1

Problema 1

Una vettura di Formula 1 parte da fermo, con accelerazione costantea per un trattoD= 400 m in cui raggiunge la velocita massimav f . Al tempoT = 16.5 s ha percorsoL = 1 km (tutto in rettilineo).Calcolare: (a) l’accelerazione e (b) la velocita massima.(c) Se si vuole che l’auto si arresti dopo 200 m, che decelerazionedovranno produrre i freni?

Il moto della macchina si divide in due parti; prima un moto uniformemente accelerato e poi un moto rettilineo ed uniforme.1) Moto uniformemente accelerato in cui raggiunge una certa velocita in un dato spazio. Siat1 il tempo che dura il motoaccelerato. Possiamo scrivere

D =12

at21 v f = at1

1) Moto rettiline ed uniforme. Questo moto avviene a velocitav f , dura un tempoT − t1 e durante questo moto la macchinapercorre un tratto di stradaL−D. Possiamo allora scrivere

L−D = v f (T − t1)

Otteniamo cosı un sistema di tre equazioni nelle tre incognite v f , a e t1, che possiamo risolvere facilmente.Sostituendo la relazionev f = at1 nelle altre, abbiamo.

D =12

at21 L−D = at1(T − t1)

E dalla prima di queste si ricava

at1 =2Dt1

che sostituita nella seconda ci da una semplice equazione diprimo grado int1 che vale

L−D =2Dt1

(T − t1) ⇒ t1 =2DTL+D

= 9.43 s

Da questa troviamo poi

a =2D

t21

= 9 m/s2 v f = at1 = 84.8 m/s

Se vogliamo che la macchina si arresti ind = 200 m, abbiamo un moto uniformemente decelerato con velocita inizialev f e, set2e il tempo che la macchina impiega a fermarsi, scriveremo

d = v f t2−12

a′t22 0= v f − a′ t2

Risolvendo nelle due incognitet2 e a′ troviamo

a′ =v2

f

2d= 18 m/s2

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

Problema 2

Un tram parte dalla fermata A e accelera uniformemente per 30s fino a raggiungere la velocitav0 = 36 km/h. Prosegue a questavelocita per 50 s e inizia a frenare 40 m prima della fermata Bdove si arresta.Calcolare: (a) l’accelerazione inizialea0; (b) il tempo di viaggio fra A e B; (c) la velocita media fra A eB.

Abbiamo un moto diviso in tre parti1) Moto uniformemente accelerato in cui raggiunge una certa velocita in un certo tempo

x(t) =12

a0 t2 v(t) = a0 t

Set1 e il tempo del moto unif. accelerato, dall’equazione sullavelocita abbiamo

v(t1) = a0t1 = v0 → a0 =v0

t1= 0.333 m/s2

Calcoliamo anche lo spazio percorso, utile dopo.

l1 =12

a0 t1 =12

v0t1 = 150 m

2) Moto rettilineo uniforme

x(t) = v0 t v(t) = v0

Calcoliamo lo spazio percorso int2 = 50 s

l2 = v0t2 = 500 m

3) Moto uniformemente decelerato dove, da una velocitav0 il tram si ferma in uno spaziol3 = 40 m.

x(t) = v0 t −12

a1 t2 v(t) = v0− a1t

Al tempot3 la velocita si annulla e cioe

v(t3) = v0− a1t3 = 0 → t3 =v0

a1

e sostituendo nell’equazione dello spazio troviamo

l3 = x(t3) = v0 t3−12

a1 t23 =

v20

2l3→ a1 =

v20

2l3

e volendo conosceret3

t3 =v0

a1=

2l3v0

= 8 s

Il tempo totale e la somma dei tre tempi

Ttot = t1+ t2+ t3 = 88 s

La velocita media e lo spazio totale diviso il tempo totale, cioe

v =l1+ l2+ l3t1+ t2+ t3

= f rac150+500+4088= 7.84 m/s

12

Problema 3

Un punto materiale si muove lungo una retta di moto uniformemente accelerato. Si misura la sua velocita a due istanti successivi,t1 = 3 s et2 = 9 s trovandov1 = 10 m/s,v2 = 8 m/s.Sapendo che at = 0 x = 0 trovare: (a) l’accelerazione; (b) la velocita inizialev0 all’istantet = 0; (c) il valore dix∗ in cui la suavelocita si annulla.

Scriviamo le equazioni orarie di un moto uniformemente decelerato

x(t) = v0 t −12

at2 v(t) = v0− at

avendo messo il segno meno nell’equazione saraa> 0. Imponiamo ora che ai tempit1 et2 la velocita valgav1 ev2 rispettivamente.

v(t1) = v0− at1 = v1 v(t2) = v0− at2 = v2

che e un sistema di due equazioni e due incognite (a ev0). Sottraendo la seconda dalla prima abbiamo

v1− v2 = v0− a(t2− t1) ⇒ a =v1− v2

t2− t1= 0.333 m/s2

e sostituendo tale valore dia nella prima equazione abbiamo

v0 = v1+ at1 = 11 m/s

Set∗ e l’istante in cui si ferma

v(t∗) = v0− at∗ = 0 ⇒ t∗ =v0

a

che sostituito nell’equazione oraria dello spazio percorso ci da

x∗ = x(t∗) = v0 t∗−12

at∗2 =v2

0

2a= 181.5 m

13

Problema 4

Un treno (punto materiale) viaggia dalla stazione di Marinaalla stazione di Castello distante 19 km. Partendo da Marina, acceleracon accelerazione costanteA fino a raggiungere la velocitaV0 = 39 km/h. Nella fase di accelerazione impiegata = 4 minuti.Mantiene poi questa velocita fino a quando si trova ad una distanzaL dalla stazione di Castello. Inizia quindi a frenare conaccelerazioneA′ =−2A fino ad arrestarsi a Castello.(a) Quanto vale la distanzaL? (b) Per quanto tempo il treno viaggia a velocita costante?(c) Qual’e la velocita media del treno frale due stazioni?

Anche in questo caso abbiamo tre moti successivi diversi1) Moto uniformemente accelerato in cui raggiunge una certa velocita in un certo tempo

x(t) =12

At2 v(t) = At

Set1 = ta e il tempo del moto unif. accelerato, dall’equazione sullavelocita abbiamo

v(t1) = At1 =V0 ⇒ A =V0

t1= 0.0451 m/s2

Calcoliamo anche lo spazio percorso, utile dopo.

l1 =At12

=V0 t1

2= 1300 m

2) Moto rettilineo uniforme in cui valel2 =V0t2

3) Moto uniformemente decelerato dove conosco la velocita inizialeV0 e la decelerazione e trovo spazio (l3) e tempo (t3) difrenata.

v(t3) =V0−2At3 = 0 ⇒ t3 =V0

2A=

t12= 120 s

e per lo spazio percorso

l3 =V0t3−At23 =

V0t32

= 650 m

Per calcolare il tempo in cui il treno viaggia a velocita costante e la velocita media, calcoliamo lo spaziol2 percorso av costante,che valel2 = L− l1− l3 = 17050 mt e quindi

t2 =l2V0

= 1574 s v =L

t1+ t2+ t3= 9.82 m/s

14

Problema 5

Nel salto con sci assistito lo sciatore viene accelerato su un piano inclinato (supposto senza attrito) che funge da trampolinomediante una massaM e una carrucola (vedi figura). Dati: inclinazione del pianoθ = 40o; massa dello sciatorem = 70 kg; massadel bloccoM = 340 kg; altezza del trampolinoH = 15 m. Lo sciatore parte da quota zero e la corda e la carrucola sono prive dimassa.Trovare (a) l’accelerazione dello sciatore sul piano; (b) il modulo della sua velocita quando si stacca dal trampolino; (c) lalunghezza del salto misurata dalla base del trampolino.

Calcoliamo il tempo che ci mette il proiettile ad arrivareall’altezzaH = 2000 m.

15

Problema 6

Un punto materiale si muove lungo una retta secondo la legge oraria x(t) = V0 t −B t3 (V0 = 12 m/s). Misurando la velocita altempoT = 5 s si trova che ha il valore−V0.Determinare: (a) il valore della costanteB; (b) la velocita media nel tempo 0−T ; (c) l’accelerazione media nello stesso intervallo.

16

Problema 7

Un tram parte da fermo e procede con accelerazione costante per un trattol1 = 800 m raggiungendo la velocitaV0 = 48 km/h.Procede a tale velocita per un tempot2, dopodiche inizia a frenare con accelerazione costantea′ =−0.4 m/s2.Sapendo che il tempo totale del viaggio eT = 6 min trovare: (a) l’accelerazione inizialea; (b) il tempo di viaggio a velocitacostantet2; (c) la lunghezza totale del viaggioL.

17

Problema 8

Su un circuito di Formula 1 una Ferrari e una Renault compionoil primo giro (lunghezza 1 km) alla stessa velocita media di144km/h. La Ferrari ha accelerato con accelerazione costantea1 pert1 = 5 s e poi ha continuato a velocita costantev1. La Renault haaccelerato con accelerazionea2 pert2 = 6 s portandosi alla velocitav2.Determinare: (a) l’accelerazione della Ferrari; (b) l’accelerazione della Renault; (c) la differenza di velocitav1− v2.

18

Problema 9

Un cannone antiaereo (vedi figura) spara un proiettile con velocita v0 = 400 m/s e alzoα = 60o e colpisce un aereo che volaorizzontalmente alla quotaH = 2000 m. Il proiettile e stato sparato un tempoT = 1 s prima che l’aereo passasse sulla verticaledel cannnone.Trovare: (a) ilt∗ tempo trascorso fra lo sparo e l’impatto del proiettile con l’aereo; (b) la velocita dell’aereo; (c) se l’aereo inizia aprecipitare a quale distanza dal cannone cadra?

t* t=0

H

α

Calcoliamo il tempo che ci mette il proiettile ad arrivareall’altezzaH = 2000 m.

H = v0sinαt∗−12

gt∗2

da cui otteniamo

t∗ =v0sinα±

√

v20sin2 α−2gH

g

Va presa la soluzione col segno meno in quanto corri-sponde alla traiettori ascendente del proiettile, quella piugrande (segno piu) alla parte di traiettoria discendente.Poiche l’aereo transita sulla coordinatax del cannonedopo un tempoT = 1 s dallo sparo del cannone, lavelocita dell’aereo vale

V0 =L

t∗−T=

v0cosαt∗

t∗−T

e L e la distanza orizzontale del punto in cui l’aereo e colpito dal cannone.Una volta colpito, l’aereo fa la traiettoria di un punto materiale con velocita inizialeV0 diretta lungox che cade da un’altezzaH = 2000 m. Troviamo il tempo che ci mette per precipitare (da quando e colpito a quando impatta al suolo.

H −12

gt2 = 0 ⇒ t =

√

2Hg

In questo tempo l’aereo percorre lo spazio:

L′ =V0t =V0

√

2Hg

La distanza totale del punto in cui cade l’aereo dal cannone si ottiene sommando a questa la distanza del punto in cui l’aereo vienecolpito dal cannone

Ltot = v0cosαt∗+L′

19

Problema 10

Un corpo pesante e lasciato cadere da un altezzaH = 2 m rispetto al suolo. Ad una distanza (orizzontale)d = 3 m dalla traiettoriaverticale e posto un piccolo cannone che puo sparare in orizzontale ad un’altezzah = 30 cm dal suolo (vedi figura). Si vuole cheil cannone colpisca il corpo proprio nel momento che questo arriva al suolo.Trovare (a) la velocitav0 con cui il proiettile deve essere sparato; (b) il tempo∆t che intercorre tra l’istante in cui il corpo vienelasciato cadere e lo sparo del cannone; (c) l’angoloα tra le due traiettorie al momento dell’impatto al suolo

d

H

h

0vα

Siat1 il tempo che ci mette il corpo a scendere dall’altez-zaH e siat2 il tempo che ci mette il proiettile a toccareil suolo.

t1 =

√

2Hg

= 0.6387 s t2 =

√

2hg

= 0.2474 s

Da queste ricaviamo la velocita del proiettile e il∆t

v0 =dt2

= 12.13 m/s ∆t = t2− t1 = 0.3913 s

Per calcolareα, calcoliamo dapprima l’angoloθ che ilproiettile forma con l’orizzontale. Le componenti dellavelocita del proiettile al momento dell’impatto

vx = v0= 0.6387 s vy =−gt2= 2.426 s θ= tan−1(

vy

vx

)

= 11.31◦

L’angolo tra le due traiettorie sara allora

α = 90◦−θ = 78.69◦

20

Problema 11

Un corpo pesante, inizialmente fermo, viene lasciato cadere da un’altezza diH = 12 m. Ad una distanza orizzontaled = 4m dalpunto di arrivo del corpo al suolo e posizionato un piccolo cannone che puo sparare un proiettile con velocita inizialev0 = 12 m/se alzoα = 60o (vedi figura). Affinche il proiettile del cannone colpisca il corpo in volo, calcolare (a) quanto tempo∆t deve passaretra l’istante in cui il corpo inizia la sua caduta e lo sparo del cannone; (b) a che altezzah il proiettile colpisce il corpo; (c) quantovale la velocita del proiettile al momento in cui colpisce il corpo.

αv0

d

H

h

Sianot1 e t2 i tempi che impiegano rispettivamente ilproiettile e il corpo in caduta verticale ad arrivare alpunto d’incontro. Possiamo allora scrivere

h = H −12

gt22

h = v0sinαt1−12

gt21

d = v0cosαt1

cioe un sistema di tre uqazioni e tre incognite. Dallaterza ricaviamo subito

t1 =d

v0cosαv0 = 0.667 s

e sostituendo questo valore nella seconda troviamo

h = v0sinαt1−12

gt21 = 4.75 m

Trovatoh dalla prima equazione del sistema troviamo anchet2

t2 =

√

2(H − h)g

= 1.216 s

A questo punto il tempo che bisogna aspettare a spararecol cannone dall’istante che il corpo e stato lanciato vale

∆t = t2− t1 = 0.549 s

Per calcolare la velocita del proiettile al momentodell’impatto passiamo per le componenti

vx = v0cosα = 6 m/s

vy = v0sinα− gt1 = 3.855 m/s

v =√

v2x + v2

y = 7.13 m/s

21

Problema 12

La velocita di un proiettile sparato da un cannone ev0 = 50 m/s. Se la gittata valeL = 200 m e la massima altezza raggiunta eh = 103 m , calcolare (a) l’angolo che il cannone forma con l’orizzontale e (b) il tempo di volo del proiettile.Si calcoli infine (c) per quale altro angolo si ottiene la stessa gittata.

������������������������������������������������������������������������

L

v0

α

Il problema si risolve...

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37