1

11Produtos Notveis e Fatorao

11.1Os Produtos Notveis

11.1.1Propriedade distributivas

41.1.2Como Desenvolver um Binmio com Expoentes Contendo Varivel

41.2Fatorao

41.2.1Fator Comum em evidncia

51.2.2Fatorao por agrupamento

51.2.3Fatorao por diferena de quadrados

51.2.4Fatorao do trinmio quadrado perfeito

61.2.5Trinmio Imperfeito Favorveis

71.2.6Outros casos de fatorao

71.3Exerccios Resolvidos - Simplificar

81.4Exerccios Propostos

1 Produtos Notveis e Fatorao

1.1 Os Produtos Notveis

Os produtos notveis que mais se destacam na lgebra so :

( a + b ) ; ( a b ) ; ( a + b ) ( a b ) ; (a + b ) ; (a b )

1.1.1 Propriedade distributivas

1) ( a + b ) = ( a + b ) ( a + b )

( a + b ) = a + ab + ab + b

( a + b ) = a + 2ab + b

2) ( a b ) = ( a b ) ( a b )

( a b ) = a - ab ab + b

( a b ) = a -2 ab + b

3) ( a + b ) ( a b ) = a - ab + ab b

( a + b ) ( a b ) = a - b

Obs : O conjugado de (a + b ) ( a b ) e sempre quando os multiplicamos obtemos como resultado a diferena entre dois quadrados ( a + b ) ( a b ) = a - b

4) ( a + b ) = ( a + b ) ( a + b )

( a + b) = ( a + 2ab + b ) ( a +b )

( a + b ) = a + ab + 2ab + 2ab + ab + b

( a + b ) = a + 3ab + 3ab + b

MACETE: Para desenvolver (a + b )4 passo a passo

1 passo: coloque a e b elevado ao expoente nas extremidades assim :

a4 .....................................................................b42 passo : entre a4 e b4 coloque os produto ab ( n-1) vezes obtemos :

a4 + ab + ab + ab + b4

3 passo : decrescer os expoentes a4 at a1 e crescer os expoentes b1 at b4 veja :

a4 + ab1 + ab + a b + b4

4 passo : coloque o expoente ( 4 ) no coeficiente do termo seguinte e multiplique pelo

valor do expoente de a e em seguida dividir pela quantidade de termos :

a4 + 4a b1 + 6ab + 4 a1 b + 1b4

4 x 3 = 6 6 x 2 = 4 4 x 1 = 1

2 3 4

ento : ( a + b )3 = a4 + 4 ab1 + 6ab + 4 a1b + 1b4Desenvolvendo agora ( a + b )5

( a + b )5 = a5 .........................................b5

(a + b ) = a5 + ab + ab + ab + ab + b5

( a + b ) = a5 a4b1 a3b ab a1b4 b5

( a + b ) = a5 + 5 a4b1 + 10ab + 10 ab + 5 a1b4 + 1b5

5 x 4 = 10 10 x 3 = 10 10 x 2 = 5 5 x 1 = 1

2 3 4 5

Obs : mesmo que entre os termos tenha sinal; no desenvolvimento do binmio coloque sempre o sinal de mais entre eles veja:

( a b ) = a + a (-b )1 + 3 a1 (- b ) + (-b )

3 x 2 = 3

2

( a b ) = a - 3 ab + 3 ab - b

Obs: elevar mentalmente o termo negativo ao respectivo expoente e faa o produto dos sinais

(a b ) = a..............................(- b )

(a b ) = a - 2ab + bGENERALIZANDO:

(3x + 2y) = ?

a b

(a + b ) = a + 3 ab + 3 ab + b

SUBTITUINDO a = ( 3x ) e b = ( 2y )

( 3x + 2y) = ( 3x ) + 3( 3x ) (2y) + 3( 3x )(2y ) + (2y)

( 3x + 2y) = 27x6 + 3 (9x4 )(2y) + 3 ( 3x)(4y) + 8y

(3x + 2y) = 27x6 + 54xy + 36xy + 8y

Importantssimo: saber desenvolver produtos notveis assunto bsico de matemtica; por isso voc deve desenvolv-los com rapidez. Veja:

01- ( x + a ) = ( x + a ) ( x + a )

( x + a ) = ( x + 2ax + a ) ( x + a )

( x + a ) = x + ax + 2ax + 2ax + ax + a

( x + a ) = x + 3ax + 3ax + a

Obs.: Este mtodo trabalhoso e lento faa assim( x + a ) = x 3 ax 3ax 1 a

3 x 2 = 3 x 1 =

2 3

( x + a ) = x + 3ax + 3ax +a

02- ( x + a ) (x + b ) = x + ax + bx +ab

( x + a ) ( x + b ) = x + ( a + b ) + a..b

Ento desenvolver ( x + 2) ( x + 3) = x + 5x + 6 basta multiplicar os x em seguida somar os termos independentes e multiplicar por x e em seguida multiplicar os termos independente

Ex.01-

( x 5 ) (x + 2 ) = x -3x 10

faa isso -5 + 2 = 3

mentalmente ( -5 ) ( 2 ) = 10

Ex.02- ( x 2 ) ( x + 2 ) = x - 4

-2 +2 = 0

(-2 ) (+2) = -4

* NEM TUDO SO FLORES

4

VEJA Ex. 01- ( 2x + 3) ( x + 4)

NESTE CASO PREFERVEL APLICAR A PROPIEDADE DISTRIBUTIVA

( 2x + 3).( x + 4 ) = 2x + 8x + 3x +12

( 2x + 3 ) ( x + 4 ) = 2x + 11x + 12

Ex.02- 2 x + 5 x - 3 =

3 7 2 4

2 x + 5 x 3 = 2x . 1x - 2x .3 + 5 .x - 5 . 3

3 7 2 4 3 2 3 4 7 2 7 4

2 x + 5 x 3 = 2 x - 6 x + 5 x 15

3 7 2 4 6 12 14 28

MMC 6 , 12 , 14 , 28 2

3 , 6 , 7 , 14 2

3 , 3, 7 , 7 3

1 , 1 , 7 , 7 7

1 , 1 , 1 , 1 84

28x - 42x + 30 45 =

84

28x - 12x 45

84

COMO SABER SE O PRODUTO EST CORRETO ?

BASTA ATRIBUIR VALORES NUMRICOS

VEJA EX.01-

( x + 2 ) ( x + 3 ) = x + 5x +6

ATRIBUIR UM VALOR QUALQUER A x POR EXEMPLO x = 1

OBTEMOS : ( 1 + 2 ) ( 1 + 3 ) = ( 1) + 5 ( 1 ) + 6

3 . 4 = 1 + 5 +6

12 = 12 EST CORRETO A IDENTIDADE

Ao substituir o valor numrico e no ocorrer a identidade, ento houve erro no desenvolvimento.EX. 02 ( x + y )

a b

( a + b ) = a + 3ab + 3 ab + b

substituindo : a = ( x ) e b = ( y )

( x + y ) = ( x) + 3 ( x) (y) + 3 (x ) ( y ) + ( y )

( x + y) = x 6 + 3 x4y + 3 xy +y

Verificando faa x = 2 e y = 2

( 2 + 2 ) = ( 2 )6 + 3.( 2 )4.( 2 ) + 3. 2 .2 +2

6 = 64 + 96 +48 +8

216 = 216 CORRETO

COMO ELEVAR UM TRINMIO DO QUADRADO

Ex. ( a + b + c ) = (a +b ) + 2 ( a + b ) + c

1 2

( a + b + c ) = a + 2ab + b + 2 ac + 2bc + c

( a + b + c ) = a + b + c + 2ab + 2 ac + 2bc

ou ( a + b + c ) = desenvolva voc

1 2

1.1.2 Como Desenvolver um Binmio com Expoentes Contendo VarivelEx. ( 2p + 3 ) = ( 2p ) + 2.(2p . 3 ) + (3 )

( 2 + 3 ) = 2.p + 2 p+1. 3 + 32n

Ex. ( x m-1 + x 1-m ) = ( x 2 m-1) + 2x m-1. x 1-m + ( x1-m)

( x m-1 + x 1-m ) = x 2m-2 + 2 x + x-2-2m

( x m-1 + x 1-m ) = x 2m-2 + 2 + x-2-2m

Ex.

x + 1 = ( x ) + 2x .1 + 1

x x x

x + 1 = x 4 + 2x +x -2

x

1.2 Fatorao

Fatorar transformar equaes algbricas em produtos de duas ou mais expresses, chamadas fatores.

Ex: ax + ay = a.(x+y)

Existem vrios casos de fatorao como:

1.2.1 Fator Comum em evidncia

Quando os termos apresentam fatores comuns

Observe o polinmio: ax + ay Ambos os termos apresentam o fator a em evidncia. Assim: ax + ay = a.(x+y) - forma fatorada

Exemplo: Fatore:

a) bx + by - bz = b.(x+y-z)

b) c) d) (a+b)x + (a+b)y = (a+b).(x+y)

e) 1.2.2 Fatorao por agrupamento

Consiste em aplicar duas vezes o caso do fator comum em alguns polinmios especiais. Como por exemplo:ax + ay + bx + byOs dois primeiros termos possuem em comum o fator a, os dois ltimos termos possuem em comum o fator b. Colocando esses termos em evidncia:

a.(x+y) + b.(x+y)

Este novo polinmio possui o termo (x+y) em comum. Assim colocando-o em evidncia: (x+y).(a+b)

Ou seja: ax + ay + bx + by = (x+y).(a+b)Exs: Fatore:

a) x fator a fator (x-3) fator comum Formacomum comum fatoradab) fator fator (2+a) fator comum Formacomum comum fatorada

1.2.3 Fatorao por diferena de quadradosConsiste em transformar as expresses em produtos da soma pela diferena, simplesmente extraindo a raiz quadrada de cada quadrado. Assim: Exemplos: Fatore:

a) b) c) Note que possvel fatorar a expresso duas vezes.

1.2.4 Fatorao do trinmio quadrado perfeitoO trinmio que se obtm quando se eleva um binmio ao quadrado chama-se trinmio quadrado perfeito. Por exemplo, os trinmios () e () so quadrados perfeitos porque so obtidos quando se eleva (a+b) e (a-b) ao quadrado, respectivamente.

INCLUDEPICTURE "http://www.exatas.mat.br/images/fatoracao_htm_eqn17.gif" \* MERGEFORMATINET Assim: | | | |2x 3y|__________||2.2x.3y = 12xy note que igual ao segundo termo de Portanto trata-se de um trinmio quadrado perfeito. = forma fatorada |_______________|Sinal

Logo: = forma fatorada |_______________|Sinal

Exemplos:

a) b) *Convm lembrarmos que ao fatorarmos uma expresso algbrica, devemos fator-la por completo. Veja os exemplos:a) b) 1.2.5 Trinmio Imperfeito FavorveisSe os quadrados do trinmio perfeito no so quadrados perfeitos

Ex.01) x - 5x + 6. No tem raiz exata

Use ento fatorao por agrupamento decompondo:

-5x em dois termos

-3x 2x = -5x

(-3).(-2x) = 6

x - 3x 2x + 6

x (x 3) 2.(x-3)

(x 3).(x-2)

Importantssimo: ao surgir mais de um caso de fatorao aplicado vrios casos de fatorao. veja

Ex.1) ax -ay

a.(x - y)

a . (x y) . (x + y)

Ex.2) x +2ax + a -9

( x + a) - 9

[ ( x + a ) 3 ] [ x + a +3 ]

(x + a 3) (x + a 3)

Ex.3) 5xy ( a + 2ab +b) 4x.(a +b)

5xy (a+b) - 4x (a + b)

x (a + b) [ 5y 4.(a + b ) ]

x (a + b ) (5y 4a 4b )

Ex.4) y - b -y + b

( y b).(y + b) (y b)

(y b ) . ( y + b 1)

1.2.6 Outros casos de fatorao

1) 2) 3)

1.3 Exerccios Resolvidos - Simplificar

a) x -y = (x-y) (x + y) = x + y

x - 2xy +y ( x y) x - y

b) x - a = ( x - a) (x + ax + a) = x + ax + a

x - a ( x a) ( x + a) x + a

c) x - 5x + 6 = ( x 2) (x 3) = x 2

x - 9 (x 3) ( x +3) x + 3

d) x 4 + x - 6x = x (x + x 6) = x ( x + 3) ( x 2) = x ( x 2)

x - 9x x ( x-0 ) x ( x-3) ( x + 3) x 3

e) ( a - b - c -2bc) ( a + b - c) = ( a - b - 2bc c ) ( a + b - c) =

( a + b + c) ( a - 2ac + c b) ( a + b + c) ( a + c - 2ac b)

[ a - (b - 2bc c) ] [ a + b + c ] = [ a- ( b + c ) ] [ a + ( b + c ) ] ( a + b c ) =

(a + b + c ) [ ( a c ) - b ] ( a + b + c ) [ ( a c ) b ] [ ( a c ) b ]

(a - b + c) (a + b + c) (a + b c) = 1

(a + b + c) (a c b ) (a c b)

1.4 Exerccios Propostos

01) 3x y + b xy - 12 xyz

02) 162 a4b + 108 a7b - 378 ab4

03) 12 a4bn - 16 a bn + 1 20 ab n+ 2

04) 16 (x y) x + 24 ( x y ) y + 32 ( x y) z

05) 4x - 9

06) 1 x 4

07) a .b - 25

08) (a + 36) - 9 ( b c)

09) ( a+b).x - ( a - b).x + (a +b)

10) x y + 162xy + 6561

11) 25x4 y -30x yz + 9z6

12) [ (x +y) -z] : [ x - (y z)]

13) x + 3xy + 2y

14) a4 10a +9

15) 2bc + b + c -a

16) y -5y 14

17) xy - 12xy +27

18) 1 6x +12x - 8x

19) 27x +54ab +36ab4 + 8b6

20) y + 8

21) x 6 -64

22) 6ax +2ay 3x 3y

23) x4 a x - bx +ab

24) 2ax 2ay cx 36y +36x +cy

25) (2a +3b 1) - (a b +2)

26) x + y -2xy a - b +2ab

27) a - b -a (a - b) +b (a b)

28) 125 a - 8b9

29) a4 4 a b + 16b4

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