RESOLUCIN DE PROBLEMAS

Antonio Bueno Aroca

Juan Martnez-Tbar Gimnez

Durante una interesante charla en el Curso de

Altas Capacidades en Matemticas: 1 de cada 5 participantes se duerme exactamente 2 veces.

Para cada 2 participantes, hay un momento en el cual se duermen simultneamente.

Demostrar que: en algn momento de la conferencia, 3 de los participantes estn durmiendo al mismo tiempo

(Murray Klamkin)

Para comenzar un problema

1. RESOLUCIN DE PROBLEMAS. INTRODUCCIN 2. VENTAJAS 3. COMENTARIOS 4. QU ES UN PROBLEMA? 5. HISTORIA 6. MARCO TERICO 7. MODELOS DE RESOLUCIN DE PROBLEMAS 8. FASES 9. ESTRATEGIAS HEURSTICAS 10. ACTITUDES, BLOQUEOS Y CREATIVIDAD 11. POSIBLES OBSTCULOS 12. UNA CLASE DE RESOLUCIN DE PROBLEMAS 13. BIBLIOGRAFA

1. INTRODUCCIN

Desde la ms remota antigedad la actividad primordial del matemtico ha sido la resolucin de problemas

La resolucin de problemas debe ser el foco de las matemticas escolares de los 90 (Primera recomendacin del National Council of Teacher of Mathematics. 1981)

Ensear matemticas basndose fundamentalmente en la ocupacin activa con problemas alrededor de los contenidos que se pretende impartir (Miguel de Guzmn)

Un gran descubrimiento resuelve un gran problema, pero en todo problema hay un descubrimiento (Polya)

El paso decisivo para resolver un problema es saber que existe y saber plantearlo (Einstein)

El arte de ser aburrido consiste en contarlo todo (Voltaire)

La enseanza de las matemticas debe incluir en todos los niveles, desde los 6 a los 18 aos, oportunidades para: Explicaciones a cargo del profesor Discusiones entre profesor y alumno y entre los alumnos mismos Trabajo prctico apropiado Consolidacin de prctica de tcnicas y rutinas fundamentales Resolucin de problemas, incluida la aplicacin de las Matemticas a situaciones de la vida diaria Trabajos de investigacin.

(Informe Cockcroft prrafo 243)

2. VENTAJAS Es lo mejor que se puede proporcionar a una persona. Ayuda a equipar a la persona para su actividad

integral, no solamente en lo que se refiere a sus capacidades matemticas.

El mundo evoluciona rpidamente. Tenemos la obligacin de preparar personas que en el futuro van a enfrentarse a situaciones desconocidas. Los procesos mentales no se hacen obsoletos.

Alto valor motivador. El profesor de matemticas no debera contentarse

con dispensar el saber, sino que tambin debera intentar desarrollar en los estudiantes la capacidad de utilizar ese saber; debera insistir en el saber hacer, en las actitudes adecuadas, en los hbitos intelectuales deseables (Polya)

3. COMENTARIOS El aprendizaje de la resolucin de problemas es un

proceso a largo plazo. Es preciso resolver muchos problemas Hay estudios que confirman que la enseanza

expresa de las etapas, cadencias, tcnicas y estrategias consigue mejores resultados que la mera prctica espontnea

Esa ayuda slo puede ser eficaz si se ejerce sobre problemas concretos y no como pre-requisito terico

Cuando un alumno se hace preguntas y toma decisiones est en el terreno de una investigacin

Evaluar: Estimar ms lo que un alumno/a sabe dentro de sus posibilidades que lo que ignora dentro de un baremo nico para todos.

Tratamiento de la diversidad: distintos niveles de resolucin

Propicia el trabajo en equipo Terminar con una presentacin pblica de

resultados que haga posible los debates y la integracin de diferentes puntos de vista.

4. QU ES UN PROBLEMA? Heurstica: arte de la resolucin de problemas Un problema es un obstculo que separa la situacin actual de la meta deseada (Bransford y Stein)

Problema o ejercicio? Un problema matemtico es una situacin en la que hay un objetivo por conseguir, superando una serie de obstculos, siempre que el sujeto que afronta la situacin no conozca procedimientos o algoritmos que le permitan alcanzar el objetivo

Problema o investigacin? La investigacin es un proceso ms abierto donde el sujeto se plantea los objetivos que quiere conseguir

5. HISTORIA Pappus de Alejandra Primer gran estudioso de heurstica conocido Coleccin Matemtica Ao 320. Libro VI Comenta obras de autores anteriores Reflexiones propias sobre procesos de razonamiento Mtodo de anlisis sntesis Ren Descartes Reglas para la direccin de los ingenios (1596

1650) Encontrar un mtodo universal para la solucin de Problemas Fragmentos dispersos

http://divulgamat.ehu.es/weborriak/Exposiciones/ExpoHistoria/caricaturas/Irudiak/9-DESCARTES-caricatura.jpg

Leibniz Arte de la invencin (1646 1716) Anotaciones Bernardo Bolzano (1781 1848) Dedica atencin a la heurstica en sus trabajos de lgica

http://weblogs.madrimasd.org/images/weblogs_madrimasd_org/matematicas/1285/r_12-LEIBNIZ-caricatura.jpghttp://4.bp.blogspot.com/_sVrODyc0GK8/SUC42womrsI/AAAAAAAAAGc/eCRbgw8STxY/S220/Bolzano.jpg

George Polya How to solve it 1945 Cmo plantear y resolver problemas 1965 Nacimiento de una nueva doctrina Idea del resolutor ideal Fases Proceso de resolucin lineal Estrategias heursticas

http://1.bp.blogspot.com/_qLdAejeEYHI/SBx5O8lHTCI/AAAAAAAABTk/2TbsEihcroY/s200/poyla.jpg

Schoenfeld Mathematical problem solving 1985 Observacin a cientos de individuos Caminos en zig zag Fases: Anlisis, Exploracin, Ejecucin, Comprobacin Estrategias Categoras de conocimiento y comportamiento matemtico:

Recursos o conocimientos matemticos bsicos Heursticos o tcnicas de resolucin de problemas Control o modo de manejarse Corrientes de opinin

http://ecx.images-amazon.com/images/I/51X7UgP4b9L._SL500_AA240_.jpg

J. Mason, L. Burton y K. Stacey Pensar matemticamente 1982, 1989 L. Burton: Thinking, things, through Analizar posteriormente el proceso Monitor interior Fases Rtulos: Atascado!, Aj! Describen los momentos claves y los estados afectivos Diferenciar entre el proceso de pensamiento y la propia conciencia del proceso

http://divulgamat.ehu.es/weborriak/publicacionesdiv/libros/Irudiak/PensarMatematTxik.gif

Miguel de Guzmn Para pensar mejor 1991 Bloqueos Creatividad Organizacin de una clase de problemas Cmo hablar, demostrar y resolver en Matemticas 2003

http://divulgamat.ehu.es/weborriak/Exposiciones/ExpoHistoria/caricaturas/Irudiak/30-Guzman-caricatura.jpg

6. MARCO TERICO Creatividad Torbellino de ideas Arte de preguntar: Preguntar es una

conducta inteligente. Las bases del pensamiento creativo se obtienen preguntando.

La creatividad en la empresa El arte de relacionar: Una forma de

creatividad es relacionar unos problemas con otros

La sinctica: Hacer familiar lo extrao y extrao lo familiar.

Generalizacin: Ponerte en una perspectiva ms amplia.

Relaciones entre inteligencia y creatividad.

7. MODELOS DE RESOLUCIN DE PROBLEMAS

I.- ESTRATEGIAS HEURSTICAS Se llaman as a las operaciones tiles para la solucin de problemas II.- SUGERENCIAS O PAUTAS HEURSTICAS Se denominan as a aquellas preguntas, pautas o indicaciones dirigidas a centrar la atencin del resolutor sobre ciertos aspectos del problema III.- DECISIONES EJECUTIVAS Se llaman as a aquellas decisiones que deben tomarse para poder resolver el problema IV.- MODELO DE RESOLUCIN DE PROBLEMAS Se denomina as a toda teora que clasifique y analice las fases del proceso de resolucin, las sugerencias, las estrategias heursticas, las decisiones ejecutivas, y aquellos aspectos de orden cognoscitivo, emocional, cientfico, etc. que intervengan en el proceso.

Segn Polya: 1.- Comprender el problema 2.- Hacerse un plan 3.- Llevar a cabo el plan 4.- Volver atrs. Revisar el plan. 1. FASE INTRODUCTORIA: COMPRENDER EL

PROBLEMA EL GRUPO SE FAMILIARIZA CON EL PROBLEMA. AL ABORDAJE Preparacin Examen de la situacin Manipulacin para entenderla mejor Relacin con situaciones semejantes

8 - FASES

(2. FASE EXPLORATORIA: HACERSE UN PLAN ELABORACIN DE POSIBLES ESTRATEGIAS TCNICA DEL "BRAINSTORNING" O tormenta de ideas No evaluar las ideas. Durante la fase de produccin de ideas est absolutamente prohibida toda crtica. Al eliminar todo juicio se crea un ambiente de compaerismo Entera libertad Gran cantidad de ideas, no demasiado elaboradas Numerar las ideas Las ideas son del grupo Otro del equipo puede mejorar la idea Cada componente del equipo evala las ideas y se comienza por la ms valorada.

3. FASE DE RESOLUCIN PROPIAMENTE DICHA: LLEVAR A CABO EL PLAN EL GRUPO SELECCIONA UNA O VARIAS ESTRATEGIAS. AL ATAQUE. Tener el tesn justo que tal estrategia requiere Realizar el plan de accin Si ninguna estrategia resuelve el problema se puede volver a la fase anterior de bsqueda

4. FASE DE VERIFICACIN: REVISAR EL PLAN. REFLEXIN SOBRE EL PROCESO. VOLVER ATRS Generalizar a) reflexin individual b) reflexin del grupo Examina a fondo el camino seguido Localiza rutinas tiles Generaliza Intenta hacerlo ms simple Busca nuevos problemas relacionados Busca la posible transferencia de resultados, mtodos, procesos...

El Juego del 7 Es un juego para dos jugadores El primero dice un 1 o un 2.. El segundo le suma un 1 o un 2 al nmero que dijo su compaero

y dice el resultado.. As sucesivamente,, por turnos.. El que diga siete gana..

Lleva ventaja alguno de los jugadores? Cmo tiene que jugar para ganar siempre? Experimenta,, juega.. Supn el problema resuelto Conjetura Generaliza:: El juego del 31 Analoga:: El juego del Nim

Hotel de los los Un hotel tiene infinitas puertas todas cerradas, un cliente gracioso se levanta por la noche y las abre todas. Un segundo cliente cierra las pares. Un tercer cliente modifica las que son mltiplo de tres, si est abierta la cierra, y si est cerrada la abre. El cuarto lo mismo de cuatro en cuatro y as sucesivamente Cmo estn las puertas por la maana? Quedan abiertas los cuadrados de nmeros primos

Tres hijas Se encuentran dos amigos, y uno le dice al otro que

tiene tres hijas, y aade: El producto de sus edades es 36, y la suma es el nmero del

portal de enfrente. Falta un dato! Es cierto, la mayor toca el piano. Qu edades tienen las hijas?

b) Un almacn tiene su base cuadrada y su volumen es de 36 metros cbicos. Cules son sus dimensiones? c) Un bloque de cemento de forma de ortoedro tiene un volumen de 36 decmetros cbicos Cules son sus dimensiones? 1+6+6=13 y 2+2+9=13. Sol:2,2,9.

Mesa de billar Una mesa de billar est cuadriculada y los lados tienen

dimensiones enteras a y b. Se lanza una bola desde el vrtice A que se mueve segn las diagonales de los cuadraditos y rebota por reflexin perfectamente elstica.

A qu esquina llegar? Cuntos rebotes habr hecho? Nrebotes = (a+b)/mcd(a,b) - 2 Si b impar y a par llega a D Si b impar y a impar llega a C Si b par y a impar llega a B Nunca vuelve a A

9. ESTRATEGIAS HEURSTICAS

Codificar: Usar una buena notacin: Las perlas del raj Organizar: i) Dibujar una figura: La piscina. El encuentro ii) Hacer un diagrama: Las tres ruletas. El color del

pelo iii) Construir tablas: Vaya corte! Experimentar: Ensayo y error: El lobo, la cabra y la col. Cien cuadrados Analoga: Relacionar con un problema anlogo: Una mesa

de billar

Explorar: i) Buscar simetras: El camino ms corto ii) Buscar regularidades y pautas iii) Analizar casos lmite Vaya corte! Introducir elementos auxiliares: Variar las condiciones del problema Subobjetivos: Considerar casos sencillos Resolver antes un problema similar ms sencillo Dividir un problema en partes o en subproblemas Estudiar todos los casos posibles de una situacin Analizar las posibilidades Suponer el problema resuelto o empezar el problema desde atrs: La invitacin Los cachorros Los cocos

La cabra la col y el lobo

Ayuda al granjero a cruzar al lobo, la oveja y los repollos al otro lado. Recuerda: Los lobos comen ovejas y las ovejas comen repollos

Cruzando monjes

Ayuda a los 3 canbales y a los 3 misioneros a cruzar al otro lado del lago. Pero cuidado, ya que cuando en un lado hay ms canbales que misioneros, ellos se los comen.

II.- SUGERENCIAS HEURSTICAS

FASE 2: ESTRATEGIAS DE PENSAMIENTO Experimenta, juega con el problema Hazlo ms fcil para empezar Haz esquemas, diagramas, representaciones

grficas Escoge una buena notacin Busca semejanzas con otros problemas Imagnate el problema resuelto Busca regularidades, pautas, explora la simetra Modifica el problema, cambia algo en el enunciado Si tienes una receta y te has asegurado que se

ajusta a tu problema, aplcala

Radio de la Tierra El radio de la Tierra es de 6.240 Km

aproximadamente. Rodeamos la Tierra con un cable. Cuanto deberamos aumentar la longitud del cable para que se separase por el ecuador una

distancia de dos metros? Menos de 15m? Mas de 15m y menos de 15Km? Mas de 15Km? Hazlo mas fcil. Usa un cuadrado. Toma luego un polgono de ms lados

Cual es el mximo nmero de ngulos rectos que puede haber en un polgono de n lados? Grados de un polgono de n lados = (n-2)*180 Sea x el nmero de ngulos rectos A = 180(n-2) - 90x Si n=3 y x=2 => A=0 NO x=1 => A=1 Si n=4 => x=4 Si n=5 => x=3

Las tres ruletas Disponemos de tres ruletas A, B y C cada una de

ellas dividida en 32 sectores iguales con distintos puntos:

A: 7 sectores con la cifra 6 y 25 sectores con la cifra 3.

B: 16 sectores con la cifra 5 y 16 sectores con la cifra 2.

C: 7 sectores con la cifra 1 y 25 sectores con la cifra 4.

Dos jugadores seleccionan una ruleta cada uno. Gana quien obtenga mayor puntuacin con la ruleta. Quin tiene ventaja al elegir ruleta, la persona que elige primero o la que elige en segundo lugar?

Color del pelo Tres amigas Adela, Nieves y Lourdes, una rubia, otra morena y otra pelirroja, estn sentadas en una mesa circular haciendo un trabajo en cadena. Cada una pasa su informe a la que est a la derecha. Nieves ha pasado su informe a la rubia. Adela ha pasado su informe a aquella que ha pasado su informe a la pelirroja. Cul es el color del pelo de Adela, Nieves y Lourdes?

Las perlas del raj Un raj dej a sus hijas cierto nmero de

perlas y determin que se hiciera del siguiente modo: La hija mayor tomara una perla y un sptimo de lo que quedara. La segunda hija recibira dos perlas y un sptimo de lo que restante. La tercera joven recibira tres perlas y un sptimo de lo que quedara. Y as sucesivamente. Hecha la divisin cada una de las hermanas recibi el mismo nmero de perlas. Cuntas perlas haba? Cuntas hijas tena el raj?

36 perlas y 6 hijas

La piscina La piscina del polideportivo municipal se ha tenido que vaciar por un problema de contaminacin. Este proceso se ha realizado en tres fases para poder utilizar el agua en

la limpieza de las instalaciones, primero se ha sacado la tercera parte, despus la mitad del resto y an quedan 150 m3 de agua. Qu capacidad tiene la piscina?

FASE 4: VOLVER ATRS La tendencia "natural" a volver atrs es muy

escasa Comprobar la solucin utilizando todos los datos

Es razonable? Se puede mejorar el mtodo para llegar a la

solucin? Generaliza el problema: Inventa otros problemas

variando el enunciado Intentar suscitar una discusin que se extienda a

toda la clase: Aprovechando si aparecen distintas soluciones Buscando errores tipo.

GENERALIZAR es una ESTRATEGIA HEURSTICA

Te parece lgica la solucin? Has hecho primero una conjetura? Has logrado demostrarla? Te convence? Seras capaz de convencer a los dems? Busca problemas que puedan resolverse de forma

similar Cambia el enunciado del problema. Resuelve

problemas parecidos, ms fciles y ms difciles. Hazlo ms general.

Se han ocurrido otros problemas mientras se resolva este. Enncialos.

GENERALIZAR es una DECISIN EJECUTIVA

Repasa el problema paso a paso Qu estrategias heursticas hemos usado? Qu etapas? Cundo ha terminado cada

etapa y cundo ha comenzado la siguiente? Cmo he trabajado yo? Y el grupo? Hemos llegado a la mejor solucin

GENERALIZAR es una ETAPA Etapa: Volver atrs o fase de verificacin. Comparar el resultado con la situacin analizada y

con el enunciado del problema. Ver si se puede resolver de otra manera, si hay

un camino ms fcil, ms elegante o ms interesante.

Enunciar el problema de la forma ms general posible.

Escribir cuidadosamente la resolucin del problema.

Discutir primero en grupo y luego con toda la clase los resultados obtenidos

Tres marineros y un mono recogen cocos. Antes de repartirlos se duermen. Por la noche un marinero reparte el montn de cocos en tres partes iguales, le sobra uno que se lo da al mono, y se guarda su parte. Un segundo marinero hace la misma operacin, le sobra tambin uno y se guarda su parte. Lo mismo hace el tercer marinero. A la maana siguiente reparten los cocos y ahora el reparto es exacto. Cuntos cocos haba? x=n de cocos; y=n de cocos que quedan 8x-27y=38; x=25 e y=6 Generalizacin a n marineros

UNA BOLA PESA MENOS Nos dan 16 bolas del mismo tamao, pero una de ellas pesa un poco menos que las otras. Para averiguar cual es disponemos de una balanza de dos platos. Cul es el mnimo nmero de pesadas que necesitas efectuar para, sin tener en cuenta la buena suerte, determinar la bola? Y si son 32 bolas? Y si son 27? Y si 13? Generaliza el problema a cualquier nmero de bolas

10.ACTITUDES, BLOQUEOS Y CREATIVIDAD

Actitud inicial: Condicionantes sociales o culturales Positivas: Confianza, tranquilidad, disposicin para aprender, curiosidad Negativas: Bloqueos y obstculos a la creatividad. Para poder superar los es saber que los tenemos,conocerlos, analizarlos.

Tipos de bloqueos: Bloqueos de tipo inercial Surcos en la mente. Ejemplo: palillos Bloqueos de origen afectivo Sentimientos: apata, pereza, miedo al fracaso, ansiedad. Los bloqueos emocionales se pueden deber a los sentimientos, al miedo a equivocarnos, rigidez de pensamiento, sobremotivacin o falta de impulso. Bloqueos de tipo cognoscitivo Dificultades para percibir el problema, identificarlo. Bloqueos de tipo cultural y ambiental Ejemplo de bloqueo cultural: En una cuadrcula de tres por tres unir todos los puntos con cuatro rectas, sin levantar el lpiz. Los bloqueos ambientales se producen si estamos a disgusto.

Palillos Cmo podemos construir cuatro tringulos equilteros iguales con seis palillos con la condicin de que el lado de cada tringulo sea la longitud del palillo?

11. POSIBLES OBSTCULOS

Ausencia de plan de resolucin Inflexibilidad para considerar alternativas Rigidez en la ejecucin de procedimientos Incapacidad de anticipar las consecuencias El EFECTO TNEL. La ejecucin es tan

absorbente que no hay energas disponibles para la evaluacin de lo que estoy haciendo

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La invitacin Juan invita a Marta y a Elena a merendar. Prepara una limonada y se dispone a servirla. Marta la quiere con poco limn y Elena con mucho.

Juan ha puesto el zumo de limn y el agua en jarras iguales y con la misma cantidad. Para complacer a sus invitadas toma un vaso de la jarra con limn y lo echa en la del agua, y a continuacin toma un vaso del mismo tamao de la mezcla y lo echa en la del limn. Habr ms limn en la jarra del agua o agua en la jarra del limn?

Habr igual cantidad

12. UNA CLASE DE RESOLUCIN DE PROBLEMAS

I. Trabajo en grupos 1) Motivacin 2) Tratamiento de la diversidad 3) Favorece la cooperacin frente a la competitividad 4) Eficiencia 5) Se desarrollan actitudes sociales II. Formacin de equipos Secretario/a u observador/a Portavoz Responsable o moderador/a Animador/a

El profesor/a debe: Enunciados Distribuir los problemas. Graduar dificultades Proporcionar ideas bsicas sobre lo que se pretende Supervisar, actuando lo justo, sin intervenir demasiado, pero sugiriendo como salir de un bloqueo. Animar Reflexin en comn sobre la forma en que cada grupo ha procedido. Evaluacin De capacidades y destrezas. Interpreta los resultados Del trabajo en grupo. Trabajan de forma cooperativa

Torres de Hanoi

Problema de Monty Hall

BIBLIOGRAFA ALEM, J. P.: "Juegos de ingenio y entretenimiento matemtico" Gedisa.

Barcelona. CARROLL, L.: "El juego de la lgica" Alianza. Madrid. "Matemtica

demente" Tusquets. Barcelona. DAVIS, M. D.: "Teora del juego" Alianza. Madrid. DAVIS, G. A. y SCOTT, J. A.: "Estrategias para la creatividad". Paidos.

Buenos Aires. 1980. GARDNER, M.: En Labor o Alianza GUZMAN, M.: "Cuentos con cuentas" Labor. Barcelona. Para pensar mejor POLYA. G.: "Cmo plantear y resolver problemas". Trillas. Mxico. 1965.

"Matemticas y razonamiento plausible". Tecnos. Madrid. 1966 "Mathemayical Discovery. On understanding, learning and theaching problem solving". Jhon Wiley. New York. 1962.

SMULLYAN, R.: "La dama o el tigre? y otros pasatiempos lgicos" o "Alicia en el pas de las adivinanzas" Ctedra. Madrid.

VIVES, P.: "Juegos de ingenio" Martnez Roca. Barcelona. TORRANCE, E. P.: "Educacin y capacidad creativa". Morova. Madrid.

1977.

XXI Olimpiada Matemtica Albacete

Intercambio Olimpiada italiana

EL TESTAMENTO Albacete tiene origen rabe, Al-basit La llanura. Los rabes tenan un complejo sistema de herencias utilizando fracciones favoreciendo as su manejo y clculo. Un hombre sintiendo cercano su final escribi as su testamento: Como mi mujer est prxima a dar a luz, otorgar mi herencia en funcin del sexo de mi prole. Si es nio le dejar 2/3 de mi herencia y 1/3 a su madre; y si es nia, le dejar 1/3 de mi herencia y 2/3 a mi mujer El hombre muere y a los dos das su viuda da a luz un par de mellizos de distinto sexo, Cmo deben de repartirse la herencia?

FICHAS DE LA FERIA Un grupo de amigos han ido a la Feria de Albacete. En

unas casetas entregan fichas de distintos colores canjeables luego por premios. Juan observa a sus amigos despus de haber jugado todos y dice:Cada uno de nosotros tiene 12 fichas y tambin cada uno tiene menos verdes que azules y menos azules que rojas. Y cada uno tenemos slo de estos tres colores. Jaime afirma:yo soy el nico que tiene 4 fichas azules y todos tenemos combinaciones diferentes. Paula sac una de sus fichas verdes y la mostr a los dems. Sabiendo que en total haba 26 fichas rojas. Cuntos amigos hay en total?

PruebaIndividual_XXOM.exePitagoras.exe

Cuntos estis dormidos ahora mismo?

MUCHAS GRACIAS!!

RESOLUCIN DE PROBLEMAS Para comenzar un problema1. RESOLUCIN DE PROBLEMAS. INTRODUCCIN2. VENTAJAS3. COMENTARIOS4. QU ES UN PROBLEMA?5. HISTORIA6. MARCO TERICO7. MODELOS DE RESOLUCIN DE PROBLEMAS8. FASES9. ESTRATEGIAS HEURSTICAS10. ACTITUDES, BLOQUEOS Y CREATIVIDAD11. POSIBLES OBSTCULOS12. UNA CLASE DE RESOLUCIN DE PROBLEMAS13. BIBLIOGRAFA1. INTRODUCCINNmero de diapositiva 52. VENTAJAS3. COMENTARIOSNmero de diapositiva 84. QU ES UN PROBLEMA?5. HISTORIANmero de diapositiva 11Nmero de diapositiva 12Nmero de diapositiva 13Nmero de diapositiva 14Nmero de diapositiva 156. MARCO TERICONmero de diapositiva 177. MODELOS DE RESOLUCIN DE PROBLEMAS8 - FASESNmero de diapositiva 20Nmero de diapositiva 21Nmero de diapositiva 22El Juego del 7Hotel de los losTres hijasNmero de diapositiva 26Mesa de billar9. ESTRATEGIAS HEURSTICASNmero de diapositiva 29La cabra la col y el loboCruzando monjesII.- SUGERENCIAS HEURSTICASRadio de la TierraNmero de diapositiva 34Las tres ruletasColor del peloLas perlas del rajLa piscinaFASE 4: VOLVER ATRSGENERALIZAR es unaESTRATEGIA HEURSTICAGENERALIZAR es unaDECISIN EJECUTIVAGENERALIZAR es una ETAPANmero de diapositiva 43UNA BOLA PESA MENOS10.ACTITUDES, BLOQUEOS Y CREATIVIDADPalillos11. POSIBLES OBSTCULOSLa invitacin12. UNA CLASE DE RESOLUCIN DE PROBLEMASNmero de diapositiva 50Nmero de diapositiva 51Problema de Monty HallBIBLIOGRAFAXXI Olimpiada MatemticaAlbaceteNmero de diapositiva 55Nmero de diapositiva 56Nmero de diapositiva 57Nmero de diapositiva 58Nmero de diapositiva 59Intercambio Olimpiada italianaNmero de diapositiva 61EL TESTAMENTOFICHAS DE LA FERIA Nmero de diapositiva 64Nmero de diapositiva 65Nmero de diapositiva 66