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Probabilidade e Estatística em Hearthstone
Parte 2
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Hearthstone
● Collectible Card Game (CCG)
● Desenvolvido pela Blizzard
● Lançado em 03/2014● Disponível (“grátis”)
para Windows, OS X, iOS, Android
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Hearthstone
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Modo Ranqueado
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Modo Ranqueado
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Modo Ranqueado
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Modo Ranqueado
● Vitória +● Derrota -
– Exceções● Ranques 50 a 20 (new player)● Ranques 15, 10, 5
● Win streak– +2 vitórias seguidas– +– Até rank 5
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Problema
● De quantos jogos preciso para chegar a Legend?
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Problema
Simulaçãohttps://www.primedope.com/number-of-games-to-reach-legend-in-hearthstone/
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Problema
● Quantas estrelas eu ganho em 1 partida?
● S := número de estrelas ganhas
● Valor esperado
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Problema
● Quantas estrelas eu ganho em 1 partida?
● S := número de estrelas ganhas
● Valor esperado
E [s∣p]=1⋅p+(−1)⋅(1−p)
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Problema
● Quantas estrelas vou ganhar em N partidas?
● s := número de estrelas ganhas
● Valor esperado
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Problema
● Quantas estrelas vou ganhar em N partidas?
● s := número de estrelas ganhas
● Valor esperado
E[s∣p ,N ]=N⋅E [s∣p ,1]
=N⋅[ p−(1−p)]
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Problema
● Do ranque 5 a Legend: 26 estrelas
● E[s | p=1, N=26]
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Problema
● Do ranque 5 a Legend: 26 estrelas
● E[s | p=1, N=26] = 26
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Problema
● Do ranque 5 a Legend: 26 estrelas
● E[s | p=0,75, N=26]
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Problema
● Do ranque 5 a Legend: 26 estrelas
● E[s | p=0,75, N=26] = 13
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Problema
● Do ranque 5 a Legend: 26 estrelas
● E[s | p=0,70, N=26]
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Problema
● Do ranque 5 a Legend: 26 estrelas
● E[s | p=0,70, N=26] = 10,4
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Problema
● Do ranque 5 a Legend: 26 estrelas
● E[s | p=0,70, N=?] = 26
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Problema
● Do ranque 5 a Legend: 26 estrelas
● E[s | p=0,70, N=65] = 26
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Problema
Simulaçãohttps://www.primedope.com/number-of-games-to-reach-legend-in-hearthstone/
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Modo Ranqueado
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Modo Ranqueado
● Vitória +● Derrota -
– Exceções● Ranques 50 a 20 (new player)● Ranques 15, 10, 5
● Win streak– +2 vitórias seguidas– +– Até rank 5
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Modo RanqueadoRanque 5 Legend
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Modo RanqueadoRanque 5 Legend
● P[s = 26 | p=0,7, N=26]
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Modo RanqueadoRanque 5 Legend
● P[s = 26 | p=0,7, N=26]
= p26=9,39⋅10−5
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Modo RanqueadoRanque 5 Legend
● P[s = 0 | p=0,7, N=26]
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Modo RanqueadoRanque 5 Legend
● P[s = 0 | p=0,7, N=26]
=(1−p)26=2,54⋅10−14
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Modo RanqueadoRanque 5 Legend
● P[s = 0 | p=0,7, N=26]
=(1−p)26=2,54⋅10−14
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Modo RanqueadoRanque 5 Legend
● P[s = 0 | p=0,7, N=1]
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Modo RanqueadoRanque 5 Legend
● P[s = 0 | p=0,7, N=1]
=(1−p)=0,3
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Modo RanqueadoRanque 5 Legend
● P[s = 1 | p=0,7, N=1]
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Modo RanqueadoRanque 5 Legend
● P[s = 1 | p=0,7, N=1]
= p=0,7
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Modo RanqueadoRanque 5 Legend
● P[s = 1 | p=0,7, N=2]
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Modo RanqueadoRanque 5 Legend
● P[s = 1 | p=0,7, N=2]
= p⋅(1−p)=0,21
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Modo RanqueadoRanque 5 Legend
● P[s = 1 | p=0,7, N=3]
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Modo RanqueadoRanque 5 Legend
● P[s = 1 | p=0,7, N=3]
= p⋅(1−p)2+2⋅p2⋅(1−p)=0,357
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Modo RanqueadoRanque 5 Legend
● P[s = 1 | p=0,7, N=4]
![Page 40: Probabilidade e Estatística em Hearthstone Parte 2classes/est-prob-2019/slides/...Probabilidade e Estatística em Hearthstone Parte 2. Hearthstone Collectible Card Game (CCG) Desenvolvido](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042621/5f58a4dded255332c340f13a/html5/thumbnails/40.jpg)
Modo RanqueadoRanque 5 Legend
● P[s = 1 | p=0,7, N=4]
= P[s=0∣p=0,7,N=3]⋅p+ P[s=2∣p=0,7,N=3 ]⋅(1−p)
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Modo RanqueadoRanque 5 Legend
s=0 s=1 s=2 s=3 ... s=24 s=25 s=26
s=0 1-p p 0 0 0 0 0
s=1 1-p 0 p 0 0 0 0
s=2 0 1-p 0 p 0 0 0
s=3 0 0 1-p 0 0 0 0
...
s=24 0 0 0 0 0 p 0
s=25 0 0 0 0 1-p 0 p
s=26 0 0 0 0 0 0 1
N=1
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Modo RanqueadoRanque 5 Legend
s=0 s=1 s=2 s=3 ... s=24 s=25 s=26
s=0 1-p p 0 0 0 0 0
s=1 1-p 0 p 0 0 0 0
s=2 0 1-p 0 p 0 0 0
s=3 0 0 1-p 0 0 0 0
...
s=24 0 0 0 0 0 p 0
s=25 0 0 0 0 1-p 0 p
s=26 0 0 0 0 0 0 1
N=2
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Modo RanqueadoRanque 5 Legend
s=0 s=1 s=2 s=3 ... s=24 s=25 s=26
s=0 1-p p 0 0 0 0 0
s=1 1-p 0 p 0 0 0 0
s=2 0 1-p 0 p 0 0 0
s=3 0 0 1-p 0 0 0 0
...
s=24 0 0 0 0 0 p 0
s=25 0 0 0 0 1-p 0 p
s=26 0 0 0 0 0 0 1
N=2
X
s=0
(1-p)
p
0
0
...
0
0
0
T
=
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Modo RanqueadoRanque 5 Legend
s=0 s=1 s=2 s=3 ... s=24 s=25 s=26
s=0 1-p p 0 0 0 0 0
s=1 1-p 0 p 0 0 0 0
s=2 0 1-p 0 p 0 0 0
s=3 0 0 1-p 0 0 0 0
...
s=24 0 0 0 0 0 p 0
s=25 0 0 0 0 1-p 0 p
s=26 0 0 0 0 0 0 1
N=2
X
s=0
(1-p)² + (1-p)p
(1-p)p
p²
0
…
0
0
0
s=0
(1-p)
p
0
0
...
0
0
0
T
=
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Modo RanqueadoRanque 5 Legend
s=0 s=1 s=2 s=3 ... s=24 s=25 s=26
s=0 1-p p 0 0 0 0 0
s=1 1-p 0 p 0 0 0 0
s=2 0 1-p 0 p 0 0 0
s=3 0 0 1-p 0 0 0 0
...
s=24 0 0 0 0 0 p 0
s=25 0 0 0 0 1-p 0 p
s=26 0 0 0 0 0 0 1
N=3
X
s=0
(1-p)² + (1-p)p
(1-p)p
p²
0
…
0
0
0
s=0
(1-p)
p
0
0
...
0
0
0
T
=
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Modo RanqueadoRanque 5 Legend
s=0 s=1 s=2 s=3 ... s=24 s=25 s=26
s=0 1-p p 0 0 0 0 0
s=1 1-p 0 p 0 0 0 0
s=2 0 1-p 0 p 0 0 0
s=3 0 0 1-p 0 0 0 0
...
s=24 0 0 0 0 0 p 0
s=25 0 0 0 0 1-p 0 p
s=26 0 0 0 0 0 0 1
N=3
X
s=0
(1-p)² + (1-p)p
(1-p)p
p²
0
...
0
0
0
T
=
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Modo Ranqueado
Resultados NuméricosJupyter
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“Finding Opponent”
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“Finding Opponent”
● Quanto tempo um jogador precisa esperar até encontrar um oponente?
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“Finding Opponent”
● Quanto tempo um jogador precisa esperar até encontrar um oponente?
● Parâmetros● Taxa de chegada λ jogadores / s
![Page 51: Probabilidade e Estatística em Hearthstone Parte 2classes/est-prob-2019/slides/...Probabilidade e Estatística em Hearthstone Parte 2. Hearthstone Collectible Card Game (CCG) Desenvolvido](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042621/5f58a4dded255332c340f13a/html5/thumbnails/51.jpg)
“Finding Opponent”
● Parâmetros– Taxa de chegada λ jogadores / s
● Qual a probabilidade de chegarem k jogadores em t segundos?
![Page 52: Probabilidade e Estatística em Hearthstone Parte 2classes/est-prob-2019/slides/...Probabilidade e Estatística em Hearthstone Parte 2. Hearthstone Collectible Card Game (CCG) Desenvolvido](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042621/5f58a4dded255332c340f13a/html5/thumbnails/52.jpg)
“Finding Opponent”
● Parâmetros– Taxa de chegada λ jogadores / s
● Qual a probabilidade de chegarem k jogadores em t segundos?
P [X=k ]=(λ t )k
k !⋅e−λ t
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“Finding Opponent”
● Parâmetros– Taxa de chegada λ jogadores / s
● Qual a probabilidade de esperar até 1 minuto?
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“Finding Opponent”
● Parâmetros– Taxa de chegada λ jogadores / s
● Qual a probabilidade de esperar até 1 minuto?– Prob. de haver 0 chegadas em 1 minuto
![Page 55: Probabilidade e Estatística em Hearthstone Parte 2classes/est-prob-2019/slides/...Probabilidade e Estatística em Hearthstone Parte 2. Hearthstone Collectible Card Game (CCG) Desenvolvido](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042621/5f58a4dded255332c340f13a/html5/thumbnails/55.jpg)
“Finding Opponent”
● Parâmetros– Taxa de chegada λ jogadores / s
● Qual a probabilidade de esperar até 1 minuto?– Prob. de haver 0 chegadas em 1 minuto
P [X=0 ]=(λ⋅60)
0
0 !⋅e−λ⋅60
=e−λ⋅60
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“Finding Opponent”
● Parâmetros– Taxa de chegada λ jogadores / s
● Qual a probabilidade de esperar até 1 minuto?– Prob. de haver pelo menos 1 chegada em 1 minuto
![Page 57: Probabilidade e Estatística em Hearthstone Parte 2classes/est-prob-2019/slides/...Probabilidade e Estatística em Hearthstone Parte 2. Hearthstone Collectible Card Game (CCG) Desenvolvido](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042621/5f58a4dded255332c340f13a/html5/thumbnails/57.jpg)
“Finding Opponent”
● Parâmetros– Taxa de chegada λ jogadores / s
● Qual a probabilidade de esperar até 1 minuto?– Prob. de haver pelo menos 1 chegada em 1 minuto
P [X>0]=1−P [X=0]=1−e−λ⋅60
![Page 58: Probabilidade e Estatística em Hearthstone Parte 2classes/est-prob-2019/slides/...Probabilidade e Estatística em Hearthstone Parte 2. Hearthstone Collectible Card Game (CCG) Desenvolvido](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042621/5f58a4dded255332c340f13a/html5/thumbnails/58.jpg)
“Finding Opponent”
● Parâmetros– Taxa de chegada λ jogadores / s
● Qual a probabilidade de esperar até 1 minuto?– Prob. de haver pelo menos 1 chegada em 1 minuto
P [X>0]=1−P [X=0]=1−e−λ⋅60
Distribuição exponencial!
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“Finding Opponent”
● Parâmetros– Taxa de chegada λ jogadores / segundo– Uma partida termina em média a cada T segundos
● Qual a probabilidade de esperar até 1 minuto?
![Page 60: Probabilidade e Estatística em Hearthstone Parte 2classes/est-prob-2019/slides/...Probabilidade e Estatística em Hearthstone Parte 2. Hearthstone Collectible Card Game (CCG) Desenvolvido](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042621/5f58a4dded255332c340f13a/html5/thumbnails/60.jpg)
“Finding Opponent”
● Parâmetros– Taxa de chegada λ jogadores / segundo– Uma partida termina em média a cada T segundos
● Qual a probabilidade de esperar até 1 minuto?– Tempo até chegada Y– Tempo até término de partida Z– Tempo de espera W
![Page 61: Probabilidade e Estatística em Hearthstone Parte 2classes/est-prob-2019/slides/...Probabilidade e Estatística em Hearthstone Parte 2. Hearthstone Collectible Card Game (CCG) Desenvolvido](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042621/5f58a4dded255332c340f13a/html5/thumbnails/61.jpg)
“Finding Opponent”
● Parâmetros– Taxa de chegada λ jogadores / segundo– Uma partida termina em média a cada T segundos
● Qual a probabilidade de esperar até 1 minuto?– Tempo até chegada Y– Tempo até término de partida Z– Tempo de espera W
P [W≤60]=P [(Y≤60)∪(Z≤60)]
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“Finding Opponent”
● Parâmetros
– Taxa de chegada λ jogadores / segundo
– Uma partida termina em média a cada T segundos
● Qual a probabilidade de esperar até 1 minuto?
– Tempo até chegada Y
– Tempo até término de partida Z
– Tempo de espera W
P [W≤60]=1−P [W >60]
=1−P [(Y >60)∩(Z>60)]
=1−P [Y >60]⋅P [Z>60]
=1−e−λ⋅60⋅e−(1/T )⋅60
=1−e−60⋅(λ+T−1)
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“Finding Opponent”
● Parâmetros
– Taxa de chegada λ jogadores / segundo
– Uma partida termina em média a cada T segundos
● Qual a probabilidade de esperar até 1 minuto?
– Tempo até chegada Y
– Tempo até término de partida Z
– Tempo de espera W
P [W≤60]=1−P [W >60]
=1−P [(Y >60)∩(Z>60)]
=1−P [Y >60]⋅P [Z>60]
=1−e−λ⋅60⋅e−(1/T )⋅60
=1−e−60⋅(λ+T−1)
Distribuição exponencial!