Calculo 1

PROBLEMAS MAXIMOS Y MINIMOS, CONCAVIDADES, OPTIMIZACIN1. Establezca si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas

a)

es un punto de inflexin de b) Si es continua en c, f (x) > 0 cerca de a la izquierda y f (x) < 0 cerca de a la derecha, entonces es un valor mnimo local de

c) es un punto crtico de

2. Analizar los siguientes puntos:

(a) Cuntos puntos de inflexin puede tener como mximo una funcin polinmica de cuarto grado?(b) Dibujar la grafica de una funcin que sea derivable en con y que no tenga mximo ni mnimo en ese punto.(c) Cul es la relacin entre la concavidad de una funcin, los puntos de inflexin y la segunda derivada?(d) Dibuje la grafica de una funcin que cumpla las siguientes condiciones , ,, , si ,, si

(e) Se considera la funcin , siendo a un parmetro real. Compruebe si existe algn valor de a para el cual tenga un punto de inflexin en 3. Dibuje la grfica de una posible funcin g continua en todo el eje real que cumple las siguientes propiedades:

4. Dada la funcin , y Determine:

a) Las asntotas de

b) Intervalos de monotona y extremos relativos

c) Intervalos de concavidad y puntos de inflexin

d) Grafica de , considerando los pasos anteriores. 5. Determinar las constantes A y B de manera que la curva tenga un punto de inflexin en .6. Determine y de modo que tenga un extremo relativo en el punto y que la grafica de tenga un punto de inflexin en .

7. Estudia el crecimiento y las concavidades de las siguientes funciones. Halla sus mximos, mnimos y puntos de inflexin, grafique:

8. Sea .Demostrar que el valor mnimo de en es

9. Realizar un bosquejo de la grafica de una funcin que satisfaga las siguientes condiciones:

10. Dibuje la grafica de alguna funcin continua que satisfaga las siguientes condiciones: ; diferenciable en todo nmero excepto en ;

EMBED Equation.3 y en la tangente es vertical11. A continuacin se muestra la grfica de la primera derivada de una funcin continua. Se pide:a. Determinarlos valores en donde tiene valores extremos, si existen.

b. Hallar los puntos de inflexin, si existen.

c. Graficar la funcin sabiendo que pasa por los puntos y .

EJERCICIOS: OPTIMIZACION

1. Determina dos nmeros cuya suma sea 24 y tales que el producto de uno de ellos por el cubo del otro sea mximo

2. Calcula el rea mxima que puede tener un tringulo rectngulo tal que la suma de las longitudes de sus dos catetos vale 4 cm.3. Si se quiere vallar un campo rectangular que est junto a un camino. Si la valla del lado del camino cuesta 80 Euros/m y la de los otros 10 Euro/m, halla el rea del mayor campo que puede cercarse con 28800 Euros.

4. Las pginas de un libro deben medir cada una 600 cm2 de rea. Sus mrgenes laterales y el inferior miden 2 cm. y el superior mide 3 cm. Calcular las dimensiones de la pgina que permitan obtener la mayor rea impresa posible

5. A partir de una cartulina cuadrada de 60 cms de lado se va a construir una caja de base cuadrada, sin tapa, a base de recortar cuatro cuadrados iguales en las esquinas de la cartulina y doblando despus de la manera adecuada. Un observador indica que la caja de ms capacidad se obtendr si los cuadrados eliminados tienen 10 cm. de lado. Decidir si la observacin es correcta o no.

6. Cules son las dimensiones del rectngulo de rea ms grande que tenga su base sobre el eje de las abscisas y sus otros dos vrtices por encima del eje X en la parbola y = 8 x2 ?

7. Halle una ecuacin de la recta que pasa por el punto ( 3 , 5 ) y corta un rea mnima en el primer cuadrante.

8. Calcular la base y la altura del triangulo issceles de permetro 8 y rea mxima9. Se quiere inscribir un rectngulo dentro de un semicrculo de radio 2. Cul es el rea ms grande que puede tener el rectngulo y cules son sus dimensiones?

10. Entre todos los rectngulos de permetro 12 cm. cul es el que tiene la diagonal menor?ADICIONALES

1. Para ciertas funciones , su derivada est dada por las expresiones siguientes. Analiza en qu intervalos abiertos de x la funcin es creciente y en cules es decreciente:

a) b)

c) d)

2. Expresa los intervalos abiertos en los que cada funcin es cncava hacia arriba o cncava hacia bajo, adems encuentra la posicin de los puntos de inflexin si es que existen.

a)

b)

c) d)

3. Trace la grafica de una funcin definida en , continua en y en, y que no tenga valores extremos absolutos ni relativos

4. Dada la funcin , determinar los valores extremos relativos que se puedan hallar:a) Usando el criterio de la segunda derivadab) Usando el criterio de la primera derivada

5. Para la funcin , se pide:

a. Los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los valores extremos(si existen)

b. Los intervalos de concavidad y los puntos de inflexin (si existen)

c. Dibujar la grfica de con todos los elementos anteriores

6. Si.Cul de estas proposiciones es cierta? .Justifiquea) tiene un mximo o mnimo en

b) tiene en tangente paralela al eje OX

7. Dada la funcin , donde a es un nmero natural mayor que 1, utilizando el criterio de la segunda derivada verificar si es un mximo o mnimo relativo

8. Sea , con a un parmetro real.

a) Calcular los valores del parmetro a para que f(x) tenga un mximo o un mnimo en x = 3. Para estos valores del parmetro, decir si x = 3 es mximo o mnimo.

b) Para a = (2, escribir los intervalos de crecimiento, decrecimiento, concavidad y convexidad de

EMBED Word.Picture.8

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