PROBLEMAS

1. En el ejemplo 17.6-2 (Ver anexo 1), haga lo siguiente.a) Determine la utilización porcentual del lavador de automóviles.

% utilización = 100(1 – p0) = 100(λ/µ) = 100(4/6) = 66.67%. (El mismo resultado se obtiene en POM)

b) Determine la probabilidad de que un automóvil que llega deba esperar en el estacionamiento para ser lavado.

pn≥1 = 1 – p0 = λ/µ =4/6 = .6667%.

c) Si hay siete cajones de estacionamiento, determine la probabilidad de que un automóvil que llegue encuentre un cajón vacío.

pn≤71 = p0 + p1 +…+ p7= 1 - (λ/µ)8 =1 – (4/6)8 = .961d) ¿Cuántos cajones de estacionamiento debe haber para que un automóvil que llegue encuentre lugar para estacionarse el 99% de las veces?

p0 + p1 +…+ pK= ≥ = .99De la tabla mostrada en el Anexo 1 : buscamos en la tabla de probabilidades el valor correspondiente a 99% de probabilidades se acerca a K = 11También se puede determinar usando el siguiente procedimiento:

ρk+1 ≥.99(k + 1) ≥ (ln .01)/[ln(4/6)] = 11

2. John Macko es alumno en la U de Ozark. Hace trabajos extraños para aumentar sus ingresos. Las peticiones de trabajo llegan en promedio cada 5 días, pero el tiempo entre ellas es exponencial. El tiempo para terminar un trabajo también es exponencial, con una media de 4 días.a) ¿Cuál es la probabilidad de que le falte trabajo a John?

λ= 1/5 = .2 trabajos /día

µ = ¼ = .25 trabajos /día

Del cuadro anterior obtenido con POM:P0 = 0.2

b) Si John cobra unos $50 por cada trabajo, ¿cuál es su ingreso mensual promedio?

Ingreso/mes = $ 50µt= 50*.25*30 = $375/mes.

c) Si al final del semestre John decide subcontratar los trabajos pendientes a $40 cada uno, ¿cuánto debe esperar pagar en promedio?Número de trabajos pendientes (Lq) = 3.2 trabajosCuánto debe pagar (promedio) por trabajos pendientes: Lq * $40.00 = $128

3. A través de los años, el detective Columbo, del Departamento de Policía de Fayetteville, ha tenido un éxito fenomenal en la solución de cada caso que se le presenta. Sólo es cuestión de tiempo para que pueda resolver cualquier caso. Columbo admite que el tiempo en cada caso es “totalmente aleatorio”, pero en promedio cada investigación dura aproximadamente semana y media. Los delitos en la tranquila Fayetteville no son muy comunes. Suceden al azar, con una frecuencia de uno por mes (4 semanas). Columbo pide un ayudante con quien compartir la pesada carga de trabajo.Analice la petición de Columbo, en particular desde los siguientes puntos de vista:a. La cantidad promedio de casos que esperan ser investigados.

De acuerdo a los resultados obtenidos con el POM, se tiene que la cantidad promedio de casos que esperan ser investigados es Lq.Lq = .225 casos/semana

b. El porcentaje de tiempo en el que está ocupado el detective.Porcentaje de tiempo ocupado = 1. p0 = 1 - .625 (de la tabla) = -375 = 37.5%

c. El tiempo necesario para resolver un caso.Tiempo necesario para resolver el caso : Ws = 2.4 semanas (el POM lo considera como W simplemente)

4. A la caseta de cobro del túnel Lincoln llegan automóviles siguiendo una distribución de Poisson, con promedio de 90 por hora. El tiempo para pasar la caseta es exponencial, con promedio de 38 segundos. Los automovilistas se quejan del largo tiempo de espera, y las autoridades desean reducir el tiempo de paso promedio a 30 segundos, instalando dispositivos de cobro automático, siempre y cuando se satisfagan dos condiciones: 1) que la cantidad promedio de automóviles formado en el sistema actual sea mayor que 5, y 2) que el porcentaje del tiempo sin trabajo en la caseta, con el nuevo dispositivo, no sea mayor que el 10%. ¿Se puede justificar el dispositivo?Para este caso tenemos:

λ = 90 automóviles/hora

µ = 3600/38 = 94.7368 autos/horaCon la reducción de 38 a 30 segundos la espera se tiene:

λ = 90 automóviles/hora

µ = 3600/330 = 120 autos/horaANALISIS COMPARATIVO

Escen. c λ µ po Ls Lq Ws Wq1 1 90 94.737 .050 19.000 16.050 .2111 .2002 1 90 120.00 .250 3.0000 2.250 .03333

Automóviles actual: Ls = 19Porcentaje de tiempo no utilizado = p0 (nuevo) * 100

= 100 * .25 = 25%Como se observa hay 19 autos en la cola actual, pero el porcentaje de tiempo no usado (perdido) es del 25%, entonces no se cumplen las condiciones para implantar el nuevo dispositivo

5. Un restaurante de comida rápida tiene ventanilla de servicio para automovilistas. Los vehículos llegan de acuerdo con una distribución de Poisson, con una frecuencia de 2 cada 5 minutos. En el espacio frente a la ventanilla pueden caber 10 vehículos cuando mucho, incluyendo al que se está sirviendo. Si es necesario, otros automóviles pueden esperar fuera de este espacio. El tiempo de servicio por cliente es exponencial, con una media de 1.5 minutos. Calcule lo siguiente: a. La probabilidad de que la instalación esté vacía. Observando los resultados obtenidos en el POM,

con promedio de llegadas = 0.4 y tiempo de servicio = 0.667, se tiene P0 = .4

b. La cantidad estimada de clientes esperando que los atiendan. W = 0.9 automóvilesc. El tiempo estimado de espera para que un cliente llegue a la ventanilla y haga su pedido.

Wq = 2.25 minutosd. La probabilidad de que la línea de espera sea mayor que la capacidad de 10 lugares.

Pn≥ 11 = 1- Pacum10 = 1 - .99637 = 0.0033