s4-cours _chap2 - produit scalaire,orthogonalité
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8/7/2019 S4-cours _chap2 - produit scalaire,orthogonalité
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Université Mohammed V – Agdal
Faculté des Sciences Juridiques,
Economiques et sociales
RABAThttp://www.fsjesr.ac.ma
ا –لاآا
داو ا ما آاو
ااط
Filière de Sciences Économiques et de Gestion
Semestre : S4
Module : M 16 (Méthodes Quantitatives IV)
Matière : Algèbre II
Professeure Salma DASSER Professeure Salma DASSER Professeure Salma DASSER Professeure Salma DASSER Session printemps Session printemps Session printemps Session printemps- -- -été été été été 1111
C C C H H H AAAP P P I I I T T T R R R E E E 2 2 2 : : : PPPRRROOODDDUUUIIITTT SSSCCCAAALLLAAAIIIRRREEE---OOORRRTTTHHHOOOGGGOOONNNAAALLLIIITTTEEE
I- Produit scalaire dans et Espace euclidien ........................................................... 2
I-1 Définitions ...................................................................................................................................................... 2
I-2 Matrice d'un produit scalaire .......................................................................................................................... 3
I-3 Produit scalaire et norme euclidienne ............................................................................................................. 4
I-4 Produit scalaire et angle de deux vecteurs ...................................................................................................... 5
II- Orthogonalité .................................................................................................................. 5
II-1 Vecteurs orthogonaux ................................................................................................................................... 5
II-2 Procédé d’orthogonalisation de Gram-Schmidt ............................................................................................ 6 II-3 Sous espaces vectoriels orthogonaux ............................................................................................................ 7
III- Projection - Projection orthogonale ............................................................................. 8
III-1 Définitions ................................................................................................................................................... 8
III-2 Détermination pratique de la projection orthogonale .................................................................................. 9
III-1 Caractérisation et propriétés ...................................................................................................................... 10
IV- Application aux droites et aux plans ........................................................................... 12
IV-1 Droites dans ......................................................................................................................................... 12
Equation d’une droite dans le plan ....................................................................................................... 12
Projection orthogonale sur une droite du plan ..................................................................................... 13
IV-2 Plans et droites dans ............................................................................................................................. 14
Equation d’un plan, équation d’une droite dans l’espace .................................................................... 14
Projection orthogonale sur un plan ...................................................................................................... 16
Projection orthogonale sur une droite .................................................................................................. 17
V- Application aux matrices : images et noyaux orthogonaux ........................................ 17 VI- Retour aux systèmes linéaires (solution au sens des MCO) ...................................... 18
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[S4, Module M 16 : MQ IV, Matière : Algèbre II ] Chapitre 2 : Produit scalaire -Orthogonalité
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III--- PPPrrroooddduuuiiittt ssscccaaalllaaaiiirrreee dddaaannnsss eeettt EEEssspppaaaccceee eeeuuucccllliiidddiiieeennn
I-1 Définitions
D Déé f f ii n nii t tii o o n n :: (Produit scalaire) On appelle produit scalaire dans toute application de dans qui possède les
propriétés ci-dessus.
On notera , , ou simplement , , le nombre réel ,.
(1) La bilinéarité.- Linéarité par rapport à la première variable : ,, , , , , ., . , . . , . , . ,
ou encore :
, , , ., . , . . , . , . ,
- Linéarité par rapport à la deuxième variable : ,, , , , , ,. . , , . . . , . ,
ou encore :
, , ,
,. . , ,. .
. , . ,
(2) La bilinéarité. , , , ou encore , ,
(3) La positivité. , 0 ou encore , 0
(4) La non dégénérescence.
, 0 0 ou encore , 0 0
D Déé f f ii n nii t tii o o n n :: (Espace vectoriel euclidien)
Lorsqu'il est muni d'un produit scalaire . , . , est appelé un espace vectoriel euclidien.
On le note par , . , .
E E x xee m m p pl l ee s s :: (1) , ∑ est un produit scalaire sur : produit scalaire canonique ou usuel de .
(2)
, ∑
,
0, 1, … est un produit scalaire sur
.
(3)
, 21 2 1 2est un produit scalaire sur
.
(4) , 21 22 23 2 1 3 1 3 2 est un produit
scalaire sur .
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I-2 Matrice d'un produit scalaire
D Déé f f ii n nii t tii o o n n :: (Matrice d’un produit scalaire)
La matrice d’un produit scalaire
. , . défini sur
, muni de sa base canonique
, … ,
c’est la matrice définie par , , 1, .
E E x xee m m p pl l ee s s :: (1) La matrice du produit scalaire canonique c’est la matrice identité.
(2) La matrice du produit scalaire défini , ∑ , 0 c’est la matrice diagonale .
(3) La matrice du produit scalaire défini , 21 2 1 2 c’est la matrice 2 11 1.(4) La matrice du produit scalaire défini , 21 22 23 2 1 3 1 3 2 c’est la matrice 2 1 11 2 1
1 1 2.
D Déé f f ii n nii t tii o o n n :: (Matrice symétrique définie positive)
Une matrice symétrique est dite définie positive si toutes ses valeurs propres sont strictement
positives.
E E x xee m m p pl l ee s s :: (1) La matrice identité est une matrice symétrique définie positive.
(2) Une matrice diagonale est une matrice symétrique définie positive si tous ses éléments diagonaux sont
strictement positifs.
(3) La matrice symétrique
1 22 1n’est pas définie positive.
(4) La matrice symétrique 2 11 1 est définie positive.
(5) La matrice symétrique 1 1 11 1 1 1 1 1 n’est pas définie positive car 1 2
(6) La matrice symétrique 2 1 11 2 11 1 2 est définie positive car 4 2
P P r r o o p p o o s sii t tii o o n n ::
La matrice d’un produit scalaire sur
est une matrice symétrique définie positive.
E E x xee m m p pl l ee s s :: (1) La matrice du produit scalaire canonique est symétrique définie positive (la matrice identité).
(2) La matrice du produit scalaire , ∑ , 0 est symétrique définie positive.
(3) La matrice du produit scalaire , 21 2 1 2 est symétrique définie positive.
(4) La matrice du produit scalaire , 21 22 23 2 1 3 1 3 2 est symétrique définie positive.
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P P r r o o p p o o s sii t tii o o n n ::
Une matrice carrée d’ordre définit un produit scalaire sur si et seulement si elle estsymétrique définie positive.
Soit
une matrice symétrique définie positive d’ordre
.
L’application
de
dans
par
, . . est un produit scalaire sur
.
On notera , , le nombre réel ,.
E E x xee m m p pl l ee s s ::
(1) La matrice symétrique 1 22 1 ne définit pas de produit scalaire sur car elle n’est pas définie positive.
(2) La matrice symétrique 2 11 1 définit un produit scalaire (car elle est définie positive) par, 2 11 1 12 21 2 1 2
(3) La matrice
1 1 11 1 1 1 1 1
ne définit pas de produit scalaire sur
car elle n’est pas définie positive.
(4) La matrice symétrique 2 1 11 2 11 1 2 définit un produit scalaire (car elle est définie positive) par
, 2 1 11 2 11 1 2 123 , 21 22 23 2 1 3 1 3 2
I-3 Produit scalaire et norme euclidienne
D Déé f f ii n nii t tii o o n n ::
Soit , un produit scalaire sur . On notera simplement par .
L’application définie de vers par : , s’appelle norme euclidienne.
Le nombre s’appelle norme du vecteur .
L’application définie de vers par : , s’appelle distance euclidienne.
La distance d’un point à un sous espace vectoriel est donnée par : , min
P P r r o o p p r riiéé t téé s s :: ((nnoorrmmee eeuucclliiddiieennnnee))
(1) Homogénéité : . ||. (2) Norme d’une somme de deux vecteurs : 2. , (3) Inégalité de Schwarz : |, | .
(4) Inégalité de Minkowski :
P P r r o o p p r riiéé t téé s s :: ((ddiissttaannccee eeuucclliiddiieennnnee))
(1) , , (2) , 0 (3)
, , ,
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P P r r o o p p o o s sii t tii o o n n ::
Si , . , . est un espace euclidien, alors : , ; ,
La connaissance de la norme détermine complètement le produit scalaire.
Pour désigner un espace euclidien, on note alors aussi
, . au lieu de
, . , . ,
. étant la norme euclidienne associée au produit scalaire . , . .
I-4 Produit scalaire et angle de deux vecteurs
P P r r o o p p o o s sii t tii o o n n ::
Si et sont deux vecteurs non nuls de , . , . alors il existe un unique angle θ 0, π tel
que
cos ,
.
:
|, | . . 0 1
,
.
1 0, / cos ,
.
D Déé f f ii n nii t tii o o n n ::
Si et sont deux vecteurs non nuls de , . , . alors l’unique angle 0, vérifiantcos ,. s’appelle angle des deux vecteurs et .
On considère dans toute la suite l’espace euclidien , . , . : où est muni du produit scalaire usuel :
, ,
;
IIIIII--- OOOrrrttthhhooogggooonnnaaallliiitttééé
II-1 Vecteurs orthogonaux
D Déé f f ii n nii t tii o o n n ::
On dit que deux vecteurs
et
de
sont orthogonaux et on note
ssi
, 0.
P P r r o o p p r riiéé t téé s s ::
(1) L’angle de deux vecteurs orthogonaux et est égal à : cos, ,. 0
(2) Deux vecteurs et sont orthogonaux ssi (l’identité de Pythagore)
D Déé f f ii n nii t tii o o n n ::
Un système de vecteurs , … , de est un système orthogonal ssi , 0 .
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P P r r o o p p o o s sii t tii o o n n ::
Un système orthogonal est libre.
D Déé f f ii n nii t tii o o n n ::
Un système, de n vecteurs de , , … , est une base orthonormée ssi : , 0 1 , 0 , 1.
P P r r o o p p o o s sii t tii o o n n ::
Tout sous espace vectoriel de , . , . admet une base orthonormée.
II-2 Procédé d’orthogonalisation de Gram-Schmidt
Soit un sous espace de , . , . . Le procédé d’orthogonalisation de Gram-Schmidt consiste à
construire une base orthonormée , … , de à partir d’une base quelconque , … , de .
É É t t a a p pee s s d d uu p p r r o o c céé d d éé ::
Départ : , … , une base de .
Étape 1 : construire le 1er
vecteur de la base orthonormée
Étape 2 : construire le 2ème vecteur de la base orthonormée , .
Étape r : construire le rième
vecteur de la base orthonormée , . … , .
Étape p : construire le pième
vecteur de la base orthonormée , . … , .
Arrivée :
, … , est une base orthonormée de
.
E E x xee m m p pl l ee ::
Une base orthonormée du sous espace vectoriel , , , / 0
Départ : On construit une base , , de 1 1,1,0,02 1,0,1,03 1,0,0,1
Étape 1 : On construit le 1er
vecteur de la base orthonormée √ , √ ,0,0 1,1,0,0
√ 2
. √ . 1,1,0,0
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Étape 2 : construire le 2ème
vecteur de la base orthonormée √ , √ , √ , 0
, . 1,0,1,0 √ √ , √ ,0,0 , ,1,0 ; , √
1
. . , ,1,0
Étape 3 : construire le 3ème
vecteur de la base orthonormée √ , √ , √ , √
, . , . ; , √ , , √
1,0,0,1 √ √ , √ ,0,0 √ . √ , √ , √ , 0 , , , 1 1 √
.
√
.
,
,
, 1
Arrivée : , , est une base orthonormée de .
II-3 Sous espaces vectoriels orthogonaux
D Déé f f ii n nii t tii o o n n ::
Soit un sous-espace vectoriel de . On appelle sous-espace orthogonal de et on note l’ensemble : / , 0
R R a a p p p peel l ::
Deux sous espaces vectoriels et de sont supplémentaires ssi est leur somme directe : ; ! , /
P P r r o o p p o o s sii t tii o o n n ::
L’orthogonal d’un sous-espace vectoriel de , , est un sous espace vectoriel de , , .
Un sous espace vectoriel et son orthogonal sont supplémentaires dans : .
L’orthogonal de l’orthogonal d’un sous espace vectoriel lui est égal :
En particulier, on a : 0,…,0 et 0,…,0
P P r r o o p p o o s sii t tii o o n n ::
Si 1, … , est un sous-espace vectoriel de alors : / , , 0
E E x xee m m p pl l ee :: , , , / 0 1, 2, 3 avec 1 1,1,0,02 1,0,1,0
3 1,0,0,1 ; car , , est une base de .
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1, 2, 3, 4 1, 02, 03, 0 1 2 01 3 01 4 0 1 2 01 3 01 4 0
1
, 2
, 3
, 4
4
/ 1
2
0 ; 1
3
0 ; 1
4
0
1
; avec
1,1,1,1une base de
.
D Déé f f ii n nii t tii o o n n ::
Un sous espace vectoriel de est dit hyperplan s’il est de dimension 1.
E E x xee m m p pl l ee :: , , , / 0 est un hyperplan de : dim 4 et dim 3
P P r r o o p p o o s sii t tii o o n n ::
Soit H un hyperplan de
, . , . alors il existe un vecteur
tel que
.
E E x xee m m p pl l ee :: , , , / 0 est un hyperplan de .
1,1,1,1 / . D Déé f f ii n nii t tii o o n n ::
Soit H un hyperplan de , . , . et .
Le vecteur s’appelle "vecteur normal" ou "une normale" à H.
Si 1, est un "vecteur normal unitaire" ou "normale unitaire" à H.
E E x xee m m p pl l ee :: , , , / 0 est un hyperplan de .
1, avec 1 1,1,1,1. Le vecteur 1,1,1,1 est un vecteur normal à .
Le vecteur . , , , est un vecteur normal unitaire à .
IIIIIIIII--- PPPrrrooo j j jeeeccctttiiiooonnn --- PPPrrrooo j j jeeeccctttiiiooonnn ooorrrttthhhooogggooonnnaaallleee
III-1 Définitions
P P r r o o p p o o s sii t tii o o n n ::
Si et sont deux sous espaces vectoriels supplémentaires de alors l’application définie
par : , est une application linéaire.
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D Déé f f ii n nii t tii o o n n ::
Soient et sont deux sous espaces vectoriels supplémentaires de :
L’application linéaire définie sur par ; s’appelle la
projection sur
parallèlement à
.
L’application linéaire
définie sur
par
est la projection sur
parallèlement à .
D Déé f f ii n nii t tii o o n n ::
Si est un sous espace vectoriel de , . , . alors la projection sur parallèlement à
s’appelle la projection orthogonale sur . On la notera .
III-2 Détermination pratique de la projection orthogonale
P P r r o o p p o o s sii t tii o o n n :: Soit un sous-espace de , . , . .
Si , … , est une base orthonormée de , et si est la projection orthogonale sur
alors : ; ∑ , .
La projection orthogonale sur est alors donnée par : ; ∑ , .
E E x xee m m p pl l ee s s :: (1)
, , , /
dim 1 : est une base orthonormée de avec , , , .
La projection orthogonale sur est donnée par : , , 1. 1 o , . 1 2 3 4. , , ,
Donc, x , on a : 14
1 2 3 4 ; 14
1 2 3 4 ; 14
1 2 3 4 ; 14
1 2 3 4
(2) , , , / 0 dim 3 : , , est une base orthonormée de avec
oo √ , √ ,0,0, √ , √ , √ , 0 , √ , √ , √ , √
La projection orthogonale sur est donnée par :
o , , 1. 1 , 2. 2 , 3. 3 o
, 1. 1 1√ 2 1 2 1√ 2 , 1√ 2 ,0,0, 2. 2 1√ 6 1 2 23 1√ 6 , 1√ 6 , 2√ 6 , 0, 3. 3 12√ 3 1 2 3 34 12√ 3 , 12√ 3 , 12√ 3 , 32√ 3
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o qui donne :
, 1. 1 12 1 2, 12 1 2,0,0
, 2. 2 1
6 1 2 23,1
6 1 2 23, 2
6 1 2 23, 0, 3. 3 112 1 2 3 34, 112 1 2 3 34, 112 1 2 3 34, 312 1 2 3 34
Donc, x , on a :
14 3 ; 14 3 ; 14 3 ; 14 3
R Ree m m a a r rqquuee :: ♦ Une méthode plus rapide pour déterminer la projection orthogonale sur consiste à déterminer
avant, celle sur son orthogonal qui est de dimension plus petite :
dim
4 dim 1.
La projection orthogonale sur est donnée par : 14 ; 14 ; 14 ; 14
La projection orthogonale sur définie par est alors donnée par : 14 3 ; 14 3 ; 14 3 ; 14 3
III-1 Caractérisation et propriétés
P P r r o o p p o o s sii t tii o o n n ::
Soient et sont deux sous espaces vectoriels supplémentaires de .
Si est une projection sur parallèlement à alors :
(1) (2) 0
(3) ;
Une projection
est une projection orthogonale sur
ssi sa matrice dans une base orthonormée
de est symétrique.
P P r r o o p p o o s sii t tii o o n n ::
Un endomorphisme de est une projection ssi . Dans ce cas,
est la projection sur parallèlement à .
est la projection sur parallèlement à .
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P P r r o o p p o o s sii t tii o o n n ::
Soit un sous espace vectoriel de . Soit une projection orthogonale sur .
Si alors vérifie les propriétés :
1)
L'égalité de Pythagore : () ( ) (2) () est l'unique vecteur de minimisant la distance de à : ( ) min E E x xee m m p pl l ee ::
(, , , ) / 0 () 14 (3 ) ; 14 ( 3 ) ; 14 ( 3 ) ; 14 ( 3)
(, , , )
/
() 14 ( ) ; 14 ( ) ; 14 ( ) ; 14 ( )
() 1 () () () :
() () ( )() () min
()
() min
En effet, on a : (après calcul)
() 14 12()
8
8
() 14 4 ()
8
8
() () ( )
Par exemple : (1,0,0,0): 1
() 34 ; 14 ; 14 ; 14 : () 14 √ 12 √ 32() 14 ; 14 ; 14 ; 14 () 14 √ 4 12
() () 1 min () 12min () √ 32
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IIIVVV--- AAAppppppllliiicccaaatttiiiooonnn aaauuuxxx dddrrroooiiittteeesss eeettt aaauuuxxx ppplllaaannnsss
Dans , les sous espaces vectoriels non triviaux sont des droites.
Tout sous espace vectoriel non trivial de
est de dimension 1 : c’est un hyperplan de
.
o un hyperplan de
est une droite du plan.
Dans , les sous espaces vectoriels non triviaux sont des droites et des plans.
Tout sous espace vectoriel non trivial de est
• soit de dimension 2 : un hyperplan de , un hyperplan de est un plan de l’espace.
• ou de dimension 1 : c’est une droite de l’espace.
IV-1 Droites dans
EEqquuaattiioonn dd’’uunnee ddrrooiittee ddaannss llee ppllaann
D Déé f f ii n nii t tii o o n n ::
Une droite dans le plan a une équation, dite cartésienne, de la forme :: 0, avec , 0,0
Le vecteur est un vecteur directeur de la droite .
Le coefficient directeur est .
R Ree m m a a r rqquuee :: ♦ L’équation réduite d’une droite non parallèle à l’axe des ordonnés est de la forme :
;
est le coefficient directeur de la droite et l’ordonnée à l’origine.♦ L’équation réduite d’une droite parallèle à l’axe des ordonnés est de la forme : .
P P r r o o p p o o s sii t tii o o n n ::
Toute équation de la forme 0, avec , 0,0, définit une droite D dans le
plan .
le vecteur est un vecteur directeur de D.
Le vecteur
est un vecteur normal à D.
E E x xee m m p pl l ee :: 2 3 0 L’équation réduite de la droite est donnée par :
Le vecteur 12 est un vecteur normal à
Le vecteurs 21 est un vecteur directeur de .
P P r r o o p p o o s sii t tii o o n n ::
Un vecteur directeur de la droite passant par deux points
,et
,
est donné par :
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[S4, Module M 16 : MQ IV, Matière : Algèbre II ] Chapitre 2 : Produit scalaire -Orthogonalité
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P P r r o o p p o o s sii t tii o o n n ::
Toute droite D du plan passant par l’origine a une équation de la forme : 0.
La droite , / 0 est un hyperplan de l’espace vectoriel .
L’hyperplan
,
/ 0a pour base
–,:
–,.
L’orthogonal de l’hyperplan –, est l’hyperplan , .Un vecteur normal à est un vecteur directeur de
L’hyperplan , est la droite d’équation 0
E E x xee m m p pl l ee :: 2 0 , / 2 0 est un hyperplan de l’espace vectoriel .
Le vecteur 21 définit une base 2,1 de : –2,1
L’orthogonal de l’hyperplan
est
1,2
est la droite d’équation 2 0.
PPrroo j jeeccttiioonn oorrtthhooggoonnaallee ssuurr uunnee ddrrooiittee dduu ppllaann
Soit D est une droite du plan d’équation 0 : D , / 0
une base orthonormée de D avec √ √
La projection orthogonale sur D est alors donnée par :
, ; , , , . √ √ . √ , √
qui donne : , ; , 1 ,
P P r r o o p p o o s sii t tii o o n n ::
Soit D une droite dans le plan d’équation : 0.
La projection orthogonale sur la droite D est donnée par :
,
;
, 1
,
Si , est un point du plan alors sa projection orthogonale sur la droite D est le point : ,
R Ree m m a a r rqquuee :: ♦ La projection orthogonale sur la droite D d’un point , de cette droite D est lui-même :
, : 0 ,
et
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E E x xee m m p pl l ee :: 2 0
Le vecteurs 21 est un vecteur directeur de .
Le vecteur √ √ forme une base de D / 2 0.
La projection orthogonale sur D est alors donnée par :, ; , 1 ,
qui donne : , ; , 15 4 2, 2
ou encore :
, ; , , , . 2√ 5 1√ 5 . 2√ 5 , 1√ 5 15 4 2, 2
Si , est un point du plan alors sa projection orthogonale sur la droite est le point : 4 25 , 25
La projection orthogonale du point 1,2 sur la droite est le point 0,0 : origine. , , 0; 21 0 10 2 12
La projection orthogonale du point 2,1 sur la droite est le point lui-même .
, , 0; 21 2 21 1 00
La projection orthogonale du point 0,5 sur la droite est le point 2,1. , , 0; 21 2 01 5 24
IV-2 Plans et droites dans
EEqquuaattiioonn dd’’uunn ppllaann,, ééqquuaattiioonn dd’’uunnee ddrrooiittee ddaannss ll’’eessppaaccee
D Déé f f ii n nii t tii o o n n ::
Un plan dans l’espace a une équation, dite cartésienne, de la forme :: 0, avec ,, 0,0,0
Une droite dans l’espace a une équation, dite cartésienne, de la forme :: 0 0 , avec ,, 0,0,0,, 0,0,0
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P P r r o o p p o o s sii t tii o o n n ::
Toute équation de la forme 0, définit un plan dans l’espace .
Le vecteur
est un vecteur normal à
.
Toute équation de la forme 0 0, définit une droite dans l’espace .
La droite est l’intersection des deux plans : 0: 0
P P r r o o p p o o s sii t tii o o n n ::
Tout plan passant par l’origine a une équation de la forme : 0.
Le plan
, ,
/ 0est un hyperplan de l’espace vectoriel
.
L’orthogonal de l’hyperplan
est
,,.
Le sous espace vectoriel ,, est une droite.
E E x xee m m p pl l ee 11 ( ( p pl l a a n n ) ) :: 2 3 0
Le vecteur 123 est un vecteur normal à
Les vecteurs 210
et 301
forment une base du plan vectoriel ,
ssi 2 3 0 ssi 2 3 ssi 2 3
ssi . 210 . 301
L’orthogonal de l’hyperplan est 1,2,3, de dimension 1.
, 0, 0 ssi 2 03 0 ssi
23
Le sous espace vectoriel 1,2,3 est la droite d’équation 2 03 0.
E E x xee m m p pl l ee 2 2 ( ( d d r r o oii t tee ) ) :: 0 0
Le vecteur 101 forme une base de la droite D :
ssi 0 0 ssi 1212 0 0 ssi
0
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L’orthogonal de la droite est 1,0,1,0,1,0, de dimension 2 :
, 0 ssi 0 ssi
Le sous espace vectoriel 1,0,1,0,1,0 est le plan d’équation 0.
PPrroo j jeeccttiioonn oorrtthhooggoonnaallee ssuurr uunn ppllaann
E E x xee m m p pl l ee :: 0
Les vecteurs 110 et 101 forment une base du plan vectoriel ,
, est alors une base orthonormée de avec √ √ 0 , √ √ √ .
La projection orthogonale sur est alors donnée par :
o ,, ,,, . ,,, .
o ,, √ √ , √ , 0 √ 2 √ , √ , √
o ,, 2 ; 2 ; 2
Si ,, est un point de l’espace alors sa projection orthogonale sur le plan est le point : 2 3 ; 2 3 ; 23
La projection orthogonale du point 1,1,1 sur le plan est le point origine 0,0,0 : , , 0 , , 0 ; 110 , 101 0 10 10 1 111
La projection orthogonale du point
1,2,1sur le plan
est le point
lui-même
:
, , 0 , , 0 ; 110 , 101 1 1 2 21 1 000
La projection orthogonale du point 0,3,0 sur le plan est le point 1,2,1 : , , 0 , , 0 ; 110 , 101 1 02 3 1 0 111
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PPrroo j jeeccttiioonn oorrtthhooggoonnaallee ssuurr uunnee ddrrooiittee
E E x xee m m p pl l ee :: 0
0
Le vecteur 101 forme une base de la droite D :
est alors une base orthonormée de avec √ 0√ .
La projection orthogonale sur est alors donnée par :
o ,, ,,, . √ √ , 0, √
o ,, ; 0;
Si ,, est un point du plan alors sa projection orthogonale sur la droite est le point : 2 ; 0 ; 2
La projection orthogonale du point 1,1,1 sur la droite est le point origine 0,0,0 : , , 0 ; 101
0 10 10 1
111
La projection orthogonale du point 1,2,1 sur la droite est le point lui-même : , , 0 ; 101 1 12 2 1 1 000
La projection orthogonale du point 1,2,3 sur le plan est le point 1,2,1 : , , 0 ; 101 1 12 21 3 202
VVV--- AAAppppppllliiicccaaatttiiiooonnn aaauuuxxx mmmaaatttrrriiiccceeesss ::: iiimmmaaagggeeesss eeettt nnnoooyyyaaauuuxxx ooorrrttthhhooogggooonnnaaauuuxxx
D Déé f f ii n nii t tii o o n n ::
Soit une matrice carrée d’ordre .
est le sous espace vectoriel de engendré par les colonnes de : / : . . ;
Le noyau de est le sous espace vectoriel de dont l’image est nulle.
/ . 0
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R Ree m m a a r rqquuee ::
Soit est une matrice carrée d’ordre .
c’est le sous espace vectoriel de des seconds membres du système linéaire .
pour lesquels ce système est compatible.
ImA
c’est le sous espace vectoriel de
, solution du système linéaire homogène
A.X 0.
Si la matrice est inversible alors
P P r r o o p p o o s sii t tii o o n n ::
Si est une matrice carrée d’ordre alors :
; dim dim dim dim
Si la matrice est symétrique alors : ;
VVVIII--- RRReeetttooouuurrr aaauuuxxx sssyyyssstttèèèmmmeeesss llliiinnnéééaaaiiirrreeesss (((sssooollluuutttiiiooonnn aaauuu ssseeennnsss dddeeesss MMMCCCOOO)))
Si le système . est incompatible alors il n’admet pas de solutions :
On se contente alors de trouver un vecteur qui rend . aussi proche que possible de .
Ce qui revient à déterminer un vecteur tel que . . ,
D Déé f f ii n nii t tii o o n n ::
Soit
. un système linéaire.
Une solution au sens des moindres carrées du système . est un vecteur X tel que :A.X b A . X b, X
Résoudre le système . au sens des moindres carrées revient à trouver un vecteur tel
que : . b min . b
P P r r o o p p o o s sii t tii o o n n ::
Soit . un système compatible.
si est une solution de . alors :. b 0 min . b
les solutions et solutions au sens des moindres carrées de
. sont alors confondues.
Un vecteur est une solution, au sens des MCO, d’un système . ssi est une solution du système . , où : Puisque alors : m i n . ; min .
Or, une solution , au sens des MCO, du système . est caractérisée par : . .
Donc : .
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P P r r o o p p o o s sii t tii o o n n ::
Soit . un système linéaire.
est une solution, au sens des MCO, du système . ssi est une solution du système . , où
.
P P r r o o p p o o s sii t tii o o n n ::
Soit . un système linéaire.
Le système . . admet toujours au moins une solution.
Toute solution du système . . est une solution au sens des moindres carrées du
système . . D Déé f f ii n nii t tii o o n n ::
Soit
. un système linéaire.
Le système . . s’appelle « système des équations normales ».
P P r r o o p p o o s sii t tii o o n n ::
Soit . un système linéaire.
Si les colonnes de la matrice sont linéairement indépendantes alors le système . a exactement
une seule solution au sens des MCO.
P P r r o o p p o o s sii t tii o o n n ::
Soit
. un système linéaire, avec
, .
Si alors le système . a exactement une seule solution au sens des MCO.
E E x xee m m p pl l ee :: 4 5 9 . 1 11 01 1 , 459
(1) En utilisant les équations normales . . :
On calcule . et . :
1 1 11 0 1 1 11 01 1 3 00 2 . 1 1 11 0 1 . 459 185
Les équations normales . . s’écrivent alors : 3 00 2 . 185
La solution du système . . est alors donnée par : 65/2
On calcule . : . 7/2617/2
459
1/211/2
On a alors : min . b . b
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Professeure Salma DASSERPr f r Sal a DASSERPr f r Sal a DASSERProfesseure Salma DASSER Session printempsS i pri t pS i pri t pSession printemps étéétéétéété
(2) En utilisant la projection orthogonale de sur :
On détermine : ., . , , étant la base canonique de
. 111 e t .
101 , e st une base de , , e st libre On construit une base orthonormée , de : √ 111 ; √ 101
On calcule , 459 , . , . 7/2617/2
La solution du système . est alors donnée par : 65/2
On calcule
. :
.
On retrouve alors : min . b . b