Estimacao pontual

Estimacao pontual

Professora Ana Hermınia Andrade

Universidade Federal do AmazonasFaculdade de Estudos Sociais

Departamento de Economia e Analise

Perıodo 2017.1

Estimacao pontual

Introducao

Exemplo

Desejamos comprar um rifle e, apos algumas selecoes, restaramquartro alternativas, A, B, C e D. Foi feito um teste com cadarifle, que consistiu em fixa-lo num cavalete, mirar o centro de umalvo e diparar 15 tiros.

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Introducao

Criterios

em media acertar o alvo (A e C)

nao ser muito disperso (C e D)

Podemos descrever cada arma da seguinte maneira:

A: nao viesada, pouco acurada e baixa precisao

B: viesada, pouco acurada e baixa precisao

C: nao viesada, muito acurada e boa precisao

D: viesada, pouco acurada e alta precisao

Observacao:

A acuracia mede a proximidade da cada observacao do valor alvoque se procura atingir, enquanto a precisao mede a proximidade decada observacao da media de todas as observacoes.

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Propriedades dos estimadores

Considere uma amostra (X1, . . . ,Xn) de uma v.a. que descreveuma caracterıstica de interesse da populacao. Seja θ o parametroque desejamos estimar, por exemplo, a media µ = E(X ) ou avariancia σ2 = Var(X ).

Definicao

Um estimador T do parametro θ e qualquer funcao da amostra,ou seja, T = g(X1, . . . ,Xn).

Temos que escolher T segundo criterios!

Definicao

O estimador T e nao viesado para θ se E(T ) = θ ∀θ.Logo, vies(T ) = E(T )− θ.

Estimadores nao viesados (ENV): X e um ENV para µ e p e umENV para p.

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Propriedades dos estimadores

Exemplo

σ2 = 1n

∑ni=1(Xi − X )2 e um ENV de σ2?

Definicao

Se T e T ′ sao dois ENV de θ e Var(T ) < Var(T ′), entao T emais efeiciente que T ′.

Definicao

Erro amostral e o erro que cometemos ao estimar o parametro θda distribuicao da v.a. X pelo estimador T = g(X1, . . . ,Xn) e edado por ε = T − θ.

Definicao

Chama-se erro quadratico medio (EQM) do estimador T de:EQM(T ; θ) = var(T ) + Vies(T )2

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Representacao grafica para o EQM

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Problemas

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Estimadores de momentos

Primeiro Momento

A media populacional e um caso particular de momento, sendo oprimeiro momento. Se X for uma v.a. contınua, com densidadef (X ), entao

µ = E(X ) =

∫ +∞

−∞xf (x)dx .

Caso geral

Podemos, em geral, definir o k-esimo momento de X por

E(X k) =

∫ +∞

−∞xk f (x)dx , k = 1, 2, ...

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Estimadores de momentos

Assim, para k = 2, obtemos o segundo momento

E(X 2) =

∫ +∞

−∞x2f (x)dx ,

Para calcularmos Var(X ) fazemos uso do primeiro e do segundomomento:

Var(X ) = E(X 2)− [E(X )]2.

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Estimadores de momentos

Definicao

Definimos o k-esimo momento amostral por

mk =1

n

∑i=1n

X ki , k = 1, 2, ...

Temos portanto que m1 = X e m2 =∑n

i=1 X2i

n .

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Estimadores de momentos

Definicao

Dizemos que θ1, . . . , θr sao estimadores obtidos pelo metodo dosmomentos se eles forem solucoes das equacoes

mk = E(X k), k = 1, 2, . . . , r .

O procedimento consiste em substituir os momentos teoricos pelosrespectivos momentos amostrais.

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Estimadores de momentos

Exemplo

Se X tem media µ e variancia σ2, teremos as seguintes relacoesvalidas para os dois primeiros momentos populacionais:

E(X ) = µ, E(X 2) = σ2 + µ2,

Os estimadores obtidos pelo metodo dos momentos serao

µ = m1 = X

σ2 = m2 −m21 =

1

n

n∑i=1

X 2i − X 2.

Ou seja, obtemos os ja mencionados estimadores X e σ2.

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Estimadores dos mınimos quadrados

Exemplo

Um engenheiro esta estudando a resistencia Y de uma fibra em funcaode seu diametro X e notou que as variaveis sao aproximadamenteproporcionais, isto e, elas obedecem a relacao Y ≈ θX , em que θ e ocoeficiente de proporcionalidade. Desejamos estimar θ numa amostra de5 unidades, que, submetidas a mensuracao e testes, produziram osresultados:

X : 1, 2 1, 5 1, 7 2, 0 2, 6 X = 1, 8;

Y : 3, 9 4, 7 5, 6 5, 8 7, 0 Y = 5, 4.

Observando os resultados conclui-se que θ = 3 parece ser um resultadorazoavel. Como verificar a qualidade desta estimativa? Podemos utilizaro modelo Y = 3X e ver como esse preve os valores de Y , para os dadosvalores de X , e como sao as discrepancias entre os valores observados eos estimados pelo modelo.

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Estimadores dos mınimos quadrados

Os valores da coluna (Y − 3X ) medem a inadequacao do modelopara cada observacao da amostra, enquanto o valor∑5

i=1(Yi − 3Xi )2 = 1, 06 e uma tentativa de medir ”‘o erro

quadratico total da amostra”’. Matematicamente, o problema eencontrar o valor de θ que minimize a funcaoS(θ) =

∑5i=1(Yi − θXi )

2.

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Estimadores dos mınimos quadrados

O mınimo da funcao e obtido derivando-a em relacao a θ eigualando o resultado a zero

dS(θ)

dθ=

5∑i=1

(Yi − θXi )(−2Xi ) = 0,

resultando em θMQ =∑5

i=1 XiYi∑5i=1 X

2i

= 2, 94.

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Estimadores dos maxima verossimilhanca

O princıpio da verossimilhanca afirma que devemos escolher aquelevalor do parametro desconhecido que maximiza a probabilidade deobter a amostra particular observada, ou seja, o valor que tornaaquela amostra a ”‘mais provavel”’.

Exemplo

Suponha que temos n provas de Bernoulli com 0 < p < 1 eX =numero de sucessos. Devemos tomar com estimador aquelevalor de p que torna a amostra observada a mais provavel deocorrer. Suponha que n = 3 e obtemos dois sucessos e umfracasso. A funcao de verossimilhanca e

L(p) = P(2 sucessos e 1 fracasso) = p2(1− p).

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Estimadores dos maxima verossimilhanca

Maximizando essa funcao em relacao a p, obtemos

L′(p) = 2p(1− p)− p2 = 0 ⇒ p(2− 3p) = 0,

do que seguem p = 0 ou p = 2/3. E facil ver que o ponto de maximo ep = 2/3, que e o estimador de maxima verossimilhanca(EMV) de p.

De modo geral o EMV do parametro p de uma distribuicao binomial e

pMV =X

n.

Observe que L(p) = px(1− p)(n−x), que e a probabilidade de se obter xsucessos e n − x fracassos. O maximo dessa funcao ocorre no mesmoponto que `(p) = logeL(p). Temos

`(p) = x log(p) + (n − x)log(1− p).

Derivando e igualando a zero obtemos pMV = x/n.

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Estimadores dos maxima verossimilhanca

Definicao

A funcao de verossimilhanca e definida por

L(θ) = f (x1) . . . f (xn),

que e funcao de θ. O EMV de θ e o valor θMV que maximiza L(θ).

Observacao

Maximizar L(θ) e o mesmo que maximizar `(θ).

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Estimadores dos maxima verossimilhanca

Exemplo

Suponha que a v.a. X tenha distribuicao exponencial, comparametro α > 0, desconhecido, e queremos obter o EMV desseparametro. A densidade de X e dada por:

f (x) =

{1αe−x/α , se α 6= 0

0 , se α < 0.

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Estimadores dos maxima verossimilhanca

Entao a verossimilhanca e dada por L(α) = (1/α)ne−∑

xi/α e alog-verossimilhanca:

`(α) = −nlogα−n∑

i=1

xi/α.

Derivando e igualando a zero obtermos que o EMV de α e

αMV =

∑ni=1 xin

,

que e a media amostral.

Observacao

No caso discreto, a funcao de verossimilhanca pode ser escrita da forma

L(θ) = P(X1 = x1) . . .P(Xn = xn).