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Probabilités
Table des matières
1 Mots clés - Notations - Formules 31.1 Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Formules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 q.c.m préliminaire 62.1 énoncé 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 énoncé 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3 réponses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.4 petite évaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3 loi des grands nombres 153.1 activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2 à retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4 probabilité 184.1 activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.2 corrigé activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.3 à retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.4 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.5 corrigés exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5 probabilités et opérations sur les événements 325.1 activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5.1.1 activité 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.1.2 activité 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.1.3 activité 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.1.4 activité 4 : tables de vérité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.2 corrigé activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.2.1 corrigé activité 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.2.2 corrigé activité 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.2.3 corrigé activité 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.3 à retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.4 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.5 corrigés exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
6 probabilités et expériences aléatoires composées 436.1 activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
6.1.1 activité 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
6.1.2 activité 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
6.1.3 activité 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
6.1.4 activité 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
6.2 corrigé activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
6.3 à retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
6.4 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
6.5 corrigés exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
1
7 exercices 50
8 devoir maison 578.1 corrigé devoir maison 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
8.2 corrigé devoir maison 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
9 évaluations 609.1 évaluation 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
9.2 corrigé évaluation 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
10 révision 70
1 Mots clés - Notations - Formules
1.1 Vocabulaire
Il faut connaître la signification des mots ou expressions suivantes :
1. une expérience aléatoire
2. l’univers d’une expérience aléatoire
3. les issues d’une expérience aléatoire
4. les événements élémentaires d’une expérience aléatoire
5. les événements éventualités d’une expérience aléatoire
6. probabilité d’un événement élémentaire
7. probabilité d’un événement quelconque
8. cas de l’équiprobabilité
9. événement favorable
10. sous ensemble d’un ensemble
11. sous ensemble inclu dans un ensemble
12. événement contraire d’un événement
13. intersection d’événements
14. ensembles disjoints
15. événement incompatibles
16. événement impossible
17. événement certain
18. réunion d’événements
19. expérience aléatoire composée
20. arbre de dénombrement
1.2 Notations
Il faut connaître la signification des notations mathématiques suivantes :
1. p
2. p(A)
3. p(xi)
4. U
5. Ω
6. xi ∈ Ω
7. A ⊂ Ω
8. A ∪B
9. A ∩B
10. A
11. ∅
1.3 Formules
Il faut connaître par coeur les résultats suivants :
1. U = x1;x2; ...;xnUne probabilité p définie sur U est une fonction de U vers [0; 1]qui à chaque xi associe un nombre p(xi) compris entre 0 et 1 et telle que :
p(x1) + p(x2) + ...+ p(xn) = 1 (la somme des probabilités des issues vaut 1)
2. Soit un l’univers U = x1;x2; ...;xn sur lequel est défini une probabilité p
Soit A une partie de U
• Si A 6= ∅ est constituée des issues xi1 ; ...;xik (A = xi1 ; ...;xik)
alors la probabilité de A est le nombre noté p(A) avec :
p(A) = p(xi1) + ...+ p(xik)
(p(A) est la somme des issues qui constituent A)
• Si
A = ∅ alors
p(A) = 0 on dit que A est un événement "impossible"
• si
p(A) = 1 on dit que A est un événement "certain"
3. Soit l’univers U = x1;x2; ...;xn constitué de n > 0 issues et p une probabilité
(1) Si
p(x1) = p(x2) = ... = p(xn) =
1
nalors on dit qu’il y a "équiprobabilité"
(toutes les éventualités ont la même probabilité)
(2) Soit A une partie de U constituée des k événements élémentaires xi1 ; ...;xik
S’il y a équiprobabilité alors
p(A) =
k
nou encore
p(A) =
nombre de cas favorables pour A
nombre de cas au total
4. Soit un univers U = x1; x2; ...; xnSoient A ⊂ U un sous ensemble de U
Soient B ⊂ U un sous ensemble de U
(1) pour
A le contraire de A on a :
p(A) = 1− p(A)
(2) pour
A ∪B la réunion de A et B on a :
p(A ∪B) = p(A) + p(B)− p(A ∩B)
(3) si
A ∩B = ∅ (A et B incompatibles) on a :
p(A ∪B) = p(A) + p(B)
2 q.c.m préliminaire
2.1 énoncé 1
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2.2 énoncé 2
Questionnaire de probabilités
1. On joue à "pile ou face" avec une pièce de monnaie équilibréeQuelle est la probabilité de faire "Pile" ?
2. On lance un dé usuel équilibré à 6 faces numérotées de 1 à 6Quelle est la probabilité de faire 1 point ?
3. On dispose d’un dé non équilibré pour lequel on a les informations suivantesrésultat 1 2 3 4 5 6 total
probabilité 0, 1 0, 05 0, 2 0, 03 0, 02 0, 6 1On lance ce dé, quelle est la probabilité d’obtenir un score "Pair" ?
4. On choisit une carte dans un jeu usuel de 32 cartes (8 coeurs, 8 carreaux, 8 trèfles, 8 piques)(4 rois, 4 reines, ... ) (16 rouges, 16 noires)
(a) Quelle est la probabilité de choisir une carte "Roi" ?
(b) Quelle est la probabilité de choisir une carte "Coeur" ?
(c) Quelle est la probabilité de choisir une carte "Roi et Coeur " ?
(d) Quelle est la probabilité de choisir une carte "Roi ou Coeur " ?
(e) Quelle est la probabilité de choisir une carte "Non Roi " ?
5. On dispose du tableau suivant concernant une classeOn choisit au hasard un élève de cette classe
Garçon Fille TotalGauchers 3 2 5
Droitiers 10 15 25
total 13 17 30
(a) Quelle est la probabilité que l’élève soit "Fille" ?
(b) Quelle est la probabilité que l’élève soit "Droitier" ?
(c) Quelle est la probabilité que l’élève soit "Fille ET Droitier " ?
(d) Quelle est la probabilité que l’élève soit "Fille OU Droitier " ?
(e) On choisit au hasard un élève de cette classe parmi les GauchersQuelle est la probabilité que l’élève soit "Fille" ?
(f) On choisit au hasard un élève de cette classe parmi les Filles Quelle est la probabilité quel’élève soit "Gaucher" ?
6. Une urne contient 2 billes vertes et 1 bille rouge (V1, V2 et R1)On choisit une bille au hasard,ON LA REMET dans l’urne,On choisit à nouveau une bille dans l’urne
(a) Quelle est la probabilité d’obtenir "2 billes vertes" ?
(b) Quelle est la probabilité d’obtenir "2 billes rouges " ?
7. Une urne contient 2 billes vertes et 1 bille rouge (V1, V2 et R1)On choisit une bille au hasard,ON NE LA REMET PAS dans l’urne,On choisit à nouveau une bille dans l’urne
(a) Quelle est la probabilité d’obtenir "2 billes vertes" ?
(b) Quelle est la probabilité d’obtenir "2 billes rouges " ?
8. On lance deux fois de suite un dé équilibré à 6 faces numérotées de 1 à 6Quelle est la probabilité d’obtenir un "double 6" ?
2.3 réponses
question résultat méthode
1 p(pile) =1
2
nombre de cas favorables
nombre de cas total
2 p(1) =1
6
nombre de cas favorables
nombre de cas total
3 p(2) =1
6
nombre de cas favorables
nombre de cas total
4 p(Pair) = p(2) + p(4) + p(6) = 0, 95
somme des probabilites des cas favorables
5 p(Roi) =4
32
nombre de cas favorables
nombre de cas total
6 p(Coeur) =8
32
nombre de cas favorables
nombre de cas total
7 p(Roi et coeur) =1
32
nombre de cas favorables
nombre de cas total
8 p(Roi ou coeur) =4
32+
8
32−
1
32=
11
32
p(A ∪B) = p(A) + p(B)− p(A ∩B)
9 p(Roi) = 1−4
32=
32
32−
4
32=
28
32
p(A = 1− p(A)
10 p(Fille) =17
30
nombre de cas favorables
nombre de cas total
11 p(Droitier) =25
30
nombre de cas favorables
nombre de cas total
12 p(FilleetDroitier) =15
30
nombre de cas favorables
nombre de cas total
13 p(FilleouDroitier) =17
30+
25
30−
15
30=
27
30p(A ∪B) = p(A) + p(B)− p(A ∩B)
14 pGaucher(Fille) =2
5
nombre de cas favorables
nombre de cas total
15 pF ille(Gaucher) =2
17
nombre de cas favorables
nombre de cas total
16 p(2 vertes) =4
9
arbre1 et
nombre de cas favorables
nombre de cas total
17 p(2 rouges) =1
9arbre1 et
nombre de cas favorables
nombre de cas total
18 p(2 vertes) =2
6arbre2 et
nombre de cas favorables
nombre de cas total
19 p(2 rouges) = 0 arbre2 etnombre de cas favorables
nombre de cas total
20 p(2 six) =1
36arbre3 et
nombre de cas favorables
nombre de cas total
arbre 1
V1
V2
R1
V1
V2
R1
V1
V2
R1
V1
V2
R1
V1V1
V1V2
V1R1
V2V1
V2V2
V2R1
R1V1
R1V2
R1R1
b
b
b
b
4 cas pour 2 vertes
9 cas au total
1 cas pour 2 rouges
arbre 2
V1
V2
R1
V2
R1
V1
R1
V1
V2
V1V2
V1R1
V2V1
V2R1
R1V1
R1V2
b
b
2 cas pour 2 vertes
6 cas au total
0 cas pour 2 rouges
arbre 3
1
2345
6
1
23456
b b b
1
23456 1 cas pour 2 six
6× 6 = 36 cas au total
2.4 petite évaluation
petite évaluation de probabilités
1. On joue à "pile ou face" avec une pièce de monnaie équilibréeQuelle est la probabilité de faire "Pile" ?
2. On joue à "pile ou face" avec une pièce de monnaie non équilibrée avec laquelle la probabilitéde faire "pile" est de 20%Quelle est la probabilité de faire "Face" ?
3. On lance un dé usuel équilibré à 8 faces numérotées de 1 à 8Quelle est la probabilité de faire 1 point ?
4. On dispose d’un dé non équilibré pour lequel on a les informations suivantesrésultat 1 2 3 4 5 6 total
probabilité 0, 05 0, 1 0, 2 0, 03 0, 6 0, 02 1On lance ce dé, quelle est la probabilité d’obtenir un score "Pair" ?
5. On choisit une carte dans un jeu usuel de 32 cartes (8 coeurs, 8 carreaux, 8 trèfles, 8 piques)(4 rois, 4 reines, ... ) (16 rouges, 16 noires)
(a) Quelle est la probabilité de choisir une carte "Reine" ?
(b) Quelle est la probabilité de choisir une carte "Rouge" ?
(c) Quelle est la probabilité de choisir une carte "Reine et Rouge " ?
(d) Quelle est la probabilité de choisir une carte "Reine ou Rouge" ?
(e) Quelle est la probabilité de choisir une carte "Non Carreau " ?
6. On dispose du tableau suivant concernant une classe
On choisit au hasard un élève de cette classe
Garçon Fille TotalGauchers 6 4 10
Droitiers 20 30 50
total 26 34 60
(a) Quelle est la probabilité que l’élève soit "Garçon" ?
(b) Quelle est la probabilité que l’élève soit "Gaucher" ?
(c) Quelle est la probabilité que l’élève soit "Garçon ET Gaucher" ?
(d) Quelle est la probabilité que l’élève soit "Garçon OU Gaucher" ?
(e) On choisit au hasard un élève de cette classe parmi les DroitierQuelle est la probabilité que l’élève soit "Garçon" ?
(f) On choisit au hasard un élève de cette classe parmi les Garçon Quelle est la probabilitéque l’élève soit "Droitier" ?
7. Une urne contient 1 bille Blanche et 2 bille Noire (B1 , N1 et N2)On choisit une bille au hasard,ON LA REMET dans l’urne,On choisit à nouveau une bille dans l’urne
(a) faire un arbre au verso
(b) Quelle est la probabilité d’obtenir "2 billes blanches" ?
(c) Quelle est la probabilité d’obtenir "1 bille blanche " ?
8. Une urne contient 1 bille Blanche et 2 bille Noire (B1 , N1 et N2)On choisit une bille au hasard,ON NE LA REMET PAS dans l’urne,On choisit à nouveau une bille dans l’urne
(a) faire un arbre au verso
(b) Quelle est la probabilité d’obtenir "2 billes blanches" ?
(c) Quelle est la probabilité d’obtenir "1 bille blanche " ?
9. On lance deux fois de suite un dé équilibré à 8 faces numérotées de 1 à 8Quelle est la probabilité d’obtenir un "double 8" ?
3 loi des grands nombres
3.1 activité
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3.2 à retenir
définition 1 : (expérience aléatoire et univers)
(1) Une expérience est aléatoire si :
on connaît tous les résultats qui peuvent arriveron ne connaît pas le résultat qui va arriver
(2) L’ensemble U des "résultats" possibles est appelé "l’univers" de l’expérience aléatoire
Exemples :
a. lancer d’une pièce : U = P ;F
b. lancer d’une dé à six faces : U = 1; 2; 3; 4; 5; 6
c. choix d’une carte dans un jeu usuel de 32 cartes : U = as de coeur; ...; 7 de pique
d. jouer au loto (7 nombres différents de 1 à 49) :U = (1; 2; 3; 4; 5; 6; 7); (1; 2; 3; 4; 5; 6; 8); ...; (43; 44; 45; 46; 47; 48; 49)
Remarques :
a. chaque résultat est aussi appelé "issue", "événement élémentaire" ou "éventualité"
b. l’univers est aussi noté Ω (grand oméga)
c. à notre niveau, l’univers U aura toujours un nombre n entier et fini d’élémentson pourra alors noter U = x1;x2; ...;xn
propriété 1 : (loi des grands nombres)
Etant donnée une expérience aléatoire d’univers U = x1;x2; ...xnOn répète k fois cette expérience aléatoireSoit fk(xi) la proportion de fois où l’on obtient le résultat xi ∈ U parmi les k expériences
c’est à dire :
fk(xi) =
nombre de fois ou on obtient xi
nombre d´experiences
Quel que soit xi ∈ U :
plus k est grand et
(1) plus fk(xi) se rapproche d’une certaine valeur pi
(2) plus les "fluctuations" des valeurs de fk(xi) sont petites
Remarques :
a. Plus on répète une expérience aléatoire un grand nombre de fois et plus la fréquenced’apparition du résultat auquel on s’intéresse se rapproche d’une certaine valeur
Exemples :
a. pièce équilibrée : fk(P ) se rapproche de 0,5 = 50% quand k grandit
b. dé à six faces équilibré : fk(1) se rapproche de1
6≃ 16, 7% quand k grandit
c. jeu de 32 cartes : fk(Roi) se rapproche de4
32≃ 12, 5% quand k grandit
4 probabilité
4.1 activité
activité 1
1. le jeu consiste à faire tourner cette roue équilibréequi se stabilise sur un des 12 petits secteurs
5
1
2
a
b
cd
e
fg
h
ij
k
l
(a) donner l’univers U des résultats possibles
(b) donner la valeur de la probabilité de chacundes résultats possibles (p(a) = ...)
(c) on reçoit le nombre R d’euros indiqué selon legrand secteur
i. donner la probabilité p(R = 5) de recevoir 5 euros puis p(R = 1) et p(R = 2)
ii. déterminer les probabilités p(R ≥ 2) et p(R < 2) et interpréter les résultats
2. on fait tourner deux fois la roue qui se stabilise consécutivement sur deux petits secteurs
(a) combien y a t-il de résultats possibles ? (penser à un arbre de dénombrement)
(b) combien y a t-il de cas où l’on reçoit 10 euros au total ?
(c) en déduire la probabilité de recevoir 10 euros au total
(d) quelle est la probabilité de recevoir 2 euros au total ?
(e) quelle est la probabilité de recevoir 4 euros au total ?
3. en fait, pour jouer à ce jeu (1 lancer de roue), il faut payer au préalable la somme de 2euros, le "gain" du jeu est alors X = R− 2 ( par exemple : X = 5− 2 = 3)
(a) compléter le tableau suivantsomme reçu : R 5 totalgain du jeu : X 3 total
probabilité
(b) quelle est la probabilité p(X > 0) de gagner de l’argent à ce jeu ?
(c) quelle est la probabilité p(X < 0) de perdre de l’argent ?
(d) calculer le gain moyen de faisant la moyenne des gains avec pour coefficients les pro-babilités
(e) ce jeu est-il à l’avantage du joueur ou de l’organisateur ?
4. dans le cas où l’on fait tourner la roue 2 fois de suite
(a) quelle est la probabilité d’avoir un gain total nul
(b) quelle est la probabilité d’avoir un gain total strictement négatif ?
activité 2
pour ce dé à 6 faces non équilibré :
résultat : X 1 2 3 4 5 6 totalprobabilité 0, 1 0, 1 0, 2 0, 3 0, 25 0, 05 1
calculer :
i. p(Xpair)
ii. p(X ≥ 3)
iii. p(X < 3)
4.2 corrigé activité
corrigé activité 1
1. le jeu consiste à faire tourner cette roue équilibréequi se stabilise sur un des 12 petits secteurs
5
1
2
a
b
cd
e
fg
h
ij
k
l
(a)
U = a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l
(b)
p(a) = p(b) = p(c) = ... = p(k) = p(l) =
1
12
(c) on reçoit le nombre R d’euros indiqué selon legrand secteur
i.
p(R = 5) =
3
12=
1
4
p(R = 1) =
4
12=
1
3
p(R = 2) =
5
12
ii.
p(R ≥ 2) =
8
12=
2
3la probabilité de gagner au moins 2 euros est de ≃ 67%
p(R < 2) = p(R = 1) =
1
3la probabilité de gagner strictement moins de 2 euros est de ≃ 33%
2. on fait tourner deux fois la roue qui se stabilise consécutivement sur deux petits secteurs
(a)
il y a 12× 12 = 144 résultats possibles (voir l’arbre partiel ci dessous)
b
b
a
b ab bb cb d(5)b e(5)b f(5)b gb hb ib jb kb l
b bb cb d(5)b e(5)b f(5)b gb hb ib jb kb l
(b) nombre de cas où l’on reçoit 10 euros (5 puis 5) au total :
3× 3 = 9 cas
(c) probabilité de recevoir 10 euros au total :
9
144= 6, 25%
(d) probabilité de recevoir 2 euros (1 puis 1) au total :
4× 4
144=
16
144≃ 11, 1%
(e) probabilité de recevoir 4 euros (2 puis 2) au total :
5× 5
144=
25
144≃ 17, 4%
3. en fait, pour jouer à ce jeu (1 lancer de roue), il faut payer au préalable la somme de 2euros, le "gain" du jeu est alors X = R− 2 ( par exemple : X = 5− 2 = 3)
(a)
somme reçu : R 1 2 5 totalgain du jeu : X −1 0 3 total
probabilité4
12
5
12
3
12
12
12
(b)
p(X > 0) = p(X = 3) =
3
12
(c)
p(X < 0) = p(X = 1) =
4
12
(d) gain moyen =4
12× (−1) +
5
12× 0 +
3
12× 3 =
5
12≃
0, 42 euros
(e)
ce jeu est à l’avantage du joueur car le gain moyen est positif. (0,42 > 0)
4. dans le cas où l’on fait tourner la roue 2 fois de suite
(a) probabilité d’avoir un gain total nul :
p(double 2) =
5× 5
144=
25
144≃ 17, 3%
(b) probabilité d’avoir un gain total strictement négatif :
p(”double 1” ou ”1 puis 2”ou ”2 puis 1”) =
4× 4 + 4× 5 + 5× 4
144=
56
144≃ 39%
corrigé activité 2
pour ce dé à 6 faces non équilibré :
résultat : X 1 2 3 4 5 6 totalprobabilité 0, 1 0, 1 0, 2 0, 3 0, 25 0, 05 1
calculer :
i. p(Xpair) = p(X = 2) + p(X = 4) + p(X = 6) = 0, 1 + 0, 3 + 0, 05 = 0, 45 =
45%
ii. p(X ≥ 3) = p(X = 3) + p(X = 4) + p(X = 5) + p(X = 6)
p(X ≥ 3) = 0, 2 + 0, 3 + 0, 25 + 0, 05 = 0, 8 =
80%
iii. p(X < 3) = p(X = 1) + p(X = 2) = 0, 1 + 0, 1 = 0, 2 =
20%
4.3 à retenir
définition 2 : (expérience aléatoire et univers)
(1) Une expérience est aléatoire si :
on connaît tous les résultats qui peuvent arriveron ne connaît pas le résultat qui va arriver
(2) L’ensemble U des "résultats" possibles est appelé "l’univers" de l’expérience aléatoire
Exemples :
a. lancer d’une pièce : U = P ;F b.lancer d’un dé à six faces : U = 1; 2; 3; 4; 5; 6
c. choix d’une carte dans un jeu usuel de 32 cartes : U = as de coeur; ...; 7 de pique
d. jouer au loto (7 nombres différents de 1 à 49) :U = (1; 2; 3; 4; 5; 6; 7); (1; 2; 3; 4; 5; 6; 8); ...; (43; 44; 45; 46; 47; 48; 49)
Remarques :
a. chaque résultat est aussi appelé "issue", "événement élémentaire" ou "éventualité"
b. l’univers est aussi noté Ω (grand oméga)
c. à notre niveau, l’univers U aura toujours un nombre n entier et fini d’élémentson pourra alors noter U = x1;x2; ...;xn
définition 3 : (probabilité et événement élémentaire )
Soit un univers U = x1;x2; ...;xnUne probabilité p définie sur U est une fonction de U vers [0; 1]qui à chaque xi associe un nombre p(xi) compris entre 0 et 1 et telle que :
p(x1) + p(x2) + ...+ p(xn) = 1 (la somme des probabilités des issues vaut 1)
Remarques :
a. le nombre p(xi) compris entre 0 et 1 est appelé la "probabilité" de xi
b. La somme des probabilités des éléments de U est égale à 1
Exemples :
a. dé à 6 faces équilibré :résultat 1 2 3 4 5 6 total
probabilité1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
61
b. dé à 6 faces non équilibré :résultat 1 2 3 4 5 6 total
probabilité 0, 1 0, 1 0, 2 0, 3 0, 25 0, 05 1
définition 4 : (probabilité et événement quelconque )
Soit un l’univers U = x1;x2; ...;xn sur lequel est défini une probabilité p
Soit A une partie de U
• Si A 6= ∅ est constituée des issues xi1 ; ...;xik (A = xi1 ; ...;xik)
alors la probabilité de A est le nombre noté p(A) avec :
p(A) = p(xi1) + ...+ p(xik)
(p(A) est la somme des issues qui constituent A)
• Si
A = ∅ alors
p(A) = 0 on dit que A est un événement "impossible"
• si
p(A) = 1 on dit que A est un événement "certain"
propriété 2 : (cas de l’équiprobabilité)
Soit l’univers U = x1;x2; ...;xn constitué de n > 0 issues et p une probabilité
(1) Si
p(x1) = p(x2) = ... = p(xn) =
1
nalors on dit qu’il y a "équiprobabilité"
(toutes les éventualités ont la même probabilité)
(2) Soit A une partie de U constituée des k événements élémentaires xi1 ; ...;xik
S’il y a équiprobabilité alors
p(A) =
k
nou encore
p(A) =
nombre de cas favorables pour A
nombre de cas au total
Exemples :
i. dé à 6 faces équilibré :résultat : X 1 2 3 4 5 6 total
probabilité1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
61
p(Xpair) = ... p(X ≥ 3) = ... p(X < 3) = ...
ii. dé à 6 faces non équilibré :résultat : X 1 2 3 4 5 6 totalprobabilité 0, 1 0, 1 0, 2 0, 3 0, 25 0, 05 1
p(Xpair) = ... p(X ≥ 3) = ... p(X < 3) = ...
4.4 exercices
exercice 1 :
le jeu consiste à faire tourner cette roue équilibréequi se stabilise sur un des 12 petits secteurs
5e2e
0e
on reçoit le nombre d’euros indiqué
(a) donner les probabilités suivantes
i. p(R = 0), p(R = 2) et p(R = 5)de recevoir respectivement 0e, 2e et 5e,
ii. p(R > 0) (interpréter le résultat par une phrase)
iii. p(R < 5) (interpréter le résultat par une phrase)
(b) combien reçoit-on en moyenne si on prend pour coefficients les probabilités ?
(c) sachant qu’il faut payer 2 euros pour jouer, ce jeu est-il à l’avantage du joueur ou del’organisateur ?
exercice 2 :
une pièce de monnaie est truquée
la probabilité de faire pile avec cette pièce est estimée à p(pile) =3
21donner la valeur exacte de p(face) ainsi que cette valeur en % à 1% près par excès si 5
exercice 3 :
un dé à 6 faces est tel quescore S : 1 2 3 4 5 6 total
probabilité 0,1 0,05 0,15 0,02 0,28
i. compléter les deux cases vides et préciser si le dé est truqué ou non
ii. calculer les probabilités suivantes
A. p(Pair) (probabilité que le score S soit Pair)
B. p(S ≥ 3)
C. p(S > 3)
exercice 4 :
Trois personnes, Ali, Bernard et Claude ont chacune un sac contenant des billes.
Chacune tire au hasard une bille de son sac.
i. Le contenu des sacs est le suivant :
Sac d’Ali : Sac de Bernard : Sac de Claude :
5 billes rouges10 billes rouges
et30 billes noires
100 billes rougeset
3 billes noires
Laquelle de ces personnes a la probabilité la plus grande de tirer une bille rouge ?
ii. On souhaite qu’Ali ait la même probabilité que Bernard de tirer une bille rouge.
Avant le tirage, combien de billes noires faut-il ajouter pour cela dans le sac d’Ali ?
exercice 5 :
on dispose du tableau ci dessous concernant un lycée
Garçon Fille TotalSeconde 140 20 160
Première 410 90 500
Terminale 150 190 340
total 700 300 1000
(a) on choisit au hasard un des élèvescalculer les valeurs des probabilités des événements suivants à 1% près.
i. A : l’élève est une fille
ii. B : l’élève est en première
iii. C : l’élève est un garçon et est en terminale
iv. E : l’élève n’est pas en première
(b) i. on choisit au hasard une fille, quelle est la probabilité qu’elle soit en première ?
ii. on choisit un élève de première, quelle est la probabilité que ce soit une fille ?
exercice 6 :
Un sac contient six boules : quatre blanches et deux noires. Ces boules sont numérotées :Les boules blanches portent les numéros 1 ; 1 ; 2 et 3 et les noires portent les numéros 1 et2.
1 2
1
31
2
Question A B C
Quelle est la probabilité de tirer une boule blanche ?2
3
6
44
Quelle est la probabilité de tirer une boule portant le numéro 2 ?1
4
1
6
1
3
Quelle est la probabilité de tirer une boule blanche numérotée 1 ?1
3
2
4
3
6
Quelle est la probabilité d’obtenir au moins deux point ?2
6
1
2
2
3
Quelle est la probabilité d’obtenir au plus deux point ?5
6
1
6
3
6
exercice 7 :
Au stand d’une fête foraine, un jeu consiste à tirer au hasard un billet de loterie dans unsac contenant exactement 180 billets.— 4 de ces billets permettent de gagner un lecteur MP3.— 12 permettent de gagner une grosse peluche.— 36 permettent de gagner une petite peluche.— 68 permettent de gagner un porte-clés.— Les autres billets sont des billets perdants.Quelle est la probabilité pour un participant :
(a) de gagner un lecteur MP3 ?
(b) de gagner une peluche (grande ou petite) ?
(c) de gagner quelque chose ?
(d) de ne rien gagner ?
exercice 8 :
Pierre a lancé dix fois un dé cubique (non truqué). À chaque fois, il a obtenu 6.Il lance ce dé une 11e fois.
Quelle est la probabilité d’obtenir 6 au 11e lancer ?
exercice 9 :
Dans une classe, un sondage a été fait auprès des élèves pour connaître leur animal préféré.Les résultats sont illustrés dans le graphique ci-dessous.
0
1
2
3
4
5
6
7
chien chat dauphin perroquet araignée lion
On tire au hasard un élève de cette classe,calculer les probabilités suivantes :
(a) p(chat) (la probabilité que l’élève ait un chat pour animal préféré)
(b) p(félin)
(c) p(4 pattes)
exercice 10 :
On lance une fléchette dans le rectangle ABCD ci dessous où chacun des rectangles hachuréen bleu ( dans le rectangle P1P2P3P4) a une probabilité deux fois plus grande d’être atteintque chacun des rectangles hachuré en vert (ceux en dehors du rectangle P1P2P3P4 ) .Quelle est la probabilité d’atteindre la cible rouge (rectangle de diagonale C1C2) ( arrondirà 1% par excès si 5 )(Aide : Poser et résoudre une équation avec x = probabilité d’ une case verte, trouver ainsila probabilité d’une case verte puis d’une bleue puis ...)
4.5 corrigés exercices
corrigé exercice 1 :
le jeu consiste à faire tourner cette roue équilibréequi se stabilise sur un des 12 petits secteurs
5e2e
0e
on reçoit le nombre d’euros indiqué
(a) probabilités suivantes
i. p(R = 0) =nb cas favorables
nb cas total=
7
12≃ 0, 58 ≃ 58%
p(R = 2) =2
12=
1
6≃ 0, 17 ≃ 17%
p(R = 5) =3
12=
1
4= 25% de chances de recevoir 5 e
ii. p(R > 0) = p(R = 2) + p(R = 5) =2
12+
3
12=
5
12≃ 42%
soit ≃ 42% de chances de recevoir un nombre d’euros positif strict
iii. p(R < 5) = p(R = 0) ≃ 58% de chances de recevoir strictement moins de 5 e
(b) combien reçoit-on en moyenne si on prend pour coefficients les probabilités ?
moyenne = E(R) =∑
pixi = 0×7
12+ 2×
2
12+ 5×
5
12=
29
12≃ 2, 42 e
(c) sachant qu’il faut payer 2 euros pour jouer, ce jeu est-il à l’avantage du joueur ou del’organisateur ?le jeu est à l’avantage du joueur car il reçoit en moyenne plus qu’il ne dépense pour jouer( 2, 42 > 2)
corrigé exercice 2 :
une pièce de monnaie est truquée
la probabilité de faire pile avec cette pièce est estimée à p(pile) =3
21
p(face) = 1− p(face) = 1− p(pile) = 1−3
21=
21
21−
3
21=
18
21=
6
7≃ 0, 86 ≃ 86%
corrigé exercice 3 :
un dé à 6 faces est tel quescore S : 1 2 3 4 5 6 total
probabilité 0,1 0,05 0,15 0,02 0,28 x y
i. y = 1
x = 1− (0, 1 + 0, 05 + 0, 15 + 0, 02 + 0, 28) = 0, 4
le dé est truqué car les 6 faces n’ont pas pour probabilités respectives1
6
ii. calculer les probabilités suivantes
A. p(Pair) = p(S = 2) + p(S = 4) + p(S = 6) = 0, 05 + 0, 02 + 0, 4 = 0, 47
B. p(S ≥ 3) = p(S = 3) + p(S = 4) + p(S = 5) + p(S = 6) = 0, 15 + 0, 02 + 0, 28 + 0, 4 = 0, 85
C. p(S > 3) = p(S = 4) + p(S = 5) + p(S = 6) = 0, 02 + 0, 28 + 0, 4 = 0, 7
corrigé exercice 4 :
Trois personnes, Ali, Bernard et Claude ont chacune un sac contenant des billes.
Chacune tire au hasard une bille de son sac.
i. Le contenu des sacs est le suivant :
Sac d’Ali : Sac de Bernard : Sac de Claude :
5 billes rouges10 billes rouges
et30 billes noires
100 billes rougeset
3 billes noires
Laquelle de ces personnes a la probabilité la plus grande de tirer une bille rouge ?
pAli(Rouge) =5
5= 1 = 100%
pBernard(Rouge) =10
10 + 30=
10
40= 25%
pClaude(Rouge) =100
100 + 3=
100
103≃ 97%
c’est donc Ali avec 100% de chances de tomber sur une rouge
ii. On souhaite qu’Ali ait la même probabilité que Bernard de tirer une bille rouge.soit x le nombre de billes noires à ajouter dans le sac d’Ali, on a donc :
5
5 + x=
10
10 + 30
⇐⇒5
5 + x=
10
40
⇐⇒ 10(5 + x) = 5× 40
⇐⇒ 50 + 10x = 200
⇐⇒ x =200 − 50
10=
150
10= 15
Avant le tirage, il faut ajouter 15 billes noires dans le sac d’Ali
corrigé exercice 5 :
on dispose du tableau ci dessous concernant un lycée
Garçon Fille TotalSeconde 140 20 160
Première 410 90 500
Terminale 150 190 340
total 700 300 1000
(a) on choisit au hasard un des élèvescalculer les valeurs des probabilités des événements suivants à 1% près.
i. A : l’élève est une fille
p(A) =300
1000= 30%
ii. B : l’élève est en première
p(B) =500
1000= 50%
iii. C : l’élève est un garçon et est en terminale
p(C) =150
1000= 15%
iv. E : l’élève n’est pas en premièrep(E) = 1− p(E) = 1− p(B) = 1− 0, 5 = 50%
(b) i. on choisit au hasard une fille, quelle est la probabilité qu’elle soit en première ?
pfille(1) =90
300= 30%
ii. on choisit un élève de première, quelle est la probabilité que ce soit une fille ?
p1(fille) =90
500= 18%
corrigé exercice 6 :
Un sac contient six boules : quatre blanches et deux noires. Ces boules sont numérotées :
Les boules blanches portent les numéros 1 ; 1 ; 2 et 3 et les noires portent les numéros 1 et2.
1 2
1
31
2
Question A B C
Quelle est la probabilité de tirer une boule blanche ?
2
3
6
44
Quelle est la probabilité de tirer une boule portant le numéro 2 ?1
4
1
6
1
3
Quelle est la probabilité de tirer une boule blanche numérotée 1 ?
1
3
2
4
3
6
Quelle est la probabilité d’obtenir au moins deux point ?2
6
1
2
2
3
Quelle est la probabilité d’obtenir au plus deux point ?
5
6
1
6
3
6
corrigé exercice 7 :
Au stand d’une fête foraine, un jeu consiste à tirer au hasard un billet de loterie dans unsac contenant exactement 180 billets.
— 4 de ces billets permettent de gagner un lecteur MP3.— 12 permettent de gagner une grosse peluche.— 36 permettent de gagner une petite peluche.— 68 permettent de gagner un porte-clés.— Les autres billets sont des billets perdants.
on a pour probabilités pour un participant :
(a) p(MP3) =4
180≃ 2%
(b) p(peluche) =12
180+
36
180=
48
180≃ 27%
(c) p(gagner) =4 + 12 + 36 + 68
180=
120
180≃ 67%
(d) p(perdre) = 1− p(perdre) = 1− p(gagner) =180
180−
120
180=
60
180≃ 33%
corrigé exercice 8 :
Pierre a lancé dix fois un dé cubique (non truqué). À chaque fois, il a obtenu 6.Il lance ce dé une 11e fois.
Quelle est la probabilité d’obtenir 6 au 11e lancer ?
p(6) =1
6≃ 17%
corrigé exercice 9 :
Dans une classe, un sondage a été fait auprès des élèves pour connaître leur animal préféré.Les résultats sont illustrés dans le graphique ci-dessous.
0
1
2
3
4
5
6
7
chien chat dauphin perroquet araignée lion
On tire au hasard un élève de cette classe,calculer les probabilités suivantes :
(a) p(chat) =5
6 + 5 + 3 + 2 + 1 + 3=
5
20= 25%
(b) p(f elin) = p(chat) + p(lion) =5
20+
3
20=
8
20= 40%
(c) p(4pattes) = p(chien) + p(chat) + p(lion) =14
20= 70%
corrigé exercice 10 :
On lance une fléchette dans le rectangle ABCD ci dessous où chacun des rectangles hachuréen bleu ( dans le rectangle P1P2P3P4) a une probabilité deux fois plus grande d’être atteintque chacun des rectangles hachuré en vert (ceux en dehors du rectangle P1P2P3P4 ) .Quelle est la probabilité d’atteindre la cible rouge (rectangle de diagonale C1C2) ( arrondirà 1% par excès si 5 )(Aide : Poser et résoudre une équation avec x = probabilité d’ une case verte, trouver ainsila probabilité d’une case verte puis d’une bleue puis ...)
Posons : p(petit rectangle vert) = x
donc : p(petit rectangle bleu) = 2xde plus : p(Zone rouge de diagonale C1C2) = p(carrés bleus de la zone rouge) +p(carrés verts de la zone rouge)ainsi : p(Zone rouge de diagonale C1C2) = 10× 2x+ 26 × x
soit : p(Zone rouge de diagonale C1C2) = 46x
il reste à trouver la valeur de x
or : p(rectangle bleu) + p(tout sauf le rectangle bleu) = 1par conséquent : 20× 2x+ 80 × x = 1ce qui donne : 120x = 1
d’où : x =1
120
conclusion : p(Zone rouge de diagonale C1C2) = 46x = 46×1
120=
46
120≃ 0, 383 ≃ 38%
5 probabilités et opérations sur les événements
5.1 activité
5.1.1 activité 1
Un groupe A de 10 amis dont on ne connaît que lesinitiales des prénoms est tel que :
A
S
M
• d et e pratiquent un sport et d’un instrument de musique• a, b, c pratiquent un sport uniquement• f et g jouent d’un instrument de musique uniquement• h , i et j ne font ni l’un ni l’autre
1. compléter le schéma à bulle donné
appeler M l’ensemble des "musiciens", S celui des "sportifs"
2. on choisit une de ces personnes au hasard
(a) quelle est la probabilité p(M) qu’elle soit musicienne ?
(b) quelle est la probabilité p(S) qu’elle soit sportive ?
(c) quelle est la probabilité p(S ∩M) qu’elle soit sportive et musicienne ?
(d) quelle est la probabilité p(S ∪M) qu’elle soit sportive ou musicienne ?(donner 2 méthodes dont une à partir des trois résultats précédents )
(e) quelle est la probabilité p(S) qu’elle ne soit pas sportive ? (donner deux méthodes)
(f) quelle est la probabilité p(M) qu’elle ne soit pas musicienne ? (donner deux méthodes)
(g) quelle est la probabilité p(S ∩M) ? (donner la phrase d’interprétation)
(h) quelle est la probabilité p(S ∪M) ? (donner la phrase d’interprétation)
5.1.2 activité 2
on dispose du tableau ci dessous concernant un lycéeGarçon Fille Total
Seconde 280 40 320
Première 820 180 1000
Terminale 300 380 680
total 1400 600 2000
1. on choisit au hasard un des 2000 élèvescalculer les valeurs des probabilités des événements suivants à 1% près.
(a) F : l’élève est une fille
(b) P : l’élève est en première
(c) G ∩ T : l’élève est un garçon et est en terminale
(d) G ∪ T : l’élève est un garçon ou est en terminale
(e) P : l’élève n’est pas en première
2.(a) définir l’événement F ∩ P par une phrase et donner sa probabilité à 1% près
(b) définir l’événement S ∩ T par une phrase et donner sa probabilitéque dire de l’événement S ∩ T ? que dire des événements S et T ?
(c) définir l’événement S ∪ T par une phrase et donner sa probabilité
(d) définir l’événement F ∪ P par une phrase et donner sa probabilité à 1% près
(e) définir l’événement F par une phrase et donner sa probabilité
3.(a) on choisit au hasard une fille, quelle est la probabilité qu’elle soit en première ?
(b) on choisit un élève de première, quelle est la probabilité que ce soit une fille ?
5.1.3 activité 3
R1
R2
R3
R4
B1
B2
B3 V1
V2
V3
On tire au hasard une bille avec équiprobabilitéDéterminer quel est l’événement le plus probable parmi les événements suivants et justifier
1. rouge
2. non rouge
3. impair
4. rouge et impair
5. rouge ou impair
6. rouge et vert
7. rouge ou vert
5.1.4 activité 4 : tables de vérité
1. Table de vérité pour la négation (NON)
x ∈ A x ∈ A
V
FA A U
2. Table de vérité pour l’intersection (ET)
x ∈ A x ∈ B x ∈ A ∩B
F F
V F
F V
V V
A
B
U
A ∩B
A
B
U
A ∩B = ∅
A
B
U
A ∩B
3. Table de vérité pour la réunion (OU)
x ∈ A x ∈ B x ∈ A ∪B
F F
V F
F V
V V
A
B
U
A ∪B A ∪B
A ∪B
U
A
B
U
A ∪B
4. Contraire du OU
A B A B A ∪B A ∪B A ∩B
F F
F V
V F
V V
comparer les deux dernières colonnes, qu’en déduire pour A ∪B et A ∩B ? : ...
5. Contraire du ET
A B A B A ∩B A ∩B A ∪B
F F
F V
V F
V V
comparer les deux dernières colonnes, qu’en déduire pour A ∩B et A ∪B ? : ...
5.2 corrigé activité
5.2.1 corrigé activité 1
1. schéma
A
S
M
•a
•b
•c •d
•e
•f
•g
•h
•i
•j
2. on choisit une de ces personnes au hasard
(a)
p(M) =
4
10= 40%
(b)
p(S) =
5
10= 50%
(c)
p(S ∩M) =
2
10= 20%
(d)
p(S ∪M) =
7
10= 70%
p(S ∪M) = p(S) + p(M)− p(S ∩M) = 50% + 40% − 20% = 70%
(e)
p(S) =
5
10= 50%
p(S) = 1− p(S) = 1− 0, 5 = 0, 5 = 50%
(f)
p(M) =
6
10= 60%
p(M) = 1− p(M) = 1− 0, 4 = 0, 6 = 60%
(g)
p(S ∩M) =
3
10= 30%
(h)
p(S ∪M) = p(S) + p(M)− p(S ∩M) = 50% + 60% − 30% = 80%
5.2.2 corrigé activité 2
on dispose du tableau ci dessous concernant un lycéeGarçon Fille Total
Seconde 280 40 320
Première 820 180 1000
Terminale 300 380 680
total 1400 600 20001.(a) p(Fille) = p(F ) =
600
2000=
0, 3
(b) p(Première) = p(P ) =1000
2000=
0, 5
(c) p(Garçon et terminale) =p(G ∩ T ) =300
2000=
0, 15
(d) p(Garçon ou terminale) =p(G ∪ T ) =1400 + 680 − 300
2000=
1780
2000=
0, 89
autre méthode avec la "formule du ou"
p(G ∪ T ) = p(G) + p(T )− p(G ∩ T ) =
1400
2000+
680
2000−
300
2000=
1780
2000=
0, 89
(e) p(pas en première) =
p(P ) = 1− p(P ) = 1− 0, 5 =
0, 5
2.(a) F ∩ P :
l’élève est une fille et est en première ; p(F ∩ P ) =
180
2000=
0, 09
(b) S ∩ T :
l’élève est en seconde et est en terminale ; p(S ∩ T ) =
0
2000=
0
(c) S ∪ T :
l’élève est en seconde ou est en terminale ;
p(S ∪ T ) =320 + 680
2000=
1000
2000=
0, 5
autre méthode avec la "formule du ou"
p(S ∪ T ) = p(S) + p(T )− p(S ∩ T ) =
320
2000+
680
2000−
0
2000=
320 + 680
2000=
1000
2000=
0, 5
(d) F ∪ P :
l’élève est une fille ou est en première ; p(F ∪ P ) =
1000 + 600 − 180
2000=
0, 71
(e) F :
l’élève n’est pas une fille ;
p(F ) = 1− p(F ) = 1− 0, 3 =
0, 7
3.(a) pfille(premiere) =180
600=
0, 3
(b) ppremiere(fille) =180
1000=
0, 18
5.2.3 corrigé activité 3
R1
R2
R3
R4
B1
B2
B3 V1
V2
V3
On tire au hasard une bille avec équiprobabilitéDéterminer quel est l’événement le plus probable parmi les événements suivants et justifier
1. p(rouge) =4
10= 0,4 =
40%
2. p(non rouge) = 1 - p(rouge) = 1 - 0,4 = 0,6 =
60%
3. p(impair) =6
10= 0,6 =
60%
4. p(rouge et impair) =2
10= 0,2 =
20%
5. p(rouge ou impair) = p(rouge) + p(impair) - p(rouge et impair)
p(rouge ou impair) = 40% + 60% - 20% =
80%
6. p(rouge et vert) =0
10= 0 =
0%
7. p(rouge ou vert)= p(rouge) + p(vert) - p(rouge et vert) = 40% +3
10- 0% = 0,7 =
70%
l’événement
le plus probable est
"rouge ou impair" avec une probabilité de 80%
5.3 à retenir
définition 5 : (événement contraire)
Soit un univers U = x1;x2; ...;xnSoit A ⊂ U un sous ensemble de U (un "événement")
A A
U
"L’événement contraire" de A est noté
A où
A est le sous ensemble de U constitué de tous les éléments de U qui ne sont pas dans A
Remarques :
a. U = ∅, ∅ = U , U = U
Exemples :
a. lancer d’une pièce : U = P ; F , le contraire de "pile" est "face"
b. lancer d’une dé à six faces : U = 1; 2; 3; 4; 5; 6le contraire de "six"= 6 est "tout sauf six"= 1; 2; 3; 4; 5le contraire de "pair"= 2; 4; 6 est "impair"= 1; 3; 5le contraire de "Score > 3"= 4; 5; 6 est "Score ≤ 3"= 1; 2; 3
c. choix d’une carte dans un jeu usuel de 32 cartes : U = as de coeur; ...; 7 de piquele contraire de "roi" est "tout sauf roi"
définition 6 : (intersection d’événements)
Soit un univers U = x1; x2; ...; xnSoient A ⊂ U un sous ensemble de U
Soient B ⊂ U un sous ensemble de UA
B
U
A ∩B
A
B
U
A ∩B = ∅
A
B
U
A ∩B
"L’intersection de A avec B est notée
A ∩B ("A inter B")
où
A ∩B est constitué de tous les éléments de U qui sont à la fois dans A et dans B
si A etB n’ont
aucun éléments en commun on note alors :
A ∩B = ∅
et on dit que A et B sont
"disjoints" ou encore
"incompatibles" (cas 2 ci dessus)
Remarques :
a. A ∩B se lit aussi "A et B"
Exemples :
a. lancer d’une pièce : U = P ; F :pile ∩ face = ∅, "pile" et "face" sont incompatibles
b. lancer d’une dé à six faces : U = 1; 2; 3; 4; 5; 6[Score > 3] ∩ [Score pair] = 4; 6[Score ≤ 3] ∩ [Score impair] = 1; 3
c. choix d’une carte dans un jeu usuel de 32 cartes : U = as de coeur; ...; 7 de piqueroi ∩ as = ∅roi ∩ coeur = roi de coeur
définition 7 : (réunion d’événements)
Soit un univers U = x1; x2; ...; xnSoient A ⊂ U un sous ensemble de U
Soient B ⊂ U un sous ensemble de UA
B
U
A ∪B A ∪B
A ∪B
U
A
B
U
A ∪B
"la réunion " des ensembles A et B est notée
A ∪B ("A union B")
où
A ∪B est constitué des éléments de U qui sont dans au moins un des ensembles A ou B
Remarques :a. A ∪B se lit aussi "A ou B"
Exemples :a. lancer d’une pièce : U = P ; F
pile ∪ face = P ; F = U
b. lancer d’une dé à six faces : U = 1; 2; 3; 4; 5; 6[Score > 3] ∪ [Score pair] = 2; 4; 5; 6[Score ≤ 3] ∪ [Score impair] = 1; 2; 3; 5
c. choix d’une carte dans un jeu usuel de 32 cartes : U = As♥; ...; 7♠roi ∪ as = R♠; R♣; R♥; R♦; As♠; As♣; As♥; As♦
propriété 3 :
Soit un univers U = x1; x2; ...; xnSoient A ⊂ U un sous ensemble de U
Soient B ⊂ U un sous ensemble de U
(1) pour
A le contraire de A on a :
p(A) = 1− p(A)
(2) pour
A ∪B la réunion de A et B on a :
p(A ∪B) = p(A) + p(B)− p(A ∩B)
(3) si
A ∩B = ∅ (A et B incompatibles) on a :
p(A ∪B) = p(A) + p(B)
Exemples :a. choix d’une carte dans un jeu usuel de 32 cartes : U = As♥; ...; 7♠
p(Roi ∪ ♥) = p(Roi) + p(♥)− p(Roi ∩ ♥)
p(Roi ∪ ♥) =4
32+
8
32−
1
32=
11
32
b. lancer d’une dé à six faces : U = 1; 2; 3; 4; 5; 6
p([Score > 3] ∪ [Score pair]) = p(Score > 3) + p(Score pair)− p([Score > 3] ∩ [Score pair])
p([Score > 3] ∪ [Score pair]) =3
6+
3
6−
2
6=
4
6
5.4 exercices
exercice 11 :
le jeu consiste à faire tourner cette roue équilibréequi se stabilise sur un des 12 petits secteurs
1
2
34
5
67
8
910
11
12
1. calculer les probabilités suivantes
(a) p(pair), p(gris)
(b) p(gris)
(c) p(pair et gris)
(d) p(pair ou gris)
(e) p(pair et gris)
(f) p(pair ou gris)
(g) p(pair et gris)
(h) p(pair ou gris)
2. pair et gris sont-ils incompatibles ? 3. gris et S ≥ 9 sont-ils incompatibles ?
exercice 12 :
dans une classe de terminale, pour l’année suivante :
— 80% ont fait un dossier de B.T.S— 60% ont fait un dossier d’ I.U.T
— 50% ont fait les deux
donner ou calculer les probabilités et interpréter chaque valeur par une phrase
1. p(IUT ), p(BTS)
2. p(IUT ∩ BTS)
3. p(IUT ∪ BTS)
4. IUT et BTS sont-ils incompatibles ?
exercice 13 :
un dé à 6 faces est tel quescore S : 1 2 3 4 5 6 total
probabilité 0,2 0,15 0,05 0,1 0,3 0,2 1
1. calculer les probabilités suivantes
(a) p(impair), p(S > 3)
(b) p(impair), p(S > 3)
(c) p(S > 3 et impair)
(d) p(S > 3 ou impair)
(e) p(S ≥ 3 ou impair)
(f) S > 3 et impair sont-ils incompatibles ?
exercice 14 :
1. concernant un lycée "ci dessous", on choisit au hasard un des 2000 élèvescalculer les valeurs des probabilités des événements suivants à 1% près et donner unephrase d’interprétation.
Garçon : G Fille : F TotalSeconde : S 280 40 320
Première : P 820 180 1000
Terminale : T 300 380 680
total 1400 600 2000
(a) p(G)
(b) p(S)
(c) p(S)
(d) p(G)
(e) p(G ∩ S)
(f) p(T ∩ S)
(g) p(G ∪ S)
(h) p(T ∪ S)
(i) p(G ∪ F )
2. G et S sont-ils incompatibles ?
3. T et S sont-ils incompatibles ?
5.5 corrigés exercices
6 probabilités et expériences aléatoires composées
6.1 activité
6.1.1 activité 1
on joue à pile ou face avec une pièce de monnaie équilibrée
1. on lance la pièce deux foissoit X le nombre de fois où l’on a obtenu "pile"
(a) combien y a t-il de résultats possibles ? lesquels ? : ...
(b) proposer une valeur pour la probabilité d’obtenir deux fois pile p(X = 2) = ...
(c) utiliser l’arbre de dénombrement suivantpour déterminer p(X = 1) = ...
(d) déterminer p(X = 0) = ...
(e) en déduire p(X > 0) =...et interpréter cette valeur: ...
b
b
Pb P − (P ;P ) : X = 2
b F − (P ;F ) : X = 1
b
Fb P − (F ;P ) : X = 1
b F − (F ;F ) : X = 0
2. on lance la pièce trois fois
(a) construire un arbre de dénombrrement
(b) déterminer la probabilité p(X = 3) = ...
(c) déterminer la probabilité p(X = 2) = ...
(d) déterminer la probabilité p(X = 1) = ...
(e) déterminer la probabilité p(X = 0) = ...
(f) en déduire la probabilité p(X > 0) = ...
et interpréter le résultat : ...
3. on lance la pièce n fois où n > 0
(a) esquisser un arbre de dénombrrement
(b) exprimer p(X = 0) en fonction de n : ...
(c) en déduire p(X > 0) en fonction de n : ...
(d) déterminer le plus petit nombre de lancer à effectuer pour que la probabilité d’obtenir"au moins une fois pile" soit de 99%...
6.1.2 activité 2
une personne choisit au hasard un pantalon parmi trois pantalons (un blanc, un rouge et unnoir) puis choisit une chemise au hasard (blanche, jaune ou rouge)
1. combien y a t-il de cas au total ? : ...
2. calculer les probabilités suivantes
(a) p(elle est tout de blanc vêtue) = ...
(b) p(elle porte du blanc) : ...
(c) p(elle porte du blanc et du rouge)= ...
(d) p(elle porte du blanc ou du rouge)= ...
(e) p(elle n’est pas tout de blanc vêtue)= ...
b
b
pant Bb chem Bb chem Rb chem J
b
pant Rb chem Bb chem Rb chem J
b
pant Nb chem Bb chem Rb chem J
6.1.3 activité 3
on choisit au hasard deux élèves distincts dans ce groupe d’élèvesGarçon Fille Total
Seconde 2 1 3
Première 1 1 2
Terminale 1 2 3
total 4 4 8
1. combien y a t-il de cas possibles au total ? : ...
2. déterminer les nombres de cas possibles et probabilités suivantes
(a) nombre de cas où l’on obtient 2 filles = ...
(b) p(les deux élèves sont des filles) = ...
(c) nombre de cas où l’on obtient 2 premières = ...
(d) p(les deux élèves sont des premières) = ...
(e) nombre de cas où l’on obtient un garçon puis une fille = ...
(f) p( un garçon puis une fille) = ...
(g) nombre de cas où l’on obtient deux élèves de genres différents = ...
(h) p( 2 genres différents) = ...
6.1.4 activité 4
on choisit au hasard deux élèves distincts dans ce lycéeGarçon Fille Total
Seconde 280 40 320
Première 820 180 1000
Terminale 300 380 680
total 1400 600 2000
1. combien y a t-il de cas possibles au total ? : ...
2. déterminer les nombres de cas possibles et probabilités suivantes
(a) nombre de cas où l’on obtient 2 filles = ...
(b) p(les deux élèves sont des filles) = ...
(c) nombre de cas où l’on obtient 2 premières = ...
(d) p(les deux élèves sont des premières) = ...
(e) nombre de cas où l’on un garçon puis une fille = ...
(f) p(il y a un garçon puis une fille) : ...
6.2 corrigé activité
activité 1on joue à pile ou face avec une pièce de monnaie équilibrée
(a) on lance la pièce deux foissoit X le nombre de fois où l’on a obtenu "pile"
i.
p(X = 2) =
1
4= 25% d’obtenir deux fois pile
ii.
p(X = 1) =
2
4= 50%
iii.
p(X = 0) =
1
4= 25%
iv. p(X > 0) = 1− p(X = 0)
p(X > 0) = 1− 0, 25 = 0, 75 =
75%
Il y a 75% de chance de faire au moins unefois "pile"
b
b
Pb P : X = 2
b F : X = 1
b
Fb P : X = 1
b F : X = 0
(b) on lance la pièce trois foissoit X le nombre de fois où l’on a obtenu "pile"
i.
p(X = 0) =
1
8= 12, 5%
ii.
p(X > 0) = 1−
1
8= 87, 5%
b
b
P
b
P b P
b F
b
F b P
b F
b
F
b
P b P
b F
b
F b P
b F
(c) on lance la pièce n fois où n > 0
i.
p(X = 0) =
1
2n= (
1
2)n = 0, 5n
ii.
p(X > 0) = 1− 0, 5n
iii. le plus petit nombre de lancer à effectuer pour que la probabilité d’obtenir "au moinsune fois pile" soit de 99% est n = 7 car :un = 1− 0, 5n défini une suite numérique strictement croissante (admis)
n 6 71− 0, 5n ≃ 0, 98 ≃ 0, 992
activité 2
une personne choisit au hasard un pantalon parmi trois pantalons (un blanc, un rouge etun noir) puis une chemise au hasard (blanche, jaune ou rouge)calculer les probabilités suivantes :
(a)
p(elle est tout de blanc vêtue) =
1
9
(b)
p(elle porte du blanc) =
5
9
(c)
p(elle porte du blanc et du rouge) =
2
9
(d)
p(elle porte du blanc ou du rouge) =
8
9
(e)
p(pas tout de blanc vêtue) = 1−
1
9=
8
9
b
b
Bb Bb Rb J
b
Rb Bb Rb J
b
Nb Bb Rb J
activité 3on choisit au hasard deux élèves distincts dans ce lycée
Garçon Fille TotalSeconde 280 40 320
Première 820 180 1000
Terminale 300 380 680
total 1400 600 2000déterminer les probabilités suivantes
(a)
p(2 filles ) =
600 × 599
2000 × 1999=
359400
3998000≃ 9%
(b)
p(2 premières) =
1000 × 999
2000 × 1999=
999000
3998000≃ 25%
(c)
p(un garçon et une fille) =
1400 × 600 + 600 × 1400
2000 × 1999=
1680000
3998000≃ 42%
6.3 à retenir
définition 8 : (expérience aléatoire composée)
(1) une expérience est
composée si elle est constituée
d’ au moins deux expériences aléatoires consécutives
(2) pour
dénombrer l’univers U d’une expérience aléatoire composée
(calculer les nombre de cas possibles) ou tout autre événement A
on peut utiliser un
arbre de dénombrement
Exemples :
a. série de deux lancers d’une pièce équilibréedonc 2× 2 = 4 cas au total
b. série de trois lancers d’un dé à six faces équilibrédonc 6× 6× 6 = 196 cas au total
c. série de trois cartes distinctes dans un jeu usuel de 32 cartesdonc 32× 31× 30 = 29760 cas au total
d. série de 7 numéros distincts parmi 49donc 49× 48× 47× 46× 45× 44× 43 = 432938943360 cas au total
6.4 exercices
exercice 15 :
on lance deux fois un dé équilibré à 8 faces
(a) calculer les probabilités suivantes
i. on obtient un double huit
ii. on obtient aucune fois 8
iii. on obtient au moins une fois 8
(b) combien de fois lancer le dé pour que la probabilité d’avoir au moins une fois 8 soit d’aumoins 99 %
(c) calculer la probabilité que la somme des deux scores soit égale à 12
exercice 16 : on choisit au hasard deux élèves distincts dans ce lycéedéterminer les probabilités suivantes
(a) les deux élèves sont des garçons
(b) les deux élèves sont des terminales
(c) il y a un première et un terminale
Garçon Fille TotalSeconde 280 40 320
Première 820 180 1000
Terminale 300 380 680
total 1400 600 2000
exercice 17 :
une urne contient 4 billes rouges et 8 verteson choisit au hasard et avec remises deux billes dans l’urnecalculer les probabilités suivantes
A. les deux billes sont vertes
B. les deux billes sont rouges
C. les deux billes sont de couleurs différentes
exercice 18 :
une urne contient 4 billes rouges et 8 verteson choisit au hasard et sans remises deux billes dans l’urnecalculer les probabilités suivantes
A. les deux billes sont vertes
B. les deux billes sont rouges
C. les deux billes sont de couleurs différentes
6.5 corrigés exercices
7 exercices
exercice 1 :
dans le Q.C.M. suivant, il n’y a q’une seule bonne réponse par question, une bonne réponserapporte 1 point, une mauvaise enlève 0, 5 points, aucune réponse n’enlève ni ne rapporteaucun point (un score négatif est ramené à 0)
1. avec une pièce de monnaie équilibrée,
p(pile) =? réponse A : 0 réponse B :1
3réponse C :
1
2réponse D : autre
2. avec un dé équilibré à 6 faces numérotées de 1 à 6,
p(2 points) =? réponse A : 1 réponse B :2
6réponse C :
1
6réponse D : 6
3. avec le dé suivant,score 1 2 3 4 5 6 total
probabilités 0, 1 0, 05 0, 2 0, 03 0, 02 ? ?
p(pair) =? réponse A : 0, 05 réponse B : 0, 08 réponse C : 0, 68 réponse D :3
6
4. pour un jeu de 32 cartes (8 ♥, 8 ♦, 8 ♣, 8 ♠), (4 rois, 4 reines, ... ),(16 rouges, 16 noires)dans lequel on choisit une carte au hasard
(a) p(roi) =? réponse A :1
4réponse B :
4
32réponse C :
4
8réponse D : 4
(b) p(coeur) =? réponse A :1
8réponse B :
1
4réponse C :
32
8réponse D : 8
(c) p(roi et coeur) =? réponse A :1
32réponse B :
12
32réponse C :
11
32réponse D : 11
(d) p(roi ou coeur) =? réponse A :1
32réponse B :
12
32réponse C :
11
32réponse D : 11
(e) p(Roi) =? réponse A :4
32réponse B :
32
28réponse C : 87, 5% réponse D : 28%
5. on choisit au hasard un élève dans la classe suivante
garçons filles totalgaucher 3 2 5
droitier 10 15 25
total 13 17 30
(a) p(fille) =? réponse A :2
30réponse B :
17
30réponse C :
2
5réponse D : 17
(b) p(droitier) =? réponse A :17
30réponse B :
15
30réponse C :
25
30réponse D :
10
30
(c) p(fille et droitier) =? réponse A :42
30réponse B :
27
30réponse C :
15
30réponse D :
15
25
(d) p(fille ou droitier) =? réponse A :15
30réponse B :
42
30réponse C :
27
30réponse D : 15
(e) l’élève est choisit parmi les gauchers, quelle est la probabilité qu’il soit une "fille" ?
pG(fille) =? réponse A :2
30réponse B :
3
30réponse C :
2
17réponse D :
2
5
(f) l’élève est choisit parmi les filles, quelle est la probabilité qu’il soit " gaucher" ?
pfille(gaucher) =? réponse A :5
17réponse B :
2
30réponse C :
2
17réponse D :
15
17
6. Une urne contient 2 billes vertes V1 et V2 ainsi qu’une rouge R1
On choisit une bille au hasard, ON LA REMET dans l’urne,On choisit à nouveau une bille dans l’urneOn pourra s’aider d’un des arbres de dénombrement donnés ci dessous
(a) p(2vertes) =? réponse A :1
4réponse B :
2
6réponse C :
1
2réponse D :
4
9
(b) p(2rouges) =? réponse A :1
4réponse B : 0 réponse C :
1
9réponse D :
2
4
7. Une urne contient 2 billes vertes V1 et V2 ainsi qu’une rouge R1
On choisit une bille au hasard,ON NE LA REMET PAS dans l’urne,On choisit à nouveau une bille dans l’urneOn pourra s’aider d’un des arbres de dénombrement donnés ci dessous
(a) Quelle est la probabilité d’obtenir "2 billes vertes" ?
réponse A :1
4réponse B :
2
9réponse C :
1
2réponse D :
2
6
(b) Quelle est la probabilité d’obtenir "2 billes rouges" ?
réponse A :1
4réponse B : 0 réponse C :
1
9réponse D :
2
4
8. On lance deux fois de suite un dé équilibré à 6 faces numérotées de 1 à 6On pourra s’aider d’un des arbres de dénombrement donnés ci dessous
p(double 6) =? réponse A :1
36réponse B : 6 réponse C :
1
6réponse D :
2
6
arbres pour les trois dernières questions
arbre 1
V1
V2
R1
V1
V2
R1
V1
V2
R1
V1
V2
R1
arbre 2
V1
V2
R1
V2
R1
V1
R1
V1
V2
arbre 3
1
23456
1
23456
b b b
exercice 2 :
le jeu consiste à faire tourner cette roue équilibréequi se stabilise sur un des 12 petits secteurs
5e2e
0e
on reçoit le nombre d’euros indiqué
(a) donner les probabilités suivantes
i. p(R = 0), p(R = 2) et p(R = 5)de recevoir respectivement 0e, 2e et 5e,
ii. p(R > 0) (interpréter le résultat par une phrase)
iii. p(R < 5) (interpréter le résultat par une phrase)
(b) combien reçoit-on en moyenne si on prend pour coefficients les probabilités ?
(c) sachant qu’il faut payer 2 euros pour jouer, ce jeu est-il à l’avantage du joueur ou del’organisateur ?
exercice 3 :
une pièce de monnaie est truquée
la probabilité de faire pile avec cette pièce est estimée à p(pile) =3
21donner la valeur exacte de p(face) ainsi que cette valeur en % à 1% près par excès si 5
exercice 4 :
un dé à 6 faces est tel quescore S : 1 2 3 4 5 6 total
probabilité 0,1 0,05 0,15 0,02 0,28
i. compléter les deux cases vides et préciser si le dé est truqué ou non
ii. calculer les probabilités suivantes
A. p(Pair) (probabilité que le score S soit Pair)
B. p(S ≥ 3)
C. p(S > 3)
exercice 5 :
Trois personnes, Ali, Bernard et Claude ont chacune un sac contenant des billes.
Chacune tire au hasard une bille de son sac.
i. Le contenu des sacs est le suivant :
Sac d’Ali : Sac de Bernard : Sac de Claude :
5 billes rouges10 billes rouges
et30 billes noires
100 billes rougeset
3 billes noires
Laquelle de ces personnes a la probabilité la plus grande de tirer une bille rouge ?
ii. On souhaite qu’Ali ait la même probabilité que Bernard de tirer une bille rouge.
Avant le tirage, combien de billes noires faut-il ajouter pour cela dans le sac d’Ali ?
exercice 6 :
on dispose du tableau ci dessous concernant un lycée
Garçon Fille TotalSeconde 140 20 160
Première 410 90 500
Terminale 150 190 340
total 700 300 1000
(a) on choisit au hasard un des élèvescalculer les valeurs des probabilités des événements suivants à 1% près.
i. A : l’élève est une fille
ii. B : l’élève est en première
iii. C : l’élève est un garçon et est en terminale
iv. E : l’élève n’est pas en première
(b) i. on choisit au hasard une fille, quelle est la probabilité qu’elle soit en première ?
ii. on choisit un élève de première, quelle est la probabilité que ce soit une fille ?
exercice 7 :
Un sac contient six boules : quatre blanches et deux noires. Ces boules sont numérotées :
Les boules blanches portent les numéros 1 ; 1 ; 2 et 3 et les noires portent les numéros 1 et2.
1 2
1
31
2
Question A B C
Quelle est la probabilité de tirer une boule blanche ?2
3
6
44
Quelle est la probabilité de tirer une boule portant le numéro 2 ?1
4
1
6
1
3
Quelle est la probabilité de tirer une boule blanche numérotée 1 ?1
3
2
4
3
6
Quelle est la probabilité d’obtenir au moins deux point ?2
6
1
2
2
3
Quelle est la probabilité d’obtenir au plus deux point ?5
6
1
6
3
6
exercice 8 :
Au stand d’une fête foraine, un jeu consiste à tirer au hasard un billet de loterie dans unsac contenant exactement 180 billets.
— 4 de ces billets permettent de gagner un lecteur MP3.— 12 permettent de gagner une grosse peluche.— 36 permettent de gagner une petite peluche.— 68 permettent de gagner un porte-clés.— Les autres billets sont des billets perdants.
Quelle est la probabilité pour un participant :
(a) de gagner un lecteur MP3 ?
(b) de gagner une peluche (grande ou petite) ?
(c) de gagner quelque chose ?
(d) de ne rien gagner ?
exercice 9 :
Pierre a lancé dix fois un dé cubique (non truqué). À chaque fois, il a obtenu 6.Il lance ce dé une 11e fois.
Quelle est la probabilité d’obtenir 6 au 11e lancer ?
exercice 10 :
Dans une classe, un sondage a été fait auprès des élèves pour connaître leur animal préféré.Les résultats sont illustrés dans le graphique ci-dessous.
0
1
2
3
4
5
6
7
chien chat dauphin perroquet araignée lion
On tire au hasard un élève de cette classe,calculer les probabilités suivantes :
(a) p(chat) (la probabilité que l’élève ait un chat pour animal préféré)
(b) p(félin)
(c) p(4 pattes)
exercice 11 :
le jeu consiste à faire tourner cette roue équilibréequi se stabilise sur un des 12 petits secteurs
1
2
34
5
67
8
910
11
12
(a) calculer les probabilités suivantes
i. p(pair), p(gris)
ii. p(gris)
iii. p(pair et gris)
iv. p(pair ou gris)
v. p(pair et gris)
vi. p(pair ou gris)
vii. p(pair et gris)
viii. p(pair ou gris)
(b) pair et gris sont-ils incompatibles ?
(c) gris et S ≥ 9 sont-ils incompatibles ?
exercice 12 :
dans une classe de terminale, pour l’année suivante :— 80% ont fait un dossier de B.T.S— 60% ont fait un dossier d’ I.U.T— 50% ont fait les deux
calculer les probabilités suivantes et interpréter chaque valeur par une phrase
i. p(IUT ), p(BTS)
ii. p(IUT ∪ BTS)
iii. IUT et BTS sont-ils incompatibles ?
exercice 13 :
un dé à 6 faces est tel quescore S : 1 2 3 4 5 6 total
probabilité 0,2 0,15 0,05 0,1 0,3 0,2 1
i. calculer les probabilités suivantes
A. p(impair), p(S > 3)
B. p(impair), p(S > 3)
C. p(S > 3 et impair)
D. p(S > 3 ou impair)
E. S > 3 et impair sont-ils incompatibles ?
exercice 14 :
on dispose du tableau ci dessous concernant un lycée
Garçon : G Fille :F TotalSeconde : S 280 40 320
Première : P 820 180 1000
Terminale : T 300 380 680
total 1400 600 2000
(a) on choisit au hasard un des 2000 élèvescalculer les valeurs des probabilités des événements suivants à 1% près et donner unephrase d’interprétation.
i. p(G)
ii. p(S)
iii. p(S)
iv. p(G ∩ S)
v. p(T ∩ S)
vi. p(G ∪ S)
vii. p(T ∪ S)
viii. p(G ∪ F )
(b) G et S sont-ils incompatibles ?
(c) T et S sont-ils incompatibles ?
exercice 15 :
on lance deux fois un dé équilibré à 8 faces
(a) calculer les probabilités suivantes
i. on obtient un double huit
ii. on obtient aucune fois 8
iii. on obtient au moins une fois 8
(b) combien de fois lancer le dé pour que la probabilité d’avoir au moins une fois 8 soit d’aumoins 99 %
(c) calculer la probabilité que la somme des deux scores soit égale à 12
exercice 16 : on choisit au hasard deux élèves distincts dans ce lycéedéterminer les probabilités suivantes
(a) les deux élèves sont des garçons
(b) les deux élèves sont des terminales
(c) il y a un première et un terminale
Garçon Fille TotalSeconde 280 40 320
Première 820 180 1000
Terminale 300 380 680
total 1400 600 2000
exercice 17 :
une urne contient 4 billes rouges et 8 verteson choisit au hasard et avec remises deux billes dans l’urnecalculer les probabilités suivantes
A. les deux billes sont vertes
B. les deux billes sont rouges
C. les deux billes sont de couleurs différentes
exercice 18 :
une urne contient 4 billes rouges et 8 verteson choisit au hasard et sans remises deux billes dans l’urnecalculer les probabilités suivantes
A. les deux billes sont vertes
B. les deux billes sont rouges
C. les deux billes sont de couleurs différentes
8 devoir maison
8.1 corrigé devoir maison 1
corrigé devoir maison
exercice 1 : 1 page 149
1. probabilité qu’il n’y ait pas de soleil :
p(pas de soleil) = 1− p(soleil) = 1− 0, 05 =
0, 95
2. probabilité qu’il y ait neige, pluie ou verglas :
p(neige ou pluie ou verglas) = 0, 5 + 0, 3 =
0, 8
exercice 2 : 3 page 150
1. tableau de probabilités :
zone 1 2 3 4 5 6 total
probabilité3
24
8
24
4
24
2
24
3
24
4
24
24
24
2. a. probabilité que le numéro soit impair
p(impair) = p(1) + p(3) + p(5) =3
24+
4
24+
3
24=
10
24=
5
12
b. probabilité que le numéro soit un multiple de 3
p(multiple de 3) = p(3) + p(6) =4
24+
4
24=
8
24=
1
3
c. probabilité que le numéro soit inférieur ou égal à 4
p(score ≤ 4) = p(1) + p(2) + p(3) + p(4) =3
24+
8
24+
4
24+
2
24=
17
24
exercice 3 : 6 page 151
1. population totale : 202714 + 215740 =
418454 personnes
2. a. p(A) = p(femme) =215740
418454≃
0, 52
b. p(B) = p(homme entre 30 et 44 ans) =40230
418454≃
0, 1
c. p(C) = p(femme de 60 ans ou plus) =29843 + 21499 + 3297
418454=
54639
418454≃
0, 12
d. p(D) = p(moins de 29 ans) =35620 + 34152 + 42547 + 43116
418454=
155435
418454≃
0, 37
3. C :
la personne n’est pas une femme de 60 ans ou plus
p(C) = 1− p(C) ≃ 1− 0, 12 ≃
0, 88
exercice 4 : 44 page 160
1. a. p(E) = p(externe) =128
749≃
0, 17
b. p(F ) = p(fille) =393
749≃
0, 52
c. p(M) = p(homme et interne) =42
749≃
0, 06
2. pF (D) = p(D.P. sachant fille) =70 + 26
393=
96
393≃
0, 24
3. pD(G) = p(homme sachant D.P.) =256
553≃
0, 46
exercice 5 : 55 page 162
1. tableau
mode de paiement montantM ≤ 200 M > 200 total
espèce 20% × 70% = 14% 2% 16%
chèque 70% − 15%− 14% = 41% 50% − 41% = 9% 50%
carte 15% 34%− 15% = 19% 100% − 16% − 50% = 34%
total 70% 100% − 70% = 30% 100%
2. a. p(A) = p(plus de 200 euros) =
0, 3
b. p(B) = p(carte ou cheque) = 0, 5 + 0, 34 =
0, 84
c. p(C) = p(carte) =
0, 34
3. a. A ∩ C :
l’achat est dépasse 200 et est payé par carte
b. A ∪ C :
l’achat est dépasse 200 ou est payé par carte
4. a. p(A ∩ C) =
0, 19
b. p(A ∪ C) = 0, 3 + 0, 34 − 0, 19 =
0, 45
exercice 6 : 39 page 159
1. p(1) + p(2) + p(3) + p(4) + p(5) + p(6) = 1
p(6) = 1− (p(1) + p(2) + p(3) + p(4) + p(5) + p(6))
p(6) = 1− (0, 2 + 0, 2 + 0, 1 + 0, 1 + 0, 1) =
0, 3
2. a. A et B
ne sont pas incompatibles car un numéro peut-être un diviseur de 15 et ne
pas être un multiple de 3 en même temps, par exemple : 1
b. Les diviseurs de 15 en question sont : 1, 3 et 5p(A) = p(1) + p(3) + p(5) = 0, 2 + 0, 1 + 0, 1 =
0, 4
c. Les scores en question qui ne sont pas des multiples de 3 sont : 1, 2 , 4 et 5p(B) = p(1) + p(2) + p(4) + p(5) = 0, 2 + 0, 2 + 0, 1 + 0, 1 =
0, 6
8.2 corrigé devoir maison 2
exercice 1 : 10 page 153
(a) Au total, il y a 4× 4 =
16 issues
(b) p(V1) =
7
16= 43, 75%
(c) p(2) =
8
16= 50%
(d) p(2 couleurs) =
8
16= 50%
b
b
V1
b V1
b V2
b R1
b R2
b
V2
b V1
b V2
b R1
b R2
b
R1
b V1
b V2
b R1
b R2
b
R2
b V1
b V2
b R1
b R2
exercice 2 : 12 page 153
(a) Au total, il y a 3× 3 =
9 issues
(b) p(JR) =
1
9≃ 11, 1%
(c) p(1 bleu) =
4
9≃ 44, 4%
(d) p(2 couleurs identiques) =
2
9≃ 22, 2%
b
b
Bb Bb Rb N
b
Rb Bb Rb N
b
Jb Bb Rb N
exercice 3 : 31 page 157
1. Au total, il y a 15× 15× 15 =
3375 issues
2. a. nombre d’issues favorables à A : 7× 15 × 7 =
735 issues
b. p(A) =
735
3375≃ 22%
9 évaluations
9.1 évaluation 1
nom, prénom : ... évaluation probabilités
exercice 1 :dans le Q.C.M. suivant, il n’y a q’une seule bonne réponse par question, une bonne réponserapporte 1 point, une mauvaise enlève 0, 5 points, aucune réponse n’enlève ni ne rapporteaucun point (un score négatif est ramené à 0)
1. avec une pièce de monnaie équilibrée,
p(pile) =? réponse A : 0 réponse B :1
3réponse C :
1
2réponse D : autre
2. avec un dé équilibré à 6 faces numérotées de 1 à 6,
p(2 points) =? réponse A : 1 réponse B :2
6réponse C :
1
6réponse D : 6
3. avec le dé suivant,score 1 2 3 4 5 6 total
probabilités 0, 1 0, 05 0, 2 0, 03 0, 02 ? ?
p(pair) =? réponse A : 0, 05 réponse B : 0, 08 réponse C : 0, 68 réponse D :3
6
4. pour un jeu de 32 cartes (8 ♥, 8 ♦, 8 ♣, 8 ♠), (4 rois, 4 reines, ... ),(16 rouges, 16 noires)dans lequel on choisit une carte au hasard
(a) p(roi) =? réponse A :1
4réponse B :
4
32réponse C :
4
8réponse D : 4
(b) p(coeur) =? réponse A :1
8réponse B :
1
4réponse C :
32
8réponse D : 8
(c) p(roi et coeur) =? réponse A :1
32réponse B :
12
32réponse C :
11
32réponse D : 11
(d) p(roi ou coeur) =? réponse A :1
32réponse B :
12
32réponse C :
11
32réponse D : 11
(e) p(Roi) =? réponse A :4
32réponse B :
32
28réponse C : 87, 5% réponse D : 28%
5. on choisit au hasard un élève dans la classe suivante
garçons filles totalgaucher 3 2 5
droitier 10 15 25
total 13 17 30
(a) p(fille) =? réponse A :2
30réponse B :
17
30réponse C :
2
5réponse D : 17
(b) p(droitier) =? réponse A :17
30réponse B :
15
30réponse C :
25
30réponse D :
10
30
(c) p(fille et droitier) =? réponse A :42
30réponse B :
27
30réponse C :
15
30réponse D :
15
25
(d) p(fille ou droitier) =? réponse A :15
30réponse B :
42
30réponse C :
27
30réponse D : 15
(e) l’élève est choisit parmi les gauchers, quelle est la probabilité qu’il soit une "fille" ?
pG(fille) =? réponse A :2
30réponse B :
3
30réponse C :
2
17réponse D :
2
5
(f) l’élève est choisit parmi les filles, quelle est la probabilité qu’il soit " gaucher" ?
pfille(gaucher) =? réponse A :5
17réponse B :
2
30réponse C :
2
17réponse D :
15
17
6. Une urne contient 2 billes vertes V1 et V2 ainsi qu’une rouge R1
On choisit une bille au hasard, ON LA REMET dans l’urne,On choisit à nouveau une bille dans l’urneOn pourra s’aider d’un des arbres de dénombrement donnés ci dessous
(a) p(2vertes) =? réponse A :1
4réponse B :
2
6réponse C :
1
2réponse D :
4
9
(b) p(2rouges) =? réponse A :1
4réponse B : 0 réponse C :
1
9réponse D :
2
4
7. Une urne contient 2 billes vertes V1 et V2 ainsi qu’une rouge R1
On choisit une bille au hasard,ON NE LA REMET PAS dans l’urne,On choisit à nouveau une bille dans l’urneOn pourra s’aider d’un des arbres de dénombrement donnés ci dessous
(a) Quelle est la probabilité d’obtenir "2 billes vertes" ?
réponse A :1
4réponse B :
2
9réponse C :
1
2réponse D :
2
6
(b) Quelle est la probabilité d’obtenir "2 billes rouges" ?
réponse A :1
4réponse B : 0 réponse C :
1
9réponse D :
2
4
8. On lance deux fois de suite un dé équilibré à 6 faces numérotées de 1 à 6On pourra s’aider d’un des arbres de dénombrement donnés ci dessous
p(double 6) =? réponse A :1
36réponse B : 6 réponse C :
1
6réponse D :
2
6
arbres pour les trois dernières questions
arbre 1
V1
V2
R1
V1
V2
R1
V1
V2
R1
V1
V2
R1
arbre 2
V1
V2
R1
V2
R1
V1
R1
V1
V2
arbre 3
1
23456
1
23456
b b b
exercice 2 :
on dispose du tableau ci dessous concernant un lycée
Garçon Fille TotalSeconde 280 40 320
Première 820 180 1000
Terminale 300 380 680
total 1400 600 2000
1. on choisit au hasard un des 2000 élèveson considère les événements suivants :
A : l’élève est une fille B : l’élève est en première
(a) calculer p(A) à 1% près et donner une phrase d’interprétation
(b) calculer p(B)
(c) définir l’événement A ∩B par une phrase et donner la probabilité p(A ∩B) à 1% près
(d) définir l’événement A ∪B par une phrase et donner la probabilité p(A ∪B)
(e) définir l’événement A par une phrase et donner la probabilité p(A)
(f) les événements A et B sont-ils incompatibles ? (justifier)
(g) donner deux événements incompatibles pour l’énoncé de cet exercice
exercice 3 :le jeu consiste à faire tourner cette roue équilibréequi se stabilise sur un des 12 petits secteurs
5
1
2
1. on reçoit le nombre R d’euros indiqué selon le grand secteur
(a) quelles sont les valeurs possibles pour R en euros ?
(b) donner la probabilité p(R = 5) de recevoir 5 e puisdonner p(R = 1) et p(R = 2) à 1% près
(c) déterminer les probabilités p(R ≥ 2) et p(R < 2)
(d) i. compléter le tableau ci dessoussomme reçu : R 5 total
probabilité
ii. calculer la moyenne des valeurs de R en prenantpour coefficients les probabilités (arrondir à 0,1 e)
(e) pour jouer à ce jeu (1 lancer de roue), il faut payer au préalable la somme de 2 e
i. est-il plus probable de gagner de l’argent ou est-il plus probable de ne pas gagnerd’argent en jouant une fois à ce jeu ? ( justifier)
ii. combien gagne t-on en moyenne si on joue un grand nombre de fois à ce jeu ?
9.2 corrigé évaluation 1
nom, prénom : ... évaluation probabilités
exercice 1 :dans le Q.C.M. suivant, il n’y a q’une seule bonne réponse par question, une bonne réponserapporte 1 point, une mauvaise enlève 0, 5 points, aucune réponse n’enlève ni ne rapporteaucun point (un score négatif est ramené à 0)
1. avec une pièce de monnaie équilibrée,
p(pile) =? réponse A : 0 réponse B :1
3
réponse C :
1
2réponse D : autre
2. avec un dé équilibré à 6 faces numérotées de 1 à 6,
p(2 points) =? réponse A : 1 réponse B :2
6
réponse C :
1
6réponse D : 6
3. avec le dé suivant,score 1 2 3 4 5 6 total
probabilités 0, 1 0, 05 0, 2 0, 03 0, 02 ? ?
p(pair) =? réponse A : 0, 05 réponse B : 0, 08
réponse C : 0, 68 réponse D :
3
6
4. pour un jeu de 32 cartes (8 ♥, 8 ♦, 8 ♣, 8 ♠), (4 rois, 4 reines, ... ),(16 rouges, 16 noires)dans lequel on choisit une carte au hasard
(a) p(roi) =? réponse A :1
4
réponse B :
4
32réponse C :
4
8réponse D : 4
(b) p(coeur) =? réponse A :1
8
réponse B :
1
4réponse C :
32
8réponse D : 8
(c) p(roi et coeur) =?
réponse A :
1
32réponse B :
12
32réponse C :
11
32réponse D : 11
(d) p(roi ou coeur) =? réponse A :1
32réponse B :
12
32
réponse C :
11
32réponse D : 11
(e) p(Roi) =? réponse A :4
32réponse B :
32
28
réponse C : 87, 5% réponse D : 28%
5. on choisit au hasard un élève dans la classe suivante
garçons filles totalgaucher 3 2 5
droitier 10 15 25
total 13 17 30
(a) p(fille) =? réponse A :2
30
réponse B :
17
30réponse C :
2
5réponse D : 17
(b) p(droitier) =? réponse A :17
30réponse B :
15
30
réponse C :
25
30réponse D :
10
30
(c) p(fille et droitier) =? réponse A :42
30réponse B :
27
30
réponse C :
15
30réponse D :
15
25
(d) p(fille ou droitier) =? réponse A :15
30réponse B :
42
30
réponse C :
27
30réponse D : 15
(e) l’élève est choisit parmi les gauchers, quelle est la probabilité qu’il soit une "fille" ?
pG(fille) =? réponse A :2
30réponse B :
3
30réponse C :
2
17
réponse D :
2
5
(f) l’élève est choisit parmi les filles, quelle est la probabilité qu’il soit " gaucher" ?
pfille(gaucher) =? réponse A :5
17réponse B :
2
30
réponse C :
2
17réponse D :
15
17
6. Une urne contient 2 billes vertes V1 et V2 ainsi qu’une rouge R1
On choisit une bille au hasard, ON LA REMET dans l’urne,On choisit à nouveau une bille dans l’urneOn pourra s’aider d’un des arbres de dénombrement donnés ci dessous
(a) p(2vertes) =? réponse A :1
4réponse B :
2
6réponse C :
1
2
réponse D :
4
9
(b) p(2rouges) =? réponse A :1
4réponse B : 0
réponse C :
1
9réponse D :
2
4
7. Une urne contient 2 billes vertes V1 et V2 ainsi qu’une rouge R1
On choisit une bille au hasard,ON NE LA REMET PAS dans l’urne,On choisit à nouveau une bille dans l’urneOn pourra s’aider d’un des arbres de dénombrement donnés ci dessous
(a) Quelle est la probabilité d’obtenir "2 billes vertes" ?
réponse A :1
4réponse B :
2
9réponse C :
1
2
réponse D :
2
6
(b) Quelle est la probabilité d’obtenir "2 billes rouges" ?
réponse A :1
4
réponse B : 0 réponse C :
1
9réponse D :
2
4
8. On lance deux fois de suite un dé équilibré à 6 faces numérotées de 1 à 6On pourra s’aider d’un des arbres de dénombrement donnés ci dessous
p(double 6) =?
réponse A :
1
36réponse B : 6 réponse C :
1
6réponse D :
2
6
arbres pour les trois dernières questions
arbre 1
V1
V2
R1
V1
V2
R1
V1
V2
R1
V1
V2
R1
arbre 2
V1
V2
R1
V2
R1
V1
R1
V1
V2
arbre 3
1
23456
1
23456
b b b
exercice 2 :
Garçon Fille TotalSeconde 280 40 320
Première 820 180 1000
Terminale 300 380 680
total 1400 600 2000
1. on choisit au hasard un des 2000 élèveson considère les événements suivants :
A : l’élève est une fille B : l’élève est en première
(a) probabilité que l’élève soit une fille = p(A) =600
2000=
0, 3
(b) p(B) =1000
2000=
0, 5
(c) probabilité que l’élève soit "Garçon et terminal" = p(A ∩B) =300
2000=
0, 15
(d) probabilité que l’élève soit "Garçon ou terminal"
p(A ∪B) = p(A) + p(B)− p(A ∩B) =1400
2000+
680
2000−
300
2000=
1780
2000=
0, 89
(e) probabilité que l’élève ne soit pas une fille = p(A) = 1− p(A) = 1− 0, 3 =
0, 7
2. les événements A et B ne sont pas incompatibles car A ∩B 6= ∅( un élève peut-être une fille et en première en même temps )
3. "Garçons" et "filles" sont des événements incompatibles( un élève ne peut-être une fille et un garçon en même temps )
exercice 3 :
5
1
2
1.(a) R ∈ 1; 2; 5
(b) p(R = 5) =3
12= 25% p(R = 1) =
4
12≃ 33%
p(R = 2) =5
12≃ 42%
(c) p(R ≥ 2) = p(R = 1) + p(R = 2) =9
12= 75%
p(R < 2) = p(R = 1) = 25%
(d) i.somme reçu : R 1 2 5 total
probabilité4
12
5
12
3
121
ii. moyenne des valeurs de R :4
12× 1 +
5
12× 2 +
3
12× 5 =
29
12≃
2, 42 euros
(e) pour jouer à ce jeu (1 lancer de roue), il faut payer au préalable la somme de 2 e
i. il est plus probable de ne pas gagner d’argent en jouant une fois à ce jeu car onne gagne pas d’argent si on fait 1 ou 2 , ce qui se produit avec une probabilité de9
12= 75%
ii. on gagne en moyenne 2, 42 e si on joue un grand nombre de fois à ce jeu
b
b
P
b
P b P
b F
b
F b P
b F
b
Fb
P b P
b F
b
F b P
b F
b
b
P
b
Pb
P b Pb F
b
F b P
b F
b
Fb
P b P
b F
b
F b P
b F
b
F
b
Pb
P b P
b F
b
F b P
b F
b
Fb
P b P
b F
b
F b P
b F
10 révision
exercice :
on dispose du tableau ci dessous concernant un lycée
Garçon Fille TotalSeconde 280 40 320
Première 820 180 1000
Terminale 300 380 680
total 1400 600 2000
1. on choisit au hasard un des 2000 élèves
(a) calculer les probabilités des événements suivants :F : l’élève est une fille G : l’élève est un garçon S : l’élève est en secondeP : l’élève est en première T : l’élève est en terminale
(b) définir les événements suivants par une phrase et donner leur probabilitéF ∩ S
F ∪ S
S
2. on choisit au hasard un des garçonsquelle est la probabilité qu’il soit en seconde ?
3. on choisit au hasard un des secondesquelle est la probabilité qu’il soit un garçon ?
4. on choisit au hasard deux élèves (on peut retomber sur le même)
(a) quelle est la probabilité de tomber sur deux secondes ?
(b) quelle est la probabilité de tomber sur deux garçons ?
quelle est la probabilité de tomber sur deux secondes ?