992 1198633
Como a ordem em que as impressoras satildeo selecionadas em cada etapa natildeo tem
importacircncia 1198991 1198633 =153
e 1198992 1198633 =63
Entatildeo
119875 1198633 =
153
63
256
= 03083
Desafio P(ao menos 3 das 6 selecionadas sejam a laser)
Cap 4-62
Resumo Nesta aula vimos
Como representar um modelo de probabilidade para uma situaccedilatildeo
incerta (experimento aleatoacuterio)
Etapa 1 definiccedilatildeo do espaccedilo amostral
Revisatildeo de conjuntos
Etapa 2 especificaccedilatildeo de uma funccedilatildeo probabilidade que atribui pesos
para a chance relativa de cada resultado do espaccedilo amostral
3 conceitos de probabilidade
Probabilidade claacutessica
Probabilidade Frequentista
Axiomas de Kolmogorov
Revisatildeo de teacutecnicas de contagem para podermos calcular
probabilidades
Na proacutexima aula veremos como incorporar informaccedilotildees novas ao
caacutelculo de probabilidade =gt Probabilidade condicional
Modelo Probabiliacutestico
Cap 4-23
Experimento
Evento B
Evento A
Espaccedilo Amostral
Eventos
Os principais ingredientes de um modelo probabiliacutestico
Probabilidade
Etapa 1 Etapa 2
Cap 4-24
Probabilidade
Probabilidade atribuir chance (peso relativo) a
eventos possiacuteveis de um experimento aleatoacuterio
Diferentes conceitos
Definiccedilatildeo claacutessica de probabilidade
Definiccedilatildeo frequentista ou Definiccedilatildeo estatiacutestica de
probabilidade ou Definiccedilatildeo Claacutessica empiacuterica
Axiomas de Kolmogorov
Cap 4-25
Probabilidade Claacutessica
A definiccedilatildeo claacutessica de probabilidade se refere a subconjuntos
unitaacuterios e equiprovaacuteveis isto eacute conjuntos de resultados que tecircm a
mesma chance
CASO 1 No caso enumeraacutevel e finito em que a chance de sorteio de
cada resultado do espaccedilo amostral eacute a mesma a probabilidade de um
evento A eacute dada por
119875 119860 =119899ordm 119889119890 119907119890119911119890119904 119902119906119890 119860 119901119900119889119890 119900119888119900119903119903119890119903 119890119898 119878
119899ordm 119905119900119905119886119897 119889119890 119903119890119904119906119897119905119886119889119900119904 119901119900119904119904iacute119907119890119894119904 119890119898 119878
Definiccedilatildeo
Use Teacutecnicas de anaacutelise combinatoacuteria
e contagem para determinar o ndeg
total e o ndeg de vezes que A pode sair
Cap 4-26
Probabilidade Claacutessica
CASO 2 (probabilidade geomeacutetrica) Se 119878 eacute natildeo-
enumeraacutevel e equiprovaacutevel (mesma chance para cada
resultado) o conceito se aplica ao comprimento de
intervalos medidas de aacutereas hellip
Exemplo 119878 = [010] tal que cada valor pode sair
com a mesma chance dos demais Seja 119860 o
subconjunto [12] cup [68] Entatildeo
119875 119860 =119862119900119898119901119903119894119898119890119899119905119900 119889119890 119860
119862119900119898119901119903119894119898119890119899119905119900 119905119900119905119886119897 119889119890 119878=1+2
10= 03
Definiccedilatildeo
Probabilidade Claacutessica
Exerciacutecio Considere o experimento que consiste no
lanccedilamento de 2 dados balanceados e registram-se as faces
superiores
Calcular a probabilidade de
a) obter soma das faces superiores = 7
b) obter soma das faces superiores maior do que 10
c) que resultado do primeiro dado seja superior ao
resultado do segundo
Cap 4-27
Probabilidade Claacutessica
Exerciacutecio Considere o lanccedilamento de 2 dados balanceados
Total de resultados 36
Calcular a probabilidade de
a) Obter soma 7
2 resultados possiacuteveis (34) (43) (25) (52) (16) (61)
P(Soma=7)=636
b) Obter soma maior do que 10
3 resultados possiacuteveis (65) (56) e (66)
P(Somagt10) = 336
Cap 4-28
Probabilidade Claacutessica
Exerciacutecio Considere o lanccedilamento de 2 dados balanceados
Total de resultados 36
Calcular a probabilidade de
c) Que resultado do primeiro dado seja superior ao
resultado do segundo
Resultados possiacuteveis 15
P(1degdadogt2degdado)=15 36
Cap 4-29
1 2 3 4 5 6 1
2
3
4
5
6
1deg Dado
2deg
Da
do
Cap 4-30
Probabilidade Claacutessica
Em termos praacuteticos temos que determinar
O nuacutemero total de resultados possiacuteveis
O nuacutemero de vezes que podemos ganhar (A)
CUIDADO soacute pode ser aplicado quando todos os resultados do
espaccedilo amostral tem a mesma chance de ocorrer
Exemplos dado moeda sexo dos filhos
Contra-exemplo peso de pessoas (entre 40 e 120)
chance de (40 a 50 kg) lt chance (60 a 70 kg)
Intervalos com mesmo comprimento pela probabilidade
geomeacutetrica devem ter a mesma probabilidade Natildeo faz sentido
para o peso de pessoas
Cap 4-31
Probabilidade Frequentista
A probabilidade frequentista considera o limite de frequecircncias
relativas como o valor da probabilidade
Seja nA o nuacutemero de ocorrecircncia de A em n repeticcedilotildees independentes
do experimento Assim
119875 119860 = lim119899rarrinfin
119899119860119899
Assim definimos a probabilidade como a frequecircncia relativa
observada ao repertirmos o experimento um ndeg muito grande de vezes
Exemplo caixa com 100 moedas e conte o nuacutemero de caras ou ver
applet laquo probability raquo do Moore
Definiccedilatildeo
Cap 4-32
Probabilidade Frequentista
A probabilidade frequentista considera o limite de frequecircncias
relativas como o valor da probabilidade
Na praacutetica
repita o experimento aleatoacuterio um nuacutemero grande de vezes 119899
Conte o nordm de vezes que o evento de interesse 119860 aconteceu 119899119860
Entatildeo a probabilidade de o evento acontecer eacute calculada como
119875 119860 =119899119860119899
Eacute soacute isso
Cap 4-33
Probabilidade Frequentista
Cursando
estatiacutestica
Natildeo-
cursando
estatiacutestica
Total
Masculino 84 145 229
Feminino 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Encontre a probabilidade de selecionar um aluno de
estatiacutestica do sexo masculino a partir de uma populaccedilatildeo descrita
na tabela abaixo Considere que 439 eacute grande o suficiente para
aplicar a probabilidade frequentista
Neste caso o experimento consiste em selecionar uma pessoa
da populaccedilatildeo e em seguida observarmos o sexo e se cursa
estatiacutestica O experimento foi repetido 439 vezes
Cap 4-34
Probabilidade Frequentista
Cursando
estatiacutestica
Natildeo-
cursando
estatiacutestica
Total
Masculino 84 145 229
Feminino 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Encontre a probabilidade de selecionar um aluno de
estatiacutestica do sexo masculino a partir de uma populaccedilatildeo descrita
na tabela abaixo
119875 119867119900119898119890119898 cap 119864119904119905119886119905iacute119904119905119894119888119886 =119899ordm 119889119890 119867119900119898119890119898 cap 119864119904119905119886119905iacute119905119894119888119886
119899ordm 119889119890 119886119897119906119899119900119904=84
439= 0191
Cap 4-35
Axiomas de Probabilidade de
Kolmogorov
Axiomas de Kolmogorov
definiccedilatildeo formal de probabilidade
incluem as definiccedilotildees acima como casos particulares
Qualquer funccedilatildeo P() dos subconjuntos do espaccedilo amostral (eventos)
no intervalo [01] eacute uma probabilidade se satisfaz as condiccedilotildees
1 (Natildeo-negatividade)119875(119860 ge 0) forall evento 119860
2 (Aditividade) 119875 cup119895 119864119895 = 119875(119864119895) 119895 forall 119864119895 eventos disjuntos
3 (Normalizaccedilatildeo) 119875 119878 = 1
Definiccedilatildeo
Cap 4-36
Propriedades de uma
Probabilidade
Como consequecircncia dos Axiomas de Kolmogorov mostre que uma
funccedilatildeo probabilidade satisfaz as seguintes propriedades
1 119875 119864119888 = 1 minus 119875 119864
2 Se 1198641 sube 1198642 entatildeo 119875 1198641 le 119875 1198642
3 119875 120601 = 0
Ainda partindo dos axiomas de Kolmogorov podemos
provar a Regra geral da adiccedilatildeo
Regra Geral da Adiccedilatildeo
Cap 4-37
119875 119860 cup 119861 = 119875 119860 + 119875 119861 minus 119875(119860 cap 119861)
Regra Geral da Adiccedilatildeo
Regra geral da adiccedilatildeo
No caso particular em que os eventos satildeo
mutuamente excludentes continua valendo o axioma
de aditividade pois 119875 119860 cap 119861 = 0 daiacute
119875 119860 cup 119861 = 119875 119860 + 119875(119861)
Cap 4-38
119875 119860 cup 119861 = 119875 119860 + 119875 119861 minus 119875(119860 cap 119861)
Cap 4-39
Exemplo da Regra Geral de
Adiccedilatildeo
Cursando
estatiacutestica
Natildeo cursando
estatiacutestica
Total
Homem 84 145 229
Mulher 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Qual a probabilidade de selecionamos
aleatoriamente um homem ou um aluno(a) da estatiacutestica de
uma populaccedilatildeo descrita pela tabela abaixo
Cap 4-40
Exemplo da Regra Geral de
Adiccedilatildeo
Cursando
estatiacutestica
Natildeo cursando
estatiacutestica
Total
Homem 84 145 229
Mulher 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Qual a probabilidade de selecionamos
aleatoriamente um homem ou um aluno(a) da estatiacutestica de
uma populaccedilatildeo descrita pela tabela abaixo
119875 119867119900119898119890119898 cup 119864119904119905119886119905iacute119905119894119888119886 =
119875 119867119900119898119890119898 + 119875 119864119904119905119886119905iacute119904119905119894119888119886 minus 119875 119867119900119898119890119898 cap 119864119904119905119886119905119894119904119905119894119888119886 =229
439+160
439minus
84
439=305
439
Cap 4-41
Resumo de Probabilidade
Probabilidade eacute uma medida numeacuterica que informa a chance de um resultado ocorrer
A probabilidade de um evento deve estar entre 0 e 1 incluindo os extremos
0 le 119875(119860) le 1 para qquer evento 119860
A soma da probabilidade de uma particcedilatildeo do espaccedilo amostral eacute igual a 1
119875(119860) + 119875(119861) + 119875(119862) = 1
em que A B e C satildeo eventos mutuamente excludentes e coletivamente exaustivos (particcedilatildeo de 119878)
Certo
Impossiacutevel
05
1
0
Exemplo Probabilidade
Cap 4-42
Vocabulaacuterio Geral
Pelo menos 1 dos eventos A B ou ambos =
119860 cup 119861
Nenhum dos eventos nem A nem B = (119860 cup 119861)119888
Apenas 1 (ex Apenas A) possui A e natildeo possui B
= 119860 cap (119861119888)
Cap 4-43
Exerciacutecio Probabilidade
Selecione aleatoriamente um estudante em uma determinada
universidade e represente por A o evento dele possuir um cartatildeo de
creacutedito Visa e por B o evento anaacutelogo para um Mastercard Suponha que
P(Visa) = 05 P(Mastercard) = 04 e P (Ambos os cartotildees) = 025
1 Calcule a probabilidade de que um indiviacuteduo selecionado tenha
pelo menos um dos dois tipos de cartatildeo
2 Qual a probabilidade de o indiviacuteduo selecionado natildeo ter nenhum
dos tipos de cartatildeo
3 Descreva em termos de A e B o evento em que o estudante
selecionado possui um cartatildeo Visa mas natildeo um MasterCard
4 Calcule a probabilidade desse evento
Teacutecnicas de Contagem
Princiacutepio de contagem (divida e conquiste) o processo
eacute quebrado em vaacuterias etapas com o uso do diagrama de
aacutervores
Cap 4-44
n2
opccedilotildees
Folhas
n1
opccedilotildees
n3
opccedilotildees
n4
opccedilotildees
Estaacutegio
1
Estaacutegio
2
Estaacutegio
3
Estaacutegio
4
Nuacutemero total de folhas eacute
n1n2n3hellipni
n2
opccedilotildees
Desde que um mesmo
estaacutegio tenha o mesmo nordm
de opccedilotildees em cada ponto
da aacutervore
Teacutecnicas de Contagem
Princiacutepio de contagem
Considere um processo que contem r estaacutegios Suponha que
Existem n1 resultados possiacuteveis no primeiro estaacutegio
Para cada resultado possiacutevel do estaacutegio 1 existem n2
resultados possiacuteveis no estaacutegio 2
De forma mais geral para cada um dos resultados ni-1
primeiros estaacutegios existem ni resultados possiacuteveis no i-
eacutesimo estaacutegio
Entatildeo o Nuacutemero total de resultados possiacuteveis no processo de r
estaacutegios eacute de n1n2n3hellipnr
Cap 4-45
Teorema
Cap 4-46
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Um nuacutemero telefocircnico eacute composto de 8
diacutegitos mas o primeiro diacutegito apenas assume 3 valores
possiacuteveis 3 8 9 Quantos nuacutemeros distintos existem
Cap 4-47
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Um nuacutemero telefocircnico eacute composto de 8
diacutegitos mas o primeiro diacutegito apenas assume 3 valores
3 8 9 Quantos nuacutemeros distintos existem
Temos um total de 8 estaacutegios
No primeiro estaacutegio apenas 3 opccedilotildees
Nos demais estaacutegios 10 opccedilotildees
Total 3 107
Cap 4-48
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Quantos subconjutos podemos fazer a
partir de um conjunto com n elementos s1 s2 s3 hellip
sn
Cap 4-49
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Quantos subconjutos podemos fazer a
partir de um conjunto com n elementos s1 s2 s3 hellip
sn
Processo de n estaacutegios em cada estaacutegio decidimos se
colocamos ou natildeo o elemento no subconjunto
nuacutemero de opccedilotildees para o primeiro estaacutegio 2
Total 222hellip2 =2n
Cap 4-50
Teacutecnicas de Contagem
Problema Selecionar 119948 objetos de um total de 119951
objetos 119899 ge 119896 sem reposiccedilatildeo
Se a ordem eacute importante Arranjo
ex de palavra as eacute diferente de sa
Se a ordem natildeo eacute importante Combinaccedilatildeo
ex da loteria escolhemos um conjunto de 6 nordm a
ordem em que eles satildeo sorteados natildeo faz diferenccedila
Cap 4-51
Teacutecnicas de Contagem
Ao contraacuterio da permutaccedilatildeo na combinaccedilatildeo a ordem dos
elementos natildeo eacute importante
Exemplo
Permutaccedilatildeo de 2 elementos das letras A B C D
AB AC AD BA BC BD CA CB CD DA DB DC
Combinaccedilatildeo de 2 elementos das letras A B C D
AB AC AD BC BD CD
jaacute que a ordem natildeo eacute importante BA eacute o mesmo que
AB
Cap 4-52
Teacutecnicas de Contagem
Arranjo de k objetos
Queremos selecionar k objetos de um conjunto de n
objetos sem reposiccedilatildeo
Para o 1deg objeto n possibilidades
Para o 2deg objeto n-1 possibilidades
hellip
Para o uacuteltimo (kdeg objeto) n - (k-1) possibilidades
Total de permutaccedilotildees 119951 lowast (119951 minus 120783) lowast ⋯lowast (119951 minus 119948 + 120783)
Ou usando fatorial
Teorema
119899
119899 minus 119896
Cap 4-53
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Qual o total de palavras que podemos
construir com exatamente 4 letras distintas (natildeo precisa
ter significado nem seguir regras ortograacuteficas)
Cap 4-54
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Qual o total de palavras que podemos
construir com exatamente 4 letras distintas (natildeo
precisa ter significado nem seguir regras
ortograacuteficas)
Soluccedilatildeo
Selecionar 4 letras de um total de 26 sem repetir A
ordem eacute importante pois estamos formando
palavras (permutaccedilatildeo)
Total de arranjos de 4 elementos 26252423
Cap 4-55
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Vocecirc tem 10 CDs de muacutesica claacutessica 20
CDs de rock e 15 CDs de forroacute De quantas formas eacute
possiacutevel arranjar os seus CDs tal que os CDs do mesmo
tipo sempre fiquem juntos
Se os CDs forem colocados na prateleira de forma
aleatoacuteria qual eacute a probabilidade de os CDs do mesmo
estilo musical ficarem juntos
Cap 4-56
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Soluccedilatildeo princiacutepio da Contagem + Arranjos
Podemos quebrar o processo em 2 estaacutegios
1) Escolher a ordem dos tipos de Cds 321
2) Escolher a sequecircncia dos Cds para cada tipo
Para Cds de muacutesica claacutessica 10
Para Cds de rock 20
Para Cds de forroacute 15
Total 3102015
Cap 4-57
Teacutecnicas de Contagem
Combinaccedilatildeo de k elementos em n
Queremos contar o nuacutemero de subconjuntos de k elementos a
partir de um conjunto de n elementos sem reposiccedilatildeo
A ordem dos elementos natildeo eacute importante
Dizemos combinaccedilatildeo de n elementos k a k
Ex Formar comitecirc com 3 representantes de turma de um total de
131 alunos
Se todos tem mesmo poder a ordem de escolha natildeo eacute
importante combinaccedilatildeo
Se teremos presidente vice-presidente e secretaacuterio entatildeo a
ordem de escolha eacute importante permutaccedilatildeo
Teorema 119873119888119900119898119887119894119899119886ccedilotilde119890119904 =119899119896=
119899
119899 minus 119896 119896
Cap 4-58
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Qual o nuacutemero de combinaccedilotildees de 2
elementos distintos que podemos construir com as letras
A B C D
Cap 4-59
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Qual o nuacutemero de combinaccedilotildees de 2
elementos das letras A B C D
Soluccedilatildeo
Conferindo
AB AC AD BC BD CD
62)24(
4
2
4
scombinaccedilotildeeN
Cap 4-60
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Um armazeacutem da universidade recebeu 25
impressoras das quais 10 satildeo a laser e 15 a jato de tinta
Se 6 das 25 forem selecionadas aleatoriamente para para
serem verificadas por um teacutecnico qual seraacute a
probabilidade de exatamente 3 delas serem a laser
Cap 4-61
Teacutecnicas de Contagem
Soluccedilatildeo Seja 1198633= 3 das 6 selecionadas satildeo a laser Como a seleccedilatildeo das impressoras
dentre as 25 eacute aleatoacuteria cada uma delas tem a mesma chance de ser sorteada
Probabilidade claacutessica implica 119875 1198633 = 119899(1198633)119899
Como a ordem da seleccedilatildeo das impressoras natildeo importa 119899 =256
Para determinar 1198633 vamos dividir o processo em duas etapas 1) selecionamos 3 das 15
impressoras a tinta e 2) selecionamos 3 das 6 impressoras a laser Para cada elemento da
primeira etapa temos exatamente o mesmo nordm de possibilidades da segunda etapa Pelo
princiacutepio da contagem 119899 1198633 = 1198991 1198633 lowast 1198992 1198633
Como a ordem em que as impressoras satildeo selecionadas em cada etapa natildeo tem
importacircncia 1198991 1198633 =153
e 1198992 1198633 =63
Entatildeo
119875 1198633 =
153
63
256
= 03083
Desafio P(ao menos 3 das 6 selecionadas sejam a laser)
Cap 4-62
Resumo Nesta aula vimos
Como representar um modelo de probabilidade para uma situaccedilatildeo
incerta (experimento aleatoacuterio)
Etapa 1 definiccedilatildeo do espaccedilo amostral
Revisatildeo de conjuntos
Etapa 2 especificaccedilatildeo de uma funccedilatildeo probabilidade que atribui pesos
para a chance relativa de cada resultado do espaccedilo amostral
3 conceitos de probabilidade
Probabilidade claacutessica
Probabilidade Frequentista
Axiomas de Kolmogorov
Revisatildeo de teacutecnicas de contagem para podermos calcular
probabilidades
Na proacutexima aula veremos como incorporar informaccedilotildees novas ao
caacutelculo de probabilidade =gt Probabilidade condicional
Cap 4-24
Probabilidade
Probabilidade atribuir chance (peso relativo) a
eventos possiacuteveis de um experimento aleatoacuterio
Diferentes conceitos
Definiccedilatildeo claacutessica de probabilidade
Definiccedilatildeo frequentista ou Definiccedilatildeo estatiacutestica de
probabilidade ou Definiccedilatildeo Claacutessica empiacuterica
Axiomas de Kolmogorov
Cap 4-25
Probabilidade Claacutessica
A definiccedilatildeo claacutessica de probabilidade se refere a subconjuntos
unitaacuterios e equiprovaacuteveis isto eacute conjuntos de resultados que tecircm a
mesma chance
CASO 1 No caso enumeraacutevel e finito em que a chance de sorteio de
cada resultado do espaccedilo amostral eacute a mesma a probabilidade de um
evento A eacute dada por
119875 119860 =119899ordm 119889119890 119907119890119911119890119904 119902119906119890 119860 119901119900119889119890 119900119888119900119903119903119890119903 119890119898 119878
119899ordm 119905119900119905119886119897 119889119890 119903119890119904119906119897119905119886119889119900119904 119901119900119904119904iacute119907119890119894119904 119890119898 119878
Definiccedilatildeo
Use Teacutecnicas de anaacutelise combinatoacuteria
e contagem para determinar o ndeg
total e o ndeg de vezes que A pode sair
Cap 4-26
Probabilidade Claacutessica
CASO 2 (probabilidade geomeacutetrica) Se 119878 eacute natildeo-
enumeraacutevel e equiprovaacutevel (mesma chance para cada
resultado) o conceito se aplica ao comprimento de
intervalos medidas de aacutereas hellip
Exemplo 119878 = [010] tal que cada valor pode sair
com a mesma chance dos demais Seja 119860 o
subconjunto [12] cup [68] Entatildeo
119875 119860 =119862119900119898119901119903119894119898119890119899119905119900 119889119890 119860
119862119900119898119901119903119894119898119890119899119905119900 119905119900119905119886119897 119889119890 119878=1+2
10= 03
Definiccedilatildeo
Probabilidade Claacutessica
Exerciacutecio Considere o experimento que consiste no
lanccedilamento de 2 dados balanceados e registram-se as faces
superiores
Calcular a probabilidade de
a) obter soma das faces superiores = 7
b) obter soma das faces superiores maior do que 10
c) que resultado do primeiro dado seja superior ao
resultado do segundo
Cap 4-27
Probabilidade Claacutessica
Exerciacutecio Considere o lanccedilamento de 2 dados balanceados
Total de resultados 36
Calcular a probabilidade de
a) Obter soma 7
2 resultados possiacuteveis (34) (43) (25) (52) (16) (61)
P(Soma=7)=636
b) Obter soma maior do que 10
3 resultados possiacuteveis (65) (56) e (66)
P(Somagt10) = 336
Cap 4-28
Probabilidade Claacutessica
Exerciacutecio Considere o lanccedilamento de 2 dados balanceados
Total de resultados 36
Calcular a probabilidade de
c) Que resultado do primeiro dado seja superior ao
resultado do segundo
Resultados possiacuteveis 15
P(1degdadogt2degdado)=15 36
Cap 4-29
1 2 3 4 5 6 1
2
3
4
5
6
1deg Dado
2deg
Da
do
Cap 4-30
Probabilidade Claacutessica
Em termos praacuteticos temos que determinar
O nuacutemero total de resultados possiacuteveis
O nuacutemero de vezes que podemos ganhar (A)
CUIDADO soacute pode ser aplicado quando todos os resultados do
espaccedilo amostral tem a mesma chance de ocorrer
Exemplos dado moeda sexo dos filhos
Contra-exemplo peso de pessoas (entre 40 e 120)
chance de (40 a 50 kg) lt chance (60 a 70 kg)
Intervalos com mesmo comprimento pela probabilidade
geomeacutetrica devem ter a mesma probabilidade Natildeo faz sentido
para o peso de pessoas
Cap 4-31
Probabilidade Frequentista
A probabilidade frequentista considera o limite de frequecircncias
relativas como o valor da probabilidade
Seja nA o nuacutemero de ocorrecircncia de A em n repeticcedilotildees independentes
do experimento Assim
119875 119860 = lim119899rarrinfin
119899119860119899
Assim definimos a probabilidade como a frequecircncia relativa
observada ao repertirmos o experimento um ndeg muito grande de vezes
Exemplo caixa com 100 moedas e conte o nuacutemero de caras ou ver
applet laquo probability raquo do Moore
Definiccedilatildeo
Cap 4-32
Probabilidade Frequentista
A probabilidade frequentista considera o limite de frequecircncias
relativas como o valor da probabilidade
Na praacutetica
repita o experimento aleatoacuterio um nuacutemero grande de vezes 119899
Conte o nordm de vezes que o evento de interesse 119860 aconteceu 119899119860
Entatildeo a probabilidade de o evento acontecer eacute calculada como
119875 119860 =119899119860119899
Eacute soacute isso
Cap 4-33
Probabilidade Frequentista
Cursando
estatiacutestica
Natildeo-
cursando
estatiacutestica
Total
Masculino 84 145 229
Feminino 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Encontre a probabilidade de selecionar um aluno de
estatiacutestica do sexo masculino a partir de uma populaccedilatildeo descrita
na tabela abaixo Considere que 439 eacute grande o suficiente para
aplicar a probabilidade frequentista
Neste caso o experimento consiste em selecionar uma pessoa
da populaccedilatildeo e em seguida observarmos o sexo e se cursa
estatiacutestica O experimento foi repetido 439 vezes
Cap 4-34
Probabilidade Frequentista
Cursando
estatiacutestica
Natildeo-
cursando
estatiacutestica
Total
Masculino 84 145 229
Feminino 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Encontre a probabilidade de selecionar um aluno de
estatiacutestica do sexo masculino a partir de uma populaccedilatildeo descrita
na tabela abaixo
119875 119867119900119898119890119898 cap 119864119904119905119886119905iacute119904119905119894119888119886 =119899ordm 119889119890 119867119900119898119890119898 cap 119864119904119905119886119905iacute119905119894119888119886
119899ordm 119889119890 119886119897119906119899119900119904=84
439= 0191
Cap 4-35
Axiomas de Probabilidade de
Kolmogorov
Axiomas de Kolmogorov
definiccedilatildeo formal de probabilidade
incluem as definiccedilotildees acima como casos particulares
Qualquer funccedilatildeo P() dos subconjuntos do espaccedilo amostral (eventos)
no intervalo [01] eacute uma probabilidade se satisfaz as condiccedilotildees
1 (Natildeo-negatividade)119875(119860 ge 0) forall evento 119860
2 (Aditividade) 119875 cup119895 119864119895 = 119875(119864119895) 119895 forall 119864119895 eventos disjuntos
3 (Normalizaccedilatildeo) 119875 119878 = 1
Definiccedilatildeo
Cap 4-36
Propriedades de uma
Probabilidade
Como consequecircncia dos Axiomas de Kolmogorov mostre que uma
funccedilatildeo probabilidade satisfaz as seguintes propriedades
1 119875 119864119888 = 1 minus 119875 119864
2 Se 1198641 sube 1198642 entatildeo 119875 1198641 le 119875 1198642
3 119875 120601 = 0
Ainda partindo dos axiomas de Kolmogorov podemos
provar a Regra geral da adiccedilatildeo
Regra Geral da Adiccedilatildeo
Cap 4-37
119875 119860 cup 119861 = 119875 119860 + 119875 119861 minus 119875(119860 cap 119861)
Regra Geral da Adiccedilatildeo
Regra geral da adiccedilatildeo
No caso particular em que os eventos satildeo
mutuamente excludentes continua valendo o axioma
de aditividade pois 119875 119860 cap 119861 = 0 daiacute
119875 119860 cup 119861 = 119875 119860 + 119875(119861)
Cap 4-38
119875 119860 cup 119861 = 119875 119860 + 119875 119861 minus 119875(119860 cap 119861)
Cap 4-39
Exemplo da Regra Geral de
Adiccedilatildeo
Cursando
estatiacutestica
Natildeo cursando
estatiacutestica
Total
Homem 84 145 229
Mulher 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Qual a probabilidade de selecionamos
aleatoriamente um homem ou um aluno(a) da estatiacutestica de
uma populaccedilatildeo descrita pela tabela abaixo
Cap 4-40
Exemplo da Regra Geral de
Adiccedilatildeo
Cursando
estatiacutestica
Natildeo cursando
estatiacutestica
Total
Homem 84 145 229
Mulher 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Qual a probabilidade de selecionamos
aleatoriamente um homem ou um aluno(a) da estatiacutestica de
uma populaccedilatildeo descrita pela tabela abaixo
119875 119867119900119898119890119898 cup 119864119904119905119886119905iacute119905119894119888119886 =
119875 119867119900119898119890119898 + 119875 119864119904119905119886119905iacute119904119905119894119888119886 minus 119875 119867119900119898119890119898 cap 119864119904119905119886119905119894119904119905119894119888119886 =229
439+160
439minus
84
439=305
439
Cap 4-41
Resumo de Probabilidade
Probabilidade eacute uma medida numeacuterica que informa a chance de um resultado ocorrer
A probabilidade de um evento deve estar entre 0 e 1 incluindo os extremos
0 le 119875(119860) le 1 para qquer evento 119860
A soma da probabilidade de uma particcedilatildeo do espaccedilo amostral eacute igual a 1
119875(119860) + 119875(119861) + 119875(119862) = 1
em que A B e C satildeo eventos mutuamente excludentes e coletivamente exaustivos (particcedilatildeo de 119878)
Certo
Impossiacutevel
05
1
0
Exemplo Probabilidade
Cap 4-42
Vocabulaacuterio Geral
Pelo menos 1 dos eventos A B ou ambos =
119860 cup 119861
Nenhum dos eventos nem A nem B = (119860 cup 119861)119888
Apenas 1 (ex Apenas A) possui A e natildeo possui B
= 119860 cap (119861119888)
Cap 4-43
Exerciacutecio Probabilidade
Selecione aleatoriamente um estudante em uma determinada
universidade e represente por A o evento dele possuir um cartatildeo de
creacutedito Visa e por B o evento anaacutelogo para um Mastercard Suponha que
P(Visa) = 05 P(Mastercard) = 04 e P (Ambos os cartotildees) = 025
1 Calcule a probabilidade de que um indiviacuteduo selecionado tenha
pelo menos um dos dois tipos de cartatildeo
2 Qual a probabilidade de o indiviacuteduo selecionado natildeo ter nenhum
dos tipos de cartatildeo
3 Descreva em termos de A e B o evento em que o estudante
selecionado possui um cartatildeo Visa mas natildeo um MasterCard
4 Calcule a probabilidade desse evento
Teacutecnicas de Contagem
Princiacutepio de contagem (divida e conquiste) o processo
eacute quebrado em vaacuterias etapas com o uso do diagrama de
aacutervores
Cap 4-44
n2
opccedilotildees
Folhas
n1
opccedilotildees
n3
opccedilotildees
n4
opccedilotildees
Estaacutegio
1
Estaacutegio
2
Estaacutegio
3
Estaacutegio
4
Nuacutemero total de folhas eacute
n1n2n3hellipni
n2
opccedilotildees
Desde que um mesmo
estaacutegio tenha o mesmo nordm
de opccedilotildees em cada ponto
da aacutervore
Teacutecnicas de Contagem
Princiacutepio de contagem
Considere um processo que contem r estaacutegios Suponha que
Existem n1 resultados possiacuteveis no primeiro estaacutegio
Para cada resultado possiacutevel do estaacutegio 1 existem n2
resultados possiacuteveis no estaacutegio 2
De forma mais geral para cada um dos resultados ni-1
primeiros estaacutegios existem ni resultados possiacuteveis no i-
eacutesimo estaacutegio
Entatildeo o Nuacutemero total de resultados possiacuteveis no processo de r
estaacutegios eacute de n1n2n3hellipnr
Cap 4-45
Teorema
Cap 4-46
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Um nuacutemero telefocircnico eacute composto de 8
diacutegitos mas o primeiro diacutegito apenas assume 3 valores
possiacuteveis 3 8 9 Quantos nuacutemeros distintos existem
Cap 4-47
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Um nuacutemero telefocircnico eacute composto de 8
diacutegitos mas o primeiro diacutegito apenas assume 3 valores
3 8 9 Quantos nuacutemeros distintos existem
Temos um total de 8 estaacutegios
No primeiro estaacutegio apenas 3 opccedilotildees
Nos demais estaacutegios 10 opccedilotildees
Total 3 107
Cap 4-48
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Quantos subconjutos podemos fazer a
partir de um conjunto com n elementos s1 s2 s3 hellip
sn
Cap 4-49
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Quantos subconjutos podemos fazer a
partir de um conjunto com n elementos s1 s2 s3 hellip
sn
Processo de n estaacutegios em cada estaacutegio decidimos se
colocamos ou natildeo o elemento no subconjunto
nuacutemero de opccedilotildees para o primeiro estaacutegio 2
Total 222hellip2 =2n
Cap 4-50
Teacutecnicas de Contagem
Problema Selecionar 119948 objetos de um total de 119951
objetos 119899 ge 119896 sem reposiccedilatildeo
Se a ordem eacute importante Arranjo
ex de palavra as eacute diferente de sa
Se a ordem natildeo eacute importante Combinaccedilatildeo
ex da loteria escolhemos um conjunto de 6 nordm a
ordem em que eles satildeo sorteados natildeo faz diferenccedila
Cap 4-51
Teacutecnicas de Contagem
Ao contraacuterio da permutaccedilatildeo na combinaccedilatildeo a ordem dos
elementos natildeo eacute importante
Exemplo
Permutaccedilatildeo de 2 elementos das letras A B C D
AB AC AD BA BC BD CA CB CD DA DB DC
Combinaccedilatildeo de 2 elementos das letras A B C D
AB AC AD BC BD CD
jaacute que a ordem natildeo eacute importante BA eacute o mesmo que
AB
Cap 4-52
Teacutecnicas de Contagem
Arranjo de k objetos
Queremos selecionar k objetos de um conjunto de n
objetos sem reposiccedilatildeo
Para o 1deg objeto n possibilidades
Para o 2deg objeto n-1 possibilidades
hellip
Para o uacuteltimo (kdeg objeto) n - (k-1) possibilidades
Total de permutaccedilotildees 119951 lowast (119951 minus 120783) lowast ⋯lowast (119951 minus 119948 + 120783)
Ou usando fatorial
Teorema
119899
119899 minus 119896
Cap 4-53
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Qual o total de palavras que podemos
construir com exatamente 4 letras distintas (natildeo precisa
ter significado nem seguir regras ortograacuteficas)
Cap 4-54
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Qual o total de palavras que podemos
construir com exatamente 4 letras distintas (natildeo
precisa ter significado nem seguir regras
ortograacuteficas)
Soluccedilatildeo
Selecionar 4 letras de um total de 26 sem repetir A
ordem eacute importante pois estamos formando
palavras (permutaccedilatildeo)
Total de arranjos de 4 elementos 26252423
Cap 4-55
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Vocecirc tem 10 CDs de muacutesica claacutessica 20
CDs de rock e 15 CDs de forroacute De quantas formas eacute
possiacutevel arranjar os seus CDs tal que os CDs do mesmo
tipo sempre fiquem juntos
Se os CDs forem colocados na prateleira de forma
aleatoacuteria qual eacute a probabilidade de os CDs do mesmo
estilo musical ficarem juntos
Cap 4-56
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Soluccedilatildeo princiacutepio da Contagem + Arranjos
Podemos quebrar o processo em 2 estaacutegios
1) Escolher a ordem dos tipos de Cds 321
2) Escolher a sequecircncia dos Cds para cada tipo
Para Cds de muacutesica claacutessica 10
Para Cds de rock 20
Para Cds de forroacute 15
Total 3102015
Cap 4-57
Teacutecnicas de Contagem
Combinaccedilatildeo de k elementos em n
Queremos contar o nuacutemero de subconjuntos de k elementos a
partir de um conjunto de n elementos sem reposiccedilatildeo
A ordem dos elementos natildeo eacute importante
Dizemos combinaccedilatildeo de n elementos k a k
Ex Formar comitecirc com 3 representantes de turma de um total de
131 alunos
Se todos tem mesmo poder a ordem de escolha natildeo eacute
importante combinaccedilatildeo
Se teremos presidente vice-presidente e secretaacuterio entatildeo a
ordem de escolha eacute importante permutaccedilatildeo
Teorema 119873119888119900119898119887119894119899119886ccedilotilde119890119904 =119899119896=
119899
119899 minus 119896 119896
Cap 4-58
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Qual o nuacutemero de combinaccedilotildees de 2
elementos distintos que podemos construir com as letras
A B C D
Cap 4-59
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Qual o nuacutemero de combinaccedilotildees de 2
elementos das letras A B C D
Soluccedilatildeo
Conferindo
AB AC AD BC BD CD
62)24(
4
2
4
scombinaccedilotildeeN
Cap 4-60
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Um armazeacutem da universidade recebeu 25
impressoras das quais 10 satildeo a laser e 15 a jato de tinta
Se 6 das 25 forem selecionadas aleatoriamente para para
serem verificadas por um teacutecnico qual seraacute a
probabilidade de exatamente 3 delas serem a laser
Cap 4-61
Teacutecnicas de Contagem
Soluccedilatildeo Seja 1198633= 3 das 6 selecionadas satildeo a laser Como a seleccedilatildeo das impressoras
dentre as 25 eacute aleatoacuteria cada uma delas tem a mesma chance de ser sorteada
Probabilidade claacutessica implica 119875 1198633 = 119899(1198633)119899
Como a ordem da seleccedilatildeo das impressoras natildeo importa 119899 =256
Para determinar 1198633 vamos dividir o processo em duas etapas 1) selecionamos 3 das 15
impressoras a tinta e 2) selecionamos 3 das 6 impressoras a laser Para cada elemento da
primeira etapa temos exatamente o mesmo nordm de possibilidades da segunda etapa Pelo
princiacutepio da contagem 119899 1198633 = 1198991 1198633 lowast 1198992 1198633
Como a ordem em que as impressoras satildeo selecionadas em cada etapa natildeo tem
importacircncia 1198991 1198633 =153
e 1198992 1198633 =63
Entatildeo
119875 1198633 =
153
63
256
= 03083
Desafio P(ao menos 3 das 6 selecionadas sejam a laser)
Cap 4-62
Resumo Nesta aula vimos
Como representar um modelo de probabilidade para uma situaccedilatildeo
incerta (experimento aleatoacuterio)
Etapa 1 definiccedilatildeo do espaccedilo amostral
Revisatildeo de conjuntos
Etapa 2 especificaccedilatildeo de uma funccedilatildeo probabilidade que atribui pesos
para a chance relativa de cada resultado do espaccedilo amostral
3 conceitos de probabilidade
Probabilidade claacutessica
Probabilidade Frequentista
Axiomas de Kolmogorov
Revisatildeo de teacutecnicas de contagem para podermos calcular
probabilidades
Na proacutexima aula veremos como incorporar informaccedilotildees novas ao
caacutelculo de probabilidade =gt Probabilidade condicional
Cap 4-25
Probabilidade Claacutessica
A definiccedilatildeo claacutessica de probabilidade se refere a subconjuntos
unitaacuterios e equiprovaacuteveis isto eacute conjuntos de resultados que tecircm a
mesma chance
CASO 1 No caso enumeraacutevel e finito em que a chance de sorteio de
cada resultado do espaccedilo amostral eacute a mesma a probabilidade de um
evento A eacute dada por
119875 119860 =119899ordm 119889119890 119907119890119911119890119904 119902119906119890 119860 119901119900119889119890 119900119888119900119903119903119890119903 119890119898 119878
119899ordm 119905119900119905119886119897 119889119890 119903119890119904119906119897119905119886119889119900119904 119901119900119904119904iacute119907119890119894119904 119890119898 119878
Definiccedilatildeo
Use Teacutecnicas de anaacutelise combinatoacuteria
e contagem para determinar o ndeg
total e o ndeg de vezes que A pode sair
Cap 4-26
Probabilidade Claacutessica
CASO 2 (probabilidade geomeacutetrica) Se 119878 eacute natildeo-
enumeraacutevel e equiprovaacutevel (mesma chance para cada
resultado) o conceito se aplica ao comprimento de
intervalos medidas de aacutereas hellip
Exemplo 119878 = [010] tal que cada valor pode sair
com a mesma chance dos demais Seja 119860 o
subconjunto [12] cup [68] Entatildeo
119875 119860 =119862119900119898119901119903119894119898119890119899119905119900 119889119890 119860
119862119900119898119901119903119894119898119890119899119905119900 119905119900119905119886119897 119889119890 119878=1+2
10= 03
Definiccedilatildeo
Probabilidade Claacutessica
Exerciacutecio Considere o experimento que consiste no
lanccedilamento de 2 dados balanceados e registram-se as faces
superiores
Calcular a probabilidade de
a) obter soma das faces superiores = 7
b) obter soma das faces superiores maior do que 10
c) que resultado do primeiro dado seja superior ao
resultado do segundo
Cap 4-27
Probabilidade Claacutessica
Exerciacutecio Considere o lanccedilamento de 2 dados balanceados
Total de resultados 36
Calcular a probabilidade de
a) Obter soma 7
2 resultados possiacuteveis (34) (43) (25) (52) (16) (61)
P(Soma=7)=636
b) Obter soma maior do que 10
3 resultados possiacuteveis (65) (56) e (66)
P(Somagt10) = 336
Cap 4-28
Probabilidade Claacutessica
Exerciacutecio Considere o lanccedilamento de 2 dados balanceados
Total de resultados 36
Calcular a probabilidade de
c) Que resultado do primeiro dado seja superior ao
resultado do segundo
Resultados possiacuteveis 15
P(1degdadogt2degdado)=15 36
Cap 4-29
1 2 3 4 5 6 1
2
3
4
5
6
1deg Dado
2deg
Da
do
Cap 4-30
Probabilidade Claacutessica
Em termos praacuteticos temos que determinar
O nuacutemero total de resultados possiacuteveis
O nuacutemero de vezes que podemos ganhar (A)
CUIDADO soacute pode ser aplicado quando todos os resultados do
espaccedilo amostral tem a mesma chance de ocorrer
Exemplos dado moeda sexo dos filhos
Contra-exemplo peso de pessoas (entre 40 e 120)
chance de (40 a 50 kg) lt chance (60 a 70 kg)
Intervalos com mesmo comprimento pela probabilidade
geomeacutetrica devem ter a mesma probabilidade Natildeo faz sentido
para o peso de pessoas
Cap 4-31
Probabilidade Frequentista
A probabilidade frequentista considera o limite de frequecircncias
relativas como o valor da probabilidade
Seja nA o nuacutemero de ocorrecircncia de A em n repeticcedilotildees independentes
do experimento Assim
119875 119860 = lim119899rarrinfin
119899119860119899
Assim definimos a probabilidade como a frequecircncia relativa
observada ao repertirmos o experimento um ndeg muito grande de vezes
Exemplo caixa com 100 moedas e conte o nuacutemero de caras ou ver
applet laquo probability raquo do Moore
Definiccedilatildeo
Cap 4-32
Probabilidade Frequentista
A probabilidade frequentista considera o limite de frequecircncias
relativas como o valor da probabilidade
Na praacutetica
repita o experimento aleatoacuterio um nuacutemero grande de vezes 119899
Conte o nordm de vezes que o evento de interesse 119860 aconteceu 119899119860
Entatildeo a probabilidade de o evento acontecer eacute calculada como
119875 119860 =119899119860119899
Eacute soacute isso
Cap 4-33
Probabilidade Frequentista
Cursando
estatiacutestica
Natildeo-
cursando
estatiacutestica
Total
Masculino 84 145 229
Feminino 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Encontre a probabilidade de selecionar um aluno de
estatiacutestica do sexo masculino a partir de uma populaccedilatildeo descrita
na tabela abaixo Considere que 439 eacute grande o suficiente para
aplicar a probabilidade frequentista
Neste caso o experimento consiste em selecionar uma pessoa
da populaccedilatildeo e em seguida observarmos o sexo e se cursa
estatiacutestica O experimento foi repetido 439 vezes
Cap 4-34
Probabilidade Frequentista
Cursando
estatiacutestica
Natildeo-
cursando
estatiacutestica
Total
Masculino 84 145 229
Feminino 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Encontre a probabilidade de selecionar um aluno de
estatiacutestica do sexo masculino a partir de uma populaccedilatildeo descrita
na tabela abaixo
119875 119867119900119898119890119898 cap 119864119904119905119886119905iacute119904119905119894119888119886 =119899ordm 119889119890 119867119900119898119890119898 cap 119864119904119905119886119905iacute119905119894119888119886
119899ordm 119889119890 119886119897119906119899119900119904=84
439= 0191
Cap 4-35
Axiomas de Probabilidade de
Kolmogorov
Axiomas de Kolmogorov
definiccedilatildeo formal de probabilidade
incluem as definiccedilotildees acima como casos particulares
Qualquer funccedilatildeo P() dos subconjuntos do espaccedilo amostral (eventos)
no intervalo [01] eacute uma probabilidade se satisfaz as condiccedilotildees
1 (Natildeo-negatividade)119875(119860 ge 0) forall evento 119860
2 (Aditividade) 119875 cup119895 119864119895 = 119875(119864119895) 119895 forall 119864119895 eventos disjuntos
3 (Normalizaccedilatildeo) 119875 119878 = 1
Definiccedilatildeo
Cap 4-36
Propriedades de uma
Probabilidade
Como consequecircncia dos Axiomas de Kolmogorov mostre que uma
funccedilatildeo probabilidade satisfaz as seguintes propriedades
1 119875 119864119888 = 1 minus 119875 119864
2 Se 1198641 sube 1198642 entatildeo 119875 1198641 le 119875 1198642
3 119875 120601 = 0
Ainda partindo dos axiomas de Kolmogorov podemos
provar a Regra geral da adiccedilatildeo
Regra Geral da Adiccedilatildeo
Cap 4-37
119875 119860 cup 119861 = 119875 119860 + 119875 119861 minus 119875(119860 cap 119861)
Regra Geral da Adiccedilatildeo
Regra geral da adiccedilatildeo
No caso particular em que os eventos satildeo
mutuamente excludentes continua valendo o axioma
de aditividade pois 119875 119860 cap 119861 = 0 daiacute
119875 119860 cup 119861 = 119875 119860 + 119875(119861)
Cap 4-38
119875 119860 cup 119861 = 119875 119860 + 119875 119861 minus 119875(119860 cap 119861)
Cap 4-39
Exemplo da Regra Geral de
Adiccedilatildeo
Cursando
estatiacutestica
Natildeo cursando
estatiacutestica
Total
Homem 84 145 229
Mulher 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Qual a probabilidade de selecionamos
aleatoriamente um homem ou um aluno(a) da estatiacutestica de
uma populaccedilatildeo descrita pela tabela abaixo
Cap 4-40
Exemplo da Regra Geral de
Adiccedilatildeo
Cursando
estatiacutestica
Natildeo cursando
estatiacutestica
Total
Homem 84 145 229
Mulher 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Qual a probabilidade de selecionamos
aleatoriamente um homem ou um aluno(a) da estatiacutestica de
uma populaccedilatildeo descrita pela tabela abaixo
119875 119867119900119898119890119898 cup 119864119904119905119886119905iacute119905119894119888119886 =
119875 119867119900119898119890119898 + 119875 119864119904119905119886119905iacute119904119905119894119888119886 minus 119875 119867119900119898119890119898 cap 119864119904119905119886119905119894119904119905119894119888119886 =229
439+160
439minus
84
439=305
439
Cap 4-41
Resumo de Probabilidade
Probabilidade eacute uma medida numeacuterica que informa a chance de um resultado ocorrer
A probabilidade de um evento deve estar entre 0 e 1 incluindo os extremos
0 le 119875(119860) le 1 para qquer evento 119860
A soma da probabilidade de uma particcedilatildeo do espaccedilo amostral eacute igual a 1
119875(119860) + 119875(119861) + 119875(119862) = 1
em que A B e C satildeo eventos mutuamente excludentes e coletivamente exaustivos (particcedilatildeo de 119878)
Certo
Impossiacutevel
05
1
0
Exemplo Probabilidade
Cap 4-42
Vocabulaacuterio Geral
Pelo menos 1 dos eventos A B ou ambos =
119860 cup 119861
Nenhum dos eventos nem A nem B = (119860 cup 119861)119888
Apenas 1 (ex Apenas A) possui A e natildeo possui B
= 119860 cap (119861119888)
Cap 4-43
Exerciacutecio Probabilidade
Selecione aleatoriamente um estudante em uma determinada
universidade e represente por A o evento dele possuir um cartatildeo de
creacutedito Visa e por B o evento anaacutelogo para um Mastercard Suponha que
P(Visa) = 05 P(Mastercard) = 04 e P (Ambos os cartotildees) = 025
1 Calcule a probabilidade de que um indiviacuteduo selecionado tenha
pelo menos um dos dois tipos de cartatildeo
2 Qual a probabilidade de o indiviacuteduo selecionado natildeo ter nenhum
dos tipos de cartatildeo
3 Descreva em termos de A e B o evento em que o estudante
selecionado possui um cartatildeo Visa mas natildeo um MasterCard
4 Calcule a probabilidade desse evento
Teacutecnicas de Contagem
Princiacutepio de contagem (divida e conquiste) o processo
eacute quebrado em vaacuterias etapas com o uso do diagrama de
aacutervores
Cap 4-44
n2
opccedilotildees
Folhas
n1
opccedilotildees
n3
opccedilotildees
n4
opccedilotildees
Estaacutegio
1
Estaacutegio
2
Estaacutegio
3
Estaacutegio
4
Nuacutemero total de folhas eacute
n1n2n3hellipni
n2
opccedilotildees
Desde que um mesmo
estaacutegio tenha o mesmo nordm
de opccedilotildees em cada ponto
da aacutervore
Teacutecnicas de Contagem
Princiacutepio de contagem
Considere um processo que contem r estaacutegios Suponha que
Existem n1 resultados possiacuteveis no primeiro estaacutegio
Para cada resultado possiacutevel do estaacutegio 1 existem n2
resultados possiacuteveis no estaacutegio 2
De forma mais geral para cada um dos resultados ni-1
primeiros estaacutegios existem ni resultados possiacuteveis no i-
eacutesimo estaacutegio
Entatildeo o Nuacutemero total de resultados possiacuteveis no processo de r
estaacutegios eacute de n1n2n3hellipnr
Cap 4-45
Teorema
Cap 4-46
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Um nuacutemero telefocircnico eacute composto de 8
diacutegitos mas o primeiro diacutegito apenas assume 3 valores
possiacuteveis 3 8 9 Quantos nuacutemeros distintos existem
Cap 4-47
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Um nuacutemero telefocircnico eacute composto de 8
diacutegitos mas o primeiro diacutegito apenas assume 3 valores
3 8 9 Quantos nuacutemeros distintos existem
Temos um total de 8 estaacutegios
No primeiro estaacutegio apenas 3 opccedilotildees
Nos demais estaacutegios 10 opccedilotildees
Total 3 107
Cap 4-48
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Quantos subconjutos podemos fazer a
partir de um conjunto com n elementos s1 s2 s3 hellip
sn
Cap 4-49
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Quantos subconjutos podemos fazer a
partir de um conjunto com n elementos s1 s2 s3 hellip
sn
Processo de n estaacutegios em cada estaacutegio decidimos se
colocamos ou natildeo o elemento no subconjunto
nuacutemero de opccedilotildees para o primeiro estaacutegio 2
Total 222hellip2 =2n
Cap 4-50
Teacutecnicas de Contagem
Problema Selecionar 119948 objetos de um total de 119951
objetos 119899 ge 119896 sem reposiccedilatildeo
Se a ordem eacute importante Arranjo
ex de palavra as eacute diferente de sa
Se a ordem natildeo eacute importante Combinaccedilatildeo
ex da loteria escolhemos um conjunto de 6 nordm a
ordem em que eles satildeo sorteados natildeo faz diferenccedila
Cap 4-51
Teacutecnicas de Contagem
Ao contraacuterio da permutaccedilatildeo na combinaccedilatildeo a ordem dos
elementos natildeo eacute importante
Exemplo
Permutaccedilatildeo de 2 elementos das letras A B C D
AB AC AD BA BC BD CA CB CD DA DB DC
Combinaccedilatildeo de 2 elementos das letras A B C D
AB AC AD BC BD CD
jaacute que a ordem natildeo eacute importante BA eacute o mesmo que
AB
Cap 4-52
Teacutecnicas de Contagem
Arranjo de k objetos
Queremos selecionar k objetos de um conjunto de n
objetos sem reposiccedilatildeo
Para o 1deg objeto n possibilidades
Para o 2deg objeto n-1 possibilidades
hellip
Para o uacuteltimo (kdeg objeto) n - (k-1) possibilidades
Total de permutaccedilotildees 119951 lowast (119951 minus 120783) lowast ⋯lowast (119951 minus 119948 + 120783)
Ou usando fatorial
Teorema
119899
119899 minus 119896
Cap 4-53
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Qual o total de palavras que podemos
construir com exatamente 4 letras distintas (natildeo precisa
ter significado nem seguir regras ortograacuteficas)
Cap 4-54
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Qual o total de palavras que podemos
construir com exatamente 4 letras distintas (natildeo
precisa ter significado nem seguir regras
ortograacuteficas)
Soluccedilatildeo
Selecionar 4 letras de um total de 26 sem repetir A
ordem eacute importante pois estamos formando
palavras (permutaccedilatildeo)
Total de arranjos de 4 elementos 26252423
Cap 4-55
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Vocecirc tem 10 CDs de muacutesica claacutessica 20
CDs de rock e 15 CDs de forroacute De quantas formas eacute
possiacutevel arranjar os seus CDs tal que os CDs do mesmo
tipo sempre fiquem juntos
Se os CDs forem colocados na prateleira de forma
aleatoacuteria qual eacute a probabilidade de os CDs do mesmo
estilo musical ficarem juntos
Cap 4-56
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Soluccedilatildeo princiacutepio da Contagem + Arranjos
Podemos quebrar o processo em 2 estaacutegios
1) Escolher a ordem dos tipos de Cds 321
2) Escolher a sequecircncia dos Cds para cada tipo
Para Cds de muacutesica claacutessica 10
Para Cds de rock 20
Para Cds de forroacute 15
Total 3102015
Cap 4-57
Teacutecnicas de Contagem
Combinaccedilatildeo de k elementos em n
Queremos contar o nuacutemero de subconjuntos de k elementos a
partir de um conjunto de n elementos sem reposiccedilatildeo
A ordem dos elementos natildeo eacute importante
Dizemos combinaccedilatildeo de n elementos k a k
Ex Formar comitecirc com 3 representantes de turma de um total de
131 alunos
Se todos tem mesmo poder a ordem de escolha natildeo eacute
importante combinaccedilatildeo
Se teremos presidente vice-presidente e secretaacuterio entatildeo a
ordem de escolha eacute importante permutaccedilatildeo
Teorema 119873119888119900119898119887119894119899119886ccedilotilde119890119904 =119899119896=
119899
119899 minus 119896 119896
Cap 4-58
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Qual o nuacutemero de combinaccedilotildees de 2
elementos distintos que podemos construir com as letras
A B C D
Cap 4-59
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Qual o nuacutemero de combinaccedilotildees de 2
elementos das letras A B C D
Soluccedilatildeo
Conferindo
AB AC AD BC BD CD
62)24(
4
2
4
scombinaccedilotildeeN
Cap 4-60
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Um armazeacutem da universidade recebeu 25
impressoras das quais 10 satildeo a laser e 15 a jato de tinta
Se 6 das 25 forem selecionadas aleatoriamente para para
serem verificadas por um teacutecnico qual seraacute a
probabilidade de exatamente 3 delas serem a laser
Cap 4-61
Teacutecnicas de Contagem
Soluccedilatildeo Seja 1198633= 3 das 6 selecionadas satildeo a laser Como a seleccedilatildeo das impressoras
dentre as 25 eacute aleatoacuteria cada uma delas tem a mesma chance de ser sorteada
Probabilidade claacutessica implica 119875 1198633 = 119899(1198633)119899
Como a ordem da seleccedilatildeo das impressoras natildeo importa 119899 =256
Para determinar 1198633 vamos dividir o processo em duas etapas 1) selecionamos 3 das 15
impressoras a tinta e 2) selecionamos 3 das 6 impressoras a laser Para cada elemento da
primeira etapa temos exatamente o mesmo nordm de possibilidades da segunda etapa Pelo
princiacutepio da contagem 119899 1198633 = 1198991 1198633 lowast 1198992 1198633
Como a ordem em que as impressoras satildeo selecionadas em cada etapa natildeo tem
importacircncia 1198991 1198633 =153
e 1198992 1198633 =63
Entatildeo
119875 1198633 =
153
63
256
= 03083
Desafio P(ao menos 3 das 6 selecionadas sejam a laser)
Cap 4-62
Resumo Nesta aula vimos
Como representar um modelo de probabilidade para uma situaccedilatildeo
incerta (experimento aleatoacuterio)
Etapa 1 definiccedilatildeo do espaccedilo amostral
Revisatildeo de conjuntos
Etapa 2 especificaccedilatildeo de uma funccedilatildeo probabilidade que atribui pesos
para a chance relativa de cada resultado do espaccedilo amostral
3 conceitos de probabilidade
Probabilidade claacutessica
Probabilidade Frequentista
Axiomas de Kolmogorov
Revisatildeo de teacutecnicas de contagem para podermos calcular
probabilidades
Na proacutexima aula veremos como incorporar informaccedilotildees novas ao
caacutelculo de probabilidade =gt Probabilidade condicional
Cap 4-26
Probabilidade Claacutessica
CASO 2 (probabilidade geomeacutetrica) Se 119878 eacute natildeo-
enumeraacutevel e equiprovaacutevel (mesma chance para cada
resultado) o conceito se aplica ao comprimento de
intervalos medidas de aacutereas hellip
Exemplo 119878 = [010] tal que cada valor pode sair
com a mesma chance dos demais Seja 119860 o
subconjunto [12] cup [68] Entatildeo
119875 119860 =119862119900119898119901119903119894119898119890119899119905119900 119889119890 119860
119862119900119898119901119903119894119898119890119899119905119900 119905119900119905119886119897 119889119890 119878=1+2
10= 03
Definiccedilatildeo
Probabilidade Claacutessica
Exerciacutecio Considere o experimento que consiste no
lanccedilamento de 2 dados balanceados e registram-se as faces
superiores
Calcular a probabilidade de
a) obter soma das faces superiores = 7
b) obter soma das faces superiores maior do que 10
c) que resultado do primeiro dado seja superior ao
resultado do segundo
Cap 4-27
Probabilidade Claacutessica
Exerciacutecio Considere o lanccedilamento de 2 dados balanceados
Total de resultados 36
Calcular a probabilidade de
a) Obter soma 7
2 resultados possiacuteveis (34) (43) (25) (52) (16) (61)
P(Soma=7)=636
b) Obter soma maior do que 10
3 resultados possiacuteveis (65) (56) e (66)
P(Somagt10) = 336
Cap 4-28
Probabilidade Claacutessica
Exerciacutecio Considere o lanccedilamento de 2 dados balanceados
Total de resultados 36
Calcular a probabilidade de
c) Que resultado do primeiro dado seja superior ao
resultado do segundo
Resultados possiacuteveis 15
P(1degdadogt2degdado)=15 36
Cap 4-29
1 2 3 4 5 6 1
2
3
4
5
6
1deg Dado
2deg
Da
do
Cap 4-30
Probabilidade Claacutessica
Em termos praacuteticos temos que determinar
O nuacutemero total de resultados possiacuteveis
O nuacutemero de vezes que podemos ganhar (A)
CUIDADO soacute pode ser aplicado quando todos os resultados do
espaccedilo amostral tem a mesma chance de ocorrer
Exemplos dado moeda sexo dos filhos
Contra-exemplo peso de pessoas (entre 40 e 120)
chance de (40 a 50 kg) lt chance (60 a 70 kg)
Intervalos com mesmo comprimento pela probabilidade
geomeacutetrica devem ter a mesma probabilidade Natildeo faz sentido
para o peso de pessoas
Cap 4-31
Probabilidade Frequentista
A probabilidade frequentista considera o limite de frequecircncias
relativas como o valor da probabilidade
Seja nA o nuacutemero de ocorrecircncia de A em n repeticcedilotildees independentes
do experimento Assim
119875 119860 = lim119899rarrinfin
119899119860119899
Assim definimos a probabilidade como a frequecircncia relativa
observada ao repertirmos o experimento um ndeg muito grande de vezes
Exemplo caixa com 100 moedas e conte o nuacutemero de caras ou ver
applet laquo probability raquo do Moore
Definiccedilatildeo
Cap 4-32
Probabilidade Frequentista
A probabilidade frequentista considera o limite de frequecircncias
relativas como o valor da probabilidade
Na praacutetica
repita o experimento aleatoacuterio um nuacutemero grande de vezes 119899
Conte o nordm de vezes que o evento de interesse 119860 aconteceu 119899119860
Entatildeo a probabilidade de o evento acontecer eacute calculada como
119875 119860 =119899119860119899
Eacute soacute isso
Cap 4-33
Probabilidade Frequentista
Cursando
estatiacutestica
Natildeo-
cursando
estatiacutestica
Total
Masculino 84 145 229
Feminino 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Encontre a probabilidade de selecionar um aluno de
estatiacutestica do sexo masculino a partir de uma populaccedilatildeo descrita
na tabela abaixo Considere que 439 eacute grande o suficiente para
aplicar a probabilidade frequentista
Neste caso o experimento consiste em selecionar uma pessoa
da populaccedilatildeo e em seguida observarmos o sexo e se cursa
estatiacutestica O experimento foi repetido 439 vezes
Cap 4-34
Probabilidade Frequentista
Cursando
estatiacutestica
Natildeo-
cursando
estatiacutestica
Total
Masculino 84 145 229
Feminino 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Encontre a probabilidade de selecionar um aluno de
estatiacutestica do sexo masculino a partir de uma populaccedilatildeo descrita
na tabela abaixo
119875 119867119900119898119890119898 cap 119864119904119905119886119905iacute119904119905119894119888119886 =119899ordm 119889119890 119867119900119898119890119898 cap 119864119904119905119886119905iacute119905119894119888119886
119899ordm 119889119890 119886119897119906119899119900119904=84
439= 0191
Cap 4-35
Axiomas de Probabilidade de
Kolmogorov
Axiomas de Kolmogorov
definiccedilatildeo formal de probabilidade
incluem as definiccedilotildees acima como casos particulares
Qualquer funccedilatildeo P() dos subconjuntos do espaccedilo amostral (eventos)
no intervalo [01] eacute uma probabilidade se satisfaz as condiccedilotildees
1 (Natildeo-negatividade)119875(119860 ge 0) forall evento 119860
2 (Aditividade) 119875 cup119895 119864119895 = 119875(119864119895) 119895 forall 119864119895 eventos disjuntos
3 (Normalizaccedilatildeo) 119875 119878 = 1
Definiccedilatildeo
Cap 4-36
Propriedades de uma
Probabilidade
Como consequecircncia dos Axiomas de Kolmogorov mostre que uma
funccedilatildeo probabilidade satisfaz as seguintes propriedades
1 119875 119864119888 = 1 minus 119875 119864
2 Se 1198641 sube 1198642 entatildeo 119875 1198641 le 119875 1198642
3 119875 120601 = 0
Ainda partindo dos axiomas de Kolmogorov podemos
provar a Regra geral da adiccedilatildeo
Regra Geral da Adiccedilatildeo
Cap 4-37
119875 119860 cup 119861 = 119875 119860 + 119875 119861 minus 119875(119860 cap 119861)
Regra Geral da Adiccedilatildeo
Regra geral da adiccedilatildeo
No caso particular em que os eventos satildeo
mutuamente excludentes continua valendo o axioma
de aditividade pois 119875 119860 cap 119861 = 0 daiacute
119875 119860 cup 119861 = 119875 119860 + 119875(119861)
Cap 4-38
119875 119860 cup 119861 = 119875 119860 + 119875 119861 minus 119875(119860 cap 119861)
Cap 4-39
Exemplo da Regra Geral de
Adiccedilatildeo
Cursando
estatiacutestica
Natildeo cursando
estatiacutestica
Total
Homem 84 145 229
Mulher 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Qual a probabilidade de selecionamos
aleatoriamente um homem ou um aluno(a) da estatiacutestica de
uma populaccedilatildeo descrita pela tabela abaixo
Cap 4-40
Exemplo da Regra Geral de
Adiccedilatildeo
Cursando
estatiacutestica
Natildeo cursando
estatiacutestica
Total
Homem 84 145 229
Mulher 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Qual a probabilidade de selecionamos
aleatoriamente um homem ou um aluno(a) da estatiacutestica de
uma populaccedilatildeo descrita pela tabela abaixo
119875 119867119900119898119890119898 cup 119864119904119905119886119905iacute119905119894119888119886 =
119875 119867119900119898119890119898 + 119875 119864119904119905119886119905iacute119904119905119894119888119886 minus 119875 119867119900119898119890119898 cap 119864119904119905119886119905119894119904119905119894119888119886 =229
439+160
439minus
84
439=305
439
Cap 4-41
Resumo de Probabilidade
Probabilidade eacute uma medida numeacuterica que informa a chance de um resultado ocorrer
A probabilidade de um evento deve estar entre 0 e 1 incluindo os extremos
0 le 119875(119860) le 1 para qquer evento 119860
A soma da probabilidade de uma particcedilatildeo do espaccedilo amostral eacute igual a 1
119875(119860) + 119875(119861) + 119875(119862) = 1
em que A B e C satildeo eventos mutuamente excludentes e coletivamente exaustivos (particcedilatildeo de 119878)
Certo
Impossiacutevel
05
1
0
Exemplo Probabilidade
Cap 4-42
Vocabulaacuterio Geral
Pelo menos 1 dos eventos A B ou ambos =
119860 cup 119861
Nenhum dos eventos nem A nem B = (119860 cup 119861)119888
Apenas 1 (ex Apenas A) possui A e natildeo possui B
= 119860 cap (119861119888)
Cap 4-43
Exerciacutecio Probabilidade
Selecione aleatoriamente um estudante em uma determinada
universidade e represente por A o evento dele possuir um cartatildeo de
creacutedito Visa e por B o evento anaacutelogo para um Mastercard Suponha que
P(Visa) = 05 P(Mastercard) = 04 e P (Ambos os cartotildees) = 025
1 Calcule a probabilidade de que um indiviacuteduo selecionado tenha
pelo menos um dos dois tipos de cartatildeo
2 Qual a probabilidade de o indiviacuteduo selecionado natildeo ter nenhum
dos tipos de cartatildeo
3 Descreva em termos de A e B o evento em que o estudante
selecionado possui um cartatildeo Visa mas natildeo um MasterCard
4 Calcule a probabilidade desse evento
Teacutecnicas de Contagem
Princiacutepio de contagem (divida e conquiste) o processo
eacute quebrado em vaacuterias etapas com o uso do diagrama de
aacutervores
Cap 4-44
n2
opccedilotildees
Folhas
n1
opccedilotildees
n3
opccedilotildees
n4
opccedilotildees
Estaacutegio
1
Estaacutegio
2
Estaacutegio
3
Estaacutegio
4
Nuacutemero total de folhas eacute
n1n2n3hellipni
n2
opccedilotildees
Desde que um mesmo
estaacutegio tenha o mesmo nordm
de opccedilotildees em cada ponto
da aacutervore
Teacutecnicas de Contagem
Princiacutepio de contagem
Considere um processo que contem r estaacutegios Suponha que
Existem n1 resultados possiacuteveis no primeiro estaacutegio
Para cada resultado possiacutevel do estaacutegio 1 existem n2
resultados possiacuteveis no estaacutegio 2
De forma mais geral para cada um dos resultados ni-1
primeiros estaacutegios existem ni resultados possiacuteveis no i-
eacutesimo estaacutegio
Entatildeo o Nuacutemero total de resultados possiacuteveis no processo de r
estaacutegios eacute de n1n2n3hellipnr
Cap 4-45
Teorema
Cap 4-46
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Um nuacutemero telefocircnico eacute composto de 8
diacutegitos mas o primeiro diacutegito apenas assume 3 valores
possiacuteveis 3 8 9 Quantos nuacutemeros distintos existem
Cap 4-47
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Um nuacutemero telefocircnico eacute composto de 8
diacutegitos mas o primeiro diacutegito apenas assume 3 valores
3 8 9 Quantos nuacutemeros distintos existem
Temos um total de 8 estaacutegios
No primeiro estaacutegio apenas 3 opccedilotildees
Nos demais estaacutegios 10 opccedilotildees
Total 3 107
Cap 4-48
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Quantos subconjutos podemos fazer a
partir de um conjunto com n elementos s1 s2 s3 hellip
sn
Cap 4-49
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Quantos subconjutos podemos fazer a
partir de um conjunto com n elementos s1 s2 s3 hellip
sn
Processo de n estaacutegios em cada estaacutegio decidimos se
colocamos ou natildeo o elemento no subconjunto
nuacutemero de opccedilotildees para o primeiro estaacutegio 2
Total 222hellip2 =2n
Cap 4-50
Teacutecnicas de Contagem
Problema Selecionar 119948 objetos de um total de 119951
objetos 119899 ge 119896 sem reposiccedilatildeo
Se a ordem eacute importante Arranjo
ex de palavra as eacute diferente de sa
Se a ordem natildeo eacute importante Combinaccedilatildeo
ex da loteria escolhemos um conjunto de 6 nordm a
ordem em que eles satildeo sorteados natildeo faz diferenccedila
Cap 4-51
Teacutecnicas de Contagem
Ao contraacuterio da permutaccedilatildeo na combinaccedilatildeo a ordem dos
elementos natildeo eacute importante
Exemplo
Permutaccedilatildeo de 2 elementos das letras A B C D
AB AC AD BA BC BD CA CB CD DA DB DC
Combinaccedilatildeo de 2 elementos das letras A B C D
AB AC AD BC BD CD
jaacute que a ordem natildeo eacute importante BA eacute o mesmo que
AB
Cap 4-52
Teacutecnicas de Contagem
Arranjo de k objetos
Queremos selecionar k objetos de um conjunto de n
objetos sem reposiccedilatildeo
Para o 1deg objeto n possibilidades
Para o 2deg objeto n-1 possibilidades
hellip
Para o uacuteltimo (kdeg objeto) n - (k-1) possibilidades
Total de permutaccedilotildees 119951 lowast (119951 minus 120783) lowast ⋯lowast (119951 minus 119948 + 120783)
Ou usando fatorial
Teorema
119899
119899 minus 119896
Cap 4-53
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Qual o total de palavras que podemos
construir com exatamente 4 letras distintas (natildeo precisa
ter significado nem seguir regras ortograacuteficas)
Cap 4-54
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Qual o total de palavras que podemos
construir com exatamente 4 letras distintas (natildeo
precisa ter significado nem seguir regras
ortograacuteficas)
Soluccedilatildeo
Selecionar 4 letras de um total de 26 sem repetir A
ordem eacute importante pois estamos formando
palavras (permutaccedilatildeo)
Total de arranjos de 4 elementos 26252423
Cap 4-55
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Vocecirc tem 10 CDs de muacutesica claacutessica 20
CDs de rock e 15 CDs de forroacute De quantas formas eacute
possiacutevel arranjar os seus CDs tal que os CDs do mesmo
tipo sempre fiquem juntos
Se os CDs forem colocados na prateleira de forma
aleatoacuteria qual eacute a probabilidade de os CDs do mesmo
estilo musical ficarem juntos
Cap 4-56
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Soluccedilatildeo princiacutepio da Contagem + Arranjos
Podemos quebrar o processo em 2 estaacutegios
1) Escolher a ordem dos tipos de Cds 321
2) Escolher a sequecircncia dos Cds para cada tipo
Para Cds de muacutesica claacutessica 10
Para Cds de rock 20
Para Cds de forroacute 15
Total 3102015
Cap 4-57
Teacutecnicas de Contagem
Combinaccedilatildeo de k elementos em n
Queremos contar o nuacutemero de subconjuntos de k elementos a
partir de um conjunto de n elementos sem reposiccedilatildeo
A ordem dos elementos natildeo eacute importante
Dizemos combinaccedilatildeo de n elementos k a k
Ex Formar comitecirc com 3 representantes de turma de um total de
131 alunos
Se todos tem mesmo poder a ordem de escolha natildeo eacute
importante combinaccedilatildeo
Se teremos presidente vice-presidente e secretaacuterio entatildeo a
ordem de escolha eacute importante permutaccedilatildeo
Teorema 119873119888119900119898119887119894119899119886ccedilotilde119890119904 =119899119896=
119899
119899 minus 119896 119896
Cap 4-58
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Qual o nuacutemero de combinaccedilotildees de 2
elementos distintos que podemos construir com as letras
A B C D
Cap 4-59
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Qual o nuacutemero de combinaccedilotildees de 2
elementos das letras A B C D
Soluccedilatildeo
Conferindo
AB AC AD BC BD CD
62)24(
4
2
4
scombinaccedilotildeeN
Cap 4-60
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Um armazeacutem da universidade recebeu 25
impressoras das quais 10 satildeo a laser e 15 a jato de tinta
Se 6 das 25 forem selecionadas aleatoriamente para para
serem verificadas por um teacutecnico qual seraacute a
probabilidade de exatamente 3 delas serem a laser
Cap 4-61
Teacutecnicas de Contagem
Soluccedilatildeo Seja 1198633= 3 das 6 selecionadas satildeo a laser Como a seleccedilatildeo das impressoras
dentre as 25 eacute aleatoacuteria cada uma delas tem a mesma chance de ser sorteada
Probabilidade claacutessica implica 119875 1198633 = 119899(1198633)119899
Como a ordem da seleccedilatildeo das impressoras natildeo importa 119899 =256
Para determinar 1198633 vamos dividir o processo em duas etapas 1) selecionamos 3 das 15
impressoras a tinta e 2) selecionamos 3 das 6 impressoras a laser Para cada elemento da
primeira etapa temos exatamente o mesmo nordm de possibilidades da segunda etapa Pelo
princiacutepio da contagem 119899 1198633 = 1198991 1198633 lowast 1198992 1198633
Como a ordem em que as impressoras satildeo selecionadas em cada etapa natildeo tem
importacircncia 1198991 1198633 =153
e 1198992 1198633 =63
Entatildeo
119875 1198633 =
153
63
256
= 03083
Desafio P(ao menos 3 das 6 selecionadas sejam a laser)
Cap 4-62
Resumo Nesta aula vimos
Como representar um modelo de probabilidade para uma situaccedilatildeo
incerta (experimento aleatoacuterio)
Etapa 1 definiccedilatildeo do espaccedilo amostral
Revisatildeo de conjuntos
Etapa 2 especificaccedilatildeo de uma funccedilatildeo probabilidade que atribui pesos
para a chance relativa de cada resultado do espaccedilo amostral
3 conceitos de probabilidade
Probabilidade claacutessica
Probabilidade Frequentista
Axiomas de Kolmogorov
Revisatildeo de teacutecnicas de contagem para podermos calcular
probabilidades
Na proacutexima aula veremos como incorporar informaccedilotildees novas ao
caacutelculo de probabilidade =gt Probabilidade condicional
Probabilidade Claacutessica
Exerciacutecio Considere o experimento que consiste no
lanccedilamento de 2 dados balanceados e registram-se as faces
superiores
Calcular a probabilidade de
a) obter soma das faces superiores = 7
b) obter soma das faces superiores maior do que 10
c) que resultado do primeiro dado seja superior ao
resultado do segundo
Cap 4-27
Probabilidade Claacutessica
Exerciacutecio Considere o lanccedilamento de 2 dados balanceados
Total de resultados 36
Calcular a probabilidade de
a) Obter soma 7
2 resultados possiacuteveis (34) (43) (25) (52) (16) (61)
P(Soma=7)=636
b) Obter soma maior do que 10
3 resultados possiacuteveis (65) (56) e (66)
P(Somagt10) = 336
Cap 4-28
Probabilidade Claacutessica
Exerciacutecio Considere o lanccedilamento de 2 dados balanceados
Total de resultados 36
Calcular a probabilidade de
c) Que resultado do primeiro dado seja superior ao
resultado do segundo
Resultados possiacuteveis 15
P(1degdadogt2degdado)=15 36
Cap 4-29
1 2 3 4 5 6 1
2
3
4
5
6
1deg Dado
2deg
Da
do
Cap 4-30
Probabilidade Claacutessica
Em termos praacuteticos temos que determinar
O nuacutemero total de resultados possiacuteveis
O nuacutemero de vezes que podemos ganhar (A)
CUIDADO soacute pode ser aplicado quando todos os resultados do
espaccedilo amostral tem a mesma chance de ocorrer
Exemplos dado moeda sexo dos filhos
Contra-exemplo peso de pessoas (entre 40 e 120)
chance de (40 a 50 kg) lt chance (60 a 70 kg)
Intervalos com mesmo comprimento pela probabilidade
geomeacutetrica devem ter a mesma probabilidade Natildeo faz sentido
para o peso de pessoas
Cap 4-31
Probabilidade Frequentista
A probabilidade frequentista considera o limite de frequecircncias
relativas como o valor da probabilidade
Seja nA o nuacutemero de ocorrecircncia de A em n repeticcedilotildees independentes
do experimento Assim
119875 119860 = lim119899rarrinfin
119899119860119899
Assim definimos a probabilidade como a frequecircncia relativa
observada ao repertirmos o experimento um ndeg muito grande de vezes
Exemplo caixa com 100 moedas e conte o nuacutemero de caras ou ver
applet laquo probability raquo do Moore
Definiccedilatildeo
Cap 4-32
Probabilidade Frequentista
A probabilidade frequentista considera o limite de frequecircncias
relativas como o valor da probabilidade
Na praacutetica
repita o experimento aleatoacuterio um nuacutemero grande de vezes 119899
Conte o nordm de vezes que o evento de interesse 119860 aconteceu 119899119860
Entatildeo a probabilidade de o evento acontecer eacute calculada como
119875 119860 =119899119860119899
Eacute soacute isso
Cap 4-33
Probabilidade Frequentista
Cursando
estatiacutestica
Natildeo-
cursando
estatiacutestica
Total
Masculino 84 145 229
Feminino 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Encontre a probabilidade de selecionar um aluno de
estatiacutestica do sexo masculino a partir de uma populaccedilatildeo descrita
na tabela abaixo Considere que 439 eacute grande o suficiente para
aplicar a probabilidade frequentista
Neste caso o experimento consiste em selecionar uma pessoa
da populaccedilatildeo e em seguida observarmos o sexo e se cursa
estatiacutestica O experimento foi repetido 439 vezes
Cap 4-34
Probabilidade Frequentista
Cursando
estatiacutestica
Natildeo-
cursando
estatiacutestica
Total
Masculino 84 145 229
Feminino 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Encontre a probabilidade de selecionar um aluno de
estatiacutestica do sexo masculino a partir de uma populaccedilatildeo descrita
na tabela abaixo
119875 119867119900119898119890119898 cap 119864119904119905119886119905iacute119904119905119894119888119886 =119899ordm 119889119890 119867119900119898119890119898 cap 119864119904119905119886119905iacute119905119894119888119886
119899ordm 119889119890 119886119897119906119899119900119904=84
439= 0191
Cap 4-35
Axiomas de Probabilidade de
Kolmogorov
Axiomas de Kolmogorov
definiccedilatildeo formal de probabilidade
incluem as definiccedilotildees acima como casos particulares
Qualquer funccedilatildeo P() dos subconjuntos do espaccedilo amostral (eventos)
no intervalo [01] eacute uma probabilidade se satisfaz as condiccedilotildees
1 (Natildeo-negatividade)119875(119860 ge 0) forall evento 119860
2 (Aditividade) 119875 cup119895 119864119895 = 119875(119864119895) 119895 forall 119864119895 eventos disjuntos
3 (Normalizaccedilatildeo) 119875 119878 = 1
Definiccedilatildeo
Cap 4-36
Propriedades de uma
Probabilidade
Como consequecircncia dos Axiomas de Kolmogorov mostre que uma
funccedilatildeo probabilidade satisfaz as seguintes propriedades
1 119875 119864119888 = 1 minus 119875 119864
2 Se 1198641 sube 1198642 entatildeo 119875 1198641 le 119875 1198642
3 119875 120601 = 0
Ainda partindo dos axiomas de Kolmogorov podemos
provar a Regra geral da adiccedilatildeo
Regra Geral da Adiccedilatildeo
Cap 4-37
119875 119860 cup 119861 = 119875 119860 + 119875 119861 minus 119875(119860 cap 119861)
Regra Geral da Adiccedilatildeo
Regra geral da adiccedilatildeo
No caso particular em que os eventos satildeo
mutuamente excludentes continua valendo o axioma
de aditividade pois 119875 119860 cap 119861 = 0 daiacute
119875 119860 cup 119861 = 119875 119860 + 119875(119861)
Cap 4-38
119875 119860 cup 119861 = 119875 119860 + 119875 119861 minus 119875(119860 cap 119861)
Cap 4-39
Exemplo da Regra Geral de
Adiccedilatildeo
Cursando
estatiacutestica
Natildeo cursando
estatiacutestica
Total
Homem 84 145 229
Mulher 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Qual a probabilidade de selecionamos
aleatoriamente um homem ou um aluno(a) da estatiacutestica de
uma populaccedilatildeo descrita pela tabela abaixo
Cap 4-40
Exemplo da Regra Geral de
Adiccedilatildeo
Cursando
estatiacutestica
Natildeo cursando
estatiacutestica
Total
Homem 84 145 229
Mulher 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Qual a probabilidade de selecionamos
aleatoriamente um homem ou um aluno(a) da estatiacutestica de
uma populaccedilatildeo descrita pela tabela abaixo
119875 119867119900119898119890119898 cup 119864119904119905119886119905iacute119905119894119888119886 =
119875 119867119900119898119890119898 + 119875 119864119904119905119886119905iacute119904119905119894119888119886 minus 119875 119867119900119898119890119898 cap 119864119904119905119886119905119894119904119905119894119888119886 =229
439+160
439minus
84
439=305
439
Cap 4-41
Resumo de Probabilidade
Probabilidade eacute uma medida numeacuterica que informa a chance de um resultado ocorrer
A probabilidade de um evento deve estar entre 0 e 1 incluindo os extremos
0 le 119875(119860) le 1 para qquer evento 119860
A soma da probabilidade de uma particcedilatildeo do espaccedilo amostral eacute igual a 1
119875(119860) + 119875(119861) + 119875(119862) = 1
em que A B e C satildeo eventos mutuamente excludentes e coletivamente exaustivos (particcedilatildeo de 119878)
Certo
Impossiacutevel
05
1
0
Exemplo Probabilidade
Cap 4-42
Vocabulaacuterio Geral
Pelo menos 1 dos eventos A B ou ambos =
119860 cup 119861
Nenhum dos eventos nem A nem B = (119860 cup 119861)119888
Apenas 1 (ex Apenas A) possui A e natildeo possui B
= 119860 cap (119861119888)
Cap 4-43
Exerciacutecio Probabilidade
Selecione aleatoriamente um estudante em uma determinada
universidade e represente por A o evento dele possuir um cartatildeo de
creacutedito Visa e por B o evento anaacutelogo para um Mastercard Suponha que
P(Visa) = 05 P(Mastercard) = 04 e P (Ambos os cartotildees) = 025
1 Calcule a probabilidade de que um indiviacuteduo selecionado tenha
pelo menos um dos dois tipos de cartatildeo
2 Qual a probabilidade de o indiviacuteduo selecionado natildeo ter nenhum
dos tipos de cartatildeo
3 Descreva em termos de A e B o evento em que o estudante
selecionado possui um cartatildeo Visa mas natildeo um MasterCard
4 Calcule a probabilidade desse evento
Teacutecnicas de Contagem
Princiacutepio de contagem (divida e conquiste) o processo
eacute quebrado em vaacuterias etapas com o uso do diagrama de
aacutervores
Cap 4-44
n2
opccedilotildees
Folhas
n1
opccedilotildees
n3
opccedilotildees
n4
opccedilotildees
Estaacutegio
1
Estaacutegio
2
Estaacutegio
3
Estaacutegio
4
Nuacutemero total de folhas eacute
n1n2n3hellipni
n2
opccedilotildees
Desde que um mesmo
estaacutegio tenha o mesmo nordm
de opccedilotildees em cada ponto
da aacutervore
Teacutecnicas de Contagem
Princiacutepio de contagem
Considere um processo que contem r estaacutegios Suponha que
Existem n1 resultados possiacuteveis no primeiro estaacutegio
Para cada resultado possiacutevel do estaacutegio 1 existem n2
resultados possiacuteveis no estaacutegio 2
De forma mais geral para cada um dos resultados ni-1
primeiros estaacutegios existem ni resultados possiacuteveis no i-
eacutesimo estaacutegio
Entatildeo o Nuacutemero total de resultados possiacuteveis no processo de r
estaacutegios eacute de n1n2n3hellipnr
Cap 4-45
Teorema
Cap 4-46
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Um nuacutemero telefocircnico eacute composto de 8
diacutegitos mas o primeiro diacutegito apenas assume 3 valores
possiacuteveis 3 8 9 Quantos nuacutemeros distintos existem
Cap 4-47
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Um nuacutemero telefocircnico eacute composto de 8
diacutegitos mas o primeiro diacutegito apenas assume 3 valores
3 8 9 Quantos nuacutemeros distintos existem
Temos um total de 8 estaacutegios
No primeiro estaacutegio apenas 3 opccedilotildees
Nos demais estaacutegios 10 opccedilotildees
Total 3 107
Cap 4-48
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Quantos subconjutos podemos fazer a
partir de um conjunto com n elementos s1 s2 s3 hellip
sn
Cap 4-49
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Quantos subconjutos podemos fazer a
partir de um conjunto com n elementos s1 s2 s3 hellip
sn
Processo de n estaacutegios em cada estaacutegio decidimos se
colocamos ou natildeo o elemento no subconjunto
nuacutemero de opccedilotildees para o primeiro estaacutegio 2
Total 222hellip2 =2n
Cap 4-50
Teacutecnicas de Contagem
Problema Selecionar 119948 objetos de um total de 119951
objetos 119899 ge 119896 sem reposiccedilatildeo
Se a ordem eacute importante Arranjo
ex de palavra as eacute diferente de sa
Se a ordem natildeo eacute importante Combinaccedilatildeo
ex da loteria escolhemos um conjunto de 6 nordm a
ordem em que eles satildeo sorteados natildeo faz diferenccedila
Cap 4-51
Teacutecnicas de Contagem
Ao contraacuterio da permutaccedilatildeo na combinaccedilatildeo a ordem dos
elementos natildeo eacute importante
Exemplo
Permutaccedilatildeo de 2 elementos das letras A B C D
AB AC AD BA BC BD CA CB CD DA DB DC
Combinaccedilatildeo de 2 elementos das letras A B C D
AB AC AD BC BD CD
jaacute que a ordem natildeo eacute importante BA eacute o mesmo que
AB
Cap 4-52
Teacutecnicas de Contagem
Arranjo de k objetos
Queremos selecionar k objetos de um conjunto de n
objetos sem reposiccedilatildeo
Para o 1deg objeto n possibilidades
Para o 2deg objeto n-1 possibilidades
hellip
Para o uacuteltimo (kdeg objeto) n - (k-1) possibilidades
Total de permutaccedilotildees 119951 lowast (119951 minus 120783) lowast ⋯lowast (119951 minus 119948 + 120783)
Ou usando fatorial
Teorema
119899
119899 minus 119896
Cap 4-53
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Qual o total de palavras que podemos
construir com exatamente 4 letras distintas (natildeo precisa
ter significado nem seguir regras ortograacuteficas)
Cap 4-54
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Qual o total de palavras que podemos
construir com exatamente 4 letras distintas (natildeo
precisa ter significado nem seguir regras
ortograacuteficas)
Soluccedilatildeo
Selecionar 4 letras de um total de 26 sem repetir A
ordem eacute importante pois estamos formando
palavras (permutaccedilatildeo)
Total de arranjos de 4 elementos 26252423
Cap 4-55
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Vocecirc tem 10 CDs de muacutesica claacutessica 20
CDs de rock e 15 CDs de forroacute De quantas formas eacute
possiacutevel arranjar os seus CDs tal que os CDs do mesmo
tipo sempre fiquem juntos
Se os CDs forem colocados na prateleira de forma
aleatoacuteria qual eacute a probabilidade de os CDs do mesmo
estilo musical ficarem juntos
Cap 4-56
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Soluccedilatildeo princiacutepio da Contagem + Arranjos
Podemos quebrar o processo em 2 estaacutegios
1) Escolher a ordem dos tipos de Cds 321
2) Escolher a sequecircncia dos Cds para cada tipo
Para Cds de muacutesica claacutessica 10
Para Cds de rock 20
Para Cds de forroacute 15
Total 3102015
Cap 4-57
Teacutecnicas de Contagem
Combinaccedilatildeo de k elementos em n
Queremos contar o nuacutemero de subconjuntos de k elementos a
partir de um conjunto de n elementos sem reposiccedilatildeo
A ordem dos elementos natildeo eacute importante
Dizemos combinaccedilatildeo de n elementos k a k
Ex Formar comitecirc com 3 representantes de turma de um total de
131 alunos
Se todos tem mesmo poder a ordem de escolha natildeo eacute
importante combinaccedilatildeo
Se teremos presidente vice-presidente e secretaacuterio entatildeo a
ordem de escolha eacute importante permutaccedilatildeo
Teorema 119873119888119900119898119887119894119899119886ccedilotilde119890119904 =119899119896=
119899
119899 minus 119896 119896
Cap 4-58
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Qual o nuacutemero de combinaccedilotildees de 2
elementos distintos que podemos construir com as letras
A B C D
Cap 4-59
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Qual o nuacutemero de combinaccedilotildees de 2
elementos das letras A B C D
Soluccedilatildeo
Conferindo
AB AC AD BC BD CD
62)24(
4
2
4
scombinaccedilotildeeN
Cap 4-60
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Um armazeacutem da universidade recebeu 25
impressoras das quais 10 satildeo a laser e 15 a jato de tinta
Se 6 das 25 forem selecionadas aleatoriamente para para
serem verificadas por um teacutecnico qual seraacute a
probabilidade de exatamente 3 delas serem a laser
Cap 4-61
Teacutecnicas de Contagem
Soluccedilatildeo Seja 1198633= 3 das 6 selecionadas satildeo a laser Como a seleccedilatildeo das impressoras
dentre as 25 eacute aleatoacuteria cada uma delas tem a mesma chance de ser sorteada
Probabilidade claacutessica implica 119875 1198633 = 119899(1198633)119899
Como a ordem da seleccedilatildeo das impressoras natildeo importa 119899 =256
Para determinar 1198633 vamos dividir o processo em duas etapas 1) selecionamos 3 das 15
impressoras a tinta e 2) selecionamos 3 das 6 impressoras a laser Para cada elemento da
primeira etapa temos exatamente o mesmo nordm de possibilidades da segunda etapa Pelo
princiacutepio da contagem 119899 1198633 = 1198991 1198633 lowast 1198992 1198633
Como a ordem em que as impressoras satildeo selecionadas em cada etapa natildeo tem
importacircncia 1198991 1198633 =153
e 1198992 1198633 =63
Entatildeo
119875 1198633 =
153
63
256
= 03083
Desafio P(ao menos 3 das 6 selecionadas sejam a laser)
Cap 4-62
Resumo Nesta aula vimos
Como representar um modelo de probabilidade para uma situaccedilatildeo
incerta (experimento aleatoacuterio)
Etapa 1 definiccedilatildeo do espaccedilo amostral
Revisatildeo de conjuntos
Etapa 2 especificaccedilatildeo de uma funccedilatildeo probabilidade que atribui pesos
para a chance relativa de cada resultado do espaccedilo amostral
3 conceitos de probabilidade
Probabilidade claacutessica
Probabilidade Frequentista
Axiomas de Kolmogorov
Revisatildeo de teacutecnicas de contagem para podermos calcular
probabilidades
Na proacutexima aula veremos como incorporar informaccedilotildees novas ao
caacutelculo de probabilidade =gt Probabilidade condicional
Probabilidade Claacutessica
Exerciacutecio Considere o lanccedilamento de 2 dados balanceados
Total de resultados 36
Calcular a probabilidade de
a) Obter soma 7
2 resultados possiacuteveis (34) (43) (25) (52) (16) (61)
P(Soma=7)=636
b) Obter soma maior do que 10
3 resultados possiacuteveis (65) (56) e (66)
P(Somagt10) = 336
Cap 4-28
Probabilidade Claacutessica
Exerciacutecio Considere o lanccedilamento de 2 dados balanceados
Total de resultados 36
Calcular a probabilidade de
c) Que resultado do primeiro dado seja superior ao
resultado do segundo
Resultados possiacuteveis 15
P(1degdadogt2degdado)=15 36
Cap 4-29
1 2 3 4 5 6 1
2
3
4
5
6
1deg Dado
2deg
Da
do
Cap 4-30
Probabilidade Claacutessica
Em termos praacuteticos temos que determinar
O nuacutemero total de resultados possiacuteveis
O nuacutemero de vezes que podemos ganhar (A)
CUIDADO soacute pode ser aplicado quando todos os resultados do
espaccedilo amostral tem a mesma chance de ocorrer
Exemplos dado moeda sexo dos filhos
Contra-exemplo peso de pessoas (entre 40 e 120)
chance de (40 a 50 kg) lt chance (60 a 70 kg)
Intervalos com mesmo comprimento pela probabilidade
geomeacutetrica devem ter a mesma probabilidade Natildeo faz sentido
para o peso de pessoas
Cap 4-31
Probabilidade Frequentista
A probabilidade frequentista considera o limite de frequecircncias
relativas como o valor da probabilidade
Seja nA o nuacutemero de ocorrecircncia de A em n repeticcedilotildees independentes
do experimento Assim
119875 119860 = lim119899rarrinfin
119899119860119899
Assim definimos a probabilidade como a frequecircncia relativa
observada ao repertirmos o experimento um ndeg muito grande de vezes
Exemplo caixa com 100 moedas e conte o nuacutemero de caras ou ver
applet laquo probability raquo do Moore
Definiccedilatildeo
Cap 4-32
Probabilidade Frequentista
A probabilidade frequentista considera o limite de frequecircncias
relativas como o valor da probabilidade
Na praacutetica
repita o experimento aleatoacuterio um nuacutemero grande de vezes 119899
Conte o nordm de vezes que o evento de interesse 119860 aconteceu 119899119860
Entatildeo a probabilidade de o evento acontecer eacute calculada como
119875 119860 =119899119860119899
Eacute soacute isso
Cap 4-33
Probabilidade Frequentista
Cursando
estatiacutestica
Natildeo-
cursando
estatiacutestica
Total
Masculino 84 145 229
Feminino 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Encontre a probabilidade de selecionar um aluno de
estatiacutestica do sexo masculino a partir de uma populaccedilatildeo descrita
na tabela abaixo Considere que 439 eacute grande o suficiente para
aplicar a probabilidade frequentista
Neste caso o experimento consiste em selecionar uma pessoa
da populaccedilatildeo e em seguida observarmos o sexo e se cursa
estatiacutestica O experimento foi repetido 439 vezes
Cap 4-34
Probabilidade Frequentista
Cursando
estatiacutestica
Natildeo-
cursando
estatiacutestica
Total
Masculino 84 145 229
Feminino 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Encontre a probabilidade de selecionar um aluno de
estatiacutestica do sexo masculino a partir de uma populaccedilatildeo descrita
na tabela abaixo
119875 119867119900119898119890119898 cap 119864119904119905119886119905iacute119904119905119894119888119886 =119899ordm 119889119890 119867119900119898119890119898 cap 119864119904119905119886119905iacute119905119894119888119886
119899ordm 119889119890 119886119897119906119899119900119904=84
439= 0191
Cap 4-35
Axiomas de Probabilidade de
Kolmogorov
Axiomas de Kolmogorov
definiccedilatildeo formal de probabilidade
incluem as definiccedilotildees acima como casos particulares
Qualquer funccedilatildeo P() dos subconjuntos do espaccedilo amostral (eventos)
no intervalo [01] eacute uma probabilidade se satisfaz as condiccedilotildees
1 (Natildeo-negatividade)119875(119860 ge 0) forall evento 119860
2 (Aditividade) 119875 cup119895 119864119895 = 119875(119864119895) 119895 forall 119864119895 eventos disjuntos
3 (Normalizaccedilatildeo) 119875 119878 = 1
Definiccedilatildeo
Cap 4-36
Propriedades de uma
Probabilidade
Como consequecircncia dos Axiomas de Kolmogorov mostre que uma
funccedilatildeo probabilidade satisfaz as seguintes propriedades
1 119875 119864119888 = 1 minus 119875 119864
2 Se 1198641 sube 1198642 entatildeo 119875 1198641 le 119875 1198642
3 119875 120601 = 0
Ainda partindo dos axiomas de Kolmogorov podemos
provar a Regra geral da adiccedilatildeo
Regra Geral da Adiccedilatildeo
Cap 4-37
119875 119860 cup 119861 = 119875 119860 + 119875 119861 minus 119875(119860 cap 119861)
Regra Geral da Adiccedilatildeo
Regra geral da adiccedilatildeo
No caso particular em que os eventos satildeo
mutuamente excludentes continua valendo o axioma
de aditividade pois 119875 119860 cap 119861 = 0 daiacute
119875 119860 cup 119861 = 119875 119860 + 119875(119861)
Cap 4-38
119875 119860 cup 119861 = 119875 119860 + 119875 119861 minus 119875(119860 cap 119861)
Cap 4-39
Exemplo da Regra Geral de
Adiccedilatildeo
Cursando
estatiacutestica
Natildeo cursando
estatiacutestica
Total
Homem 84 145 229
Mulher 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Qual a probabilidade de selecionamos
aleatoriamente um homem ou um aluno(a) da estatiacutestica de
uma populaccedilatildeo descrita pela tabela abaixo
Cap 4-40
Exemplo da Regra Geral de
Adiccedilatildeo
Cursando
estatiacutestica
Natildeo cursando
estatiacutestica
Total
Homem 84 145 229
Mulher 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Qual a probabilidade de selecionamos
aleatoriamente um homem ou um aluno(a) da estatiacutestica de
uma populaccedilatildeo descrita pela tabela abaixo
119875 119867119900119898119890119898 cup 119864119904119905119886119905iacute119905119894119888119886 =
119875 119867119900119898119890119898 + 119875 119864119904119905119886119905iacute119904119905119894119888119886 minus 119875 119867119900119898119890119898 cap 119864119904119905119886119905119894119904119905119894119888119886 =229
439+160
439minus
84
439=305
439
Cap 4-41
Resumo de Probabilidade
Probabilidade eacute uma medida numeacuterica que informa a chance de um resultado ocorrer
A probabilidade de um evento deve estar entre 0 e 1 incluindo os extremos
0 le 119875(119860) le 1 para qquer evento 119860
A soma da probabilidade de uma particcedilatildeo do espaccedilo amostral eacute igual a 1
119875(119860) + 119875(119861) + 119875(119862) = 1
em que A B e C satildeo eventos mutuamente excludentes e coletivamente exaustivos (particcedilatildeo de 119878)
Certo
Impossiacutevel
05
1
0
Exemplo Probabilidade
Cap 4-42
Vocabulaacuterio Geral
Pelo menos 1 dos eventos A B ou ambos =
119860 cup 119861
Nenhum dos eventos nem A nem B = (119860 cup 119861)119888
Apenas 1 (ex Apenas A) possui A e natildeo possui B
= 119860 cap (119861119888)
Cap 4-43
Exerciacutecio Probabilidade
Selecione aleatoriamente um estudante em uma determinada
universidade e represente por A o evento dele possuir um cartatildeo de
creacutedito Visa e por B o evento anaacutelogo para um Mastercard Suponha que
P(Visa) = 05 P(Mastercard) = 04 e P (Ambos os cartotildees) = 025
1 Calcule a probabilidade de que um indiviacuteduo selecionado tenha
pelo menos um dos dois tipos de cartatildeo
2 Qual a probabilidade de o indiviacuteduo selecionado natildeo ter nenhum
dos tipos de cartatildeo
3 Descreva em termos de A e B o evento em que o estudante
selecionado possui um cartatildeo Visa mas natildeo um MasterCard
4 Calcule a probabilidade desse evento
Teacutecnicas de Contagem
Princiacutepio de contagem (divida e conquiste) o processo
eacute quebrado em vaacuterias etapas com o uso do diagrama de
aacutervores
Cap 4-44
n2
opccedilotildees
Folhas
n1
opccedilotildees
n3
opccedilotildees
n4
opccedilotildees
Estaacutegio
1
Estaacutegio
2
Estaacutegio
3
Estaacutegio
4
Nuacutemero total de folhas eacute
n1n2n3hellipni
n2
opccedilotildees
Desde que um mesmo
estaacutegio tenha o mesmo nordm
de opccedilotildees em cada ponto
da aacutervore
Teacutecnicas de Contagem
Princiacutepio de contagem
Considere um processo que contem r estaacutegios Suponha que
Existem n1 resultados possiacuteveis no primeiro estaacutegio
Para cada resultado possiacutevel do estaacutegio 1 existem n2
resultados possiacuteveis no estaacutegio 2
De forma mais geral para cada um dos resultados ni-1
primeiros estaacutegios existem ni resultados possiacuteveis no i-
eacutesimo estaacutegio
Entatildeo o Nuacutemero total de resultados possiacuteveis no processo de r
estaacutegios eacute de n1n2n3hellipnr
Cap 4-45
Teorema
Cap 4-46
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Um nuacutemero telefocircnico eacute composto de 8
diacutegitos mas o primeiro diacutegito apenas assume 3 valores
possiacuteveis 3 8 9 Quantos nuacutemeros distintos existem
Cap 4-47
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Um nuacutemero telefocircnico eacute composto de 8
diacutegitos mas o primeiro diacutegito apenas assume 3 valores
3 8 9 Quantos nuacutemeros distintos existem
Temos um total de 8 estaacutegios
No primeiro estaacutegio apenas 3 opccedilotildees
Nos demais estaacutegios 10 opccedilotildees
Total 3 107
Cap 4-48
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Quantos subconjutos podemos fazer a
partir de um conjunto com n elementos s1 s2 s3 hellip
sn
Cap 4-49
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Quantos subconjutos podemos fazer a
partir de um conjunto com n elementos s1 s2 s3 hellip
sn
Processo de n estaacutegios em cada estaacutegio decidimos se
colocamos ou natildeo o elemento no subconjunto
nuacutemero de opccedilotildees para o primeiro estaacutegio 2
Total 222hellip2 =2n
Cap 4-50
Teacutecnicas de Contagem
Problema Selecionar 119948 objetos de um total de 119951
objetos 119899 ge 119896 sem reposiccedilatildeo
Se a ordem eacute importante Arranjo
ex de palavra as eacute diferente de sa
Se a ordem natildeo eacute importante Combinaccedilatildeo
ex da loteria escolhemos um conjunto de 6 nordm a
ordem em que eles satildeo sorteados natildeo faz diferenccedila
Cap 4-51
Teacutecnicas de Contagem
Ao contraacuterio da permutaccedilatildeo na combinaccedilatildeo a ordem dos
elementos natildeo eacute importante
Exemplo
Permutaccedilatildeo de 2 elementos das letras A B C D
AB AC AD BA BC BD CA CB CD DA DB DC
Combinaccedilatildeo de 2 elementos das letras A B C D
AB AC AD BC BD CD
jaacute que a ordem natildeo eacute importante BA eacute o mesmo que
AB
Cap 4-52
Teacutecnicas de Contagem
Arranjo de k objetos
Queremos selecionar k objetos de um conjunto de n
objetos sem reposiccedilatildeo
Para o 1deg objeto n possibilidades
Para o 2deg objeto n-1 possibilidades
hellip
Para o uacuteltimo (kdeg objeto) n - (k-1) possibilidades
Total de permutaccedilotildees 119951 lowast (119951 minus 120783) lowast ⋯lowast (119951 minus 119948 + 120783)
Ou usando fatorial
Teorema
119899
119899 minus 119896
Cap 4-53
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Qual o total de palavras que podemos
construir com exatamente 4 letras distintas (natildeo precisa
ter significado nem seguir regras ortograacuteficas)
Cap 4-54
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Qual o total de palavras que podemos
construir com exatamente 4 letras distintas (natildeo
precisa ter significado nem seguir regras
ortograacuteficas)
Soluccedilatildeo
Selecionar 4 letras de um total de 26 sem repetir A
ordem eacute importante pois estamos formando
palavras (permutaccedilatildeo)
Total de arranjos de 4 elementos 26252423
Cap 4-55
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Vocecirc tem 10 CDs de muacutesica claacutessica 20
CDs de rock e 15 CDs de forroacute De quantas formas eacute
possiacutevel arranjar os seus CDs tal que os CDs do mesmo
tipo sempre fiquem juntos
Se os CDs forem colocados na prateleira de forma
aleatoacuteria qual eacute a probabilidade de os CDs do mesmo
estilo musical ficarem juntos
Cap 4-56
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Soluccedilatildeo princiacutepio da Contagem + Arranjos
Podemos quebrar o processo em 2 estaacutegios
1) Escolher a ordem dos tipos de Cds 321
2) Escolher a sequecircncia dos Cds para cada tipo
Para Cds de muacutesica claacutessica 10
Para Cds de rock 20
Para Cds de forroacute 15
Total 3102015
Cap 4-57
Teacutecnicas de Contagem
Combinaccedilatildeo de k elementos em n
Queremos contar o nuacutemero de subconjuntos de k elementos a
partir de um conjunto de n elementos sem reposiccedilatildeo
A ordem dos elementos natildeo eacute importante
Dizemos combinaccedilatildeo de n elementos k a k
Ex Formar comitecirc com 3 representantes de turma de um total de
131 alunos
Se todos tem mesmo poder a ordem de escolha natildeo eacute
importante combinaccedilatildeo
Se teremos presidente vice-presidente e secretaacuterio entatildeo a
ordem de escolha eacute importante permutaccedilatildeo
Teorema 119873119888119900119898119887119894119899119886ccedilotilde119890119904 =119899119896=
119899
119899 minus 119896 119896
Cap 4-58
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Qual o nuacutemero de combinaccedilotildees de 2
elementos distintos que podemos construir com as letras
A B C D
Cap 4-59
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Qual o nuacutemero de combinaccedilotildees de 2
elementos das letras A B C D
Soluccedilatildeo
Conferindo
AB AC AD BC BD CD
62)24(
4
2
4
scombinaccedilotildeeN
Cap 4-60
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Um armazeacutem da universidade recebeu 25
impressoras das quais 10 satildeo a laser e 15 a jato de tinta
Se 6 das 25 forem selecionadas aleatoriamente para para
serem verificadas por um teacutecnico qual seraacute a
probabilidade de exatamente 3 delas serem a laser
Cap 4-61
Teacutecnicas de Contagem
Soluccedilatildeo Seja 1198633= 3 das 6 selecionadas satildeo a laser Como a seleccedilatildeo das impressoras
dentre as 25 eacute aleatoacuteria cada uma delas tem a mesma chance de ser sorteada
Probabilidade claacutessica implica 119875 1198633 = 119899(1198633)119899
Como a ordem da seleccedilatildeo das impressoras natildeo importa 119899 =256
Para determinar 1198633 vamos dividir o processo em duas etapas 1) selecionamos 3 das 15
impressoras a tinta e 2) selecionamos 3 das 6 impressoras a laser Para cada elemento da
primeira etapa temos exatamente o mesmo nordm de possibilidades da segunda etapa Pelo
princiacutepio da contagem 119899 1198633 = 1198991 1198633 lowast 1198992 1198633
Como a ordem em que as impressoras satildeo selecionadas em cada etapa natildeo tem
importacircncia 1198991 1198633 =153
e 1198992 1198633 =63
Entatildeo
119875 1198633 =
153
63
256
= 03083
Desafio P(ao menos 3 das 6 selecionadas sejam a laser)
Cap 4-62
Resumo Nesta aula vimos
Como representar um modelo de probabilidade para uma situaccedilatildeo
incerta (experimento aleatoacuterio)
Etapa 1 definiccedilatildeo do espaccedilo amostral
Revisatildeo de conjuntos
Etapa 2 especificaccedilatildeo de uma funccedilatildeo probabilidade que atribui pesos
para a chance relativa de cada resultado do espaccedilo amostral
3 conceitos de probabilidade
Probabilidade claacutessica
Probabilidade Frequentista
Axiomas de Kolmogorov
Revisatildeo de teacutecnicas de contagem para podermos calcular
probabilidades
Na proacutexima aula veremos como incorporar informaccedilotildees novas ao
caacutelculo de probabilidade =gt Probabilidade condicional
Probabilidade Claacutessica
Exerciacutecio Considere o lanccedilamento de 2 dados balanceados
Total de resultados 36
Calcular a probabilidade de
c) Que resultado do primeiro dado seja superior ao
resultado do segundo
Resultados possiacuteveis 15
P(1degdadogt2degdado)=15 36
Cap 4-29
1 2 3 4 5 6 1
2
3
4
5
6
1deg Dado
2deg
Da
do
Cap 4-30
Probabilidade Claacutessica
Em termos praacuteticos temos que determinar
O nuacutemero total de resultados possiacuteveis
O nuacutemero de vezes que podemos ganhar (A)
CUIDADO soacute pode ser aplicado quando todos os resultados do
espaccedilo amostral tem a mesma chance de ocorrer
Exemplos dado moeda sexo dos filhos
Contra-exemplo peso de pessoas (entre 40 e 120)
chance de (40 a 50 kg) lt chance (60 a 70 kg)
Intervalos com mesmo comprimento pela probabilidade
geomeacutetrica devem ter a mesma probabilidade Natildeo faz sentido
para o peso de pessoas
Cap 4-31
Probabilidade Frequentista
A probabilidade frequentista considera o limite de frequecircncias
relativas como o valor da probabilidade
Seja nA o nuacutemero de ocorrecircncia de A em n repeticcedilotildees independentes
do experimento Assim
119875 119860 = lim119899rarrinfin
119899119860119899
Assim definimos a probabilidade como a frequecircncia relativa
observada ao repertirmos o experimento um ndeg muito grande de vezes
Exemplo caixa com 100 moedas e conte o nuacutemero de caras ou ver
applet laquo probability raquo do Moore
Definiccedilatildeo
Cap 4-32
Probabilidade Frequentista
A probabilidade frequentista considera o limite de frequecircncias
relativas como o valor da probabilidade
Na praacutetica
repita o experimento aleatoacuterio um nuacutemero grande de vezes 119899
Conte o nordm de vezes que o evento de interesse 119860 aconteceu 119899119860
Entatildeo a probabilidade de o evento acontecer eacute calculada como
119875 119860 =119899119860119899
Eacute soacute isso
Cap 4-33
Probabilidade Frequentista
Cursando
estatiacutestica
Natildeo-
cursando
estatiacutestica
Total
Masculino 84 145 229
Feminino 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Encontre a probabilidade de selecionar um aluno de
estatiacutestica do sexo masculino a partir de uma populaccedilatildeo descrita
na tabela abaixo Considere que 439 eacute grande o suficiente para
aplicar a probabilidade frequentista
Neste caso o experimento consiste em selecionar uma pessoa
da populaccedilatildeo e em seguida observarmos o sexo e se cursa
estatiacutestica O experimento foi repetido 439 vezes
Cap 4-34
Probabilidade Frequentista
Cursando
estatiacutestica
Natildeo-
cursando
estatiacutestica
Total
Masculino 84 145 229
Feminino 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Encontre a probabilidade de selecionar um aluno de
estatiacutestica do sexo masculino a partir de uma populaccedilatildeo descrita
na tabela abaixo
119875 119867119900119898119890119898 cap 119864119904119905119886119905iacute119904119905119894119888119886 =119899ordm 119889119890 119867119900119898119890119898 cap 119864119904119905119886119905iacute119905119894119888119886
119899ordm 119889119890 119886119897119906119899119900119904=84
439= 0191
Cap 4-35
Axiomas de Probabilidade de
Kolmogorov
Axiomas de Kolmogorov
definiccedilatildeo formal de probabilidade
incluem as definiccedilotildees acima como casos particulares
Qualquer funccedilatildeo P() dos subconjuntos do espaccedilo amostral (eventos)
no intervalo [01] eacute uma probabilidade se satisfaz as condiccedilotildees
1 (Natildeo-negatividade)119875(119860 ge 0) forall evento 119860
2 (Aditividade) 119875 cup119895 119864119895 = 119875(119864119895) 119895 forall 119864119895 eventos disjuntos
3 (Normalizaccedilatildeo) 119875 119878 = 1
Definiccedilatildeo
Cap 4-36
Propriedades de uma
Probabilidade
Como consequecircncia dos Axiomas de Kolmogorov mostre que uma
funccedilatildeo probabilidade satisfaz as seguintes propriedades
1 119875 119864119888 = 1 minus 119875 119864
2 Se 1198641 sube 1198642 entatildeo 119875 1198641 le 119875 1198642
3 119875 120601 = 0
Ainda partindo dos axiomas de Kolmogorov podemos
provar a Regra geral da adiccedilatildeo
Regra Geral da Adiccedilatildeo
Cap 4-37
119875 119860 cup 119861 = 119875 119860 + 119875 119861 minus 119875(119860 cap 119861)
Regra Geral da Adiccedilatildeo
Regra geral da adiccedilatildeo
No caso particular em que os eventos satildeo
mutuamente excludentes continua valendo o axioma
de aditividade pois 119875 119860 cap 119861 = 0 daiacute
119875 119860 cup 119861 = 119875 119860 + 119875(119861)
Cap 4-38
119875 119860 cup 119861 = 119875 119860 + 119875 119861 minus 119875(119860 cap 119861)
Cap 4-39
Exemplo da Regra Geral de
Adiccedilatildeo
Cursando
estatiacutestica
Natildeo cursando
estatiacutestica
Total
Homem 84 145 229
Mulher 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Qual a probabilidade de selecionamos
aleatoriamente um homem ou um aluno(a) da estatiacutestica de
uma populaccedilatildeo descrita pela tabela abaixo
Cap 4-40
Exemplo da Regra Geral de
Adiccedilatildeo
Cursando
estatiacutestica
Natildeo cursando
estatiacutestica
Total
Homem 84 145 229
Mulher 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Qual a probabilidade de selecionamos
aleatoriamente um homem ou um aluno(a) da estatiacutestica de
uma populaccedilatildeo descrita pela tabela abaixo
119875 119867119900119898119890119898 cup 119864119904119905119886119905iacute119905119894119888119886 =
119875 119867119900119898119890119898 + 119875 119864119904119905119886119905iacute119904119905119894119888119886 minus 119875 119867119900119898119890119898 cap 119864119904119905119886119905119894119904119905119894119888119886 =229
439+160
439minus
84
439=305
439
Cap 4-41
Resumo de Probabilidade
Probabilidade eacute uma medida numeacuterica que informa a chance de um resultado ocorrer
A probabilidade de um evento deve estar entre 0 e 1 incluindo os extremos
0 le 119875(119860) le 1 para qquer evento 119860
A soma da probabilidade de uma particcedilatildeo do espaccedilo amostral eacute igual a 1
119875(119860) + 119875(119861) + 119875(119862) = 1
em que A B e C satildeo eventos mutuamente excludentes e coletivamente exaustivos (particcedilatildeo de 119878)
Certo
Impossiacutevel
05
1
0
Exemplo Probabilidade
Cap 4-42
Vocabulaacuterio Geral
Pelo menos 1 dos eventos A B ou ambos =
119860 cup 119861
Nenhum dos eventos nem A nem B = (119860 cup 119861)119888
Apenas 1 (ex Apenas A) possui A e natildeo possui B
= 119860 cap (119861119888)
Cap 4-43
Exerciacutecio Probabilidade
Selecione aleatoriamente um estudante em uma determinada
universidade e represente por A o evento dele possuir um cartatildeo de
creacutedito Visa e por B o evento anaacutelogo para um Mastercard Suponha que
P(Visa) = 05 P(Mastercard) = 04 e P (Ambos os cartotildees) = 025
1 Calcule a probabilidade de que um indiviacuteduo selecionado tenha
pelo menos um dos dois tipos de cartatildeo
2 Qual a probabilidade de o indiviacuteduo selecionado natildeo ter nenhum
dos tipos de cartatildeo
3 Descreva em termos de A e B o evento em que o estudante
selecionado possui um cartatildeo Visa mas natildeo um MasterCard
4 Calcule a probabilidade desse evento
Teacutecnicas de Contagem
Princiacutepio de contagem (divida e conquiste) o processo
eacute quebrado em vaacuterias etapas com o uso do diagrama de
aacutervores
Cap 4-44
n2
opccedilotildees
Folhas
n1
opccedilotildees
n3
opccedilotildees
n4
opccedilotildees
Estaacutegio
1
Estaacutegio
2
Estaacutegio
3
Estaacutegio
4
Nuacutemero total de folhas eacute
n1n2n3hellipni
n2
opccedilotildees
Desde que um mesmo
estaacutegio tenha o mesmo nordm
de opccedilotildees em cada ponto
da aacutervore
Teacutecnicas de Contagem
Princiacutepio de contagem
Considere um processo que contem r estaacutegios Suponha que
Existem n1 resultados possiacuteveis no primeiro estaacutegio
Para cada resultado possiacutevel do estaacutegio 1 existem n2
resultados possiacuteveis no estaacutegio 2
De forma mais geral para cada um dos resultados ni-1
primeiros estaacutegios existem ni resultados possiacuteveis no i-
eacutesimo estaacutegio
Entatildeo o Nuacutemero total de resultados possiacuteveis no processo de r
estaacutegios eacute de n1n2n3hellipnr
Cap 4-45
Teorema
Cap 4-46
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Um nuacutemero telefocircnico eacute composto de 8
diacutegitos mas o primeiro diacutegito apenas assume 3 valores
possiacuteveis 3 8 9 Quantos nuacutemeros distintos existem
Cap 4-47
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Um nuacutemero telefocircnico eacute composto de 8
diacutegitos mas o primeiro diacutegito apenas assume 3 valores
3 8 9 Quantos nuacutemeros distintos existem
Temos um total de 8 estaacutegios
No primeiro estaacutegio apenas 3 opccedilotildees
Nos demais estaacutegios 10 opccedilotildees
Total 3 107
Cap 4-48
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Quantos subconjutos podemos fazer a
partir de um conjunto com n elementos s1 s2 s3 hellip
sn
Cap 4-49
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Quantos subconjutos podemos fazer a
partir de um conjunto com n elementos s1 s2 s3 hellip
sn
Processo de n estaacutegios em cada estaacutegio decidimos se
colocamos ou natildeo o elemento no subconjunto
nuacutemero de opccedilotildees para o primeiro estaacutegio 2
Total 222hellip2 =2n
Cap 4-50
Teacutecnicas de Contagem
Problema Selecionar 119948 objetos de um total de 119951
objetos 119899 ge 119896 sem reposiccedilatildeo
Se a ordem eacute importante Arranjo
ex de palavra as eacute diferente de sa
Se a ordem natildeo eacute importante Combinaccedilatildeo
ex da loteria escolhemos um conjunto de 6 nordm a
ordem em que eles satildeo sorteados natildeo faz diferenccedila
Cap 4-51
Teacutecnicas de Contagem
Ao contraacuterio da permutaccedilatildeo na combinaccedilatildeo a ordem dos
elementos natildeo eacute importante
Exemplo
Permutaccedilatildeo de 2 elementos das letras A B C D
AB AC AD BA BC BD CA CB CD DA DB DC
Combinaccedilatildeo de 2 elementos das letras A B C D
AB AC AD BC BD CD
jaacute que a ordem natildeo eacute importante BA eacute o mesmo que
AB
Cap 4-52
Teacutecnicas de Contagem
Arranjo de k objetos
Queremos selecionar k objetos de um conjunto de n
objetos sem reposiccedilatildeo
Para o 1deg objeto n possibilidades
Para o 2deg objeto n-1 possibilidades
hellip
Para o uacuteltimo (kdeg objeto) n - (k-1) possibilidades
Total de permutaccedilotildees 119951 lowast (119951 minus 120783) lowast ⋯lowast (119951 minus 119948 + 120783)
Ou usando fatorial
Teorema
119899
119899 minus 119896
Cap 4-53
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Qual o total de palavras que podemos
construir com exatamente 4 letras distintas (natildeo precisa
ter significado nem seguir regras ortograacuteficas)
Cap 4-54
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Qual o total de palavras que podemos
construir com exatamente 4 letras distintas (natildeo
precisa ter significado nem seguir regras
ortograacuteficas)
Soluccedilatildeo
Selecionar 4 letras de um total de 26 sem repetir A
ordem eacute importante pois estamos formando
palavras (permutaccedilatildeo)
Total de arranjos de 4 elementos 26252423
Cap 4-55
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Vocecirc tem 10 CDs de muacutesica claacutessica 20
CDs de rock e 15 CDs de forroacute De quantas formas eacute
possiacutevel arranjar os seus CDs tal que os CDs do mesmo
tipo sempre fiquem juntos
Se os CDs forem colocados na prateleira de forma
aleatoacuteria qual eacute a probabilidade de os CDs do mesmo
estilo musical ficarem juntos
Cap 4-56
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Soluccedilatildeo princiacutepio da Contagem + Arranjos
Podemos quebrar o processo em 2 estaacutegios
1) Escolher a ordem dos tipos de Cds 321
2) Escolher a sequecircncia dos Cds para cada tipo
Para Cds de muacutesica claacutessica 10
Para Cds de rock 20
Para Cds de forroacute 15
Total 3102015
Cap 4-57
Teacutecnicas de Contagem
Combinaccedilatildeo de k elementos em n
Queremos contar o nuacutemero de subconjuntos de k elementos a
partir de um conjunto de n elementos sem reposiccedilatildeo
A ordem dos elementos natildeo eacute importante
Dizemos combinaccedilatildeo de n elementos k a k
Ex Formar comitecirc com 3 representantes de turma de um total de
131 alunos
Se todos tem mesmo poder a ordem de escolha natildeo eacute
importante combinaccedilatildeo
Se teremos presidente vice-presidente e secretaacuterio entatildeo a
ordem de escolha eacute importante permutaccedilatildeo
Teorema 119873119888119900119898119887119894119899119886ccedilotilde119890119904 =119899119896=
119899
119899 minus 119896 119896
Cap 4-58
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Qual o nuacutemero de combinaccedilotildees de 2
elementos distintos que podemos construir com as letras
A B C D
Cap 4-59
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Qual o nuacutemero de combinaccedilotildees de 2
elementos das letras A B C D
Soluccedilatildeo
Conferindo
AB AC AD BC BD CD
62)24(
4
2
4
scombinaccedilotildeeN
Cap 4-60
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Um armazeacutem da universidade recebeu 25
impressoras das quais 10 satildeo a laser e 15 a jato de tinta
Se 6 das 25 forem selecionadas aleatoriamente para para
serem verificadas por um teacutecnico qual seraacute a
probabilidade de exatamente 3 delas serem a laser
Cap 4-61
Teacutecnicas de Contagem
Soluccedilatildeo Seja 1198633= 3 das 6 selecionadas satildeo a laser Como a seleccedilatildeo das impressoras
dentre as 25 eacute aleatoacuteria cada uma delas tem a mesma chance de ser sorteada
Probabilidade claacutessica implica 119875 1198633 = 119899(1198633)119899
Como a ordem da seleccedilatildeo das impressoras natildeo importa 119899 =256
Para determinar 1198633 vamos dividir o processo em duas etapas 1) selecionamos 3 das 15
impressoras a tinta e 2) selecionamos 3 das 6 impressoras a laser Para cada elemento da
primeira etapa temos exatamente o mesmo nordm de possibilidades da segunda etapa Pelo
princiacutepio da contagem 119899 1198633 = 1198991 1198633 lowast 1198992 1198633
Como a ordem em que as impressoras satildeo selecionadas em cada etapa natildeo tem
importacircncia 1198991 1198633 =153
e 1198992 1198633 =63
Entatildeo
119875 1198633 =
153
63
256
= 03083
Desafio P(ao menos 3 das 6 selecionadas sejam a laser)
Cap 4-62
Resumo Nesta aula vimos
Como representar um modelo de probabilidade para uma situaccedilatildeo
incerta (experimento aleatoacuterio)
Etapa 1 definiccedilatildeo do espaccedilo amostral
Revisatildeo de conjuntos
Etapa 2 especificaccedilatildeo de uma funccedilatildeo probabilidade que atribui pesos
para a chance relativa de cada resultado do espaccedilo amostral
3 conceitos de probabilidade
Probabilidade claacutessica
Probabilidade Frequentista
Axiomas de Kolmogorov
Revisatildeo de teacutecnicas de contagem para podermos calcular
probabilidades
Na proacutexima aula veremos como incorporar informaccedilotildees novas ao
caacutelculo de probabilidade =gt Probabilidade condicional
Cap 4-30
Probabilidade Claacutessica
Em termos praacuteticos temos que determinar
O nuacutemero total de resultados possiacuteveis
O nuacutemero de vezes que podemos ganhar (A)
CUIDADO soacute pode ser aplicado quando todos os resultados do
espaccedilo amostral tem a mesma chance de ocorrer
Exemplos dado moeda sexo dos filhos
Contra-exemplo peso de pessoas (entre 40 e 120)
chance de (40 a 50 kg) lt chance (60 a 70 kg)
Intervalos com mesmo comprimento pela probabilidade
geomeacutetrica devem ter a mesma probabilidade Natildeo faz sentido
para o peso de pessoas
Cap 4-31
Probabilidade Frequentista
A probabilidade frequentista considera o limite de frequecircncias
relativas como o valor da probabilidade
Seja nA o nuacutemero de ocorrecircncia de A em n repeticcedilotildees independentes
do experimento Assim
119875 119860 = lim119899rarrinfin
119899119860119899
Assim definimos a probabilidade como a frequecircncia relativa
observada ao repertirmos o experimento um ndeg muito grande de vezes
Exemplo caixa com 100 moedas e conte o nuacutemero de caras ou ver
applet laquo probability raquo do Moore
Definiccedilatildeo
Cap 4-32
Probabilidade Frequentista
A probabilidade frequentista considera o limite de frequecircncias
relativas como o valor da probabilidade
Na praacutetica
repita o experimento aleatoacuterio um nuacutemero grande de vezes 119899
Conte o nordm de vezes que o evento de interesse 119860 aconteceu 119899119860
Entatildeo a probabilidade de o evento acontecer eacute calculada como
119875 119860 =119899119860119899
Eacute soacute isso
Cap 4-33
Probabilidade Frequentista
Cursando
estatiacutestica
Natildeo-
cursando
estatiacutestica
Total
Masculino 84 145 229
Feminino 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Encontre a probabilidade de selecionar um aluno de
estatiacutestica do sexo masculino a partir de uma populaccedilatildeo descrita
na tabela abaixo Considere que 439 eacute grande o suficiente para
aplicar a probabilidade frequentista
Neste caso o experimento consiste em selecionar uma pessoa
da populaccedilatildeo e em seguida observarmos o sexo e se cursa
estatiacutestica O experimento foi repetido 439 vezes
Cap 4-34
Probabilidade Frequentista
Cursando
estatiacutestica
Natildeo-
cursando
estatiacutestica
Total
Masculino 84 145 229
Feminino 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Encontre a probabilidade de selecionar um aluno de
estatiacutestica do sexo masculino a partir de uma populaccedilatildeo descrita
na tabela abaixo
119875 119867119900119898119890119898 cap 119864119904119905119886119905iacute119904119905119894119888119886 =119899ordm 119889119890 119867119900119898119890119898 cap 119864119904119905119886119905iacute119905119894119888119886
119899ordm 119889119890 119886119897119906119899119900119904=84
439= 0191
Cap 4-35
Axiomas de Probabilidade de
Kolmogorov
Axiomas de Kolmogorov
definiccedilatildeo formal de probabilidade
incluem as definiccedilotildees acima como casos particulares
Qualquer funccedilatildeo P() dos subconjuntos do espaccedilo amostral (eventos)
no intervalo [01] eacute uma probabilidade se satisfaz as condiccedilotildees
1 (Natildeo-negatividade)119875(119860 ge 0) forall evento 119860
2 (Aditividade) 119875 cup119895 119864119895 = 119875(119864119895) 119895 forall 119864119895 eventos disjuntos
3 (Normalizaccedilatildeo) 119875 119878 = 1
Definiccedilatildeo
Cap 4-36
Propriedades de uma
Probabilidade
Como consequecircncia dos Axiomas de Kolmogorov mostre que uma
funccedilatildeo probabilidade satisfaz as seguintes propriedades
1 119875 119864119888 = 1 minus 119875 119864
2 Se 1198641 sube 1198642 entatildeo 119875 1198641 le 119875 1198642
3 119875 120601 = 0
Ainda partindo dos axiomas de Kolmogorov podemos
provar a Regra geral da adiccedilatildeo
Regra Geral da Adiccedilatildeo
Cap 4-37
119875 119860 cup 119861 = 119875 119860 + 119875 119861 minus 119875(119860 cap 119861)
Regra Geral da Adiccedilatildeo
Regra geral da adiccedilatildeo
No caso particular em que os eventos satildeo
mutuamente excludentes continua valendo o axioma
de aditividade pois 119875 119860 cap 119861 = 0 daiacute
119875 119860 cup 119861 = 119875 119860 + 119875(119861)
Cap 4-38
119875 119860 cup 119861 = 119875 119860 + 119875 119861 minus 119875(119860 cap 119861)
Cap 4-39
Exemplo da Regra Geral de
Adiccedilatildeo
Cursando
estatiacutestica
Natildeo cursando
estatiacutestica
Total
Homem 84 145 229
Mulher 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Qual a probabilidade de selecionamos
aleatoriamente um homem ou um aluno(a) da estatiacutestica de
uma populaccedilatildeo descrita pela tabela abaixo
Cap 4-40
Exemplo da Regra Geral de
Adiccedilatildeo
Cursando
estatiacutestica
Natildeo cursando
estatiacutestica
Total
Homem 84 145 229
Mulher 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Qual a probabilidade de selecionamos
aleatoriamente um homem ou um aluno(a) da estatiacutestica de
uma populaccedilatildeo descrita pela tabela abaixo
119875 119867119900119898119890119898 cup 119864119904119905119886119905iacute119905119894119888119886 =
119875 119867119900119898119890119898 + 119875 119864119904119905119886119905iacute119904119905119894119888119886 minus 119875 119867119900119898119890119898 cap 119864119904119905119886119905119894119904119905119894119888119886 =229
439+160
439minus
84
439=305
439
Cap 4-41
Resumo de Probabilidade
Probabilidade eacute uma medida numeacuterica que informa a chance de um resultado ocorrer
A probabilidade de um evento deve estar entre 0 e 1 incluindo os extremos
0 le 119875(119860) le 1 para qquer evento 119860
A soma da probabilidade de uma particcedilatildeo do espaccedilo amostral eacute igual a 1
119875(119860) + 119875(119861) + 119875(119862) = 1
em que A B e C satildeo eventos mutuamente excludentes e coletivamente exaustivos (particcedilatildeo de 119878)
Certo
Impossiacutevel
05
1
0
Exemplo Probabilidade
Cap 4-42
Vocabulaacuterio Geral
Pelo menos 1 dos eventos A B ou ambos =
119860 cup 119861
Nenhum dos eventos nem A nem B = (119860 cup 119861)119888
Apenas 1 (ex Apenas A) possui A e natildeo possui B
= 119860 cap (119861119888)
Cap 4-43
Exerciacutecio Probabilidade
Selecione aleatoriamente um estudante em uma determinada
universidade e represente por A o evento dele possuir um cartatildeo de
creacutedito Visa e por B o evento anaacutelogo para um Mastercard Suponha que
P(Visa) = 05 P(Mastercard) = 04 e P (Ambos os cartotildees) = 025
1 Calcule a probabilidade de que um indiviacuteduo selecionado tenha
pelo menos um dos dois tipos de cartatildeo
2 Qual a probabilidade de o indiviacuteduo selecionado natildeo ter nenhum
dos tipos de cartatildeo
3 Descreva em termos de A e B o evento em que o estudante
selecionado possui um cartatildeo Visa mas natildeo um MasterCard
4 Calcule a probabilidade desse evento
Teacutecnicas de Contagem
Princiacutepio de contagem (divida e conquiste) o processo
eacute quebrado em vaacuterias etapas com o uso do diagrama de
aacutervores
Cap 4-44
n2
opccedilotildees
Folhas
n1
opccedilotildees
n3
opccedilotildees
n4
opccedilotildees
Estaacutegio
1
Estaacutegio
2
Estaacutegio
3
Estaacutegio
4
Nuacutemero total de folhas eacute
n1n2n3hellipni
n2
opccedilotildees
Desde que um mesmo
estaacutegio tenha o mesmo nordm
de opccedilotildees em cada ponto
da aacutervore
Teacutecnicas de Contagem
Princiacutepio de contagem
Considere um processo que contem r estaacutegios Suponha que
Existem n1 resultados possiacuteveis no primeiro estaacutegio
Para cada resultado possiacutevel do estaacutegio 1 existem n2
resultados possiacuteveis no estaacutegio 2
De forma mais geral para cada um dos resultados ni-1
primeiros estaacutegios existem ni resultados possiacuteveis no i-
eacutesimo estaacutegio
Entatildeo o Nuacutemero total de resultados possiacuteveis no processo de r
estaacutegios eacute de n1n2n3hellipnr
Cap 4-45
Teorema
Cap 4-46
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Um nuacutemero telefocircnico eacute composto de 8
diacutegitos mas o primeiro diacutegito apenas assume 3 valores
possiacuteveis 3 8 9 Quantos nuacutemeros distintos existem
Cap 4-47
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Um nuacutemero telefocircnico eacute composto de 8
diacutegitos mas o primeiro diacutegito apenas assume 3 valores
3 8 9 Quantos nuacutemeros distintos existem
Temos um total de 8 estaacutegios
No primeiro estaacutegio apenas 3 opccedilotildees
Nos demais estaacutegios 10 opccedilotildees
Total 3 107
Cap 4-48
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Quantos subconjutos podemos fazer a
partir de um conjunto com n elementos s1 s2 s3 hellip
sn
Cap 4-49
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Quantos subconjutos podemos fazer a
partir de um conjunto com n elementos s1 s2 s3 hellip
sn
Processo de n estaacutegios em cada estaacutegio decidimos se
colocamos ou natildeo o elemento no subconjunto
nuacutemero de opccedilotildees para o primeiro estaacutegio 2
Total 222hellip2 =2n
Cap 4-50
Teacutecnicas de Contagem
Problema Selecionar 119948 objetos de um total de 119951
objetos 119899 ge 119896 sem reposiccedilatildeo
Se a ordem eacute importante Arranjo
ex de palavra as eacute diferente de sa
Se a ordem natildeo eacute importante Combinaccedilatildeo
ex da loteria escolhemos um conjunto de 6 nordm a
ordem em que eles satildeo sorteados natildeo faz diferenccedila
Cap 4-51
Teacutecnicas de Contagem
Ao contraacuterio da permutaccedilatildeo na combinaccedilatildeo a ordem dos
elementos natildeo eacute importante
Exemplo
Permutaccedilatildeo de 2 elementos das letras A B C D
AB AC AD BA BC BD CA CB CD DA DB DC
Combinaccedilatildeo de 2 elementos das letras A B C D
AB AC AD BC BD CD
jaacute que a ordem natildeo eacute importante BA eacute o mesmo que
AB
Cap 4-52
Teacutecnicas de Contagem
Arranjo de k objetos
Queremos selecionar k objetos de um conjunto de n
objetos sem reposiccedilatildeo
Para o 1deg objeto n possibilidades
Para o 2deg objeto n-1 possibilidades
hellip
Para o uacuteltimo (kdeg objeto) n - (k-1) possibilidades
Total de permutaccedilotildees 119951 lowast (119951 minus 120783) lowast ⋯lowast (119951 minus 119948 + 120783)
Ou usando fatorial
Teorema
119899
119899 minus 119896
Cap 4-53
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Qual o total de palavras que podemos
construir com exatamente 4 letras distintas (natildeo precisa
ter significado nem seguir regras ortograacuteficas)
Cap 4-54
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Qual o total de palavras que podemos
construir com exatamente 4 letras distintas (natildeo
precisa ter significado nem seguir regras
ortograacuteficas)
Soluccedilatildeo
Selecionar 4 letras de um total de 26 sem repetir A
ordem eacute importante pois estamos formando
palavras (permutaccedilatildeo)
Total de arranjos de 4 elementos 26252423
Cap 4-55
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Vocecirc tem 10 CDs de muacutesica claacutessica 20
CDs de rock e 15 CDs de forroacute De quantas formas eacute
possiacutevel arranjar os seus CDs tal que os CDs do mesmo
tipo sempre fiquem juntos
Se os CDs forem colocados na prateleira de forma
aleatoacuteria qual eacute a probabilidade de os CDs do mesmo
estilo musical ficarem juntos
Cap 4-56
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Soluccedilatildeo princiacutepio da Contagem + Arranjos
Podemos quebrar o processo em 2 estaacutegios
1) Escolher a ordem dos tipos de Cds 321
2) Escolher a sequecircncia dos Cds para cada tipo
Para Cds de muacutesica claacutessica 10
Para Cds de rock 20
Para Cds de forroacute 15
Total 3102015
Cap 4-57
Teacutecnicas de Contagem
Combinaccedilatildeo de k elementos em n
Queremos contar o nuacutemero de subconjuntos de k elementos a
partir de um conjunto de n elementos sem reposiccedilatildeo
A ordem dos elementos natildeo eacute importante
Dizemos combinaccedilatildeo de n elementos k a k
Ex Formar comitecirc com 3 representantes de turma de um total de
131 alunos
Se todos tem mesmo poder a ordem de escolha natildeo eacute
importante combinaccedilatildeo
Se teremos presidente vice-presidente e secretaacuterio entatildeo a
ordem de escolha eacute importante permutaccedilatildeo
Teorema 119873119888119900119898119887119894119899119886ccedilotilde119890119904 =119899119896=
119899
119899 minus 119896 119896
Cap 4-58
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Qual o nuacutemero de combinaccedilotildees de 2
elementos distintos que podemos construir com as letras
A B C D
Cap 4-59
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Qual o nuacutemero de combinaccedilotildees de 2
elementos das letras A B C D
Soluccedilatildeo
Conferindo
AB AC AD BC BD CD
62)24(
4
2
4
scombinaccedilotildeeN
Cap 4-60
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Um armazeacutem da universidade recebeu 25
impressoras das quais 10 satildeo a laser e 15 a jato de tinta
Se 6 das 25 forem selecionadas aleatoriamente para para
serem verificadas por um teacutecnico qual seraacute a
probabilidade de exatamente 3 delas serem a laser
Cap 4-61
Teacutecnicas de Contagem
Soluccedilatildeo Seja 1198633= 3 das 6 selecionadas satildeo a laser Como a seleccedilatildeo das impressoras
dentre as 25 eacute aleatoacuteria cada uma delas tem a mesma chance de ser sorteada
Probabilidade claacutessica implica 119875 1198633 = 119899(1198633)119899
Como a ordem da seleccedilatildeo das impressoras natildeo importa 119899 =256
Para determinar 1198633 vamos dividir o processo em duas etapas 1) selecionamos 3 das 15
impressoras a tinta e 2) selecionamos 3 das 6 impressoras a laser Para cada elemento da
primeira etapa temos exatamente o mesmo nordm de possibilidades da segunda etapa Pelo
princiacutepio da contagem 119899 1198633 = 1198991 1198633 lowast 1198992 1198633
Como a ordem em que as impressoras satildeo selecionadas em cada etapa natildeo tem
importacircncia 1198991 1198633 =153
e 1198992 1198633 =63
Entatildeo
119875 1198633 =
153
63
256
= 03083
Desafio P(ao menos 3 das 6 selecionadas sejam a laser)
Cap 4-62
Resumo Nesta aula vimos
Como representar um modelo de probabilidade para uma situaccedilatildeo
incerta (experimento aleatoacuterio)
Etapa 1 definiccedilatildeo do espaccedilo amostral
Revisatildeo de conjuntos
Etapa 2 especificaccedilatildeo de uma funccedilatildeo probabilidade que atribui pesos
para a chance relativa de cada resultado do espaccedilo amostral
3 conceitos de probabilidade
Probabilidade claacutessica
Probabilidade Frequentista
Axiomas de Kolmogorov
Revisatildeo de teacutecnicas de contagem para podermos calcular
probabilidades
Na proacutexima aula veremos como incorporar informaccedilotildees novas ao
caacutelculo de probabilidade =gt Probabilidade condicional
Cap 4-31
Probabilidade Frequentista
A probabilidade frequentista considera o limite de frequecircncias
relativas como o valor da probabilidade
Seja nA o nuacutemero de ocorrecircncia de A em n repeticcedilotildees independentes
do experimento Assim
119875 119860 = lim119899rarrinfin
119899119860119899
Assim definimos a probabilidade como a frequecircncia relativa
observada ao repertirmos o experimento um ndeg muito grande de vezes
Exemplo caixa com 100 moedas e conte o nuacutemero de caras ou ver
applet laquo probability raquo do Moore
Definiccedilatildeo
Cap 4-32
Probabilidade Frequentista
A probabilidade frequentista considera o limite de frequecircncias
relativas como o valor da probabilidade
Na praacutetica
repita o experimento aleatoacuterio um nuacutemero grande de vezes 119899
Conte o nordm de vezes que o evento de interesse 119860 aconteceu 119899119860
Entatildeo a probabilidade de o evento acontecer eacute calculada como
119875 119860 =119899119860119899
Eacute soacute isso
Cap 4-33
Probabilidade Frequentista
Cursando
estatiacutestica
Natildeo-
cursando
estatiacutestica
Total
Masculino 84 145 229
Feminino 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Encontre a probabilidade de selecionar um aluno de
estatiacutestica do sexo masculino a partir de uma populaccedilatildeo descrita
na tabela abaixo Considere que 439 eacute grande o suficiente para
aplicar a probabilidade frequentista
Neste caso o experimento consiste em selecionar uma pessoa
da populaccedilatildeo e em seguida observarmos o sexo e se cursa
estatiacutestica O experimento foi repetido 439 vezes
Cap 4-34
Probabilidade Frequentista
Cursando
estatiacutestica
Natildeo-
cursando
estatiacutestica
Total
Masculino 84 145 229
Feminino 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Encontre a probabilidade de selecionar um aluno de
estatiacutestica do sexo masculino a partir de uma populaccedilatildeo descrita
na tabela abaixo
119875 119867119900119898119890119898 cap 119864119904119905119886119905iacute119904119905119894119888119886 =119899ordm 119889119890 119867119900119898119890119898 cap 119864119904119905119886119905iacute119905119894119888119886
119899ordm 119889119890 119886119897119906119899119900119904=84
439= 0191
Cap 4-35
Axiomas de Probabilidade de
Kolmogorov
Axiomas de Kolmogorov
definiccedilatildeo formal de probabilidade
incluem as definiccedilotildees acima como casos particulares
Qualquer funccedilatildeo P() dos subconjuntos do espaccedilo amostral (eventos)
no intervalo [01] eacute uma probabilidade se satisfaz as condiccedilotildees
1 (Natildeo-negatividade)119875(119860 ge 0) forall evento 119860
2 (Aditividade) 119875 cup119895 119864119895 = 119875(119864119895) 119895 forall 119864119895 eventos disjuntos
3 (Normalizaccedilatildeo) 119875 119878 = 1
Definiccedilatildeo
Cap 4-36
Propriedades de uma
Probabilidade
Como consequecircncia dos Axiomas de Kolmogorov mostre que uma
funccedilatildeo probabilidade satisfaz as seguintes propriedades
1 119875 119864119888 = 1 minus 119875 119864
2 Se 1198641 sube 1198642 entatildeo 119875 1198641 le 119875 1198642
3 119875 120601 = 0
Ainda partindo dos axiomas de Kolmogorov podemos
provar a Regra geral da adiccedilatildeo
Regra Geral da Adiccedilatildeo
Cap 4-37
119875 119860 cup 119861 = 119875 119860 + 119875 119861 minus 119875(119860 cap 119861)
Regra Geral da Adiccedilatildeo
Regra geral da adiccedilatildeo
No caso particular em que os eventos satildeo
mutuamente excludentes continua valendo o axioma
de aditividade pois 119875 119860 cap 119861 = 0 daiacute
119875 119860 cup 119861 = 119875 119860 + 119875(119861)
Cap 4-38
119875 119860 cup 119861 = 119875 119860 + 119875 119861 minus 119875(119860 cap 119861)
Cap 4-39
Exemplo da Regra Geral de
Adiccedilatildeo
Cursando
estatiacutestica
Natildeo cursando
estatiacutestica
Total
Homem 84 145 229
Mulher 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Qual a probabilidade de selecionamos
aleatoriamente um homem ou um aluno(a) da estatiacutestica de
uma populaccedilatildeo descrita pela tabela abaixo
Cap 4-40
Exemplo da Regra Geral de
Adiccedilatildeo
Cursando
estatiacutestica
Natildeo cursando
estatiacutestica
Total
Homem 84 145 229
Mulher 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Qual a probabilidade de selecionamos
aleatoriamente um homem ou um aluno(a) da estatiacutestica de
uma populaccedilatildeo descrita pela tabela abaixo
119875 119867119900119898119890119898 cup 119864119904119905119886119905iacute119905119894119888119886 =
119875 119867119900119898119890119898 + 119875 119864119904119905119886119905iacute119904119905119894119888119886 minus 119875 119867119900119898119890119898 cap 119864119904119905119886119905119894119904119905119894119888119886 =229
439+160
439minus
84
439=305
439
Cap 4-41
Resumo de Probabilidade
Probabilidade eacute uma medida numeacuterica que informa a chance de um resultado ocorrer
A probabilidade de um evento deve estar entre 0 e 1 incluindo os extremos
0 le 119875(119860) le 1 para qquer evento 119860
A soma da probabilidade de uma particcedilatildeo do espaccedilo amostral eacute igual a 1
119875(119860) + 119875(119861) + 119875(119862) = 1
em que A B e C satildeo eventos mutuamente excludentes e coletivamente exaustivos (particcedilatildeo de 119878)
Certo
Impossiacutevel
05
1
0
Exemplo Probabilidade
Cap 4-42
Vocabulaacuterio Geral
Pelo menos 1 dos eventos A B ou ambos =
119860 cup 119861
Nenhum dos eventos nem A nem B = (119860 cup 119861)119888
Apenas 1 (ex Apenas A) possui A e natildeo possui B
= 119860 cap (119861119888)
Cap 4-43
Exerciacutecio Probabilidade
Selecione aleatoriamente um estudante em uma determinada
universidade e represente por A o evento dele possuir um cartatildeo de
creacutedito Visa e por B o evento anaacutelogo para um Mastercard Suponha que
P(Visa) = 05 P(Mastercard) = 04 e P (Ambos os cartotildees) = 025
1 Calcule a probabilidade de que um indiviacuteduo selecionado tenha
pelo menos um dos dois tipos de cartatildeo
2 Qual a probabilidade de o indiviacuteduo selecionado natildeo ter nenhum
dos tipos de cartatildeo
3 Descreva em termos de A e B o evento em que o estudante
selecionado possui um cartatildeo Visa mas natildeo um MasterCard
4 Calcule a probabilidade desse evento
Teacutecnicas de Contagem
Princiacutepio de contagem (divida e conquiste) o processo
eacute quebrado em vaacuterias etapas com o uso do diagrama de
aacutervores
Cap 4-44
n2
opccedilotildees
Folhas
n1
opccedilotildees
n3
opccedilotildees
n4
opccedilotildees
Estaacutegio
1
Estaacutegio
2
Estaacutegio
3
Estaacutegio
4
Nuacutemero total de folhas eacute
n1n2n3hellipni
n2
opccedilotildees
Desde que um mesmo
estaacutegio tenha o mesmo nordm
de opccedilotildees em cada ponto
da aacutervore
Teacutecnicas de Contagem
Princiacutepio de contagem
Considere um processo que contem r estaacutegios Suponha que
Existem n1 resultados possiacuteveis no primeiro estaacutegio
Para cada resultado possiacutevel do estaacutegio 1 existem n2
resultados possiacuteveis no estaacutegio 2
De forma mais geral para cada um dos resultados ni-1
primeiros estaacutegios existem ni resultados possiacuteveis no i-
eacutesimo estaacutegio
Entatildeo o Nuacutemero total de resultados possiacuteveis no processo de r
estaacutegios eacute de n1n2n3hellipnr
Cap 4-45
Teorema
Cap 4-46
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Um nuacutemero telefocircnico eacute composto de 8
diacutegitos mas o primeiro diacutegito apenas assume 3 valores
possiacuteveis 3 8 9 Quantos nuacutemeros distintos existem
Cap 4-47
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Um nuacutemero telefocircnico eacute composto de 8
diacutegitos mas o primeiro diacutegito apenas assume 3 valores
3 8 9 Quantos nuacutemeros distintos existem
Temos um total de 8 estaacutegios
No primeiro estaacutegio apenas 3 opccedilotildees
Nos demais estaacutegios 10 opccedilotildees
Total 3 107
Cap 4-48
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Quantos subconjutos podemos fazer a
partir de um conjunto com n elementos s1 s2 s3 hellip
sn
Cap 4-49
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Quantos subconjutos podemos fazer a
partir de um conjunto com n elementos s1 s2 s3 hellip
sn
Processo de n estaacutegios em cada estaacutegio decidimos se
colocamos ou natildeo o elemento no subconjunto
nuacutemero de opccedilotildees para o primeiro estaacutegio 2
Total 222hellip2 =2n
Cap 4-50
Teacutecnicas de Contagem
Problema Selecionar 119948 objetos de um total de 119951
objetos 119899 ge 119896 sem reposiccedilatildeo
Se a ordem eacute importante Arranjo
ex de palavra as eacute diferente de sa
Se a ordem natildeo eacute importante Combinaccedilatildeo
ex da loteria escolhemos um conjunto de 6 nordm a
ordem em que eles satildeo sorteados natildeo faz diferenccedila
Cap 4-51
Teacutecnicas de Contagem
Ao contraacuterio da permutaccedilatildeo na combinaccedilatildeo a ordem dos
elementos natildeo eacute importante
Exemplo
Permutaccedilatildeo de 2 elementos das letras A B C D
AB AC AD BA BC BD CA CB CD DA DB DC
Combinaccedilatildeo de 2 elementos das letras A B C D
AB AC AD BC BD CD
jaacute que a ordem natildeo eacute importante BA eacute o mesmo que
AB
Cap 4-52
Teacutecnicas de Contagem
Arranjo de k objetos
Queremos selecionar k objetos de um conjunto de n
objetos sem reposiccedilatildeo
Para o 1deg objeto n possibilidades
Para o 2deg objeto n-1 possibilidades
hellip
Para o uacuteltimo (kdeg objeto) n - (k-1) possibilidades
Total de permutaccedilotildees 119951 lowast (119951 minus 120783) lowast ⋯lowast (119951 minus 119948 + 120783)
Ou usando fatorial
Teorema
119899
119899 minus 119896
Cap 4-53
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Qual o total de palavras que podemos
construir com exatamente 4 letras distintas (natildeo precisa
ter significado nem seguir regras ortograacuteficas)
Cap 4-54
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Qual o total de palavras que podemos
construir com exatamente 4 letras distintas (natildeo
precisa ter significado nem seguir regras
ortograacuteficas)
Soluccedilatildeo
Selecionar 4 letras de um total de 26 sem repetir A
ordem eacute importante pois estamos formando
palavras (permutaccedilatildeo)
Total de arranjos de 4 elementos 26252423
Cap 4-55
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Vocecirc tem 10 CDs de muacutesica claacutessica 20
CDs de rock e 15 CDs de forroacute De quantas formas eacute
possiacutevel arranjar os seus CDs tal que os CDs do mesmo
tipo sempre fiquem juntos
Se os CDs forem colocados na prateleira de forma
aleatoacuteria qual eacute a probabilidade de os CDs do mesmo
estilo musical ficarem juntos
Cap 4-56
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Soluccedilatildeo princiacutepio da Contagem + Arranjos
Podemos quebrar o processo em 2 estaacutegios
1) Escolher a ordem dos tipos de Cds 321
2) Escolher a sequecircncia dos Cds para cada tipo
Para Cds de muacutesica claacutessica 10
Para Cds de rock 20
Para Cds de forroacute 15
Total 3102015
Cap 4-57
Teacutecnicas de Contagem
Combinaccedilatildeo de k elementos em n
Queremos contar o nuacutemero de subconjuntos de k elementos a
partir de um conjunto de n elementos sem reposiccedilatildeo
A ordem dos elementos natildeo eacute importante
Dizemos combinaccedilatildeo de n elementos k a k
Ex Formar comitecirc com 3 representantes de turma de um total de
131 alunos
Se todos tem mesmo poder a ordem de escolha natildeo eacute
importante combinaccedilatildeo
Se teremos presidente vice-presidente e secretaacuterio entatildeo a
ordem de escolha eacute importante permutaccedilatildeo
Teorema 119873119888119900119898119887119894119899119886ccedilotilde119890119904 =119899119896=
119899
119899 minus 119896 119896
Cap 4-58
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Qual o nuacutemero de combinaccedilotildees de 2
elementos distintos que podemos construir com as letras
A B C D
Cap 4-59
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Qual o nuacutemero de combinaccedilotildees de 2
elementos das letras A B C D
Soluccedilatildeo
Conferindo
AB AC AD BC BD CD
62)24(
4
2
4
scombinaccedilotildeeN
Cap 4-60
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Um armazeacutem da universidade recebeu 25
impressoras das quais 10 satildeo a laser e 15 a jato de tinta
Se 6 das 25 forem selecionadas aleatoriamente para para
serem verificadas por um teacutecnico qual seraacute a
probabilidade de exatamente 3 delas serem a laser
Cap 4-61
Teacutecnicas de Contagem
Soluccedilatildeo Seja 1198633= 3 das 6 selecionadas satildeo a laser Como a seleccedilatildeo das impressoras
dentre as 25 eacute aleatoacuteria cada uma delas tem a mesma chance de ser sorteada
Probabilidade claacutessica implica 119875 1198633 = 119899(1198633)119899
Como a ordem da seleccedilatildeo das impressoras natildeo importa 119899 =256
Para determinar 1198633 vamos dividir o processo em duas etapas 1) selecionamos 3 das 15
impressoras a tinta e 2) selecionamos 3 das 6 impressoras a laser Para cada elemento da
primeira etapa temos exatamente o mesmo nordm de possibilidades da segunda etapa Pelo
princiacutepio da contagem 119899 1198633 = 1198991 1198633 lowast 1198992 1198633
Como a ordem em que as impressoras satildeo selecionadas em cada etapa natildeo tem
importacircncia 1198991 1198633 =153
e 1198992 1198633 =63
Entatildeo
119875 1198633 =
153
63
256
= 03083
Desafio P(ao menos 3 das 6 selecionadas sejam a laser)
Cap 4-62
Resumo Nesta aula vimos
Como representar um modelo de probabilidade para uma situaccedilatildeo
incerta (experimento aleatoacuterio)
Etapa 1 definiccedilatildeo do espaccedilo amostral
Revisatildeo de conjuntos
Etapa 2 especificaccedilatildeo de uma funccedilatildeo probabilidade que atribui pesos
para a chance relativa de cada resultado do espaccedilo amostral
3 conceitos de probabilidade
Probabilidade claacutessica
Probabilidade Frequentista
Axiomas de Kolmogorov
Revisatildeo de teacutecnicas de contagem para podermos calcular
probabilidades
Na proacutexima aula veremos como incorporar informaccedilotildees novas ao
caacutelculo de probabilidade =gt Probabilidade condicional
Cap 4-32
Probabilidade Frequentista
A probabilidade frequentista considera o limite de frequecircncias
relativas como o valor da probabilidade
Na praacutetica
repita o experimento aleatoacuterio um nuacutemero grande de vezes 119899
Conte o nordm de vezes que o evento de interesse 119860 aconteceu 119899119860
Entatildeo a probabilidade de o evento acontecer eacute calculada como
119875 119860 =119899119860119899
Eacute soacute isso
Cap 4-33
Probabilidade Frequentista
Cursando
estatiacutestica
Natildeo-
cursando
estatiacutestica
Total
Masculino 84 145 229
Feminino 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Encontre a probabilidade de selecionar um aluno de
estatiacutestica do sexo masculino a partir de uma populaccedilatildeo descrita
na tabela abaixo Considere que 439 eacute grande o suficiente para
aplicar a probabilidade frequentista
Neste caso o experimento consiste em selecionar uma pessoa
da populaccedilatildeo e em seguida observarmos o sexo e se cursa
estatiacutestica O experimento foi repetido 439 vezes
Cap 4-34
Probabilidade Frequentista
Cursando
estatiacutestica
Natildeo-
cursando
estatiacutestica
Total
Masculino 84 145 229
Feminino 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Encontre a probabilidade de selecionar um aluno de
estatiacutestica do sexo masculino a partir de uma populaccedilatildeo descrita
na tabela abaixo
119875 119867119900119898119890119898 cap 119864119904119905119886119905iacute119904119905119894119888119886 =119899ordm 119889119890 119867119900119898119890119898 cap 119864119904119905119886119905iacute119905119894119888119886
119899ordm 119889119890 119886119897119906119899119900119904=84
439= 0191
Cap 4-35
Axiomas de Probabilidade de
Kolmogorov
Axiomas de Kolmogorov
definiccedilatildeo formal de probabilidade
incluem as definiccedilotildees acima como casos particulares
Qualquer funccedilatildeo P() dos subconjuntos do espaccedilo amostral (eventos)
no intervalo [01] eacute uma probabilidade se satisfaz as condiccedilotildees
1 (Natildeo-negatividade)119875(119860 ge 0) forall evento 119860
2 (Aditividade) 119875 cup119895 119864119895 = 119875(119864119895) 119895 forall 119864119895 eventos disjuntos
3 (Normalizaccedilatildeo) 119875 119878 = 1
Definiccedilatildeo
Cap 4-36
Propriedades de uma
Probabilidade
Como consequecircncia dos Axiomas de Kolmogorov mostre que uma
funccedilatildeo probabilidade satisfaz as seguintes propriedades
1 119875 119864119888 = 1 minus 119875 119864
2 Se 1198641 sube 1198642 entatildeo 119875 1198641 le 119875 1198642
3 119875 120601 = 0
Ainda partindo dos axiomas de Kolmogorov podemos
provar a Regra geral da adiccedilatildeo
Regra Geral da Adiccedilatildeo
Cap 4-37
119875 119860 cup 119861 = 119875 119860 + 119875 119861 minus 119875(119860 cap 119861)
Regra Geral da Adiccedilatildeo
Regra geral da adiccedilatildeo
No caso particular em que os eventos satildeo
mutuamente excludentes continua valendo o axioma
de aditividade pois 119875 119860 cap 119861 = 0 daiacute
119875 119860 cup 119861 = 119875 119860 + 119875(119861)
Cap 4-38
119875 119860 cup 119861 = 119875 119860 + 119875 119861 minus 119875(119860 cap 119861)
Cap 4-39
Exemplo da Regra Geral de
Adiccedilatildeo
Cursando
estatiacutestica
Natildeo cursando
estatiacutestica
Total
Homem 84 145 229
Mulher 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Qual a probabilidade de selecionamos
aleatoriamente um homem ou um aluno(a) da estatiacutestica de
uma populaccedilatildeo descrita pela tabela abaixo
Cap 4-40
Exemplo da Regra Geral de
Adiccedilatildeo
Cursando
estatiacutestica
Natildeo cursando
estatiacutestica
Total
Homem 84 145 229
Mulher 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Qual a probabilidade de selecionamos
aleatoriamente um homem ou um aluno(a) da estatiacutestica de
uma populaccedilatildeo descrita pela tabela abaixo
119875 119867119900119898119890119898 cup 119864119904119905119886119905iacute119905119894119888119886 =
119875 119867119900119898119890119898 + 119875 119864119904119905119886119905iacute119904119905119894119888119886 minus 119875 119867119900119898119890119898 cap 119864119904119905119886119905119894119904119905119894119888119886 =229
439+160
439minus
84
439=305
439
Cap 4-41
Resumo de Probabilidade
Probabilidade eacute uma medida numeacuterica que informa a chance de um resultado ocorrer
A probabilidade de um evento deve estar entre 0 e 1 incluindo os extremos
0 le 119875(119860) le 1 para qquer evento 119860
A soma da probabilidade de uma particcedilatildeo do espaccedilo amostral eacute igual a 1
119875(119860) + 119875(119861) + 119875(119862) = 1
em que A B e C satildeo eventos mutuamente excludentes e coletivamente exaustivos (particcedilatildeo de 119878)
Certo
Impossiacutevel
05
1
0
Exemplo Probabilidade
Cap 4-42
Vocabulaacuterio Geral
Pelo menos 1 dos eventos A B ou ambos =
119860 cup 119861
Nenhum dos eventos nem A nem B = (119860 cup 119861)119888
Apenas 1 (ex Apenas A) possui A e natildeo possui B
= 119860 cap (119861119888)
Cap 4-43
Exerciacutecio Probabilidade
Selecione aleatoriamente um estudante em uma determinada
universidade e represente por A o evento dele possuir um cartatildeo de
creacutedito Visa e por B o evento anaacutelogo para um Mastercard Suponha que
P(Visa) = 05 P(Mastercard) = 04 e P (Ambos os cartotildees) = 025
1 Calcule a probabilidade de que um indiviacuteduo selecionado tenha
pelo menos um dos dois tipos de cartatildeo
2 Qual a probabilidade de o indiviacuteduo selecionado natildeo ter nenhum
dos tipos de cartatildeo
3 Descreva em termos de A e B o evento em que o estudante
selecionado possui um cartatildeo Visa mas natildeo um MasterCard
4 Calcule a probabilidade desse evento
Teacutecnicas de Contagem
Princiacutepio de contagem (divida e conquiste) o processo
eacute quebrado em vaacuterias etapas com o uso do diagrama de
aacutervores
Cap 4-44
n2
opccedilotildees
Folhas
n1
opccedilotildees
n3
opccedilotildees
n4
opccedilotildees
Estaacutegio
1
Estaacutegio
2
Estaacutegio
3
Estaacutegio
4
Nuacutemero total de folhas eacute
n1n2n3hellipni
n2
opccedilotildees
Desde que um mesmo
estaacutegio tenha o mesmo nordm
de opccedilotildees em cada ponto
da aacutervore
Teacutecnicas de Contagem
Princiacutepio de contagem
Considere um processo que contem r estaacutegios Suponha que
Existem n1 resultados possiacuteveis no primeiro estaacutegio
Para cada resultado possiacutevel do estaacutegio 1 existem n2
resultados possiacuteveis no estaacutegio 2
De forma mais geral para cada um dos resultados ni-1
primeiros estaacutegios existem ni resultados possiacuteveis no i-
eacutesimo estaacutegio
Entatildeo o Nuacutemero total de resultados possiacuteveis no processo de r
estaacutegios eacute de n1n2n3hellipnr
Cap 4-45
Teorema
Cap 4-46
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Um nuacutemero telefocircnico eacute composto de 8
diacutegitos mas o primeiro diacutegito apenas assume 3 valores
possiacuteveis 3 8 9 Quantos nuacutemeros distintos existem
Cap 4-47
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Um nuacutemero telefocircnico eacute composto de 8
diacutegitos mas o primeiro diacutegito apenas assume 3 valores
3 8 9 Quantos nuacutemeros distintos existem
Temos um total de 8 estaacutegios
No primeiro estaacutegio apenas 3 opccedilotildees
Nos demais estaacutegios 10 opccedilotildees
Total 3 107
Cap 4-48
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Quantos subconjutos podemos fazer a
partir de um conjunto com n elementos s1 s2 s3 hellip
sn
Cap 4-49
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Quantos subconjutos podemos fazer a
partir de um conjunto com n elementos s1 s2 s3 hellip
sn
Processo de n estaacutegios em cada estaacutegio decidimos se
colocamos ou natildeo o elemento no subconjunto
nuacutemero de opccedilotildees para o primeiro estaacutegio 2
Total 222hellip2 =2n
Cap 4-50
Teacutecnicas de Contagem
Problema Selecionar 119948 objetos de um total de 119951
objetos 119899 ge 119896 sem reposiccedilatildeo
Se a ordem eacute importante Arranjo
ex de palavra as eacute diferente de sa
Se a ordem natildeo eacute importante Combinaccedilatildeo
ex da loteria escolhemos um conjunto de 6 nordm a
ordem em que eles satildeo sorteados natildeo faz diferenccedila
Cap 4-51
Teacutecnicas de Contagem
Ao contraacuterio da permutaccedilatildeo na combinaccedilatildeo a ordem dos
elementos natildeo eacute importante
Exemplo
Permutaccedilatildeo de 2 elementos das letras A B C D
AB AC AD BA BC BD CA CB CD DA DB DC
Combinaccedilatildeo de 2 elementos das letras A B C D
AB AC AD BC BD CD
jaacute que a ordem natildeo eacute importante BA eacute o mesmo que
AB
Cap 4-52
Teacutecnicas de Contagem
Arranjo de k objetos
Queremos selecionar k objetos de um conjunto de n
objetos sem reposiccedilatildeo
Para o 1deg objeto n possibilidades
Para o 2deg objeto n-1 possibilidades
hellip
Para o uacuteltimo (kdeg objeto) n - (k-1) possibilidades
Total de permutaccedilotildees 119951 lowast (119951 minus 120783) lowast ⋯lowast (119951 minus 119948 + 120783)
Ou usando fatorial
Teorema
119899
119899 minus 119896
Cap 4-53
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Qual o total de palavras que podemos
construir com exatamente 4 letras distintas (natildeo precisa
ter significado nem seguir regras ortograacuteficas)
Cap 4-54
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Qual o total de palavras que podemos
construir com exatamente 4 letras distintas (natildeo
precisa ter significado nem seguir regras
ortograacuteficas)
Soluccedilatildeo
Selecionar 4 letras de um total de 26 sem repetir A
ordem eacute importante pois estamos formando
palavras (permutaccedilatildeo)
Total de arranjos de 4 elementos 26252423
Cap 4-55
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Vocecirc tem 10 CDs de muacutesica claacutessica 20
CDs de rock e 15 CDs de forroacute De quantas formas eacute
possiacutevel arranjar os seus CDs tal que os CDs do mesmo
tipo sempre fiquem juntos
Se os CDs forem colocados na prateleira de forma
aleatoacuteria qual eacute a probabilidade de os CDs do mesmo
estilo musical ficarem juntos
Cap 4-56
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Soluccedilatildeo princiacutepio da Contagem + Arranjos
Podemos quebrar o processo em 2 estaacutegios
1) Escolher a ordem dos tipos de Cds 321
2) Escolher a sequecircncia dos Cds para cada tipo
Para Cds de muacutesica claacutessica 10
Para Cds de rock 20
Para Cds de forroacute 15
Total 3102015
Cap 4-57
Teacutecnicas de Contagem
Combinaccedilatildeo de k elementos em n
Queremos contar o nuacutemero de subconjuntos de k elementos a
partir de um conjunto de n elementos sem reposiccedilatildeo
A ordem dos elementos natildeo eacute importante
Dizemos combinaccedilatildeo de n elementos k a k
Ex Formar comitecirc com 3 representantes de turma de um total de
131 alunos
Se todos tem mesmo poder a ordem de escolha natildeo eacute
importante combinaccedilatildeo
Se teremos presidente vice-presidente e secretaacuterio entatildeo a
ordem de escolha eacute importante permutaccedilatildeo
Teorema 119873119888119900119898119887119894119899119886ccedilotilde119890119904 =119899119896=
119899
119899 minus 119896 119896
Cap 4-58
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Qual o nuacutemero de combinaccedilotildees de 2
elementos distintos que podemos construir com as letras
A B C D
Cap 4-59
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Qual o nuacutemero de combinaccedilotildees de 2
elementos das letras A B C D
Soluccedilatildeo
Conferindo
AB AC AD BC BD CD
62)24(
4
2
4
scombinaccedilotildeeN
Cap 4-60
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Um armazeacutem da universidade recebeu 25
impressoras das quais 10 satildeo a laser e 15 a jato de tinta
Se 6 das 25 forem selecionadas aleatoriamente para para
serem verificadas por um teacutecnico qual seraacute a
probabilidade de exatamente 3 delas serem a laser
Cap 4-61
Teacutecnicas de Contagem
Soluccedilatildeo Seja 1198633= 3 das 6 selecionadas satildeo a laser Como a seleccedilatildeo das impressoras
dentre as 25 eacute aleatoacuteria cada uma delas tem a mesma chance de ser sorteada
Probabilidade claacutessica implica 119875 1198633 = 119899(1198633)119899
Como a ordem da seleccedilatildeo das impressoras natildeo importa 119899 =256
Para determinar 1198633 vamos dividir o processo em duas etapas 1) selecionamos 3 das 15
impressoras a tinta e 2) selecionamos 3 das 6 impressoras a laser Para cada elemento da
primeira etapa temos exatamente o mesmo nordm de possibilidades da segunda etapa Pelo
princiacutepio da contagem 119899 1198633 = 1198991 1198633 lowast 1198992 1198633
Como a ordem em que as impressoras satildeo selecionadas em cada etapa natildeo tem
importacircncia 1198991 1198633 =153
e 1198992 1198633 =63
Entatildeo
119875 1198633 =
153
63
256
= 03083
Desafio P(ao menos 3 das 6 selecionadas sejam a laser)
Cap 4-62
Resumo Nesta aula vimos
Como representar um modelo de probabilidade para uma situaccedilatildeo
incerta (experimento aleatoacuterio)
Etapa 1 definiccedilatildeo do espaccedilo amostral
Revisatildeo de conjuntos
Etapa 2 especificaccedilatildeo de uma funccedilatildeo probabilidade que atribui pesos
para a chance relativa de cada resultado do espaccedilo amostral
3 conceitos de probabilidade
Probabilidade claacutessica
Probabilidade Frequentista
Axiomas de Kolmogorov
Revisatildeo de teacutecnicas de contagem para podermos calcular
probabilidades
Na proacutexima aula veremos como incorporar informaccedilotildees novas ao
caacutelculo de probabilidade =gt Probabilidade condicional
Cap 4-33
Probabilidade Frequentista
Cursando
estatiacutestica
Natildeo-
cursando
estatiacutestica
Total
Masculino 84 145 229
Feminino 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Encontre a probabilidade de selecionar um aluno de
estatiacutestica do sexo masculino a partir de uma populaccedilatildeo descrita
na tabela abaixo Considere que 439 eacute grande o suficiente para
aplicar a probabilidade frequentista
Neste caso o experimento consiste em selecionar uma pessoa
da populaccedilatildeo e em seguida observarmos o sexo e se cursa
estatiacutestica O experimento foi repetido 439 vezes
Cap 4-34
Probabilidade Frequentista
Cursando
estatiacutestica
Natildeo-
cursando
estatiacutestica
Total
Masculino 84 145 229
Feminino 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Encontre a probabilidade de selecionar um aluno de
estatiacutestica do sexo masculino a partir de uma populaccedilatildeo descrita
na tabela abaixo
119875 119867119900119898119890119898 cap 119864119904119905119886119905iacute119904119905119894119888119886 =119899ordm 119889119890 119867119900119898119890119898 cap 119864119904119905119886119905iacute119905119894119888119886
119899ordm 119889119890 119886119897119906119899119900119904=84
439= 0191
Cap 4-35
Axiomas de Probabilidade de
Kolmogorov
Axiomas de Kolmogorov
definiccedilatildeo formal de probabilidade
incluem as definiccedilotildees acima como casos particulares
Qualquer funccedilatildeo P() dos subconjuntos do espaccedilo amostral (eventos)
no intervalo [01] eacute uma probabilidade se satisfaz as condiccedilotildees
1 (Natildeo-negatividade)119875(119860 ge 0) forall evento 119860
2 (Aditividade) 119875 cup119895 119864119895 = 119875(119864119895) 119895 forall 119864119895 eventos disjuntos
3 (Normalizaccedilatildeo) 119875 119878 = 1
Definiccedilatildeo
Cap 4-36
Propriedades de uma
Probabilidade
Como consequecircncia dos Axiomas de Kolmogorov mostre que uma
funccedilatildeo probabilidade satisfaz as seguintes propriedades
1 119875 119864119888 = 1 minus 119875 119864
2 Se 1198641 sube 1198642 entatildeo 119875 1198641 le 119875 1198642
3 119875 120601 = 0
Ainda partindo dos axiomas de Kolmogorov podemos
provar a Regra geral da adiccedilatildeo
Regra Geral da Adiccedilatildeo
Cap 4-37
119875 119860 cup 119861 = 119875 119860 + 119875 119861 minus 119875(119860 cap 119861)
Regra Geral da Adiccedilatildeo
Regra geral da adiccedilatildeo
No caso particular em que os eventos satildeo
mutuamente excludentes continua valendo o axioma
de aditividade pois 119875 119860 cap 119861 = 0 daiacute
119875 119860 cup 119861 = 119875 119860 + 119875(119861)
Cap 4-38
119875 119860 cup 119861 = 119875 119860 + 119875 119861 minus 119875(119860 cap 119861)
Cap 4-39
Exemplo da Regra Geral de
Adiccedilatildeo
Cursando
estatiacutestica
Natildeo cursando
estatiacutestica
Total
Homem 84 145 229
Mulher 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Qual a probabilidade de selecionamos
aleatoriamente um homem ou um aluno(a) da estatiacutestica de
uma populaccedilatildeo descrita pela tabela abaixo
Cap 4-40
Exemplo da Regra Geral de
Adiccedilatildeo
Cursando
estatiacutestica
Natildeo cursando
estatiacutestica
Total
Homem 84 145 229
Mulher 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Qual a probabilidade de selecionamos
aleatoriamente um homem ou um aluno(a) da estatiacutestica de
uma populaccedilatildeo descrita pela tabela abaixo
119875 119867119900119898119890119898 cup 119864119904119905119886119905iacute119905119894119888119886 =
119875 119867119900119898119890119898 + 119875 119864119904119905119886119905iacute119904119905119894119888119886 minus 119875 119867119900119898119890119898 cap 119864119904119905119886119905119894119904119905119894119888119886 =229
439+160
439minus
84
439=305
439
Cap 4-41
Resumo de Probabilidade
Probabilidade eacute uma medida numeacuterica que informa a chance de um resultado ocorrer
A probabilidade de um evento deve estar entre 0 e 1 incluindo os extremos
0 le 119875(119860) le 1 para qquer evento 119860
A soma da probabilidade de uma particcedilatildeo do espaccedilo amostral eacute igual a 1
119875(119860) + 119875(119861) + 119875(119862) = 1
em que A B e C satildeo eventos mutuamente excludentes e coletivamente exaustivos (particcedilatildeo de 119878)
Certo
Impossiacutevel
05
1
0
Exemplo Probabilidade
Cap 4-42
Vocabulaacuterio Geral
Pelo menos 1 dos eventos A B ou ambos =
119860 cup 119861
Nenhum dos eventos nem A nem B = (119860 cup 119861)119888
Apenas 1 (ex Apenas A) possui A e natildeo possui B
= 119860 cap (119861119888)
Cap 4-43
Exerciacutecio Probabilidade
Selecione aleatoriamente um estudante em uma determinada
universidade e represente por A o evento dele possuir um cartatildeo de
creacutedito Visa e por B o evento anaacutelogo para um Mastercard Suponha que
P(Visa) = 05 P(Mastercard) = 04 e P (Ambos os cartotildees) = 025
1 Calcule a probabilidade de que um indiviacuteduo selecionado tenha
pelo menos um dos dois tipos de cartatildeo
2 Qual a probabilidade de o indiviacuteduo selecionado natildeo ter nenhum
dos tipos de cartatildeo
3 Descreva em termos de A e B o evento em que o estudante
selecionado possui um cartatildeo Visa mas natildeo um MasterCard
4 Calcule a probabilidade desse evento
Teacutecnicas de Contagem
Princiacutepio de contagem (divida e conquiste) o processo
eacute quebrado em vaacuterias etapas com o uso do diagrama de
aacutervores
Cap 4-44
n2
opccedilotildees
Folhas
n1
opccedilotildees
n3
opccedilotildees
n4
opccedilotildees
Estaacutegio
1
Estaacutegio
2
Estaacutegio
3
Estaacutegio
4
Nuacutemero total de folhas eacute
n1n2n3hellipni
n2
opccedilotildees
Desde que um mesmo
estaacutegio tenha o mesmo nordm
de opccedilotildees em cada ponto
da aacutervore
Teacutecnicas de Contagem
Princiacutepio de contagem
Considere um processo que contem r estaacutegios Suponha que
Existem n1 resultados possiacuteveis no primeiro estaacutegio
Para cada resultado possiacutevel do estaacutegio 1 existem n2
resultados possiacuteveis no estaacutegio 2
De forma mais geral para cada um dos resultados ni-1
primeiros estaacutegios existem ni resultados possiacuteveis no i-
eacutesimo estaacutegio
Entatildeo o Nuacutemero total de resultados possiacuteveis no processo de r
estaacutegios eacute de n1n2n3hellipnr
Cap 4-45
Teorema
Cap 4-46
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Um nuacutemero telefocircnico eacute composto de 8
diacutegitos mas o primeiro diacutegito apenas assume 3 valores
possiacuteveis 3 8 9 Quantos nuacutemeros distintos existem
Cap 4-47
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Um nuacutemero telefocircnico eacute composto de 8
diacutegitos mas o primeiro diacutegito apenas assume 3 valores
3 8 9 Quantos nuacutemeros distintos existem
Temos um total de 8 estaacutegios
No primeiro estaacutegio apenas 3 opccedilotildees
Nos demais estaacutegios 10 opccedilotildees
Total 3 107
Cap 4-48
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Quantos subconjutos podemos fazer a
partir de um conjunto com n elementos s1 s2 s3 hellip
sn
Cap 4-49
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Quantos subconjutos podemos fazer a
partir de um conjunto com n elementos s1 s2 s3 hellip
sn
Processo de n estaacutegios em cada estaacutegio decidimos se
colocamos ou natildeo o elemento no subconjunto
nuacutemero de opccedilotildees para o primeiro estaacutegio 2
Total 222hellip2 =2n
Cap 4-50
Teacutecnicas de Contagem
Problema Selecionar 119948 objetos de um total de 119951
objetos 119899 ge 119896 sem reposiccedilatildeo
Se a ordem eacute importante Arranjo
ex de palavra as eacute diferente de sa
Se a ordem natildeo eacute importante Combinaccedilatildeo
ex da loteria escolhemos um conjunto de 6 nordm a
ordem em que eles satildeo sorteados natildeo faz diferenccedila
Cap 4-51
Teacutecnicas de Contagem
Ao contraacuterio da permutaccedilatildeo na combinaccedilatildeo a ordem dos
elementos natildeo eacute importante
Exemplo
Permutaccedilatildeo de 2 elementos das letras A B C D
AB AC AD BA BC BD CA CB CD DA DB DC
Combinaccedilatildeo de 2 elementos das letras A B C D
AB AC AD BC BD CD
jaacute que a ordem natildeo eacute importante BA eacute o mesmo que
AB
Cap 4-52
Teacutecnicas de Contagem
Arranjo de k objetos
Queremos selecionar k objetos de um conjunto de n
objetos sem reposiccedilatildeo
Para o 1deg objeto n possibilidades
Para o 2deg objeto n-1 possibilidades
hellip
Para o uacuteltimo (kdeg objeto) n - (k-1) possibilidades
Total de permutaccedilotildees 119951 lowast (119951 minus 120783) lowast ⋯lowast (119951 minus 119948 + 120783)
Ou usando fatorial
Teorema
119899
119899 minus 119896
Cap 4-53
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Qual o total de palavras que podemos
construir com exatamente 4 letras distintas (natildeo precisa
ter significado nem seguir regras ortograacuteficas)
Cap 4-54
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Qual o total de palavras que podemos
construir com exatamente 4 letras distintas (natildeo
precisa ter significado nem seguir regras
ortograacuteficas)
Soluccedilatildeo
Selecionar 4 letras de um total de 26 sem repetir A
ordem eacute importante pois estamos formando
palavras (permutaccedilatildeo)
Total de arranjos de 4 elementos 26252423
Cap 4-55
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Vocecirc tem 10 CDs de muacutesica claacutessica 20
CDs de rock e 15 CDs de forroacute De quantas formas eacute
possiacutevel arranjar os seus CDs tal que os CDs do mesmo
tipo sempre fiquem juntos
Se os CDs forem colocados na prateleira de forma
aleatoacuteria qual eacute a probabilidade de os CDs do mesmo
estilo musical ficarem juntos
Cap 4-56
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Soluccedilatildeo princiacutepio da Contagem + Arranjos
Podemos quebrar o processo em 2 estaacutegios
1) Escolher a ordem dos tipos de Cds 321
2) Escolher a sequecircncia dos Cds para cada tipo
Para Cds de muacutesica claacutessica 10
Para Cds de rock 20
Para Cds de forroacute 15
Total 3102015
Cap 4-57
Teacutecnicas de Contagem
Combinaccedilatildeo de k elementos em n
Queremos contar o nuacutemero de subconjuntos de k elementos a
partir de um conjunto de n elementos sem reposiccedilatildeo
A ordem dos elementos natildeo eacute importante
Dizemos combinaccedilatildeo de n elementos k a k
Ex Formar comitecirc com 3 representantes de turma de um total de
131 alunos
Se todos tem mesmo poder a ordem de escolha natildeo eacute
importante combinaccedilatildeo
Se teremos presidente vice-presidente e secretaacuterio entatildeo a
ordem de escolha eacute importante permutaccedilatildeo
Teorema 119873119888119900119898119887119894119899119886ccedilotilde119890119904 =119899119896=
119899
119899 minus 119896 119896
Cap 4-58
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Qual o nuacutemero de combinaccedilotildees de 2
elementos distintos que podemos construir com as letras
A B C D
Cap 4-59
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Qual o nuacutemero de combinaccedilotildees de 2
elementos das letras A B C D
Soluccedilatildeo
Conferindo
AB AC AD BC BD CD
62)24(
4
2
4
scombinaccedilotildeeN
Cap 4-60
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Um armazeacutem da universidade recebeu 25
impressoras das quais 10 satildeo a laser e 15 a jato de tinta
Se 6 das 25 forem selecionadas aleatoriamente para para
serem verificadas por um teacutecnico qual seraacute a
probabilidade de exatamente 3 delas serem a laser
Cap 4-61
Teacutecnicas de Contagem
Soluccedilatildeo Seja 1198633= 3 das 6 selecionadas satildeo a laser Como a seleccedilatildeo das impressoras
dentre as 25 eacute aleatoacuteria cada uma delas tem a mesma chance de ser sorteada
Probabilidade claacutessica implica 119875 1198633 = 119899(1198633)119899
Como a ordem da seleccedilatildeo das impressoras natildeo importa 119899 =256
Para determinar 1198633 vamos dividir o processo em duas etapas 1) selecionamos 3 das 15
impressoras a tinta e 2) selecionamos 3 das 6 impressoras a laser Para cada elemento da
primeira etapa temos exatamente o mesmo nordm de possibilidades da segunda etapa Pelo
princiacutepio da contagem 119899 1198633 = 1198991 1198633 lowast 1198992 1198633
Como a ordem em que as impressoras satildeo selecionadas em cada etapa natildeo tem
importacircncia 1198991 1198633 =153
e 1198992 1198633 =63
Entatildeo
119875 1198633 =
153
63
256
= 03083
Desafio P(ao menos 3 das 6 selecionadas sejam a laser)
Cap 4-62
Resumo Nesta aula vimos
Como representar um modelo de probabilidade para uma situaccedilatildeo
incerta (experimento aleatoacuterio)
Etapa 1 definiccedilatildeo do espaccedilo amostral
Revisatildeo de conjuntos
Etapa 2 especificaccedilatildeo de uma funccedilatildeo probabilidade que atribui pesos
para a chance relativa de cada resultado do espaccedilo amostral
3 conceitos de probabilidade
Probabilidade claacutessica
Probabilidade Frequentista
Axiomas de Kolmogorov
Revisatildeo de teacutecnicas de contagem para podermos calcular
probabilidades
Na proacutexima aula veremos como incorporar informaccedilotildees novas ao
caacutelculo de probabilidade =gt Probabilidade condicional
Cap 4-34
Probabilidade Frequentista
Cursando
estatiacutestica
Natildeo-
cursando
estatiacutestica
Total
Masculino 84 145 229
Feminino 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Encontre a probabilidade de selecionar um aluno de
estatiacutestica do sexo masculino a partir de uma populaccedilatildeo descrita
na tabela abaixo
119875 119867119900119898119890119898 cap 119864119904119905119886119905iacute119904119905119894119888119886 =119899ordm 119889119890 119867119900119898119890119898 cap 119864119904119905119886119905iacute119905119894119888119886
119899ordm 119889119890 119886119897119906119899119900119904=84
439= 0191
Cap 4-35
Axiomas de Probabilidade de
Kolmogorov
Axiomas de Kolmogorov
definiccedilatildeo formal de probabilidade
incluem as definiccedilotildees acima como casos particulares
Qualquer funccedilatildeo P() dos subconjuntos do espaccedilo amostral (eventos)
no intervalo [01] eacute uma probabilidade se satisfaz as condiccedilotildees
1 (Natildeo-negatividade)119875(119860 ge 0) forall evento 119860
2 (Aditividade) 119875 cup119895 119864119895 = 119875(119864119895) 119895 forall 119864119895 eventos disjuntos
3 (Normalizaccedilatildeo) 119875 119878 = 1
Definiccedilatildeo
Cap 4-36
Propriedades de uma
Probabilidade
Como consequecircncia dos Axiomas de Kolmogorov mostre que uma
funccedilatildeo probabilidade satisfaz as seguintes propriedades
1 119875 119864119888 = 1 minus 119875 119864
2 Se 1198641 sube 1198642 entatildeo 119875 1198641 le 119875 1198642
3 119875 120601 = 0
Ainda partindo dos axiomas de Kolmogorov podemos
provar a Regra geral da adiccedilatildeo
Regra Geral da Adiccedilatildeo
Cap 4-37
119875 119860 cup 119861 = 119875 119860 + 119875 119861 minus 119875(119860 cap 119861)
Regra Geral da Adiccedilatildeo
Regra geral da adiccedilatildeo
No caso particular em que os eventos satildeo
mutuamente excludentes continua valendo o axioma
de aditividade pois 119875 119860 cap 119861 = 0 daiacute
119875 119860 cup 119861 = 119875 119860 + 119875(119861)
Cap 4-38
119875 119860 cup 119861 = 119875 119860 + 119875 119861 minus 119875(119860 cap 119861)
Cap 4-39
Exemplo da Regra Geral de
Adiccedilatildeo
Cursando
estatiacutestica
Natildeo cursando
estatiacutestica
Total
Homem 84 145 229
Mulher 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Qual a probabilidade de selecionamos
aleatoriamente um homem ou um aluno(a) da estatiacutestica de
uma populaccedilatildeo descrita pela tabela abaixo
Cap 4-40
Exemplo da Regra Geral de
Adiccedilatildeo
Cursando
estatiacutestica
Natildeo cursando
estatiacutestica
Total
Homem 84 145 229
Mulher 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Qual a probabilidade de selecionamos
aleatoriamente um homem ou um aluno(a) da estatiacutestica de
uma populaccedilatildeo descrita pela tabela abaixo
119875 119867119900119898119890119898 cup 119864119904119905119886119905iacute119905119894119888119886 =
119875 119867119900119898119890119898 + 119875 119864119904119905119886119905iacute119904119905119894119888119886 minus 119875 119867119900119898119890119898 cap 119864119904119905119886119905119894119904119905119894119888119886 =229
439+160
439minus
84
439=305
439
Cap 4-41
Resumo de Probabilidade
Probabilidade eacute uma medida numeacuterica que informa a chance de um resultado ocorrer
A probabilidade de um evento deve estar entre 0 e 1 incluindo os extremos
0 le 119875(119860) le 1 para qquer evento 119860
A soma da probabilidade de uma particcedilatildeo do espaccedilo amostral eacute igual a 1
119875(119860) + 119875(119861) + 119875(119862) = 1
em que A B e C satildeo eventos mutuamente excludentes e coletivamente exaustivos (particcedilatildeo de 119878)
Certo
Impossiacutevel
05
1
0
Exemplo Probabilidade
Cap 4-42
Vocabulaacuterio Geral
Pelo menos 1 dos eventos A B ou ambos =
119860 cup 119861
Nenhum dos eventos nem A nem B = (119860 cup 119861)119888
Apenas 1 (ex Apenas A) possui A e natildeo possui B
= 119860 cap (119861119888)
Cap 4-43
Exerciacutecio Probabilidade
Selecione aleatoriamente um estudante em uma determinada
universidade e represente por A o evento dele possuir um cartatildeo de
creacutedito Visa e por B o evento anaacutelogo para um Mastercard Suponha que
P(Visa) = 05 P(Mastercard) = 04 e P (Ambos os cartotildees) = 025
1 Calcule a probabilidade de que um indiviacuteduo selecionado tenha
pelo menos um dos dois tipos de cartatildeo
2 Qual a probabilidade de o indiviacuteduo selecionado natildeo ter nenhum
dos tipos de cartatildeo
3 Descreva em termos de A e B o evento em que o estudante
selecionado possui um cartatildeo Visa mas natildeo um MasterCard
4 Calcule a probabilidade desse evento
Teacutecnicas de Contagem
Princiacutepio de contagem (divida e conquiste) o processo
eacute quebrado em vaacuterias etapas com o uso do diagrama de
aacutervores
Cap 4-44
n2
opccedilotildees
Folhas
n1
opccedilotildees
n3
opccedilotildees
n4
opccedilotildees
Estaacutegio
1
Estaacutegio
2
Estaacutegio
3
Estaacutegio
4
Nuacutemero total de folhas eacute
n1n2n3hellipni
n2
opccedilotildees
Desde que um mesmo
estaacutegio tenha o mesmo nordm
de opccedilotildees em cada ponto
da aacutervore
Teacutecnicas de Contagem
Princiacutepio de contagem
Considere um processo que contem r estaacutegios Suponha que
Existem n1 resultados possiacuteveis no primeiro estaacutegio
Para cada resultado possiacutevel do estaacutegio 1 existem n2
resultados possiacuteveis no estaacutegio 2
De forma mais geral para cada um dos resultados ni-1
primeiros estaacutegios existem ni resultados possiacuteveis no i-
eacutesimo estaacutegio
Entatildeo o Nuacutemero total de resultados possiacuteveis no processo de r
estaacutegios eacute de n1n2n3hellipnr
Cap 4-45
Teorema
Cap 4-46
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Um nuacutemero telefocircnico eacute composto de 8
diacutegitos mas o primeiro diacutegito apenas assume 3 valores
possiacuteveis 3 8 9 Quantos nuacutemeros distintos existem
Cap 4-47
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Um nuacutemero telefocircnico eacute composto de 8
diacutegitos mas o primeiro diacutegito apenas assume 3 valores
3 8 9 Quantos nuacutemeros distintos existem
Temos um total de 8 estaacutegios
No primeiro estaacutegio apenas 3 opccedilotildees
Nos demais estaacutegios 10 opccedilotildees
Total 3 107
Cap 4-48
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Quantos subconjutos podemos fazer a
partir de um conjunto com n elementos s1 s2 s3 hellip
sn
Cap 4-49
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Quantos subconjutos podemos fazer a
partir de um conjunto com n elementos s1 s2 s3 hellip
sn
Processo de n estaacutegios em cada estaacutegio decidimos se
colocamos ou natildeo o elemento no subconjunto
nuacutemero de opccedilotildees para o primeiro estaacutegio 2
Total 222hellip2 =2n
Cap 4-50
Teacutecnicas de Contagem
Problema Selecionar 119948 objetos de um total de 119951
objetos 119899 ge 119896 sem reposiccedilatildeo
Se a ordem eacute importante Arranjo
ex de palavra as eacute diferente de sa
Se a ordem natildeo eacute importante Combinaccedilatildeo
ex da loteria escolhemos um conjunto de 6 nordm a
ordem em que eles satildeo sorteados natildeo faz diferenccedila
Cap 4-51
Teacutecnicas de Contagem
Ao contraacuterio da permutaccedilatildeo na combinaccedilatildeo a ordem dos
elementos natildeo eacute importante
Exemplo
Permutaccedilatildeo de 2 elementos das letras A B C D
AB AC AD BA BC BD CA CB CD DA DB DC
Combinaccedilatildeo de 2 elementos das letras A B C D
AB AC AD BC BD CD
jaacute que a ordem natildeo eacute importante BA eacute o mesmo que
AB
Cap 4-52
Teacutecnicas de Contagem
Arranjo de k objetos
Queremos selecionar k objetos de um conjunto de n
objetos sem reposiccedilatildeo
Para o 1deg objeto n possibilidades
Para o 2deg objeto n-1 possibilidades
hellip
Para o uacuteltimo (kdeg objeto) n - (k-1) possibilidades
Total de permutaccedilotildees 119951 lowast (119951 minus 120783) lowast ⋯lowast (119951 minus 119948 + 120783)
Ou usando fatorial
Teorema
119899
119899 minus 119896
Cap 4-53
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Qual o total de palavras que podemos
construir com exatamente 4 letras distintas (natildeo precisa
ter significado nem seguir regras ortograacuteficas)
Cap 4-54
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Qual o total de palavras que podemos
construir com exatamente 4 letras distintas (natildeo
precisa ter significado nem seguir regras
ortograacuteficas)
Soluccedilatildeo
Selecionar 4 letras de um total de 26 sem repetir A
ordem eacute importante pois estamos formando
palavras (permutaccedilatildeo)
Total de arranjos de 4 elementos 26252423
Cap 4-55
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Vocecirc tem 10 CDs de muacutesica claacutessica 20
CDs de rock e 15 CDs de forroacute De quantas formas eacute
possiacutevel arranjar os seus CDs tal que os CDs do mesmo
tipo sempre fiquem juntos
Se os CDs forem colocados na prateleira de forma
aleatoacuteria qual eacute a probabilidade de os CDs do mesmo
estilo musical ficarem juntos
Cap 4-56
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Soluccedilatildeo princiacutepio da Contagem + Arranjos
Podemos quebrar o processo em 2 estaacutegios
1) Escolher a ordem dos tipos de Cds 321
2) Escolher a sequecircncia dos Cds para cada tipo
Para Cds de muacutesica claacutessica 10
Para Cds de rock 20
Para Cds de forroacute 15
Total 3102015
Cap 4-57
Teacutecnicas de Contagem
Combinaccedilatildeo de k elementos em n
Queremos contar o nuacutemero de subconjuntos de k elementos a
partir de um conjunto de n elementos sem reposiccedilatildeo
A ordem dos elementos natildeo eacute importante
Dizemos combinaccedilatildeo de n elementos k a k
Ex Formar comitecirc com 3 representantes de turma de um total de
131 alunos
Se todos tem mesmo poder a ordem de escolha natildeo eacute
importante combinaccedilatildeo
Se teremos presidente vice-presidente e secretaacuterio entatildeo a
ordem de escolha eacute importante permutaccedilatildeo
Teorema 119873119888119900119898119887119894119899119886ccedilotilde119890119904 =119899119896=
119899
119899 minus 119896 119896
Cap 4-58
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Qual o nuacutemero de combinaccedilotildees de 2
elementos distintos que podemos construir com as letras
A B C D
Cap 4-59
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Qual o nuacutemero de combinaccedilotildees de 2
elementos das letras A B C D
Soluccedilatildeo
Conferindo
AB AC AD BC BD CD
62)24(
4
2
4
scombinaccedilotildeeN
Cap 4-60
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Um armazeacutem da universidade recebeu 25
impressoras das quais 10 satildeo a laser e 15 a jato de tinta
Se 6 das 25 forem selecionadas aleatoriamente para para
serem verificadas por um teacutecnico qual seraacute a
probabilidade de exatamente 3 delas serem a laser
Cap 4-61
Teacutecnicas de Contagem
Soluccedilatildeo Seja 1198633= 3 das 6 selecionadas satildeo a laser Como a seleccedilatildeo das impressoras
dentre as 25 eacute aleatoacuteria cada uma delas tem a mesma chance de ser sorteada
Probabilidade claacutessica implica 119875 1198633 = 119899(1198633)119899
Como a ordem da seleccedilatildeo das impressoras natildeo importa 119899 =256
Para determinar 1198633 vamos dividir o processo em duas etapas 1) selecionamos 3 das 15
impressoras a tinta e 2) selecionamos 3 das 6 impressoras a laser Para cada elemento da
primeira etapa temos exatamente o mesmo nordm de possibilidades da segunda etapa Pelo
princiacutepio da contagem 119899 1198633 = 1198991 1198633 lowast 1198992 1198633
Como a ordem em que as impressoras satildeo selecionadas em cada etapa natildeo tem
importacircncia 1198991 1198633 =153
e 1198992 1198633 =63
Entatildeo
119875 1198633 =
153
63
256
= 03083
Desafio P(ao menos 3 das 6 selecionadas sejam a laser)
Cap 4-62
Resumo Nesta aula vimos
Como representar um modelo de probabilidade para uma situaccedilatildeo
incerta (experimento aleatoacuterio)
Etapa 1 definiccedilatildeo do espaccedilo amostral
Revisatildeo de conjuntos
Etapa 2 especificaccedilatildeo de uma funccedilatildeo probabilidade que atribui pesos
para a chance relativa de cada resultado do espaccedilo amostral
3 conceitos de probabilidade
Probabilidade claacutessica
Probabilidade Frequentista
Axiomas de Kolmogorov
Revisatildeo de teacutecnicas de contagem para podermos calcular
probabilidades
Na proacutexima aula veremos como incorporar informaccedilotildees novas ao
caacutelculo de probabilidade =gt Probabilidade condicional
Cap 4-35
Axiomas de Probabilidade de
Kolmogorov
Axiomas de Kolmogorov
definiccedilatildeo formal de probabilidade
incluem as definiccedilotildees acima como casos particulares
Qualquer funccedilatildeo P() dos subconjuntos do espaccedilo amostral (eventos)
no intervalo [01] eacute uma probabilidade se satisfaz as condiccedilotildees
1 (Natildeo-negatividade)119875(119860 ge 0) forall evento 119860
2 (Aditividade) 119875 cup119895 119864119895 = 119875(119864119895) 119895 forall 119864119895 eventos disjuntos
3 (Normalizaccedilatildeo) 119875 119878 = 1
Definiccedilatildeo
Cap 4-36
Propriedades de uma
Probabilidade
Como consequecircncia dos Axiomas de Kolmogorov mostre que uma
funccedilatildeo probabilidade satisfaz as seguintes propriedades
1 119875 119864119888 = 1 minus 119875 119864
2 Se 1198641 sube 1198642 entatildeo 119875 1198641 le 119875 1198642
3 119875 120601 = 0
Ainda partindo dos axiomas de Kolmogorov podemos
provar a Regra geral da adiccedilatildeo
Regra Geral da Adiccedilatildeo
Cap 4-37
119875 119860 cup 119861 = 119875 119860 + 119875 119861 minus 119875(119860 cap 119861)
Regra Geral da Adiccedilatildeo
Regra geral da adiccedilatildeo
No caso particular em que os eventos satildeo
mutuamente excludentes continua valendo o axioma
de aditividade pois 119875 119860 cap 119861 = 0 daiacute
119875 119860 cup 119861 = 119875 119860 + 119875(119861)
Cap 4-38
119875 119860 cup 119861 = 119875 119860 + 119875 119861 minus 119875(119860 cap 119861)
Cap 4-39
Exemplo da Regra Geral de
Adiccedilatildeo
Cursando
estatiacutestica
Natildeo cursando
estatiacutestica
Total
Homem 84 145 229
Mulher 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Qual a probabilidade de selecionamos
aleatoriamente um homem ou um aluno(a) da estatiacutestica de
uma populaccedilatildeo descrita pela tabela abaixo
Cap 4-40
Exemplo da Regra Geral de
Adiccedilatildeo
Cursando
estatiacutestica
Natildeo cursando
estatiacutestica
Total
Homem 84 145 229
Mulher 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Qual a probabilidade de selecionamos
aleatoriamente um homem ou um aluno(a) da estatiacutestica de
uma populaccedilatildeo descrita pela tabela abaixo
119875 119867119900119898119890119898 cup 119864119904119905119886119905iacute119905119894119888119886 =
119875 119867119900119898119890119898 + 119875 119864119904119905119886119905iacute119904119905119894119888119886 minus 119875 119867119900119898119890119898 cap 119864119904119905119886119905119894119904119905119894119888119886 =229
439+160
439minus
84
439=305
439
Cap 4-41
Resumo de Probabilidade
Probabilidade eacute uma medida numeacuterica que informa a chance de um resultado ocorrer
A probabilidade de um evento deve estar entre 0 e 1 incluindo os extremos
0 le 119875(119860) le 1 para qquer evento 119860
A soma da probabilidade de uma particcedilatildeo do espaccedilo amostral eacute igual a 1
119875(119860) + 119875(119861) + 119875(119862) = 1
em que A B e C satildeo eventos mutuamente excludentes e coletivamente exaustivos (particcedilatildeo de 119878)
Certo
Impossiacutevel
05
1
0
Exemplo Probabilidade
Cap 4-42
Vocabulaacuterio Geral
Pelo menos 1 dos eventos A B ou ambos =
119860 cup 119861
Nenhum dos eventos nem A nem B = (119860 cup 119861)119888
Apenas 1 (ex Apenas A) possui A e natildeo possui B
= 119860 cap (119861119888)
Cap 4-43
Exerciacutecio Probabilidade
Selecione aleatoriamente um estudante em uma determinada
universidade e represente por A o evento dele possuir um cartatildeo de
creacutedito Visa e por B o evento anaacutelogo para um Mastercard Suponha que
P(Visa) = 05 P(Mastercard) = 04 e P (Ambos os cartotildees) = 025
1 Calcule a probabilidade de que um indiviacuteduo selecionado tenha
pelo menos um dos dois tipos de cartatildeo
2 Qual a probabilidade de o indiviacuteduo selecionado natildeo ter nenhum
dos tipos de cartatildeo
3 Descreva em termos de A e B o evento em que o estudante
selecionado possui um cartatildeo Visa mas natildeo um MasterCard
4 Calcule a probabilidade desse evento
Teacutecnicas de Contagem
Princiacutepio de contagem (divida e conquiste) o processo
eacute quebrado em vaacuterias etapas com o uso do diagrama de
aacutervores
Cap 4-44
n2
opccedilotildees
Folhas
n1
opccedilotildees
n3
opccedilotildees
n4
opccedilotildees
Estaacutegio
1
Estaacutegio
2
Estaacutegio
3
Estaacutegio
4
Nuacutemero total de folhas eacute
n1n2n3hellipni
n2
opccedilotildees
Desde que um mesmo
estaacutegio tenha o mesmo nordm
de opccedilotildees em cada ponto
da aacutervore
Teacutecnicas de Contagem
Princiacutepio de contagem
Considere um processo que contem r estaacutegios Suponha que
Existem n1 resultados possiacuteveis no primeiro estaacutegio
Para cada resultado possiacutevel do estaacutegio 1 existem n2
resultados possiacuteveis no estaacutegio 2
De forma mais geral para cada um dos resultados ni-1
primeiros estaacutegios existem ni resultados possiacuteveis no i-
eacutesimo estaacutegio
Entatildeo o Nuacutemero total de resultados possiacuteveis no processo de r
estaacutegios eacute de n1n2n3hellipnr
Cap 4-45
Teorema
Cap 4-46
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Um nuacutemero telefocircnico eacute composto de 8
diacutegitos mas o primeiro diacutegito apenas assume 3 valores
possiacuteveis 3 8 9 Quantos nuacutemeros distintos existem
Cap 4-47
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Um nuacutemero telefocircnico eacute composto de 8
diacutegitos mas o primeiro diacutegito apenas assume 3 valores
3 8 9 Quantos nuacutemeros distintos existem
Temos um total de 8 estaacutegios
No primeiro estaacutegio apenas 3 opccedilotildees
Nos demais estaacutegios 10 opccedilotildees
Total 3 107
Cap 4-48
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Quantos subconjutos podemos fazer a
partir de um conjunto com n elementos s1 s2 s3 hellip
sn
Cap 4-49
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Quantos subconjutos podemos fazer a
partir de um conjunto com n elementos s1 s2 s3 hellip
sn
Processo de n estaacutegios em cada estaacutegio decidimos se
colocamos ou natildeo o elemento no subconjunto
nuacutemero de opccedilotildees para o primeiro estaacutegio 2
Total 222hellip2 =2n
Cap 4-50
Teacutecnicas de Contagem
Problema Selecionar 119948 objetos de um total de 119951
objetos 119899 ge 119896 sem reposiccedilatildeo
Se a ordem eacute importante Arranjo
ex de palavra as eacute diferente de sa
Se a ordem natildeo eacute importante Combinaccedilatildeo
ex da loteria escolhemos um conjunto de 6 nordm a
ordem em que eles satildeo sorteados natildeo faz diferenccedila
Cap 4-51
Teacutecnicas de Contagem
Ao contraacuterio da permutaccedilatildeo na combinaccedilatildeo a ordem dos
elementos natildeo eacute importante
Exemplo
Permutaccedilatildeo de 2 elementos das letras A B C D
AB AC AD BA BC BD CA CB CD DA DB DC
Combinaccedilatildeo de 2 elementos das letras A B C D
AB AC AD BC BD CD
jaacute que a ordem natildeo eacute importante BA eacute o mesmo que
AB
Cap 4-52
Teacutecnicas de Contagem
Arranjo de k objetos
Queremos selecionar k objetos de um conjunto de n
objetos sem reposiccedilatildeo
Para o 1deg objeto n possibilidades
Para o 2deg objeto n-1 possibilidades
hellip
Para o uacuteltimo (kdeg objeto) n - (k-1) possibilidades
Total de permutaccedilotildees 119951 lowast (119951 minus 120783) lowast ⋯lowast (119951 minus 119948 + 120783)
Ou usando fatorial
Teorema
119899
119899 minus 119896
Cap 4-53
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Qual o total de palavras que podemos
construir com exatamente 4 letras distintas (natildeo precisa
ter significado nem seguir regras ortograacuteficas)
Cap 4-54
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Qual o total de palavras que podemos
construir com exatamente 4 letras distintas (natildeo
precisa ter significado nem seguir regras
ortograacuteficas)
Soluccedilatildeo
Selecionar 4 letras de um total de 26 sem repetir A
ordem eacute importante pois estamos formando
palavras (permutaccedilatildeo)
Total de arranjos de 4 elementos 26252423
Cap 4-55
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Vocecirc tem 10 CDs de muacutesica claacutessica 20
CDs de rock e 15 CDs de forroacute De quantas formas eacute
possiacutevel arranjar os seus CDs tal que os CDs do mesmo
tipo sempre fiquem juntos
Se os CDs forem colocados na prateleira de forma
aleatoacuteria qual eacute a probabilidade de os CDs do mesmo
estilo musical ficarem juntos
Cap 4-56
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Soluccedilatildeo princiacutepio da Contagem + Arranjos
Podemos quebrar o processo em 2 estaacutegios
1) Escolher a ordem dos tipos de Cds 321
2) Escolher a sequecircncia dos Cds para cada tipo
Para Cds de muacutesica claacutessica 10
Para Cds de rock 20
Para Cds de forroacute 15
Total 3102015
Cap 4-57
Teacutecnicas de Contagem
Combinaccedilatildeo de k elementos em n
Queremos contar o nuacutemero de subconjuntos de k elementos a
partir de um conjunto de n elementos sem reposiccedilatildeo
A ordem dos elementos natildeo eacute importante
Dizemos combinaccedilatildeo de n elementos k a k
Ex Formar comitecirc com 3 representantes de turma de um total de
131 alunos
Se todos tem mesmo poder a ordem de escolha natildeo eacute
importante combinaccedilatildeo
Se teremos presidente vice-presidente e secretaacuterio entatildeo a
ordem de escolha eacute importante permutaccedilatildeo
Teorema 119873119888119900119898119887119894119899119886ccedilotilde119890119904 =119899119896=
119899
119899 minus 119896 119896
Cap 4-58
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Qual o nuacutemero de combinaccedilotildees de 2
elementos distintos que podemos construir com as letras
A B C D
Cap 4-59
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Qual o nuacutemero de combinaccedilotildees de 2
elementos das letras A B C D
Soluccedilatildeo
Conferindo
AB AC AD BC BD CD
62)24(
4
2
4
scombinaccedilotildeeN
Cap 4-60
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Um armazeacutem da universidade recebeu 25
impressoras das quais 10 satildeo a laser e 15 a jato de tinta
Se 6 das 25 forem selecionadas aleatoriamente para para
serem verificadas por um teacutecnico qual seraacute a
probabilidade de exatamente 3 delas serem a laser
Cap 4-61
Teacutecnicas de Contagem
Soluccedilatildeo Seja 1198633= 3 das 6 selecionadas satildeo a laser Como a seleccedilatildeo das impressoras
dentre as 25 eacute aleatoacuteria cada uma delas tem a mesma chance de ser sorteada
Probabilidade claacutessica implica 119875 1198633 = 119899(1198633)119899
Como a ordem da seleccedilatildeo das impressoras natildeo importa 119899 =256
Para determinar 1198633 vamos dividir o processo em duas etapas 1) selecionamos 3 das 15
impressoras a tinta e 2) selecionamos 3 das 6 impressoras a laser Para cada elemento da
primeira etapa temos exatamente o mesmo nordm de possibilidades da segunda etapa Pelo
princiacutepio da contagem 119899 1198633 = 1198991 1198633 lowast 1198992 1198633
Como a ordem em que as impressoras satildeo selecionadas em cada etapa natildeo tem
importacircncia 1198991 1198633 =153
e 1198992 1198633 =63
Entatildeo
119875 1198633 =
153
63
256
= 03083
Desafio P(ao menos 3 das 6 selecionadas sejam a laser)
Cap 4-62
Resumo Nesta aula vimos
Como representar um modelo de probabilidade para uma situaccedilatildeo
incerta (experimento aleatoacuterio)
Etapa 1 definiccedilatildeo do espaccedilo amostral
Revisatildeo de conjuntos
Etapa 2 especificaccedilatildeo de uma funccedilatildeo probabilidade que atribui pesos
para a chance relativa de cada resultado do espaccedilo amostral
3 conceitos de probabilidade
Probabilidade claacutessica
Probabilidade Frequentista
Axiomas de Kolmogorov
Revisatildeo de teacutecnicas de contagem para podermos calcular
probabilidades
Na proacutexima aula veremos como incorporar informaccedilotildees novas ao
caacutelculo de probabilidade =gt Probabilidade condicional
Cap 4-36
Propriedades de uma
Probabilidade
Como consequecircncia dos Axiomas de Kolmogorov mostre que uma
funccedilatildeo probabilidade satisfaz as seguintes propriedades
1 119875 119864119888 = 1 minus 119875 119864
2 Se 1198641 sube 1198642 entatildeo 119875 1198641 le 119875 1198642
3 119875 120601 = 0
Ainda partindo dos axiomas de Kolmogorov podemos
provar a Regra geral da adiccedilatildeo
Regra Geral da Adiccedilatildeo
Cap 4-37
119875 119860 cup 119861 = 119875 119860 + 119875 119861 minus 119875(119860 cap 119861)
Regra Geral da Adiccedilatildeo
Regra geral da adiccedilatildeo
No caso particular em que os eventos satildeo
mutuamente excludentes continua valendo o axioma
de aditividade pois 119875 119860 cap 119861 = 0 daiacute
119875 119860 cup 119861 = 119875 119860 + 119875(119861)
Cap 4-38
119875 119860 cup 119861 = 119875 119860 + 119875 119861 minus 119875(119860 cap 119861)
Cap 4-39
Exemplo da Regra Geral de
Adiccedilatildeo
Cursando
estatiacutestica
Natildeo cursando
estatiacutestica
Total
Homem 84 145 229
Mulher 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Qual a probabilidade de selecionamos
aleatoriamente um homem ou um aluno(a) da estatiacutestica de
uma populaccedilatildeo descrita pela tabela abaixo
Cap 4-40
Exemplo da Regra Geral de
Adiccedilatildeo
Cursando
estatiacutestica
Natildeo cursando
estatiacutestica
Total
Homem 84 145 229
Mulher 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Qual a probabilidade de selecionamos
aleatoriamente um homem ou um aluno(a) da estatiacutestica de
uma populaccedilatildeo descrita pela tabela abaixo
119875 119867119900119898119890119898 cup 119864119904119905119886119905iacute119905119894119888119886 =
119875 119867119900119898119890119898 + 119875 119864119904119905119886119905iacute119904119905119894119888119886 minus 119875 119867119900119898119890119898 cap 119864119904119905119886119905119894119904119905119894119888119886 =229
439+160
439minus
84
439=305
439
Cap 4-41
Resumo de Probabilidade
Probabilidade eacute uma medida numeacuterica que informa a chance de um resultado ocorrer
A probabilidade de um evento deve estar entre 0 e 1 incluindo os extremos
0 le 119875(119860) le 1 para qquer evento 119860
A soma da probabilidade de uma particcedilatildeo do espaccedilo amostral eacute igual a 1
119875(119860) + 119875(119861) + 119875(119862) = 1
em que A B e C satildeo eventos mutuamente excludentes e coletivamente exaustivos (particcedilatildeo de 119878)
Certo
Impossiacutevel
05
1
0
Exemplo Probabilidade
Cap 4-42
Vocabulaacuterio Geral
Pelo menos 1 dos eventos A B ou ambos =
119860 cup 119861
Nenhum dos eventos nem A nem B = (119860 cup 119861)119888
Apenas 1 (ex Apenas A) possui A e natildeo possui B
= 119860 cap (119861119888)
Cap 4-43
Exerciacutecio Probabilidade
Selecione aleatoriamente um estudante em uma determinada
universidade e represente por A o evento dele possuir um cartatildeo de
creacutedito Visa e por B o evento anaacutelogo para um Mastercard Suponha que
P(Visa) = 05 P(Mastercard) = 04 e P (Ambos os cartotildees) = 025
1 Calcule a probabilidade de que um indiviacuteduo selecionado tenha
pelo menos um dos dois tipos de cartatildeo
2 Qual a probabilidade de o indiviacuteduo selecionado natildeo ter nenhum
dos tipos de cartatildeo
3 Descreva em termos de A e B o evento em que o estudante
selecionado possui um cartatildeo Visa mas natildeo um MasterCard
4 Calcule a probabilidade desse evento
Teacutecnicas de Contagem
Princiacutepio de contagem (divida e conquiste) o processo
eacute quebrado em vaacuterias etapas com o uso do diagrama de
aacutervores
Cap 4-44
n2
opccedilotildees
Folhas
n1
opccedilotildees
n3
opccedilotildees
n4
opccedilotildees
Estaacutegio
1
Estaacutegio
2
Estaacutegio
3
Estaacutegio
4
Nuacutemero total de folhas eacute
n1n2n3hellipni
n2
opccedilotildees
Desde que um mesmo
estaacutegio tenha o mesmo nordm
de opccedilotildees em cada ponto
da aacutervore
Teacutecnicas de Contagem
Princiacutepio de contagem
Considere um processo que contem r estaacutegios Suponha que
Existem n1 resultados possiacuteveis no primeiro estaacutegio
Para cada resultado possiacutevel do estaacutegio 1 existem n2
resultados possiacuteveis no estaacutegio 2
De forma mais geral para cada um dos resultados ni-1
primeiros estaacutegios existem ni resultados possiacuteveis no i-
eacutesimo estaacutegio
Entatildeo o Nuacutemero total de resultados possiacuteveis no processo de r
estaacutegios eacute de n1n2n3hellipnr
Cap 4-45
Teorema
Cap 4-46
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Um nuacutemero telefocircnico eacute composto de 8
diacutegitos mas o primeiro diacutegito apenas assume 3 valores
possiacuteveis 3 8 9 Quantos nuacutemeros distintos existem
Cap 4-47
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Um nuacutemero telefocircnico eacute composto de 8
diacutegitos mas o primeiro diacutegito apenas assume 3 valores
3 8 9 Quantos nuacutemeros distintos existem
Temos um total de 8 estaacutegios
No primeiro estaacutegio apenas 3 opccedilotildees
Nos demais estaacutegios 10 opccedilotildees
Total 3 107
Cap 4-48
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Quantos subconjutos podemos fazer a
partir de um conjunto com n elementos s1 s2 s3 hellip
sn
Cap 4-49
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Quantos subconjutos podemos fazer a
partir de um conjunto com n elementos s1 s2 s3 hellip
sn
Processo de n estaacutegios em cada estaacutegio decidimos se
colocamos ou natildeo o elemento no subconjunto
nuacutemero de opccedilotildees para o primeiro estaacutegio 2
Total 222hellip2 =2n
Cap 4-50
Teacutecnicas de Contagem
Problema Selecionar 119948 objetos de um total de 119951
objetos 119899 ge 119896 sem reposiccedilatildeo
Se a ordem eacute importante Arranjo
ex de palavra as eacute diferente de sa
Se a ordem natildeo eacute importante Combinaccedilatildeo
ex da loteria escolhemos um conjunto de 6 nordm a
ordem em que eles satildeo sorteados natildeo faz diferenccedila
Cap 4-51
Teacutecnicas de Contagem
Ao contraacuterio da permutaccedilatildeo na combinaccedilatildeo a ordem dos
elementos natildeo eacute importante
Exemplo
Permutaccedilatildeo de 2 elementos das letras A B C D
AB AC AD BA BC BD CA CB CD DA DB DC
Combinaccedilatildeo de 2 elementos das letras A B C D
AB AC AD BC BD CD
jaacute que a ordem natildeo eacute importante BA eacute o mesmo que
AB
Cap 4-52
Teacutecnicas de Contagem
Arranjo de k objetos
Queremos selecionar k objetos de um conjunto de n
objetos sem reposiccedilatildeo
Para o 1deg objeto n possibilidades
Para o 2deg objeto n-1 possibilidades
hellip
Para o uacuteltimo (kdeg objeto) n - (k-1) possibilidades
Total de permutaccedilotildees 119951 lowast (119951 minus 120783) lowast ⋯lowast (119951 minus 119948 + 120783)
Ou usando fatorial
Teorema
119899
119899 minus 119896
Cap 4-53
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Qual o total de palavras que podemos
construir com exatamente 4 letras distintas (natildeo precisa
ter significado nem seguir regras ortograacuteficas)
Cap 4-54
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Qual o total de palavras que podemos
construir com exatamente 4 letras distintas (natildeo
precisa ter significado nem seguir regras
ortograacuteficas)
Soluccedilatildeo
Selecionar 4 letras de um total de 26 sem repetir A
ordem eacute importante pois estamos formando
palavras (permutaccedilatildeo)
Total de arranjos de 4 elementos 26252423
Cap 4-55
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Vocecirc tem 10 CDs de muacutesica claacutessica 20
CDs de rock e 15 CDs de forroacute De quantas formas eacute
possiacutevel arranjar os seus CDs tal que os CDs do mesmo
tipo sempre fiquem juntos
Se os CDs forem colocados na prateleira de forma
aleatoacuteria qual eacute a probabilidade de os CDs do mesmo
estilo musical ficarem juntos
Cap 4-56
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Soluccedilatildeo princiacutepio da Contagem + Arranjos
Podemos quebrar o processo em 2 estaacutegios
1) Escolher a ordem dos tipos de Cds 321
2) Escolher a sequecircncia dos Cds para cada tipo
Para Cds de muacutesica claacutessica 10
Para Cds de rock 20
Para Cds de forroacute 15
Total 3102015
Cap 4-57
Teacutecnicas de Contagem
Combinaccedilatildeo de k elementos em n
Queremos contar o nuacutemero de subconjuntos de k elementos a
partir de um conjunto de n elementos sem reposiccedilatildeo
A ordem dos elementos natildeo eacute importante
Dizemos combinaccedilatildeo de n elementos k a k
Ex Formar comitecirc com 3 representantes de turma de um total de
131 alunos
Se todos tem mesmo poder a ordem de escolha natildeo eacute
importante combinaccedilatildeo
Se teremos presidente vice-presidente e secretaacuterio entatildeo a
ordem de escolha eacute importante permutaccedilatildeo
Teorema 119873119888119900119898119887119894119899119886ccedilotilde119890119904 =119899119896=
119899
119899 minus 119896 119896
Cap 4-58
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Qual o nuacutemero de combinaccedilotildees de 2
elementos distintos que podemos construir com as letras
A B C D
Cap 4-59
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Qual o nuacutemero de combinaccedilotildees de 2
elementos das letras A B C D
Soluccedilatildeo
Conferindo
AB AC AD BC BD CD
62)24(
4
2
4
scombinaccedilotildeeN
Cap 4-60
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Um armazeacutem da universidade recebeu 25
impressoras das quais 10 satildeo a laser e 15 a jato de tinta
Se 6 das 25 forem selecionadas aleatoriamente para para
serem verificadas por um teacutecnico qual seraacute a
probabilidade de exatamente 3 delas serem a laser
Cap 4-61
Teacutecnicas de Contagem
Soluccedilatildeo Seja 1198633= 3 das 6 selecionadas satildeo a laser Como a seleccedilatildeo das impressoras
dentre as 25 eacute aleatoacuteria cada uma delas tem a mesma chance de ser sorteada
Probabilidade claacutessica implica 119875 1198633 = 119899(1198633)119899
Como a ordem da seleccedilatildeo das impressoras natildeo importa 119899 =256
Para determinar 1198633 vamos dividir o processo em duas etapas 1) selecionamos 3 das 15
impressoras a tinta e 2) selecionamos 3 das 6 impressoras a laser Para cada elemento da
primeira etapa temos exatamente o mesmo nordm de possibilidades da segunda etapa Pelo
princiacutepio da contagem 119899 1198633 = 1198991 1198633 lowast 1198992 1198633
Como a ordem em que as impressoras satildeo selecionadas em cada etapa natildeo tem
importacircncia 1198991 1198633 =153
e 1198992 1198633 =63
Entatildeo
119875 1198633 =
153
63
256
= 03083
Desafio P(ao menos 3 das 6 selecionadas sejam a laser)
Cap 4-62
Resumo Nesta aula vimos
Como representar um modelo de probabilidade para uma situaccedilatildeo
incerta (experimento aleatoacuterio)
Etapa 1 definiccedilatildeo do espaccedilo amostral
Revisatildeo de conjuntos
Etapa 2 especificaccedilatildeo de uma funccedilatildeo probabilidade que atribui pesos
para a chance relativa de cada resultado do espaccedilo amostral
3 conceitos de probabilidade
Probabilidade claacutessica
Probabilidade Frequentista
Axiomas de Kolmogorov
Revisatildeo de teacutecnicas de contagem para podermos calcular
probabilidades
Na proacutexima aula veremos como incorporar informaccedilotildees novas ao
caacutelculo de probabilidade =gt Probabilidade condicional
Ainda partindo dos axiomas de Kolmogorov podemos
provar a Regra geral da adiccedilatildeo
Regra Geral da Adiccedilatildeo
Cap 4-37
119875 119860 cup 119861 = 119875 119860 + 119875 119861 minus 119875(119860 cap 119861)
Regra Geral da Adiccedilatildeo
Regra geral da adiccedilatildeo
No caso particular em que os eventos satildeo
mutuamente excludentes continua valendo o axioma
de aditividade pois 119875 119860 cap 119861 = 0 daiacute
119875 119860 cup 119861 = 119875 119860 + 119875(119861)
Cap 4-38
119875 119860 cup 119861 = 119875 119860 + 119875 119861 minus 119875(119860 cap 119861)
Cap 4-39
Exemplo da Regra Geral de
Adiccedilatildeo
Cursando
estatiacutestica
Natildeo cursando
estatiacutestica
Total
Homem 84 145 229
Mulher 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Qual a probabilidade de selecionamos
aleatoriamente um homem ou um aluno(a) da estatiacutestica de
uma populaccedilatildeo descrita pela tabela abaixo
Cap 4-40
Exemplo da Regra Geral de
Adiccedilatildeo
Cursando
estatiacutestica
Natildeo cursando
estatiacutestica
Total
Homem 84 145 229
Mulher 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Qual a probabilidade de selecionamos
aleatoriamente um homem ou um aluno(a) da estatiacutestica de
uma populaccedilatildeo descrita pela tabela abaixo
119875 119867119900119898119890119898 cup 119864119904119905119886119905iacute119905119894119888119886 =
119875 119867119900119898119890119898 + 119875 119864119904119905119886119905iacute119904119905119894119888119886 minus 119875 119867119900119898119890119898 cap 119864119904119905119886119905119894119904119905119894119888119886 =229
439+160
439minus
84
439=305
439
Cap 4-41
Resumo de Probabilidade
Probabilidade eacute uma medida numeacuterica que informa a chance de um resultado ocorrer
A probabilidade de um evento deve estar entre 0 e 1 incluindo os extremos
0 le 119875(119860) le 1 para qquer evento 119860
A soma da probabilidade de uma particcedilatildeo do espaccedilo amostral eacute igual a 1
119875(119860) + 119875(119861) + 119875(119862) = 1
em que A B e C satildeo eventos mutuamente excludentes e coletivamente exaustivos (particcedilatildeo de 119878)
Certo
Impossiacutevel
05
1
0
Exemplo Probabilidade
Cap 4-42
Vocabulaacuterio Geral
Pelo menos 1 dos eventos A B ou ambos =
119860 cup 119861
Nenhum dos eventos nem A nem B = (119860 cup 119861)119888
Apenas 1 (ex Apenas A) possui A e natildeo possui B
= 119860 cap (119861119888)
Cap 4-43
Exerciacutecio Probabilidade
Selecione aleatoriamente um estudante em uma determinada
universidade e represente por A o evento dele possuir um cartatildeo de
creacutedito Visa e por B o evento anaacutelogo para um Mastercard Suponha que
P(Visa) = 05 P(Mastercard) = 04 e P (Ambos os cartotildees) = 025
1 Calcule a probabilidade de que um indiviacuteduo selecionado tenha
pelo menos um dos dois tipos de cartatildeo
2 Qual a probabilidade de o indiviacuteduo selecionado natildeo ter nenhum
dos tipos de cartatildeo
3 Descreva em termos de A e B o evento em que o estudante
selecionado possui um cartatildeo Visa mas natildeo um MasterCard
4 Calcule a probabilidade desse evento
Teacutecnicas de Contagem
Princiacutepio de contagem (divida e conquiste) o processo
eacute quebrado em vaacuterias etapas com o uso do diagrama de
aacutervores
Cap 4-44
n2
opccedilotildees
Folhas
n1
opccedilotildees
n3
opccedilotildees
n4
opccedilotildees
Estaacutegio
1
Estaacutegio
2
Estaacutegio
3
Estaacutegio
4
Nuacutemero total de folhas eacute
n1n2n3hellipni
n2
opccedilotildees
Desde que um mesmo
estaacutegio tenha o mesmo nordm
de opccedilotildees em cada ponto
da aacutervore
Teacutecnicas de Contagem
Princiacutepio de contagem
Considere um processo que contem r estaacutegios Suponha que
Existem n1 resultados possiacuteveis no primeiro estaacutegio
Para cada resultado possiacutevel do estaacutegio 1 existem n2
resultados possiacuteveis no estaacutegio 2
De forma mais geral para cada um dos resultados ni-1
primeiros estaacutegios existem ni resultados possiacuteveis no i-
eacutesimo estaacutegio
Entatildeo o Nuacutemero total de resultados possiacuteveis no processo de r
estaacutegios eacute de n1n2n3hellipnr
Cap 4-45
Teorema
Cap 4-46
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Um nuacutemero telefocircnico eacute composto de 8
diacutegitos mas o primeiro diacutegito apenas assume 3 valores
possiacuteveis 3 8 9 Quantos nuacutemeros distintos existem
Cap 4-47
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Um nuacutemero telefocircnico eacute composto de 8
diacutegitos mas o primeiro diacutegito apenas assume 3 valores
3 8 9 Quantos nuacutemeros distintos existem
Temos um total de 8 estaacutegios
No primeiro estaacutegio apenas 3 opccedilotildees
Nos demais estaacutegios 10 opccedilotildees
Total 3 107
Cap 4-48
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Quantos subconjutos podemos fazer a
partir de um conjunto com n elementos s1 s2 s3 hellip
sn
Cap 4-49
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Quantos subconjutos podemos fazer a
partir de um conjunto com n elementos s1 s2 s3 hellip
sn
Processo de n estaacutegios em cada estaacutegio decidimos se
colocamos ou natildeo o elemento no subconjunto
nuacutemero de opccedilotildees para o primeiro estaacutegio 2
Total 222hellip2 =2n
Cap 4-50
Teacutecnicas de Contagem
Problema Selecionar 119948 objetos de um total de 119951
objetos 119899 ge 119896 sem reposiccedilatildeo
Se a ordem eacute importante Arranjo
ex de palavra as eacute diferente de sa
Se a ordem natildeo eacute importante Combinaccedilatildeo
ex da loteria escolhemos um conjunto de 6 nordm a
ordem em que eles satildeo sorteados natildeo faz diferenccedila
Cap 4-51
Teacutecnicas de Contagem
Ao contraacuterio da permutaccedilatildeo na combinaccedilatildeo a ordem dos
elementos natildeo eacute importante
Exemplo
Permutaccedilatildeo de 2 elementos das letras A B C D
AB AC AD BA BC BD CA CB CD DA DB DC
Combinaccedilatildeo de 2 elementos das letras A B C D
AB AC AD BC BD CD
jaacute que a ordem natildeo eacute importante BA eacute o mesmo que
AB
Cap 4-52
Teacutecnicas de Contagem
Arranjo de k objetos
Queremos selecionar k objetos de um conjunto de n
objetos sem reposiccedilatildeo
Para o 1deg objeto n possibilidades
Para o 2deg objeto n-1 possibilidades
hellip
Para o uacuteltimo (kdeg objeto) n - (k-1) possibilidades
Total de permutaccedilotildees 119951 lowast (119951 minus 120783) lowast ⋯lowast (119951 minus 119948 + 120783)
Ou usando fatorial
Teorema
119899
119899 minus 119896
Cap 4-53
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Qual o total de palavras que podemos
construir com exatamente 4 letras distintas (natildeo precisa
ter significado nem seguir regras ortograacuteficas)
Cap 4-54
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Qual o total de palavras que podemos
construir com exatamente 4 letras distintas (natildeo
precisa ter significado nem seguir regras
ortograacuteficas)
Soluccedilatildeo
Selecionar 4 letras de um total de 26 sem repetir A
ordem eacute importante pois estamos formando
palavras (permutaccedilatildeo)
Total de arranjos de 4 elementos 26252423
Cap 4-55
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Vocecirc tem 10 CDs de muacutesica claacutessica 20
CDs de rock e 15 CDs de forroacute De quantas formas eacute
possiacutevel arranjar os seus CDs tal que os CDs do mesmo
tipo sempre fiquem juntos
Se os CDs forem colocados na prateleira de forma
aleatoacuteria qual eacute a probabilidade de os CDs do mesmo
estilo musical ficarem juntos
Cap 4-56
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Soluccedilatildeo princiacutepio da Contagem + Arranjos
Podemos quebrar o processo em 2 estaacutegios
1) Escolher a ordem dos tipos de Cds 321
2) Escolher a sequecircncia dos Cds para cada tipo
Para Cds de muacutesica claacutessica 10
Para Cds de rock 20
Para Cds de forroacute 15
Total 3102015
Cap 4-57
Teacutecnicas de Contagem
Combinaccedilatildeo de k elementos em n
Queremos contar o nuacutemero de subconjuntos de k elementos a
partir de um conjunto de n elementos sem reposiccedilatildeo
A ordem dos elementos natildeo eacute importante
Dizemos combinaccedilatildeo de n elementos k a k
Ex Formar comitecirc com 3 representantes de turma de um total de
131 alunos
Se todos tem mesmo poder a ordem de escolha natildeo eacute
importante combinaccedilatildeo
Se teremos presidente vice-presidente e secretaacuterio entatildeo a
ordem de escolha eacute importante permutaccedilatildeo
Teorema 119873119888119900119898119887119894119899119886ccedilotilde119890119904 =119899119896=
119899
119899 minus 119896 119896
Cap 4-58
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Qual o nuacutemero de combinaccedilotildees de 2
elementos distintos que podemos construir com as letras
A B C D
Cap 4-59
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Qual o nuacutemero de combinaccedilotildees de 2
elementos das letras A B C D
Soluccedilatildeo
Conferindo
AB AC AD BC BD CD
62)24(
4
2
4
scombinaccedilotildeeN
Cap 4-60
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Um armazeacutem da universidade recebeu 25
impressoras das quais 10 satildeo a laser e 15 a jato de tinta
Se 6 das 25 forem selecionadas aleatoriamente para para
serem verificadas por um teacutecnico qual seraacute a
probabilidade de exatamente 3 delas serem a laser
Cap 4-61
Teacutecnicas de Contagem
Soluccedilatildeo Seja 1198633= 3 das 6 selecionadas satildeo a laser Como a seleccedilatildeo das impressoras
dentre as 25 eacute aleatoacuteria cada uma delas tem a mesma chance de ser sorteada
Probabilidade claacutessica implica 119875 1198633 = 119899(1198633)119899
Como a ordem da seleccedilatildeo das impressoras natildeo importa 119899 =256
Para determinar 1198633 vamos dividir o processo em duas etapas 1) selecionamos 3 das 15
impressoras a tinta e 2) selecionamos 3 das 6 impressoras a laser Para cada elemento da
primeira etapa temos exatamente o mesmo nordm de possibilidades da segunda etapa Pelo
princiacutepio da contagem 119899 1198633 = 1198991 1198633 lowast 1198992 1198633
Como a ordem em que as impressoras satildeo selecionadas em cada etapa natildeo tem
importacircncia 1198991 1198633 =153
e 1198992 1198633 =63
Entatildeo
119875 1198633 =
153
63
256
= 03083
Desafio P(ao menos 3 das 6 selecionadas sejam a laser)
Cap 4-62
Resumo Nesta aula vimos
Como representar um modelo de probabilidade para uma situaccedilatildeo
incerta (experimento aleatoacuterio)
Etapa 1 definiccedilatildeo do espaccedilo amostral
Revisatildeo de conjuntos
Etapa 2 especificaccedilatildeo de uma funccedilatildeo probabilidade que atribui pesos
para a chance relativa de cada resultado do espaccedilo amostral
3 conceitos de probabilidade
Probabilidade claacutessica
Probabilidade Frequentista
Axiomas de Kolmogorov
Revisatildeo de teacutecnicas de contagem para podermos calcular
probabilidades
Na proacutexima aula veremos como incorporar informaccedilotildees novas ao
caacutelculo de probabilidade =gt Probabilidade condicional
Regra Geral da Adiccedilatildeo
Regra geral da adiccedilatildeo
No caso particular em que os eventos satildeo
mutuamente excludentes continua valendo o axioma
de aditividade pois 119875 119860 cap 119861 = 0 daiacute
119875 119860 cup 119861 = 119875 119860 + 119875(119861)
Cap 4-38
119875 119860 cup 119861 = 119875 119860 + 119875 119861 minus 119875(119860 cap 119861)
Cap 4-39
Exemplo da Regra Geral de
Adiccedilatildeo
Cursando
estatiacutestica
Natildeo cursando
estatiacutestica
Total
Homem 84 145 229
Mulher 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Qual a probabilidade de selecionamos
aleatoriamente um homem ou um aluno(a) da estatiacutestica de
uma populaccedilatildeo descrita pela tabela abaixo
Cap 4-40
Exemplo da Regra Geral de
Adiccedilatildeo
Cursando
estatiacutestica
Natildeo cursando
estatiacutestica
Total
Homem 84 145 229
Mulher 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Qual a probabilidade de selecionamos
aleatoriamente um homem ou um aluno(a) da estatiacutestica de
uma populaccedilatildeo descrita pela tabela abaixo
119875 119867119900119898119890119898 cup 119864119904119905119886119905iacute119905119894119888119886 =
119875 119867119900119898119890119898 + 119875 119864119904119905119886119905iacute119904119905119894119888119886 minus 119875 119867119900119898119890119898 cap 119864119904119905119886119905119894119904119905119894119888119886 =229
439+160
439minus
84
439=305
439
Cap 4-41
Resumo de Probabilidade
Probabilidade eacute uma medida numeacuterica que informa a chance de um resultado ocorrer
A probabilidade de um evento deve estar entre 0 e 1 incluindo os extremos
0 le 119875(119860) le 1 para qquer evento 119860
A soma da probabilidade de uma particcedilatildeo do espaccedilo amostral eacute igual a 1
119875(119860) + 119875(119861) + 119875(119862) = 1
em que A B e C satildeo eventos mutuamente excludentes e coletivamente exaustivos (particcedilatildeo de 119878)
Certo
Impossiacutevel
05
1
0
Exemplo Probabilidade
Cap 4-42
Vocabulaacuterio Geral
Pelo menos 1 dos eventos A B ou ambos =
119860 cup 119861
Nenhum dos eventos nem A nem B = (119860 cup 119861)119888
Apenas 1 (ex Apenas A) possui A e natildeo possui B
= 119860 cap (119861119888)
Cap 4-43
Exerciacutecio Probabilidade
Selecione aleatoriamente um estudante em uma determinada
universidade e represente por A o evento dele possuir um cartatildeo de
creacutedito Visa e por B o evento anaacutelogo para um Mastercard Suponha que
P(Visa) = 05 P(Mastercard) = 04 e P (Ambos os cartotildees) = 025
1 Calcule a probabilidade de que um indiviacuteduo selecionado tenha
pelo menos um dos dois tipos de cartatildeo
2 Qual a probabilidade de o indiviacuteduo selecionado natildeo ter nenhum
dos tipos de cartatildeo
3 Descreva em termos de A e B o evento em que o estudante
selecionado possui um cartatildeo Visa mas natildeo um MasterCard
4 Calcule a probabilidade desse evento
Teacutecnicas de Contagem
Princiacutepio de contagem (divida e conquiste) o processo
eacute quebrado em vaacuterias etapas com o uso do diagrama de
aacutervores
Cap 4-44
n2
opccedilotildees
Folhas
n1
opccedilotildees
n3
opccedilotildees
n4
opccedilotildees
Estaacutegio
1
Estaacutegio
2
Estaacutegio
3
Estaacutegio
4
Nuacutemero total de folhas eacute
n1n2n3hellipni
n2
opccedilotildees
Desde que um mesmo
estaacutegio tenha o mesmo nordm
de opccedilotildees em cada ponto
da aacutervore
Teacutecnicas de Contagem
Princiacutepio de contagem
Considere um processo que contem r estaacutegios Suponha que
Existem n1 resultados possiacuteveis no primeiro estaacutegio
Para cada resultado possiacutevel do estaacutegio 1 existem n2
resultados possiacuteveis no estaacutegio 2
De forma mais geral para cada um dos resultados ni-1
primeiros estaacutegios existem ni resultados possiacuteveis no i-
eacutesimo estaacutegio
Entatildeo o Nuacutemero total de resultados possiacuteveis no processo de r
estaacutegios eacute de n1n2n3hellipnr
Cap 4-45
Teorema
Cap 4-46
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Um nuacutemero telefocircnico eacute composto de 8
diacutegitos mas o primeiro diacutegito apenas assume 3 valores
possiacuteveis 3 8 9 Quantos nuacutemeros distintos existem
Cap 4-47
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Um nuacutemero telefocircnico eacute composto de 8
diacutegitos mas o primeiro diacutegito apenas assume 3 valores
3 8 9 Quantos nuacutemeros distintos existem
Temos um total de 8 estaacutegios
No primeiro estaacutegio apenas 3 opccedilotildees
Nos demais estaacutegios 10 opccedilotildees
Total 3 107
Cap 4-48
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Quantos subconjutos podemos fazer a
partir de um conjunto com n elementos s1 s2 s3 hellip
sn
Cap 4-49
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Quantos subconjutos podemos fazer a
partir de um conjunto com n elementos s1 s2 s3 hellip
sn
Processo de n estaacutegios em cada estaacutegio decidimos se
colocamos ou natildeo o elemento no subconjunto
nuacutemero de opccedilotildees para o primeiro estaacutegio 2
Total 222hellip2 =2n
Cap 4-50
Teacutecnicas de Contagem
Problema Selecionar 119948 objetos de um total de 119951
objetos 119899 ge 119896 sem reposiccedilatildeo
Se a ordem eacute importante Arranjo
ex de palavra as eacute diferente de sa
Se a ordem natildeo eacute importante Combinaccedilatildeo
ex da loteria escolhemos um conjunto de 6 nordm a
ordem em que eles satildeo sorteados natildeo faz diferenccedila
Cap 4-51
Teacutecnicas de Contagem
Ao contraacuterio da permutaccedilatildeo na combinaccedilatildeo a ordem dos
elementos natildeo eacute importante
Exemplo
Permutaccedilatildeo de 2 elementos das letras A B C D
AB AC AD BA BC BD CA CB CD DA DB DC
Combinaccedilatildeo de 2 elementos das letras A B C D
AB AC AD BC BD CD
jaacute que a ordem natildeo eacute importante BA eacute o mesmo que
AB
Cap 4-52
Teacutecnicas de Contagem
Arranjo de k objetos
Queremos selecionar k objetos de um conjunto de n
objetos sem reposiccedilatildeo
Para o 1deg objeto n possibilidades
Para o 2deg objeto n-1 possibilidades
hellip
Para o uacuteltimo (kdeg objeto) n - (k-1) possibilidades
Total de permutaccedilotildees 119951 lowast (119951 minus 120783) lowast ⋯lowast (119951 minus 119948 + 120783)
Ou usando fatorial
Teorema
119899
119899 minus 119896
Cap 4-53
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Qual o total de palavras que podemos
construir com exatamente 4 letras distintas (natildeo precisa
ter significado nem seguir regras ortograacuteficas)
Cap 4-54
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Qual o total de palavras que podemos
construir com exatamente 4 letras distintas (natildeo
precisa ter significado nem seguir regras
ortograacuteficas)
Soluccedilatildeo
Selecionar 4 letras de um total de 26 sem repetir A
ordem eacute importante pois estamos formando
palavras (permutaccedilatildeo)
Total de arranjos de 4 elementos 26252423
Cap 4-55
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Vocecirc tem 10 CDs de muacutesica claacutessica 20
CDs de rock e 15 CDs de forroacute De quantas formas eacute
possiacutevel arranjar os seus CDs tal que os CDs do mesmo
tipo sempre fiquem juntos
Se os CDs forem colocados na prateleira de forma
aleatoacuteria qual eacute a probabilidade de os CDs do mesmo
estilo musical ficarem juntos
Cap 4-56
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Soluccedilatildeo princiacutepio da Contagem + Arranjos
Podemos quebrar o processo em 2 estaacutegios
1) Escolher a ordem dos tipos de Cds 321
2) Escolher a sequecircncia dos Cds para cada tipo
Para Cds de muacutesica claacutessica 10
Para Cds de rock 20
Para Cds de forroacute 15
Total 3102015
Cap 4-57
Teacutecnicas de Contagem
Combinaccedilatildeo de k elementos em n
Queremos contar o nuacutemero de subconjuntos de k elementos a
partir de um conjunto de n elementos sem reposiccedilatildeo
A ordem dos elementos natildeo eacute importante
Dizemos combinaccedilatildeo de n elementos k a k
Ex Formar comitecirc com 3 representantes de turma de um total de
131 alunos
Se todos tem mesmo poder a ordem de escolha natildeo eacute
importante combinaccedilatildeo
Se teremos presidente vice-presidente e secretaacuterio entatildeo a
ordem de escolha eacute importante permutaccedilatildeo
Teorema 119873119888119900119898119887119894119899119886ccedilotilde119890119904 =119899119896=
119899
119899 minus 119896 119896
Cap 4-58
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Qual o nuacutemero de combinaccedilotildees de 2
elementos distintos que podemos construir com as letras
A B C D
Cap 4-59
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Qual o nuacutemero de combinaccedilotildees de 2
elementos das letras A B C D
Soluccedilatildeo
Conferindo
AB AC AD BC BD CD
62)24(
4
2
4
scombinaccedilotildeeN
Cap 4-60
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Um armazeacutem da universidade recebeu 25
impressoras das quais 10 satildeo a laser e 15 a jato de tinta
Se 6 das 25 forem selecionadas aleatoriamente para para
serem verificadas por um teacutecnico qual seraacute a
probabilidade de exatamente 3 delas serem a laser
Cap 4-61
Teacutecnicas de Contagem
Soluccedilatildeo Seja 1198633= 3 das 6 selecionadas satildeo a laser Como a seleccedilatildeo das impressoras
dentre as 25 eacute aleatoacuteria cada uma delas tem a mesma chance de ser sorteada
Probabilidade claacutessica implica 119875 1198633 = 119899(1198633)119899
Como a ordem da seleccedilatildeo das impressoras natildeo importa 119899 =256
Para determinar 1198633 vamos dividir o processo em duas etapas 1) selecionamos 3 das 15
impressoras a tinta e 2) selecionamos 3 das 6 impressoras a laser Para cada elemento da
primeira etapa temos exatamente o mesmo nordm de possibilidades da segunda etapa Pelo
princiacutepio da contagem 119899 1198633 = 1198991 1198633 lowast 1198992 1198633
Como a ordem em que as impressoras satildeo selecionadas em cada etapa natildeo tem
importacircncia 1198991 1198633 =153
e 1198992 1198633 =63
Entatildeo
119875 1198633 =
153
63
256
= 03083
Desafio P(ao menos 3 das 6 selecionadas sejam a laser)
Cap 4-62
Resumo Nesta aula vimos
Como representar um modelo de probabilidade para uma situaccedilatildeo
incerta (experimento aleatoacuterio)
Etapa 1 definiccedilatildeo do espaccedilo amostral
Revisatildeo de conjuntos
Etapa 2 especificaccedilatildeo de uma funccedilatildeo probabilidade que atribui pesos
para a chance relativa de cada resultado do espaccedilo amostral
3 conceitos de probabilidade
Probabilidade claacutessica
Probabilidade Frequentista
Axiomas de Kolmogorov
Revisatildeo de teacutecnicas de contagem para podermos calcular
probabilidades
Na proacutexima aula veremos como incorporar informaccedilotildees novas ao
caacutelculo de probabilidade =gt Probabilidade condicional
Cap 4-39
Exemplo da Regra Geral de
Adiccedilatildeo
Cursando
estatiacutestica
Natildeo cursando
estatiacutestica
Total
Homem 84 145 229
Mulher 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Qual a probabilidade de selecionamos
aleatoriamente um homem ou um aluno(a) da estatiacutestica de
uma populaccedilatildeo descrita pela tabela abaixo
Cap 4-40
Exemplo da Regra Geral de
Adiccedilatildeo
Cursando
estatiacutestica
Natildeo cursando
estatiacutestica
Total
Homem 84 145 229
Mulher 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Qual a probabilidade de selecionamos
aleatoriamente um homem ou um aluno(a) da estatiacutestica de
uma populaccedilatildeo descrita pela tabela abaixo
119875 119867119900119898119890119898 cup 119864119904119905119886119905iacute119905119894119888119886 =
119875 119867119900119898119890119898 + 119875 119864119904119905119886119905iacute119904119905119894119888119886 minus 119875 119867119900119898119890119898 cap 119864119904119905119886119905119894119904119905119894119888119886 =229
439+160
439minus
84
439=305
439
Cap 4-41
Resumo de Probabilidade
Probabilidade eacute uma medida numeacuterica que informa a chance de um resultado ocorrer
A probabilidade de um evento deve estar entre 0 e 1 incluindo os extremos
0 le 119875(119860) le 1 para qquer evento 119860
A soma da probabilidade de uma particcedilatildeo do espaccedilo amostral eacute igual a 1
119875(119860) + 119875(119861) + 119875(119862) = 1
em que A B e C satildeo eventos mutuamente excludentes e coletivamente exaustivos (particcedilatildeo de 119878)
Certo
Impossiacutevel
05
1
0
Exemplo Probabilidade
Cap 4-42
Vocabulaacuterio Geral
Pelo menos 1 dos eventos A B ou ambos =
119860 cup 119861
Nenhum dos eventos nem A nem B = (119860 cup 119861)119888
Apenas 1 (ex Apenas A) possui A e natildeo possui B
= 119860 cap (119861119888)
Cap 4-43
Exerciacutecio Probabilidade
Selecione aleatoriamente um estudante em uma determinada
universidade e represente por A o evento dele possuir um cartatildeo de
creacutedito Visa e por B o evento anaacutelogo para um Mastercard Suponha que
P(Visa) = 05 P(Mastercard) = 04 e P (Ambos os cartotildees) = 025
1 Calcule a probabilidade de que um indiviacuteduo selecionado tenha
pelo menos um dos dois tipos de cartatildeo
2 Qual a probabilidade de o indiviacuteduo selecionado natildeo ter nenhum
dos tipos de cartatildeo
3 Descreva em termos de A e B o evento em que o estudante
selecionado possui um cartatildeo Visa mas natildeo um MasterCard
4 Calcule a probabilidade desse evento
Teacutecnicas de Contagem
Princiacutepio de contagem (divida e conquiste) o processo
eacute quebrado em vaacuterias etapas com o uso do diagrama de
aacutervores
Cap 4-44
n2
opccedilotildees
Folhas
n1
opccedilotildees
n3
opccedilotildees
n4
opccedilotildees
Estaacutegio
1
Estaacutegio
2
Estaacutegio
3
Estaacutegio
4
Nuacutemero total de folhas eacute
n1n2n3hellipni
n2
opccedilotildees
Desde que um mesmo
estaacutegio tenha o mesmo nordm
de opccedilotildees em cada ponto
da aacutervore
Teacutecnicas de Contagem
Princiacutepio de contagem
Considere um processo que contem r estaacutegios Suponha que
Existem n1 resultados possiacuteveis no primeiro estaacutegio
Para cada resultado possiacutevel do estaacutegio 1 existem n2
resultados possiacuteveis no estaacutegio 2
De forma mais geral para cada um dos resultados ni-1
primeiros estaacutegios existem ni resultados possiacuteveis no i-
eacutesimo estaacutegio
Entatildeo o Nuacutemero total de resultados possiacuteveis no processo de r
estaacutegios eacute de n1n2n3hellipnr
Cap 4-45
Teorema
Cap 4-46
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Um nuacutemero telefocircnico eacute composto de 8
diacutegitos mas o primeiro diacutegito apenas assume 3 valores
possiacuteveis 3 8 9 Quantos nuacutemeros distintos existem
Cap 4-47
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Um nuacutemero telefocircnico eacute composto de 8
diacutegitos mas o primeiro diacutegito apenas assume 3 valores
3 8 9 Quantos nuacutemeros distintos existem
Temos um total de 8 estaacutegios
No primeiro estaacutegio apenas 3 opccedilotildees
Nos demais estaacutegios 10 opccedilotildees
Total 3 107
Cap 4-48
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Quantos subconjutos podemos fazer a
partir de um conjunto com n elementos s1 s2 s3 hellip
sn
Cap 4-49
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Quantos subconjutos podemos fazer a
partir de um conjunto com n elementos s1 s2 s3 hellip
sn
Processo de n estaacutegios em cada estaacutegio decidimos se
colocamos ou natildeo o elemento no subconjunto
nuacutemero de opccedilotildees para o primeiro estaacutegio 2
Total 222hellip2 =2n
Cap 4-50
Teacutecnicas de Contagem
Problema Selecionar 119948 objetos de um total de 119951
objetos 119899 ge 119896 sem reposiccedilatildeo
Se a ordem eacute importante Arranjo
ex de palavra as eacute diferente de sa
Se a ordem natildeo eacute importante Combinaccedilatildeo
ex da loteria escolhemos um conjunto de 6 nordm a
ordem em que eles satildeo sorteados natildeo faz diferenccedila
Cap 4-51
Teacutecnicas de Contagem
Ao contraacuterio da permutaccedilatildeo na combinaccedilatildeo a ordem dos
elementos natildeo eacute importante
Exemplo
Permutaccedilatildeo de 2 elementos das letras A B C D
AB AC AD BA BC BD CA CB CD DA DB DC
Combinaccedilatildeo de 2 elementos das letras A B C D
AB AC AD BC BD CD
jaacute que a ordem natildeo eacute importante BA eacute o mesmo que
AB
Cap 4-52
Teacutecnicas de Contagem
Arranjo de k objetos
Queremos selecionar k objetos de um conjunto de n
objetos sem reposiccedilatildeo
Para o 1deg objeto n possibilidades
Para o 2deg objeto n-1 possibilidades
hellip
Para o uacuteltimo (kdeg objeto) n - (k-1) possibilidades
Total de permutaccedilotildees 119951 lowast (119951 minus 120783) lowast ⋯lowast (119951 minus 119948 + 120783)
Ou usando fatorial
Teorema
119899
119899 minus 119896
Cap 4-53
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Qual o total de palavras que podemos
construir com exatamente 4 letras distintas (natildeo precisa
ter significado nem seguir regras ortograacuteficas)
Cap 4-54
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Qual o total de palavras que podemos
construir com exatamente 4 letras distintas (natildeo
precisa ter significado nem seguir regras
ortograacuteficas)
Soluccedilatildeo
Selecionar 4 letras de um total de 26 sem repetir A
ordem eacute importante pois estamos formando
palavras (permutaccedilatildeo)
Total de arranjos de 4 elementos 26252423
Cap 4-55
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Vocecirc tem 10 CDs de muacutesica claacutessica 20
CDs de rock e 15 CDs de forroacute De quantas formas eacute
possiacutevel arranjar os seus CDs tal que os CDs do mesmo
tipo sempre fiquem juntos
Se os CDs forem colocados na prateleira de forma
aleatoacuteria qual eacute a probabilidade de os CDs do mesmo
estilo musical ficarem juntos
Cap 4-56
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Soluccedilatildeo princiacutepio da Contagem + Arranjos
Podemos quebrar o processo em 2 estaacutegios
1) Escolher a ordem dos tipos de Cds 321
2) Escolher a sequecircncia dos Cds para cada tipo
Para Cds de muacutesica claacutessica 10
Para Cds de rock 20
Para Cds de forroacute 15
Total 3102015
Cap 4-57
Teacutecnicas de Contagem
Combinaccedilatildeo de k elementos em n
Queremos contar o nuacutemero de subconjuntos de k elementos a
partir de um conjunto de n elementos sem reposiccedilatildeo
A ordem dos elementos natildeo eacute importante
Dizemos combinaccedilatildeo de n elementos k a k
Ex Formar comitecirc com 3 representantes de turma de um total de
131 alunos
Se todos tem mesmo poder a ordem de escolha natildeo eacute
importante combinaccedilatildeo
Se teremos presidente vice-presidente e secretaacuterio entatildeo a
ordem de escolha eacute importante permutaccedilatildeo
Teorema 119873119888119900119898119887119894119899119886ccedilotilde119890119904 =119899119896=
119899
119899 minus 119896 119896
Cap 4-58
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Qual o nuacutemero de combinaccedilotildees de 2
elementos distintos que podemos construir com as letras
A B C D
Cap 4-59
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Qual o nuacutemero de combinaccedilotildees de 2
elementos das letras A B C D
Soluccedilatildeo
Conferindo
AB AC AD BC BD CD
62)24(
4
2
4
scombinaccedilotildeeN
Cap 4-60
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Um armazeacutem da universidade recebeu 25
impressoras das quais 10 satildeo a laser e 15 a jato de tinta
Se 6 das 25 forem selecionadas aleatoriamente para para
serem verificadas por um teacutecnico qual seraacute a
probabilidade de exatamente 3 delas serem a laser
Cap 4-61
Teacutecnicas de Contagem
Soluccedilatildeo Seja 1198633= 3 das 6 selecionadas satildeo a laser Como a seleccedilatildeo das impressoras
dentre as 25 eacute aleatoacuteria cada uma delas tem a mesma chance de ser sorteada
Probabilidade claacutessica implica 119875 1198633 = 119899(1198633)119899
Como a ordem da seleccedilatildeo das impressoras natildeo importa 119899 =256
Para determinar 1198633 vamos dividir o processo em duas etapas 1) selecionamos 3 das 15
impressoras a tinta e 2) selecionamos 3 das 6 impressoras a laser Para cada elemento da
primeira etapa temos exatamente o mesmo nordm de possibilidades da segunda etapa Pelo
princiacutepio da contagem 119899 1198633 = 1198991 1198633 lowast 1198992 1198633
Como a ordem em que as impressoras satildeo selecionadas em cada etapa natildeo tem
importacircncia 1198991 1198633 =153
e 1198992 1198633 =63
Entatildeo
119875 1198633 =
153
63
256
= 03083
Desafio P(ao menos 3 das 6 selecionadas sejam a laser)
Cap 4-62
Resumo Nesta aula vimos
Como representar um modelo de probabilidade para uma situaccedilatildeo
incerta (experimento aleatoacuterio)
Etapa 1 definiccedilatildeo do espaccedilo amostral
Revisatildeo de conjuntos
Etapa 2 especificaccedilatildeo de uma funccedilatildeo probabilidade que atribui pesos
para a chance relativa de cada resultado do espaccedilo amostral
3 conceitos de probabilidade
Probabilidade claacutessica
Probabilidade Frequentista
Axiomas de Kolmogorov
Revisatildeo de teacutecnicas de contagem para podermos calcular
probabilidades
Na proacutexima aula veremos como incorporar informaccedilotildees novas ao
caacutelculo de probabilidade =gt Probabilidade condicional
Cap 4-40
Exemplo da Regra Geral de
Adiccedilatildeo
Cursando
estatiacutestica
Natildeo cursando
estatiacutestica
Total
Homem 84 145 229
Mulher 76 134 210
Total 160 279 439
Exerciacutecio Qual a probabilidade de selecionamos
aleatoriamente um homem ou um aluno(a) da estatiacutestica de
uma populaccedilatildeo descrita pela tabela abaixo
119875 119867119900119898119890119898 cup 119864119904119905119886119905iacute119905119894119888119886 =
119875 119867119900119898119890119898 + 119875 119864119904119905119886119905iacute119904119905119894119888119886 minus 119875 119867119900119898119890119898 cap 119864119904119905119886119905119894119904119905119894119888119886 =229
439+160
439minus
84
439=305
439
Cap 4-41
Resumo de Probabilidade
Probabilidade eacute uma medida numeacuterica que informa a chance de um resultado ocorrer
A probabilidade de um evento deve estar entre 0 e 1 incluindo os extremos
0 le 119875(119860) le 1 para qquer evento 119860
A soma da probabilidade de uma particcedilatildeo do espaccedilo amostral eacute igual a 1
119875(119860) + 119875(119861) + 119875(119862) = 1
em que A B e C satildeo eventos mutuamente excludentes e coletivamente exaustivos (particcedilatildeo de 119878)
Certo
Impossiacutevel
05
1
0
Exemplo Probabilidade
Cap 4-42
Vocabulaacuterio Geral
Pelo menos 1 dos eventos A B ou ambos =
119860 cup 119861
Nenhum dos eventos nem A nem B = (119860 cup 119861)119888
Apenas 1 (ex Apenas A) possui A e natildeo possui B
= 119860 cap (119861119888)
Cap 4-43
Exerciacutecio Probabilidade
Selecione aleatoriamente um estudante em uma determinada
universidade e represente por A o evento dele possuir um cartatildeo de
creacutedito Visa e por B o evento anaacutelogo para um Mastercard Suponha que
P(Visa) = 05 P(Mastercard) = 04 e P (Ambos os cartotildees) = 025
1 Calcule a probabilidade de que um indiviacuteduo selecionado tenha
pelo menos um dos dois tipos de cartatildeo
2 Qual a probabilidade de o indiviacuteduo selecionado natildeo ter nenhum
dos tipos de cartatildeo
3 Descreva em termos de A e B o evento em que o estudante
selecionado possui um cartatildeo Visa mas natildeo um MasterCard
4 Calcule a probabilidade desse evento
Teacutecnicas de Contagem
Princiacutepio de contagem (divida e conquiste) o processo
eacute quebrado em vaacuterias etapas com o uso do diagrama de
aacutervores
Cap 4-44
n2
opccedilotildees
Folhas
n1
opccedilotildees
n3
opccedilotildees
n4
opccedilotildees
Estaacutegio
1
Estaacutegio
2
Estaacutegio
3
Estaacutegio
4
Nuacutemero total de folhas eacute
n1n2n3hellipni
n2
opccedilotildees
Desde que um mesmo
estaacutegio tenha o mesmo nordm
de opccedilotildees em cada ponto
da aacutervore
Teacutecnicas de Contagem
Princiacutepio de contagem
Considere um processo que contem r estaacutegios Suponha que
Existem n1 resultados possiacuteveis no primeiro estaacutegio
Para cada resultado possiacutevel do estaacutegio 1 existem n2
resultados possiacuteveis no estaacutegio 2
De forma mais geral para cada um dos resultados ni-1
primeiros estaacutegios existem ni resultados possiacuteveis no i-
eacutesimo estaacutegio
Entatildeo o Nuacutemero total de resultados possiacuteveis no processo de r
estaacutegios eacute de n1n2n3hellipnr
Cap 4-45
Teorema
Cap 4-46
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Um nuacutemero telefocircnico eacute composto de 8
diacutegitos mas o primeiro diacutegito apenas assume 3 valores
possiacuteveis 3 8 9 Quantos nuacutemeros distintos existem
Cap 4-47
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Um nuacutemero telefocircnico eacute composto de 8
diacutegitos mas o primeiro diacutegito apenas assume 3 valores
3 8 9 Quantos nuacutemeros distintos existem
Temos um total de 8 estaacutegios
No primeiro estaacutegio apenas 3 opccedilotildees
Nos demais estaacutegios 10 opccedilotildees
Total 3 107
Cap 4-48
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Quantos subconjutos podemos fazer a
partir de um conjunto com n elementos s1 s2 s3 hellip
sn
Cap 4-49
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Quantos subconjutos podemos fazer a
partir de um conjunto com n elementos s1 s2 s3 hellip
sn
Processo de n estaacutegios em cada estaacutegio decidimos se
colocamos ou natildeo o elemento no subconjunto
nuacutemero de opccedilotildees para o primeiro estaacutegio 2
Total 222hellip2 =2n
Cap 4-50
Teacutecnicas de Contagem
Problema Selecionar 119948 objetos de um total de 119951
objetos 119899 ge 119896 sem reposiccedilatildeo
Se a ordem eacute importante Arranjo
ex de palavra as eacute diferente de sa
Se a ordem natildeo eacute importante Combinaccedilatildeo
ex da loteria escolhemos um conjunto de 6 nordm a
ordem em que eles satildeo sorteados natildeo faz diferenccedila
Cap 4-51
Teacutecnicas de Contagem
Ao contraacuterio da permutaccedilatildeo na combinaccedilatildeo a ordem dos
elementos natildeo eacute importante
Exemplo
Permutaccedilatildeo de 2 elementos das letras A B C D
AB AC AD BA BC BD CA CB CD DA DB DC
Combinaccedilatildeo de 2 elementos das letras A B C D
AB AC AD BC BD CD
jaacute que a ordem natildeo eacute importante BA eacute o mesmo que
AB
Cap 4-52
Teacutecnicas de Contagem
Arranjo de k objetos
Queremos selecionar k objetos de um conjunto de n
objetos sem reposiccedilatildeo
Para o 1deg objeto n possibilidades
Para o 2deg objeto n-1 possibilidades
hellip
Para o uacuteltimo (kdeg objeto) n - (k-1) possibilidades
Total de permutaccedilotildees 119951 lowast (119951 minus 120783) lowast ⋯lowast (119951 minus 119948 + 120783)
Ou usando fatorial
Teorema
119899
119899 minus 119896
Cap 4-53
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Qual o total de palavras que podemos
construir com exatamente 4 letras distintas (natildeo precisa
ter significado nem seguir regras ortograacuteficas)
Cap 4-54
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Qual o total de palavras que podemos
construir com exatamente 4 letras distintas (natildeo
precisa ter significado nem seguir regras
ortograacuteficas)
Soluccedilatildeo
Selecionar 4 letras de um total de 26 sem repetir A
ordem eacute importante pois estamos formando
palavras (permutaccedilatildeo)
Total de arranjos de 4 elementos 26252423
Cap 4-55
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Vocecirc tem 10 CDs de muacutesica claacutessica 20
CDs de rock e 15 CDs de forroacute De quantas formas eacute
possiacutevel arranjar os seus CDs tal que os CDs do mesmo
tipo sempre fiquem juntos
Se os CDs forem colocados na prateleira de forma
aleatoacuteria qual eacute a probabilidade de os CDs do mesmo
estilo musical ficarem juntos
Cap 4-56
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Soluccedilatildeo princiacutepio da Contagem + Arranjos
Podemos quebrar o processo em 2 estaacutegios
1) Escolher a ordem dos tipos de Cds 321
2) Escolher a sequecircncia dos Cds para cada tipo
Para Cds de muacutesica claacutessica 10
Para Cds de rock 20
Para Cds de forroacute 15
Total 3102015
Cap 4-57
Teacutecnicas de Contagem
Combinaccedilatildeo de k elementos em n
Queremos contar o nuacutemero de subconjuntos de k elementos a
partir de um conjunto de n elementos sem reposiccedilatildeo
A ordem dos elementos natildeo eacute importante
Dizemos combinaccedilatildeo de n elementos k a k
Ex Formar comitecirc com 3 representantes de turma de um total de
131 alunos
Se todos tem mesmo poder a ordem de escolha natildeo eacute
importante combinaccedilatildeo
Se teremos presidente vice-presidente e secretaacuterio entatildeo a
ordem de escolha eacute importante permutaccedilatildeo
Teorema 119873119888119900119898119887119894119899119886ccedilotilde119890119904 =119899119896=
119899
119899 minus 119896 119896
Cap 4-58
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Qual o nuacutemero de combinaccedilotildees de 2
elementos distintos que podemos construir com as letras
A B C D
Cap 4-59
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Qual o nuacutemero de combinaccedilotildees de 2
elementos das letras A B C D
Soluccedilatildeo
Conferindo
AB AC AD BC BD CD
62)24(
4
2
4
scombinaccedilotildeeN
Cap 4-60
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Um armazeacutem da universidade recebeu 25
impressoras das quais 10 satildeo a laser e 15 a jato de tinta
Se 6 das 25 forem selecionadas aleatoriamente para para
serem verificadas por um teacutecnico qual seraacute a
probabilidade de exatamente 3 delas serem a laser
Cap 4-61
Teacutecnicas de Contagem
Soluccedilatildeo Seja 1198633= 3 das 6 selecionadas satildeo a laser Como a seleccedilatildeo das impressoras
dentre as 25 eacute aleatoacuteria cada uma delas tem a mesma chance de ser sorteada
Probabilidade claacutessica implica 119875 1198633 = 119899(1198633)119899
Como a ordem da seleccedilatildeo das impressoras natildeo importa 119899 =256
Para determinar 1198633 vamos dividir o processo em duas etapas 1) selecionamos 3 das 15
impressoras a tinta e 2) selecionamos 3 das 6 impressoras a laser Para cada elemento da
primeira etapa temos exatamente o mesmo nordm de possibilidades da segunda etapa Pelo
princiacutepio da contagem 119899 1198633 = 1198991 1198633 lowast 1198992 1198633
Como a ordem em que as impressoras satildeo selecionadas em cada etapa natildeo tem
importacircncia 1198991 1198633 =153
e 1198992 1198633 =63
Entatildeo
119875 1198633 =
153
63
256
= 03083
Desafio P(ao menos 3 das 6 selecionadas sejam a laser)
Cap 4-62
Resumo Nesta aula vimos
Como representar um modelo de probabilidade para uma situaccedilatildeo
incerta (experimento aleatoacuterio)
Etapa 1 definiccedilatildeo do espaccedilo amostral
Revisatildeo de conjuntos
Etapa 2 especificaccedilatildeo de uma funccedilatildeo probabilidade que atribui pesos
para a chance relativa de cada resultado do espaccedilo amostral
3 conceitos de probabilidade
Probabilidade claacutessica
Probabilidade Frequentista
Axiomas de Kolmogorov
Revisatildeo de teacutecnicas de contagem para podermos calcular
probabilidades
Na proacutexima aula veremos como incorporar informaccedilotildees novas ao
caacutelculo de probabilidade =gt Probabilidade condicional
Cap 4-41
Resumo de Probabilidade
Probabilidade eacute uma medida numeacuterica que informa a chance de um resultado ocorrer
A probabilidade de um evento deve estar entre 0 e 1 incluindo os extremos
0 le 119875(119860) le 1 para qquer evento 119860
A soma da probabilidade de uma particcedilatildeo do espaccedilo amostral eacute igual a 1
119875(119860) + 119875(119861) + 119875(119862) = 1
em que A B e C satildeo eventos mutuamente excludentes e coletivamente exaustivos (particcedilatildeo de 119878)
Certo
Impossiacutevel
05
1
0
Exemplo Probabilidade
Cap 4-42
Vocabulaacuterio Geral
Pelo menos 1 dos eventos A B ou ambos =
119860 cup 119861
Nenhum dos eventos nem A nem B = (119860 cup 119861)119888
Apenas 1 (ex Apenas A) possui A e natildeo possui B
= 119860 cap (119861119888)
Cap 4-43
Exerciacutecio Probabilidade
Selecione aleatoriamente um estudante em uma determinada
universidade e represente por A o evento dele possuir um cartatildeo de
creacutedito Visa e por B o evento anaacutelogo para um Mastercard Suponha que
P(Visa) = 05 P(Mastercard) = 04 e P (Ambos os cartotildees) = 025
1 Calcule a probabilidade de que um indiviacuteduo selecionado tenha
pelo menos um dos dois tipos de cartatildeo
2 Qual a probabilidade de o indiviacuteduo selecionado natildeo ter nenhum
dos tipos de cartatildeo
3 Descreva em termos de A e B o evento em que o estudante
selecionado possui um cartatildeo Visa mas natildeo um MasterCard
4 Calcule a probabilidade desse evento
Teacutecnicas de Contagem
Princiacutepio de contagem (divida e conquiste) o processo
eacute quebrado em vaacuterias etapas com o uso do diagrama de
aacutervores
Cap 4-44
n2
opccedilotildees
Folhas
n1
opccedilotildees
n3
opccedilotildees
n4
opccedilotildees
Estaacutegio
1
Estaacutegio
2
Estaacutegio
3
Estaacutegio
4
Nuacutemero total de folhas eacute
n1n2n3hellipni
n2
opccedilotildees
Desde que um mesmo
estaacutegio tenha o mesmo nordm
de opccedilotildees em cada ponto
da aacutervore
Teacutecnicas de Contagem
Princiacutepio de contagem
Considere um processo que contem r estaacutegios Suponha que
Existem n1 resultados possiacuteveis no primeiro estaacutegio
Para cada resultado possiacutevel do estaacutegio 1 existem n2
resultados possiacuteveis no estaacutegio 2
De forma mais geral para cada um dos resultados ni-1
primeiros estaacutegios existem ni resultados possiacuteveis no i-
eacutesimo estaacutegio
Entatildeo o Nuacutemero total de resultados possiacuteveis no processo de r
estaacutegios eacute de n1n2n3hellipnr
Cap 4-45
Teorema
Cap 4-46
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Um nuacutemero telefocircnico eacute composto de 8
diacutegitos mas o primeiro diacutegito apenas assume 3 valores
possiacuteveis 3 8 9 Quantos nuacutemeros distintos existem
Cap 4-47
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Um nuacutemero telefocircnico eacute composto de 8
diacutegitos mas o primeiro diacutegito apenas assume 3 valores
3 8 9 Quantos nuacutemeros distintos existem
Temos um total de 8 estaacutegios
No primeiro estaacutegio apenas 3 opccedilotildees
Nos demais estaacutegios 10 opccedilotildees
Total 3 107
Cap 4-48
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Quantos subconjutos podemos fazer a
partir de um conjunto com n elementos s1 s2 s3 hellip
sn
Cap 4-49
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Quantos subconjutos podemos fazer a
partir de um conjunto com n elementos s1 s2 s3 hellip
sn
Processo de n estaacutegios em cada estaacutegio decidimos se
colocamos ou natildeo o elemento no subconjunto
nuacutemero de opccedilotildees para o primeiro estaacutegio 2
Total 222hellip2 =2n
Cap 4-50
Teacutecnicas de Contagem
Problema Selecionar 119948 objetos de um total de 119951
objetos 119899 ge 119896 sem reposiccedilatildeo
Se a ordem eacute importante Arranjo
ex de palavra as eacute diferente de sa
Se a ordem natildeo eacute importante Combinaccedilatildeo
ex da loteria escolhemos um conjunto de 6 nordm a
ordem em que eles satildeo sorteados natildeo faz diferenccedila
Cap 4-51
Teacutecnicas de Contagem
Ao contraacuterio da permutaccedilatildeo na combinaccedilatildeo a ordem dos
elementos natildeo eacute importante
Exemplo
Permutaccedilatildeo de 2 elementos das letras A B C D
AB AC AD BA BC BD CA CB CD DA DB DC
Combinaccedilatildeo de 2 elementos das letras A B C D
AB AC AD BC BD CD
jaacute que a ordem natildeo eacute importante BA eacute o mesmo que
AB
Cap 4-52
Teacutecnicas de Contagem
Arranjo de k objetos
Queremos selecionar k objetos de um conjunto de n
objetos sem reposiccedilatildeo
Para o 1deg objeto n possibilidades
Para o 2deg objeto n-1 possibilidades
hellip
Para o uacuteltimo (kdeg objeto) n - (k-1) possibilidades
Total de permutaccedilotildees 119951 lowast (119951 minus 120783) lowast ⋯lowast (119951 minus 119948 + 120783)
Ou usando fatorial
Teorema
119899
119899 minus 119896
Cap 4-53
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Qual o total de palavras que podemos
construir com exatamente 4 letras distintas (natildeo precisa
ter significado nem seguir regras ortograacuteficas)
Cap 4-54
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Qual o total de palavras que podemos
construir com exatamente 4 letras distintas (natildeo
precisa ter significado nem seguir regras
ortograacuteficas)
Soluccedilatildeo
Selecionar 4 letras de um total de 26 sem repetir A
ordem eacute importante pois estamos formando
palavras (permutaccedilatildeo)
Total de arranjos de 4 elementos 26252423
Cap 4-55
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Vocecirc tem 10 CDs de muacutesica claacutessica 20
CDs de rock e 15 CDs de forroacute De quantas formas eacute
possiacutevel arranjar os seus CDs tal que os CDs do mesmo
tipo sempre fiquem juntos
Se os CDs forem colocados na prateleira de forma
aleatoacuteria qual eacute a probabilidade de os CDs do mesmo
estilo musical ficarem juntos
Cap 4-56
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Soluccedilatildeo princiacutepio da Contagem + Arranjos
Podemos quebrar o processo em 2 estaacutegios
1) Escolher a ordem dos tipos de Cds 321
2) Escolher a sequecircncia dos Cds para cada tipo
Para Cds de muacutesica claacutessica 10
Para Cds de rock 20
Para Cds de forroacute 15
Total 3102015
Cap 4-57
Teacutecnicas de Contagem
Combinaccedilatildeo de k elementos em n
Queremos contar o nuacutemero de subconjuntos de k elementos a
partir de um conjunto de n elementos sem reposiccedilatildeo
A ordem dos elementos natildeo eacute importante
Dizemos combinaccedilatildeo de n elementos k a k
Ex Formar comitecirc com 3 representantes de turma de um total de
131 alunos
Se todos tem mesmo poder a ordem de escolha natildeo eacute
importante combinaccedilatildeo
Se teremos presidente vice-presidente e secretaacuterio entatildeo a
ordem de escolha eacute importante permutaccedilatildeo
Teorema 119873119888119900119898119887119894119899119886ccedilotilde119890119904 =119899119896=
119899
119899 minus 119896 119896
Cap 4-58
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Qual o nuacutemero de combinaccedilotildees de 2
elementos distintos que podemos construir com as letras
A B C D
Cap 4-59
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Qual o nuacutemero de combinaccedilotildees de 2
elementos das letras A B C D
Soluccedilatildeo
Conferindo
AB AC AD BC BD CD
62)24(
4
2
4
scombinaccedilotildeeN
Cap 4-60
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Um armazeacutem da universidade recebeu 25
impressoras das quais 10 satildeo a laser e 15 a jato de tinta
Se 6 das 25 forem selecionadas aleatoriamente para para
serem verificadas por um teacutecnico qual seraacute a
probabilidade de exatamente 3 delas serem a laser
Cap 4-61
Teacutecnicas de Contagem
Soluccedilatildeo Seja 1198633= 3 das 6 selecionadas satildeo a laser Como a seleccedilatildeo das impressoras
dentre as 25 eacute aleatoacuteria cada uma delas tem a mesma chance de ser sorteada
Probabilidade claacutessica implica 119875 1198633 = 119899(1198633)119899
Como a ordem da seleccedilatildeo das impressoras natildeo importa 119899 =256
Para determinar 1198633 vamos dividir o processo em duas etapas 1) selecionamos 3 das 15
impressoras a tinta e 2) selecionamos 3 das 6 impressoras a laser Para cada elemento da
primeira etapa temos exatamente o mesmo nordm de possibilidades da segunda etapa Pelo
princiacutepio da contagem 119899 1198633 = 1198991 1198633 lowast 1198992 1198633
Como a ordem em que as impressoras satildeo selecionadas em cada etapa natildeo tem
importacircncia 1198991 1198633 =153
e 1198992 1198633 =63
Entatildeo
119875 1198633 =
153
63
256
= 03083
Desafio P(ao menos 3 das 6 selecionadas sejam a laser)
Cap 4-62
Resumo Nesta aula vimos
Como representar um modelo de probabilidade para uma situaccedilatildeo
incerta (experimento aleatoacuterio)
Etapa 1 definiccedilatildeo do espaccedilo amostral
Revisatildeo de conjuntos
Etapa 2 especificaccedilatildeo de uma funccedilatildeo probabilidade que atribui pesos
para a chance relativa de cada resultado do espaccedilo amostral
3 conceitos de probabilidade
Probabilidade claacutessica
Probabilidade Frequentista
Axiomas de Kolmogorov
Revisatildeo de teacutecnicas de contagem para podermos calcular
probabilidades
Na proacutexima aula veremos como incorporar informaccedilotildees novas ao
caacutelculo de probabilidade =gt Probabilidade condicional
Exemplo Probabilidade
Cap 4-42
Vocabulaacuterio Geral
Pelo menos 1 dos eventos A B ou ambos =
119860 cup 119861
Nenhum dos eventos nem A nem B = (119860 cup 119861)119888
Apenas 1 (ex Apenas A) possui A e natildeo possui B
= 119860 cap (119861119888)
Cap 4-43
Exerciacutecio Probabilidade
Selecione aleatoriamente um estudante em uma determinada
universidade e represente por A o evento dele possuir um cartatildeo de
creacutedito Visa e por B o evento anaacutelogo para um Mastercard Suponha que
P(Visa) = 05 P(Mastercard) = 04 e P (Ambos os cartotildees) = 025
1 Calcule a probabilidade de que um indiviacuteduo selecionado tenha
pelo menos um dos dois tipos de cartatildeo
2 Qual a probabilidade de o indiviacuteduo selecionado natildeo ter nenhum
dos tipos de cartatildeo
3 Descreva em termos de A e B o evento em que o estudante
selecionado possui um cartatildeo Visa mas natildeo um MasterCard
4 Calcule a probabilidade desse evento
Teacutecnicas de Contagem
Princiacutepio de contagem (divida e conquiste) o processo
eacute quebrado em vaacuterias etapas com o uso do diagrama de
aacutervores
Cap 4-44
n2
opccedilotildees
Folhas
n1
opccedilotildees
n3
opccedilotildees
n4
opccedilotildees
Estaacutegio
1
Estaacutegio
2
Estaacutegio
3
Estaacutegio
4
Nuacutemero total de folhas eacute
n1n2n3hellipni
n2
opccedilotildees
Desde que um mesmo
estaacutegio tenha o mesmo nordm
de opccedilotildees em cada ponto
da aacutervore
Teacutecnicas de Contagem
Princiacutepio de contagem
Considere um processo que contem r estaacutegios Suponha que
Existem n1 resultados possiacuteveis no primeiro estaacutegio
Para cada resultado possiacutevel do estaacutegio 1 existem n2
resultados possiacuteveis no estaacutegio 2
De forma mais geral para cada um dos resultados ni-1
primeiros estaacutegios existem ni resultados possiacuteveis no i-
eacutesimo estaacutegio
Entatildeo o Nuacutemero total de resultados possiacuteveis no processo de r
estaacutegios eacute de n1n2n3hellipnr
Cap 4-45
Teorema
Cap 4-46
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Um nuacutemero telefocircnico eacute composto de 8
diacutegitos mas o primeiro diacutegito apenas assume 3 valores
possiacuteveis 3 8 9 Quantos nuacutemeros distintos existem
Cap 4-47
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Um nuacutemero telefocircnico eacute composto de 8
diacutegitos mas o primeiro diacutegito apenas assume 3 valores
3 8 9 Quantos nuacutemeros distintos existem
Temos um total de 8 estaacutegios
No primeiro estaacutegio apenas 3 opccedilotildees
Nos demais estaacutegios 10 opccedilotildees
Total 3 107
Cap 4-48
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Quantos subconjutos podemos fazer a
partir de um conjunto com n elementos s1 s2 s3 hellip
sn
Cap 4-49
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Quantos subconjutos podemos fazer a
partir de um conjunto com n elementos s1 s2 s3 hellip
sn
Processo de n estaacutegios em cada estaacutegio decidimos se
colocamos ou natildeo o elemento no subconjunto
nuacutemero de opccedilotildees para o primeiro estaacutegio 2
Total 222hellip2 =2n
Cap 4-50
Teacutecnicas de Contagem
Problema Selecionar 119948 objetos de um total de 119951
objetos 119899 ge 119896 sem reposiccedilatildeo
Se a ordem eacute importante Arranjo
ex de palavra as eacute diferente de sa
Se a ordem natildeo eacute importante Combinaccedilatildeo
ex da loteria escolhemos um conjunto de 6 nordm a
ordem em que eles satildeo sorteados natildeo faz diferenccedila
Cap 4-51
Teacutecnicas de Contagem
Ao contraacuterio da permutaccedilatildeo na combinaccedilatildeo a ordem dos
elementos natildeo eacute importante
Exemplo
Permutaccedilatildeo de 2 elementos das letras A B C D
AB AC AD BA BC BD CA CB CD DA DB DC
Combinaccedilatildeo de 2 elementos das letras A B C D
AB AC AD BC BD CD
jaacute que a ordem natildeo eacute importante BA eacute o mesmo que
AB
Cap 4-52
Teacutecnicas de Contagem
Arranjo de k objetos
Queremos selecionar k objetos de um conjunto de n
objetos sem reposiccedilatildeo
Para o 1deg objeto n possibilidades
Para o 2deg objeto n-1 possibilidades
hellip
Para o uacuteltimo (kdeg objeto) n - (k-1) possibilidades
Total de permutaccedilotildees 119951 lowast (119951 minus 120783) lowast ⋯lowast (119951 minus 119948 + 120783)
Ou usando fatorial
Teorema
119899
119899 minus 119896
Cap 4-53
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Qual o total de palavras que podemos
construir com exatamente 4 letras distintas (natildeo precisa
ter significado nem seguir regras ortograacuteficas)
Cap 4-54
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Qual o total de palavras que podemos
construir com exatamente 4 letras distintas (natildeo
precisa ter significado nem seguir regras
ortograacuteficas)
Soluccedilatildeo
Selecionar 4 letras de um total de 26 sem repetir A
ordem eacute importante pois estamos formando
palavras (permutaccedilatildeo)
Total de arranjos de 4 elementos 26252423
Cap 4-55
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Vocecirc tem 10 CDs de muacutesica claacutessica 20
CDs de rock e 15 CDs de forroacute De quantas formas eacute
possiacutevel arranjar os seus CDs tal que os CDs do mesmo
tipo sempre fiquem juntos
Se os CDs forem colocados na prateleira de forma
aleatoacuteria qual eacute a probabilidade de os CDs do mesmo
estilo musical ficarem juntos
Cap 4-56
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Soluccedilatildeo princiacutepio da Contagem + Arranjos
Podemos quebrar o processo em 2 estaacutegios
1) Escolher a ordem dos tipos de Cds 321
2) Escolher a sequecircncia dos Cds para cada tipo
Para Cds de muacutesica claacutessica 10
Para Cds de rock 20
Para Cds de forroacute 15
Total 3102015
Cap 4-57
Teacutecnicas de Contagem
Combinaccedilatildeo de k elementos em n
Queremos contar o nuacutemero de subconjuntos de k elementos a
partir de um conjunto de n elementos sem reposiccedilatildeo
A ordem dos elementos natildeo eacute importante
Dizemos combinaccedilatildeo de n elementos k a k
Ex Formar comitecirc com 3 representantes de turma de um total de
131 alunos
Se todos tem mesmo poder a ordem de escolha natildeo eacute
importante combinaccedilatildeo
Se teremos presidente vice-presidente e secretaacuterio entatildeo a
ordem de escolha eacute importante permutaccedilatildeo
Teorema 119873119888119900119898119887119894119899119886ccedilotilde119890119904 =119899119896=
119899
119899 minus 119896 119896
Cap 4-58
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Qual o nuacutemero de combinaccedilotildees de 2
elementos distintos que podemos construir com as letras
A B C D
Cap 4-59
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Qual o nuacutemero de combinaccedilotildees de 2
elementos das letras A B C D
Soluccedilatildeo
Conferindo
AB AC AD BC BD CD
62)24(
4
2
4
scombinaccedilotildeeN
Cap 4-60
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Um armazeacutem da universidade recebeu 25
impressoras das quais 10 satildeo a laser e 15 a jato de tinta
Se 6 das 25 forem selecionadas aleatoriamente para para
serem verificadas por um teacutecnico qual seraacute a
probabilidade de exatamente 3 delas serem a laser
Cap 4-61
Teacutecnicas de Contagem
Soluccedilatildeo Seja 1198633= 3 das 6 selecionadas satildeo a laser Como a seleccedilatildeo das impressoras
dentre as 25 eacute aleatoacuteria cada uma delas tem a mesma chance de ser sorteada
Probabilidade claacutessica implica 119875 1198633 = 119899(1198633)119899
Como a ordem da seleccedilatildeo das impressoras natildeo importa 119899 =256
Para determinar 1198633 vamos dividir o processo em duas etapas 1) selecionamos 3 das 15
impressoras a tinta e 2) selecionamos 3 das 6 impressoras a laser Para cada elemento da
primeira etapa temos exatamente o mesmo nordm de possibilidades da segunda etapa Pelo
princiacutepio da contagem 119899 1198633 = 1198991 1198633 lowast 1198992 1198633
Como a ordem em que as impressoras satildeo selecionadas em cada etapa natildeo tem
importacircncia 1198991 1198633 =153
e 1198992 1198633 =63
Entatildeo
119875 1198633 =
153
63
256
= 03083
Desafio P(ao menos 3 das 6 selecionadas sejam a laser)
Cap 4-62
Resumo Nesta aula vimos
Como representar um modelo de probabilidade para uma situaccedilatildeo
incerta (experimento aleatoacuterio)
Etapa 1 definiccedilatildeo do espaccedilo amostral
Revisatildeo de conjuntos
Etapa 2 especificaccedilatildeo de uma funccedilatildeo probabilidade que atribui pesos
para a chance relativa de cada resultado do espaccedilo amostral
3 conceitos de probabilidade
Probabilidade claacutessica
Probabilidade Frequentista
Axiomas de Kolmogorov
Revisatildeo de teacutecnicas de contagem para podermos calcular
probabilidades
Na proacutexima aula veremos como incorporar informaccedilotildees novas ao
caacutelculo de probabilidade =gt Probabilidade condicional
Cap 4-43
Exerciacutecio Probabilidade
Selecione aleatoriamente um estudante em uma determinada
universidade e represente por A o evento dele possuir um cartatildeo de
creacutedito Visa e por B o evento anaacutelogo para um Mastercard Suponha que
P(Visa) = 05 P(Mastercard) = 04 e P (Ambos os cartotildees) = 025
1 Calcule a probabilidade de que um indiviacuteduo selecionado tenha
pelo menos um dos dois tipos de cartatildeo
2 Qual a probabilidade de o indiviacuteduo selecionado natildeo ter nenhum
dos tipos de cartatildeo
3 Descreva em termos de A e B o evento em que o estudante
selecionado possui um cartatildeo Visa mas natildeo um MasterCard
4 Calcule a probabilidade desse evento
Teacutecnicas de Contagem
Princiacutepio de contagem (divida e conquiste) o processo
eacute quebrado em vaacuterias etapas com o uso do diagrama de
aacutervores
Cap 4-44
n2
opccedilotildees
Folhas
n1
opccedilotildees
n3
opccedilotildees
n4
opccedilotildees
Estaacutegio
1
Estaacutegio
2
Estaacutegio
3
Estaacutegio
4
Nuacutemero total de folhas eacute
n1n2n3hellipni
n2
opccedilotildees
Desde que um mesmo
estaacutegio tenha o mesmo nordm
de opccedilotildees em cada ponto
da aacutervore
Teacutecnicas de Contagem
Princiacutepio de contagem
Considere um processo que contem r estaacutegios Suponha que
Existem n1 resultados possiacuteveis no primeiro estaacutegio
Para cada resultado possiacutevel do estaacutegio 1 existem n2
resultados possiacuteveis no estaacutegio 2
De forma mais geral para cada um dos resultados ni-1
primeiros estaacutegios existem ni resultados possiacuteveis no i-
eacutesimo estaacutegio
Entatildeo o Nuacutemero total de resultados possiacuteveis no processo de r
estaacutegios eacute de n1n2n3hellipnr
Cap 4-45
Teorema
Cap 4-46
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Um nuacutemero telefocircnico eacute composto de 8
diacutegitos mas o primeiro diacutegito apenas assume 3 valores
possiacuteveis 3 8 9 Quantos nuacutemeros distintos existem
Cap 4-47
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Um nuacutemero telefocircnico eacute composto de 8
diacutegitos mas o primeiro diacutegito apenas assume 3 valores
3 8 9 Quantos nuacutemeros distintos existem
Temos um total de 8 estaacutegios
No primeiro estaacutegio apenas 3 opccedilotildees
Nos demais estaacutegios 10 opccedilotildees
Total 3 107
Cap 4-48
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Quantos subconjutos podemos fazer a
partir de um conjunto com n elementos s1 s2 s3 hellip
sn
Cap 4-49
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Quantos subconjutos podemos fazer a
partir de um conjunto com n elementos s1 s2 s3 hellip
sn
Processo de n estaacutegios em cada estaacutegio decidimos se
colocamos ou natildeo o elemento no subconjunto
nuacutemero de opccedilotildees para o primeiro estaacutegio 2
Total 222hellip2 =2n
Cap 4-50
Teacutecnicas de Contagem
Problema Selecionar 119948 objetos de um total de 119951
objetos 119899 ge 119896 sem reposiccedilatildeo
Se a ordem eacute importante Arranjo
ex de palavra as eacute diferente de sa
Se a ordem natildeo eacute importante Combinaccedilatildeo
ex da loteria escolhemos um conjunto de 6 nordm a
ordem em que eles satildeo sorteados natildeo faz diferenccedila
Cap 4-51
Teacutecnicas de Contagem
Ao contraacuterio da permutaccedilatildeo na combinaccedilatildeo a ordem dos
elementos natildeo eacute importante
Exemplo
Permutaccedilatildeo de 2 elementos das letras A B C D
AB AC AD BA BC BD CA CB CD DA DB DC
Combinaccedilatildeo de 2 elementos das letras A B C D
AB AC AD BC BD CD
jaacute que a ordem natildeo eacute importante BA eacute o mesmo que
AB
Cap 4-52
Teacutecnicas de Contagem
Arranjo de k objetos
Queremos selecionar k objetos de um conjunto de n
objetos sem reposiccedilatildeo
Para o 1deg objeto n possibilidades
Para o 2deg objeto n-1 possibilidades
hellip
Para o uacuteltimo (kdeg objeto) n - (k-1) possibilidades
Total de permutaccedilotildees 119951 lowast (119951 minus 120783) lowast ⋯lowast (119951 minus 119948 + 120783)
Ou usando fatorial
Teorema
119899
119899 minus 119896
Cap 4-53
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Qual o total de palavras que podemos
construir com exatamente 4 letras distintas (natildeo precisa
ter significado nem seguir regras ortograacuteficas)
Cap 4-54
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Qual o total de palavras que podemos
construir com exatamente 4 letras distintas (natildeo
precisa ter significado nem seguir regras
ortograacuteficas)
Soluccedilatildeo
Selecionar 4 letras de um total de 26 sem repetir A
ordem eacute importante pois estamos formando
palavras (permutaccedilatildeo)
Total de arranjos de 4 elementos 26252423
Cap 4-55
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Vocecirc tem 10 CDs de muacutesica claacutessica 20
CDs de rock e 15 CDs de forroacute De quantas formas eacute
possiacutevel arranjar os seus CDs tal que os CDs do mesmo
tipo sempre fiquem juntos
Se os CDs forem colocados na prateleira de forma
aleatoacuteria qual eacute a probabilidade de os CDs do mesmo
estilo musical ficarem juntos
Cap 4-56
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Soluccedilatildeo princiacutepio da Contagem + Arranjos
Podemos quebrar o processo em 2 estaacutegios
1) Escolher a ordem dos tipos de Cds 321
2) Escolher a sequecircncia dos Cds para cada tipo
Para Cds de muacutesica claacutessica 10
Para Cds de rock 20
Para Cds de forroacute 15
Total 3102015
Cap 4-57
Teacutecnicas de Contagem
Combinaccedilatildeo de k elementos em n
Queremos contar o nuacutemero de subconjuntos de k elementos a
partir de um conjunto de n elementos sem reposiccedilatildeo
A ordem dos elementos natildeo eacute importante
Dizemos combinaccedilatildeo de n elementos k a k
Ex Formar comitecirc com 3 representantes de turma de um total de
131 alunos
Se todos tem mesmo poder a ordem de escolha natildeo eacute
importante combinaccedilatildeo
Se teremos presidente vice-presidente e secretaacuterio entatildeo a
ordem de escolha eacute importante permutaccedilatildeo
Teorema 119873119888119900119898119887119894119899119886ccedilotilde119890119904 =119899119896=
119899
119899 minus 119896 119896
Cap 4-58
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Qual o nuacutemero de combinaccedilotildees de 2
elementos distintos que podemos construir com as letras
A B C D
Cap 4-59
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Qual o nuacutemero de combinaccedilotildees de 2
elementos das letras A B C D
Soluccedilatildeo
Conferindo
AB AC AD BC BD CD
62)24(
4
2
4
scombinaccedilotildeeN
Cap 4-60
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Um armazeacutem da universidade recebeu 25
impressoras das quais 10 satildeo a laser e 15 a jato de tinta
Se 6 das 25 forem selecionadas aleatoriamente para para
serem verificadas por um teacutecnico qual seraacute a
probabilidade de exatamente 3 delas serem a laser
Cap 4-61
Teacutecnicas de Contagem
Soluccedilatildeo Seja 1198633= 3 das 6 selecionadas satildeo a laser Como a seleccedilatildeo das impressoras
dentre as 25 eacute aleatoacuteria cada uma delas tem a mesma chance de ser sorteada
Probabilidade claacutessica implica 119875 1198633 = 119899(1198633)119899
Como a ordem da seleccedilatildeo das impressoras natildeo importa 119899 =256
Para determinar 1198633 vamos dividir o processo em duas etapas 1) selecionamos 3 das 15
impressoras a tinta e 2) selecionamos 3 das 6 impressoras a laser Para cada elemento da
primeira etapa temos exatamente o mesmo nordm de possibilidades da segunda etapa Pelo
princiacutepio da contagem 119899 1198633 = 1198991 1198633 lowast 1198992 1198633
Como a ordem em que as impressoras satildeo selecionadas em cada etapa natildeo tem
importacircncia 1198991 1198633 =153
e 1198992 1198633 =63
Entatildeo
119875 1198633 =
153
63
256
= 03083
Desafio P(ao menos 3 das 6 selecionadas sejam a laser)
Cap 4-62
Resumo Nesta aula vimos
Como representar um modelo de probabilidade para uma situaccedilatildeo
incerta (experimento aleatoacuterio)
Etapa 1 definiccedilatildeo do espaccedilo amostral
Revisatildeo de conjuntos
Etapa 2 especificaccedilatildeo de uma funccedilatildeo probabilidade que atribui pesos
para a chance relativa de cada resultado do espaccedilo amostral
3 conceitos de probabilidade
Probabilidade claacutessica
Probabilidade Frequentista
Axiomas de Kolmogorov
Revisatildeo de teacutecnicas de contagem para podermos calcular
probabilidades
Na proacutexima aula veremos como incorporar informaccedilotildees novas ao
caacutelculo de probabilidade =gt Probabilidade condicional
Teacutecnicas de Contagem
Princiacutepio de contagem (divida e conquiste) o processo
eacute quebrado em vaacuterias etapas com o uso do diagrama de
aacutervores
Cap 4-44
n2
opccedilotildees
Folhas
n1
opccedilotildees
n3
opccedilotildees
n4
opccedilotildees
Estaacutegio
1
Estaacutegio
2
Estaacutegio
3
Estaacutegio
4
Nuacutemero total de folhas eacute
n1n2n3hellipni
n2
opccedilotildees
Desde que um mesmo
estaacutegio tenha o mesmo nordm
de opccedilotildees em cada ponto
da aacutervore
Teacutecnicas de Contagem
Princiacutepio de contagem
Considere um processo que contem r estaacutegios Suponha que
Existem n1 resultados possiacuteveis no primeiro estaacutegio
Para cada resultado possiacutevel do estaacutegio 1 existem n2
resultados possiacuteveis no estaacutegio 2
De forma mais geral para cada um dos resultados ni-1
primeiros estaacutegios existem ni resultados possiacuteveis no i-
eacutesimo estaacutegio
Entatildeo o Nuacutemero total de resultados possiacuteveis no processo de r
estaacutegios eacute de n1n2n3hellipnr
Cap 4-45
Teorema
Cap 4-46
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Um nuacutemero telefocircnico eacute composto de 8
diacutegitos mas o primeiro diacutegito apenas assume 3 valores
possiacuteveis 3 8 9 Quantos nuacutemeros distintos existem
Cap 4-47
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Um nuacutemero telefocircnico eacute composto de 8
diacutegitos mas o primeiro diacutegito apenas assume 3 valores
3 8 9 Quantos nuacutemeros distintos existem
Temos um total de 8 estaacutegios
No primeiro estaacutegio apenas 3 opccedilotildees
Nos demais estaacutegios 10 opccedilotildees
Total 3 107
Cap 4-48
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Quantos subconjutos podemos fazer a
partir de um conjunto com n elementos s1 s2 s3 hellip
sn
Cap 4-49
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Quantos subconjutos podemos fazer a
partir de um conjunto com n elementos s1 s2 s3 hellip
sn
Processo de n estaacutegios em cada estaacutegio decidimos se
colocamos ou natildeo o elemento no subconjunto
nuacutemero de opccedilotildees para o primeiro estaacutegio 2
Total 222hellip2 =2n
Cap 4-50
Teacutecnicas de Contagem
Problema Selecionar 119948 objetos de um total de 119951
objetos 119899 ge 119896 sem reposiccedilatildeo
Se a ordem eacute importante Arranjo
ex de palavra as eacute diferente de sa
Se a ordem natildeo eacute importante Combinaccedilatildeo
ex da loteria escolhemos um conjunto de 6 nordm a
ordem em que eles satildeo sorteados natildeo faz diferenccedila
Cap 4-51
Teacutecnicas de Contagem
Ao contraacuterio da permutaccedilatildeo na combinaccedilatildeo a ordem dos
elementos natildeo eacute importante
Exemplo
Permutaccedilatildeo de 2 elementos das letras A B C D
AB AC AD BA BC BD CA CB CD DA DB DC
Combinaccedilatildeo de 2 elementos das letras A B C D
AB AC AD BC BD CD
jaacute que a ordem natildeo eacute importante BA eacute o mesmo que
AB
Cap 4-52
Teacutecnicas de Contagem
Arranjo de k objetos
Queremos selecionar k objetos de um conjunto de n
objetos sem reposiccedilatildeo
Para o 1deg objeto n possibilidades
Para o 2deg objeto n-1 possibilidades
hellip
Para o uacuteltimo (kdeg objeto) n - (k-1) possibilidades
Total de permutaccedilotildees 119951 lowast (119951 minus 120783) lowast ⋯lowast (119951 minus 119948 + 120783)
Ou usando fatorial
Teorema
119899
119899 minus 119896
Cap 4-53
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Qual o total de palavras que podemos
construir com exatamente 4 letras distintas (natildeo precisa
ter significado nem seguir regras ortograacuteficas)
Cap 4-54
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Qual o total de palavras que podemos
construir com exatamente 4 letras distintas (natildeo
precisa ter significado nem seguir regras
ortograacuteficas)
Soluccedilatildeo
Selecionar 4 letras de um total de 26 sem repetir A
ordem eacute importante pois estamos formando
palavras (permutaccedilatildeo)
Total de arranjos de 4 elementos 26252423
Cap 4-55
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Vocecirc tem 10 CDs de muacutesica claacutessica 20
CDs de rock e 15 CDs de forroacute De quantas formas eacute
possiacutevel arranjar os seus CDs tal que os CDs do mesmo
tipo sempre fiquem juntos
Se os CDs forem colocados na prateleira de forma
aleatoacuteria qual eacute a probabilidade de os CDs do mesmo
estilo musical ficarem juntos
Cap 4-56
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Soluccedilatildeo princiacutepio da Contagem + Arranjos
Podemos quebrar o processo em 2 estaacutegios
1) Escolher a ordem dos tipos de Cds 321
2) Escolher a sequecircncia dos Cds para cada tipo
Para Cds de muacutesica claacutessica 10
Para Cds de rock 20
Para Cds de forroacute 15
Total 3102015
Cap 4-57
Teacutecnicas de Contagem
Combinaccedilatildeo de k elementos em n
Queremos contar o nuacutemero de subconjuntos de k elementos a
partir de um conjunto de n elementos sem reposiccedilatildeo
A ordem dos elementos natildeo eacute importante
Dizemos combinaccedilatildeo de n elementos k a k
Ex Formar comitecirc com 3 representantes de turma de um total de
131 alunos
Se todos tem mesmo poder a ordem de escolha natildeo eacute
importante combinaccedilatildeo
Se teremos presidente vice-presidente e secretaacuterio entatildeo a
ordem de escolha eacute importante permutaccedilatildeo
Teorema 119873119888119900119898119887119894119899119886ccedilotilde119890119904 =119899119896=
119899
119899 minus 119896 119896
Cap 4-58
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Qual o nuacutemero de combinaccedilotildees de 2
elementos distintos que podemos construir com as letras
A B C D
Cap 4-59
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Qual o nuacutemero de combinaccedilotildees de 2
elementos das letras A B C D
Soluccedilatildeo
Conferindo
AB AC AD BC BD CD
62)24(
4
2
4
scombinaccedilotildeeN
Cap 4-60
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Um armazeacutem da universidade recebeu 25
impressoras das quais 10 satildeo a laser e 15 a jato de tinta
Se 6 das 25 forem selecionadas aleatoriamente para para
serem verificadas por um teacutecnico qual seraacute a
probabilidade de exatamente 3 delas serem a laser
Cap 4-61
Teacutecnicas de Contagem
Soluccedilatildeo Seja 1198633= 3 das 6 selecionadas satildeo a laser Como a seleccedilatildeo das impressoras
dentre as 25 eacute aleatoacuteria cada uma delas tem a mesma chance de ser sorteada
Probabilidade claacutessica implica 119875 1198633 = 119899(1198633)119899
Como a ordem da seleccedilatildeo das impressoras natildeo importa 119899 =256
Para determinar 1198633 vamos dividir o processo em duas etapas 1) selecionamos 3 das 15
impressoras a tinta e 2) selecionamos 3 das 6 impressoras a laser Para cada elemento da
primeira etapa temos exatamente o mesmo nordm de possibilidades da segunda etapa Pelo
princiacutepio da contagem 119899 1198633 = 1198991 1198633 lowast 1198992 1198633
Como a ordem em que as impressoras satildeo selecionadas em cada etapa natildeo tem
importacircncia 1198991 1198633 =153
e 1198992 1198633 =63
Entatildeo
119875 1198633 =
153
63
256
= 03083
Desafio P(ao menos 3 das 6 selecionadas sejam a laser)
Cap 4-62
Resumo Nesta aula vimos
Como representar um modelo de probabilidade para uma situaccedilatildeo
incerta (experimento aleatoacuterio)
Etapa 1 definiccedilatildeo do espaccedilo amostral
Revisatildeo de conjuntos
Etapa 2 especificaccedilatildeo de uma funccedilatildeo probabilidade que atribui pesos
para a chance relativa de cada resultado do espaccedilo amostral
3 conceitos de probabilidade
Probabilidade claacutessica
Probabilidade Frequentista
Axiomas de Kolmogorov
Revisatildeo de teacutecnicas de contagem para podermos calcular
probabilidades
Na proacutexima aula veremos como incorporar informaccedilotildees novas ao
caacutelculo de probabilidade =gt Probabilidade condicional
Teacutecnicas de Contagem
Princiacutepio de contagem
Considere um processo que contem r estaacutegios Suponha que
Existem n1 resultados possiacuteveis no primeiro estaacutegio
Para cada resultado possiacutevel do estaacutegio 1 existem n2
resultados possiacuteveis no estaacutegio 2
De forma mais geral para cada um dos resultados ni-1
primeiros estaacutegios existem ni resultados possiacuteveis no i-
eacutesimo estaacutegio
Entatildeo o Nuacutemero total de resultados possiacuteveis no processo de r
estaacutegios eacute de n1n2n3hellipnr
Cap 4-45
Teorema
Cap 4-46
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Um nuacutemero telefocircnico eacute composto de 8
diacutegitos mas o primeiro diacutegito apenas assume 3 valores
possiacuteveis 3 8 9 Quantos nuacutemeros distintos existem
Cap 4-47
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Um nuacutemero telefocircnico eacute composto de 8
diacutegitos mas o primeiro diacutegito apenas assume 3 valores
3 8 9 Quantos nuacutemeros distintos existem
Temos um total de 8 estaacutegios
No primeiro estaacutegio apenas 3 opccedilotildees
Nos demais estaacutegios 10 opccedilotildees
Total 3 107
Cap 4-48
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Quantos subconjutos podemos fazer a
partir de um conjunto com n elementos s1 s2 s3 hellip
sn
Cap 4-49
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Quantos subconjutos podemos fazer a
partir de um conjunto com n elementos s1 s2 s3 hellip
sn
Processo de n estaacutegios em cada estaacutegio decidimos se
colocamos ou natildeo o elemento no subconjunto
nuacutemero de opccedilotildees para o primeiro estaacutegio 2
Total 222hellip2 =2n
Cap 4-50
Teacutecnicas de Contagem
Problema Selecionar 119948 objetos de um total de 119951
objetos 119899 ge 119896 sem reposiccedilatildeo
Se a ordem eacute importante Arranjo
ex de palavra as eacute diferente de sa
Se a ordem natildeo eacute importante Combinaccedilatildeo
ex da loteria escolhemos um conjunto de 6 nordm a
ordem em que eles satildeo sorteados natildeo faz diferenccedila
Cap 4-51
Teacutecnicas de Contagem
Ao contraacuterio da permutaccedilatildeo na combinaccedilatildeo a ordem dos
elementos natildeo eacute importante
Exemplo
Permutaccedilatildeo de 2 elementos das letras A B C D
AB AC AD BA BC BD CA CB CD DA DB DC
Combinaccedilatildeo de 2 elementos das letras A B C D
AB AC AD BC BD CD
jaacute que a ordem natildeo eacute importante BA eacute o mesmo que
AB
Cap 4-52
Teacutecnicas de Contagem
Arranjo de k objetos
Queremos selecionar k objetos de um conjunto de n
objetos sem reposiccedilatildeo
Para o 1deg objeto n possibilidades
Para o 2deg objeto n-1 possibilidades
hellip
Para o uacuteltimo (kdeg objeto) n - (k-1) possibilidades
Total de permutaccedilotildees 119951 lowast (119951 minus 120783) lowast ⋯lowast (119951 minus 119948 + 120783)
Ou usando fatorial
Teorema
119899
119899 minus 119896
Cap 4-53
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Qual o total de palavras que podemos
construir com exatamente 4 letras distintas (natildeo precisa
ter significado nem seguir regras ortograacuteficas)
Cap 4-54
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Qual o total de palavras que podemos
construir com exatamente 4 letras distintas (natildeo
precisa ter significado nem seguir regras
ortograacuteficas)
Soluccedilatildeo
Selecionar 4 letras de um total de 26 sem repetir A
ordem eacute importante pois estamos formando
palavras (permutaccedilatildeo)
Total de arranjos de 4 elementos 26252423
Cap 4-55
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Vocecirc tem 10 CDs de muacutesica claacutessica 20
CDs de rock e 15 CDs de forroacute De quantas formas eacute
possiacutevel arranjar os seus CDs tal que os CDs do mesmo
tipo sempre fiquem juntos
Se os CDs forem colocados na prateleira de forma
aleatoacuteria qual eacute a probabilidade de os CDs do mesmo
estilo musical ficarem juntos
Cap 4-56
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Soluccedilatildeo princiacutepio da Contagem + Arranjos
Podemos quebrar o processo em 2 estaacutegios
1) Escolher a ordem dos tipos de Cds 321
2) Escolher a sequecircncia dos Cds para cada tipo
Para Cds de muacutesica claacutessica 10
Para Cds de rock 20
Para Cds de forroacute 15
Total 3102015
Cap 4-57
Teacutecnicas de Contagem
Combinaccedilatildeo de k elementos em n
Queremos contar o nuacutemero de subconjuntos de k elementos a
partir de um conjunto de n elementos sem reposiccedilatildeo
A ordem dos elementos natildeo eacute importante
Dizemos combinaccedilatildeo de n elementos k a k
Ex Formar comitecirc com 3 representantes de turma de um total de
131 alunos
Se todos tem mesmo poder a ordem de escolha natildeo eacute
importante combinaccedilatildeo
Se teremos presidente vice-presidente e secretaacuterio entatildeo a
ordem de escolha eacute importante permutaccedilatildeo
Teorema 119873119888119900119898119887119894119899119886ccedilotilde119890119904 =119899119896=
119899
119899 minus 119896 119896
Cap 4-58
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Qual o nuacutemero de combinaccedilotildees de 2
elementos distintos que podemos construir com as letras
A B C D
Cap 4-59
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Qual o nuacutemero de combinaccedilotildees de 2
elementos das letras A B C D
Soluccedilatildeo
Conferindo
AB AC AD BC BD CD
62)24(
4
2
4
scombinaccedilotildeeN
Cap 4-60
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Um armazeacutem da universidade recebeu 25
impressoras das quais 10 satildeo a laser e 15 a jato de tinta
Se 6 das 25 forem selecionadas aleatoriamente para para
serem verificadas por um teacutecnico qual seraacute a
probabilidade de exatamente 3 delas serem a laser
Cap 4-61
Teacutecnicas de Contagem
Soluccedilatildeo Seja 1198633= 3 das 6 selecionadas satildeo a laser Como a seleccedilatildeo das impressoras
dentre as 25 eacute aleatoacuteria cada uma delas tem a mesma chance de ser sorteada
Probabilidade claacutessica implica 119875 1198633 = 119899(1198633)119899
Como a ordem da seleccedilatildeo das impressoras natildeo importa 119899 =256
Para determinar 1198633 vamos dividir o processo em duas etapas 1) selecionamos 3 das 15
impressoras a tinta e 2) selecionamos 3 das 6 impressoras a laser Para cada elemento da
primeira etapa temos exatamente o mesmo nordm de possibilidades da segunda etapa Pelo
princiacutepio da contagem 119899 1198633 = 1198991 1198633 lowast 1198992 1198633
Como a ordem em que as impressoras satildeo selecionadas em cada etapa natildeo tem
importacircncia 1198991 1198633 =153
e 1198992 1198633 =63
Entatildeo
119875 1198633 =
153
63
256
= 03083
Desafio P(ao menos 3 das 6 selecionadas sejam a laser)
Cap 4-62
Resumo Nesta aula vimos
Como representar um modelo de probabilidade para uma situaccedilatildeo
incerta (experimento aleatoacuterio)
Etapa 1 definiccedilatildeo do espaccedilo amostral
Revisatildeo de conjuntos
Etapa 2 especificaccedilatildeo de uma funccedilatildeo probabilidade que atribui pesos
para a chance relativa de cada resultado do espaccedilo amostral
3 conceitos de probabilidade
Probabilidade claacutessica
Probabilidade Frequentista
Axiomas de Kolmogorov
Revisatildeo de teacutecnicas de contagem para podermos calcular
probabilidades
Na proacutexima aula veremos como incorporar informaccedilotildees novas ao
caacutelculo de probabilidade =gt Probabilidade condicional
Cap 4-46
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Um nuacutemero telefocircnico eacute composto de 8
diacutegitos mas o primeiro diacutegito apenas assume 3 valores
possiacuteveis 3 8 9 Quantos nuacutemeros distintos existem
Cap 4-47
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Um nuacutemero telefocircnico eacute composto de 8
diacutegitos mas o primeiro diacutegito apenas assume 3 valores
3 8 9 Quantos nuacutemeros distintos existem
Temos um total de 8 estaacutegios
No primeiro estaacutegio apenas 3 opccedilotildees
Nos demais estaacutegios 10 opccedilotildees
Total 3 107
Cap 4-48
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Quantos subconjutos podemos fazer a
partir de um conjunto com n elementos s1 s2 s3 hellip
sn
Cap 4-49
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Quantos subconjutos podemos fazer a
partir de um conjunto com n elementos s1 s2 s3 hellip
sn
Processo de n estaacutegios em cada estaacutegio decidimos se
colocamos ou natildeo o elemento no subconjunto
nuacutemero de opccedilotildees para o primeiro estaacutegio 2
Total 222hellip2 =2n
Cap 4-50
Teacutecnicas de Contagem
Problema Selecionar 119948 objetos de um total de 119951
objetos 119899 ge 119896 sem reposiccedilatildeo
Se a ordem eacute importante Arranjo
ex de palavra as eacute diferente de sa
Se a ordem natildeo eacute importante Combinaccedilatildeo
ex da loteria escolhemos um conjunto de 6 nordm a
ordem em que eles satildeo sorteados natildeo faz diferenccedila
Cap 4-51
Teacutecnicas de Contagem
Ao contraacuterio da permutaccedilatildeo na combinaccedilatildeo a ordem dos
elementos natildeo eacute importante
Exemplo
Permutaccedilatildeo de 2 elementos das letras A B C D
AB AC AD BA BC BD CA CB CD DA DB DC
Combinaccedilatildeo de 2 elementos das letras A B C D
AB AC AD BC BD CD
jaacute que a ordem natildeo eacute importante BA eacute o mesmo que
AB
Cap 4-52
Teacutecnicas de Contagem
Arranjo de k objetos
Queremos selecionar k objetos de um conjunto de n
objetos sem reposiccedilatildeo
Para o 1deg objeto n possibilidades
Para o 2deg objeto n-1 possibilidades
hellip
Para o uacuteltimo (kdeg objeto) n - (k-1) possibilidades
Total de permutaccedilotildees 119951 lowast (119951 minus 120783) lowast ⋯lowast (119951 minus 119948 + 120783)
Ou usando fatorial
Teorema
119899
119899 minus 119896
Cap 4-53
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Qual o total de palavras que podemos
construir com exatamente 4 letras distintas (natildeo precisa
ter significado nem seguir regras ortograacuteficas)
Cap 4-54
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Qual o total de palavras que podemos
construir com exatamente 4 letras distintas (natildeo
precisa ter significado nem seguir regras
ortograacuteficas)
Soluccedilatildeo
Selecionar 4 letras de um total de 26 sem repetir A
ordem eacute importante pois estamos formando
palavras (permutaccedilatildeo)
Total de arranjos de 4 elementos 26252423
Cap 4-55
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Vocecirc tem 10 CDs de muacutesica claacutessica 20
CDs de rock e 15 CDs de forroacute De quantas formas eacute
possiacutevel arranjar os seus CDs tal que os CDs do mesmo
tipo sempre fiquem juntos
Se os CDs forem colocados na prateleira de forma
aleatoacuteria qual eacute a probabilidade de os CDs do mesmo
estilo musical ficarem juntos
Cap 4-56
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Soluccedilatildeo princiacutepio da Contagem + Arranjos
Podemos quebrar o processo em 2 estaacutegios
1) Escolher a ordem dos tipos de Cds 321
2) Escolher a sequecircncia dos Cds para cada tipo
Para Cds de muacutesica claacutessica 10
Para Cds de rock 20
Para Cds de forroacute 15
Total 3102015
Cap 4-57
Teacutecnicas de Contagem
Combinaccedilatildeo de k elementos em n
Queremos contar o nuacutemero de subconjuntos de k elementos a
partir de um conjunto de n elementos sem reposiccedilatildeo
A ordem dos elementos natildeo eacute importante
Dizemos combinaccedilatildeo de n elementos k a k
Ex Formar comitecirc com 3 representantes de turma de um total de
131 alunos
Se todos tem mesmo poder a ordem de escolha natildeo eacute
importante combinaccedilatildeo
Se teremos presidente vice-presidente e secretaacuterio entatildeo a
ordem de escolha eacute importante permutaccedilatildeo
Teorema 119873119888119900119898119887119894119899119886ccedilotilde119890119904 =119899119896=
119899
119899 minus 119896 119896
Cap 4-58
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Qual o nuacutemero de combinaccedilotildees de 2
elementos distintos que podemos construir com as letras
A B C D
Cap 4-59
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Qual o nuacutemero de combinaccedilotildees de 2
elementos das letras A B C D
Soluccedilatildeo
Conferindo
AB AC AD BC BD CD
62)24(
4
2
4
scombinaccedilotildeeN
Cap 4-60
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Um armazeacutem da universidade recebeu 25
impressoras das quais 10 satildeo a laser e 15 a jato de tinta
Se 6 das 25 forem selecionadas aleatoriamente para para
serem verificadas por um teacutecnico qual seraacute a
probabilidade de exatamente 3 delas serem a laser
Cap 4-61
Teacutecnicas de Contagem
Soluccedilatildeo Seja 1198633= 3 das 6 selecionadas satildeo a laser Como a seleccedilatildeo das impressoras
dentre as 25 eacute aleatoacuteria cada uma delas tem a mesma chance de ser sorteada
Probabilidade claacutessica implica 119875 1198633 = 119899(1198633)119899
Como a ordem da seleccedilatildeo das impressoras natildeo importa 119899 =256
Para determinar 1198633 vamos dividir o processo em duas etapas 1) selecionamos 3 das 15
impressoras a tinta e 2) selecionamos 3 das 6 impressoras a laser Para cada elemento da
primeira etapa temos exatamente o mesmo nordm de possibilidades da segunda etapa Pelo
princiacutepio da contagem 119899 1198633 = 1198991 1198633 lowast 1198992 1198633
Como a ordem em que as impressoras satildeo selecionadas em cada etapa natildeo tem
importacircncia 1198991 1198633 =153
e 1198992 1198633 =63
Entatildeo
119875 1198633 =
153
63
256
= 03083
Desafio P(ao menos 3 das 6 selecionadas sejam a laser)
Cap 4-62
Resumo Nesta aula vimos
Como representar um modelo de probabilidade para uma situaccedilatildeo
incerta (experimento aleatoacuterio)
Etapa 1 definiccedilatildeo do espaccedilo amostral
Revisatildeo de conjuntos
Etapa 2 especificaccedilatildeo de uma funccedilatildeo probabilidade que atribui pesos
para a chance relativa de cada resultado do espaccedilo amostral
3 conceitos de probabilidade
Probabilidade claacutessica
Probabilidade Frequentista
Axiomas de Kolmogorov
Revisatildeo de teacutecnicas de contagem para podermos calcular
probabilidades
Na proacutexima aula veremos como incorporar informaccedilotildees novas ao
caacutelculo de probabilidade =gt Probabilidade condicional
Cap 4-47
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Um nuacutemero telefocircnico eacute composto de 8
diacutegitos mas o primeiro diacutegito apenas assume 3 valores
3 8 9 Quantos nuacutemeros distintos existem
Temos um total de 8 estaacutegios
No primeiro estaacutegio apenas 3 opccedilotildees
Nos demais estaacutegios 10 opccedilotildees
Total 3 107
Cap 4-48
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Quantos subconjutos podemos fazer a
partir de um conjunto com n elementos s1 s2 s3 hellip
sn
Cap 4-49
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Quantos subconjutos podemos fazer a
partir de um conjunto com n elementos s1 s2 s3 hellip
sn
Processo de n estaacutegios em cada estaacutegio decidimos se
colocamos ou natildeo o elemento no subconjunto
nuacutemero de opccedilotildees para o primeiro estaacutegio 2
Total 222hellip2 =2n
Cap 4-50
Teacutecnicas de Contagem
Problema Selecionar 119948 objetos de um total de 119951
objetos 119899 ge 119896 sem reposiccedilatildeo
Se a ordem eacute importante Arranjo
ex de palavra as eacute diferente de sa
Se a ordem natildeo eacute importante Combinaccedilatildeo
ex da loteria escolhemos um conjunto de 6 nordm a
ordem em que eles satildeo sorteados natildeo faz diferenccedila
Cap 4-51
Teacutecnicas de Contagem
Ao contraacuterio da permutaccedilatildeo na combinaccedilatildeo a ordem dos
elementos natildeo eacute importante
Exemplo
Permutaccedilatildeo de 2 elementos das letras A B C D
AB AC AD BA BC BD CA CB CD DA DB DC
Combinaccedilatildeo de 2 elementos das letras A B C D
AB AC AD BC BD CD
jaacute que a ordem natildeo eacute importante BA eacute o mesmo que
AB
Cap 4-52
Teacutecnicas de Contagem
Arranjo de k objetos
Queremos selecionar k objetos de um conjunto de n
objetos sem reposiccedilatildeo
Para o 1deg objeto n possibilidades
Para o 2deg objeto n-1 possibilidades
hellip
Para o uacuteltimo (kdeg objeto) n - (k-1) possibilidades
Total de permutaccedilotildees 119951 lowast (119951 minus 120783) lowast ⋯lowast (119951 minus 119948 + 120783)
Ou usando fatorial
Teorema
119899
119899 minus 119896
Cap 4-53
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Qual o total de palavras que podemos
construir com exatamente 4 letras distintas (natildeo precisa
ter significado nem seguir regras ortograacuteficas)
Cap 4-54
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Qual o total de palavras que podemos
construir com exatamente 4 letras distintas (natildeo
precisa ter significado nem seguir regras
ortograacuteficas)
Soluccedilatildeo
Selecionar 4 letras de um total de 26 sem repetir A
ordem eacute importante pois estamos formando
palavras (permutaccedilatildeo)
Total de arranjos de 4 elementos 26252423
Cap 4-55
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Vocecirc tem 10 CDs de muacutesica claacutessica 20
CDs de rock e 15 CDs de forroacute De quantas formas eacute
possiacutevel arranjar os seus CDs tal que os CDs do mesmo
tipo sempre fiquem juntos
Se os CDs forem colocados na prateleira de forma
aleatoacuteria qual eacute a probabilidade de os CDs do mesmo
estilo musical ficarem juntos
Cap 4-56
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Soluccedilatildeo princiacutepio da Contagem + Arranjos
Podemos quebrar o processo em 2 estaacutegios
1) Escolher a ordem dos tipos de Cds 321
2) Escolher a sequecircncia dos Cds para cada tipo
Para Cds de muacutesica claacutessica 10
Para Cds de rock 20
Para Cds de forroacute 15
Total 3102015
Cap 4-57
Teacutecnicas de Contagem
Combinaccedilatildeo de k elementos em n
Queremos contar o nuacutemero de subconjuntos de k elementos a
partir de um conjunto de n elementos sem reposiccedilatildeo
A ordem dos elementos natildeo eacute importante
Dizemos combinaccedilatildeo de n elementos k a k
Ex Formar comitecirc com 3 representantes de turma de um total de
131 alunos
Se todos tem mesmo poder a ordem de escolha natildeo eacute
importante combinaccedilatildeo
Se teremos presidente vice-presidente e secretaacuterio entatildeo a
ordem de escolha eacute importante permutaccedilatildeo
Teorema 119873119888119900119898119887119894119899119886ccedilotilde119890119904 =119899119896=
119899
119899 minus 119896 119896
Cap 4-58
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Qual o nuacutemero de combinaccedilotildees de 2
elementos distintos que podemos construir com as letras
A B C D
Cap 4-59
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Qual o nuacutemero de combinaccedilotildees de 2
elementos das letras A B C D
Soluccedilatildeo
Conferindo
AB AC AD BC BD CD
62)24(
4
2
4
scombinaccedilotildeeN
Cap 4-60
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Um armazeacutem da universidade recebeu 25
impressoras das quais 10 satildeo a laser e 15 a jato de tinta
Se 6 das 25 forem selecionadas aleatoriamente para para
serem verificadas por um teacutecnico qual seraacute a
probabilidade de exatamente 3 delas serem a laser
Cap 4-61
Teacutecnicas de Contagem
Soluccedilatildeo Seja 1198633= 3 das 6 selecionadas satildeo a laser Como a seleccedilatildeo das impressoras
dentre as 25 eacute aleatoacuteria cada uma delas tem a mesma chance de ser sorteada
Probabilidade claacutessica implica 119875 1198633 = 119899(1198633)119899
Como a ordem da seleccedilatildeo das impressoras natildeo importa 119899 =256
Para determinar 1198633 vamos dividir o processo em duas etapas 1) selecionamos 3 das 15
impressoras a tinta e 2) selecionamos 3 das 6 impressoras a laser Para cada elemento da
primeira etapa temos exatamente o mesmo nordm de possibilidades da segunda etapa Pelo
princiacutepio da contagem 119899 1198633 = 1198991 1198633 lowast 1198992 1198633
Como a ordem em que as impressoras satildeo selecionadas em cada etapa natildeo tem
importacircncia 1198991 1198633 =153
e 1198992 1198633 =63
Entatildeo
119875 1198633 =
153
63
256
= 03083
Desafio P(ao menos 3 das 6 selecionadas sejam a laser)
Cap 4-62
Resumo Nesta aula vimos
Como representar um modelo de probabilidade para uma situaccedilatildeo
incerta (experimento aleatoacuterio)
Etapa 1 definiccedilatildeo do espaccedilo amostral
Revisatildeo de conjuntos
Etapa 2 especificaccedilatildeo de uma funccedilatildeo probabilidade que atribui pesos
para a chance relativa de cada resultado do espaccedilo amostral
3 conceitos de probabilidade
Probabilidade claacutessica
Probabilidade Frequentista
Axiomas de Kolmogorov
Revisatildeo de teacutecnicas de contagem para podermos calcular
probabilidades
Na proacutexima aula veremos como incorporar informaccedilotildees novas ao
caacutelculo de probabilidade =gt Probabilidade condicional
Cap 4-48
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Quantos subconjutos podemos fazer a
partir de um conjunto com n elementos s1 s2 s3 hellip
sn
Cap 4-49
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Quantos subconjutos podemos fazer a
partir de um conjunto com n elementos s1 s2 s3 hellip
sn
Processo de n estaacutegios em cada estaacutegio decidimos se
colocamos ou natildeo o elemento no subconjunto
nuacutemero de opccedilotildees para o primeiro estaacutegio 2
Total 222hellip2 =2n
Cap 4-50
Teacutecnicas de Contagem
Problema Selecionar 119948 objetos de um total de 119951
objetos 119899 ge 119896 sem reposiccedilatildeo
Se a ordem eacute importante Arranjo
ex de palavra as eacute diferente de sa
Se a ordem natildeo eacute importante Combinaccedilatildeo
ex da loteria escolhemos um conjunto de 6 nordm a
ordem em que eles satildeo sorteados natildeo faz diferenccedila
Cap 4-51
Teacutecnicas de Contagem
Ao contraacuterio da permutaccedilatildeo na combinaccedilatildeo a ordem dos
elementos natildeo eacute importante
Exemplo
Permutaccedilatildeo de 2 elementos das letras A B C D
AB AC AD BA BC BD CA CB CD DA DB DC
Combinaccedilatildeo de 2 elementos das letras A B C D
AB AC AD BC BD CD
jaacute que a ordem natildeo eacute importante BA eacute o mesmo que
AB
Cap 4-52
Teacutecnicas de Contagem
Arranjo de k objetos
Queremos selecionar k objetos de um conjunto de n
objetos sem reposiccedilatildeo
Para o 1deg objeto n possibilidades
Para o 2deg objeto n-1 possibilidades
hellip
Para o uacuteltimo (kdeg objeto) n - (k-1) possibilidades
Total de permutaccedilotildees 119951 lowast (119951 minus 120783) lowast ⋯lowast (119951 minus 119948 + 120783)
Ou usando fatorial
Teorema
119899
119899 minus 119896
Cap 4-53
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Qual o total de palavras que podemos
construir com exatamente 4 letras distintas (natildeo precisa
ter significado nem seguir regras ortograacuteficas)
Cap 4-54
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Qual o total de palavras que podemos
construir com exatamente 4 letras distintas (natildeo
precisa ter significado nem seguir regras
ortograacuteficas)
Soluccedilatildeo
Selecionar 4 letras de um total de 26 sem repetir A
ordem eacute importante pois estamos formando
palavras (permutaccedilatildeo)
Total de arranjos de 4 elementos 26252423
Cap 4-55
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Vocecirc tem 10 CDs de muacutesica claacutessica 20
CDs de rock e 15 CDs de forroacute De quantas formas eacute
possiacutevel arranjar os seus CDs tal que os CDs do mesmo
tipo sempre fiquem juntos
Se os CDs forem colocados na prateleira de forma
aleatoacuteria qual eacute a probabilidade de os CDs do mesmo
estilo musical ficarem juntos
Cap 4-56
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Soluccedilatildeo princiacutepio da Contagem + Arranjos
Podemos quebrar o processo em 2 estaacutegios
1) Escolher a ordem dos tipos de Cds 321
2) Escolher a sequecircncia dos Cds para cada tipo
Para Cds de muacutesica claacutessica 10
Para Cds de rock 20
Para Cds de forroacute 15
Total 3102015
Cap 4-57
Teacutecnicas de Contagem
Combinaccedilatildeo de k elementos em n
Queremos contar o nuacutemero de subconjuntos de k elementos a
partir de um conjunto de n elementos sem reposiccedilatildeo
A ordem dos elementos natildeo eacute importante
Dizemos combinaccedilatildeo de n elementos k a k
Ex Formar comitecirc com 3 representantes de turma de um total de
131 alunos
Se todos tem mesmo poder a ordem de escolha natildeo eacute
importante combinaccedilatildeo
Se teremos presidente vice-presidente e secretaacuterio entatildeo a
ordem de escolha eacute importante permutaccedilatildeo
Teorema 119873119888119900119898119887119894119899119886ccedilotilde119890119904 =119899119896=
119899
119899 minus 119896 119896
Cap 4-58
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Qual o nuacutemero de combinaccedilotildees de 2
elementos distintos que podemos construir com as letras
A B C D
Cap 4-59
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Qual o nuacutemero de combinaccedilotildees de 2
elementos das letras A B C D
Soluccedilatildeo
Conferindo
AB AC AD BC BD CD
62)24(
4
2
4
scombinaccedilotildeeN
Cap 4-60
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Um armazeacutem da universidade recebeu 25
impressoras das quais 10 satildeo a laser e 15 a jato de tinta
Se 6 das 25 forem selecionadas aleatoriamente para para
serem verificadas por um teacutecnico qual seraacute a
probabilidade de exatamente 3 delas serem a laser
Cap 4-61
Teacutecnicas de Contagem
Soluccedilatildeo Seja 1198633= 3 das 6 selecionadas satildeo a laser Como a seleccedilatildeo das impressoras
dentre as 25 eacute aleatoacuteria cada uma delas tem a mesma chance de ser sorteada
Probabilidade claacutessica implica 119875 1198633 = 119899(1198633)119899
Como a ordem da seleccedilatildeo das impressoras natildeo importa 119899 =256
Para determinar 1198633 vamos dividir o processo em duas etapas 1) selecionamos 3 das 15
impressoras a tinta e 2) selecionamos 3 das 6 impressoras a laser Para cada elemento da
primeira etapa temos exatamente o mesmo nordm de possibilidades da segunda etapa Pelo
princiacutepio da contagem 119899 1198633 = 1198991 1198633 lowast 1198992 1198633
Como a ordem em que as impressoras satildeo selecionadas em cada etapa natildeo tem
importacircncia 1198991 1198633 =153
e 1198992 1198633 =63
Entatildeo
119875 1198633 =
153
63
256
= 03083
Desafio P(ao menos 3 das 6 selecionadas sejam a laser)
Cap 4-62
Resumo Nesta aula vimos
Como representar um modelo de probabilidade para uma situaccedilatildeo
incerta (experimento aleatoacuterio)
Etapa 1 definiccedilatildeo do espaccedilo amostral
Revisatildeo de conjuntos
Etapa 2 especificaccedilatildeo de uma funccedilatildeo probabilidade que atribui pesos
para a chance relativa de cada resultado do espaccedilo amostral
3 conceitos de probabilidade
Probabilidade claacutessica
Probabilidade Frequentista
Axiomas de Kolmogorov
Revisatildeo de teacutecnicas de contagem para podermos calcular
probabilidades
Na proacutexima aula veremos como incorporar informaccedilotildees novas ao
caacutelculo de probabilidade =gt Probabilidade condicional
Cap 4-49
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Quantos subconjutos podemos fazer a
partir de um conjunto com n elementos s1 s2 s3 hellip
sn
Processo de n estaacutegios em cada estaacutegio decidimos se
colocamos ou natildeo o elemento no subconjunto
nuacutemero de opccedilotildees para o primeiro estaacutegio 2
Total 222hellip2 =2n
Cap 4-50
Teacutecnicas de Contagem
Problema Selecionar 119948 objetos de um total de 119951
objetos 119899 ge 119896 sem reposiccedilatildeo
Se a ordem eacute importante Arranjo
ex de palavra as eacute diferente de sa
Se a ordem natildeo eacute importante Combinaccedilatildeo
ex da loteria escolhemos um conjunto de 6 nordm a
ordem em que eles satildeo sorteados natildeo faz diferenccedila
Cap 4-51
Teacutecnicas de Contagem
Ao contraacuterio da permutaccedilatildeo na combinaccedilatildeo a ordem dos
elementos natildeo eacute importante
Exemplo
Permutaccedilatildeo de 2 elementos das letras A B C D
AB AC AD BA BC BD CA CB CD DA DB DC
Combinaccedilatildeo de 2 elementos das letras A B C D
AB AC AD BC BD CD
jaacute que a ordem natildeo eacute importante BA eacute o mesmo que
AB
Cap 4-52
Teacutecnicas de Contagem
Arranjo de k objetos
Queremos selecionar k objetos de um conjunto de n
objetos sem reposiccedilatildeo
Para o 1deg objeto n possibilidades
Para o 2deg objeto n-1 possibilidades
hellip
Para o uacuteltimo (kdeg objeto) n - (k-1) possibilidades
Total de permutaccedilotildees 119951 lowast (119951 minus 120783) lowast ⋯lowast (119951 minus 119948 + 120783)
Ou usando fatorial
Teorema
119899
119899 minus 119896
Cap 4-53
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Qual o total de palavras que podemos
construir com exatamente 4 letras distintas (natildeo precisa
ter significado nem seguir regras ortograacuteficas)
Cap 4-54
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Qual o total de palavras que podemos
construir com exatamente 4 letras distintas (natildeo
precisa ter significado nem seguir regras
ortograacuteficas)
Soluccedilatildeo
Selecionar 4 letras de um total de 26 sem repetir A
ordem eacute importante pois estamos formando
palavras (permutaccedilatildeo)
Total de arranjos de 4 elementos 26252423
Cap 4-55
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Vocecirc tem 10 CDs de muacutesica claacutessica 20
CDs de rock e 15 CDs de forroacute De quantas formas eacute
possiacutevel arranjar os seus CDs tal que os CDs do mesmo
tipo sempre fiquem juntos
Se os CDs forem colocados na prateleira de forma
aleatoacuteria qual eacute a probabilidade de os CDs do mesmo
estilo musical ficarem juntos
Cap 4-56
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Soluccedilatildeo princiacutepio da Contagem + Arranjos
Podemos quebrar o processo em 2 estaacutegios
1) Escolher a ordem dos tipos de Cds 321
2) Escolher a sequecircncia dos Cds para cada tipo
Para Cds de muacutesica claacutessica 10
Para Cds de rock 20
Para Cds de forroacute 15
Total 3102015
Cap 4-57
Teacutecnicas de Contagem
Combinaccedilatildeo de k elementos em n
Queremos contar o nuacutemero de subconjuntos de k elementos a
partir de um conjunto de n elementos sem reposiccedilatildeo
A ordem dos elementos natildeo eacute importante
Dizemos combinaccedilatildeo de n elementos k a k
Ex Formar comitecirc com 3 representantes de turma de um total de
131 alunos
Se todos tem mesmo poder a ordem de escolha natildeo eacute
importante combinaccedilatildeo
Se teremos presidente vice-presidente e secretaacuterio entatildeo a
ordem de escolha eacute importante permutaccedilatildeo
Teorema 119873119888119900119898119887119894119899119886ccedilotilde119890119904 =119899119896=
119899
119899 minus 119896 119896
Cap 4-58
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Qual o nuacutemero de combinaccedilotildees de 2
elementos distintos que podemos construir com as letras
A B C D
Cap 4-59
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Qual o nuacutemero de combinaccedilotildees de 2
elementos das letras A B C D
Soluccedilatildeo
Conferindo
AB AC AD BC BD CD
62)24(
4
2
4
scombinaccedilotildeeN
Cap 4-60
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Um armazeacutem da universidade recebeu 25
impressoras das quais 10 satildeo a laser e 15 a jato de tinta
Se 6 das 25 forem selecionadas aleatoriamente para para
serem verificadas por um teacutecnico qual seraacute a
probabilidade de exatamente 3 delas serem a laser
Cap 4-61
Teacutecnicas de Contagem
Soluccedilatildeo Seja 1198633= 3 das 6 selecionadas satildeo a laser Como a seleccedilatildeo das impressoras
dentre as 25 eacute aleatoacuteria cada uma delas tem a mesma chance de ser sorteada
Probabilidade claacutessica implica 119875 1198633 = 119899(1198633)119899
Como a ordem da seleccedilatildeo das impressoras natildeo importa 119899 =256
Para determinar 1198633 vamos dividir o processo em duas etapas 1) selecionamos 3 das 15
impressoras a tinta e 2) selecionamos 3 das 6 impressoras a laser Para cada elemento da
primeira etapa temos exatamente o mesmo nordm de possibilidades da segunda etapa Pelo
princiacutepio da contagem 119899 1198633 = 1198991 1198633 lowast 1198992 1198633
Como a ordem em que as impressoras satildeo selecionadas em cada etapa natildeo tem
importacircncia 1198991 1198633 =153
e 1198992 1198633 =63
Entatildeo
119875 1198633 =
153
63
256
= 03083
Desafio P(ao menos 3 das 6 selecionadas sejam a laser)
Cap 4-62
Resumo Nesta aula vimos
Como representar um modelo de probabilidade para uma situaccedilatildeo
incerta (experimento aleatoacuterio)
Etapa 1 definiccedilatildeo do espaccedilo amostral
Revisatildeo de conjuntos
Etapa 2 especificaccedilatildeo de uma funccedilatildeo probabilidade que atribui pesos
para a chance relativa de cada resultado do espaccedilo amostral
3 conceitos de probabilidade
Probabilidade claacutessica
Probabilidade Frequentista
Axiomas de Kolmogorov
Revisatildeo de teacutecnicas de contagem para podermos calcular
probabilidades
Na proacutexima aula veremos como incorporar informaccedilotildees novas ao
caacutelculo de probabilidade =gt Probabilidade condicional
Cap 4-50
Teacutecnicas de Contagem
Problema Selecionar 119948 objetos de um total de 119951
objetos 119899 ge 119896 sem reposiccedilatildeo
Se a ordem eacute importante Arranjo
ex de palavra as eacute diferente de sa
Se a ordem natildeo eacute importante Combinaccedilatildeo
ex da loteria escolhemos um conjunto de 6 nordm a
ordem em que eles satildeo sorteados natildeo faz diferenccedila
Cap 4-51
Teacutecnicas de Contagem
Ao contraacuterio da permutaccedilatildeo na combinaccedilatildeo a ordem dos
elementos natildeo eacute importante
Exemplo
Permutaccedilatildeo de 2 elementos das letras A B C D
AB AC AD BA BC BD CA CB CD DA DB DC
Combinaccedilatildeo de 2 elementos das letras A B C D
AB AC AD BC BD CD
jaacute que a ordem natildeo eacute importante BA eacute o mesmo que
AB
Cap 4-52
Teacutecnicas de Contagem
Arranjo de k objetos
Queremos selecionar k objetos de um conjunto de n
objetos sem reposiccedilatildeo
Para o 1deg objeto n possibilidades
Para o 2deg objeto n-1 possibilidades
hellip
Para o uacuteltimo (kdeg objeto) n - (k-1) possibilidades
Total de permutaccedilotildees 119951 lowast (119951 minus 120783) lowast ⋯lowast (119951 minus 119948 + 120783)
Ou usando fatorial
Teorema
119899
119899 minus 119896
Cap 4-53
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Qual o total de palavras que podemos
construir com exatamente 4 letras distintas (natildeo precisa
ter significado nem seguir regras ortograacuteficas)
Cap 4-54
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Qual o total de palavras que podemos
construir com exatamente 4 letras distintas (natildeo
precisa ter significado nem seguir regras
ortograacuteficas)
Soluccedilatildeo
Selecionar 4 letras de um total de 26 sem repetir A
ordem eacute importante pois estamos formando
palavras (permutaccedilatildeo)
Total de arranjos de 4 elementos 26252423
Cap 4-55
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Vocecirc tem 10 CDs de muacutesica claacutessica 20
CDs de rock e 15 CDs de forroacute De quantas formas eacute
possiacutevel arranjar os seus CDs tal que os CDs do mesmo
tipo sempre fiquem juntos
Se os CDs forem colocados na prateleira de forma
aleatoacuteria qual eacute a probabilidade de os CDs do mesmo
estilo musical ficarem juntos
Cap 4-56
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Soluccedilatildeo princiacutepio da Contagem + Arranjos
Podemos quebrar o processo em 2 estaacutegios
1) Escolher a ordem dos tipos de Cds 321
2) Escolher a sequecircncia dos Cds para cada tipo
Para Cds de muacutesica claacutessica 10
Para Cds de rock 20
Para Cds de forroacute 15
Total 3102015
Cap 4-57
Teacutecnicas de Contagem
Combinaccedilatildeo de k elementos em n
Queremos contar o nuacutemero de subconjuntos de k elementos a
partir de um conjunto de n elementos sem reposiccedilatildeo
A ordem dos elementos natildeo eacute importante
Dizemos combinaccedilatildeo de n elementos k a k
Ex Formar comitecirc com 3 representantes de turma de um total de
131 alunos
Se todos tem mesmo poder a ordem de escolha natildeo eacute
importante combinaccedilatildeo
Se teremos presidente vice-presidente e secretaacuterio entatildeo a
ordem de escolha eacute importante permutaccedilatildeo
Teorema 119873119888119900119898119887119894119899119886ccedilotilde119890119904 =119899119896=
119899
119899 minus 119896 119896
Cap 4-58
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Qual o nuacutemero de combinaccedilotildees de 2
elementos distintos que podemos construir com as letras
A B C D
Cap 4-59
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Qual o nuacutemero de combinaccedilotildees de 2
elementos das letras A B C D
Soluccedilatildeo
Conferindo
AB AC AD BC BD CD
62)24(
4
2
4
scombinaccedilotildeeN
Cap 4-60
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Um armazeacutem da universidade recebeu 25
impressoras das quais 10 satildeo a laser e 15 a jato de tinta
Se 6 das 25 forem selecionadas aleatoriamente para para
serem verificadas por um teacutecnico qual seraacute a
probabilidade de exatamente 3 delas serem a laser
Cap 4-61
Teacutecnicas de Contagem
Soluccedilatildeo Seja 1198633= 3 das 6 selecionadas satildeo a laser Como a seleccedilatildeo das impressoras
dentre as 25 eacute aleatoacuteria cada uma delas tem a mesma chance de ser sorteada
Probabilidade claacutessica implica 119875 1198633 = 119899(1198633)119899
Como a ordem da seleccedilatildeo das impressoras natildeo importa 119899 =256
Para determinar 1198633 vamos dividir o processo em duas etapas 1) selecionamos 3 das 15
impressoras a tinta e 2) selecionamos 3 das 6 impressoras a laser Para cada elemento da
primeira etapa temos exatamente o mesmo nordm de possibilidades da segunda etapa Pelo
princiacutepio da contagem 119899 1198633 = 1198991 1198633 lowast 1198992 1198633
Como a ordem em que as impressoras satildeo selecionadas em cada etapa natildeo tem
importacircncia 1198991 1198633 =153
e 1198992 1198633 =63
Entatildeo
119875 1198633 =
153
63
256
= 03083
Desafio P(ao menos 3 das 6 selecionadas sejam a laser)
Cap 4-62
Resumo Nesta aula vimos
Como representar um modelo de probabilidade para uma situaccedilatildeo
incerta (experimento aleatoacuterio)
Etapa 1 definiccedilatildeo do espaccedilo amostral
Revisatildeo de conjuntos
Etapa 2 especificaccedilatildeo de uma funccedilatildeo probabilidade que atribui pesos
para a chance relativa de cada resultado do espaccedilo amostral
3 conceitos de probabilidade
Probabilidade claacutessica
Probabilidade Frequentista
Axiomas de Kolmogorov
Revisatildeo de teacutecnicas de contagem para podermos calcular
probabilidades
Na proacutexima aula veremos como incorporar informaccedilotildees novas ao
caacutelculo de probabilidade =gt Probabilidade condicional
Cap 4-51
Teacutecnicas de Contagem
Ao contraacuterio da permutaccedilatildeo na combinaccedilatildeo a ordem dos
elementos natildeo eacute importante
Exemplo
Permutaccedilatildeo de 2 elementos das letras A B C D
AB AC AD BA BC BD CA CB CD DA DB DC
Combinaccedilatildeo de 2 elementos das letras A B C D
AB AC AD BC BD CD
jaacute que a ordem natildeo eacute importante BA eacute o mesmo que
AB
Cap 4-52
Teacutecnicas de Contagem
Arranjo de k objetos
Queremos selecionar k objetos de um conjunto de n
objetos sem reposiccedilatildeo
Para o 1deg objeto n possibilidades
Para o 2deg objeto n-1 possibilidades
hellip
Para o uacuteltimo (kdeg objeto) n - (k-1) possibilidades
Total de permutaccedilotildees 119951 lowast (119951 minus 120783) lowast ⋯lowast (119951 minus 119948 + 120783)
Ou usando fatorial
Teorema
119899
119899 minus 119896
Cap 4-53
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Qual o total de palavras que podemos
construir com exatamente 4 letras distintas (natildeo precisa
ter significado nem seguir regras ortograacuteficas)
Cap 4-54
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Qual o total de palavras que podemos
construir com exatamente 4 letras distintas (natildeo
precisa ter significado nem seguir regras
ortograacuteficas)
Soluccedilatildeo
Selecionar 4 letras de um total de 26 sem repetir A
ordem eacute importante pois estamos formando
palavras (permutaccedilatildeo)
Total de arranjos de 4 elementos 26252423
Cap 4-55
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Vocecirc tem 10 CDs de muacutesica claacutessica 20
CDs de rock e 15 CDs de forroacute De quantas formas eacute
possiacutevel arranjar os seus CDs tal que os CDs do mesmo
tipo sempre fiquem juntos
Se os CDs forem colocados na prateleira de forma
aleatoacuteria qual eacute a probabilidade de os CDs do mesmo
estilo musical ficarem juntos
Cap 4-56
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Soluccedilatildeo princiacutepio da Contagem + Arranjos
Podemos quebrar o processo em 2 estaacutegios
1) Escolher a ordem dos tipos de Cds 321
2) Escolher a sequecircncia dos Cds para cada tipo
Para Cds de muacutesica claacutessica 10
Para Cds de rock 20
Para Cds de forroacute 15
Total 3102015
Cap 4-57
Teacutecnicas de Contagem
Combinaccedilatildeo de k elementos em n
Queremos contar o nuacutemero de subconjuntos de k elementos a
partir de um conjunto de n elementos sem reposiccedilatildeo
A ordem dos elementos natildeo eacute importante
Dizemos combinaccedilatildeo de n elementos k a k
Ex Formar comitecirc com 3 representantes de turma de um total de
131 alunos
Se todos tem mesmo poder a ordem de escolha natildeo eacute
importante combinaccedilatildeo
Se teremos presidente vice-presidente e secretaacuterio entatildeo a
ordem de escolha eacute importante permutaccedilatildeo
Teorema 119873119888119900119898119887119894119899119886ccedilotilde119890119904 =119899119896=
119899
119899 minus 119896 119896
Cap 4-58
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Qual o nuacutemero de combinaccedilotildees de 2
elementos distintos que podemos construir com as letras
A B C D
Cap 4-59
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Qual o nuacutemero de combinaccedilotildees de 2
elementos das letras A B C D
Soluccedilatildeo
Conferindo
AB AC AD BC BD CD
62)24(
4
2
4
scombinaccedilotildeeN
Cap 4-60
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Um armazeacutem da universidade recebeu 25
impressoras das quais 10 satildeo a laser e 15 a jato de tinta
Se 6 das 25 forem selecionadas aleatoriamente para para
serem verificadas por um teacutecnico qual seraacute a
probabilidade de exatamente 3 delas serem a laser
Cap 4-61
Teacutecnicas de Contagem
Soluccedilatildeo Seja 1198633= 3 das 6 selecionadas satildeo a laser Como a seleccedilatildeo das impressoras
dentre as 25 eacute aleatoacuteria cada uma delas tem a mesma chance de ser sorteada
Probabilidade claacutessica implica 119875 1198633 = 119899(1198633)119899
Como a ordem da seleccedilatildeo das impressoras natildeo importa 119899 =256
Para determinar 1198633 vamos dividir o processo em duas etapas 1) selecionamos 3 das 15
impressoras a tinta e 2) selecionamos 3 das 6 impressoras a laser Para cada elemento da
primeira etapa temos exatamente o mesmo nordm de possibilidades da segunda etapa Pelo
princiacutepio da contagem 119899 1198633 = 1198991 1198633 lowast 1198992 1198633
Como a ordem em que as impressoras satildeo selecionadas em cada etapa natildeo tem
importacircncia 1198991 1198633 =153
e 1198992 1198633 =63
Entatildeo
119875 1198633 =
153
63
256
= 03083
Desafio P(ao menos 3 das 6 selecionadas sejam a laser)
Cap 4-62
Resumo Nesta aula vimos
Como representar um modelo de probabilidade para uma situaccedilatildeo
incerta (experimento aleatoacuterio)
Etapa 1 definiccedilatildeo do espaccedilo amostral
Revisatildeo de conjuntos
Etapa 2 especificaccedilatildeo de uma funccedilatildeo probabilidade que atribui pesos
para a chance relativa de cada resultado do espaccedilo amostral
3 conceitos de probabilidade
Probabilidade claacutessica
Probabilidade Frequentista
Axiomas de Kolmogorov
Revisatildeo de teacutecnicas de contagem para podermos calcular
probabilidades
Na proacutexima aula veremos como incorporar informaccedilotildees novas ao
caacutelculo de probabilidade =gt Probabilidade condicional
Cap 4-52
Teacutecnicas de Contagem
Arranjo de k objetos
Queremos selecionar k objetos de um conjunto de n
objetos sem reposiccedilatildeo
Para o 1deg objeto n possibilidades
Para o 2deg objeto n-1 possibilidades
hellip
Para o uacuteltimo (kdeg objeto) n - (k-1) possibilidades
Total de permutaccedilotildees 119951 lowast (119951 minus 120783) lowast ⋯lowast (119951 minus 119948 + 120783)
Ou usando fatorial
Teorema
119899
119899 minus 119896
Cap 4-53
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Qual o total de palavras que podemos
construir com exatamente 4 letras distintas (natildeo precisa
ter significado nem seguir regras ortograacuteficas)
Cap 4-54
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Qual o total de palavras que podemos
construir com exatamente 4 letras distintas (natildeo
precisa ter significado nem seguir regras
ortograacuteficas)
Soluccedilatildeo
Selecionar 4 letras de um total de 26 sem repetir A
ordem eacute importante pois estamos formando
palavras (permutaccedilatildeo)
Total de arranjos de 4 elementos 26252423
Cap 4-55
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Vocecirc tem 10 CDs de muacutesica claacutessica 20
CDs de rock e 15 CDs de forroacute De quantas formas eacute
possiacutevel arranjar os seus CDs tal que os CDs do mesmo
tipo sempre fiquem juntos
Se os CDs forem colocados na prateleira de forma
aleatoacuteria qual eacute a probabilidade de os CDs do mesmo
estilo musical ficarem juntos
Cap 4-56
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Soluccedilatildeo princiacutepio da Contagem + Arranjos
Podemos quebrar o processo em 2 estaacutegios
1) Escolher a ordem dos tipos de Cds 321
2) Escolher a sequecircncia dos Cds para cada tipo
Para Cds de muacutesica claacutessica 10
Para Cds de rock 20
Para Cds de forroacute 15
Total 3102015
Cap 4-57
Teacutecnicas de Contagem
Combinaccedilatildeo de k elementos em n
Queremos contar o nuacutemero de subconjuntos de k elementos a
partir de um conjunto de n elementos sem reposiccedilatildeo
A ordem dos elementos natildeo eacute importante
Dizemos combinaccedilatildeo de n elementos k a k
Ex Formar comitecirc com 3 representantes de turma de um total de
131 alunos
Se todos tem mesmo poder a ordem de escolha natildeo eacute
importante combinaccedilatildeo
Se teremos presidente vice-presidente e secretaacuterio entatildeo a
ordem de escolha eacute importante permutaccedilatildeo
Teorema 119873119888119900119898119887119894119899119886ccedilotilde119890119904 =119899119896=
119899
119899 minus 119896 119896
Cap 4-58
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Qual o nuacutemero de combinaccedilotildees de 2
elementos distintos que podemos construir com as letras
A B C D
Cap 4-59
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Qual o nuacutemero de combinaccedilotildees de 2
elementos das letras A B C D
Soluccedilatildeo
Conferindo
AB AC AD BC BD CD
62)24(
4
2
4
scombinaccedilotildeeN
Cap 4-60
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Um armazeacutem da universidade recebeu 25
impressoras das quais 10 satildeo a laser e 15 a jato de tinta
Se 6 das 25 forem selecionadas aleatoriamente para para
serem verificadas por um teacutecnico qual seraacute a
probabilidade de exatamente 3 delas serem a laser
Cap 4-61
Teacutecnicas de Contagem
Soluccedilatildeo Seja 1198633= 3 das 6 selecionadas satildeo a laser Como a seleccedilatildeo das impressoras
dentre as 25 eacute aleatoacuteria cada uma delas tem a mesma chance de ser sorteada
Probabilidade claacutessica implica 119875 1198633 = 119899(1198633)119899
Como a ordem da seleccedilatildeo das impressoras natildeo importa 119899 =256
Para determinar 1198633 vamos dividir o processo em duas etapas 1) selecionamos 3 das 15
impressoras a tinta e 2) selecionamos 3 das 6 impressoras a laser Para cada elemento da
primeira etapa temos exatamente o mesmo nordm de possibilidades da segunda etapa Pelo
princiacutepio da contagem 119899 1198633 = 1198991 1198633 lowast 1198992 1198633
Como a ordem em que as impressoras satildeo selecionadas em cada etapa natildeo tem
importacircncia 1198991 1198633 =153
e 1198992 1198633 =63
Entatildeo
119875 1198633 =
153
63
256
= 03083
Desafio P(ao menos 3 das 6 selecionadas sejam a laser)
Cap 4-62
Resumo Nesta aula vimos
Como representar um modelo de probabilidade para uma situaccedilatildeo
incerta (experimento aleatoacuterio)
Etapa 1 definiccedilatildeo do espaccedilo amostral
Revisatildeo de conjuntos
Etapa 2 especificaccedilatildeo de uma funccedilatildeo probabilidade que atribui pesos
para a chance relativa de cada resultado do espaccedilo amostral
3 conceitos de probabilidade
Probabilidade claacutessica
Probabilidade Frequentista
Axiomas de Kolmogorov
Revisatildeo de teacutecnicas de contagem para podermos calcular
probabilidades
Na proacutexima aula veremos como incorporar informaccedilotildees novas ao
caacutelculo de probabilidade =gt Probabilidade condicional
Cap 4-53
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Qual o total de palavras que podemos
construir com exatamente 4 letras distintas (natildeo precisa
ter significado nem seguir regras ortograacuteficas)
Cap 4-54
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Qual o total de palavras que podemos
construir com exatamente 4 letras distintas (natildeo
precisa ter significado nem seguir regras
ortograacuteficas)
Soluccedilatildeo
Selecionar 4 letras de um total de 26 sem repetir A
ordem eacute importante pois estamos formando
palavras (permutaccedilatildeo)
Total de arranjos de 4 elementos 26252423
Cap 4-55
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Vocecirc tem 10 CDs de muacutesica claacutessica 20
CDs de rock e 15 CDs de forroacute De quantas formas eacute
possiacutevel arranjar os seus CDs tal que os CDs do mesmo
tipo sempre fiquem juntos
Se os CDs forem colocados na prateleira de forma
aleatoacuteria qual eacute a probabilidade de os CDs do mesmo
estilo musical ficarem juntos
Cap 4-56
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Soluccedilatildeo princiacutepio da Contagem + Arranjos
Podemos quebrar o processo em 2 estaacutegios
1) Escolher a ordem dos tipos de Cds 321
2) Escolher a sequecircncia dos Cds para cada tipo
Para Cds de muacutesica claacutessica 10
Para Cds de rock 20
Para Cds de forroacute 15
Total 3102015
Cap 4-57
Teacutecnicas de Contagem
Combinaccedilatildeo de k elementos em n
Queremos contar o nuacutemero de subconjuntos de k elementos a
partir de um conjunto de n elementos sem reposiccedilatildeo
A ordem dos elementos natildeo eacute importante
Dizemos combinaccedilatildeo de n elementos k a k
Ex Formar comitecirc com 3 representantes de turma de um total de
131 alunos
Se todos tem mesmo poder a ordem de escolha natildeo eacute
importante combinaccedilatildeo
Se teremos presidente vice-presidente e secretaacuterio entatildeo a
ordem de escolha eacute importante permutaccedilatildeo
Teorema 119873119888119900119898119887119894119899119886ccedilotilde119890119904 =119899119896=
119899
119899 minus 119896 119896
Cap 4-58
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Qual o nuacutemero de combinaccedilotildees de 2
elementos distintos que podemos construir com as letras
A B C D
Cap 4-59
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Qual o nuacutemero de combinaccedilotildees de 2
elementos das letras A B C D
Soluccedilatildeo
Conferindo
AB AC AD BC BD CD
62)24(
4
2
4
scombinaccedilotildeeN
Cap 4-60
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Um armazeacutem da universidade recebeu 25
impressoras das quais 10 satildeo a laser e 15 a jato de tinta
Se 6 das 25 forem selecionadas aleatoriamente para para
serem verificadas por um teacutecnico qual seraacute a
probabilidade de exatamente 3 delas serem a laser
Cap 4-61
Teacutecnicas de Contagem
Soluccedilatildeo Seja 1198633= 3 das 6 selecionadas satildeo a laser Como a seleccedilatildeo das impressoras
dentre as 25 eacute aleatoacuteria cada uma delas tem a mesma chance de ser sorteada
Probabilidade claacutessica implica 119875 1198633 = 119899(1198633)119899
Como a ordem da seleccedilatildeo das impressoras natildeo importa 119899 =256
Para determinar 1198633 vamos dividir o processo em duas etapas 1) selecionamos 3 das 15
impressoras a tinta e 2) selecionamos 3 das 6 impressoras a laser Para cada elemento da
primeira etapa temos exatamente o mesmo nordm de possibilidades da segunda etapa Pelo
princiacutepio da contagem 119899 1198633 = 1198991 1198633 lowast 1198992 1198633
Como a ordem em que as impressoras satildeo selecionadas em cada etapa natildeo tem
importacircncia 1198991 1198633 =153
e 1198992 1198633 =63
Entatildeo
119875 1198633 =
153
63
256
= 03083
Desafio P(ao menos 3 das 6 selecionadas sejam a laser)
Cap 4-62
Resumo Nesta aula vimos
Como representar um modelo de probabilidade para uma situaccedilatildeo
incerta (experimento aleatoacuterio)
Etapa 1 definiccedilatildeo do espaccedilo amostral
Revisatildeo de conjuntos
Etapa 2 especificaccedilatildeo de uma funccedilatildeo probabilidade que atribui pesos
para a chance relativa de cada resultado do espaccedilo amostral
3 conceitos de probabilidade
Probabilidade claacutessica
Probabilidade Frequentista
Axiomas de Kolmogorov
Revisatildeo de teacutecnicas de contagem para podermos calcular
probabilidades
Na proacutexima aula veremos como incorporar informaccedilotildees novas ao
caacutelculo de probabilidade =gt Probabilidade condicional
Cap 4-54
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 1 Qual o total de palavras que podemos
construir com exatamente 4 letras distintas (natildeo
precisa ter significado nem seguir regras
ortograacuteficas)
Soluccedilatildeo
Selecionar 4 letras de um total de 26 sem repetir A
ordem eacute importante pois estamos formando
palavras (permutaccedilatildeo)
Total de arranjos de 4 elementos 26252423
Cap 4-55
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Vocecirc tem 10 CDs de muacutesica claacutessica 20
CDs de rock e 15 CDs de forroacute De quantas formas eacute
possiacutevel arranjar os seus CDs tal que os CDs do mesmo
tipo sempre fiquem juntos
Se os CDs forem colocados na prateleira de forma
aleatoacuteria qual eacute a probabilidade de os CDs do mesmo
estilo musical ficarem juntos
Cap 4-56
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Soluccedilatildeo princiacutepio da Contagem + Arranjos
Podemos quebrar o processo em 2 estaacutegios
1) Escolher a ordem dos tipos de Cds 321
2) Escolher a sequecircncia dos Cds para cada tipo
Para Cds de muacutesica claacutessica 10
Para Cds de rock 20
Para Cds de forroacute 15
Total 3102015
Cap 4-57
Teacutecnicas de Contagem
Combinaccedilatildeo de k elementos em n
Queremos contar o nuacutemero de subconjuntos de k elementos a
partir de um conjunto de n elementos sem reposiccedilatildeo
A ordem dos elementos natildeo eacute importante
Dizemos combinaccedilatildeo de n elementos k a k
Ex Formar comitecirc com 3 representantes de turma de um total de
131 alunos
Se todos tem mesmo poder a ordem de escolha natildeo eacute
importante combinaccedilatildeo
Se teremos presidente vice-presidente e secretaacuterio entatildeo a
ordem de escolha eacute importante permutaccedilatildeo
Teorema 119873119888119900119898119887119894119899119886ccedilotilde119890119904 =119899119896=
119899
119899 minus 119896 119896
Cap 4-58
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Qual o nuacutemero de combinaccedilotildees de 2
elementos distintos que podemos construir com as letras
A B C D
Cap 4-59
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Qual o nuacutemero de combinaccedilotildees de 2
elementos das letras A B C D
Soluccedilatildeo
Conferindo
AB AC AD BC BD CD
62)24(
4
2
4
scombinaccedilotildeeN
Cap 4-60
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Um armazeacutem da universidade recebeu 25
impressoras das quais 10 satildeo a laser e 15 a jato de tinta
Se 6 das 25 forem selecionadas aleatoriamente para para
serem verificadas por um teacutecnico qual seraacute a
probabilidade de exatamente 3 delas serem a laser
Cap 4-61
Teacutecnicas de Contagem
Soluccedilatildeo Seja 1198633= 3 das 6 selecionadas satildeo a laser Como a seleccedilatildeo das impressoras
dentre as 25 eacute aleatoacuteria cada uma delas tem a mesma chance de ser sorteada
Probabilidade claacutessica implica 119875 1198633 = 119899(1198633)119899
Como a ordem da seleccedilatildeo das impressoras natildeo importa 119899 =256
Para determinar 1198633 vamos dividir o processo em duas etapas 1) selecionamos 3 das 15
impressoras a tinta e 2) selecionamos 3 das 6 impressoras a laser Para cada elemento da
primeira etapa temos exatamente o mesmo nordm de possibilidades da segunda etapa Pelo
princiacutepio da contagem 119899 1198633 = 1198991 1198633 lowast 1198992 1198633
Como a ordem em que as impressoras satildeo selecionadas em cada etapa natildeo tem
importacircncia 1198991 1198633 =153
e 1198992 1198633 =63
Entatildeo
119875 1198633 =
153
63
256
= 03083
Desafio P(ao menos 3 das 6 selecionadas sejam a laser)
Cap 4-62
Resumo Nesta aula vimos
Como representar um modelo de probabilidade para uma situaccedilatildeo
incerta (experimento aleatoacuterio)
Etapa 1 definiccedilatildeo do espaccedilo amostral
Revisatildeo de conjuntos
Etapa 2 especificaccedilatildeo de uma funccedilatildeo probabilidade que atribui pesos
para a chance relativa de cada resultado do espaccedilo amostral
3 conceitos de probabilidade
Probabilidade claacutessica
Probabilidade Frequentista
Axiomas de Kolmogorov
Revisatildeo de teacutecnicas de contagem para podermos calcular
probabilidades
Na proacutexima aula veremos como incorporar informaccedilotildees novas ao
caacutelculo de probabilidade =gt Probabilidade condicional
Cap 4-55
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Vocecirc tem 10 CDs de muacutesica claacutessica 20
CDs de rock e 15 CDs de forroacute De quantas formas eacute
possiacutevel arranjar os seus CDs tal que os CDs do mesmo
tipo sempre fiquem juntos
Se os CDs forem colocados na prateleira de forma
aleatoacuteria qual eacute a probabilidade de os CDs do mesmo
estilo musical ficarem juntos
Cap 4-56
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Soluccedilatildeo princiacutepio da Contagem + Arranjos
Podemos quebrar o processo em 2 estaacutegios
1) Escolher a ordem dos tipos de Cds 321
2) Escolher a sequecircncia dos Cds para cada tipo
Para Cds de muacutesica claacutessica 10
Para Cds de rock 20
Para Cds de forroacute 15
Total 3102015
Cap 4-57
Teacutecnicas de Contagem
Combinaccedilatildeo de k elementos em n
Queremos contar o nuacutemero de subconjuntos de k elementos a
partir de um conjunto de n elementos sem reposiccedilatildeo
A ordem dos elementos natildeo eacute importante
Dizemos combinaccedilatildeo de n elementos k a k
Ex Formar comitecirc com 3 representantes de turma de um total de
131 alunos
Se todos tem mesmo poder a ordem de escolha natildeo eacute
importante combinaccedilatildeo
Se teremos presidente vice-presidente e secretaacuterio entatildeo a
ordem de escolha eacute importante permutaccedilatildeo
Teorema 119873119888119900119898119887119894119899119886ccedilotilde119890119904 =119899119896=
119899
119899 minus 119896 119896
Cap 4-58
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Qual o nuacutemero de combinaccedilotildees de 2
elementos distintos que podemos construir com as letras
A B C D
Cap 4-59
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Qual o nuacutemero de combinaccedilotildees de 2
elementos das letras A B C D
Soluccedilatildeo
Conferindo
AB AC AD BC BD CD
62)24(
4
2
4
scombinaccedilotildeeN
Cap 4-60
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Um armazeacutem da universidade recebeu 25
impressoras das quais 10 satildeo a laser e 15 a jato de tinta
Se 6 das 25 forem selecionadas aleatoriamente para para
serem verificadas por um teacutecnico qual seraacute a
probabilidade de exatamente 3 delas serem a laser
Cap 4-61
Teacutecnicas de Contagem
Soluccedilatildeo Seja 1198633= 3 das 6 selecionadas satildeo a laser Como a seleccedilatildeo das impressoras
dentre as 25 eacute aleatoacuteria cada uma delas tem a mesma chance de ser sorteada
Probabilidade claacutessica implica 119875 1198633 = 119899(1198633)119899
Como a ordem da seleccedilatildeo das impressoras natildeo importa 119899 =256
Para determinar 1198633 vamos dividir o processo em duas etapas 1) selecionamos 3 das 15
impressoras a tinta e 2) selecionamos 3 das 6 impressoras a laser Para cada elemento da
primeira etapa temos exatamente o mesmo nordm de possibilidades da segunda etapa Pelo
princiacutepio da contagem 119899 1198633 = 1198991 1198633 lowast 1198992 1198633
Como a ordem em que as impressoras satildeo selecionadas em cada etapa natildeo tem
importacircncia 1198991 1198633 =153
e 1198992 1198633 =63
Entatildeo
119875 1198633 =
153
63
256
= 03083
Desafio P(ao menos 3 das 6 selecionadas sejam a laser)
Cap 4-62
Resumo Nesta aula vimos
Como representar um modelo de probabilidade para uma situaccedilatildeo
incerta (experimento aleatoacuterio)
Etapa 1 definiccedilatildeo do espaccedilo amostral
Revisatildeo de conjuntos
Etapa 2 especificaccedilatildeo de uma funccedilatildeo probabilidade que atribui pesos
para a chance relativa de cada resultado do espaccedilo amostral
3 conceitos de probabilidade
Probabilidade claacutessica
Probabilidade Frequentista
Axiomas de Kolmogorov
Revisatildeo de teacutecnicas de contagem para podermos calcular
probabilidades
Na proacutexima aula veremos como incorporar informaccedilotildees novas ao
caacutelculo de probabilidade =gt Probabilidade condicional
Cap 4-56
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio 2 Soluccedilatildeo princiacutepio da Contagem + Arranjos
Podemos quebrar o processo em 2 estaacutegios
1) Escolher a ordem dos tipos de Cds 321
2) Escolher a sequecircncia dos Cds para cada tipo
Para Cds de muacutesica claacutessica 10
Para Cds de rock 20
Para Cds de forroacute 15
Total 3102015
Cap 4-57
Teacutecnicas de Contagem
Combinaccedilatildeo de k elementos em n
Queremos contar o nuacutemero de subconjuntos de k elementos a
partir de um conjunto de n elementos sem reposiccedilatildeo
A ordem dos elementos natildeo eacute importante
Dizemos combinaccedilatildeo de n elementos k a k
Ex Formar comitecirc com 3 representantes de turma de um total de
131 alunos
Se todos tem mesmo poder a ordem de escolha natildeo eacute
importante combinaccedilatildeo
Se teremos presidente vice-presidente e secretaacuterio entatildeo a
ordem de escolha eacute importante permutaccedilatildeo
Teorema 119873119888119900119898119887119894119899119886ccedilotilde119890119904 =119899119896=
119899
119899 minus 119896 119896
Cap 4-58
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Qual o nuacutemero de combinaccedilotildees de 2
elementos distintos que podemos construir com as letras
A B C D
Cap 4-59
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Qual o nuacutemero de combinaccedilotildees de 2
elementos das letras A B C D
Soluccedilatildeo
Conferindo
AB AC AD BC BD CD
62)24(
4
2
4
scombinaccedilotildeeN
Cap 4-60
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Um armazeacutem da universidade recebeu 25
impressoras das quais 10 satildeo a laser e 15 a jato de tinta
Se 6 das 25 forem selecionadas aleatoriamente para para
serem verificadas por um teacutecnico qual seraacute a
probabilidade de exatamente 3 delas serem a laser
Cap 4-61
Teacutecnicas de Contagem
Soluccedilatildeo Seja 1198633= 3 das 6 selecionadas satildeo a laser Como a seleccedilatildeo das impressoras
dentre as 25 eacute aleatoacuteria cada uma delas tem a mesma chance de ser sorteada
Probabilidade claacutessica implica 119875 1198633 = 119899(1198633)119899
Como a ordem da seleccedilatildeo das impressoras natildeo importa 119899 =256
Para determinar 1198633 vamos dividir o processo em duas etapas 1) selecionamos 3 das 15
impressoras a tinta e 2) selecionamos 3 das 6 impressoras a laser Para cada elemento da
primeira etapa temos exatamente o mesmo nordm de possibilidades da segunda etapa Pelo
princiacutepio da contagem 119899 1198633 = 1198991 1198633 lowast 1198992 1198633
Como a ordem em que as impressoras satildeo selecionadas em cada etapa natildeo tem
importacircncia 1198991 1198633 =153
e 1198992 1198633 =63
Entatildeo
119875 1198633 =
153
63
256
= 03083
Desafio P(ao menos 3 das 6 selecionadas sejam a laser)
Cap 4-62
Resumo Nesta aula vimos
Como representar um modelo de probabilidade para uma situaccedilatildeo
incerta (experimento aleatoacuterio)
Etapa 1 definiccedilatildeo do espaccedilo amostral
Revisatildeo de conjuntos
Etapa 2 especificaccedilatildeo de uma funccedilatildeo probabilidade que atribui pesos
para a chance relativa de cada resultado do espaccedilo amostral
3 conceitos de probabilidade
Probabilidade claacutessica
Probabilidade Frequentista
Axiomas de Kolmogorov
Revisatildeo de teacutecnicas de contagem para podermos calcular
probabilidades
Na proacutexima aula veremos como incorporar informaccedilotildees novas ao
caacutelculo de probabilidade =gt Probabilidade condicional
Cap 4-57
Teacutecnicas de Contagem
Combinaccedilatildeo de k elementos em n
Queremos contar o nuacutemero de subconjuntos de k elementos a
partir de um conjunto de n elementos sem reposiccedilatildeo
A ordem dos elementos natildeo eacute importante
Dizemos combinaccedilatildeo de n elementos k a k
Ex Formar comitecirc com 3 representantes de turma de um total de
131 alunos
Se todos tem mesmo poder a ordem de escolha natildeo eacute
importante combinaccedilatildeo
Se teremos presidente vice-presidente e secretaacuterio entatildeo a
ordem de escolha eacute importante permutaccedilatildeo
Teorema 119873119888119900119898119887119894119899119886ccedilotilde119890119904 =119899119896=
119899
119899 minus 119896 119896
Cap 4-58
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Qual o nuacutemero de combinaccedilotildees de 2
elementos distintos que podemos construir com as letras
A B C D
Cap 4-59
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Qual o nuacutemero de combinaccedilotildees de 2
elementos das letras A B C D
Soluccedilatildeo
Conferindo
AB AC AD BC BD CD
62)24(
4
2
4
scombinaccedilotildeeN
Cap 4-60
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Um armazeacutem da universidade recebeu 25
impressoras das quais 10 satildeo a laser e 15 a jato de tinta
Se 6 das 25 forem selecionadas aleatoriamente para para
serem verificadas por um teacutecnico qual seraacute a
probabilidade de exatamente 3 delas serem a laser
Cap 4-61
Teacutecnicas de Contagem
Soluccedilatildeo Seja 1198633= 3 das 6 selecionadas satildeo a laser Como a seleccedilatildeo das impressoras
dentre as 25 eacute aleatoacuteria cada uma delas tem a mesma chance de ser sorteada
Probabilidade claacutessica implica 119875 1198633 = 119899(1198633)119899
Como a ordem da seleccedilatildeo das impressoras natildeo importa 119899 =256
Para determinar 1198633 vamos dividir o processo em duas etapas 1) selecionamos 3 das 15
impressoras a tinta e 2) selecionamos 3 das 6 impressoras a laser Para cada elemento da
primeira etapa temos exatamente o mesmo nordm de possibilidades da segunda etapa Pelo
princiacutepio da contagem 119899 1198633 = 1198991 1198633 lowast 1198992 1198633
Como a ordem em que as impressoras satildeo selecionadas em cada etapa natildeo tem
importacircncia 1198991 1198633 =153
e 1198992 1198633 =63
Entatildeo
119875 1198633 =
153
63
256
= 03083
Desafio P(ao menos 3 das 6 selecionadas sejam a laser)
Cap 4-62
Resumo Nesta aula vimos
Como representar um modelo de probabilidade para uma situaccedilatildeo
incerta (experimento aleatoacuterio)
Etapa 1 definiccedilatildeo do espaccedilo amostral
Revisatildeo de conjuntos
Etapa 2 especificaccedilatildeo de uma funccedilatildeo probabilidade que atribui pesos
para a chance relativa de cada resultado do espaccedilo amostral
3 conceitos de probabilidade
Probabilidade claacutessica
Probabilidade Frequentista
Axiomas de Kolmogorov
Revisatildeo de teacutecnicas de contagem para podermos calcular
probabilidades
Na proacutexima aula veremos como incorporar informaccedilotildees novas ao
caacutelculo de probabilidade =gt Probabilidade condicional
Cap 4-58
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Qual o nuacutemero de combinaccedilotildees de 2
elementos distintos que podemos construir com as letras
A B C D
Cap 4-59
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Qual o nuacutemero de combinaccedilotildees de 2
elementos das letras A B C D
Soluccedilatildeo
Conferindo
AB AC AD BC BD CD
62)24(
4
2
4
scombinaccedilotildeeN
Cap 4-60
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Um armazeacutem da universidade recebeu 25
impressoras das quais 10 satildeo a laser e 15 a jato de tinta
Se 6 das 25 forem selecionadas aleatoriamente para para
serem verificadas por um teacutecnico qual seraacute a
probabilidade de exatamente 3 delas serem a laser
Cap 4-61
Teacutecnicas de Contagem
Soluccedilatildeo Seja 1198633= 3 das 6 selecionadas satildeo a laser Como a seleccedilatildeo das impressoras
dentre as 25 eacute aleatoacuteria cada uma delas tem a mesma chance de ser sorteada
Probabilidade claacutessica implica 119875 1198633 = 119899(1198633)119899
Como a ordem da seleccedilatildeo das impressoras natildeo importa 119899 =256
Para determinar 1198633 vamos dividir o processo em duas etapas 1) selecionamos 3 das 15
impressoras a tinta e 2) selecionamos 3 das 6 impressoras a laser Para cada elemento da
primeira etapa temos exatamente o mesmo nordm de possibilidades da segunda etapa Pelo
princiacutepio da contagem 119899 1198633 = 1198991 1198633 lowast 1198992 1198633
Como a ordem em que as impressoras satildeo selecionadas em cada etapa natildeo tem
importacircncia 1198991 1198633 =153
e 1198992 1198633 =63
Entatildeo
119875 1198633 =
153
63
256
= 03083
Desafio P(ao menos 3 das 6 selecionadas sejam a laser)
Cap 4-62
Resumo Nesta aula vimos
Como representar um modelo de probabilidade para uma situaccedilatildeo
incerta (experimento aleatoacuterio)
Etapa 1 definiccedilatildeo do espaccedilo amostral
Revisatildeo de conjuntos
Etapa 2 especificaccedilatildeo de uma funccedilatildeo probabilidade que atribui pesos
para a chance relativa de cada resultado do espaccedilo amostral
3 conceitos de probabilidade
Probabilidade claacutessica
Probabilidade Frequentista
Axiomas de Kolmogorov
Revisatildeo de teacutecnicas de contagem para podermos calcular
probabilidades
Na proacutexima aula veremos como incorporar informaccedilotildees novas ao
caacutelculo de probabilidade =gt Probabilidade condicional
Cap 4-59
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Qual o nuacutemero de combinaccedilotildees de 2
elementos das letras A B C D
Soluccedilatildeo
Conferindo
AB AC AD BC BD CD
62)24(
4
2
4
scombinaccedilotildeeN
Cap 4-60
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Um armazeacutem da universidade recebeu 25
impressoras das quais 10 satildeo a laser e 15 a jato de tinta
Se 6 das 25 forem selecionadas aleatoriamente para para
serem verificadas por um teacutecnico qual seraacute a
probabilidade de exatamente 3 delas serem a laser
Cap 4-61
Teacutecnicas de Contagem
Soluccedilatildeo Seja 1198633= 3 das 6 selecionadas satildeo a laser Como a seleccedilatildeo das impressoras
dentre as 25 eacute aleatoacuteria cada uma delas tem a mesma chance de ser sorteada
Probabilidade claacutessica implica 119875 1198633 = 119899(1198633)119899
Como a ordem da seleccedilatildeo das impressoras natildeo importa 119899 =256
Para determinar 1198633 vamos dividir o processo em duas etapas 1) selecionamos 3 das 15
impressoras a tinta e 2) selecionamos 3 das 6 impressoras a laser Para cada elemento da
primeira etapa temos exatamente o mesmo nordm de possibilidades da segunda etapa Pelo
princiacutepio da contagem 119899 1198633 = 1198991 1198633 lowast 1198992 1198633
Como a ordem em que as impressoras satildeo selecionadas em cada etapa natildeo tem
importacircncia 1198991 1198633 =153
e 1198992 1198633 =63
Entatildeo
119875 1198633 =
153
63
256
= 03083
Desafio P(ao menos 3 das 6 selecionadas sejam a laser)
Cap 4-62
Resumo Nesta aula vimos
Como representar um modelo de probabilidade para uma situaccedilatildeo
incerta (experimento aleatoacuterio)
Etapa 1 definiccedilatildeo do espaccedilo amostral
Revisatildeo de conjuntos
Etapa 2 especificaccedilatildeo de uma funccedilatildeo probabilidade que atribui pesos
para a chance relativa de cada resultado do espaccedilo amostral
3 conceitos de probabilidade
Probabilidade claacutessica
Probabilidade Frequentista
Axiomas de Kolmogorov
Revisatildeo de teacutecnicas de contagem para podermos calcular
probabilidades
Na proacutexima aula veremos como incorporar informaccedilotildees novas ao
caacutelculo de probabilidade =gt Probabilidade condicional
Cap 4-60
Teacutecnicas de Contagem
Exerciacutecio Um armazeacutem da universidade recebeu 25
impressoras das quais 10 satildeo a laser e 15 a jato de tinta
Se 6 das 25 forem selecionadas aleatoriamente para para
serem verificadas por um teacutecnico qual seraacute a
probabilidade de exatamente 3 delas serem a laser
Cap 4-61
Teacutecnicas de Contagem
Soluccedilatildeo Seja 1198633= 3 das 6 selecionadas satildeo a laser Como a seleccedilatildeo das impressoras
dentre as 25 eacute aleatoacuteria cada uma delas tem a mesma chance de ser sorteada
Probabilidade claacutessica implica 119875 1198633 = 119899(1198633)119899
Como a ordem da seleccedilatildeo das impressoras natildeo importa 119899 =256
Para determinar 1198633 vamos dividir o processo em duas etapas 1) selecionamos 3 das 15
impressoras a tinta e 2) selecionamos 3 das 6 impressoras a laser Para cada elemento da
primeira etapa temos exatamente o mesmo nordm de possibilidades da segunda etapa Pelo
princiacutepio da contagem 119899 1198633 = 1198991 1198633 lowast 1198992 1198633
Como a ordem em que as impressoras satildeo selecionadas em cada etapa natildeo tem
importacircncia 1198991 1198633 =153
e 1198992 1198633 =63
Entatildeo
119875 1198633 =
153
63
256
= 03083
Desafio P(ao menos 3 das 6 selecionadas sejam a laser)
Cap 4-62
Resumo Nesta aula vimos
Como representar um modelo de probabilidade para uma situaccedilatildeo
incerta (experimento aleatoacuterio)
Etapa 1 definiccedilatildeo do espaccedilo amostral
Revisatildeo de conjuntos
Etapa 2 especificaccedilatildeo de uma funccedilatildeo probabilidade que atribui pesos
para a chance relativa de cada resultado do espaccedilo amostral
3 conceitos de probabilidade
Probabilidade claacutessica
Probabilidade Frequentista
Axiomas de Kolmogorov
Revisatildeo de teacutecnicas de contagem para podermos calcular
probabilidades
Na proacutexima aula veremos como incorporar informaccedilotildees novas ao
caacutelculo de probabilidade =gt Probabilidade condicional
Cap 4-61
Teacutecnicas de Contagem
Soluccedilatildeo Seja 1198633= 3 das 6 selecionadas satildeo a laser Como a seleccedilatildeo das impressoras
dentre as 25 eacute aleatoacuteria cada uma delas tem a mesma chance de ser sorteada
Probabilidade claacutessica implica 119875 1198633 = 119899(1198633)119899
Como a ordem da seleccedilatildeo das impressoras natildeo importa 119899 =256
Para determinar 1198633 vamos dividir o processo em duas etapas 1) selecionamos 3 das 15
impressoras a tinta e 2) selecionamos 3 das 6 impressoras a laser Para cada elemento da
primeira etapa temos exatamente o mesmo nordm de possibilidades da segunda etapa Pelo
princiacutepio da contagem 119899 1198633 = 1198991 1198633 lowast 1198992 1198633
Como a ordem em que as impressoras satildeo selecionadas em cada etapa natildeo tem
importacircncia 1198991 1198633 =153
e 1198992 1198633 =63
Entatildeo
119875 1198633 =
153
63
256
= 03083
Desafio P(ao menos 3 das 6 selecionadas sejam a laser)
Cap 4-62
Resumo Nesta aula vimos
Como representar um modelo de probabilidade para uma situaccedilatildeo
incerta (experimento aleatoacuterio)
Etapa 1 definiccedilatildeo do espaccedilo amostral
Revisatildeo de conjuntos
Etapa 2 especificaccedilatildeo de uma funccedilatildeo probabilidade que atribui pesos
para a chance relativa de cada resultado do espaccedilo amostral
3 conceitos de probabilidade
Probabilidade claacutessica
Probabilidade Frequentista
Axiomas de Kolmogorov
Revisatildeo de teacutecnicas de contagem para podermos calcular
probabilidades
Na proacutexima aula veremos como incorporar informaccedilotildees novas ao
caacutelculo de probabilidade =gt Probabilidade condicional
Cap 4-62
Resumo Nesta aula vimos
Como representar um modelo de probabilidade para uma situaccedilatildeo
incerta (experimento aleatoacuterio)
Etapa 1 definiccedilatildeo do espaccedilo amostral
Revisatildeo de conjuntos
Etapa 2 especificaccedilatildeo de uma funccedilatildeo probabilidade que atribui pesos
para a chance relativa de cada resultado do espaccedilo amostral
3 conceitos de probabilidade
Probabilidade claacutessica
Probabilidade Frequentista
Axiomas de Kolmogorov
Revisatildeo de teacutecnicas de contagem para podermos calcular
probabilidades
Na proacutexima aula veremos como incorporar informaccedilotildees novas ao
caacutelculo de probabilidade =gt Probabilidade condicional