problemas de maximos y/o mÍnimos
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PROBLEMAS DE MAXIMOS Y/O MÍNIMOS. Prof. Luis Martínez Catalán 2008. Hallar dos números enteros positivos cuya suma sea 20 y. a). Su producto sea máximo. b). La suma de sus cuadrados sea mínima. c). El producto del cuadrado de uno de ellos por el cubo del otro sea máximo. Solución:. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
PROBLEMAS DE MAXIMOS Y/O MÍNIMOS
Prof. Luis Martínez Catalán Prof. Luis Martínez Catalán 20082008
a)
Hallar dos números enteros positivos cuya suma sea 20 y
Su producto sea máximo.
b) La suma de sus cuadrados sea mínima.
c) El producto del cuadrado de uno de ellos por el cubo del otro sea máximo.
Solución:
Sea “x” uno de los números, el otro es “20-x”
a) Sea el producto. )(xp
xxxxxxxp 2020)20()( 22
dx
xdp )( 100202 xx
2
2 )(
dx
xpd 2
10
2
2 )(
xdx
xpd 02
Para el producto de los números es máximo10x
1001010)1020(10)10( p
b) Sea la suma de los cuadrados de los números )(xS
)(0)10(,04)(
100404)(
40040240400)(
)20()(
222
22
xSSRxxS
xxxS
xxxxxxS
xxxS
tiene un mínimo relativo
para y es 10x 200)10(min S
c) 23 )20()( xxxP
)(
1
xP )(xP
xx
20
23
23 )20()( xxxP
xx 20
23
)20(2)20(3)( 322 xxxxxP
xxxxxP 2)20(3)20()( 2
)20ln(2ln3)(ln xxxP
0)560)(20()( 2 xxxxP
120560 3 xx
)()( xPxP
0)0( P
)560ln()20ln(ln2)(ln xxxxP
xxx 560
5
20
12
)20(5)12(5)12()20(10)( 22 xxxxxxxxP
no hay información, además el producto 0 no es un producto máximo (valor extraño)
00 12 xx
20020 2 xx
0)12(
0)20(
0)20(
P
P
P un mínimo del producto
(valor extraño)
un máximo para y el
producto es
12x23 812)12( máxP
,
Ej: Demostrar que entre todos los terrenos rectangulares de perímetro dado, conviene adquirir (invertir), en aquel que es cuadrado, por ser de área máxima.
Solución
syx 222
y
x
xsysyx
Deseamos qué el área del rectángulo sea máxima
yxA , sustituyendo en función de , se tiene:y x
2
)(
xxsA
xsxA
Derivando con respecto a
dx
dA
Sustituyendo en
xs 2
x
xsxdx
dA20
2
s
,022
2
dx
Adpara x
máxAs
2
xsy
sy22
ss
Los lados del rectángulo de área máxima son e , que son x2
s y2
s
los lados de un terreno cuadrado
4
1
22ss 2smáxA
Ej: Un barco se fleta para un paseo. El precio del pasaje es de $100 y el mínimo de personas inferior o igual a 100, la compañía reduce el pasaje en $0,6 por cada persona que exceda los 100. ¿Qué número de pasajeros produce la mayor ganancia, si la capacidad del barco es para 150 personas?
Solución
x6,0100 x100
: precio de c/u de los pasajes
: número de pasajeros
33402,10
2,140
6,01006,060
)6,0100()100(
xxC
xC
xxC
xxC
El número de pasajeros es 133, el que produce mayor ganancia.
36,0/103
16,0/101
uca
uca
DEF: Si y son funciones de , tales que y
; entonces, la función tome la forma
indeterminada en a.
axlím
f
REGLA DE L’HÔPITAL, atribuida al matemático frances Guillaume Francois de L’Hôpital (1661 – 1707)
Sea y funciones en , las cuales son diferenciables en un intervalo excepto, posiblemente, con el número
xg 0)( xf
axlím
0)( xg)(
)(
xg
xf
0
0
TEOREMA: (para la indeterminación )0
0
f g xI Ia
Supóngase que para todo en ,
axlím
x
ax
0)( xf Lxg
xf
)(
)(
0
0
I 0)( ag
Entonces, si yax
lím
0)( xg y Si ,ax
lím
entonces se cumple ax
lím L
xg
xf
)(
)(
NOTA: la regla de L’Hôpital también es válida para la forma
indeterminada si
Ej:
1) 4x
lím
43
122
2
xx
xx HL'
4xlím
5
7
32
12
x
x
2) 2x
lím 2
42
x
x HL'2x
lím4
1
2x