problemas de valores no contorno e séries de fourier e aplicações- equações diferencias _4
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Notas de aulasTRANSCRIPT
Definições relativas a equações diferenciais parciais
A equação diferencial parcial é uma equação que contém uma função
incógnita de duas ou mais variáveis e suas derivadas parciais em relação a
essas variáveis. A ordem de uma equação diferencial parcial é a ordem da
mais alta derivada presente, como mostra no exemplo abaixo:
Ex: = 2푥 − 푦
A solução geral é uma solução que contém funções arbitrárias em
número igual à ordem da equação. Uma solução particular é uma solução que
pode ser obtida da solução geral mediante escolha particular das funções
arbitrárias.
Equações diferenciais parciais lineares
A equação diferencial parcial linear geral de segunda ordem e duas
variáveis independentes tem a forma
푨 흏ퟐ
흏풙ퟐ+ 푩 흏ퟐ풖
흏풙흏풚+ 푪 흏ퟐ풖
흏풚ퟐ+ 푫 흏풖
흏풙+ 푬 흏풖
흏풚+ 푭풖 = 푮 (1)
onde 퐴,퐵, … ,퐺 podem depender de 푥 e de 푦, mas não de 푢. Uma equação de
segunda ordem com variáveis independentes 푥 e 푦 que não tenha a forma da
equação acima é chamada de não linear. Se 퐺 for igual a zero, a equação será
chamada de homogênea e se for diferente de zero será chamada de não
homogênea .
Conforme as soluções obtidas na Eq. (1) costuma classifica-las como
elípticas, hiperbólicas ou parabólicas, conforme se tenha 퐵 − 4퐴퐶 menor,
maior, ou igual a zero, respectivamente.
Algumas equações diferencias parciais importantes
1. Equação das cordas vibrantes
흏ퟐ풚흏풕ퟐ = 풂ퟐ
흏ퟐ풚흏풙ퟐ
A equação acima se aplica em pequenas vibrações transversais de uma
corda flexível, fixa nas extremidades, tal como uma corda de violino localizada
inicialmente segundo o eixo 푥 e posta então em movimento como mostra a
Figura abaixo. A constante 푎 = , onde 휏 é a tensão (constante), da corda e 휇
é a massa (constante) por unidade de comprimento da corda.
Em duas dimensões a equação se torna da seguinte forma:
흏ퟐ풛흏풕ퟐ = 풂ퟐ
흏ퟐ풛흏풙ퟐ +
흏ퟐ풛흏풚ퟐ
2. Equação da condução do calor
흏풖흏풕 = 푲훁ퟐ퐮
푢(푥,푦, 푧,푦) é a temperatura no ponto (푥, 푦, 푧) do sólido no instante 푡. A
constante 퐾, chamada de difusividade, é igual a , onde se supõem
constantes a condutividade térmica 퐾, o calor específico 휎 e a densidade
(massa por unidade de volume) 휇∇ 푢 é o Laplaciano de 푢, que é dado em
coordenadas retangulares tridimensionais (푥, 푦, 푧), por:
훁ퟐ풖 =흏ퟐ풖흏풙ퟐ +
흏ퟐ풖흏풚ퟐ +
흏ퟐ풖흏풛ퟐ
3. Equação de Laplace
훁ퟐ풖 = ퟎ
Na teoria da condução do calor, 푣 é a temperatura estacionária, 푖 é a
temperatura após decorrido longo tempo, cuja equação se obtém fazendo
= 0 na equação da condução do calor acima. Na teoria da gravitação ou da
eletricidade, 푣 representa o potencial gravitacional ou elétrico, respectivamente.
4. Vibrações longitudinais de uma viga
흏ퟐ풖흏풕ퟐ = 풄ퟐ
흏ퟐ풖흏풙ퟐ
Esta equação descreve o movimento de uma viga que pode vibrar
longitudinalmente supondo-se em pequenas vibrações. A constante 푐 = ,
onde 퐸 é o módulo de elasticidade (esforço dividido pela tensão) e depende
das propriedades da viga, 휇 é densidade (massa por unidade de volume).
Sendo que é a mesma equação das cordas vibrantes.
5. Vibrações transversais de uma viga
흏ퟐ
흏풕ퟐ + 풃ퟐ흏ퟒ풚흏풙ퟒ = ퟎ
Esta equação descreve o movimento de uma viga posta a vibrar
transversalmente (perpendicularmente a direção do eixo x). A constante
푏 = , onde 퐸 é o módulo de elasticidade, 퐼 é o momento de inércia de
qualquer seção transversal em relação ao eixo x, 퐴 é a área da seção
transversal e 휇 é a massa por unidade de comprimento. Se aplicar uma força
transversal externa 퐹(푥, 푡) o membro direito da equação é substituído por
푏 ( , ) .
O Laplaceano em diferentes sistemas de coordenadas
O Laplaceano ∇ 푢 surge frequentemente em equações diferenciais
parciais da ciência e da engenharia.
O Laplaciano em coordenadas cilíndricas (휌,∅ ,푧), Fig. 2, é dado por:
훁ퟐ풖 =흏ퟐ풖흏흆ퟐ +
ퟏ흏풖흆흏흆 +
ퟏ흏ퟐ풖흆ퟐ흏∅ퟐ +
흏ퟐ풖흏풛ퟐ
As transformações de coordenadas retangulares para cilíndricas são:
풙 = 흆풄풐풔∅, 풚 = 흆풔풆풏∅, 풛 = 풛
onde 휌 ≥ 0, 0 ≤ ∅ < 2휋, −∞ < 푧 < ∞. Sendo, também, o jacobiano
‖퐽‖ =
휕푥휕휌
휕푥휕∅
휕푥휕푧
휕푦휕휌
휕푦휕∅
휕푦휕푧
휕푧휕휌
휕푧휕∅
휕푧휕푧
= 휌
O Laplaciano em coordenadas esféricas (푟, 휃,∅), Fig. 3, é dado por:
훁ퟐ풖 =ퟏ풓ퟐ
흏흏풓 풓ퟐ
흏풖흏풓 +
ퟏ풓ퟐ풔풆풏휽
흏흏휽 풔풆풏휽
흏풖흏휽 +
ퟏ풓ퟐ풔풆풏ퟐ휽
흏ퟐ풖흏∅ퟐ
As equações de transformação de coordenadas retangulares para
coordenadas esféricas são:
풙 = 풓풔풆풏휽풄풐풔∅, 풚 = 풓풔풆풏휽풔풆풏∅, 풛 = 풓풄풐풔휽
Onde 푟 ≥ 0, 0 ≤ 휃 ≤ 휋, 0 ≤ ∅ < 2휋.
Método de resolução de problemas de valores de contorno
1- Soluções gerais: Primeiro determinamos a solução geral e, em
seguida, determinamos a solução particular que satisfaz as condições
de contorno. Abaixo mostraremos os seguintes Teoremas:
TEOREMA 1 (princípio da superposição): Se 푢 , 푢 , … , 푢 são
soluções de uma equação diferencial parcial linear homogênea, então
푐 푢 + 푐 푢 + ⋯+ 푐 푢 , onde 푐 , 푐 , … , 푐 são constantes, sendo também
soluções .
TEOREMA 2: A solução geral de uma equação diferencial parcial linear
não homogênea se obtém como soma da solução geral da equação
homogênea correspondente e uma solução particular da não
homogênea.
As soluções gerais podem ser por vezes determinadas utilizando os
métodos das equações diferenciais ordinárias.
Se 퐴,퐵, … ,퐹 na equação 1 serão constantes, então poderemos
determinar a solução geral da equação homogênea supondo 푢 = 푒 ,
onde 푎 e 푏 são constantes a determinar.
2- Soluções particulares pelo método da separação de variáveis: O
êxito do método reside em podermos escrever a equação resultante de
tal forma que um membro dependa somente de uma variável, enquanto
o outro depende das variáveis restantes, sendo que cada membro
deverá ser uma constante. Por iteração deste processo, podem-se
determinar as funções incógnitas.
Chama-se solução de uma equação diferencial parcial em uma
dada região (domínio) D das variáveis independentes, a uma função que
possui todas as derivadas parciais que figuram na equação e a satisfaz
em todos os pontos do domínio D.
Em geral, há uma infinidade não enumerável de soluções de uma
equação diferencial parcial, as condições adicionais impostas pelo
problema que irão fixar uma solução particular, são chamadas condições
de contorno e que são de três tipos:
1) Condição de Dirichlet – quando se conhece o valor da função na
fronteira do domínio;
2) Condição de Neumann – quando se conhece a derivada normal da
função na fronteira do domínio; 3) Condição de Cauchy – quando se conhece a função e sua derivada
normal na fronteira do domínio D da função.
3- Métodos de solução
Os principais métodos para obter a solução de um equação diferencial
parcial linear de segunda ordem, são:
- Separação de variáveis;
- Transformadas;
- Função de Green.
O método da separação de variáveis se aplica a maioria das equações
diferencias parciais. Porém, o método da função de Green é o mais geral e se
aplica principalmente as equações não-homogêneas.
4- Equação de Laplace
A equação diferencial parcial do tipo:
∆Ψ ≡ 퐷푖푣(푔푟푎푑)Ψ = 0
é chamada equação de Laplace. O operador ∆ é chamado Laplaciano e ele se
apresenta em diversas formas dependendo do sistema de coordenadas
escolhido.
A equação de Laplace ocorre em diversos ramos da física, cujos
principais são:
1) Teoria da gravidade
∆Ψ = 0, onde Ψ é o potencial gravitacional.
2) Eletrostática
∆Ψ = 0, onde Ψ é o potencial eletrostático.
3) Magnetostática
∆Ψ = 0, onde Ψ é o potencial magnetostático.
4) Correntes elétricas estacionárias
∆Ψ = 0, onde Ψ é a função potencial.
5) Movimento irrotacional de um fluido perfeito
∆Ψ = 0, onde Ψ é o potencial velocidade
6) Fluxo estacionário do calor
∆Ψ = 0, onde Ψ é a temperatura.
5- Equação de Laplace em coordenadas cartesianas
Em coordenadas cartesianas – 푥, 푦, 푧 - a equação de Laplace
toma a forma:
∆Ψ =∂ Ψ∂x +
∂ Ψ∂y +
∂ Ψ∂z = 0
O método da separação de variáveis consiste em tomar como solução
da equação diferencial parcial, a função:
Ψ(x, y, z) = X(x) Y(y) Z(z)
Sendo:
∂ Ψ∂x = X′′YZ ;
∂ Ψ∂y = XY′′Z;
∂ Ψ∂z = XYZ′′
a equação de Laplace tomará a forma:
푋′′푌푍 + 푋푌′′푍 + 푋푌푍′′ = 0
ou, dividindo tudo por 푥푦푧 teremos:
푋′′푋 +
푌′′푌 +
푍′′푍 = 0 →
푋′′푋 = −
푌′′푌 +
푍′′푍
Como temos no primeiro membro uma função somente de 푥 e no
segundo, uma função de (푦, 푧), então a igualdade só ocorrerá se for igual a
um1a constante real ou complexa, cuja escolha dependerá das condições de
contorno do problema. Assim:
푋′′푋 = ±푘
portanto,
푋′′푋 = +푘 푥 → 푋′′ − 푘 푋 = 0
cuja solução será
푋(푥) = 퐴 cosh(푘 푥) + 퐵 푠푒푛ℎ(푘 푥)
푋′′푋 = −푘 푋 → 푋 + 푘 푋 = 0
cuja solução será
푋(푥) = 퐴 cos(푘 푥) + 퐵 푠푒푛(푘 푥)
As duas situações acima poderão ser colocadas na forma
푋(푥) = 퐴푐표푠ℎ(푘 푥) + 퐵푠푒푛ℎ(푘 푥)
onde 푘 poderá ser real ou complexo: 푘 = 푖푘 .
Resolvendo agora o caso em 푦
−푌′′푌 +
푍′′푍 = 푘 →
푌′′푌 = −푘 −
푍′′푍 = 푘
cuja solução será
푌(푦) = 퐶푐표푠ℎ 푘 푦 + 퐷푠푒푛ℎ(푘 푦)
com 푘 real ou complexo.
Resolvendo agora a equação em 푧
−푘 − 푘 =푍′′푍 = 푘 → 푘 + 푘 + 푘 = 0
cuja solução será
푍(푧) = 퐸푐표푠ℎ(푘 푧) + 퐹푠푒푛ℎ(푘 푧)
com 푘 real ou complexo
Assim, uma solução para a equação de Laplace, será:
Ψ(푥, 푦, 푧) = {퐴푐표푠ℎ(푘 푥) + 퐵푠푒푛ℎ(푘 푥)} 퐶 cosh 푘 푦 + 퐷푠푒푛ℎ 푘 푦 . {퐸푐표푠ℎ(푘 푧) + 퐹푠푒푛ℎ(푘 푧)}
onde pelo menos um dos 푘 (푖 = 푥, 푦 표푢 푧) é complexo.
Ex: Seja um prisma de dimensões (푎, 푏,푐) nas direções respectivas (푥, 푦, 푧).
Todas as superfícies do prisma se acham ligadas a terra (potencial nulo) com
exceção da superfície 푧 = 푐 que está a um potencial 푉 . Calcular o potencial no
interior do prisma.
Solução:
Teremos que resolver e equação de Laplace para o potencial
eletrostático:
∆Ψ(x, y, z) = 0
com as seguintes condições
Ψ(0, y, z) = Ψ(a, y, z) = 0; Ψ(x, 0, z) = Ψ(x, b, z) = 0; Ψ(x, y, 0) = 0 e
Ψ(x, y, c) = V
Como o potencial se anula em dois pontos do eixo do x e também no
eixo y, então:
푋′′푋 = −푘 → 푋(푥) = 퐴푐표푠(푘 푥) + 퐵푠푒푛(푘 푥)
푌′′푌 = −푘 → 푌(푦) = 퐶푐표푠 푘 푦 + 퐷푠푒푛(푘 푦)
Sendo :
푋′′푋 +
푌′′푌 +
푍′′푍 = 0 → −푘 − 푘 + 푘 = 0
푘 = (푘 + 푘 )
e portanto
푍′′푍 = 푘 → 푍(푧) = 퐸푐표푠ℎ 푘 + 푘 푧 + 퐹푠푒푛ℎ{(푘 + 푘 ) 푧}
Para determinarmos essas constantes de integração, usaremos as
condições de contorno. Assim:
Ψ(0,푦, 푧) = 퐴푌(푦)푍(푧) = 0 → 퐴 = 0
Ψ(푎,푦, 푧) = 퐵푠푒푛(푘 푎)푌(푦)푍(푧) = 0 → 푠푒푛(푘 푎) = 0 → 푘 푎 = 푛휋
→ 푘 =푛휋푎 ,푛 = 1, 2, …
Ψ(푥, 0, 푧) = 푋(푥)퐶푍(푧) = 0 → 퐶 = 0
Ψ(푥, 푏, 푧) = 퐷푠푒푛 푘 푏 푋(푥)푍(푧) = 0 → 푠푒푛 푘 푏 = 0 → 푘 푏 = 푚휋
→ 푘 =푚휋푏 ,푚 = 1, 2, …
Ψ(푥,푦, 0) = 푋(푥)푌(푦)퐸 = 0 → 퐸 = 0
Assim, uma solução para a equação de Laplace, será:
Ψ(푥, 푦, 푧) = 퐵퐷퐹푠푒푛푛휋푎 푥 푠푒푛
푚휋푏 푦 푠푒푛ℎ 푧
푛휋푎 +
푚휋푏
Portanto, para cada valor de 푛 e de 푚, teremos uma solução para a equação
de Laplace, e como ela é linear, a solução mais geral será uma combinação
linear de todas essas soluções, ou seja:
Ψ(푥, 푦, 푧) = 퐴 푠푒푛푛휋푎 푥 푠푒푛
푚휋푏 푦 푠푒푛ℎ 푧
푛휋푎 +
푚휋푏
Para determinarmos a constante 퐴 , devemos usar a última condição
de contorno:
Ψ(푥, 푦, 푐) = 푉 = 퐵 푠푒푛푛휋푎 푥 푠푒푛
푚휋푏 푦
onde
퐵 = 퐴 푠푒푛ℎ푛휋푎 +
푚휋푏 푐
Teremos, portanto, de desenvolver a função 푉 em uma série dupla de
Fourier:
푉 푠푒푛푝휋푎 푥 푠푒푛
푞휋푏 푦 푑푥푑푦
= 퐵 푠푒푛푛휋푎 푥 푠푒푛
푚휋푏 푦 푠푒푛
푝휋푎 푥 푠푒푛(
푞휋푏 푦)푑푥푑푦
Usando a condição de ortogonalidade das funções trigonométricas
푠푒푛(푛휔푥)푠푒푛(푚휔푥)푑푥 =푏 − 푎
2 훿
푉 푠푒푛푝휋푎 푥 푠푒푛
푞휋푏 푦 푑푥푑푦 =
푎2 .푏2퐵 훿 훿
퐵 =4푉푎푏 푠푒푛
푛휋푎 푥 푠푒푛(
푚휋푏 푦)푑푥푑푦
Fazendo as integrais indicadas:
퐼 = 푠푒푛푛휋푎 푥 푑푥 =
푎푛휋 푠푒푛
푛휋푎 푥 푑
푛휋푎 푥 = −
푎푛휋 {(−1) − 1}
퐼 =2푎
(2푛 + 1)휋
퐽 = 푠푒푛푚휋푏 푦 푑푦 = −
푏푚휋
{(−1) − 1} =2푏
(2푚 + 1)휋
Portanto, o potencial em pontos interiores do prisma, será:
Ψ(푥, 푦, 푧) =16푉 푠푒푛 (2푛 + 1)휋푎 푥 푠푒푛{(2푚+ 1)휋푏 푦}
(2푛 + 1)(2푚 + 1)휋.푠푒푛ℎ{푧 (2푛+ 1) (휋푎) + (2푚 + 1) (휋푏) }
푠푒푛ℎ 푐 (2푛 + 1) (휋푎) + (2푚 + 1) (휋푏)
Ex: Seja uma placa uniforme retangular semi-infinita onde há um fluxo
estacionário de calor. A face 푥 = 0 é mantida a uma temperatura constante 푇 e
as faces 푦 = 0 e 푦 = 푎, são mantidas numa temperatura nula. Calcule o estado
estacionário de temperatura da placa.
Solução:
Resolvemos a equação de Laplace para a temperatura igual a zero com
as seguintes condições de contorno:
∆푇 = 0
푇(0,푦) = 푇 ; 푇(푥, 0) = 푇(푥, 푎) = 0
Como a temperatura se anula em dois pontos do eixo dos 푦, então:
푌′′푌 = −푘 → 푌(푦) = 퐶푐표푠 푘 푦 + 퐷푠푒푛(푘 푦)
푋′′푋 +
푌′′푌 = 0 → 푘 − 푘 = 0 → 푘 = 푘
푋′′푋 = 푘 → 푋(푥) = 퐴푒푥푝(푘 푥) + 퐵푒푥푝(−푘 푥)
Para determinarmos essas constantes, vamos usar as condições de
contorno:
푇(푥, 0) = 푋(푥)퐶 = 0 → 퐶 = 0
푇(푥,푎) = 퐷푠푒푛 푘 푎 푋(푥) = 0 → 푠푒푛 푘 푎 = 0 → 푘 푎 = 푛휋
→ 푘 =푛휋푎 , 푛 = 1, 2, …
Como a temperatura é finita em qualquer ponto da placa para 푥 > 0,
então: 퐴 = 0. Assim, a solução mais geral para a equação de Laplace será:
푇(푥,푦) = 퐴 푠푒푛(푛휋푎 푦)exp (−
푛휋푎 푥)
A determinação da constante 퐴 será feita usando a condição de
contorno:
푇(0,푦) = 푇 = 퐴 푠푒푛(푛휋푎 푦)
Teremos, portanto, de desenvolver a função 푇 em uma série de Fourier:
푇 푠푒푛(푚휋푎 푦)푑푦 = 퐴 푠푒푛
푛휋푎 푦 푠푒푛
푚휋푎 푦 푑푦 = 퐴
푎2 훿
퐴 =2푇푎 푠푒푛(
푛휋푎 푦)푑푦 =
2푇푎 .
푎푛휋 {−(−1) + 1}
퐴 =4푇
(2푛 + 1)휋
A temperatura na placa será:
푇(푥,푦) =4푇휋
푠푒푛{(2푛 + 1)휋푎 푦}(2푛 + 1) 푒푠푝{−(2푛 + 1)
휋푎 푥}
Séries de Fourier e Aplicações
Necessidade das séries de Fourier
Para obter uma solução de determinado problema de valores de
contorno, precisamos conhecer o desenvolvimento de uma função em uma
série trigonométrica.
Funções Periódicas
Diz-se que uma função 푓(푥) tem período 푃, ou que é periódica com
período 푃, se, para todo 푥, 푓(푥 + 푃) = 푓(푥), 푃 constante positiva. O menor
valor de 푃 > 0 é chamado período mínimo, ou simplesmente período, de 푓(푥).
Funções seccionalmente contínuas
Diz-se que uma função 푓(푥) é seccionalmente contínua em um intervalo
se:
1- O intervalo pode ser subdividido em um número finito de subintervalos
em cada um dos quais 푓(푥) é contínua.
2- Os limites laterais de 푓(푥), quando 푥 tende para os pontos extremos
desses subintervalos, são finitos.
Outra maneira de formular a definição:
Uma função é seccionalmente contínua em um intervalo se tem no
máximo um número finito de descontinuidades finitas. A Figura abaixo é um
exemplo de função seccionalmente contínua:
O limite de 푓(푥) a direita denota-se frequentemente por
lim∈→ 푓(푥+∈) = 푓(푥 + 0), onde ∈> 0.
Analogamente, o limite de 푓(푥) a esquerda denota-se por
lim∈→ 푓(푥−∈) = 푓(푥 − 0), onde ∈> 0.
Na Figura acima os valores de 푓(푥 + 0) e 푓(푥 − 0) no ponto 푥 são os
indicados. O fato que ∈→ 0 e ∈> 0 se indica as vezes abreviadamente por
∈→ 0+ . Assim, por exemplo, lim∈→ 푓(푥+∈) = 푓(푥 + 0), lim∈→ 푓(푥−∈) =
푓(푥 − 0).
Definições de séries de Fourier
Seja 푓(푥) definida no intervalo (−퐿, 퐿) e determinada fora desse
intervalo por 푓(푥 + 2퐿) = 푓(푥), isto é, suponhamos 푓(푥) periódica de período
2퐿. Define-se a série de Fourier, de 푓(푥), como:
푎2 + (푎 푐표푠
푛휋푥퐿 + 푏 푠푒푛
푛휋푥퐿 ) (1)
onde os coeficientes de Fourier 푎 e 푏 são:
⎩⎪⎨
⎪⎧푎 =
1퐿 푓(푥)푐표푠
푛휋푥퐿 푑푥
푏 =1퐿 푓(푥)푠푒푛
푛휋푥퐿 푑푥
푛 = 0,1,2, … (2)
Se 푓(푥) tem período 2퐿, os coeficientes 푎 e 푏 podem ser determinados
equivalentemente a partir de:
⎩⎪⎨
⎪⎧푎 =
1퐿 푓(푥)푐표푠
푛휋푥퐿 푑푥
푏 =1퐿 푓(푥)푠푒푛
푛휋푥퐿 푑푥
푛 = 0,1,2, … (3)
onde 푐é qualquer número real. No caso especial 푐 = −퐿, (3) se reduz a (2).
Note-se que o termo constante em (1) é igual a = ∫ 푓(푥)푑푥, que é a
média de 푓(푥) sobre o período.
Se 퐿 = 휋, a série (1) e os coeficientes (2) ou (3) são particularmente
simples. A função nesse caso tem período 2휋.
Saliente-se que a série (1) é apenas a série que corresponde a 푓(푥).
Condições de Direchlet
Teorema 1: (a) 푓(푥) seja definida, exceto possivelmente em um número
finito de pontos de (−퐿, 퐿);
(b) 푓(푥) seja periódica de período 2퐿;
(c) 푓(푥) sejam seccionalmente contínuas em (−퐿,퐿). Então a série (1) com
coeficientes dados por (2) ou (3) converge para:
- 푓(푥) se 푥 é ponto de continuidade.
- ( ) ( ) se 푥 é ponto de descontinuidade.
De acordo com o resultado acima, podemos escrever:
푓(푥) =푎2 + 푎 푐표푠
푛휋푥퐿 + 푏 푠푒푛
푛휋푥퐿
em qualquer ponto de descontinuidade. Todavia, se 푥 é ponto de
descontinuidade, o mebro esquerdo deve ser substituído por [푓(푥 + 0) +
푓(푥 − 0)], de forma que a série converge para a média dos valores 푓(푥 + 0) e
푓(푥 − 0).
As condições (a), (b) e (c) impostas a 푓(푥) são satisfeitas, a
convergência está garantida. Todavia, não sendo elas satisfeitas, a série
poderá convergir, ou não.
Funções pares e funções ímpares
Uma função 푓(푥) é ímpar se 푓(−푥) = −푓(푥). Assim, 푥 , 푥 − 3푥 + 2푥,
푠푒푛푥, 푡푔3푥 são funções ímpares.
Uma função 푓(푥) é par se 푓(−푥) = 푓(푥). Assim,푥 . 2푥 − 4푥 + 5, 푐표푠푥,
푒 + 푒 são funções pares.
Numa série de Fourier correspondente a uma função ímpar, só
aparecem os termos em senos. Numa série de Fourier correspondente a uma
função par, só podem aparecer os termos em co-senos (e possivelmente uma
constante, que consideraremos como um termo em co-seno).
Séries de Fourier de senos e de co-senos
Uma série de Fourier de senos ou de co-senos é uma série que contém
somente termos em senos ou em co-senos, respectivamente. Quando se
deseja uma semi-série correspondente a determinada função, esta é
geralmente definida no intervalo (푂, 퐿) que é a metade do intervalo (−퐿, 퐿), a
função é então especificada como sendo ímpar ou par, de modo que fique
claramente definido seu comportamento na outra metade do intervalo, a saber,
(−퐿,푂). Em tal caso, temos:
⎩⎪⎨
⎪⎧ 푎 = 0, 푏 =
2퐿 푓(푥)푠푒푛
푛휋푥퐿 푑푥 푠푒푚푖 푠é푟푖푒푠 푑표 푠푒푛표푠
푏 = 0, 푎 =2퐿 푓(푥)푐표푠
푛휋푥퐿 푑푥 푠푒푚푖 푠é푟푖푒푠 푑표 푐표 − 푠푒푛표푠
Identidade de Parseval
A identidade de Parseval afirma que:
1퐿
{푓(푥)} 푑푥 =푎2 + (푎 + 푏 )
se 푎 e 푏 são os coeficientes de Fourier correspondente a 푓(푥) e se 푓(푥)
satisfaz as condições de Dirichlet.
Convergência uniforme
Suponha-se que tenhamos uma série infinita ∑ 푢 (푥). Definimos a
soma parcial de ordem 푅 da série como sendo a soma dos seus 푅 primeiros
termos, isto é:
푆 (푥) = 푢 (푥)
Por definição a série infinita converge para 푓(푥) em algum intervalo se,
dado um número positivo ∈, existe, para cada 푥 no intervalo, um número
positivo 푁 tal que:
|푆 (푥)− 푓(푥)| <∈ sempre que 푅 > 푁
O número 푁 depende em geral não só de ∈ mas também de 푥.
Chamamos de 푓(푥) a soma da série. Caso importante é aquele em que o valor
de N depende de ∈, mas não do particular valor de 푥 no intervalo. Em tais
casos a série converge uniformemente para 푓(푥).
Teorema 2: Se cada termo de uma série infinita é contínuo em um intervalo
(푎,푏) e se a série converge uniformemente para 푓(푥) nesse intervalo, então:
1- 푓(푥) também é contínuo no intervalo
2- A série pode ser integrada termo a termo, isto é:
푢 (푥) 푑푥 = 푢 (푥)푑푥
Teorema 3: Se cada termo de uma série infinita é derivável, e se a série de
derivadas é uniformemente convergente, então a série pode ser derivada termo
a termo, isto é:
푑푑푥 푢 (푥) =
푑푑푥 푢
(푥)
Há várias maneiras de provar a convergência uniforme de uma série. A
maneira obvia consiste em determinar efetivamente a soma 푆 (푥) sob forma
compacta e aplicar então a definição diretamente. O segundo processo
consiste em utilizar um teorema conhecido como 푡푒푠푡푒 푀 푑푒 푊푒푖푒푟푠푡푟푎푠푠.
Teorema 4: (Teste M de Weierstrass): Se existe um conjunto de constantes
푀 , 푛 = 1, 2, …, tais que para todo 푥 em um intervalo |푢 (푥)| ≤ 푀 , e se, além
disso, ∑ 푀 converge, então ∑ 푢 (푥) converge uniformemente no
intervalo. Incidentalmente, a série é também absolutamente convergente, ou
seja, ∑ |푢 (푥)| converge no intervalo.
Integração e diferenciação de séries de Fourier
A integração e a derivação das séries de Fourier podem ser justificadas
com aplicação dos Teoremas 3 e 4, que valem para séries em geral. É
especialmente útil o teorema abaixo:
Teorema 5: A série de Fourier correspondente a 푓(푥) pode ser integrada termo
a termo de 푎 a 푥 e a série resultante converge uniformemente para ∫ 푓(푢)푑푢,
desde que 푓(푥) seja seccionalmente contínua em −퐿 ≤ 푥 ≤ 퐿 e que tanto 푎
como 푥 pertençam ao intervalo.
Notação complexa para as séries de Fourier
Utilizando as identidades de Euler,
푒 = 푐표푠휃 + 푖푠푒푛휃, 푒 = 푐표푠휃 − 푖푠푒푛휃
onde 푖 é a unidade imaginária tal que 푖 = −1, podemos escrever a série de
Fourier para 푓(푥) sob forma complexa como :
푓(푥) = 푐 푒 (4)
onde
푐 =1
2퐿 푓(푥)푒 푑푥 (5)
Ao escrevermos a igualdade (4), estamos admitindo satisfeitas as
condições de Dirichlet e também que 푓(푥) seja contínua em 푥. Se 푓(푥) é
descontínua em 푥, o membro esquerdo de (5) deve ser substituído por ( ) ( ).
Séries duplas de Fourier
A ideia de desenvolver em série de Fourier uma função de uma variável
pode ser generalizada para o caso de funções de duas variáveis 푥 e 푦, isto é,
푓(푥,푦). Podemos desenvolver 푓(푥, 푦) em uma série dupla de Fourier de senos.
푓(푥, 푦) = 퐵 , 푠푒푛푚휋푥퐿 푠푒푛
푛휋푦퐿
onde 퐵 = ∫ ∫ 푓(푥,푦)푠푒푛 푠푒푛 푑푥푑푦
Podem-se obter resultados análogos para séries de co-senos, ou para
séries contendo senos e co-senos.
APLICAÇÃO
Equação de Laplace
Suponhamos que a placa quadrada do problema tenha três lados
mantidos a temperatura zero, enquanto o quarto lado é mantido a temperatura
푢 . Determine a temperatura estacionária na placa.
Escolhamos o lado com temperatura 푢 como aquele em que 푦 = 1.
Como desejamos a temperatura estacionária 푢, que não depende do tempo 푡,
obtém-se a equação a partir de (1) fazendo = 0; isto é, a equação de
Laplace em duas dimensões:
+ = 0 (1)
As condições de contorno são:
푢(0,푦) = 푢(1,푦) = 푢(푥, 0) = 0, 푢(푥, 1) = 푢 e |푢(푥,푦)| < 푀
Para resolver este problema de contorno, façamos 푢 = 푋푌 em (1),
obtendo:
푋 푌 + 푋푌 = 0 ou = −
Igualando cada membro a −휆 vem
푋 + 휆 푋 = 0 푌 − 휆 푌 = 0
onde
푋 = 푎 푐표푠휆푥 + 푏 푠푒푛휆푥 푌 = 푎 푐표푠ℎ휆푦 + 푏 푠푒푛ℎ휆푦
Então, uma possível solução é
푢(푥,푦) = (푎 푐표푠휆푥 + 푏 푠푒푛휆푥)(푎 푐표푠ℎ휆푦 + 푏 푠푒푛ℎ휆푦)
De 푢(0,푦) = 0, obtemos 푎 = 0. De 푢(푥, 0) = 0, obtemos 푎 = 0. De
푢(1,푦) = 0, obtemos 휆 = 푚휋, 푚 = 1,2,3, … . Assim, uma solução que satisfaz a
todas essas condições é
푢(푥,푦) = 퐵푠푒푛 푚휋푦
Para satisfazer a última condição, 푢(푥, 1) = 푢 , devemos primeiro utilizar
o princípio de superposição para obter a solução
푢(푥,푦) = ∑ 퐵 푠푒푛 푚휋푥 푠푒푛ℎ 푚휋푦 (2)
Então, de 푢(푥, 1) = 푢 devemos ter
푢 = (퐵 푠푒푛ℎ 푚휋)푠푒푛 푚휋푥
Aplicando então a teoria das séries de Fourier
퐵 푠푒푛ℎ 푚휋 = 2 푢 푠푒푛ℎ 푚휋푥 푑푥 =2푢 (1 − cos푚휋)
푚휋
onde
퐵 = ( )
(3)
De (2) e (3), obtemos
푢(푥,푦) =2푢휋
1 − cos푚휋푚 푠푒푛ℎ 푚휋 푠푒푛 푚휋푥 푠푒푛ℎ 푚휋푦
Note-se que se trata de um problema de Dirichlet, pois estamos
resolvendo a equação de Laplace ∇ 푢 = 0 em relação a 푢 no interior de uma
região 푅 onde 푢 é especificada na fronteira de 푅.
Ex: Mostre que p fluxo de calor através de um plano em um meio
condutor é dado por −퐾 , onde 푢 é a temperatura, 푛 é normal ao plano e 퐾 é
a condutividade térmica do meio.
Suponhamos dois planos paralelos I e II distantes de ∆푛, com
temperatura 푢 e 푢 + ∆푢, respectivamente como mostra na figura abaixo. O
calor flui então do plano de temperatura mais alta para o plano de temperatura
mais baixa. Outrossim, a quantidade de calor por unidade de área por unidade
de tempo, chamada fluxo de calor , diretamente proporcional a diferença de
temperatura ∆푢 e inversamente proporcional a distância ∆푛.
Fluxo de calor I para II = −퐾 ∆∆
onde 퐾 é a constante de
proporcionalidade, chamada condutividade térmica. O sinal negativo em (I)
surge porque se ∆푢 > 0 o calor flui efetivamente de II para I.
Passando ao limite quando ∆푛 → 0 (e consequentemente ∆푢 → 0),
temos:
Fluxo de calor através do plano I = −퐾 (1)
é o gradiente de 푢, ∆푢, de modo que a Eq. (1) pode-se escrever
Fluxo de calor através do plano I = −퐾∇푢.
1.6- Ex: Se a temperatura em um ponto (푥, 푦,푧) de um sólido, no instante
푡, é 푢(푥, 푦, 푧, 푡) e se 퐾, 휎 e 휇 são, respectivamente, a condutividade térmica, o
calor específico e a densidade do sólido (todas supostas constantes), mostre
que =푘∇ 푢 onde 푘 = .
Consideremos um pequeno elemento de volume do sólido 푉, tal como
indicado na figura acima. No exemplo acima, a quantidade de calor por unidade
de área por unidade de tempo que entra no elemento através da face PQRS é
−퐾 , onde indica a derivada de 푢 em relação a 푥 na posição 푥. Como a
área da face no tempo PQRS é ∆푦∆푧, a quantidade total de calor que entra no
elemento pela face PQRS no tempo ∆푡 é:
−퐾 ∆푦∆푧∆푡 (1)
Analogamente, a quantidade de calor que sai do elemento pela face
NWZT é:
−퐾∆∆푦∆푧∆푡 (2)
onde ∆
indica a derivada de 푢 em relação a 푥 calculada em 푥 + ∆푥.
A quantidade de calor que permanece no elemento é, pois, dada por (1)
– (2):
퐾∆−퐾 ∆푦∆푧∆푡 (3)
De maneira análoga, podemos mostrar que as quantidades de calor que
permanecem no elemento devido a transferência de calor nas direções 푦 e 푧
são dadas por:
퐾∆−퐾 ∆푥∆푧∆푡 (4)
퐾∆−퐾 ∆푥∆푦∆푡 (5)
respectivamente.
A quantidade total de calor ganha pelo elemento é dada pela soma de
(3), (4) e (5). Esta quantidade adicional de calor contribui para elevar de ∆푢 a
temperatura. Sabe-se que o calor necessário para elevar de ∆푢 a temperatura
de uma massa 푚 é dada por 푚휎∆푢, onde 휎 é o calor específico. Se a
densidade do sólido é 휇, a massa é 푚 = 휇∆푥∆푦∆푧. Assim, a quantidade de
calor dada pela soma de (3), (4), e (5) é igual a:
휎휇∆푥∆푦∆푧∆푢 (6)
Igualando agora (6) a soma de (3), (4) e (5), e dividindo por ∆푥∆푦∆푧∆푡,
obtemos:
퐾 휕푢휕푥 ∆−퐾 휕푢휕푥
∆푥 +
⎩⎨
⎧퐾휕푢휕푦 ∆
−퐾휕푢휕푦∆푦
⎭⎬
⎫+
퐾 휕푢휕푧 ∆−퐾 휕푢휕푧
∆푧 = 휎휇∆푢∆푡
No limite, quando ∆푥, ∆푦, ∆푧 e ∆푡 tendem todos para zero, a equação
acima fica:
휕휕푥 퐾
휕푢휕푥 +
휕휕푦 퐾
휕푢휕푦 +
휕휕푧 퐾
휕푢휕푧 = 휎휇
휕푢휕푡
ou como 퐾 é constante,
퐾휕 푢휕푥 +
휕 푢휕푦 +
휕 푢휕푧 = 휎휇
휕푢휕푡
Podemos escrever esta última equação como:
휕푢휕푡 = 푘∇ 푢
onde 푘 = é a difusividade.
1.7- Resolva o Problema 1.6 utilizando métodos vetoriais.
Seja 푉 um volume arbitrário interior ao sólido, e 푆 sua superfície. O fluxo
total de calor através de 푆, ou a quantidade de calor que deixa 푆 por unidade
de tempo, é:
(−퐾∇푢).푛푑푆
onde 푛 é um vetor unitário da normal exterior a 푆. Assim, a quantidade de calor
que entra em 푆 por unidade de tempo é:
(−퐾∇푢).푛푑푆 = ∇. (퐾∇푢)푑푉 (ퟏ)
pelo teorema da divergência. O calor contido em um volume 푉 é dado por
휎휇푢 푑푉
Então, a taxa de aumento de calor (em relação ao tempo) é:
휕휕푡
휎휇푢 푑푉 = 휎휇휕휕푡
푑푉 (ퟐ)
Igualando os membros direitos de (1) e (2),
휎휇휕휕푡 − ∇. (퐾∇푢) 푑푉 = 0
e como 푉 é arbitrário, o integrando, suposto contínuo, deve ser identicamente
nulo, de forma que
휎휇휕휕푡 = ∇. (퐾∇푢)
ou, se 퐾, 휎, 휇 são constantes,
휕푢휕푡 =
퐾휎휇 ∇.∇u = k∇ u (ퟑ)
1.8- Mostre que, para o fluxo de calor estacionário, a equação de condução do
calor dos Problemas 1.6 ou 1.7 se reduz à equação de Laplace ∇ u = 0.
No caso do fluxo de Calor estacionário, a temperatura 푢 não depende do
tempo 푡, de modo que = 0. Assim, a equação = k∇ u se reduz a ∇ u = 0.