produit scalaire (1)

1Séquence 5 – MA12

Séquence 5

1ère partie : Produit scalaire (1)

2e partie : Suites numériques (1)

© Cned - Académie en ligne

2 Séquence 5 – MA12

1ère partie

Produit scalaire (1)

Sommaire

1. Pré-requis

2. Produit scalaire de deux vecteurs

3. Synthèse de la partie 1 de la séquence

4. Exercices d’approfondissement



1 Pré-requisThéorème de Pythagore

1. Théorème de Pythagore

Vous connaissez bien sûr ce théorème.

Le triangle ABC est rectangle en A si et seule-ment si AB AC BC .2 2 2+ =

Vecteurs et calcul vectoriel

1. Vecteurs

Dans la séquence 1 nous avons vu.

Un vecteur est un « objet mathématique » qui ca-ractérise une translation.

S’il n’est pas nul, il est défini par la donnée :

d’une direction,

d’un sens,

et d’une longueur (on dit aussi une norme).

Définition

Soient A, B, C et D quatre points du plan. On a : AB CD

� �� = si et

seulement si les segments [AD] et [BC] ont le même milieu (c’est-à-dire si et seulement si ABDC est un parallélogramme, éventuellement aplati ou réduit à un point).

Propriétés

On peut aussi remarquer que cela signifie que, s’ils ne sont pas nuls, les vec-teurs AB

� �� et CD� ��

ont la même direction (puisque (AB) et (CD) sont paral-lèles), le même sens (on va dans le même sens de A vers B et de C vers D) et la même longueur ( AB CD= ).

A

B A

C

Théorème

B

Commentaire



Soient u�

et v�

deux vecteurs non nuls du plan. On a : u v� �

= si et seule-ment si u

� et v�

ont la même direction, le même sens et la même norme.

Propriétés

Lorsqu’un vecteur est défini à l’aide de deux points, AB,� ��

sa norme (c’est-à-dire sa longueur) peut se noter AB, puisque c’est aussi la distance entre les deux points A et B.

Mais lorsqu’un vecteur n’est pas défini à l’aide de points, u�

, et que l’on veut

écrire sa norme, on utilise la notation u�

.

Pour un vecteur AB� ��

on peut alors écrire aussi AB� ��

, de sorte que : AB AB.� ��

=

2. Coordonnées d’un vecteur

Si le repère O; ,i j� �( ) est orthonormé, et si le vecteur u

� a pour coordonnées u x y

�;( ) on a :

u x y�

= = +OM .2 2

Propriétés

Les coordonnées du vecteur AB� ��

sont : AB B A B A

� ��x x y y− −( ); où A A Ax y;( ) et B .B Bx y;( )

On retrouve alors : AB AB .B A B A

� ��= = −( ) + −( )x x y y

2 2

Propriétés

Soient u x y�

;( ) et v x y�

'; '( ) deux vecteurs et k un réel.

Les coordonnées de u v� �

+ sont x x y y+ +( )'; ' .

Celles de k u.�

sont kx ky;( ).

Propriétés

Remarque

Soit u�

un vecteur du plan. Les coordonnées du vecteur u�

dans un repère O; ,i j� �( ) sont les

coordonnées du point M tel que : OM .� ��

= u

Si l’on a M x y;( ) on a alors u xi y j� � ��

= = +OM .

Définition



Projection orthogonale d’un point, d’un vecteur

1. Projection orthogonale d’un point

Dans de nombreuses situations géo-métriques (par exemple dans la fi-gure ci-contre pour calculer l’aire du triangle ABC), à partir d’un point donné (ici A), on a besoin de construire un point (ici H), situé sur une droite donnée (ici (BC)), et tel que (AH) soit perpendiculaire à la droite donnée.

Ce point est unique, et pour le construire à partir de A on dit que l’on fait une projection orthogo-nale sur la droite (BC).

Soit d une droite donnée du plan et A un point du plan n’appartenant pas à d.

On appelle projeté orthogonal de A sur la droite d l’unique point H de d tel que (AH) soit perpendiculaire à d.

Si A appartient à la droite d, il est son propre projeté orthogonal sur d.

Définition

2. Projection orthogonale d’un vecteur

On considère une droite d donnée. Si un vecteur v�

est défini à l’aide de deux points, v

� � ��= AB, on peut projeter les points

A et B orthogonalement sur la droite d.

On obtient les points H et K.

On dit que le vecteur HK� ��

est le projeté or-thogonal de v

� sur la droite d.

On peut vérifier (voir figure ci-contre) que si l’on définit le vecteur v

� à l’aide de deux

autres points, v� � ��

= CD, de façon que C soit sur la droite (AH), on a : H projeté orthogo-nal de C sur d (évident) et K projeté ortho-gonal de D sur d.

C

B

HA

CBH

A

C

B

d

v

K

D

H

A

C



En effet l’égalité AB CD� ��

= implique que ABDC est un parallélogramme. On a alors (AC) parallèle à (BD) et donc (BD) perpendiculaire à d. Cette droite (BD) est alors confondue avec (BK) et K est bien le projeté orthogonal de D sur d.

On voit ainsi que le projeté orthogonal de v�

sur la droite d est indépendant du choix des points qui le définissent ( AB

� �� ou CD� ��

), en tout cas lorsque (AC) est perpendiculaire à d.

Sur la figure suivante, regardons ce

qui se passe si l’on définit le vecteur

v�

à l’aide de deux points, v� � ��

= CD,

sans que C soit sur la droite (AH).

On construit le point C’ de la droite (AH) tel que (CC’) soit parallèle à d. Puis on construit D’ tel que v

� � ��= C'D'.

On sait, voir explication précédente, que H est le projeté orthogonal de C’ sur d et K le projeté orthogonal de D’ sur d.

On sait aussi que CDD’C’ est un parallélogramme puisque CD C'D'.� ��

= Donc

CC' DD'.� ��

=

Construisons les points H’ et K’ projetés orthogonaux respectifs de C’ et D’ sur d.

On a (CC’) parallèle à (HH’) et (C’H) parallèle à (CH’) par construction (perpendi-culaires à d).

Donc HH’CC’ est un parallélogramme. Donc CC' H'H.� ��

=

On fait le même raisonnement avec KK’DD’. On obtient DD' K'K.� ��

=

On a alors : H'K' H'H HK KK' CC' HK D'D� ��

= + + = + +��

= HK car CC' DD'.� ��

=

Puisque H'K' HK� ��

= on voit que le projeté orthogonal de v�

sur la droite d est indépendant du choix des points qui le définissent ( AB

� �� ou CD� ��

), même si C n’est pas sur la droite (AH).

Soit d une droite donnée du plan et v�

un vecteur de ce plan.

Si l’on définit le vecteur v�

à l’aide de deux points, v� � ��

= AB, et si l’on considère les points H et K, projetés orthogonaux respectifs de A et B sur d, alors le vecteur HK

� �� est indépendant du choix

des points A et B. Il ne dépend que de v�.

Propriétés

Cet unique vecteur HK� ��

est appelé projeté orthogonal de v�

sur la droite d.

Définition

B

d

v

KK’

DD’

H

A

CC’

H’



Si l’on projette le vecteur v�

sur une autre droite parallèle à d, on obtient le même projeté orthogonal. Autrement dit le projeté orthogonal d’un vecteur sur une droite ne dépend pas réellement de la droite, mais uniquement de sa direction.

Cela nous permet de définir le projeté orthogonal d’un vecteur v�

sur un autre vecteur u

� non nul. Il suffit de le projeter sur n’importe quelle droite dont u

� est

un vecteur directeur (voir figure ci-dessous).

dv

v’

u’

u

Remarque



2 Produit scalaire de deux vecteurs

Activités

1. Triangle rectangle ?

� Dans la figure ci-contre, dire si le triangle ABC est rectangle en A.

� Dans le plan rapporté

à un repère orthonormé

O ; ,i j� �, ( ) on donne les

points A ,1 3;( ) B −( )3 1;

et C .4 3; −( )

Faire une figure.

Dire si le triangle ABC est rectangle en A.

2. Expression de AB AC BC2 2 2+ − avec des longueurs et un angle

A partir de l’activité précédente, on peut remarquer que le nombre AB AC BC2 2 2+ − permet de savoir si le triangle ABC est rectangle en A ou non :

« le triangle ABC est rectangle en A si et seulement si AB AC BC2 2 2 0+ − = », ce qui est une autre forme du théorème de Pythagore.

On va donc s’intéresser à ce nombre, AB AC BC ,2 2 2+ − ou plutôt à sa moitié (on verra pourquoi plus loin) en particulier lorsqu’il est non nul.

On considère un triangle ABC, non rectangle en A et le point H projeté orthogonal de B sur la droite (AC).

� Trois cas peuvent se présenter : soit H appartient au segment [AC], soit il est à l’extérieur de ce segment et du côté de A, soit il est à l’extérieur du segment [AC] du côté de C.

Faire trois figures correspondant à ces trois cas.

� Montrer que l’on a toujours : HB HC BC .2 2 2+ = Déterminer une égalité ana-logue pour AB .2

A

8

13

10

A

C B



En déduire que : AB AC BC HA AC HC .2 2 2 2 2 2+ − = + −

� a) Dans le premier cas de figure, quelle relation a-t-on entre HC, AC et AH ?

b) En déduire que l’on a : AB AC BC AC AH.2 2 2 2+ − = ×

� a) Dans le deuxième cas de figure, quelle relation a-t-on entre HC, AC et AH ?

b) En déduire que l’on a : AB AC BC AC AH.2 2 2 2+ − = − ×

� a) Dans le troisième cas de figure, quelle relation a-t-on entre HC, AC et AH ?

b) En déduire que l’on a : AB AC BC AC AH.2 2 2 2+ − = ×

� Dans les trois cas de figure, montrer que l’on a :

AB AC BC AB AC AB AC .2 2 2 2+ − = × × ( )cos ,

� �� Attention à être bien rigoureux

dans le calcul trigonométrique.

3. Expression de AB AC BC2 2 2+ − avec des normes de vecteurs

On garde la situation précédente et on définit les vecteurs u� � ��

= AB et v� � ��

= AC.

� Exprimer le vecteur BC��

en fonction de u�

et v�.

� En déduire que : AB AC BC .2 2 2 2 2 2+ − = + − −u v u v

� � � �

4. Expression de AB AC BC2 2 2+ − avec des coordonnées de vecteurs

On garde encore la situation précédente et on définit les vecteurs de u�

et v�

par

leurs coordonnées dans un repère orthonormé O ; ,i j� �( ) : u x y

�;( ) et v x y

�'; '( ).

Montrer que l’on a : AB AC BC .2 2 2 2+ − = +( )xx yy' '

On vient ainsi de voir, dans les activités précédentes, que le nombre AB AC BC2 2 2+ − peut s’exprimer de différentes manières suivant le type de données dont on dispose, ou le type de résultat que l’on veut obtenir.

Vous avez aussi sans doute remarqué, dans les activités et que les expres-sions obtenues pour ce nombre étaient factorisées par 2.

C’est pourquoi on s’intéressera, dans le cours, au nombre 12

2 2 2AB AC BC+ −( )

dont on sait déjà qu’il vérifie : 12

2 2 2AB AC BC AB AC AB AC ,+ −( ) = × × ( )cos ,� ��

12

12

2 2 2 2 2 2AB AC BC ,+ −( ) = + − −

u v u v� � � �

12

2 2 2AB AC BC .+ −( ) = +xx yy' '

Conclusion



Cours


Comme on l’a vu à la fin des activités, étant donnés deux vecteurs u�

et v�, nous

allons nous intéresser au nombre 12

2 2 2u v u v� � � �

+ − −

.

Définition 1

Étant donnés deux vecteurs u�

et v�, on appelle produit scalaire des vecteurs u

� et v�

le

nombre réel noté u v��

⋅⋅ et défini par : u v u v u v� � � � � �

⋅ = + − −

12

2 2 2.

On le lit « u�

scalaire v�

».

Cette définition nous donne immédiatement les propriétés suivantes.

Propriété 1

a. Retenons tout d’abord que le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre réel.

b. Si l’un des vecteurs u�

ou v�

est nul, on a : u v� �

⋅ = 0.

c. Quand on calcule un produit scalaire, l’ordre des vecteurs n’a pas d’importance et on a :

u v v u� � � �

⋅ = ⋅ .

d. Si v u� �

= , autrement dit si l’on calcule le produit scalaire de u�

par lui-même, on a : u u u� � �

⋅ =2

.

On a l’habitude de dire que c’est le carré scalaire de u�

et on le note : u�

2. On a donc :

u u u u� � � �

2 2= ⋅ = .

� Si l’on considère trois points A, B et C tels que u� � ��

= AB et v� � ��

= AC, on a :

AB AC AB AC BC .� ��

⋅ = + −( )12

2 2 2

On reconnaît l’expression étudiée dans les activités.

� Si l’on considère deux points A et B tels que u� � ��

= AB on a : AB AB AB .� ��

2 2 2= =

Cette égalité est assez importante car elle permet, dans certains calculs, de

passer des longueurs (AB, BC, …) aux vecteurs ( AB,� ��

BC,��

…). Or on ne sait pas

facilement additionner ou soustraire des longueurs (que vaut AB BC+ ?) alors

que l’on sait mieux additionner ou soustraire des vecteurs ( AB BC AC� ��

+ = ).

Définition 2

On dit que deux vecteurs non nuls u�

et v�

sont orthogonaux si u v k� �

,( ) = +π π2

avec k ∈�.

Par convention on considère aussi que le vecteur nul est orthogonal à tout autre vecteur.

B

Remarques



Théorème 1

Deux vecteurs u�

et v�

sont orthogonaux si et seulement si u v��

⋅⋅ == 0.

Considérons deux vecteurs u�

et v�

et trois points A, B et C tels que u� � ��

= AB et

v� � ��

= AC.

a. Supposons que u�

et v�

soient orthogonaux.

Si u� �

= 0 on a :

u v v v v v v� � � � � � � � � �

⋅ = ⋅ = + − −

= + − −012

0 012

02 2 2 2 2

= 0.

Car v v� �2 2

= − .

Si v� �

= 0 on montre de la même façon que : u v u� � � �

⋅ = ⋅ =0 0.

Si u�

et v�

sont non nuls on a : u v k� � � ��

, AB, AC( ) = ( ) = +π π2

avec k ∈�. Le

triangle ABC est alors rectangle en A et on a : AB AC BC2 2 2+ = (théorème de

Pythagore). On a alors :

u v� � � �� ⋅ = ⋅ = + − −

AB AC AB AC AB AC

12

2 2 2

= + −

12

2 2 2AB AC CB� ��

= + −( ) =12

02 2 2AB AC CB .

On a donc bien dans tous les cas : si u v� �

et sont orthogonaux, alorsu v� �

⋅ = 0.

Implication que l’on peut noter : u v u v� � � �

et orthogonaux .( ) ⇒ ⋅ =( )0

b. Réciproquement, supposons que u v� �

⋅ = 0.

Si u� �

= 0 ou v� �

= 0 les vecteurs u�

et v�

sont orthogonaux.

S’ils sont tous deux non nuls, on a : u v� � � ��

⋅ = ⋅ = + −( ) =AB AC AB AC CB .12

02 2 2 Donc AB AC BC2 2 2+ = .

On en déduit que le triangle ABC est rectangle en A. Donc

u v k� � � ��

, AB, AC( ) = ( ) = +π π2

avec k ∈�.

Les vecteurs u�

et v�

sont orthogonaux.

On a donc bien dans tous les cas : si u v� �

⋅ = 0 alors u v� �

et sont orthogonaux.

Implication que l’on peut noter : u v u v� � � �

⋅ =( ) ⇒ ( )0 et orthogonaux .

L’équivalence est donc démontrée : u v u v� � � �

et orthogonaux .( ) ⇔ ⋅ =( )0

� Démonstration

Rappel

Rappel



2. Expression analytique du produit scalaire

Dans tout ce paragraphe, on suppose que le plan est rapporté à un repère ortho-normé O .; ,i j

� �( )

Les calculs de l’activité 4 nous permettent d’énoncer le théorème suivant.

Théorème 2

Soient u�

(x ; y ) et v�

(x‘ ; y ‘) deux vecteurs. On a : u v xx yy� �

⋅ = +' ' .

Considérons deux vecteurs u�

et v�

de coordonnées u x y�

;( ) et v x y�

'; '( ) dans

un repère orthonormé O .; ,i j� �( ) On a alors :

u x y� 2 2 2= + , v x y

� 2 2 2= ( ) + ( )' ' et, comme les coordonnées de u v� �

− sont

x x y y− −( )'; ' on a u v x x y y� �

− = −( ) + −( )2 2 2' ' .

Donc :

u v u v u v x y x y� � � � � �

⋅ = + − −

= + + ( ) + ( )12

12

2 2 2 2 2 2' '

22 2 2− −( ) − −( )

x x y y' ' .

Soit : u v xx yy xx yy� �

⋅ = +( ) = +12

2 2' ' ' '.

Il est indispensable que l’on soit dans un repère orthonormé.

Propriété 2

a. Quels que soient les vecteurs u�

, v�

et w��

on a : u v w u v u w��

⋅⋅ ++(( )) == ⋅⋅ ++ ⋅⋅ .

b. Quels que soient les vecteurs u�

et v�

et le nombre réel λ on a : λλ λλu v u v�� (( )) ⋅⋅ == ×× ⋅⋅(( )).

a. Considérons les vecteurs u�

, v�

et w��


;( ),

v x y�

'; '( ) et w x y��

"; "( ) dans un repère orthonormé O .; ,i j� �( ) On a alors :

v w x x y y� ��

+( ) + +( )' "; ' " . Donc :

u v w x x x y y y xx xx yy yy� � ��

⋅ +( ) = +( )+ +( ) = + + +' " ' " ' " ' "

et u v u w xx yy xx yy� � � ��

⋅ + ⋅ = + + +' ' " ".

On a donc bien : u v w u v u w� � ��

⋅ +( ) = ⋅ + ⋅ .

b. Considérons les vecteurs u�

et v�


;( ) et v x y�

'; '( ) dans

un repère orthonormé O ,; ,i j� �( ) et λ un nombre réel. On a alors : λ λ λu x y

�; .( )

� Démonstration

Remarque

� Démonstration



Donc :

λ λ λ λ λu v x x y y xx yy� �( ) ⋅ = ( ) + ( ) = +' ' ' '

et λ λ λ λ× ⋅( ) = × +( ) = +u v xx yy xx yy� �

' ' ' ' .

On a donc bien : λ λu v u v� � � �( ) ⋅ = × ⋅( ).

� Si l’on utilise l‘égalité u v v u� � � �

⋅ = ⋅ , on peut démontrer que l’on a également les propriétés suivantes :


, v�

et w��

on a : u v w u w v w� � ��

+( ) ⋅ = ⋅ + ⋅ .


et v�

et le nombre réel λ on a : u v u v� � � �

⋅ ( ) = × ⋅( )λ λ .

� Les quatre propriétés de calcul vues ci-dessus, même si on les a démontrées à l’aide des coordonnées des vecteurs dans un repère orthonormé, sont néan-moins toujours vraies, indépendamment du mode d’expression du produit scalaire.

� Si deux vecteurs u�

et v�

sont colinéaires, on a :

u vu v u v

u v

� ��

� �⋅ =−

si et sont de même sens ;

si et sont de sens contraire.u v� �

En effet si u�

et v�

sont colinéaires, il existe un réel λ tel que : v u� �

= λ .

On a alors : u v u u u u u� � � � � � �

⋅ = ⋅ ( ) = × ⋅( ) =λ λ λ2

.

D’autre part : u v u u u u u� � � � � � �

= = =λ λ λ2

.

Donc si u�

et v�

sont de même sens, λ > 0, donc λ λ= et donc u v u v� � � �

⋅ = .

Si u�

et v�

sont de sens contraire, λ < 0, donc λ λ= − et donc u v u v� � � �

⋅ = − .

Ces propriétés de calcul sont analogues à celles que l’on a pour les calculs algé-briques, à ceci près que l’on « mélange » ici nombres et vecteurs.

On va donc pouvoir « développer » les calculs de produit scalaire comme l’on « développe » les calculs algébriques, en faisant cependant très attention à ce que l’on manipule, nombre ou vecteur. Par exemple :

produits scalaires

( )λ λ λu v u v u v��

� � � � �⋅ = × ⋅( ) = ⋅( )

produit d’un produit vecteur par un réel de deux réels

� Exprimer en fonction de u� 2

, v� 2

et u v� �

⋅ les produits scalaires suivants :

a. 3 2u v� �

⋅ −( ), b. 3 2u v u v� � � �

+( ) ⋅ −( ),

c. u v u v� � � �

+( ) ⋅ −( ), d. u v� �

+2

.

Remarques

Conséquence

� Exemple 1



Réponses

� a. 3 2 3 2 3 2 6u v u v u v u� � � � � � �

⋅ −( ) = × ⋅ −( )( ) = × −( ) × ⋅( ) = −( ) × ⋅⋅( )v�

.

b. 3 2 3 3 2u v u v u v u u v v� � � � � � � � � �

+( ) ⋅ −( ) = +( ) ⋅ − +( ) ⋅ ( ) =

= ( ) ⋅ + ⋅ − ( ) ⋅ ( ) − ⋅ ( )3 3 2 2u u v u u v v v� � � � � � � �

.

Donc :

3 2 3 6 2u v u v u u v u u v v� � � � � � � � � � �

+( ) ⋅ −( ) = × ⋅( )+ ⋅ − × ⋅ − × ⋅vv u u v v� � � � �

= − × ⋅ −3 5 22 2

.

c. u v u v u u v v u v u u v� � � � � � � � � � � � �

+( ) ⋅ −( ) = ⋅ −( )+ ⋅ −( ) = − ⋅2

++ ⋅ − = −v u v u v� � � � �2 2 2

.

d. Ne pas oublier que : u v u v u v� � � � � �

+ = +( ) ⋅ +( )2. Ce qui nous donne :

u v u v u v u u v v u v u� � � � � � � � � � � � �

+ = +( ) ⋅ +( ) = ⋅ +( )+ ⋅ +( ) =2 22 2

+ ⋅ + ⋅ +u v v u v� � � � �

.

Et donc :

u v u u v v� � � � � �

+ = + ⋅ +2 2 2

2 .

Comme les deux derniers calculs nous le montrent, nous avons, avec le produit scalaire des « identités remarquables » analogues à celles que l’on a avec le calcul sur les nombres réels.

Propriété 3

Quels que soient les vecteurs u�

et v�

on a :

a. u v u v u u v v� � � � � � � �

+ = +( ) = + ⋅ +2 2 2 2

2 .

b. u v u v u u v v� � � � � � � �

− = −( ) = − ⋅ +2 2 2 2

2 .

c. u v u v u v� � � � � �

+( ) ⋅ −( ) = −2 2

.

a. et c. sont démontrées dans l’exemple 1.

b. On a :

u v u v u v u u v v u v u� � � � � � � � � � � � �

− = −( ) ⋅ −( ) = ⋅ −( )− ⋅ −( ) =2 22 2

− ⋅ − ⋅ + −u v v u v� � � � �

.

Mais − =v v� �2 2

. Et donc : u v u u v v� � � � � �

− = − ⋅ +2 2 2

2 .

On considère un carré ABCD de centre O et tel que AB = 2. On appelle E le milieu de [BC] et F le milieu de [CD].

� Démonstration

� Exemple 2



� Calculer les produits scalaires suivants :

a. AB BC,� ��

⋅ b. AB CD,� ��

⋅ c. AB AC,� ��

⋅ d. AB BO.� ��

⋅

� Montrer que les droites (AE) et (BF) sont perpendiculaires.

Réponses

� a. Comme ABCD est un carré, les vecteurs AB� ��

et BC��

sont orthogonaux. Donc :

AB BC .� ��

⋅ = 0

b. Comme ABCD est un carré, on a CD AB.� ��

= − Donc : AB CD AB AB AB AB .

� �� ⋅ = ⋅ −( ) = − = − = −2 2 4

c. On a : AB AC AB AB BC AB AB BC� ��

⋅ = ⋅ +( ) = + ⋅2��

= + =AB .2 0 4

d. On a : BO BD BC CD .� ��

= = +( )12

12

Par conséquent :

AB BO AB BC CD AB BC� ��

⋅ = ⋅ +( ) = ⋅12

12

++ ⋅ = −12

2AB CD .� ��

� Pour montrer que les droites (AE) et (BF) sont perpendiculaires, montrons que les vecteurs AE

� �� et BF��

sont orthogonaux. Pour cela calculons leur produit scalaire. On a :

AE BF AB BE BC CF AB B� ��

⋅ = +( ) ⋅ +( ) = ⋅ CC AB CF BE BC BE CF.��

+ ⋅ + ⋅ + ⋅ Soit :

AE BF AB CD BC BC BC� ��

⋅ = + ⋅ + ⋅ +012

12

12

�� ⋅ = −( )+ ( )+ =12

12

412

4 0 0CD .

Le produit scalaire est nul. Les vecteurs sont orthogonaux, et donc les droites perpendiculaires.

3. Autres expressions du produit scalaire

Nous avons défini le produit scalaire de deux vecteurs à l’aide de normes (ou de distances si les vecteurs sont définis avec des points) puis, si l’on est dans un repère orthonormé, à l’aide des coordonnées.

Comme nous l’avons aperçu dans les activités initiales, nous pouvons également définir un produit scalaire de deux vecteurs en projetant orthogonalement l’un sur l’autre, ou en utilisant leurs normes et l’angle qu’ils forment.

C’est d’ailleurs cette richesse d’expressions possibles pour le même calcul qui donne tout son intérêt à la notion, comme nous le verrons en exercice.

Commençons par l’utilisation du projeté orthogonal.

Théorème 3

Si u�

est un vecteur non nul, et v�

un vecteur quelconque, on a : u v u v��

⋅⋅ == ⋅⋅ ' où v '��

est le projeté orthogonal de v

� sur u�.



Par définition du projeté orthogonal d’un vecteur sur un autre, le vecteur v v� ��

− ' est orthogonal à u�.

On a donc : u v v� � ��

⋅ −( ) =' 0.

Ce qui nous donne : u v u v� � � ��

⋅ − ⋅ =' 0.

Et donc : u v u v� � � ��

⋅ = ⋅ '.

On en déduit que deux vecteurs ayant même projeté orthogonal sur u

� ont

même produit scalaire par u�.

Sur la figure ci-contre on a :

u v u v u v u v� ��

⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅1 2 3 '.

On considère un carré ABCD de centre O et tel que AB = a. On appelle E le milieu de [BC] et F le milieu de [AD].� Calculer les produits scalaires suivants :

a. AB AC,� ��

⋅ b. AB AE,� ��

⋅ c. AB DB.� ��

⋅ � Calculer les produits scalaires suivants :

a. AE EB,� ��

⋅ b. FC EB,��

⋅ c. AO EB.� ��

⋅

Réponses

� a. Comme ABCD est un carré, le projeté orthogonal de AC� ��

sur AB� ��

est AB.� ��

Donc : AB AC AB AB AB2� ��

⋅ = ⋅ = = a2.

b. Comme ABCD est un carré et E le milieu de [BC], le projeté orthogonal de AE� ��

sur AB� ��

est AB.� ��

Donc : AB AE AB AB� ��

⋅ = ⋅ = a2.

c. Comme ABCD est un carré, le projeté orthogonal de DB��

sur AB� ��

est AB.� ��

Donc : AB DB AB AB� ��

⋅ = ⋅ = a2.

� a. Comme ABCD est un carré et E le milieu de [BC], le projeté orthogonal de

AE� ��

sur EB��

est BE.��

Donc : AE EB BE EB BE BE BE� ��

⋅ = ⋅ = − ⋅ = − = −

22a

2

.

b. Comme ABCD est un carré et F le milieu de [AD], le projeté orthogonal de FC��

sur EB��

est EC BE.��

=

Donc : FC EB BE EB��

⋅ = ⋅ = −

a2

2

.

� Démonstration

v

v’

u

v – v’

v1v2

v3

v’ u

Remarque

� Exemple 3



c. Comme ABCD est un carré et O le centre de ce carré, le projeté orthogonal de

AO� ��

sur EB��

est BE.��

Donc : AO EB BE EB� ��

⋅ = ⋅ = −

a2

2

.

Passons maintenant aux normes et au cosinus.

Théorème 4

Si u�

et v�

sont deux vecteurs non nuls, on a : u v u v u v��

⋅⋅ == (( ))cos , .

Pour démontrer ce théorème, il faut être attentif aux différents cas de figures possibles (on va donc faire une démonstration par « disjonction des cas »).

L’angle u v� �

,( ) peut être aigu (sa mesure principale est dans l’intervalle

−

π π2 2

, , droit ou obtus.

Dans le premier cas (figure 1), le projeté

orthogonal v '��

de v�

sur u�

est colinéaire

à u�

et de même sens, donc : u v u v u v� � � ��

⋅ = ⋅ =' ' .

D’autre part le cosinus de u v� �

,( ) est positif,

donc v v v v v u v' cos ', cos ,��

= ( ) = ( ) .

On a donc bien : u v u v u v u v� � � ��

⋅ = = ( )' cos , .

Dans le deuxième cas (angle u v� �

,( ) droit) le

produit scalaire est nul (vecteurs orthogonaux)

et on a cos ,u v� �( ) = 0. On a donc bien :

u v u v u v u v� � � ��

⋅ = = ( ) =' cos , 0.

Dans le troisième cas (figure 2), le projeté ortho-

gonal v '��

de v�

sur u�

est colinéaire à u�

et de

sens contraire, donc : u v u v u v� � � ��

⋅ = ⋅ = −' ' .

D’autre part le cosinus de u v� �

,( ) est négatif,

donc v v v v v u v' cos ', cos ,��

= ( ) = − ( ) .

On a donc bien : u v u v u v u v� � � ��

⋅ = − = ( )' cos , .

Dans tous les cas de figures on a démontré le théorème.

� Démonstration

v

v’

uu, v

figure 1

v

v’

u

u, v

figure 2



Comme c’est le cosinus de l’angle des deux vecteurs qui intervient dans le calcul

du produit scalaire, et que cos cos ,α α( ) = −( ) on remarque que le produit sca-

laire ne dépend pas de l’orientation de l’angle des vecteurs.

D’ailleurs on le savait déjà puisque u v v u� � � �

⋅ = ⋅ .

Dans un repère orthonormé O ,; ,i j� �( ) on donne les points A ,2 2; −( ) B −( )3 1;

et C .1 2;( )

� Calculer le produit scalaire : AB AC.� ��

⋅ � En déduire une valeur exacte de l’angle AB AC

� �� , .( )

Réponses

� On a : AB ,� ��

− − +( )3 2 1 2; soit AB .� ��

−( )5 3; De même : AC ,� ��

1 2 2 2− +( ); soit

AC .� ��

−( )1 4;

Comme le repère est orthonormé, on a : AB AC .� ��

⋅ = −( ) × −( )+ × =5 1 3 4 17

� Calculons les normes des vecteurs AB� ��

et AC.� ��

On a :

AB AB� ��

= = −( ) + =5 3 342 2 et AC AC .

� ��= = −( ) + =1 4 17

2 2

Or on sait que : AB AC AB AC AB AC .� ��

⋅ = × × ( )cos , On en déduit que :

cos ,AB ACAB ACAB AC

.� ��

� ��

( ) = ⋅×

= 17

34 17

Soit : cos ,AB AC .� �� ( ) = =1

2

22

On en déduire qu’une mesure principale de l’angle AB AC� ��

,( ) est soit π4

, soit

− π4

.

Une figure nous permet de préciser que l’on a : AB AC .� ��

,( ) = − +π π4

2k

On voit sur cet exemple l’intérêt de passer d’une forme de calcul d’un produit scalaire à une autre.

Exercices d’apprentissage

On considère un triangle ABC tel que : AB ,= 3 BC = 4 et CA .= 6 Calculer les produits scalaires :

� AB AC ;� ��

⋅ � BC BA ;��

⋅ � CA CB.� ��

⋅

Remarque

� Exemple 4

Remarque

C

Exercice 1



Dans un repère orthonormé O ,; ,i j� �( ) on donne les points A 2 2; −( ) et

B ,−( )3 1; les vecteurs u�

−( )1 2; , v�

3 0;( ), w i j��

= +2 4 et z i j� � �

= − + 3 .

� Calculer les produits scalaires :

a. OA OB ;� ��

⋅ b. u v� �

⋅ ; c. w z��

⋅ .

� Calculer le produit scalaire : BA .� ��

⋅u

On considère deux vecteurs u�

et v�

tels que : u�

= 4, v�

= 3 et u v� �

⋅ = −6.

Calculer les produits scalaires :

� u u v� � �

⋅ −( )2 ; � 3 5u v v� � �

+( ) ⋅ ;

� 2 3u v u v� � � �

−( ) ⋅ − +( ) ; � 2 32

u v� �

+( ) .

Dans la figure ci-contre, ABC est un triangle isocèle en A, ABEF un parallélogramme et les droites (AH) et (BF) sont perpendiculaires à (BC). On donne : BC .= a

Exprimer en fonction de a les produits sca-laires :

� BC BA ;��

⋅ � BC FC ;��

⋅

� BC AE ;��

⋅ � BC BA HF .��

⋅ +( )

� On considère deux vecteurs u�

et v�

tels que : u�

= 4, v�

= 3 et u v� �

,( ) = 23π

.

Calculer le produit scalaire u v� �

⋅ .

� On considère deux vecteurs w��

et z�

tels que : w��

= 2, z�

= 4 et

w z��

,( ) = − π4

.

Calculer le produit scalaire w z��

⋅ .

� On considère deux vecteurs u�

et v�

tels que : u�

= 4, v�

= +5 1 et

u v� �

⋅ = 4.

Déterminer une valeur approchée de la mesure en radians de l’angle u v� �

,( ).

� Dans un repère orthonormé O ,; ,i j� �( ) on considère deux vecteurs w

�� et z�

tels que : w i j��

= −3 4 et z i j� � �

= − +12 5 .

Déterminer une valeur approchée à 0,01 rad près de la mesure de l’angle w z��

,( ).

Exercice 2

Exercice 3

Exercice 4

B H

A

F

E

C

Exercice 5

Exercice 6



Dans un repère orthonormé O ,; ,i j� �( ) on donne les points A 1 2;( ) et B .3 2;( )

� a. Déterminer une équation de la droite (OB).

b. En déduire les coordonnées du point H, projeté orthogonal de A sur (OB).

c. Déterminer les coordonnées du point K, projeté orthogonal de B sur (OA).

� Calculer les produits scalaires :

a. OA OK ;� ��

⋅ b. OB OH ;� ��

⋅ c. OA OB.� ��

⋅

� Donner une explication du résultat trouvé à la question 2.

On considère un triangle ABC et les points I, J et K milieux respectifs des seg-ments [BC], [CA] et [AB].

Montrer que : AB CK BC AI CA BJ .� ��

⋅ + ⋅ + ⋅ = 0

Sur la figure ci-après, on donne deux vecteurs u�

et v�

et un point A (le qua-drillage n’est là que pour aider au dessin).

v

A

u

� a. Construire les points B, C et D tels que : AB ,� ��

= u AC� ��

= v et AD .� ��

= +u v

b. Définir le vecteur BC��

en fonction des vecteurs u�

et v�.

� Montrer que :

u v u v u v� � � � � �

+ + − = +

2 2 2 22 .

� En déduire une propriété des diagonales d’un parallélogramme.

On considère un rectangle ABCD tel que : AB = a et BC = b avec b a> > 0. Le point H est le projeté orthogonal de A sur (BD) et le point K celui de C sur la même droite.� a. Faire une figure.

b. Calculer, en fonction de a et b, le produit scalaire : AC BD.� ��

⋅

Exercice 7

Exercice 8

Exercice 9

Exercice 10



� En exprimant autrement ce produit scalaire, calculer, en fonction de a et b, la distance HK.

On considère un carré ABCD et M un point de la diagonale [AC]. Le point H est le projeté orthogonal de M sur (AB) et le point K le projeté orthogonal de M sur (BC).

� a. Faire un figure.

b. Justifier la nature des triangles AHM et CKM.

c. Montrer que AH BK= et que HB KC.=

� Exprimer, uniquement par des longueurs, le produit scalaire : DM HB.� ��

⋅

� En déduire que les droites (DM) et (HK) sont perpendiculaires.

Exercice 11



3 Synthèse de la partie 1 de la séquence


Définition

Étant donnés deux vecteurs u�

et v�, on appelle produit scalaire des vecteurs u

� et v�

le

nombre réel noté u v��

⋅⋅ et défini par : u v u v u v� � � � � �

⋅ = + − −

12

2 2 2.

On le lit « u scalaire v ».

Propriété 1

a. Retenons tout d’abord que le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre réel.

b. Si l’un des vecteurs u�

ou v�

est nul, on a : u v� �

⋅ = 0.

c. Quand on calcule un produit scalaire, l’ordre des vecteurs n’a pas d’importance et on a : u v v u� � � �

⋅ = ⋅ .

d. Si v u� �

= , autrement dit si l’on calcule le produit scalaire de u�

par lui-même, on a : u u u� � �

⋅ =2

.

On a l’habitude de dire que c’est le carré scalaire de u�

et on le note : u�

2. On a donc :

u u u u� � � �

2 2= ⋅ = .

Théorème 1

Deux vecteurs u�

et v�

sont orthogonaux si et seulement si u v��

⋅⋅ == 0.

2. Expression analytique du produit scalaire

Dans tout ce paragraphe, on suppose que le plan est rapporté à un repère ortho-

normé O .; ,i j� �( )



Théorème 2

Si les coordonnées des vecteurs u�

et v�

dans un repère orthonormé O ,; ,i j� �( ) sont u x y

�;( )

et v x y�

'; '( ), on a : u v xx yy��

⋅⋅ == ++' '.

Propriété 2


, v�

et w��

on a : u v w u v u w��

⋅⋅ ++(( )) == ⋅⋅ ++ ⋅⋅ .


et v�

et le nombre réel λ on a : λλ λλu v u v�� (( )) ⋅⋅ == ×× ⋅⋅(( )).

Propriété 3

Quels que soient les vecteurs u�

et v�

on a :

a. u v u v u u v v� � � � � � � �

+ = +( ) = + ⋅ +2 2 2 2

2 .

b. u v u v u u v v� � � � � � � �

− = −( ) = − ⋅ +2 2 2 2

2 .

c. u v u v u v� � � � � �

+( ) ⋅ −( ) = −2 2

.

3. Autres expressions du produit scalaire

Théorème 3

Si u�

est un vecteur non nul, et v�

un vecteur quelconque, on a : u v u v��

⋅⋅ == ⋅⋅ ' où v '��

est le

projeté orthogonal de v�

sur u�.

Théorème 4

Si u�

et v�

sont deux vecteurs non nuls, on a : u v u v u v��

⋅⋅ == (( ))cos , .



4 Exercices d’approfondissement

On considère un triangle ABC et un point M quelconque.

� Démontrer que l’on a : MA BC MB CA MC AB .� ��

⋅ + ⋅ + ⋅ = 0

� On choisit le point M tel que (MA) soit perpendiculaire à (BC) et (MB) perpen-diculaire à (CA).

a) Que sont alors les droites (MA) et (MB) pour le triangle ABC ?

b) Déduire de l’égalité initiale que (MC) est nécessairement perpendiculaire à (AB).

c) Quelle propriété bien connue vient-on de démontrer ?

On considère deux vecteurs u�

et v�.

� a) Montrer que u v� �

= si et seulement si u v� �

+ et u v� �

− sont orthogo-naux.

b) En déduire qu’un parallélogramme est un losange si et seulement si ses dia-gonales sont perpendiculaires.

(voir exercice 9).� a) Montrer que u v u v

� � � �+ = − si et seulement si u

� est orthogonal à v

�.

b) En déduire qu’un parallélogramme est un rectangle si et seulement si ses diagonales sont de même longueur.

Soient A et B deux points tels que AB .= 3

� Déterminer l’ensemble des points M du plan tels que : AM AB .� ��

⋅ = 0

� a) Déterminer le ou les points K de la droite (AB) tel(s) que : AK AB .� ��

⋅ = 6

b) En déduire l’ensemble des points N du plan tels que : AN AB .� ��

⋅ = 6

� On considère le point C tel que : AB CA.� ��

= 3

Déterminer l’ensemble des points P du plan tels que : AP AB .� ��

⋅ = −3

Lorsque l’on cherche un ensemble de points vérifiant une certaine propriété, on dit souvent que l’on cherche le « lieu » des points tels que …

On considère un carré ABCD de centre I et tel que AB .= 3 � Quel est le lieu des points M tels que : AM CM ?2 2 0− = � On veut trouver le lieu des points M tels que : AM CM .2 2 18− =

a) Montrer que : AM CM AC IM.2 2 2− = ⋅� ��

b) En déduire le lieu recherché.

Exercice I

Exercice II

Exercice III

Remarque

Exercice IV



Les triangles ABC et AEF sont rectangles isocèles en A et de sens direct. I est le milieu de [CE].

� Montrer que : AI AC AE .��

= +( )12

� a) Montrer que : AC AF AB AE.� ��

⋅ = ⋅

b) En déduire que les droites (AI) et (BF) sont perpendiculaires.

On considère un triangle ABC rectangle en A. On construit, à l’extérieur de ce triangle, les carrés ABDE et AGFC et le rectangle AEKG.� Faire une figure.� Démontrer que les segments [AK] et [BC] sont perpendiculaires et de même

longueur.� Démontrer que les segments [CD] et [KB] sont perpendiculaires et de même

longueur.� Démontrer que les droites (AK), (CD) et (BF) sont concourantes.

On considère un triangle quelconque ABC et I le milieu de [BC].

� Démontrer que : AB AC AIBC

.� ��

⋅ = −22

4

� Démontrer que : AB AC IA BC.2 2 2− = ⋅��

� Démontrer que : AB AC AIBC

.2 2 22

22

+ = +

Ces résultats sont connus sous l’appellation « théorème de la médiane ».

Exercice V

Exercice VI

Exercice VII

Remarque



Suites numériques (1)

2e partie

Sommaire

1. Pré-requis

2. Suites numériques : définitions, modes de génération

3. Variations des suites

4. Exemples de suites : suites arithmétiques et suites géométriques

5. Synthèse de la séquence

6. Exercices d’approfondissement



1 Pré-requisUtilisation du tableur

� Ecritures de formules, fonctions préprogrammées.

� Recopie de formules, références relatives et absolues.

� Fonctions logiques : SI, ALORS, ET, OU, …

Algorithmique

1. Les listes

Considérons un algorithme où intervient une variable A. Lorsque l’on affecte à A une nouvelle valeur, l’ancienne valeur est effacée.

Pour pouvoir conserver différentes valeurs prises par une variable, on peut consi-dérer une variable de type Liste.

(1) Attention, l’ordre est important. Les listes (a ; b) et (b ; a) sont différentes.

(2) Au lieu de noter ( ) la liste vide, on peut la noter (symbole qui désigne aussi l’événement impossible en probabilité).

(3) Nous noterons, comme pour les calculatrices, L[n] le nième élément de la liste L. Par exemple, pour la liste L = (1 ; -3 ; 2), nous avons : L[1] = 1, L[2] = -3 et L[3] = 2.

2. Les boucles

a) Boucles «POUR»

La fonction f est prédéfinie. On veut créer une liste contenant les nombres f (1), f (2), …, f (100).

On peut utiliser l’algorithme suivant (syntaxe Algobox).

POUR I allant de 1 à 100 DANS L[I] METTRE F(I) Fin de la boucle pour

On peut programmer cet algorithme sur calculatrice de la façon suivante.

Sur Ti-82, la fonction f étant entré dans Y1.

A

B

Remarque



PROGRAM:LISTE

: FOR(I,1,100): Y1(I) → L1[I]: END

La Casio Graph 25 permet de programmer directement cet algorithme en utili-sant la séquence :

Seq(Y1(I),I,1,100,1) (le dernier 1 représente le pas, on obtient Seq par : OPTN, LIST, ▶).

Le END du précédent programme pour Ti82 représente la fin de la boucle et non la fin du programme.

– La variable I qui prend ici les valeurs de 1 à 100 s’appelle parfois l’incrément. La valeur finale de I est, ici, le nombre de boucles effectuées (on peut remarquer dans ce cas que c’est un «compteur»).

Syntaxe

Ti-82 Casio Graph 25For(Variable,début,fin,pas) ou For(Variable,début,fin) si pas = 1 For début → variable To fin Step pas

END Next

b) Boucles Tant que

On cherche à écrire un algorithme, nous donnant la liste des chiffres composant l’écriture décimale d’un entier naturel p (entrée).

On admet que le chiffre des unités d’un entier naturel N est N – 10 ent (N/10) où ent est la fonction partie entière (si x est un réel positif, sa partie entière ent(x) est le plus grand entier inférieur ou égal à x).Par exemple, si N = 567, on a : ent(567/10) = ent(56,7) = 56 et 567 – 10 ent(567/10) = 567 – 560 = 7.

L’algorithme correspondant est le suivant.

Entrée ENTRER P

Initialisation L liste vide DANS N METTRE P DANS A METTRE N

Traitement TANT QUE A ≠ 0 FAIRE DANS A METTRE ent(N/10) DANS C METTRE N-10*A DANS L AJOUTER en début de liste C DANS N METTRE A Fin de la boucle «TANT QUE»

Sortie AFFICHER L

– La condition « A = 0» est la condition d’arrêt de la boucle « TANT QUE ».

– Pour les calculatrices, on utilise l’instruction suivante.

Algorithme Ti-82 Casio Graph 25

TANT QUEWHILEEnd

WhleWEnd

Remarque

Remarque



2 Suites numériques : définitions, modes de génération

Activités

1. Exemples de suites

� « Suites logiques ». Pour chacune des listes suivantes, découvrir une « lo-

gique » dans l’enchaînement des nombres et continuer. On suppose que chacune de ces suites peut être prolongées aussi loin que l’on veut.

a) 1 ; 4 ; 7 ; ... ; 22 ; 25 ; ...

b) 2 ; -4 ; 8 ; -16 ; ...

c) 1 ; 4 ; 9 ; ... ; 25 ; ... ; 49 ; ... ; 100

d) 24 ; 6 ; 32

; ...

e) Un petit casse-tête (question facultative) pour terminer cette question.

1 ; 11 ; 21 ; 1211 ; 111221 ; 312211 ; ...

Il faut bien faire la différence entre liste (l’ordre compte) et ensemble (l’ordre ne

compte pas). On utilisera des parenthèses pour une liste et des accolades pour

un ensemble.

On appelle encore liste de n éléments un n-uplet.

Un couple (a ; b) est une liste de 2 éléments.

Une paire {a ; b} est un ensemble à 2 éléments.

Chacune des listes précédentes peut être prolongée indéfiniment. On appelle

« suites » de telles listes.

� Pour chacune des suites précédentes, on numérote les éléments de la façon

suivante.

u1 est le premier élément de la suite (par exemple, pour la suite du 1d), on a :

u1 24= ), u2 est le 2ème terme de la suite. Plus généralement, dans cet exercice,

un est le nième terme de la liste. Quelques exemples si l’on choisit la suite du 1c) :

u3 9= et u7 49= .

Considérons une des suites précédentes. Si n est un entier quelconque. Le terme

qui suit un est un+1 et celui qui le précède est un−1.

A

Remarque



Pour définir une suite, on peut :

un est

le nième nombre pair non nul nous donne la suite 2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10 ; … (soit

u nn = 2 ) (forme 1) ;

triple du précédent (soit u un n= −3 1 ). Pour énumérer tous les termes de la

suite, il nous faut alors son 1er terme ! Si u1 =2, on obtient la suite : 2 ; 6 ; 18 ;

54 ; 162 ; … (forme 2).

On dit que l’égalité u un n= −3 1 (où n ≥ 1) est une relation de récurrence.

Pour chacune des suites a, b, c et d, proposer une description de la forme (1) ou

de la forme (2).

� Donner les 10 premiers termes des suites définies ci-dessous.

Forme (1)

a) u nn = −2 1 b) unn = 1

c) un est le n-ième chiffre après la virgule de 2 .

Forme (2)

d) u un n= −−2 11 (où n ≥ 1) et u1 2= e) uu

unn

n=

+−

−

1

1 1 (où n ≥ 1) et u1 1=

f) un est le double du chiffre des unités de un−1 et u1 1= .

Cours

1. Définition

La suite se note un n n( ) ≥ 0 si le premier terme est un0

. On note parfois simple-ment un( ) .

B

Définition 1

Une suite numérique est une fonction définie sur N (ou sur une partie de N contenant tous

les entiers naturels à partir d’un certain rang n 0 ) : N R→

n un�.

Le nombre un est appelé le terme général de la suite.

Remarque



un désigne donc le n-ième de la suite un n( ) ≥1 mais le (n+1)ième de la suite

un n( ) ≥0.

On considère les suites un n( ) ≥0 et vn n( ) ≥1

. Le nombre u0 est donc le 1er terme

de la suite un n( ) ≥0 et v1 le 1er terme de la suite vn n( ) ≥1

.

� Quel est le 100ème terme de la suite un n( ) ≥0? Le 200ème terme de la suite

vn n( ) ≥1?

� A quelle position dans la suite un n( ) ≥0, se trouve u117 ? A quelle position

dans la suite vn n( ) ≥0, se trouve v117 ?

� On écrit, dans l’ordre, tous les termes de la suite un n( ) ≥0, en commençant

par u17 et en terminant par u100. Combien a-t-on écrit de termes ?

Solution� Le 100ème terme de la suite un n( ) ≥0

est u99 et le 200ème terme de la suite vn n( ) ≥1

est v200 .

� Le nombre u117 est le 118ème terme de la suite un n( ) ≥0 et le nombre v117

le 117ème terme de la suite vn n( ) ≥0.

� Il y a 100 17 1 84− + = termes entre u17 et u100 ( u17 et u100 inclus).

Plus généralement, on pourra retenir qu’entre up et uq (p ≤ q), il y a ( up et uq inclus) q p− +1 termes.

Par exemple si l’on considère la suite nn

2

0( )

≥. Le terme général de cette suite

est n2, son premier terme est u0 0= et son dixième 9 812 = . Le terme de rang

1, c’est-à-dire u1 (=1), est le 2ème terme de la suite.

Petites manipulations avec les suites.

La suite un( ) est définie pour tout n de N par : un

nn =+

2

1( ).

Exprimer en fonction de n :

a) un+1 b) u un n+ −1 c) u n2 3+

Solution

a) un

nn n

nn+ =+( )

+ + = + +

+1

2 21

1 12 1

2( ).

b) u u

n nn

nn

n n n n nn n+ − = + +

+−

+=

+ +( ) + − +1

2 2 2 22 1

2 1

2 1 1 2( ) ( )

(( )( )n n+ +=

1 2

= + + + + + − −+ +

= + ++

n n n n n n nn n

n nn

3 2 2 3 2 22 2 1 21 2

3 11( )( ) ( )(( )n + 2

(remarque : pourquoi ne pas développer le dénominateur ? l’expérience nous prouve qu’en général, on a plus souvent besoin d’une forme factorisée que d’une forme développée).

� Exemple 1

� Exemple 2



c) un

n

n nnn2

2 23

2 3

2 3 1

4 12 92 4+ =

+( )+( )+

= + ++

Dans la pratique, on assimile souvent la suite un( ) à la liste ( u u u0 1 2, , ,...

On retiendra qu’une suite est une liste infinie (elle ne s’arrête pas !).

2. Modes de génération

Soit un( ) la suite définie pour tout n de N par : unn =

+1

1. Cette suite est

définie par une relation de la forme u f nn = ( ) où f est la fonction définie sur

− +∞ 1; par f xx

( ) =+1

1. Pour calculer f (10) par exemple, il suffit alors de

remplacer x par 10 :

u f10 101

10 1111

= =+

=( ) .

Soit vn( ) la suite définie pour tout n de N par : v0 1= et vv

vnn

n+ =

+1 1. Cette

suite est définie par une relation dite de récurrence (un terme est défini à partir

du précédent). On ne peut pas obtenir immédiatement v10 sans avoir, au préa-

lable, calculé v9 , qu’on ne peut obtenir sans avoir au préalable calculé v8 , …

On obtient ici : vv

v10

0 11

1 112

=+

=+

= (car v0 1= ). De même :

vv

vv2

1

131

12

12

1

1 23 2

13

13

13

1

1 34 3

1=+

=+

= = =+

= =//

//

;44

; ...

Définition 2

On dit d’une suite définie par son 1er terme et par une relation du type u f un n+ =1 ( ) où f est une fonction est une suite définie par récurrence. L’égalité u f un n+ =1 ( ) est une relation de récurrence.

Cela se généralise et la relation de récurrence peut dépendre aussi de l’indice comme pour les

relations suivantes (où n’interviennent pas de fonctions f ) : u u nn n+ = +12 2 ou u

nun

n+ =

+1 2

1

1.

On appellera aussi relation de récurrence de telles relations et une propriété analogue à la suivante est vraie.

Remarques

� Exemple A

� Exemple B



Si une suite un( ) vérifie u f un n+ =1 ( ), alors, on a :

u f u u f u u f u1 0 2 1 3 2= = =( ) ( ) ( ), , , ... ; ces nombres sont tous déterminés de

façon unique.

On admettra donc la propriété qui suit.

Propriété 1

Le nombre u0 et la fonction f étant donnés, la suite définie par u0 et u f un n+ =1 ( ) est entière-ment déterminée.

Autrement dit, si deux suites vérifient la même relation de récurrence et admet-tent le même 1er terme u0 alors les deux suites sont égales.

La suite un( ) est la suite définie à l’exemple A et la suite vn( ) est la suite dé-finie à l’exemple B.

Montrer que pour tout n de N , u vn n= .

Solution

La suite vn( ) est définie pour tout n de N par : v0 1= et par la relation de

récurrencevv

vnn

n+ =

+1 1.

La suite un( ) est définie pour tout n de N par : unn =

+1

1.

On a donc : u0 1= et pour tout n de N ,

un

uu

u

uun

n

n

n

n

n+ =

+ +=

+=

+=

+111 1

11

1

11 1( )

(car unn =

+1

1 donc n

un+ =1

1).

Les deux suites admettant le même 1er terme et la même relation de récurrence sont donc égales.

Attention en écrivant !!

On doit pouvoir distinguer clairement ce qui est en indice et ce qui ne l’est pas. Il faut, par exemple, bien faire la distinction entre un+1 et un +1.

Définition 3

Une suite un( ) est constante si pour tout n de N , u un = 0 .

Remarques

Remarque

� Exemple 3

Remarques



3. Représentations graphiques

Cas où u f nn = ( )

La représentation de un( ) est l’ensemble des points de coordonnées n un, .( )

a) Pour unn = +11

;

il s’agit des points d’abscisses entières sur la courbe d’équation yx

= +11

. Les

points An ont pour coordonnées (n, un ).

A1

O

A2

1 2 3 4 5 6 7

A3 A4 A5 A6 A7

Ou si l’on ne représente que les points n un,( ) :

A1

O

A2

1 2 3 4 5 6 7

A3 A4 A5 A6 A7



b) Pour u nn = +1 ;

il s’agit des points d’abscisses entières sur la courbe d’équation y x= +1 . Les

points An ont pour coordonnées ( , ).n un

A0

O

A1

A2A3

A4A5

A6A7

1 2 3 4 5 6 7

Ou si l’on ne représente que les points n un,( ) :

A0

O

A1

A2A3

A4A5

A6A7

1 2 3 4 5 6 7

Cas où u f un n+ = ( )1

Ici on va construire les points d’abscisse un( ) sur l’axe des abscisses.



a) Pour u f un n+ = ( )1 et u0 1= avec f xx

( ) = +11

.

A0

O i

A1A3

u3 u1u2u0

A2

A'1

A'2

A'3

j

b) Pour u f un n+ = ( )1 et u0 0= avec f x x( ) = +1 .

A0

A1

A3A2

A'1

A'2

A'3

i

j

u3u1 u2u0

Comment a-t-on construit ces deux graphiques ?

On commence avec la courbe (C) représentative de f et la droite (D) d’équation y = x, puis on place u0 sur l’axe des abscisses. Pour construire u1, on prend d’abord le point A0 de (C) dont l’abscisse est u0 ; son ordonnée est donc f u( ),0 c’est-à-



dire u1. La parallèle à l’axe des abscisses passant par A0 coupe (D) en A'1 dont les coordonnées sont ( , )u u1 1 car l’équation de (D) est y x= . La parallèle à l’axe des ordonnées passant par A'1 coupe l’axe des abscisses au point d’abscisse u1. Puis on continue de la même manière : A1 est sur (C) et son abscisse est u1. On en déduit que son ordonnée est f u u( )1 2= …

4. Autres façons de définir une suite

(Récurrence double)

La suite un( ) est définie par u u un n n+ += −2 12 2 , u0 4= et u1 2= .

� Calculer les valeurs de uk pour toutes valeurs de k comprises entre 2 et 8.

� A l’aide du tableur ou de la calculatrice, donner une valeur approchée de u100 .

Solution� On a :

u u u2 1 02 2 2 2 2 4 4= × − × = × − × = − (Formule de récurrence appliquée à n = 0) ;

u u u3 2 12 2 2 4 2 2 12= × − × = × − − × = −( ) (Formule de récurrence appliquée à n = 1) ;

u u u4 3 22 2 2 12 2 4 16= × − × = × − − × − = −( ) ( ) (Formule de récurrence appliquée à n = 2) ;

u u u5 4 32 2 2 16 2 12 8= × − × = × − − × − = −( ) ( ) (Formule de récurrence appliquée à n = 3) ;

u u u6 5 42 2 2 8 2 16 16= × − × = × − − × − =( ) ( ) (Formule de récurrence appliquée à n = 4) ;

u u u7 6 52 2 2 16 2 8 48= × − × = × − × − =( ) ( ) (Formule de récurrence appliquée à n = 5) ;

u u u8 7 62 2 2 48 2 16 64= × − × = × − × = (Formule de récurrence appliquée à n = 6).

� On peut utiliser le tableur de la façon suivante.

Dans A1 : « n », titre de la colonne

Dans A2 : =0

Dans A3 : =A2+1 et on étend jusqu’à la cellule A102.

Dans B1 : « Un », titre de la colonne

Dans B2 : =4

Dans B2 : =2

Dans B3 : =2*B2-2*B1 et on étend jusqu’à la cellule B102.

On trouve : u100154 5 10= − ×, à 10 près.14

� Exemple 4



On pouvait aussi utiliser le programme suivant.

Dans U mettre 4

Dans V mettre 2

Pour I de 0 à 98

Dans W mettre 2*V–2*U

Dans U mettre V

Dans V mettre W

Fin de la boucle « Pour »

Afficher V

Ti Casio Algobox

(une somme)

La suite un( ) est définie pour tout n de N∗ par :

un n n n n kn

k

n=

++

++ +

+=

+=∑1

11

21 1

1... .

� Calculer u u u u1 2 3 4, , et .

� A l’aide d’un programme, calculer u100 à 10 3− près.

Solution

� On a : u11

1 112

=+

= , u21

2 11

2 213

14

712

=+

++

= + = ,

u31

3 11

3 21

3 314

15

16

15 12 1060

3760

=+

++

++

= + + = + + = et

u41

4 11

4 21

4 31

4 415

16

17

18

162 140 120=+

++

++

++

= + + + = + + +1105840

527840

= .

� Utilisons le programme suivant.

Dans S mettre 0

Pour I de 1 à 100

Dans S mettre S+1/(100+I)

Fin de la boucle “Pour”

Afficher S

� Exemple 5



Ti Casio Algobox

Exercices d’apprentissageManipulations sur les suites� On considère la suite un( ) définie pour tout n de N par : u

n

nn = +

+

2

12.

a) Calculer u u u u u u0 1 2 3 4 5, , , , , et .

b) Quel est le 17ème terme de cette suite ?

c) Exprimer en fonction de n, u un n+ −1 2 1et

� On considère la suite un( ) définie pour tout n de N , par : u05 12

= + et

u u un n n+ = −12 .

a) Calculer u u u u u u0 1 2 3 4 5, , , , et .

b) Montrer que pour tout n de N : u u u un n n n+ = − +24 32 .

A l’aide de la calculatrice ou du tableur, déterminer dans chaque cas, les 20 pre-miers termes de la suite un( ) (on cherchera des valeurs approchées à 10-3 près).

� u uu

un

n

n0 1 2

11

= =+

+et .

� u u un n0 122 1= = −+et .

� uu u u

u un n n

n n0

1

11=

=

=

+

+et

si > 10

+0,9 sinon.

A l’aide de la calculatrice ou du tableur, déterminer dans chaque cas, les 20 pre-miers termes de la suite un( ) .

� uk n

nk

n=

+( )= + + +

+=∑ 1

1

1

1

1

2

1

120

2 2 2...

( ).

� un

n k

n

n

n

n

n

n nn

k

n=

+=

++

++ +

+=∑ 2

02 2 21 2

... (plus difficile).

La suite un( ) est définie par u0 = 7 et un+1 = 2un – 6 pour tout n, � Représenter graphiquement la suite un( ) .� On considère la suite (vn) définie pout tout n par vn = 6 + 2n. Montrer que

pour tout n, un = vn.� Sachant que 210 = 1024 > 103, déterminer un entier p tel que up > 106.

CExercice 1

Exercice 2

Exercice 3

Exercice 4



3 Variations des suitesActivités

On considère les suites ( )un et ( )vn définies pour tout n entier naturel par

u nnn= −2 2 et v

nn

n= 2

.

Comparer un et un+1. Sont-ils dans le même ordre pour tout n ?

Même question pour ( ).vn

Soit f la fonction définie sur ]0, +∞[ par f xx

( ) ,= +11

et soit ( )un la suite définie

par u f un n+ =1 ( ) pour tout n entier et u0 5= .

On admet que la suite ( )un est bien définie et que tous les termes de cette suite

soit strictement positifs.

� Etudier le sens de variation de f.

� Supposons que u un n> +1. Comparer un+1 et un+2.

� Que se passe-t-il si on suppose que u un n< +1.

Cours

1. Sens de variations

Définition 4

Soit un( ) une suite.

La suite un( ) est croissante si pour tout entier n, u un n+ ≥1 .

La suite un( ) est strictement croissante si pour tout entier n, u un n+ >1 .

La suite un( ) est décroissante si pour tout entier n, u un n+ ≤1 .

La suite un( ) est strictement décroissante si pour tout entier n, u un n+ <1 .

La suite un( ) est monotone si elle est croissante ou décroissante.

A

� Activité 1

� Activité 2

B



� Soit un( ) la suite définie pour tout n de N par : unn =

+1

1.

Etudier le sens de variation de un( ) (la suite est-elle croissante ? décroissante ?).

� Soit un( ) la suite définie pour tout n deN par : unn= −( )2 . Etudier le sens

de variation de un( ) .

Solution

� On a successivement pour tout n de N :

n < n+1 ; (n+1) < (n+1)+1 ; 11 1

11( )n n+ +

<+

(la fonction inverse est décrois-

sante sur R+* ) soit :

u un n+ ≤1 . La suite un( ) est donc décroissante.

� Les premiers termes de la suite sont : u0 1= , u1 2= − et u2 4= . On a :

u u0 1> et u u1 2< . La suite un( ) n’est donc ni croissante, ni décroissante.

Propriété 2

Soient f une fonction définie sur un intervalle contenant N et un( ) la suite définie pour tout n de N par : u f nn = ( ) .

Si f est croissante (resp. strictement croissante, décroissante, strictement décroissante) sur [ ; [n0 +∞ alors il en est de même de la suite un n n( ) ≥ 0

.

Montrer que la suite un( ) définie pour tout n de N par : u n nn = − +2 20 102 est croissante à partir d’un certain rang.

Solution

La suite un( ) définie pour tout n de N par : u n nn = − +2 20 102 est croissante

à partir d’un certain rang. En effet, on a : u f nn = ( ) où f est la fonction trinôme

du second degré définie par : f x x x( ) = − +2 20 102 . On a (forme canonique) :

f x x( ) ( )= − +10 22 ce qui prouve (sens de variation des fonctions de référence)

que f est croissante sur 10;+∞ . La suite un( ) est donc croissante à partir d’un

certain rang (à partir du rang 10).

Montrer que la suite un( ) définie par récurrence par u0 1= et pour tout n de N , u u nn n+ = +1

2 est croissante à partir d’un certain rang.

On veut comparer un et un+1 , on peut, pour cela, étudier le signe de la diffé-rence :

u u u n u nn n n n+ − = +( )− = ≥12 2 0 pour tout n de N donc

� Exemple 6

� Exemple 7

� Exemple 8



u un n+ ≥1 pour tout n de N .

La suite un( ) est donc croissante (et même strictement croissante à partir du rang 1).

Justification du 3ème point.

Si un( ) est une suite de réels strictement positifs telle que, pour tout n de N, u

un

n

+ ≥1 1 alors (on multiplie les deux membres de l’inégalité par le nombre stric-

tement positif un ) : u un n+ ≥1 ce qui prouve bien que la suite est croissante.

Si un( ) est une suite de réels strictement positifs telle que, pour tout n de N, u

un

n

+ ≤1 1 alors (on multiplie les deux membres de l’inégalité par le nombre stric-

tement positif un ) : u un n+ ≤1 ce qui prouve bien que la suite est décroissante.

Conséquence

q < 1 alors la suite (q n ) est strictement décroissante.

q > 1 alors la suite (q n ) est strictement croissante.

En effet, si q > 0 alors tous les termes de la suite sont strictement positifs et, de

plus, q

qq

n

n

+=

1.

Propriété 3

Soit un( ) une suite croissante (resp. strictement croissante, décroissante, strictement décrois-sante) alors pour tous m, n de N , si m < n alors u um n≤ (resp. u um n< , u um n≥ , u um n> ).

Méthode pour déterminer le sens de variation d’une suite

� Si un( ) est définie par une relation du type u f nn = ( ) , on peut étudier le sens de variation de la fonction f.

Suites définies par une relation de récurrence u f un n+ =1 ( ) .

Il n’y a pas de lien évident entre le sens de variation de f et le sens de variation de la suite un( ) .

� On peut étudier le signe de u un n+ −( )1 .

� Si tous les termes de la suite sont strictement positifs, on peut comparer u

un

n

+1 et 1. En effet :

si pour tout n de N , u

un

n

+ ≥1 1, la suite est croissante ;

si pour tout n de N , u

un

n

+ ≤1 1, la suite est décroissante.



2. Majorants, minorants

Définition

Soient un( ) une suite, m et M deux réels.

La suite un( ) est minorée par m si pour tout n de N , u mn ≥ . On dit que m est un minorant de la suite.

La suite un( ) est majorée par M si pour tout n de N , u Mn ≤ . On dit que M est un majorant de la suite.

La suite un( ) est minorée si elle admet un minorant.

La suite un( ) est majorée si elle admet un majorant.

La suite un( ) est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.

Une suite majorée n’admet pas un mais une infinité de majorant. En effet, si 1,3, par exemple, est un majorant de la suite un( ) alors 2 (ou 3 ou 2 …) est aussi un majorant de la suite ; en effet, si pour tout n de N, un ≤ 1 3, alors pour tout n de N, un ≤ 2 !

Soit un( ) la suite définie pour tout n de N par : un

nn =

+

2

12.

� Calculer les 10 premiers termes de la suite un( ) . Conjecturer un majorant M de la suite.

� Démontrer que M est bien un majorant de la suite un( ) .

Solution

� On a :

n un

0 01 12 0,83 0,64 0,470588245 0,384615386 0,324324327 0,288 0,246153859 0,2195122

La suite semble décroissante à partir du rang 1 et u1 1= .

On peut donc conjecturer que 1 est un majorant de la suite un( ) .

Remarque

� Exemple 9



� Pour tout n de N ,

un

n

n

n

n

n

n n

n

nn − =

+− =

+− +

+= − − +

+= −

−1

2

11

2

1

1

1

2 1

1

12 2

2

2

2

2

(( )+

≤2

2 10

n

(car n n−( ) ≥ + >1 0 1 02 2et ).

Ainsi, pour tout n de N , un ≤ 1. Le réel 1 est donc un majorant de la suite un( ).

On aurait pu aussi montrer que la suite est majorée par 1,1 ou n’importe quel autre réel supérieur ou égal à 1 (si M est un majorant de la suite un( ) alors tout réel M ’ supérieur ou égal à M est aussi un majorant de la suite).


Etudier le sens de variation de la suite un( ) dans les cas suivants.

� unn =

+1

3 2 � u

nnn = −

+11

� u nn = −( )4 2

� unn

n=

+2

1 �

u u n

un n+ = +

=

1

0 2 �

uu

u

u

nn

n+ =

+

=

1 3

0

1

2

(On admettra que cette dernière suite est strictement positive.)

Soit f définie sur R+* par : f (x) = x

x2

+ .

� Montrer que f est strictement croissante.

� Soient un( ) et vn( ) les suites définies pour tout n de N par :

u f nn = ( ) et v f v

vn n+ =

=

1

0 16

( ).

Les suites un( ) et vn( ) sont-elles strictement croissantes ?

� Montrer que les suites suivantes sont majorées.

a) un( ) définie par : un

n = ++

11

12.

b) vn( ) définie par : vnn n= − +( ) ,1 0 2

c) wn( ) définie par : w ww

nn

0 1 25

2

3= =

++et .

� Trouver un réel M majorant à la fois de ces trois suites.

C

Exercice 5

Exercice 6

Exercice 7



Soit un( ) la suite définie pour tout n de N \ { ; }0 1 par : u nnn= − +−2 11 ( ) .

1. Calculer u u u2 3 4, et .

2. Etudier le sens de variations de la suite un( ) .

3. En déduire le signe de un selon les valeurs de n.

On considère la suite ( )un définie par uo = 1 et u uun n

n+ = +1

12

1.

� Calculer u1, u2, u3 sous forme de fraction.

� Dans un repère ( ; , ),O� �i j représenter la fonction f définie par f x

xx

( ) .= +2

1

Construire la droite D d’équation y = x dans le même repère. Construire sur

l’axe des abscisses les premiers termes de la suite (un). Que peut-on conjectu-

rer concernant cette suite lorsque n va grandir ?

� Construire dans une liste de la calculatrice les 20 premiers termes de cette suite.

On considère la suite ( )un définie par u0 5= et u u un n n+ = − +12 1. Calculer les

premiers termes de cette suite et étudier son sens de variation.

On considère la suite ( )un définie par son premier terme u0 et par la relation

de récurrence u f un n+ =1 ( ). Etudier le sens de variation de la suite dans les deux

cas suivants :

� Pour tout x de � , f x x( ) .≤

� Pour tout x de � , f x x( ) .≥

� Application : u0 5= et f xx x

x( ) .= + −

+

3

21

1

Exercice 8

Exercice 9

Exercice 10

Exercice 11



4 Exemples de suites : suites arith-métiques et suites géométriques

Activités

� Soit f la fonction définie sur � par f (x) = 2x + 1 et soit ( )un la suite définie par u f nn = ( ).

a) Représenter graphiquement la fonction f ; marquer les points de coordon-nées ( ; ).n un

b) Exprimer un+1 en fonction de un .

c) Calculer ( ).u un p−

� Soit f la fonction définie sur R par f (x) = ax + b et soit la suite définie par u f nn = ( ).

a) Calculer u un n+ −1 ; en déduire la relation de récurrence qui définit ( ).un

b) Calculer ( ).u un p−

c) Trouver une relation entre un d’une part, un+1 + un−1 d’autre part.

Une personne place à la banque un capital de 1 000 euros au taux d’intérêt com-posé annuel de 5 %. Cela signifie que les intérêts acquis à la fin de chaque année sont intégrés au capital. (et produisent donc à leur tour des intérêts)

On note Cn le capital acquis à la fin de la nième année et C0 = 1 000.

� Calculer C1 et C2.

� Montrer que C Cn n+ =1 1 05, .

� En déduire une relation entre C2 et C0, entre C3 et C0.

� Donner sans démonstration Cn en fonction de C0.

� Quel sera le capital acquis au bout de 10 ans ?

� Au bout de combien d’années le capital aura-t-il doublé ? triplé ? (procéder par tâtonnement avec la calculatrice)

A

� Activité 1

� Activité 2



Cours

1. Suites arithmétiques

a) Définition

Définition

On dit qu’une suite est arithmétique lorsqu’il existe un nombre réel r tel que, pour tout n de N, u u rn n+ = +1 .

Le nombre r est appelé raison de la suite un( ).

Une suite est arithmétique si elle est arithmétique de raison r pour un certain r.

Le 1er terme u0 et la relation de récurrence u u rn n+ = +1 , définissent une unique suite qu’on appelle :

la suite arithmétique de 1er terme u0 et de raison r.

Soit un( ) la suite arithmétique de 1er terme u0 1= et de raison -3. Calculer

u u u u1 2 3 4, , et .

Solution

On a : u u r1 0 1 3 2= + = − = − ; u u r2 1 2 3 5= + = − − = − ;

u u r3 2 5 3 8= + = − − = − et u u r4 3 8 3 11= + = − − = − .

10

–3

u4 u3 u2 u1 u0

–3–3–3

Propriété

Une suite arithmétique de raison r > 0 est strictement croissante.

Une suite arithmétique de raison r < 0 est strictement décroissante.

Une suite arithmétique de raison 0 est constante.

du 1er point (les autres points sont analogues).

Soient r > 0 et un( ) une suite arithmétique de raison r. Pour tout n de N ,

u u r un n n+ = + >1 (r > 0). La suite un( ) est donc strictement croissante.

B

Remarque

� Exemple 10

� Démonstration



� Les réels a, b et c sont trois termes consécutifs d’une suite arithmétique. Mon-

trer que : ba c= +

2.

� Montrer la réciproque :

Si a, b et c vérifient ba c= +

2 alors a, b et c sont dans cet ordre 3 termes consé-

cutifs d’une suite arithmétique.

Solution

� Supposons que a, b et c sont, dans cet ordre, 3 termes consécutifs d’une suite arithmétique de raison r. Alors :

b = a+r et c = a+2r. On a : a c a a r a r a r

a r b+ = + + = + = + = + =2

22

2 22

22

( ) ( ).

� On suppose que a, b et c vérifient ba c= +

2. Posons r = b-a.

On a : a+r = b et a+2r = a+2(b-a) = 2b-a = 22

× + − = + − =a ca a c a c( ) donc

a, b et c sont les 3 premiers termes de la suite arithmétique de 1er terme a et de

raison r = b-a.

Propriété 4

La suite définie pour tout n de N par u an bn = + ( a b, ∈R ) est la suite arithmétique de raison a et de 1er terme u b0 = .

� On a : u a b b0 0= × + = et

� Pour tout n de N , u u a n b an bn n+ − = + + − + =1 1( )

= + + − − =an a b an b a donc la suite un( ) est arithmétique de raison a.

La réciproque de la propriété 1 est aussi vraie :

toutes les suites arithmétiques un( ) sont de la forme : u an bn = + .

C’est une conséquence de la propriété suivante.

b) Expression du terme général

Séquence 5 MA12

Propriété 5

Soient un( ) la suite arithmétique de 1er terme u0 et de raison r. Alors pour tous n, p de N

u u nrn = +0.

� Exemple 11

� Démonstration



Considérons la suite vn( ) définie pour tout n de N par : v un = 0 + nr.

On a : v u0 0= et pour tout n de N , v u n r u nr r v rn n+ = + + = + + = +1 0 01( ) ( ) .

Les deux suites ont le même 1er terme u0 et la même relation de récurrence, elles sont donc égales.

On en déduit la propriété suivante.

Propriété 6

Soient un( ) une suite arithmétique de raison r. Alors pour tous n, p de N , u u n p rn p= + −( ) .

De u u nrn = +0 et u u prp = +0 , on déduit par différence :

u u u nr u pr n p rn p− = + − + = −( ) ( ) ( )0 0 ce qui prouve la propriété.

Reprenons la suite de l’exemple 10. Calculer u2012 .

Solution

La suite un( ) est la suite arithmétique de 1er terme u0 = 1 et de rayon −3 donc

pour tout n de N, u u n r n nn = + × = + × − = −0 1 3 1 3( ) . Ainsi :

u2012 1 3 2012 6035= − × = − .

c) La méthode d’Euler

Le principe (rappel et complément)

Soient f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I, x0 ∈I et y0 ∈R

tels que : f x y( ) .0 0=

On suppose connus f ’, x0 et y0. On choisit un pas h (h>0).

� On construit d’abord M0( ; )x y0 0 .

� Par approximation affine, f x h( )0 + est environ égal à f x hf x( ) '( )0 0+ . On

construit alors M1( ; )x y1 1 où x x h1 0= + et y y hf x1 0 0= + '( ).

� De même, à partir de M1, on construit M2( ; )x y2 2 où x x h2 1= + et

y y hf x2 1 1= + '( ).

� On construit ainsi, par récurrence une suite de points Mn n nx y( ; ) tels que pour

tout n de N : x x h

y y hf xn n

n n n

+

+

= +

= +

1

1 '( ).

� Démonstration

� Démonstration

� Exemple 12



On suppose qu’il existe une unique fonction f définie et dérivable sur R et telle que :

�f (0) = 0.

�pour tout réel x : f xx

'( ) =+

1

1 2.

� Montrer que la méthode d’Euler conduit à la suite de points Mn n nx y( ; ) où

( )xn et ( )yn sont définies pour tout n de N par : x y x x hn n0 0 10 0= = = ++, ,

et y yh

xn n

n+ = +

+1 21

.

� Quelle est la nature de la suite ( )xn ? Exprimer alors xn en fonction de n. En

déduire que la suite ( )yn est définie par :

y

y yh

n hn n

0

1 2 2

0

1

=

= ++

+.

� A l’aide du tableur, construire la courbe obtenue sur [0 ; 5] puis sur [ −1 ; 5] par la méthode d’Euler pour différentes valeurs de h.

� Ecrire un algorithme traçant la courbe obtenue par la méthode d’Euler sur [0 ; 5]. (Entrée : fonction f ’, pas h).

Solution

� La méthode d’Euler nous donne la suite de points M x yn n n( ; ) où les suites

xn( ) et yn( ) sont définies par :

x y0 0 0= = (car la condition initiale est f (0) = 0), x x hn n+ = +1 et

y y hf x yh

xn n n n

n+ = + = +

+ ( )1 21

'( ) .

� Pour tout n de N, xn nx h+ = +1 . Ainsi xn( ) est la suite arithmétique de

raison h et de 1er terme x0 0= donc pour tout n de N, xn nh nh= + =0 .

Ainsi, pour tout n de N, yn nn

nyh

xy

h

n h+ = +

+= +

+1 2 2 21 1( )

.

� On peut utiliser le tableur de la façon suivante.

A B C D

1 n Xn Yn Pas :

2 « =0 » « =0 » « =0 »

3 « =A2+1 » « =B2+$D$2 » « =C2+$D$2/(1+A3^2*$D$2^2) »

� Exemple 13

Valeur du pas à entrer ici



Et on étend les cellules A3, B3 et C3 aux colonnes A, B et C.

Pour les valeurs de X négative, on peut écrire les formules ci-dessus dans les cellules A50, A51, B50, B51, C50 et C51 et étendre aussi vers le haut, vers les 1ères cellules.

On obtient, par exemple, les résultats suivants.

� On peut utiliser l’algorithme suivant.



2. Suites géométriques

a) Définition

Définition

On dit qu’une suite est géométrique lorsqu’il existe un nombre réel q tel que, pour tout n de N, u u qn n+ = ×1

Le nombre q est appelé raison de la suite un( ).

Le 1er terme u0 et la relation de récurrence u u qn n+ = ×1 définissent une

unique suite qu’on appelle :

la suite géométrique de 1er terme u0 et de raison q.

Soit un( ) la suite géométrique de 1er terme u0 0 5= , et de raison 3. Calculer u u u u1 2 3 4, , et .

Solution

On a : u u q1 0 0 5 3 1 5= × = × =, , ; u u q2 1 1 5 3 4 5= × = × =, , ;

u u q3 2 4 5 3 13 5= × = × =, , et

u u q4 3 13 5 3 40 5= × = × =, , .

10

x3x3x3

u0 u1 u2 u3

� Soient a, b et c réels strictement positifs. Les réels a, b et c sont trois réels positifs termes consécutifs d’une suite géométrique. Montrer que : b ac= .

� Montrer la réciproque :

Si a, b et c vérifient b ac= alors a, b et c sont dans cet ordre 3 termes consé-cutifs d’une suite géométrique.

Solution

� Supposons que a, b et c sont, dans cet ordre, 3 termes consécutifs d’une suite géométrique de raison q. Alors :

b = a × q et c = a × q2. On a : a c a a q a q aq b× = × ×( ) = = ( ) =2 2 2 2 2

Ainsi,

comme a, b et c sont positifs : ac b= .

� On suppose que a, b et c vérifient ac b= . Posons qba

= ( a ≠ 0 car a > 0).

Remarque

� Exemple 14

� Exemple 15



On a : a q aba

b× = × = et a q aba

ab

a

ba

aca

c× = ×

= × = = =22 2

2

2 donc a,

b et c sont les 3 premiers termes de la suite géométrique de 1er terme a et de

raison qba

= .

b) Expression du terme général

Propriété 7

Soit un( ) une suite géométrique de raison q. Alors pour tout n de N , u u qnn= ×0 .

Considérons la suite vn( ) définie pour tout n de N* par : v u qnn= ×0 .

On a : v u0 0= et pour tout n de N , v u q u q q v qnn n

n++= × = × × = ×1 0

10 .

Les deux suites ont le même 1er terme u0 et la même relation de récurrence, elles sont donc égales.

Plusieurs cas se présentent.

u0 0= alors tous les termes de la suite un( ) sont nuls ;

u0 0≠ et q = 0 alors tous les termes de la suite un( ) à partir de u1 sont nuls ;

u0 0≠ et q ≠ 0 alors tous les termes de la suite un( ) sont non nuls.

Propriété 8

Soient un( ) une suite géométrique de raison q ( q ≠ 0 ) de 1er terme u0 0≠ . Alors pour tout n,

p de N , u u qn pn p= × − .

De u u qnn= ×0 et u u qp

p= ×0 , on déduit par quotient (tous les termes de la

suite étant non nuls) : uu

u q

u q

q

qqn

p

n

p

n

pn p=

×

×= = −0

0

ce qui prouve la propriété.

Propriété 9

Soit la suite un( ) définie pour tout n de N par u a qnn= × ( a q q, ,∈ ≠R 0 ). Alors un( ) est la

suite géométrique de raison q et de 1er terme u a0 = .

On a : u a q a00= × = , et pour tout n de N ,

u a q a q q q a q q unn n n

n++= × = × × = × ×( ) = ×1

1 1 .

Donc la suite un( ) est géométrique de raison q.

� Démonstration

Conséquence

� Démonstration

� Démonstration



Soit un( ) la suite géométrique de 1er terme u0 3= et de raison 2. Calculer u u u u1 2 3 11, , et

Solution

La suite un( ) est la suite géométrique de 1er terme u0 = 3 et de rayon 2 donc

pour tout n de N, u u q11 011 113 2 6144= × = × = .


Dans cet exercice un( ) désigne une suite arithmétique de raison r.

� Calculer u18 sachant que u0 3= − et r = 23

.

� Calculer r et u0 sachant que u5 11= et u13 27= .

� Calculer u0 sachant que u20 57= et r = 2,5.

� Calculer u2001 sachant que u u20 10 22− = et u0 5= .

Déterminer trois nombres réels en progression arithmétique (c’est-à-dire trois termes consécutifs d’une suite arithmétique) dont la somme est 33 et le produit 1232.

Déterminer trois nombres réels en progression arithmétique dont la somme est 33 et la somme des carrés 413.

Sur la figure ci-contre, on a tracé la droite d’équation y = ax + b où a et b sont des réels positifs. La zone ha-churée est un trapèze rectangle dont les sommets situés sur l’axe des abs-cisses ont pour abscisses n et n + 1.On note An l’aire de cette zone ; montrer que (An) est une suite arithmétique.

La suite un( ) est géométrique de premier terme u0 et de raison q.

a) u0 16= et q = 12

; calculer u u u4 8 14, .,

� Exemple 16

CExercice 12

Exercice 13

Exercice 14

Exercice 15

0 n n + 1

Exercice 16



b) u1 3= et q = −2 ; calculer u u u4 8 12, .,

c) u323

= , u7 6= ; calculer q u, .11

d) u732

= , u1049

= ; calculer u q1, .

Déterminer 3 nombres a, b, c en progression géométrique (c’est-à-dire trois termes consécutifs d’une suite géométrique) tels que abc = 1000 et a + b + c = 35.

Exercice 17



5 Synthèse de la séquence

1. Modes de génération, définitions

Définition

Une suite numérique est une fonction définie sur N (ou sur une partie de N contenant tous les

entiers naturels à partir d’un certain rang n 0 ) : N R→

n un�. Le nombre un est appelé le terme

général de la suite.

Définition

On dit d’une suite définie par son 1er terme et par une relation du type u f un n+ =1 ( ) où f est une

fonction, qu’elle est une suite définie par récurrence. L’égalité u f un n+ =1 ( ) est une relation de récurrence.

Cela se généralise et la relation de récurrence peut dépendre aussi de l’indice comme pour les

relations suivantes : u u nn n+ = +12 2 ou u

nun

n+ =

+1 2

1

1. On appellera aussi relation de récur-

rence de telles relations et une propriété analogue à la suivante est vraie.

Propriété

Le nombre u0 et la fonction f étant donnés, la suite définie par u0 et u f un n+ =1 ( ) est entière-ment déterminée.

Autrement dit, si deux suites vérifient la même relation de récurrence et admet-tent le même 1er terme u0 alors les deux suites sont égales.

Remarque



2. Représentations graphiques

Soit f une fonction définie sur � , et soient ( )un et ( )un les deux suites définies par u f n v f vn n n= =+( ) ; ( )1 ; avec v0 fixé.

Pour la suite ( ),un on peut calculer directement tous les termes que l’on veut. Par exemple u f5 5= ( ). En revanche, pour calculer v5 , il faut d’abord connaître v1, v2, v3 et v4. La suite ( )vn est appelée « suite récurrente », ou « suite définie par récurrence ».

Les représentations graphiques et le calcul des termes à l’aide de la calculatrice sont spécifiques à chaque type de suite.

On se souviendra qu’une suite permet de décrire un processus itératif, c’est-à-dire qui se repète toujours dans les mêmes conditions.

3. Variations des suites, majorants, minorants

Définition 4

Soit un( ) une suite.

La suite un( ) est croissante (resp. décroissante) si pour tout entier n, u un n+ ≥1 (resp. u un n+ <1 ).

La suite un( ) est monotone si elle est croissante ou décroissante.

Propriété 1

Soient f une fonction définie sur un intervalle contenant N et un( ) la suite définie pour tout n de N par : u f nn = ( ) .

Si f est croissante (resp. strictement croissante, décroissante, strictement décroissante) sur [ ; [n0 +∞ alors il en est de même de la suite un n n( ) ≥ 0

.

Définition 5

Soient un( ) une suite, m et M deux réels.

La suite un( ) est minorée par m si pour tout n de N , u mn ≥ . On dit que m est un minorant de la suite.

La suite un( ) est majorée par M si pour tout n de N , u Mn ≤ . On dit que M est un majorant de la suite.

La suite un( ) est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.



4. Suites arithmétiques

Définition 6

Soient un( ) une suite et r un réel. La suite un( ) est arithmétique de raison r si pour tout n

de N, u u rn n+ = +1 .

Propriété 5

Soit un( ) une suite arithmétique de raison r. Alors pour tout n de N, u u nrn = +0 .

Propriété 6

Soit un( ) une suite arithmétique de raison r.r > 0 alors la suite un( )

est strictement croissante ;

r < 0 alors la suite un( ) est strictement décroissante ;

r = 0 alors la suite un( ) est constante.

5. Suites géométriques

Définition 7

Soient un( ) une suite et q un réel. La suite un( ) est géométrique de raison q si pour tout

n de N, u u qn n+ = ×1 .

Propriété 7

Soit un( ) une suite géométrique de raison q. Alors pour tout n de N , u u qnn= ×0 .

Propriété 8

Soit un( ) une suite géométrique de raison q et de 1er terme u0 0> .

q > 1 alors la suite un( ) est strictement croissante ;

q < 1 alors la suite un( ) est strictement décroissante ;

q = 1 alors la suite un( ) est constante.



6 Exercices d’approfondissement

La suite ( )sn est définie pour tout n non nul par

sn n k kn

k

n=

×+

×+…+

+=

+=∑1

1 21

2 31

11

11( ) ( )

� Calculer s1, s2, s3.

� Déterminer deux nombres a et b tels que 1

1 1k kak

bk( )+

= ++

pour tout k. En

déduire une expression simplifiée de sn et vérifier qu’elle correspond bien aux

valeurs trouvées pour s1, s2, s3.

On considère les deux suites ( )un et ( )vn définies pour tout n entier naturel

non nul par

u n knk

n= + + +…+ =

=∑1 2 32 2 2 2 2

1 et v

n n nn = + +( )( )1 2 1

6.

� Calculer u1, u2, u3 et v1, v2, v3. Que constate-t-on ?

� Calculer un+1 en fonction de un et de n.

� Calculer v vn n+ −1 .

� Démontrer que pour tout n, u vn n= .

� Une pyramide d’oranges à base carrée est ainsi consti-tuée : chaque côté du carré de la base compte 15 oranges et les oranges d’un étage sont intercalées entre celles de l’étage inférieur ; le côté du carré compte donc une orange de moins que celui de l’étage inférieur. Combien

y a-t-il en tout d’oranges sachant que le dernier étage n’en compte qu’une.

On considère les suites ( )un et ( )vn définies pour n > 0 par

uk nn

k

k

n n= − = − + − + …+ −+

=

+∑ ( ) ( )1

112

13

14

15

11

1

1

et vn k n n n nn

k

n=

+=

++

++…+

−+

=∑ 1 1

11

21

2 11

21. On pose a un n= 2 et

b un n= +2 1

Exercice I

Exercice II

Exercice III



� Calculer u1, u2, u3, u4, v1, v2, v3, v4, a1, a2, a3, b1, b2, b3.

� Montrer que ( )un n’est pas monotone.

� Etudier le sens de variation des suites ( )vn , ( )an et ( )bn .

� Montrer que a bn n≤ ; ranger les nombres a a b bn n n n, , , + +1 1 du plus petit au plus grand.

� Montrer que pour tout n, a vn n=

A l’aide d’une feuille de calculs automatisés (tableur) déterminer le plus entier naturel p tels que : bp < 0,7.

� En déduire que pour tout n ≥ 72, 0,6 < un < 0,7.

Un carré d’aire 1 m2 est divisé en 9 carreaux égaux comme indiqué ci-contre. On colorie le carreau central (1er coloriage). Les 8 carrés restant sont à leur tour divi-sés en 9 carrés égaux comme indiqué ci-contre. On colo-

rie les 8 carrés centraux obtenus. (2e coloriage).

On poursuit avec la même méthode la division et le colo-

riage du carré.

Pour tout entier n n ≥( )1 , on désigne par An l’aire en

m2 de la surface totale coloriée après n coloriages.

Ainsi : A119

= et la surface coloriée ci-contre a pour aire

A2 .

� a) Calculer A2 .

b) Expliquer pourquoi pour tout n A An n≥ = ++189

191, .

� On pose pour tout n B An n≥ = −1 1, .

a) Calculer B1.

b) Montrer que la suite (Bn ) est géométrique.

c) Exprimer Bn en fonction de n.

� En déduire que pour tout n An

n≥ = −

1 189

, .

On considère la fonction f définie sur − +∞

12

; par f xx

x( ) =

+2 1

� Etudier les variations de f sur − +∞

12

, (on pourra démontrer que :

f xx

( )( )

= −+

12

12 2 1

.

� Construire sa courbe représentative ainsi que la droite d’équation y = x dans un repère orthonormé.

Exercice IV

Exercice V



La suite ( )un est définie par u0 1= et u f un n+ =1 ( ) Nous allons calculer un en fonction de n.

� Construire les premiers termes de la suite ( )un .

� On pose vun

n= 1

; montrer que la suite ( )vn est arithmétique et préciser sa raison.

� En déduire l’expression de ( )vn , puis celle de un en fonction de n.

Montrer qu’une suite croissante est minorée.

Soient f une fonction strictement décroissante sur R et un( ) la suite définie par

son 1er terme u0 et la relation de récurrenceu f un n+ =1 ( ) .

Montrer que un( ) n’est pas strictement monotone (on pourra démontrer cela

par disjonction de cas avec cas 1 : u u1 0< et cas 2 : u u1 0> ).

Aides aux exercices d’approfondissement

� Calcul de sn

On peut écrire sn comme la somme des ak

ak

++

1

, il y a beaucoup de termes qui se simplifient.

� On peut montrer que les suites un( ) et vn( ) ont le même 1er terme et véri-fient la même relation de récurrence.

� Pour chacune des 3 suites, on peut calculer le signe le la différence u un n+ −1 .

� L’inégalité a bn n≤ étant vraie pour tout n de N , on a a bn n+ +≤1 1 pour tout n de N .

De plus, on connait les sens de variations des suites an( ) et bn( ) .

� b) On peut remarquer qu’au (n+1)-ième coloriage, on ajoute 19

1( )− A n à la surface précédemment coloriée.

Il suffit de trouver un réel inférieur ou égal à tous les un .

Si u0 et u1 ne sont pas rangés dans le même ordre que u1 et u2, la suite un( ) n’est pas monotone.

Exercice VI

Exercice VII

Exercice I

Exercice II

Exercice III

Exercice IV

Exercice VI

Exercice VII


produit scalaire (1)

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