problemas de análisis matemático i-ii hoy
DESCRIPTION
Problemas de analisis matematico ESPE I-IITRANSCRIPT
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS
Ing. Jorge Portilla K. Página 1
PROBLEMAS DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL.
LÍMITES Y CONTINUIDAD.
A.- Demostrar la existencia del límite, utilizando la definición:
1)
6
,1mín.R.95x3xlím 2
4x
2)
4
3,3mín.R.51x8lím
3x
3)
3
22,1mín.R.
2
1
5x3
2lím
3x
4)
2
3,1mín.R.
7
3
1x
5x4xlím
2
2
2x
5)
4
954,1mín.R.
4
1
6x
22xlím
6x
B.- Que valor debo darle a n para que )x(flím1x
exista
6)
1x;xx
3xx2
1x;1x
)1x(n21x
)x(f 2
2
n
C.- Calcular los siguientes límites:
7) 0aa3
1.R
ax
1
ax
ax2xlím
33
2
ax
8)
2a
1a.R
a2x)2ax
ax1axlím
2
2
ax
9) 3
4.R
x
x12x1x1lím
43
0x
10)
24
1.R
4x
7x46x6lím
2
3
cx
11) 27
32.R
216x
327xlím
4
3
0x
12)
90
3.R
25x
32xlím
333
25x
13) 6
13.R
4x
3x15xlím
x
x3 x2
2x
14)
12
823.R
4x
8x22xx2lím
3
4x
15) 9
1.R
1x
1x2xlím
2
3
1
3
2
1x
16)
9
1.R
1x
1x2xlím
2
3 2
1x
17)
139
263
2
3
1
x
xlímx
18)
10029
15214224
222
5
xx
xxxxlímx
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS
Ing. Jorge Portilla K. Página 2
17)
.R
x1
2
xCos
lím1x
18) 32.Rx3sen
xcos*641lím
6
3x
19)
1.RxTan*1x3x2lím 2
2
1x
20) 2
1.R
x
xsenarcxTanarclím
30x
21) 23
2
1xx1xx2
2xe.R
2x
eelím
22
22) 1.
1
1ln.
1
0R
x
x
xlímx
21) 8.Rx
x44
TanLn
lím0x
22)
2
2.R
Tanx1
xcossenxlím
4x
23) 12
1.R2Senx6xSen4Senx3xSen2xTanlím 222
2x
24)
2Rx1arctanx1arctan
x1
x1ln
lím0x
25) 1.Rxln*x
1xlím
x
1x
26) 3.R5x2x
1x2x3lím
2
2
x
27) 0.Rxsen1xsenlím
x
28) 2
5.R3x7x1x2xlím 22
x
29) 2
1.R
42x
1xarctan*xlím
x
30)
xxsenlím
x
1cos
1
31) 0.R.x
senxlímx
D.- Hallar todas las asíntotas de las siguientes funciones.
31)
x2x
1x)x(f
2
2
32) 3xy,x,V.A0x.Re*)2x()x(f x
1
33) xy,x;x3y,x.R1x4x)x(f 2
34) 2xx
xx23)x(f
2
2
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS
Ing. Jorge Portilla K. Página 3
35) e.RxSecxTanlímxCsc
0x
36) 4
x
x4Tanarc
0xe.Rsenxxcoslím 3
2
37) Sena 2Senx
0xe.R
SenxSena
SenxSenalím
38)
2a2
xTan
axe.R
a
x2lím
E.- Analizar la continuidad de las siguientes funciones, redefinirla si es del caso.
39) 3x2x
3xx3x)x(f
2
34
40)
x1
1
e1
1)x(f
41)
2x,5x4x
3x3x
2x,x
xxx2
)x(f
2
2
2
2
R. Discontinuidad esencial
especie1,2x
especie2,0xra
da
42)
3x,5,0,3x2x
9x
3x,0,5,9x3x3x
)1x(sign*27x
)x(f
2
2
23
3
43)
2,5x,x5
4x
5,2x,x5
4x
)fog(
?fog,x)x(g,x5
4x)x(f
2
2
x
x
2
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS
Ing. Jorge Portilla K. Página 4
DERIVADAS:
A.- Aplicando la definición de derivada calcular las siguientes derivadas:
a) x2 e
1xR,
xcosh
xtanh)x(f
b) La función
1xx
1x2*x)x(f
2
, es derivable en x=1.
Derivar y simplificar:
x3sin*e*10.Rx3cos3x3seney.1 xx
x2cos4x2sin7e.Rx2cos2x2sen3ey.2 xx
22
22
ax
nmxR,
ax
axln
a2
naxln
2
my.3
1e4e
1R,1e4e1e2lnxy.4
xx2
xx2x
x2
xx2x
e1
eR,e1elny.5
x
1x.R,
x
11
x
1ln1xy.6
2
2
2
22222
22 axR,axxln2
aax
2
xy.7
322224
222
322 ax4R,axxln2
a3ax
2
xa3ax*xy.8
2
32
2
2
2
1x
xR,
1x
x1xxlny.9
xcsc*xcot.R,senx
xcos1ln
xsen2
xcosy.10 2
2
xcos4
3xsenR,
2
xtan1
2
xtan1
ln8
3
xcos8
senx3
xcos4
senxy.11
5
4
24
x2cos.R,xtan1
xcos
xcot1
xseny.12
22
24
422
22
x1x1x
x2R,
1x1x
1x1xy.13
1x
x1xR,
1x1x
1x1xy.14
2
2
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS
Ing. Jorge Portilla K. Página 5
5
xtan*
5
xsecR,
5
xsec
21
1
5
xsec
11
21
5
xsec*25y.15 5
542
5
x2cscR,x2sen4
x2cos
x2cos1
x2cos1ln*
8
1y.16 3
2
senx21
1R,
322
xtan
322
xtan
ln3
1y.17
1x
x4.R,
x1x
x1xlny.18
424
24
xtanh21
xhsecR,
xtanh21
xtanh21ln
8
2xtanh
2
1y.19
2
4
xcosba
baR,
xcosba
senx*baarctany.20
2222
222
2x2x
2.R,
2x2x
1x1xarctany.21
44
3
ax
a2R,
ax
axln
x
aarctany.22
x1
x1
x
1:R,
x1
x1arctan*2
x1x1
x1x1lny.23
24.-
3
x21arctan3
xx1
x1lny
3
3 23
3
0R,2
eearctan
2
eesecarcy.25
xxxx
axsecarc.R,1xaaxlna
1axsecarc*xy.26 22
1ecotarc*e.R,1ecotarc*1eee22lny.27 xxxxx2x
1x6
7xxR,
3
1x2arctan
3
11xxln
6
1x1ln
2
1y.28
3
22
senxarctan2senx1
senx1lny.29
xcos*senx
2.R
1x
1R,
3
1x2arctan
3
1
1xx
1xln
3
1y.30
32
3
1x4arctan
6
3
x4x21
x21ln
12
1
x81
xy.31
2
2
3
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS
Ing. Jorge Portilla K. Página 6
2
222
xax2
xR,
a
axarcsen
2
a3xax2*a3x
2
1y.32
2
2
2x11
x11ln
2
1
x
xarccosy.33
1x2hsecR,xcos2senx
senx2xcosarctan
ee
eearctany.34
xx
xx
22 ax
axR,
a
xarctan
ax
axlny.35
1x
1.R,
3
1x2arctan
3
1x2arctan
32
1
1xx
1xxlny.36
44
2
2
4 34
4 4
4 4
4 4
x1
1.R,
x
x1arctan
2
1
xx1
xx1ln
4
1y.37
38.- 1x
x.R.1x2arctan1x2arctan
22
1
1x2x
1x2xln
24
1y
4
2
2
2
39.-
32
2
2x1
arcsenx.R,x1ln
x1
arcsenx*xy
40.- 0R.1x
1xarcsen
1x
1xsecarcy
41.- 4 534
4
y1*y12
1R?,
dy
dx,
x1
x1y
42.-
2
xcoshln
xsenh
xcoshy
2
43.- 0ybxyaxx 3223
44.- 2
233
yax
ayx´yR.axy3yx
45.- x
yR,6
x
y
y
x
46.- 0eeyxtan22 yx22
222y
22x
yxsece
yxsece
y
x.R
2
2
47.- 03xy2xylnxysin 222
48.- 22
22
y11x1
x11y1R.arcsenyarcsenxyx
49.-x
y´yR.
y
xarctany*x
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS
Ing. Jorge Portilla K. Página 7
50.-
xy
1xyR,0xy
y
xarcsen
2
22
51.- yx
yxR,0yxln
x
yarctan 22
52.-
xy6y2
x2yx3R.yxyxyx
3
3223322
53.-
3
2234433
y2xy6
yx3x2R,yxyxyx
54.- x2
y
xy2y12
yx2R,3
y3x
x
x
y3x2
2
2
2
55.- x
y2´yR.8
yx
yxlne
yx
yx
56.- x
y´yR.eelnxy1 xyxy
57.- 1R.?)9´(g,3x2fxg,3x6x23x2f 22
58.- ?dx
dy,
1x2
2xfy,2x3x2)x´(f 2
59.- 2
2
2
t1*t
1tR,
t1
1ty
t1x
60.- 1R,
t1
tarcseny
t1
1arccosx
2
2
61.- tcos1
tsinR,
)tcos1(ay
)sentt(ax
62.-
1R,
tcossentay
senttcosax
63.- tsint2sin
t2costcosR,
t2sen*a2
1sent*ay
a2
1t2cos*a
2
1tcos*ax
64.-
t24
t38*tR,VerticalTangenciadePuntos,
tt4y
tt4x32
2
65.-
2R,t1lny
tarctanx2
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS
Ing. Jorge Portilla K. Página 8
66.-
2sin2cos
2sin2cosR,cossenr
67.-
sin42cos3
cos42sin3R,sin34r
68.-
2cos*cos
3R,2sen4r 2
69.-
2sen6sen23
2sen3cos2R,sen32r
70.-
222 sin3coscos
2cos*2sinR,HorizontalTangenciadePuntos,
cos
2cosar
71.- HorizontalTangenciadePuntos,cos*sen4r 2
72.-
3
4tanR,
2sinar 3 , Puntos de Tangencia Horizontal y Vertical.
B.- Calcular la derivada enésima de las siguientes funciones:
73.-
1n
n
x1
!n*12R,
x1
x1y
74.-
1n1n
n
22x
3
2x
2!n*1R,
4x
2x5)x(f
75.-
1n,
2x
!1n3
3x2
41.R,
2xx2
5x8)x(f
1n1n
1nn
2
76.- nxeR,e*x)x(f xx
77.-
n
1n
ax
!1n1R,axln)x(f
78.-
2nx4cos*4.R,xcosxseny 1n44
79.- ?y,1x2sen*1x2xy n2
80.- !1nR,x1
1ln)x(f?,)0(f n
81.- .R,Lnx*xy 3
82.- 429x58x9*e*3R?,y,e*1xy 2x31820x32
83.-
1n
1n
1n
n
42
21x
1
2x
1!nR?,y,
2x3x
1y
84.- ?y,3x2
5x3y 13
85.-
?)x(y,e
x1lny 6
x
86.- ?)x(y,xln*xsiny 62
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS
Ing. Jorge Portilla K. Página 9
C.- Calcular la segunda derivada y simplificarla:
87.- xxy
88.- xlncosxlnsinxy
89.- 32
333
axy
axy2.R,axy3yx
90.- 3
2222
yx
yx2.R,0yxln
y
xarctan
91.- sent*tcos*a3
1.R,
tsen*ay
tcos*ax43
3
92.-
2
2t12R,
t1lny
tarctanx
93.-
tsin*at
1R,
tsenttcosay
tcostsentax3
94.-
t2cos1lny
tsin1lnx
95.- Demostrar que la función xcos*ey x , satisface la ecuación: 0y4y4 .
96.- Demostrar que
tcos*ey
sent*ext
t
, satisface la relación )yy*x(*2yx*y ´2´ .
3t
´
senttcose
2y.R
97.- Demostrar que
32
2
t2ty
t3t2x, satisface la relación
32
dx
dy2
dx
dyy
.
98.- Demostrar que
t2t2 beaey
sentx, satisface la relación )y2xyx1*y ´2´ .
tcos
senttcos2besenttcos2ae2y,
tcos
beae2y.R
3
t2t2´
t2t2´
99.- Demostrar que
2
2
2
t1
ty
t
t11ln
t1
1x
, satisface la relación ´2 yy1*y .
100.- Demostrar que y*xlny , satisface la relación
0y2y*yy*xyxy*y ´´2´´
101.- Calcular y´´´ =?
sent
tcot3R,
ttany
tsecx 4
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS
Ing. Jorge Portilla K. Página 10
D.- Rectas Tangentes y Normales:
1.- Determine una ecuación de cada una de las rectas normales a la curva x4xy 3 y
paralela a las rectas que pasan por el punto (4; 13) y que son tangentes a 1x2y 2 .
2.- Demostrar que las curvas 72y9x4,5yx 2222 , se cortan ortogonalmente. R.
m1=3/2, m2=-2/3.
3.- Halle el ángulo de intersección de las curvas: .8yx,0yx4x 2222 R.4
4.- Demostrar que las curvasxa2
xy,ax8yx
3222
, se cortan ortogonalmente.
5.-Por el punto (6; 8) y la curva 020y4x4x 2 , hallar el área del triángulo formado
por la recta tangente, la recta normal en el punto y el eje X, Y. R 45u²
6.- Hallar los puntos en que la gráfica de la ecuación dada tiene una tangente vertical u
horizontal. 144yxy10x169 22 .
7.- Para el punto (1; 1) de la curva 0y6x2yxy2x 22 , hallar las longitudes de la
tangente, de la normal, de la subtangente, de la subnormal.
8.-Determinar los coeficientes A, B y C de manera que la curva CBxAxy 2 , pase por
el punto P (1; 3) y sea tangente a la recta 4x+y=8 en el punto Q (2; 0).
9.- Demostrar que la recta y=-x es tangente a la curva dada por la ecuación
x8x6xy 23 . Hállese el punto de tangencia.
10.- Calcular las coordenadas de los puntos P y Q en la parábola 2x1y de modo que las
tangentes en estos puntos y el eje de las X formen un triángulo equilátero.
11.- Demostrar que la normal a una elipse en el punto de contacto es bisectriz de los radios
vectores de ese punto.
12.- Demostrar que la tangente a una hipérbola es la bisectriz de los radios vectores de ese
punto.
13.- Dada la curva sen*32r , calcular las coordenadas de los puntos de tangencia
horizontal.
14.- Halle el ángulo entre la tangente y el radio polar del punto de contacto para
2cos*ar 22 .
15.- Calcule el ángulo entre la curva 3sen*a2r , y su tangente cuando 3
.
E.- Rapidez de variación:
1.- Una torre está al final de una calle, un hombre va en automóvil hacia la torre a razón de 50 m/seg.
La torre tiene 500m de altura. ¿Con qué rapidez crece el ángulo subtendido por la torre y el ojo del
hombre cuando éste se encuentra a 1000m de la torre?
2.- La sección de una artesa de 16m de largo es un trapecio isósceles con base inferior de 4m, base
superior 6m y 4m de altura. La artesa está recibiendo agua a razón de 10 m3/min. ¿A qué ritmo está
subiendo el nivel del agua cuando el ésta llena 2m de altura? R. 1/8
3.- Un hombre de 6 pies de altura camina a 5 pies/seg alejándose de una farola cuya bombilla está a 15
pies de altura sobre el suelo. Cuando el hombre está a 10 pies de la base de la farola:
a) ¿a qué velocidad se mueve el extremo de la sombra? R.25/3
b) ¿a qué ritmo está cambiando la longitud de su sombra? R. 10/3
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS
Ing. Jorge Portilla K. Página 11
4.- Un tren sale a las 11:00 A.M se dirige hacia el este a una velocidad de 45 Km/h, mientras que otro
sale a las 12:00 de la misma estación se dirige hacia el sur a una velocidad de 60 Km/h. Hallar la
velocidad a la que se separan ambos trenes a las 3:00 P.M. h/Km22
105.R
5.- Una escalera de 25 pies de longitud se apoya contra una casa. Si el pié de la escalera se aleja a una
razón de 3 pies/seg. Hallar la velocidad de la parte superior de la escalera cuando su base está a 15
pies/seg de la casa. R -9/4 pies/seg.
6.- Un cuadro de 4 pies de altura se coloca sobre una pared con su base 3 pies arriba del ojo de un
observador. Si el observador se acerca a la pared a razón de 4 pies/seg. ¿Con qué rapidez está
cambiando la medida del ángulo subtendido en su ojo por el cuadro cuando el observador está a 10
pies de la pared.
7.- Un filtro cónico de 18 cm de profundidad y 6 cm de radio en la parte superior, se encuentra lleno
de una solución. Esta va pasando a un vaso cilíndrico de 5cm de radio. Cuando la profundidad de la
solución en el filtro es de 10 cm su nivel está bajando a razón de 2 cm/min. Hallar la rapidez con que
está subiendo la solución en el vaso, para dicha profundidad. R dh/dt=8/3 cm/min
8.- En un instante dado la longitud de un cateto de un triángulo rectángulo es de 10 pies y está
aumentando a razón de 1 pie/seg, el otro cateto es de 12 pies y esta disminuyendo a razón de 2
pies/seg. Hallar la razón respecto al tiempo del ángulo agudo opuesto al cateto que en ese instante
mide 12 pies. R. dθ/dt=-8/61 rad/seg.
9.- La medida de uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo disminuye a razón de
seg/rad36
1
. Si la longitud de la hipotenusa es constante e igual a 40 cm, con qué rapidez cambia el
área, cuando la medida del ángulo agudo es de 6
.
10.- Un recipiente tiene la forma de un cono circular recto con el vértice hacia arriba. La altura es 10m
y el radio de la base 4m. Se introduce agua en el recipiente a una velocidad constante de 5 m3/min.
¿Con qué velocidad se eleva el nivel del agua cuando su profundidad es de 5m? R. dh/dt = 5/4π
m/min.
11.- La longitud de un canalón es de 12 pies y sus extremos tiene la forma de un triángulo isósceles
invertido que tiene una altura y una base de 3 pies. Se bombea agua al canalón a razón de 2 pies3/min.
¿Qué tan rápido sube el nivel del agua cuando la altura del agua es de 1 pie? dh/dt = 1/6 pies/min.
F.- Método de Newton:
Calcular la raíz (+.-) con una precisión 410*1
de la ecuación:
1.- 06x18xe*2 2x . R x=0.196
2.- 03x8x2x 23 . R x=-0.349, x=2.218
3.- 04senxx4 . R x=-1.236
4.- Punto de corte entre 3
210*1,
1x
1)x(g,x3)x(f
. R x=2.893
5.- Halle el punto de corte entre:
sin2r
cos2r
G.- Máximos y Mínimos:
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS
Ing. Jorge Portilla K. Página 12
1.- Hallar a, b, c y d tales que dcxbxax)x(p 23 , tenga un mínimo relativo en (1;-2) y un
máximo relativo en (2; 3). R 7x12x9x2)x(P 23
2.- Halle un polinomio cúbico con un máximo en (3; 3), un mínimo en (5; 1), y un punto de inflexión
en (4; 2).R. 24x2
45x6x
2
1)x(p 23
3.-Hallar las dimensiones del triángulo isósceles de área máxima que puede inscribirse en un círculo
de radio 4u. R 34l
4.- Halle las dimensiones del cono circular recto, de máximo volumen que puede ser inscrito en una
esfera de radio R. R3
4h,
3
8Rr
5.- Hallar la altura del cilindro circular recto de volumen máximo que sea susceptible de ser inscrito en
una esfera de radio R. 3
3R2h,
3
Rr
2
6.- Si tres lados de un trapecio miden cada uno 10cm, ¿cuánto debe medir la base mayor para que el
área sea máxima? R B=20u
7.- Se va a construir un tanque de concreto para agua, con base cuadrada y sin tapa. El tanque ha de
tener una capacidad de 192 m3. Si los lados cuestan $4 por m2 y la base $3 por m2. ¿Cuáles han de ser
las dimensiones para que el costo total sea mínimo? Cuál es ese costo. R l=8
8.- Un rectángulo está limitado por el eje X y por la curva 2x25y ¿Para qué longitud y anchura
del rectángulo se hace mínima su área? R 6
5l
9.- Se corta un sector circular con un ángulo central en un círculo de radio r = 12 pulgadas, con el
que se formará un cono recto de revolución. Hallar el valor del ángulo que maximiza el volumen
del cono. 633
2.R
10.- En un círculo de radio r, se corta un sector circular, el arco externo tiene longitud s. Si el
perímetro total del sector es de 100u ¿Qué valores de r y s maximizarán el área del sector. R r=25,
s=50.
11.- Se forma un sólido adosando dos semiesferas a las bases de un cilindro circular recto. El volumen
total del sólido es de 12u3. Hallar el radio del cilindro que produce el área mínima de la superficie del
sólido. 39
R
12.- Una caja rectangular de base cuadrada y no tiene tapa, el área combinada de los lados y del fondo
es de 48 pies cuadrados. Hallar las dimensiones de la caja de máximo volumen que cumpla estos
requerimientos. R. b=4, h=2.
13.- Se utilizan 20 pies de hilo para formar dos figuras a) cuadrado y triángulo equilátero, b) exágono
regular y círculo.
¿Qué cantidad de hilo debe invertirse en cada figura para lograr que el área encerrada sea máxima?
14.- Un fabricante de cajas de cartón quiere elaborar cajas abiertas a partir de trozos rectangulares con
dimensiones de 8 x 15 pulgadas cortando cuadrados en las esquinas y doblando los lados hacia arriba.
Se desea determinar la longitud del lado del cuadrado de modo que la caja tenga el mayor volumen
posible. R. 5/3
15.- Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto P (3; 4) y forma con el primer cuadrante
un triángulo de área mínima. R. 4x+3y-24=0.
16.- Encontrar las dimensiones del cilindro circular recto de volumen máximo que puede inscribirse en
un cono circular recto de altura de 12u y el radio de la base 5u. R. 4h,3
10r
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS
Ing. Jorge Portilla K. Página 13
H.- Teoremas de valor medio:
Utilice el método de Newton para aproximar el valor.
1.- Calcular el valor medio de la función, y calcular los valores de x en los que la función tiene ese
valor:
2,1,x
1x)x(f
2
2 . 65.1x,07.1xR
4,1,x
1x)x(f . 81.1xR
2,
2
1,
x
1x)x(f
2
2. R x=1
2.- Verifique el teorema de Lagrange y encuentre todos los valores de c: 4,2,1x
xlny
. R x=2.86
Encuentre los intervalos en los que la curva es: a) creciente, decreciente, b) cóncava hacia
arriba, cóncava hacia abajo:
1.- 22
3
xa
a)x(f
2.-
1x
x)x(f
2
2
3.- 2
xcossenx)x(f 4.-
x
xln)x(f
5.- xln
x)x(f 6.-
xex)x(f
7.- xxe)x(f 8.-
3568
x5x2
x
8
x)x(f
9.- 22 xlnx)x(f 10.-
tcos*senty
ttanx
11.- Demostrar que los puntos de inflexión de 22 ax
xay
, están situados sobre una recta y deducir
su ecuación.
I.- Analizar y graficar las siguientes funciones:
1x2x
x4x5x2)x(f.1
2
3
2
2
xx21
xx2)x(f.2
5x4x
1x*4)x(f.3
2
2
x8x2
x1)x(f.4
3
4
5.-
2
3
1x
1x)x(f
6.-
1x
1x)x(f
3
3
7.- 2xx
1x3x3x)x(f
2
23
8.-
2x9*x)x(f
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS
Ing. Jorge Portilla K. Página 14
9.- x4
x)x(f
10.- x2x*3)x(f 3
2
11.- 3
2
x3x2)x(f 12.- 3
2
3
1
1x*2x)x(f
13.- senx2
x)x(f 14.- xcos
2
x)x(f
15.- x2cossenx2)x(f 16.- x2sensenx2)x(f
17.- senx1
xcos)x(f
18.- senx*e)x(f x
19.- x22 e*x)x(f 20.- x24e2)x(f x3
21.-
t
1y
1t
1tx
22.-
1t
ty
1t
tx
2
2
J.- Aplicando la regla de Hospital, calcular los siguientes límites:
1R.senx1
xtan1lím.1
senx
1
0x
3
1x
4
2
x
0xe.R,e*xcoslím.2
42
3.- 2
1.R,
x1ln
1
x1xln
1lím
20x
8R.
1ex2x4lím.4
2
x0x
22
22
0x ba3
ba.R,0ba,
b
xarctan*b
a
xarctan*a
xx
1lím.5
2
1R.
1xcosh
1
xsenh
2lím.6
20x
4R.
senxx
x2x1
x1ln
lím.70x
128
1R.
x2sen
x1elím.8
6
3x
0x
3
2R.
xlnx1
xxlím.9
x
1x
10.- Tanx
0xxsinxlím
R. 1 11.-
2a2
xTan
axeR.
a
x2lím
12.- 2
x
xeR.
x
2coslím
2
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS
Ing. Jorge Portilla K. Página 15
INTEGRAL INDEFINIDA:
CxarctanR.dxxx
xln1.1 x
xx
C2ln3
2R.dxxsen*2.2
xcos3xcos3xcos*3xcos
3
3
Cx3csc3
1x3cot
3
1R.
x3cos1
dx.3
C4
5x2arcsen2R.dx
9x20x4
4.4
2
R.dx
15xx2
4x3.5
2
C2
1xarcsen31x42R.dx
xx23
2x.6
2
2
C1x9x42
11x9x449x8ln
8
29R.dx
1x9x4
x25.7 22
2
CxsecarcR.dx1x*x
x3.8 3
63
2
CxlnarcsenR.xln1*x
dx.9
2
C1senx
5senxln
4
1R.dx
5senx6xsen
xcos.10
2
C1elnelnR.1e
dx.11 xx
x
12.- xe1
dx
13.- C1eelnR.e1
dx x2x
x2
14.- C659x89x8ln16
61659x8
4
5R.dx
1x9x4
x52 2
2
15.- C3
1x2arcsen
2
7x4x48
2
1R.dx
x4x48
x26 2
2
16.- C2
1xarcsen3xx23R.dx
xx23
2x 2
2
17.- C32xtan
32xtanln
2
1R.dx
1Tanx*4xTan
xSec
2
2
18.- CxarcsenR.dxx1
x2 2
4
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS
Ing. Jorge Portilla K. Página 16
19.-
Cx1xln2R.
x1xlnx1
dx 2
22
20.- Cx1xln
3
2R.dx
x1
x1xln 2
3
2
2
2
21.- dx
1x
x2
4
22.-
dx
9x
17x
2
2
23.- cx2cos2
1.R,dx
xsenxcos
xcos*senx
22
24.- C2
xsenarcsen
2
1R.dx
xsen2
xcos*senx 2
4
25.- Cx6arcsen64
1R.dx
x61
x 4
8
3
26.- C)x4lnln*2lnx4lnR.dxx4ln*x
x2ln
27.-
Cx
8xln
8
1R.
8xx
dx 2
2
28.- 2x
dxx8
3
29.- dx
2x3x
x24
30.-
dx
1xx
x3x224
3
31.- 1x
dx4
32.- R.dx27x
1x2x3
2
33.-
dx
1x2x
xx412
37
34.-
dx
x1x
x2122
2
35.- R.dx8x
5x3x3
2
36.- 1xx
dx24
37.-
Cex1
e*xR.dx
x1
e*x xx
2
x
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS
Ing. Jorge Portilla K. Página 17
38.- x
x11lnx1*xln1R,dx
x1
xln*x 22
2
39.- CxR.dxxln1x xx
40.- dx)x2cosx2sen(*e x3
41.-
dx
x1
xx215 2
42.- c4x4x2*e4
1.R,dxe*1x3x 2x2x22
43.- Cxcotxcsclnxtanln*xcosR.dxxtanln*senx
44.- Cxxsen*x12R.dxx1
xarcsen
45.- C1xlnxarctan*x2R.dxxarctan
46.- C)2x2senxcos5
eR.dxxcos*e 2
x2x
47.- C1xlnx3xxln2
xxxln
3
xR.dxxln*3x2x 22
233
32
48.- Cx3sen3
2x12sen
96
1x
8
7.R,dxx3cosx3sen 322
49.- Cxsen24
1senx
2
1x2sen
32
5x
16
3.R,dx*
2
xcos*
2
xsen 324
50.- C18
xsec
26
xsecR.dxx4sec*x4tan
2
9
2
13
2
9
3
51.- CxlnSec6
1xlnSec
8
1.R,
x
dxxlnsec*xlntan 6863
52.- Cx2Sec6
1x2Sec
10
1.R,dxx2tan*x2sec 3533
53.- dxx5tanx5sec 4 34
54.- dxx3csc5
55.- dxx2hsec 3
56.- Cx4senhln4
1x4coth
4
1x4hcsc
16
1R.dxx4coth 245
57.- dxx5cosh*xsenh 2
58.- cxtan3arctan3
6R.dx
3xsen2
xcos42
2
59.-
41e
1e
4
1.R,dx
5e2e
e
2x2
x
3xx2
x
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS
Ing. Jorge Portilla K. Página 18
60.- xx ee
dx
61.-
dxe16
e
x
2
x
62.-
C3
1x
3
1xR.
1x1x
dx 2
3
2
3
63.-
C3
11x2arctan*
3
321x2xln11xln*2.R,dx
1x1x
21x2
64.-
C11x
21
1x
2
1x
2ln.R,dx
xx21*1x
x2222
65.-
5x8x3*2x
dx
23
66.- c1xsenh2
51xarcsen
6
152x2x1x5x2
6
1.R,dx
2x2x
1xx 122
2
3
67.- C111x2xln*637x4x*30x4xR.dx7x4x
5x8x3 222
2
3
68.-
dx
3x3x*1x
2x3
2
69.- dx3x2x 2
70.- dxx4x410 2
71.- C3
x2secarc*
3
1R.
9x4*x
dx
2
72.- c1x5
11x
8
1.R,dxx1*x
53 3
83 33 235
73.- dxx52x 3
235
74.- cxsecarc2
1
x
1x1ln
2
1.R,dx
1x
1x 2
2
4
2
2
75.-
dxxsen
xcos*xsen*213
3
12
76.-
c
senx
senx12.R,dx
xsen1*xsen
xcos3
2
4
3
4
3
3 4 33
77.- C2e
32elnR.dx
e44e
1ex
x
xx
x
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS
Ing. Jorge Portilla K. Página 19
78.-
C4x
x4
2
xarctan
2
34xlnR.dx
4x
4xx2
2
2
22
23
79.-
dx
3x4x
6x11x6x
2
23
80.- Cxxcsc2xcotR.dxxcos1
xcos1
81.- dx
xcossenx
xcossenx
82.-
dx1xx*1x
2x22
83.- Cx2senx2cos24
eR.dx
2
x2cos1e
x2x2
84.- Cx
4x
2
1
x
24xln
4
1R.dx
x
x42
22
3
2
85.-
xarctanu,cu4sen32
1u
8
7u2sen
4
1.R,
x1
dx32
86.- c2
7
2
1x
2
1xln
2
7
2
7
2
1x*
2
1x.R,dxx4x415
22
2
87.- cxaxaxln*x.R,dxxaxln 222222
88.-
cx13
1x1.R,dx
x1
x 322
2
3
89.-
dx
x1
x
3 2
90.-
dx
x4x48
x26
2
91.-
dx
xx1x
xx1
2
2
92.- 1xx
dx24
93.-
dx10
52x
1x1x
94.- dxxcotxtan2
95.- xcos2xsin
dx22
96.-
dxx
2xx3
44
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS
Ing. Jorge Portilla K. Página 20
INTEGRAL DEFINIDA:
1.- Mediante la definición de integral definida, calcular la integral:
4
1
2 dx5x4x
2.- Hallar el valor medio de la función en el intervalo indicado, y el valor de x en los que la
función tiene ese valor:
2,
2
1,
x
1x)x(f
2
2
4,1,5x4x)x(f 2
12,7,3x*x)x(f 2
3.- Calcular las siguientes derivadas:
a) 3
x3
0
3 x2713)x´(FR.dtt1)x(F
b) arcsenx1
xcosR.
arcsent1
dt)x(F
senx
0
c)
3
x
23 15sent*9t
dt)x(F d)
x
x
2t1
dt)x(F
e)
x
x
2 dt1tcos)x(F f) dxdt1t2dx
d)x(F
16
4
x
5
4.- Calcular el siguiente límite:
1R.
dtsent
dtttan
límxtan
0
senx
0
0x
5.- Calcular las siguientes integrales definidas:
2
29R.dx3x.1
5
2
2.- 6
R.xx28
dx1
2
12
3.- 28R.dx2x6
8
0
4.-
4
2
dx6x
1x
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS
Ing. Jorge Portilla K. Página 21
5.- 4R.dx3x4x
4
0
2
6.- R.dxxx6
6
0
2
7.-9
R.xcos*45
dx3
2
0
8.- 2R.dxx3
x11
1
9.- 4
1R.dx*xln*x
1
0
10.- 0R.dx2x*x2
5
5
23
11.-
256
3R.dxx1x 2
324 12.-
4R.
x41
dx*24
2
02
13.- 2lnR.xln*x
dx2e
e
14.-
2e
1
dxxlncos
15.-
2
0
dxsenx1
xcos 16.-
5R.
9x4x
dx2
17.- 2
R.ee
dxxx
18.- 1R.dxe*x
2x
19.- 2
1R.dxsenx*e,
2
1.R,dxxcos*e
0 0
xx